Estática, Mecânica para Engenharia Parte 1

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Princípios gerais 1 
Objetivos do capitulo ....................................................................................... 1 
1.1 Mccâtlica ............................................................................................ I 
1.2 Concei tos fundamcntais ........................................................................... 2 
1.3 Unidades de medida ........................................................................... 4 
1.4 Sistema internacional de unidades...................................................... .5 
1.5 Cálculos numéricos ................................................................................ 6 
1.6 Procedimentos gerais para análise ...................................................... 7 
11 Vetores de força 11 
Objetivos do capítulo. .. . ........................................................................... 11 
2.1 Escalares c vetores. . ...................................... ................................. li 
2.2 
2.3 
2.4 
Operações vetoriais 
Adição vetorial de forças . 
······························································· I~ 
. ... .... ... ... ... . ..............•....•....•....... 13 
Adição de um sistema de forças coplanares .................................. .. 22 
2.5 Vetores canesianos . .... ........... ...................................................... 30 
2.6 Adição de vetores canesianos ......................................................... ... 33 
2.7 Vetores posição ......... ...................... .................. ....................... ....... .. 40 
2.8 Vetor de força orientado ao longo de uma reta .................................... 42 
2.9 Produto escalar ..................................................................................... 49 
D Equilíbrio de uma partícula 61 
Objetivos do capítulo . ... . . ...................... .... ........ .............................. 61 
3.1 Condição de equilíbrio de uma partícula ......................................... 61 
3.2 O diagrama de corpo livre ............................................................... .61 
3.3 Sistemas de forças coplanares ......................................................... 64 
3.4 Sistemas de força tridimensionais................................................... 75 
D Resultantes de um sistema de forças 8S 
Objetivos do capítulo . . . ... .... ............................................................. . 85 
4.1 Momento de uma força - formulação escalar ................................... 85 
4.2 Produto vetoria l .........................................................•.••.••••.•• 
4.3 Momento de uma fo rça - formulação vetorial . ..........•....•.•..•.•..•. 
88 
.. 90 
4.4 O princípio dos momentos............................................................... .. 93 
vm Estático 
4.S Momento de uma força em relação a um eixo especificado ................ I O I 
4.6 Momento de um binário ...................................................................... 1 08 
4.7 Simplificação de um sistema de forças e binários ............................... 117 
4.8 Simplificações adicionais de um sistema de forças e binários ............ 124 
4. 9 Redução de um carregamento distribuído simples .............................. 133 
D Equilíbrio de um corpo rígido 145 
Objetivos do capíttl lo .................................................................................... l45 
S.1 Condjçôes de equilíbrio do corpo rígido ............................................. 145 
S.2 Diagramas de corpo livre ..................................................................... l46 
S.3 Equações de equilíbrio ........................................................................ I 57 
S.4 Membros de duas e três forças ............................................................ I 64 
S.S Diagramas de corpo livre ..................................................................... I 74 
S.6 Equações de equilíbrio ........................................................................ 177 
S.7 Restrições e determinação estática ...................................................... 178 
11 Análise estrutural 195 
Objetivos do capítu lo .................................................................................... l 95 
6.1 Treliças simples ................................................................................... I 95 
6.2 O método dos nós ................................................................................ I 97 
6.3 Membros de força zero ........................................................................ 202 
6.4 O método das seções ........................................................................... 209 
6.S Treliças espaciais ................................................................................. 217 
6.6 Estruturas c máquinas .......................................................................... 220 
Forcas internas 249 
' 
Objetivos do capíttllo .................................................................................... 249 
7.1 Forças internas desenvolvidas em membros estmturais ....................... 249 
7.2 Equações e diagramas de esforço cortante e momento ftetor. .............. 261 
7.3 Relações entre carga distribuída, esforço cortante e momento ftetor ... 267 
7.4 Cabos ................................................................................................... 275 
11 Atrito 290 
Objetivos do capítulo .................................................................................... 290 
8.1 Características do atrito seco ............................................................... 290 
8.2 Problemas envolvendo atrito seco ....................................................... 293 
8.3 Calços .................................................................................................. 309 
8.4 Forças de atrito em parafusos .............................................................. 311 
8.S Forças de atrito em correias ................................................................. 317 
8.6 Forças de atrito em mancais de escora, mancais axiais e discos ......... 323 
8.7 Forças de atrito em mancais radiais ..................................................... 326 
8.8 Resistência ao ro lamento ..................................................................... 327 
11 Centro de gravidade e centroide 337 
Objetivos do capítulo . .. .. . •......•...........•.. .... .. 
9.1 Centro de gravidade, centro de massa e centroide de um corpo 
9.2 Corpos compostos . .. . . . .................................................. . 
9.3 Teoremas de Pappus e Guldinus .. . . •••••••••••••••••••••• 
337 
337 
355 
366 
9.4 Resultante de um carregamento distribuído geral . ...................... 3 73 
9.5 Pressão de fluidos .. ...... ···•••······ ·······• ... .. . -~·························· . 373 
II!J Momentos de inércia 387 
Objetivos do capítulo ..... .............................................................................. 387 
10.1 Definição de momentos de inércia para áreas .................................... 387 
10.2 Teorema dos eixos paralelos para uma área ....................................... 388 
10.3 Raio de geração de uma área ............................................................... 388 
10.4 Momentos de inércia para áreas compostas ...... ....................... ..... . .. 394 
10.5 Produto de inércia para uma área ................................................. 40 I 
10.6 Momentos de inércia para uma área relação aos eixos inclinados . 404 
10.7 Circulo de Mohr para momentos de inércia .. .............................. 407 
10.8 Momento de inércia da mas a .... ...................... ............................. 41 3 
m Trabalho virtual 4 25 
Objetivos do capitulo ...•..•.•..•............•....•..•.. ·········•····•····•········· 
11.1 Definição de trabalho .......................................•....•....•.... 
11.2 Principiodo trabalho virtual. •• ••••• • •• o o ••••••••••••••••••••••••••• 
11.3 Principio do trabalho virtual para um sistema 
. 425 
425 
426 
de corpos rígidos conectados .................... ......... .......................... .. 428 
11.4 Forças conservativas . .................................................................. . 438 
11.5 Energia potencial .............................................................................. 438 
11.6 Critério de energia potencial para o equilíbrio ................................... .440 
11.7 Estabilidade da configuração de equilibrio ......................................... .440 
Apêndices 4S4 
A Revisão e expressões matemáticas .................................................... .454 
B Equações fundamentais da estática ..................................................... 457 
C Tabelas de conversão . ........................................ ............................. .458 
Soluções e respostas parciais dos problemas fundamentais 461 
Respostas dos problemas selecionados 476 
• 
lndice remissivo 508 
Sumário lX 
Princípios gerais 
Obietivos do capítulo 
• Fornecer uma introdução às quantidades básicos e idealizações do mecânico. 
• Apresentar o enunciado dos leis de Newton do movimento e do gravitação. 
• Revisor os princípios poro o aplicação do Sistema Internacional de Unidades (SI). 
• Examinar os procedimentos padrão de execução dos cálculos numéricos. 
• Apresentar uma orientação geral para o resolução de problemas. 
Mecânica 
A mecânica é um ramo das ciências fisicas que trata do estado de repouso ou 
movimento de corpos sujeitos à ação das forças. Em geral, esse assunto é subdividido 
em três áreas: mecânica dos corpos rígidos, mecânica dos corpos deformáveis e 
mecânica dos fluidos. Neste livro, estudaremos a mecânica dos corpos rígidos, uma 
vez que este é um requisito básico para o estudo das outras áreas. Além disso, ela é 
essencial para o projeto e a análise de muitos tipos de membros estruturais, compo-
nentes mecânicos ou dispositivos elétricos encontrados na engenharia. 
A mecânica dos corpos rígidos divide-se em duas áreas: estática e dinâmica. A 
estática trata do equilíbrio dos corpos, ou seja, aqueles que estão em repouso ou em 
movimento, com velocidade constante; enquanto a dinâmica preocupa-se com 
o movimento acelerado dos corpos. Podemos considerar a estática um caso especial 
da dinâmica em que a aceleração é zero; entretanto, a estática merece um tratamento 
distinto na aprendizagem da engenharia, uma vez que muitos objetos são projetados 
com a intenção de permanecerem em equilíbrio. 
Desenvolvimento histórico 
Os princípios da estática desenvolveram-se na história há muito tempo, porque 
podiam ser formulados simplesmente a partir das medições da geometria e da força. 
Por exemplo, os escritos de Arquimedes (287-2 12 a.C.) tratam do princípio da 
alavanca. Os estudos sobre polia, plano inclinado e torção também aparecem 
registrados em escritos antigos, da época em que as necessidades da engenharia 
limitavam-se principalmente à construção de edificios. 
I 2 I Estático 
Como os princípios da dinâmica dependem de lllna medição precisa do tempo, 
esse assunto se desenvolvelll bem mais tarde. Galileu Galilei (1564-1642) foi um dos 
primeiros grandes colaboradores desse campo. Seu trabalho consistiu de experimentos 
usando pêndulos e corpos em queda livre. As contribuições mais significativas na 
dinâmica, no entanto, foram feitas por Isaac ewton ( 1642-1727), que é conhecido 
por sua formulação das três leis fundamentais do movimento e a lei universal da 
atração gravitacional. Logo após essas leis terem sido postuladas, importantes técnicas 
para a aplicação delas foram desenvolvidas por Euler, D' Alembert, Lagrange e outros. 
Conceitos fundamentais 
Antes de começarmos o nosso estudo da mecânica para engenharia é importante 
entender o significado de al.guns conceitos e princípios fundamentais. 
Quantidades básicas 
As quatro quantidades que se seguem são usadas em toda a mecânica. 
Comprimento 
O comprimento é usado para localizar a posição de um ponto no espaço e, portanto, 
descrever o tamanho de um sistema fisico. Uma vez definida a unidade padrão do 
comprimento, pode-se definir distâncias e propriedades geométricas de um corpo 
como múltiplos da un idade de comprimento. 
Tempo 
O tempo é concebido como uma sucessão de eventos. Embora os princípios da 
estática sejam independentes do tempo, essa quantidade desempenha um importante 
papel no estudo da djnâmica. 
Massa 
A massa é uma medida da quantidade de matéria que é usada para comparar a 
ação de um corpo com a de outro. Essa propriedade se manifesta como uma atração 
da gravidade entre dois corpos e fornece uma medida da resistência da matéria à 
mudança de velocidade. 
Forca • 
Em geral, a força é considerada um 'empurrão' ou 'puxão' exercido por um corpo 
sobre outro. Essa interação pode ocorrer quando existe contato direto entre dois 
corpos, tal como quando uma pessoa empurra uma parede; ou pode ocorrer à distância, 
quando os corpos estão fisicamente separados. Exemplos do último tipo incluem as 
forças da gravidade, elétrica e magnética. Em qualquer caso, uma força é completamente 
caracterizada pela sua intensidade, direção e ponto de aplicação. 
