Circuitos Elétricos 2 - Material EaD - Capítulo 2-convertido

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Circuitos Elétricos 2
Prof. Eduardo Henrique Diniz Fittipaldi, DSc
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Capítulo 2
Análise em Regime 
Permanente Senoidal
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Este capítulo apresenta os Métodos de Análise de Circuitos (Análise de Nós e 
Análise de Malhas) e os Teoremas de Circuitos (Superposição, Thèvenin e 
Norton) a partir dos conceitos de fasores, impedâncias e admitâncias (Método 
Fasorial).
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A partir do circuito fasorial, pode-se determinar uma tensão ou uma corrente 
desejada (em termos fasoriais) utilizando uma das técnicas ou métodos de 
análise de circuitos: Análise de Nós e Análise de Malhas.
Os procedimentos para utilização desses métodos segue exatamente o passo a 
passo que foi estudado para circuitos resistivos.
2.1 Métodos de Análise com Fasores
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O Método da Análise de Nós, ou Análise Nodal, segue as mesmas regras deste 
método aplicados aos circuitos resistivos, após o circuito sob análise ter sido 
escrito na forma fasorial (com as tensões e correntes expressas como fasores e 
os elementos passivos como impedâncias).
Etapas do Método da Análise de Nós:
a) Escrever o circuito na forma fasorial
b) Determinar e numerar todos os nós do circuito em análise
O nó representa o ponto de encontro de mais de dois terminais de 
elementos de circuito
c) Associar a cada nó uma variável chamada “Tensão de Nó”, que serão as 
incógnitas desse método
Cada nó terá associada a ele uma Tensão de Nó
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2.1.1 Método da Análise de Nós
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d) Escolher um dos nós como nó de referência cuja tensão de nó passará a ter o 
valor “0” (zero), servindo de referência para as outras tensões de nó
Para o nó de referência, a tensão de nó é feita igual a zero (deve-se 
escolher como nó de referência, apenas como forma de simplificar as 
equações que serão montadas, aquele que tenha mais elementos ligados a 
ele e/ou que esteja ligado ao terminal negativo de uma fonte de tensão)
As tensões de nó são as variáveis deste método cujos valores estarão 
referenciados ao valor zero da tensão do nó de referência.
Todas as outras tensões de nó estão referenciadas ao nó de referência, 
fazendo com que passe a ter sentido o conceito de “tensão de nó”
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e) Escrever uma Equação da Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) para cada 
nó, exceto para o nó de referência
Essas equações serão escritas, inicialmente, a partir de “correntes auxiliares” 
que deverão, em seguida, ser escritas em função das tensões de nó para 
que as equações da LKC fiquem em função dessas variáveis, sendo formado 
um sistema de 𝑛 − 1 equações a 𝑛 − 1 incógnitas, sendo 𝑛 o número de nós 
do circuito em análise
Dessa forma, o número de variáveis e de equações neste método é igual ao 
