Mercado_de_Energia_El_trica (1)

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Universidade Federal de Juiz de Fora
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica (PPEE)
Jeanderson Soares Mingorança
Resumo: Notas de Aula da disciplina de Mercados de Energia Elétrica
Juiz de Fora
2020
Jeanderson Soares Mingorança
Resumo: Notas de Aula da disciplina de Mercados de Energia Elétrica
Anotações pessoais das aulas por Ensino Re-
moto Emergencial (ERE) da disciplina ’Mer-
cado de Energia’ ministrada pelo Professor
Bruno Henriques & Tiago André Teixeira So-
ares pelo Programa de Pós-Graduação em En-
genharia Elétrica e assuntos correlacionados
de estudos dos Sistemas Elétricos de Potência
Professor: Bruno Henriques Dias & Tiago André Teixeira Soares
Juiz de Fora
2020
“Registrar graficamente significa ultrapassar a barreia cordial do tempo. Significa trazer
para materialidade do mundo o que pode ser tocado pela imaginação. Torna real o
imaginário. Grafando, escrevemos a visão. E escrever a visão significa olhar para si
próprio por outro viés. Olhar com olhos de ver, para que seja possível rabiscar as
cartografias de nossas memórias. Ainda que o esquecimento seja um processo natural, ao
organizarmos nossas ideias no papel ampliamos nossa perspectiva de observação, tornando
possível lembrar do que imaginamos e lembrar de imaginar.”
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 – Exemplo dos EUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Figura 2 – Modelo de Mercado Monopólio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Figura 3 – Passos para surgimento de novos modelos de mercado . . . . . . . . . . 24
Figura 4 – Competição introduzida na geração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Figura 5 – Competição no atacado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Figura 6 – Competição no varejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Figura 7 – Tipos de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Figura 8 – Horizontes de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Figura 9 – Horizontes de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Figura 10 – Comandos do GAMS - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Figura 11 – Comandos do GAMS - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Figura 12 – Comandos do GAMS - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Figura 13 – Esquema do problema de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Figura 14 – Documentação do linprog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Figura 15 – Otimização do problema de transporte usando Matlab com linprog . . 39
Figura 16 – Resultado de saída por MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Figura 17 – Implementação no GAMS para dados de entrada . . . . . . . . . . . . 40
Figura 18 – Declaração de variáveis no GAMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Figura 19 – Comandos para equacionamento pelo GAMS . . . . . . . . . . . . . . . 41
Figura 20 – Comandos para construção do modelo pelo GAMS . . . . . . . . . . . 41
Figura 21 – Comandos para solução por solver escolhido pelo GAMS . . . . . . . . 42
Figura 22 – Comandos para impressão em tela dos resultados pelo GAMS . . . . . 42
Figura 23 – Solução obtida via compilação no GAMS . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Figura 24 – Gráfico de demanda em função do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Figura 25 – Otimização do problema do planejamento usando Matlab com linprog . 47
Figura 26 – Solução ótima encontrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Figura 27 – Entrada de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Figura 28 – Declaração de variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Figura 29 – Equacionamento do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Figura 30 – Modelo do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Figura 31 – Solução do problema modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Figura 32 – Impressão em tela de variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Figura 33 – Solução ótima obtida pelo GAMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Figura 34 – Diagrama de um problema de fluxo de redes . . . . . . . . . . . . . . . 51
Figura 35 – Otimização do Problema de fluxos em redes usando Matlab com linprog 53
Figura 36 – Solução obtida via MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Figura 37 – Código-fonte para problema de fluxo em rede em IDE do GAMS . . . . 54
Figura 38 – Solução encontrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Figura 39 – Microeconomia, mercados futuros, day-ahead, intra-day . . . . . . . . . 56
Figura 40 – Demanda Individual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Figura 41 – Demanda Agregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Figura 42 – Elasticidade Demanda-Preço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Figura 43 – Curva da oferta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Figura 44 – Equilíbrio de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Figura 45 – Lei da Oferta e Procura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Figura 46 – Equilíbrio de mercado: lei da oferta e procura . . . . . . . . . . . . . . 61
Figura 47 – Lei da oferta em leilões centralizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Figura 48 – Horizontes de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Figura 49 – Cronograma do mercado de eletricidade no atacado . . . . . . . . . . . 64
Figura 50 – Horizontes de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Figura 51 – Mercado spot com Vendedores e Compradores . . . . . . . . . . . . . . 68
Figura 52 – Exemplo de contrato a termo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Figura 53 – Definição de preço futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Figura 54 – Risco do preço a termo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Figura 55 – Contratos Futuros - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Figura 56 – Contratos Futuros - 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Figura 57 – Contratos Futuros - 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Figura 58 – Contratos Financeiros - Contratos sem entrega física . . . . . . . . . . 75
Figura 59 – Leilões de Energia Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Figura 60 – Day-ahead UK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Figura 61 – Mercado PJM - preço negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Figura 62 – Preço negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Figura 63 – Exemplo de Leilão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Figura 64 – Linha do tempo de tipos de mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Figura 65 – Participante com determinado portfólio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Figura 66 – Mercado intra-diário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Figura 67 – Mercado Intra-diário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Figura 68 – Ofertas no Mercado intra-diário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Figura 69 – Análise de Custo benefício no mercado intra-diário . . . . . . . . . . . 83
Figura 70 – Exemplo Elbas - Nord Pool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Figura 71 – Exemplo do dia 13/03/14 - 9hrs - Mercado Intra-Diário . . . . . . . . . 84
Figura 72 – Exemplo do dia 13/03/14 - 12hrs - Mercado Intra-diário . . . . . . . . 85
Figura 73 – Exemplo do dia 13/03/14 - 17hrs - Mercado Intra-diário . . . . . . . . 85
Figura 74 – Exemplo do dia 13/03/14 - 19hrs - Mercado Intra-diário . . . . . . . . 86
Figura 75 – Exemplo do dia 13/03/14 - 21hrs - Mercado Intra-diário . . . . . . . . 86
Figura 76 – Exemplo do dia 13/03/14 - Final do Dia - Mercado Intra-diário . . . . 87
Figura 77 – Mercadosde Balanceamento - Responsabilidade do TSO . . . . . . . . 87
Figura 78 – Continuação exemplo - balanceamento de mercado . . . . . . . . . . . 88
Figura 79 – Demanda inelástica no balanceamento de mercado . . . . . . . . . . . . 89
Figura 80 – Despacho econômico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Figura 81 – Resultado trivial de despacho econômico . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Figura 82 – Resultado trivial - caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Figura 83 – Efeitos da Rede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Figura 84 – Comparativo EUA e Europa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Figura 85 – Preço nodal e preço zonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Figura 86 – Ofertas de geração e de compra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Figura 87 – Despacho Econômico do PJM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Figura 88 – Curva de duração de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Figura 89 – Despacho econômico - Sistema Térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Figura 90 – Modelo linear de despacho econômico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Figura 91 – Solução por modelo linear de despacho econômico . . . . . . . . . . . . 101
Figura 92 – Caso2: modelo linear de despacho econômico . . . . . . . . . . . . . . . 101
Figura 93 – Solução do caso 2 por modelo linear de despacho econômico . . . . . . 102
Figura 94 – Exemplo de PLD semanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Figura 95 – Custo Marginal de Operação - Exemplo hipotético . . . . . . . . . . . 104
Figura 96 – Custo Marginal de Operação - Exemplo hipotético - Ordem de mérito . 104
Figura 97 – Decisão em sistemas hidrotérmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Figura 98 – Decisão em sistemas hidrotérmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Figura 99 – Solução de operação do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Figura 100 –Solução de operação do sistema - segunda forma . . . . . . . . . . . . . 107
Figura 102 –Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Figura 101 –Planejamento de sistemas hidrotérmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Figura 103 –Exemplo: Bordúria e Syldavia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Figura 104 –Exemplo de Interconexão: Bordúria e Syldavia. . . . . . . . . . . . . . 111
Figura 105 –Exemplo de Interconexão: Bordúria e Syldavia. . . . . . . . . . . . . . 111
Figura 106 –Curva de Oferta e Demanda dos dois países interconectados . . . . . . 113
Figura 107 –Deslocamento do ponto de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Figura 108 –Fluxo com congestionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Figura 109 –Rede, geradores e consumidores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Figura 110 –Fluxo de Potência Ótimo - Exemplo de 2 barras . . . . . . . . . . . . . 118
