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Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Bioestatísica - MAT02218
Lista 4
Exercício 1
Teste de hipótese é um procedimento estatístico destinado a verificar hipóteses relativas a parâmetros
populacionais. Uma questão fundamental nesse processo é a taxa de erro de conclusão. Indique o
motivo pelo qual poderão existir tais erros e quais são eles.
Resposta: Os erros de conclusão podem ocorrer devido ao processo de amostragem. No entanto,
se a hipótese nula estiver correta, esses erros podem ocorrer a uma taxa α, ou seja, se repertimos a
amostra enúmeras vezes e testarmos H0 a um nível de significância α, somente rejitaremos H0 em
α× 100% das vezes. Esse erro é chamado de erro do tipo I.
Exercício 2
Defina sumariamente:
a) Erro tipo I
b) Nível de significância
c) Valor crítico
d) Estatística do teste
Resposta:
a) Probabilidade de rejeitar uma H0 verdadeira.
b) Probabilidade de cometer o erro tipo I.
c) Valor (tabelado) que define a região de rejeição.
d) Função dos dados para a qual se conhece a distribuição sob H0. Quando H0 é falsa, o valor
calculado fica “maior” (em modulo) que o valor crítico.
Exercício 3
O que significa rejeitar a hipótese nula? Resposta: Significa que os dados evidenciam que a
hipótese nula não está correta.
Exercício 4
A não rejeição da hipótese nula significa que ela esteja correta? Resposta: Não. Pode-se dizer que
os dados não mostram evidências suficientes para rejeitá-la.
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Exercício 5
Para cada um dos seguintes casos, decida se é adequado um teste unilateral ou bilateral, e faça o
desenho da curva para ilustrar a região de rejeição de cada teste. Indique a área na(s) cauda(s).
a) H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 6= µ2 α = 0.05
b) H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 > µ2 α = 0.03
c) H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 < µ2 α = 0.01
Resposta:
a) Teste Bilateral (α = 0.05)
−4 −2 0 2 4
b) Teste Unilateral (α = 0.03)
−4 −2 0 2 4
c) Teste Unilateral (α = 0.01)
−4 −2 0 2 4
Exercício 6
Com o objetivo verificar se o tempo médio de desemprego na região metropolitana de Porto Alegre
era de 2.5 meses, pesquisou-se um grupo de 64 desempregados entre 1000 cadastrados no SINE, que
apresentou tempo médio igual a 3 meses e desvio padrão de 1 mês. (Dados fictícios).
a) Apresente as hipóteses;
b) Use α = 5% de significância e teste a hipótese do problema.
Resposta
a) H0 : µ = 2.5 H1 : µ 6= 2.5
b) tcalc = 4; tcrit = 1.998.
(|tcalc| > |tcrit|)→ (p < α)→ Rejeita-se H0.
Exercício 7
Diante de uma equipe de fiscais, a nutricionista responsável pelo cardápio de um restaurante declarou
que o peso médio de uma determinada vitamina por bandeja de refeição é de 5.5g. Foi retirada uma
amostra de 25 bandejas do fornecimento diário de refeições desse restaurante, encontrando-se uma
média de 5.2g da vitamina e um desvio padrão de 1.2g.
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a) Apresente as hipóteses;
b) Use α = 5% de significância e teste a hipótese do problema.
Resposta:
a) H0 : µ = 5.5 H1 : µ 6= 5.5
b) tcalc = −1.25; tcrit = 2.064.
(|tcalc| < |tcrit|)→ (p > α)→ Não se rejeita H0.
Exercício 8
Para avaliar o efeito de um brinde nas vendas de determinado produto, planeja-se comparar as
vendas em lojas que vendem o produto com o brinde, com as vendas em lojas que não oferecem o
brinde. Para reduzir o efeito de variações devidas a outros fatores, as lojas foram agrupadas em
pares, de tal forma que as lojas de um mesmo par são tão similares quanto possível, em termos, por
exemplo, do volume de vendas, localidade, identidade dos preços, etc. Em cada par de lojas, uma
passou a oferecer o brinde e a outra, não.
a) Apresente as hipóteses nula e alternativa.
b) A partir dos dados a seguir, pode-se afirmar que a oferta do brinde aumenta as vendas? α =
0.05: tcrit = 2.105, tcalc = 2.7.
