409816359-Manual-Pratico-para-Calculo-de-Pilares-pdf (2)

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Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
 
 
MANUAL PRÁTICO PARA 
CÁLCULO DE PILARES 
 
 
 
 
 
2019 
 
VENDA PROIBIDA 
 
Todos os direitos reservados. 
 
 
 
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2 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
INTRODUÇÃO 
 
Seja muito bem-vindo e parabéns por fazer o download de um livro diferenciado sobre Pilares! 
 
Nesse e-book, você vai encontrar, em um único material, a teoria e a prática para aprender 
tudo sobre os Pilares, de maneira atualizada e em absoluta conformidade com a última revisão da 
NBR 6118:2014. 
 
Mas por que esse livro é diferente de tudo que você já leu? 
 
Porque ele é resultado de mais 44 (quarenta e quatro) anos como engenheiro calculista e 
como professor da Universidade Federal do Piauí. Portanto, é uma consolidação de tudo que já 
estudei sobre estruturas na minha vida (o que não é pouco!), das mais de dez mil horas de sala de 
aula como professor universitário e mais de 1200 projetos estruturais já realizados por mim. 
 
Por isso, nele você vai encontrar a parte teórica de maneira clara, objetiva e bastante ilustrada 
com diversas figuras. Contudo, a teoria é ensinada com um olhar na sua aplicação prática, para 
manter uma conexão constante com o mundo real, ou seja, com os desafios constantes que o 
engenheiro de estruturas deve enfrentar no dia a dia. 
 
Além disso, outro grande diferencial deste manual é a referência contextualizada à NBR 
6118:2014, já que ela, muitas vezes, é de difícil compreensão, especialmente, para quem está 
começando. Com isso, você aprenderá como aplicar a referida norma, na prática! 
 
Entendo que esse livro tem um conteúdo de valor incalculável, que dificilmente será 
encontrado em outro lugar. Por isso, aproveite! Leia, exercite, revise e coloque em prática tudo que 
você aprender. 
 
Forte abraço, 
Fernando Drummond. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
SOBRE O AUTOR 
 
Ser um profissional da Engenharia, ou de qualquer outra profissão, é um processo realizado 
em três etapas distintas: A ESCOLHA, A FORMAÇÃO E A PRÁTICA, as três igualmente importantes. 
 
 A escolha é algo muito pessoal e suas motivações são múltiplas: influência da família, 
perspectiva de dinheiro fácil em negócio já estabelecido, desejo de realizar algo positivo, atração 
pelos objetivos da profissão, vontade de servir os outros, idealismo ou atitude de transformar o 
mundo. Confesso que, naquele instante, a atração pelos propósitos da profissão foi o grande motivo 
da minha escolha. E eu acertei, porque sou profundamente realizado com a minha profissão. 
 
Decidido pela engenharia civil, mirei em uma das melhores faculdades na área, a PUC-RJ. Mas 
como sair de Teresina e ir para o Rio de Janeiro sem dinheiro? Concorri e fui aprovado para receber 
uma bolsa de estudo patrocinada por uma instituição alemã que me dava direito ao pagamento da 
mensalidade da faculdade e vinte refeições mensais. Era o que eu precisava para ir atrás do meu 
sonho, não importando o quão árduo fosse o caminho. 
 
A falta de recursos me trouxe muitas dificuldades. Não podia comprar livros, por isso, estudei, 
praticamente todo meu curso, pelos empréstimos da biblioteca da universidade. Além disso, perdia 
muito tempo com deslocamento, pois morava distante da faculdade, o que me obrigava pegar dois 
ônibus para ir e para voltar, muitas vezes lotados. Foram cinco anos de muitas lutas, sacrifícios e 
abstinências. Mas eles valeram a pena e me ajudaram, a sua maneira, a chegar onde estou. 
 
Ainda durante a graduação, mais precisamente em 1974, fui convidado pelo meu professor 
de Concreto III, Arthur Eugênio German, para estagiar na empresa onde ele atuava como consultor, 
a SEEBLA-RIO (SERVIÇOS DE ENGENHARIA EMÍLIO BAUMGART LTDA). 
 
Nessa empresa, tive o primeiro contato prático com o cálculo de estruturas e pude 
desenvolver importantes projetos, tais como: o acréscimo de mais um pavimento no prédio principal 
da Academia Militar das Agulhas Negras (AMAN), sob a orientação do Engenheiro Civil Gilberto Adib 
Cury; e o cálculo de uma das fábricas da Companhia Vale do São Francisco (CISAFRA), que fica no pólo 
petroquímico da Bahia, sob a orientação do professor Jaques, que era Engenheiro Militar. 
 
Tendo me destacado como estagiário, logo após a conclusão do curso, em 1975, fui 
contratado como Engenheiro Civil Junior pela SEEBLA e imediatamente lotado na divisão de 
estruturas que ficava localizada na Refinaria Duque de Caxias (REDUC), no Estado do Rio de Janeiro. 
 
 
 
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4 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Ali pude desenvolver importantes cálculos estruturais, tais como bases de tanques para 
armazenamento de derivados de petróleo e estruturas do tipo pipe hack (prateleira de tubos). 
Também tive a oportunidade de me qualificar, através de cursos de especialização, na área estrutural, 
promovidos pela própria empresa. 
 
Tudo ia de vento em popa, profissionalmente. Porém, em determinados momentos da vida, 
os motivos pessoais te forçam a dar uma guinada de cento e oitenta graus. Tive de retornar para a 
minha terra natal. 
 
 A princípio, pode até parecer que fora um retrocesso, mas, na verdade, foi uma decisão 
acertadíssima. Ao retornar para Teresina, logo fui contratado pela Construtora Poty, a maior empresa 
do ramo. Trabalhava diariamente até altas horas da noite, para dar conta da cansativa jornada de 
trabalho que envolvia cálculo de estruturas e vistoria de obras, etc. Nesse período, ganhei muita 
experiência e dinheiro! 
 
 Mas o meu grande desejo era ter minha própria empresa! Por isso, mesmo ganhando muito 
bem, em 1979, resolvi montar meu escritório de cálculo estrutural, onde trabalho incansavelmente 
até hoje! 
 
 Contudo, a minha jornada não estaria completa se eu não tivesse encontrado a docência. Em 
1980, ingressei como professor da Universidade Federal do Piauí (UFPI) e descobri uma outra 
vocação: ensinar. Lá, pude ministrar diversas disciplinas na área das estruturas: isostática, 
hiperestática, concreto armado, pontes, viadutos. 
 
 Como tudo na minha vida, na universidade, procurei compartilhar, da melhor forma possível, 
todo o conhecimento que adquiri dos meus mestres e mentores, dos inúmeros livros que li - e leio 
até hoje - e dos inúmeros projetos que já realizei. 
 
Felizmente, boas ações são uma via de mão dupla. Por isso, também aprendo muito com 
meus alunos, que contribuem diariamente para o meu desenvolvimento como engenheiro, professor 
e ser-humano. 
 
Este é o primeiro de cinco livros que são resultado de toda essa jornada de 44 anos como 
calculista e professor. É também uma forma de expandir o meu raio de influência e compartilhar com 
pessoas de todo o país tudo que sei. 
 
 
 
 
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5 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
DIREITOS AUTORAIS 
 
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são reservados. Portanto, você não tem permissão para vender este livro nem para copiar/reproduzir 
o seu conteúdo em sites, blogs, jornais ou quaisquer outros veículos de distribuição e mídia. Dessa 
forma, qualquer violação aos direitos autorais estará sujeita às devidas consequências legais. 
 
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e-mail para info@fd13.com.br. Sua contribuição pode tornar esse livro ainda melhor. 
 
 
 
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6 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................................08 
 
2. SUBDIVISÃO DAS ESTRUTURAS VERTICAIS – PILARES .........................................................................................12 
 
3. SITUAÇÃO BÁSICADOS PILARES DENTRO DAS EDIFICAÇÕES .............................................................................16 
 3.1 Pilares Intermediários ...................................................................................................................................17 
 3.2 Pilares de Extremidade..................................................................................................................................18 
 3.3 Pilares de Canto.............................................................................................................................................19 
 
4. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE ACORDO COM SUAS ÁREAS DE INFLUÊNCIA ...................................20 
 4.1 Áreas de Influência .........................................................................................................................................21 
 4.2 Carga Total por Pavimento (ou teto) (p) ........................................................................................................21 
 4.3 Carga Total por Pilar .......................................................................................................................................22 
 4.4 Pré-dimensionamento do Pilar ......................................................................................................................23 
 4.5 Exemplo ..........................................................................................................................................................26 
 
5. TÓPICOS ESPECIAIS SOBRE PILARES ....................................................................................................................27 
 5.1 Índice de Esbeltez (λ) ....................................................................................................................................28 
 5.2 Carga Crítica de Euler ....................................................................................................................................30 
 
6. CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES DE ACORDO COM O ÍNDICE DE ESBELTEZ (λ) .....................................................32 
 
7. IMPERFEIÇÕES, EXCENTRICIDADES E EFEITOS DE 2ª ORDEM ............................................................................33 
 7.1 Imperfeições Geométricas ............................................................................................................................34 
 7.1.1 Imperfeições Globais ...........................................................................................................................34 
 7.1.2 Imperfeições Geométricas Locais........................................................................................................34 
 7.2 Excentricidades ..............................................................................................................................................35 
 7.2.1 Excentricidades de 1ª ordem ...............................................................................................................35 
 7.2.1.1 Excentricidade inicial ................................................................................................................35 
 7.2.1.2 Excentricidade acidental ..........................................................................................................36 
 7.2.1.3 Excentricidade mínima .............................................................................................................36 
 7.2.2 Excentricidades de 2ª ordem ...............................................................................................................36 
 7.2.3 Efeitos de 2ª ordem ..............................................................................................................................36 
 7.2.3.1 Efeitos Globais de 2ª ordem .....................................................................................................37 
 7.2.3.2 Efeitos Locais de 2ª ordem .......................................................................................................37 
 7.2.3.3 Efeitos Localizados de 2ª ordem ..............................................................................................37 
 7.2.4 Análise dos efeitos locais de 2ª ordem ................................................................................................38 
 7.2.5 Comportamento não-linear das estruturas .........................................................................................44 
 7.2.6 Verificação de pilares de acordo com a situação básica que ele ocupa dentro da edificação............49 
 7.2.6.1 Pilar Intermediário ....................................................................................................................49 
 7.2.6.2 Pilar de Extremidade ................................................................................................................50 
 7.2.6.3 Pilar de Canto ...........................................................................................................................54 
 
 
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7 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
8. DETERMINAÇÃO DOS MOMENTOS FLETORES FINAIS DE CÁLCULO, DE ACORDO COM AS EXPRESSÕES DADAS DOS 
ITENS 15.8.3.3.2 e 15.8.3.3.3 DA NBR 6118:2014...........................................................................................56 
 8.1 Exemplo 01 – Pilar Intermediário .................................................................................................................57 
 8.2 Exemplo 02 – Pilar Intermediário .................................................................................................................63 
 8.3 Exemplo 03 – Pilar de Extremidade ..............................................................................................................70 
 8.4 Exemplo 04 - Pilar de Extremidade ..............................................................................................................74 
 8.5 Exemplo 05 – Pilar de Canto .........................................................................................................................80 
 8.6 Exemplo 06 – Pilar de Canto .........................................................................................................................87 
 
9. SOLICITAÇÕES INICIAS NOS PILARES CONTRAVENTADOS ..................................................................................95 
 9.1 Introdução .....................................................................................................................................................96 
 9.2 Determinação dos momentos fletores oriundos da ligação das vigas com os pilares.................................96 
 9.3 Exemplos ........................................................................................................................................................97 
 Exemplo 01 – pilar de extremidade ..............................................................................................................97 
 Exemplo 02 – pilar de canto .........................................................................................................................99 
 Exemplo 03 – tarefa para o leitor .................................................................................................................102 
 9.4 Flexão composta reta e oblíqua ....................................................................................................................103 
 9.4.1 Introdução ............................................................................................................................................1039.4.2 Flexão composta reta ...........................................................................................................................107 
 9.4.3 Flexão composta oblíqua .....................................................................................................................109 
 9.5. Flexão composta de grande excentricidade (utilizando as expressões de flexão simples) ........................110 
 9.5.1 Verificação se a flexão composta é de grande excentricidade ...........................................................116 
 9.5.2 Caso em que a força normal é de tração ............................................................................................116 
 9.5.3 Exemplos 
 Exemplo 01 ...........................................................................................................................................117 
 Exemplo 02 ...........................................................................................................................................119 
 Exemplo 03 ...........................................................................................................................................120 
 Exemplo 04 ...........................................................................................................................................121 
 Exemplo 05 ...........................................................................................................................................124 
 9.6 Flexão composta com pequena excentricidade .........................................................................................125 
 Exemplo 01 ..................................................................................................................................................128 
 Exemplo 02 ..................................................................................................................................................130 
 
10. UTILIZAÇÃO DAS TABELAS PARA O DIMENSIONAMENTO DA FLEXÃO COMPOSTA RETA OU OBLÍQUA DE SEÇÕES 
RETANGULARES..........................................................................................................................................133 
 
11. PRESCRIÇÕES CONSTRUTIVAS REFERENTES AOS PILARES ...............................................................................138 
 
DETALHAMENTO FINAL DO PILAR EXEMPLIFICADO NO CAPÍTULO 10...................................................................145 
 
BIBLIOGRAFIA...........................................................................................................................................................146 
 
 
 
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8 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 01 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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9 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Os pilares são elementos estruturais, geralmente verticais, submetidos às ações 
predominantemente causadoras de tensões normais de compressão; presentes ainda outras ações 
capazes de introduzir solicitações transversais, tais como: 
 
• Vento; 
• Variação de temperatura, (ação variável indireta), 11.4.2.1 e 11.4.2.2; 
• Retração, (ação permanente indireta), 11.3.3.1; 
• Fluência, (ação permanente indireta), 11.3.3.2; 
• Efeito da protensão, obrigatório para concreto protendido, 11.3.3.5; 
• Efeito de pórtico, (oriundo das ligações rígidas entre vigas e pilares); 
• Imperfeições geométricas, (desaprumo construtivo), 11.3.3.4; 
• Indefinição do ponto de aplicação das cargas; 
• Efeitos de 2ª ordem, etc. 
 
Fica, dessa maneira, evidenciada a complexidade e multiplicidade das ações atuantes sobre 
esses elementos, tornando-os, talvez as peças estruturais mais importantes dentro do conjunto geral 
da edificação. Excetuando-se as ações oriundas do próprio carregamento, como por exemplo, peso 
próprio, peso dos revestimentos, sobrecargas, etc., as demais ações não são utilizadas de maneira 
muito simples. 
 
Para enfatizar a importância de algumas ações podemos citar: 
 
“Os esforços devido à ação do vento, devem ser considerados e, recomenda-se que sejam 
determinados de acordo com o prescrito pela NBR 6123, permitindo-se o emprego de regras 
simplificadoras previstas pelas Normas Brasileiras especificas”, tudo em acordo com a NBR 
6118:2014. 
 
 A ação do vento é obrigatória desde que possa produzir efeitos estáticos ou dinâmicos 
importantes. Isto ocorre nas estruturas formadas por “pórticos deslocáveis” ou “pórticos com nós 
deslocáveis”. 
 
 
 
 
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10 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
As estruturas são consideradas com os nós deslocáveis quando os mesmos mudam de posição 
como consequência da flexão de suas barras. Em caso contrário, são ditas, estruturas indeslocáveis. 
Posteriormente voltaremos ao assunto quando estudarmos a estabilidade das estruturas. 
 
Como, para o cálculo de pilares, a ação principal, na maioria das vezes é a força normal de 
compressão, será feito a seguir um exemplo para enfatizar a importância da consideração do 
desaprumo construtivo. Para outras ações veremos na continuidade do curso. 
 
EXEMPLO 
 
Seja um pilar de concreto armado, em balanço, submetido ao carregamento indicado na própria 
figura. 
 
 
 
 
 
• Momento fletor oriundo da carga horizontal: 
 
)18(.18003006 kNmcmkNMH →== 
 
 
 
 
 
 
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11 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
• Momento fletor oriundo do desaprumo: 
 
 kNmkNcmM a 1010002500 →== 
 
 
 
 
 
 
 
Teremos então o momento fletor final, de 1ª ordem, aH MMM +=1 
 
 kNcmM 2800100018001 =+= 
 
Podemos constatar que o momento gerado pelo desaprumo aumentou em mais de 55% o 
momento final de 1ª ordem, portanto, não deve ser desprezado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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12 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 02 
 
SUBDIVISÃO DAS ESTRUTURAS 
VERTICAIS - PILARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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13 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Podemos subdividir os pilares em dois grandes grupos: 
 
• Pilares contraventados; 
• Pilares de contraventamento. 
 
