Método dos Deslocamentos em Estruturas

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Método dos Deslocamentos
Método dos Deslocamentos
1° Condições de compatibilidade;
2° Leis constitutivas dos materiais;
3° Condições de equilíbrio.
“Somar uma série de soluções básicas (chamadas de casos básicos) que 
satisfazem as condições de compatibilidade, mas que não satisfazem as 
condições de equilíbrio da estrutura original, para na superposição 
restabelecer as condições de equilíbrio.”
Esse procedimento é o inverso do que é feito na solução pelo Método dos 
Esforços
Deslocabilidades
são as componentes de deslocamentos e rotações nodais que
estão livres, isto é, que devem ser conhecidas para determinar a configuração
deformada de uma estrutura.
Em estruturas que trabalham principalmente por flexão, geralmente 
podemos desprezar as deformações por força normal e cortante.
Deslocamentos livres que não provocam esforços na estrutura podem ser 
desprezados.
𝜃1 𝜃1 𝜃2
𝜃1 𝜃2 𝜃1 𝜃2
𝛿3
Grau de hipergeometria(G.H.): somatória das deslocabilidades.
𝐺. 𝐻. = 1
𝐺. 𝐻. = 2
𝐺. 𝐻. = 2 𝐺. 𝐻. = 3
𝜃1
Deslocabilidades
𝛿2
𝜃5 𝜃6
𝜃2 𝜃3
𝛿4
𝛿1
𝜃4 𝜃5
𝜃2
𝛿3
𝛿1 𝜃1
𝐺. 𝐻. = 2 𝐺. 𝐻. = 6
𝐺. 𝐻. = 5 𝐺. 𝐻. = 1
estrutura cinematicamente determinada: uma estrutura que tem todas as suas 
deslocabilidades definidas (com valores conhecidos)
Sistema Hipergeométrico (SH): O modelo estrutural utilizado nos casos básicos 
é o de uma estrutura cinematicamente determinada obtida a partir da 
estrutura original pela adição de vínculos na forma de apoios fictícios
Sistema Hipergeométrico (SH)
Sistema Hipergeométrico (SH)
Fatores de carga
São os esforços (momentos e forças) que surgem nas extremidades das barras 
provocadas pelas cargas, também chamadas de momento de engastamento
perfeito.
𝐸𝐼
𝐴
𝐵
𝐿
𝛿11 =
1
3
𝐿. 1.1
𝐸𝐼
=
𝐿
3𝐸𝐼
𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0
𝑋1 =
𝑞𝐿2
8
𝑀𝐴𝐵
𝑀𝐴𝐵 =
𝑞𝐿2
8
𝑀𝑒𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜𝑠
𝑋1 = 1
𝑞
𝑞
𝑞𝐿2
8
𝛿10 = −
1
3
𝐿
𝐸𝐼
𝑞𝐿2
8
1 = −
𝑞𝐿3
24𝐸𝐼
−
𝑞𝐿3
24𝐸𝐼
+
𝐿
3𝐸𝐼
𝑋1 = 0
𝐹𝐴𝐵 𝐹𝐵𝐴
Fatores de carga
Fatores de carga
Fator de carga do nó
Soma dos fatores de carga das barras ligadas ao nó
𝑀𝐵𝐶𝐴 𝐵 𝐶
𝐿 𝐿
𝐸𝐼 𝐸𝐼
𝑀𝐵𝐴
𝑆11 = 𝑀𝐵𝐴 +𝑀𝐵𝐶
𝑆𝑖𝑗
𝑖 → 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑗 → 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒
(1)
Rigidez de barra
Esforço ou força que surge na barra quando impomos um deslocamento 
(translação ou rotação) unitário em uma de suas direções.
𝜃 = 1
𝐸𝐼
𝐴
𝐵
𝐿
𝑋1 = 1
𝛿10 = − 𝑅𝜌 = −1.1 = −1
𝛿11 =
1
3
𝐿. 1.1
𝐸𝐼
=
𝐿
3𝐸𝐼
𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0
−1 +
𝐿
3𝐸𝐼
𝑋1 = 0 𝑋1 =
3𝐸𝐼
𝐿
𝑀𝐴𝐵
𝑀𝐴𝐵 =
3𝐸𝐼
𝐿
𝑀𝑒𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜𝑠
𝐹𝐴𝐵 𝐹𝐵𝐴
Rigidez de barra
𝐸𝐼
𝐿
3𝐸𝐼
𝐿
𝜃 = 1
𝐸𝐼
𝐿
4𝐸𝐼
𝐿
𝜃 = 1
2𝐸𝐼
𝐿
𝐸𝐼
𝐿
3𝐸𝐼
𝐿2 𝜌 = 1
𝐸𝐼
𝐿
𝜌 = 1
6𝐸𝐼
𝐿2
6𝐸𝐼
𝐿2
Rigidez do nó
Soma das rigidezes das barras ligadas ao nó
𝑀𝐵𝐶𝐴 𝐵 𝐶)
𝐿 𝐿
𝐸𝐼 𝐸𝐼
𝑀𝐵𝐴
𝑀𝐵𝐶 =
3𝐸𝐼
𝐿
𝑀𝐵𝐴 =
4𝐸𝐼
𝐿
𝐾11 = 𝑀𝐵𝐴 +𝑀𝐵𝐶
𝐾11 =
4𝐸𝐼
𝐿
+
3𝐸𝐼
𝐿
𝐾𝑖𝑗
𝑖 → 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑗 → 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒
(1)
Metodologia
1) Identificar as deslocabilidades;
2) Definir o sistema hipergeométrico (bloqueando as deslocabilidades);
3) Calcular os fatores de carga dos nós;
4) Calcular as rigidezes dos nós;
5) Aplicar a condição de equilíbrio dos nós;
6) Superposição de efeitos para o cálculo dos esforços.