Resposta
a) H0 : µD = 0 H1 : µD 6= 0
Sendo µD a diferença entre as médias de vendas nas lojas com e sem brinde.
b) (|tcalc| > |tcrit|)→ (p < α)→ Rejeita-se H0.
Exercício 9
Para a comparação entre as médias de duas populações pode-se utilizar a estatística T, onde a
variância utilizada é a variância combinada das duas amostras. Indique as pressuposições que
deverão ser válidas para que essa metodologia seja adequada.
Resposta
Pressuposições:
1) A variável aleatória X de interesse tem distribuição normal.
2) A variância amostral s2 segue distribuição χ2 com n− 1 graus de liberdade.
3) (X − µ) e s são independentes.
Exercício 10
Uma companhia de cigarros anuncia que o índice médio de nicotina dos cigarros que fabrica
apresenta-se abaixo de 23mg por cigarro. Um laboratório realiza seis análises desse índice, obtendo:
27, 24, 21, 25, 26, 22. Sabe-se que o índice de nicotina se distribui normalmente, com variância igual
a 4.86mg2. Pode-se aceitar, no nível de 10%, a afirmação do fabricante?
Resposta:
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Hipóteses: H0 : µ ≥ 23 H1 : µ < 23.
Estatísitca: zcalc = 1.296; zcrit = −1.282
Análise: (zcalc > zcrit)→ (p > α)→ Não se rejeita H0.
Conclusão: Não podemos aceitar a afirmação do fabricante, pois falhamos em rejeitar a hipótese de
que a média de nicotina nos cigarros fabricados seja maior ou igual a 23mg.
Exercício 11
Duas máquinas, A e B, são usadas para empacotar pó de café. A experiência passada garante que
o desvio padrão para ambas é de 10g. Porém, suspeita-se que elas tem médias diferentes. Para
verificar, sortearam-se duas amostras: uma com 25 pacotes da máquina A e outra com 16 pacotes
da máquina B. As médias foram, respectivamente, xA = 502.74g e xB = 496.6g. Com esses números,
e com nível de 5%, qual seria a conclusão do teste H0 : µA = µB, dado que o valor p = 0.002?
Resposta Rejeita-se H0, já que p < α.
Exercício 12
Um empresário acredita que há diferença significativa no tempo que homens e mulheres gastam
para realizar determinada tarefa. Selecionou uma amostra de cada grupo e anotou o tempo gasto,
em minutos, conforme abaixo.
Homens 5 15 10 20 7 15
Mulheres 10 15 22 20 10 7
Quais as hipóteses nula e alternativa?
Para α = 0.05, temos ttab = 2.229, tcalc = 0.592 e valor p > 0.05. Qual é a conclusão?
Resposta:
H0 : µM = µH H1 : µM 6= µH
Conclusão: Não se rejeita H0, ou seja não há evidências de que a diferença seja significativa ao nível
de 5%.
Exercício 13
A fim de comparar a eficácia de dois bibliotecários foram tomadas. para cada um. 8 medidas do
tempo gasto, em minutos, para realizar uma pesquisa na Internet. Os resultados obtidos são dados
a seguir. Pergunta-se se, ao nível de 5% de significância. os bibliotecários devem ser considerados
igualmente eficazes ou não.
Bibliotecário 1 35 32 40 36 35 32 33 37
Bibliotecário 2 29 35 36 34 30 33 31 34
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Quais são as hipóteses nula e alternativa?
Para α = 0.05, temos ttab = 2.146, tcalc = 2.146 e portanto p > 0.05.
Resposta:
H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 6= µ2
Conclusão: Não se rejeita H0, ou seja não há evidências de que a diferença seja significativa ao nível
de 5%.
Exercício 14
Sabe-se que certa raça de bovinos em confinamento, alimentada com uma ração padrão, tem um
aumento médio de peso igual a 60kg durante os três primeiros meses de idade. Um lote de 10 novilhos,
dessa mesma raça, recebeu um novo tipo de alimentação com novos concentrados. Mantendo-se as
mesmas condições de manejo, os aumentos de peso foram
55 62 54 58 65 65 60 62 59 67
Fixando o nível de significância em 1%, conclua sobre o novo tipo de alimentação. Estime a média
por intervalo e relacione o resultado com o teste de hipótese.