Modelos 
Os modelos ou idealizações são usados na mecânica para simplificar a aplicação 
da teoria. Vamos definir a seguir três modelos importantes. 
Partícula 
Uma partícula possui massa, mas em um tamanho que pode ser desprezado. Por 
exemplo, o tamanho da Terra é insignificante quando comparado com o tamanho de 
sua órbita e, portanto, ela pode ser modelada como uma partícula no estudo de seu 
movimento orbital. Quando um corpo é modelado como uma particula, os princípios 
da mecânica reduzem-se a uma fonna muito simplificada, uma vez que a geometria 
do corpo não estará envolvida na análise do problema. 
Capítulo 1 
Corpo rígido 
Um corpo rígido pode ser considerado a combinação de um grande número de 
partículas que permanecem a uma distância fiXa umas das outras. tanto antes como 
depois da aplicação de uma carga. Esse modelo é importante porque as propriedades 
materiais de qualquer corpo assumido como rígido não precisam ser consideradas 
quando se estudam os efeitos das forças atuando sobre o corpo. a maioria dos ca os, 
as dcformaçõc reais que ocorrem em estruturas, máquinas, mecani mos c simi lares 
são relativamente pequenas, c a hipótese de corpo rígido é adequada para a análise. 
Forca concentrada • 
Umaforça concemrada representa o efeito de uma carga que supostamente age 
em um ponto do corpo. Podemos representar uma carga por uma força concentrada, 
desde que a área sobre a qual ela é aplicada seja pequena, comparada com o tamanho 
total do corpo. Um exemplo seria a força de contato entre uma roda e o solo. 
As três leis do movimento de Newton 
A mecânica para engenharia é fonnulada com base nas três leis do movimento 
de Newton, cuja validade é baseada na observação experimental. Essas leis se aplicam 
ao movimento de uma particula quando medido a partir de um sistema de referência 
não acelerado. Elas podem ser postuladas resumjdamente como a segui r. 
Primeira lei 
Uma partícula originalmente em repouso ou movendo-se em linha reta, com 
velocidade constante, tende a permanecer nesse estado, desde que não seja submetida 
a uma força em desequilíbrio (Figura l.la). 
Segunda lei 
Uma partícula sob a ação de umaforça em desequilíbrio F sofre uma aceleração 
a que po sui a mesma direção da força e intensidade diretamente proporcional à força 
(Figura 1.1 b). • Se F é aplicada a uma partícula de massa m, essa lei pode ser expressa 
matematicamente como: 
F = ma ( 1.1 ) 
Terceira lei 
As forças mútuas de ação c reação entre duas partículas são iguais, opostas e 
colincares (Figura 1.1 c). 
Lei de Newton da atra~ão gravitacional 
Depois de explicar suas três leis do movimento, Newton postulou a lei que govcma 
a atração gravitacional entrequaisquer duas partículas. Expressa matematicamente, 
onde: 
F= Gm,m2 
1.). 
F = força da gravidade entre duas partículas 
( 1.2) 
G = con tante univcr ai da gravitação; de acordo com evidência experimental, 
G = 66, 73( I O 11) m3 I (kg. s2) 
m" m2 = mas a de cada uma das duas partículas 
r = distância entre as duas partículas 
• Enunciado de outnl forma, a força em desequilibrio que atua sobre a partícula é proporcional :\ 
taxa de variação da quant idade de movimento linear da partícula. 
F 
Princípios gerais I 3 I 
Fl 
Equilíbrio 
(a) 
,. 
a 
Movimento acelerado 
(b) 
(/orça de A sobre 8 
~ F 
A 8 \.força de 8 sobre A 
Ação - reação 
(c) 
Figura 1.1 
I 4 I Estático 
Peso 
Segundo a Equação 1.2, quaisquer duas partículas ou corpos possuem uma força 
de atração mútua (gravitacional) agindo entre eles. Entretanto, no caso de uma 
partícula localizada sobre ou próxima à superficie da Terra, a única força da gravidade 
com intensidade considerável é aquela entre a Terra e a partícula. Consequentemente, 
essa força, denominada peso, será a única força da gravidade considerada em nosso 
estudo da mecânica. 
Pela Equação 1.2, podemos desenvolver uma expressão aproximada para encontrar 
o peso W de uma partícula com uma massa m1 = m. Se considerarmos a Terra uma 
esfera sem rotação de densidade constante e tendo uma massa m2 = M., e se r é a 
distância entre o centro da Terra e a partícula, temos: 
Adotando g = GMj ?, resulta: 
W=GmU 
,.2 
(1.3) 
Por comparação com F = ma, podemos ver que g é a aceleração devido à gravidade. 
Como ela depende de r, então o peso de um corpo não é uma quantidade absoluta. 
Em vez disso, sua intensidade é detenninada onde a medição foi feita. Para a maioria 
dos cálculos de engenharia, no entanto, g é detenninada ao nível do mar e na latitude 
de 45°, que é considerado o ' local padrão'. 
m Unidades de medida 
As quatro quantidades básicas - comprimento, tempo, massa e força - não são 
todas independentes umas das outras; na verdade, elas estão relacionadas pela 
segunda lei do movimento de Newton, F = ma. Por essa razão, as unidades usadas 
para medir essas quantidades não podem ser todas selecionadas arbitrariamente. A 
igualdade F = ma é mantida apenas se três das quatro unidades, chamadas unidades 
básicas, estiverem definidas e a quarta unidade for, então, derivada da equação. 
Unidades SI 
O Sistema Internacional de Unidades, abreviado como SI, do francês Systeme 
lnternational d'Unités, é uma versão moderna do sistema métrico, que recebeu 
aceitação mundial. Como mostra a Tabela 1.1 , o sistema SI define o comprimento 
em metros (m), o tempo em segundos (s) e a massa em quilof,rramas (kg). A unidade 
de força, chamada 'newton' (N), é derivada de F = ma. Portanto, I newton é igual 
à força necessária para fornecer I quilograma de massa a uma aceleração de I m/s2 
(N = kg · m/s~. 
TABELA 1.1 Sistemas de unidades 
Nome Distância Tempo Massa Força 
Sistema Internacional Metro Segundo Quilograma Newton* 
de Unidades 
(SI) (m) (s) (kg) (N) 
( kgs~ m ) 
*Unidade derivada. 
Capítulo 1 
Se o peso de um corpo localizado no 'local padrão' for determinado em newtons, 
então, a Equação 1.3 deve ser aplicada. Nessa equação, as medidas fornecem 
g = 9,80665 rnls2; entretanto, para cálculos, será usado o valo r g = 9,81 rnls2• Assim, 
W = mg (g = 9.81 rnls2) (1 .4) 
Logo, um corpo de massa I kg possuí um peso de 9,81 N, um corpo de 2 kg pe a 
19,62 c assim por diante (Figura 1.2). 
Sistema internacional de unidades 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) será bastante usado neste livro, visto 
que ele deve se tornar o padrão de medida mundial. Portanto, apresentaremo agora 
algumas das regras para o seu uso e tenninologias relevantes a mecânica para 
engenharia. 
Prefixos 
Quando uma quantidade numérica é muito grande ou muito pequena, as unidades 
usadas para definir seu tamanho podem ser modificadas usando um prefixo. Alguns 
dos prefixos usados no SI são mostrados na Tabela 1.2. Cada um representa um 
múltiplo ou submúltiplo de uma unidade que, se aplicado sucessivamente. move o 
ponto decimal de uma quantidade numérica a cada três casas decímai . • Por exemplo, 
4000000 N = 4000 kN (quilonewtons) = 4 MN (meganewtons), ou 0,005 m = 5 mm 
(milímetro ). Observe que o sistema SI não inclui o múltiplo deca ( I O) ou o 
submúltiplo centi (0,0 I), que fazem pane do sistema métrico. Exceto para algumas 
medidas de volume e área, o uso desses prefixos deve ser evitado na ciência e na 
engenharia. 
TABELA 1.2 Prefixos 
Forma exponencial Prefi xo lmbolo SI 
Múltiplos 
I 000000000 I 09 g•ga G 
I 000000 I 06 mega M 
I 000 I 03 qui lo k 
Submúltiplos 
0,001 I O 3 mil i m 
0,000001 lO~ . rmcro Jl 
0,00000000 I lO 9 nano n 
Regras para uso 
As regras imponantes a seguir descrevem o uso apropriado dos vários símbolos 
do SI: 
• Quantidades definidas por diversas unidades que são múltiplas umas das 
outras são separadas por um ponto para evitar confusão com a notação do 
• O quilograma é a única unidade básica que é definida com prefixo. 
Princípios gerais I 5 I 
9,8t 
Figura 1.2 
I kg 
I 6 I Estático 
prefixo, como indicado por N = kg · m/s2 = kg · m · s 2• Também é o caso 
de m·s (metro-segundo) e ms (milissegundo). 
• A potência exponencial de uma unidade tendo um prefLXo se refere a 
ambos: a unidade e seu prefixo. Por exemplo, pN2 = <PNY = J1 • pN. Da 
mesma forma, nun2 representa (mmY = mm·mm. 
• Com a exceção da unidade básica quilograma, em geral, evite o uso de 
prefLXo no denominador das unidades compostas. Por exemplo, não escreva 
N/mm, mas sim kN/m; também m/mg deve ser escrito como Mm/kg. 
• Ao realizar cálculos, represente os números em tennos de suas unidades 
básicas ou derivadas convertendo todos os prefixos para potências de I O. 
O resultado final deve então ser expresso usando-se um prefixo simples. 
Também, após o cálculo, é melhor manter os valores numéricos entre 
O, I e I 000; caso contrário, um prefixo adequado deve ser escolhido. Por 
exemplo, 
(50 kN)(60 nm) = [50(103) N][60(10-9)m] 
= 3000(10 6) N · m = 3(10 3) N·m = 3mN·m 
Cálculos numéricos 
O trabalho numérico na prática da engenharia é quase sempre realizado usando 
calculadoras e computadores. Entretanto, é importante que as respostas de qualquer 
problema sejam apresentadas com precisão justificável de algarismos significativos 
apropriados. Nesta seção, discutiremos esses tópicos juntamente com outros aspectos 
importantes envolvidos em todos os cálculos de engenharia. 
Homogeneidade dimensional 
Os termos de qualquer equação usada para descrever um processo fisico devem 
ser dimensiono/mente homogêneos; isto é, cada termo deve ser expresso nas mesmas 
unidades. Nesse caso, todos os termos de uma equação podem ser combinados se os 
valores numéricos forem substituídos nas variáveis. Considere, por exemplo, a 
equação s = vt + tat2 , onde, no SI, s é a posição em metros, m, t é o tempo em 
segundos, s, v é a velocidade em m/s e a é a aceleração em mls2• Independentemente 
de como a equação seja calculada, ela mantém sua homogeneidade dimensional. Na 
forma descrita, cada um dos três termos é expresso em metros [m, (mls)s, (mll)s'] 
ou resolvendo para a, a = 2slf - 2vlt, os termos são expressos em unidades de m/s2 
[m/s2, m/s2, (m/s)/s]. 
