Gestão de Carteiras, Estatística e Riscos

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Gestão de Carteiras e 
de Riscos 
Educação Continuada ANBIMA 
 
Data: 01/03/2017 
 
Controle D.04.64.00 
Data da Elaboração 01/03/2017 
Data da Revisão – 
Elaborado por Educação Continuada 
Aprovado por Equipe de Certificação Continuada 
 
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GESTÃO DE CARTEIRAS E DE RISCOS 
 
Fundamentos de Estatística 
 
Medidas de Posição Central: Média, Mediana e Moda 
Na análise e interpretação de dados, as medidas de posição central têm como função fornecer 
informações concisas sobre os valores de uma população ou de uma amostra. Tais medidas são 
facilmente calculadas e, por esse motivo, são amplamente utilizadas na análise de investimentos, 
mais do que quaisquer outros indicadores estatísticos. 
 
A média aritmética é a medida de posição central mais comum e é definida como a razão entre a 
soma das observações de uma população ou de uma amostra e o número de observações (que 
denotamos N no caso de uma população e n quando se trata de uma amostra). Denominamos a 
média populacional como µ e a média amostral como �̅�. Assim, a média aritmética populacional é 
dada por 
 
µ =
∑ 𝑋𝑖
𝑁
𝑖=1
𝑁
 
 
E a média aritmética amostral é dada por 
 
�̅� =
∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 
 
onde Xi representada cada observação (variando de 1 até n observações). Um analista de varejo, 
por exemplo, pode determinar a média aritmética das margens EBITDA de cinco empresas desse 
setor ao somar os valores observados e dividir o resultado por cinco. 
 
Outra medida de posição central, a mediana, tem a característica de não ser influenciada por 
valores extremos no conjunto de observações. Ela é dada pelo valor central de um conjunto de 
observações que foram classificadas em ordem crescente ou decrescente. Por exemplo, um 
especialista em investimentos, ao observar cinco fundos de investimento que geraram retornos de 
10%, 13%, 15%, 17% e 20% nos últimos 12 meses determinará que a mediana dessa amostra é 
15%. Caso a amostra incluísse um outro fundo de investimento com alto retorno, de modo que o 
conjunto fosse formado pelos valores 10%, 13%, 15%, 16% e 27%, a mediana dos retornos ainda 
seria os mesmos 15%. 
 
Quando a população ou amostra possui um número par de observações, a mediana é determinada 
pela média aritmética dos dois valores centrais. Se o especialista acima observasse os retornos 
anuais de seis fundos com valores de 10%, 13%, 15%, 17%, 20% e 27%, ele concluiria que a 
mediana dessa amostra é 16% (média aritmética entre 15% e 17%). Seja um conjunto com número 
par ou com número ímpar de observações, o número de observações com valores abaixo da 
mediana será sempre idêntico ao número de observações com valores acima da mediana. 
 
Finalmente, a moda de um conjunto de observações é simplesmente o valor que ocorre com mais 
frequência nesse conjunto. Entretanto, é possível que um conjunto de itens não tenha uma moda 
(caso nenhum valor apareça com mais frequência que os demais) ou mesmo mais de uma moda 
(quando dois ou mais valores apareçam com a mesma frequência). Uma característica importante 
da moda é a possibilidade de ser utilizada com dados nominais. Por exemplo, se um gestor de uma 
 
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carteira de crédito privado identifica que, entre nove papéis investidos, há três com classificação 
de risco “AA”, quatro com classificação de risco “A” e dois com classificação de risco “BBB”, ele 
determinará que a classificação de risco modal desse conjunto é “A”. 
 
Medidas de Dispersão: Variância e Desvio Padrão 
Para a avaliação e comparação entre alternativas de investimento, a observação de medidas de 
posição central (como a média ou a mediana) constitui apenas uma parte da análise. A outra 
parte, igualmente importante, é entender como os dados observados variam ao redor da média. 
Ao se observar a média dos retornos diários de uma determinada ação, por exemplo, surge a 
questão: como esses retornos diários variam em relação à média? Para responder a essa questão, 
é preciso calcular e compreender medidas de dispersão como a variância e o desvio padrão. 
 
Na análise de dados estatísticos, é importante determinar se estamos trabalhando com toda a 
população de observações ou se temos em mãos apenas uma amostra dos dados possíveis. A 
população (com N elementos) constitui a totalidade das observações possíveis de um 
determinado grupo ou categoria. Por exemplo, se dispomos das margens operacionais de todas as 
oito empresas de um dado setor, podemos calcular os parâmetros desse grupo e obter a média 
populacional (que denotaremos por µ) e a variância populacional (que denotaremos por σ2). Se 
trabalharmos apenas com um subconjunto formado por, digamos, cinco dentre as empresas desse 
setor, teremos então uma amostra populacional (formada por n elementos), para a qual 
calculamos a média amostral (denominada �̅�) e a variância amostral (indicada por s2). 
 
Para uma população, a variância é dada por 
 
𝜎2 =
∑ (𝑋𝑖 − 𝜇)
2𝑁
𝑖=1
𝑁
 
 
No caso de uma amostra, a variância é dada por 
 
𝑠2 =
∑ (𝑋𝑖 − �̅�)
2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
 
 
Vamos analisar mais detidamente as fórmulas acima. Como estamos interessados na dispersão 
das observações ao redor da média, faz sentido calcularmos primeiramente a distância entre as 
observações e a média. Em seguida, tal distância é elevada ao quadrado, o que faz com a medida 
de dispersão aumente mais do que proporcionalmente quanto mais distantes da média estiverem 
as observações. Por fim, somam-se essas distâncias e divide-se o resultado pelo número de 
observações (ou pelo número de observações menos um, no caso da variância da amostra). A 
variância é, portanto, uma espécie de “dispersão média” da população ou da amostra. 
 
As fórmulas acima calculam a dispersão dos dados em unidades ao quadrado, o que pode tornar a 
sua interpretação mais difícil. Para termos uma medida de dispersão que seja dada nas mesmas 
unidades das observações, precisamos extrair a raiz quadrada da variância. A essa medida dá-se o 
nome de desvio-padrão. Assim, o desvio-padrão da população é dado por 
 
𝜎 = √
∑ (𝑋𝑖 − 𝜇)2
𝑁
𝑖=1
𝑁
 
 
 
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Similarmente, o desvio-padrão da amostra é 
 
𝑠 = √
∑ (𝑋𝑖 − �̅�)2
𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
 
 
Um analista de investimentos que deseje discutir com seus clientes o retorno médio e o desvio-
padrão dos retornos diários da ação preferencial da Gol Linhas Aéreas Inteligentes S.A. (GOLL4) 
pode, com base nos dados de fechamento das 20 sessões de negociação em bolsa entre 
12/02/2016 e 11/03/2016, calcular essas medidas facilmente, como mostra a tabela abaixo com 
dados e resultados. 
 
GOLL4 – Dados e Estatísticas 
 
Data 
Preço de 
Fechamento 
Retorno 
Diário 
(𝑿𝒊
− �̅�) 
(𝑿𝒊
− �̅�)𝟐 
 
12/02/2016 1,99 
15/02/2016 1,91 -4,02% -7,16% 0,51% n: 20 
16/02/2016 1,93 1,05% -2,09% 0,04% Retorno Médio: 3,13% 
17/02/2016 1,88 -2,59% -5,73% 0,33% Variância: 1,36% 
18/02/2016 1,85 -1,60% -4,73% 0,22% Desvio-Padrão: 11,67% 
19/02/2016 1,80 -2,70% -5,84% 0,34% 
22/02/2016 1,98 10,00% 6,87% 0,47% 
23/02/2016 1,97 -0,51% -3,64% 0,13% 
24/02/2016 1,93 -2,03% -5,17% 0,27% 
25/02/2016 1,88 -2,59% -5,73% 0,33% 
26/02/2016 2,17 15,43% 12,29% 1,51% 
29/02/2016 2,31 6,45% 3,32% 0,11% 
01/03/2016 2,25 -2,60% -5,73% 0,33% 
02/03/2016 2,73 21,33% 18,20% 3,31% 
03/03/2016 3,80 39,19% 36,06% 13,00% 
04/03/2016 3,16 -16,84% -19,98% 3,99% 
07/03/2016 3,30 4,43% 1,30% 0,02% 
08/03/2016 3,26 -1,21% -4,35% 0,19% 
09/03/2016 3,22 -1,23% -4,36% 0,19% 
10/03/2016 3,43 6,52% 3,39% 0,11% 
11/03/2016 3,30 -3,79% -6,93% 0,48% 
 Soma: 25,9% 
 
A tabela acima nos mostra que o retorno diário médio da ação GOLL4 é de 3,13% e que a alta 
variabilidade desses retornos faz com que o seu desvio-padrão seja relativamente alto, de 11,67%. 
 
Medidas de Associação entre duas variáveis: covariância e coeficiente de correlação. Conceito e 
interpretação. 
As medidas que indicam como duas variáveis se comportam uma em relação a outra são 
denominadas de medidas de associação.Aqui vamos entender um pouco mais sobre duas dessas 
medidas. 
 
 
5 
 
A covariância, como o nome evidencia, mede o quanto duas variáveis se alteram uma em relação 
a outra (ou seja, como elas “co-variam”). Seu cálculo se parece bastante com o cálculo da 
variância, e a covariância da população é dada por 
 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) =
∑ (𝑋𝑖 − 𝜇𝑋)(𝑌𝑖 − 𝜇𝑌)
𝑁
𝑖=1
𝑁
 
 
Já a covariância amostral é calculada por 
 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) =
∑ (𝑋𝑖 − �̅�)(𝑌𝑖 − �̅�)
𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
 
 
 
A covariância de uma variável consigo mesma é a própria variância, e desta maneira as fórmulas 
acima se reconciliam com as fórmulas de cálculo da variância mostradas no item anterior. 
 