número de nós menos 1
Obs: relação entre as correntes auxiliares e as tensões de nó para as 
impedâncias
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𝑉+ 𝑉−
𝑍
ҧ𝐼
+ −
ҧ𝐼 =
𝑉+ − 𝑉−
𝑍
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f) Resolver o sistema de equações formado para determinar as tensões de Nó
As tensões de nó sãs as incógnitas desse método
g) De posse das tensões de nó, podem ser determinadas quaisquer variáveis 
de interesse do circuito elétrico sob análise
Com as tensões de nó pode-se determinar tensões e correntes em qualquer 
elemento do circuito
h) As tensões e/ou correntes calculadas estarão da forma fasorial e deverão 
ser escritas na forma senoidal no tempo para que sejam determinadas as 
respostas desejadas
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ത𝑉 = 𝑉𝑚|𝛼 ⇒ 𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝛼 𝑉
ҧ𝐼 = 𝐼𝑚|𝛽 ⇒ 𝑖 𝑡 = 𝐼𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝛽 𝐴
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• Exemplo: Determinar as correntes 𝑖1 e 𝑖2 em regime permanente pelo método 
da análise de nós 
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𝑖1
𝑖2
𝑣𝑔 𝑡 =
𝑖𝑔 𝑡 =
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±
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ഥ𝐼1
±
ഥ𝐼2
ഥ𝑉𝑔 ഥ𝐼𝑔
ഥ𝑉𝑔 = 5|0° 𝑉 ഥ𝐼𝑔 = 5|0° 𝐴
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ഥ𝐼1
±
ഥ𝐼2
ഥ𝑉𝑔 ഥ𝐼𝑔
1
2
1
ഥ𝑉𝑔 = 5|0° 𝑉 ഥ𝐼𝑔 = 5|0° 𝐴
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ഥ𝐼1
±
ഥ𝐼2
ഥ𝑉𝑔 ഥ𝐼𝑔
1
2
1
𝑗
𝑗
2
ഥ𝑉𝑔 = 5|0° 𝑉 ഥ𝐼𝑔 = 5|0° 𝐴
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ഥ𝐼1
±
ഥ𝐼2
ഥ𝑉𝑔 ഥ𝐼𝑔
1
2
1
𝑗
𝑗
2
−𝑗 −
𝑗
2
ഥ𝑉𝑔 = 5|0° 𝑉 ഥ𝐼𝑔 = 5|0° 𝐴
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ഥ𝐼1
±
ഥ𝐼2
ഥ𝑉𝑔 ഥ𝐼𝑔
1
2
1
𝑗
𝑗
2
−𝑗 −
𝑗
2
ഥ𝑉𝑔 = 5|0° 𝑉 ഥ𝐼𝑔 = 5|0° 𝐴
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ഥ𝐼1
±
ഥ𝐼2
ഥ𝑉𝑔 ഥ𝐼𝑔
1
2
1
𝑗
𝑗
2
−𝑗 −
𝑗
2
ഥ𝑉𝑔 = 5|0° 𝑉 ഥ𝐼𝑔 = 5|0° 𝐴
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ഥ𝐼1
±
ഥ𝐼2
ഥ𝑉𝑔 ഥ𝐼𝑔
ഥ𝑉1 𝑉2
𝑉3
1
2
1
𝑗
𝑗
2
−𝑗 −
𝑗
2
ഥ𝑉𝑔 = 5|0° 𝑉 ഥ𝐼𝑔 = 5|0° 𝐴
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ഥ𝐼1
±
ഥ𝐼2
ഥ𝑉𝑔 ഥ𝐼𝑔
ഥ𝑉1 𝑉2
𝑉3 = 0
1
2
1
𝑗
𝑗
2
−𝑗 −
𝑗
2
ഥ𝑉𝑔 = 5|0° 𝑉 ഥ𝐼𝑔 = 5|0° 𝐴
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ഥ𝐼1
±
ഥ𝐼2
ഥ𝑉𝑔 ഥ𝐼𝑔
ഥ𝑉1 𝑉2
𝑉3 = 0
1
2
1
𝑗
𝑗
2
−𝑗 −
𝑗
2
ഥ𝐼𝑎
ഥ𝐼𝑏
ഥ𝐼𝑐
ഥ𝐼𝑑
ഥ𝑉𝑔 = 5|0° 𝑉 ഥ𝐼𝑔 = 5|0° 𝐴
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Equações da LKC:
Nó 1 ഥ𝐼𝑎 = ഥ𝐼𝑏 + ഥ𝐼𝑐 + ഥ𝐼1
Nó 2 ഥ𝐼𝑐 + ഥ𝐼1 + ഥ𝐼𝑔 = ഥ𝐼2 + ഥ𝐼𝑑
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Equações da LKC:
Nó 1 ഥ𝐼𝑎 = ഥ𝐼𝑏 + ഥ𝐼𝑐 + ഥ𝐼1
Nó 2 ഥ𝐼𝑐 + ഥ𝐼1 + ഥ𝐼𝑔 = ഥ𝐼2 + ഥ𝐼𝑑
Correntes Auxiliares:
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ഥ𝐼𝑎 =
ഥ𝑉𝑔 − ഥ𝑉1
ൗ1 2
=
5 − ഥ𝑉1
ൗ1 2
= 10 − 2 ഥ𝑉1
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Equações da LKC:
Nó 1 ഥ𝐼𝑎 = ഥ𝐼𝑏 + ഥ𝐼𝑐 + ഥ𝐼1
Nó 2 ഥ𝐼𝑐 + ഥ𝐼1 + ഥ𝐼𝑔 = ഥ𝐼2 + ഥ𝐼𝑑
Correntes Auxiliares:
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ഥ𝐼𝑎 =
ഥ𝑉𝑔 − ഥ𝑉1
ൗ1 2
=
5 − ഥ𝑉1
ൗ1 2
= 10 − 2 ഥ𝑉1
ഥ𝐼𝑏 =
ഥ𝑉1 − 𝑉3
−𝑗
= 𝑗 ഥ𝑉1
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Equações da LKC:
Nó 1 ഥ𝐼𝑎 = ഥ𝐼𝑏 + ഥ𝐼𝑐 + ഥ𝐼1
Nó 2 ഥ𝐼𝑐 + ഥ𝐼1 + ഥ𝐼𝑔 = ഥ𝐼2 + ഥ𝐼𝑑