As estruturas de contraventamento ou subestrutura de contraventamento tem como função 
principal resistir às ações horizontais. 
 
Normalmente estas subestruturas são compostas de: 
 
• Paredes ou pilares de grandes dimensões; 
• Caixas de elevadores e escadas; 
• Estruturas treliçadas; 
• Pórticos, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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14 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Estas subestruturas possuem elevada rigidez e, como consequência, absorvem a maior parte 
das ações horizontais. 
 
Ao analisarmos a figura a seguir podemos identificar a existência de pilares de 
contraventamento e pilares contraventados. 
 
 
 
 
 
 
 
Nos edifícios altos, inicialmente, partimos do pressuposto que a caixa do elevador, sozinha, seja 
suficiente para contraventar toda a estrutura, isto é, fornece a estabilidade horizontal da estrutura. 
Se isso não se confirmar criamos novos elementos ou aproveitamos os já existentes. O item 15.4.3 
da NBR 6118:2014 trata do contraventamento das estruturas. 
 
Os elementos de contraventamento podem ser: 
 
• Flexíveis; 
• Rígidos. 
 
 
 
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15 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
 
Os elementos ou pilares contraventados assumem estruturalmente o esquema representado a 
seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 03 
 
SITUAÇÕES BÁSICAS DOS PILARES 
DENTRO DAS EDIFICACÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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17 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Os pilares podem ocupar três situações básicas diferentes dentro de um pavimento, como a 
seguir: 
 
 
 
 
3.1 PILARES INTERMEDIÁRIOS 
 
Estes pilares têm sua situação inicial, ou situação de projeto, como pilares submetidos apenas 
à carga centrada. É o caso do pilar P3, não existindo inicialmente, nenhum momento fletor oriundo 
da ligação do mesmo com as vigas e as lajes, já que estas são contínuas, veja figura: 
 
 
 
 
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18 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
3.2 PILARES DE EXTREMIDADE 
 
Geralmente estes pilares estão situados nas faces externas das edificações. O pilar P4 é um 
exemplo deste tipo de pilar, figura a seguir: 
 
Na direção (x), não havendo continuidade da V2 sobre o pilar P4, surgirá um momento fletor, 
nesta direção, cuja ordem de grandeza vai depender da relação de rigidez entre a V2b e o pilar P4. 
 
Na direção (y) a V6 tem continuidade sobre o P4, consequentemente não haverá momento 
inicial nesta direção. 
 
Assim, a situação inicial ou “situação de projeto” é a de flexão composta. A figura a seguir 
esclarece melhor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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19 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
3.3 PILARES DE CANTO 
 
Conforme o próprio nome sugere os pilares de canto geralmente estão posicionados nos cantos 
externos das edificações, P1, P2 e P5. 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, não havendo continuidade do vigamento sobre o pilar P1 nas duas direções: “x” e 
“y”, surgirão momentos fletores nas duas direções e cuja ordem de grandeza dependerá da relação 
de rigidez entre os dois elementos, viga-pilar. 
 
Assim, podemos concluir que, a situação inicial ou “situação de projeto” é a de flexão oblíqua. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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20 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 04 
 
PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE 
ACORDO COM SUAS ÁREAS DE INFLUÊNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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21 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
4.1 ÁREAS DE INFLUÊNCIA 
 
O teto-tipo, ou pavimento-tipo em estudo é subdividido em retângulos compreendendo as 
cargas que provavelmente se deslocarão para determinado pilar. Assim cada pilar terá a sua área de 
influência. 
 
Esta divisão, em áreas de influência, na maioria das vezes, não é tarefa muito fácil, devido a não 
uniformidade no posicionamento ou locação dos pilares. 
 
 
 
 
4.2 CARGA TOTAL POR PAVIMENTO (OU TETO) (p) 
 
Resulta da soma de todas as cargas verticais atuantes, tais como: 
 
• Peso próprio; 
• Carga dos revestimentos: vigas, pilares e lajes; 
• Paredes; 
• Sobrecargas, ou cargas de utilização, etc. 
 
A soma de todas essas cargas se situa no intervalo )./12/10( 22 mkNmkN − Porém em cada caso 
é necessário que se determine o valor correto dessas cargas, inclusive quando existirem paredes 
diretamente apoiadas sobre as lajes. 
 
 
 
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22 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
4.3 CARGA TOTAL POR PILAR 
 
Determinada a carga (p), por pavimento, em 2/mkN , ou em outra unidade conveniente, 
multiplicamos esta carga pela correspondente área de influência, resultando a carga, em kN para 
cada pilar. Assim, teremos a carga em cada teto, e em cada pilar, que somadas fornecerá a carga total 
no nível da fundação ou em outro nível qualquer. 
 
No teto-tipo “i “teremos a carga “N” no pilar ijj NP → ; 
 
Na laje de cobertura, simplificadamente, podemos considerar a carga: p7,0 
 
No nível do térreo fazemos a carga: p3,0 
 
 
 
 
 
Concluímos que a carga total em um determinado pilar, correspondente ao nível do térreo, de 
um edifício de 7 (sete) tetos-tipo, uma laje de cobertura e cintamento, será: 
 
 
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23 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
ijijijk NNNN 3,07,07 ++= , ficando excluídos os pilares da caixa d’água e da escada, pilares: P2, 
P3, P5 e P6. 
 
 
 
 
 
 
4.4 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DO PILAR 
 
Determinada a carga kN , no pilar prosseguimos no pré-dimensionamento, em função da 
posição que o pilar ocupa dentro da edificação, intermediário, extremidade e de canto. 
 
Segundo a NBR 6118:2014, mesmo nos pilares com carga supostamente centrada, pilares 
intermediários, deveremos considerar, pelo menos, as excentricidades )( ae , excentricidade acidental 
e quando for o caso as excentricidades de segunda ordem )( 2e e devidas à fluência )( ce . Isto faz com 
que o dimensionamento seja efetuado à flexão composta, reta ou oblíqua. 
 
Apenas nos casos de pré-dimensionamento os pilares serão tratados como submetidos a uma 
ação centrada )( *P sendo kNP =
* . 
 
: coeficiente que leva em consideração a posição do pilar dentro da edificação, além das 
excentricidades que serão levadas em consideração no cálculo definitivo do pilar. 
 
 
 
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24 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 )8,14,1( →= : para pilares intermediários; 
)0,28,1( →= : para pilares de extremidade; 
)2,20,2( →= : para pilares de canto. 
 
Determinado o valor de )( *P poderemos calcular a área da seção transversal do pilar )( cA . 
 
id
c
PA
*
= , id : tensão ideal de cálculo. 
 
 
 
 
Equações de equilíbrio 
 
+== scccd RRNX ........0 
 cccdcc AR = 
 hbAAAA csccc =→−= 
 )(85,0 sccdcc AAfR −= 
 
ssdsc AR = 2, , sabendo-se que 2,sd : tensão de cálculo obtida no diagrama do aço 
correspondente a uma deformação específica de 0002 . 
 
:ccA Área de concreto comprimido; 
sA : Área de aço; 
 
 
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25 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
cA : área da seção transversal do elemento estrutural; 
 
sssd E=2, , sabendo-se que: 
2/21000210 cmkNGPaEs == 
 
2,sd : Tensão de cálculo, obtida no diagrama do aço, correspondente a uma deformação de 0002 
)/2,4( /42
1000
2000.21 222, cmtfcmkNsd == 
 
ssdsccdd AAAfN +−= 2,)(85,0 
 
scdccdssdd AfAfAN 85,085,0 −+= )85,0(85,0 2, cdsdsccdd fAAfN −+= , 
 
Fazendo: 
c
s
s
c
d
id A
A
A
N
== e 
 
)85,0(
85,0
2, cdsd
c
s
c
ccd
c
d f
A
A
A
Af
A
N
−+= 
 
)85,0(85,0 2, cdsdscdid ff −+= , 
 
Assim conhecendo-se cks f e aço o ),2,5 à(2 00 00 , poderemos determinar o valor de id . 
 
id
c
PA
*
= , determinado o valor cA , transformamos em uma seção transversal. 
 
 
 
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26 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Se a seção transversal for retangular, arbitramos a dimensão (b) e em seguida calculamos (h). 
 
Podemos, inclusive, organizar uma tabela, para determinarmos )( id . 
 
id : tensão ideal de cálculo. 
 
 
4.5 EXEMPLO 
 
Para um pilar de canto, com kNNk 1100= , pede-se determinar as dimensões de uma seção 
transversal retangular, cuja dimensão mínima é de cm20 . 
 
Dados: 002 ,50:aço ,25 == sck CAMPaf 
 
Solução: 
 
)85,0(85,0 2, cdsdscdid ff −+= 
 
)
4,1
2585,0420(
100
2
4,1
2585,0 −+=id 
 
MPaid 2,23= 
 
kNP =
* , para pilar de canto: 2,2= 
 
kNP 242011002,2* == 
 
2
*
1043
32,2
2420 cmPA
id
c === , para: cmhcmb 5520 == 
 
A seção transversal do pilar será: cmx5520 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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27 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 05 
 
TÓPICOS ESPECIAIS SOBRE PILARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
www.fd13.com.br28 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
5.1 ÍNDICE DE ESBELTEZ ( ) 
 
i
l fl= , sendo: 
c
c
A
I
i = 
fll : comprimento de flambagem do pilar; 
i : raio de giração da seção geométrica do pilar na direção considerada; 
cI : momento de inércia da seção em relação aos eixos baricêntricos; 
cA : área da seção transversal de concreto. 
 
De acordo com NBR 6118:2014, 15.6, nas estruturas consideradas indeslocáveis, o 
comprimento de flambagem é limitado em: 
 
+ hl
l
l
o
fl , veja figura a seguir. 
 
 
 
 
 
ℓ: é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado, 
h: dimensão do pilar na direção considerada. 
 
 
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30 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
5.2 CARGA CRÍTICA DE EULER 
 
 
 
 
2
2
4l
EIN fl = 2
2
2
4
=
l
EIN fl 2
2
4
4
=
l
EIN fl 2
2
4
3
=
l
EIN fl 
2iAI c= 
 
2
2
4
ESN fl = 
 
2
2
4
E
fl = 2
2E
fl = 2
24 E
fl = 2
278,1 E
fl = 
 
 
 
Por definição, os raios de giração são os semieixos da elipse central de inércia, figura abaixo. A 
elipse central de inércia permite visualizar a variação do momento de inércia de uma superfície 
quando o eixo gira em torno do seu baricentro. 
 
 
 
 
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31 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
 
2
11 bbhI x = , 
2
11 abhI y = 
 
AAA == yflxfl ,, 
 
12
3bhI x = , = 12
3hbI y 
c
x
x A
I
i = , 
c
y
y A
I
i = , 
 
bh
bh
ix 12
3
= , 
46,312
bbix == , 46,312
hhiy == . 
 
Assim 
 
b
l
b
l
i
l xflxfl
x
xfl
x
,,, 46,3
46,3
=== , analogamente: 
h
l
h
l
i
l yflyfl
y
yfl
y
,,, 46,3
46,3
=== 
 
 
 
 
 
 
 
 
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32 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 06 
 
CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES DE ACORDO 
COM O ÍNDICE DE ESBELTEZ (λ) 
 
 
 
 
Segundo a NBR 6118:2014, item 15.8.2:
b
h
e1
1
5,1225 +
= os pilares podem ser classificados 
de acordo com o seu índice de esbeltez ( )como a seguir: 
 
1 : pilares curtos; 
901 : pilares moderadamente esbeltos; 
14090 : pilares esbeltos; 
200140 : pilares muito esbeltos. 
 
Posteriormente voltaremos a estudar este assunto com maiores detalhes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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33 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 07 
 
IMPERFEIÇÕES, EXCENTRICIDADES E 
EFEITOS DE 2ª ORDEM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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34 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
7.1 IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS (11.3.3.4) 
 
“Na verificação do estado limite último das estruturas reticuladas, devem ser consideradas as 
imperfeições geométricas do eixo dos elementos estruturais da estrutura descarregada. Essas 
imperfeições podem ser divididas em dois grupos: “imperfeições globais e imperfeições locais”. 
 
7.1.1 Imperfeições Globais (11.3.3.4.1) 
 
Na análise global das estruturas, sejam contraventadas ou não, deve ser considerado um 
desaprumo dos elementos verticais, conforme a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
n: é o número de prumadas de pilares no pórtico plano. NBR 6118:2014 
300
1
min1 = : para estruturas reticuladas e imperfeições locais; 
200
1
max1 = 
 H: altura total da edificação, em metros. 
 
Ainda em acordo com este mesmo item da norma, a consideração das ações do vento e 
desaprumo deve ser realizada de acordo com as seguintes possibilidades: 
 
a) Quando 30% da ação do vento for maior que ação do desaprumo, considera-se somente a 
ação do vento. 
b) Quando a ação do vento for inferior a 30% da ação do desaprumo, considera-se somente o 
desaprumo, respeitando a consideração de 1min conforme definido acima. 
c) Nos demais casos, combina-se a ação do vento e desaprumo, sem necessidade da 
consideração do 1min . Nessa combinação, admite-se considerar ambas as ações atuando 
na mesma direção e sentido como equivalentes a uma ação do vento, portanto como carga 
variável, artificialmente amplificada para cobrir a superposição. 
 
 
 
 
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35 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
7.1.2 Imperfeições Geométricas Locais (11.3.3.4.2) 
 
A figura 11.2 da NBR 6118:2014 e aqui representada pela figura a seguir trata de elementos de 
travamento, tracionados ou comprimidos; falta de retilineidade do pilar e desaprumo do pilar. 
 
“No caso de elementos que ligam pilares contraventados a pilares de contraventamento, 
usualmente vigas e lajes, deve ser considerada a tração decorrente do desaprumo do pilar 
contraventado”. 
“No caso da verificação de um lance de pilar, deve ser considerado o efeito do desaprumo ou 
da falta de retilineidade do eixo do pilar”. 
 
“Admite-se que, que nos casos usuais, a consideração apenas da falta de retilinidade ao longo 
do lance do pilar seja suficiente”. 
 
A imperfeição geométrica local pode ser avaliada através do ângulo: 
H100
1
1 = 
 
 
 
a) Elementos de travamento b) Falta de retilineidade c) Desaprumo 
Tracionado ou comprimido do pilar do pilar 
 
 
 
7.2 EXCENTRICIDADES 
 
7.2.1 Excentricidades de 1ª ordem 
 
7.2.1.1 Excentricidade Inicial 
 
 
 
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36 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
Sd
id
i N
M
e = 
idM : Momento fletor (inicial) de cálculo de 
a1 ordem, resultado da ligação viga-pilar; a NBR 
6118:2014 identifica este momento como dM 1 , SdN : Esforço normal solicitante de cálculo. 
 
7.2.1.2 Excentricidade Acidental 
 
A excentricidade acidental para um determinado lance de pilar é dada por: 
21
Hea = 
 
7.2.1.3 Excentricidade Mínima 
 
)( 03,05,1min,1 cmhe += 
 
h: é altura total da seção na direção considerada, em (cm). 
 
O item 11.3.3.4.3 da NBR 6118:2014 diz: 
 
“Os efeitos das imperfeições locais nos pilares, pode ser substituído em estruturas reticulares 
pela consideração do momento fletor mínimo de a1 ordem dado a seguir” 
 
)03,05,1(min,1 hNM dd += 
 
Ao considerarmos o momento fletor mínimo de a1 ordem min,1dM , podemos desconsiderar a 
excentricidade acidental ( )ae ou o efeito das imperfeições locais. A este momento, de a1 ordem, 
devem ser acrescidos os momentos de ordema2 , Capítulo 15 da NBR 6118:2014. 
 
7.2.2 Excentricidade de 2ª ordem 
 
A dispensa ou não dos efeitos de ordema2 depende de uma série de fatores: 
 
• Esbeltez ( ) 
• Excentricidade relativa h
e1 
• Forma do diagrama de momentos fletores de ordema 1 
 
7.2.3 Efeitos de 2ª ordem (15.4.1) 
 
Sob a ação das cargas verticais e horizontais, os nós da estrutura deslocam-se horizontalmente. 
Em decorrência desses deslocamentos surgem os efeitos de ordema2 . Isto significa dizer que, 
 
 
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37 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
quando o cálculo de uma estrutura é realizado na sua posição deformada, estamos fazendo uma 
análise em 2ª ordem. Os efeitos de 2ª ordem podem ser subdivididos em três situações, analisadas a 
seguir. 
 