Observe com atenção que os problemas na mecânica sempre envolvem a solução 
de equações dimensionalmente homogêneas e, portanto, esse fato pode ser usado 
como uma verificação pardal para manipulações algébricas de uma equação. 
Algarismos significativos 
O número de algarismos significativos contidos em qualquer número detcm1ina 
a precisão dele. Por exemplo, o número 4981 contém quatro algarismos significativos. 
Entretanto, se zeros ocorrerem no final de um número, pode não ficar claro quantos 
algarismos significativos o número representa. Por exemplo, 23400 pode ter três 
(234), quatro (2340) ou cinco (23400) algarismos significativos. Para evitar essas 
ambiguidades, usaremos a notaçãode engenharia para expressar um resultado. Isso 
exige que os números sejam arredondados para a quantidade adequada de algarismos 
significativos e, em seguida, expressos em múltiplos de (103), tais como: (103), (106) 
Capítulo 1 
ou (lO 9). Por exemplo, se 23400 tiver cinco algarismos significativo, ele é escrito 
como 23,400( I 03), mas se tiver apenas três algarismos significativos, ele é escrito como 
23,4( I 03). 
Se zeros ocorrerem no início de um número menor que um, então não serão 
significativo . Por exemplo, 0,00821 possui três algarismo significativos. Usando a 
notação de engenharia, esse número é expresso como 8,21 (I O 3). Da mesma forma, 
0,000582 pode ser expresso como 0,582( I O 3) ou 582( I O 6). 
Arredondamento de números 
Arredondar um número é necessário para que a precisão do resultado seja a mesma 
dos dados do problema. Como regra geral, quaJquer algarismo numérico terminado 
em cinco ou mais é arredondado para cima e um número menor que cinco é 
arredondado para baixo. As regras do arredondamento de números são mais bem 
ilustradas através de exemplos. Suponha que o número 3,5587 precise ser arredondado 
para três algarismos signi ficalivos. Como o quarto algarismo (8) é maior que 5, o 
terceiro número é arredondado para 3,56. De igual modo, 0,5896 se torna 0,590 c 
9,3866 se torna 9,39. Se arredondarmos I ,34 1 para três algarismos significativos, 
como o quarto algarismo ( I) é menor que 5, então teremos I ,34. Semelhantemente, 
0,3762 se torna 0,376 c 9,871 se toma 9,87. Existe um caso especial para qualquer 
número que tenha um 5 com zeros em seguida. Como regra geral, se o algarismo 
precedendo o 5 for um número par, então esse algarismo não é arredondado para 
cima. Se o algarismo precedendo o 5 for um número impar, então ele é arredondado 
para cima. Por exemplo, 75,25 arredondado para rrês algarismos significativos se 
torna 75,2; O, 1275 se toma O, 128; e 0,2555 se toma 0,256. 
Cál,ulos 
Quando uma sequência de cálculos é realizada, é melhor armazenar os resultados 
intennediários na calculadora. Em outras palavras, não arredonde os cálculos até 
expressar o resultado final. Esse procedimento mantém a preci ão por toda a série 
de etapas até a solução final. este texto, normalmente arredondamos as respostas 
para três algarismos significativos, já que a maioria dos dados na mecânica para 
engenharia, como geometria c cargas, podem ser medidos de maneira confiável nesse 
nível de precisão. 
I" Procedimentos gerais para análise 
A maneira mais eficaz de aprender os princípios da mecânica para engenharia é 
resolver problemas. Para obter sucesso nessa empreitada, é importante sempre 
apresentar o trabalho de uma maneira lógica e organi=ada. como sugerido na seguinte 
sequência de pas os: 
• Leia o problema cuidadosamente e tente correlacionar a situação fisica real 
com a teoria estudada. 
• Tabule os dados do problema e desenhe os diagramas necessários. 
• Aplique os princípios relevantes, geralmente na forma matemática. Ao 
escrever quaisquer equações, certifique-se de que sejam dimensional mente 
homogêneas. 
• Resolva as equações necessárias e expresse a resposta com até três 
algarismos significativos. 
• Estude a resposta com julgamento técnico c bom senso para determinar se 
ela parece ou não razoável. 
Princípios gerais I 7 I 
I 8 I Estático 
Pontos importantes 
• Estática é o estudo dos corpos que estão em repouso ou se movendo com 
velocidade constante. 
• Uma partícula possui massa, mas sua dimensão pode ser desprezada. 
• Um corpo rígido não se deforma sob a ação de uma carga. 
• Forças concentradas são aquelas que atuam em um único ponto sobre um 
corpo. 
• As três leis de movimento de Newton devem ser memorizadas. 
• Massa é a medida de uma quantidade de matéria que não muda de um local 
para outro. 
• Peso refere-se à atração da gravidade da Terra sobre um corpo ou quantidade 
de massa. Sua intensidade depende da elevação em que a massa está localizada. 
• No SI, a unidade de força, o newton, é uma unidade derivada. O metro, o 
segundo e o quilograma são unidades básicas. 
• Os prefixos G, M, k, m, J1 e n são usados para representar quantidades 
numéricas grandes e pequenas. A expressão exponencial deve ser conhecida, 
bem como as regras para usar unidades do SI. 
• Realize cálculos numéricos com vários algarismos significativos e, depois, 
expresse a resposta com três algarismos significativos. 
• Manipulações algébricas de uma equação podem ser verificadas em parte 
conferindo se a equaçãio permanece dimensionalmente homogênea. 
• Conheça as regras de arredondamento de números. 
Exemplo 1.1 
Converta 2 km/h em m/s. 
-SOLUCAO 
• 
Como I km = I 000 m e l h = 3600 s, os fatores de conversão são organizados na 
seguinte ordem, de modo que possa ser aplicado um cancelamento das unidades: 
2 km/h = 2 jg11 ( 1 000 m ) ( l }Í ) 
)< jg11 3600 s 
= 2000 m = O 556 m/s 
3600 s , 
NOTA: Lembre-se de arredondar a resposta para três algarismos significativos. 
Exemplo 1.2 
Calcule numericamente cada uma das expressões e escreva cada resposta em unidades 
SI usando um prefixo apropriado: (a) (50 mN)(6 GN); (b) (400 mm) (0,6 M )2; 
(c) 45 MN3/900 Gg. 
-SOLUCAO 
• 
Primeiro, converta cada número em unidades básicas, efetue as operações indicadas 
e depois escolha um prefixo apropriado. 
Capítulo 1 Princípios gerais I 9 I 
Porte (o) 
(50 mN)(6 GN) = [50(10-3) N)[6(109) N) 
= 300(106) w 
= 300(106)-....t( 1kN )( 1kN ) 
Y' I 03 }( I 03 }( 
=300 kN2 
NOTA: Observe com atenção a conversão kN2 = (kN)2 = 10•6 N2. 
Porte (b) 
(400 mm){0,6 MN)2 = [400(10-3) m][0,6 (106) N)2 
= [400(10-3) m][0,36 (1012) N]2 
= 144( I 09) m · N2 
= 144 Gm · N2 
Podemos escrever também: 
144(109)m · N2 = 144(109)m · -....t'( IMN )( IMN ) 
Y' I 06 }( 1 06 }( 
Porte (c) 
I Problemas 
45MW 
900Gg 
= O 144m · MN2 
' 
45 (I 06N)3 
900(106) kg 
= 50(10\~f/kg 
50(109) pr( lkN )3 j_ 
J03N kg 
=50 kN3/kg 
1.1. Arredonde os seguintes nllmeros para três algarismos 
significativos: (a) 4,65735 m, (b) 55,578 s, (c) 4555 N e 
(d) 2768 kg. 
1.2. Represente cada uma das seguintes combinações de 
unidades na forma do Sl correta usando o prefixo apropriado: 
(a) ,uMN, (b) N/,urn, (c) MN!ks2 e (d) kN/ms. 
1.3. Represente cada uma das seguintes quantidades na forma 
SI correta usando um prefixo apropriado: (a) 0,000431 kg, 
(b) 35,3(103) N e (c) 0,00532 km. 
*1.4. Represente cada uma das seguintes quantidades na 
forma do SI correta usando um prefixo apropriado: 
(a) Mglms, (b) N/mm e (c) mN/(kg.,us). 
1.5. Represente cada uma das seguintes quantidades tla forma 
do S I correta us ando um prefixo apropriado: 
(a) kN/,us, (b) MglmN e (c) MN/(kg. ms). 
1.6. Represente cada uma das seguintes expressões com três 
algarismos significativos e expresse cada resu ltado em 
unidades SI usando um prefixo apropriado: (a) 45320 kN, 
(b) 568(10s) mm e (c) 0,00563 mg. 
1.7. Um foguete possui uma massa de 3,65(106) kg na Terra. 
Especifique seu peso em unidades do SI. Se o foguete estiver 
na Lua, onde a aceleração devido à gravidade é g"' = I ,62 m/ s2, 
detennine com três algarismos significativos seu peso e sua 
massa em unidades do SI. 
*1.8. Se um carro está viajando a 88 km/h, determine sua 
velocidade em metros por segundo. 
1.9. O pascal (Pa) é uma unidade de pressão muito pequena. 
Dado que l Pa = I N/m2 e a pressão atmosférica no nível 
do mar é I O 1,325 kN/m2, quantos pascais vale essa quantidade? 
1.10. Qual é o peso em newtons de um objeto que tenha a 
massa de: (a) 10 kg, (b) 0,5 g e (c) 4,50 Mg? Expresse o 
resultado com três algarismos significativos. Use o prefixo 
apropriado. 
1.11. Reso lva cada uma das seguintes expressões com 
três algarismos significativos e expresse cada resultado 
em unidad es SI usa ndo um prefixo apropriado: 
(a) 354 mg(45 km)/0,0356 kN), (b) 0,00453 Mg)(20 I ms) e 
(c) 435 MN/23,2 mm. 
*1.12. O peso específico (peso/volume) do bronze é 
85 kN/m3 • Determine sua densidade (massa/volume) em 
unidades do SI.Use um prefixo apropriado. 
*1.13. Duas partículas possuem uma massa de 8 kg e 12 kg, 
respectivamente. Se elas estão a 800 mm uma da outra, 
determine a força da gravidade agindo entre elas. Compare 
esse resultado com o peso de cada partícula. 
10 I Estático 
1.14. Determine a massa em quilogramas de um objeto que 
tem um peso de (a) 20m , (b) ISO kN c (c) 60 MN. Expresse 
o resultado com três algarismos significativos. 
1.15. Resolva cada uma das seguintes expressões com três 
algarismos significativos e expresse cada resposta em uni-
dades do SI usando um prefixo apropriado: (a) (200 kN)2, 
(b) (0,005 mm)2 e (c) (400 m)1• 
1.16. Usando as unidades básicas do SI, mostre que a Equação 
1.2 é uma equação dimensional mente homogênea que resulta 
F em newtons. Determine com três algarismos significativos 
a força gravitacional agindo entre duas esferas que estão se 
tocando. A massa de cada esfera é 200 kg e o raio é 300 mm. 
