Aula 2 Juros Simples e Descontos 2021

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JUROS SIMPLES
UNIDADE 2
Juros Simples
- A remuneração pelo capital inicial (o principal) é
diretamente proporcional:
- Ao valor aplicado.
- Ao tempo de aplicação.
Juros Simples e a Progressão aritmética
O regime de capitalização simples corresponde a uma PA onde os 
juros crescem de forma constante ao longo do tempo.
Exemplo: Admita um empréstimo de $1.000 pelo prazo de 5 anos,
pagando-se juros simples à razão de 10%a.a.
Ano Saldo no 
início
de cada ano
Juros/ano SD final 
do ano
Crescimento 
anual do SD
1° ano (I) - - 1.000,00 -
1° ano (F) 1.000,00 0,10 * 1.000 = 100,00 1.100,00 100,00
2° ano (F) 1.100,00 0,10 * 1.000 = 100,00 1.200,00 100,00
3° ano (F) 1.200,00 0,10 * 1.000 = 100,00 1.300,00 100,00
4° ano (F) 1.300,00 0,10 * 1.000 = 100,00 1.400,00 100,00
5° ano (F) 1.400,00 0,10 * 1.000 = 100,00 1.500,00 100,00
Juros Simples e a Progressão aritmética
O primeiro valor é igual à $1000,00, e com o passar dos anos, a 
função vai assumindo os valores de uma PA (1000, 1.100, 1.200, 
...) cuja razão vale $100,00 (os juros).
Fórmulas – Juros Simples
J = C * i * n M = C + J M = C *(1 + i*n)
Onde:
J = juros C = capital i = taxa n = prazo M = montante
Tempo (períodos)
C = PV = VA
J
M = FV = VN
n = ?0
i
Exemplo:
Uma pessoa aplica $18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. Determinar o valor dos 
rendimentos (juros) e do montante acumulado ao final do período.
C = $18.000,00
i = 1,5% a.m. (0,015)
n = 8 meses
J = ?
M = ?
Juros Simples
Juros Simples
1. Um capital de $80.000,00 é aplicado a taxa de 2,5% ao mês durante um trimestre. Determine o 
valor dos juros acumulados nesse período.
C = $80.000,00
i = 2,5% a.m. (0,025)
n = 3 meses
J = ?
2. Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês 
durante 9 meses. Ao final desse período calculou em$270.000,00 o total de juros incorridos. Qual 
o valor do empréstimo?
i = 6% a.m.
n = 9 meses
J = $270.000,00
C = ????
Juros Simples
3. Um empréstimo de $10.000,00 rendeu juros simples de $2.700,00 ao final de 6 
meses. Qual a taxa mensal de juros do empréstimo?
C = $10.000,00 J = $2.700,00 n = 6 meses
Taxa Proporcional
Observações:
- Toda a operação envolve dois prazos:
(1) prazo da taxa de juros e 
(2) prazo de capitalização dos juros
- Quando os prazos forem diferentes, transforma-se o prazo da 
taxa para o de capitalização ou vice-versa.
- É obtida da divisão entre a taxa de juros considerada na operação 
e o número de vezes em que ocorrerão os juros.
Taxa Proporcional
Exemplo:
Para uma taxa de juros de 18% a.a., se a capitalização 
for definida mensalmente, o percentual de juros que 
incidirá sobre o capital a cada mês será:
Taxa Equivalente
Taxa Equivalente
Exemplo:
Em juros simples, um capital de $500.000,00, se 
aplicado a 2,5% ao mês ou 15% ao semestre pelo 
prazo de um ano, produz qual montante linear de 
juros?
 J (2,5% a.m.) = $500.000 * 0,025 * 12 = $150.000,00
 J (15% a.s.) = $500.000 * 0,15 * 2 = $150.000,00
Os juros produzidos pelas duas taxas são iguais, 
logo são definidas como EQUIVALENTES.
