2ª Lista de Exercicios

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CENTRO DE CIÊNCIA EXATAS E DA NATUREZA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA - Professor: Elmiro
LISTA DE EXERCÍCIOS - PROBABLIDADE
1)	Descreva o espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos:
a)	Lançamento de um dado e de uma moeda;
b)	Nascimento de três filhos (considerar a distribuição dos sexos);
c)	Um teste de múltipla escolha consta de três questões com três alternativas cada. Apenas uma das alternativas é certa em cada questão. Uma pessoa sorteia uma alternativa em cada questão e marca. Considere: C(questão certa) e E(questão errada). A configuração das respostas do teste é observada;
d) Lançamento de um dado até que a face 3 apareça pela primeira vez.
2)	Determine os seguintes eventos relacionados aos espaços amostrais da questão anterior.
a) Sair um número par e cara; 
b) No máximo dois filhos do sexo masculino; 
c) Acertar no mínimo duas questões; 
d) O dado ser lançado duas vezes. 
3)	Uma urna contem 12 bolas numeradas de 1 a 12. Considere os eventos:
A: retirada de bola com número par;
B: retirada de bola com número múltiplo de 3;
C: retirada de bola com número ímpar;
D: retirada de bola com número múltiplo de 5.
Determine os seguintes eventos: A; B; C; D; ;; ; ; (AD); (A B); (A C); D); (); (AB C),
4)	Amostras de plástico policarbonato são analisadas com relação à resistência a arranhões e choque. Os resultados de 100 discos analizados estão resumidos na tabela abaixo:
	Resistencia a:
	choque
	arranhão
	alta
	baixa
	alta
	80
	9
	baixa
	6
	5
Faça A representar o evento em que um disco tenha alta resistência a choque e faça B representar o evento em que um disco tem alta resistência a arranhões. 
Determine o número de discos nos eventos: (A ∩ B); e (A ∪ B).
5)	Dois dados são lançados. Sejam os eventos:
A: o primeiro número é maior que o segundo;
B: o primeiro número é igual ao dobro do segundo;
C: a soma dos dois números é maior ou igual a 8.
Calcule as seguintes probabilidades:
a)	P(A) e P(); b)	P(A ∪ C); c)	P(B ∩ ).
6)	Uma indústria automobilística possui 15.000 empregados, classificados de acordo com a tabela abaixo:
	Idade
	Sexo
	
