N06_ AULA 2 - Distribuição de frequência e Representação gráfica

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Professor(a) Maria Laura Brito
ESTATÍSTICA
Tema: Distribuição de Frequência e
 Representação gráfica
4ªfeira
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Slides da aula
Exercícios de fixação
Exercícios complementares
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Informativo
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Tema: Distribuição de frequência e representação gráfica 
 
Como construir uma distribuição de frequência.
Distribuição de frequências: variáveis qualitativas e quantitativas.
Como construir histogramas de frequência, polígonos de frequência e ogiva.
Como representar graficamente e interpretar conjuntos de dados qualitativos e quantitativos
Exercícios de Fixação 
Objetivo
Estatística Descritiva ensina como: 
Coletar:
Exemplo: Uma aluna praticante de um programa de exercícios físicos realizou avaliações de massa corporal durante um ano, sendo que as medidas foram realizadas a cada 2 meses. Considere os seguintes valores de massa corporal da aluna: 
Massa corporal avaliada a cada 2 meses: 73Kg, 72Kg, 72Kg, 70Kg, 69Kg, 67Kg.	
Organizar: 
Exemplo: 67Kg, 69Kg, 70Kg, 72Kg, 72Kg, 73Kg. 
Estatística descritiva
Dados brutos
Rol
Dados brutos organizados
5
Representar: Tabelas e gráficos
Exemplo: Considere o que todas as variáveis que constam na tabela abaixo são qualitativas, e os dados brutos foram obtidos a partir de uma pesquisa com estudantes universitários.
Estatística descritiva
	Código de identificação do estudante	Curso de graduação	Sexo	Meio de transporte principal
	1	Psicologia	Masculino	Metrô
	2	Direito	Masculino	Ônibus
	3	Administração	Feminino	Carro
	4	Psicologia	Masculino	Moto
	5	Psicologia	Feminino	Carro
	6	Direito	Feminino	Ônibus
	7	Administração	Feminino	Ônibus
	8	Psicologia	Masculino	Metrô
	9	Direito	Feminino	Moto
	10	Administração	Masculino	Metrô
Tabela 1: Exemplifica os dados brutos de uma pesquisa fictícia entre 10 alunos de uma universidade
Uma distribuição de frequência é uma tabela que se resume os dados de uma variável estudada.
A frequência simples 	 é o número de vezes que cada dado ocorre e a
frequência relativa é a porcentagem com que aparece.
Frequência relativa decimal:		ou
Frequência relativa percentual:
	
 A soma das frequências relativas de todas as classes deve ser igual a 1 ou 100%.
	 Somatório de todos os dados coletados (tamanho do conjunto de dados): 
Distribuição de frequência 
Exemplo: Considere o que todas as variáveis que constam na tabela abaixo são qualitativas, e os dados brutos foram obtidos a partir de uma pesquisa com estudantes universitários. 
 
Distribuição de frequência - Variáveis qualitativas
	Curso de graduação	Sexo	Meio de transporte principal
	Psicologia	Masculino	Metrô
	Direito	Masculino	Ônibus
	Administração	Feminino	Carro
	Psicologia	Masculino	Moto
	Psicologia	Feminino	Carro
	Direito	Feminino	Ônibus
	Administração	Feminino	Ônibus
	Psicologia	Masculino	Metrô
	Direito	Feminino	Moto
	Psicologia	Masculino	Metrô
Tabela 1: Exemplifica os dados brutos de uma pesquisa fictícia entre 10 alunos de uma universidade
Partiremos desta informação para montar a tabela de distribuição de frequências abaixo:
Distribuição de frequência - Variáveis qualitativas
				
				
				 
				
				
Curso de graduação
Nº estudantes
fi
fr
fr %
Psicologia
Administração
Direito
Total
5
2
3
20%
8 alunos 80%
Qual a porcentagem de alunos que estudam administração?
Quantos alunos estudam direito e psicologia e qual a sua porcentagem? 
Quantos alunos usam como meio de transporte o metro?
Quantos alunos pesquisados são do sexo feminino?
3 alunos
5 alunos
Tabela 1
Tabela 2 1 : Exemplifica da distribuição de frequência 
	Número de dependências
	Frequência simples
	0	20
	1	13
	2	14
	3	10
	4	7
	Total	64
Exemplo: Na tabela de frequências a seguir representa os alunos que têm de zero a quatro dependências. 
Distribuição de frequência - Variáveis quantitativas
Dados agrupados - sem intervalo de classe
Tabela 3 : Exemplifica os dados brutos de uma pesquisa fictícia entre 64 alunos os alunos que têm de zero a quatro dependências
Fonte: Autor
10
A frequência acumulada é a soma das frequências dessa classe com todas as anteriores. A frequência acumulada da última classe é igual ao tamanho n da amostra.
Frequência acumulada absoluta acima de ou também chamada de frequência acumulada absoluta decrescente (simbolizada por . 
Frequência acumulada absoluta abaixo de ou também chamada de frequência acumulada absoluta crescente (simbolizada por . 
Frequência acumulada relativa acima de ou também chamada de frequência acumulada relativa percentual decrescente (simbolizada por . 
Frequência acumulada relativa abaixo de ou também chamada de frequência acumulada relativa percentual crescente (simbolizada por . 
Distribuição de frequência - Variáveis quantitativas
Distribuição de frequência - Variáveis quantitativas
	Número de dependências
	Frequência simples
							
