Tabelas importantes parte 2

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88 Capítulo Três 
igual à taxa condutiva através da base da aleta. Conseqüentemen- 
te, a formulação alternativa para qa é 
Utilizando esta distribuição de temperaturas com a Equação 3.71, 
a taxa de transferência de calor da aleta é, então, 
qa=\ h{T(x)-Tco]dA, 
}Aa 
qa- f hO(x)dAs (3.73) 
JAa 
onde Aaé a área superficial total da aleta, incluindo a extremi¬ 
dade. A substituição da Equação 3.70 na Equação 3.73 leva à 
Equação 3.72. 
A segunda condição na extremidade, Caso B, corresponde à 
hipótese de que a perda de calor por convecção na extremidade 
da aleta é desprezível, caso no qual a extremidade pode ser tra¬ 
tada como adiabática e 
= 0 (3.74) 
Substituindo a Equação 3.66 e dividindo por m, obtemos, então, 
CxemL - C2e~mL = 0 
Usando esta expressão com a Equação 3.69 para determinar Cj 
e C2, e substituindo os resultados na Equação 3.66, obtemos 
0 = cosh rn(L - x) 
6b cosh mL K ’ 
dO 
dx 
qa = V hPkA.fi b tanli mL (3.76) 
Da mesma fornia, podemos obter a distribuição de tempera¬ 
turas na aleta e a taxa de transferência de calor da aleta para o 
Caso C, no qual a temperatura na extremidade da aleta é especi¬ 
ficada. Isto é, a segunda condição de contorno é 6(L) = 0L e as 
expressões resultantes têm a forma 
6 (0L/0b) senh mx + senli m(L - x) 
0h senh mL 
(3.77) 
Qa VhPkA,fib 
cosh mL - ejBb 
senh mL 
(3.78) 
A aleta muito longa. Caso D, é uma extensão interessante des¬ 
ses resultados. Em particular, como L —»0L 0 e é facilmen¬ 
te verificado que 
0 
Tb = (3.79) 
qa - \/hPkÃ,fib (3.80) 
Os resultados anteriores estão resumidos na Tabela 3.4. Uma 
tabela de funções hiperbólicas é fornecida no Apêndice B.l. 
Tabela 3.4 Distribuição de temperaturas e perda de calor para aletas de seção 
transversal uniforme 
Caso 
Condições na 
Extremidade 
(x=L) 
Distribuição de 
Temperaturas 0/6,, 
Taxa de Transferência 
de Calor da Aleta qf 
A Transferência de calor 
cosh m(L - x) + (h/mk) senh m(L - x) ,sçnhmL T (h/mk) cosh mL 
hO(L) = -kd$/dx\x„L cosh mL + (h/mk) senh mL cosh mL + (h/mk) senh mL 
(3.70) (3.72) 
B Adiabática: cosh m(L - x) 
M tanh mL 
dO/dx |x=i = 0 cosh mL 
(3.75) (3.76) 
C Temperatura especificada: 
0(L) = eL (6,/6b) senhmx + senh m(L — x) ^ (cosh mL — 6L/6b) 
senh mL senh mL 
(3.77) (3.78) 
D Aleta infinita (L -> °o): 
9(L) = 0 (3-79) M (3-8°) 
d^T-T, „ m2 = hP/kAlr 
eb = 0(0) = = Tb~Tm M = VhPfcAlrÔb 
Exemplo 3.9 
Um bastão muito longo, com 5 mm de diâmetro, tem uma de suas 
extremidades mantida a 100°C. A superfície do bastão está ex¬ 
posta ao ar ambiente a 25 °C com um coeficiente de transferên¬ 
cia de calor por convecção de 100 W/(m2-K). 
tões construídos em cobre puro, liga de alumínio 2024 e aço 
inoxidável AIS1316. Quais são as respectivas perdas de calor 
nos bastões? 
2. Estime o comprimento que devem ter os bastões para que a 
hipótese de comprimento infinito forneça uma estimativa 
precisa para a perda de calor. 1. Determine as distribuições de temperaturas ao longo de bas- 
Condução Unidimensional em Regime Estacionário 91 
na qual Aa é a área superficial da aleta. Para uma aleta plana com 
seção transversal uniforme e extremidade adiabática, as Equa¬ 
ções 3.76 e 3.86 fornecem 
_ M tanh mL _ tanh niL . 