•1.11. Resolva cada uma das seguintes expressões com três 
algarismos significativos e expresse cada resposta em unidades 
do SI usando um prefixo apropriado: (a) (0,631 Mm)/(8,60 kg)2 
c (b) (35 mm)2(48 kg)l. 
1.18. Resolva (204 mm)(0,00457 kg)/(34,6 N) com três 
algarismos significativos c expresse o resultado em unidades 
do SI usando um prefixo apropriado. 
Vetores de forca 
I 
Objetivos do capítulo 
• Mostrar como adicionar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo. 
• Expressar a força e sua posição na forma de um vetor cartesiano e explicar como determinar a intensidade e 
a direção do vetor. 
• Introduzir o produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre outro. 
Escalares e vetores 
Todas as quantidades fisicas na mecânica para engenharia são medidas usando 
escalares ou vetores. 
Escalar 
Um escalar é qualquer quantidade fisica positiva Olll negativa que pode ser 
completamente especificada por sua intensidade. Exemplos de quantidades escalares 
incluem comprimento, massa e tempo. 
Vetor 
Um vetor é qualquer quantidade fisica que requer uma intensidade e uma direção 
para sua completa descrição. Exemplos de vetores encontrados na estática são força, 
posição e momento. Um vetor é representado graficamente por uma seta. O 
comprimento da seta representa a intensidade do vetor, e o ângulo e entre o vetor e 
um eixo fixo determina a direção de sua linha de ação. A ponta da seta indica o 
sentido da direção do vetor (Figura 2.1 ). 
Neste livro, as quantidades vetoriais são representadas por letras em negrito, 
como A, e sua intensidade aparece em itálico, como A. Para manuscritos, em geral, 
é conveniente indicar uma quantidade vetorial simplesmente desenhando uma seta -acima dela, como A . 
Intensidade 
Sentido ~ __.-
A 
\ 
~ Direção 
Figura 2.1 
12 I Estática 
-O;Y 
Multiplicação e divisão escalares 
figura 2.2 
(a) 
(a) 
Operações vetoriais 
Multiplica~ão e divisão de um vetor por um escalar 
Se um vetor é multiplicado por um escalar positivo, sua intensidade é aumentada 
por essa quantidade. Quando multiplicado por um escalar negativo, ele também 
mudará o sentido direcional do vetor. Exemplos gráficos são mostrados na Figura 2.2. 
Adicão de vetores 
' 
Todas as quantidades vetoriais obedecem à lei do paralelogramo da adição. Para 
ilustrar, os dois velares 'componentes ' A e B na Figura 2.3a são somados para formar 
um vetor 'resultanle' R = A + B usando o seguinte procedimento: 
• Primeiro, una as origens dos vetores componentes em um ponto de modo 
que se tornem concon·entes (Figura 2.3b). 
• A partir da extremidade de B, desenhe uma linha paralela a A. Desenhe 
outra linha a partiir da extremidade de A que seja paralela a B. Essas duas 
linhas se interceptam no ponto P para formar os lados adjacentes de um 
paralelogramo. 
• A diagonal desse paralelogramo que se estende até P forma R, que então 
representa o vetoT resultante R = A + B (Figura 2.3c). 
R = A + B 
Lei do paralelogramo 
(b) (c) 
figura 2.3 
Também podemos somar B a A (Figura 2.4a) usando a regra do triângulo, que 
é um caso especial da lei do paralelogramo, em que o vetor B é somado ao vetor A 
da forma 'extremidade-para-origem', ou seja, conectando a extremidade de A com 
a origem de B (Figura 2.4b). O R resultante se estende da origem de A à extremidade 
de B. De modo semelhante, R também pode ser obtido somando A a B (Figura 2.4c). 
Por comparação, vemos que a adição de vetores é comutativa; em outras palavras, 
os vetores podem ser somados em qualquer ordem, ou seja, R = A + B = B + A. 
R 
R 
R = A + B R = B + A 
Regra do triângulo Regra do triângulo 
(b) (c) 
figura 2.4 
Capítulo 2 Vetores de força 13 I 
No caso especial em que os dois vetores A e B são colineares, ou eja, ambos 
possuem a mesma linha de ação, a lei do paralelogramo reduz-se a uma adição 
algébrica ou escalar R - A + 8, como mostra a Figura 2.5. 
Subtracão de vetores 
• -
A resultante da diferença entre dois vetores A e B do mesmo tipo pode cr 
expressa como: 
R' = A - B = A + ( - B) 
Essa soma de vetores é mostrada graficamente na Figura 2.6. A subtração é 
definida, portanto, como um caso especial da adição, de modo que as regras da adição 
vetorial também se aplicam à subtração de vetores. 
B 
Adicão vetorial de forcas , , 
-B 
Lei do paralclogr:uno 
Subtração de vetores 
Figura 2.6 
ou 
Segundo experimentos, uma força é uma quantidade vetorial, pois possui 
intensidade, direção e sentido especificados, e sua soma é feita de acordo com a lei 
do paralelogramo. Dois problemas comuns em estática envolvem determinar a força 
resultante, conhecendo-se suas componentes ou decompor uma força conhecida em 
dua componentes. De crcvcrcmo agora como cada um desses problemas é resolvido 
usando a lei do paralelogramo. 
Determinando uma forca resultante • 
As duas forças componentes, F1 e F2, agindo sobre o pino da Figura 2.7a podem 
ser somadas para formar a força resultante FR = F 1 + F2, como mostra a Figura 2.7b. 
A partir dessa construção, ou usando a regra do triângulo (Figura 2.7c), podemos 
aplicar a lei dos cossenos ou a lei dos senos para o triângulo a fim de obter a 
intensidade da força resultante e sua direção. 
(a) (b) 
Figura 2.7 
Determinando as componentes de uma força 
Algumas vezes é necessário decompor uma força em duas componentes para 
estudar seu efeito de 'empurrão' ou 'puxão' em duas direções especificas. Por 
exemplo, na Figura 2.8a, F deve ser decomposta em duas componentes ao longo dos 
R 
C· ==::::;;::====:::· 
A 8 
R=A + B 
Adição de \'etorcs colincarcs 
figura 2.5 
- B 
Construção do triângulo 
A lei do porolelogromo é usodo poro 
determinar o resultante dos duas 
forços ogindo sobre o goncho. 
v 
(c) 
14 I Estática 
Usando o lei do porolelogromo, o 
forço F' cousodo pelo membro vertical 
pode ser decomposto nos 
componentes que ogem oo longo dos 
cobos de suspensão 11 e v. 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
FJ 
Figura 2.9 
A forço resultante FR sobre o gancho 
requer o odiçõo de FI + F2. Depois 
o resultante é somado o F3. 
(a) 
---- 11 
Figura 2.1 O 
dois membros, definidos pelos eixos u e v. Para determinar a intensidade de cada 
componente, um paralelogramo é construído primeiro, desenhando linhas iniciando 
na extremidade de F, uma linha paralela a u e a outra linha paralela a v. Essas linhas 
então se interceptam com os eixos v eu, fonnando um paralelogramo. As componentes 
da força F" e F. são estabelecidas simplesmente unindo a origem de F com os pontos 
de interseção nos eixos u e v (Figura 2.8b). Esse paralelogramo pode então ser 
reduzido a um triângulo, que representa a regra do triângulo (Figura 2.8c). A partir 
disso, a lei dos senos pode ser aplicada para determinar as intensidades desconhecidas 
das componentes. 
v 
F 
11 11 
"'" "'" 
(a) (b) (c) 
Figura 2.8 
Adicão de várias forcas 
' . 
Se mais de duas forças precisam ser somadas, aplicações sucessivas da lei do 
paralelogramo podem ser realizadas para obter a força resultante.Por exemplo, se 
três forças, F 1, F2 e F3 atuam em um ponto O (Figura 2.9), a resultante de quaisquer 
duas das forças (digamos, F 1 + F2) é encontrada e, depois, essa resultante é somada 
à terceira força, produzindo a resultante das três forças, ou seja, FR = (F1 + F2) + F3. 
O uso da lei do paralelogramo para adicionar mais de duas forças, como mostrado, 
normalmente requer cálculos extensos de geometria e trigonometria para determinar 
os valores numéricos da intensidade e direção da resultante. Em vez disso, problemas 
desse tipo podem ser facilmente resolvidos usando o ' método das componentes 
retangulares', que será expl:icado na Seção 2.4. 
Procedimento para análise 
Problemas que envolvem a soma de duas forças podem ser resolvidos da seguinte 
. 
manetra: 
lei do paralelogramo 
• Duas forças 'componentes', F1 e F2 na Figura 2.1 Oa se somam confonne a lei 
do paralelogramo, dando uma força resultante F R que forma a diagonal do 
paralelogramo. 
• Se uma força F precisar ser decomposta em componentes ao longo de dois 
eixos u e v (Figura 2.1 Oh), então, iniciando na extrem idade da força F, construa 
linhas paralelas aos eixos, formando, assim, o paralelogramo. Os lados do 
paralelogramo represen tam as componentes, F" e F, .. 
• Rotule todas as intensidades das forças conhecidas e desconhecidas e os 
ângulos no esquema e identifique as duas forças desconhecidas quanto à 
intensidade e à direção de F R ou às intensidades de suas componentes. 
Trigonometria 
• Redescnhe metade do paralelogramo para ilustrar a adição triangular 
'extremidade-para-origem' das componentes. 
Capítulo 2 Vetores de força 15 I 
• Por esse triângulo, a intensidade da força resultante é determinada pela lei dos 
cossenos, c sua direção, pela lei dos senos. As intensidades das duas 
componentes de força são detenninadas pela lei dos seno . As fónnulas são 
mostradas na Figura 2. 1 Oc. 
Pontos importantes 
• Escalar é um número positivo ou negativo. 
• Vetor é uma quantidade que possui intensidade, direção e sentido. 
• A multiplicação ou divisão de um vetor por um escalar muda a intensidade 
do vetor. O sentido dele mudará se o escalar for negativo. 
• Como um caso especial, se os vetores forem colineares, a resultante será 
formada pela adição algébrica ou escalar. 
Exemplo 2.1 
O gancho na Figura 2.1 1 a está sujeito a duas forças, F 1 e F 2• Oetenninc a intensidade 
e a direção da força resultante. 
F1- IOO 10° 
15° 
FR 
c 
Lei dos cossenos: 
C \A· _._ 8 2 - 2A8 cos c 
Lei dos senos: 
A _ 8 _ C 
seno- scnb - scnc 
I 
(c) 
Figura 2.1 O 
A 
65° 
360 - 2(65°) 
2 
= 115° 
)~~ IOON 
~( J50 
90°- 25° = 65° 
(a) 
-SOLUCAO 
• 
lei do paralelogramo 
O paralelogramo é formado por uma linha a partir da extremidade de F1 que seja 
paralela a F2 c outra linha a partir da extremidade de F2 que seja paralela a F1• 
A força resultante F R estende-se para onde essas linhas se interceptam no ponto A 
(Figura 2.11 b). As dua incógnita ão a intensidade de F R e o ângulo O (teta). 