	0	20							
	1	13							
	2	14							
	3	10							
	4	7							
	Total	64							
Frequência acumulada absoluta acima de ou decrescente
Frequência relativa decimal
Frequência acumulada absoluta abaixo de ou crescente
Frequência acumulada absoluta acima de ou decrescente
Frequência acumulada absoluta abaixo de ou crescente
%
%
64
64 - 20 = 44
44 - 13 = 31
31 - 14 = 17
17 - 10 = 7
20
20 + 13 = 33
33 + 14 = 47
47 + 10 = 57
57 + 7 = 64
 x 100 = 100
69
11
73
31
52
89
100
Quantos alunos tem três dependências? 
Quantos alunos têm acima de três dependências?
Quantos alunos têm abaixo de duas dependências?
Qual a porcentagem de alunos que têm acima de três dependências?
Qual a porcentagem de alunos que têm abaixo de uma dependência?
Distribuição de frequência - Variáveis quantitativas
10 alunos
17 alunos
47 alunos
27%
52%
Exemplo: Consideremos a idade de um grupo de pessoas.
41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45, 46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60
Distribuição de frequência - Variáveis quantitativas
Dados agrupados - com intervalo de classe
Tabela 4: Exemplifica os dados brutos de uma pesquisa fictícia da idade de um grupo de 20 pessoas
	Idade (anos)	f
	41	3
	42	2
	43	1
	44	1
	45	1
	46	2
	50	2
	51	1
	52	1
	54	1
	57	1
	58	2
	60	2
	Total	20
Fonte: Autor
Dados Agrupados (com intervalo de classe): Quando o tamanho da amostra é elevado é mais racional efetuar o agrupamento dos valores em vários intervalos de classe.
Distribuição de frequência - Variáveis quantitativas
	i	Idade	f	fr %	pm 
(xi)		 %	↓	↓ %
	1ª	41 |------- 45 	7	 x 100 = 35	= 43	7	35	20	100
	2ª	45 |------- 49 	3	15	= 47	3 + 7 = 10	15 + 35 = 50	20 - 7 = 13	100 - 35=65
	3ª	49 |------- 53 	4	20	= 51	10 + 4 = 14	50 + 20 = 70	13 - 3 = 10	65 - 15=50
	4ª	53 |------- 57 	1	5	= 55	14 + 1 = 15	70 + 5 = 75	10 - 4 = 6	50 - 5=45
	5ª	57 |------- 61 	5	25	= 59	15 + 5 = 20	75 + 25 =100	6 – 1 = 5	45 - 25=20
		Total	20	100		 	 	 	
Tabela 5 : Exemplifica distribuição de frequência com intervalo de classe.
Fonte: Autor
15
Elementos adicionais de uma distribuição de frequência
Classe: intervalos nos quais os valores da variável analisada são agrupados. 
 Simbologia: a classe por i e o número total de classes por k. 
 Ex: na tabela anterior k = 5 e i = 3 é a 3ª classe
Cada classe tem um limite inferior de classe (li) , que é o menor número que pode pertencer à classe, e um limite superior de classe (Li), que é o maior número que pode pertencer à classe.
 Ex: 3ª classe -> 49 |------- 53 =>> l3 = 49 e L3= 53. 
Simbologia dos intervalos:
|-------|	Limite fechado (tanto à esquerda quanto à direita)
|-------	Limite fechado à esquerda e aberto à direita
--------|	Limite aberto à esquerda e fechado à direita
--------	Limite aberto (tanto à direita quanto à esquerda)
Distribuição de frequência- Variáveis quantitativas
16
Amplitude do intervalo de classe é obtida através da diferença entre o limite superior e inferior da classe. 
 Ex: na tabela anterior h3 = 53 - 49 = 4. 
	