	Masculino
	Feminino
	Menos de 25 anos
	3.000
	500
	25 à 45 anos
	4.000
	2.500
	Mais de 45 anos
	1.000
	4.000
Se um empregado é selecionado ao acaso, calcule a probabilidade dele:
a)	Ter no mínimo 25 anos;
b)	Ser do sexo masculino;
c)	Ter mais de 45 anos ou ser do sexo feminino;
d)	Ter entre 25 à 45 anos e ser do sexo masculino.
7)	Uma caixa contém fichas de duas cores sendo 4 vermelhas e 3 pretas. Uma outra caixa contém 2 vermelhas e 4 pretas. Uma ficha é selecionada aleatoriamente da primeira caixa e colocada na segunda. Em seguida uma ficha é retirada da segunda caixa. Qual a probabilidade dessa ficha ser vermelha? 
8)	Um sistema de alarme que indica quando a temperatura de uma máquina está elevada a ponto de provocar um incêndio utiliza três sensores que agem independentemente um do outro. A probabilidade de cada sensor não funcionar é de 0,1 quando a temperatura ultrapassa 80º C. O alarme é ativado se pelo menos um dos sensores entrar em funcionamento. Qual a probabilidade do alarme disparar quando a temperatura ultrapassar 80º C? 
9)	Uma indústria fabrica três modelos de turbinas. Os percentuais de fabricação para os três modelos são respectivamente 40%, 30% e 30%. Os percentuais de vendas para cada modelo são: 90%, 80% e 95%, respectivamente. Uma turbina é escolhida ao acaso na produção.
a)	Qual a probabilidade dele ser vendida?
b)	Se ela for vendida, qual a probabilidade de que ela seja do modelo 1?
c)	Se ela não for vendida, qual é a probabilidade de que ela seja do modelo 2?
10) No curso de Engenharia Mecânica 5% dos homens e 2% das mulheres estão acima dos pesos ideais. Um estudante é escolhido aleatoriamente. Sabe-se também que 60% dos estudantes são homens. Sorteando-se aleatoriamente um estudante, calcule a probabilidade de que ele:
a)	esteja acima do peso;
b)	seja mulher, sabendo que o mesmo está acima do peso.
11)	Sejam A e B dois evento tais que P(A)=0,4 e P(A ∪ B)=0,7. Qual o valor de P(B), quando A e B forem;
a)	Mutuamente exclusivos?
b)	Independentes?
12)	A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é de 3/4 e de seu marido é de 3/5. Calcule a probabilidade de que:
a)	apenas o homem estar vivo; b)	apenas a mulher estar viva;
c)	pelo menos um estar vivo; d)	ambos estarem vivos.
13)	Um lote A contém 10 peças, sendo 4 defeituosas e 6 perfeitas; outro lote B possui 15 peças, sendo 5 defeituosas e 10 perfeitas. Uma peça é escolhida, aleatoriamente, de cada lote. Calcule a probabilidade de:
a)	pelo menos uma das peças escolhidas ser perfeita;
b)	ambas as peças escolhidas serem defeituosas;
c)	uma peça escolhida ser perfeita e a outra defeituosa.
14)	Suponha que temos dois lotes nas seguintes condições: O primeiro com de 200 peças, onde 10 tem defeito de fabricação, e o segundo com 300 peças, onde 12 tem defeito de fabricação. Se uma peça for retirada de cada lote, qual é a probabilidade de que:
a)	nenhuma delas tenha defeito de fabricação?
b)	Apenas a peça do primeiro lote tenha defeito de fabricação?
15)	Em uma universidade, 40% dos estudantes praticam vôlei e 30% praticam natação. Dentre os que praticam vôlei, 20% praticam também natação. Que porcentagem de estudantes não pratica nenhum dos dois esportes?
16)	Em um lote de 12 lâmpadas das quais 4 são defeituosas, três são escolhidas aleatoriamente. Qual a probabilidade de que:
a)	nenhuma seja defeituosa;
b)	exatamente uma seja defeituosa;
c)	pelo menos uma seja defeituosa;
d)	exatamente duas defeituosas extraídas.
17)	Em uma festa beneficente para AACD serão sorteados um DVD e uma máquina fotográfica digital. São vendidos 400 bilhetes para o primeiro prêmio e 200 para o segundo. Uma mulher compra 4 bilhetes para concorrer a cada prêmio. Encontre a probabilidade de que:
a)	Ela ganhe exatamente um prêmio;
b)	Ela ganhe alguma coisa.
18)	Considere a seguinte tabela de probabilidades conjuntas:
	Eventos
	A1
	A2
	Total
	B1
	
	
	