 
7.2.3.1 Efeitos globais de 2ª ordem 
 
Quando os nós da estrutura se deslocam horizontalmente surgem os “esforços de ordema2 ”, 
que são chamados de “efeitos globais de ordema2 ”. 
 
7.2.3.2 Efeitos locais de 2ª ordem 
 
Nas barras que compõem a estrutura, como por exemplo, um lance de pilar, surgem os “efeitos 
locais de ordema2 ”, provocados pela não retilineidade do seu eixo. 
 
7.2.3.3 Efeitos localizados de 2ª ordem 
 
Ocorre principalmenteem pilares-parede, simples ou compostos. Pode acontecer que em 
determinadas regiões dos pilares a não-retilineidade seja maior que a do próprio pilar. As figuras a 
seguir foram retiradas da NBR 6118:2014. 
 
 
 
Nas estruturas de nós fixos, quando os deslocamentos dos seus nós forem pequenos, inferiores 
a 10% dos respectivos esforços de ordema 1 , os efeitos globais de ordema2 podem ser desprezados. 
Nessas estruturas é suficiente considerar os efeitos locais e os efeitos localizados. 
 
Uma estrutura reticulada simétrica pode ser considerada de nós fixos se o seu parâmetro de 
instabilidade ( ) , for menor que ( )1 , conforme a expressão dada em 15.5.2 da NBR 6118:2014. 
 
ccs
K
tot IE
NH= , onde: 
=
+=
 4 :se 0,6
3:se ,1,02,0
1
1
n
nn
 
 
 
 
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38 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Nas estruturas de nós móveis, os deslocamentos não são pequenos, isto é, são superiores a 
10% dos respectivos esforços de ordema 1 ; consequentemente devem ser considerados os três 
efeitos de ordema2 o global, o local e o localizado. 
 
Outro parâmetro que avalia a importância dos esforços de 2ª ordem global é através coeficiente 
( z ). Ele pode ser determinado a partir dos resultados de uma análise linear de 1ª ordem, para cada 
caso de carregamento, adotando-se os valores de rigidez dados em 15.7.3, da NBR 6118:2014. Este 
coeficiente só é válido para estruturas reticulares de no mínimo quatro andares. Uma estrutura é 
considerada de nós fixos se for obedecida a condição: 1,1z da NBR 6118:2014, 15.5.3. Valores de
3,11,1 z devem ser aplicados à estrutura, corrigindo as suas solicitações. Para 3,1z , 
deveremos enrijecer a estrutura. 
 
 
dtot
dtot
z
M
M
,,1
,1
1
−
= 
 
dtotM , : É a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, na 
combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus 
respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise de 1ª ordem. Este termo procura quantificar o 
esforço de 2ª ordem inicial. 
 
dtotM ,,1 : É o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças 
horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura. 
Este termo quantifica o esforço de 1ª ordem. 
 
Dessa maneira, podemos escrever a expressão anterior de forma mais simples: 
 
 
d
d
z
M
M
1
21
1
−
= 
 
7.2.4 Análise dos efeitos locais de 2ª ordem 
 
Inicialmente trataremos apenas de pilares contraventados, ou seja, que os seus nós, sejam 
considerados fixos, dessa maneira é suficiente considerar apenas os efeitos locais de ordema2 . 
 
De acordo com o item 15.8.2 da NBR 6118:2014, os efeitos locais de ordema2 em elementos 
isolados podem ser desprezados quando o índice de esbeltez ( ) for menor que ( )1 . 
 
 
 
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39 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
b
h
e1
1
5,1225 +
= , onde: →9035 1 1e : excentricidade de
a1 ordem; 
 
• h : altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura, na direção 
considerada; 
• b : O valor de b , depende das condições de extremidade do pilar e da existência ou 
não de cargas transversais ao longo de sua altura. 
 
O valor de b deve ser obtido conforme estabelecido a seguir. NBR 6118:2014: 
 
a) para pilares biapoiados sem cargas transversais; 
 
 40,040,060,0 +=
A
B
b M
M
, sendo 0,14,0 b 
 
 “ BA MM e , são os momentos de
a1 ordem nos extremos do pilar. Deve ser adotado para 
AM o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para BM o sinal positivo, se tracionar a 
mesma face que AM , e negativo em caso contrário”. 
 
b) para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura; 
 
0,1=b 
 
c) para pilares em balanço; 
 
 85,020,080,0 +=
A
C
b M
M
, sendo 0,185,0 b 
“ AM é o momento de 
a1 ordem no pilar e CM é o momento de 
a1 ordem no meio do balanço; 
 
d) para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento mínimo 
estabelecido em 11.3.3.4.3; 0,1=b 
 
O cálculo dos efeitos locais de ordema2 pode ser feito pelo método geral ou por métodos 
aproximados. 
 
Quando 140 , o método geral é obrigatório; 
Quando 140 , podemos utilizar um método aproximado. 
 
 
 
 
 
 
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40 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
A NBR 6118:2014 apresenta quatro métodos simplificados, sendo mais utilizados os seguintes: 
• Método do pilar padrão com curvatura aproximada; 
• Método do pilar padrão com rigidez ( )k aproximada. 
 
Estes dois métodos só podem ser utilizados quando 90 , pilar de seção constante e 
armadura constante ao longo do eixo do pilar. 
 
Barras submetidas a flexo-compressão normal (NBR 6118:2014, 15.8.3.1) 
 
No caso do Método do pilar padrão com curvatura aproximada, NBR 6118 2014, 15.8.3.3.2: 
 
A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a 
deformação na barra seja senoidal, a não-linearidade física é considerada através de uma expressão 
aproximada da curvatura na seção crítica, sendo que o momento fletor máximo no pilar deve ser 
calculado pela seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
Ad
e
SdAdbtotd Mr
l
NMM ,1
2
,1,
1
10
+= ( AidAd MM ,,1 = ) 
 
r
1
: curvatura na seção crítica. 
 
 
 
 
 
 
 
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41 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
De forma aproximada podemos avaliar a curvatura na seção crítica: 
 
( ) hhr
005,0
5,0
005,01
+
= 
 
=
min,1,1 dAd
cdc
Sd
MM
fA
N
 
 
: força normal adimensional, ( )5,0 
 
:min,1dM Em acordo com o item 15.8.2; 
 
h : altura da seção transversal na direção considerada; 
 
AdM ,1 : valor de cálculo, de ordem
a 1 , do momento AM , item 15.8.2; 
 
21, eNMM Sddbtotd += 
 
( )5,0
005,0
10
1
10
22
2 +
=
hr
e eè
AA
 
 
No método do pilar padrão com rigidez (k) aproximada, NBR 6118:2014, 15.8.3.3.3: 
 
A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a 
deformação na barra seja senoidal, a não-linearidade física deve ser considerada através de uma 
expressão aproximada da rigidez, sendo que o momento fletor máximo no pilar deve ser calculado a 
partir da majoração do momento de ordema 1 pela seguinte expressão: 
 
 
 
 
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42 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
−
=
min,1
,1
2
,1
,
120
1 d
AdAdb
totd M
M
k
M
M 
k : Rigidez adimensional, onde: +=
Sd
totd
hN
M
k ,5132 quando se optar pelo cálculo iterativo 
duas ou três iterações são suficientes. Substituindo a 2ª equação na 1ª teremos uma equação do 
segundo grau que pode ser apresentada de duas formas. 
 
 
a) ( ) 0384019200384019200 1,122 , =−−−+ dSSdbtotSddSbSdSdtotSd MhNMMNhNhM 
b) 0,
2
, =++ CMBMA totSdtotSd 
 
 
−=
−−=
=
AdSSd
AdS
Sd
sd
MhNC
Mh
N
NhB
hA
,1
2
,1
2
2 5
320
5
A
 
mtfM
tfN
AdS
Sd
:
:
,1
 
 
 h, é a altura da seção transversal do pilar na direção considerada. 
 
 
Método do pilar padrão para pilares de seção retangular submetidos à flexão composta oblíqua. 
(NBR 6118:2014, 15.8.3.3.5) 
 
“Quando a esbeltez de um pilar de seção retangular submetido à flexão composta oblíqua for 
menor que 90 ( )90 nas duas direções principais, pode ser aplicado o processo aproximado 
descrito em 15.8.3.3.3 simultaneamente em cada uma das duas direções”. 
 
“Essa verificação pode ser realizada em apenas três seções: nas extremidades A e B e num 
ponto intermediário onde se admite atuar concomitantemente os momentos totSdM , nas duas 
direções ( )yx e ”. 
 
Assim, mesmo que o índice de esbeltez limite ( )1 seja menor que ( )em apenas uma das 
direções é necessário calcular os efeitos de 2ª ordem nas duas direções, para que seja feita a 
verificação intermediária, entre as seções A e B. 
 
Consideração dafluência: Deve ser obrigatoriamente considerada em pilares com 90 , 
podendo ser avaliada, de forma aproximada, através da expressão: 
 
 
 
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43 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
−+= − 1718,2 Sge
Sg
NN
N
a
Sg
Sg
cc eN
M
e 
 
Sendo, 
 
2
10
e
cci
e
IE
N
A
= : carga crítica de Euler; 
cdC
sd
fA
N
= 
2
e
ae
A
= : Excentricidade devido às imperfeições locais, conforme figura 11.2 da NBR 6118:2014; 
 
SgSg NM e : São os esforços solicitantes devidos à combinação quase permanente; 
 
: Coeficiente de fluência, tabela 8.2 da NBR 6118:2014; 
 
ciE : Módulo de elasticidade ou módulo de deformação inicial do concreto no instante 0t , item 8.1; 
 
cI : Momento de inércia da seção de concreto, item 4.2.3; 
 
+
A
A
A
h
e
0 , de acordo com o item 15.6; 
 
A consideração do efeito de ordema 2 deve ser feita como se fosse um efeito imediato, ao final 
somando-se a excentricidade de ordema 1 , como a seguir: 
 
−
=+=
min,1
1
2
1
21
120
1 A
AAb
tot e
e
k
e
eee 
 
Para pilares com 140 , na determinação dos efeitos de ordema 2 , é obrigatório a utilização 
do método geral. 
 
Finalmente podemos escrever: cceeee ++= 21 
 
Conclusão: 
 
Conhecendo-se )( SdN e os momentos fletores totSdxtotSdx MeM , , , podemos fazer o 
dimensionamento do pilar para a seção mais desfavorável. 
 
 
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44 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Vimos também, anteriormente, que os pilares contraventados são calculados por trechos, entre 
tetos, dessa maneira precisamos conhecer a seção mais desfavorável do pilar, se aquela onde ocorre 
max,1e ou onde ocorre max,2e , veja figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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45 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
7.2.5 Comportamento não-linear das estruturas 
 
Neste item vamos procurar fornecer uma visão básica introdutória, da consideração, da não-
linearidade, nas estruturas de concreto armado. Cada vez mais os termos: “não-linearidade física” e 
“não-linearidade geométrica” estão presentes e são indispensáveis na análise correta das estruturas 
de concreto armado. Podemos dizer que uma análise não-linear é aquela, cuja resposta, seja em 
deslocamentos, tensões ou esforços, também é não-linear. 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
Causas do comportamento não-linear das estruturas: 
 
• Quando existe alteração nas propriedades dos materiais que compõem as estruturas, 
estamos diante da “não-linearidade física”. 
 
• Quando a alteração se processa na geometria da estrutura, dizemos tratar-se de “não-
linearidade geométrica”. 
 
 
Porquê da consideração do comportamento não-linear das estruturas de concreto armado? 
• O concreto armado tem comportamento não-linear, 
• A resposta da estrutura é mais real, 
• Afetam diretamente os esforços e as deformações presentes em uma estrutura, 
• A esbeltez dos elementos é fundamental, quanto maior a esbeltez maior a importância 
do comportamento não-linear. 
 
Como considerar o comportamento não-linear das estruturas de concreto armado diante da 
NBR 6118:2014? 
 
 
 
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46 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
No caso da não-linearidade física, nos edifícios de concreto armado, concreto e aço tem suas 
propriedades alteradas à medida que o carregamento é aplicado. Podemos observar, por exemplo, 
o diagrama tensão x deformação; à medida que aumentamos as cargas, as tensões e as deformações 
também aumentam, porém de forma desproporcional. 
 
A fissuração é outro fator muito importante na análise de estruturas de concreto, já que, o 
concreto tem baixa resistência à tração. As vigas e lajes são elementos que trabalham 
fundamentalmente à flexão e, portanto, a fissuração é fator decisivo na resposta não-linear. 
A rigidez da estrutura e mesmo dos seus elementos isolados também são fatores importantes 
na consideração da não-linearidade física. 
 
A NBR 6118:2014, item 15.7.3, “consideração aproximada da não-linearidade física”, faz uma 
correção na rigidez de vigas: cci IEEI 4,0)( sec = quando ss AA e cci IEEI 5,0)( sec = , quando 
ss AA = , lajes: cci IEEI 3,0)( sec = e pilares: cci IEEI 8,0)( sec = , para de modo aproximado, considerar 
a não-linearidade física. Também é possível considerar a NLF, através do diagrama momento-
curvatura e do diagrama normal-momento-curvatura, ambos dão uma resposta mais real que aquela 
obtida com a consideração da correção da rigidez. 
 
A não-linearidade geométrica, que também gera uma resposta não-linear nas estruturas, é 
tratada pela NBR 6118:2014 através dos efeitos de 2ª ordem. Os efeitos de 2ª ordem devem ser 
obrigatoriamente considerados no cálculo de pilares e na verificação da estabilidade global de um 
edifício. Na análise de 1ª ordem e seus efeitos: deslocamentos e deformações a condição de 
equilíbrio é tomada na configuração geométrica inicial não deformada, enquanto que na situação 
real as condições de equilíbrio devem ser tomadas na posição final já deformada. 
 
Vamos retomar o exemplo processado no início deste trabalho quando, foi dada ênfase ao 
desaprumo, que é uma imperfeição geométrica. Veremos agora, de maneira simplificada, como 
calcular um efeito de 2ª ordem. Seja um pilar de concreto armado, em balanço, submetido ao 
carregamento indicado na própria figura. 
 
 
22.350 /csE kN cm= 
 
 
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47 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
• Momento fletor oriundo da carga horizontal: 
 
)18(.18003006 kNmcmkNMH →== 
 
 
 
• Deslocamento do topo do pilar em função da carga horizontal: 
 
- Para a carga horizontal teremos: cm
EI
HaH 72,1
12
2023503
3006
3 4
33
===
A
 
 
A flecha de 1ª ordem no topo do pilar ( )cm72,1= , altera o ponto de aplicação da carga vertical 
gerando momentos de 2ª ordem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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48 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Podemos constatar que cada alteração na posição do ponto (A), (A1), (A2), (A3), etc., é 
ocasionada por um novo incremento de 2ª ordem, até ser alcançada a posição final de equilíbrio. 
 
 
 
 
 
O deslocamento final provocado pela ação vertical, mais a ação horizontal, conduz ao cálculo 
do momento fletor de 2ª ordem e é dado pela equação: 
 
−
=
−
=
fl
H
fl N
N
a
N
NEI
Ha
1
1
1
1
3
3
2
A
; kNEIN fl 8603004
12
202350
4 2
42
2
2
===
A
; 
 
cma 11,4
860
5001
172,12 =
−
= 
 
2 2500 500 4,11 20,6M a kNm= = = , (momento de 2ªordem) 
 
A variação do momento fletor de 2 ,2 Mordem
a é influenciado diretamente pelo índice de 
esbeltez ( ) . Quanto maior o índice de esbeltez maior será 2M . 
 
Momento fletor total na base do pilar: 
 
21 MMMt += 
kNcmMMMM aHt 4860206028002060)10001800()()( 2 =+=++=++= . 
 
Assim, podemos dizer que a consideração do momento fletor de 2 ,2 Mordem
a é muito 
importante e, em muitos casos não deve ser desprezado. 
 
 
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49 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
7.2.6 Verificação de pilares de acordo com a situação básica que ele ocupa dentro 
da edificação 
 
7.2.6.1 Pilar Intermediário 
 
Os pilares intermediários, tem situação inicial de compressão centrada, ou seja, momentos 
fletores iniciais nulos: 0== iyix MM conduzindo a excentricidades iniciais nulas também nas duas 
direções 0== iyix ee . 
 