Trigonometria 
A partir do paralelogramo, o triângulo vetorial é construído (Figura 2.1lc). Usando 
a lei dos cossenos 
FR = J( IOO N? + (150 N?- 2{100 N)(l50 N) cos 11 5° 
= J IO 000 + 22 500-30 000(-0,4226 ) = 2 12,6 N 
= 213 N 
(b) 
/ 
115° 
o~ 
~~JSO .oo ! 
(c) 
Figura 2.11 
150 
16 I Estática 
11 
600 N 
v 
(a) 
Aplicando a lei dos senos para determinar 8, 
150 N _ 212,6 N sen 0 = 150 N (sen 115o) 
sen e sen il 5° 212,6 N 
e= 39,8° 
Logo, a direção (J (fi) de F R• medida a partir da horizontal, é: 
"' = 39 8° + 15 0° =54 8° 
'f' ' ' ' 
NOTA: Os resultados parecem razoáveis, visto que a Figura 2.1 1 b mostra que F R possui 
uma intensidade maior que suas componentes e uma direção que está entre elas. 
Exemplo 2.2 
Decomponha a força horizontal de 600 N da Figura 2.12a nas componentes que 
atuam ao longo dos eixos u e v e determine as intensidades dessas componentes. 
600 N 
c 
I 
v 
(b) (c) 
Figura 2.12 
-SOLUCAO • 
O paralelogramo é construído estendendo-se uma linha da extremidade da força de 
600 N paralela ao eixo v até que ela intercepte o eixo u no ponto B (Figura 2. 12b). 
A seta de A para B representa F". Da mesma forma, a linha estendida da extremidade 
da força de 600 N paralelamente ao eixo 11 intercepta o eixo v no ponto C, que resulta 
em F,. 
A adição de vetores usando a regra do triângulo é mostrada na Figura 2.12c. As duas 
incógnitas são as intensidades de F, e F,,. Aplicando a lei dos senos, 
F. _ 600 N 
sen 120° sen 30° 
F,,= 1039N 
F. _ 600 N 
sen 30° sen 30° 
F,.= 600 N 
NOTA: O resultado para F,. mostra que algumas vezes uma componente pode ter uma 
intensidade maior do que a resultante. 
Capítulo 2 Vetores de força 17 I 
Exemplo 2.3 
Determine a intensidade da força componente F na Figura 2.13a c a intensidade da 
força resultante se F R c tiver direcionada ao longo do eixo y positivo . 
.1' 
(a) (b) 
-SOLUCAO 
• 
Figura 2.13 
A lei do paralelogramo da adição é mostrada na Figura 2.13b e a regra do triângulo 
é mostrada na Figura 2.13c. As intensidades de F R e F são as duas incógnitas. Elas 
podem ser determinadas aplicando-se a lei dos senos. 
F _ 200 
sen 60° sen 45° 
F= 245 N 
FR 200N 
sen 75° sen 45° 
FR = 273 N 
Exemplo 2.4 
• E necessário que a força resultante que age sobre a argola na Figura 2.14a seja 
direcionada ao longo do eixo x positivo e que F2 tenha uma intensidade mínima. 
Determine essa intensidade, o ângulo (}e a força resultante correspondente. 
F, R 800 N 
F, -
(a) (b) 
-SOLUCAO 
Figura 2.14 
• 
A regra do triângulo para F R = F1 + F2 é mostrada na Figura 2.14b. Como as 
intensidades (comprimento) de F11 e F2 não são especificadas, então F2 pode ser 
(c) 
F 800 
I 
0= 9W 
(c) 
18 I Estática 
qualquer vetor que tenha s·ua extremidade tocando a linha de ação de F R (Figura 
2. 14c). Entretanto, como mostra a figura, a intensidade de F2 é uma distância mínima, 
ou a mais curta, quando sua linha de ação é pe1pendicular à linha de ação de F R• ou 
seja, quando 
e== 90° 
Como a adição vetorial fonna agora um triângulo reto, as duas intensidades 
desconhecidas podem ser obtidas pela trigonometria. 
Problemas fundamentais* 
2.1. Determine a intensidade da força resultante que atua 
sobre a argola e sua direção, medida no sentido horário a 
partir do eixo x. 
Problema 2.1 
2.2. Duas forças atuam sobre o gancho. Detennine a 
intensidade da força resultante. 
I 
30° 
I 
h 2oo 
40° 
/ 
SOON 
Problema 2.2 
2.3. Detennine a intensidade da força resultante c sua 
direção, medida no sentido anti-horário a partir do eixo x 
positivo. 
y 
I 
800N 
Problema 2.3 
FR == (800 N)cos 60° == 400 N 
F2 == (800 N)sen 60° == 693 N 
*Soluções parciais e respostas poro todos os problemas 
fundamentais são fornecidos no final do livro. 
2.4. Decomponha a força de 300 N nas componentes ao 
longo dos eixos u e v, e detennine a intensidade de cada uma 
dessas componentes. 
v 
Problema 2.4 
2.5 . A força F== 900 N atua sobre a estrutura. Decomponha 
essa força nas componentes que atuam ao longo dos membros 
AB e AC, e determine a intensidade de cada componente. 
Ayoo 
c 
o 
900N 
Problema 2.5 
2.6. Se a força F precisa ter uma componente ao longo do 
eixo u com Fu == 6 kN, determine a intensidade de F e de sua 
componente F. ao longo do eixo v. 
u 
Problema 2.6 
•2.1. Se e = 30° e T = 6 kN, determine a intensidade da 
força resultante que atua sobre a argola e sua direção, medida 
no sentido horário a partir do eixo x positivo. 
2.2. Se O= 60° e T = 5 kN, determine a intensidade da força 
resultante que atua sobre a argola e sua direção, medida no 
sentido horário a partir do eixo x positivo. 
2.3. Se a intensidade da força resultante deve ser 9 kN 
direcionada ao longo do eixox positivo, determine a intensidade 
da força T que atua sobre a argola e seu ângulo e. 
y T 
8k 
Problemas 2.1 /2/3 
•2.4. Determine a intensidade da força resultante que atua 
sobre o suporte e sua direção, medida no sentido anti-horárioa partir do eixo u positivo. 
•2.5. Decomponha F 1 em componentes ao longo dos eixos 
u e v, e determine suas intensidades. 
2.6. Decomponha F2 em componentes ao longo dos eixos 
u c v, c determine suas intensidades. 
li 
Problemas 2.4/S/6 
2.7. Se F8 = 2 kN e a força resultante atua ao longo do eixo 
u positivo, determine a intensidade da força resultante e o 
ângulo e. 
•2.8. Se a força resultante precisa atuar ao longo do eixo u 
positivo e ter uma intensidade de 5 kN, determine a 
intensidade necessária de F 8 e sua direção e. 
r:o~o~~;~R3~~F,.~- 3 kNx 00 
00 
00 
Fn 
Problemas 2.7/8 
Capítulo 2 Vetores de força 19 I 
•2.9. A chapa está submetida a duas forças em A e B, como 
mostrado na figura. Se e = 60°, detennine a intensidade da 
resultante das duas forças e sua direção medida no sentido 
horário a partir da horizontal. 
2.10. Determine o ângu lo de (J para conectar o membro A à 
chapa de modo que a força resultante de FA e F8 seja 
direcionada horizontalmente para a direita. Além disso, 
infonne qual é a intensidade da força resultante. 
fà & 8 kN 
Problemas 2. 9/ 1 O 
2.11. Se a tração no cabo é 400 N, determine a intensidade 
e a direção da força resultante que atua sobre a polia. Esse 
ângulo é o mesmo ângulo f) da linha AB no bloco do carretel. 
400N Y 
30° 
Problema 2.11 
•2.12. O dispositivo é usado para a substituição cirúrgica da 
articulação do joelho. Se a força que atua ao longo da perna 
é 360 N, determine suas componentes ao longo dos eixos x 
e y'. 
2.13. O dispositivo é usado para a substituição cirúrgica da 
articulação do joelho. Se a força que atua ao longo da perna é 
360 N, detennine suas componentes ao longo dos eixos x' e y. 
y' y 
360 N 
Problemas 2.12/13 
I 20 I Estático 
2.14. Detennine o ângulo O (0° :;: O:;: 90°) para o tirante A 8, 
de modo que a força horizontal de 800 N tenha uma 
componente de I 000 N direcionado de A até C. Qual é 
a componente da força que atua ao longo do membro AB? 
Considere; = 40°. 
2.15. Determine o ângulo ; (0° < ; < 90°) entre os tirantes 
A8 e AC, de modo que a força horizontal de 800 tenha 
uma componente de 1200 que atue para a esquerda, na 
direção de 8 para A. Considere O= 30°. 
800 A 
8 
Problemas 2.14 I 1 S 
•2.16. Decomponha F1 nas componentes que atuam ao longo 
dos eixos LI e v e determine suas intensidades. 
•2.17. Decomponha F2 nas componentes que atuam ao longo 
dos eixos LI e v e determine suas intensidades. 
11 
11 
Problemas 2.16 I 17 
2.18. A caminhonete precisa ser rcbocada usando duas cordas. 
Detennine as intensidades das forças F,. e F8 que atuam em 
cada corda para produzir uma força resultante de 950 N, 
orientada ao longo do eixo x positivo. Considere O = 50°. 
2.19. A caminhonete precisa ser rcbocada usando duas 
cordas. Se a força resultante deve ser de 950 , orientada ao 
longo do eixox positivo, determine as intensidades das forças 
F~ e F 8 que atuam sobre cada corda e o ângulo (} de F 8. de 
modo que a inten idade de F8 seja mínima. F,. atua a 20° do 
eixo x, como mostra a figura. 
Problemas 2.18 I 19 
•2.20. Se; = 45°, F1 = 5 k c a força resultante é de 6 k , 
orientada ao longo do eixo y positivo, determine a intensidade 
necessária de F2 e sua direção O. 
•2.21. Se ; = 30° e a força resultante deve ser de 6 kN, 
orientada ao longo do eixo y positivo, determine as 
intensidade de F1 e F2, e o ângulo O, se F2 necessita ser 
• • mtmma. 
2.22. Se ; = 30°, F, = 5 kN e a força resultante deve ser 
orientada ao longo do eixo y positivo, detcnnine a intensidade 
da força resultante, se F2 necessita ser mínima. Além disso, 
quais os valores de F2 c do ângulo (}? 
Problemas 2.20121 122 
2.23. Se O = 30° e F2 = 6 k , determine a intensidade da 
força resultante que atua obre a chapa e sua direção, medida 
no sentido horário a partir do eixo x positivo. 