Como exemplo, o mesmo analista que estimou alguns parâmetros para a ação GOLL4 pode desejar 
entender como os retornos diários desse papel covariam com os retornos da ação ordinária da 
Iochpe-Maxion S.A. (MYPK3). Vamos inicialmente fazer cálculos similares, agora para a MYPK3, 
como mostrado na tabela abaixo: 
 
MYPK3 – Dados e Estatísticas 
 
Data 
Preço de 
Fechamento 
Retorno 
Diário 
(𝒀𝒊 − �̅�) (𝒀𝒊 − �̅�)
𝟐 
12/02/2016 9,14 
15/02/2016 8,80 -3,74% -5,08% 0,26% n: 20 
16/02/2016 9,48 7,78% 6,44% 0,41% Retorno Médio: 1,34% 
17/02/2016 9,48 0,00% -1,34% 0,02% Variância: 0,12% 
18/02/2016 9,48 0,00% -1,34% 0,02% Desvio-Padrão: 3,49% 
19/02/2016 9,43 -0,52% -1,86% 0,03% 
22/02/2016 9,77 3,63% 2,29% 0,05% 
23/02/2016 9,19 -6,00% -7,34% 0,54% 
24/02/2016 9,08 -1,18% -2,52% 0,06% 
25/02/2016 9,43 3,88% 2,54% 0,06% 
26/02/2016 9,47 0,41% -0,93% 0,01% 
29/02/2016 9,44 -0,31% -1,65% 0,03% 
01/03/2016 9,70 2,75% 1,41% 0,02% 
02/03/2016 10,16 4,74% 3,40% 0,12% 
03/03/2016 10,43 2,66% 1,32% 0,02% 
04/03/2016 11,28 8,15% 6,81% 0,46% 
07/03/2016 11,30 0,18% -1,16% 0,01% 
08/03/2016 11,37 0,62% -0,72% 0,01% 
09/03/2016 11,90 4,66% 3,32% 0,11% 
10/03/2016 11,78 -1,01% -2,35% 0,06% 
11/03/2016 11,79 0,08% -1,25% 0,02% 
 Soma: 2,3% 
 
 
6 
 
Agora podemos selecionar as colunas de informações que nos interessam para o cálculo da 
covariância, e a tabela abaixo esclarece o passo-a-passo do cálculo dessa estatística: 
 
GOLL4 e MYPK3 – Cálculo da Covariância 
 
Data 
GOLL4 
(𝑿𝒊 − �̅�) 
MYPK3 
(𝒀𝒊 − �̅�) 
(𝑿𝒊 − �̅�) x (𝒀𝒊 − �̅�) 
15/02/2016 -7,16% -5,08% 0,36% n: 20 
16/02/2016 -2,09% 6,44% -0,13% Covariância: 0,013% 
17/02/2016 -5,73% -1,34% 0,08% 
18/02/2016 -4,73% -1,34% 0,06% 
19/02/2016 -5,84% -1,86% 0,11% 
22/02/2016 6,87% 2,29% 0,16% 
23/02/2016 -3,64% -7,34% 0,27% 
24/02/2016 -5,17% -2,52% 0,13% 
25/02/2016 -5,73% 2,54% -0,15% 
26/02/2016 12,29% -0,93% -0,11% 
29/02/2016 3,32% -1,65% -0,05% 
01/03/2016 -5,73% 1,41% -0,08% 
02/03/2016 18,20% 3,40% 0,62% 
03/03/2016 36,06% 1,32% 0,48% 
04/03/2016 -19,98% 6,81% -1,36% 
07/03/2016 1,30% -1,16% -0,02% 
08/03/2016 -4,35% -0,72% 0,03% 
09/03/2016 -4,36% 3,32% -0,14% 
10/03/2016 3,39% -2,35% -0,08% 
11/03/2016 -6,93% -1,25% 0,09% 
 Soma: 0,25% 
 
A covariância, por sua natureza, é uma medida difícil de compreender e interpretar. Mais 
interessante do que a covariância para fins de estudos de temas financeiros é o coeficiente de 
correlação (ou apenas correlação) entre duas variáveis. A correlação é uma medida de associação 
que nos indica não apenas se as variáveis estão relacionadas de maneira positiva (isto é, variam no 
mesmo sentido) ou negativa (ou seja, variam em sentidos opostos), mas também o grau de 
associação entre elas (isto é, quão forte é essa associação) 
 
O coeficiente de correlação é dado por 
 
𝜌 =
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
𝑠𝑋𝑠𝑌
 
 
Onde: 
𝜌 = Correlação 
𝐶𝑜𝑣 (X,Y) = Covariância entre X e Y 
s
x 
= desvio padrão de x 
s
y 
= desvio padrão de y 
 
 
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No nosso exemplo, estamos interessados em descobrir a correlação entre os retornos diários das 
ações GOLL4 e MYPK3. Utilizando os dados das tabelas acima, temos que a correlação entre essas 
duas variáveis (para o período considerado) é 
 
𝜌 =
0,013%
11,67% × 3,49%
= 0,0322 
 
A correlação é interpretada da seguinte maneira: 
 
 Se a correlação for igual a 1 (valor máximo), as duas variáveis apresentam correlação 
perfeitamente positiva. Isso significa que o movimento em uma variável é acompanhado por um 
movimento proporcional de mesma direção na outra variável. 
 Se a correlação for positiva mas inferior a 1, existe associação direta entre as variáveis observadas, 
ainda que não seja perfeita. As variáveis tendem a se mover na mesma direção, porém com 
intensidades distintas. 
 Correlação igual a zero indica ausência de relação entre as variáveis estudadas, o que significa que 
o movimento em uma variável não nos ajuda a fazer qualquer inferência sobre o movimento 
correspondente em outra variável. 
 Se a correlação for negativa mas superior a -1, existe associação inversa entre as variáveis, ainda 
que não seja perfeita. As variáveis se movem em direções opostas, com diferentes intensidades. 
 Se a correlação for igual a -1 (valor mínimo), as duas variáveis apresentam correlação 
perfeitamente negativa. Isso significa que o movimento em uma variável é acompanhado por um 
movimento proporcional em direção oposta na outra variável. 
 
Entre GOLL4 e MYPK3, vemos que a correlação é muito próxima de zero, o que indica que os 
retornos diários de uma ação não estão relacionados aos retornos diários da outra ação no 
período analisado. 
 
 
Modelos Probabilísticos: Distribuição Normal e suas propriedades 
Nos itens anteriores discutimos algumas medidas de tendência central e de dispersão de uma 
variável (ou grupo de observações), assim como medidas de associação entre duas variáveis. Em 
estatística, tais variáveis são denominadas variáveis aleatórias, e elas podem ser discretas ou 
contínuas. As variáveis aleatórias discretas são aquelas que podem ter apenas um número finito 
de valores ou cujos valores sejam distintos e separados uns dos outros. Por exemplo, o preço de 
uma ação é uma variável discreta, pois somente pode assumir determinados valores, em 
incrementos de R$ 0,01 (um centavo). Já as variáveis aleatórias contínuas podem assumir 
qualquer valor, e o número de observações possíveis não é contável. Por exemplo, o retorno 
diário de uma ação é uma variável contínua, pois pode assumir qualquer valor (2,347%, -1,094% e 
assim por diante). 
 
Em finanças, precisamos trabalhar com probabilidades para fazermos inferências sobre o 
comportamento de uma determinada variável aleatória. Uma distribuição de probabilidade é 
uma função matemática que especifica as probabilidades associadas a cada resultado (ou grupo 
de resultados) possível. Para dados financeiros, como a taxa de retorno de um ativo, a distribuição 
normal é talvez a mais conhecida e a mais utilizada por profissionais do mercado, e é nessa 
distribuição que vamos focar as nossas atenções agora. 
 
 
8 
 
Em termos gráficos, a distribuição normal é simétrica e tem aproximadamente o formato de um 
sino. De acordo com a sua formulação, o centro da distribuição é a média, e à esquerda e à direita 
da média estão os valores possíveis da variável aleatória que estamos considerando. Como nem 
todos esses valores ocorrem com a mesma probabilidade, o formato da distribuição (ou seja, a 
curva do sino) é o que nos indica o maior ou menor grau de probabilidade de que um determinado 
valor (ou intervalo de valores, mais precisamente) ocorra. E tal indicação leva em consideração o 
quão longe da média está aquele determinado valor em termos de número de desvios-padrão. A 
distribuição normal, então, alia a informação sobre a dispersão dos dados com a probabilidade de 
que ocorram. 
 
A distribuição normal pode ser representada da seguinte maneira: 
 
 
 
Como aplicar o conhecimento sobre a distribuição normal? Imagine que você esteja conversando 
com um cliente sobre uma determinada ação negociada em bolsa, cujo retorno semanal médio 
seja de 2,0%, com desvio-padrão dosretornos semanais de 2,5%. O cliente deseja então saber, 
com base nos dados históricos, a probabilidade de que o retorno dessa ação na próxima semana 
seja de igual ou superior a 7,0%. Utilizando a hipótese de que esses retornos semanais seguem 
uma distribuição normal, e considerando que o retorno de 7,0% está a exatamente dois desvios-
padrão de distância da média, você pode afirmar que a probabilidade de o retorno dessa ação ser 
de 7,0% ou mais é de aproximadamente 2,5% (na verdade, 2,28%), bastando para isso olhar o 
gráfico acima e lembrar que a distribuição normal é simétrica (isto é, um lado é o espelho do 
outro). 
 
As regras de bolso sobre a relação entre probabilidades e número de desvios-padrão na 
distribuição normal são, assim, muito úteis no dia-a-dia. O entendimento da distribuição normal é 
muito importante para qualquer discussão ou apresentação a clientes e colegas com base em 
dados estatísticos, ou seja, com uma base quantitativa sólida para se chegar a inferências 
conceitualmente corretas. 
 
 
Introdução à Inferência Estatística: Intervalo de Confiança 
De posse do conhecimento básico sobre a distribuição normal, podemos agora abordar o conceito 
de intervalo de confiança. Um intervalo de confiança é um intervalo de valores dentro do qual se 
espera encontrar um determinado parâmetro populacional com uma certa probabilidade ou grau 
de confiança. 
 
 
9 
 
Por exemplo, pode nos interessar criar um intervalo de confiança para a média populacional dos 
retornos semanais da ação mencionada no item anterior. Tal exercício nos permitirá afirmar, com 
alto grau de certeza, que a média populacional (que não conhecemos) está incluída nesse 
intervalo. Digamos que a média amostral de 2,0% tenha sido obtida com base em 20 observações 
(ou seja, esse é o tamanho da amostra) e que queiramos ter 95% de certeza de que a média 
populacional estará incluída no intervalo. Assim, o intervalo de confiança para a média 
populacional é dado por 
 
�̅� ± 1,96 ×
2,5%
√20
=> �̅� ± 1,1% 
 
Duas perguntas surgem da análise da fórmula acima. Primeiro, de onde vem o número 1,96? Esse 
é o número de desvios-padrão, conforme as propriedades da distribuição normal, que devemos 
nos distanciar a partir da média, para mais e para menos, a fim de chegarmos a um intervalo que 
contenha 95% da área da distribuição (ou seja, que contenha 95% da probabilidade de ocorrência 
ao redor da média). Para um intervalo menor, de 90%, deve-se utilizar 1,65 desvios, e para um 
intervalo maior, de 99%, deve-se utilizar 2,58 desvios. Segundo, por que dividimos o desvio-padrão 
amostral pela raiz quadrada do número de observações? Para assim obter o erro-padrão da média 
amostral, elemento necessário para o cálculo do intervalo de confiança (e conceitualmente 
distinto do desvio-padrão amostral). 
 
Assim, com base apenas na média e no desvio-padrão amostral, podemos inferir que, com 95% de 
probabilidade, a média populacional dos retornos semanais da ação pode ser encontrada no 
intervalo entre 0,9% (2,0% - 1,1%) e 3,1% (2,0% + 1,1%). 
 
 
3.2. Risco, Retorno e Mercado (LFA) 
 
Mercado Eficiente 
Frequentemente as pessoas se surpreendem com o fato de determinados eventos econômicos 
relevantes não se refletirem nos preços dos ativos logo após sua ocorrência. Por exemplo, um 
rebaixamento classificação de risco de um país (rating) pode ser seguido de uma reação amena 
dos índices da bolsa de valores, às vezes mesmo em sentido contrário ao que seria de se esperar. 
O inverso também pode ocorrer, situações relativamente pouco importantes podem ter um 
impacto desproporcional. O investidor muitas vezes julga tais ocorrências como prova da 
irracionalidade dos mercados, como veremos, se trata exatamente o inverso. Essas são situações 
que apontam para algum grau de eficiência no funcionamento dos mercados. 
 
