Processamento Digital de Sinais

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Processamento Digital de Sinais
Conversão A/D e D/A
Prof. Dr. Carlos Alberto Ynoguti
Introdução
A maioria dos sinais encontrados na natureza é 
contínua
Para processá-los digitalmente, devemos:
Converter o sinal analógico para a forma digital 
(conversão A/D)
Processar o sinal digitalmente
Converter o sinal digital processado de volta à 
forma analógica (conversão D/A)
Digitalização de um sinal analógico
Diferenças entre o sinal digital e o sinal 
analógico: amostragem e quantização.
Ambos os processos restringem a quantidade 
de informação presente no sinal digital
Questão fundamental: qual informação é 
necessária, e qual pode ser descartada, para 
uma dada aplicação?
Digitalização de um sinal analógico
Amostragem
Quantização
Sinal
analógico
Sinal
digital
Perda de informação devido a:
Intervalo entre os instantes de amostragem 
(amostragem).
Passo de quantização (quantização).
Vamos agora ver cada um destes efeitos com 
mais detalhes.
Amostragem
É o processo no qual são armazenados os 
valores de um sinal contínuo apenas em 
instantes discretos de tempo.
Este processo é similar ao que acontece nos 
filmes de cinema:
tiram-se fotos das cenas a intervalos regulares 
de tempo. 
Estas fotos, quando apresentadas em 
progressão, nos dão a sensação de movimento.
Produto de dois sinais
o produto de um 
sinal ...
... com outro, 
é realizado...
... ponto a ponto
Amostragem ideal
A multiplicação do
sinal contínuo ...
... com um trem de
impulsos ...
... gera um sinal
amostrado.
Amostragem na prática
Sample & 
Hold
Sinal
analógico
Sinal
amostrado
sinal original
sinal amostrado
O Sample&Hold “segura” a tensão por um tempo para 
que o quantizador tenha tempo para medir a tensão 
da amostra.
Amostragem adequada
Se for possível reconstruir exatamente o sinal 
analógico a partir das amostras, então a amostragem 
foi realizada de forma adequada.
Teorema da Amostragem
Harry Nyquist (1889-1976) Claude E. Shannon (1916-2001)
Um sinal contínuo pode ser apropriadamente 
amostrado somente se ele não contiver 
componentes em frequência acima de metade da 
frequência de amostragem. 
f max
f s
2
Problemas devido à amostragem
Um evento ...
... que ocorre entre 
os instantes de 
amostragem ...
... não aparece no 
sinal reconstituído.
Mais problemas
Um sinal de 
alta 
frequência ...
... amostrado a 
uma taxa muito 
baixa ...
... é 
reconstituído 
como
... um sinal de 
baixa 
frequência.
Em forma gráfica
um sinal
amostrado duas 
vezes por período
tem informação 
suficiente
para ser 
reconstruído
Aliasing
Alias: adv também chamado // n outro nome, pseudônimo.
Ocorre quando amostramos um sinal a uma taxa inferior à de 
Nyquist.
sinal original
sinal amostrado
sinal reconstruído
(com aliasing)
Exemplos:
Aplicação fmax fs
Geofísica 500 Hz 1 kHz
Biomédica 1 kHz 2 kHz
Mecânica 2 kHz 4 kHz
Voz 4 kHz 8 kHz
Áudio 20 kHz 40 kHz
Vídeo 4 MHz 8 MHz
Efeitos na frequência devido ao 
aliasing
Ponto chave: um sinal digital não pode conter 
frequências acima da frequência de Nyquist 
(metade da frequência de amostragem).
Quando o sinal analógico tem somente 
componentes no intervalo (0,fs/2), não ocorre 
aliasing. 
Caso contrário, toda frequência acima de fs/2 será 
mapeada para alguma frequência no intervalo 
(0,fs/2).
Efeitos na frequência devido ao 
aliasing
Quando o sinal analógico tem 
 somente componentes no 
intervalo (0,fs/2), não ocorre 
aliasing. 
Caso contrário, toda 
frequência acima de fs/2 será 
mapeada para alguma 
frequência no intervalo 
(0,fs/2).