•2.24. Se a força resultante FR está orientada ao longo da 
linha a 75° no sentido horário a partir do eixo x positivo e a 
intensidade de F2 deve ser mínima, determine as intensidades 
de FR e F2, c o ângulo O:;: 90°. 
Problemas 2.23124 
•2.25. Duas forças F1 c F2 atuem sobre o gancho. Se suas 
linhas de ação formam um ângulo (}c a intensidade de cada 
força é F 1 = F2 = F, determine a intensidade da força 
resultante F R e o ângulo entre F R e F1. 
Problema 2.25 
2.26. A tora deve ser rebocada por dois tratores A e B. 
Detennine as intensidades das duas forças de reboque FA e 
F 8. levando-se em conta que a força resultante tenha uma 
intensidade FR = I O kN e seja orientada ao longo o eixo x. 
Considere 8 = 15°. 
2.21. A resultante F R das duas forças que atuam sobre a tora 
deve estar orientada ao longo do eixo x positivo e ter uma 
intensidade de I O kN. Determine o ângulo O do cabo acoplado 
a B para que a intensidade da força F 8 nesse cabo seja 
mínima. Qual é a intensidade da força em cada cabo, nessa 
situação? 
y 
8 
Problemas 2.26/ 27 
*2.28. A viga deve ser içada usando-se duas correntes. 
Detennine as intensidades das forças FA e F 8 que atuam em 
cada corrente, a fim de obter uma força resultante de 600 N 
orientada ao longo do eixo y positivo. Considere O = 45°. 
•2.29. A viga deve ser içada usando-se duas correntes. Se a 
força resultante for de 600 N, orientada ao longo do eixo y 
positivo, detennine as intensidades das forças FA e F8 que 
atuam em cada corrente e o ângulo O de F8 . para que a 
intensidade de F8 seja mínima. FA atua a 30° do eixo y, como 
mostra a figura. 
y 
------x 
Problemas 2.28/ 29 
Capítulo 2 Vetores de força I 21 
2.30. Três correntes atuam sobre o suporte, de modo a 
criarem uma força resultante com intensidade de I 000 N. Se 
duas das correntes estão submetidas a forças conhecidas, 
como mostra a figura , determine o ângulo e da terceira 
corrente, medida no sentido horário a partir do eixo x 
positivo, de modo que a intensidade da força F nessa corrente 
seja mínima. Todas as forças estão localizadas no plano x- y. 
Qual é a intensidade de F? Dica: Detennine primeiro a 
resultante das duas forças conhecidas. A força F atua nessa 
direção. 
y 
I 
400 N 
Problema 2.30 
2.31. Três cabos puxam um tubo de tal modo que geram 
uma força resultante com intensidade de 1800 N. Se dois 
dos cabos estiverem submetidos a forças conhecidas, como 
mostra a figura, detennine o ângulo e do terceiro cabo, de 
modo que a intensidade da força F neste cabo seja mínima. 
Todas as forças estão localizadas no plano x- y. Qual é a 
intensidade de F? Dica: Determine primeiro a resultante das 
duas forças conhecidas. 
F 
Problema 2.31 
I 22 I Estática 
y 
(a) 
y 
F,, 
F 
(b) 
Figura 2.1 S 
y 
jt 
Te-----~ F 
"; 
l ~=::-==:!::-----==-~:-X 1---Fx ----l 
Figura 2.16 
Adição de um sistema de forças coplanares 
Quando uma força é dec·omposta em duas componentes ao longo dos eixos x e y, 
as componentes são, então, chamadas de componentes retangulares. Para um trabalho 
analítico, podemos representar essas componentes de duas maneiras, usando a notação 
escalar ou a notação de vetor cartesiano. 
Notacão escalar , 
As componentes retangulares da força F mostrados na Figura 2. 15a são 
determinadas usando a lei do paralelogramo, de modo que F = F,. + Fr Como essas 
componentes formam um triângulo retângulo, suas intensidades podem ser 
determinadas por: 
F.. = F cos fJ 
e 
F,. = F scn f) 
No entanto, em vez de usar o ângulo (), a direção de F também pode ser definida 
por um pequeno triângulo '.da inclinação', como mostra a Figura 2. 15b. Como esse 
triângulo e o triângulo maior sombreado são semelhantes, o comprimento proporcional 
dos lados fomece: 
ou 
e 
ou 
Fx a y=-c 
F, b y=-; 
A componente y é um escalar negativo, já que F,. está orientada ao longo do 
eixo y negativo. 
É importante lembrar que a notação escalar positiva e negativa deve ser usada 
apenas para fins de cálculos, não para representações gráficas em figuras. Neste livro, 
a ponta (extremidade) de uma seta do vetor em qualquer figura representa o sentido 
do vetor graficamente; sinaisalgébricos não são usados para esse propósito. Portanto, 
os vetores nas figuras 2.15a e 2. 15b são representados em negrito (vetor).* Sempre 
que forem escritos símbolos em itálico próximo das setas dos vetores nas figUJas, eles 
indicam a intensidade do vetor, que é sempre uma quantidade positiva. 
Notacão vetorial cartesiana , 
Também é possível representar as componentes x e y de uma força em termos de 
vetores cartesianos unitários i e j . Cada um desses vetores unitários possui intensidade 
adimensional igual a um e, portanto, pode ser usado para designar as direções dos 
eixos x e y, respectivamente (Figura 2.1 6). ** 
• Sinais negativos são usados em figuras com notação em negri to apenas quando mostram pares 
de vetores iguais, mas opostos, como na Figura 2.2. 
•• Em tr.1balhos manuscritos, os vetores unitários normalmente são indicados por acento circunflexo, 
por exemplo, 1 c j'. Esses vetores têm intensidade adimcnsional unitária, c seu sentido (ou ponta 
de seta) será descri to analiticamente por um sinal de mais ou de menos, se apontarem para o 
sentido positivo ou negativo do eixo x ou y . 
Capítulo 2 Vetores de forço I 23 I 
Como a intensidade de cada componente de F é sempre uma quantidade positi1•a, 
representada pelos escalares (positivos) F, e F}~ então, podemos expressar F como 
um vetor cartesiano. 
F = F) ... ~.j 
Resultante de for~as coplanares 
Qualquer um dos dois métodos descritos pode ser usado para determinar a 
re ultantc de várias forças coplanares. Para tanto, cada força é decomposta em suas 
componentes x c y; depois, as respectivas componentes são somadas usando-se 
álgebra escalar, uma vez que são colineares. A força resultante é então composta 
adicionando-se as componentes por meio da lei do paralelogramo. Por exemplo, 
considere as três forças concorrentes na Figura 2.17a, que têm as componentes x e Jl, 
como mostra a Fib'11111 2. 17b. Usando a notação vetorial cartesiana, cada força é 
representada como um vetor cartesiano, ou seja, 
F1 = F"í + F1, j 
F2 = - Fl ) + F2,j 
F3 = F3 ) - F3_.j 
O vetor resultante é, portanto, 
FR = F,+ F2+ FJ 
= F ... i + F" j - Fü:i + F2j + F3) - F 3.j 
= (F,x- F ü: + FJr) i + (F,_, + F2,.- F ,,.) j 
= (F R.r) i + (F ll)·)j 
Se for usada a notação escalar, temos então, 
(±) 
(+I) 
Esses são os mesmos resultados das componentes i e j de F R determinados 
anteriormente. 
As componentes da força resultante de qualquer número de forças coplanares podem 
ser representadas simbolicamente pela soma algébrica das componentes x c y de todas 
as forças, ou seja, 
FR.r = 'f.F, 
F ='LF 
(2.1) 
Uma vez que estas componentes são determinadas, elas podem ser esquematizadas 
ao longo dos eixos x e y com seus sentidos de direção apropriados, e a força resultante 
pode ser determinada pela adição vetorial, como mostra a Figura 2.17. Pelo esquema, 
a intensidade de F R é determinada pelo teorema de Pitágoras, ou seja, 
FR= / Fi.+ F~ 
Além disso, o ângulo(), que especifica a direção da força resultante, é determinado 
por meio da trigonometria: 
Os conceitos anteriores são ilustrados numericamente nos exemplos que se 
seguem. 
.... 
y 
(a) 
(b) 
y 
(c) 
ftgura 2.17 
I 24 I Estática 
A forço resultante dos quatro forças 
dos cabos que atuam sobre o suporte 
de ancoragem pode ser determinado 
somond~se algebricamente os 
componentes x e y do forço de cada 
cabo. Essa resultante F0 produz o 
mesmo efeito de puxão no suporte 
que todos os quatro cabos. 
y 
(a) 
)' 
' \ 30c 
\':"" 
' ' 
F1x = 200 sen 30°N 
(b) 
y 
(c) 
Figura 2.18 
Pontos importantes 
• A resultante de várias forças coplanares pode ser detcnuinada facilmente se 
for estabelecido um sistema de coordenadasx c y e as forças forem decompostas 
ao longo dos eixos. 
• A direção de cada força é especificada pelo ângulo que sua linha de ação 
fonna com um dos eixos, ou por um triângulo da inclinação. 
• A orientação dos eixos x e y é arbitrária e sua direção positiva pode ser 
especificada pelos vetores cartesianos unitários i e j . 
• As componentes x e y da força resultante são simplesmente a soma algébrica 
das componentes de todas as forças coplanares. 
• A intensidade da força resultante é detenninada pelo teorema de Pitágoras e, 
quando as componentes são esquematizadas nos eixos x e y, a direção é 
detenninada por meio da trigonometria. 
Exemplo 2.5 
Determine as componentes x e y de F 1 e F 2 que atuam sobre a lança mostrada na 
Figura 2.18a. Expresse cada força como um vetor cartesiano. 
-SOLUCAO 
• 
Notocão escolar 
• 
Pela lei do paralelogramo, F 1 é decomposta nas componentes x e y (Figura 2. 18b). 
Como F 1 .. atua na direção - -r e F 1y. na direção +y, temos: 
F 1x = -200 sen 30° N = - 100 N = 100 N -
F1>, = 200 cos 30° = I 73 N = 173 N 1 
A força F2 é decomposta em suas componentes x e y, como mostra a Figura 2. 18c. 
Nesse caso, a inclinação da linha de ação da força é indicada. A partir desse ' triângulo 
da inclinação', podemos obter o ângulo e, ou seja, e = tg-l ( 152 ). e detenuinar as 
intensidades das componentes da mesma maneira que fizemos para F 1• O método 
mais fácil, entretanto, consiste em usar partes proporcionais de triângulos semelhantes, 
OU Seja, 
Fl, 
260N 
Da mesma forma, 
F2x = 260 N ( : ~ ) = 240 N 
Observe que a intensidade da componente horizontal, F 2., foi obtida multiplicando a 
intensidade da força pela relação entre o lado horizontal do triângulo da inclinação 
dividido pela hipotenusa; enquanto a intensidade da componente vertical, F21, foi 
obtida multiplicando a intens idade da força pela relação entre o lado vertical dividido 
pela hipotenusa. Então, 
F 2x = 240 N = 240 N -
F2y = - I 00 N = I 00 N I 
I 26 I Estática 
383,2 N 
y 
f: = 250 N 
450 2 
(a) 
(b) 
y 
I 
296,8 N 
(c) 
Figura 2.20 
Exemplo 2.7 
A ponta de uma lança O na Figura 2.20a está submetida a três forças coplanares c 
concorrentes. Determine a intensidade e a direção da força resultante. 