Figura 111 –Função de custo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Figura 112 –Solução trivial por ordem de mérito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Figura 113 –Despacho econômico inviável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Figura 114 –Solução do Fluxo de Potência Ótimo (FPO) . . . . . . . . . . . . . . . 120
Figura 115 –Exemplo de 3 barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Figura 116 –Função de custo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Figura 117 –Caso de linhas com mesma reatância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Figura 119 –Fluxo por Superposição - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Figura 118 –Superposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Figura 120 –Fluxo por Superposição - 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Figura 121 –Fluxo por Superposição - 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Figura 122 –Corrigindo os fluxos acima do limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Figura 123 –Caption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Figura 124 –Despacho de geração baseado em ofertas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Figura 125 –Exemplo de um Leilão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Figura 126 –Venda ofertas e lances de compra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Figura 127 –Despacho de geração baseado em ofertas e lances de demanda. . . . . . 130
Figura 128 –Despacho de geração baseado em ofertas e análise de sensibilidade a
lances de demanda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Figura 129 –Despacho de geração com base em ofertas e lances de demanda com
rede de transmissão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Figura 130 –Código implementado em linguagem GAMS . . . . . . . . . . . . . . . 136
Figura 131 –Resultado do processo de otimização do problema de despacho simples
com uso do GAMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Figura 132 –Otimização do problema de despacho descentralizado simples com uso
do GAMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Figura 133 –Resultado do processo de otimização do problema de despacho descen-
tralizado simples com uso do GAMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Figura 134 –Problema de despacho com lances de demanda . . . . . . . . . . . . . . 145
Figura 135 – Implementação do problema de despacho com lances de demanda pelo
GAMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Figura 136 –Código Implementado para leilão com restrições da rede . . . . . . . . 151
Figura 137 – Implementação do problema de despacho com lances de demanda pelo
GAMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Figura 138 –Dimensão Brasil vs Europa (ano 2007) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Figura 139 –Mapa do Brasil sobreposto ao mapa da Europa (ano 2007) . . . . . . . 155
Figura 140 –Matriz Energética do Brasil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Figura 141 –Participação de Renováveis - Matriz Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . 156
Figura 142 –Participantes do Setor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Figura 143 –Arranjo institucional do setor elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Figura 144 –Ciclo de mercado de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Figura 145 –Visão geral de mercado de energia - Brasil . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Figura 146 –Ambiente de Contratação Regulada Contextualizado . . . . . . . . . . 162
Figura 147 –Contexto: ambiente de contratação regulada . . . . . . . . . . . . . . . 164
Figura 148 –Esquema de Leilões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Figura 149 –Mercado: Ambiente de Contratação Livre (ACL) . . . . . . . . . . . . 166
Figura 150 –Fontes incentivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Figura 151 –Número de consumidores livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Figura 152 –Mercado de Curto Prazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Figura 153 –Exemplo de liquidação das diferenças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Figura 154 –Exemplo de liquidação das diferenças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Figura 155 –Leilões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Figura 156 –Leilão de energia existente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Figura 157 –Múltiplas Rodadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Figura 158 –Única Rodada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Figura 159 – 1º caso da 1ª Fase de Leilão de Energia Existente . . . . . . . . . . . . 173
Figura 160 – 2º caso da 1ª Fase de Leilão de Energia Existente (disposição por ordem
de preço e quantidade) . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Figura 161 – 2ª fase do leilão de energia existente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Figura 162 –Energia Nova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Figura 163 –Mercado Sequencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Figura 164 –Mercado Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Figura 165 –Etapas da Programação Estocástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Figura 166 –Etapas da Programação Estocástica: em termos matemáticos . . . . . 183
Figura 167 –Problema de otimização com 2 cenários . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Figura 168 – Implementação de mercado conjunto para determinação de reservas
operativas via software GAMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Figura 169 –Solução encontrada para o problema de energia de reserva em mercados
conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Figura 170 –Resultados para o problema de energia de reserva em mercados conjuntos
- Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Figura 171 –Problema estocástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Figura 172 –Problema equivalente determinístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Figura 173 –Solução do problema determinístico equivalente . . . . . . . . . . . . . 192
Figura 174 –Solução do problema estocástico com parâmetros obtidos no problema
determinístico equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Figura 175 –Solução obtida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Figura 176 –Exemplo de rede com três geradores térmicos . . . . . . . . . . . . . . 197
Figura 177 –Características das unidades térmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Figura 178 –Características das unidades térmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Figura 179 –Restrições associadas a limites técnicos dos geradores e eólica . . . . . 200
Figura 180 –Restrições associadas ao balanço de energia - mercado diário . . . . . . 200
Figura 181 –Restrições associadas ao limite técnico da linha . . . . . . . . . . . . . 201
Figura 182 –Restrições de non-anticipaticity,de carga e de desperdício de energia eólica201
Figura 183 –Restrições de balanço de energia - ativação de reserva [Soroudi & Amraee, 2013]202
Figura 184 –Resposta para o problema de otimização do despacho de energia com
reserva com turbinas eólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Figura 185 –Etapas da programação robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Figura 186 –Formulação de otimização min, max e min . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Figura 187 –Formulação de otimização robusta adaptativa . . . . . . . . . . . . . . 206
Figura 188 – Ilustração de conjunto de incerteza poliédrico . . . . . . . . . . . . . . 207
Figura 189 – Ilustração de conjunto de incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Figura 190 – Ilustração de conjunto de incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Figura 191 –Formulação do problema robusto em mercados conjuntos . . . . . . . . 212
Figura 192 –Solução da formulação do problema robusto em mercados conjuntos . . 213
Figura 193 –Formulação robusta vs estocástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Figura 194 –Exemplo de rede com três geradores térmicos . . . . . . . . . . . . . . 215
Figura 195 –Vértices relacionados aos desvios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Figura 196 –Problema formulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Figura 197 –Solução do problema formulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Alguns comandos do GAMS necessários . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Tabela 2 – Demanda como função do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Tabela 3 – Dados das Unidades Geradoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Tabela 4 – Valores para os mercados separados, juntos e com restrição da rede
para Borduria e Sydavia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Tabela 5 – Gerados disponíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Tabela 6 – Despacho econômico por ordem de mérito . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Tabela 7 – Ofertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Tabela 8 – Lances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Tabela 9 – Ofertas de venda de energia e preço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Tabela 10 – Ofertas de venda de energia e preço por ordem de mérito (ordem
crescente de preço) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Tabela 11 – Lances de compra de energia e preço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Tabela 12 – Lances de compra de energia e preço em ordem decrescente . . . . . . 143
Tabela 13 – Ofertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Tabela 14 – Ofertas em ordem crescente e atendimento à demanda por ordem de
mérito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Tabela 15 – Oferta de compra em leilão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Tabela 16 – Lances de venda de energia e preço em ordem decrescente . . . . . . . 148
SUMÁRIO
1 AULA 01: INTRODUÇÃO AOS MERCADOS DE ENERGIA
ELÉTRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1 Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Desafios e dificuldades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Histórico e modelos de mercado de energia . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2.1 Breve histórico da formação dos Mercados de Energia Elétrica
(EE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2.2 Modelos de Mercado de Eletricidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.3 Participantes, Tipos e Horizontes de Mercado de EE . . . . . . 26
1.3 GAMS (ALGEBRAIC MODELING SYSTEM ) . . . . . . . . . 28
2 Exercícios para entregar: Introdução à otimização por meio do
GAMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1 Aplicações de Programação Linear (PL) . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.1 Problema de Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 O problema do planejamento da produção . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Problema de fluxos em redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 AULA 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1 Aulas da Graduação: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.1 Aula 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.1.1 Módulo 1: Microeconomia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.1.2 Módulo 2: Horizontes de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.1.2.1 Riscos, Mercados e Contratos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.1.2 Aula 04: Mercado intra-diário, mercado de balanceamento, in-
trodução ao despacho econômico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.1.2.1 Horizontes Intra-diário e balanceamento . . . . . . . . . . . . . . 79
3.1.2.2 Mercado Intra-diário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.1.2.3 Mercados de Balanceamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.1.2.4 Introdução ao Despacho Econômico . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4 Aula 03: Pós-Graduação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1 Aula 03: Efeitos da Rede, Intra-day & Ancillary . . . . . . . . . 93
4.1.1 Aula 05 (Graduação): Despacho econômico: sistemas térmi-
cos, sistemas hidrotérmicos, impacto na rede . . . . . . . . . . . 97
4.1.1.1 Despacho Econômico: Sistemas Térmicos. . . . . . . . . . . . . . 97
4.1.1.2 Despacho Econômico: Sistemas Hidrotérmicos . . . . . . . . . . . 105
4.1.1.3 Despacho Econômico: Impacto da rede . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.1.1.4 Mercado Centralizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2 EXERCÍCIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.2.1 LIVRO [Rau, 2003] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.2.1.1 PROBLEMA DE DESPACHO SIMPLES . . . . . . . . . . . . . . 125
4.2.1.2 LEILÃO SIMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.2.1.3 PROBLEMA DE ENVIO COM LICITAÇÕES DE DEMANDA128
4.2.1.3.1 Análise sensitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.2.1.4 PROBLEMADE DESPACHO COMOFERTAS DE DEMANDA
E REDE DE TRANSMISSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2.2 APLICAÇÕES POR GAMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2.2.1 Problema do Despacho Econômico Simples . . . . . . . . . . . . . 134
4.2.2.2 Problema Simplificado de Leilão (Descentralizado e sem restri-
ções da rede) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.2.2.3 Problema de despacho com lances de demanda (centralizado e
sem restrições da rede) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.2.2.4 Problema do despacho econômico com lances de compra para
suprir demanda e restrições da rede de transmissão . . . . . . . 147
4.2.2.5 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5 Aula 04/parte 1 (Pós-graduação)/: ORGANIZAÇÃO DO SE-
TOR ELÉTRICO BRASILEIRO (SEB) . . . . . . . . . . . . . 154
6 Aula 04/parte 2 (Pós-graduação): ORGANIZAÇÃO DO SE-
TOR ELÉTRICO BRASILEIRO (SEB) . . . . . . . . . . . . . 165
7 Aula 05 (Pós-Graduação): Leilões . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8 Aula 06 (Pós-Graduação): Otimização Estocástica aplicada aos
Sistemas Elétricos (Professor Tiago André Teixeira Soares) . 177
8.1 Mercado Sequencial vs Mercado Conjunto . . . . . . . . . . . . . 177
8.2 Introdução de incerteza - Programação estocástica em merca-
dos conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.2.1 Mercado conjunto: incerteza de reserva operativa . . . . . . . . 184
8.2.2 Índices de perfomance: value of stochastic solution (VSS) e
expected value factor information (EVPI) . . . . . . . . . . . . . 190
8.2.2.1 Value of stochastic solution (VSS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.2.2.2 Expected value factor information (EVPI) . . . . . . . . . . . . . 194
8.2.3 Exercício 3: despacho de energia e reserva com turbinas eólicas 197
9 Aula 07 (Pós-Graduação): Otimização Robusta Aplicada aos
Sistemas Elétricos (Professor Tiago André Teixeira Soares) . 204
9.1 Otimização Robusta Adaptativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
9.2 Conjunto de incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9.2.1 Conjunto de incerteza poliédrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
9.3.1 Aplicação 01: Otimização robusta em mercados conjuntos . . . 211
9.3.2 Aplicação 02: Despacho de energia e reserva com turbinas eólicas215
10 Chance-Constrained Programming (Prof. Tiago André Tei-
xeira Soares) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
10.1 Chance-constrained Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
13
1 AULA 01: INTRODUÇÃO AOS MERCADOS DE ENERGIA ELÉ-
TRICA
Esta primeira abordagem será dividida em três partes.
1. Primeiro será realizado uma introdução bem geral do assunto a ser tratado, uma
apresentação dos principais aspectos;
2. Segundo, será realizado uma introdução geral dos mercados de energia;
3. Terceiro, uma introdução ao GAMS (GENERAL ALGEBRAIC MODELING SYS-
TEM ) que é uma ferramenta indicada e utilizada durante a abordagem.
1.1 Parte 1
Serão estudados os conceitos e modelos de mercados de energia elétrica, uma aplicação
de otimização para aplicações. O uso de otimização será a aplicação de programação
estocástica, programação robusta, Chance-Constrained optimization, etc.
Serão abordados os modelos de mercados, por exemplo, os modelos de mercados
centrados nos consumidores que se trata de uma tendência mundial, uma tentativa de
implementar estes modelos de mercado em que muitas pesquisas têm sido feita nessas
áreas voltadas ao consumidor. Estes modelos de mercado são conhecidos como mercados
no varejo, ou seja, a implementação de mercado no varejo (a nível mais próximo do
consumidor) de uma forma bem geral. O mercado no atacado, de maneira inicial
Será discutido um pouco do mercado brasileiro, quais as propostas para o sistema
elétrico brasileiro. O sistema brasileiro tem uma minuta em que tem sido implementado
um processo de modernização.
Até o final do curso, será abordado a programação estocástica voltada para mercado
de energia, programação robusta, chance-constrained, uma abordagem mais detalhada
do mercado no varejo (mais específico de mercados centrados no consumidor - P2P, como
exemplo), evolução dos mercados, etc.
Avaliações:
• Listas de exercícios a serem resolvidas (serão corrigidas);
• Análise de artigos científicos nas áreas de mercados de energias e afins: apresentação
de forma oral (review);
• Trabalho em grupo de um tema proposto em formato de artigo científico em grupo
de 2 ou 3 pessoas (trabalho final opcional). Caso se opte não fazer, fazer um
trabalho extra de artigo científica na área de mercado. Tópicos sugeridos serão ainda
apresentados.
14
Há os modelos de mercado e pode-se dizer que as questões econômicas são resolvidas,
quem vende para quem. Todavia, há o Operador Nacional do Sistema Elétrico (ONS)
estuda as restrições da rede que podem ser associados aos estudos de mercado (no mercado
atacadista com modelos de mercados associados).
Há um grande problema com a introdução dos mercados centrados no consumidor:
têm-se os prossumidores que está produzindo energia e consumindo ao mesmo tempo em
que pode gerar problemas para os outros consumidores e para distribuidora, mais voltado
ao mercado de varejo. Já há vários aspectos vinculados a micro-grids que afetam em
termos de mercados de energia elétrica.
Importante abordar como lidar com as incertezas nos mercados de energia, principal-
mente, com a contínua penetração das energias renováveis (eólicas e fotovoltaicas). Para
lidar com a incerteza deste tipo de recurso, leva-se em consideração o uso de otimização
estocástica, robusta e chance-constrained. Com a programação estocástica, pode-se levar
em consideração vários cenários existentes tratando a incerteza de produção de energia,
com a otimização robusta é possível considerar os piores casos (piores cenários) e com
chance-constrained faz-se, essencialmente, o tratamento com restrições.
Os outros mercados de outros países serão mais abordados do que o brasileiro. Diz-se
que o mercado brasileiro é pouco maduro em comparação a alguns outros mercados. Os
mercados mais estudados serão do Nord Pool Spot (mercados da Dinamarca, Noruega),
pois são os mercados mais adiantados, evoluídos. A Dinamarca possui um mercado que
está na frente dos diversos mercados, para citar: começaram desenvolver algumas vendas
que possui prossumidores (sandbox em que se cria um nicho em alguns lugares em que
se pode fazer alguns experimentos e se dá certo pode-se expandir para o sistema). A
Austrália também tem largado na frente com vários projetos diferentes e evoluídos em
termos de mercado.
Alguns mercados de ponta: Dinamarca, Noruega, EUA (vários tipos de mercado por
estado), Holanda (várias iniciativas de P2P, há certa parte da Holanda em que o consumidor
pode escolher de quem vai comprar a energia, ou seja, pode escolher qual produtor por
preferência - pelo preço, por região, pelo tipo de energia/fonte; outros países seguem o
mesmo modelo como Alemanha, Áustria).
As discussões que aparecem são relacionadasa quais as preferências que o consumidor
pode ter nesse tipo de mercado inovador. O Nord Pool, mercado europeu (normalmente
os mercados europeus são muito semelhantes com pequenas diferenças - adotam ou não
preços negativos, regras específicas - a otimização é realizada considerando o mercado
completamente separado da operação da rede), todavia um mercado completamente
diferente estão vinculados aos EUA, como exemplo do mercado da Califórnia em que já
consideram a otimização conjunta de serviços (serviços ancilares) como de sistema. Ou
seja, nos mercados europeus a otimização é considerada com mercados de forma separada
da operação da rede, enquanto nos EUA essa otimização é de forma conjunta considerando
15
na otimização aspectos de serviços ancilares e a operação da rede elétrica.
Os mercados de energia, além de características da matriz elétrica e energética, depen-
dem de muitos outros fatores. Depende da regulação, como exemplo, em última instância
a aprovação ocorre dependendo de interesses políticos que vão além de aprovações da
ANEEL. A ideia de taxação do sol é algo claro: havia discussões técnicas da ANEEL
com várias propostas, há análises do impacto regulatório da ANEEL, todavia, devido
a interesses políticos, a decisão final até o momento foi empregada pelo presidente. Ou
seja, há uma diferença entre discussões técnicas e influência considerável nessas decisões
por questões políticas. Cada país e cada operador, tem o seu próprio mercado, pois há
vários fatores que influenciam nos aspectos. Neste contexto, o MME (Ministério de Minas
e Energia) cuida de guiar as políticas energéticas. Essas discussões irão voltar, pois há
um grande crescimento dessas gerações distribuídas intermitentes. Caso assim não seja,
há uma grande possibilidade em um tempo maior de que se enfrente problemas graves