	Na distribuição de frequência com classe o hi será igual em todas as classes.
Amplitude total da distribuição (At) : é a diferença entre o valor máximo e mínimo dos dados. 
 Notação: At = Lmáx – lmín.
 Ex: na tabela anterior At = 60 - 41= 19.
Ponto médio: é a soma dos limites inferior e superior da classe dividida por dois. 
 Notação: 
 Ex: na tabela anterior 
Distribuição de frequência - Variáveis quantitativas
17
Método prático para construção de uma distribuição de frequências com intervalo de classe
1. Organize os dados brutos em um ROL.
2. Calcule a amplitude total.	Ex: At = Lmáx – lmín -> At = 60 - 41= 19
3. Calcule o número de classes (k) através da "Regra de Sturges“ pelo critério da raíz: 
		sendo n = tamanho da amostra	
 Ex: n = 20
4. Calcule a amplitude do intervalo de classe:		 
 Ex:
Distribuição de frequência - Variáveis quantitativas
 4
Uma empresa de aviação observou em seus registros recentes, o tempo de mão-de-obra gasto na revisão completa de um motor de jato.
O seguinte quadro foi obtido:
							
Pede-se:
 Qual o limite superior da 2ª classe? 
 Qual o limite inferior da 5ª classe? 
 A amplitude do intervalo da 4ª classe. 
 A frequência simples (absoluta) da quinta classe.
 Quantos motores são revisados acima de 4h?
 Quantos motores são revisados acima de 8 h e abaixo de 12 h?
 Qual a porcentagem de motores revisados acima de 12h?
 Qual a porcentagem de motores revisados abaixo de 4h?
Vamos testar!!
	Tempo de mão-de-obra(horas)	Nº de motores
	 0|--- 4	1
	 4|--- 8	5
	 8|--- 12	10
	 12|--- 16	12
	 16|--- 20	4
	Total	32
Fonte: Livro Estatística para os cursos de economia, administração e ciências contábeis/Ermes Medeiros e outros autores – 2.ed. São Paulo: Atlas, 1997.
Tabela 6 : Exemplifica os dados brutos de uma pesquisa fictícia de uma empresa de aviação
19
	Tempo de mão-de-obra(horas)	Nº de motores	 	 	 	 		 	
	 0|--- 4	1	0,03	32	1	1	100	0,03	3
	 4|--- 8	5	0,16	31	6	0,97	97	0,19	19
	 8|--- 12	10	0,31	26	16	0,81	81	0,50	50
	 12|--- 16	12	0,38	16	28	0,50	50	0,88	88
	 16|--- 20	4	0,13	4	32	0,13	13	1,00	100
	Total	32	1,000	 	 	 	 	 	 
				
					
				
Pede-se:
 Qual o limite superior da 2ª classe? 
 Qual o limite inferior da 5ª classe? 
 A amplitude do intervalo da 4ª classe. 
 A frequência simples (absoluta) da quarta classe.
 Quantos motores são revisados acima de 4h?
Quantos motores são revisados entre 8 h e 12 h?
 Qual a porcentagem de motores revisados acima de 12h?
 Qual a porcentagem de motores revisados abaixo de 4h?
Resposta
8
16
4
 12
31 motores
10 motores
50%
3%
Histograma
Um gráfico de barras que representa a distribuição da frequência
O eixo horizontal é quantitativo e mede os valores dos dados
O eixo vertical mede as frequências das classes
Barras consecutivas precisam se tocar
Representações Gráficas
Variáveis quantitativas
Gráfico 4 : Gráfico associado a representação da estatística descritiva
Exemplo: O Departamento de Auditoria de uma firma fez um levantamento dos salários dos 120 funcionários do setor administrativo, obtendo os resultados (em salários mínimos) na tabela abaixo:
Representações Gráficas
Variáveis quantitativas
	Salários	Nº de funcionários
	0|--- 2	30
	2|--- 4	48
	4 |--- 6	18
	6|--- 8	24
	Total	120
Tabela 6: Exemplifica os dados brutos de uma pesquisa fictícia de um grupo de funcionários de uma empresa
Gráfico 5 : Gráfico associado a representação do histograma
Fonte: Livro Estatística para os cursos de economia, administração e ciências contábeis/Ermes Medeiros e outros autores – 2.ed. São Paulo: Atlas, 1997.
Polígono de frequência
Um gráfico em linha que enfatiza a mudança contínua nas frequências.
Cada ponto assinalado apresenta um valor correspondente no eixo x (ponto médio da classe) e outro no eixo y (frequência da classe). 
Exemplo anterior:
Representações Gráficas
Variáveis quantitativas
Gráfico 6 : Gráfico associado a representação do polígono de frequência
Polígono de frequência 
Salários (R$)
Frequência simples
Ogiva
Um gráfico de linhas que demonstra a frequência acumulativa de cada classe em sua fronteira superior.
As fronteiras superiores são demarcadas no eixo horizontal.
As frequências cumulativas são demarcadas no eixo vertical.
Exemplo anterior:
Representações Gráficas
Variáveis quantitativas
Gráfico 7 : Gráfico associado a representação da ogiva 
Mais gráficos...
Os gráficos são representações visuais dos dados estatísticos que devem corresponder, mas nunca substituir as tabelas estatísticas.
Recurso indispensável à estatística
Estratégia que permite visualizar comportamento de variáveis e interpretar seus resultados.
Temos, 
lineares;
colunas ou barras;
setores ou pizza;
pictogramas.
Representação Gráfica
Exemplo: O gráfico mostra o número de transplantes de rim, pâncreas e pulmão no Estado de São Paulo.
Representação Gráfica
Variação do número de transplante de Rim
O número de transplantes de rim passou de 253 transplantes em 2007 para 344 transplantes em 2008.
Variação no número de transplantes de rim:
 344 – 253 = 91 .
O número de transplantes de rim aumentou 36% de 2007 para 2008.
Gráfico 8 : Gráfico de coluna associado a representação da estatística descritiva
Disponível em http://www.folhadaregiao.com.br/noticia?117641>. Acesso em 31 jul. 2009.
Exemplo : Tomemos como exemplo a tabela de distribuição de frequências da variável qualitativa “curso de graduação”:
					