Ao perguntar a um investidor profissional o motivo do rebaixamento do rating não ter levado a 
uma queda na bolsa, ouvimos a resposta “ah, esse evento já estava no preço”. A ideia de que o 
preço vigente já embute certas informações está na base da noção de mercados eficientes. 
 
Na verdade, podemos distinguir entre três formas de eficiência de acordo com a Hipótese do 
Mercado Eficiente (HME): 
 
1. Eficiência Fraca 
 
A eficiência fraca nos diz que qualquer conteúdo informacional que possamos encontrar nos 
preços passados já está embutido nos preços presentes. Dito de outra maneira, não é possível se 
 
10 
 
prever o preço futuro de um ativo observando seu comportamento ao longo de uma série 
histórica. A eficiência fraca se apoia na ideia de que os mercados descrevem um processo 
aleatório (random walk) ao longo do tempo. Os gráficos abaixo ilustram esta noção. 
 
O gráfico 1 descreve um processo aleatório, tipo random walk. Observe que o gráfico nos dá a 
impressão de que há um padrão facilmente perceptível. Há 3 picos (1, 2 e 3) com uma tendência 
crescente (o terceiro pico é mais alto que o segundo e este mais alto que o primeiro). Em torno 
dos dois primeiros picos há uma breve oscilação seguida de uma queda (o terceiro pico aparece 
incompleto). 
Há teorias que dizem que após três altas seguidas com estas características o mercado 
apresentará uma queda significativa. O que você acha? Colocaria seu dinheiro nessa aposta? 
 
Gráfico 1 
 
 
 
Na verdade, o padrão observado é ilusório. O gráfico foi gerado por um simples jogo de cara ou 
coroa, com 28 jogadas, em que se atribuiu um “retorno” de 3% para o resultado cara e de – 2% 
para o resultado coroa. 
 
No gráfico abaixo, repetimos o jogo, o que obviamente muda a sequência de caras e coroas e os 
resultados ficam totalmente diferentes. 
 
Há um padrão agora? 
 
Gráfico 2 
-5%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
1 
2 
 
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esse jogo é reproduzido aqui: 
 
 
 
Divirta-se procurando padrões de retorno nos gráficos, mas lembre-se que todos são gerados por 
um processo aleatório, equivalente a 28 rodadas de um jogo de cara e coroa. 
 
Note que a existência de um processo aleatório não implica na inexistência de uma tendência de 
longo prazo. No nosso jogo, ganhamos 3% quando o resultado para a moeda é cara e perdemos 
2%, quando é coroa. No longo prazo, o número de caras e coroas tende a ser o mesmo, mas como 
-8%
-6%
-4%
-2%
0%
2%
4%
6%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
 
12 
 
as caras valem mais em termos absolutos, isso levará a um resultado positivo – uma tendência ao 
ganho – em torno da qual se observam as oscilações aleatórias. 
 
2. Eficiência Semiforte 
 
A eficiência semiforte nos diz que qualquer informação de natureza pública já está embutida nos 
preços vigentes no mercado. As informações públicas incluem notícias, publicação de balanços ou 
quaisquer elementos que estejam disponíveis aos investidores em geral. De acordo com a noção 
de eficiência semiforte, os mercados reagem à novidade eventualmente trazida por uma nova 
informação no exato momento em que ela é divulgada (i.e. enquanto é uma novidade), mas nunca 
antes ou depois. Ainda de acordo com esta noção esta reação se dá na “medida certa”, ou seja, 
sem exageros para cima ou para baixo. 
 
É por isso que muitas vezes se observa que o rebaixamento da classificação de risco (rating) não 
tem efeito sobre os preços – as análises de rating são quase sempre realizadas com base em 
dados públicos e as metodologias e conclusões normalmente apresentadas, mesmo que não 
sejam divulgadas em detalhe, acabam sendo do conhecimento do mercado, que se antecipa ao 
anúncio da alteração da nota. 
 
 
 
3. Eficiência Forte 
 
A eficiência forte nos diz que qualquer informação de natureza pública ou não pública já está 
embutida nos preços vigentes no mercado. Informações não públicas são aquelas que um agente 
econômico divulgou por serem de natureza sigilosa para a empresa (pode ser a assinatura de um 
grande contrato ou a aquisiçãode uma concorrente). 
 
A eficiência forte é normalmente impedida de ser atingida pelas leis e regulamentações que 
penalizam o uso de informação privilegiada (inside information). Tais normas não permitem que o 
investidor que seja insider reaja à informação comprando ou vendendo o ativo – o que acabaria 
por incorporá-la aos preços. 
 
A noção de mercados eficientes tem um papel muito importante em finanças. Ela desafia a ideia 
de que se possa ganhar dinheiro fácil, seguindo modelos simplistas. Sistemas de previsão de 
mercado baseados em indicadores como a visualização de figuras identificadas nas análises 
gráficas (tipo “ombro-cabeça-ombro”) foram seriamente desafiados por esta noção. 
 
Na verdade, se acreditamos plenamente na validade da eficiência fraca, devemos também 
desacreditar da validade das chamadas análises técnicas que se utilizam de séries históricas de 
preços para fazer previsões de mercado e determinar “pontos de compra” e “pontos de venda”. 
 
Adicionalmente, se acreditamos na validade da eficiência semiforte, devemos também desconfiar 
da chamada análise fundamentalista. Os analistas fundamentalistas creem que, a partir de 
informações públicas podem produzir conclusões diferentes e melhores que o consenso embutido 
nos preços. Assim estabelecem preços meta (target prices) acima ou abaixo do mercado e 
recomendam a compra ou venda do ativo enquanto o mercado não reflete tal preço. A eficiência 
semiforte, por outro lado, supõe que as informações são incorporadas aos preços de forma 
 
13 
 
imediata e na medida certa, assim que são tornadas públicas. Dessa forma o preço do ativo estaria 
sempre “justo”. 
 
A descrença nas análises técnica e fundamentalista nos levaria a alternativas de investimento 
passivas, como comprar um fundo de índice. Nesses produtos financeiros não há qualquer tipo de 
análise ou processo de gestão de carteiras. Por outro lado, a Hipótese de Eficiência dos Mercados 
tem recebido inúmeras críticas. Proponentes da escola de finanças comportamentais, por 
exemplo, têm apontado para anomalias do mercado como a reação exagerada a uma notícia ou 
efeitos que se repetem no tempo (por exemplo, o chamado efeito janeiro, segundo o qual os 
preços das ações em janeiro aumentam mais que em outros meses). Analistas fundamentalistas 
têm demonstrado que indicadores como as razões baseadas em informações públicas como a 
razão preço-lucro podem ter efeito relevante. Por fim, a hipótese de processo aleatório (random 
walk) tem sido desafiada por novos testes estatísticos que demonstram que pode haver algum 
grau de previsibilidade, ainda que baixo, nos preços. 
 
O debate sobre a eficiência dos mercados (e sobre seu grau) tem sido campo de uma batalha sem 
fim em finanças. Para quem deseja investir seus recursos ou oferecer recomendações ao público 
investidor, vale analisar alguns títulos indicados na bibliografia. 
 
 
 
 
Risco e Retorno Esperados 
Ao investir nos mercados, nosso objetivo é sempre o de obter um retorno. Este é um retorno 
esperado (uma expectativa) que obviamente pode ou não se concretizar. O retorno esperado 
advém da soma de dois componentes, os rendimentos (dividendos e juros recebidos) e a 
apreciação (ou algumas vezes queda) nos preços dos ativos – ou ganhos de capital, devendo ser 
definido para um determinado período. 
 
Os dois componentes e o retorno total podem ser assim representados: 
 
 Rendimento Ganho de capital Total 
Retorno absoluto 
𝑑1 𝑝1 − 𝑝0 
 
𝑅 = 𝑑1+𝑝1 − 𝑝0 
Retorno percentual 
𝑑1
𝑝0
 
𝑝1 − 𝑝0
𝑝0
 𝑟 =
𝑑1
𝑝0
− 
𝑝1 − 𝑝0
𝑝0
 
 
Onde: 
𝑑1é o dividendo (juros no caso de títulos de renda fixa) pagos ao fim do período de investimento. 
𝑝0é o preço do ativo no início do período de investimento. 
𝑝1 é o preço do ativo no fim do período de investimento. 
 
Hoje, boa parte dos investidores aplica em fundos de investimento. Os fundos tendem a reinvestir 
os dividendos e juros ao invés de distribuí-los. Isso faz com que a parcela da valorização referente 
ao rendimento já se reflita na apreciação da cota do fundo, simplificando nossa conta: 
 
Retorno de um fundo de investimento que reinveste juros e dividendos: 
Retorno absoluto 
𝑅 = 𝑐1 − 𝑐0 
 
 
14 
 
Retorno percentual 
𝑟 =
𝑐1−𝑐0
𝑐0
, ou, considere a expressão equivalente: 
𝑐1
𝑐0
− 1 
 
 
Onde: 
𝑐0 é o valor da cota do fundo no início do período de investimento 
𝑐1 é o valor da cota do fundo ao fim do período de investimento. 
 
Num exemplo para ações, temos que a ação do Grupo Pão de Açúcar (PCAR4) abriu o ano de 2014 
(dados de 2 de janeiro) valendo R$ 90,92 e fechou o mesmo ano (dados de 2 de janeiro de 2015) 
com o valor de R$ 93,85. Durante o ano a ação pagou dividendos de R$ 1,01. Qual o retorno 
percentual para o papel? 
 
(1) Rendimento (r): 
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜𝑠
𝑃𝑜
= 
1,01
90,92
= 2,10% 
 
(2) Ganho de capital: 
𝑝1
𝑝0
− 1 = 
90,92
93,85
− 1 = 3,22% 
 
(3) Total: 5,32% 
 
Note-se que estamos considerando, por simplificação, que todo o dividendo foi pago ao fim do 
período. Na verdade, os acionistas receberam dividendos ao longo do ano e poderiam ter 
reinvestido esta soma na própria PCAR4, o que daria um resultado ligeiramente superior. 
 
Vamos considerar agora um fundo de investimentos hipotético. No fechamento de abril de 
determinado ano, a cota tinha o valor de 1,9352 e no fechamento de março do mesmo ano, o 
valor publicado da cota foi de 1,9400. Podemos calcular o retorno do fundo para o mês da 
seguinte forma: 
 
𝑟 =
1,9400
1,9352
 - 1 = 0,25%. 
 
Enquanto o retorno esperado é o objetivo do investidor, este deve admitir a existência de uma 
incerteza em torno deste retorno. A tal incerteza, que pode ser para mais ou para menos, damos o 
nome de risco. Assim, se esperávamos um retorno de 10% ao ano para uma determinada 
aplicação, é razoável supor que, na prática, tal retorno estará num intervalo entre 8% a.a. e 12% 
a.a. 
 