0,5 fs
|X(f)|
0,5 fs
|X(f)|
Correspondência de frequências no 
aliasing
Cada frequência contínua acima da taxa de Nyquist tem 
uma frequência digital correspondente no intervalo (0, fs/2).
Se já houver uma senóide nesta frequência, este sinal irá se 
somar a ela, corrompendo o sinal reconstruído.
OK com aliasing
frequência contínua
fr
eq
uê
nc
ia
 d
ig
ita
l
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
0,5
0 fs
fs
Efeitos na fase devido ao aliasing
O aliasing provoca também uma mudança de fase.
Somente dois deslocamentos de fase são 
observados: 0o e 180o
OK com aliasing
frequência contínua
fa
se
 d
ig
ita
l (
gr
au
s)
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
180o
0 fs
0o
Octave: aliasing.m & voz.wav
Checando sua compreensão
1) Seja um sinal de voz, limitado em banda a 3400 Hz, e 
contaminado com um ruído de 60 Hz. Esboce o espectro 
deste sinal, supondo uma frequência de amostragem de 8 
kHz.
2) Seja um sinal composto de 3 tons senoidais de 
frequências f
1
 = 3 kHz, f
2
 = 4 kHz e f
3
 = 8 kHz, todos de 
fase nula. Esboce o espectro deste sinal (magnitude e 
fase) supondo:
a) fs = 20 kHz
b) fs = 10 kHz
c) fs = 5 kHz
Análise no domínio da frequência
No tempo (multiplicação) Na frequência (convolução)
1/fs
t
t
t
x
=
f0
f0 fs 2fs-fs-2fs
f0 fs 2fs-fs-2fs
*
=
Aliasing no domínio da frequência
Quando um sinal 
possui 
componentes 
acima de fs/2, 
estas irão 
interferir em 
outras 
componentes do 
sinal. 
f0
f0 fs 2fs-
fs
-2fs
f0 fs 2fs-fs-2fs
*
=
Checando sua compreensão
• Seja um sinal limitado em banda conforme a figura abaixo:
• Mostre graficamente o que acontece com este sinal 
quando o amostramos a:
a) 50 kHz
b) 10 kHz
f (kHz)0 12-12
Para evitar o aliasing devemos:
Remover todas as componentes do sinal acima de 
fs/2 antes da amostragem, através de um filtro 
analógico passa-baixas.
Amostrar o sinal a uma taxa ligeiramente superior 
à taxa de Nyquist.
Assim, tanto o filtro anti-aliasing no transmissor 
como o filtro de reconstrução no receptor podem 
ter uma banda de transição que vai de fmax a fs-
fmax.
Exemplo: em telefonia, os sinais de voz são 
passados por um filtro passa-baixas com 
freqüência de corte igual a 3400 Hz, e a seguir 
amostrados à taxa de 8 kHz.
Reconstrução analógica
Objetivo: recuperar o sinal analógico digital a partir 
das amostras.
Amostragem: gera uma replicação do espectro 
original do sinal a intevalos de fs.
Para recuperar o sinal original, basta eliminar as 
réplicas. Isto pode ser feito através de um filtro 
passa baixas com frequência de corte fs/2.
f0 fs 2fs-fs-2fs fs/2-fs/2
Checando sua compreensão
Qual a frequência de corte que o filtro analógico de 
reconstrução deve ter para recuperar o sinal abaixo, 
sabendo-se que fs = 100 kHz?
f0 fs 2fs-fs-2fs fs/2-fs/2
Quantização
Depois de amostrados, os sinais mudam de valor 
apenas em instantes discretos de tempo, mas 
assumem valores em uma faixa contínua.
De modo a poder representá-los em um 
computador digital, é necessário também 
discretizar o sinal em amplitude.
Este processo é realizado pelo quantizador.
Exemplo
Imagine que um sinal contínuo assuma valores na 
faixa de 0 a 4095 volts. 
Se quantizarmos este sinal com 12 bits, teremos 
4096 valores possíveis para as tensões. 
Desta forma, os valores 2.2 e 2.1 serão quantizados 
como 2 volts.