7]a hPLOb ' mL (3'87) 
De acordo com a Tabela B. 1, este resultado nos indica que 7]a se 
aproxima de seus valores máximo e mínimo, 1 e 0, respectiva¬ 
mente, na medida em que L se aproxima de 0 e 00. 
Em vez da expressão um tanto complicada para a transferên¬ 
cia de calor de uma aleta plana retangular com uma extremidade 
ativa, Equação 3.72, foi mostrado que estimativas aproximadas, 
porém precisas, podem ser obtidas pelo uso do resultado para uma 
aleta com extremidade adiabática, Equação 3.76, utilizando um 
comprimento da aleta corrigido na forma Lc — L + (t/2), para 
uma aleta retangular, e Lc — L + (D/4), para uma aleta piniforme 
[9]. A correção está baseada na hipótese de equivalência entre a 
transferência de calor na extremidade da aleta real, com convec¬ 
ção na extremidade, e a transferência de calor em uma aleta hi¬ 
potética, mais longa e com a extremidade adiabática. Assim, com 
convecção na extremidade, a taxa de transferência de calor da 
aleta pode ser aproximada por 
qa = M tanh mLc (3.88) 
e a eficiência correspondente por 
V* = 
tanh mLc 
mLc 
(3.89) 
Erros associados a esta aproximação são desprezíveis se (ht/k) 
ou (hDHk) ^ 0,0625 [10]. 
Se a largura de uma aleta retangular é muito maior do que 
sua espessura, w » t, o perímetro pode ser aproximado por 
P = 2w e 
mLc = 
Multiplicando o numerador e o denominador por U‘c e introduzin¬ 
do uma área corrigida do perfil da aleta, Ap = Lrt, segue-se que 
Assim, como mostrado nas Figuras 3.18 e 3.19, a eficiência de 
uma aleta retangular com convecção na extremidade pode ser 
representada como uma função de L\(h/kApy,!. 
Figura 3.18 Eficiência de aletas planas (per¬ 
fis retangular, triangular e parabólico). 
92 Capítulo Três 
ao ransver sal 
A análise do comportamento térmico de aletas se toma mais 
complexa se a aleta possuir uma seção transversal não-unifor¬ 
me. Nestes casos, o segundo teimo da Equação 3.61 deve ser 
mantido e as soluções não são mais na forma de funções expo¬ 
nenciais simples ou funções hiperbólicas. Como um caso parti¬ 
cular, considere a aleta anular mostrada no detalhe da Figura 3.19. 
Embora a espessura da aleta seja uniforme (t é independente de 
r), a área da seção transversal, A,r = 2rrrt, varia com r. Substituin¬ 
do x por r na Equação 3.61 e representando a área superficial por 
As = 27r(r2 = r2), a foima geral da equação da aleta se reduz a 
d2T ldT_2h(T__ t \ = o 
dr2 rdr U) 
ou, com m1 = 2h/kt e 6= T - Tm 
d2d 1 dd 
dr 2 r dr 
m2ô = 0 
A expressão anterior é uma equação de Bessel modificada de 
ordem zero e sua solução geral tem a forma 
O(r) = CxI0(mr) + C2K0(mr) 
onde I0 e K0 são funções de Bessel modificadas de ordem zero, 
de primeira e de segunda espécies, respectivamente. Se a tem¬ 
peratura na base da aleta for especificada, 6(rx) = 6t„ e uma ex¬ 
tremidade adiabática for suposta, dO/dr\ft = 0, C, e C2 podem ser 
determinadas para fornecer uma distribuição de temperaturas com 
a forma 
6 I0(mr)Kx(mr2) + K0(mr)I x(mr2) 
9b ~ l0(mrx)Kx(mr2) + K^mr^mr^ 
onde Ix(mr) = d[I0(mr)]/d(mr) e Kfinr) = —d[K0(mr)]/d(mr) são 
funções de Bessel modificadas de primeira ordem, de primeira e 
segunda espécies, respectivamente. Tabelas das funções de 
Bessel são apresentadas no Apêndice B. 