3. Determine o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado por:
C = $1000,00
a) n = 4 meses
i = 2% a.m./100 = 0,02
M = 1000 * (1 + 0,02*4)
M = 1000 * (1,08)
M = $1.080,00
M = C * (1 + i*n)
b) n = 8 meses
i = 6% a.a./12 = 0,5%a.m
i = 0,5% /100 = 0,005
M = 1000 * (1 + 0,005*8)
M = 1000 * (1,04)
M = $1.040,00
c) n = 85 dias
i = 2,5% a.m./30 = 
0,0833% a.d
M = 1000 * (1 + 0,00083*85)
M = 1000 * (1,0708)
M = $1.070,83
4. O montante de uma dada aplicação é $ 12.000,00. Sabe-se que o prazo da 
operação foi de quatro meses e que o juro gerado foi de $ 1.500,00. Determine:
a) O capital aplicado.
b) A taxa de juros mensal da aplicação.
M = $12.000,00
N = 4 meses
J = $1.500,00
C = ?
i = ?
M = C + J
12000 = C + 1500
C = 12000 – 1500
C = $10.500
J = C * i * n
1500 = 10500 *i*4
i = 1500 / 42000
i = 0,0357 a.m. (*100)
i = 3,57% a.m.
5. Determine o prazo em que um dado capital dobra de valor se aplicado a 
uma taxa de 5% am. Em quanto tempo esse capital triplicaria?
M = C * (1 + i*n)
C = 1
M= 2
i = 5% a.m. /100 = 0,05 
n = ?
2 = 1 * (1 + 0,05*n)
2/1 = 1 + 0,05n
2 – 1 = 0,05n
n = 1 / 0,05
n = 20 meses
Em quanto 
tempo o capital 
dobra?
C = 1
M= 3
i = 5% a.m. /100 = 0,05 
n = ?
3 = 1 * (1 + 0,05*n)
3/1 = 1 + 0,05n
3 – 1 = 0,05n
n = 2 / 0,05
n = 40 meses
Em quanto 
tempo o capital 
triplica?
6. O valor nominal de um título é 7/5 do seu valor atual. Sendo o prazo 
de aplicação de seis meses, qual a taxa de juros mensal aplicada?
VN = 7/5 VA
n = 6 meses
i = ?
VA = C = PV
VN = M = FV
M = C * (1 + i*n)
FV = PV * (1 + i*n)
7/5PV = PV * (1 + i*6)
1,4 = 1 + 6i
1,4 – 1 = 6i
i = 0,4/6
i =0,0667 a.m. (*100)
i = 6,67% a.m.
Descontos
Quando se faz uma aplicação com vencimento pré-determinado,
ou...
Quando uma pessoa contrai uma dívida...
o aplicador ou o devedor:
 Recebe um comprovante desta operação financeira.
 Pode ser uma nota promissória ou duplicata;
 Pode ser uma letra de câmbio ou cheque.
 Antecipar o valor a ser recebido em uma data futura,
é uma operação de “DESCONTO”.
Tipos de Descontos Simples - Desconto Comercial ou “por fora”;
Desconto Racional ou “por dentro”.
Descontos
Desconto Racional
Valor Atual
ou
Onde:
N = FV = Valor Nominal
VA = PV = Valor Atual
Dr – Desconto Racional
i – taxa de desconto simples
n – número de períodos
Desconto Comercial
Valor Atual
ou
Onde:
N = FV = Valor Nominal
VA = PV = Valor Atual
Dc – Desconto Comercial
i – taxa de desconto simples
n – número de períodos
Ex.1: Um título de R$6.000,00 a ser descontado à taxa de 2,1% a.m.
faltando 45 dias para o vencimento do título, determine o desconto
racional e o valor atual racional
Desconto Racional – “por dentro”
FV = $6.000,00
i = 2,1% a.m. = 0,07% a.d.
n = 45d Dr = ? PV = ?