Para esta situação o pilar será verificado para os momentos mínimos nas direções “x” e “y” nas 
seções de extremidade (A) ou (B) e, na seção intermediária (C), se houver efeito de 2ª ordem 
importante. No caso de pilares intermediários a seção mais desfavorável será sempre a seção (C) 
independente, de haver ou não efeitos de 2ª ordem. 
 
 
 
 
 
Fazemos as duas verificações acima nas direções “x” e “y”, independentes, adotando a 
situação mais desfavorável.www.fd13.com.br 
50 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
 
7.2.6.2 Pilar de Extremidade 
 
Neste caso existe momento inicial, apenas em uma das direções resultado da ligação da viga 
com o pilar. 
 
0 0
0 0
ix ix
iy iy
M e
M e= =
 podendo também ocorrer: 
0 0
0 0
ix ix
iy iy
M e
M e
= =
 
 
Várias situações podem ocorrer: 
 
 
 
 
 
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51 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
1. Os momentos inicias tracionam as mesmas fibras, sendo constantes ou não ao longo do 
seu comprimento. 
 
 
 
 
2. Os momentos iniciais tracionam fibras opostas. 
 
 
 
 
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52 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Quando os momentos de 1ª ordem dSM 1 forem menores que os momentos mínimos, 
independente de tracionarem ou não as mesmas fibras, as verificações deverão ocorrer utilizando-
se dos momentos mínimos. Em caso contrário, quando os momentos de 1ª ordem dSM 1 , forem 
maiores que os mínimos a verificação deverá ocorrer para dSM 1 , nas duas direções, nas seções de 
extremidade e na seção intermediária, acrescentando-se os momentos de 2ª ordem. 
 
 
 
 
 
 
 
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53 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
 
7.2.6.3 Pilar de Canto 
 
Neste caso existe momento inicial nas duas direções resultado da ligação da viga com o pilar. 
 
00
00
iyiy
ixix
eM
eM
 
 
 Algumas situações podem ocorrer: 
 
 
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54 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
 
 
 
 
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55 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 08 
 
DETERMINAÇÃO DOS MOMENTOS FLETORES FINAIS DE 
CÁLCULO, DE ACORDO COM AS EXPRESSÕES DADAS EM 
15.8.3.3.2 e 15.8.3.3.3 DA NBR 6118:2014. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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56 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
8.1 EXEMPLO 1 
 
Para o pilar intermediário, contraventado, a seguir, pede-se para determinar os esforços finais 
de cálculo, ) ,( SdSd MN e a seção (intermediária ou de extremidade) onde deverá ser feito o 
dimensionamento. Não existem cargas horizontais significativas ao longo do pilar. Determinar 
também as excentricidades finais, situação de projeto e situações de cálculo 1 e 2, bem como as áreas 
de aço das armaduras longitudinais utilizando os ábacos de flexão composta do Prof. Venturini. 
 
 
 
 
 
 
1 – Esforço normal de cálculo )( SdN kNNNN dkfSd 7005004,1 ==→= 
 
2 – Esbeltez )( 9,51
20
30046,346,3 ===
x
ex
x h
A
 26
40
30046,346,3 ===
y
ey
y h
A
 
 
3 - Momentos mínimos )( min,1dM 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) kNcmhNM
kNcmhNM
ySddy
xSddx
18904003,05,170003,05,1
14702003,05,170003,05,1
min,1
min,1
=+=+=
=+=+=
 
 
 
 
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57 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
4 – Momentos de 1ª ordem 
 
Os momentos de 1ªordem dSM 1 serão iguais aos momentos mínimos min,1dM . 
 
 
 
 
5 – Verificação da necessidade da utilização dos efeitos locais de 2ª ordem dSM 2 
 
5.1 – Seções de extremidades (A) ou (B) 
 
Nas seções de extremidade não teremos momentos de 2ª ordem. Para esta situação os 
momentos finais serão os momentos de 1ª ordem, que são iguais aos momentos mínimos. 
 
5.2 – Seções intermediárias (C) 
 
5.2.1 – Determinação de b 
Pilares biapoiados sem cargas transversais: 4,04,06,0 +=
A
B
b M
M
 
BdS
AdSA
MM
MM
,1
,1
=
=
B
 
Assim: 0,1== bybx 
 
 
 
 
 
 
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58 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
5.2.2 – Determinação da esbeltez de comparação 
b
h
e1
1
5,1225 +
= Sendo: 9035 1 
 
Direção“x” 
bx
x
sd
dxS
x
h
N
M 1
1
5,1225 +
= , 35353,26
0,1
20
700
1470
5,1225
11 ==
+
= xx 
 
Como: 359,51 1 == xx considerar os efeitos de 2ª ordem. 
 
Direção “y”
by
y
sd
dyS
y
h
N
M 1
1
5,1225 +
= , 35358,25
0,1
40
700
1890
5,1225
11 ==
+
= yx 
 
Como: 3526 1 == yy não considerar os efeitos de 2ª ordem. 
 
 
6 – Determinação dos momentos de 2ª ordem e momentos totais: dSM 2 e totSdM , 
 
6.1 - Utilizando o Método do pilar padrão com curvatura aproximada MPP c A. 
 
 
 ( ) A
N
 ,
5,0
005,0
r
1 ,1
10 c
Sd
x
2
2
cdxx
ex
x fhr
e =
+
==
A
 
 
 
 50,050,049,0
4,1
5,24020
700
=== 
 
( )
14105.2
205,05,0
005,01 −−=
+
= cm
rx
cme x 25,2105,210
300 42
2 ==
− 
 
 
cmkNeNMM
cmkNeNMM
ySdAdybyytotd
xSdAdxbxxtotd
=+=+=
=+=+=
18900,070018900,1
304525,270014700,1
2,1,,
2,1,,
 
 
 
 
 
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59 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
6.2 – Diagramas finais. 
 
 
 
 
7 – Excentricidades 
 
7.1 - Seções (A) ou (B) 
 
 
 
7.2 – Seção (C) 
 
 
 
 
 
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60 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
8 – Utilizando o Método do pilar padrão com rigidez (k) aproximada MPP k A. 
 
8.1 – Direção “x” 
 
2
, , , , 0Sd tot x Sd tot xA M B M C+ + = 
 
−=
−−=
=
AdxSxSd
AdxSx
Sd
sdx
x
MhNC
Mh
N
NhB
hA
,1
2
,1
2
2 5
320
5
A
 
mtfM
tfN
AdS
Sd
:
:
,1
 
2
2
2
5 0, 2 1, 0
70 30, 2 70 5 0, 2 1, 47 0, 64
320
70 0, 2 1, 47 4,12
A
B
C
= =
= − − = −
= − = −
 
2
, , , ,1, 0 0, 64 4,12 0Sd tot x Sd tot xM M− − = 
 
 
( )2
,
0, 64 0, 64 4 4,12
2,37 2370
2Sdx tot
M tfm kNcm
− −
= = = ; 
 
 
 
 
Verificando a convergência 
 
 
0.5= , , ,
237032 1 5 32 1 5 0.5 29,54
20 700
Sd tot x
x sd
M
k
h N
= + = + = 
 
 
1 , .
, , 2 2
1470 2370
51,911 29,54120 120 0,5
S d x C
Sd tot x
x
M
M kN cm
k
= = =
−−
 
 
 
 
 
 
 
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61 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
8.2 – Diagramas 
 
 
 
 
 
 
9 – Armações - MPP c A 
 
A 1ª situação de cálculo, da seção intermediaria (C) quando utilizado o MPP c A, é a mais 
desfavorável, pois a excentricidade é maior na direção da menor dimensão da seção transversal. 
Utilizaremos para o cálculo das armações longitudinais os ábacos de Venturini. 
 
, , , 3045sd tot x CM kNcm= , 700sdN kN= 
 
4.350.5, = 0.5 0.11
20
x
x
e
h
= = = , 
4 0.20
20
x
x
d
h
= = 
 
E utilizando o ábaco A-4, Venturini, encontramos o coeficiente 0,03= . Assim podemos 
determinar a área de aço. 
 
,min2
2.520 40
1.40,03 1.2850 0.004
1.15
sc cd
s
yd c
AA fA cm
f A
= = = 
 
 
 
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62 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
2
,min
7000,15 0,15 2,4250
1,15
sd
s
yd
NA cm
f
= = = e 20,004 0,004 20 40 3,20cA cm= = , 
 
Portanto a área de aço a ser adotada será 23, 2cm o que corresponderia a 6 10mm . Essas 
barras serão distribuídas nas duas faces maiores do pilar. 
 
Não há dúvida de que, quando se tratar de pilar intermediário, o dimensionamento mais 
desfavorável ocorrerá na seção intermediaria (C), havendo ou não efeitos de .2 ordema 
 
 
8.2 EXEMPLO 2 
 
Para o pilar intermediário, contraventado, a seguir, pede-se para determinar os esforços finais 
de cálculo, ) ,( SdSd MN e a seção (intermediária ou de extremidade) onde deverá ser feito o 
dimensionamento. Não existem cargas horizontais significativas ao longo do pilar. Determinar 
também as excentricidades finais, situação de projeto e situações de cálculo 1 e 2, bem como as áreas 
de aço das armaduras longitudinais utilizando os ábacos de flexão composta do Prof. Venturini. 
 
São dados: 
 
 
 
 
 
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63 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
1 – Esforço normal de cálculo )( SdN 
 
 kNNNN SdkfSd 7005004,1 ==→= 
 
2 – Esbeltez )( 
 
9,77
20
45046,346,3===
x
ex
x h
A
 9,51
30
45046,346,3 ===
y
ey
y h
l
 
 
3 – Momentos mínimos )( min,1dM 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) kNcmhNM
kNcmhNM
ySddy
xSddx
16803003,05,170003,05,1
14702003,05,170003,05,1
min,1
min,1
=+=+=
=+=+=
 
 
4 – Momentos de 1ª ordem dSM 1 
 
Os momentos de 1ªordem dSM 1 serão iguais aos momentos mínimos min,1dM . 
 
 
 
 
 
 
 
 
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64 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
5 – Verificação momentos de 2ª ordem ( dSM 2 ) 
 
5.1 – Seções de extremidades (A) ou (B) 
 
Nas seções de extremidade não teremos momentos de 2ª ordem. Para esta situação, os 
momentos finais serão os momentos de 1ª ordem, que são iguais aos momentos mínimos. 
 
5.2 – Seções intermediárias (C) 
 
5.2.1 – Determinação de b 
 
Pilares biapoiados sem cargas transversais: 
 
 4,04,06,0 +=
A
B
b M
M
 
BdS
AdSA
MM
MM
,1
,1
=
=
B
 Assim: 0,1== bybx 
 
5.2.2 – Determinação da esbeltez de comparação 
 
 
b
h
e1
1
5,1225 +
= 
 
Sendo: 9035 1 
 
Direção “x” 
bx
x
sd
dxS
x
h
N
M 1
1
5,1225 +
= , 35353,26
0,1
20
700
1470
5,1225
11 ==
+
= xx 
 
 
Como: 359,77 1 == xx considerar os efeitos de 2ª ordem. 
 
 
Direção “y” 
by
y
sd
dyS
y
h
N
M 1
1
5,1225 +
= , 353526
0,1
30
700
1680
5,1225
11 ==
+
= yy 
 
 
Como: 3559 1 == yy considerar os efeitos de 2ª ordem. 
 
 
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65 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
6 – Determinação dos momentos de 2ª ordem dSM 2 momentos totais totSdM , 
 
6.1 – Utilizando o Método do pilar padrão com curvatura aproximada MPP c A 
 
r
l
e exx
1
10
2
2 = , )5,0(
005,01
+
=
xhr
, 5,065,0
4,1
5,23020
700
===
cdc
d
fA
N
 
 
141 1017,2000217,0
)5,065,0(20
005,01 −−− ==
+
= cmxcm
r
 
 
 
cme x 39,4000217,010
4502
2 == 
 
 
r
l
e eyy
1
10
2
2 = , )5,0(
005,01
+
=
yhr
, 5,065,0
4,1
5,23020
700
===
cdc
d
fA
N
 
 
 141 1045,1000145,0
)5,065,0(30
005,01 −−− ==
+
= cmxcm
r
 
 
 
cme y 93,2000145,010
4502
2 == 
 
 
cmkNeNMM
cmkNeNMM
ydydAbytotSdy
xdxdAbxtotSdx
=+=+=
=+=+=
373193,270016800,1
454339,470014700,1
2,1,
2,1,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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66 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
6.2 – Diagramas finais 
 
 
 
 
 
7 – Excentricidades 
 
7.1 - Seções (A) ou (B) 
 
 
 
7.2 – Seção (C) 
 
 
 
 
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67 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
8 – Utilizando o Método do pilar padrão com rigidez (k) aproximada MPP k A. 
 
0,
2
, =++ CMBMA totSdtotSd 
 
 
−=
−−=
=
AdSSd
AdS
Sd
sd
MhNC
Mh
N
NhB
hA
,1
2
,1
2
2 5
320
5
A
 
mtfM
tfN
AdS
Sd
:
:
,1
 
 
 
8.1 – Direção “x” 
 
 
2
2
2
5 0, 2 1, 0
70 4,50, 2 70 5 0, 2 1, 47 3,1
320
70 0, 2 1, 47 4,11
A
B
C
= =
= − − = −
= − = −
 
 
2
, ,1, 0 0, 64 4,11 0Sdx tot Sdx totM M− − = 
 
 
 ; 
( )2
,
3,1 3,1 4 4,11
4,1 4100
2Sdx tot
M tfm kNcm
− −
= = = 
 
 
Verificando a convergência 
 
 
0.65= , , ,
410032 1 5 32 1 5 0.65 51, 26
20 700
Sd tot x
x sd
M
k
h N
= + = + = ; 
 
 
1 , .
, , 2 2
1470 4099
77,911 51, 26120 120 0, 65
S d x C
Sd tot x
x
M
M kN cm
k
= = =
−−
 
 
 
 
 
 
 
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68 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
8.2 - Direção “y” 
 
 
2
2
2
5 0,3 1,5
70 4,50,3 70 5 0,3 1, 68 0, 65
320
70 0,3 1, 68 10,58
A
B
C
= =
= − − = −
= − = −
 
 
 
2
, ,1,5 0, 65 10,58 0Sdy tot Sdy totM M− − = 
 
 
( ) ( )2
,
0, 65 0, 65 4 1,5 10,58
2,88 2880
2 1,5Sdy tot
M tfm kNcm
− −
= = = 
 
 
kNcmM totSdy 2880, = 
 
 
 Verificando a convergência 
 
 
0.65= , , ,
288032 1 5 32 1 5 0.65 35, 06
30 700
Sd tot x
x sd
M
k
h N
= + = + = ; 
 
 
1 , .
, , 2 2
1680 2881
51,911 35, 06120 120 0, 65
S d x C
Sd tot x
x
M
M kN cm
k
= = =
−−
 
 
 
9 – Armações 
 
A 1ª situação de cálculo, MPP c A, da seção intermediaria (C) é a mais desfavorável, pois a 
excentricidade é maior na direção da menor dimensão da seção transversal. Utilizaremos para o 
cálculo das armações longitudinais os ábacos de Venturini. 
 
, , , 4543sd tot x CM kNcm= , 
 
700sdN kN= 
 
 
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69 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
6.490.65, = 0.65 0.21
20
x
x
e
h
= = = , 
4 0.20
20
x
x
d
h
= = , 
 
Utilizando o ábaco A-4, Venturini, encontramos o coeficiente 0,58= . Assim podemos 
determinar a área de aço. 
 
,min2
2.520 30
1.40,58 14,2950 0.004
1.15
sc cd
s
yd c
AA fA cm
f A
= = =
 
 
2
,min
7000,15 0,15 2,4250
1,15
sd
s
yd
NA cm
f
= = = e 20, 004 0, 004 20 30 2, 40cA cm= = , 
 
 
2
,max. 0, 08 0, 08 20 30 48, 00s cA A cm= = = , 
 
 
214, 29 8 16sA cm= → → 4 barras em cada face do pilar. 
 
 
Não há dúvida que quando se tratar de pilar intermediário o dimensionamento mais desfavorável 
ocorrerá na seção intermediaria (C), havendo ou não efeitos de .2 ordema 
 
 
 
8.3 EXEMPLO 3 
 
Para o pilar de extremidade, contraventado, a seguir, pede-se para determinar os esforços finais 
de cálculo, ) ,( SdSd MN e a seção (intermediária ou de extremidade) onde deverá ser feito o 
dimensionamento. Não existem cargas horizontais significativas ao longo do pilar. Determinar 
também as excentricidades finais, situação de projeto e situações de cálculo 1 e 2, bem como as áreas 
de aço das armaduras longitudinais utilizando os ábacos de flexão composta do Prof. Venturini. 
 
