concreto armado 04

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Unidade 04
Aula 01
Pilares de Concreto Armado
Caro aluno, você já parou para analisar uma construção? Todos os elementos que fazem parte de
uma determinada estrutura? Existem vários elementos que juntos formam o corpo resistente de
uma edificação, sendo vigas, lajes, pilares, escadas etc. Cada um desses elementos desempenha
uma determinada função e todos conjuntamente dão equilíbrio e segurança para a construção.
Dentre os vários elementos estruturais que podem ser destacados em uma determinada edificação,
os pilares possuem grande importância, visto que são os responsáveis por transferir todas as ações,
provenientes das ações permanentes e variáveis da edificação para os elementos de fundação.
Além dessa importante função, também devem resistir aos esforços de vento, que podem ser muito
prejudiciais para a segurança, principalmente para edifícios muito altos e esbeltos.
Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014), item 14.4.1.2, pilares são  “elementos lineares de eixo reto,
usualmente dispostos na vertical, em que as forças normais de compressão são preponderantes”.
Existem também pilares de grande inércia que são chamados de pilares-parede. Estes são
elementos de superfície plana ou casca cilíndrica, usualmente dispostos na vertical e
submetidos preponderantemente à compressão. Podem ser compostos por uma ou mais
superfícies associadas. Para que se tenha um pilar-parede, em alguma dessas superfícies a
menor dimensão deve ser menor que 1/5 da maior, ambas consideradas na seção
transversal do elemento estrutural (item 14.4.2.4, p. 84).
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Neste conteúdo aprenderemos alguns conceitos, extremamente necessários para em seguida,
poder fazer o dimensionamento de um pilar segundo os critérios estabelecidos pela NBR 6118
(ABNT, 2014). São conteúdos de aprendizado de suma importância para a sua formação como
engenheiro civíl.
Conceitos Básicos
Normalmente, pilares são elementos verticais, embora, em alguns casos, possam aparecer
inclinados. São responsáveis por receberem todas as ações da edificação, ações verticais, e
transmiti-las aos elementos de fundação, além de suportar os esforços horizontais provenientes de
forças de vento. Basicamente, sua principal solicitação é a compressão. Posteriormente, falaremos
sobre as principais solicitações dos pilares, os chamados efeitos de segunda ordem, a forma de se
determinar esses efeitos etc.
Falaremos agora sobre algo que, infelizmente, muitas pessoas não possuem o conhecimento da
existência e que alguns não seguem. Algo que é especificado em norma e que deveria ser seguido
por todos, sejam calculistas, construtores etc. São os valores mínimos estabelecidos pela norma,
esses considerados como seguros por ela, visando uma maior durabilidade e segurança das
edificações, proporcionando garantias tanto para quem utilizará essa edificação quanto para quem
é responsável por edificá-la.
Dimensões Mínimas dos Pilares Segundo a
NBR 6118 (ABNT, 2014)
Todo e qualquer elemento em concreto armado, segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014), possui um
mínimo de seção transversal, significando que não é aconselhável considerar valores menores que
os estabelecidos pela norma. Com os pilares não é diferente.
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Para os pilares a norma indica que sua seção transversal mínima deve ser de 360 cm², não podendo
ser menor que isso. Quanto às dimensões, no item 13.2.3, que aborda sobre pilares e pilares-
parede, a norma indica que a menor dimensão do pilar deve ser de 19 cm.
Em casos especiais, é permitido que a menor dimensão do pilar varie entre 19 e 14 cm, que seria a
menor dimensão absoluta, desde que se utilize um coeficiente de majoração dos esforços
solicitantes finais de cálculo. Lembrando que o esforço solicitante de cálculo para os pilares é a
força normal, força de compressão.
O coeficiente de majoração dos esforços solicitantes, para pilares com dimensões menores que 19
cm, é o 𝞬 . Vejamos os valores na tabela abaixo:
b cm ≥ 19 18 17 16 15 14
 𝞬 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25
𝞰
𝞰
ATENÇÃO
Dimensão mínima significa que nenhum pilar pode ter uma dimensão ou seção transversal
menor que o valor especificado em norma. Isso significa segurança, não sendo um exagero da
norma, embora, muitas vezes, a seção necessária para resistir a um determinado esforço seja
menor do que o especificado por norma.
NA-PRATICA
Se pensarmos com calma, veremos que com uma seção transversal mínima de 360 cm² e com
uma dimensão mínima de 19 cm, a menor seção transversal para um pilar será de 19x19, que
equivale a 361 cm².
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onde
       𝞬 = 1,95 - 0,05 b;
     
       b é a menor dimensão da seção transversal, expressa em centímetros (cm).
 
NOTA: o  coeficiente 𝞬 deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo quando de seu dimensionamento.
Tabela 1 - Valores do coeficiente adicional 𝞬𝞰𝞰 para pilares e pilares-parede
Fonte: ABNT (2014, p. 73).
Portanto a norma indica que quando necessitamos de uma dimensão menor para o pilar, o mesmo
precisará suportar um esforço maior, que é acrescentado quando majoramos os esforços de cálculo
pelo coeficiente 𝞬𝞰𝞰.
Vimos que existem pilares e pilares-parede e o que diferencia um do outro é a relação entre seus
lados. Isso é feito da seguinte maneira:
h ≤ 5 b ⟹ pilar
h > 5 b ⟹ pilar-parede
𝞰
𝞰
SAIBA MAIS
Você sabia que nas construções comuns, de edifícios ou de pequenas construções correntes,
com estruturas de concreto armado, os pilares, de maneira geral, possuem seção transversal
retangular, mas que também podem ser quadradas, circulares ou de uma figura composta por
retângulos (seções L, T, U etc.)?
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Valores Máximos e Mínimos da Armadura
Longitudinal Segundo a NBR 6118 (ABNT,
2014)
Como acontece também com a seção transversal mínima e a menor dimensão para o pilar, a NBR
6118 (ABNT, 2014) considera um mínimo de armadura para os pilares. Não somente para esses,
mas para qualquer peça em concreto armado.
Quando falamos em um mínimo de armadura para pilares, devemos ter em mente que a norma
exige que haja pelo menos uma armadura em cada aresta do pilar, conforme indica a figura abaixo.
Figura 1 - Classificação dos pilares e pilares-parede
Fonte: Bastos (2017, p. 31).
ATENÇÃO
O mínimo de armadura significa que nenhuma peça em concreto armado deve ter menos
armadura do que o estabelecido por norma. Mais uma vez, isso significa segurança para todos
os envolvidos na edificação, desde proprietários a calculistas.
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Desta forma, não existem pilares com seção transversal, retangular ou quadrada com menos de 4
barras longitudinais. Embora aconteça, algumas vezes, de a quantidade de armadura necessária
para colaborar com o concreto na resistência aos esforços seja pequena, menor que o mínimo
estabelecido por norma, devemos adotar sempre, pelo menos, o valor mínimo, mesmo que ele seja
muito maior do que o determinado na análise dos esforços.
No item 17.3.5.3.1, a NBR 6118 (ABNT, 2014) estabelece os princípios que vão definir qual o
mínimo de armadura que cada peça de pilar precisa ter.
Mas antes disso veremos o que expõe Carvalho (2013, p.327):
Armaduras mínimas: a ruptura frágil das seções transversais quando da formação da
primeira fissura deve ser evitada, considerando-se, para o cálculo das armaduras, um
momento mínimo dado pelo valor correspondente ao que produziria a ruptura da seçãosão
chamados efeitos globais de 2ª ordem. Nas barras da estrutura, como um lance de pilar, os
respectivos eixos não se mantêm retilíneos, surgindo aí efeitos locais de 2ª ordem que, em
princípio, afetam principalmente os esforços solicitantes ao longo delas.
(ABNT, 2014, p. 102).
Segundo Carvalho (2013, p. 335) “o fenômeno da flambagem causa uma deformação na peça,
chamada de segunda ordem, que influi no próprio esforço interno, podendo causar instabilidade”.
Figura 9 – Casos possíveis de excentricidade de 1ª ordem
Fonte: Carvalho (2013, p. 330).
e1x =
Mx
Nd
e1y =
My
Nd
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Conforme a NBR 6118 (ABNT, 2014) aborda, o efeito de 2ª ordem localizado, além de aumentar
nessa região a flexão longitudinal, aumenta também a flexão transversal, havendo a necessidade de
aumentar a armadura transversal nessas regiões.
Significando que quanto maior a tendência à flambagem o pilar tiver, maior será a responsabilidade
no dimensionamento desse pilar.
Este efeito será maior quanto maior for o índice de esbeltez do pilar. No entanto segundo a NBR
6118 (ABNT, 2014) (item 15.8.2): os esforços locais de 2ª ordem em elementos isolados podem ser
desprezados quando o índice de esbeltez for menor que o valor-limite ℷ1. Esse assunto já foi
tratado neste material, volte e retome para melhor entendimento.
Para frisar o assunto, a flambagem pode acontecer em qualquer tipo de pilar, sejam pilares centrais,
pilares laterais ou pilares de canto. Portanto a determinação da esbeltez do pilar e a comparação
com o valor limite da esbeltez é essencial para qualquer um. Se a esbeltez do pilar for menor que o
valor da esbeltez limite, pode ser dispensada a determinação do esforço adicional de 2ª ordem, caso
contrário, é obrigatória a determinação e consideração do esforço adicional de 2ª ordem no
dimensionamento do pilar.
Métodos De Cálculo Segundo NBR 6118
(ABNT, 2014)
A norma considera alguns métodos para o dimensionamento dos pilares. Um desses métodos é o
chamado “Método Geral”, que consiste
na análise não-linear de 2ª ordem efetuada com discretização adequada da barra,
consideração da relação momento-curvatura real em cada seção, e consideração da não
linearidade geométrica de maneira aproximada
(ABNT, 2014, p. 109) (item 15.8.3.2).
No entanto a mesma norma, indica que a determinação dos esforços de 2ª ordem pode ser feita por
métodos aproximados, os chamados “método do pilar-padrão” ou “método do pilar-padrão
melhorado”. A norma ressalta ainda que o “método geral” é obrigatório para pilares com 𝛌 > 140.
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Carvalho (2013) salienta que mesmo sendo obrigatório para pilares com 𝛌 > 140, o método geral
também pode ser utilizado para a determinação de pilares cuja esbeltez seja menor que 140 e que
esse método é indicado, também, para pilares de seção transversal variável ou para pilares com
cargas laterais.
Ainda, segundo Carvalho (2013, p. 338):
A curvatura da peça é determinada em função do estado de esforços resistidos pela seção,
onde em cada ponto se relaciona o momento atuante com a curvatura, diferentemente do
processo simplificado, em que se considera apenas a máxima curvatura da seção mais
solicitada.
O problema no dimensionamento envolve equações diferenciais que geralmente não têm solução
direta conhecida, sendo necessário empregar soluções aproximadas (numéricas) para o cálculo,
como o que acontece com os métodos iterativos (carregamento incremental) e o que se apropria do
conceito de pilar-padrão.
Segundo Bastos (2017, p. 10)
O pilar-padrão é uma barra engastada na base e livre no topo, com uma curvatura
conhecida. É importante salientar que o método do pilar-padrão é aplicável somente a
pilares de seção transversal constante e armadura constante em todo o comprimento do
pilar.
Podemos ver isso na Figura 10, abaixo:
Os métodos aproximados, como é o caso do pilar-padrão, segundo Carvalho (2013, p. 340),
“procuram identificar a seção mais solicitada do pilar e, a partir de algumas simplificações,
estabelecer expressões que permitam calcular o efeito de 2ª ordem”.
Figura 10 - Pilar-padrão
Fonte: Bastos (2017, p. 10).
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No caso do pilar-padrão, para a determinação da excentricidade de 2ª ordem, são admitidas as
hipóteses a seguir:
a flecha máxima (e2) é a função linear da curvatura da barra;
a linha elástica da barra deformada é dada por uma função senoidal;
a curvatura é dada pela derivada segunda da equação da linha elástica;
será desconsiderada a não-linearidade física do material.
Segundo Fusco (1981, p. 192) “a verificação de segurança é feita arbitrando-se deformações  e  tais
que não ocorra o estado limite de ruptura ou alongamento plástico excessivo na seção mais
solicitada da peça”.
Considerando que a linha elástica (deformada) y(x) do eixo da barra seja expressa por uma função
contínua:
derivando essa equação temos:
.
derivando novamente teremos:
considerando que para pequenos deslocamentos a equação da curvatura é:
  da segunda derivação surgirá o valor para y em função da curvatura 1/r:
 que vai resultar em 
sendo y o máximo deslocamento e2 , obtém-se:
sabendo que π²≅ 10, então o deslocamento no topo da barra é dado por:
y (x)  =  e2. sen(
π
ℓe
.x)
x
dy
dx
=   −  e2
π
ℓe
cos
π
ℓex
x
d2y
dx2
= ( π
ℓe
)2e2sen
πx
ℓe
=
π2
ℓe2
y
1
r
= d2y
dx2
d2y
dx2 = π2
ℓe2 y = 1
r y = ℓe2
π2
1
r
e2
ℓe2
π2
1
r
e2
ℓe2
10
1
r
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Esse deslocamento máximo e2 é chamado de excentricidade de 2ª ordem e, dependendo do caso,
deve ser considerado no dimensionamento dos pilares, como veremos mais adiante.
Como dito anteriormente, o pilar-padrão possui uma curvatura conhecida e essa, na seção crítica
do pilar pode ser determinada, segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014) (item 15.8.3.3.2) através de:
em que: ν (ni), que é chamado de força normal adimensional, pode ser determinado por:
onde:
Nd = valor de cálculo da força normal;
h = altura da seção transversal do pilar;
Ac = área da seção transversal do pilar;
fcd = valor de cálculo da resistência à compressão do concreto.