Resposta
t0.005;9 = 3.25, tcalc = 0.512.
(|tcalc| < |tcrit|)→ (p > α)→ Não se rejeita H0.
Intervalo de confiança de 99% para a média: (56.258; 65.142).
Como o valor 60 está contido no intervalo, chega-se a mesma conclusão do teste.
Exercício 15
Suponha que, historicamente, o tempo “livre de dor” de um certo analgésico é, em média, 12 horas,
com um desvio padrão de 2 horas. Um novo medicamento promete alterar este tempo. Em uma
amostra com 9 pacientes, o tempo médio obtido foi de 10 horas. Com base nestes dados, responda:
a) Apresente as hipóteses (nula e alternativa) para um teste de hipóteses supondo uma hipótese
nula de que a média verdadeira seja igual a 12 horas.
b) Qual o valor da estatísticade teste (zx̄) para este teste?
c) Qual a região de confiança para o teste, supondo um α de 10%?
d) Qual a sua conclusão para o teste?
Resposta:
a) H0 : µ = 12; H1 : µ 6= 12
b) zx̄ = −3
c) RC90% = [−1.645, 1.645]
d) Como zx̄ não pertence a RC, rejeito a H0: a média deve ser diferente de 12.
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Exercício 16
Suponha que para certa espécie de plantas, a semente padrão deveria medir, em média, 6mm, com
um desvio padrão de 0.5mm. Interessado em verificar se as sementes obtidas podem pertencer a
esta espécie de plantas, decidiu usar como critério o comprimento médio das sementes. Após coletar
uma amostra de 16 unidades, verificou-se que nesta amostra o tamanho médio foi de 5.7mm. Com
base nestas informações, responda:
a) Apresente as hipóteses (nula e alternativa) para um teste de hipóteses supondo uma hipótese
nula de que a média verdadeira seja maior ou igual a 6mm.
b) Qual o valor da estatística de teste (zx̄) para este teste?
c) Qual a região de confiança para o teste, supondo um α de 1%? d) Qual a sua conclusão para o
teste?
Resposta:
a) H0 : µ ≥ 6; H1 : µ < 6
b) zx̄ = −2.4
c) RC99% = [−2.326,∞)
d) Como zx̄ não pertence a RC, então rejeito a H0: a média deve ser menor que 6mm.
Exercício 17
Celulares recentes, chamados agora de smartphones, sofrem muito com o consumo de bateria, devido
as diversas funções das quais são capazes. Diferentes maneiras de prolongar a vida útil da bateria
vem sendo testadas. Vamos supor que, no teu caso específico, a bateria tem durado em torno de 7h.
Vamos supor, ainda, que apresente um desvio padrão de 15min (0.25h). Tu decides então verificar
se reduzindo o brilho da tela ao mínimo a bateria dura mais. Tu testaste isso durante 25 dias, de
onde obteve uma duração média de 7h e 30min (7.5h). Com base nestes resultados, responda:
a) Apresente as hipóteses (nula e alternativa) para um teste de hipóteses supondo uma hipótese
nula de que a média verdadeira seja menor ou igual a 7h.
b) Qual o valor da estatística de teste (zx̄) para este teste?
c) Qual a região de confiança para o teste, supondo um α de 0.05%?
d) Qual a sua conclusão para o teste? A bateria dura mais mesmo ou trata-se de um efeito casual?
Resposta:
a) H0 : µ ≤ 7; H1 : µ > 7
b) zx̄ = 10
c) RC95% = (−∞, 1.645]
d) Como zx̄ não pertence a RC, rejeito a H0: a bateria deve durar mais.
Exercício 18
Suponha que um pesquisador esteja interessado em verificar a taxa de hemoglobina de certa
população. O valor padrão, medido em população semelhante, para esta taxa é de 19g/100mL, com
um desvio padrão de 2g/100mL. A partir de uma amostra de 25 indivíduos, o pesquisador obteve
uma taxa média de 17.4g/100mL. Com base nestas informações, responda:
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a) Apresente as hipóteses (nula e alternativa) para um teste de hipóteses supondo uma hipótese
nula de que a média verdadeira seja igual a 19g/100mL.
b) Qual o valor da estatística de teste (zx̄) para este teste?
c) Qual a região de confiança para o teste, supondo um α de 1%?
d) Qual a sua conclusão para o teste?
