AULA 10 (SEMANA 6)

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Teoria das Estruturas II
CIV209
Professora: Andréa Regina Dias da Silva
DECIV|Escola de Minas|UFOP
2. Método das Forças
1. Grau de hiperestaticidade
2. Metodologia usada no método
3. Análise de viga contínua
4. Sistema principal para ciclo fechado
5. Análise de pórtico composto
6. Análise de uma viga submetida a variação uniforme de temperatura
7. Análise de um pórtico submetido a variação não uniforme de temperatura
8. Análise de um pórtico com recalque de apoio
9. Solicitações compostas
10. Análise de treliças planas
11. Cálculo de deslocamentos em estruturas hiperestáticas
T
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2.13 Cálculo de deslocamentos
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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
q
S
m
P
δm
S
m
1=P
Sistema Real (Estado de Deformação)
N, V, M e R ,N M V R , e 
Sistema Virtual (Estado de Carregamento)
Efeito do carregamento externo
2.13 Cálculo de deslocamentos
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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
q
S
m
P
δm
S
m
1=P
N, V, M e R ,N M V R , e 
M é t o d o d a s F o r ç a s
Estruturas iguais: mesmo Sistema Principal
• Mesma direção para os hiperestáticos
• Diferentes termos de carga
• Mesmos coeficientes de flexibilidade
• Diferentes intensidades e sentido para os 
hiperestáticosSistema Real Sistema Virtual
Efeito do carregamento externo
2.13 Cálculo de deslocamentos
T
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s 
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P
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
q
S
m
P
δm
S
m
1=P
N, V, M e R ,N M V R , e 
Sistema Real
(Estado de deformação)
Sistema Virtual
(Estado de carregamento)
δ = θ + +  m
est est est
P Md Ndu Vdh
δ = + +  m
est est est
Mdx Ndx Vdx
P M N fV
EI EA GA
P r i n c í p i o d a s F o r ç a s V i r t u a i s
Efeito do carregamento externo
2.13 Cálculo de deslocamentos
T
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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
q
S
m
P
δm
S
m
1=P
N, V, M e R ,N M V R , e 
Sistema Real
(Estado de deformação)
Sistema Virtual
(Estado de carregamento)
0 1 1 2 2
0 1 1 2 2
0 1 1 2 2
= + +
= + +
= + +
M M M X M X
N N N X N X
V V VX V X
δ = + +  m
est est est
Mdx Ndx Vdx
P M N fV
EI EA GA
Efeito do carregamento externo
0 1 21 2
0 1 21 2
1 20 1 2
1 20 1 2
= + +
= + +
= + +
= + +
M M M X V X
N N N X N X
V V V X V X
R R R X R X
2.13 Cálculo de deslocamentos
T
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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
0 1 21 2
0 1 21 2
1 20 1 2
= + +
= + +
= + +
M M M X V X
N N N X N X
V V V X V X
δ = + +  m
est est est
Mdx Ndx Vdx
P M N fV
EI EA GA
( )0 1 21 2 0 1 2
1 2
+ +
= = + +    
est est est est est
M M M X M X MM MMMM MM
dx dx dx X dx X dx
EI EI EI EI EI
( )0 1 21 2 0 1 2
1 2
+ +
= = + +    
est est est est est
N N N X N X NN NNNN NN
dx dx dx X dx X dx
EA EA EA EA EA
( )1 20 1 2 0 1 2
1 2
+ +
= = + +    
est est est est est
V V V X V X VV VVVV VV
f dx f dx f dx X f dx X f dx
GA GA GA GA GA
2.13 Cálculo de deslocamentos
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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
0 1 1 2 2
0 1 1 2 2
0 1 1 2 2
= + +
= + +
= + +
M M M X M X
N N N X N X
V V VX V X
1 1 1
1
 
⋅ + + 
 est
MM NN VV
X dxf
EI EA GA
1 0 1 1 2 21 0 1 1 2 2 1 0 1 1 2 2
1
1 0 1 0 1 0 1 1 1
11
     
