Pirâmide | Geometria Espacial

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PIRÂMIDE 
1. (G1 - epcar (Cpcar)) Com a intenção de padro-
nizar as barracas dos vendedores ambulantes, a 
prefeitura da cidade de Eulerópolis solicitou a uma 
empresa especializada no ramo que fizesse um or-
çamento do material a ser empregado e do custo 
para finalização das barracas. 
Segue um esboço do que foi apresentado pela em-
presa: 
 
 
 
O ponto O é a projeção ortogonal do ponto V sobre 
a base hexagonal regular da barraca. 
Considere: 7 2,6= e 2 1,4.= 
No modelo apresentado, a parte hachurada indica 
onde existe tecido, ou seja, no telhado e na parte 
de baixo da lateral, ao custo de R$ 2,00 o metro 
quadrado. 
Além disso, em cada aresta está uma barra de alu-
mínio ao custo de R$ 4,00 o metro linear. 
 
Se a empresa cobra uma taxa de mão de obra equi-
valente a 30% do custo de todo o material gasto, 
então é correto afirmar que o custo total de uma 
barraca padrão, em reais, é um número compreen-
dido entre 
a) 390 e 400 
b) 401 e 410 
c) 411 e 420 
d) 421 e 430 
 
2. (Uerj) O esquema a seguir representa um prisma 
hexagonal regular de base ABCDEF, com todas as 
arestas congruentes, e uma pirâmide triangular re-
gular de base ACE e vértice G. 
 
 
 
Sabe-se que os dois sólidos têm o mesmo volume 
e que a altura h da pirâmide mede 12 cm. 
A medida da aresta do prisma, em centímetros, é 
igual a: 
a) 1,5 
b) 3 
c) 2 
d) 2 3 
 
3. (Pucrj) Numa pirâmide de base quadrada, todas 
as arestas medem x. 
Quanto vale o volume da pirâmide? 
a) 3
2
x
6
 
b) 2xπ 
c) 3 2x x x 1+ + + 
d) 3x 
e) 3
6
x
3
 
 
4. (Uece) A medida da altura de uma pirâmide é 
10 m e sua base é um triângulo retângulo isósceles 
cuja medida da hipotenusa é 6 m. Pode-se afirmar 
corretamente que a medida do volume dessa pirâ-
mide, em 3m , é igual a 
a) 60. b) 30. c) 15. d) 45. 
 
 
 
5. (G1 – utfpr) Uma barraca de camping foi proje-
tada com a forma de uma pirâmide de altura 3 me-
tros, cuja base é um hexágono regular de lados me-
dindo 2 metros. Assim, a área da base e o volume 
desta barraca medem, respectivamente: 
a) 26 3 m e 36 3 m . 
b) 23 3 m e 33 3 m . 
c) 25 3 m e 32 3 m . 
d) 22 3 m e 35 3 m . 
e) 24 3 m e 38 3 m . 
 
6. (Esc. Naval) Uma pirâmide triangular tem como 
base um triângulo de lados 13 cm, 14 cm e 15 cm; 
as outras arestas medem . Sabendo que o volume 
da pirâmide é de 3105 22 cm , o valor de , em cm, 
é igual a: 
a) 
155
8
 
b) 
335
11
 
c) 
275
9
 
d) 
205
8
 
e) 
95
8
 
 
7. (Ufrgs) Considere a planificação de um tetrae-
dro, conforme a figura abaixo. 
 
 
 
Os triângulos ABC e ABD são isósceles respecti-
vamente em B e D. As medidas dos segmentos 
AC, BC, BD e DF estão indicadas na figura. 
A soma das medidas de todas as arestas do tetra-
edro é 
a) 33. 
b) 34. 
c) 43. 
d) 47. 
e) 48. 
 
8. (Ime) Um tronco de pirâmide regular possui 12 
vértices. A soma dos perímetros das bases é 
36 𝑐𝑚, a soma das áreas das bases é 30√3 𝑐𝑚2 e 
sua altura mede 3 cm. 
Calcule o volume do tronco de pirâmide. 
a) 350 cm 
b) 3
3
42 cm
3
 
c) 3
3
43 cm
2
 
d) 343 2 cm 
e) 342 3 cm 
 
9. (Ufu) Um designer de jogos virtuais está simu-
lando alguns deslocamentos associados com uma 
pirâmide quadrangular regular, em que o lado do 
quadrado da base mede 40 cm. 
 
 
 
Ele simula a trajetória de um lagarto pelas faces da 
pirâmide. Inicialmente o lagarto desloca-se de A 
até E e, posteriormente, de E até F, em que F é o 
ponto médio de CD. Cada um desses dois trechos 
da trajetória ocorre em linha reta. 
A projeção perpendicular dessa trajetória em 
ABCD, presente no plano da base da pirâmide, 
descreve uma curva R, a qual é a união de dois 
segmentos. 
Nessas condições, o comprimento de R, em cm, é 
igual a 
a) 20 2 
b) 40 2 
c) 40(1 2 )+ 
d) 20(1 2 )+ 
 
10. (Uerj) Uma pirâmide com exatamente seis 
arestas congruentes é denominada tetraedro regu-
lar. Admita que a aresta do tetraedro regular ilus-
trado a seguir, de vértices ABCD, mede 6 cm e que 
o ponto médio da aresta BC é M. 
 