Representação Gráfica
Gráfico 9 : Gráfico em setores, pizza ou torta
Tabela 7 : Exemplifica os dados brutos de uma pesquisa fictícia entre 10 alunos de uma universidade
Curso de graduação
f	
Psicologia	Ad	ministração	Direito	5	2	3	
Representação Gráfica
Gráfico 10 : Gráfico de barras
Gráfico 11 : Gráfico de colunas
Pictograma
São figuras representativas de um fenômeno
Os símbolos devem ser autoexplicativos
A desvantagem é que apenas mostram uma visão geral do fenômeno, e não de detalhes minuciosos
Representação Gráfica
Disponível em https://www.matematica.pt/util/resumos/tipos-graficos-estatisticos.php
Gráfico 12 : Pictograma associado a representação da estatística descritiva
Gráfico de Pareto
Um gráfico de barras verticais no qual a altura de cada barra representa uma frequência simples ou uma frequência relativa.
As barras são posicionadas por ordem decrescente de altura; a barra mais alta é posicionada à esquerda.
Representação Gráfica
Exemplo: Recentemente, a indústria de varejo perdeu 41 milhões com redução nos estoques. A redução de estoque é uma perda de estoque por meio de quebra, roubo de carga, roubo em lojas e assim por diante. As causas da redução de estoque são erro administrativo (7,8 milhões), roubo por funcionários (15,6 milhões), furto das lojas (14,7 milhões) e fraude dos vendedores (2,9 milhões). 
Se você fosse um varejista, para qual causa de redução de estoque você olharia primeiro? 
Fonte: National Retail Federation and Center for Retailing Education, University of Florida.
Gráfico 13 : Gráfico de Pareto associado a representação da estatística descritiva
Representação Gráfica
Pelo gráfico, é fácil ver que, das causas da diminuição do estoque, o roubo por funcionários deveria ser o primeiro a receber atenção.
Exercícios de fixação
https://forms.office.com/Pages/ResponsePage.aspx?id=jOaT0T_lEEambVb_MA_segXXXvPMznZGgNxMuIixqWNUREFFNjVQRjdYOTNKUU9ET0tGT1NBWDk4Ti4u
Exercícios de fixação 3
Bibliografia digital
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2015.
MCCLAVE, J. T.; BENSON, P. G.; SINCICH, T. Estatística para administração e economia. 10. ed. São Paulo: Pearson Education, 2009.
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P.A. Estatística Básica 9ª ed. São Paulo: Saraiva, 2017.
Referências
Até a próximaaula!
35
1
=
å
r
f
100
%
=
å
r
f
10
=
=
å
n
f
Salários
Salários 
(pm)
Nº de 
funcionários
00
0|--- 2
130
2|--- 4
348
4 |--- 6
518
6|--- 8
724
90
Salários
Nº de 
funcionários
fac
00
0|--- 23030
2|--- 4
4878
4 |--- 6
1896
6|--- 8
24120
Total
120
Número de transplantes
4
8
27
44
253
344
0
50
100
150
200
250
300
350
ano de 2007ano de 2008
pulmão
pâncreas
rim