Com a taxa de transferência de calor da aleta representada por 
Qa ^K,b dr = -k(27Tl\t) 
dfi 
dr 
segue-se que 
qa = 2Trkrxt0bm 
Kx(mrx)Ix(mr2) - !x(mrx)Kx(mr7) 
K0(mrx)Ix(mr2) + I0(mrx)Kx(mr2) 
a partir da qual a eficiência da aleta se toma 
= _ <ja 
V“ h2ir(rl~ r])6b 
2rx Kx(mrx)Ix(mr2) - Ix(mrx)Kx(mr2) 
m(r2~r2) K0(mrx)Ix(mr2) -l- IQ(mrx)Kx(mr^ 1 ’ 
Este resultado pode ser utilizado para uma extremidade ativa 
(com convecção), desde que o raio da extremidade r2 seja subs¬ 
tituído por um raio corrigido com a foima r2c - r2 + (tf2). Re¬ 
sultados são representados graficamente na Figura 3.19. 
O conhecimento da eficiência térmica de uma aleta pode ser 
usado para avaliai- a resistência da aleta, onde, das Equações 3.83 
e 3.86, tem-se que 
r =_L_ 
1,0 IlAaJjã 
(3.92) 
Expressões para a eficiência e a área superficial de aletas com 
várias geometrias usuais estão resumidas na Tabela 3.5. Embo¬ 
ra os resultados para as aletas com espessura ou diâmetro uni- 
TáBELA 3.5 Eficiência dle perfis de aletas comuns 
Aletas Planas 
Retangular" 
Parabólicaa 
Aa = w[CxL + 
(L2//)ln (í/L + Cs)]| 
Cx = [1 I- (t/Lf]m 
Ap = (t/3)L 
y = (í/2)(l -xILr 
Va = 
tanh mLc 
mLc 
1 /.(2mL) 
ml. I0(2mL) 
Vc = 
_2_ 
[4(mLf + l],e I-1 
(3.89) 
(3.93) 
(3.94) 
(continua) 
Condução Unidimensional em Regime Estacionário 93 
TABELA 3.5 Continuação 
Aletas Circulares 
Retangulara 
K = 27r tâc ~ >i) 
>2c = r2 + (t/2) 
V = TT (ti - r\)t 
AletasPiniformes 
Retangularb 
Aa = rrDLc 
Lc = L + (D/4) 
V = (ttD2/4)L 
= c K{(mrx)lx(mrlc) (mrQKjmr^) 
7,0 2 loOnrJKiQnr^) -I- KQ(mrx)Ix(mr2c) 
^ _ (2i\/m) 
L") — -- 
“ (r\c-r\) 
(3.91) 
Va 
tanh mLc 
mLc 
(3.95) 
Triangularb 
A„ = ?fia-KDnfy» 
V = (-7t/12)D2L 
_ 2 /2(2wL) 
]a niL Ix(2mL) 
(3.96) 
Parabóliccf 
A. = ^{C3C4- 
[(2DQ/L) + C3]} 
C3 = 1 + 2(D/L)2 
C4 = [1 + (D/L)2]1/2 
V = (ir/20)D2 L 
am = (2h/kt)m. 
bm = (4h/kD)m. 
Va = 
_2_ 
[4/9(7nlf -I- 1]1/2 + 1 
(3.97) 
forme tenham sido obtidos com a hipótese de extremidade adia- 
bática, os efeitos da convecção na extremidade podem ser leva¬ 
dos em conta através do uso de um comprimento corrigido (Equa¬ 
ções 3.89 e 3.95) ou de um raio corrigido (Equação 3.91). As 
aletas triangulares e parabólicas possuem espessura não-unifor¬ 
me, que se reduz a zero na extremidade. 
Expressões para a área do perfil, Ap, ou para o volume, V, de 
uma aleta são também fornecidas na Tabela 3.5. O volume de 
uma aleta plana é simplesmente o produto da sua largura pela 
sua área do perfil, V = wAp. 