Correntes Auxiliares:
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ഥ𝐼𝑎 =
ഥ𝑉𝑔 − ഥ𝑉1
ൗ1 2
=
5 − ഥ𝑉1
ൗ1 2
= 10 − 2 ഥ𝑉1
ഥ𝐼𝑏 =
ഥ𝑉1 − 𝑉3
−𝑗
= 𝑗 ഥ𝑉1
ഥ𝐼𝑐 =
ഥ𝑉1 − 𝑉2
𝑗
= 𝑗𝑉2 − 𝑗 ഥ𝑉1
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Equações da LKC:
Nó 1 ഥ𝐼𝑎 = ഥ𝐼𝑏 + ഥ𝐼𝑐 + ഥ𝐼1
Nó 2 ഥ𝐼𝑐 + ഥ𝐼1 + ഥ𝐼𝑔 = ഥ𝐼2 + ഥ𝐼𝑑
Correntes Auxiliares:
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ഥ𝐼𝑎 =
ഥ𝑉𝑔 − ഥ𝑉1
ൗ1 2
=
5 − ഥ𝑉1
ൗ1 2
= 10 − 2 ഥ𝑉1
ഥ𝐼𝑏 =
ഥ𝑉1 − 𝑉3
−𝑗
= 𝑗 ഥ𝑉1
ഥ𝐼𝑐 =
ഥ𝑉1 − 𝑉2
𝑗
= 𝑗𝑉2 − 𝑗 ഥ𝑉1
ഥ𝐼𝑑 =
𝑉2 − 𝑉3
1
= 𝑉2
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Equações da LKC:
Nó 1 ഥ𝐼𝑎 = ഥ𝐼𝑏 + ഥ𝐼𝑐 + ഥ𝐼1
Nó 2 ഥ𝐼𝑐 + ഥ𝐼1 + ഥ𝐼𝑔 = ഥ𝐼2 + ഥ𝐼𝑑
Correntes Auxiliares:
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ഥ𝐼𝑎 =
ഥ𝑉𝑔 − ഥ𝑉1
ൗ1 2
=
5 − ഥ𝑉1
ൗ1 2
= 10 − 2 ഥ𝑉1
ഥ𝐼𝑏 =
ഥ𝑉1 − 𝑉3
−𝑗
= 𝑗 ഥ𝑉1
ഥ𝐼𝑐 =
ഥ𝑉1 − 𝑉2
𝑗
= 𝑗𝑉2 − 𝑗 ഥ𝑉1
ഥ𝐼𝑑 =
𝑉2 − 𝑉3
1
= 𝑉2
ഥ𝐼1 =
ഥ𝑉1 − 𝑉2
ൗ−𝑗 2
= 𝑗2 ഥ𝑉1 − 𝑗2𝑉2
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Equações da LKC:
Nó 1 ഥ𝐼𝑎 = ഥ𝐼𝑏 + ഥ𝐼𝑐 + ഥ𝐼1
Nó 2 ഥ𝐼𝑐 + ഥ𝐼1 + ഥ𝐼𝑔 = ഥ𝐼2 + ഥ𝐼𝑑
Correntes Auxiliares:
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ഥ𝐼𝑎 =
ഥ𝑉𝑔 − ഥ𝑉1
ൗ1 2
=
5 − ഥ𝑉1
ൗ1 2
= 10 − 2 ഥ𝑉1
ഥ𝐼𝑏 =
ഥ𝑉1 − 𝑉3
−𝑗
= 𝑗 ഥ𝑉1
ഥ𝐼𝑐 =
ഥ𝑉1 − 𝑉2
𝑗
= 𝑗𝑉2 − 𝑗 ഥ𝑉1
ഥ𝐼𝑑 =
𝑉2 − 𝑉3
1
= 𝑉2
ഥ𝐼2 =
𝑉2 − 𝑉3
ൗ𝑗 2
= −𝑗2𝑉2
ഥ𝐼1 =
ഥ𝑉1 − 𝑉2
ൗ−𝑗 2
= 𝑗2 ഥ𝑉1 − 𝑗2𝑉2
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A partir das expressões das correntes auxiliares, as equações da LKC para os nós 1 e 2 
ficam:
Nó 1 2 + j2 ഥ𝑉1 − 𝑗𝑉2 = 10
Nó 2 −j ഥ𝑉1 + (1 − 𝑗)𝑉2 = 5
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A partir das expressões das correntes auxiliares, as equações da LKC para os nós 1 e 2 
ficam:
Nó 1 2 + j2 ഥ𝑉1 − 𝑗𝑉2 = 10
Nó 2 −j ഥ𝑉1 + (1 − 𝑗)𝑉2 = 5
Resolvendo o sistema tem-se:
ഥ𝑉1 = 2 − 𝑗 = 5| − 26,6° 𝑉
𝑉2 = 2 + 𝑗4 = 2 5|63,4° 𝑉
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A partir das expressões das correntes auxiliares, as equações da LKC para osnós 1 e 2 
ficam:
Nó 1 2 + j2 ഥ𝑉1 − 𝑗𝑉2 = 10
Nó 2 −j ഥ𝑉1 + (1 − 𝑗)𝑉2 = 5
Resolvendo o sistema tem-se:
ഥ𝑉1 = 2 − 𝑗 = 5| − 26,6° 𝑉
𝑉2 = 2 + 𝑗4 = 2 5|63,4° 𝑉
A partir das tensões de nó:
ഥ𝐼1 = 𝑗2 ഥ𝑉1 − 𝑗2𝑉2 = 𝑗2 2 − 𝑗 − 𝑗2 2 + 𝑗4 = 𝑗4 + 2 − 𝑗4 + 8 = 10 = 10|0° 𝐴
ഥ𝐼2 = −𝑗2𝑉2 = −𝑗 2 + 𝑗4 = 4 − 𝑗2 = 2 5| − 26,6° 𝐴
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A partir das expressões das correntes auxiliares, as equações da LKC para os nós 1 e 2 
ficam:
Nó 1 2 + j2 ഥ𝑉1 − 𝑗𝑉2 = 10
Nó 2 −j ഥ𝑉1 + (1 − 𝑗)𝑉2 = 5
Resolvendo o sistema tem-se:
ഥ𝑉1 = 2 − 𝑗 = 5| − 26,6° 𝑉
𝑉2 = 2 + 𝑗4 = 2 5|63,4° 𝑉
A partir das tensões de nó:
ഥ𝐼1 = 𝑗2 ഥ𝑉1 − 𝑗2𝑉2 = 𝑗2 2 − 𝑗 − 𝑗2 2 + 𝑗4 = 𝑗4 + 2 − 𝑗4 + 8 = 10 = 10|0° 𝐴
ഥ𝐼2 = −𝑗2𝑉2 = −𝑗 2 + 𝑗4 = 4 − 𝑗2 = 2 5| − 26,6° 𝐴
No tempo:
𝑖1 𝑡 = 10 cos 2𝑡 𝐴
𝑖2 𝑡 = 2 5 cos 2𝑡 − 26,6° 𝐴 polivirtual.eng.br
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Como no método anterior, a Análise de Malhas segue as mesmas regras e 
conceitos deste método para o caso de circuitos resistivos. Após escrever o 
circuito sob análise na forma fasorial (com as tensões e correntes expressas 
como fasores e os elementos passivos com impedâncias), são seguidas as demais 
etapas do método.