Ex.2: Uma pessoa pretende saldar um título de $5.500,00, 3 meses
antes do seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de
40% a.a., qual o desconto e quanto vai obter?
Desconto Racional – “por dentro”
FV = $5.500,00
i = 40% a.a. = 40/12 = 3,333% a.m.
n = 3 meses Dr = ? PV = ?
Ex.3: Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o
desconto comercial a ser concedido para um resgate do título 3 meses
antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.
Desconto Comercial – “por fora”
FV = $10.000,00
i = 5% a.m.
n = 3 meses Dc = ? VA = ?
Ex.4: Considere o exemplo 2, em que o título de $5.500,00 é
descontado à taxa de 40%a.a., 3 meses antes do vencimento,
qual é o desconto e quanto vai obter?
Desconto Comercial – “por fora”
FV = $5.500,00
i = 40% a.a. = 40/12 = 3,333% a.m.
n = 3 meses Dc = ? PV = ?
9. Quanto pagar por um título cujo valor nominal é de $ 15.000,00, com 
vencimento em 150 dias, para que se tenha uma rentabilidade de 36% aa? 
Lembre-se: rentabilidade é a taxa de juros do desconto racional.
VN = FV = $15.000,00
n = 150 dias/30 = 5 meses
i = 36% a.a./12 = 3% a.m.
VA = PV = ?
Tempo (dias)
PV = ?
Dr
FV = $15.000,00
n = 1500
10. Sabe-se que o desconto racional de um título, cujo valor nominal é $ 
600,00, foi de $ 57,63. Qual será a taxa de juros considerada se o prazo 
de antecipação for de cinco meses?
VN = FV = $600,00
Dr = $57,63
i = ?
n = 5 meses
PV = FV – Dr
PV = 600 – 57,63
PV = $542,37
FV = PV * (1 + i * n)
600 = 542,37 * (1 + i * 5)
600/542,37 = 1 + 5i
5i = 1,10625 – 1
i = 0,10625/5
i = 0,0212 a.m. (*100)
i = 2,125% a.m. 
Tempo (meses)
PV = 542,37
Dr= $57,63
FV = $600,00
n = 50
11. O valor descontado de uma promissória é de $ 1.449,28 (PV) e a 
taxa de juros utilizada foi de 18% a.a. Sabe-se que o desconto racional 
foi de $ 50,72. Qual o prazo de antecedência?
Tempo (períodos)
PV = 1.449,28
Dr = 50,72
FV = $1.500,00
n = ?0
PV = $1.449,28
i = 18% a.a. = 1,5% a.m.
Dr = $50,72 n = ?
FV = PV + Dr
FV = 1449,28 + 50,72 = $1.500,00 
FV = PV * (1 + i*n)
1500 = 1449,28 * (1 + 0,015*n) 
1500/1449,28 = 1 + 0,015n
1,035 – 1 = 0,015n
n = 0,035/0,015
n = 2,33 meses12. O valor nominal de um título é de 17,665 vezes o desconto 
racional a 24% aa. Se o desconto racional for $ 600,00, qual será o 
prazo de antecipação?
Tempo (períodos)
PV = 10.000,00
Dr = 600,00
FV = $10.600,00
n = ?0
FV = 17,665 * Dr
i = 24% a.a. = 2% a.m.
Dr = $600,00 n = ?
FV = 17,665 * 600
FV = $10.600,00
PV = FV – Dr
PV = 10600 – 600 = $10.000,00
FV = PV * (1 + i*n)
10600 = 10000 * (1 + 0,02*n) 
10600/10000 = 1 + 0,02n
1,06 – 1 = 0,02n
n = 0,06/0,02 n = 3 meses
13. Deduza qual relação deve existir entre a taxa de juros do desconto 
racional (ir) e a taxa de desconto do desconto comercial (ic) para que o 
desconto de um título gere o mesmo valor descontado, ou valor atual. 
Essa atividade deve ser desenvolvida em grupo (de forma presencial ou 
virtual).