O projeto de aletas é, frequentemente, motivado por um de¬ 
sejo de minimizar o material da aleta e/ou os custos necessários 
relacionados à sua fabricação para atingir uma efetividade de 
resfriamento especificada. Desta forma, uma aleta plana trian¬ 
gular é vantajosa porque, para uma transferência de calor equi¬ 
valente, requer um volume muito menor (material da aleta) do 
que um perfil retangular. Nesse contexto, a dissipação de calor 
por unidade de volume, (q/V)a, é maior para um perfil parabóli¬ 
co. Contudo, como (q/V)a para o perfil parabólico é apenas um 
pouco superior ao do perfil triangular, o seu uso pode ser raramente 
justificado em função do seu maior custo de fabricação. A aleta 
anular de perfil retangular é comumente utilizada para melhorar a 
transferência de calor paia ou a partir dos tubos circulares. 
3<>6«>5 Eficiência Global cta Superfície 
De forma distinta da eficiência da aleta t^, que caracteriza o de¬ 
sempenho de uma única aleta, a eficiência global da superfície 
% caracteriza um conjunto de aletas e a superfície base na qual 
ele está fixado. Conjuntos representativos de aletas são mostra¬ 
dos na Figura 3.20, onde S designa o passo das aletas. Em cada 
caso, a eficiência global é definida como 
Vo 
Qt (/, 
Mflt 
(3.98) 
94 Capítulo Três 
Figuua 3.20 Conjuntos representativos de aletas. (a) Aletas retangu- 
lares. (b) Aletas anulares. 
A taxa total de transferência de calor por convecção das aletas 
e da superfície primária (sem aletas) pode ser representada por 
q, = Nr)ahAaOb + hAb6b (3.100) 
onde o coeficiente convectivo h é considerado equivalente para 
a superfície das aletas e a primária, e rja é a eficiência de uma 
aleta isolada. Assim, 
q, — h[Nr]aAa + (A, — NAa))Oh = hA, 1 
(3.101) 
Substituindo a Equação 3.101 na Equação 3.98, tem-se que 
r)0=\-^{\-i}A (3.102) 
onde q, é a taxa total de transferência de calor na área superficial 
A, associada à área das aletas e a fração exposta da base (frequen¬ 
temente chamada a superfície primária). Se existirem N aletas 
no conjunto, cada uma com área superficial Aa, e a área da su¬ 
perfície primária for designada por Ah, a área superficial total será 
dada por 
A, = NAa+Ab (3.99) 
A taxa máxima possível de transferência de calor ocorreria se toda 
a superfície da aleta, assim como a área exposta da base, fossem 
mantidas à temperatura Tb. 
A partir do conhecimento de t/0, a Equação 3.98 pode ser usada 
para calcular a taxa total de transferência de calor em um con¬ 
junto de aletas. 
Lembrando a definição da resistência térmica da aleta, Equa¬ 
ção 3.83, a Equação 3.98 pode ser utilizada na dedução de uma ex¬ 
pressão para a resistência térmica de um conjunto de aletas. Isto é, 
■ -*»- 1 
* T)M, 
(3.103) 
na qual Rl0 é uma resistência efetiva que leva em conta as traje¬ 
tórias do calor paralelas por condução/convecção nas aletas e por 
WfcM-r1 
VSAAAA- 
-VWVA- 
[h(A, -NAJr1 
-$ȣ?/ 
Tbo-vVWW-o r„ 
bl0hA,)1 
(«) 
«f JNA,r b (NnJiA,)-1 
I-AA/W*-e-MW-1 
-vVVVAAA— 
[h(A, NA, 
(b) 
-a-Qi 
tAAAAAA ■oT 
Figuua 3.21 Conjunto de aletas e circuito térmico, (a) Aletas integradas à base. (b) Aletas fixadas pela base. 