O risco, entendido da forma acima, é normalmente medido pelo desvio padrão dos retornos (a 
medida estudada no item 3.1.2). No gráfico a seguir, representamos os retornos mensais do índice 
IBOVESPA em 2010: 
 
 
15 
 
 
 
As barras azuis representam os retornos mensais. A linha vermelha representa a média dos 
retornos. Em 2010 o IBOVESPA rendeu em média 0,76% ao mês. 
 
Será que estas informações são suficientes para se construir um intervalo de confiança para a 
média mensal do IBOVESPA? As linhas vede e roxa representam um intervalo com 95% de 
confiança, considerando a amostra de 12 meses. Pode-se concluir que o IBOVESPA não foi um 
índice muito “bem comportado” do ponto de vista estatístico em 2010. Note que a maior parte 
dos retornos mensais ficou fora do intervalo de confiança estabelecido. 
 
 
Seleção de Carteiras e Modelo de Markowitz 
 
Retorno Esperado e o Risco de uma carteira com até três ativos 
Quando investimos em uma carteira de ativos, é de se esperar certa redução de risco pelo efeito 
da diversificação. Este efeito pode ser observado, de maneira intuitiva, no gráfico abaixo: 
 
 
 
O gráfico representa a variação mensal nos preços das ações de Estácio Participações S.A. (ESTC3) 
e Companhia Brasileira de Distribuição – Pão de Açúcar (PCAR4) no ano de 2010. Note que, os 
preços das duas ações nunca variam na mesma magnitude. Em alguns meses, chegam a fazer 
-8,00%
-6,00%
-4,00%
-2,00%
0,00%
2,00%
4,00%
6,00%
8,00%
10,00%
12,00%
jan/10 fev/10 mar/10 abr/10 mai/10 jun/10 jul/10 ago/10 set/10 out/10 nov/10 dez/10
-30,00%
-20,00%
-10,00%
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
PCA
R
 
16 
 
Data
Retorno 
PCAR
Retorno 
ESTC
Retorno 50% 
PCAR 50% 
ESTC
jan/10 1,68% 0,00% 0,84%
fev/10 5,82% -4,03% 0,90%
mar/10 -4,04% -2,18% -3,11%
abr/10 -6,64% -3,09% -4,86%
mai/10 -3,35% 3,72% 0,18%
jun/10 10,80% 4,27% 7,53%
jul/10 -3,51% -10,47% -6,99%
ago/10 6,58% 3,29% 4,93%
set/10 1,79% 30,97% 16,38%
out/10 -4,20% 6,89% 1,35%
nov/10 2,36% -0,51% 0,93%
dez/10 1,84% -19,39% -8,77%
Média 0,76% 0,79%0,78%
Desvio Padrão 5,25% 11,90% 6,78%
movimentos em direções opostas. É o que ocorreu em fevereiro, maio, outubro, novembro e 
dezembro do ano em questão. Isso nos permite afirmar que o risco de se ter Estácio na carteira é 
parcialmente compensado pelo risco de Pão de Açúcar. Trata-se do efeito diversificação. 
 
Vamos supor que você invista em uma carteira composta de 50% de ações do Pão de Açúcar e 
50% de ações da Estácio. Qual seriam seu retorno1 e risco neste caso? Como eles se comparariam 
com o obtido por um investimento de 100% em cada um dos ativos originais? 
 
A tabela ao lado representa esta situação. 
Nela vemos, mês a mês em 2010, os 
retornos de PCAR e ESTC e de uma carteira 
formada por 50% de cada um destes ativos. 
Na parte de baixo, calculamos a média dos 
retornos mensais no ano de 2010 e o 
desvio padrão para o mesmo período, 
utilizando as funções aplicáveis do Excel. 
 
Ao compararmos a média dos retornos dos 
ativos individualmente com a média da 
carteira, podemos concluir que esta última 
está situada exatamente entre as duas 
primeiras. 
Percebemos então que o retorno de uma 
carteira é dado pela média dos retornos 
esperados dos ativos que a compõe, 
ponderada por suas participações 
relativas. Ou seja: 
 
𝑟𝑐 = 𝑟𝑎𝑤𝑎 + 𝑟𝑏𝑤𝑏 
 
onde: 
𝑟𝑎 é o retorno do ativo a 
𝑟𝑏 é o retorno do ativo b 
𝑤𝑎é a participação do ativo a 
𝑤𝑏é a participação do ativo b 
 
Fazendo as contas: 
 
𝑟𝑐 = 0,76% x 50% + 0,79% x 50% = 0,78% 
 
E o risco? A princípio, poderíamos imaginar que o risco da carteira também é dado pela média 
ponderada dos riscos. Porém, ao calcularmos este número, chegaríamos a: 
 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 𝑃𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑅𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠 = 5,25% x 50% + 11,90% x 50% = 8,58% 
 
 
1
 Por simplicidade iremos considerar aqui apenas a variação dos preços (ganhos ou perdas de capital) no cálculo dos 
retornos. 
 
17 
 
O número que obtivemos, porém, foi 6,78% (1,8% a menos). Esta diferença se deve ao efeito 
diversificação. Devido a ele podemos afirmar que, em geral, o risco de uma carteira é menor que 
a média dos riscos dos ativos que a compõe, ponderada por suas participações relativas. 
 
A fórmula para o cálculo do risco de uma carteira de dois ativos deve considerar não apenas os 
desvios padrão e as participações. A covariância (ou variação conjunta) também deve entrar na 
conta. Na aplicação da fórmula, seguimos dois passos. Primeiro calculamos a variância da carteira 
e depois tiramos a raiz quadrada da variância e chegamos ao desvio padrão (risco) da carteira. 
 
Cálculo da variância da carteira de dois ativos: 
 
𝜎𝑝
2 = 𝜎𝑎
2𝑤𝑎
2 + 𝜎𝑏
2𝑤𝑏
2 + 2𝑤𝑎𝑤𝑏𝐶𝑜𝑣𝑎,𝑏 
 
onde: 
𝜎𝑝
2é a variância da carteira (ou portfólio) 
𝜎𝑎
2 é a variancia dos retornos de a (quadrado do desvio padrão) 
𝜎𝑏
2 é a variancia dos retornos b (quadrado do desvio padrão) 
𝐶𝑜𝑣𝑎,𝑏 é a covariância entre os retornos dos ativos a e b 
𝑤𝑎é a participação do ativo a 
𝑤𝑏é a participação do ativo b 
 
A primeira parte da fórmula lembra o cálculo da média ponderada, só que com as variáveis 
elevadas ao quadrado, pois estamos falando de variância. A segunda parte dá conta das 
covariâncias (há duas a entre a e b e entre b e a, mas como as duas são iguais, simplesmente 
multiplica-se a primeira por 2). 
 
Tendo a variância da carteira, chegamos ao risco (ou desvio padrão) retirando a sua raiz quadrada. 
 
𝜎𝑝 = √𝜎𝑐2 
Vamos aplicar a fórmula aos dois ativos que vimos estudando, considerando uma participação de 
50% para cada ativo. A covariância entre PCAR e ESTC foi de 0,073% no período. 
 
Calculando a variância da carteira: 
 
𝜎𝑝
2 = 5,25%2 × 50%2 + 11,9%2 × 50%2 + 2 × 50% × 50% × 0,073% = 0,46% 
 
Extraindo a raiz quadrada deste número, temos o desvio padrão: 
 
𝜎𝑝 = √0,46% = 6,78% 
 
Note que a covariância entre dois ativos pode ser calculada a partir da correlação entre eles. 
Nesse caso temos: 
 
𝐶𝑜𝑣𝑎,𝑏 = 𝜌𝑎.𝑏𝜎𝑎𝜎𝑏 
Onde 𝜌𝑎.𝑏 é a correlação entre os retornos de a e b 
 
E a fórmula do cálculo da variância de uma carteira pode ser reescrita da seguinte forma: 
 
 
18 
 
𝜎𝑝
2 = 𝜎𝑎
2𝑤𝑎
2 + 𝜎𝑏
2𝑤𝑏
2 + 2𝑤𝑎𝑤𝑏𝜌𝑎.𝑏𝜎𝑎𝜎𝑏 
 
As fórmulas são equivalentes, a diferença é que na última versão utilizados a correlação para 
capturar o efeito da diversificação. 
 
Quando temos uma carteira de três ativos (a, b e c), devemos esperar que o efeito diversificação 
seja ainda maior. Nesse caso, deveremos considerar três variâncias (as de a, b e c) e três 
covariâncias (entre a e b, entre b e c e entre a e c). A fórmula do cálculo da variância da carteira 
passa a ser: 
 
 𝜎𝑝
2 = 𝜎𝑎
2𝑤𝑎 + 𝜎𝑏
2𝑤𝑏 + 𝜎𝑏
2𝑤𝑏 + 2𝑤𝑎𝑤𝑏𝐶𝑜𝑣𝑎,𝑏 + 2𝑤𝑎𝑤𝑐𝐶𝑜𝑣𝑎,𝑐 + 2𝑤𝑏𝑤𝑐𝐶𝑜𝑣𝑏,𝑐 
 
 
Risco e Retorno: Diversificação do Risco de uma Carteira e o Modelo de Markowitz 
Risco, na forma como definimos, como o desvio em torno do retorno esperado, é algo que pode 
impedir a realização de objetivos financeiros, tendo assim uma conotação negativa. É de se supor, 
portanto, que buscamos sempre o maior retorno e menor risco possível. O gráfico a seguir 
representa algumas situações com as quais podemos nos deparar. 
 
 
 
 
Suponha que os pontos acima representem diversas opções de investimento com diferentes perfis 
de retorno e risco. No ponto A temos um retorno esperado de 10% e um risco de 10%. Claramente 
o ponto B representa uma situação melhor, pois temos um risco de 5% para o mesmo nível de 
retorno (10%). Nesse caso, dizemos que a opção de investimento A é dominada pela opção B. E o 
que diríamos de C? Claramente é melhor que A e B, pois nos dá um retorno de 15% para um risco 
de apenas 5%. Podemos concluir que quanto mais para cima (maior retorno) e para a esquerda 
(menor risco) (estamos no diagrama), melhor. 
 
E como ficamos entre as opções C e D? C tem bem menos risco, mas D apresenta um retorno 
superior. Para decidir entre os dois, precisamos saber as preferências entre risco e retorno. Alguns 
podem desejar correr muito risco para pouco retorno adicional, outros podem privilegiar 
investimentos de menor risco, mesmo que tenham que abrir mão de maiores retornos. Dizemos 
que entre C e D não há dominância e não podemos, a priori, afirmar qual é a melhor alternativa. 
 
No próximo gráfico temos as opções de investimento Pão de Açúcar (PCAR) e Estácio de Sá (ESTC), 
temos também diversas carteiras formadas por diferentes proporções de investimento em ambos 
os ativos. 
 
19 
 
 
 
Para cada uma das carteiras calculamos o retorno e o risco utilizando as fórmulas apresentadas 
anteriormente. 
 
Algumas carteiras representam situações interessantes e estão destacadas em vermelho. As 
carteiras 100% PCAR e 100% ESTC representam investimentos puros nestes ativos. A carteira 50% 
PCAR e 50% ESTC foi a que utilizamos no nosso exemplo anterior. A carteira 85% PCAR e 15% ESTC 
foi a que apresentou o menor risco, chamamos esta carteira de carteira de variância mínima. 
 