técnicos que vão impor uma decisão técnica de forma obrigatória para operação do sistema.
Um primeiro problema a ser enfrentado nos sistemas de distribuição é apontado como
congestionamento desses setores, bem como dificuldades de balanço entre carga/geração
(problema de tensão). A inserção de harmônicos também serão cada vez mais recorrentes
nos sistemas de distribuição com o passar dos anos.
Existem algumas divisões. Há o day-ahead market, intra-day e o real time market. O
day-ahead olha para 24 horas antes em que se prepara a operação do dia seguinte. O
intra-day que, dependendo do tipo de mercado, pode ser hora a hora, dia a dia ( ajuste
de mercado), ou simplesmente contínuo. E o mercado in real time, antes do intra-day de
energia, isto é, de 1 hora a 5 minutos que entra na questão não só da energia, mas também
dos serviços ancilares.
1.2 Parte 2
Pela ementa, será abordado sobre:
• matriz energética;
• histórico do setor elétrico brasileiro;
• modelo institucional do setor elétrico brasileiro;
• estudo de casos
De forma mais específica, o conteúdo será de:
1. Histórico sobre reestruturação da indústria de energia elétrica;
2. introdução aos modelos estruturais e regulatórios dos sistemas de energia elétrica,
com ênfase no sistema elétrico brasileiro;
16
3. etapas de reestruturação da indústria de energia elétrica no Brasil e a composição
do Sistema Interligado Nacional;
4. agentes da indústria de energia elétrica no Brasil e seus segmentos;
5. Tarifação da energia elétrica;
6. Mercados Livre e Cativo;
7. O serviço de transporte de energia e a formação do preço do serviço de transporte;
8. Regras de comercialização de energia e leilões de energia elétrica;
9. Ambiente de contratação regulada, ambiente de contratação livre;
10. Serviços ancilares;
11. Regulação do serviço de transmissão.
Ao se falar de mercado de energia, acaba se adentrando muito em planejamento
energético. Isso ocorre, pois no Brasil o PLD (preço de curto prazo) é formado por um
modelo computacional a partir da existência do despacho centralizado (quem e quanto é
gerado), ou seja, existe o ONS que executa esses modelos computacionais com planejamento
do sistema para obter o Preço de Liquidação das Diferenças (PLD), e não é preço spot.
O mercado livre começou com potência limite instalada de 3MW e poderia comprar
quem estivesse com 500MW ou acima, desde que (nesse intervalo de 500kW até 3MW)
comprasse de fontes incentivadas (renováveis), ou seja, o mercado livre era muito limitado.
Já está havendo redução desse limite, hoje já é 2MW e tem a tendência de ser cada vez
mais reduzido. Com isso, está havendo uma redução do mercado livre e as empresas
têm-se tornado (empresas de maior porte tem migrado para o mercado livre) com cresci-
mento expressivo, a partir daí aparecem mais comercializadores de energia e dentro da
comercializadora de energia, os preços são formados por modelos que traz a necessidade
de profissionais que entendam esses modelos para executá-los e fornecer suporte à decisão,
além de enterder das regras do setor.
Serão abordados vários aspectos em três módulos:
1. Módulo 1: desafios e dificuldades de implantação de mercados de energia elétricos
nos SEPs;
2. Módulo 2:
• breve histórico da formação de mercados de Energia Elétrica;
• Modelos de Mercados de Eletricidade;
3. Módulo 3:
17
• participantes;
• tipos e horizontes de mercados;
1.2.1 Desafios e dificuldades
Os sistemas elétricos possuem diversas dificuldades e peculiares que tornam difícil a
modelagem e adequação para estudo de mercados de energia elétrica.
Um dos principais desafios está relacionado ao atendimento obrigatório e constante
dos consumidores por intermédio de um balanço adequado entre carga/geração em que
há cada vez mais a exigência de continuidade constante da entrega de energia elétrica.
O desbalanço entre carga/geração pode influenciar na frequência do sistema que levar a
problemas graves, até mesmo blackout.
Para exemplificar, uma pertubação ocorreu em 21 de março de 2018 com o desligamento
por intermédio de um disjuntor desligando a interligação de barras na subestação do
Xingu (atuação da proteção de forma incorreta) ocorrendo a variação de frequência dos
subsistemas. Observam-se variações crescentes da frequência seguido de uma sequência de
eventos até levar o sistema à instabilidade. Os sistemas norte e nordeste, nesta ocasião,
foram desligados do Sistema Interligado para evitar o colapso total do sistema. Este
colapso no sistema envolveu 35 agentes com 7 de transmissão, 13 de distribuição e 15 de
geração.
Outro desafio é que as leis físicas do sistema (não linearidades) e interligação dos
sistemas de transmissão, faz com que nas redes de transmissão e distribuição não se
possibilita saber a origem da produção da energia elétrica, ou seja, não há como entiquetar
a energia gerada.
Outra característica importante dos desafios existentes, é que o armazenamento em
grande escala ainda não é considerado econômico, mesmo que nos últimos anos tenha
havido um decréscimo constante do custos associados. Já há países que têm usados
sistemas de armazenamento de energia, como o caso da Austrália que conseguiu melhorar
a performance desta forma. Além disso, há dificuldade de acréscimo imediato de carga
visando interesses técnicos.
Uma outra característica importante é a baixa elasticidade do preço-demanda
no curto prazo, ou seja, diz o quanto que a variação de preços impacta na quan-
tidade demandanda. Quando se fala em quantidade demandada, diferente da demanda
que é toda a curva. A elastidade do preço-demanda diz respeito à variação percentual da
quantidade demandada sobre a variação percentual do preço. Assim, de acordo com essa
razão, pode-se ter uma demanda perfeitamente inelástica (elasticidade nula), elasticidade
unitária (a variação do preço não vai afetar tanto a quantidade demandanda, afeta de
forma igual), demanda elástica finita, demanda elástica infinita e uma demanda inelástica
(módulo da elasticidade entre 0 e 1 ou demanda pouca elástica).
18
Elasticidade da demanda = % variação de Q% variação de P (preço)
% variação de Q: quantos porcentos que a quantidade variou em relação à quantidade
anterior;• Demanda muito elástica significa dizer que para uma dada mudança no percentual
do preço provoca uma grande mudança na quantidade demandada.
• Demanda muito inelástica: mesmo que se provoque uma mudança muito acentuada
no preço, não há mudança acentuada na quantidade demandada. Dada uma mudança
percentual do preço, tem-se uma pequena mudança na quantidade demandada.
Um exemplo é mostrado para o caso da gasolina pela figura abaixo. A relação entre os
índices calculados para variação de demanda percentual e variação do preço percentual
dá um valor de 0,4 que é menor que 1 (ou seja, inelástico). A elasticidade unitária diz
respeito a mesma variação de preço e de demanda. À medida que se deixa de ter uma
relação entre preço e demanda, aproxima-se da um caso perfeitamente inelástico em que
não há relação entre preço e demanda.
Essas observações de baixa elasticidade do preço demanda para energia é no curto-prazo,
pois caso a concessionária resolve triplicar o preço da energia o consumidor não há como
ter alguma reação imediata. No longo prazo, o consumidor poderia tentar tomar alguma
19
medida, ou substituir a fonte de energia da concessionária por qualquer outra fonte de
energia, como exemplo, a decisão de comprar um gerador próprio. A instalação de energia
solar com bateria por exemplo, entre outros.
A área de mercados de energia elétrica é uma intercessão entre engenharia elétrica e
economia.
1.2.2 Histórico e modelos de mercado de energia
1.2.2.1 Breve histórico da formação dos Mercados de Energia Elétrica (EE)
Diversos países empreenderam significativas reformas para a criação de um Mercado
de Energia Elétrica. O primeiro país que implementou um Mercado de energia elétrico é
o Chile, seguido da Inglaterra, países nórdicos (Austrália e Nova Zelândia), estados da
Califórnia.
• Chile: primeiras ideias de mercados de EE (1980s) - na época era vivido uma influência
forte de modelos liberais com a Inglaterra (grande país influenciador com seu regime
liberal) e o Chile enviou diversos pesquisadores (incluindo da área de energia) para
Chicago estudar/trabalhar com economistas liberais. Ao voltarem para o Chile,
implementaram a ideia de um mercado de energia elétrica. Nesse período, havia uma
necessidade crescente de investimentos por parte do governo em áreas consideradas
essenciais (obrigação do estado prover): comunicações, transporte (portanto, cada
país tem seu transporte aéreo, pois era função do governo), saneamento, energia.
Porém, diversos países tinham dificuldades de manterem os investimentos básicos
(caso do Brasil, teve um sério problema em 2001 com o racionamento) e necessários
em infraestruturas com investimentos mais difíceis no setor elétrico, com isso, havia
uma série de dúvidas estruturais sobre a implementação dos mercados de energia
elétrica e o Chile conseguiu ser pioneiro.
• Reino Unido: privatiza o setor elétrico (1990) - A partir do Chile, a Inglaterra seguiu
de exemplo.
• Escandinávia: abertura do setor (1991); Austrália, Nova Zelândia;
• Califórnia (1996) - a Califórnia passou por uma crise em 2001 já implementando
modelo de mercado e tendo uma série de dificuldades.
• Seguido de outros mercados/outros países;
• Texas, PJM (EUA - mercados diferentes: os estados são independentes, logo, possuem
seus próprios sistemas e foram se juntando. O PJM, por exemplo, envolve alguns
estados americanos);
20
• Brasil: na década de 90, foi contratada uma consultoria inglesa em que foi entre-
gado um documento chamado Reestruturação do Setor Elétrico Brasileiro em que
havia várias diretrizes (uma delas era que em poucos anos, houvesse a escolha dos
consumidores de pequeno porte). Vários estudiosos brasileiros se reuniram para
estudar e começaram a implementar algumas coisas ainda na década de 90, porém, o
Brasil passou pelo racionamento (2001) que mudou a perspectiva e tornou necessária
uma reforma mais rápida. Assim, em 2004 surgiu um novo modelo do setor elétrico
brasileiro com uma série de alterações implementadas que culminaram na base do
que existe ainda hoje.
• Nord Pool:
– 1991: começou a desregulamentar o mercado de eletricidade da Noruega;
– 1996: Noruega e Suécia criaram Nord Pool;
– 1998: Finlândia e o oeste da Dinamarca entraram no Nord Pool;
– 2000: leste da Dinamarca entra no Nord Pool;
– 2002: O mercado spot no Nord Pol foi estabelecido como um mercado separado;
– 2009: Houve a inserção/junção dos mercados de Alemanha e Escandinávia;
– 2009: começaram a aceitar preços negativos;
– 2013: Todos os países bálticos se juntaram ao Nord Pool (Estônia - 2010,
Lituânia -2012, Latvia -2013).
1.2.2.2 Modelos de Mercado de Eletricidade
Os mercados fortemente regulados, em geral, possuem uma estrutura verticalmente
integrada, ou seja, empresa controla da geração ao atendimento ao consumidor final,
além disso, o preço da energia (transmissão e distribuição) são definidos por órgãos