	B2
	
	
	0,35
	B3
	
	
	0,25
	Total
	0,40
	
	1,00
a	Completar a tabela ao lado sabendo que: P(A1/B1) = 0,30 e P(A1/B2) = 0,70.
b)	Verificar se os eventos A1 e B1 são independentes.
19)	Uma rede local de computadores é composta por um servidor e cinco clientes. Dos pedidos de um tipo de processamento cerca de 10% vem do cliente A; 15% do B; 15% do C; 40% do D e 20% do E. Caso o pedido não seja feito de forma adequada, o processamento apresentará erro. Usualmente ocorrem os seguintes percentuais de pedidos inadequados: 1% do cliente A; 2% do cliente B; 0,5% do cliente C; 2% do cliente D e 8% do cliente E.
a)	Qual a probabilidade do sistema apresentar erro?
b)	Sabendo-se que o processo apresentou erro calcule a probabilidade de que o processo tenha sido pedido pelo cliente E.
20)	Numa cidade 20% dos carros são da marca K, 30% dos carros são táxis e 40% dos táxis são da marca K. Se um carro é escolhido, ao acaso, determinar a probabilidade de:
a)	ser táxi e ser da marca K;
b)	ser táxi e não ser da marca K;
c)	não ser táxi, sabendo-se que é da marca K.
d)	não ser táxi e não ser da marca K;
e)	não ser táxi e ser da marca K;
21)	Seja X uma variável aleatória discreta assumindo valores no conjunto {1, 2, 3} e com seguinte função distribuição de probabilidade: 
	X
	1
	2
	3
	P(X=x)
	1/3
	1/6
	1/2
a) Obtenha a função de distribuição acumulada de X; 
b) Calcule a média e a variância de X; 
22)	Um lojista mantém extensos registros das vendas diárias de certo aparelho. Com os dados coletados construiu a seguinte função distribuição de probabilidade da variávelaleatória X=número de aparelhos vendidos por semana:
	X
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	P(X=x)
	0,05
	0,05
	0,25
	0,30
	0,20
	0,15
Calcule o número esperado de aparelhos vendidos por semana.
23)	O tempo T em minutos necessário para um operário processar certa peça, é uma V.A. com a seguinte distribuição de probabilidade:
	T
	2
	3
	4
	5
	6
	7
P(T=t)
	0,1
	0,1
	0,3
	0,2
	0,2
	0,1
a)	Calcule o tempo médio de processamento e a variância.
b)	Para cada peça processada o operário ganha um fixo de R$ 2,00, mas se ele processa a peça em menos de 6 minutos, ganha a mais 0,50 por cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em minutos recebe a quantia adicional de R$ 1,00. Encontre a distribuição de probabilidade, a esperança e a variância da quantia ganha por peça.
24)	Estatísticas de tráfego revelam que 30% dos veículos interceptados numa auto-estrada não passam no teste de segurança. De 4 veículos interceptados aleatoriamente, calcule a probabilidade de que não passe no teste de segurança:
a)	nenhum deles; 	b)	todos eles;
c)	exatamente um;	d)	pelo menos um;
e)	exatamente 50% deles. 	f)	pelo menos um veículo.
g)	se forem interceptados aleatoriamente 40 veículos, qual o número esperado dos que passam no teste de segurança?
25)	Um levantamento efetuado na carteira de uma agência bancária indicou 20% dos títulos eram pagos com atraso. Se em determinado dia foram pagos 20 títulos da carteira, determine a probabilidade de que sejam pagos com atraso:
a)	no máximo dois títulos;
b)	no mínimo um título;
c)	Qual o número esperado de títulos pagos com atraso?
26)	Uma empresa de pesquisas telefônicas está entrevistando candidatos a emprego de entrevistador. A empresa sabe que um entrevistador médio obtém resposta de 80% das pessoas que entrevista. Para testar os candidatos ao emprego, a firma manda-os telefonar a 5 famílias diferentes e procurar obter resposta a um pequeno questionário. 
Qual a probabilidade de resultado positivo em:
a)	20% das entrevistas?
b)	4 entrevistas?
c)	no máximo 4 entrevistas?
d)	todas as entrevistas?
e)	Qual o número esperado de resultados positivos?
27)	Um levantamento efetuado em um pregão de bolsa de valores mostrou que naquele dia 40% das empresas tiveram aumento do valor de suas ações, enquanto que as ações das empresas restantes ficaram estáveis ou perderam valor. Um fundo negocia com ações de 10 destas empresas. Calcule a probabilidade de que neste dia:
a)	todas as ações do fundo tenham se valorizado;
b)	todas as ações do fundo tenham se desvalorizados ou ficaram estáveis?
28)	Um inspetor de qualidade deseja saber a probabilidade de obter pelo menos uma lâmpada defeituosa em uma amostra aleatória de 5 lâmpadas, obtida de um grande lote, sabendo que a porcentagem de lâmpadas defeituosas no lote é 20%. Obtenha o número esperado de lâmpadas defeituosas no lote e a probabilidade de E(X).