132 Capítulo Quatro 
O Fator de Forma da Condução e a 
Taxa de Condução de Calor Âdimensional 
Em muitos casos, problemas de condução bidimensional e tri¬ 
dimensional podem ser resolvidos rapidamente usando-se so¬ 
luções existentes da equação da difusão do calor. Estas solu¬ 
ções são apresentadas em termos de um fator de forma, S, ou 
de uma taxa de condução de calor adimensional, q*re, em re¬ 
gime estacionário. Isto é, a taxa de transferência de calor pode 
ser representada por 
q = SM7, 2 (4.20) 
onde Àr,_2 é a diferença de temperaturas entre os contornos, como 
mostrado na Figura 4.2, por exemplo. Tem-se também que a re¬ 
sistência condutiva bidimensional pode ser expressa na forma 
Os casos 12 a 15 estão associados à condução a partir dos 
objetos mantidos a uma temperatura isotérmica (7j) que estão 
inseridos em um meio infinito de temperatura uniforme (T2) em 
locais bem afastados do objeto. Para os casos que envolvem meio 
infinito, resultados úteis podem ser obtidos com a definição de 
um comprimento característico 
Lc = {AJ4tt)u2 (4.22) 
onde Asé a área superficial do objeto. Taxas de transferência de 
calor por condução do objeto para o meio infinito podem, então, 
ser representadas em tennos de uma taxa de condução de calor 
adimensional [10] 
R t,cond(2D) 
:-Jy 
Sk 
(4.21) l|pp§|||j q* = qLc/kAfTx-T2) (4.23) 
Fatores de forma foram obtidos analiticamente para numero¬ 
sos sistemas bi e tridimensionais e, para algumas configurações 
comuns, os resultados são resumidos na Tabela 4.1. Resultados 
também estão disponíveis para muitas outras configurações [6- 
9]. Nos casos de 1 a 8 e no caso 11, supõe-se que a condução 
bidimensional ocorra entre os contornos que são mantidos a tem¬ 
peraturas uniformes, com ATU2 = 7, — T2. No caso 9, há condu¬ 
ção tridimensional na região do vértice, enquanto no caso 10 a 
condução ocorre entre um disco isotérmico (7,) e um meio semi- 
infinito de temperatura uniforme (T>) em locais bem afastados 
do disco. Fatores de forma também podem ser definidos para 
geometrias unidimensionais e, a partir dos resultados da Tabela 
3.3, para paredes plana, cilíndrica e esférica os fatores de forma 
são, respectivamente, A/L, 27rL/ln(r2/r,) e 4777-,r2/(r2 — r{). 
Fatores deforma para geometrias bidimensionais também 
podem: ser estimados com o método gráfico descrito na Seção 
4S.L 
Na Tabela 4.1/?, fica evidente que os valores de qre, obtidos analítica 
e numericamente, são similares paia uma ampla gama de configu¬ 
rações geométricas. Como uma consequência desta similaridade, 
valores de qre podem ser estimados para configurações que são 
similares àquelas para as quais q*re é conhecida. Por exemplo, 
taxas de condução de calor adimensionais para formas cubóides 
(caso 15) na faixa de 0,1 < d/D < 10 podem ser bem aproximadas 
pela interpolação de valores de q*e apresentados na Tabela 4.1. 
Procedimentos adicionais que podem ser explorados paia estimar 
valores de q*re paia outras geometrias são explicados em [10]. Note 
que resultados pai a q*re na Tabela 4.1 b podem ser convertidos em 
expressões para S listadas na Tabela 4.1 a. Por exemplo, o fator de 
forma do caso 10 pode ser deduzido a partir da taxa de condução 
de calor adimensional do caso 13 (reconhecendo que o meio infi¬ 
nito pode ser visto como dois meios semi-infinitos adjacentes). 