 
 
O cosseno do ângulo ˆAMD equivale a: 
a) 
1
2
 
b) 
1
3
 
c) 
2
3
 
d) 
2
5
 
 
11. (Fac. Albert Einstein - Medicin) Para a feira 
cultural da escola, um grupo de alunos irá construir 
uma pirâmide reta de base quadrada. A pirâmide 
terá 3 m de altura e cada aresta da base medirá 2 
m A lateral da pirâmide será coberta com folhas 
quadradas de papel, que poderão ser cortadas 
para um melhor acabamento. 
Se a medida do lado de cada folha é igual a 20 cm, 
o número mínimo dessas folhas necessárias à exe-
cução do trabalho será 
 
Utilize 10 3,2 
a) 285 
b) 301 
c) 320 
d) 333 
 
12. (Ufrgs) Considere ABCDEFGH paralelepípedo 
reto-retângulo, indicado na figura abaixo, tal que 
AB 4,= AE 3= e BC 2.= 
 
 
 
O volume do tetraedro AHFC é 
a) 4. 
b) 8. 
c) 12. 
d) 16. 
e) 18. 
 
13. (Espcex (Aman)) Determine o volume (em 
3
cm ) de uma pirâmide retangular de altura "a" e 
lados da base "b" e "c" (a, b e c em centímetros), 
sabendo que a b c 36+ + = e "a", "b" e "c" são, res-
pectivamente, números diretamente proporcionais 
a 6, 4 e 2. 
a) 16 
b) 36 
c) 108 
d) 432 
e) 648 
 
14. (Mackenzie) A altura, em cm, de um tetraedro 
regular cuja área total mede 248 3 cm é 
a) 2 2 
b) 4 2 
c) 2 3 
d) 4 3 
e) 6 
 
15. (Epcar (Afa)) Se uma pirâmide hexagonal re-
gular está inscrita num cone equilátero cujo volume 
é igual a 3
10 3
cm ,
7
π então o volume dessa pirâ-
mide, em 3cm , é igual a 
a) 
45
7
 
b) 
15 3
7
 
c) 
30 3
7
 
d) 
135
7
 
 
16. (Ufpr) Um prisma possui 17 faces, incluindo as 
faces laterais e as bases inferior e superior. Uma 
pirâmide cuja base é idêntica à base do prisma, 
possui quantas arestas? 
a) 26. 
b) 28. 
c) 30. 
d) 32. 
e) 34. 
 
17. (Unisc) Em uma pirâmide regular, a base é um 
quadrado de lado q. Sabendo que as faces laterais 
dessa pirâmide são triângulos equiláteros, pode-se 
afirmar que o seu volume é 
 
a) 3q 2 
 
 
b) 
3
q 2
6
 
c) 
q 2
2
 
d) 
3
q 3
6
 
e) 
3
q 3
3
 
 
18. (Enem) É comum os artistas plásticos se apro-
priarem de entes matemáticos para produzirem, 
por exemplo, formas e imagens por meio de mani-
pulações. Um artista plástico, em uma de suas 
obras, pretende retratar os diversos polígonos obti-
dos pelas intersecções de um plano com uma pirâ-
mide regular de base quadrada. 
Segundo a classificação dos polígonos, quais deles 
são possíveis de serem obtidos pelo artista plás-
tico? 
a) Quadrados, apenas. 
b) Triângulos e quadrados, apenas. 
c) Triângulos, quadrados e trapézios, apenas. 
d) Triângulos, quadrados, trapézios e quadriláteros 
irregulares, apenas. 
e) Triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros 
irregulares e pentágonos, apenas. 
 
19. (Uece) Se a soma dos ângulos de todas as fa-
ces de uma pirâmide (incluindo a base) é 3.600 
graus, então, a base da pirâmide é um polígono 
com 
a) 9 lados. 
b) 10 lados. 
c) 11 lados. 
d) 12 lados. 
 
20. (Enem PPL) A cobertura de uma tenda de lona 
tem formato de uma pirâmide de base quadrada e 
é formada usando quatro triângulos isósceles de 
base y. A sustentação da cobertura é feita por uma 
haste de medida x. Para saber quanto de lona 
deve ser comprado, deve-se calcular a área da su-
perfície da cobertura da tenda. 
 
 
 
 
A área da superfície da cobertura da tenda, em fun-
ção de y e x, é dada pela expressão 
 
a) 
2
2 y
2y x
4
+ 
b) 
2
2 y
2y x
2
+ 
c) 2 24y x y+ 
d) 
2
2 y
4 x
4
+ 
e) 
2
2 y
4 x
2
+ 
21. (Ufpr) Temos, abaixo, a planificaçãode uma pi-
râmide de base quadrada, cujas faces laterais são 
triângulos equiláteros. Qual é o volume dessa pirâ-
mide? 
 
a) 3
16
3 cm .
3
 
b) 316 3 cm . 
c) 332 cm . 
d) 3
32
2 cm .
3
 
e) 3
64
cm .
3
 
 
22. (Acafe) Uma peça de madeira tem a forma de 
uma pirâmide hexagonal regular com 21 cm de al-
tura. Essa peça é seccionada por um plano paralelo 
à base, de forma que o volume da pirâmide obtida 
seja 8 27 do volume da pirâmide original. 
A distância (em cm) da base da pirâmide até essa 
secção é um número: 
a) fracionário. 
b) primo. 
c) múltiplo de 3. 
d) quadrado perfeito. 
 