Com esses valores determinados, conseguimos calcular o valor do momento de 2ª ordem, relativo à
excentricidade de 2ª ordem (e2):
M2d = Nd.e2 , que pode ser reescrito da seguinte maneira: 
Portanto segundo Carvalho (2013, p. 343):
o valor da excentricidade de segunda ordem é diretamente proporcional à curvatura na
base do pilar (seção mais solicitada) que, com as características descritas, passa a ser
chamado de pilar-padrão.
Determinação dos Efeitos Locais de 2ª Ordem
Para que possamos entender o processo de determinação dos efeitos locais de 2ª ordem, antes, é
preciso entendermos alguns conceitos básicos sobre esses efeitos. Vamos a eles?
1
r
=
0.005
h (ν  +  0, 50)
≤  
0.005
h
v =
Nd
Ac. fcd
M2d =  Nd
ℓe2
10
1
r
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Primeiramente, precisamos falar sobre a teoria de 1ª ordem. Todos os esforços provocarão
deformações nas peças. Dessa forma, quando se fala em teoria de 1ª ordem, admite-se que nesse
caso, as deformações na estrutura não causam efeitos nos esforços internos e que as relações entre
as tensões e as deformações são lineares, geométricas e físicas.
Quanto à teoria de 2ª ordem, a relação entre as tensões e as deformações não são lineares, pois as
tensões são influenciadas pelas deformações, como discorre Carvalho (2013).
Outros dois conceitosque precisamos entender são os das linearidades que ocorrem nos pilares,
expostos abaixo.
Não-linearidade física: essa não-linearidade ocorre quando o material não obedece a lei de Hooke.
Significa que as tensões não são proporcionais às deformações e acontecem por causa das
características físicas do material. Algo que podemos verificar no concreto, por exemplo, é a sua
não homogeneidade e remete a um fenômeno bem específico conhecido como fissuração.
Não-linearidade geométrica: acontece quando as deformações provocam esforços adicionais nas
peças. Isso é provocado pelo estado de deformação da estrutura, que significa a não existência de
uma relação linear entre as tensões e as deformações. É exatamente o que acontece com barras
comprimidas que estão sujeitas à flambagem. Desse jeito, a não-linearidade geométrica provoca os
esforços adicionais de 2ª ordem.
Para a determinação dos esforços de 2ª ordem existem vários métodos que apresentarão precisão
para cada caso específico. Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014), o cálculo dos efeitos locais de 2ª
ordem pode ser feito pelo Método Geral ou por métodos aproximados, sendo o Método Geral
obrigatório para elementos com  > 140.
O Método Geral pode ser utilizado para a determinação dos esforços de qualquer tipo de pilar,
como qualquer valor de índice de esbeltez. Para pilares que possuem esbeltez ≤ 90 podem ser
utilizados os métodos simplificados: Método do pilar-padrão com curvatura aproximada e Método
Figura 11 – Diagramas σ x ε de alguns materiais
Fonte: Bastos (2017, p. 05).
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do pilar-padrão com rigidez K aproximada. Para pilares que possuem esbeltez ≤ 140, o Método do
pilar-padrão pode ser utilizado acoplado a diagramas M, N, 1/r, além do Método do pilar-padrão
para pilares de seção retangular submetidos à flexão composta oblíqua.
Neste item serão apresentados os métodos do pilar-padrão com curvatura aproximada e o método
do pilar-padrão com rigidez k aproximada. Tais métodos são simples de serem aplicados, além, de
serem utilizados para pilares com índice de esbeltez ≤ 90, que são a maioria dos pilares nas
construções comuns.
Método do Pilar-Padrão com Curvatura
Aproximada
Como abordado anteriormente, para a determinação do momento de 2ª ordem é necessário fazer a
determinação da curvatura (1/r), fazendo a análise na situação de barra deformada. A equação para
a determinação da curvatura e para a determinação do momento de 2ª ordem foram apresentadas
no decorrer da unidade do material.
A não-linearidade geométrica nesse método é considerada de forma aproximada, admitindo-se que
a deformação da barra ocorra de forma senoidal, como já visto na determinação da deformação de
2ª ordem. Por outro lado, a não-linearidade física é considerada através de um valor aproximado da
curvatura na seção crítica. Essa expressão também já foi apresentada no material.
O momento fletor total máximo no pilar é definido pela seguinte expressão:
Onde:  = parâmetro já definido (unidade 1);
Nd = força normal solicitante de cálculo;
= comprimento de flambagem;
1/r = curvatura na seção crítica.
A expressão da curvatura (1/r) é devida apenas à flexão da barra. Segundo Carvalho (2013), ”neste
método aproximado considera-se, a favor da segurança, que a curvatura deve ter o maior valor
possível. Portanto as deformações do concreto e do aço deverão ser iguais àquelas
correspondentes ao estado limite último. Simplificadamente, a NBR 6118 (ABNT, 2014) chegou à
seguinte expressão:
Md,tot = αbM1d,A +  Nd 
ℓe2
10
1
r
≥  M1d,A
ℓe
1
r
=
0.005
h (ν  +  0, 50)
≤  
0.005
h
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Com a força adimensional (ν) sendo:
Segundo Bastos (2017, p. 20):
O momento fletor total máximo deve ser calculado para cada direção principal do pilar. Ele
leva em conta que, numa seção intermediária onde ocorre a excentricidade máxima de 2ª
ordem, o momento fletor máximo de 1ª ordem seja corrigido pelo fator αb...Se o momento
de 1ª ordem for nulo ou menor que o mínimo, então o momento mínimo, constante na
altura do pilar deve ser somado ao momento fletor de 2ª ordem.
A NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 60) cita que “todo pilar deve ser dimensionado considerando-se um
momento fletor mínimo e que “a esbeltez é levada em consideração aumentando-se os momentos
fletores nos extremos do pilar. Se os momentos atuantes no pilar são muito pequenos ou zero, o
projeto de pilares esbeltos deve se basear sobre uma excentricidade mínima”. Essa excentricidade
mínima é dada pelo momento fletor mínimo.
Método do pilar-padrão com rigidez κ
aproximada
Esse é outro método utilizado para o dimensionamento de pilares cujo índice de esbeltez seja ≥ 90.
Neste método a não-linearidade geométrica é levada em conta de forma aproximada, de forma
idêntica ao método do pilar-padrão com curvatura aproximada. Já a não-linearidade física é
considerada através de uma expressão aproximada da rigidez, sendo representada pelo coeficiente
κ.
Como acontece com o método do pilar-padrão com curvatura aproximada, este é permitido para
pilares com seção constante e armadura constante ao longo de seu comprimento. O momento total
máximo no pilar é dado pela seguinte expressão:
o valor da rigidez adimensional κ pode ser determinado pela expressão aproximada:
v =
Nd
Ac. fcd
Msd,tot =
αb.Md,A
1 − λ2
120.k/v
≥ M1d,A
kaprox = 32(1 + 5
MRd,tot
h.Nd
)v
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Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014) (item 15.8.3.3.3), em um processo de dimensionamento, toma-
se MRd,tot = MSd,tot . Em um processo de verificação, no qual a armadura é conhecida, MRd,tot é o
momento resistente calculado com essa armadura e com Nd = NSd = NRd.
As variáveis h, 𝜶b , 𝝼 e M1d,A são as mesmas já descritas anteriormente. A Variável 𝝺 representa o
índice de esbeltez do pilar, também descrito. Normalmente, duas ou três iterações são suficientes
quando se opta por um cálculo iterativo.
No entanto substituindo a equação acima naequação anterior, obtém-se uma equação de 2º grau,
que pode ser utilizada paradeterminar o valor de MSd,tot,sem que haja a necessidade de se fazer
iterações.
Dessa forma, o cálculo do momento fletor total pode ser conseguido através da seguinte expressão,
utilizando Md,tot, ao invés de MSd:
19200 Md,tot² + (3840 h Nd - 𝝺² h Nd - 19200 𝞪b M1d,A)Md,tot - 3840 𝞪b h Nd M1d,A = 0
Disposições Construtivas Segundo a NBR
6118 (ABNT, 2014)
Segundo a NBR 6118 (2014, p. 144-145)  (item, 18.2.1):
O arranjo das armaduras deve atender não só à sua função estrutural, como também às
condições adequadas de execução, particularmente com relação ao lançamento e ao
adensamento do concreto. Os espaços devem ser projetados para a introdução do vibrador
e de modo a impedir a segregação dos agregados e a ocorrência de vazios no interior do
elemento estrutural.
A.M 2
sd,tot  +  B.Msd,tot  +  C  =  0,  onde
⎧⎪⎨⎪⎩ A  =  5.h
B = h2.Nd −
Nd⋅ℓ2
e
320   −  5.h. ab.M1d,A
C  =   − Nd.h2. ab.M1d,A
Msd,tot =
−b + √b2 − 4.a. c
2.a
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Temos que ter um certo cuidado com os pilares, já que essas recomendações da norma são válidas
para qualquer elemento estrutural. É preciso, no caso dos pilares, ter atenção especial na região de
ligação entre o pilar e as vigas, pois nesta região pode haver uma grande aglomeração de armaduras
longitudinais de pilares e vigas, além de estribos dos pilares.
Quanto às armaduras, longitudinais e transversais, além de espaçamentos máximos e mínimos
entre as armaduras que também já foram vistos, caso não se lembre, volte para recordar.Fechamento
Algo extremamente importante para o dimensionamento de pilares é determinar qual o tipo de
solicitação a que ele está submetido. Sem isso, fica impossível fazer o correto dimensionamento.
Entender que existem esforços diferentes atuando nos pilares é primordial para o engenheiro civíl.
O estudo de pilares não deve se restringir apenas ao que foi apresentado nestas aulas. É necessário
que você, aluno, procure conhecer um pouco mais sobre, que pesquise nas bibliografias indicadas
ao final desta unidade. O conhecimento deve ser sempre contínuo, sempre aprimorado com
pesquisas para que possa entender o máximo possível do assunto.
Como você pôde ver, dimensionar um pilar não é uma tarefa tão simples. Ela exige que se preste
atenção a vários detalhes, dentre eles, o método de cálculo a ser adotado.
Pudemos falar um pouco sobre os métodos que a NBR 6118 considera, sobre alguns outros fatores
que devemos levar em consideração na hora do dimensionamento, e também, sobre algumas
disposições construtivas importantes para o bom dimensionamento.
Para a determinação de maneira mais simples da área de aço necessária para pilares, alguns autores
elaboraram ábacos que facilitam a determinação da taxa mecânica de armadura necessária.
Procure na bibliografia, autores que desenvolvem sobre o assunto.
Fica a dica, leia mais sobre o assunto abordado e procure observar o que outros autores falam
sobre isso.  
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
entender o que é e como atua a compressão simples;
entender o que é flexão composta e como ela atua, normal ou oblíqua;
diferenciar a flexão composta normal da flexão composta oblíqua.
descobrir quais são os métodos de cálculo adotados pela NBR 6118;
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identificar o  que são excentricidades de 1ª e 2ª ordem;
entender quais são as disposições construtivas elencadas pela NBR 6118.
Unidade 04
Aula 04
Estrutura de Nós: Móveis e Rígidos
Toda estrutura deve ser considerada estável. Os pilares, juntamente com as vigas, formam, ao longo
da edificação, pórticos que resistem às ações verticais e às ações de vento. A ligação entre as vigas e
os pilares pode ser considerada como deslocável ou indeslocável. Seja qual for o caso, a
 estabilidade das estruturas deve ser analisada em dois planos, tanto no plano do elemento como no
plano perpendicular a esse elemento.
Vídeo
Nesta aula estudamos algumas concepções e aspectos constituidores do conceito de exclusão,
suas vertentes e origens. Aprendemos que há diversos tipos de exclusão. Para complementar o
seu aprendizado assista a esse vídeo.
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Por isso, se torna importante a análise da estabilidade da estrutura, seja ela de nós indeslocáveis ou
nós deslocáveis. A estabilidade deve ser atingida em qualquer situação.
Estudaremos, nesta aula, como devem ser feitas as verificações para se considerar a estrutura
estável. Veremos prescrições da NBR 6118:2014 sobre o assunto e trataremos de mostrar o que se
deve fazer para que as estruturas possam ser consideradas estáveis.
Considerar uma estrutura como de nós rígidos seria a situação quase que ideal, em grande parte
das vezes, para um engenheiro calculista. Entretanto, como já vimos, as estruturas são consideradas
inicialmente como de nós móveis. Cabe a nós, calculistas, realizarmos as verificações para que
possamos assegurar que são realmente móveis ou fixos.
Se móveis, procedemos como o descrito na aula passada. Se fixos, procederemos como será
descrito a seguir, com todas as considerações abordadas pela NBR 6118:2014, além de
considerações de autores da área.
Temos que ter em mente que, em qualquer situação, uma estrutura tem que estar estável, ela
precisa resistir aos esforços a que ela estará sujeita, seja essa estrutura de nós móveis ou de nós
fixos. Por isso, a análise da estrutura é tão importante e indispensável.
Estruturas de Nós Móveis
Toda estrutura deve ser projetada, e isso é evidente, para resistir às forças verticais e, também, às
horizontais, independente do tipo de ação que possa atuar sobre essa estrutura e do tempo de
duração dessa ação. Sejam ações pequenas de duração longa, sejam ações grandes de duração
curta, não importa o tipo, a estrutura precisa suportar e se manter estável.
Um dos elementos que é considerado de grande importância no estudo da estabilidade de uma
edificação é o pilar. Ele pode fornecer rigidez, maior ou menor, à estrutura, dependendo de sua
inércia. Portanto, qualquer alteração na inércia do pilar, impacta diretamente na estabilidade da
estrutura como um todo.