 
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70 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
1 – Esforço normal de cálculo )( SdN 
 
1, 0 1, 4 600 840Sd n f k dN N N kN= → = = 
 
 
2 – Esbeltez )( 
 
3003, 46 3, 46 51,9
20
ex
x
xh
= = = 8.20
50
30046,346,3 ===
y
ey
y h
A
 
 
3 – Momentos mínimos 
 
)( min,1dM 
( ) ( )
( ) ( ) kNcmhNM
kNcmhNM
yddy
xddx
25205003,05,184003,05,1
17642003,05,184003,05,1
min,1
min,1
=+=+=
=+=+=
 
 
 
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71 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
4 – Momentos de 1ª ordem 
 
Na direção “x” os momentos iniciais são maiores que o mínimo, assim: SidxdxS MM =1 enquanto 
na direção “y”, os momentos iniciais são nulos, neste caso min,11 dydyS MM = . 
 
 
 
 
 
5 – Verificação momentos de 2ª ordem dSM 2 
 
5.1 – Seções de extremidades (A) ou (B) 
 
Nas seções de extremidade não teremos momentos de 2ª ordem. Para esta situação os 
momentos finais serão os momentos de 1ª ordem. 
 
5.2 – Seções intermediárias (C) 
 
5.2.1 – Determinação de b 
Pilares bi-apoiados sem cargas transversais: 4,04,06,0 +=
A
B
b M
M
 
 
 4,02,0
2000
20004,06,0 ==−+= bxbx 0,12520
25204,06,0 =+= byby 
 
 
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72 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
5.2.2 – Determinação da esbeltez de comparação 
 
b
h
e1
1
5,1225 +
= Sendo: 9035 1 
 
 
Direção “x” 
 
bx
x
sd
dxS
x
h
N
M 1
1
5,1225 +
= , 2,66352,66
4,0
20
840
2000
5,1225
11 ==
+
= xx 
 
Como: 2,669,51 1 == xx não considerar os efeitos de 2ª ordem. 
 
 
 
Direção “y” 
by
y
sd
dyS
y
h
N
M 1
1
5,1225 +
= , 35358,25
0,1
50
840
2520
5,1225
11 ==
+
= yy 
 
Como: 358,20 1 == yy não considerar os efeitos de 2ª ordem. 
 
 
5.2.3 – Determinação dos momentos totais totSdM , 
 
6 - Como não há necessidade da consideração dos efeitos de 2ª ordem nas duas direções, os 
momentos finais serão os momentos de 1ª ordem. 
 
6.1 – Utilizando o Método do pilar padrão com curvatura aproximada MPP c A 
 
( )840 0, 47 0,52,520 50
1, 4
d
c cd
N
A f
= = = 
 
, 1 , 2 1 , 1 ,min,
, 1 , 2 1 , , 1 ,min,
0, 4 2000 700 0 800 2000
1, 0 2520 700 0 2520
Sdx tot bx S dA x d x S dA x d x
Sdy tot by S dA y d yS d y A d y
M M N e kN cm M M
M M N e kN cm M M
= + = + = =
= + = + =
 
 
 
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73 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
6.2 – Utilizando o Método do pilar padrão com curvatura aproximada MPP k A 
 
Vamos deixar como exercício para você, caro leitor! 
 
 
7 – Armações (MPP c A) 
 
0,50
2,380,50 0,06
20
4 0,20
20
x
x
d
h
=
=
= =
 0= 0SA = 
2
,min
2
8400,15 2,9050
1,15
0,004 20 50 4,0
s
S
A cm
A
cm
= =
=
 
 
Assim podemos concluir que a armação do pilar será composta de 6 barras de 10mm, 3 barras 
em cada face maior do pilar. 
 
 
8.4 EXEMPLO 4 
 
Para o pilar de extremidade, contraventado, a seguir, pede-se para determinar os esforços finais 
de cálculo, ) ,( SdSd MN e a seção (intermediária ou de extremidade) onde deverá ser feito o 
dimensionamento. Não existem cargas horizontais significativas ao longo do pilar. Determinar 
também as excentricidades finais, situação de projeto e situações de cálculo 1 e 2, bem como as áreas 
de aço das armaduras longitudinais utilizando os ábacos de flexão composta do Prof. Venturini. 
 
 
 
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74 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
1 – Esforço normal de cálculo )( dN 
 
kNNNN dkfd 8406004,1 ==→= 
 
2 – Esbeltez )( 
 
8,20
50
30046,346,3 ===
x
ex
x h
A
 9,51
20
30046,346,3 ===
y
ey
y h
A
 
 
3 – Momentos mínimos )( min,1dM 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) kNcmhNM
kNcmhNM
yddy
xddx
17642003,05,184003,05,1
25205003,05,184003,05,1
min,1
min,1
=+=+=
=+=+=
 
 
 
 
 
 
 
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75 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
4 – Momentos de 1ª ordem 
 
Na direção “x” os momentos iniciais são menores que o mínimo, assim: min,11 dxdxS MM = 
enquanto na direção “y”, os momentos iniciais são nulos, neste caso, também: min,11 dydyS MM = . 
 
 
 
 
5 – Verificação momentos de 2ª ordem dSM 2 
 
5.1 – Seções de extremidades (A) ou (B) 
 
Nas seções de extremidade não teremos momentos de 2ª ordem. Para esta situação os 
momentos finais serão os momentos de 1ª ordem. 
 
5.2– Seções intermediárias (C) 
 
5.2.1 – Determinação de b 
Pilares biapoiados sem cargas transversais: 4,04,06,0 +=
A
B
b M
M
 
 
0,10,1
2520
25204,06,0 ==+= bxbx 0,11764
17644,06,0 =+= byby 
 
 
 
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76 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
5.2.2 – Determinação da esbeltez de comparação 
 
b
h
e1
1
5,1225 +
= Sendo: 9035 1 
 
Direção “x” 
bx
x
sd
dxS
x
h
N
M 1
1
5,1225 +
= , 1 1
2520
84025 12,5
50 25,8 35 35
1,0x x
+
= = = 
 
Como: 358,20 1 == xx , não considerar os efeitos de 2ª ordem. 
 
 
Direção “y 
by
y
sd
dyS
y
h
N
M 1
1
5,1225 +
= , 1 1
1764
84025 12,5
20 26,3 35 35
1,0y y
+
= = = 
 
Como: 359,51 1 == yy , considerar os efeitos de 2ª ordem. 
 
 
6 – Determinação dos momentos de 2ª ordem 2S dM e momentos totais totSdM , 
 
6.1 – Utilizando o Método do pilar padrão com curvatura aproximada MPP c A 
 
840 0, 47 0.5 0,52,550 20
1, 4
d
c cd
N
A f
= = = = 
 
r
l
e eyy
1
10
2
2 = , )5,0(
005,01
+
=
yhr
 
 
 
1 4 11 0, 005 0, 000250 2,5 10
20(0,50 0,50)
cm x cm
r
− − −= = =
+
 
 
 
2
2
300 0, 000250 2, 25
10y
e cm= = 
 
 
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77 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
, 1 , 2 1 , 1 ,min,
, 1 , 2 1 , 1 ,min,
1, 0 2520 840 0 2520
1, 0 1764 840 2, 25 3654
Sdx tot bx S dA x d x S dA x d x
Sdy tot by S dA y d y S dA y d y
M M N e kN cm M M
M M N e kN cm M M
= + = + =
= + = + =
 
 
 
 6.2 – Diagramas finais MPP c A 
 
 
 
 
7 – Excentricidades 1 ,min. 2,10y ye e cm= = 
 
7.1 - Seções (A) ou (B) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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78 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
7.1 - Seção (C) 
 
 
 
8 – Utilizando o KMPP A 
 
Direção “y”
−=−=
−=−−=
==
92,576,12,084
76,076,12,05
320
384842,0
0,12,05
2
2
2
C
B
A
 
 
092,576,00,1 ,
2
, =−− totSdytotSdy MM 
 
kNcmM totSdy 2840, = 
 
kNcmM totSdyC 2840, = 
 
Conferindo a convergência 
 
2,8432 1 5 0,5 29,52
0, 2 84
K = + = 
 
1 ,
, , 2 2
1724 2839
51,911 29,52120 120 0,5
S d xyC
Sd tot y
y
M
M kN cm
k
= = =
−−
 
 
 
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79 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
9 – Armações (MPP c A) 
 
 
0,50
4,350,50 0,11
20
4 0, 20
20
x
x
d
h
=
=
= =
 0, 06= 
2
,min
2
8400,15 2,9050
1,15
0,004 20 50 4,0
s
S
A cm
A
cm
= =
=
 
 
Assim podemos concluir que a armação do pilar será composta de 6 barras de 10mm, 3 barras 
em cada face maior do pilar. 
 
 
8.5 EXEMPLO 5 
 
Para o pilar de canto, contraventado, a seguir, pede-se para determinar os esforços finais de 
cálculo, ( , , )Sd Sdx SdyN M M e a seção (intermediária ou de extremidade) onde deverá ser feito o 
dimensionamento. Não existem cargas horizontais significativas ao longo do pilar. Determinar 
também as excentricidades finais, situação de projeto e situações de cálculo 1 e 2, bem como as áreas 
de aço das armaduras longitudinais utilizando os ábacos de flexão composta do Prof. Venturini / 
Libânio. 
 
 
 
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80 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
 
Solução: 
 
1 – Esforço normal de cálculo )( SdN 
 
kNNNN dkfSd 140010004,1 ==→= 
 
2 – Esbeltez )( 
 
6,60
20
35046,346,3 ===
x
ex
x h
A
 
3,30
40
35046,346,3 ===
y
ey
y h
A
 
 
 
 
 
 
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81 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
3 – Momentos mínimos )( min,1dM 
 
( ) ( )
( ) ( ) kNcmhNM
kNcmhNM
ySddy
xSddx
39204003,05,1140003,05,1
29402003,05,1140003,05,1
min,1
min,1
=+=+=
=+=+=
 
 
4 – Momentos de 1ª ordem 
 
Os momentos iniciais são maiores que os momentos mínimos, consequentemente os 
momentos de 1ª ordem serão os próprios momentos iniciais para cada uma das direções 
consideradas. 
 
Direção “x”: 
=
=
kNcmM
kNcmM
BdxS
AdxS
1700
6500
,1
,1
 Direção “y”: 
−=
=
kNcmM
kNcmM
BdyS
AdyS
2100
8100
,1
,1
 
 
 
 
 
 
5 – Verificação momentos de 2ª ordem dSM 2 
 
5.1 – Seções de extremidades (A) ou (B) 
 
Nas seções de extremidade não teremos momentos de 2ª ordem. Para esta situação os 
momentos finais serão os momentos de 1ª ordem. 
 
 
 
 
 
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82 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
5.2– Seções intermediárias (C) 
 
5.2.1 – Determinação de b 
Pilares biapoiados sem cargas transversais: 4,04,06,0 +=
A
B
b M
M
 
7,04,07,0
6500
17004,06,0 ==+= bxbx 
 
5,04,05,0
8100
21004,06,0 ==−+= byby 
 
5.2.2 – Determinação da esbeltez de comparação 
b
h
e1
1
5,1225 +
= , Sendo: 9035 1 
 
Direção “x” 
 
bx
x
sd
dxS
x
h
N
M 1
1
5,1225 +
= , 403540
7,0
20
1400
6500
5,1225
11 ==
+
= xx 
 
Como: 406,60 1 == xx , considerar os efeitos de 2ª ordem. 
 
 
Direção “y” 
 
by
y
sd
dyS
y
h
N
M 1
1
5,1225 +
= , 6,53356,53
5,0
40
1400
8100
5,1225
11 ==
+
= yy 
 
Como: 6,533,30 1 == yy não considerar os efeitos de 2ª ordem. 
 
Assim, mesmo com o índice de esbeltez: 2,513,30 1 == yy deveremos considerar os 
efeitos de 2ª ordem também nessa direção, já que “A obtenção dos momentos de 2ª ordem em cada 
direção é diferente, pois depende de valores distintos de rigidez e esbeltez” (NBR 6118:2014, 
15.8.3.3.5). 
 
 
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83 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
kNcmMM
kNcmMM
AdySbyCdyS
AdxSbxCdxS
405081005,0
455065007,0
,1,1
,1,1
===
===
 
 
 
5.2.3 – Determinação dos momentos totais totSdM , 
 
5.2.3.1 – Utilizando o Método do pilar padrão com rigidez (K) aproximada KMPP A . 
 
0,
2
, =++ CMBMA totSdtotSd 
 
 
−=
−−=
=
AdSSdAdS
Sd
sd
MhNC
Mh
N
NhB
hA
,1
2
,1
2
2 5
320
5
A
 
mtfM
tfN
AdS
Sd
:
:
,1
 
 
 
Direção “x 
2
2
2
5 0,2 1,0
140 3,50,2 140 5 0,2 6,5 6,26
320
140 0,2 6,5 36,4
A
B
C
= =
= − − = −
= − = −
 
 
 
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84 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
2
, ,1,0 6,26 36,4 0Sdx tot Sdx totM M− − = 
 
 
2
,
6,25 6,25 4 36,4 9,920 9920
2Sdx tot
M tfm kNcm+= = = , 9920Sdx totM kNcm= 
 
 
Conferindo a convergência 
 
992032 1 5 0,98 86,91
20 1400
K = + = ; , , ,
2
6500 9922
60,61 86,91120 0,98
Sd tot x CM kNcm= =
−
 
 
 
 
Direção “y” 
2
2
2
5 0,4 2,0
140 3,50,4 140 5 0,4 8,1 0,84
320
140 0,4 8,1 181,94
A
B
C
= =
= − − =
= − = −
 
 
 
2
, , , ,1,0 0,42 90,72 0Sd tot y Sd tot yM M+ − = 
 
 
2
,
0,42 0,42 4 90,72 9,317 9317
2Sdy tot
M tfm kNcm− += = = , , 9317Sd tot yM kNcm= 
 
 
Conferindo a convergência 
 
 
931732 1 5 0,98 57,45
40 1400
K = + = ; , , ,
2
8100 9317
30,31 57,45120 0,98
Sd tot x CM kNcm= =
−
 
 
 
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85 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
5.2.3.2 – Utilizando o Método do pilar padrão com curvatura aproximada MPPcA 
 
r
l
e exx
1
10
2
2 = , )5,0(
005,01
+
=
xhr
, 5,098,0
4,1
5,24020
1400
===
cdc
d
fA
N
 
141 1069,10001689,0
)5,098,0(20
005,01 −−− ==
+
= cmxcm
r
; 
 
cme x 07,20001689,010
3502
2 == 
 
r
l
e eyy
1
10
2
2 = , )5,0(
005,01
+
=
yhr
, 5,098,0
4,1
5,24020
1400
===
cdc
d
fA
N
 
141 1084,0000084,0
)5,098,0(40
005,01 −−− ==
+
= cmxcm
r
 
 
cme y 03,1000084,010
3502
2 == 
 
cmkNeNMM
cmkNeNMM
ydydAbytotSddx
xdxdAbxtotSdx
=+=+=
=+=+=
549203,1140081005,0
744807,2140065007,0
2,1,
2,1,
 
 
 
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86 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
6– Esforços finais para dimensionamento, considerando o KMPP A 
 
Entre o topo e a base do pilar seção (C), que é a seção, provavelmente, mais desfavorável: 
 
 , , ,
, , ,
1400 0,98
9922
14009922 0,98 0,35
20
9317
14009317 0,98 0,16
40
Sd
x
Sd tot x C x
x
y
Sd tot y C y
y
N kN
eM kNcm
h
e
M kNcm
h
= → =
= → = = =
= → = = =
 
 
Se fizermos o dimensionamento, não será possível encontrarmos nenhum arranjo de 
armadura que associada à seção transversal, 20x40cm, satisfaça as condições estabelecidas pela NBR 
6118:2014. Neste caso é necessário aumentarmos a seção transversal. 
 
 
8.6 EXEMPLO 6 
 
Para o pilar de canto, contraventado, a seguir, pede-se para determinar os esforços finais de 
cálculo, ( , , )Sd Sdx SdyN M M e a seção (intermediária ou de extremidade) onde deverá ser feito o 
dimensionamento. Não existem cargas horizontais significativas ao longo do pilar. Determinar 
também as excentricidades finais, situação de projeto e situações de cálculo 1 e 2, bem como as áreas 
de aço das armaduras longitudinais e transversais. 
 