A “barriga” que a curva forma à medida que formamos carteiras combinando diferentes 
proporções dos ativos é o que evidencia que há um ganho de diversificação. 
 
 
Ativos com Correlação nula 
Vale explorar um pouco mais a importância do grau de variação conjunta de dois ativos na 
redução do risco. Há duas medidas da variação conjunta, covariância e correlação. As duas são 
relacionadas da seguinte forma: 
 
𝐶𝑜𝑣𝑎,𝑏 = 𝜌𝑎.𝑏𝜎𝑎𝜎𝑏 (a covariância é dada pela correlação multiplicada pelos desvios padrão) ou 
 
𝜌𝑎.𝑏 = 
𝐶𝑜𝑣𝑎,𝑏
𝜎𝑎𝜎𝑏 
 (a correlação é dada pela covariância dividida pelos desvios padrão). 
 
O gráfico abaixo apresenta novamente as diversas carteiras que podem ser formadas com PCAR e 
ESTC. A correlação entre estes dois ativos, medida para 2010, foi de 0,12. 
 
Imagine agora que tal correlação fosse diferente. O que ocorreria com o gráfico? Você mesmo 
pode fazer o teste, utilizando várias possibilidades (correlaçãode 1 ; -1 ; 0,7 etc). 
 
Caso queira voltar ao gráfico original é só colocar a correlação de 0,12, que é a verdadeira 
correlação entre os ativos. 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
Embora a correlação nula não seja tão eficaz quanto a correlação perfeitamente negativa, ela 
certamente melhora a relação entre risco e retorno do portifólio. Assim, temos que quanto mais 
negativa for a correlação entre dois ativos maior será o efeito da diversificação. 
 
 
Risco Diversificável e Risco Sistemático 
Quanto maior o número de ativos, maior o efeito diversificação. O gráfico abaixo exemplifica o 
efeito da diversificação como função do número de ativos utilizados. Para elaborá-lo supusemos 
que todos os ativos têm o mesmo desvio padrão (30%) e a mesma correlação (40%). Vale ressaltar 
que o efeito é muito forte para dois ativos e vai se tornando menor quanto maior é o número de 
ativos considerado: 
 
 
A adição de mais ativos faz o desvio padrão da carteira convergir para um número pouco abaixo 
dos 20%. Considerando as variáveis utilizadas (desvio padrão de 30% e correlação de 40% para 
todos os ativos) este número pode ser calculado tomando-se a raiz da correlação multiplicada pelo 
desvio padrão: 
√40 × 30% = 18,97% 
 
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
0 10 20 30 40 50 60
D
e
s
v
io
 P
a
d
rã
o
 d
o
 P
o
rt
fó
li
o
 
Número de ativos 
 
21 
 
O risco que podemos eliminar via diversificação, representado pela diferença entre 30% e 18,97% 
é chamado de risco diversificável (ou risco próprio ou risco não sistemático). O risco que não 
conseguimos diversificar é chamado de risco de mercado (ou sistemático). O risco de mercado 
decorre do fato de que mesmo que a presença de um número infinito de ativos reduza o risco, há 
um piso para tal, representado pelo risco do mercado como um todo. 
 
Caso tivéssemos alguns ativos com correlação negativa, como no tópico anterior, talvez 
pudéssemos reduzir o risco a zero. Em geral, no entanto, os ativos possuem correlação positiva, 
pois respondem da mesma forma ao mesmo conjunto de informações sistêmicas (como por 
exemplo um maior ou menor crescimento econômico, maior ou menor taxa de juros básica, maior 
ou menor inflação). 
 
 
Combinações das Possíveis Carteiras: A Fronteira Eficiente 
Já descrevemos como as possíveis combinações de PCAR e ESTC levam à redução do risco pelo 
efeito diversificação. Vimos também que o efeito diversificação é tão maior quanto maior o 
número de ativos utilizados. 
 
No gráfico que segue, acrescentamos uma carteira hipotética x às combinações PCAR e ESTC. Será 
natural que, na presença de x, a curva que liga as alternativas 100% PCAR a 100% ESTC se 
expanda, incorporando x. Esta expansão reduzirá ainda mais o nível de risco, dado um nível de 
retorno. Por outro lado, as antigas carteiras formadas por PCAR e ESTC continuam sendo possíveis, 
assim como outras que utilizam maiores ou menores quantidades dos ativos que fazem parte da 
carteira x. Assim, na verdade, não só poderemos compor carteiras ao longo da nova curva que 
contém x, mas também por toda a área marcada de azul. Temos portanto uma superfície 
contendo as diversas carteiras e não apenas uma curva. 
 
 
 
Não faz sentido, no entanto, escolhermos carteiras que não estejam na nova curva contendo x, 
pois nesta curva encontramos as carteiras com maiores retornos e menores riscos. Você mesmo 
pode testar isso. 
 
Escolha um ponto qualquer dentro da área marcada de azul, esta seria a sua carteira hipotética, 
formada por algum percentual de x, PCAR e ESTC. A partir desse ponto, você pode se mover 
horizontalmente para a esquerda (sem se mover verticalmente). Nesse caso, irá achar uma série 
de carteiras com menor risco e mesmo nível de retorno. Agora, volte a sua carteira hipotética e 
mova-se para cima, sem se mover horizontalmente. Nesse caso, você irá achar uma série de 
carteiras com maior nível de retorno e mesmo risco. Nos dois casos as carteiras que você achou, 
 
22 
 
terão alguma vantagem sobre a sua (menor risco ou maior retorno). Esta vantagem irá perdurar 
até que você chegue à linha que contém a carteira x. A partir daí você não achará mais carteiras 
que possa utilizar para melhorar a relação retorno/risco. 
 
Veja o gráfico que exemplifica esta situação: 
 
 
 
Podemos afirmar que a curva que contém x é uma fronteira ótima, pois abaixo e à direita dessa 
linha, localizam-se carteiras que não obtém a melhor relação risco-retorno. Por outro lado, acima 
e à esquerda dessa linha, não há novas carteiras que possamos escolher. 
 
Apenas uma questão na definição da fronteira eficiente nos passou despercebido. A parte de 
baixo da “barriga” formada pela curva que contém x não nos interessa. De fato, qualquer carteira 
localizada nesse segmento, também pode ser substituída por outra com menor risco e/ou maior 
retorno. Assim a fronteira eficiente é a parcela da curva que parte da carteira de variância mínima. 
No gráfico abaixo marcamos em laranja tal segmento: 
 
 
 
Chegamos a uma fronteira eficiente formada por PCAR, ESTC e pelos ativos da carteira x. Na vida 
real, há milhares de ativos que contém algum risco e potencialmente nos dão um retorno. A 
inclusão de todos estes ativos na análise nos levaria a um exercício complexo de programação 
quadrática, muito além dos objetivos do presente curso. O princípio, porém continua o mesmo – a 
inclusão de novos ativos de risco no conjunto disponível possibilita a construção de carteiras com 
menor risco e/ou maior retorno, devido ao efeito diversificação. 
 
Taxa Livre de Risco e Prêmio pelo Risco de Mercado 
A Moderna Teoria de Portfolios supõe a existência de uma taxa livre de risco (riskfree rate). Na 
realidade não se pode dizer que exista algum ativo que não possua risco algum, porém podemos 
Sua 
Carteiras de 
Carteiras de 
 
23 
 
supor que, para um determinado período de investimento (digamos um mês), um título prefixado 
em que apliquemos no início do período e que vence no fim do período nos dará um ‘ganho 
nominal certo’ se seu risco de crédito for desprezível. Nesse sentido, podemos afirmar que se trata 
de um ativo livre de riscos. 
 
Assim, se compramos por R$ 990,099 uma LFT (Título do Tesouro Nacional negociado a uma taxa 
prós-fixada) que vence em um mês e se pretendemos carregar este título até o vencimento, 
podemos dizer que teremos um ganho nominal certo de 1% no mês (no vencimento a LFT vale R$ 
1.000), se desprezamos a chance de um default da dívida pública no período. 
 
É esse o sentido original do conceito de riskfree, que era atribuído aos títulos da dívida norte 
americana de curto prazo (T-bills). Adaptado à realidade brasileira – muito menos estável – o 
conceito de riskfree foi associado ao retorno de alguns ativos como LFT e LTN. 
 
 
Escolha da Carteira ótima. 
A presença de um ativo sem risco altera a fronteira eficiente? Sim. No nosso gráfico (agora 
considerando apenas a parcela laranja que correponde à fronteira eficiente) podemos acrescentar 
um ativo sem risco (chamado rf). No nosso exemplo, o ativo sem risco tem retorno de 0,76% ao 
mês e desvio padrão (risco) de zero. 
 
 
Ao alocarmos parte de nossos investimentos em ativos de risco (por exemplo a carteira x) e parte 
em rf teremos a seguinte situação: 
 
Em termos de rentabilidade, como sempre, teremos uma média dos retornos de rf e x ponderados 
pelas respectivas participações. Em termos de risco, porém, a coisa muda de figura. Agora com o 
risco de rf é zero, somente x irá contribuir com o risco. Nas expressões que utilizamos para cálculo 
de risco, eliminaremos toda a parcela que se refira a rf . Eliminaremos também a covariância entre 
x e rf. Como rf não ‘varia’ não há porque se falar em covariância. 
 
𝜎𝑝
2 = 𝜎𝑥
2𝑤𝑥
2 + 𝜎𝑟𝑓
2 𝑤𝑟𝑓
2 + 2𝑤𝑎𝑤𝑏𝐶𝑜𝑣𝑥,𝑟𝑓 
 
Dessa forma a expressão se resume a: 
 
𝜎𝑝
2 = 𝜎𝑥
2𝑤𝑥
2 
 
Retirando-se a raiz quadrada (para cálculo do desvio-padrão), temos: 
 
𝜎𝑝 = 𝜎𝑥𝑤𝑥 
r
 
24 
 
 
Assim, quandoalocamos parte dos nossos recursos em uma carteira de risco (x) e parte em uma 
carteira sem risco (rf), só o risco da carteira x irá contar. O risco desse meu portfólio será dado 
simplesmente pela multiplicação da participação de x (wx) no total. 
 
E no gráfico, como ficamos? 
 
 
 
Os pontos em vermelho indicam as alocações entre rf e x. Note que se ligarmos os pontos teremos 
uma reta. Note também, que os pontos dessa reta se encontrariam acima da antiga curva que 
representa a fronteira eficiente. Assim concluímos que, na presença de um ativo sem risco, a 
fronteira eficiente é redefinida para uma reta que parte do ativo rf e vai até a carteira x. 
 
A carteira x por sua vez é chamada de carteira ótima, carteira tangente ou carteira do mercado. 
Isso porque ela, e só ela, tangencia a reta que parte do ativo rf. Veja a seguir a situação de duas 
retas (a que tangencia a carteira x e a que passa pela carteira y). 
 
 
 
 
A reta que tangencia x nos dará maiores níveis de retorno para cada nível de risco. Isso é o que 
evidencia o fato dela ser ótima. Tal reta é a nova fronteira eficiente, que neste caso, ganha o nome 
de Linha do Mercado de Capitais (LMC). 
 