Etapas do Método da Análise de Malhas:
a) Escrever o circuito na forma fasorial
b) Determinar e numerar todos as malhas do circuito em análise
Uma malha é qualquer caminho fechado que não possui elementos de 
circuito em seu interior
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2.1.2 Método da Análise de Malhas
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c) Associar a cada malha uma variável chamada “Corrente de Malha”, que 
serão as incógnitas desse método
Associa-se a cada malha uma corrente no sentido horário ou anti-horário 
(para o sentido das correntes de malha deve-se seguir, preferencialmente e 
na medida do possível, o sentido das fontes de excitação presentes na 
malha)
d) Escrever uma equação da Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) para cada 
malha. Dessa forma, o número de equações deste método é igual ao número 
de malhas do circuito
Essas equações serão escritas, inicialmente, a partir de “tensões auxiliares” 
que deverão, em seguida, ser expressas em função das correntes de malha 
para que as equações da LKT fiquem escritas em função das incógnitas do 
método
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As relações entre as tensões auxiliares e as correntes de malha para as 
impedâncias estão apresentadas a seguir
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ത𝑉 = 𝑍 ҧ𝐼
𝑍
ҧ𝐼
+ −
ത𝑉
𝑍
ҧ𝐼
+ −
ത𝑉
𝑍
ഥ𝐼1
+ −
ത𝑉
𝑍
+ −
ത𝑉
𝑍
+ −
ത𝑉
𝑍
+ −
ത𝑉
ത𝑉 = −𝑍 ҧ𝐼
ഥ𝐼2
ത𝑉 = 𝑍(ഥ𝐼1 + ഥ𝐼2)
ഥ𝐼1
ഥ𝐼2
ത𝑉 = 𝑍(ഥ𝐼1 − ഥ𝐼2)
ഥ𝐼2
ഥ𝐼1
ത𝑉 = 𝑍(ഥ𝐼2 − ഥ𝐼1)
ഥ𝐼1
ഥ𝐼2
ത𝑉 = 𝑍(−ഥ𝐼1 − ഥ𝐼2)
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Ao escrever as equações da LKT em função das correntes de malha existirá 
um conjunto de “n” equações a “n” incógnitas (que são as correntes de malha 
desconhecidas), sendo “n” o número de malhas do circuito
e) Resolver o sistema de equações formado para determinar as correntes de 
malha
Com as correntes de malha pode-se determinar tensões e correntes em 
qualquer elemento do circuito
f) A partir das correntes de malha, podem ser determinadas quaisquer 
variáveis de interesse do circuito elétrico sob análise
Com as correntes de malha pode-se determinar tensões e correntes em 
qualquer elemento do circuito
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g) As tensões e correntes calculadas estarão na forma fasorial e precisam ser 
expressas como funções senoidais no tempo para se obter as respostas 
desejadas
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ത𝑉 = 𝑉𝑚|𝛼 ⇒ 𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝛼 𝑉
ҧ𝐼 = 𝐼𝑚|𝛽 ⇒ 𝑖 𝑡 = 𝐼𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝛽 𝐴
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• Exemplo: Determinar a tensão 𝑣1 e as correntes 𝑖1 e 𝑖2 em regime permanente 
pelo método da análise de malhas 
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𝑖1
𝑖2
𝑖𝑔1 𝑡 =
𝑖𝑔2 𝑡 =
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𝐼𝑔1