23. (Fgv) Em uma folha de papel, desenha-se um 
hexágono regular ABCDEF de lado 3 cm e inscrito 
em uma circunferência de centro O. O hexágono é 
recortado, e, em seguida, faz-se um recorte no raio 
OB. A partir do recorte no raio, o pedaço de papel 
será usado para formar uma pirâmide de base qua-
drangular e centro O. Tal pirâmide será feita com a 
sobreposição e a colagem dos triângulos OAB e 
 
 
OCD, e dos triângulos OAF e OBC. 
 
 
O volume da pirâmide formada após as sobreposi-
ções e colagens, em 3cm , é igual a 
a) 3 2 
b) 3 3 
c) 4 2 
d) 
9 2
2
 
e) 
9 3
2
 
 
24. (Ufrgs) Considere ABCDEFGH um paralelepí-
pedo reto-retângulo conforme representado na fi-
gura abaixo. 
 
 
 
Se as arestas do paralelepípedo medem 3, 6 e 10, 
o volume do sólido ACDH é 
a) 10. 
b) 20. 
c) 30. 
d) 60. 
e) 90. 
 
25. (Enem PPL) A figura mostra a pirâmide de 
Quéops, também conhecida como a Grande Pirâ-
mide. Esse é o monumento mais pesado que já foi 
construído pelo homem da Antiguidade. Possui 
aproximadamente 2,3 milhões de blocos de rocha, 
cada um pesando em média 2,5 toneladas. Consi-
dere que a pirâmide de Quéops seja regular, sua 
base seja um quadrado com lados medindo 214 m, 
as faces laterais sejam triângulos isósceles congru-
entes e suas arestas laterais meçam 204 m. 
 
 
 
O valor mais aproximado para a altura da pirâmide 
de Quéops, em metro, é 
a) 97,0. 
b) 136,8. 
c) 173,7. 
d) 189,3. 
e) 240,0. 
 
26. (Fuvest) Cada aresta do tetraedro regular 
ABCD mede 10. Por um ponto P na aresta AC, 
passa o plano α paralelo às arestas AB e CD. 
Dado que AP 3,= o quadrilátero determinado pelas 
interseções de α com as arestas do tetraedro tem 
área igual a 
a) 21 
b) 
21 2
2
 
c) 30 
d) 
30
2
 
e) 
30 3
2
 
 
27. (Acafe) Uma pirâmide de base triangular regu-
lar reta e um cone reto estão inscritos num cilindro 
reto, cujo raio da base é r e altura h. A relação en-
tre a altura e o raio do cilindro, para que a diferença 
entre o volume do cone e da pirâmide seja equiva-
lente a 
4 3 3
12
π −
  
 
 unidades, é: 
a) 2r h 1.= 
b) 
3
h .
r
π −
= 
c) 
3
rh .
12
π −
= 
d) rh 1.= 
 
28. (Ucs) Aumentando-se a medida " a " da aresta 
da base de uma pirâmide quadrangular regular em 
30% e diminuindo- se sua altura "h" em 30%, qual 
será a variação aproximada no volume da 
 
 
pirâmide? 
a) Aumentará 18%. 
b) Aumentará 30%. 
c) Diminuirá 18%. 
d) Diminuirá 30%. 
e) Não haverá variação. 
 
29. (Udesc) Em uma escola foi proposta uma gin-
cana. De acordo com as regras da gincana, o ven-
cedor de uma das provas seria aquele que che-
gasse mais próximo do número de sólidos existen-
tes dentro de um pote. Neste pote, com formato de 
prisma triangular regular, medindo 50 cm de altura 
e lado do triângulo da base com 40 cm, foi colocada 
a mesma quantidade de cubos, pirâmides regula-
res de base triangular e pirâmides regulares de 
base quadrangular. Informou-se aos participantes 
que a altura das pirâmides triangulares é de 3 cm e 
que a altura das pirâmides quadrangulares é igual 
à altura dos cubos. Sabe-se, também, que as ares-
tas dos cubos medem 2 3 cm; as arestas da base 
das pirâmides triangulares medem 4 cm e as ares-
tas da base das pirâmides quadrangulares equiva-
lem à metade das arestas dos cubos. Com base 
nessas informações, João, um dos participantes da 
gincana, considerou que uma boa estimativa seria 
fazer os cálculos como se os sólidos preenches-
sem o máximo possível do pote, deixando a menor 
quantidade possível de espaços. Nesse caso, João 
respondeu que o número de sólidos dentro do pote 
é de: 
a) 2001 
b) 1248 
c) 1998 
d) 1251 
e) 2015 
 
30. (Uepa) Leia o texto para responder à questão. 
 