Os fatores de forma e as taxas de condução de calor adimen¬ 
sionais reportados na Tabela 4.1 b estão associados a objetos que 
estão mantidos a temperaturas uniformes. Para condições de fluxo 
TABELA 4.1 Fatores de forma da condução e taxas de condução de calor adimensionais para 
sistemas selecionados 
(o) Fatores de forma [q = Sk{T1 — T2)]Sistema Esquema Restrições Fator de forma 
Caso 1 
Esfera isotérmica enterrada 
em um meio semi-infinito 
Jr.- 
Tl D 
Z> D/2 2 ttD 
1 - D/Az 
Caso 2 
Cilindro horizontal isotérmico 
de comprimento L enterrado 
L> D 
2vL 
n i i i 
’ z 8 cosfcf1 (2 z/D) 
em um meio semi-infinito L>D 
tmmm 
T.l'D ' 
z > 3D/2 ln (Az/D) 
(continua) 
Condução Bidimensional em Regime Estacionário 133 
TABELA 4.1 Continuação 
Sistema Esquema Restrições Fator de forma 
Caso 3 
Cilindro vertical em um 
meio semi-infinito 
Caso 4 
Condução entre dois 
cilindros de comprimento L 
em um meio infinito 
Caso 5 
Cilindro circular horizontal de 
comprimento L no meio do caminho 
entre dois planos paralelos de igual 
comprimento e largura infinita 
Caso 6 
Cilindro circular de comprimento L 
centrado em um sólido quadrado de 
igual comprimento 
L>D 
L > Di, D2 
L>w 
Z> D/2 
L>z 
w > D 
L>w 
2irL 
ln (4L/D) 
2-ttL_ 
4w2 - D\~ DV\ 
2 DA / 
2itL 
ln (Sz/ttD) 
2ttL 
ln (1,08 w/D) 
Caso 7 
Cilindro circular excêntrico 
de comprimento L em um cilindro 
de igual comprimento 
Caso 8 
Condução na aresta de 
paredes adjacente 
h— l 
Caso 9 
Condução no vértice de três paredes 
com uma diferença de temperaturas 
AF,_2 através das paredes 
Caso 10 
Disco de diâmetro D e temperatura 7j 
sobre um meio semi-infinito de 
condutividade térmica k e temperatura T2 
Caso 11 
Canal quadrado de comprimento L 
L <§ comprimento e 
largura da parede 0,15L 
Não há 2D 
W 
w < 1,4 
W 
w > 1,4 
L >W i 
2-ttL 
0,785 ln (W/w) 
_2ttL_ 
0,930 ln (W/w) - 0,050 
(continua) 
5.34 Capítulo Quatro 
TABELA 4.1 Continuação 
(b) Taxas de condução de calor adimensional [q — q%kAs(J'í - T2)/Lc-, Lc = (As/4-7r),/2] 
Sistema Esquema Área Ativa, As 
Caso 12 
Esfera isotérmica de diâmetro D e 
temperatura T, em um meio infinito 
de temperatura T2 
r 
i\ ' o 
r2 
7tD~ 1 
Caso 13 
Disco isotérmico de diâmetro D e 
temperatura 7j, infinitivamente fino, 
em um meio infinito à temperatura T2 
- 
1* ■■ o —*| 
f» 
irD- 
2 
2V2 
TT = 0,900 
Caso 14 
Retângulo de comprimento L e largura 
w, à temperatura T{, infinitamente fino, 
em um meio infinito à temperatura T2 
/A* l V 
' Tz 
2wL 0,932 
Caso 15 
Forma cubóide de altura d e base 
quadrada de lado D, à temperatura Tu 
em um meio infinito à temperatura T2 
-Ij/- 
2 D2 + 4Dd d/D 
0,1 
1,0 
2,0 
10 
0,943 
0,956 
0,961 
1,111 
térmico uniforme, a temperatura do objeto não é mais uniforme 
e, assim, varia espacialmente, com as temperaturas mais baixas 
localizadas perto da periferia do objeto aquecido. Portanto, a 
diferença de temperaturas que é usada para definir Seq%é subs¬ 
tituída por uma diferença de temperaturas que envolve a tempe¬ 
ratura superficial média espacial do objeto (T{ — T2) ou a dife¬ 
rença entre a temperatura superficial máxima do objeto aqueci¬ 
do e a temperatura do campo do meio adjacente em região 
afastada,(T, max - T2). Para a geometria do caso 10 (um disco de 
diâmetro D em contato com um meio semi-infinito de conduti- 
vidade térmica k e temperatura T2) uniformemente aquecida, os 
valores de S são 3 rãD/16 e ttD/2 para diferenças de temperatu¬ 
ras baseados nas temperaturas do disco média e máxima, respec¬ 
tivamente. 