𝐼𝑔2
𝐼𝑔1 = 4|0° 𝐴
𝐼𝑔2 = 1| − 90° 𝐴
ഥ𝑉1
ഥ𝐼1
ഥ𝐼2
2 ഥ𝑉1
+
−
+
−
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𝐼𝑔1
𝐼𝑔2
𝐼𝑔1 = 4|0° 𝐴
𝐼𝑔2 = 1| − 90° 𝐴
ഥ𝑉1
ഥ𝐼1
ഥ𝐼2
2 ഥ𝑉1
+
−
+
−
1
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𝐼𝑔1
𝐼𝑔2
𝐼𝑔1 = 4|0° 𝐴
𝐼𝑔2 = 1| − 90° 𝐴
ഥ𝑉1
ഥ𝐼1
ഥ𝐼2
2 ഥ𝑉1
+
−
+
−
1
𝑗 𝑗2
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𝐼𝑔1
𝐼𝑔2
𝐼𝑔1 = 4|0° 𝐴
𝐼𝑔2 = 1| − 90° 𝐴
ഥ𝑉1
ഥ𝐼1
ഥ𝐼2
2 ഥ𝑉1
+
−
+
−
1
𝑗 𝑗2
−𝑗
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𝐼𝑔1
𝐼𝑔2
𝐼𝑔1 = 4|0° 𝐴
𝐼𝑔2 = 1| − 90° 𝐴
ഥ𝑉1
ഥ𝐼1
ഥ𝐼2
2 ഥ𝑉1
+
−
+
−
1
𝑗 𝑗2
−𝑗
Malha a Malha b Malha c
Malha d
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𝐼𝑔1
𝐼𝑔2
𝐼𝑔1 = 4|0° 𝐴
𝐼𝑔2 = 1| − 90° 𝐴
ഥ𝑉1
ഥ𝐼1
ഥ𝐼2
2 ഥ𝑉1
+
−
+
−
1
𝑗 𝑗2
−𝑗
ഥ𝐼𝑎 ഥ𝐼𝑏
ഥ𝐼𝑐
ഥ𝐼𝑑
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𝐼𝑔1
𝐼𝑔2
𝐼𝑔1 = 4|0° 𝐴
𝐼𝑔2 = 1| − 90° 𝐴
ഥ𝑉1
ഥ𝐼1
ഥ𝐼2
2 ഥ𝑉1
+
−
+
−
1
𝑗 𝑗2
−𝑗
ഥ𝐼𝑎 ഥ𝐼𝑏
ഥ𝐼𝑐
ഥ𝐼𝑑
+
−
+ −+ −
𝑉2 𝑉3
ഥ𝑉4
ഥ𝑉𝑔
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Equações da LKT:
Malha a ഥ𝐼𝑎 = 𝐼𝑔1 = 4|0° = 4
Malha b 𝑉2 + ഥ𝑉𝑔 − ഥ𝑉1 = 0
Malha c 𝑉3 + ഥ𝑉4 − ഥ𝑉𝑔 = 0
Malha d ഥ𝐼𝑑 = 𝐼𝑔2 = 1| − 90° = −𝑗
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Equações da LKT:
Malha a ഥ𝐼𝑎 = 𝐼𝑔1 = 4|0° = 4
Malha b 𝑉2 + ഥ𝑉𝑔 − ഥ𝑉1 = 0
Malha c 𝑉3 + ഥ𝑉4 − ഥ𝑉𝑔 = 0
Malha d ഥ𝐼𝑑 = 𝐼𝑔2 = 1| − 90° = −𝑗
Tensões Auxiliares:
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ഥ𝑉1 = 𝑗 ഥ𝐼𝑎 + ഥ𝐼𝑏 = 𝑗4 + 𝑗ഥ𝐼𝑏
𝑉2 = −𝑗 ഥ𝐼𝑑 − ഥ𝐼𝑏 = −1 + 𝑗ഥ𝐼𝑏
𝑉3 = 1ഥ𝐼𝑐 = ഥ𝐼𝑐
ഥ𝑉4 = 𝑗2ഥ𝐼𝑐
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Equações da LKT:
Malha a ഥ𝐼𝑎 = 𝐼𝑔1 = 4|0° = 4
Malha b 𝑉2 + ഥ𝑉𝑔 − ഥ𝑉1 = 0
Malha c 𝑉3 + ഥ𝑉4 − ഥ𝑉𝑔 = 0
Malha d ഥ𝐼𝑑 = 𝐼𝑔2 = 1| − 90° = −𝑗
Tensões Auxiliares:
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ഥ𝑉1 = 𝑗 ഥ𝐼𝑎 + ഥ𝐼𝑏 = 𝑗4 + 𝑗ഥ𝐼𝑏
𝑉2 = −𝑗 ഥ𝐼𝑑 − ഥ𝐼𝑏 = −1 + 𝑗ഥ𝐼𝑏
𝑉3 = 1ഥ𝐼𝑐 = ഥ𝐼𝑐
ഥ𝑉4 = 𝑗2ഥ𝐼𝑐
ഥ𝑉𝑔 = ?
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Equações da LKT:
Malha a ഥ𝐼𝑎 = 𝐼𝑔1 = 4|0° = 4
Malha b 𝑉2 + ഥ𝑉𝑔 − ഥ𝑉1 = 0
Malha c 𝑉3 + ഥ𝑉4 − ഥ𝑉𝑔 = 0
Malha d ഥ𝐼𝑑 = 𝐼𝑔2 = 1| − 90° = −𝑗
Tensões Auxiliares:
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ഥ𝑉1 = 𝑗 ഥ𝐼𝑎 + ഥ𝐼𝑏 = 𝑗4 + 𝑗ഥ𝐼𝑏
𝑉2 = −𝑗 ഥ𝐼𝑑 − ഥ𝐼𝑏 = −1 + 𝑗ഥ𝐼𝑏
𝑉3 = 1ഥ𝐼𝑐 = ഥ𝐼𝑐
ഥ𝑉4 = 𝑗2ഥ𝐼𝑐
ഥ𝑉𝑔 = 2 ഥ𝑉1
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Equações da LKT:
Malha a ഥ𝐼𝑎 = 𝐼𝑔1 = 4|0° = 4
Malha b 𝑉2 + ഥ𝑉𝑔 − ഥ𝑉1 = 0
Malha c 𝑉3 + ഥ𝑉4 − ഥ𝑉𝑔 = 0
Malha d ഥ𝐼𝑑 = 𝐼𝑔2 = 1| − 90° = −𝑗
Tensões Auxiliares:
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ഥ𝑉1 = 𝑗 ഥ𝐼𝑎 + ഥ𝐼𝑏 = 𝑗4 + 𝑗ഥ𝐼𝑏
𝑉2 = −𝑗 ഥ𝐼𝑑 − ഥ𝐼𝑏 = −1 + 𝑗ഥ𝐼𝑏
𝑉3 = 1ഥ𝐼𝑐 = ഥ𝐼𝑐
ഥ𝑉4 = 𝑗2ഥ𝐼𝑐
ഥ𝑉𝑔 = 2 ഥ𝑉1
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Equações da LKT:
Malha a ഥ𝐼𝑎 = 𝐼𝑔1 = 4|0° = 4
Malha b 𝑉2 + ഥ𝑉𝑔 − ഥ𝑉1 = 0
Malha c 𝑉3 + ഥ𝑉4 − ഥ𝑉𝑔 = 0
Malha d ഥ𝐼𝑑 = 𝐼𝑔2 = 1| − 90° = −𝑗
Tensões Auxiliares:
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ഥ𝑉1 = 𝑗 ഥ𝐼𝑎 + ഥ𝐼𝑏 = 𝑗4 + 𝑗ഥ𝐼𝑏
𝑉2 = −𝑗 ഥ𝐼𝑑 − ഥ𝐼𝑏 = −1 + 𝑗ഥ𝐼𝑏
𝑉3 = 1ഥ𝐼𝑐 = ഥ𝐼𝑐
ഥ𝑉4 = 𝑗2ഥ𝐼𝑐
ഥ𝑉𝑔 = ?