-SOLUCAO • 
Cada força é decomposta em suas componentes x e y (Figura 2.206). Somando as 
componentes x, temos: 
.!'. FRx = L.Fx; FRx = -400 N + 250 sen 45° N - 200( ~ ) N 
= -383 ,2 N = 383,2 N -
O sinal negativo indjca que F R.r atua para a esquerda, ou seja, na direção x negativa, 
como observamos pela pequena seta. Obviamente, isso ocorre porque F , e F3 na 
Figura 2.20b contribuem com um puxão maior para a esquerda do que F2, que puxa 
para a direita. Somando as componentes de y, temos: 
. r FRy = L.F, ; FRy = 250cos 45° N + 200( ~) N 
= 296,8N I 
A força resultante, mostrada na Figura 2.20c, possui a seguinte intensidade: 
FR = / ( - 383,2 N)2 + (296,8 N? 
= 485N 
Da adição de vetores na Figura 2.20c, o ângulo de direção ()é: 
B = t - I ( 296,8) = 37 80 g 383 2 , , 
NOTA: A aplicação desse método é mais conveniente quando comparado às duas 
aplicações da lei do paralelogramo, primeiro para somar F, e F2, depois para somar 
F3 a essa resultante. 
Problemas fundamentais 
2.1. Decomponha cada força que atua sobre o poste em 2.8.. Determine a intensidade e a direção da força resultante. 
suas componentes x e y. 
250 N 
y 
F1 = 300N 
Problema 2.7 
y 
. . . . ~ 
• • • • . . .. .•. 
Problema 2.8 
400 N 
300N 
2.9. Determine a intensidade da força resultante que atua 
sobre a cantoneira c sua direção O, medida no sentido anti-
-horário a partir do eixo x. 
y 
Problema 2. 9 
2.10. Se a força resultante que atua sobre o suporte for 
750 N direcionada ao longo do eixo x positivo, determine a 
intensidade de F e sua direção O. 
y 
325 N 
Problema 2.1 O 
I Problemas 
•2.32. Determine a intensidade da força resultante que atua 
sobre o pino e sua direção, medida no sentido horário a partir 
do eixo x positivo. 
F 1 = 150N 
Problema 2.32 
•2.33. Se F1 = 600 N e~ = 30°, determine a intensidade da 
força resultante que atua sobre a argola e sua direção, medida 
no sentido horário a partir do eixo x positivo. 
Capítulo 2 Vetores de forço I 27 I 
2.11. Se a intensidade da força resultante queatua sobre o 
suporte for 400 N direcionada ao longo do eixo u, determine 
a intensidade de F e sua direção O. 
y 
250 
450 11 
Problema 2.11 
2.12. Determine a intensidade da força resultante e sua 
direção e, medida no sentido anti-horário a partir do eixo x. 
y 
F 1 = 15 kN 
F3 = 15 kN 
3 
-----x 
Problema 2.12 
2.34. Se a intensidade da força resultante que atua sobre a 
argola é 600 N e sua direção no sentido horário do eixo x 
positivo é O= 30°, determine a intensidade de F1 e o ângulo~-
y 
F3 = 450N 
Problemas 2.33/ 34 
I 28 I Estático 
2.35. O ponto de contato entre o fêmur c a tíbia está em A. 
Se uma força vertical de 875 N é aplicada nesse ponto, 
detenninc as componentes ao longo dos eixos x e y. Observe 
que a componente y representa a força nonnal na região da 
carga de rolamento dos ossos. As componentes x e y dessa 
força fazem com que o nuido sinovial seja comprimido para 
fora do espaço de rolamento. 
)' 
875 N 
X 
Problema 2.35 
' 2.36. Se ; = 30° c F2 = 3 k , dctcnninc a intensidade da 
força resultante que atua sobre a chapa e sua direção 8, 
medida no sentido horário a partir do eixo x positivo. 
•2.37. Se a intensidade da força resultante que atua sobre a 
chapa preci a ser 6 kN c sua direção no sentido borãrio do 
eixo x positivo é O = 30°, dctennine a intensidade de F2 e 
sua direção ;. 
2.38. Se ; = 30° e a força resultante que atua sobre a placa 
de ligação é direcionada ao longo do eixo x positivo, 
determine as intensidades de F2 c da força resultante. 
SkN 
Problemas 2.36/ 37/ 38 
2.39. Detennine a intensidade de F1 e sua direção e. de 
modo que a força resultante seja direcionada verticalmente 
para cima e tenha a intensidade de 800 N. 
' 2.40. Dctcnninc a intensidade e a direção, medida no 
sentido anti-horário a partir do eixo x positivo, da força 
resultante das três forças que atuam sobre o anel A. Considere 
F 1 = 500 N c O = 20°. 
Problemas 2.39 I 40 
•2.41. Determine a intensidade e a direção e de F B• de modo 
que a força resultante seja direcionada ao longo do eixo y 
positivo c tenha uma intensidade de 1500 N. 
2.42. Determine a intensidade e o ângulo medido no sentido 
antit-horário a partir do eixo y positivo da força resultante 
que atua no suporte se F8 = 600 N e e = 20°. 
y 
Ff 700 
Problemas 2.41 / 42 
2.43 . Se ~ = 30° e F 1 = 1,25 kN, determine a intensidade 
da força resultante que atua sobre o suporte e sua direção, 
medida no sentido horário a partir do eixo x positivo. 
*2.44. Se a intensidade da força resultante que atua sobre o 
suporte é 2 kN direcionada ao longo do eixo x positivo, 
determine a intensidade de F1 c sua direção ~· 
•2.4 5. Se a força resultante que atua sobre o suporte precisa 
ser direcionada ao longo do eixo x positivo e a intensidade 
de F 1 precisa ser mínima, detennine as intensidades da força 
resultante e de F1• 
)' 
Fz- 1,5 kN 
Problemas 2.43/ 44/ 45 
2.46. As três forças concorrentes que atuam sobre o olhai 
produzem uma força resultante FR =O. Se F2 = ~ F 1 e F 11 
precisa estar a 90° de F2, como mostra a figura, determine 
a intensidade necessária de F3 expressa em função de F1 e 
o ângulo e. 
Problema 2.46 
2.47. Detem1jne a intensidade de FA e sua direção e, de 
modo que a força resultante seja direcionada ao longo do 
eixo x positivo e tenha uma intensidade de 1250 N. 
*2.48. Determine a intensidade e a direção medjda no sentido 
anti-horário a partir do eixo x positivo da força resultante que 
atua sobre o anel em O se F,. = 750 N e e = 45° . 
Problemas 2.47/ 48 
•2.49. Determine a intensidade da força resultante e sua 
direção, medida no sentido anti-horário a partir do eixo x 
positivo. 
y 
-------(.;~__;~-'-~--X 
@ 
@ 
F2 = 350N 
F3 = 250 N 
Problema 2.49 
Capítulo 2 Vetores de força I 29 I 
2.50. As três forças são aplicadas no suporte. Determine a 
faixa de valores para a intensidade da força P, de modo que 
a resultante das três forças não exceda 2400 N. 
800 N 
p 
Problema 2.50 
2.51. Se F1 = 150 N e t/J = 30°, detennine a intensidade da 
força resultante que atua sobre o suporte e sua direção, 
medida no sentido horário a partir do eixo positivo x. 
*2.52. Se a intensidade da força resultante que atua sobre o 
suporte deve ser 450 N direcionada ao longo do eixo u 
positivo, determine a intensidade de F1 e sua direção 1/J. 
•2.53. Se a força resultante que atua sobre o suporte precisa 
ser mínima, determ ine as intensidades de F1 e da força 
resultante. Considere t/J = 30°. 
y 
11 
30° ----..L.l ...., ..... --X 
k~~~1 F2 = 200 N 
Problemas 2.51 / 52/ 53 
2.54. Três forças atuam sobre o suporte. Determine a 
intensidade e a direção e de F 2• de modo que a força resultante 
seja direcionada ao longo do eixo u positivo e tenha uma 
intensidade de 250 N. 
2.55. Se F2 = 750 N e O= 55°, determine a intensidade e a 
direção medida no sentido horário a partir do eixo x positivo 
da força resultante das três forças que atuam sobre o suporte. 
y 
Problemas 2.54/ 55 
I 30 I Estática 
•2.56. As três forças concorrentes que atuam sobre o poste 
produzem uma força resultante F R= O. Se F2 = ~ F1 e F1 estiver 
a 90° de F2, como mostra a figura, detem1ine a intensidade 
necessária de F3 expressa em timção de F1 e do ângulo 8. 
2.58. Expresse cada uma das três forças que atuam sobre o 
suporte na forma vetorial cartesiana com relação aos eixos 
x e y . Detem1ine a intensidade e direção () de F1• de modo 
que a força resultante seja direcionada ao longo do eixo x' 
positivo e tenha uma intensidade FR = 600 N. y 
~I d I 1111" 
Problema 2.56 
•2.57. Determine a intensidade da força F, de modo que a 
força resultante das três forças seja a menor possível. Qual 
é a intensidade dessa força resultante mínima? 
x--
14 kN F 
Problema 2.57 
Figura 2.21 
z 
I 
A -• 
A,, 
· - y 
Figura 2.22 
Problema 2.58 
Vetores cartesianos 
As operações da álgebra vetorial, quando aplicadas para resolver problemas em 
três dimensões, são enormemente simplificadas se os vetores forem primeiro 
representados na forma de rum vetor ca11esiano. Nesta seção, vamos apresentar um 
método geral para fazer isso; na seção seguinte usaremos esse método para determinar 
a força resultante de um sis tema de forças concorrentes. 
Sistema de coordenadas destro 
Usaremos um sistema de coordenadas destro para desenvolver a teoria da álgebra 
vetorial que se segue. Dizemos que um sistema de coordenadas retangular é destro 
desde que o polegar da mão direita aponte na direção positiva do eixo z, quando os 
dedos da mão direita estão curvados em relação a esse eixo e direcionados do eixo x 
positivo para o eixo y positivo (Figura 2.2 1 ). 