Exemplo 4.1 
Um fio elétrico metálico, de diâmetro d = 5 mm, deve ser co¬ 
berto com um isolante de condutividade térmica k = 0,35 W/ 
(m-K). Espera-se que, em uma instalação típica, o fio coberto seja 
exposto a condições nas quais o coeficiente total associado à 
convecção e à radiação seja /i =15 W/(m2-K). Para minimizar o 
aumento de temperatura em função do aquecimento resistivo, a 
espessura do isolante é especificada de tal forma que seja obtido 
o raio crítico do isolante (veja o Exemplo 3.5). Entretanto, du¬ 
rante o processo de cobertura do fio a espessura do isolante às 
vezes varia ao redor de sua periferia, resultando em excentrici¬ 
dade do fio em relação à cobertura. Determine a variação na re¬ 
sistência térmica do isolante devida a uma excentricidade que é 
de 50% da espessura critica do isolante. 
Solução 
Dados: Diâmetro do fio, condições convectivas e condutivida¬ 
de térmica do isolante. 
Achar: Resistência térmica da cobertura do fio associada a va¬ 
riações periféricas da espessura da cobertura. 
Esquema: 
(a) Frio concêntrico (b) Fio excêntrico 
Considerações: 
1. Condições de regime estacionário. 
2. Condução bidimensional. 
3. Propriedades constantes. 
4. As superfícies externa e interna da cobertura com tempera¬ 
turas uniformes. 
468 Capítulo Doze 
tos de onda se tomam mais expressivos, até que finalmente tem-se 
uma emissão significativa ao longo de todo o espectro visível. 
Por exemplo, uma lâmpada com filamento de tungsténio, ope¬ 
rando a 2900 K (Àmax = 1 fjm), emite luz branca, embora a maior 
parte da sua emissão permaneça na região do infravermelho. 
Substituindo a distribuição de Planck, Equação 12.24, na Equa¬ 
ção 12.9, o poder emissivo total de um corpo negro EC[Í pode ser 
representado por 
[ -7-—-dk 
J o À5[exp(C2/kT) - 1] 
Efetuando a integração, pode ser mostrado que 
Ear ai* (12.26) 
onde a constante de Stefan-Boltzmann, que depende de C, e C2, 
possui o valor numérico de 
cr = 5,670 X 10~8 W/(m2 *K4) 
Esse resultado simples, porém importante, é conhecido por lei 
de Stefan-Boltzmann. Ela permite calculai- a quantidade de radi¬ 
ação emitida em todas as direções e ao longo de todos os com¬ 
primentos de onda simplesmente a partir do conhecimento da 
temperatura do corpo negro. Como essa emissão é difusa, tem- 
se da Equação 12.12 que a intensidade total associada à emissão 
de um corpo negro é 
Ecn 
7r 
v». <, < ' 
02.27} 
Emissão em uma Banda 
Com freqüência é necessário conhecer a fração da emissão total 
de um corpo negro que se encontra no interior de um certo inter¬ 
valo de comprimentos de onda ou banda. Paia uma dada tempe¬ 
ratura e o intervalo compreendido entre 0 e À, essa fração é de¬ 
terminada pela razão entre a seção sombreada e a área total sob 
a curva mostrada na Figura 12.13. Assim, 
\Xekjx 
p - Jo 
Ex,aAk 
E\tcndk XTE^ 
o-r4 Jo o-r5 
d{kT)=f(kT) (12.28) 
Fl€URA 12.13 Emissão de radiação a partir de um corpo negro na ban¬ 
da espectral de 0 a À. 
FlCUKA 12.14 Fração da emissão total de um corpo negro na banda 
espectral de 0 a À como uma função de kT. 
Como o integrando (EÁ_JaP) é exclusivamente uma função 
do produto entre o comprimento de onda e a temperatura kT, a 
integral da Equação 12.28 pode ser avaliada para se obter F(0_A) 
como uma função apenas de kT. Os resultados são apresentados 
na Tabela 12.1 e na Figura 12.14. Eles também podem ser usa¬ 
dos para se obter a fração da radiação que se encontra entre quais¬ 
quer dois comprimentos de onda A, e À2, uma vez que 
ç\i rA, 
EKcndX-\ ExJk 
~ = (12.29) 
Outras funções de corpo negro estão listadas na terceira e na 
quarta colunas da Tabela 12.1. A terceira coluna facilita o cálcu¬ 
lo da intensidade espectral para um comprimento de onda e uma 
temperatura especificados. Em vez de calcular essa grandeza 
através da Equação 12.23, ela pode ser obtida simplesmente pela 
multiplicação do valor apresentado na tabela de lKJ(fP por cTP. 