 A arte é uma forma de expressão da racio-
nalidade humana. O origami é uma técnica japo-
nesa baseada em juntar módulos individuais de pa-
pel dobrando para criar prismas e cubos, conforme 
ilustra a figura abaixo. 
 
 
 
Todas as pirâmides ilustradas na composição artís-
tica acima são tetraedros regulares de base trian-
gular de aresta L 1 dm= ligados uns aos outros, por 
meio de suas arestas e mantendo suas bases so-
bre um mesmo plano. Nestas condições, a área to-
tal, em 2dm , de um desses tetraedros regulares é: 
a) 
2
2
 
b) 
3
2
 
c) 3 
d) 2 2 
e) 2 3 
 
31. (Ufsm) Desde a descoberta do primeiro plástico 
sintético da história, esse material vem sendo aper-
feiçoado e aplicado na indústria. Isso se deve ao 
fato de o plástico ser leve, ter alta resistência e fle-
xibilidade. Uma peça plástica usada na fabricação 
de um brinquedo tem a forma de uma pirâmide re-
gular quadrangular em que o apótema mede 10 mm 
e a aresta da base mede 12mm. A peça possui para 
encaixe, em seu interior, uma parte oca de volume 
igual a 378 mm . 
O volume, em 3mm , dessa peça é igual a 
a) 1152. 
b) 1074. 
c) 402. 
d) 384. 
e) 306. 
 
32. (Ufrgs) Considere a planificação do sólido for-
mado por duas faces quadradas e por quatro trapé-
zios congruentes, conforme medidas indicadas na 
figura representada abaixo. 
 
 
 
 
 
O volume desse sólido é 
a) 
16 2
.
3
 
b) 
28 2
.
3
 
c) 8 2. 
d) 16 2. 
e) 20 2. 
 
33. (Uel) Na molécula do Metano 4(CH ), o átomo 
de carbono ocupa o centro de um tetraedro regular 
em cujos vértices estão os átomos de hidrogênio. 
 
Considerando que as arestas do tetraedro regu-
lar medem 6 cm e que a altura mede 
1
h 6,
3
= as-
sinale a alternativa que apresenta, corretamente, o 
volume desse tetraedro. 
a) 33 3 cm 
b) 318 2 cm 
c) 318 3 cm 
d) 336 2 cm 
e) 354 2 cm 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Considere o texto e as figuras para responder a(s) 
questão(ões). 
 
O circo é uma expressão artística, parte da 
cultura popular, que traz diversão e entretenimento. 
É um lugar onde as pessoas tem a oportunidade de 
ver apresentações de vários artistas como mági-
cos, palhaços, malabaristas, contorcionistas e 
muito mais. Mas antes que a magia desse mundo 
se realize, há muito trabalho na montagem da es-
trutura do circo. 
A tenda de um circo deve ser montada em 
um terreno plano e para isso deve ser construída 
uma estrutura, conforme a sequência de figuras. 
 
 
 
Nas figuras, considere que: 
 
- foram colocadas 8 estacas congruentes perpen-
diculares ao plano do chão; 
- cada estaca tem 4 m acima do solo; 
- as estacas estão igualmente distribuídas, sendo 
que suas bases formam um octógono regular; 
- os topos das estacas consecutivas estão ligados 
por varas de 12 m de comprimento; 
- para imobilizar as estacas, do topo de cada uma 
delas até o chão há um único cabo esticado que 
forma um ângulo de 45 com o solo (a figura mos-
tra apenas alguns desses cabos). Todos os cabos 
têm a mesma medida; 
- no centro do octógono regular é colocado o mas-
tro central da estrutura, que é vertical; 
- do topo de cada estaca até o topo do mastro é 
colocada uma outra vara. Todas essas varas têm a 
mesma medida; 
- na estrutura superior, são formados triângulos 
isósceles congruentes entre si; e 
- em cada um desses triângulos isósceles, a alturarelativa à base é de 15 m. 
 
34. (G1 - cps ) A cobertura e as laterais da tenda 
descrita serão totalmente revestidas por lona. Para 
que isso ocorra, a quantidade mínima de lona que 
deverá ser usada é, em metros quadrados, igual a 
a) 138. 
b) 384. 
c) 720. 
d) 1104. 
e) 1200. 
 
 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Utilize as informações a seguir para a(s) quest(ões) 
abaixo. 
 
Uma artista plástica está criando uma nova obra, 
que será um quadro com alto relevo de formas ge-
ométricas. Para iniciar o projeto, ela desenhou o 
quadrado base da obra, mostrada abaixo. 
 
 
 
Esse quadrado tem 40 cm de lado e o ponto P foi 
posicionado 8 cm para a direita e 8 cm para baixo 
do ponto A. Traçando a diagonal do quadrado e 
tomando o ponto P como vértice, ela construiu o 
triângulo em preto e, usando a simetria em relação 
à diagonal, ela construiu o triângulo em branco, 
com vértice no ponto Q. 
Em seguida, reproduzindo esse quadrado base 16 
vezes, ela construiu o quadro em relevo mostrado 
abaixo, elevando 2 tetraedros sobre cada qua-
drado base, cada um com altura de 6 cm em rela-
ção ao plano do quadrado base, conforme ilustra a 
figura a seguir. 
 