 + ++ + + +     
     ⋅ =      + + 
 
 
+ ⋅ ++ += ⋅  
 
  

�������������������������� ������������� VM N
est est est
est
V V VX V XM M M X M X N N N X N X
X
dx dx f dx
EI EA GA
M M N N VV M M N N
dx XfX
EIEI EA GA
1 1 1 1 2 1 2 1 2
2
    
+ ⋅+ + +    
    
 
est est
VV M M N N VV
dx X dxf f
EA GA EI EA GA
10 11 1 12 2
1
0
0
=
δ + δ ⋅ + δ ⋅ ⋅ = 
 
���������
X X
X
δ10 δ11 δ12
2.13 Cálculo de deslocamentos
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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
0 1 1 2 2
0 1 1 2 2
0 1 1 2 2
= + +
= + +
= + +
M M M X M X
N N N X N X
V V VX V X2 2 2
2
 
⋅ + + 
 est
MM NN VV
X dxf
EI EA GA
2 0 1 1 2 22 0 1 1 2 2 2 0 1 1 2 2
2
2 0 2 0 2 0 2 1 2
12
     
 + ++ + + +     
     ⋅ =      + + 
 
 
+ ⋅ ++ += ⋅  
 
  

�������������������������� ������������� VM N
est est est
est
V V VX V XM M M X M X N N N X N X
X
dx dx f dx
EI EA GA
M M N N VV M M N N
dx XfX
EIEI EA GA
1 2 1 2 2 2 2 2 2
2
    
+ ⋅+ + + =    
    
 
est est
VV M M N N VV
dx X dxf f
EA GA EI EA GA
δ20 δ21 δ22
20 21 1 22 2
2
0
0
=
δ + δ ⋅ + δ ⋅ ⋅ = 
 
���������
X X
X
2.13 Cálculo de deslocamentos
T
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P
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
δ = + +  m
est est est
Mdx Ndx Vdx
P M N fV
EI EA GA
( )0 1 21 2 0 1 2
1 2
+ +
= = + +    
est est est est est
M M M X M X MM MMMM MM
dx dx dx X dx X dx
EI EI EI EI EI
( )0 1 21 2 0 1 2
1 2
+ +
= = + +    
est est est est est
N N N X N X NN NNNN NN
dx dx dx X dx X dx
EA EA EA EA EA
( )1 20 1 2 0 1 2
1 2
+ +
= = + +    
est est est est est
V V V X V X VV VVVV VV
f dx f dx f dx X f dx X f dx
GA GA GA GA GA
= 0 = 0
2.13 Cálculo de deslocamentos
T
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P
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
δ = + +  m
est est est
Mdx Ndx Vdx
P M N fV
EI EA GA
0 0 0
δ = + +  m
est est est
MM dx NN dx VV dx
P f
EI EA GA
q
S
m
P
δm
S
m
1=P
N, V, M e R ,N M V R , e 
Sistema Real Sistema Virtual
0 0 0, e M N V
esforços internos no caso básico 0 para a carga 
unitária no SP (estrutura isostática)
Efeito do carregamento externo
0 1 21 2
0 1 21 2
1 20 1 2
1 20 1 2
= + +
= + +
= + +
= + +
M M M X V X
N N N X N X
V V V X V X
R R R X R X
2.13 Cálculo de deslocamentos
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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
“Para calcular deslocamentos ou
rotações (deformações) em uma
estrutura hiperestática, um dos
estados deve ser tomado na
estrutura hiperestática, podendo
o outro ser tomado num sistema
principal isostático qualquer que
dela se obtenha.”
q
S
m
P
δm
S
m
1=P
N, V, M e R 0 00 0,N M V R , e 
Sistema Real Sistema Virtual
0 0 0
δ = + +  m
est est est
MM dx NN dx VV dx
P f
EI EA GA
Efeito do carregamento externo
2.13 Cálculo de deslocamentos
T
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P
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Efeito da variação de temperatura
δm
S
m
1=P
Sistema Real (Estado de Deformação)
N, V, M e R ,N M V R , e 
Sistema Virtual (Estado de Carregamento)
iT∆
ST∆S
m
2.13 Cálculo de deslocamentos
T
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P
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Efeito da variação de temperatura
δm
S
m
1=P
,N M V R , e 
Sistema Virtual
iT∆
ST∆S
m
N, V, M e R
( )α ∆ − ∆
δ = + α∆ +
+ + +
 