Com o implemento de novas tecnologias e de novos materiais, tornou-se possível a construção de
edifícios cada vez mais altos e mais esbeltos, o que se vê com grande facilidade nos grandes centros
urbanos por todo o país. Entretanto isso faz com que o engenheiro calculista tenha que verificar
com muito mais cuidado os efeitos de 2ª ordem que são provenientes da esbeltez, cada vez mais
pronunciada das estruturas. Efeitos que podem ser catastróficos para algumas estruturas se não
forem levados em conta durante o processo de dimensionamento.
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Os esforços adicionais de 2ª ordem em edifícios altos e esbeltos são gerados pelas ações
horizontais, originadas principalmente pela ação de vento. Por isso, torna-se importante a correta
determinação da força de vento aplicada à edificação. Todavia as cargas excêntricas aos pilares,
provenientes do método construtivo adotado ou da relação entre os materiais empregados
também geram esforços adicionais de 2ª ordem em pilares.
Segundo Fusco (1981, p. 233) “[...] de modo geral, exige-se a consideração da ação do vento nas
estruturas em que esta ação possa produzir efeitos estáticos ou dinâmicos importantes”. O autor
continua dizendo que “[...] essa possibilidade existe de modo significativo nas estruturas
aporticadas com nós deslocáveis”.
Quando se desenvolve um projeto estrutural de um edifício, normalmente se realiza uma análise
linear elástica de primeira ordem para determinar as reações e os esforços resultantes dos
carregamentos atuantes na estrutura, no entanto essa análise não considera qualquer efeito
adicional na estrutura devido a um possível deslocamento horizontal desta.
Figura 1 - Deslocamento horizontal devido à ação de vento
Fonte: Alva (2014, p. 1)
SAIBA MAIS
Sobre as ações de vento em edificações, como considerar e quando considerar, consulte a
NBR 6123/1988, Forças devidas ao vento em edificações. Ela pode te esclarecer bastante
sobre o assunto.
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As estruturas podem ser consideradas como de nós fixos ou móveis, dependendo do sistema de
contraventamento adotado para ela. Veremos isso posteriormente. Primeiro vamos analisar o que
vem a ser uma estrutura de nó móvel.
Em princípio toda estrutura é considerada como de nó móvel (deslocável). O quanto isto pode
afetar a estabilidade da estrutura é o que precisa ser verificado por meio das análises,
principalmente análises não lineares, já que as deformações, nesse caso, não são lineares.
Segundo a NBR 6118:2014 (item 15.4.2):
As estruturas de nós móveis são aquelas onde os deslocamentos horizontaisnão são
pequenos e, em decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são importantes (superiores a
10 % dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas devem ser considerados
tanto os esforços de 2ª ordem globais como os locais e localizados
(ABNT, 2014, p. 103).
A norma diz ainda que:
As estruturas rígidas praticamente não são afetadas pelos efeitos do deslocamento horizontal.
No entanto, graças ao aumento crescente do número de pavimentos nos edifícios de concreto
armado, torna-se necessário considerar o aumento da esbeltez destes sistemas e,
consequentemente, projetar essas estruturas considerando os efeitos de segunda ordem. Se
desprezarmos esses efeitos, os esforços verificados na estrutura correm um risco muito grande
de não representarem a realidade, podendo, como consequência, ocasionar a deformação
excessiva, a instabilidade, ou a ruptura de elementos da estrutura, o que, em certos casos, pode
levar à ruína desta.
SAIBA MAIS
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Todavia, há estruturas em que os deslocamentos horizontais são grandes e que, não
obstante, dispensam a consideração dos efeitos de 2ª ordem por serem pequenas as forças
normais e, portanto, pequenos os acréscimos dos deslocamentos produzidos por elas; isso
pode acontecer, por exemplo, em postes e em certos pilares de galpões industriais
(ABNT, 2014, p. 103).
Em geral, é o pilar o elemento destinado a dar estabilidade vertical à estrutura. Entretanto, em
alguns tipos de estruturas, existe a necessidade de se projetar outros elementos mais rígidos, que
terão a função de, também, transmitir as ações verticais, e a função principal de garantir a
estabilidade horizontal da edificação frente às ações de vento ou de sismos, quando existirem.
Esses elementos, segundo Bastos (2017, p. 11), “[...] ao mesmo tempo, são esses elementos mais
rígidos que garantirão a indeslocabilidade dos nós dos pilares menos rígidos”.
Tendo isso em mente, podemos classificar os elementos verticais de uma edificação como
elementos de contraventamento e elementos contraventados (pilares).
Segundo a NBR 6118:2014 (item 15.4.3):
Por conveniência de análise, é possível identificar, dentro da estrutura, subestruturas que,
devido à sua grande rigidez a ações horizontais, resistem à maior parte dos esforços
decorrentes dessas ações. Essas subestruturas são chamadas subestruturas de
contraventamento.
Os elementos que não participam da subestrutura de contraventamento são chamados
elementos contraventados.
As subestruturas de contraventamento podem ser de nós fixos ou de nós móveis, de acordo
com as definições de 15.4.2
(ABNT, 2014, p.103).
A NBR 6118:2014 (item 15.4.4) considera como elementos isolados os seguintes:
a) os elementos estruturais isostáticos;
b) os elementos contraventados;
c) os elementos da estruturas de contraventamento de nós fixos;
d) os elementos das subestruturas de contraventamento de nós móveis, desde que, aos esforços
nas extremidades, obtidos em uma análise de 1ª ordem, sejam acrescentados os determinados por
análise global de 2ª ordem (ABNT, 2014, p.103-104).
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Antes de se fazer qualquer análise, é necessário determinar se a estrutura é de nós fixos
(indeslocável) ou de nós móveis (deslocável).
A NBR 6118:2014 especifica dois critérios para se determinar se uma estrutura é deslocável ou
indeslocável horizontalmente: um critério é baseado no parâmetro de instabilidade α, enquanto o
outro critério é baseado no coeficiente . Os dois parâmetros podem ser utilizados, embora, o
parâmetro de instabilidade α esteja em desuso, sendo o coeficiente muito mais utilizado
atualmente. Além desses dois métodos, outros têm sido implementados por vários autores.
Parâmetro de Instabilidade α
De modo mais prático, uma estrutura reticulada simétrica pode ser considerada de nós fixos
quando seu parâmetro α for menor que o valor α1, que pode ser determinado pela seguinte
expressão:
Onde:
𝛄z
𝛄z
α =  Htot = √Nk/ (EcsIc)
SAIBA MAIS
É preciso considerar as duas linearidades possíveis para as estruturas. A não linearidade
física e a não linearidade geométrica. Na NLF, segundo Pinto (1997, p. 1), “[...] os efeitos da
fissuração, da fluência, o escoamento das armaduras, bem como outros fatores de menor
importância conferem ao” concreto armado “[...] um comportamento não linear, a chamada
não linearidade física”. Já a não linearidade geométrica ocorre quando as deformações
geradas, por ações verticais e horizontais, provocam esforços adicionais à estrutura,
chamados de esforços de segunda ordem.
ATENÇÃO
Procure saber um pouco mais sobre o assunto, existem métodos diferentes dos descritos
pela NBR 6118. A engenharia está sempre em evolução.
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α1 = 0,2 + 0,1n   se: n ≤ 3
α1 = 0,6           se: n ≥ 4
Em que:
 = é o número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de um nível pouco
deslocável do subsolo;
= é a altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco
deslocável do subsolo;
= é o somatório de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível considerado
para o cálculo de ), com seu valor característico;
 = representa o somatório dos valores de rigidez de todos os pilares na direção considerada.
No caso de estruturas de pórticos, de treliças ou mistas, ou com pilares de rigidez variável ao longo
da altura, pode ser considerado o valor da expressão de um pilar equivalente de seção
constante.
A norma estabelece que deve ser calculado considerando as seções brutas do pilar.
Em relação à rigidez do pilar equivalente, a norma estabelece que deve ser calculada da seguinte
maneira:
calcular o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação do
carregamento horizontal na direção considerada;
calcular a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base e livre no topo,
de mesma altura , tal que, sob a ação do mesmo carregamento, sofra o mesmo
deslocamento no topo.
Para as estruturas usuais de edifícios, de maneira geral, é utilizado o valor-limite α1 = 0,6 para n ≥ 4.
Outras considerações que devem ser adotadas, segundo a NBR 6118:2014, é que para associações
de pilares-parede e para pórticos associados aos pilares-parede, o valor a ser adotado para  α1 é
0,6. Quando existir contraventamento que seja constituído exclusivamente por pilares-parede, a
norma determina que se use α1 = 0,7. E quando a estrutura for constituída apenas por pórticos,
adotar α1 = 0,5.
Coeficiente 𝛄
De acordo com a NBR 6118:2014 (item 15.5.3)
n
Htot
Nk
EcsIc
EcsIc
Ic
Htot
z
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O coeficiente 𝛄 de avaliação da importância dos esforços de segunda ordem globais é
válido para estruturas reticuladas de no mínimo quatro andares. Ele pode ser determinado
a partir dos resultados de uma análise linear de primeira ordem, para cada caso de
carregamento, adotando-se os valores de rigidez dados em 15.7.3
(ABNT, 2014, p. 93).
E o valor de 𝛄 para cada combinação de carregamento é determinado pela seguinte expressão:
Em que:
= é o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças
horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da
estrutura;
= é a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, na combinação
considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos
pontos de aplicação, obtidos da análise de 1ª ordem.
Com esse coeficiente, considera-seque uma estrutura é de nós fixos se for obedecida a seguinte
condição: ≤ 1,1.
z
z
γZ =
1
1 −
ΔMtot,d
M1,tot,d
M1,tot,d
ΔM tot.d
𝛄z
SAIBA MAIS
A utilização de qualquer um destes dois métodos requer que seja feita uma análise do pórtico
espacial representativo de todo o edifício. Para isso, é preciso especificar a rigidez de vigas e
pilares dos pórticos. Se esses pórticos forem ligados às paredes estruturais ou aos pilares-
parede é preciso que se especifique a rigidez destes elementos também.
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Feita a análise da estrutura e constatando que se trata de uma estrutura de nós deslocáveis, torna-
se obrigatória a consideração dos efeitos globais e locais de segunda ordem, correndo-se o risco,
em caso de não consideração, de as deslocabilidades geradas provocarem um efeito catastrófico
para toda a estrutura.
É preciso avaliar, ainda, se esses efeitos não apresentam valores muito elevados que pudessem
levar a estrutura à colapso. Nestes casos, pode ser conveniente alterar a estrutura para fornecer a
ela uma rigidez maior para resistir a esses esforços, ou criar sistemas de contraventamento, que
ajudarão a resistir aos esforços e dar maior estabilidade para a edificação.
Além do que foi exposto acima, para estruturas de nós móveis (deslocáveis), torna-se obrigatório
levar em consideração os efeitos da não linearidade geométrica e os da não linearidade física.
Deve-se ater, também, que deve ser assegurado que, para as combinações mais desfavoráveis das
ações de cálculo, não ocorra perda de estabilidade nem tão pouco se esgote a capacidade resistente
de cálculo das seções mais solicitadas das peças.
Segundo Sussekind (1984, p. 175) “[...] toda estrutura, independentemente do número de andares e
das dimensões em planta, deve ter seu sistema de contraventamento estudado e adequadamente
dimensionado”.
O sistema de contraventamento pode ser definido como “[...] o conjunto de elementos que
proporcionarão a estabilidade horizontal do edifício e a indeslocabilidade ou quase-
indeslocabilidade dos pilares contraventados, que são aqueles que não fazem parte do sistema de
contraventamento”, segundo Bastos (2017, p. 11).
Para saber como determinar o módulo de elasticidade secante do concreto, consulte o item
8.2.8 da NBR 6118:2014. Como sempre, é muito importante a consulta à norma para ampliação
do conhecimento.
ATENÇÃO
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Fusco (1991, p. 233) considera como sendo estrutura de nós deslocáveis “[...] as estruturas cujos
nós mudam de posição em virtude da flexão de suas barras”. Considera ainda que “[...] no estudo da
deslocabilidade das estruturas são desprezadas as eventuais variações de comprimento das barras”
(FUSCO, 1991, p. 233-234).
Vejamos dois exemplos, um de estrutura deslocável e outro de estrutura indeslocável.
Figura 2 - Pilares contraventados e elementos contraventados
Fonte: Fusco (1981, p. 235)
Figura 4 - Estruturas de nós fixos e móveis
Fonte: Fusco (1981, p. 233)
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Consideração Sobre a não Linearidade Geométrica
em Estruturas de Nós Móveis
A consideração da não linearidade geométrica da estrutura pode ser feita por meio de modificações
apropriadas na matriz de rigidez da estrutura. Tornando, assim, a estrutura mais rígida para
suportar os esforços adicionais de segunda ordem.
Uma coisa que não dita ainda, mas que é extremamente importante, é que os deslocamentos
provocados pelas ações horizontais, ou por assimetrias geométricas da estrutura, tanto de rigidez
quanto de massa, geram os esforços adicionais de segunda ordem. Aliás, estes esforços são
calculados na configuração deformada da estrutura, como poderemos ver na Figura 5 abaixo.
Segundo a NBR 6118 (item 15.7.2):
Figura 5 - Não linearidade geométrica gerando esforços de 2ª ordem
Fonte: Bastos (2017, p. 6)
SAIBA MAIS
Existe um método para a determinação dos esforços de segunda ordem chamado “efeito P-
delta”. É um método de fácil utilização. Vale a pena um estudo melhor sobre esse assunto.
Você pode encontrar um e-book explicativo sobre esse método clicando aqui.