 
 
 
35. (Insper) Para garantir o efeito visual que dese-
java, a artista plástica fez as faces dos tetraedros 
de material transparente e encheu com um líquido 
contendo material reflexivo. O volume de líquido 
necessário para encher todo o quadro é de, aproxi-
madamente, 
a) 45 litros. 
b) 47 litros. 
c) 49 litros. 
d) 51 litros. 
e) 53 litros. 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Utilize o fragmento e as imagens abaixo como au-
xílio para responder à(s) quest(ões) a seguir. 
 
Existem variados tipos de blocos de concreto para 
o uso de contenção às ondas marinhas, em espe-
cial o Tetrápode – bloco criado na década de 1950 
e utilizado no molhe leste da Barra Cassino (Rio 
Grande – RS). Constituído em concreto maciço, o 
bloco é disposto de um eixo central, no qual são 
tangentes quatro cones alongados (patas) e arre-
dondados, distribuídos igualmente a 120 no es-
paço. Essas “patas” facilitam a conexão entre os 
blocos, tornando a estrutura mais estável. O centro 
de gravidade do Tetrápode encontra-se na união 
das quatro “patas”, o que dificulta o balanço e o ro-
lamento da carcaça. 
 
 
 
Imagens e Fragmento extraído de “Tipos de blocos 
de concreto para estrutura hidráulica de proteção 
às ondas marinhas e análise visual dos Tetrápodes 
da Barra de Rio Grande” (Adaptado). Disponível 
em: http://www.semengo.furg.br/2008/45.pdf 
Acesso: 10 abr. 2015. 
 
 
36. (Ifsul) Unindo-se as pontas dos eixos das 4 “pa-
tas”, forma-se um sólido geométrico chamado 
a) Pirâmide Quadrangular Regular. 
b) Cilindro Equilátero. 
c) Tetraedro Regular. 
d) Tronco de Pirâmide. 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
Calculando: 
( )
( )
2
lateral
22 2
2
telhado
área lateral debaixo S 6 2 1 12 m
Triângulo VMO':
h 3 2 h 7
2 7
área do telhado S 6 6 7 15,6 m
2
arestas 6 2 6 1 6 2 6 1 6 2 6 2 2 48 12 2 52,8 m
Custo (12 15,6) 2 64,8 4 1,3 408,72 reais
= =   =
= +  =

= =  = 
=  +  +  +  +  +  = + 
= +  +   =
 
 
 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
Sejam 3r, e 6 , respectivamente, o raio do círculo 
circunscrito à base do prisma, a medida da aresta 
da base da pirâmide e a medida da aresta da base 
do prisma. Portanto, sabendo que 36
3
r
3
= = e 
os volumes são iguais, temos 
2 2 3
26 3 6
6 6
6
3 3 3 31
12 ( 3 )
2 3 4 2
2 cm.
 =    =
 =
 
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
Do enunciado, temos: 
 
 
 
No triângulo BCD, 
( )
2 2 2
2 2
2
2
2a x x
4a 2x
2x
a
4
= +
=
=
 
 
No triângulo VOB, 
2 2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
x h a
2x
x h
4
2x
h x
4
2x
h
4
x 2
h
2
= +
= +
= −
=
=
 
 
Assim, sendo V o volume da pirâmide, 
2
2
3
1
V x h
3
1 x 2
V x
3 2
2 x
V
6
=  
=  

=
 
 
Resposta da questão 4: 
 [B] 
 
Desde que a medida da altura de um triângulo re-
tângulo isósceles corresponde à metade da medida 
da hipotenusa, segue que o resultado é 
31 1
6 3 10 30 m .
3 2
    = 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
Devemos resolver esse problema em duas partes: 
A parte 1 que será o cálculo da área da base e a 
parte 2 que será o cálculo do volume da pirâmide. 
Parte 1: Área da base. 
Sendo que a base da pirâmide é um hexágono re-
gular, este hexágono pode ser divido em seis triân-
gulos equiláteros de lado " a " e sua área (área da 
base) será a soma das áreas destes triângulos (ver 
figura abaixo). Para se obter a área da base, basta 
calcular a área de um dos triângulos e multiplicá-la 
por seis. 
 
 
 
Sendo assim, analisando apenas um triângulo te-
mos: 
 
 
 
Sendo a área do triângulo t
b h
A ,
2

= onde b é base 
e h é altura do triângulo equilátero, pode-se obter 
a altura aplicando-se o teorema de Pitágoras em 
metade do triângulo: 
 
 
 
2 2 2
2 2 2
2
hip cat cat
2 h 1
h 4 1
h 3 m
= +
= +
= −
=
 
Assim sendo a área do triângulo será dada por: 
2
t
b h 2 3
A 3 m .
2 2
 
= = = 
A área da base da pirâmide será dada por: 
2
bA 6 3 m .=  
 
Parte 2: 
Sendo que o volume dado pelo produto da área da 
base pela altura da pirâmide p(h ) teremos: 
b p 3
A h 6 3 3
Volume 6 3 m .
3 3
  