O processo de quantização leva a uma perda de 
informação. A questão passa a ser: quanto da 
informação pode ser descartada?
Conceitos básicos
LSB (Least Significant Bit): 
distância entre dois níveis de 
quantização adjacentes.
Todos os pontos do sinal que 
estiverem no intervalo do 
segmento em vermelho serão 
quantizados pelo nível 
representado pela bola verde.
Podemos ver que o erro de 
quantização máximo neste cenário 
será LSB/2.Níveis de quantização
Limiares de deteção
LS
B
LS
B
LS
B
/2
sinal
Checando sua compreensão
Se tenho um sinal que excursionade 0 a 1 V, quantizado 
com 8 bits, qual o valor de LSB?
Solução:
Um quantizador de 8 bits divide o intervalo de excusão do 
sinal em 256 pedaços.
Desta forma, LSB = 1 V /256 = 1/256 V
Erro de quantização
sinal original
sinal quantizado
erro de quantização
Análise do erro de quantização
O erro de quantização se parece muito com um ruído 
aleatório.
De fato, ele pode ser modelado como um ruído aleatório 
com distribuição uniforme entre -1/2LSB e +1/2LSB.
Desta forma, podemos ver o efeito da quantização sobre 
o sinal original como a adição de uma certa quantidade 
de ruído aleatório ao mesmo.
Este modelo é extremamente poderoso pois o ruído 
aleatório gerado pela quantização pode simplesmente 
ser adicionado ao ruído já presente no sinal analógico.
Distribuição Uniforme
f Q(q)
1
b−a
a b q
E [Q ]= a+b
2
Var [Q ]=(b−a)
2
12
f Q(q)={ 1b−a , a⩽q⩽b0, caso contrário
Soma de Variáveis Aleatórias 
Independentes
Se X e Y são variáveis aleatórias estatisticamente 
independentes então para a v.a. Z = X+Y temos:
E [Z ]=E [X ]+E [Y ]
Var [Z ]=Var [X ]+Var [Y ]
Exemplo 1
Calcule o valor RMS do ruído de quantização adicionado por 
um quantizador de 8 bits.
Solução:
1) Vimos que o efeito do quantizador é adicionar ruído ao 
sinal. Matematicamente, isto pode ser escrito como:
Var[T] = Var[X] + Var[Q]
ou seja, a variância total do ruído do sinal (Var[T]) é dada 
pela soma da variância do ruído que já existia no sinal 
analógico (Var[X]) com a variância do ruído gerado pelo 
quantizador (Var[Q]).
Exemplo 1
2) O ruído de quantização é modelado por uma distribuição 
uniforme. Assim, podemos calcular Var[Q] a partir de: 
3) Finalmente, como queremos o valor RMS do ruído de 
quantização, temos:
Var [Q ]=(b−a)
2
12
=
[LSB /2−(−LSB /2)]2
12
= LSB
2
12
σQ=√Var [Q]=
LSB
√12
Checando sua compreensão
Tenho um sinal que excursiona de 0 a 1 V. 
Determine o valor RMS do ruído de quantização adicionado 
a este sinal por um quantizador de 10 bits.
Em resumo:
Amostragem: 
O sinal analógico deve ser filtrado de modo a não 
conter componentes acima de fmax = fs/2.
devemos amostrar o sinal a uma frequência fs maior 
ou igual a 2fmax.
Quantização: 
Modelada como um ruído com distribuição uniforme 
entre -1/2 LSB e 1/2 LSB.
Número de bits para a quantização sinal depende da:
 a) quantidade de ruído já presente no sinal analógico.
 b) quantidade de ruído que pode ser tolerada no sinal 
digital.
Exercícios
 Seja X uma variável aleatória com distribuição 
uniforme entre -1/2LSB e 1/2LSB. Calcule a média e a 
variância de X.
 Verifique o ruído adicionado a um sinal analógico por 
um quantizador de 8 bits.
 Seja um sinal analógico com amplitude máxima de 1 
V, e um ruído aleatório de 1mV rms. Analise o que 
acontece a este sinal quando o quantizamos com 8 
bits.
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