Resposta:
a) H0 : µ = 19; H1 : µ 6= 19
b) zx̄ = −4
c) RC99% = [−2.576, 2.576]
d) Como zx̄ não pertence a RC, rejeito a H0: a média deve ser diferente de 19.
Exercício 19
Suponha que um certo produto apresente, em média, 30kcal com um desvio padrão de 2kcal. Tu
decidiste verificar se a substituição de alguns ingredientes consegue reduzir a média. Após obter
uma média de 28kcal em uma amostra de 16 itens, responda:
a) Apresente as hipóteses (nula e alternativa) para um teste de hipóteses supondo uma hipótese
nula de que a média verdadeira seja igual ou maior que 30kcal.
b) Qual o valor da estatística de teste (zx̄) para este teste?
c) Qual a região de confiança para o teste, supondo um α de 5%?
d) Qual a sua conclusão para o teste?
Resposta:
a) H0 : µ ≥ 30; H1 : µ < 30
b) zx̄ = −4
c) RC95% = [−1.645,∞)
d) Como zx̄ não pertence a RC, então rejeito a H0: a média deve ser menor que 30mm.
Exercício 20
Em um estudo envolvendo dois diferentes tratamentos para processo de reabilitação após acidente,
foi selecionada uma amostra de 16 pacientes muito semelhantes. Estes 16 pacientes foram separados
em dois grupos e submetidos aos diferentes tratamentos por 5 dias consecutivos e então avaliados.
Suponha que a diferença entre as médias de rendimento entre ambos os grupos seja de 5.8 (Grupo 1
- Grupo 2), com s2d = 1.6. Considere as amostras como dependentes e responda:
a) Apresente as hipóteses (nula e alternativa) para um teste de hipóteses supondo uma hipótese
nula de que o Grupo 1 possui média maior ou igual ao Grupo 2.
b) Qual o valor da estatística de teste para este teste?
c) Qual a região de confiança para o teste, supondo um α de 1%?
d) Qual a sua conclusão para o teste?
Resposta:
a) H0 : µD ≥ 0; H1 : µD < 0
b) tD = 18.341
c) RC99% = [−2.602,∞)
d) Não rejeita H0: o Grupo 1 pode ter média igual ou superior ao Grupo 2.
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##A tabela abaixo se refere às questões 21 e 22
Comprimento Médio Desvio Padrão n
Sapucaia do Sul 65 8 11
Rio de Janeiro 68 5 13
Exercício 21
Suponha agora que um pesquisador esteja interessado em comparar o comprimento dos ovos de uma
mesma espécie em dois locais diferentes. O resumo descritivo está apresentado na tabela anterior.
Sabendo que são amostras independentes, inicialmente deve ser verificado qual teste utilizar e, para
isso, um teste da razão de variâncias é necessário. Sabendo disso, responda:
a) Apresente as hipóteses (nula e alternativa) para um teste de hipóteses supondo uma hipótese
nula de que as variâncias são iguais.
b) Qual o valor da estatística de teste para este teste?
c) Qual a região de confiança para o teste, supondo um α de 5%?
d) Qual a sua conclusão para o teste?
Resposta:
a) H0 :
σ2A
σ2B
= 1; H1 :
σ2A
σ2B
6= 1
b) Fcalc = 1.6
c) RC95% = (−∞, 3.374]
d) Não rejeita H0, as variâncias podem ser iguais, portanto utilizar o teste t supondo variâncias
iguais.
Exercício 22
Com isso em mente, agora vamos continuar o teste para verificar a diferença entre os níveis glicêmicos.
Porém, para fins de prova, considerar as variâncias iguais, independentemente do resultado
da questão 21 .
a) Apresente as hipóteses (nula e alternativa) para um teste de hipóteses supondo uma hipótese
nula de que as médias são iguais.
b) Qual o valor do s2P ?
c) Qual o valor da estatística de teste para este teste?
d) Qual a região de confiança para o teste, supondo um α de 0.05%?
e) Qual a sua conclusão para o teste?