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Equações da LKT:
Malha a ഥ𝐼𝑎 = 𝐼𝑔1 = 4|0° = 4
Malha b 𝑉2 + ഥ𝑉𝑔 − ഥ𝑉1 = 0
Malha c 𝑉3 + ഥ𝑉4 − ഥ𝑉𝑔 = 0
Malha d ഥ𝐼𝑑 = 𝐼𝑔2 = 1| − 90° = −𝑗
Tensões Auxiliares:
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ഥ𝑉1 = 𝑗 ഥ𝐼𝑎 + ഥ𝐼𝑏 = 𝑗4 + 𝑗ഥ𝐼𝑏
𝑉2 = −𝑗 ഥ𝐼𝑑 − ഥ𝐼𝑏 = −1 + 𝑗ഥ𝐼𝑏
𝑉3 = 1ഥ𝐼𝑐 = ഥ𝐼𝑐
ഥ𝑉4 = 𝑗2ഥ𝐼𝑐
ഥ𝑉𝑔 = ഥ𝑉𝑔
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Equações da LKT:
Malha a ഥ𝐼𝑎 = 𝐼𝑔1 = 4|0° = 4
Malha b 𝑉2 + ഥ𝑉𝑔 − ഥ𝑉1 = 0
Malha c 𝑉3 + ഥ𝑉4 − ഥ𝑉𝑔 = 0
Malha d ഥ𝐼𝑑 = 𝐼𝑔2 = 1| − 90° = −𝑗
Tensões Auxiliares:
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ഥ𝑉1 = 𝑗 ഥ𝐼𝑎 + ഥ𝐼𝑏 = 𝑗4 + 𝑗ഥ𝐼𝑏
𝑉2 = −𝑗 ഥ𝐼𝑑 − ഥ𝐼𝑏 = −1 + 𝑗ഥ𝐼𝑏
𝑉3 = 1ഥ𝐼𝑐 = ഥ𝐼𝑐
ഥ𝑉4 = 𝑗2ഥ𝐼𝑐
ഥ𝑉𝑔 = ഥ𝑉𝑔
𝑉2 − ഥ𝑉1 + 𝑉3 + ഥ𝑉4 = 0
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A partirdas expressões das tensões auxiliares, a equação da LKT para as malhas b e c 
fica:
Malhas b e c −1 + 𝑗ഥ𝐼𝑏 − 𝑗4 − 𝑗ഥ𝐼𝑏 + ഥ𝐼𝑐 + 𝑗2ഥ𝐼𝑐 = 0
ഥ𝐼𝑐 1 + 𝑗2 = 1 + 𝑗4
ഥ𝐼𝑐 =
9 + 𝑗2
5
E o valor de ഥ𝐼𝑏 ?
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A partir da fonte de corrente controlada, pode ser escrita uma nova equação 
relacionando as correntes das malhas b e c:
ഥ𝐼𝑏 + ഥ𝐼𝑐 = 2ഥ𝑉1
ഥ𝐼𝑏 + ഥ𝐼𝑐 = 2(𝑗4 + 𝑗ഥ𝐼2)
Substituindo, nesta expressão, o valor de ഥ𝐼𝑐 =
9+𝑗2
5
, obtém-se:
ഥ𝐼𝑏 =
−425 + 𝑗100
125
A partir dos valores das 4 correntes de malha, podem ser determinados os valores de 
qualquer variável do circuito.
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A partir das correntes de malha:
ഥ𝑉1 = 𝑗4 + 𝑗ഥ𝐼2 =
−100 + 𝑗75
125
=
125|143,3°
125|0°
= 1|143,3° 𝑉
ഥ𝐼1 = ഥ𝐼𝑑 − ഥ𝐼𝑏 = −𝑗 +
−425 + 𝑗100
125
=
−425 − 𝑗25
125
=
425,7| − 176,6°
125|0°
= 3,4| − 176,6° 𝐴
ഥ𝐼2 = −ഥ𝐼𝑐 =
−9 − 𝑗2
5
=
9,2| − 167,5°
5|0°
= 1,84| − 167,5° 𝐴
No tempo:
𝑣 𝑡 = cos 2𝑡 + 143,3° 𝑉
𝑖1 𝑡 = 3,4 cos 2𝑡 − 176,6° 𝐴
𝑖2 𝑡 = 1,84 cos 2𝑡 − 167,5° 𝐴
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Os teoremas de circuitos também podem ser utilizados com os circuitos escritos 
na forma fasorial, como se fossem circuitos resistivos, com as impedâncias no 
lugar das resistências.
2.2 Teoremas de Circuitos com Fasores
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O Teorema ou Princípio da Superposição sempre pode ser usado quando se tem 
mais de uma fonte independente no circuito. Quando as fontes independentes 
forem senoides de mesma frequência, o princípio da superposição pode ser 
utilizado com cada fonte atuando de forma individual, bem como um método 
qualquer de análise de circuito, com as fontes atuando simultaneamente (análise 
de nós ou análise de malhas).