 A taxa efetiva é a taxa de juros que aplicada sobre o valor atual do título (PVc) gera, 
no período considerado, um montante igual ao valor nominal (FV), ou seja, a taxa 
efetiva será aquela que conduz, pelo Dr, ao mesmo valor calculado pelo Dc.
𝐷 =
𝐹𝑉 ∗ 𝑖𝑟 ∗ 𝑛
1 + 𝑖𝑟 ∗ 𝑛
𝐷 = 𝐹𝑉 ∗ 𝑖𝑐 ∗ 𝑛=
𝐹𝑉 ∗ 𝑖𝑟 ∗ 𝑛
1 + 𝑖𝑟 ∗ 𝑛
= 𝐹𝑉 ∗ 𝑖𝑐 ∗ 𝑛
𝑖𝑐 =
𝑖𝑟
1 + 𝑖𝑟 ∗ 𝑛
𝑖𝑟 =
𝑖𝑐
1 − 𝑖𝑐 ∗ 𝑛
Onde:
ic = taxa de desconto comercial;
ir = taxa de desconto racional
14. Determine a taxa mensal de desconto comercial que um banco deve 
aplicar para que o “custo da operação” corresponda a uma taxa de desconto 
racional de 6,5% a.m. nos seguintes prazos de desconto:
a) 1 mês; b) 2 meses; c) 3 meses.
ir = 6,5% a.m. 𝑖𝑐 =
𝑖𝑟
1 + 𝑖𝑟 ∗ 𝑛
a) n = 1 mês
𝑖𝑐 =
0,065
1 + 0,065 ∗ 1
𝑖𝑐 =
0,065
1,065
𝑖𝑐 = 0,0610 𝑎. 𝑚.
𝒊𝒄 = 𝟔, 𝟏% 𝒂. 𝒎.
b) n = 2 meses
𝑖𝑐 =
0,065
1 + 0,065 ∗ 2
𝑖𝑐 =
0,065
1,13
𝑖𝑐 = 0,0575 𝑎. 𝑚.
𝒊𝒄 = 𝟓, 𝟕𝟓% 𝒂. 𝒎.
c) n = 3 meses
𝑖𝑐 =
0,065
1 + 0,065 ∗ 3
𝑖𝑐 =
0,065
1,195
𝑖𝑐 = 0,0544 𝑎. 𝑚.
𝒊𝒄 = 𝟓, 𝟒𝟒% 𝒂. 𝒎.
15. Um banco propõe a um cliente duas alternativas de empréstimo com 
base em desconto comercial:
a) 5,5% a.m. e prazo de quatro meses; b) 6% a.m. e prazo de dois meses.
Qual das alternativas é mais vantajosa para o cliente?
a) ic = 5,5% a.m.
n = 4 meses
b) ic = 6% a.m.
n = 2 meses
A alternativa B é mais 
vantajosa pois o custo 
efetivo do empréstimo 
é menor.
17. Um produto é ofertado por uma loja em duas condições de 
pagamento: (a) $ 20.000,00 à vista; e (b) dois pagamentos iguais no valor 
de $ 10.299,00 para 30 e 60 dias da data da compra. Qual a taxa mensal 
de juros cobrada pela loja? Resolva utilizando os modelos racional e 
comercial.
300 60 Tempo (dias)
$20.000,00
$10.299,00 $10.299,00
(a)
(b)
ComercialRacional
Modelo Comercial
20.000
20.000
20.000
35
17. Um produto é ofertado por uma loja em duas condições de 
pagamento: (a) $ 20.000,00 à vista; e (b) dois pagamentos iguais no valor 
de $ 10.299,00 para 30 e 60 dias da data da compra. Qual a taxa mensal 
de juros cobrada pela loja? Resolva utilizando os modelos racional e 
comercial.
300 60 Tempo (dias)
$20.000,00
$10.299,00 $10.299,00
(a)
(b)
Modelo Racional
20.000
.