Resposta:
a) H0 : µA − µB = 0; H1 : µA − µB 6= 0
b) s2P = 42.727
c) tcalc = −1.12
d) RC95% = [−2.074, 2.074]
e) Não rejeita H0, os dois locais podem possuir médias iguais.
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Exercício 23
A Testosterona é uma droga que tem sido ministrada a atletas com a intenção de aumentar a massa
muscular. Um estudo foi conduzido com 22 atletas, onde 11 receberam uma determinada dose da
droga, durante um período de seis semanas, e os outros 11 receberam um placebo. Ao final desse
período foi medida a largura do músculo (em mm, determinados por raio X). Utilizando nível de
significância igual a 5%, responda aos itens abaixo.
Indivíduos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Placebo 3.7 5.2 4.0 4.7 4.3 3.9 4.2 4.9 5.1 4.1 4.0
Droga 13.1 16.5 15.3 15.7 14.1 15.0 15.5 16.1 15.8 14.3 15.2
a) Verifique, através do teste F, se as variâncias das duas populações diferem entre si.
b) Verifique se existe diferença significativa entre a largura média do músculo dos dois grupos.
Resposta:
a) F(0.025;10;10) = 3.717; Fcalc = 3.624; Pode-se assumir homocedasticidade (variâncias iguais).
b) Hipóteses: H0 : µ(droga) ≤ µ(placebo); H1 : µ(droga) > µ(placebo) (Teste unilateral)
Estatística: tcrit = t0.05;20 = 1.725; tcalc = 32.204
Análise: (tcalc > tcrit)→ (p < α)→ Rejeita-se H0.
Conclusão: A testosterona causa aumento na largura dos músculos dos atletas.
Exercício 24
Uma alta quantidade de nitrato introduzida na alimentação animal tem mostrado possuir efeitos
deletérios incluindo baixa produção de tiroxina, aumento de incidência de cianose em recém nascidos
e baixa produção de leite. Os dados que seguem referem-se a medida de ganho de peso percentualem ratos de laboratório, submetidos a uma dieta padrão e a uma dieta com 2000 ppm de nitrato na
água de beber.
Nitrato 12.7 19.3 20.5 10.5 14 10.8 16.6 14 17.2
Controle 18.2 32.9 10 14.3 16.2 27.6 15.7
Responda:
a) Com α = 0.05, verifique, através do teste F, se as variâncias das populações são iguais.
b) Com α = 0.05, verifique, através do teste t, o efeito do nitrato sobre o ganho de peso.
Resposta:
a) F(0.025;6;8) = 4.652; Fcalc = 5.123; Não se pode assumir homocedasticidade, ou seja, as
variâncias são desiguais.
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b) Hipóteses: H0 : µ(nitrato) = µ(controle); H1 : µ(nitrato) 6= µ(controle) (Teste bilateral)
Estatística: tcrit = t0.05;8 = 2.306; tcalc = −1.287
Análise: (|tcalc| < |tcrit|)→ (p > α)→ Não se rejeita H0.
Conclusão: A dieta rica em nitrato não deve influenciar o ganho de paso nos ratos de
laboratório.
Exercício 25
Uma pesquisa nacional indica que aproximadamente 25% das contas de grandes magazines incorrem
em penalidade por atraso nos pagamentos. Se um magazine local constata 40 atrasos numa amostra
de 200 clientes, pode necessariamente admitir que seus clientes sejam melhores que os clientes de
todo país? Adote 0.05% de significância.
Resposta:
Hipóteses: H0 : P = 0.25; H1 : P 6= 0.25 (Teste bilateral)
Estatística: zcrit = t0.025 = 1.96; zcalc = −1.633
Análise: (|zcalc| < |zcrit|)→ (p > α)→ Não se rejeita H0.
Conclusão: A proporção de atrasos nos pagamentos da magazine local não difere da proporção
nacional.