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http://maisengenharia.altoqi.com.br/wp-content/uploads/2016/08/Ebook-O-Efeito-P-Delta.pdf
Uma solução aproximada para a determinação dos esforços globais de 2ª ordem consiste
na avaliação dos esforços finais (1ª ordem + 2ª ordem) a partir da majoração adicional dos
esforços horizontais da combinação de carregamento considerada por 0,95 . Esse
processo só é válido para ≤ 1,3
(ABNT, 2014, p. 106).
Considerações Sobre a não Linearidade Física em
Estruturas de Nós Móveis
No item 15.7.3, da NBR 6118 (ABNT, 2014)  a norma especifica que:
Para a análise dos esforços globais de 2ª ordem, em estruturas reticuladas com no mínimo quatro
andares, pode ser considerada a não linearidade física de maneira aproximada, tomando-se como
rigidez dos elementos estruturais os valores seguintes:
lajes - (EI)sec = 0,3 
vigas - (EI)sec = 0,4 para ≠ e (EI)sec = 0,5 , para = 
pilares - (EI)sec = 0,8 
onde:
= momento de inércia da seção bruta de concreto, incluindo, quando for o caso, as mesas
colaborantes;
= é o valor representativo do módulo de deformação do concreto, que, segundo o item 15.5.1 da
NBR 6118:2014, para a análise da estabilidade global, tratando a estrutura como um todo, o valor
representativo do módulo de elasticidade secante pode ser majorado em 10%.
Ainda, segundo a norma, os valores de rigidez indicados acima não podem ser utilizados para
avaliação dos esforços locais de segunda ordem, pois esses valores são aproximados, o resultado
pode não condizer com a realidade.
No item 15.7.4, a NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 107), considera que: “A análise global de 2ª ordem
fornece apenas os esforços nas extremidades das barras, devendo ser realizada uma análise dos
efeitos locais de 2ª ordem ao longo dos eixos das barras comprimidas”.
Além do que já foi dito, é preciso fazer considerações adequadas sobre a ductilidade das peças
estruturais, da fissuração que pode ocorrer, devido aos esforços adicionais, e da deformação da
estrutura como um todo, para que não comprometa toda a estabilidade.
𝛄z
Υz
EcIc
EcIc As′ As EcIc As′ As
EcIc
Ic
Ec
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Muita coisa ainda poderia ser escrita sobre estruturas de nós deslocáveis (móveis), contudo
infelizmente o espaço é curto. Alguns outros métodos de determinação dos esforços têm sido
implementados. Vale a pena uma maior leitura sobre o assunto.
Estrutura de Nós Fixos
Pinto (1997, p. 6) diz que:
Na análise estrutural dos edifícios de concreto armado, é importante que os deslocamentos
laterais sejam avaliados da melhor maneira possível. Isso porque, os efeitos de segunda
ordem devidos à deslocabilidade horizontal da estrutura só podem ser corretamente
avaliados se a posição final desta for determinada de modo satisfatório.
Sabendo que os deslocamentos laterais, determinados a partir da análise estrutural, são afetados
diretamente pela rigidez das peças que constituem a estrutura, é preciso que essa rigidez seja
determinada por meio de métodos que levem em conta a não linearidade física dos materiais
empregados na estrutura.
Após feita a análise, descobre-se que a estrutura pode ser considerada de nó rígido ou de nó móvel,
se será necessário considerar ou não os esforços advindos dessa deslocabilidade no
dimensionamento da estrutura.
E o que são estruturas de nós fixosou rígidos (indeslocáveis)? Como considerá-las assim?
Estruturas de nós fixos são aquelas em que os nós, sob o efeito do valor de cálculo da ações, sofrem
deslocamentos horizontais de valores muito pequenos, os quais, normalmente, podem ser
desprezados no dimensionamento dos elementos estruturais.
Segundo a NBR 6118 (item 15.4.2):
VÍDEO
Olá, estudante! Para assistir a esse vídeo, acesse a versão web do seu material didático.
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As estruturas são consideradas, para efeito de cálculo,  de nós fixos, quando os
deslocamentos horizontais dos nós são pequenos e, por decorrência , os efeitos globais de
2ª ordem são desprezíveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas
estruturas, basta considerar os efeitos locais e localizados de 2ª ordem (ABNT, 2014, p.
91).
Os esforços de primeira ordem, nesse caso, referem-se aos momentos fletores gerados em função
da força aplicada e do comprimento da barra.
Diferentemente do que acontece em estruturas nas quais seja necessário considerar os esforços
globais de segunda ordem, além do momento de primeira ordem, é preciso considerar também um
momento fletor de segunda ordem, referente aos seus esforços globais.
Quando a barra está submetida apenas a esforços de primeira ordem, significa que o equilíbrio é
determinado por meio da posição indeformada da estrutura, diferentemente do que acontece com
uma estrutura submetida a esforços globais de segunda ordem, em que o equilíbrio é determinado
Figura 6 - Barra submetida a esforços de primeira ordem
Fonte: Elaborada pelo autor
Figura 7 - Deslocamentos horizontais nos nós
Fonte: Elaborada pelo autor
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por intermédio da posição deformada da estrutura.
No item 15.4.1, da NBR 6118 define-se o que são efeitos locais e localizados de segunda ordem,
além dos efeitos globais:
Sob a ação das cargas verticais e horizontais, os nós da estrutura deslocam-se
horizontalmente. Os esforços de 2ª ordem decorrentes desses deslocamentos são
chamados efeitos globais de 2ª ordem. Nas barras da estrutura, como um lance de pilar, os
respectivos eixos não se mantêm retilíneos, surgindo aí efeitos locais de 2ª ordem que, em
princípio, afetam principalmente os esforços solicitantes ao longo delas
(ABNT, 2014, p. 90).
A norma explicita, também, que:
Em pilares-parede (simples ou compostos) pode-se ter uma região que apresenta não
retilineidade maior do que a do eixo do pilar como um todo. Nessas regiões surgem efeitos
de 2ª ordem maiores, chamados de efeitos de 2ª ordem localizados. O efeito de 2ª ordem
localizado, além de aumentar nessa região a flexão longitudinal, aumenta também a flexão
transversal, havendo a necessidade de aumentar a armadura transversal nessas regiões.
(ver figura 6)
(ABNT, 2014, p. 90).
SAIBA MAIS
Praticamente, toda estrutura submetida às ações horizontais se deforma horizontalmente,
portanto o equilíbrio das estruturas deveria ser tomado sempre a partir da posição
deformada desta. O que acontece é que a norma considera que, até um determinado valor de
deformação, não é necessário considerar os efeitos provocados por ela no dimensionamento
das peças estruturais.
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Conforme explicitam Carvalho e Pinheiro (2013, p. 237), em estruturas de nós fixos a NBR
6118:2014 permite que cada elemento possa ser analisado isoladamente, como se ele fosse uma
barra vinculada em suas extremidades aos elementos estruturais que a esse ponto concorrem e em
que se aplicam os esforços obtidos pela análise da estrutura, segundo a teoria de primeira ordem.
Os efeitos de primeira ordem são os valores obtidos por meio dos cálculos feitos, considerando a
estrutura indeformada
Já a análise dos efeitos locais de segunda ordem foi apresentada anteriormente.
Quando a estrutura é de nó fixo, pode ser dispensada a consideração dos esforços globais de
segunda ordem, o que indica que não há necessidade de um rigoroso cálculo para a determinação
desses valores como acontece com as estruturas de nós móveis, que, aliás, como vimos na aula
passada, dá bastante trabalho para ser feita. Sendo assim, a análise da estrutura pode ser feita por
meio da teoria de primeira ordem, que leva em conta a não linearidade geométrica das peças, com
base nos valores nominais de rigidez dos elementos que fazem parte da estrutura.
Nesse caso, os efeitos de segunda ordem restringem-se apenas a cada lance do pilar, considerando-
se, portanto, apenas esforços locais de segunda ordem.
Como já vimos na aula anterior, para se saber se a estrutura é de nós móveis ou de nós fixos, é
preciso determinar ou o parâmetro de instabilidade 𝛂 ou o coeficiente 𝛄z. Já vimos, também, o que
precisa ser considerado para a determinação desses valores.
Segundo a NBR 6118 (item 15.6):
Figura 8 - Efeitos de segunda ordem localizados
Fonte: ABNT (2014, p. 91)
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Nas estruturas de nós fixos, o cálculo pode ser realizado considerando cada elemento
comprimido isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos
estruturais que ali concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos pela análise da estrutura
efetuada segundo a teoria de 1ª ordem
(ABNT, 2014, p. 105).
Nesse caso, a análise dos efeitos locais de segunda ordem pode ser feita considerando os elementos
como isolados, ou seja, a análise é feita isoladamente para cada elemento, como uma barra,
pavimento a pavimento.
A norma esclarece ainda:
Sob a ação de forças horizontais, a estrutura é sempre calculada como deslocável. O fato de
a estrutura ser classificada como sendo de nós fixos dispensa apenas a consideração dos
esforços globais de 2ª ordem
(ABNT, 2014, p. 105).
Sendo assim, toda estrutura, principalmente no caso de edifícios altos, é considerada como
deslocável. Considerar uma estrutura como de nós fixos, após a verificação do coeficiente ou do
parâmetro 𝛂, só nos permite dispensar a consideração dos esforços globais de segunda ordem. Os
esforços locais de segunda ordem ainda precisam ser considerados, se houver necessidade.
Sendo assim, toda estrutura, principalmente no caso de edifícios altos, é considerada como
deslocável. Considerar uma estrutura como de nós fixos, após a verificação do coeficiente ou do
parâmetro 𝛂, só nos permite dispensar a consideração dos esforços globais de segunda ordem. Os
esforços locais de segunda ordem ainda precisam ser considerados, se houver necessidade.
Vimos, na aula anterior, que a NBR 6118 considera a estrutura como sendo de nó fixo se o
parâmetro 𝛂 for menor que . Sendo o parâmetro 𝛂 determinado por:
Onde:
α1 = 0,2 + 0,1n   se: n ≤ 3
α1 = 0,6           se: n ≥ 4
Em que:
𝛄z
𝛄z
𝛂1
α =  Htot = √Nk/ (EcsIc)
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n = é o número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de um nível pouco
deslocável do subsolo.
Em caso de estruturas de pórticos, de treliças ou com pilares de rigidez variável ao longo da altura,
podemos adotar EcsIc como sendo de um pilar equivalente de seção constante.
Ou por meio da determinação do coeficiente 𝛄z:
𝛄z ≤ 1,1 ⟹ considera-se que a estrutura é de nós fixos;
𝛄z > 1,1 ⟹ considera-se que a estrutura é de nós móveis.
Quando a estrutura é de nós rígidos (fixos) a NBR 6118 (item 15.6) (ABNT, 2014, p.105) estabelece
que “[...] o comprimento equivalente ℓe do elemento comprimido (pilar), suposto vinculado em
ambas as extremidades,deve ser o menor dos seguintes valores”:
ℓe = ℓ0 + h
ℓe = ℓ
Em que:
 = é a distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que
vinculam o pilar;
 = é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura em estudo;
 = é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado.
Quando determinado o esquema estrutural das edificações, quando escolhemos o sistema a ser
adotado, busca-se um sistema em que os contraventamentos sejam suficientes para tornar as
estruturas rígidas. Muitas vezes, faz-se isso para evitar ter de considerar os esforços globais de 2ª
ordem do dimensionamento da estrutura, por serem esses esforços de determinação trabalhosa.
Segundo Sussekind (1985, p. 192):
Figura 9 - valores de e  ℓ
Fonte: Bastos (2017, p. 15)
ℓ0
ℓ0
h
ℓ
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Esta é a situação corrente que devemos buscar no projeto dos edifícios, os casos contrários
significando soluções extremamente antieconômicas para pilares e podendo, ainda,
simbolizar obras capazes de vibrar excessivamente no plano horizontal, além de
requererem cuidadosa análise de sua estabilidade elástica (em suma, conforme já
comentado anteriormente, são situações a se evitar, só sendo concebida sua aceitação em
obras com poucos andares).
O autor está falando, no trecho acima, acerca das estruturas com nós móveis. Uma estrutura de nós
móveis é mais suscetível aos estados limites de serviço e, de certa forma, aos estados limites
últimos.
Sussekind (1985, p. 192) diz ainda que:
O fato de a estrutura ser classificada como de “nó indeslocável” significa apenas que as
estruturas de contraventamento são tais que asseguram aos demais pilares (a elas não
pertencentes), a hipótese de podermos considerá-los horizontalmente apoiados ao nível
dos vários andares.
Na maior parte das edificações altas, o sistema adotado para resistir aos esforços é o pórtico plano,
que é formado, principalmente, por vigas e pilares. Fusco (1981, p. 354) diz que:
No caso de elementos estruturais planos aporticados, faz-se a distinção entre estruturas
indeslocáveis e estruturas deslocáveis. Em qualquer caso, deve ser assegurada a
estabilidade em dois planos, tanto no plano do elemento quanto no plano a ele
perpendicular. Para isso, cada peça estrutural é considerada ou como pertencente a dois
elementos estruturais planos que se cruzam, ou então em uma das direções como pilar
isolado.
Não Linearidade Física
Sabe-se que a não linearidade física ocorre quando os materiais não obedecem a lei de Hooke, em
que a deformação é proporcional à tensão aplicada. Nesse sentido, os materiais ideais são os que
obedecem ao diagrama de tensão x deformação linear, em que, conforme aumenta-se a tensão
aplicada, aumenta-se proporcionalmente a deformação.
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Por sua vez, o concreto simples apresenta um comportamento que não condiz com o ideal, não é um
comportamento elástico perfeito, mas, sim, seu comportamento é elastoplástico para ensaios de
compressão simples. O que indica que até um determinado valor de tensão aplicada, a deformação
é proporcional. A partir do momento em que aparece a primeira fissura no concreto, esse
comportamento muda, passando a não obedecer mais à lei de Hooke.