governamentais (era o que o Brasil tinha e que gerava muitos problemas, um dos problemas
era o uso em muitas vezes das decisões por questões políticas).
Assim, emergiu a abertura dos mercados de energia que empregou a competição na
compra e venda de energia com diferentes empresas (agentes) atuando com leis de livre
mercado por intermédio de um órgão regulador.
Na Figura 1 é mostrado o exemplo dos EUA com estados independentes. Pela figura
abaixo é possível observar os locais em que tem mercado regulado de gás e eletricidade
(branco), mercados de eletricidade sem regulação(azul escuro), mercados de gás sem
regulação (azul claro) e mercados desregulamentados de eletricidade e gás (azul claro e
azul escuro mesclado).
21
Figura 1 – Exemplo dos EUA
Os modelos de mercado (Electricits Markets) consideram os diferentes estágios de
maturidade, dados por:
Modelo 1: Monopólio
Ligado ao mercado fortemente regulamentado (regulado) com um único fornecedor
de energia por região em que o consumidor não escolhe o seu fornecedor.
Esse era o caso da CEMIG no qual desempenha o seu papel com geração, transmissão
e distribuição, como mostrado à esquerda da Figura 2. Poderia ser como dado à
direita da Figura 2 com diferença muito pequena. Há diferença passa a ser que
o setor de geração e transmissão é desempenhado por uma empresa, enquanto da
distribuição ao consumidor passa a ser de responsabilidade de uma outra empresa.
De toda forma, a estrutura é verticalizada em que uma única empresa desempenha
todos os papéis (técnico e comercial).
22
Figura 2 – Modelo de Mercado Monopólio
A CEMIG foi obrigada a separar as empresas entre os setores desde geração/transmis-
são para a distribuidora. Há a CEMIG GT e a CEMIG D e ela não pode diretamente
comprar dela mesma, só podendo realizar a comprar por meio de leilão.
Na época, era considerado mais eficiente por vários motivos, porém tinha uma série de
problemas: falta de transparência, comunicação interna falha em grandes empresas.
A eficiência pode ser exemplificada: uma distribuidora que detém determinada região
já possui todas suas instalações realizadas com custos iniciais já amortizados. Porém,
se se deseja criar uma empresa para competir, há uma série de desvantagens que
não contribuem para a competição em termos de investimentos.
Portanto, havia uma série de motivos para manutenção como monopólios, entre
eles: a construção de um sistema de potência é cara, competição na transmissão e
distribuição não é economicamente eficaz (surgem monopólios de forma natural),
não tem como compartilhar o sistema elétrico, existência de monopólios públicos
e/ou privados.
O retorno do investimento dos monopólios eram dados com os reguladores deter-
minando a tarifa de modo que as empresas de eletricidade pudessem recuperar os
custos operacionais (combustível, pessoal, etc), custos de investimentos (geradores,
linhas, etc.), pagamento justo como retorno aos investidores.
23
Assim, uma empresa em monopólio acaba sendo um investimento de baixo risco
(investimento praticamente garantido), visto que não há competição e não há interesse
que a empresa quebre(prejuízo é muito grande para os usuários), com isso, o retorno
de investimento pode ser baixo se comparado a outros investimentos.
A ineficiência desses monopólios surge da inexistência de competição; não há ne-
cessidade de eficiência para manutenção do mercado (por exemplo, se houver mais
funcionários do que o necessário não há problema desde que não seja repassado o
custo): o agente recebe mais caso invista mais, não há penalidade para construção de
”elefantes brancos” (ao se construir uma LT, pode-se sobredimensioná-la), os altos
custos são repassados para os consumidores como altos preços de eletricidade; não
há motivos para que uma empresa quebre; as tarifas são mais caras do que poderiam
ser.
Aos usarem desses monopólios, os governos precisam manter as tarifas baixas para
não desagradarem eleitores, com isso, as empresas ficam sem dinheiro suficiente para
reinvestir; o governo pode acabar usando as tarifas mais altas e usarem o lucro extra
para outros fins e, nesta ocaisão, as tarifas são ineficientes e desencoraja o consumo
da eletricidade; os governos podem forçar as empresas a fazerem investimentos
desnecessários.
Dessa forma, alguns passos foram tomados em termos de modelos de mercados. Primei-
ramente, foram realizadas privatizações, ou seja, as responsabilidade foram transferidas
para o setor privado. Houve as desverticalização (separação entre geração, transmissão,
distribuição e comercialização): exemplo da CEMIG que foi uma excessão, pois não
precisou da divisão das empresas; ela possui uma holding única e as empresas separadas em
que elas não podem comprar entre si sem ser com uso de leilão. Existência de competição
na produção e comercialização visando eficiência e modicidade tarifária. Houve o livre
acesso à transmissão e distribuição com garantia de competição e coibir a corrupção.
Esses passos para novos modelos de mercado são bem mostrados pela Figura 3.
24
Figura 3 – Passos para surgimento de novos modelos de mercado
Com essas mudanças ocorrendo, tem-se outro modelo.
Modelo 2: Monopsônio
Com este modelo, é introduzido a competição na geração, como mostrado à esquerda
na Figura 4. Nessa ocasião, continua a desverticalização, porém, com competição
na geração é gerada uma competição no mercado atacadista. Levando-se em conta
a introdução de produtores independentes de energia (PIE) sendo garantido da
mesma forma o livre acesso à transmissão e distribuição,essa competição é gerada
no mercado atacadista e na distribuição. Pela direita da Figura 4, observam-se os
produtores independentes de energia garantindo o livre acesso à transmissão e a
distribuição, com a possibilidade também de várias distribuidoras sendo geradas e
cada uma com sua região de concessão.
Figura 4 – Competição introduzida na geração
25
Modelo 3: Competição no Atacado
Aumentando a competição no atacado (no setor de transmissão), tem-se a Figura 5
que é o caso do Brasil. Todos geradores podem vender para esse mesmo mercado
atacadista e existem os distribuidores, logo, os agentes (nos sistemas de transmissão)
são ilhados, pois há monopólios naturais logo em seguida. Os agentes são obrigados
a comprar no leilão em que dizem o tanto que querem comprar e o governo compra
no leilão da quantidade especificada nos geradores. Ao mesmo tempo, há a existência
dos grandes consumidores que são definidos para seu tamanho de potência em que
se têm também consumidores incentivados (especiais, a partir de 500kW podendo
comprar no mercado livre - ACL). Para o agente, não há alteração e a regulação
dessa conta é realizada anualmente pela ANEEL.
Quando o consumidor tem os requisitos mínimos e decide se tornar livre, ele pode
comprar a energia diretamente na geração (por meio de leilão) ou então pode contratar
uma comercializadora para representação comprando no mercado atacadista. Existem
empresas criando seu próprio departamento de comercializadora de energia e outras
preferem trabalhar contratando essa comercializadora em separado.
Figura 5 – Competição no atacado
Modelo 4: Competição no Varejo
O último modelo ocorre aumentando ainda mais a competição considerando que
também ocorre competição no mercado de varejo, como mostrado na Figura 6. Os
grandes consumidores negociam a energia ou diretamente na geração ou então por
26
meio de comercializador no mercado atacadista, como no modelo anterior, só que
agora também há competição que ocorre no mercado varejista em que o consumidor
de pequeno porte pode decidir de quem comprar a energia.
As empresas de distribuição continuam trabalhando e podem ou não ter uma
participação no mercado, mas é separado o serviço da distribuidora (que é deixar a
rede disponível) da questão de mercado.
Figura 6 – Competição no varejo
A venda no varejo no Brasil é possível, todavia dificultada. Nos EUA existem
a mesclagem de estados que possuem competição no varejo e que não há essa
competição no varejo.
1.2.3 Participantes, Tipos e Horizontes de Mercado de EE
Os tipos de mercado são, como mostrado na Figura 7, mercados de energia, mercados
de capacidade e mercados de serviços ancilares. Existem lugares em que esses mercados
são integrados, no caso do Brasil os mercados de energia e de capacidade são integrados.
Mercados de capacidade está relacionado à potência instalada e confiabilidade, mercados
de energia vinculada à própria energia e mercado de serviços ancilares são serviços de
sistemas (como exemplo encargos de serviços de sistemas).
27
Figura 7 – Tipos de Mercado
Os horizontes de mercados, como mostrado na Figura 8, são mercados futuros (parte
financeira: derivativos de energia, contratos de longo prazo e é esperado que os consumidores
de energia façam estimativa das suas demandas e negociem boa parte no longo prazo -
estuda bolsa de mercadoria futura); a parte mais operacional de intra-diário, day-ahead e
balanço.
Figura 8 – Horizontes de Mercado
Na Figura 9, pode-se realizar uma comparação entre um operador de mercado e o que
seria um operador de sistema, ou seja, o que é de domínio da CCEE e o que seria domínio
do ONS. No domínio da CCEE, o primeiro mercado é o day-ahead (negocia hoje para o
dia seguinte) em que se negocia hoje (contrata hoje) para próximas horas do dia seguinte
(por exemplo para as 24 horas do dia seguinte) em geral sendo realizado por leilão. Há
também ainda um mercado intra-day (intra-diário / dentro do dia) fazendo planejamento
28
da geração (schedule) e um commitment (leiloado ou não). O operador de comercialização
observa se há respeito de tudo que é preciso no sistema, senão, há um mercado de balanço
que é condição do operador do sistema em que ele pode acionar até mesmo um leilão para
completar o balanço.
Antes do balanço ainda, têm os serviços ancilares que são de responsabilidades do
Operador Nacional do Sistema.
Próximo do tempo real, pode ser difícil a negociação, visto que a energia pode ir ficando
cada vez mais cara.
Figura 9 – Horizontes de Mercado
Os participantes são as empresas de geração (GENCOs), de transmissão (TRANSCOs),
distribuição (DISCOS). Tem-se o operador independente do sistema (ISO) que é um termo
genérico que se subdivide em Operador do sistema de transmissão (TSO) e Operador de
Mercado (MO). De forma mais específica para os operadores de transmissão (TSO) - no
caso do Brasil é o Operador Nacional do Sistems (ONS), bem como um ISO. Existem casos
em que o TSO é também uma TRANSCOs, ou seja, o operador do sistema é também uma
empresa de transmissão, isso é possível, pois o transmissor não possui viés de lucro em
que ele deve deixar o sistema operando, logo, pode ser dado a ele o encargo de operar o
sistema. Assim também, existe o operador de mercado (MO).
Com isso, existem como participantes também os grandes consumidores, pequenos
consumidores, comercializador, agregador e regulador. O órgão regulador no Brasil é a
ANEEL.
1.3 GAMS (ALGEBRAIC MODELING SYSTEM )