𝐴
𝐵 𝐶
𝐷𝐴
𝐵 𝐶
𝐷
𝑑1 𝑑2
𝑑3
𝐺. 𝐻. = 3
S. 𝐻.
𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝟎: 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎:
(1) (2)(3)
𝐴
𝐵 𝐶
𝐷
(1) (2)(3) 𝑆10 = 𝑀𝐵𝐴
0 +𝑀𝐵𝐶
0
𝑆20 = 𝑀𝐶𝐵
0 +𝑀𝐶𝐷
0
𝑆30 = 𝐹𝐵𝐴
0 + 𝐹𝐶𝐷
0
𝑀𝐵𝐶
0 𝑀𝐶𝐵
0
𝑀𝐵𝐴
0
𝑀𝐴𝐵
0
𝑀𝐷𝐶
0
𝑀𝐶𝐷
0
𝐹𝐵𝐴
0
Exemplo
𝐹𝐶𝐷
0
𝑪𝒂𝒔𝒐 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝟏: 𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 para o giro em 1
𝐴
𝐵 𝐶
𝐷
(1) (2)(3)
𝑑1 = 1
𝑀𝐵𝐶
1
𝑀𝐶𝐵
1
𝑀𝐵𝐴
1
𝑀𝐴𝐵
1
𝑀𝐶𝐷
1
𝑀𝐷𝐶
1
𝐹𝐷𝐶
1
𝐾11 = 𝑀𝐵𝐴
1 +𝑀𝐵𝑐
1
𝐾21 = 𝑀𝐶𝐵
1 +𝑀𝐶𝐷
1
𝐾31 = 𝐹𝐵𝐴
1 + 𝐹𝐶𝐷
1
𝑪𝒂𝒔𝒐 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝟐: 𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 para o giro em 2
𝐴
𝐵 𝐶
𝐷
(1) (2)(3)
𝑑2 = 1
𝑀𝐵𝐶
2
𝑀𝐶𝐵
2
𝑀𝐵𝐴
2
𝑀𝐴𝐵
2
𝑀𝐶𝐷
2
𝑀𝐷𝐶
2
𝐹𝐷𝐶
2
𝐾12 = 𝑀𝐵𝐴
2 +𝑀𝐵𝑐
2
𝐾22 = 𝑀𝐶𝐵
2 +𝑀𝐶𝐷
2
𝐾32 = 𝐹𝐵𝐴
2 + 𝐹𝐶𝐷
2
𝑪𝒂𝒔𝒐 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝟑: 𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧
para a translação em 3
𝐴
𝐵 𝐶
𝐷
(1) (2)(3)
𝑀𝐵𝐶
3
𝑀𝐶𝐵
3
𝑀𝐵𝐴
3
𝑀𝐴𝐵
3
𝑀𝐶𝐷
3
𝑀𝐷𝐶
3
𝐹𝐷𝐶
3
𝑑3 = 1
𝐾13 = 𝑀𝐵𝐴
3 +𝑀𝐵𝑐
3
𝐾23 = 𝑀𝐶𝐵
3 +𝑀𝐶𝐷
3
𝐾33 = 𝐹𝐵𝐴
3 + 𝐹𝐶𝐷
3
𝐹𝐵𝐴
1 𝐹𝐵𝐴
3
𝐹𝐵𝐴
2
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜
𝑆10 + 𝐾11𝑑1 + 𝐾12𝑑2 + 𝐾13𝑑3 = 0
𝑆20 + 𝐾21𝑑1 + 𝐾22𝑑2 + 𝐾23𝑑3 = 0
𝑆30 + 𝐾31𝑑1 + 𝐾32𝑑2 + 𝐾33𝑑3 = 0
𝑆10
𝑆20
𝑆30
+
𝐾11 𝐾12 𝐾13
𝐾21 𝐾22 𝐾23
𝐾31 𝐾32 𝐾33
.