( ∗ )
.
( ∗ )
Racional
𝑖𝑟 =
𝑖𝑐
1 − 𝑖𝑐 ∗ 𝑛
𝑖𝑟 =
0,019355
1 − 0,019355 ∗ 2
,
,
= 0,0201
Equação de 
2° grau
18. Uma loja vende um aparelho de DVD por $ 500,00 à vista. 
Alternativamente, contempla a venda a prazo com uma entrada de $ 50,00 
e um pagamento adicional de $ 531,00 após 6 meses. Qual a taxa de juros 
anual cobrada? Resolva utilizando os modelos comercial e racional.
60 Tempo (meses)
$500,00
$531,00
Venda à vista
$50,00
Venda à prazo
Comercial
Modelo Comercial
18. Uma loja vende um aparelho de DVD por $ 500,00 à vista. 
Alternativamente, contempla a venda a prazo com uma entrada de $ 50,00 
e um pagamento adicional de $ 531,00 após 6 meses. Qual a taxa de juros 
anual cobrada? Resolva utilizando os modelos comercial e racional.
60 Tempo (meses)
$500,00
$531,00
Venda à vista
$50,00
Venda à prazo
Racional
𝑖𝑟 =
𝑖𝑐
1 − 𝑖𝑐 ∗ 𝑛
Modelo Racional
𝑖𝑟 =
0,0254
1 − 0,0254 ∗ 6
,
,
= 0,03
19. Aplicam-se $ 50.000,00 à taxa de juros de 12% aa em um período de 
quatro meses. Um mês após essa aplicação, faz-se nova aplicação à taxa 
de juros de 20% aa e por três meses. Qual o valor desta segunda aplicação 
para que os montantes das duas operações sejam iguais?
1° Aplicação
PV1 = $50.000,00
i = 12% a.a. = 1% a.m.
n = 4 meses
FV1 = ?
2° Aplicação
PV2 = ?
i = 20% a.a. = 1,667%a.m. 
n = 3 meses
FV2 = FV1
FV1 = PV1 * (1 + i * n)
FV1 = 50.000 * (1 + 0,01 * 4)
FV1 = 50.000 * 1,04
FV1 = $52.000,00
52.000 = PV2 * (1 +0,01667 * 3)
52.000 = PV2 * (1,05)
PV2 = 52.000 / 1,05
PV2 = $49.523,81
20. Uma mercadoria, cujo valor à vista é $ 20.000,00, foi vendida em 
três pagamentos para 30, 60 e 90 dias da data da venda. Sabendo que 
cada pagamento supera o anterior em $ 2.000,00 e que a taxa da 
operação é 24% aa, determine o valor de cada pagamento.
Tempo (dias)
$20.000,00
X (X + 2000) + 2000
30 900 60
X + 2000,00
Racional
i = 24% a.a. = 2% a.m.
, ∗ , ∗ , ∗
, , ,
𝟏 𝟐 𝟑
20. Uma mercadoria, cujo valor à vista é $ 20.000,00, foi vendida em 
três pagamentos para 30, 60 e 90 dias da data da venda. Sabendo que 
cada pagamento supera o anterior em $ 2.000,00 e que a taxa da 
operação é 24% aa, determine o valor de cada pagamento.
Tempo (dias)
$20.000,00
X (X + 2000) + 2000
30 900 60
X + 2000,00
i = 24% a.a. = 2% a.m.
𝟏 2 𝟐 2 𝟑 22
Comercial
20.000 = 𝑋 ∗ 1 − 0,02 ∗ 1 + X + 2000 ∗ 1 − 0,02 ∗ 2 + X + 4000 ∗ (1 − 0,02 ∗ 3)
20.000 = 0,98𝑋 + 0,96𝑋 + 1.920 + 0,94𝑋 + 3.760
20.000 − 1.920 − 3.760 = 2,88𝑋
𝑋 = 14.320/2,88