  
i S
m CG
est est
est est est
T T
P Mdx T Ndx
h
MMdx NNdx fVVdx
EI EA GA
Sistema Real 0 1 1 2 2
0 1 1 2 2
0 1 12 2
= + +
= + +
= + +
M M M X M X
N N N X N X
V V VX V X
0 1 21 2
0 1 21 2
1 20 1 2
1 20 1 2
= + +
= + +
= + +
= + +
M M M X V X
N N N X N X
V V V X V X
R R R X R X
δ = θ + + θ + +    
T T
m
est est est est est
P Md Ndu Md Ndu Vdh
2.13 Cálculo de deslocamentos
T
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P
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Efeito da variação de temperatura
δm
S
m
1=P
0 0 0 0,N M V R , e 
Sistema Virtual
iT∆
ST∆S
m
N, V, M e R
( )α ∆ − ∆
δ = + α∆ +
+ + +
 
  
i S
m CG
est est
est est est
T T
P Mdx T Ndx
h
MMdx NNdx fVVdx
EI EA GA
Sistema Real
( )
0 0
0 0 0
α ∆ − ∆
δ = + α∆ +
+ + +
 
  
i S
m CG
est est
est est est
T T
P M dx T N dx
h
MM NN VV
dx dx f dx
EI EA GA
2.13 Cálculo de deslocamentos
T
eo
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P
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Efeito do recalque de apoio
δm
S
m
1=P
Sistema Real (Estado de Deformação)
N, V, M e R
,N M V R , e 
Sistema Virtual (Estado de Carregamento)
S
m
ρ1
ρ2
2.13 Cálculo de deslocamentos
T
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U
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O
P
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Efeito do recalque de apoio
δm
S
m
1=P
S
m
ρ1
ρ2
,N M V R , e 
Sistema Virtual
N, V, M e R
Sistema Real
δ + ρ = + +   m
est est est
MMdx NNdx fVVdx
P R
EI EA GA
0 1 1 2 2
0 1 1 2 2
0 1 1 2 2
= + +
= + +
= + +
M M M X M X
N N N X N X
V V VX V X
0 1 21 2
0 1 21 2
1 20 1 2
1 20 1 2
= + +
= + +
= + +
= + +
M M M X V X
N N N X N X
V V V X V X
R R R X R X
2.13 Cálculo de deslocamentos
T
eo
ri
a 
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P
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Efeito do recalque de apoio
δm
S
m
1=P
S
m
ρ1
ρ2
0 0 0 0,N M V R , e 
Sistema Virtual
N, V, M e R
Sistema Real
0 0 0
0δ + ρ = + +   m
est est est
MM dx NN dx fVV dx
P R
EI EA GA
δ + ρ = + +   m
est est est
MMdx NNdx fVVdx
P R
EI EA GA
2.13 Cálculo de deslocamentos
T
eo
ri
a 
da
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E
st
ru
tu
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s 
II
D
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C
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C
IV
|
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O
P
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Solicitações compostas: carregamento, temperatura e recalque de apoio
δm
S
m
1=P
S
m
ρ1
ρ2
0 0 0 0,N M V R , e 
Sistema Virtual
N, V, M e R
Sistema Real
q
( )
00
0 0 0
0
α ∆ − ∆
δ + ρ = +
+ α∆ + + +
 
   
i S
m
est
CG
est est est est
T T
P R M dx
h
MM dx NN dx fVV dx
T N dx
EI EA GA
2.13 Cálculo de deslocamentos
T
eo
ri
a 
da
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ra
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C
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C
IV
|
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O
P
APLICAÇÕES
0 0 0
δ = + +  m
est est est
MM dx NN dx VV dx
P f
EI EA GA
Efeito do carregamento externo
4
L
2
12
qL 2
12
qL
2
8
qL
0
centro da viga
2 2
44 4
1 1 1 1 1
1
2 12 4 3 8 42 2
1
5
38496 384
δ = =
  = =− ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ ⋅  
  