É um aplicativo ou modelo algébrico para modelagem de sistema. Permite a modelagem
de problemas de otimização lineares, não lineares, inteiros,etc. Este software permite a
29
resolver problemas de grande escala.
O foco com este aplicativo é na modelagem computacional ao invés do que o foco
matemático. A modelagem pode ser realizado do jeito que for melhor. Um ponto negativo
do GAMS é o tratamento de dados, portanto, muitas vezes é usado Matlab para tratamento
dos dados (entrada, processamento de dados é mais feito em outro software).
Têm-se os dados de entrada de dados do GAMs, tem-se o modelo no GAMs, ele
vai recorrer a um solver e devolve o resultado. Com isso, tem-se uma indepedência da
modelagem e operação do sistema. Há independência também entre o modelador e o
solver. Porém, não há liberdade de se mudar para um solver que seja melhor.
1. Modelo de Transporte: Imagina-se que se tenham vários lugares de produção
(fábricas produzindo) de produtos com vários destinose a pergunta: qual fonte e
qual destino? A princípio eu levo da fábrica 1 para todos os destinos, da fábrica 2
para todos os destinos e da fábrica 3 para todos os destinos. Obviamente, deve-se
saber qual o custo cada um dos envios dos produtos (cij) e deve ser realizado uma
otimização. Em cada destino, há uma demanda a ser atendida e em cada fonte tem
um limite de produção.
• Formulação Matemática:
Índices: i = plantasj = mercados
Dados:
si = suprimento do produto da planta i
di = demanda do produto no mercado
cij = custo por unidade de transporte entre planta i e mercado j
Variáveis de decisão:
30
• xij: quantidade de produto a ser transportado da planta i para o mercado j
xij ≥ 0 para todo i, j
min Ct =
s∑
i=1
D∑
j=1
cij · xij
Sujeito às restrições abaixo:
∑D
j=1 xij ≤ si para todo i∑s
i=1 xij ≥ Dj para todo j
2. Modelo de Transporte - Exemplo Numérico: Abaixo é dado um exemplo
numérico com duas cidades que produzem (Seattle, San Diego) e três cidades destinos
(New York, Chicago, Topeka). A cidade de Seattle consegue produzir 300 e San
Diego consegue produzir 600. A demanda é dada com requerimento de 325 de Nova
York, 300 de Chicago e 275 de Topeka. É fornecido o custo de cada caminho por
1000 milhas. Observe que há um custo de 2.5 de Seattle para Nova York, um preço
mais barato de Seattle para Chicago (1.7), Seattle para Topeka com preço de 1.8.
De San Diego para Nova York tem um preço caro (2.5), de San Diego para Chicago
de 1.8 e de San Diego para Topeka com preço de 1.4. Dados:
O custo por milha é 90$/milha. No GAMs, como dado pela figura abaixo, pode-se
dividir o modelo com entrada dos dados, variáveis, equações, montagem do modeo,
solução e liberação de resultados.
31
1 Sets
2 i plantas / seattle ,san - diego /
3 j mercados / new -york , chicago , topeka /;
4
5 Parameters
6 a(i) capacity of plant i in cases
7 / seattle 350
8 san - diego 600 /
9
10 b(j) demand at market j in cases
11 / new -york 325
12 chicago 300
13 topeka 275 /;
14
15 Table d(i,j) distance in thousands of miles
16 new -york chicago topeka
17 seattle 2.5 1.7 1.8
18 san - diego 2.5 1.8 1.4;
19
20 Scalar f freight in dollars per case miles /90/;
21
22 Parameter c(i,j) transport cost in thousands of dollars per case;
23
24 c(i,j) = f*d(i,j) /1000;
25
26 Variables
27 x(i,j) quantidade transportada
28 z custo total de transporte ( x1000US$ );
29
30 Positive Variable x;
31
32 Equations
33 cost define objective function
34 supply (i) observe supply limit at plant i
35 demand (j) satisfy demand at market j;
36
37 cost .. z =e= sum ((i,j),c(i,j)*x(i,j));
38 supply (i).. sum(j,x(i,j)) =l= a(i);
39 demand (j).. sum(i,x(i,j)) =g= b(j);
40
41 Model transport /all /;
42
43 solve transport using lp minimizing z;
44
45 display x.l, x.m;
Figura 10 – Comandos do GAMS - 1
3. Modelo de Despacho Econômico - Modelo Linear
Nesse modelo, há vários geradores térmicos conectados em uma única barra (modelo
barra única).
32
Nessa ocasião, o desejo é realizar um despacho econômico, ou seja, há n produtores,
determinada carga a ser atendida e busca-se o menor custo.
Esse problema, nesta ocasião, é um problema trivial (um problema de ordem de
mérito), um problema linear com limites das térmicas sendo zero. Pode-se realizar
visualmente escolhendo as menores em ordem crescente.
• A formulação matemática:
min Ct =
ng∑
i=1
Ci(Pi)
Sujeito às restrições: D −
∑ng
i=1 Pi = 0
P i ≤ Pi ≤ P i, i = 1, ..., N
Os limites máximos e mínimos são restrições de canalização.
• Dados do sistema:
A demanda a ser atendida é de 780MW.
Os dados das unidades geradoras:
33
Observe que a solução é trivial em que se tem a produção mínima e pode-se
escolher todos gerando o mínimo necessário até atender à demanda, ao final, se
necessário, complementa-se com o mais barato.
1 Set Gen / g1*g3 /;
2
3 Scalar demand / 780 /;
4
5 Table data (Gen ,*)
6 C Pmin Pmax
7 G1 100 120 530
8 G2 150 30 180
9 G3 300 80 250;
10
11 Variables P(Gen),OF;
12
13 Equations eq1 , eq2;
14
15 eq1 .. OF =e= sum(Gen , data(Gen ,’C ’)*P(Gen));
16
17 eq2 .. sum(Gen , P(Gen)) =g= demand ;
18
19 P.lo(Gen) = data(Gen , ’Pmin ’);
20 P.up(Gen) = data(Gen , ’Pmax ’);
21
22 Model LED / eq1 , eq2 /;
23
24 solve LED using lp minimizing OF;
25
26 display P.lo , P.l, P.up , P.m
Figura 11 – Comandos do GAMS - 1
• Abaixo tem-se o relatório de saída do GAMS.
Pode-se observar que foi usado CPLEX da IBM, o valor da função objetivo é de
102500. O custo marginal foi de 150, ou seja, a segunda térmica foi acionada e
a terceira não foi acionada.
Pode-se observar o nível das variáveis, a primeira variável bate no limite superior,
170 foi gerado da segunda e não se bateu no limite superior. Ficou com 10 de
folta na segunda geração. O custo marginal de cada uma das gerações.
4. Despacho Econômico de forma não linear:
• Dados dos geradores:
Observe que há 5 geradores. Para cada unidade há a, b e c com potência
mínima e potência máxima.
34
• Formulação Matemática: O que altera é que o custo varia de forma quadrá-
tica, ou seja, há um custo fixo de acionamento da térmica, um custo linear e
um custo quadrático.
min Ct =
ng∑
t=1
(ai · P 2i + b · Pi + c)
Sujeito às restrições: D −
∑ng
i=1 Pi = 0
P i ≤ Pi ≤ P i, i = 1, ..., N
1 Set Gen / g1*g5 /;
2
3 Scalar demand / 400 /;
4
5 Table data (Gen ,*)
6 a b c Pmin Pmax
7 G1 3 20 100 28 206
8 G2 4.05 18.07 98.87 90 284
9 G3 4.05 15.55 104.26 68 189
10 G4 3.99 19.21 107.21 76 266
11 G5 3.88 26.18 95.31 19 53;
12
13 Variables P(Gen), OF;
14
15 Equations eq1 , eq2;
16
17 eq1 .. OF = e = sum(gen , data(gen , ’a ’)*P(gen)*P(gen)+data(gen , ’b ’)*P(gen)*P(gen)+
data(gen , ’c ’)*P(gen)*P(gen));
18
19 eq2 .. sum(gen , P(gen)) = g = demand ;
20
21 P.lo(Gen) = data(Gen , ’Pmin ’);
22 P.up(Gen) = data(Gen , ’Pmax ’);
23
24 Model LED / eq1 , eq2 /;
25
26 solve ED using qcp minimizing OF;
27
28 // Alternativa : solve ED using nlp minimizing OF;
29
30 display P.lo , P.l, P.up , P.m
Figura 12 – Comandos do GAMS - 1
35
2 Exercícios para entregar: Introdução à otimização por meio do GAMS
Neste documento será descrito de forma resumida sobre algumas aplicações no soft-
ware GAMS (Generel Algebraic Modeling System). Esse é um aplicativo que permite
modelagem, análise e resolução de diversos problemas de otimização. Trata-se de uma fer-
ramenta muito versátil para solucionar problemas de programação matemática [Dias, 2021,
Castillo et al., 2002].
Uma das principais vantagens de se trabalhar com o GAMS é a portabilidade nas
dimensões do problema, ou seja, possui grande capacidade de ir da solução de um
problema de pequena dimensão (dezenas de variáveis e restrições) a problemas maiores
(milhares de variáveis e restrições) sem alterar de maneira significativa código implementado.
Outro fator importante e vantajoso é a separação entre o processo de modelagem e o
processo de solução. O usuário deve ser capaz de montar uma modelagem consistente e o
GAMS poderá usar qualquer um dos otimizadores que possui para obtenção da solução
[Dias, 2021, Castillo et al., 2002, Rosenthal, 2004].
Tabela 1 – Alguns comandos do GAMS necessários
Comando Objetivo
SET(S) Declara um conjunto de índices e os próprios índicesde vetores
SCALAR(S) Declara escalares e, opcionalmente, pode-se atribuir valor a eles
PARAMETERS(S) Declara os vetores de dados e, opcionalmente, pode-se atribuir valores a eles
TABLE(S) Declara e atribui valores a matriz de dados
VARIABLE(S) Declara as variáveis de otimização e seus caracteres dando-lhes um limite superior e inferior
EQUATION(S) Declara as restrições e a função objetivo do problema
MODEL(S) Declara os modelos e as restrições
SOLVE(S) Indica ao GAMS que utilize um otimizador determinado para resolver o modelo
DISPLAY(S) Indica que os resultados devem ser apresentados no ficheiro de saída do GAMS
[Castillo et al., 2002]
2.1 Aplicações de Programação Linear (PL)
2.1.1 Problema de Transporte
Para o problema de transporte, de forma generalista, imagina-se que um certo produto
deve ser enviado em determinadas quantidades u1, u2, . . . , um, desde cada uma de m origens
e recebidos nas quantidades v1, v2, ..., vn em cada um dos n destinos. O problema consiste
em determinar as quantidades xij que devem ser enviadas da origem i ao destino j, de
forma a minimizar o custo do frete [Castillo et al., 2002].
As variáveis do problema são:
1. Dados
m: número de origens
n: número de destinos
36
ui: quantidade que deve ser enviada da origem i
vi: quantidade a ser recebida pelo destino j
cij: custo de envio de uma unidade de produto desde a origem i até o destino j
2. Variáveis:
xij: quantidade que se envia da origem i até o destino j. Caso as variáveis seja
não-negativas:
xij ≥ 0; i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , n
Implica afirmar o produto terá entrega pré-definida das diferentes origens aos destinos.
No entanto, outras hipóteses podem ser consideradas. Como exemplo, não se poderia
limitar o sinal das variáveis xij�R caso não se desejasse predeterminar quais os pontos
de início e de final.
3. Restrições - As restrições do problema são:
n∑
j=1
xij = ui; i = 1, . . . ,m
m∑
i=1
xij = vj; j = 1, . . . , n
O primeiro conjunto de condições indica que a quantidade do produto que parte da
origem i deve coincidir com a soma das quantidades que partem dessa origem para
os diferentes destinos j = 1, . . . , n. O segundo conjunto de condições garante que
o total recebido no destino j correspondem à soma de todas as quantidades quem
chegam a esse destino e partem das diferentes fontes i = 1, . . . ,m.
4. Função objetivo a ser otimizada:
No problema de transporte, normalmente, o interesse é minizar os custos de envio
(soma dos custos de envio por unidade de produto multiplicada pelas quantidades
expedidas).
Z =
m∑
i=1
n∑
j=1
cijxij
37
Figura 13 – Esquema do problema de transporte
Aplicação com Problema 1 - enunciado: Considere o problema de transporte
como mostrado pelo esquema da Figura 13 com m=3 (3 origens) e n=3 (3 destinos), e
u1 = 2, u2 = 3, u3 = 4; v1 = 5, v2 = 2, v3 = 2
Neste caso, o sistema pode ser dado por:
Cx =