Segundo Pinto (1997, p. 1), isso ocorre porque “[...] o efeito da fissuração, da fluência, o escoamento
das armaduras, bem como outros fatores de menor importância conferem ao mesmo um
comportamento não linear, a chamada não linearidade física”.
Em suma, independentemente de a estrutura ser considerada como de nó rígido ou de nó móvel, a
verificação da não linearidade física deve ser considerada da mesma forma. Não podemos ignorar
este assunto.
Não Linearidade Geométrica
A não linearidade geométrica, por sua vez, ocorre quando as deformações, geradas por forças
horizontais como vento ou desaprumo, por exemplo, provocam esforços adicionais que precisam
ser considerados no dimensionamento da estrutura. Estes esforços adicionais geram os momentos
de segunda ordem que, acrescentados aos valores de momento de primeira ordem, serão utilizados
para dimensionar as peças. Em estruturas como as de nós móveis, esses valores são
preponderantes e precisam ser considerados no dimensionamento da estrutura. Já para as
estruturas de nós rígidos (fixos ou indeslocáveis), os valores são considerados pequenos, não
provocando alterações relevantes para a estrutura, podendo, portanto, serem desprezados.
Figura 10 - Não linearidade geométrica gerando esforços de segunda ordem
Fonte: Bastos (2017, p. 6)
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Na figura 10a, vemos a situação inicial, que pode ser considerada como ideal para as estruturas, ou
seja, sem deformação. É claro que o ideal, na prática, não ocorre, pois as forças irão provocar
deformação nas peças. O que nos resta determinar é se essas deformações são suficientemente
grandes para serem, obrigatoriamente, consideradas no dimensionamento da estrutura ou se seus
valores podem ser desprezados por serem pequenos.
Já na figura 10b, vemos a peça já deformada, gerando esforços adicionais para a barra que,
paralelamente, pode ser considerada como a estrutura (pilar), a qual dá sustentação à edificação.
Esses esforços, se forem suficientemente grandes ao ponto de levarem a estrutura à ruína,
precisam ser considerados no dimensionamento, justamente para evitar a potencial ruína da
estrutura.
Efeitos de Segunda Ordem
Em estruturas de nós rígidos (indeslocáveis), os esforços de segunda ordem, que devem ser
considerados no dimensionamento, são os locais. Os esforços globais podem ser desprezados. Para
essas estruturas, os deslocamentos horizontais gerados por ações como vento, desaprumo, sismos
etc, são pequenos, gerando esforços globais de segunda ordem, também pequenas, da ordem de
menos de 10% dos esforços relativos à primeira ordem.
Portanto, no dimensionamento de estruturas de nós rígidos, os pilares, principais elementos
resistentes, podem ser calculados considerando apenas os esforços locais de segunda ordem que
são determinados em função da esbeltez dos pilares, da força normal aplicada a esse pilar e do
comprimento de flambagem adotado para ele.
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Imperfeições Geométricas
Um outro assunto, sobre o qual não falamos ainda, é referente às imperfeições geométricas que
toda estrutura reticulada pode apresentar, mesmo que ela esteja totalmente descarregada das
cargas atuantes. As estruturas apresentam imperfeições geométricas dos eixos de seus elementos,
devendo ser consideradas principalmente na verificação do estado limite último.
Também, como acontece com os esforços de segunda ordem, essas imperfeições geométricas
podem ser divididas em locais e globais. O que nos interessa no dimensionamento são as
imperfeições geométricas globais, pois podem causar comprometimento da estabilidade da
edificação.
O item 11.3.3.4.1 da NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 58) estabelece que:
Na verificação do estado-limite último das estruturas reticuladas, devem ser consideradas
as imperfeições geométricas do eixo dos elementos estruturais da estrutura descarregada.
Essas imperfeições podem ser divididas em dois grupos: imperfeições globais e imperfeições
locais.
No caso das imperfeições globais, deve ser considerado o fato de que as estruturas poderão sofrer
um desaprumo dos seus elementos verticais (pilares), sendo elas contraventadas ou não.
ATENÇÃO
Vimos como determinar todos esses valores nas aulas passadas. Para relembrar oque já foi
vista, volte ao assunto e tente entender como se faz cada cálculo, para conseguir determinar
o valor do esforço a se considerar em cada pilar. Lembrando que não é em todo o caso que se
considera os esforços locais de segunda ordem no dimensionamento dos pilares. Existem
situações em que esse valor é pequeno e pode ser desprezado, como acontece com os
esforços globais.
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Em que:
 = 1/300 para estruturas reticuladas e imperfeições locais;
 = 1/200;
H é a altura total da edificação, expressa em metros (m);
n é o número de prumadas de pilares no pórtico plano.
Em suma, a norma considera que pode haver um deslocamento entre a base e o topo da edificação,
entretanto esse deslocamento não pode ultrapassar o valor estabelecido como limite ( ).
Imperfeições Geométricas Globais
Em edifícios em que a predominância seja de lajes lisas ou cogumelos, deve ser considerado 
= .
Em pilares isolados em balanço, deve ser adotado = 1/200.
Algumas outras considerações em relação à ação de vento e ao desaprumo devem ser levadas em
conta:
quando 30 % da ação do vento for maior que a ação do desaprumo, considera-se somente a
ação do vento;
quando a ação do vento for inferior a 30 % da ação do desaprumo, considera-se somente o
desaprumo respeitando a consideração de , conforme definido acima;
Figura 11 - Imperfeição geométrica global em estruturas reticuladas constituídas de pórticos
Fonte: ABNT (2014, p. 59)
𝞠1min
𝞠1máx
𝞪máx
𝞠a
𝞠1
𝞠1
𝞠1min
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nos demais casos, combina-se a ação do vento e desaprumo, sem necessidade da consideração
do . Nessa combinação, admite-se considerar ambas as ações atuando na mesma direção
e sentido como equivalentes a uma ação do vento, portanto como carga variável,
artificialmente amplificada para cobrir a superposição.
A norma considera que o desaprumo não precisa ser considerado na verificação do estado limite de
serviço.
Imperfeições Geométricas Locais
Segundo a NBR 6118 (item 11.3.3.4.2) (ABNT, 2014, p. 59-60):
No caso do dimensionamento ou verificação de um lance de pilar, deve ser considerado o
efeito do desaprumo ou da falta de retilineidade do eixo do pilar [ver Figuras 12b e 12c,
respectivamente].
A norma considera que a consideração apenas da falta de retilinidade ao longo do lance do pilar seja
suficiente de ser determinado, isso para as estruturas usuais.
𝞠1min
Figura 12 - Imperfeições geométricas locais
Fonte: ABNT (2014, p. 60)
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Para essas estruturas, a norma aponta que deve ser considerado um momento fletor mínimo,
relativo a essa falta de retilineidade dos pilares. A determinação do momento fletor mínimo já foi
vista anteriormente.
Fechamento
Bem, caro(a) aluno(a), vimos nesta aula a importância da consideração dos esforços locais e globais
de segunda ordem em estruturas de nós móveis ou indeslocáveis. A não consideração ou não
determinação desses valores pode ser avaliada como uma negligência muito grande por parte do
engenheiro calculista.
O dimensionamento estrutural não está associado apenas às peças isoladas. É verdade que, em
grande parte, dimensionamos e verificamos a segurança das peças de modo isolado. Entretanto, em
estruturas mais altas e, principalmente, em estruturas muito esbeltas, todo elemento estrutural,
como viga, laje e pilar, colabora para manter a estabilidade da edificação.
Como vimos até aqui, estruturas de nós rígidos seriam a situação ideal, em termos de trabalho de
determinação dos esforços, para um engenheiro calculista. Entretanto, como ficou fácil de
constatar, atualmente, com a verticalização cada vez maior das estruturas, com terrenos cada vez
menos, fazendo com que as estruturas sejam cada vez mais esbeltas, assim os esforços globais de
segunda ordem acabam sendo preponderantes.
Saber determinar se a estrutura é de nó rígido ou móvel é preponderante para poder analisar os
esforços que podem ser gerados para cada tipo de estrutura. Considerando ou não os esforços
globais de segunda ordem no dimensionamento das estruturas, todo cálculo deve ser rigoroso e
meticuloso para que as estruturas sejam seguras.
Espero que você tenha aproveitado esta aula e que ela seja apenas o início de uma jornada de
estudos sobre  estabilidade global das edificações. Considere que o estudo é sempre sequencial,
portanto há a necessidade de aperfeiçoamento sempre.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
ver como considerar a não linearidade geométrica;
saber como considerar a não linearidade física;
entender quando considerar os efeitos de segunda ordem.
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Compreender como pode ser avaliada a estabilidade de uma estrutura de nós móveis e fixos,
garantido que atenda a todas as restrições e sugestões estabelecidas na NBR 6118:2014.
Unidade 04
Aula 05
Escadas e Projetos de Escadas
Você já pensou em como a escada é importante para o ser humano? Em como o advento dela tornou
mais fácil a transposição de um nível a outro?
Desde a antiguidade, as escadas tornaram possível ao homem a construção de diferentes tipos de
edificações, com diferentes níveis e alturas. A verticalização das edificações, tão comum em nossos
dias, só foi possível graças ao implemento das escadas. Por isso, seu estudo é muito importante para
o desenvolvimento da construção civil e da arquitetura.
Vídeo
Para complementar o seu aprendizado assista a esse vídeo.
ASSISTA
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Com a preocupação em dar mais acessibilidade às pessoas com dificuldades, as normas têm
estabelecido parâmetros para a execução de escadas, o que faz deste instrumento algo que seja
compatível a todas as pessoas, independentemente de sua condição física.
Pretendemos mostrar a você algumas possibilidades de dimensionamento de escadas, e o que
precisamos considerar para o correto dimensionamento.
Nunca se esqueça de que existe mais de uma maneira de se dimensionar um elemento estrutural.
Precisamos estar cientes e convictos de que o método adotado é o melhor para a ocasião.
Vamos ver o que é e como deve ser projetada uma escada, pensando em todos os aspectos.
Exemplo de Aplicação Prática
Veremos, na prática, o dimensionamento e detalhamento de uma escada com vãos paralelos. É uma
escada de uma edificação residencial, conforme mostra a figura a seguir. Para essa escada serão
considerados: degraus com 18 cm de altura; largura da pisada de 28 cm; do lado interno da escada,
será considerado um peitoril com carga de 1,5 KN/m, embora não apareça no desenho; será
considerado o valor de carga referente ao piso cerâmico como sendo de 1,0 KN/m²; valor de carga
de reboco de 0,2 KN/m²; carga acidental, de acordo com a NBR 6120 (ABNT, 1980), no valor de 2,5
KN/m²; serão considerados concreto C25 e aço CA-50. Consideraremos, também, 24 KN/m³ para o
peso específico do concreto simples, correspondente aos degraus.
A primeira coisa a se fazer é determinar o ângulo de inclinação da escada:
inclinação da escada: 
Figura 1 - Escada com dois vãos paralelos
Fonte: Elaborada pelo autor
tgα = altura dodegrau
largura do degrau = 18
28 =  0, 642
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𝛂 = 32,70º ⥤ cos𝛂 = 0,841
Em seguida, faz-se a determinação do vão da escada:
vão da escada:
ℓ = + 1,215 + 8x0,28 + = 3,575 m ⥤ 3 mque chamamos de patamar.
SAIBA MAIS
É importante ressaltar que as normas de segurança dos bombeiros estabelecem algumas
exigências para a execução de guarda-corpo e também de corrimão.
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Vistos os principais elementos constituintes de uma escada, passaremos agora para o que se
estabelece como dimensões mínimas e máximas para as escadas.
Dimensionamento de Escadas, Segundo a
NBR 9050 (ABNT, 2015)
Segundo a NBR 9050 (item 6.8.1), “[...] uma sequência de três degraus ou mais é considerada
escada” (ABNT, 2015, p. 62).
Elementos a serem dimensionados:
1. Piso;
2. Espelho
3. Patamar;
4. Corrimão.
A NBR 9050 (item 6.8.2) estabelece que:
[...] as dimensões dos pisos e espelhos devem ser constantes em toda a escada ou degraus
isolados. Para o dimensionamento, devem ser atendidas as seguintes condições:
a) 0,63 m ≤ p + 2e ≤ 0,65 m;
b) pisos (p): 0,28 m ≤ p ≤ 0,32 m e
c) espelhos (e): 0,16 m ≤ e ≤ 0,18 m
(ABNT, 2015, p. 62).
ATENÇÃO
Isso significa, caro(a) aluno(a), que mesmo a menor das sequências de degraus, mesmo aquela
para a qual não damos tanta importância, por norma, pode ser considerada escada.
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Podem ser executadas escadas com valores de pisada e espelho que sejam diferentes do que é
especificado na norma? Sim, mas apenas para escadas com fins especiais, aquelas em que o uso seja
extremamente esporádico.
Quando se fala em construções novas, a NBR 9050 (ABNT, 2015) determina que o primeiro e o
último degrau de um lance de escada se distancie, no mínimo, 0,3 m da área de circulação adjacente,
além de serem sinalizados para fácil visualização de todos que possam utilizá-la.
Para a inclinação transversal dos degraus, o valor não pode exceder 1% quando forem escadas
internas ou 2% quando forem escadas externas.
É preciso ter cuidado quando a escada possui lances curvos ou mistos. De acordo com a NBR 9050
(item 6.8.6), é necessário que, “[...] à distância de 0,55 m da borda interna da escada,
correspondente à linha imaginária sobre a qual sobe ou desce uma pessoa que segura o corrimão,
os pisos e espelhos sejam dimensionados” (ABNT, 2015, p. 62). Ou seja, é preciso manter uma
pisada e um espelho mínimos, conforme já descrito anteriormente.
Uma escada deve ter, no mínimo, um patamar a cada 3,20 m de desnível. Além disso, sempre que a
escada mudar de direção, é necessário executar um patamar.