A quarta coluna é usada para se obter uma estimativa rápida da 
razão entre a intensidade espectral em um comprimento de onda 
qualquer e a intensidade espectral em Àmax. 
T ABELA 12.1 Funções da radiação de corpo negro 
kT 
(fxm • K) E( 0^A> 
IXiC„(k,T)!<rTs 
(fjLin * K • sr) 1 
h„cn(A> T) 
Jà,ch0 maxt E) 
200 0,000000 0,375034 X IO-27 0,000000 
400 0,000000 0,490335 X 10_i3 0,000000 
600 0,000000 0,104046 X 10~8 0,000014 
800 0,000016 0,991126 X IO-7 0,001372 
1000 0,000321 0,118505 X 10"5 0,016406 
1200 0,002134 0,523927 X IO-5 0,072534 
1400 0,007790 0,134411 X 10-4 0,186082 
(continua) 
Radiação: Processos e Propriedades 469 
TABELA 12.1 Continuação 
ÀT 
(fim • K) ^(0->A) 
4>C„(À, T)fcrT5 
(fim • K • sr)1 
hJA>T) 
1600 0,019718 0,249130 0,3449041800 0,039341 0,375568 0,519949 
2000 0,066728 0,493432 0,683123 
2200 0,100888 0,589649 X 10-4 0,816329 
2400 0,140256 0,658866 0,912155 
2600 0,183120 0,701292 0,970891 
2800 0,227897 0,720239 0,997123 
2898 0,250108 0,722318 X 10 4 1,000000 
3000 0,273232 0,720254 X 10 4 0.997143 
3200 0,318102 0,705974 0,977373 
3400 0,361735 0,681544 0,943551 
3600 0,403607 0,650396 0,900429 
3800 0,443382 0,615225 X IO"4 0,851737 
4000 0,480877 0,578064 0,800291 
4200 0,516014 0,540394 0,748139 
4400 0,548796 0,503253 0,696720 
4600 0,579280 0,467343 0,647004 
4800 0,607559 0,433109 0,599610 
5000 0,633747 0,400813 0,554898 
5200 0,658970 0,370580 X 10~4 0,513043 
5400 0,680360 0,342445 0,474092 
5600 0,701046 0,316376 0,438002 
5800 0,720158 0,292301 0,404671 
6000 0,737818 0,270121 0,373965 
6200 0,754140 0.249723 X 10-4 0,345724 
6400 0,769234 0,230985 0,319783 
6600 0,783199 0,213786 0,295973 
6800 0,796129 0,198008 0,274128 
7000 0,808109 0,183534 0,254090 
7200 0,819217 0,170256 X 10~4 0,235708 
7400 0,829527 0,158073 0,218842 
7600 0,839102 0,146891 0,203360 
7800 0,848005 0,136621 0,189143 
8000 0,856288 0,127185 0,176079 
8500 0,874608 0,106772 X 10“4 0,147819 
9000 0,890029 0,901463 X IO"5 0,124801 
9500 0,903085 0,765338 0,105956 
10000 0,914199 0,653279 X IO-5 0,090442 
10500 0,923710 0,560522 0,077600 
11000 0,931890 0,483321 0,066913 
11500 0,939959 0,418725 0,057970 
12000 0,945098 0,364394 X 10~s 0,050448 
13000 0,955139 0,279457 0,038689 
14000 0,962898 0,217641 0,030131 
15000 0,969981 0,171866 X 10-5 0,023794 
16000 0,973814 0,137429 0,019026 
18000 0,980860 0,908240 X IO"6 0,012574 
20000 0,985602 0,623310 0,008629 
25000 0,992215 0,276474 0,003828 
30000 0,995340 0,140469 X IO"6 0,001945 
40000 0,997967 0,473891 X 10“7 0,000656 
50000 0,998953 0,201605 0,000279 
75000 0,999713 0,418597 X IO-8 0,000058 
100000 0,999905 0,135752 0,000019