 
25 
 
Por ser uma reta, a LMC pode ser facilmente definida. Seu intercepto é o retorno do ativo sem 
risco rf, sua inclinação é dada por 
𝑟𝑚−𝑟𝑓
𝜎𝑚
 onde rm é o retorno da carteira tangente (ou carteira x) e 
σm é o risco da carteira tangente. 
 
Utilizando estes componentes, podemos montar a LMC da seguinte forma: 
 
𝑟𝑝 = 𝑟𝑓 +
𝑟𝑚 − 𝑟𝑓
𝜎𝑚
 𝜎𝑝 
 
A equação nos diz que o retorno do portfolio (rp) é uma função do risco do portfolio (σp). Note-se 
que essa equação só funciona no contexto em que temos uma carteira tangente (no nosso caso, a 
carteira x). 
 
Um resultado interessante da análise nos é dado pelo Teorema da Separação. Ele nos diz que a 
carteira tangente será a única carteira de ativos de risco que será adquirida por todos os 
investidores. Isso se deve ao fato de ser a única que expande a fronteira eficiente formando a 
linha do mercado de capitais. 
 
Por outro lado, cada indivíduo irá alocar uma parcela maior ou menor de seus recursos nessa 
carteira tangente, de acordo com seu grau de aversão a riscos. Se muito avesso, poderá alocar até 
100% de seus investimentos no ativo sem risco. Se pouco avesso poderá alocar até 100% de seus 
investimentos na carteira tangente. Assim, o grau de aversão a risco não influi na escolha dos 
ativos de risco (determinado pela carteira tangente), mas apenas na alocação entre o ativo sem 
risco e a carteira tangente. 
Como todos os agentes investem na mesma carteira tangente, ou pelo menos deveriam investir já 
que ela é a melhor carteira que pode se utilizada na presença de um ativo sem risco, ela se tornará 
a própria carteira de mercado (a carteira que todos tendem a possuir) e pode ser aproximada por 
um índice amplo e representativo do mercado2. 
 
 
3.4. Modelos de Precificação de Ativos 
 
Capital Asset Pricing Model (CAPM) 
Um dos modelos de precificação de ativos mais conhecidos do mercado é o Capital Asset Pricing 
Model (CAPM). Com base em algumas estatísticas que podem ser calculadas sobre os ativos 
disponíveis para investimento no mercado, o CAPM permite determinar a taxa de retorno 
apropriada para um determinado ativo, que seja comensurada com o seu risco de mercado. 
Apesar de ser apenas um modelo e, como tal, ser uma tentativa de representação da realidade, o 
CAPM é bastante simples de se empregar e útil em análises preliminares de investimentos. 
 
O CAPM é dado pela seguinte equação: 
 
𝐸(𝑅𝑖) = 𝑅𝑓 + 𝛽𝑖[𝐸(𝑅𝑀) − 𝑅𝑓] 
 
2
 Podemos chegar a essa conclusão pela via da eficiência dos mercados. Se os mercados são eficientes e toda 
informação já está no preço, não há sentido em se buscar uma gestão ativa que, baseada em análise técnica ou 
fundamentalista, busque superar o mercado. Assim todos se tornarão investidores passivos, seguindo a mesma 
carteira – a carteira representada por um índice amplo e representativo do mercado. A noção de eficiência e a teoria 
de Markowitz são totalmente compatíveis e, na verdade, se complementam. 
 
26 
 
 
onde: 
E(Ri) = retorno esperado no ativo i 
Rf = taxa de retorno do ativo livre de risco 
E(RM) = retorno esperado na carteira de mercado 
βi = Cov(Ri,RM)/Var(RM) 
 
Como modelos em geral, o CAPM possui algumas hipóteses subjacentes que precisam ser 
observadas para a sua aplicação: 
 
1. Para se determinar a carteira ótima, investidores precisam apenas conhecer os retornos 
esperados, as variâncias e as covariâncias dos retornos dos ativos de risco. 
2. As opiniões dos investidores sobre esses retornos, variâncias e correlações entre os ativos de 
risco são idênticas. 
3. É possível aos investidores comprar e vender ativos em qualquer quantidade sem que haja 
efeito sobre o preço, e todos os ativos podem ser negociados. 
4. Os investidores podem tomar emprestado ou emprestar recursos à taxa livre de risco, sem 
limitação 
5. Os investidores podem vender ativos a descoberto. 
6. Não há impostos ou custos de transação 
 
Por exemplo, imagine que tenhamos os seguintes dados sobre uma determinada ação e 
sobre o mercado: 
 
 Rf = 6,0% 
 E(RM) = 9,5% 
 βi = 1,2 
 
Aplicando a fórmula do CAPM, o retorno esperado da ação i é: 
 
E(Ri) = 6,0% + 1,2 x (9,5% - 6,0%) = 10,2% 
 
No tópico anterior, falamos sobre a construção de uma fronteira eficiente de ativos. No contexto 
do CAPM, tal fronteira eficiente é representada pela Capital Market Line (CML), vista no gráfico a 
seguir 
 
 
 
A CML mostra, assim, a relação mais eficiente entre risco (eixo x) e retorno (eixo y), dado um 
conjunto de ativos, a carteira de mercado e a taxa de retorno do ativo livre de risco. No trecho na 
CML que vai entre o ativo livre de risco (intercepto no eixo x) e a carteira de mercado (M) estão 
 
27 
 
todas as combinações possíveis em que um investidor aplica parte de seus recursos em ativos de 
risco e o restante no ativo sem risco (ou seja, cujo desvio-padrão é zero). No trecho seguinte da 
CML, a partir do ponto M, estão as possibilidades de investimento alavancado na carteira de 
mercado, em que o investidor toma recursos emprestados à taxa livre de risco e investe em M 
mais do que o valor original de seus recursos. 
 
Todos os pontos situados sobre a CML têm retornos superiores àqueles que podem ser obtidos na 
fronteira eficiente – justamente pela introdução do ativo livre de risco e pela possibilidade de se 
comprar ou vender esse ativos em combinação com a carteira de mercado. A exceção, claro, é a 
própria carteira de mercado, que se situa na fronteira eficiente e serve como ponto de tangência 
para a CML. Qualquer combinação de risco e retorno abaixo e à direita da CML representa um 
investimento ineficiente, pois a partir dessa região é possível obter um retorno maior para o 
mesmo nível de risco, ou um risco menor para o mesmo nível de retorno. Já as combinações de 
risco e retorno acima e à esquerda da CML não são possíveis de ser obtidas, pois na realidade não 
existem, dadas as características de risco e retorno dos ativos de risco e dado o patamar da taxa 
de retorno do ativo livre de risco. 
 
Um elemento importante para o CAPM é o beta (β) da ação. O que significa essa medida? O beta é 
uma medida de risco que reflete a exposição do ativo ao movimento geral do mercado (ou seja, a 
fatores que não têm a ver com alguma particularidade do ativo em si). Assim, o beta de uma ação 
indica a maior ou menor volatilidade de um ativo em relação ao mercado como um todo. Ele é 
obtido pela inclinação da reta de regressão entre os retornos do ativo (em excesso ao retorno do 
ativo livre de risco), no eixo y, e os retornos do mercado (também em excesso ao retorno do ativo 
livre de risco), no eixo x. O gráfico abaixo ilustra essa afirmação: 
 
 
 
A reta que vemos no gráfico acima é conhecida como Security Characteristic Line(SCL), e é 
justamente a sua inclinação o que denominamos beta do ativo. Quando o beta é superior a 1, o 
ativo apresenta maior risco do que aquele observado na média do mercado (o beta do mercado 
em relação a si mesmo é exatamente igual a 1) e, como compensação, deve apresentar um 
retorno (em excesso ao retorno do ativo livre de risco) superior ao que pode ser obtido com a 
carteira de mercado. Por outro lado, se o beta for menor do que 1, o ativo oferece um risco menor 
do que o risco médio do mercado, e inversamente deve oferecer um retorno em excesso menor 
do que aquele obtido com a carteira de mercado. É importante notar que o beta de um ativo 
representa o risco que não pode ser reduzido por meio de diversificação, tendo em vista que em 
 
28 
 
seu cômputo já se leva em consideração a relação entre esse ativo e uma carteira já diversificada 
de mercado. 
 
Em relação à fórmula do CAPM em si, podemos representá-la de forma gráfica, mostrando o 
retorno de um ativo i (eixo y) em relação ao beta desse mesmo ativo (eixo x), como no gráfico a 
seguir. À relação linear entre o retorno e o beta do ativo damos o nome de Security Market Line 
(SML). 
 
 
 
Como mostra a representação gráfica do CAPM, este modelo serve também para auxiliar na 
identificação de ativos subavaliados e sobreavaliados. Se se acredita que o CAPM está correto, 
todos os ativos disponíveis no mercado devem apresentar combinações de retorno esperado e 
beta que os coloquem exatamente em cima da SML. Assim, qualquer ativo cuja combinação entre 
retorno e beta esteja abaixo e à direita da SML está sobreavaliado, pois oferece um retorno menor 
(isto é, custa mais caro) do que outros ativos que possuem o mesmo beta. Similarmente, qualquer 
ativo cuja combinação entre retorno e beta se localize acima e à esquerda da SML está 
subavaliado, pois oferece um retorno maior (ou seja, está sendo negociado a um preço menor) do 
que outros ativos de igual beta. 
 
Exemplo: imagine que a área de análise de ações da sua instituição financeira tenha determinado 
preços-alvo para os próximos doze meses para um grupo de seis ações (listadas de A a F abaixo). 
Com base no preço atual e na expectativa de pagamentos de dividendos, você lista os retornos 
esperados pelos analistas. Como hipóteses, você considera uma taxa de retorno livre de risco de 
6,0% e um retorno esperado de mercado de 7,5%. Juntando essas informações com o seu 
conhecimento sobre o CAPM, você prepara a tabela abaixo: 
 
Ação Retorno 
Esperado 
(Analistas) 
Beta Retorno 
Esperado (CAPM) 
Avaliação da 
Ação 
A 8,30% 1,05 7,58% Subavaliada 
B 6,80% 1,10 7,65% Sobreavaliada 
C 7,00% 0,85 7,28% Sobreavaliada 
D 8,80% 0,70 7,05% Subavaliada 
E 7,50% 1,35 8,03% Sobreavaliada 
F 7,90% 0,95 7,43% Subavaliada 
 
Desta maneira, você consegue facilmente identificar (até mesmo com o uso de uma planilha 
eletrônica) as ações que estão sobreavaliadas ou subavaliadas (claro, assumindo que seus 
 
29 
 
parâmetros e que a avaliação dos analistas estejam corretos). Assim, você pode ter uma discussão 
mais instruída com os seus clientes sobre quais ações eles eventualmente devem comprar ou 
vender. 
 
Falamos bastante aqui sobre a carteira de mercado, que de acordo com o CAPM deve incluir todos 
os ativos com risco existentes e disponíveis. Na prática, isso não é viável. Além disso, cabe 
observar que o CAPM tem sido historicamente utilizado para a avaliação de ações (e não de outros 
ativos como títulos de renda fixa, imóveis etc). Diante desses dois fatos, os participantes de 
mercado costumam utilizar um índice de bolsa de valores como sendo a carteira de mercado. De 
qualquer maneira, o CAPM, mesmo com suas falhas e limitações, nos ajuda a estruturar a 
avaliação de um ativo e a analisar os diferentes elementos identificáveis que compõem o retorno 
esperado desse ativo. 
 