Os patamares precisam ter seção longitudinal de pelo menos 1,20 m. Já para patamares que
estejam situados em mudanças de direção da escada, os mesmos devem ter suas dimensões
igualadas às dimensões da escada.
Outra preocupação refere-se às portas que estejam situadas em patamares. Essas portas não
podem interferir na dimensão mínima dos patamares.
Sobre corrimãos da escada, a NBR 9050 (item 6.9.1) indica que:
[...] podem ser acoplados aos guarda-corpos e devem ser construídos com materiais rígidos.
Devem ser firmemente fixados às paredes ou às barras de suporte, garantindo condições
seguras de utilização. Devem ser sinalizados conforme a Seção 5
(ABNT, 2015, p. 63).
O corrimão deve estar afastado da parede ou de um outro obstáculo, no mínimo, 40 mm. Corrimãos
devem ter seção circular com diâmetro entre 30 mm e 45 mm, ou seção elíptica, desde que a
dimensão maior seja de 45 mm e a menor de 30 mm. São admitidos outros formatos de seção,
desde que sua parte superior atenda às condições descritas.
Figura 5 - Escada com lances curvos: vista superior
Fonte: ABNT (2015, p. 62)
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Legenda
1 - medida da menor seção do corrimão.
2 - medida da maior seção do corrimão.
3 - arco da seção do corrimão.
O corrimão deve ser instalado em ambos os lados da escada, a uma distância de 0,92 m e 0,70 m do
piso, medidos da face superior até o ponto central do piso do degrau. Em degraus isolados, basta
uma barra de apoio horizontal ou vertical, com comprimento mínimo de 0,30 m, posicionada a 0,70
m de altura do piso, conforme a Figura 7.
Os corrimãos não podem ter protuberâncias, sendo exigido que tenham acabamento recurvado e
que sejam fixados ou justapostos nas paredes laterais, conforme indica a Figura 7.
Quando a escada tiver largura igual ou superior a 2,40 m, é necessária a instalação de, no mínimo,
um corrimão intermediário, garantindo faixa de circulação com largura mínima de 1,20 m, conforme
a Figura 8.
No tipo de escada e degraus demonstrados na Figura 8(b), é permitida a instalação de apenas um
corrimão duplo com duas alturas (a 0,92 m e a 0,70 m do piso), respeitando a largura mínima de
1,20 m, em ambos os lados.
Quando não existir parede lateral, as escadas devem ser executadas com um elemento de
segurança chamado guia de balizamento e guarda-corpo. O guarda-corpo deve atender às
prescrições de duas normas: a NBR 9077 e a NBR 14718.
Figura 6 - Detalhe do corrimão
Fonte: ABNT (2015, p. 22)
Figura 7 - Corrimão em escada
Fonte: ABNT (2015, p. 63)
Figura 8 - Corrimão intermediário interrompido no patamar
Fonte: ABNT (2015, p. 63)
Figura 9 - Balizamento de escadas
Fonte: Elaborada pelo autor
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A NBR 9050 (ABNT, 2015) estabelece ainda que, na execução das escadas, deve-se prever a
sinalização de degraus, principalmente para escadas de acesso público. A norma considera que é
considerado degrau isolado a sequência de até dois degraus.
Toda vez que houver um desnível, ele deve ser sinalizado em toda a sua extensão, tanto no piso
quanto no espelho, executando uma faixa de, no mínimo, 3 cm de largura, com cor que contraste
com o piso adjacente. É preferível que sejam utilizadas cores,  fotoluminescentes ou
retroiluminadas.
Conforme indicado na Figura 9, a sinalização dos degraus deve obedecer às seguintes
recomendações:
 a) deve ser aplicada aos pisos e espelhos em suas bordas laterais e/ou nas projeções dos corrimãos,
contrastante com o piso adjacente, preferencialmente fotoluminescente ou retroiluminado,
conforme as opções demonstradas na Figura 8;
 b) igual ou maior que a projeção dos corrimãos laterais, e com, no mínimo, 7 cm de comprimento e 3
cm de largura;
 c) fotoluminescentes ou retroiluminadas, quando se tratar de saídas de emergência e/ou rota de
fuga.
Quando se tratar de escada que interliga diversos pavimentos, incluindo as escadas de emergência,
junto às portas corta-fogo, deve haver sinalização tátil, visual ou sonora, indicando qual o número
do pavimento. Essa informação deve ser sinalizada no corrimão, também.
Escadas de locais públicos, como de hospedagem, hospitais, repartições públicas ou privadas de uso
coletivo, devem conter, também, um mapa de rota de fuga da edificação.
Figura 10 - Sinalização de degraus
Fonte: ABNT (2015, p. 47)
ATENÇÃO
Tudo que se refere a segurança e acessibilidade, hoje, é prescrito por norma. É importante,
sempre que for dimensionar qualquer elemento numa edificação, consultar as normas
referentes a esse elemento. Um simples guarda-corpo possui uma função importante na
escada. Por isso, a leitura das normas é indispensável nesse caso.
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Classificação das Escadas
Normalmente, a classificação das escadas se dá pela sua forma geométrica. Entretanto, temos que
nos ater para o fato de que a classificação deve levar em conta, também, a forma, o número de
voltas, a inclinação, a posição da escada na edificação, seu aspecto construtivo, o tipo de material
utilizado na sua fabricação etc.
Classificaçãode
concreto simples.
A armadura mínima, estabelecida pela norma, deve ser determinada conforme a expressão a seguir:
A = (0,15 N /f ) ≥ 0,004 A
sendo:
A = área da seção transversal mínima da armadura longitudinal do pilar;
A = área da seção transversal do pilar;
N = valor de cálculo da força normal de compressão para o pilar;
f = valor de cálculo da tensão de escoamento do aço (resistência ao escoamento).
No entanto um pilar deve ter uma quantidade de armaduras que assegure condições de ductilidade
e que respeite o campo de validade dos ensaios que deram origem às prescrições de funcionamento
do conjunto aço-concreto. Isso significa que o pilar não pode ter uma quantidade de aço que possa
prejudicar essa ductilidade.
A armadura máxima, estabelecida pela norma, não deve ultrapassar:
A = 0,08 A
Figura 2 - Exemplo de alojamento de armaduras para pilares
Fonte: Bastos (2017, p. 02).
s,min d yd C
s,min
C
d
yd
s,máx C
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Diâmetro Mínimo
O diâmetro mínimo das barras longitudinais (∅ℓ) não pode ser inferior a 10 mm e nem superior a ⅛
da sua menor seção transversal:
Distribuição Transversal das Armaduras
O item 18.4.2.2 da NBR 6118 (ABNT, 2014) estabelece que:
As armaduras longitudinais devem ser dispostas na seção transversal, de forma a garantir a
resistência adequada do elemento estrutural. Em seções poligonais, deve existir pelo menos
uma barra em cada vértice; em seções circulares, no mínimo seis barras distribuídas ao
longo do perímetro
(ABNT, 2014, p. 151).
ØL
⎧⎪⎨⎪⎩≥ 10mm
≤ b
8
ATENÇÃO
As armaduras longitudinais devem considerar, inclusive, a região de emenda dos pilares, já
que nessa região existe a sobreposição de armaduras. Significando que dimensionamos os
pilares para um máximo de armadura de 0,04A .C
SAIBA MAIS
Talvez você não saiba, mas todo pilar possui uma região considerada de emenda. Desde os
pilares ligados a um elemento de fundação a pilares de pavimentos, tipo de edifícios, todos
possuem região de emenda. As armaduras do pilar são colocadas terminando sempre acima
das vigas. No caso de pilares que não são de teto, pode-se executar outro lance de pilar
considerando o engastamento entre os lances.
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Além disso, define que, o espaçamento mínimo livre entre as faces das armaduras longitudinais,
fora da região de emenda, deve ser o maior entre os três valores seguintes:
20 mm;
diâmetro da barra, do feixe ou da luva;
1,2 vez a dimensão máxima do agregado graúdo.
onde:
∅ = diâmetro da barra longitudinal;
∅ = ∅ = ∅√n;
d = diâmetro máximo do agregado (19 mm para brita 1 e 25 mm para brita 2).
São valores que devem ser aplicados, também, às regiões de emendas por transpasse das barras.
Já, o espaçamento máximo entre os eixos das barras longitudinais ou do centro de feixes de barras
deve obedecer aos seguintes parâmetros:
Armadura Transversal
Segundo o item 18.4.3 da NBR 6118 (ABNT, 2014):
A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por
grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua
colocação na região de cruzamento com vigas e lajes
(ABNT, 2014, p. 151).
O diâmetro do estribo deve obedecer aos seguintes parâmetros: ser maior ou igual a 5,0 mm ou ¼
do diâmetro da armadura isolada ou do feixe que constitui a armadura longitudinal.
emin , Φluva
⎧⎪⎨⎪⎩ 2cm
ΦL, Φfeixe
1, 2  dmáx,agreg
L
feixe n
máx,agreg.
emáx ≤ {
2 b
40 cm
Øt ≥ {
5, 0 mm
ØL/4 ou Øfeixe/4
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O espaçamento longitudinal entre as armaduras transversais (estribos) deve ser o menor entre os
valores abaixo:
Pode-se adotar o valor de ∅LQuanto à Forma
Normalmente, a forma da escada é determinada de acordo com o tipo de função a que ela se
destina, mas também pode ser determinada de acordo com o espaço que é destinado a ela e com a
altura que ela precisa vencer.
Hoje em dia, existe uma variedade muito grande de formas para as escadas. Mas, em geral,
podemos dividir as escadas em quatro grandes grupos: escadas retas, com ou sem patamar; escadas
em caracol (helicoidais); escadas de quarto de volta; e escadas giratórias.
Nessa classificação, vamos falar apenas das mais comuns, visto que a quantidade de formas é muito
grande, dependendo de inúmeros fatores.
Quanto à forma, as escadas mais comuns são as escadas retas, com ou sem patamar, e as escadas de
quarto de volta. Serão elas as apresentadas na Figura 10, a seguir.
Como podemos observar na Figura 10(a), a escada é uma escada reta que possui um patamar no
meio. Já a escada da Figura 10(b) é reta, sem patamar no meio. São escadas muito comumente
utilizadas, principalmente em edificações comerciais, nas quais há a necessidade de se vencer
grandes vãos e altura.
Figura 11 - Escadas retas, com e sem patamar (planta baixa)
Fonte: Elaborada pelo autor
SAIBA MAIS
Você sabia que existem escadas consideradas autoportantes, ou seja, que, praticamente, se
autossustentam? Pesquise sobre o assunto.
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Esse tipo de escada, com dois lances, também considerada uma escada reta, é muito utilizado, tanto
para edificações residenciais como comerciais. O seu formato propicia o enclausuramento da
escada, necessário para atender às normas do Corpo de Bombeiros. Uma variação desse tipo de
escada é apresentada na Figura 12.
Como pode ser visto, é uma escada muito parecida com a da Figura 11, diferenciando-se apenas por
ter um vão a mais. Da mesma forma que a escada com dois lances e descanso, esta escada é muito
utilizada em edificações comerciais e residenciais.
Essa escada, considerada uma escada reta, é uma variação da escada reta com patamar no meio.
Também bastante utilizada, principalmente em edificações residenciais, por seu formato mais
favorável a cantos de edificações.
Vamos ver, agora, algumas escadas de quarto de voltas, que nada mais são que variações das
escadas retas.
Essa escada, hoje em dia, já não é tão comum de se encontrar, principalmente porque as normas do
Corpo de Bombeiros exigem que se tenha um patamar de descanso sempre que a escada muda de
direção. Outrora, foi muito utilizada.
Mais uma variação da escada reta. Como acontece com a escada contínua de ida e volta, essa
escada também não é muito utilizada, por causa das normas do Corpo de Bombeiros. Entretanto,
principalmente quando é metálica, ainda pode ser encontrada.
Variação da escada de dois lances, essa escada, também, não é muito utilizada por causa do
patamar, que é em formato de quarto de volta. Ou seja, não tem patamar de descanso, o que é
exigido pela norma do Corpo de Bombeiros.
Figura 12 - Escada com dois lances e descanso (planta baixa)
Fonte: Elaborada pelo autor
Figura 13 - Escada com três lances com descansos (planta baixa)
Fonte: Elaborada pelo autor
Figura 14 - Escada de dois lances com descanso de quarto de volta (planta baixa)
Fonte: Elaborada pelo autor
Figura 15 - Escada contínua de ida e volta (planta baixa)
Fonte: Elaborada pelo autor
Figura 16 - Escada com arranque em quarto de volta (planta baixa)
Fonte: Elaborada pelo autor
Figura 17 - Escada com dois lances retos ligados por um quarto de volta (planta baixa)
Fonte: Elaborada pelo autor
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Classificação de Acordo com o Detalhamento
Uma outra classificação bastante utilizada para as escadas é quanto ao tipo de detalhamento. De
acordo com essa categoria, as escadas  podem ser classificadas da seguinte maneira:
Escadas em lajes;
Escadas em vigas.
Vamos ver cada um dos tipos.
Escadas em Lajes
A grande maioria das escadas são armadas apenas em uma direção, como se fossem lajes maciças.
Entretanto, como lajes, elas podem ser armadas em uma ou em duas direções.