 
= =− + ⋅ 
 

est
MM dx
EI
qL L qL L
L L
EI
qLqL qL
EI
0M
M
q
L, A, I, E, G
Obter o deslocamento vertical no centro da viga biengastada Pab
L
P
a b
1=P
2L 2L
2.2 Metodologia usada no método
T
eo
ri
a 
da
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ra
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C
IV
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IV
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O
P
TABELA PARA CÁLCULO DE INTEGRAIS
0
L
MMdx
 
 
 
2
8
D
ql
M = 
 
 
 
 
1
3
E EM M l ( )
1
1
3
D EM M l+ αβ ( )
1
1
6
C EM M l+ α ( )
1
1
6
B EM M l+ β 
1
2
A EM M l 
l
αl βl
EM
l
DM
l
CM
l
BM
l
AM
l
αl βl
EM
0
l
M M dx⋅ ⋅
2.13 Cálculo de deslocamentos
T
eo
ri
a 
da
s 
E
st
ru
tu
ra
s 
II
D
E
C
IV
|
U
F
O
P
T
eo
ri
a 
da
s 
E
st
ru
tu
ra
s 
II
D
E
C
IV
|
U
F
O
P
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Efeito da variação de temperatura
6 m
100 oC
6 m6 m
100 oC100 oC
20 oC 20 oC 20 oC
800 800
1
1 3 3
1,5
6
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= =
P a b
L
0M
M
E = 108 kN/m2, α = 10-5/oC e seção retangular com h =50 cm e b = 40 cm.
Obter o deslocamento vertical no centro da viga contínua
3 m 3 m
T
eo
ri
a 
da
s 
E
st
ru
tu
ra
s 
II
D
E
C
IV
|
U
F
O
P
T
eo
ri
a 
da
s 
E
st
ru
tu
ra
s 
II
D
E
C
IV
|
U
F
O
P
( ) 0
0centro da viga
α ∆ − ∆
δ = + 
i S
est est
T T MM
P M dx dx
h EI
( )5 3 3
centro da viga centro da viga centro da viga8
10 120 100
1 4,5 3600 7,2 10 8,64 10 0,001439 m
0,5 10 0,004167
−
− −−⋅δ = ⋅ + ⋅ ∴δ = − ⋅ + ⋅ ∴δ =
⋅
0
0
1
6 1,5 4,5
2
1
6 800 1,5 3600
2

= + ⋅ ⋅ = +


 = + ⋅ ⋅ ⋅ = +



est
est
M dx
MM dx
6 m
100 oC
6 m6 m
100 oC100 oC
20 oC 20 oC 20 oC
800 800
1
1 3 3
1,5
6
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= =
P a b
L
0M
M
( )
0 0centro da viga
1
1
α ∆ − ∆
⋅δ = + 
i S
est est
T T
M dx MM dx
h EI
( ) 0 0 0
0 0
α ∆ − ∆
δ = + α∆ + + +    
i S
m CG
est est est est est
T T MM NN VV
P M dx T N dx dx dx f dx
h EI EA GA
2.13 Cálculo de deslocamentos
T
eo
ri
a 
da
s 
E
st
ru
tu
ra
s 
II
D
E
C
IV
|
U
F
O
P
T
eo
ri
a 
da
s 
E
st
ru
tu
ra
s 
II
D
E
C
IV
|
U
F
O
P
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Efeito do recalque de apoio
0,02 m
0,01 m 0,03 m
6 m
3 m
1200 1200
12001200
400400
0,001
1
1 3 3
1,5
6
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= =
P a b
L
0,5 0,5
0 0M R, 
M
E = 108 kN/m2, e seção retangular com h =60 cm e b = 40 cm.
Obter o deslocamento vertical no centro da viga
3 m 3 m
T
eo
ri
a 
da
s 
E
st
ru
tu
ra
s 
II
D
E
C
IV
|
U
F
O
P
T
eo
ri
a 
da
s 
E
st
ru
tu
ra
s 
II
D
E
C
IV
|
U
F
O
P
0 0 0
0δ + ρ = + +   m
est est est
MM dx NN dx fVV dx
P R
EI EA GA
0,02m
0,01 m 0,03 m
6 m
3 m
1200 1200
12001200
400400
0,001
1
1 3 3
1,5
6
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= =
P a b
L
0,5 0,5
centro viga
0,01
8
0,0075
0 0,01 0,5 0,02 0 0,03
1
1 1
6 1200 1,5
10 0,0072 2
=−
−
⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅δ + = 
 