Componentes retangulares de um vetor 
Um vetor A pode ter uma, duas ou três componentes retangulares ao longo dos 
eixos coordenados x, y, z, dependendo de como o vetor está orientado em relação 
aos eixos. Em geral, quando A está direcionado dentro de um octante do sistema 
x, y, z (Figura 2.22), com duas aplicações sucessivas da lei do paralelogramo pode-se 
Capítulo 2 Vetores de força I 31 
decompô-lo em componentes, como A = A ' + A. e depois A '= A,+ A,. Combinando - . 
essas equações, para eliminar A', A é representado pela soma vetorial de sua três 
componente retangulares, 
A = A,. + A,. + A. . - (2.2) 
Vetores cartesianos unitários 
Em três dimensões, os vetores cartesianos unitários i, j , k são u ados para de ignar 
as direções dos eixos x, y, z, respectivamente. Como vimos na Seção 2.4, o sentido 
(ou a ponta de seta) desses vetores será descrito analiticamente por um sinal positivo 
ou negativo, dependendo se indicam o sentido positivo ou negativo dos e ixos x, y ou 
=· Os vetores cartesianos unitários são mostrados na figura 2.23. 
Representa~ão de um vetor cartesiano 
Como as três componentes de A na Equação 2.2 atuam nas d ireções positivas de 
i, j e k (Figura 2.24), pode-se escrever A na forma de um vetor cartesiano como: 
(2.3) 
Há uma vantagem em escrever vetores dessa maneira. Separando-se a intensidadee a direção de cada vetor componente, simplificam-se as operações da álgebra vetorial, 
particularmente em três dimensões. 
Intensidade de um vetor cartesiano 
É sempre po sivel obter a intensidade de A, desde que ele seja expres o sob a 
fom1a de um vetor cartesiano. Como mostra a Figura 2.25, do triângulo retângulo 
cinza claro, A = j A'2 +A; e do triângulo retângulo cinza escuro, A' = j A; + A ~ . 
Combinando-se essas equações para eliminar A', temos: 
(2.4) 
Logo, a imensidade de A é igual à raiz quadrada positiva da soma dos quadrados 
de suas componentes. 
Direcão de um vetor cartesiano , 
A direção de A é definida pelos ângulos de direção coordenados a (alfa), fJ (beta) 
c y (gama), medidos entre a origem de A e os eixos x, y, z positivos, desde que 
estejam localizados na origem de A (Figura 2.26). Note que, independentemente da 
direção de A, cada um desses ângulos estará entre 0° c 180°. 
Para determinarmos a, fJ c y, vamos considerar as projeções de A sobre os eixos 
x, y, z (Figura 2.27). Com referência aos triângulos sombreados de cinza claro 
mostrados em cada figura, temos: 
I 
cosa= A~ 
A P 
A, 
cos = -· co r= 
A (2.5) 
Es es números ão conhecidos como os cossenos diretores de A. Uma vcL: obtidos, 
os ângulos de direção coordenados a, fJ e y são determinados pelo inverso dos 
cossenos. 
Um modo fácil de obter os cossenos diretores é criar um vetor unitário u~ na 
direção de A (Figura 2.26). Se A for expresso sob a forma de um vetor cartesiano, 
--
Í/ J---=~-y 
Jl'/ j 
X 
Figura 2.23 
, 
I 
-y 
Figura 2.24 
ff x 
~-~(L 
fo--AJ ( 
Figura 2.25 
A k , 
Figura 2.26 
I 32 I Estática 
/ 
X 
• . 
z 
Figura 2.28 
----y 
. . :z 
r--1 ....... ~---y 
/ / 
X X 
Figura 2.27 
A = Axi + A>j + A=k , então uA terá uma intensidade de um e será adimensional, desde 
que A seja dividido pela sua iDtensidade, ou seja, 
UA =A= A .. i + A_, j + A: k 
A A A A (2.6) 
onde A =/Ai + A; + A; . Comparando-se com as equações 2.5, vemos que as 
componentes i, j , k de u,~ representam os cossenos diretores de A, ou seja, 
UA = COS a i + COS pj + COS yk (2.7) 
Como a intensidade do vetor é igual à raiz quadrada positiva da soma dos 
quadrados das intensidades de suas componentes e uA possui uma intensidade de um, 
então, pode-se estabelecer uma relação importante entre os cossenos diretores como: 
I cos2 a + cos2 p + cos2 y = I I (2.8) 
Podemos ver que, se apenas dois dos ângulos coordenados forem conhecidos, o 
terceiro pode ser encontrado usando essa equação. 
Finalmente, se a intensidade e os ângulos de direção coordenados de A são dados, 
A pode ser expresso sob a forma de vetor cartesiano como: 
A =Au,~ 
A = A cos a i + A cos pj + A cos yk 
A =A) + A,j + A:k (2.9) 
Algumas vezes, a direçã.o de A pode ser especificada usando dois ângulos, (}e rp 
(fi), como mostra a Figura 2.28. As componentes de A podem, então, ser detenninadas 
aplicando trigonometria, primeiro ao triângulo retângulo cinza claro, o que resulta: 
A" = A cos rp e A 1 = A sen rp 
Agora, aplicando a trigonometria no triângulo cinza escuro, 
A, = A I c os O = A sen rp c os O 
Ay = A ' sen f) = A sen rp sen 8 
Logo, A escrito na forma de um vetor cartesiano se toma: 
A = A sen rp cos Oi + A sen rp sen Oj + A cos 1/Jk 
Você não precisa memorizar essa equação; em vez disso, é importante entender 
como as componentes foram determinadas usando a trigonometria. 
Capítulo 2 Vetores de forço I 33 I 
Adicão de vetores cartesianos , 
A adição (ou subtração) de dois ou mais vetores é bastante simplificada se os 
vetores forem expresso em função de suas componentes cartesianas. Por exemplo, c 
A = A,i + A,j + A:k c B = B,i + B,j + B;k (Figura 2.29), então o vetor resultante R 
tem componentes que representam as sornas escalares das componentes i, j , k de A 
e B, ou seja, 
R = A + B =(A~+ B.)i + (A,. + B,.)j +(A=+ B:)k . . 
Se este conceito for generalizado c aplicado em um sistema de várias forças 
concorrentes, então a força resultante será o vetor soma de todas as forças do sistema 
e poderá ser escrita como: 
I FR = LF = LF,i + r.p;,j + LF:k I (2. 1 O) 
Nesse caso, LF., .EF,. e 'f.F= representam as somas algébricas dos respectivos 
vetores componentes x, y, z ou i, j , k de cada força do sistema. 
Pontos importantes 
• A análise vetorial cartesiana é usada frequentemente para resolver problemas 
em trê dimcnsõc . 
• As direções positivas dos eixos x, y, z são definida pelo vetores cartesianos 
unitários i, j , k, respectivamente. 
• A intensidade de um vetor cartesiano é dada por A = /A; .... A ~ + A}. 
• A direção de um vetor cartesiano é definida pelos ângulos de direção coordenados 
a,p, y que a origem do vetor forma com os eixosx,y, z po i ti vos, respectivamente. 
As componentes do vetor unitário u4 = AIA representam o cossenos diretores 
de a, p, y. Apenas dois dos ângulos a, p, y precisam ser especificados. O terceiro 
ângulo é calculado pela relação cos2 a + cos2 p + cos2 y = I. 
• Algumas ve7es, a direção de um vetor é definida usando os dois ânbrulos O e (>, 
como na Figura 2.28. Nesse caso, as componentes vetoriais são obtidas por 
decomposição vetorial usando trigonometria. 
• Para determinar a resultante de um sistema de forças concorrentes, expresse 
cada força como um vetor cartesiano e adicione as componentes i, j , k de 
todas as forças do sistema. 
Exemplo 2.8 
Expresse a força F, mostrada na Figura 2.30, como um vetor cartesiano. 
-SOLUCAO 
• 
Como apenas dois ângulos de direção coordenados são dados, o terceiro ângulo a 
deve ser calculado pela Equação 2.8; ou seja, 
cos2 a+ cos2 P + cos2r = I 
cos2 a+ cos260° + cos245° = I 
cosa= / 1-(0,5[ - (0,707)2 =± 0,5 
/ 
X 
-
I 
(A: - 8:)k 
(A ,+ B,)j 
Figura 2.29 
F= 200 
Figura 2.30 
-- I' • 
I 34 I Estática 
F2 = {SOi - IOOj + IOOk} kN 
X 
Portanto, existem duas possibilidades, a saber: 
a = cos-1(0,5) = 60° 
ou 
a = coÇ1 (-0,5) = 120° 
Da Figura 2.30, é necessário que a = 60°, visto que F .• está na direção +x. 
Usando-se a Equação 2.9, com F = 200 N, temos: 
F = F cos a i + F cos fJj + F cos yk 
= (200 cos 60° N)i + (200 cos 60° N)j + (200 cos 45° N)k 
= {JOO,Oi + LOO,Oj + 141 ,4k} N 
Mostramos que realmente a intensidade de F= 200 N. 
Exemplo 2.9 
Determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados da força resultante que 
atua sobre o anel da Figura 2.3la. 
z FR = {50i - 40j + 180k} kN z 
F1 = {60j + 80k } kN 
a = 74,8° 
(a) (b) 
Figura 2.31 -SOLUCAO 
• 
Uma vez que cada força está representada na forma vetorial cartesiana, a força 
resultante, mostrada na Figura 2.3lb, é: 
FR = LF = F. + F2 = {60j + 80k} kN + {50i - lOOj + lOOk} kN 
= {50i - 40j + 180k} kN 
A intensidade de F R é: 
FR =/(50 kN t + (- 40 kN f + (180 kN f = 191,0 kN 
= 191 kN 
Os ângulos de direção coordenados a, fJ, y são determinados pelas componentes do 
vetor unitário que atuam na direção de F R 
de modo que: 
FR 50 . 40 . 180 k 
UfA = FR = 191 ,0 I - 191,0 1 + 19 1,0 
= 0 ,2617i - 0,2094j + 0,9422k 
cos a= 0,2617 
cos fJ = -0,2094 
cos y = 0,9422 
a= 74 8° 
' 
Esses ângulos são mostrados na Figura 2.3lb. 
NOTA: Em especial, observe que fJ > 90°, uma vez que a componente j de uF. é 
negativa. Isso se torna claro quando vemos que F1 e F2 se somam de acordo com a 
lei do paralelogramo. 
Capítulo 2 Vetores de forço I 35 I 
Exemplo 2.10 
Expresse a força F, mostrada na Figura 2.32a como um vetor cartesiano. 
-SOLUCAO 
• 
Os ângulos de 60° e 45° que definem a direção de F não são ângulos de direção 
coordenados. As duas aplicações sucessivas da lei do paralelogramo são neces árias 
para decompor F em suas componentes x, y, =· Primeiro F = F' + F:, em seguida 
F'= F_..+ F, (Figura 2.32b). Pela trigonometria, as intensidades das componentes ão: 
F:= 100 sen 60° k = 86,6 kN 
F' = 100 cos 60° kN =50 kN 
F = F' cos 45° = 50 cos 45° kN = 35 4 kN 
f ' 
F = F' sen 45° = 50 sen 45° kN = 35 4 kN 
f ' 
Constatando-se que F> possui uma direção definida por - j , tem-se: 
F = {35,4i - 35,4j + 86,6k} kN