Existem as seguintes:
a) Escada armada transversalmente: Escadas como as da Figura 10 podem ser armadas
transversalmente, o que significa que elas são armadas na menor direção, como se fossem lajes
armadas apenas na menor direção.
b) Escada armada longitudinalmente: Para as mesmas escadas da Figura 10, podemos fazer o
detalhamento de forma longitudinal, ao invés de transversalmente. Isso significa que elas devem
possuir elementos de apoio na entrada e na saída do lance, como se fosse uma viga biapoiada.
c) Escada armada em cruz: Esse tipo de escada exige apoios em todas as direções. É armada como
se fosse uma laje armada nas duas direções.
c) Escada armada em cruz: Esse tipo de escada exige apoios em todas as direções. É armada como
se fosse uma laje armada nas duas direções.
d) Escada helicoidal (em balanço, engastada em uma coluna circular): Essa escada é armada como
se fosse uma viga, ou uma laje em balanço. Cada degrau é armado separadamente, como se fosse
uma viga ou uma laje em balanço.
e) Escada em balanço, engastada em uma viga reta: Para se armar essa escada, é necessário que,
de um lado do degrau, exista uma viga, que dará sustentação para a escada.
Escadas em Vigas
Como o próprio nome diz, essa escada necessita de uma viga para lhe dar sustentação. É a posição
dessa viga, em relação à escada, que permite considerar, ao menos, quatro maneiras de se detalhar
essa escada.
a) Vigas retas com degraus em balanço: Nesse tipo de escada, a viga é localizada no centro do
degrau, funcionando como uma espécie de gangorra para o mesmo.
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b) Viga reta, com três eixos, retos em “U” (viga balcão): A diferença entre esse tipo de escada e a
escada anterior é que a primeira tem três eixos, três tramos, enquanto que a outra, normalmente,
tem apenas um.
c) Vigas helicoidais com degraus em balanço: Esse tipo de escada, ao invés de se apoiar em um pilar
circular, apoia-se em uma viga, que se localiza na parte interna da escada, permitindo que os
degraus fiquem em balanço.
d) Vigas helicoidais com duplo balanço: Essa escada é parecida com a anterior, diferenciando-se
quanto à posição da viga. Neste caso, a viga localiza-se no centro do degrau, permitindo que o
mesmo fique com balanço dos dois lados.
Além desses tipos de escadas, existem outras variações e outros formatos, como é o caso das
escadas em forma de cascata, muito utilizadas ultimamente, e as escadas autoportantes, com
patamar entre os lances.
É claro que poderíamos classificar as escadas, também, quanto aos materiais que as compõem,
como: de madeira; de concreto armado; de pedra; de vidro; metálica etc.
ATENÇÃO
É importante que você, caro(a) aluno(a), pesquise mais sobre o assunto. Existem muitos tipos
de escadas, de vários formatos, executadas com os mais variados materiais. Cada escada
possui suas características particulares. Pense nisso!
VÍDEO
Olá, estudante! Para assistir a esse vídeo, acesse a versão web do seu material didático.
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Determinação dos Carregamentos sobre as
Escadas, Segundo a NBR 6120 (ABNT, 1980).
As cargas que devemos considerar atuando sobre uma escada, geralmente, são peso próprio,
revestimentos, sobrecarga acidental e, dependendo do tipo de escada, carga de parapeito, além de
cargas localizadas, gradil, mureta ou parede (ABNT, 1980).
Carga de Utilização (Acidental)
Considera-se a carga de utilização como carga acidental, como uma carga vertical que é distribuída
por unidadede metro de projeção horizontal da escada. Entenda-se por unidade de metro, metro
quadrado, conforme se faz em lajes armadas em duas direções.
A sobrecarga de utilização a ser considerada no dimensionamento das escadas possui os seguintes
valores:
3,0 Kn/m², para escadas com acesso ao público; e
2,5 Kn/m² para escadas sem acesso ao público.
Quando uma escada for constituída por degraus isolados, estes devem ser calculados para
suportarem uma carga concentrada de 2,5 kN, aplicada na posição mais desfavorável. Este
carregamento não deve ser considerado na composição de cargas das vigas que suportam
os degraus, as quais devem ser calculadas para carga indicada na Tabela 2
(ABNT, 1980, p. 04).
O peso do revestimento a ser considerado no dimensionamento geralmente varia de 0,50 a 1,0
kN/m², e também é considerado como carga vertical por metro quadrado de projeção horizontal.
SAIBA MAIS
Você sabia que a determinação das cargas atuantes sobre uma escada é feita da mesma
maneira que para uma laje, por exemplo? Os valores são dados por unidade de metro. Talvez,
a única diferença é que, na escada, temos alguns elementos que não encontramos,
frequentemente, em lajes, como o gradil.
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É preciso considerar, também, a carga de parapeito. Segundo a NBR 6120 (item 2.2.1.5): “Ao longo
dos parapeitos e balcões devem ser consideradas aplicadas uma carga horizontal de 0,8 kN/m na
altura do corrimão e uma carga vertical mínima de 2 kN/m” (ABNT, 1980, p. 04).
Peso Próprio
Calcula-se o peso próprio da escada considerando uma espessura média hm, definida na Figura 3, e
com o peso específico do concreto igual a 25 kN/m .
Quando a laje tiver espessura constante e for executada com enchimento dos degraus em alvenaria,
o peso próprio é calculado somando-se o peso da laje, calculado em função da espessura h1, ao peso
do enchimento, calculado em função da espessura média e/2 (Figura 20).
A espessura h1 pode ser determinada por:
Em que:  h = espessura da laje, devendo ser respeitados os valores mínimos estabelecidos pela NBR
6118.
e = altura do espelho da escada.
Revestimento
Para os revestimentos das escadas, são utilizados vários tipos de materiais, tais como: as cerâmicas;
as pedras; madeiras etc. O peso desses revestimentos depende de sua espessura e do seu peso
específico. Normalmente, para as cerâmicas, pode-se adotar uma carga de 1,0 KN/m , e para as
3
h1  =
h
cos α
hm  =  h1  +  
e
2
Figura 18 - Valores de h1 e hm
Fonte: Melges, Pinheiro e Giongo (1997, p. 04)
Figura 19 - Laje com degraus de concreto
Fonte: Melges, Pinheiro e Giongo (1997, p. 05)
Figura 20 - Laje com degraus de alvenaria
Fonte: Melges, Pinheiro e Giongo (1997, p. 05)
2
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pedras uma carga de 1,5 KN/m . Além disso, é preciso considerar, também, a carga de revestimento
inferior (forro), que pode ser acrescida ao valor da carga de piso, considerando-se em torno de 0,2
KN/m2.
Gradil, Mureta ou Parede
Segundo Melges, Pinheiro e Giongo (1997, p. 07):
Quando a ação de gradil, mureta ou parede não está aplicada diretamente sobre uma viga
de apoio, ela deve ser considerada no cálculo da laje. A rigor, esta ação é uma força
linearmente distribuída ao longo da borda da laje. No entanto, esta consideração acarreta
um trabalho que não se justifica nos casos comuns. Sendo assim, uma simplificação que
geralmente conduz a bons resultados consiste em transformar a resultante desta ação em
outra uniformemente distribuída, podendo esta ser somada às ações anteriores. O cálculo
dos esforços é feito, então, de uma única vez.
a) Gradil: Para o gradil, pode se adotar valores que variam de 0,3 KN/m a 0,5 KN/m.
b) Mureta ou parede: No caso de muretas ou paredes, o valor da ação vai depender do material
utilizado para a confecção: tijolo maciço; tijolo cerâmico furado; bloco de concreto celular etc. Os
valores de peso específico desses materiais podem ser encontrados na NBR 6120 (ABNT, 1980).
Cargas Localizadas
As escadas que são constituídas por degraus isolados devem ser calculadas para suportarem uma
carga concentrada de 2,5 KN, aplicada na posição mais desfavorável. Esse carregamento não deve
ser considerado na composição de cargas das vigas que suportam os degraus.
2
SAIBA MAIS
A determinação do peso dos revestimentos em escadas varia muito. Existem escadas com
revestimentos dos mais variados tipos. Quando se determina o peso desses elementos, é
preciso ter bastante cuidado, pois revestimentos como mármore e granito, por exemplo, são
muito mais pesados que outros tipos, como as cerâmicas comuns.
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Dimensionamento da Escada
O tipo mais comum de escada em concreto armado tem como elemento resistente uma laje armada
em uma só direção, embora também possa ser armada nas duas direções, como já vimos
anteriormente. Os degraus não têm função estrutural.
Neste item, vamos ver as escadas armadas transversalmente, longitudinalmente e em cruz, as
escadas com patamar, as com laje em balanço, escadas com degraus engastados em viga reta e as
escadas em cascata.
Escadas Armadas Transversalmente
Para as escadas armada transversalmente, considera-se “ℓ” o vão teórico, conforme indica a Figura
20, e considera-se “p” como a força total uniformemente distribuída. Os esforços máximos são
dados por unidade de comprimento, sendo eles:
Momento fletor: que é determinado por ; e
Força cortante: que é determinada por 
De forma geral, mas, nem sempre, a taxa de armadura de flexão resulta inferior à mínima ( ).
Para determinar a armadura mínima, recomenda-se usar . Dessa forma, a armadura mínima é
determinada pela seguinte equação:
 = 0,15% bw , sendo ≥ 7 cm
Ao invés de se utilizar , pode ser utilizada, também, a espessura h, mostrada na Figura 5.
Normalmente, a espessura h é um pouco inferior à .
m  =   pℓ2
8
v  =   pℓ
2
asmín
h1
asmín h1 h1
h1
h1
SAIBA MAIS
Você sabia que, para dimensionar uma escada, podemos considerá-la ou como uma laje
maciça, armada em uma ou duas direções, ou como uma viga biapoiada, com carga distribuída
uniformemente?
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Em escadas (lajes armadas em uma só direção), é preciso considerar uma armadura de distribuição,
na direção transversal à armadura principal, que deve atender a seguinte condição:
Deve ser considerado como espaçamento máximo entre as barras da armadura principal um valor
que não seja superior a 20 cm. No caso do espaçamento da armadura de distribuição, esse valor não
deve superar 33 cm.
Conforme já dito anteriormente, em classificação das escadas, este tipo de escada é comumente
encontrado em residências, sendo, geralmente, construída entre duas paredes que lhe sirvam de
apoio.
Escadas Armadas Longitudinalmente
Neste tipo de escada, o peso próprio é, em geral, avaliado por m², de projeção horizontal. Embora,
pouco usual, o peso pode ser considerado como uma força uniformemente distribuída por m² de
superfície inclinada Os momentos fletores podem ser determinados da mesma maneira que na
escada armada transversalmente, ou seja:
, ou ainda por , em que:
p = é a força uniformemente distribuída;
pi = é a força uniformemente distribuída perpendicular ao vão inclinado;
ℓ = é o vão na direção horizontal;
ℓi = é o vão na direção inclinada.
Para se obter o valor da força inclinada pi, é necessário fazer a decomposição da força p.
Entretanto, como as diferenças entre as forças não é tão grande, a decomposição da força p não
tem a obrigatoriedade de ocorrer, podendo ser utilizada apenas a força sem decomposição.Escadas Armadas em Cruz
Segundo Melges, Pinheiro e Giongo (1997, p. 10), “[...] os esforços são calculados utilizando-se
tabelas para ações verticais e considerando-se os vãos medidos na horizontal”.
Figura 21 - Escada armada transversalmente
Fonte: Melges, Pinheiro e Giongo (1997, p. 08)
ASdistr ≥
⎧⎪⎨⎪⎩ ASprinc
5
ASmin
2
0, 90cm2╱m
m  =   pℓ2
8 m  =   piℓi
2
8
Figura 22 - Escada armada longitudinalmente
Fonte: Melges, Pinheiro e Giongo (1997, p. 09)
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Para o dimensionamento, na direção transversal, da mesma maneira como ocorre com a escada
armada transversalmente, pode-se utilizar a altura h1 no cálculo da armadura mínima. Já no caso da
direção longitudinal, é preciso utilizar a altura h.
As ações, provenientes da escada, devem ser transmitidas às vigas. Para as vigas horizontais, o
cálculo não apresenta novidades. Para as vigas inclinadas, as ações são admitidas na vertical por
metro de projeção horizontal, e os vãos são medidos na horizontal, conforme mostra a Figura 22.
Escadas com Patamar
São possíveis de serem consideradas várias disposições para esse tipo de escada, conforme indica a
Figura 8. Para o cálculo, considera-se que a laje dessa escada seja simplesmente apoiada.
Melges, Pinheiro e Giongo (1997, p. 10) esclarecem que, nos casos (a) e (b), dependendo de como
forem as condições de apoio nas extremidades, o funcionamento real da estrutura pode ser melhor
interpretado, conforme segue.
A reação pode ser dada pela composição das compressões e , que ocorrem na
escada e no patamar, respectivamente. Essas compressões podem ocorrer em função das
condições de apoio, nas extremidades da escada. Já os casos (c) e (d) não são passíveis
deste tratamento, por se tratarem de estruturas deformáveis.
Conforme explicita Filho (2011, p. 03):
Figura 23 - Escada armada em cruz
Fonte: Melges, Pinheiro e Giongo (1997, p. 10)
Figura 24 - Escadas com patamar
Fonte: Melges, Pinheiro e Giongo (1997, p. 11)
Figura 25 - Comportamento estático
Fonte: Melges, Pinheiro e Giongo (1997, p. 12)
RB Ce Cp
ATENÇÃO
É preciso lembrar que a ação que atua sobre o patamar da escada, em geral, é diferente da
ação que atua sobre a escada propriamente dita. Pesquise sobre o assunto.
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Na seção de inflexão do trecho com degraus para o patamar, deve-se ter um cuidado
especial com o detalhamento da armadura. Sempre que houver tendência à retificação de
barra tracionada, em regiões em que a resistência a esses deslocamentos seja
proporcionada por cobrimento insuficiente de concreto, a permanência da barra em sua
posição deve ser garantida por detalhamento especial. No caso das escadas, deve-se
substituir cada barra da armadura principal por outras duas prolongadas além do seu
cruzamento e devidamente ancoradas.