Exercício 26
Suponha que um fabricante sem escrúpulos deseje uma “prova científica” de que um aditivo químico
totalmente inócuo melhora o rendimento.
a) Se um grupo de pesquisa analisa esse aditivo com um experimento, qual é a probabilidade de
chegar a um “resultado significativo” com α = 0.05 (para promover o aditivo com “afirmações
científicas”) mesmo que o aditivo seja totalmente inócuo?
b) Se dois grupos independentes de pesquisa analisam o aditivo, qual é a probabilidade de que pelo
menos um deles chegue a um “resultado significativo”, mesmo que o aditivo seja totalmente
inócuo?
c) Se 32 grupos independentes de pesquisa analisam o aditivo, qual é a probabilidade de que pelo
menos um deles chegue a um “resultado significativo”, mesmo que o aditivo seja totalmente
inócuo?
Resposta:
a) Se o aditivo químico é totalmente inócuo e não tem efeito sob o rendimento, então a hipótese
nula é a verdadeira. Sendo assim, rejeitar a H0 nesse cenário trata-se de um erro do tipo I
(falso positivo). A proabilidade de cometer o erro do tipo I é dada pelo nível de significância α
do teste, portanto 5%.
b) O resultado é a probabilidade de ocorrer pelo menos um erro do tipo I, sob o nível de
significância de α = 0.05. Sejam E1 = ocorrência do erro do tipo I no grupo 1, e E2 =
ocorrência do erro do tipo I no grupo 2.
P (E1 ∪ E2) = P (E1) + P (E2)− P (E1 ∩ E2)
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Como E1 e E2 são independentes, então:
P (E1 ∪ E2) = 0.05 + 0.05− (0.05× 0.05)
P (E1 ∪ E2) = 0.0975
Vemos portanto que a probabilidade de ocorrência do erro do tipo I em pelo menos um dos
dois experimentos é de 9.75%.
c) Seja E = nenhum dos 32 grupos cometer o erro do tipo I. Por conseguinte, queremos calcular
a probabilidade do evento Ec (ou seja, algum dos 32 grupos cometer o erro do tipo I).
P (Ec) = 1− P (E)
Assumindo independência entre os experimentos dos 32 grupos, temos:
P (Ec) = 1− (0.95)32
P (Ec) = 1− 0.194
P (Ec) = 0.806
Sendo assim, vemos que a probailidade de pelo menos um dos 32 grupos cometer um erro do
tipo I é de 80.6%.
Exercício 27
Suponha que um farmacêutico pretenda achar um novo unguento para reduzir inchação. Para tanto,
ele fabrica 20 medicamentos diferentes e testa cada um deles, ao nível de 0.1 de significância, quanto
a finalidade em vista.
a) Qual a probabilidade de ao menos um deles “se revelar”" eficaz mesmo que todos sejam
totalmente inócuos?
b) Qual a probabilidade de mais de um deles “se revelarem” eficazes, mesmo que todos sejam
totalmente inócuos?
Resposta :
a) Seja E = não cometer erro do tipo I em nenhum dos 20 testes feitos para os 20 medicamentos.
Por conseguinte, queremos calcular a probabilidade de Ec (ou seja, cometer erro do tipo I em
pelo menos um dos 20 testes realizados).
P (Ec) = 1− P (E)
Assumindo independência entre os 20 testes realizados, temos:
P (Ec) = 1− (0.9)20
P (Ec) = 1− 0.122
P (Ec) = 0.878
Sendo assim, vemos que a probabilidade de cometer um erro do tipo I em pelo menos 1 dos 20
testes realizados é de 87.8%.
b) Seja X a variável aleatória “número de testes com ocorrência de erro do tipo I”. Desse modo,
queremos calcular P [X > 1].
P [X > 1] = 1− P [X ≤ 1]
P [X > 1] = 1− P [(X = 0) ∪ (X = 1)]
P [X > 1] = 1− (P [X = 0] + P [X = 1]− P [(X = 0) ∩ (X = 1)])
Como [X = 0] e [X = 1] são mutuamente disjuntos, temos que
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P [(X = 0) ∩ (X = 1)] = P (∅) = 0.