 
⋅ ⋅ ⋅ 
⋅  
�������������
�������������
0
0δ + ρ = m
est
MM dx
P R
EI
centro viga 0,01 0,0075 0,0175 mδ = + =
0 0M R, 
M
2.13 Cálculo de deslocamentos
T
eo
ri
a 
da
s 
E
st
ru
tu
ra
s 
II
D
E
C
IV
|
U
F
O
P
T
eo
ri
a 
da
s 
E
st
ru
tu
ra
s 
II
D
E
C
IV
|
U
F
O
P
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Solicitações compostas: carregamento, temperatura e recalque de apoio
6 m 4 m 4 m
10 kN/m
50 kNm
40 oC 40 oC 40 
oC
129
64
114
49
⋅
=
210 6
45
8
1
1
0M
M
E = 108 kN/m2, A = 0,01 m2, I = 0,001 m4, α = 10-5 /oC e seção retangular com h =50 cm.
Obter a rotação na extremidade esquerda da viga
T
eo
ri
a 
da
s 
E
st
ru
tu
ra
s 
II
D
E
C
IV
|
U
F
O
P
T
eo
ri
a 
da
s 
E
st
ru
tu
ra
s 
II
D
E
C
IV
|
U
F
O
P
6 m 4 m 4 m
10 kN/m
50 kNm
40 oC 40 oC 40 
oC
129
64
114
49
⋅
=
210 6
45
8
1
1
0M
M
( )5 0
0
10 40 0
1 0
0,5
−
−
⋅θ + = + 
est est
MM dx
M dx
EI
( ) 0 0 0
0 00
α ∆ − ∆
δ + ρ = + α∆ + + +     
i S
m CG
est est est est est
T T MM dx NN dx fVV dx
P R M dx T N dx
h EI EA GA
( ) 0
00
α ∆ − ∆
δ + ρ = +  
i S
m
est est
T T MM dx
P R M dx
h EI
T
eo
ri
a 
da
s 
E
st
ru
tu
ra
s 
II
D
E
C
IV
|
U
F
O
P
T
eo
ri
a 
da
s 
E
st
ru
tu
ra
s 
II
D
E
C
IV
|
U
F
O
P
6 m 4 m 4 m
129
64
114
49
⋅
=
210 6
45
8
1
0M
M
( )5 0
0
10 40 0
1 0
0,5
−
−
⋅θ + = + 
est est
MM dx
M dx
EI
6 m 4 m 4 m
4 7
2 7
( ) ( )5 5 5
0
10 10 140 0 40 0
560 1014 1
0,5 0,5 2
− −
−− −  = = ⋅⋅ ⋅ 
 est
M dx
0
5
8 3
1 1 4 1 1 4
6 129 1 6 129 6 45 1 6 45
6 3 7 3 3 7
1 1 4 1 2 1 4 1 2
359,381 104 129 4 129 4 64 4 64
10 10 3 7 6 7 6 7 3 7
1 2 1 2
4 114 4 49
3 7 6 7
−
−
=
 
− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − 
 
 = = − ⋅− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ −
 ⋅
 
 − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ 
 

est
MM dx
EI
M
0M
129
45
129
64
114
49
1
4 7
2 7
4 7
2 7
5 5 3560 10 359,381 10 2,01 10 rad− − −θ = ⋅ − ⋅ = ⋅
_ _ _
__+
+
+ +
+ +