29)	Suponha que 2 de cada 20 ratos de laboratório rejam positivamente a uma nova droga experimental. Se, de uma grande ninhada, for feita uma escolha aleatória de 5 ratos, qual:
a)	a probabilidade de pelo menos 1 reagir positivamente à nova droga?
b)	a probabilidade de no máximo 4 reagirem positivamente à nova droga?
c)	Se, da ninhada considerada, for feita uma amostra aleatória de 10 ratos, determine o número esperado de ratos com reação positiva à nova droga.
30)	Calcule as seguintes probabilidades:
(a)	P(0 ≤ Z ≤ 1)	(c)	P(Z ≥ 1,93)
(b)	P(-2,55 ≤ Z ≤ 1,2)	(d)	P(Z ≥ 1,93)
31)	Em uma pronta entrega, durante uma etapa do ciclo de produção, é medido o comprimento do corpo X de ternos de tamanho M que são confeccionados pela empresa. Sabendo que X segue uma distribuição normal com média igual a 90,0cm e desvio padrão de 0,9cm, calcule as seguintes probabilidades de interesse do fabricante:
a)	P(89 < X < 91) b	P(X < 88) c)	P(X > 92)
32)	Estudos anteriores mostram que a temperatura de um pasteurizador segue uma distribuição normal com média 75,4oC e desvio padrão 2,2oC. Sabe-se que se a temperatura ficar inferior a 70oC, o leite poderá ficar com bactérias maléficas.
a)	Qual a probabilidade do leite ficar com bactérias maléficas?
b)	Considerando 1000 utilizações de um pasteurizador em quantas a temperatura deve ser inferior a 70 oC podendo prejudicar o leite?
c)	Qual a probabilidade de que em 10 utilizações do pasteurizador em nenhuma o leite fique com bactérias maléficas?
33)	Uma máquina de ensacar determinado produto apresenta variações de peso (distribuído normalmente) com desvio padrão de 3 kg.
a)	Se a máquina for regulada com um peso médio de 64kg, qual é a probabilidade de se obter sacos com menos de 55kg?e com mais de 66kg?
b)	Em quanto deve ser regulado o peso médio do saco para que apenas 10% tenham menos de 60kg?
34)	Um estudo das modificações percentuais dos preços, no atacado, de produtos industrializados, mostrou que seguem uam distribuição normal com média de 50% e desvio padrão de 10%. Qual a porcentagem dos artigos que sofreram aumentos:
a)	superiores a 75%?
b)	entre 30% e 80%?
35)	A resistência de determinadas peças individuais feitas por um certo processo de manufatura é conhecida ser normalmente distribuída com média =24 e desvio padrão σ=3. Toda peça produzida é testada, sendo aceita pelo controle de qualidade se as suas especificações quanto a resistência estiver entre -2σ e +2σ (caso contrário é rejeitada).
a)	Calcule a probabilidade de uma peça ser rejeitada.
b)	Um consumidor exige que pelo menos 95% das peças tenha resistência superior a 20. Tal especificação é atendida? Justificar a resposta.
36)	Uma empresa produz um equipamento cuja vida útil admite distribuição normal com média 300h e desvio padrão 20h. Se a empresa garantiu uma vida útil de pelo menos 280h para uma das unidades vendidas, qual a probabilidade de ela ter que repor essa unidade?
37)	Uma variável aleatória X distribui-se normalmente com média 80 e variância 9.
Calcule o intervalo central que contém:
a)	50% dos valores da variável;
b)	99% dos valores da variável.
38)	O Departamento de Marketing da empresa resolve premiar 5% dos seus vendedores mais eficientes. Um levantamento das vendas individuais por semana mostrou que elas se distribuíam normalmente com média 240.000u.m. e desvio padrão 30.000u.m. Qual o volume de vendas mínimo que um vendedor deve realizar para ser premiado?
39)	Através de documentação e observação cuidadosas, constatou-se que o tempo para se fazer um teste padrão de matemática é aproximadamente normal com =80min e σ=20min.
i)	Que percentagem de candidatos:
a)	levará menos de 80 minutos para concluir o teste?
b)	não terminará o teste se o tempo máximo concedido é de 2 horas?
ii)	Se 100 pessoas fazem o teste, quantas podemos esperar que o terminem na primeira hora?
40)	Em uma população de escores cujo valor médio é =60 e desvio padrão é σ=12, desejamos dividi-la em quatro classes. A classe “A” é formada por 16,6% dos menores escores; a classe “B” por 24,3% dos escores seguintes a “A”; a classe “C” por 38,2% dos escores seguintes a “B” e a classe “D” pelos escores restantes. Admitindo distribuição normal para os escores:
a)	quais os limites de cada classe?
b)	Em que classe estará um escore de 75? e um escore de 30?