Sendo assim só precisamos descobrir P [X = 0] e P [X = 1]:
[X = 0] é o evento onde não há ocorrência de erro do tipo I em nenhum dos 20 testes, então:
P [X = 0] = 0.920 = 0.122
[X = 1] é o evento onde há ocorrência de erro do tipo I em exatamente um dos 20 testes:
P [X = 1] = C201 (α)1(1− α)20−1 = 20(0.1)1(0.9)19 = 0.27
Finalmente, plugando os valores de volta na fórmula, ficamos com:
P [X > 1] = 1− (0.122 + 0.27)
P [X > 1] = 1− (0.392)
P [X > 1] = 0.608
Assim, probabilidade de que mais de um remédio resulte em um falso positivo é de 60.8%.
Exercício 28
5 medidas do conteúdo de alcatrão em um cigarro X acusaram: 14.5, 14.2, 14.4, 14.8 e 14.1 miligramas
por cigarro. Este conjunto de cinco valores tem média 14.4 e desvio padrão 0.274. O leitor pretende
testar a hipótese nula H0 : µ = 14.1 (conforme declarado no maço) ao nível de 0.05 de significância.
a) H0 seria aceita, contra a alternativa Ha : µ 6= 14.1?
b) H0 seria aceita, contra a alternativa Ha : µ < 14.1?
c) H0 seria aceita, contra a alternativa Ha : µ > 14.1?
d) Que suposições são necessárias para fazer o teste de hipóteses?
Resposta:
tcalc = 2.448
a) Teste bilateral; tcrit = t0.025;4 = 2.776;
(|tcalc| < |tcrit|)→ (p > α)→ Não se rejeita H0.
b) Teste unilateral; tcrit = t0.05;4 = −2.132;
(tcalc > tcrit)→ (p > α)→ Não se rejeita H0.
c) Teste unilateral; tcrit = t0.05;4 = 2.132;
(tcalc > tcrit)→ (p < α)→ Rejeita-se H0.
d) A variável em estudo tem distribuição normal.
Exercício 29
Dez cobaias adultas criadas em laboratório, foram separadas, aleatoriamente, em dois grupos: um
foi tratado com ração normalmente usada no laboratório (padrão) e o outro grupo foi submetido a
uma nova ração (experimental). As cobaias foram pesadas no início e no final do período de duração
do experimento. Os ganhos de peso (em gramas) observados foram os seguintes:
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Ração Padrão 200 180 190 190 180
Ração Experimental 220 200 210 220 210
Utilize um teste de hipótese, ao nível α = 0.01, para verificar se as duas rações diferem entre si.
Resposta:
Hipóteses: H0 : µ(experimental) = µ(padrão); H1 : µ(experimental) 6= µ(padrão) (Teste bilateral)
Estatística: tcrit = t0.01;8 = 3.355; tcalc = 4.536.
Análise: (|tcalc| > |tcrit|)→ (p < α)→ Rejeita-se H0.
Conclusão: A ração experimental provoca maior ganho de peso nas cobaias do que a ração padrão.
Exercício 30
Os valores abaixo se referem aos pesos ao nascer (em kg) de bovinos da raça Ibagé, em duas épocas
distintas:
Agosto 18 25 16 30 35 23 21 33 32 22
Setembro 27 30 20 30 33 34 17 33 20 23 39 23 28
Efetue o teste de homogeneidade de variâncias, ao nível α = 0.05.
Resposta:
Hipóteses: H0 : σAσB = 1;H1 :
σA
σB
6= 1
Esatística: Fcrit = F0.05;9;12 = 3.436;Fcalc = 1.029
Análise: (Fcalc < Fcrit)→ (p > α)→ Não se rejeita H0.
Conclusão: As variâncias dos pesos dos bovinos ao nascer são iguais entre os meses de agosto e
setembro.
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	Exercício 1
	Exercício 2
	Exercício 3
	Exercício 4
	Exercício 5
	Exercício 6
	Exercício 7
	Exercício 8
	Exercício 9
	Exercício 10
	Exercício 11
	Exercício 12
	Exercício 13
	Exercício 14
	Exercício 15
	Exercício 16
	Exercício 17
	Exercício 18
	Exercício 19
	Exercício 20
	Exercício 21
	Exercício 22
	Exercício 23
	Exercício 24
	Exercício 25
	Exercício 26
	Exercício 27Exercício 28
	Exercício 29
	Exercício 30