= = =  
 
Logo, 2Área da base 6 3 m=  e 3Volume 6 3 m .=  
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
 
No triângulo ABC, 
( ) ( ) ( )ABC
ABC
2
ABC
2p 13 14 15
2p 42
p 21
S 21 21 13 21 14 21 15
S 21 8 7 6
S 84 cm
= + +
=
=
=  −  −  −
=   
=
 
 
Por outro lado, 
ABC
13 14 15
S ,
4r
 
= logo, 
13 14 15
84
4r
13 14 15
4r
84
13 1 15
4r
6
13 5
4r
2
65
r
8
 
=
 
=
 
=

=
=
 
 
Como o volume da pirâmide é 3105 22 cm , 
1
105 22 84 h
3
105 22 28h
105 22
h
28
15 22
h
4
=  
=
=
=
 
 
No triângulo VOC, 
 
( )
2 2 2
22
2
22
2
22 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2 2
2
2 2
2 2 2 2
2
2 2
2
2
2 2
2 2
2
2 2
r h
65 15 22
8 4
5 13 5 3 22
4 2 4
5 13 5 3 22
4 2 4
5 13 2 5 3 22
4 2
5 13 2 3 22
4 2
5 961
4 2
5 31
4 2
= +
  
= +     
   
   
= +        
  
= +

 +   
=

 +  
=


=


=

 
 
 
Como 0, 
2 2
2 2
5 31
4 2
5 31
4 2
155
cm
8

=


=

=
 
 
Resposta da questão 7: 
 [A] 
 
De acordo com os dados do enunciado, podemos 
concluir que: 
DB DA 7= = e BA BC 5.= = 
 
Construindo o tetraedro, temos: 
 
 
 
Portanto, a soma das arestas será dada por: 
3 5 6 7 7 5 33.+ + + + + = 
 
Resposta da questão 8: 
 [E] 
 
Se o tronco possui 12 vértices, portanto a pirâmide 
tem base hexagonal regular. Sendo o lado da 
base menor (topo) e L o lado da base maior, pode-
se escrever: 
{
6 ⋅ (𝐿 + ℓ) = 36
3√3
2
⋅ (𝐿2 + ℓ
2
) = 30√3
→ {
𝐿 + ℓ = 6
𝐿2 + ℓ
2
= 20
 
(𝐿 + ℓ)2 = 62 → 𝐿2 + 2 ⋅ 𝐿 ⋅ ℓ+ ℓ
2
= 36 → 2 ⋅ 𝐿 ⋅ ℓ
= 16 → 𝐿 ⋅ ℓ = 8 
𝑉 =
ℎ
3
⋅ (𝐵 + 𝐵′+ √𝐵 ⋅ 𝐵′)
=
3
3
⋅ (30√3 + √6 ⋅
ℓ
2
⋅ √3
4
⋅ 6 ⋅
𝐿2 ⋅ √3
4
)
= 30√3 + √3 ⋅ 36 ⋅
(𝐿 ⋅ ℓ)2
16
 
𝑉 = 30√3 + √432 → 𝑉 = 42√3 𝑐𝑚3 
 
Resposta da questão 9: 
 [D] 
Do enunciado e da figura, temos: 
 
 
 
G é ponto de encontro das diagonais do quadrado 
ABCD, pois EABCD é uma pirâmide quadrangular 
regular. 
O comprimento de R é dado por AG GF,+ pois AG 
é a projeção perpendicular de AE sobre ABCD e 
GF é a projeção perpendicular de EF sobre ABCD. 
Note que 
1
AG AC
2
= e 
1
GF AD.
2
= 
 
No triângulo ACD, 
( )
( )
( )
2 2 2
2 2
2 2
AC 40 40
2AG 2 40
4 AG 2 40
= +
= 
= 
 
 
Como AG 0, 
( )
2 2
4 AG 2 40
2AG 40 2
AG 20 2 cm
 = 
=
=
 
 
Como AD 40 cm,= 
1
GF 40
2
GF 20 cm
= 
=
 
 
Assim, 
( )
( )
AG GF 20 2 20 cm
AG GF 20 1 2 cm
+ = +
+ = +
 
 
Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
Seja a medida da aresta do tetraedro. Desde que 
as faces do tetraedro são triângulos equiláteros 
congruentes, vem 
3
DM AM .
2
= = Por 
 
 
conseguinte,aplicando a Lei dos Cossenos no tri-
ângulo AMD, temos 
 
2 2 2
2 2
2
2 2
AD AM DM 2 AM DM cos AMD
3 3 3 3
2 cos AMD
2 2 2 2
3
cos AMD
2 2
1
cos AMD .
3
= + −    
   
= + −       
   
 = 
=
 
 
Resposta da questão 11: 
 [C] 
 
Sendo 1 m a medida do apótema da base e p a 
medida do apótema da pirâmide, pelo Teorema de 
Pitágoras, segue que 
2 2 2
p 3 1 p 10 m 320 cm.= +  =  
 
Portanto, tem-se que o resultado pedido é dado por 
2
1
200 320
24 320.
20
 
 = 
 
Resposta da questão 12: 
 [B] 
 