1 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 1
1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 1 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1

·

x11
x12
x13
x21
x22
x23
x31
x32
x33

=

2
3
4
5
2
2

(2.1)
xij ≥ 0; i, j = 1, 2, 3
Em que as três equações acima estabelecem a conservação do produto nas três origens
e as três últimas igualdades estão relacionadas com a conservação do produto nos três
destinos.
Os valores de custo são dados por:
c =

1 2 3
2 1 2
3 2 1

Encontrar a solução ótima do problema.
38
SOLUÇÂO: O problema a ser otimizado utilizando a ferramenta GAMS é dado
abaixo:
minCt = x11 + 2x12 + 3x13 + 2x21 + x22 + 2x23 + 3x21 + 2x32 + x33
Sujeito às restrições :
x11 + x12 + x13 = 2
x21 + x22 + x23 = 3
x31 + x32 + x33 = 4
x11 + x21 + x31 = 5
x12 + x22 + x32 = 2
x13 + x23 + x33 = 2
xij ≥ 0; i, j = 1, 2, 3
Em um primeiro instante, será implementado o processo de otimização usando a
ferramenta linprog por intermédio do software MatLab. Na Figura 14 é mostrada a
documentação da função que será utilizada.
Figura 14 – Documentação do linprog
Toda a implementação em MatLab é mostrada na Figura 15 de acordo com o equacio-
namento da modelagem que já foi realizado.
39
Figura 15 – Otimização do problema de transporte usando Matlab com linprog
1 clc
2 clear all
3 format short
4 %
5 Ct = [ 1 2 3;
6 2 1 2;
7 3 2 1;]
8
9 Aeq =[1 1 1 0 0 0 0 0 0;
10 0 0 0 1 1 1 0 0 0;
11 0 0 0 0 0 0 1 1 1;
12 1 0 0 1 0 0 1 0 0;
13 0 1 0 0 1 0 0 1 0;
14 0 0 1 0 0 1 0 0 1;]
15
16 beq = [2; 3; 4; 5; 2; 2]
17
18 A = [];
19 b = [];
20
21 LB = [ 0 ; 0; 0 ; 0; 0 ; 0; 0; 0; 0];
22 UB = [ inf ; inf; inf ; inf; inf ; inf; inf; inf; inf]
23
24 [X,FVAL ,EXITFLAG ,OUTPUT , LAMBDA ] = linprog (Ct ,A,b,Aeq ,beq ,LB ,UB)
25
26 disp(’Vetor de solucao :’)
27
28 disp(’Valor da Funcao Objetivo :’)
29
30 FVAL
O resultado da otimização via MatLab é mostrado na Figura 16.
Figura 16 – Resultado de saída por MatLab
Agora, com uso do GAMS deve ser implementado todas as etapas de comandos para
entrada de dados, declaração de variáveis, equacionamento, montagem do modelo, solução
40
do modelo (escolha do tipo de solver ) e impressão dos resultados em tela (display).
Na Figura 17 é mostrado os comandos que dizem respeito aos dados pelo GAMS por
meio do comando SETS para montagem dos conjuntos (que são conjunto de origem e
destino). Assim também, são montados os conjuntos de parâmetros que são: a quantidade
a ser transportada desde a origem(I) e a quantidade a ser trasportada para o destino
(J). Da mesma forma, a tabela de custo pode ser implementada no GAMS pelo comando
TABLE.
Importante ressaltar que a identação no GAMS deve ser respeitada para a correta
compilação e execução do algoritmo.
Figura 17 – Implementação no GAMS para dados de entrada
Na Figura 18 é mostrado a declaração das variáveis z (custo total de transporte - valor
da função objetivo) e x(I,J) (quantidade de produto a ser trasportada da origem para o
destino J).
41
Figura 18 – Declaração de variáveis no GAMS
Na Figura 19 pode ser vinculado à entrada das equações pelo GAMS. Observe que serão
três equações que são, de antemão, definidas: custo (função objetivo), envios (equação de
envios) e destinos (equação do destino que recebe o envio). Observe que as três equações
definidas são escritas adequadamente por meio da linguagem GAMS. Observa-se que as
restrições tratadas são do tipo igualdade (=E=).
Figura 19 – Comandos para equacionamento pelo GAMS
Na Figura 20 é mostrado o modelo criado nomeado como transport, visto que o
problema tratado é um modelo de transporte. Observe que é realizado a inclusão de tudo
no solucionamento do problema. Esse comando pode ser importante em ocasiões em que
se deseja analisar o impacto de restrições no problema.
Figura 20 – Comandos para construção do modelo pelo GAMS
Observe na Figura 21 que por intermédio do comando solver é possível implementar
o comando para obter o resultado: nota-se que o problema a ser resolvido possui nome
42
transport (nome dado) com uso de lp (linear programming - programação linear) por meio
de minimização de uma função objetivo (z).
Figura 21 – Comandos para solução por solver escolhido pelo GAMS
O comando da Figura 22 é utilizado para mostrar os resultados em tela.
Figura 22 – Comandos para impressão em tela dos resultados pelo GAMS
Note pela Figura 23 que o resultado obtido com a solução ótima encontrada (Optimal
solution found) corresponde, exatamente, ao mesmo valor encontrado com implementação
e compilação em Matlab da Figura 15 e da Figura 16 com fob = 14.
43
Figura 23 – Solução obtida via compilação no GAMS
2.2 O problema do planejamento da produção
Este problema envolve a fabricação de peça por um produtor, a demanda varia ao
longo do tempo e é essa variação deve ser modelada e representada [Castillo et al., 2002].
A Figura 24 mostra como é essa representado essa variação.
44
Figura 24 – Gráfico de demanda em função do tempo
[Castillo et al., 2002]
O produtor devesempre atender à demanda mensal. Em geral, qualquer problema de
planejamento admitirá diversas possibilidades que garantam o atendimento adequado da
demanda [Castillo et al., 2002]. Existem duas possibilidade:
1. Produção variável: o fabricante pode produzir o número exato de unidades solicitadas
a cada mês. Porém, como uma produção que varia é cara de manter devido aos
custos de horas mais longas nos meses de alta produção e aos custos associados ao
desemprego de pessoal e maquinário nos meses de produção mais baixa; este tipo de
produção não é eficiente.
2. Produção constante: o fabricante que deve atender a uma demanda que muda ao
longo do tempo podendo produzir acima do nível demandado de períodos de baixa
demanda e armazenar o excedente de produção para períodos de maior demanda.
Assim, a produção pode ser mantida constante, compensando a alta demanda com o
excesso dos períodos anteriores. No entanto, devido aos custos de armazenamento,
essa opção pode não ser desejável se você precisar de altos custos de armazenamento
por vários meses.
Os quatro principais elementos envolvidos no problema de planejamento da produção
são:
1. Dados:
n: número de meses a se considerar;
s0: a quantidade armazenada disponível no início do período considerado;
45
dt: o número de unidades (demanda) solicitadas no mês t;
smax: a capacidade máxima de armazenamento;
at: o preço de venda no mês t;
bt: o custo de produção no mês t;
ct: o custo de armazenamento no mês t.
2. Variáveis:
xt: número de unidades produzidas no mês t;
st: número de unidades armazenadas no mês t.
3. Restrições:
Uma vez que a demanda dt no mês t deve coincidir com a mudança no armazena-
mento, st−1−1−st, mais produção xt no mês t; a capacidade de armazenamento
não pode ser excedida; e a demanda dt, armazenamento (storage) st e produção
xt devem ser não negativas; portanto, existem as seguintes restrições:
st−1 + xt − dt = st; t = 1, 2, . . . , n
st ≤ smax; t = 1, 2, . . . , n
st, xt ≥ 0
4. Função a ser otimizada (função objetivo): Uma possibilidade no problema de
planejamento da produção é maximizar a receita descontando os custos da variação
da produção e dos estoques; isto é, maximizar o lucro:
Z =
n∑
t=1
(atdt − btxt − ctst)
Se o período for curto, at, bt e ct podem ser considerados constantes, ou seja,
at = a, bt = b, ct = c
Outra possibilidade consiste em minimizar os custos de armazenamento:
Z =
n∑
t=1
ctst
Aplicação com Problema 2 - enunciado: Este exemplo ilustra o problema de
planejamento da produção sem limite de capacidade de armazenamento.
A Tabela 8 mostra a demanda como função do tempo.
46
Tabela 2 – Demanda como função do tempo
Tempo Demanda
1 2
2 3
3 6
4 1
Suponha que pela Tabela 8 a quantidade armazenada inicialmente é s0 = 2. As
restrições podem ser descritas por:
Cx =