No entanto, se as fontes independentes forem senoides de frequências 
diferentes ou se forem excitações de natureza distintas (uma senoide e outra 
constante, por exemplo), o princípio da superposição deverá ser utilizado 
obrigatoriamente.
Obs: Considera-se o circuito linear para que seja utilizado o princípio da 
superposição.
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2.2.1 Teorema ou Princípio da Superposição
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Utilizando-se o Teorema da Superposição, a resposta do circuito a todas as 
fontes atuando simultaneamente é obtido pela soma das repostas obtidas com 
cada fonte independente atuando individualmente.
É importante ressaltar que o princípio da superposição só vale para fontes 
independentes. Qualquer fonte dependente ou controlada existente deverá 
participar de todos os circuitos individuais montados (com cada fonte 
independente).
Considerando cada fonte atuando de forma isolada, deve-se eliminar as outras 
fontes independentes existentes (considerando cada fonte independente 
atuando uma de cada vez). Na eliminação de fontes independentes devem ser 
seguidas as regras já conhecidas dos circuitos resistivos.
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• Eliminação de fontes independentes de corrente: 
Substituir por um circuito aberto (𝑖𝑔 → 0)
• Eliminação de fontes independentes de tensão:
Substituir por um curto circuito (𝑣𝑔 → 0)
OBS: Para fontes de naturezas diferentes ou senoidais de frequências 
diferentes, não se pode somar as respostas fasoriais e a resposta total é a soma 
de funções de formas diferentes ou de senoides de frequências diferentes no 
tempo.
Para fontes senoidais de mesma frequência, pode-se somar as respostas 
fasoriais para obter uma única resposta no tempo.
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• Exemplo: Determinar a corrente 𝑖 no circuito abaixo em regime permanente
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• Exemplo: Determinar a corrente 𝑖 no circuito abaixo em regime permanente
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Fontes de natureza diferentes → Princípio da Superposição
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±
• Circuito 1: Apenas a fonte de tensão (𝜔 = 2 𝑟𝑎𝑑/𝑠)
ഥ𝑉𝑔
ഥ𝑉𝑔 = 5|0° 𝑉
3 𝑗2
−𝑗
𝑗
−𝑗2 1
ഥ𝐼1
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Aplicando a associação de impedâncias:
𝑍1 =
𝑗.(−𝑗2)
𝑗−𝑗2
= 𝑗2
𝑍2 = 𝑍1 + 1 = 1 + 𝑗2
𝑍3 =
1+𝑗2.(−𝑗)
1+𝑗2−𝑗
=
2−𝑗
1+𝑗
.
1−𝑗
1−𝑗
=
2−𝑗2−𝑗−1
1+1
=
1−𝑗3
2
𝑍4 = 𝑍3 + 3 + 𝑗2 =
1−𝑗3
2
+ 3 + 𝑗2 =
1−𝑗3+6+𝑗4
2
=
7+𝑗
2
Assim:
ഥ𝐼1 =
5
𝑍4
=
5
7+𝑗
2
=
10
7+𝑗
.
7−𝑗
7−𝑗
=
70−𝑗10
50
=
7−𝑗
5
= 2| − 8,1° 𝐴
No tempo:
𝑖1 𝑡 = 2 cos 2𝑡 − 8,1° 𝐴
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• Circuito 2: Apenas a fonte de corrente (𝜔 = 0)
ഥ𝐼2 3 0
0
∞
∞ 1 ഥ𝐼𝑔
ഥ𝐼𝑔 = 4 𝐴
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ഥ𝐼2 3
1 ഥ𝐼𝑔
ഥ𝐼𝑔 = 4 𝐴
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ഥ𝐼2
3 1 ഥ𝐼𝑔
ഥ𝐼𝑔 = 4 𝐴
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Por divisor de corrente:
ഥ𝐼2 = −
Τ3 4
3
. ഥ𝐼𝑔 = −
Τ3 4
3
. 4 = −1
No tempo:
𝑖2 𝑡 = −1 𝐴
A corrente total, para as duas fontes atuando simultaneamente será:
𝑖 𝑡 = 𝑖1 𝑡 + 𝑖2 𝑡 = 2 cos 2𝑡 − 8,1° − 1 𝐴
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Para os Teoremas de Thèvenin e de Norton em termos de circuitos fasoriais, o 
procedimento é idêntico ao adotado para circuitos resistivos. A única diferença 
é que a tensão de circuito aberto (𝑣𝑂𝐶) e a corrente de curto circuito (𝑖𝑆𝐶) no 
domínio do tempo, devem ser substituídas por suas representações fasoriais (𝑉𝑂𝐶
e 𝐼𝑆𝐶). Por sua vez, a resistência equivalente de Thèvenin (𝑅𝑡ℎ) é substituída pela 
impedância equivalente de Thèvenin (𝑍𝑡ℎ).
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2.2.2 Teoremas de Thèvenin e de Norton
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Determinação de 𝑉𝑂𝐶 , 𝐼𝑆𝐶 e 𝑍𝑡ℎ:
• 𝑉𝑂𝐶 é determinada a partir do cálculo da tensão de circuito aberto entre os 
terminais do circuito original que se deseja calcular o equivalente de Thèvenin
• 𝐼𝑆𝐶 é determinada a partir do cálculo da corrente de curto circuito que passa 
entre os terminais do circuito original que se deseja calcular o equivalente de 
Thèvenin
• 𝑍𝑡ℎ é determinada a partir da relação entre 𝑉𝑂𝐶 e 𝐼𝑆𝐶 ou a partir da 
impedância equivalente do circuito original sem excitação (fontes de tensão 
substituídas por curto circuito e fontes de corrente por circuitos abertos) ou 
“circuito morto”.