𝑑1
𝑑2
𝑑3
= 0
𝑆 + 𝐾 . 𝑑 = 0
𝑑 = − 𝑆 𝐾 −1
𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜𝑠
𝐸 = 𝐸0 + 𝐸1𝑑1 + 𝐸2𝑑2+𝐸3𝑑3
𝑀𝐴𝐵 = 𝑀𝐴𝐵
0 +𝑀𝐴𝐵
1 𝑑1 +𝑀𝐴𝐵
2 𝑑2+𝑀𝐴𝐵
3 𝑑3
𝑀𝐵𝐴 = 𝑀𝐵𝐴
0 +𝑀𝐵𝐴
1 𝑑1 +𝑀𝐵𝐴
2 𝑑2+𝑀𝐵𝐴
3 𝑑3
𝑀𝐵𝐶 = 𝑀𝐵𝐶
0 +𝑀𝐵𝐶
1 𝑑1 +𝑀𝐵𝐶
2 𝑑2+𝑀𝐵𝐶
3 𝑑3
𝑀𝐶𝐷 = 𝑀𝐶𝐷
0 +𝑀𝐶𝐷
1 𝑑1 +𝑀𝐶𝐷
2 𝑑2+𝑀𝐶𝐷
3 𝑑3
𝑀𝐷𝐶 = 𝑀𝐷𝐶
0 +𝑀𝐷𝐶
1 𝑑1 +𝑀𝐷𝐶
2 𝑑2+𝑀𝐷𝐶
3 𝑑3
𝑀𝐶𝐵 = 𝑀𝐶𝐵
0 +𝑀𝐶𝐵
1 𝑑1 +𝑀𝐶𝐵
2 𝑑2+𝑀𝐶𝐵
3 𝑑3
𝐴
𝐵 𝐶
𝐷
(1) (2)(3)
𝑀𝐴𝐵
𝑀𝐵𝐴
𝑀𝐵𝐶 𝑀𝐶𝐵
𝑀𝐶𝐷
𝑀𝐷𝐶
Exemplo
𝐸𝐼 → 𝑐𝑡𝑒
𝐴
𝐵 𝐶
4𝑚 2𝑚 3𝑚
20 𝐾𝑁/𝑚 30 𝐾𝑁
𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠: 𝐺𝐻 = 1
𝑑1
𝐴
𝐵 𝐶
𝑆. 𝐻.
(1)
Exemplo
𝐴
𝐵 𝐶
4𝑚 2𝑚 3𝑚
CB0= Cálculo dos fatores de carga dos nós
𝑀𝐵𝐴 𝑀𝐵𝐶𝑀𝐴𝐵
𝑀𝐴𝐵 =
𝑞𝐿2
12
=
20. 42
12
= 26,67𝐾𝑁𝑚
20 𝐾𝑁/𝑚 30 𝐾𝑁
𝑀𝐵𝐴 = −
𝑞𝐿2
12
= −
20. 42
12
= −26,67𝐾𝑁𝑚
𝑀𝐵𝐶 =
𝑃𝑎𝑏
2𝐿2
𝐿 + 𝑏 =
30.2.3
2. 52
5 + 3 = 28,80𝐾𝑁𝑚
𝑆10 = 28,80 − 26,67 = 2,13 𝐾𝑁𝑚
(1)
Exemplo
𝐴
𝐵 𝐶
4𝑚 2𝑚 3𝑚
CB1: Cálculo da rigidez
𝐸𝐼
(1)
(2)
𝐿
3𝐸𝐼
𝐿
𝜃 = 1
𝐸𝐼(1)
(2)
𝐿
4𝐸𝐼
𝐿
𝜃 = 1
2𝐸𝐼
𝐿
𝐾𝐵𝐴
𝐾𝐵𝐶𝐾𝐴𝐵
𝐾𝐵𝐴 =
4𝐸𝐼
𝐿
= 𝐸𝐼
𝐾𝐵𝐶 =
3𝐸𝐼
𝐿
=
3
5
𝐸𝐼
𝐾11 = 𝐸𝐼 +
3
5
𝐸𝐼 =
8
5
𝐸𝐼
(1)
𝐾𝐴𝐵 =
2𝐸𝐼
𝐿
=
𝐸𝐼
2
Exemplo
𝐴
𝐵 𝐶
4𝑚 2𝑚 3𝑚
Aplicação da condição de equilíbrio
(1)
𝑆10 + 𝐾11𝑑1 = 0
2,13 +
8
5
𝐸𝐼𝑑1 = 0
𝑑1 = −
1,33
𝐸𝐼
Superposição de efeitos
𝐸 = 𝐸0 + 𝐾1𝑑1
𝑀𝐴𝐵 = −26,67 +
𝐸𝐼
2
.
(−1,33)
𝐸𝐼
= 26,00𝐾𝑁𝑚
𝑀𝐵𝐴 = −26,67 + 𝐸𝐼.
−1,33
𝐸𝐼
= −28,00𝐾𝑁𝑚
𝑀𝐵𝐶 = 28,80 +
3
5
𝐸𝐼.
−1,33
𝐸𝐼
= 28,00𝐾𝑁𝑚 𝐴
𝐵 𝐶
26 28
40
36