 
Arbitrage Pricing Theory (APT): modelo com um ou mais fatores 
Na avaliação de ativos, uma alternativa ao CAPM apresentado no item anterior é o Arbitrage 
Pricing Theory (APT), que descreve o retorno de um ativo ou carteira como uma função linear do 
risco desse ativo ou carteira em relação a um ou mais fatores. Apenas três hipóteses são 
necessárias para a aplicação do APT: 
 
1. Um modelo de fatores explica os retornos de ativos e carteiras. 
2. O número de ativos disponíveis é grande, de forma que os investidores podem criar carteiras 
bastante diversificadas, que eliminem os riscos específicos de cada ativo. 
3. Não há oportunidades de arbitragem entre carteiras bastante diversificadas. 
 
A equação que representa o APT é a seguinte: 
 
𝐸(𝑅𝑃) = 𝑅𝑓 + 𝑎1𝛽𝑃,1 + ⋯ + 𝑎𝐾𝛽𝑃,𝐾 
 
onde: 
E(RP) = retorno esperado para a carteira P 
Rf = taxa de retorno do ativo livre de risco 
ai = prêmio de risco para o fator i, com i=1,...,K 
βP,i = sensibilidade da carteira ao fator i 
K = número de fatores 
 
Que fatores são esses? No CAPM, temos apenas um fator: o prêmio de risco do mercado (ou seja, 
a diferença entre o retorno esperado de mercado e o retorno do ativo livre de risco). Se 
utilizarmos esse fator na equação acima, o CAPM se torna consistente com o APT. Mas outros 
fatores também são possíveis: variação no PIB, inflação e variação cambial são exemplos possíveis 
de serem utilizados para avaliar ativos. 
 
O modelo APT é relevante na identificação de oportunidades de arbitragem na comparação entre 
carteiras. Se a hipótese 3 (Não há oportunidades de arbitragem entre carteiras bastante 
diversificadas) não se verifica, é justamente daí que um investidor pode tirar vantagem de 
eventuais discrepâncias no mercado. 
 
Por exemplo, ao analisar carteiras diversificadas, você pode estabelecer um modelo APT com um 
único fator e determinar que o prêmio de risco por esse fator é igual a 4,0% (pense em algo similar 
 
30 
 
ao prêmio de risco de mercado do CAPM). Se a sensibilidade de uma determinada carteira a esse 
fator é igual a 0,9 (pense em algo similar ao beta do CAPM) e a taxa de retorno do ativo livre de 
risco é igual a 6,0%, o retorno esperado da carteira segundo o APT deve ser de 6,0% + 0,9 x 4,0% = 
9,6%. Se o retorno esperado pelo investidor for algo diferente de 9,6%, uma oportunidade de 
arbitragem se apresentaria, para a compra ou venda dessa carteira. 
 
Aqui, mais importante do que dominar todos os detalhes do APT é saber sobre sua existência e 
sobre como ele pode ser aplicado. Uma potencial dificuldade é estimar os prêmios de risco para 
diferentes fatores, o que torna o APT um pouco mais difícil de ser aplicado (do que o CAPM, por 
exemplo). Ainda assim, o APT é um modelo bastante utilizado, tendo em vista sua flexibilidade 
para lidar com fatores distintos e o menor número de hipóteses para a sua aplicação. 
 
 
3.5. Alocação de Ativos 
 
Asset Allocation: Processo e Critério de Diversificação de Produtos de Investimento 
Diariamente recebemos uma enorme gama de informações sobre os mercados financeiros, seus 
produtos e estratégias. Isso torna a tomada de decisões de investimentos bastante complexa. 
 
Devemos procurar reduzir tal complexidade, concentrando-nos naquelas decisões que forem mais 
relevantes. De acordo com Robert Ibbotson e Paul Kaplan (Does asset allocation policy explain 40, 
90 or 100 percent of performance?3) a decisão de alocação corresponde a mais de 90% dos 
retornos gerados por uma carteira. Assim faz sentido que a decisão de alocação ocupe a maior 
parte da atenção em um processo de planejamento financeiro. 
 
Por alocação de ativos devemos entender o processo de escolha e diversificação dos recursos 
aplicados em diferentes classes de ativos. Isso não se confunde com a diversificação que possa 
existir em produtos financeiros. Um exemplo nos ajudará a explicar a diferença. 
 
Suponha que seu cliente aplique em ações diretamente, através de um home broker, opções de 
ações e fundos de ações. Estes são três produtos financeiros (fundos, ações e opções) diferentes, 
mas a diversificação é garantida? De forma alguma. Na verdade você estáatrelado ao mesmo 
fator de risco (bolsa), a mesma classe de ativos (renda variável que será explicado no próximo 
capítulo) e pode até mesmo, sem saber, estar aplicando nas mesmas empresas emissoras. 
 
 
Definição de Classes de Ativos e Correlação 
Classes de ativos são um conjunto de instrumentos que possuem características semelhantes no 
que se refere a risco e retorno. Dois instrumentos dentro de uma mesma classe de ativos tendem 
a ter, entre si, uma correlação maior que a observada entre tais instrumentos e aqueles 
pertencentes a outras classes. 
 
Um exemplo simples de divisão dos ativos em classes é a tradicional separação entre renda fixa e 
renda variável. Uma ação de Petrobras, por exemplo, estará provavelmente mais fortemente 
correlacionada com o IBOVESPA do que com uma debênture da própria Petrobras. Link 
 
3
 Ibbotson, Roger G. and Kaplan, Paul D., Does Asset Allocation Policy Explain 40, 90, 100 Percent of Performance?. 
bFinancial Analysts Journal, Jan/Feb 2000, Vol. 56, No. 1. Available at SSRN: http://ssrn.com/abstract=279096 
http://ssrn.com/abstract=279096
 
31 
 
explicativo: Debênture:São valores mobiliários representativos de dívida de médio e longo prazos 
que asseguram a seus detentores (debenturistas) direito de crédito contra a companhia emissora. 
 
 
A divisão por classes de ativos é totalmente diferente da divisão por produtos financeiros. Assim 
um fundo de ações deverá sempre ser classificado na classe renda variável e nunca em uma classe 
‘fundos de investimento’. 
 
Derivativos devem ser classificados de acordo com seu principal fator de risco. Um derivativo de 
ações muitas vezes deve ser classificado na classe ações, mas certas operações estruturadas com 
derivativos de ações (travas, boxes, etc) podem ter características de renda fixa. 
 
Veja a seguir um exemplo mais detalhado de classes de ativos: 
 
1. Renda Fixa Soberana 
a. Pós-fixado juros (LFTs) 
b. Pós-fixado Inflação (NTN-B) 
2. Prefixado de Curto Prazo 
a. Prefixado de Longo prazo 
3. Renda Fixa Privada 
a. Curto Prazo 
b. Longo Prazo 
4. Renda Variável 
a. Ações Small Caps 
b. Ações Mid Caps 
c. Ações Large Caps 
d. Ações – produtos indexados (fundos de índice, fundos inexados) 
5. Fundos multimercado (retorno não correlacionado com os mercados – alfa) 
6. Ativos Indexados a Câmbio 
7. Imóveis 
8. Private Equity 
 
Os tipos ANBIMA dos fundos de investimento também podem ser utilizados como base de uma 
definição de classes de ativos, basta que você aloque em cada tipo não apenas fundos mas outros 
investimentos com características semelhantes. A definição dos tipos pode ser encontrada em 
http://portal.anbima.com.br/fundos-de-investimento/nova-classificacao-de-
fundos/Documents/NovaClassificacaodeFundos_PaperTecnico.pdf 
 
 
Critérios de Alocação de Ativos, Horizonte de Tempo, Perfil de Investidor e Rebalanceamento 
das Carteiras 
A noção de carteira ótima de Markowitz pode agora ser aplicada diretamente à alocação de ativos. 
Só para lembrar do conceito, temos no gráfico abaixo a Linha de Mercado de Capitais, que liga o 
ativo sem risco (riskfree) à carteira ótima. 
 
Cada ponto da linha representa uma carteira com uma participação do ativo sem risco e de um 
percentual da carteira ótima. O trabalho de alocação de carteiras se resume à escolha de um 
ponto ao longo dessa linha que melhor satisfaça o objetivo de retorno do investidor, dado o risco 
que ele incorre. 
http://portal.anbima.com.br/fundos-de-investimento/nova-classificacao-de-fundos/Documents/NovaClassificacaodeFundos_PaperTecnico.pdf
http://portal.anbima.com.br/fundos-de-investimento/nova-classificacao-de-fundos/Documents/NovaClassificacaodeFundos_PaperTecnico.pdf
 
32 
 
 
 
Vamos agora colocar números em nossa análise. Tomamos os retornos mensais de uma série de 
classes de ativos para a economia brasileira no período de janeiro de 2003 a dezembro de 2012. 
Trata-se de um período de 120 meses para os quais recolhemos dados de: 
 Risk Free – Tomamos o retorno mensal acumulado da taxa SELIC 
 Renda Fixa Prefixada – utilizamos o retorno mensal do IRFM (índice publicado pela ANBIMA como 
representativo do mercado de títulos públicos federais prefixados. 
 Renda Fixa Pós-fixada pela Inflação – utilizamos o IMA-B, também publicado pela ANBIMA, como 
representativo do mercado de títulos públicos federais pós-fixados e indexados à taxa de inflação. 
 Renda Variável – tomamos os retornos mensais do IBOVESPA como representativos do mercado 
de renda variável. 
 Fundos Multimercado (IFMM) – O IFMM é um índice que busca representar os fundos 
multimercado que visam obter alfa (i.e. retorno não correlacionado com o mercado). 
 Ouro – utilizamos as cotações do ouro-ativo financeiro. 
 
A partir dos dados calculamos, para cada classe de ativos no período, a média, a variância e a 
covariâncias. A partir desses dados foi selecionada a carteira ótima, conforme abaixo: 
 
Carteira de Markowitz Composição 
Retorno 
(a.a.) 
Risco 
(a.a.) 
Sharpe 
Risk Free (SELIC) 0,00% 13,72% 0,00% - 
Renda Fixa Prefixada (IRFM) 89,96% 15,87% 2,63% 0,82 
Renda Fixa Pós Inflação (IMA-B) 3,23% 17,14% 5,40% 0,63 
Renda Variável (IBOVESPA) 0,55% 21,61% 23,25% 0,34 
Fundos Multimercado (IFFM) 8,46% 15,17% 2,53% 0,57 
Ouro -2,19% 12,56% 19,79% -0,06 
Carteira Ótima 100,00% 15,95% 2,67% 0,84 
 
Vamos explorar um pouco o quadro. Notem que a participação do ativo sem risco na carteira 
sugerida é zero. Estamos portanto na carteira tangente, ou seja o ponto “c” do gráfico. Tal carteira 
calculada para o mercado brasileiro no período tem algumas características interessantes. 
Primeiramente, uma baixa concentração em renda variável, apenas 0,55%. Isso parece fazer 
sentido pelo fato de o retorno do IBOVESPA ter sido de cerca de seis pontos percentuais superior 
ao retorno da renda fixa prefixada medida pelo IRFM. Enquanto que o diferencial de risco entre as 
duas classes de ativos foi de quase 21%, no mesmo período. 
 
c 
 
33 
 
Podemos notar também que o Ouro apresenta uma participação negativa na carteira. O que isso 
significa? Basicamente que o ouro teve, considerando os dados utilizados, uma relação retorno x 
risco tão desfavorável (seu retorno está abaixo do riskfree e seu risco foi o segundo maior dentre 
os ativos) que ao invés de adquirir ouro para a sua carteira, o investidor deveria vendê-lo a 
descoberto. 
 