−1 0 0 0 1 0 0 0
1 −1 0 0 0 1 0 0
0 1 −1 0 0 0 1 0
0 0 1 −1 0 0 0 1
 ·

s1
s2
s3
s4
x1
x2
x3
x4

=

0
3
6
1

st, xt ≥ 0; t = 1, 2, 3, 4
Em que 0 na matriz à direita vem da subtração da demanda por t = 1 do armazenamento
inicial. Se o lucro for maximizado após o desconto dos custos devido às variações na
produção e nos estoques e considerarmos at = 3, bt = 1, ct = 1, o problema de otimização
se traduz em maximizar
Z = 36− x1 − x2 − x3 − x4 − s1 − s2 − s3 − s4
SOLUÇÃO:
O problema de otimização se resume em:
max FOB = −x1 − x2 − x3 − x4 − s1 − s2 − s3 − s4
Sujeito às restrições :
−s1 + x1 = 0
s1 − s2 + x2 = 3
s2 − s3 + x3 = 6
s3 − s4 + x4 = 1
st, xt ≥ 0; t = 1, 2, 3, 4
Em que:
Z = 36 + FOB
47
A forma escrita acima possibilita o emprego da função do linprog do MatLab como
mostrado pela implementação da Figura 25.
Figura 25 – Otimização do problema do planejamento usando Matlab com linprog
1 clc
2 clear all
3 format short
4 %
5 Z = [1 1 1 1 1 1 1 1]
6
7 Aeq =[ -1 0 0 0 1 0 0 0;
8 1 -1 0 0 0 1 0 0;
9 0 1 -1 0 0 0 1 0;
10 0 0 1 -1 0 0 0 1;]
11
12 beq = [0 3 6 1]
13
14 A = [];
15 b = [];
16
17 LB = [ 0 ; 0; 0 ; 0; 0 ; 0; 0;0];
18 UB = [ inf ; inf; inf ; inf; inf ; inf; inf; inf]
19
20 [X,FVAL ,EXITFLAG ,OUTPUT , LAMBDA ] = linprog (Z,A,b,Aeq ,beq ,LB ,UB)
21
22 disp(’Vetor de solucao :’)
23 X
24 disp(’Valor da Reslutando da Otimizacao :’)
25
26 -FVAL +36
Mediante a aplicação inicial com MatLab, o resultado inicial da otimização é dado pela
Figura 26 com Z = 26 para x = (s1, s2, s3, s4, x1, x2, x3, x4)T = (0, 0, 0, 0, 0, 3, 6, 1)T .
Figura 26 – Solução ótima encontrada
Para implementação no GAMS, primeiramente pode ser observado pela Figura 27
em que é definido os conjuntos, bem com o índice dos meses. Da mesma maneira, os
48
parâmetros de demanda para o mês T.
Figura 27 – Entrada de dados
Na Figura 28 são definidas as variáveis com descrição adequada, bem como são
declaradas algumas estritamente positivas.
Figura 28 – Declaração de variáveis
Na Figura 29 é mostrado a definição de variáveis e o adequado equacionamento para a
modelagem.
49
Figura 29 – Equacionamento do problema
Na Figura 30 é criado o modelo. Novamente, é feito a inclusão de tudo no soluciona-
mento do problema e esse comando tem muita importância em ocasiões em que se deseja
avaliar o impacto de restrições no problema.
Figura 30 – Modelo do problema
Na Figura 31 é mostrado a implementação do solve que possibilita resolver o problema
de planejamento usando programação linear (lp) por intermédio de maximização de z.
Figura 31 – Solução do problema modelado
Na Figura 32 é mostrado a implementação de impressão em tela dos resultados.
Figura 32 – Impressão em tela de variáveis
Na Figura 33 é mostrada a solução ótima obtida que é validada pelo resultado obtido
em MatLab pela Figura 26 com valor da fob de 26.
50
Figura 33 – Solução ótima obtida pelo GAMS
2.3 Problema de fluxos em redes
Considera-se uma rede de transporte (um sistema de tubos, ferrovias, rodovias, co-
municações, etc.) por meio da qual se deseja enviar um produto homogêneo (óleo, grãos,
carros, mensagens, etc.) de certos pontos da rede, chamados de nós de origem, para outros
nós de destino, chamados de coletores. Além dessas duas classes de nós, a rede pode
conter nós intermediários, onde o produto que flui pela rede não é gerado nem consumido.
Denota-se por xij o fluxo do nó i para o nó j (positivo da direção de i −→ j e negativo
para o contrário) [Castillo et al., 2002]. Os quatro elementos presentes nos problemas de
fluxo são:
1. Dados:
G: o gráfico G = (N,A) que descreve a rede de transporte, onde N é o conjunto de
nós, e A é o conjunto de conexões
n: o número de nós na rede
fi: o fluxo de entrada (positivo) ou de saída (negativo) no nó i;
mij: a capacidade máxima de fluxo na conexão entre o nó i e o nó j
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cij: o preço de envio de uma unidade do bem do nó i para o nó j.
2. Variáveis: As variáveis envolvidas neste problema são: xij: o fluxo que vai do nó i
ao nó j.
3. Restrições: Impondo a condição de conservação do fluxo em todos os nós, e as
restrições à capacidade das linhas ou ligações, obtêm-se as seguintes restrições.
Aqueles que se referem à conservação do fluxo são:∑
j
(xij − xji) = fi; i = 1, . . . , n
aqueles relacionados à capacidade das linhas ou conexões são:
−mij ≤ xij ≤ mij; ∀i < j
Em que i < j evita a possibilidade de duplicação de restrições.
4. Função objetivo: Preço total é:
Z =
∑
ij
cijxij
Aplicação com Problema 2 - enunciado: Considere o problema de fluxo de rede
na Figura 34 em que as setas indicam os valores positivos das variáveis de fluxo.
Figura 34 – Diagrama de um problema de fluxo de redes
As equações que modelam este problema podem ser escritas como:

1 1 1 0 0
−1 0 0 1 0
0 −1 0 0 1
0 0 −1 −1 −1
 ·

x12
x13
x14
x24
x34

=

f1
f2
f3
f4

52
xij ≤ mij; ∀ i < j
−xij ≤ mij; ∀i < j
em que se supõe que mij = 4, ∀ i, j, y(f1, f2, f3, f4) = (7,−4,−1,−2).
Suponha ainda que cij = 1, ∀ i, j. O problema de otimização consiste