O volume do tetraedro será a diferença entre o vo-
lume do paralelepípedo e os volumes dos quatro 
tetraedros trirretângulos, como segue: 
Paralelepípedo (EHFA ) (BAFC) (GHFC) (DAHC)V V V V V V
1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2
V 4 3 2
3 2 3 2 3 2 3 2
V 24 16
V 8
= − − − −
       
=   −  −  −  − 
= −
=
 
 
Resposta da questão 13: 
 [D] 
 
 
 
a 6k
a b c
k b 4k
6 4 2
c 2k
=
= = =  =
=
 
 
Portanto, 
6k 4k 2k 36 k 3.+ + =  = 
 
O volume da pirâmide será dada por: 
b c a 12 6 18
V 432
3 3
   
= = = 
 
Resposta da questão 14: 
 [B] 
 
Sendo x a medida de uma das arestas do tetraedro 
regular, temos: 
2
2
1
4 x x sen60 48 3
2
3
2x 48 3
2
x 48
     =
 =
=
 
 
Como x 0, x 4 3 cm. = 
Observe o tetraedro regular abaixo: 
 
 
 
No triângulo EBF, 
y
tg30
BF
 = 
 
Mas, BF 2 3,= logo, 
3
y 2 3
3
y 2
= 
=
 
 
No triângulo AFD, 
z
sen60
AD
 = 
 
Mas, AD 4 3,= logo, 
3
z 4 3
2
z 6
= 
=
 
 
 
No triângulo AFE, 
2 2 2
2 2 2
2
z y h
6 2 h
h 32
= +
= +
=
 
 
Como h 0, 
h 4 2 cm= 
 
Resposta da questão 15: 
 [A] 
 
Calculando: 
3 3 3
2
10 3 1 10 1 30
Cone R 3 R R
7 3 7 3 7
R (hexágono regular )
Pirâmide h R 3 (cone equilátero)
1
V B h
3
1 1 R 3 18 30 3 30 90 45
V B h 6 R 3 V
3 3 4 12 7 2 7 14 7
π
π→ =   → =  → =

=

→ =

 =  

=   =   =  =  = → =
 
 
Resposta da questão 16: 
 [C] 
 
1 face sup erior
Total de faces 17 1 face inf erior possui 15 arestas na base
15 faces laterais


=  


 
 
Portanto, como será construído uma pirâmide tere-
mos 15 arestas laterais também. 
 
Logo, 15 arestas na base + 15 arestas laterais = 
30 arestas. 
 
Resposta da questão 17: 
 [B] 
 
Desde que as faces laterais são triângulos equilá-
teros de lado q, segue que o apótema da pirâmide 
mede 
q 3
.
2
 Em consequência, sendo a medida do 
apótema da base igual a 
q
,
2
 pelo Teorema de Pitá-
goras, segue que a altura da pirâmide mede 
q 2
.
2
 
 
Portanto, a resposta é 
 
3
21 q 2 q 2
q .
3 2 6
  = 
 
Resposta da questão 18: 
 [E] 
Supondo que quadriláteros irregulares e trapézios 
sejam polígonos distintos, tem-se que as possibili-
dades são: triângulos, quadrados, trapézios, qua-
driláteros irregulares e pentágonos, conforme as fi-
guras abaixo. 
 
 
 
Resposta da questão 19: 
 [C] 
 
Seja n o número de lados do polígono da base. 
Logo, sabendo que as faces laterais de uma pirâ-
mide qualquer são triângulos, temos 
 
180 (n 2) n 180 3.600 2n 2 20
n 11.
  − +   =   − =
 =
 
 
Resposta da questão 20: 
 [A] 
 
Calculando: 
 
 
 
( )
2 2
2 2 2
2
2
lateral lateral
y y
g x g x
2 4
4 y g y
S S 2y x
2 4
 
= +  = + 
 
  
 =  =  +
 
 
 
 
Resposta da questão 21: 
 [D] 
 
Observe a figura a seguir: 
 
 
 
L 3 4 3
h h h 2 3
2 2
=  =  = 
 
Observe a figura abaixo: 
 
 
 
( ) ( )
2 22 2 2 2
h H r 2 3 H 2 H 2 2 cm= +  = +  = 
 
Portanto, 
2 2
3
pir. pir.
L H (4) 2 2 32
V V 2 cm
3 3 3
 
=  = = 
 
Resposta da questão 22: 
 [B] 
 
3 3 3
M M
m
M
V VH 21 27 21 21 3
h 14
8V h h 8 h h 2
V
27
     
=  =  =  =  =     
     
 
 
Portanto, a distância solicitada é: 
d H h d 21 14 d 7= −  = −  = (Número primo) 
 
Resposta da questão 23: 
 [D] 
 
Calculando: 
 
 
 
( )
22
2
2
3
3 3 3
OM
2 2
3
GM
2
3 3 3 3 2
OG OG
2 2 2
1 3 2 9 2
V 3 V
3 2 2
=
= =
=
  
+ =  =    
   
=    =
 
Resposta da questão 24: 
 [C] 
 
 
 
O volume V da pirâmide será dado por: 
=  b
1
V A h,
3
 onde bA é a área da base da pirâmide 
e h é a altura. 
 