O risco da carteira ótima parece também ser reduzido, superando apenas um pouco o risco da 
classe renda fixa prefixada, mas ainda assim com uma volatilidade considerável. E se o investidor 
desejar menos risco? Bem, para obter um risco menor, o investidor pode simplesmente comprar 
um pouco do ativo sem risco. Como vimos, ao fazer isso o investidor reduzirá seu risco 
proporcionalmente ao montante comprado e o mesmo ocorrerá com o retorno. E se quiser 
aumentar o risco? Aí poderá se utilizar de alavancagem. No contexto da carteira descrita, 
alavancagem seria comprar uma quantidade negativa (i.e. vender a descoberto) o ativo sem risco. 
Isso pode ser, na prática, algo difícil de ser feito por um investidor individual. Assim, podemos 
entender que esta hipótese é apenas teórica. 
 
Abaixo você poderá clicar na tabela e modificar o percentual de participação do ativo sem risco. 
Observe como mudam o risco e o retorno da carteira. Observe também que o índice Sharpe não 
se modifica – mesmo com maiores ou menores quantidades do ativo sem risco a carteira 
otimizada será sempre superior às demais alternativas. 
 
Carteira de Markowitz Composição Retorno (a.a.) Risco (a.a.) sharpe
Risk Free (SELIC) 60,00% 13,72% 0,00% -
Renda Fixa Prefixado (IRFM) 35,98% 15,87% 2,63% 0,82 
Renda Fixa Inflação (IMA-B) 1,29% 17,14% 5,40% 0,63 
IBOVESPA 0,22% 21,61% 23,25% 0,34 
Fundos Multimercado (IFFM) 3,38% 15,17% 2,53% 0,57 
Ouro -0,88% 12,56% 19,79% 0,06-Carteira 100,00% 14,61% 1,07% 0,84 
 
Apesar de ser uma ferramenta útil, o uso dos conceitos de Markowitz na definição de uma 
alocação para um investidor individual possui algumas limitações. A mais evidente é que se utiliza 
de dados do passado para seus cálculos. No entanto, como investidores, estamos sempre 
interessados no futuro. 
 
Evidentemente, situações como uma relação risco-retorno ruim para a bolsa ou mesmo o retorno 
negativo da classe de ativos, como no nosso exemplo, o ouro, podem não perdurar. Da mesma 
forma, um retorno do ativo sem risco de 13,72% a.a. é claramente uma anomalia que aconteceu 
no passado. Assim, o que deveria entrar na análise não são os dados passados, mas expectativas 
quanto ao desempenho futuro de cada classe. 
 
No nosso exercício também ficou claro que o investidor poderá optar por adicionar maiores ou 
menores quantidades do ativo sem risco de acordo com seu perfil de retorno-risco. Mas como 
aferir este perfil? 
 
A definição de perfis e carteiras é um trabalho extremamente complexo e que requer o uso de 
praticamente todos os conceitos de finanças adquiridos neste tópico e de outros que estão além 
do escopo desse curso. Requer ainda uma certa sensibilidade, a “arte” que você não irá encontrar 
nos livros texto. 
 
34 
 
 
Normalmente as instituições financeiras oferecem tanto questionários de perfil quanto modelos 
de carteiras. Isso torna seu trabalho e a decisão do investidor mais fácil. Entretanto, os 
conhecimentos aqui discutidos são úteis para que você entenda a origem desses modelos e possa 
questionar sobre algumas das premissas. 
 
De qualquer forma, definida uma alocação, o investidor terá de revê-la de tempos em tempos. Há 
dois motivos para isso ocorrer. O primeiro, mais básico, é o próprio efeito dos retornos dos ativos 
sobre uma alocação original. Aquela classe de ativos que obtiver maiores retornos tenderá a 
crescer mais, aumentando sua participação na carteira. Para evitar isso devemos fazer, de tempos 
em tempos, um rebalanceamento, para voltarmos às alocações definidas originalmente. 
 
O rebalanceamento implica em vender parte da classe de ativos que teve um desempenho 
positivo e comprar ativos daquela que teve um desempenho negativo num determinado período. 
Disciplina aqui é fundamental. Você deve fixar uma periodicidade para rebalancear a carteira 
(digamos trimestral, semestral ou anual, também de acordo com a recomendação de sua 
insituição) ou, alternativamente, gatilhos do rebalanceamento (por exemplo, quando uma das 
classes de ativos ultrapassa em 3% sua alocação original). 
 
O segundo motivo de revisão é a alteração das condições iniciais – por exemplo, uma revisão da 
tolerância a risco por parte do investidor ou das expectativas para o mercado de capitais. Nesse 
caso termos uma reavaliação da carteira com a repetição de todo o processo. 
 
 
Alocação de Ativos; Alocação Tática em função da evolução do tempo do investimento; 
Alocação Estratégica 
Devemos por fim diferenciar a alocação tática da alocação estratégica. A alocação estratégica deve 
se basear em fatores de longo prazo – o perfil do investidor (que não deve ser tão mutável) e seus 
objetivos de longo prazo – aposentadoria, aquisição de imóveis, etc. Deve ainda ter em conta as 
expectativas de longo prazo no mercado de capitais. Qual deve ser a taxa do ativo sem risco? Qual 
deve ser o retorno da renda variável no longo prazo? Que prêmio de risco se espera que a renda 
variável pague sobre o ativo sem risco? 
 
Já a alocação tática se refere aos desvios de curto prazo que admitimos fazer em função de 
expectativas de curto prazo para o mercado de capitais. Assim, se a opinião de sua instituição 
sobre a bolsa de valores para o próximo ano é positiva e se acreditamos junto com o cliente nessa 
análise, podemos aumentar a alocação em bolsa. 
 
Entretanto a alocação tática deve se dar dentro de limites estritos. O ideal é que sejam fixadas 
faixas de variação em torno da alocação estratégica inicial, que deve ser a base da carteira do 
investidor. 
 
O pior erro que investidores novatos cometem é o de concentrar sua carteira em determinados 
investimentos de alto risco, mas com desempenho recente positivo, acreditando que assim terão 
um retorno superior ao mercado. 
 
 
3.6. Gestão de Riscos em Carteiras 
 
 
35 
 
Prêmio pelo Risco 
Como sabemos de nossos estudos em finanças, não há como falarmos em retornos sem 
considerarmos também os riscos associados a cada retorno realizado ou potencial. Podemos falar 
em retornos absolutos (esperados ou realizados) ou em retornos relativos, que excedem um 
determinado benchmark de mercado ou a taxa de retorno do ativo livre de risco, por exemplo. Em 
qualquer dos casos, é preciso se comparar esses retornos com a quantidade de risco a que um 
investidor se submete para obtê-los, para então podermos fazer comparações entre diferentes 
ativos. 
 
Há alguns indicadores tradicionalmente utilizados no mercado, que desempenham a função de 
fornecer um número que reúna tanto a informação sobre retorno como o dado de risco associado 
a um determinado investimento. Aqui, vamos destacar dois desses indicadores: o Índice de Sharpe 
e o Índice de Treynor. 
 
O Índice de Sharpe mede quantas unidades de retorno em excesso são obtidas para cada unidade 
de risco. Quanto maior o indicador, melhor o desempenho da carteira de ativos. Especificamente, 
o Índice de Sharpe, em sua versão original, é dado por: 
 
𝑆𝑃 =
𝑅𝑃 − 𝑅𝑓
𝜎𝑃
 
 
onde: 
RP = retorno da carteira P 
Rf = taxa de retorno do ativo livre de risco 
σP = desvio-padrão dos retornos da carteira P 
 
Comumente, o Índice de Sharpe é utilizado na avaliação de desempenho entre fundos de 
investimento que seguem um mesmo índice de referência. Por exemplo, pela tabela a seguir 
(assumindo uma taxa de retorno do ativo livre de risco de 6,0%), o fundo de investimento W 
apresenta maior índice de Sharpe. Apesar de mostrar o menor retorno na comparação com os 
demais fundos, o fundo W apresenta relativamente o maior retorno por unidade de risco. 
 
Fundo de 
Investimento 
Retorno Desvio-padrão dos 
retornos 
Índice de Sharpe 
W 15,0% 10,2% 0,8824 
X 18,5% 14,8% 0,8446 
Y 19,8% 16,7% 0,8263 
Z 23,2% 21,1% 0,8152 
 
Ao utilizar o desvio-padrão como medida de risco, o Índice de Sharpe leva em consideração tanto 
o risco de mercado (ou sistemático) como o risco específico (ou idiossincrático) presentes em uma 
carteira de ativos. 
O Índice de Treynor, por sua vez, considera apenas o risco sistemático de uma carteira. O índice 
de Treynor é dado por: 
 
𝑇𝑃 =
𝑅𝑃 − 𝑅𝑓
𝛽𝑃
 
 
onde: 
 
36 
 
RP = retorno da carteira P 
Rf = taxa de retorno do ativo livre de risco 
βP = beta da carteira P 
 
Seguindo o exemplo anterior, calculamos os valores dos betas dos fundos do nosso exemplo e o 
Índice de Treynor. A tabela abaixo indica que o fundo de investimento X oferece o maior retorno 
para cada unidade de risco sistemático e seria a opção de investimento, caso esse critério fosse 
adotado. 
 
 
Fundo de 
Investimento 
Retorno Beta Índice de Treynor 
W 15,0% 0,85 0,1059 
X 18,5% 0,80 0,1563 
Y 19,8% 1,05 0,1314 
Z 23,2% 1,20 0,1433 
 
 
Índice de Modigliani (M2) 
Uma medida comum do desempenho ajustado ao risco de uma carteira de investimento é o Índice 
de Modigliani, também conhecido como Modigliani-Modigliani ou M2. Esse índice mede o retorno 
esperado de uma carteira caso essa carteira estivesse exposta à mesma quantidade de risco que o 
índice de mercado. Para isso, o índice ajusta o retorno da carteira que excede o retorno do ativo 
livre de risco por um fator igual a razão entre o risco de mercado e o risco da carteira. A medida de 
risco utilizada aqui é o desvio-padrão. 
 
O M2 é, assim, dado por 
 
𝑀𝑃
2 = 𝑅𝑓 + (𝑅𝑃 − 𝑅𝑓) ×
𝜎𝑀
𝜎𝑃
 
 
onde: 
Rf = taxa de retorno do ativo livre de risco 
RP = retorno da carteira de ativos 
σM = desvio-padrão da carteira de mercado 
σP = desvio-padrão da carteira de