 
 
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87 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Solução: 
 
1 – Esforço normal de cálculo )( SdN 
 
1,4 930 1302Sd f k dN N N kN= → = = , 
1302 0,732,520 50
1,4
Sd
c cd
N
A f
= = = 
2 – Esbeltez )( 
 
6,60
20
35046,346,3 ===
x
ex
x h
A
 
3503,46 3,46 24,2
50
ey
y
yh
= = = 
 
3 – Momentos mínimos )( min,1dM 
 
( ) ( )
( ) ( )
1 ,min
1 ,min
1,5 0,03 1302 1,5 0,03 20 2734,2
1,5 0,03 1302 1,5 0,03 50 3906,0
dx Sd x
dy Sd y
M N h kNcm
M N h kNcm
= + = + =
= + = + =
 
 
4 – Momentos de 1ª ordem 
 
Os momentos iniciais são maiores que os momentos mínimos, consequentemente os 
momentos de 1ª ordem serão os próprios momentos iniciais para cada uma das direções 
consideradas. 
 
 Direção “x”: 
=
=
kNcmM
kNcmM
BdxS
AdxS
1700
6500
,1
,1
 Direção “y”: 
−=
=
kNcmM
kNcmM
BdyS
AdyS
2100
8100
,1
,1
 
 
 
 
 
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88 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
5 – Verificação momentos de 2ª ordem dSM 2 
 
5.1 – Seções de extremidades (A) ou (B) 
 
Nas seções de extremidade não teremos momentos de 2ª ordem. Para esta situação os 
momentos finais serão os momentos de 1ª ordem. 
 
5.2– Seções intermediárias (C) 
 
5.2.1 – Determinação de b 
Pilares biapoiados sem cargas transversais: 4,04,06,0 +=
A
B
b M
M
 
7,04,07,0
6500
17004,06,0 ==+= bxbx 
 
5,04,05,0
8100
21004,06,0 ==−+= byby 
 
5.2.2 – Determinação da esbeltez de comparação 
b
h
e1
1
5,1225 +
= , Sendo: 9035 1 
 
Direção “x” 
 
bx
x
sd
dxS
x
h
N
M 1
1
5,1225 +
= , 1 1
6500
130225 12,5
20 40,2 35 40,2
0,7x x
+
= = = 
 
Como: 160,6 40,2x x= = considerar os efeitos de 2ª ordem. 
 
 
Direção “y” 
 
by
y
sd
dyS
y
h
N
M 1
1
5,1225 +
= , 1 1
8100
130225 12,5
50 53,1 35 53,1
0,5y y
+
= = = 
 
Como: 130,3 53,1y y= = não considerar os efeitos de 2ª ordem. 
 
 
 
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89 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Assim, mesmo com o índice de esbeltez: 2,513,30 1 == yy deveremos considerar os 
efeitos de 2ª ordem também nessa direção, já que “A obtenção dos momentos de 2ª ordem em cada 
direção é diferente, pois depende de valores distintos de rigidez e esbeltez” (NBR 6118:2014, 
15.8.3.3.5). 
 
 
 
kNcmMM
kNcmMM
AdySbyCdyS
AdxSbxCdxS
405081005,0
455065007,0
,1,1
,1,1
===
===
 
 
 
5.2.3 – Determinação dos momentos totais totSdM , 
 
5.2.3.2 – Utilizando o Método do pilar padrão com rigidez (K) aproximada KMPP A . 
 
0,
2
, =++ CMBMA totSdtotSd 
 
−=
−−=
=
AdSSd
AdS
Sd
sd
MhNC
Mh
N
NhB
hA
,1
2
,1
2
2 5
320
5
A
 
mtfM
tfN
AdS
Sd
:
:
,1
 
 
 
 
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90 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Direção “x” 
 
2
2
2
5 0,2 1,0
130,2 3,50,2 130,2 5 0,2 4,55 4,32
320
130,2 0,2 6,5 23,69
A
B
C
= =
= − − = −
= − = −
 
2
, ,1,0 4,32 23,69 0Sdx tot Sdx totM M− − = 
 
2
,
4,32 4,32 4 23,69 7,485 7485
2Sdx tot
M tfm kNcm+= = = , 7485Sdx totM kNcm= 
 
 
Conferindo a convergência 
 
 
7,48532 1 5 0,73 56,93
20 130,2
K = + = ; , , ,
2
6500 7485
60,61 56,93120 0,73
Sd tot x CM kNcm= =
−
 
 
Direção “y” 
 
2
2
2
5 0,5 2,5
130,2 3,50,5 130,2 5 0,5 4,05 17,44
320
130,2 0,5 4,05 131,83
A
B
C
= =
= − − =
= − = −
 
2
, , , ,2,5 17,44 131,83 0Sd tot y Sd tot yM M+ − = 
 
2
,
17,44 17,44 4 131,83 4,599 4600
2 2,5Sdy tot
M tfm kNcm− += = = , , 4600Sd tot yM kNcm= 
 
 
Conferindo a convergência 
 
4,632 1 5 0,73 31,61
0,5 130,2
K = + = ; , , ,
2
4,05 4600
24,21 31,61120 0,73
Sd tot x CM kNcm= =
−
 
 
 
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91 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
 
 
6– Esforços finais para dimensionamento, considerando o KMPP A 
 
Entre o topo e a base do pilar seção (C), que é a seção, provavelmente, mais desfavorável: 
 
 , , ,
, , ,
1302 0,73
7485
13027485 0,73 0,21
20
4600
13024600 0,98 0,06
50
Sd
x
Sd tot x C x
x
y
Sd tot y C y
y
N kN
eM kNcm
h
e
M kNcm
h
= → =
= → = = =
= → = = =
 
 
 
4,13 0, 21
20
x
x
d
h
= = ; 
4,13 0,08
50
y
y
d
h
= = 07→ = 
 
 
2
2,520 50
1,40,7 28,75 10 2050
1,15
c cd
s
yd
A fA cm
f
→ = = = 
 
 
 
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92 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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93 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 09 
 
SOLICITAÇÕES INICIAIS NOS PILARES 
CONTRAVENTADOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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94 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
9.1 INTRODUÇÃO 
 
Conforme já visto anteriormente, os pilares podem ser classificadosem função da posição que 
ocupam dentro da edificação; intermediário, de extremidade e de canto. 
 
Os pilares intermediários inicialmente não absorvem momentos, já que existe continuidade do 
vigamento, sobre os mesmos, nas duas direções. Já os pilares de extremidade e os de canto, devido 
a não continuidade das vigas sobre os mesmos, passam a absorver momentos fletores iniciais, sendo 
função da rigidez, entre os dois elementos. 
 
No caso dos pilares de extremidade existe uma situação inicial, ou de projeto, de flexão 
composta reta. Para os pilares de canto a situação inicial, ou de projeto, é a de flexão composta 
oblíqua. 
 
9.2 DETERMINÇÃO DOS MOMENTOS FLETORES ORIUNDOS DA LIGAÇÃO DAS VIGAS 
COM OS PILARES 
 
Estes momentos podem ser obtidos de várias maneiras, podemos citar, por exemplo: 
 
• Calculando-se o pórtico onde se situa a viga e o pilar; 
• De modo simplificado de acordo com a NBR 6118:2014, 14.6.6.1 
 
 
“Quando não for realizado o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga, 
deve ser considerado, nos apoios externos, momento fletor igual ao momento de engastamento 
perfeito multiplicado pelos coeficientes estabelecidos nas seguintes relações”: 
 
 
- Na viga: 
supinf
supinf
rrr
rr
vig ++
+
 
 
- No tramo superior do pilar: 
supinf
sup
rrr
r
vig ++
 
 
- No tramo inferior do pilar: 
supinf
inf
rrr
r
vig ++
 
 
Sendo 
i
i
i l
I
r = onde ir é a rigidez do elemento )(i no nó considerado, avaliada conforme 
indicado na figura a seguir. 
 
 
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95 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
Quando a viga que chega ao pilar tiver um único vão o apoio oposto ao pilar será articulado. 
 
 
9.3 EXEMPLOS 
 
Exemplo 1 
 
Para o pilar de extremidade a seguir pede-se para determinar o momento da ligação entre a 
viga e o pilar cmx2050 . 
 
 
cmx5013
 
 
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96 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Momento de engastamento perfeito: kNmMeng 25,3112
515 2
== 
Inércia da viga: 4
3
417.135
12
5013 cmIvig == ; 
 
Inércia do pilar: 4
3
inf,sup, 333.20812
5020 cmII pp === 
 
Rigidez: 
 
dos pilares: 3
sup,
sup,
inf,sup, 67,41662/300
333.2083
2/
3
cm
l
I
rr
p
p
pp ==== ; 
 
da viga: 334,1083
500
417.1354 cm
l
I
r
vig
vig
vig === 
 
Distribuição dos momentos no nó: 
 
kNm
rrr
r
MMM
vigpp
p
engpp 82,1334,108367,416667,4166
67,416625,31
inf,sup,
sup,
inf,sup, =++
=
++
== 
 
kNm
rrr
rr
MM
vigpp
pp
engvig 65,2734,108367,416667,4166
67,416667,416625,31
inf,sup,
inf,sup, =
++
+
=
++
+
= 
 
 
Momentos no pilar, resultante da ligação viga – pilar. 
 
 
 
 
Assim, determinado os momentos iniciais nas seções “A” e “B” e, conhecendo a solicitação 
normal de cálculo, podemos calcular as excentricidades iniciais nas seções “A” e “B”. 
Sd
Aidx
xiBxiA N
M
ee ,,, == 
 
 
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97 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Exemplo 2 
 
Para o pilar de canto a seguir, pede-se determinar os momentos iniciais nas direções “x” e 
“y”, resultado das ligações com as respectivas vigas, cujas seções estão representadas na mesma 
figura. 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
Momentos de engastamento perfeito: 
• Direção “x”: kNmM xeng 83,2012
510 2
, == 
• Direção “y”: kNmM yeng 21,3512
5,610 2
, == 
 
 
 
 
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98 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Inércia das vigas: 
• Direção “x”: 4
3
, 33,333.6912
4013 cmI xvig == 
• Direção “y”: 4
3
, 00,000.23412
6013 cmI yvig == 
Inércia do pilar: 
• Direção “x”: 4
3
inf,,sup, 000.4512
3020, cmII xpxp === 
• Direção “y”: 4
3
inf,,sup, 000.2012
2030, cmII ypyp === 
 
Rigidez do pilar: 
• Direção “x”: 3
sup,,
sup,,
inf,,sup,, 9002/300
000.453
2/
3
cm
l
I
rr
xp
xp
xpxp ==== 
• Direção “y”: 3
2/sup,,
sup,,
inf,,sup,, 4002/300
000.2033 cm
l
I
rr
yp
yp
ypyp ==== 
 
Rigidez das vigas: 
• Direção “x”: 3
,
,
, 68,554500
33,333.6944 cm
l
I
r
xvig
xvig
xvig === 
• Direção “y”: 3
,
,
, 1440650
000.23444 cm
l
I
r
yvig
yvig
yvig === 
 
 
Distribuição dos momentos no nó 
 
Pilar: 
 
• Direção “x”: 
 
kNm
rrr
r
MMM
xvigxpxp
xp
xengxpxp 96,768,554900900
90083,20
,inf,,sup,,
sup,,
,inf,,sup,, =++
=
++
== 
 
• Direção “y”: 
 
kNm
rrr
r
MMM
yvigypyp
yp
yengypyp 30,61440400400
40021,35
,inf,,sup,,
sup,,
,inf,,sup,, =++
=
++
== 
 
 
 
 
 
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99 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Vigas: 
 
• Direção “x”: 
 
kNm
rrr
rr
MM
xvigxpxp
xpxp
xengxvig 83,1568,554900900
90090083,20
,inf,,sup,,
inf,,sup,,
,, =++
+
=
++
+
= 
 
 
• Direção “y”: 
 
kNm
rrr
rr
MM
yvigypyp
ypyp
yengyvig 57,121440400400
40040021,35
,inf,,sup,,
inf,,sup,,
,, =++
+
=
++
+
= 
 
 
Momentos no pilar, resultante da ligação viga – pilar. 
 
 
 
 
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100 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Assim, determinados os momentos iniciais nas seções “A” e “B” nas direções “x” e “y” e, 
conhecendo a solicitação normal de cálculo, podemos calcular as excentricidades iniciais nas seções 
“A” e “B”, nas direções “x” e “y”. 
Sd
Aidx
xiBxiA N
M
ee ,,, == ; 
Sd
Aidy
yiByiA N
M
ee ,,, == 
 
 
Exemplo 3 – Agora é com você, caro leitor! 
 
Determinar os momentos fletores finais ( totSdxM , e totSdyM , ), para o pilar de canto, 
contraventado, indicado a seguir: 
 
 
 
 
 
 
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101 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
9.4 FLEXÃO COMPOSTA RETA E OBLÍQUA 
 
9.4.1 Introdução 
 
A flexão composta é definida como sendo uma flexão simples acompanhada de força normal. 
A força normal pode ser de compressão ou tração e estar ou não contida no mesmo plano de 
aplicação do momento fletor. 
 
a) flexão simples – (flexão pura) 
 
 
 
b) Flexão composta reta. A força normal está aplicada sobre um dos eixos principais. 
 
b-1) flecho-compressão reta 
 
 
 
 
 
 
 
 
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102 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
b-2) flexo-tração reta 
 
 
 
 
c) Flexão composta oblíqua. A força normal está aplicada fora dos eixos principais. 
 
c-1) Flexo-compressão oblíqua 
 
 
 
c-2) Flexo-tração oblíqua 
 
 
 
 
 
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103 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Podemos ainda dizer que a força normal pode estar associada a uma excentricidade em relação 
aos eixos baricêntricos de tal modo que a flexão composta pode ser caracterizada como de grande 
excentricidade ou de pequena excentricidade. 
 
De um modo geral o que caracteriza a existência de uma flexão composta com pequena ou 
grande excentricidade é exatamente a posição da linha neutra, (ou a excentricidade da força normal). 
 
Havendo na seção um banzo tracionado e outro comprimido, podemos dizer que a linha neutra 
corta a seção e a flexão composta é dita de grande excentricidade podendo ocorrer nos domínios: 2, 
3, 4 e 4a. 
 
Sendo:
N
Me = , M>>N 
 
a) flexo-compressão com grande excentricidade 
 
 
 
 
 
b) flexo-tração com grande excentricidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
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104 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Estando a seção toda comprimida, isto é, a linha neutra não cortando a seção, diremos tratar-
se de flexão composta com pequena excentricidade, ocorrendo no domínio 5. 
 
a) flexo-compressão com pequena excentricidade 
 
 
 
 
b) flexo-tração com pequena excentricidade 
 
 
 
 
c) Compressão centrada, reta b 
 
 
 
 
 
 
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105 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
d) Tração centrada, reta a 
 
 
 
 
9.4.2 FlexãoComposta Reta 
 
Como dito anteriormente a flexão composta é uma solicitação composta de momento fletor e 
força normal. Se a força normal é de compressão diremos trata-se de uma flexo-compressão, em 
caso contrário, se a força normal for de tração diremos tratar-se de uma flexo-tração. Em qualquer 
dos casos, se a ação normal coincidir com um dos eixos principais, teremos então, flexão composta 
reta. O dimensionamento de uma seção transversal solicitada à flexão composta passa pelo 
equacionamento do seguinte problema: 
 
Conhecidos: 
 
1. Os esforços solicitantes de cálculo dd NM e ; 
2. As resistências de cálculo dos materiais ydcd ff e 
 
Desconhecidos: 
 
1. Área da seção transversal; 
2. Área da armadura longitudinal; 
3. Profundidade da linha neutra; 
4. Disposição das barras de aço dentro da seção transversal. 
 
O problema não apresenta uma solução analítica já que o número de equações é sempre 
inferior ao número de incógnitas. Dessa forma a solução requer um grande número de iterações. 
 
Como resolver o problema? 
 
Para resolver o problema inicialmente fazemos um pré-dimensionamento da seção de 
concreto, em seguida adotamos uma distribuição prévia das barras da armadura longitudinal na 
seção transversal. 
 
 
 
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106 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Ainda assim não conhecemos a profundidade da linha neutra, porém sabemos que ela será 
perpendicular ao plano que contém o momento fletor. 
 
Com estes dados calculamos a área total da armadura capaz de garantir, juntamente com o 
concreto, o equilíbrio. 
 
O cálculo das armaduras é feito da forma iterativa, e isto envolve um grande número de 
operações para a determinação de “x” que pode se situar no intervalo ),0 . 
 