OBS: Fontes controladas por ventura existentes no circuito não serão eliminadas 
no cálculo do 𝑍𝑡ℎ polivirtual.eng.br
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CIRCUITO 
ELÉTRICO 
ORIGINAL
±𝑉𝑂𝐶 𝐼𝑆𝐶
𝑍𝑡ℎ
𝑍𝑡ℎ
Circuito Equivalente 
de Thèvenin
Circuito Equivalente 
de Norton
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• Exemplo: Determine o circuito equivalente de Thèvenin à esquerda dos pontos 
a e b no circuito abaixo e, em seguida, determine a tensão 𝑣 e a corrente 𝑖
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𝑖𝑔 𝑡 = 2 cos 3𝑡 𝐴 1 Ω
1
3
𝐹
1
3
𝐹𝑣1
2𝑣1 𝐴
+
−
+
−
𝑣
𝑖
𝒂
𝒃
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Circuito Fasorial:
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ഥ𝐼𝑔 1
−𝑗
−𝑗ഥ𝑉1
2𝑣1 𝐴
+
−
+
−
ത𝑉
ҧ𝐼
𝒂
𝒃
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Cálculo de 𝑉𝑂𝐶 :
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ഥ𝐼𝑔 1
−𝑗
ഥ𝑉1
2𝑣1 𝐴
+
−
+
−
𝑉𝑂𝐶
𝒂
𝒃
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Aplicando a LKC para os nós do circuito:
2 + 2 ഥ𝑉1 =
𝑉1
1
+
𝑉1−𝑉𝑂𝐶
−𝑗
= ഥ𝑉1 + 𝑗 ഥ𝑉1 − 𝑗𝑉𝑂𝐶
2 = ഥ𝑉1 −1 + 𝑗 − 𝑗𝑉𝑂𝐶
2 ഥ𝑉1 =
𝑉1−𝑉𝑂𝐶
−𝑗
= 𝑗 ഥ𝑉1 − 𝑗𝑉𝑂𝐶 ∴ 𝑉𝑂𝐶 = ഥ𝑉1(1 + 𝑗2)
2 = ഥ𝑉1 −1 + 𝑗 − 𝑗 ഥ𝑉1 1 + 𝑗2 = ഥ𝑉1 −1 + 𝑗 + + ഥ𝑉1 2 − 𝑗 ∴ ഥ𝑉1 = 2
Assim:
𝑉𝑂𝐶 = 2 1 + 𝑗2 = 2 + 𝑗4
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Cálculo de 𝐼𝑆𝐶 :
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ഥ𝐼𝑔 1
−𝑗
ഥ𝑉1
2𝑣1 𝐴
+
−
𝒂
𝒃
𝐼𝑆𝐶
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Aplicando a LKC para os nós do circuito:
2 + 2 ഥ𝑉1 =
𝑉1
1
+
𝑉1
−𝑗
= ഥ𝑉1 + 𝑗 ഥ𝑉1
2 = ഥ𝑉1 −1 + 𝑗 → ഥ𝑉1 =
2
−1+𝑗
.
(−1−𝑗)
(−1−𝑗)
=
−2−𝑗2
2
= −1 − 𝑗
𝑉1
−𝑗
= 2 ഥ𝑉1 + 𝑗𝐼𝑆𝐶 ∴ 𝐼𝑆𝐶 = ഥ𝑉1 −2 + 𝑗 = −1− 𝑗 −2 − 𝑗 = 3 + 𝑗
Assim:
𝐼𝑆𝐶 = 3 + 𝑗
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Cálculo de 𝑍𝑡ℎ:
𝑍𝑡ℎ =
𝑉𝑂𝐶
𝐼𝑆𝐶
=
2+𝑗4
3+𝑗
.
3−𝑗
3−𝑗
=
6−𝑗2+𝑗12+4
10
=
10+𝑗10
10
= 1 + 𝑗
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Circuito equivalente de Thèvenin:
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2 + 𝑗4
𝒂
𝒃
±
1 + 𝑗
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Determinação da tensão 𝑣 e da corrente 𝑖:
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2 + 𝑗4
𝒂
𝒃
±
1 + 𝑗
−𝑗
+
−
ത𝑉
ҧ𝐼
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ҧ𝐼 =
2+𝑗4
1+𝑗−𝑗
= 2 + 𝑗4 = 2 5|
ത𝑉 = −𝑗 2 + 𝑗4 = 4 − 𝑗2 = 2 5| − 26,6° 𝑉
No tempo:
𝑖 𝑡 = 2 5 cos 3𝑡 + 56,7° 𝑉
𝑣 𝑡 = 2 5 cos 3𝑡 − 26,6° 𝐴
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• Exercícios:
a) Determinar o valor de 𝑣 usando Análise de Nós
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b) Determinar o valor da tensão 𝑣 usando Análise de Malhas
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𝑖𝑔1 𝑡 = 6 cos 4𝑡 𝐴
𝑖𝑔2 𝑡 =
2 cos 4𝑡 𝐴
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c) Determinar os valores de 𝑣 e 𝑖 no circuito abaixo
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𝑖
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d) Determine os valores da tensão 𝑣 e da corrente 𝑖
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𝑖
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e) Determine os circuitos equivalentes de Thèvenin e de Norton fora dos pontos a 
e b e, em seguida, utilizando um dos circuitos equivalente, determine o valor da 
tensão 𝑣
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a
b
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Fim do Capítulo 2
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