Logo: 
21 3 10
V 6 30cm
3 2

=   = 
 
Resposta da questão 25: 
 [B] 
 
Calculando: 
 
 
 
( )
22 2 2 22
2
AB 214 2
214 2
BC 107 2
2
BD 204
BD DC BC 204 DC 107 2
DC 41616 22898 DC 18718 136,8 m
=
= =
=
= +  = +
= −  = 
 
 
Resposta da questão 26: 
 [A] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
 
 
Sejam Q, R e S, respectivamente, as interseções 
de α com as arestas BC, BD e AD. Desde que α 
é paralelo à aresta AB, temos SR e PQ paralelos 
a AB. Analogamente, concluímos que PS e QR 
são paralelos a CD. Ademais, sabendo que arestas 
opostas de um tetraedro regular são ortogonais, 
tem-se que o quadrilátero PQRS é um retângulo. 
Sendo ABCD regular, os triângulos APS e CQP 
são equiláteros, e, portanto, a área pedida é igual 
a 23 7 21 m . = 
 
Resposta da questão 27: 
 [A] 
 
cone piramide
2
2
2
2
4 3 3
V V
12
L 3
h
R h 4 3 34
3 3 12
L 3 4 3 3
R h h
4 4
π
π π
π
π
−
− =

−
 − =
−
 −  =
 
 
Porém, 
2 2 L 3
R h R L R 3
3 3 2
Δ=  =   = 
 
Portanto, 
( )
2
2
2
2
2 2
2
2
(R 3) 3 4 3 3
R h h
4 4
3 3R h 4 3 3
R h h
4 4
4 R h 3 3R h 4 3 3
4 4
R h 4 3 3 4 3 3
4 4
R h 1
π
π
π
π
π π
π π
−
 −  =
−
 −  =
− −
 =
− −
 =
 =
 
 
Resposta da questão 28: 
 [A] 
 
( )
2
original
2 2
novo novo
novo original
1
V a h
3
1 1
V 1,3a 0,7h V 1,183 a h
3 3
V 1,183 V 18,3% maior
=  
=   → =   
=  →
 
 
Resposta da questão 29: 
 [C] 
 
Seja n a quantidade de sólidos de cada tipo que 
será colocada no interior do pote. 
 
O volume do pote é 
2
340 3
50 20000 3 cm .
4

 = 
 
O volume de cada cubo é igual a 
3 3
(2 3 ) 24 3 cm .= 
 
O volume de cada pirâmide triangular regular é 
2
31 4 3
3 4 3 cm .
3 4

  = 
 
O volume de cada pirâmide quadrangular regular é 
2 31
( 3 ) 2 3 2 3 cm .
3
  = 
 
Portanto, tem-se que 
 
n (24 3 4 3 2 3 ) 20000 3 30 3 n 20000 3
n 666,67.
 + + =   =
 
 
 
Como a quantidade de espaços deve ser a menor 
possível, temos n 666= e, por conseguinte, o resul-
tado pedido é 666 3 1998. = 
 
Resposta da questão 30: 
 [C] 
 
A área total de cada tetraedro é igual a 
 
2 2 2
L 3 1 3 3 dm . =  = 
 
Resposta da questão 31: 
 [E] 
 
 
 
 
Cálculo da altura da Pirâmide: 
mm8h106h
222
==+ 
 
Volume da peça como diferença do volume da pi-
râmide e o volume da parte oca. 
peça pirâmide
2
peça
3
peça
V V 78
1
V 12 8 78
3
V 306mm
= −
=   −
=
 
 
Resposta da questão 32: 
 [B] 
 
O sólido descrito é um tronco de Pirâmide. 
 
 
 
Calculando a medida m, temos: 
2 2 2
m 1 2 m 3+ =  = 
 
Calculando, agora, a medida h. 
22 2
h 1 3 h 2+ =  = 
 
Por semelhança encontramos o valor de x : 
x 2
x 2
4x 2
=  =
+
 
 
O volume do sólido será a diferença entre o volume 
da pirâmide maior e o volume da pirâmide menor. 
2 21 1 28 2
V 4 2 2 2 2
3 3 3
=   −   = 
 
Resposta da questão 33: 
 [B] 
O volume do tetraedro regular de aresta 6 cm= é 
dado por 
 
3 3
32 6 2
18 2 cm .
12 12
= = 
 
 
Resposta da questão 34: 
 [D] 
 
O resultado pedido é dado por 
 
212 15
8 12 4 1104 m .
2
 
  + = 
 
 
 
Resposta da questão 35: 
 [D] 
 
A área da base de cada tetraedro corresponde à 
metade da área do quadrado base, isto é, 
2 21
40 800 cm .
2
 = Portanto, como são 2 16 32 = te-
traedros, segue o volume de líquido necessário 
para encher todo o quadro é 
 
31
32 800 6 51.200 cm 51 L.
3
   =  
 
Resposta da questão 36: 
 [C] 
 
 
 
Os triângulos OWX, OXY, OYZ, OZW, OZX e OWY 
são congruentes entre si pelo caso LAL. 
Portanto, a pirâmide formada é um tetraedro regu-
lar.