Vários são os processos utilizados para se chegar ao dimensionamento completo. 
 
1. Zonas de solicitação do Prof. Jayme Ferreira 
 
 
 
 
A solução do problema consiste em determinarmos a zona onde será efetivado o 
dimensionamento para depois fazermos as iterações num intervalo menor. 
 
 
bdf
N
cd
d=
85,0
, 285,0 bdf
M
cd
d= 
 
 
 
 
 
 
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107 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
2. Diagramas de iterações utilizando o par de esforços reduzidos ( ), 
 
 
yd
cd
s f
bhA = 
 
3. Tabelas de dimensionamento 
 
Utilizando um programa de computador são elaborados ábacos, tabelas para o 
dimensionamento das seções transversais das mais diversas formas. 
 
Dados de entrada: 
cdc
d
cdc
d
hA
M
A
N
== e ; 
h
d
; Aço ; Arranjo da armadura; Argumento 
de saída da tabela: ( ) 
 
Cálculo da armadura: 
yd
cd
s f
hbA = 
 
 
9.4.3 Flexão Composta Oblíqua 
 
Tudo que foi dito para a flexão composta reta vale para a flexão composta oblíqua. 
 
Neste caso também são elaborados ábacos e tabelas que podem ser utilizados no 
dimensionamento das seções transversais de concreto armado. 
 
Antes de iniciarmos o estudo da flexão composta reta ou oblíqua, utilizando tabelas ou ábacos, 
faremos um estudo da flexão composta reta, tomando como base a teoria de flexão simples. 
 
 
 
 
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108 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
9.5 FLEXÃO COMPOSTA DE GRANDE EXCENTRICIDADE (UTILIZANDO AS EXPRESSÕES 
DE FLEXÃO SIMPLES) 
 
 
SEÇÃO RETANGULAR - ARMADURAS ASSIMÉTRICAS 
 
 
De acordo com a NBR 6118:2014, item 17.2, hipóteses básicas de cálculo, letra (g) o estado 
limite último é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer 
a um dos domínios de dimensionamento, figura a seguir: 
 
 
 
 
 
A flexão composta com grande excentricidade pode ocorrer nos domínios D2, D3, D4 e D4a, 
sendo que este último é apenas um domínio de transição entre os domínios D4 e D5. 
 
Podemos, através de alguns artifícios, transformar a flexão composta com grande 
excentricidade, seja flexo-compressão ou flexo-tração, em uma flexão simples como estudado 
anteriormente e aplicar todas as expressões já deduzidas, inclusive utilizar as tabelas. A flexão 
composta com grande excentricidade ocorre com bastante frequência em reservatórios, muros de 
arrimo, escadas, etc. 
 
 Sendo assim e de acordo com as figuras a seguir teremos: 
 
 
 
 
 
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109 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Caso de flexão simples com armadura dupla. (Já estudada anteriormente) 
 
 
 
 
Caso de flexão composta com armadura dupla, neste caso trata-se de uma flexo-compressão. 
 
 
 
Podemos transformar a flexão composta acima em uma flexão simples, associada a uma força 
normal de compressão diretamente aplicada no eixo da armadura sA , discretizada abaixo; sendo: 
−+=
2
hdNMM ddSd . 
 
 
 
 
 
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110 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Assim, de acordo com a figura )(c teremos a situação (A), a seguir: 
 
 
 
Equacionamento do problema: 
 
Equações de equilíbrio: figura (A) 
 
 +=+→= scccstd RRRNX 0 
 ( )ddRydRMM scccSd −+−=→= 202 
 ( ) −+−+=→= dyRydRNMM scstdSd 2203 
 
sssc
cdwcc
ssst
AR
ybR
AR
=
=
=
 Sabendo-se que cdcd f85,0= 
 
 
( )
( )
( ) −+−+=
−+−=
+=+
dyAydANM
ddAydybM
AybAN
ssssdSd
sscdwSd
sscdwssd
22
2
 Com 34yy = (L.N. limite D3/D4) 
 
Equações de compatibilidade de deformações: 
 
( ) ( )dxxdx
ssc
−
=
−
= 
 
 
 
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111 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Conforme dito anteriormente o dimensionamento poderá ocorrer nos domínios D2, D3 e D4, 
com armadura simples ou, evitando-se o domínio D4, seção superarmada, efetuarmos o 
dimensionamento no domínio D3 com armadura dupla sA , sA como foi feito na flexão simples. Para 
resolver o problema, inicialmente partimos da suposição que: 0=sA se isso for verdadeiro o 
dimensionamento ocorrerá com armadura simples, nos domínios D2 ou D3, em caso contrário 
teremos sA . 
 
Assim, no caso de armadura dupla, RdSd MM , para solucionarmos o problema fixamos a 
posição da linha neutra exatamente no limite dos domínios D3/D4. 
 
dydxCA 62,077,025 3434 =→=→ 
dydxCA 50,063,050 3434 =→=→ 
dydxCA 35,044,060 3434 =→=→ 
 
Conhecidos os valores de ( )3434 yx → acima, calculamos o momento máximo resistido pela 
seção transversal com armadura simples 1SdM . Em seguida determinamos 1sA em função de 1SdM . O 
restante do momento fletor 12 SdSdSd MMM −= , será equilibrado pelo binário 2 / stsc RR , fornecendo 
as armaduras sA , 2sA . Finalmente teremos as armaduras sA 21 sss AAA += . 
 
Ainda poderemos equacionar o problema subdividindo a situação (A) em outras duas situações 
(A1) e (A2) que combinadas com a situação (B) resolvem completamente o problema. 
 
 
 
 
Armaduras: 
−+= 21211 ssss
s
AAAA
A
 
1 1 1
2 2 2
: 0,85cc cd w cd cd
sc s s
st s sd
st s sd
st s s
R b y com f
R A
R A
R A
R A
= → =
=
=
=
=
 
 
 
 
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112 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
CASO (A1) 
 
Equações de equilíbrio: 
 
=→= 10 stcc RRX 
−=→= 20 12
ydRMM ccSd , com 34yy = 
( ) −=→= 20 113
ydRMM stSd , com 34yy = 
 
 
Com )2(85,0
34
341
ydybfM wcdSd −= determinamos 1SdM 
 
Com ( ) −= 2341111
ydAM sdsSd determinamos 11sA 
 
1
34
1
11 /
2
sd
Sd
s yd
M
A
−
= 
 
 
 
CASO (A2) 
 
12 SdSdSd MMM −= 
 
=→= 20 stcc RRX 
( )−=→= ddRMM scSd 22 0 , determinamos sA 
 
( )dd
M
A
s
Sd
s −
= 2 
 
( )−=→= ddRMM stSd 223 0 , determinamos 12sA 
 
( )dd
M
A
sd
Sd
s −
=
2
2
12 
 
 
 
 
 
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113 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
CASO (B) 
 
yd
d
s f
N
A =2 , força normal de compressão de cálculo, armadura comprimida. 
 
Finalmente: 
−+= 21211 ssss
s
AAAA
A
 
 
Equações de compatibilidade de deformações:( ) ( )dxxdx
ssc
−
=
−
= 
 
Quando 0=sA , domínios D2 e D3, teremos: 
 
 
 
( ) −=
−=
=
2
285,0
85,0
11
11
ydAM
ydfybM
fybA
sdsSd
cdwSd
cdwsds
 
 
Parcela da força normal:
2
2
sd
d
s
N
A = 
 
finalmente: 21 sss AAA −= com ydsdsd f== 21 
 
 
 
 
 
 
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114 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
9.5.1 Verificação se a flexão composta é de grande excentricidade 
 
Ainda é necessário verificar se a flexão composta é ou não de grande excentricidade, para isto 
precisamos estudar o limite entre os domínios D4a e D5. Inicialmente calculamos o momento fletor 
( )sdM em relação ao centro de gravidade da armadura comprimida sA . 
 
 
 
 
hyhx 8,0== 
 
−−= dhNMM ddSd 2
 
 
0201 =−+→= d
yRMM ccSd 
 
( ) ( )dhhbfdhhbfdyybfM wcdwcdwcdSd −−=−−=−−= 4,068,04,08,085,0285,0 
 
( )dhhbfM wcdSd −−= 4,068,0 
 
Para que a flexão composta seja de grande excentricidade é necessário que: 
 
 ( ) ( )dhhbfdhNM wcddd −−−− 4,068,02 
 
 
9.5.2 Caso em que a força normal é de tração 
 
Quando a força normal for de tração é suficiente, em todas as expressões, substituir: dN por dN− 
 
 
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115 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
EXEMPLO 01 
 
Para os dados fornecidos a seguir pede-se calcular a armadura de tração necessária e se for o 
caso a de compressão, em seguida fazer o detalhamento simplificado. 
 
 
 
1) Verificação se a flexão composta é de grande excentricidade. 
 
Inicialmente calculamos: ( ) ( )dhhbfdhNMM wcdddSd −−−−= 4,068,0:ser deve que ,2 
 
( ) 059254250757500 =−−= kNcmM Sd , confirmando tratar-se de flexão composta 
com grande excentricidade. 
 
2) Verificação da necessidade de sA 
 
( ) ( ) kNcmhdNMM ddSd 9075250467575002 =−+=−+= 
 
kNcmM Sd 075.9= 
 
Supondo que 0=sA , seção subarmada, isto é ( )3434 yyxx → , teremos: 
 
Utilizando a equação: )2(85,0
ydfybM cdwSd −= 
 
=
=
=+−
−=
cmy
cmy
yy
yy
6,12
4,79
 0100092
2464,1
285,015075.9
2
12
 
 
Sendo válida apenas a raiz cmxcmyy 75,156,122 =→== 
 
 
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116 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
Neste caso fica confirmada a hipótese inicial ( )3434 yyxx → , já que: 
 
( )98,284663,063,075,15 34 ==== dxx , domínio D3, isto é, 0=sA . 
 
3) Cálculo da armadura sA 
 
Como o estado limite último ocorre no domínio D3, 0=sA yds f= . 
 
Assim para: 0=sA , teremos 
 
( ) −=
−=
=
2
285,0
85,0
11
11
ydAM
ydfybM
fybA
sdsSd
cdwSd
cdwsds
 ( )xdx
sc
−
= 
 
( ) 211 25,5
15,1
50
2
6,1246
9075
2
2 cm
fyd
M
AydfAM
yd
Sd
sydsSd =
−
=
−
=−= 
 
Parcela da força normal: 2
2
2 73,1
15,1
50
75 cm
N
A
sd
d
s === 
 
2
21 52,373,125,5 cmAAA sss =−=−= ; 5.12352,3
2 →= cmAs 
 
4) Determinação de s 
 
 
( ) ( ) 00
072,6
75,154675,15
5,3
=
−
=
−
= s
ssc
xdx
 
 
 
 
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117 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
5) Detalhamento 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 02 
 
Vamos resolver o exemplo 01 utilizando as tabelas de flexão simples. 
 
( ) ( ) kNcmhdNMM ddSd 9075250467575002 =−+=−+= 
 
kNcm
M
M
f
sd
Sk 14,64824,1
9075
=== 
 
cmdKy
cmkNf
K
K
M
db
K
y
ck
ysk
w
9,124628,0
/2
28,0
037,0
89,4
14,6482
4615 232
2
6
===
=→
=
=
===
 
 
2
31 21,546
14,6482037,0 cm
d
M
KA Sks === 
 
Parcela redutora do esforço normal (esforço normal de compressão) 
 
2
2 73,1
15,1
50
75 cm
f
N
A
yd
d
s === 
 
2
21 48,373,121,5 cmAAA sss =−=−= 
 
 
 
 
 
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118 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
EXEMPLO 03 
 
Para os dados fornecidos a seguir pede-se: calcular a armadura de tração necessária e se for o 
caso a de compressão. Em seguida fazer o detalhamento simplificado. 
 
 
 
1) Verificação se a flexão composta é de grande excentricidade. 
 
Inicialmente calculamos o valor de ( ) ( )dhhbfdhNM wcddd −−−− 4,068,02 
 
( ) 0900.74250100000.10 =−−= kNcmM Sd , confirmando tratar-se de flexão 
composta com grande excentricidade. 
 
2) Verificação da necessidade de sA 
 
Supondo que 0=sA , seção subarmada, isto é ( )3434 yyxx → , teremos: 
 
( ) ( ) kNcmhdNMM ddSd 100.1225046100000.102 =−+=−+= 
kNcmM Sd 100.12= 
 
Utilizando a equação: )2(85,0
ydfybM cdwSd −= 
 
=
=
=+−
−=
cmy
cmy
yy
yy
03,18
95,147
 033,333.192
2464,1
285,015100.12
2
12
 
 
 
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119 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Sendo válida apenas a raiz cmxcmyy 53,2203,182 =→== 
 
Neste caso fica confirmada a hipótese inicial ( )3434 yyxx → , já que: 
 
( )98,284663,063,053,22 34 ==== dxx , domínio D3, isto é, 0=sA portanto, 
tem o mesmo desenvolvimento do exemplo 1. 
 
3) Cálculo da armadura sA 
 
Como o estado limite último ocorre no domínio D3, 0=sA yds f= . 
 
Assim para: 0=sA , teremos 
 
( ) −=
−=
=
2
285,0
85,0
1
1
ydAM
ydfybM
fybA
sdsSd
cdwSd
cdwsds
 ( )xdx
sc
−
= 
 
( ) 211 52,7
15,1
50
2
03,1846
100.12
2
2 cm
fyd
M
AydfAM
yd
Sd
sydsSd =
−
=
−
=−=
 
Parcela da força normal: 
 
2
2
2 3,2
15,1
50
100 cm
N
A
sd
d
s === ; 16322,53,252,7
2
21 →=−=−= cmAAA sss 
 
O detalhamento é o mesmo do exemplo 1. 
 
 
EXEMPLO 04 
 
Para os dados fornecidos a seguir pede-se calcular a armadura de tração necessária e se for o 
caso a de compressão. Em seguida fazer o detalhamento simplificado. 
 
 
 
 
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120 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
. 
1) Verificação se a flexão composta é de grande excentricidade. 
 
Inicialmente calculamos o valor de ( ) ( )dhhbfdhNM wcddd −−−− 4,068,02 
 
( ) 0350.94250150500.12 =−−= kNcmM Sd , confirmando se tratar de flexão 
composta com grande excentricidade. 
 
2) Verificação da necessidade de sA 
 
Supondo que 0=sA , seção subarmada, isto é ( )3434 yyxx → , teremos: 
 
( ) ( ) kNcmhdNMM ddSd 650.1525046150500.122 =−+=−+= 
kNcmM Sd 650.15= 
 
Utilizando a equação: )2(85,0
ydfybM cdwSd −= 
 
=
=
=+−
−=
cmy
cmy
yy
yy
07,26
93,65
 084,718.192
2464,1
285,015650.15
2
12
 
 
Sendo válida apenas a raiz cmxcmyy 59,3207,262 =→== 
 
Neste caso a hipótese inicial não foi confirmada ( )3434 yyxx → , já que: 
98,2859,3246 344,4 === xxx a , domínio D4. 
 
 
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121 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
3) inicialmente, vamos fazer o dimensionamento utilizando armadura de compressão sA . 
 
Determinação do momento fletor máximo para que a peça trabalhe no limite dos 
domínios D3/D4. 
 
( )
kNcmM
kNcmydybfM
Sd
wcdSd
09,453.14
09,453.142
234623154,1
285,0)2(85,0
1
34
341
=
=−=−=
 
 
4) Determinação da área de aço 11sA , correspondente ao momento 1sdM 
 
( ) −= 2341111
ydAM sdsSd 
 
( )
2
1
34
1
11 64,915,1
50/
2
2346
09,453.14/
2
cm
yd
M
A sd
Sd
s =
−
=
−
= 
 
5) Determinação da área de aço sss AAA e , 212 
 
kNcmM
MMM
sd
SdSdSd
91,196.1
91,196.109,453.14650.15
2
12
=
=−=−=
 
 
( )dd
M
A
sd
Sd
s −
=
2
2
12 , ( )dd
M
A
s
Sd
s −
= 2 , 
yd
d
s f
N
A =2 
 
( )
2
12 66,0
44615,1
50
91,196.1 cmAs =
−
= ; 
( )
266,0
44615,1
50
91,196.1 cmAs =
−
= 
 
2
2 45,3
15,1
50
150 cmAs == 
 
Área total: 
2
2
21211
66,0
85,645,366,064,9
cmA
cmAAA
s
sss
=
=−+=−+
 
 
 Taxa geométrica da armadura: 0000,15015
66,085,6
=
+
=s 
 
 
 
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122 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
→
→
=
=
2
2
2
2
00,10.82
64,03.62
66,0
16485,6
cm
cm
cmA
mmcmA
s
s
 
 
 
EXEMPLO 5 
 
Solução para o problema anterior – exemplo 4 - utilizando o dimensionamento no D4. 
 
Como o dimensionamento vai ocorrer no D4, é necessário determinarmos a tensão sd , que 
neste domínio é inferior tensão ydf .Neste caso é preciso calcularmos s . 
 
De acordo com o exemplo 4 anterior temos: 
=
=
cmx
cmy
59,32
07,26
 
e utilizando a equação de compatibilidade de deformação ( )xdx
sc
−
= , 
chegamos a ( ) 00
044,1
59,324659,32
5,3
=
−
= s
s . 
 
Através do gráfico tensão X deformação, calculamos sd . 
 
 
 
2/24,30000.21
1000
44,1 cmkN
E sds
sd
s === 
 
 
 
 
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123 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Através da equação: cdwssd fybAN 85,0=+ 
 
274,10
24,30
1504,1
285,007,261585,0
85,0 cm
Nfyb
ANfybA
sd
dcdw
sdcdwsds =
−
=
−
=−= 
 
0
043,1
5015
74,10
==s 
 
Podemos concluir que o dimensionamento no domínio D4, além de “perigoso”, tem, para esta 
situação, 0043 a mais de área de aço. 
 
 
9.6 FLEXÃO COMPOSTA COM PEQUENA EXCENTRICIDADE 
 
Ocorre no domínio D1, flexo-tração e reta (a) tração centrada, domínio D5 flexo-compressão e 
reta (b) compressão centrada. Dessa maneira toda a seção se encontra totalmente comprimida ou 
totalmente tracionada. 
 
Caso de flexão composta com força normal de compressão e: 
0
0
s
s
A
A
 
 
 
 
Equações de equilíbrio: 
 
( ) ( ) ==−−−+→=
++=→=
dddhRdhRMM
RRRNX
scstd
stscccd
:com , 0220
0
1
 
 
 
 
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124 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
sssswcdd AAhbfN ++= 85,0 , com ycds f= 
 
( )ssycdwcdd AAfhbfN ++= 85,0 
 
( ) ( )−=+→ hbfN
f
AA wcdd
ycd
ss 85,0
1
 (1) 
 
( ) ( )dhfAdhfAM ycdsycdsd −−−= 22 
 
( ) ( )−=−→ dhf
M
AA
ycd
d
ss
2
 (2) 
 
Subtraindo a equação (1) da equação (2) teremos: 
 
( )−−−= dh
M
hbfN
f
A dwcdd
ycd
s
2
85,0
2
1
 (3) 
 
Somando a equação (1) com a equação (2) teremos: 
 
( )−+−= dh
M
hbfN
f
A dwcdd
ycd
s
2
85,0
2
1
 (4) 
 
Sendo: ( ) 002
85,0 =
−
−− s
d
wcdd A
dh
M
hbfN 
 
Caso em que 0=sA 
 
 
 
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125 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Para se obter o maior valor de s é necessário que: hx 25,1 , conforme figura acima. 
 
Equações de equilíbrio: 
 
+=→= ccscd RRNX 0 (1) 
 
−+−=→= dhRyhRMM scccd 222
01 (2) 
 
 sssc AR = (3) 
 ybfR wcdcc 85,0= (4) 
 
Das equações (1) e (2) combinadas com as equações (3) e (4) teremos: 
 
s
wcdd
s
wcddsswcdssd
ybfN
A
ybfNAybfAN
−
=
−=+=
85,0
85,085,0
 
 
−+−= dhAyhybfM sswcdd 222
85,0 
 
( ) −−+−= dhybfNyhybfM wcddwcdd 285,02285,0 
 
−−−+−= dhybfdhNyhybfM wcddwcdd 2
85,0
222
85,0 
 
−−−+−= dhydh
bf
Nyhy
bf
M
wcd
d
wcd
d
2285,02285,0
 
 
−−−=−− dhyyhydh
bf
N
bf
M
wcd
d
wcd
d
222285,085,0
 
 
( )−−−=−− dhyhydh
bf
N
bf
M
wcd
d
wcd
d
222285,085,0
 
 
−=−− dyydh
bf
N
bf
M
wcd
d
wcd
d
2285,085,0
 
 
 
 
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126 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
dyydh
bf
N
bf
M
wcd
d
wcd
d +−=−− 25,0
285,085,0
, dividindo tudo por: 5,0 , teremos 
 
 ( )
( )
=
−−
+−→ 0
425,0
222
wcd
dd
bf
dhNM
ydy (6) 
 
Equação de compatibilidade de deformações: 
 
−
−
=
−
−
=
hx
dx
hx
dx
cs
c
s
7
3
7
3
 (7) 
 
O valor de c depende do domínio de dimensionamento 
 
Para o domínio D5, 0002=c . Para os outros domínios: D2, D3 e D4 ver gráficos dos domínios 
de dimensionamento, cujas equações de compatibilidade de deformações são diferentes das 
anteriores. 
 
( )
−
=
−
=
x
dx
dxx cs
c 
 
 
 
EXEMPLO 1 
 
Para os dados a seguir pede-se determinar as armaduras de tração e de compressão. 
 
 
 
 
 
 
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127 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
1) Verificação se é o caso de flexão composta com grande excentricidade 
 
( ) ( ) kNcmdhNMM ddsd 800.62425030002002 −=−−=−−= 
 
( ) ( ) sdwcd MkNcmdhhbf −=−−=−− 14,657.114504,050154,1
268,04,068,0 , 
neste caso não se trata de flexão composta com grande excentricidade. 
 
 
2) Verificação se a armadura 0=sA 
 
Para que esta armadura seja nula é necessário que: 
 
 ( ) ( ) ,077,079.24250
2005015
4,1
285,0000.30
2
85,0 =
−
−−
−
−−
dh
M
hbfN dwcdd 
 
portanto, existirá armadura sA . 
 
 
2) Cálculo das armaduras: 
 
( )
( )
291,2352,971,91030000115,0
42
50
2005015
4,1
285,03000
15,1
502
1
2
85,0
2
1
cmA
dh
M
hbfN
f
A
s
d
wcdd
ycd
s
=−−=
−
−−=
−
−−=
 
 
 
214,2452,971,91030000115,0 cmAs =+−= 
 
 
0
0
0
0 44,65015
91,2314,24 =+=s , dado pela NBR 6118, portanto redimensionar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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128 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
EXEMPLO 2 
 
Para os dados a seguir pede-se determinar as armaduras de tração e de compressão. 
 
 
 
1) Verificação se é o caso de flexão composta com grande excentricidade 
 
( ) ( ) kNcmdhNMM ddsd 000.155250500.1000.152 −=−−=−−= 
 
( ) ( )
,57,978.10000.15
57,928.105504,05015
4,1
268,04,068,0
−−
−=−−=−− kNcmdhhbf wcd 
 
Neste caso não se trata de flexão composta com grande excentricidade. 
 
 
2) Verificação se a armadura 0=sA 
 
Para que esta armadura seja nula é necessário que: 
 
 ( ) ( ) ,071,1604250
000.155015
4,1
285,0500.10
2
85,0 −=
−
−−
−
+−
dh
M
hbfN dwcdd 
 
portanto não existirá armadura sA . 
 
 
 
 
 
 
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129 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
3) Determinação da profundidade da linha neutra 
 
( )
( )
0
425,0
222 =
−−
+−
wcd
dd
bf
dhNM
ydy 
 
( )
−=
=
=−−
=
−−
+−
cmy
cmy
yy
yy
89,35
89,45
005,647.110
0
154,1
2425,0
52
50500.1000.15
10
2
12
2
 
 
cmxyxvalidaraizcmyy 36,5725,1) ( 89,451 ==== 
 
55036,57 Dcmhcmx →== 
 
4) Determinação de s 
 
00
0
00
0 91,2
507
336,57
536,572
7
3
7
3
=
−
−
=
−
−
=
−
−
= scs
c
s
hx
dx
hx
dx
 
 
Para o valor de 00091,2=s , portanto dentro do intervalo compreendido entre 
00
05,3=sd e 0007,2=yd , (aço CA50) teremos: yds f= , (ver concreto I, cap. 8 – 
determinação de 8k , aço CA50, pag. 51) 
 
( )
( )
240,1575071,91015000115,0
42
50
000.155015
4,1
285,0500.1
15,1
502
1
2
85,0
2
1
cmA
dh
M
hbfN
f
A
s
d
wcdd
ycd
s
=+−=
−
−−=
−
+−=
 
 
→=
2
2
2
70,15205
73,14253
40,15
cm
ou
cm
cmAs 0000 409,25015
70,15
===
c
s
s A
A
 
 
 
 
 
 
 
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130 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
5) Detalhamento 
 
 
 
 
Observação: Se recalcularmos o valor de d veremos que ele será maior que admitido 
inicialmente, 5cm. Neste caso teríamos de refazer o problema, provavelmente aumentando a 
dimensão wb para 20cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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131 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 10 
 
UTILIZAÇÃO DE TABELAS PARA O 
DIMENSIONAMENTO DA FLEXÃO COMPOSTA 
RETA OU OBLÍQUA DE SEÇÕES RETANGULARES. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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132 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Vamos fazer um exemplo de utilização das tabelas para dimensionamento das seções 
retangulares submetidas à flexão oblíqua. Para a seção transversal abaixo, submetida as solicitações 
indicadas na própria figura, pede-se calcular a área da armadura longitudinal, sA . 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
1 – Cálculos auxiliares 
 
2/42,1
4,1
2 cmkNfcd == , 
2/14,142,180,080,0 cmkNfcdcd === 
 
2 – Argumentos de entrada nas tabelas 
 
84,0
14,15025
1200
===
cdc
d
A
N
 
 
23,0
14,1255025
8232,, ===
cdxc
xtotd
x hA
M
 
 
08,0
14,1505025
5592,, ===
cdyc
ytotd
y hA
M
 
 
16,0
25
4
==
x
x
h
d
 08,0
50
4
==
y
y
h
d
 
 
 
 
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133 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
3 – Escolha das tabelas (utilizando as tabelas do Prof.José Milton) 
 
Considerando a disposição da armadura de acordo com a tabela A2.3, teremos: 
 
 
 
 
 
4 – Interpolações lineares 
 
4.1 – Para 8,0= 
 
 
 
 
 
 
 637,0= 978,0= 
 
 
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134 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 5688,0= 
 
 
4.2 – Para 0,1= 
 
 
 
 
 
 
 098,1= 
 
760,0=
 
 
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135 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 6924,0= 
 
 
4.3 - Interpolação final: 
 
 
 
 5935,084,0 = 
 
 
5 – Cálculo da armadura longitudinal 
 
yd
cdc
s f
A
A = , 2/48,43
15,1
50 cmkN
f
f
s
yk
yd === 
 
)12,25( 20845,19
48,43
14,150255935,0 22 cmcmAs == , ver detalhamento na página 145 
 
Taxa da armadura longitudinal: 
 
0201,0
5025
12,25
===
c
s
s A
A
 %01,2=s 
 
 
 
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136 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 11 
 
PRESCRIÇÕES CONSTRUTIVAS REFERENTES 
AOS PILARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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137 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
As prescrições que se seguem são referentes aos pilares cuja maior dimensão, seja inferior ou 
igual, a cinco vezes a menor dimensão. (NBR 6118:2014, 18.4.1) 
 
 
bh 5 
 
Para o caso de pilares e pilares-parede, a menor dimensão da seção transversal não deve ser 
inferior a cmb 19 . 
 
Em casos especiais podemos utilizar: cmbcm 1914 , desde que as ações de cálculo sejam 
majoradas de n . 
 
bn −= 05,095,1 , tabela 13.1 da NBR 6118:2014. 
 
Em qualquer caso 2360cmAc )26 ,14( cmhcmb == ( NBR 6118:2014, 13.2.3) 
 
 
Armadura longitudinal 
 
Diâmetro da barra: 
b
mm
8
1
10
max
min
 ( 18.4.2.1); b : menor dimensão da seção transversal do pilar 
 
 
Armadura mínima: cs AA 004,0min, (17.3.5.3.1) 
 
 
c
s
s A
A
= ; 
yd
cd
f
f
15,0min = ; 
cdc
d
fA
N
= 
 
 c
yd
d
c
cdc
d
yd
cd
cs Af
N
A
fA
N
f
f
AA 004,015,015,0minmin, === 
 
 
Armadura máxima: cs AA maxmax, = (17.3.5.3.2); %8max , neste percentual está incluída a 
região das emendas das barras longitudinais. Nas emendas: %4max 
 
 
 
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138 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
 
 
 
“As armaduras longitudinais devem ser dispostas na seção transversal de forma a garantir a 
adequada resistência do elemento estrutural. Em seções poligonais, deve existir pelo menos uma barra 
em cada vértice; em seções circulares, pelo menos seis barras distribuídas ao longo do perímetro” 
(18.4.2.2, NBR 6118:2014) 
 
 
 minimo 4 minimo 6 
 
 
 
 
 
 
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139 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
No caso do feixe de barras de duas ou mais barras, consideramos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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140 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Armadura transversal 
 
“A armadura transversal, constituída por estribos e, quando for o caso, por grampos 
suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na região 
de cruzamento com vigas e lajes.” (18.4.3, NBR 6118:2014) 
 
Diâmetro mínimo dos estribos e grampos suplementares:
n
t
mm
4
1ou 
4
1
5
 
 
 
 
 
 
 
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141 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Proteção contra a flambagem das barras longitudinais (18.2.4, NBR 6118:2014) 
 
“Os estribos poligonais garantem contra a flambagem as barras situadas em seus cantos e as por 
eles abrangidas, situadas no máximo a distancia de t20 do canto, se nesse trecho de comprimento 
t20 não houver mais de duas barras, não contando a de canto. Quando houver mais de duas barras 
nesse trecho ou barra forra dele, deve haver estribos suplementares.” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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142 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
Emendas das barras longitudinais nos diversos pavimentos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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143 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
DETALHAMENTO FINAL DO PILAR EXEMPLIFICADO NO CAPÍTULO 10 
 
 
 
 
 
 
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144 MANUAL PRÁTICO PARA CÁLCULO DE PILARES Fernando Drummond Ribeiro Gonçalves 
BIBLIOGRAFIA 
 
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Dunas Rio Grande do Sul. 
 
ARAUJO, JOSÉ MILTON de (1993) – 1ª. Edição. Pilares Esbeltos Editora. Dunas Rio Grande do Sul. 
 
SÜSSEKIND, JOSÉ CARLOS (1987). Curso de Concreto – Vol. 2 Concreto Armado. Ed. Globo. Rio 
Grande do Sul. 
 
GONÇALVES, FERNANDO DRUMMOND RIBEIRO (2005). Concreto Armado II (Notas de Aula) 
 
ABNT – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2004. Projeto de Estruturas de 
Concreto – Procedimentos. 
 
ABNT – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6120:1980. Cargas para o cálculo de 
estruturas de edificações. 
 
FUSCO, PÉRICLES BRASILIENSE (1981). Solicitações Normais. Ed. Guanabara Dois – Rio de Janeiro. 
 
MELO, ELDON LONDE (2003) 1ª. Edição. Resistência limite à flexão composta e obliqua. Ed. UNB 
 
SÁNCHEZ, EMIL (1999). Nova Normalização Brasileira para o Concreto Estrutural. Ed. Interciência. 
Juiz de Fora – Minas Gerais. 
 
FUSCO, PÉRICLES BRASILIENSE (1985). Técnica de armar as estruturas de concreto. Ed. Pini – São 
Paulo. 
 
CINTRA, JOSÉ CARLOS A. e AOKI, NELSON e ALBIERO, JOSÉ HENRIQUE (2003). Tensão Admissível em 
Fundações Diretas. Ed. Rima São Carlos – SP 
 
MORAES, MARCELLO DA CUNHA (1982). Concreto Armado. Ed. McGRAW-HILL – São Paulo. 
 
LEONHARDT, FRITZ e MÖNNING, EDUARD (1978) 1ª Edição. Construções de Concreto Vol. 2. Ed. 
Interciência – Rio de Janeiro. 
 
MORAES, MARCELLO DA CUNHA (1978) 2ª Edição. Estruturas de fundação. Ed. McGRAW-HILL – São 
Paulo. 
 
HACHICH, WALDEMAR et outros. (1996) 1ª Edição. Fundações – Teoria e prática. Ed. Pini São Paulo.