Podemos ver isso na Figura 26, a seguir:
Escadas com Laje em Balanço
Essa laje funciona como uma viga ou uma laje em balanço, em que uma de suas extremidades é
engastada e a outra é livre. Normalmente, o engastamento se faz em uma viga, mas pode ocorrer
em pilares ou pilares-parede.
Nesse caso, calcula-se a laje da escada considerando-a armada apenas em uma direção, sendo a
armadura principal a negativa (barras superiores).
Se a laje estiver engastada em uma viga, no dimensionamento desta viga é necessário considerar o
cálculo à flexão e, também, à torção.
Uma variação desse tipo de escada é a escada tipo cascata, engastada em viga lateral, em que os
espelhos dos degraus trabalham como se fossem vigas engastadas na viga lateral, que dá apoio à
escada. Os elementos horizontais, que são os passos ou pisadas, são dimensionados como se
fossem lajes apoiadas nos espelhos.
Escada em Viga Reta, com Degraus em Balanço
Para esse tipo de escada, os degraus podem ser isolados, engastando-se em vigas. Essas vigas
podem estar localizadas no centro da escada ou na lateral.
Figura 26 - Detalhamento da armadura
Fonte: Filho (2011, p. 03)
Figura 27 - Laje em balanço engastada em viga lateral
Fonte: Melges, Pinheiro e Giongo (1997, p. 13)
Figura 28 - Laje em balanço com espelho trabalhando como viga
Fonte: Melges, Pinheiro e Giongo (1997, p.13)
Figura 29 - Escada em viga reta, com degraus em balanço
Fonte: Melges, Pinheiro e Giongo (1997, p. 13)
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Mesmo que a viga seja considerada centrada nos degraus, é necessário considerar uma certa
assimetria no carregamento calculado, o que vai gerar força de torção na viga.
Os degraus são armados como se fossem vigas em balanço, normalmente estribados, já que são
peças pequenas, o que torna mais fácil a execução. Normalmente, adota-se espessuras maiores do
que as exigidas pela norma, por se tratar de um elemento pequeno e, relativamente, mais frágil.
Se os degraus estiverem engastados em um pilar ou em um pilar-parede, esses elementos estarão
sujeitos à flexão composta.
Na Figura 29, podemos ver alguns detalhamentos típicos para esses tipos de escadas.
Escadas com Degraus em Cascata
Existem duas situações para esse tipo de escada. Ela pode ser armada tanto transversalmente
como, também, longitudinalmente.
Se a escada puder contar com, ao menos, uma viga lateral que lhe sirva de apoio, seu detalhamento
recai no que já foi visto na Figura 27.
Se a escada for armada longitudinalmente, é preciso que ela seja considerada como uma viga de
eixo não reto. Neste caso, os elementos verticais poderão estar flexo-comprimidos ou flexo-
tracionados. Por outro lado, os elementos horizontais terão solicitação de momento fletor e de
força cortante, para o caso de estruturas isostáticas com reações verticais.
Pode ser considerada, também, com degraus engastados uns nos outros, ao longo das arestas, para
resistir ao momento fletor.
Existem vários outros modelos de escadas, podendo ser detalhados de várias outras formas.
Tentamos trazer aqui os principais, mostrando a maneira mais prática de se fazer o
dimensionamento e detalhamento desses modelos. Cada vez mais, as escadas têm mudado de
formato e de aparência, utilizando os mais variados materiais. A correta determinação do modelo a
ser adotado para o dimensionamento e detalhamento é tarefa preponderante para o engenheiro
calculista.
Figura 30 - Detalhes típicos
Fonte: Melges, Pinheiro e Giongo (1997, p. 14)
Figura 31 - Escada em cascata
Fonte: Melges, Pinheiro e Giongo (1997, p. 15)
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Fechamento
O estudo das escadas, conforme foi visto, é muito importante para dar uma maior acessibilidade e
segurança às edificações. Você pôde ver que, por ser extremamente importante, para o projeto e a
execução de escadas, seja qual for o tipo ou a finalidade, os parâmetros devem ser normatizados,
garantindo os valores mínimos para que sejam respeitados esses requisitos.
Existem escadas de vários tipos, de vários formatos e de variados materiais. Mas, o que realmente
importa, é que as escadas proporcionem a locomoção das variadas pessoas, com suas dificuldades
ou não, com segurança e conforto, além de serem de fácil acesso.
Seja qual for a escada, seja qual for a finalidade para a qual ela foi, ou será, construída, seja ela um
elemento apenas funcional ou também estético, a escada é um elemento que está presente em
nossas vidas há milhares de anos, desde as civilizações mais rústicas às mais sofisticadas. Aprender
seus conceitos para poder garantir segurança e conforto é primordial.
Como foi visto até aqui, dimensionar e detalhar uma escada em concreto armado é uma tarefa,
razoavelmente, fácil, mas ao mesmo tempo complexa.Temos que levar em consideração vários fatores que podem influenciar na escolha do método de
cálculo a ser adotado. Fatores como o tipo de utilização dessa escada, se é de acesso público ou
privado, se é uma escada interna ou externa etc.
Além disso, não existe uma única maneira de se dimensionar e detalhar uma escada. Para um
mesmo tipo de escada, podemos optar por mais de um método ou maneira de se fazer o
dimensionamento e o detalhamento: armada em uma ou duas direções; em cruz; engastada etc.
Cabe-nos distinguir. entre as possibilidades, aquela que é mais viável, sempre pensando na questão
de segurança e, também, da estética da edificação. Afinal de contas, a escada não é um elemento
meramente funcional, mas também estético.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
Conhecer as dimensões mínimas e máximas, segundo a NBR 9050 (ABNT, 2015);
Classificar as escadas.
Determinar os carregamentos sobre as escadas, segundo a NBR 6120 (ABNT, 1980);
Dimensionar as escadas.
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Unidade 04
Amplie seu conhecimento
Referências
ABNT - ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de Estruturas de
Concreto - Procedimentos. Rio de Janeiro: ABNT, 2014.
BASTOS, P. S. S. Pilares de Concreto Armado. Disciplina 2323 - Estruturas de Concreto II.
Bauru/SP, Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual
Paulista (UNESP), maio/2017. Disponível em . Acesso em: 07 Set. 2018.
CARVALHO, R;  PINHEIRO, L. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado.
2. ed. São Paulo: Pini, 2013. v. 2.
FUSCO, P. Técnica de armar estruturas de concreto. 2. ed. São Paulo: PINI, 2013.
Vídeo
Video do professor de 1 a 2 minutos sintetizando a ideia dos conteúdos abordados na Unidade.
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http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto2/Pilares.pdf
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SÜSSEKIND, J.C. Curso de concreto: Concreto armado, v. 2, 4. ed., Porto Alegre, Ed. Globo, 1984,
280p.
CARVALHO, R; FIGUEIREDO FILHO, J. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto
armado: segundo a NBR 6118:2014.4. ed. São Carlos: EdUFSCar, 2015. v. 1.
CARVALHO, R.; PINHEIRO, L. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado.
2. ed. São Paulo: Pini, 2013. v. 2.
CLÍMACO, J. Estruturas de concreto armado: fundamentos de projeto, dimensionamento e
verificação. 2. ed. Brasília: Editora UnB, 2008.
FUSCO, P. Estruturas de concreto – Solicitações normais. Rio de Janeiro, ed. Guanabara Dois,
1981.
SUSSEKIND, J. Curso de concreto vol II – Concreto Armado. 2. ed. Rio de Janeiro, ed. Globo, 1985.
ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118: Projeto de Estruturas de Concreto -
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ALVA, G. M. S. Deslocamentos horizontais em edifícios. ECC 1008 – Estruturas de concreto. UFSM -
Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria,  2014. Disponível em . Acesso em: 06 out. 2018.
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ABNT - ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6120: Cargas para o cálculo de
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ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 9050: Acessibilidade a edificações,
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edifícios. Rio de Janeiro, 2001. 36p.
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http://coral.ufsm.br/decc/ECC1008/Downloads/Aula_Desl_Hor_2sem_2014.pdf
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https://br.123rf.com/stock-photo/edificios_altos.html?oriSearch=edificios+finos&sti=njgpj3d1kkgeg2j30i%7C&mediapopup=47741825
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ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 14718: Guarda-corpos para edificação.
Rio de Janeiro, 2001. 14p.
FILHO, A. C. Projeto de escadas de concreto armado. Universidade Federal do Rio Grande Do Sul.
Escola de Engenharia -  Departamento de Engenharia Civil. Porto Alegre, 2011. Disponível em: . Acesso em: 04 out. 2018.
MELGES, J. L. P.; PINHEIRO, L. M.; GIONGO, J. S. Concreto Armado: escadas. Universidade de São
Paulo - Escola de Engenharia de São Carlos Departamento de Engenharia de Estruturas, São
Carlos-SP. Março, 1997. Disponível em Acesso em: 03 out. 2018.
SANTOS, J. S. dos. Desconstruindo o projeto estrutural de edifícios: concreto armado e
protendido. São Paulo: Oficina de Textos, 2017.
SANTOS, R. N. dos. Itens que Compõem a Escada. Arquiteto Versátil, 28 out. 2016. Disponível em:
. Acesso em: 09
out. 2018.
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https://chasqueweb.ufrgs.br/~americo/eng01112/escadas.pdf
https://chasqueweb.ufrgs.br/~americo/eng01112/escadas.pdf
http://www.fec.unicamp.br/~almeida/ec802/Escada/19%20Escadas.pdf
http://www.fec.unicamp.br/~almeida/ec802/Escada/19%20Escadas.pdf
https://www.arquitetoversatil.com/2016/10/itens-que-compoe-a-escada.htmle procure exemplos dessas duas situações para melhor entendimento do assunto.
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Quando pensamos na ligação entre pilar e viga, normalmente, pensamos em estruturas de nós fixos.
A NBR 6118 (ABNT, 2014) traz algumas considerações a serem feitas para a determinação do
comprimento de flambagem nesses casos. Vamos a elas.
Nas estruturas de nós fixos, o cálculo pode ser realizado considerando cada elemento
comprimido isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos
estruturais que ali concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos pela análise da estrutura
efetuada segundo a teoria de 1ª ordem
(ABNT, 2014, p.105 ).
Sendo assim, o comprimento equivalente de flambagem (ℓ ) do elemento comprimido (pilar),
supostamente vinculado em ambas as extremidades, deve ser o menor dos seguintes valores:
ℓ = ℓ + h
ℓ = ℓ
onde:
ℓ  = é a distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que
vinculam o pilar;
h = é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura em estudo;
ℓ  = é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado.
Figura 5 - Situação real e simplificada de pilares contraventados de edifícios
Fonte: Süssekind (1984, p. 171).
e
e 0
e
0
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É preciso ter a noção que o comprimento de flambagem não é a mesma coisa que pé direto da
edificação. Portanto não significa que o comprimento de flambagem é a distância de piso a piso de
uma edificação. São valores que devem ser determinados em função das vinculações do pilar, na
base e no topo. Para cada tipo de vinculação teremos um efeito diferente.
Índice de Esbeltez Global
Depois de determinado o comprimento de flambagem, precisamos determinar o índice de esbeltez
dos pilares para sabermos se haverá a necessidade de se considerar os esforços adicionais de 2ª
ordem no dimensionamento desses pilares. O valor do índice de esbeltez do pilar deve ser
comparado a um valor de esbeltez limite, determinado pela norma como sendo um valor que gerará
uma deformação, ainda, segura para a edificação.
Figura 6 - Valores de ℓ e ℓ
Fonte: Bastos (2017, p.15).
0 e
SAIBA MAIS
Para casos de determinação do comprimento de flambagem mais complexos é recomendada
a leitura de Sussekind (1984, v.2).
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Segundo Carvalho (2013) o índice de esbeltez ( ) é uma grandeza que depende do comprimento do
pilar, da sua seção transversal (forma e dimensões) e das condições de extremidade. Ou seja, é a
razão entre o comprimento de flambagem e o raio de giração nas direções a serem consideradas:
com o raio de giração sendo determinado por:
Essas duas fórmulas servem para a determinação do índice esbeltez de qualquer peça,
independentemente do sistema construtivo, ou da seção transversal da mesma.
Para seções retangulares, podemos determinar o índice de esbeltez pela seguinte fórmula
simplificada:
onde:
ℓ = comprimento de flambagem;
i = raio de giração da seção geométrica da peça (seção transversal de concreto, não considerando a
presença de armadura);
I = momento de inércia;
A = área da seção transversal do pilar, na direção considerada;
h = dimensão do pilar, na direção considerada.
Veremos mais sobre o assunto posteriormente, quando descobriremos a real necessidade de se
determinar o índice de esbeltez do pilar. Antes disso, para fechar, atente-se ao seguinte:
λ
λ  =  
ℓe
i
i  =  √ I
A
λ  =  
3, 46 ℓe
h
e
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Fechamento
Como já foi dito anteriormente, é de suma importância considerar os parâmetros estipulados pela
norma para as estruturas em concreto armado, especialmente para os pilares, pois esses
parâmetros são de grande importância. Os pilares são os responsáveis por resistir e transferir todos
os esforços para os elementos de fundação. Sendo assim, os preceitos de segurança, que são
determinados pela norma, são parâmetros para que nós, calculistas, estejamos, ao menos em tese,
seguros de que a estrutura possa resistir às solicitações. Pensando na superestrutura de uma
edificação, os pilares são os últimos elementos, aqueles que devem suportar todas as ações que
vêm se somando ao longo dos pavimentos da edificação.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
saber quais são os valores mínimos de dimensão dos pilares, estipulados pela norma;
saber quais são os valores máximos e mínimos das armaduras a serem adotadas para os pilares
(longitudinais e transversais);
aprender a determinar os comprimentos de flambagem dos pilares, que são utilizados para o
seu dimensionamento;
aprender a determinar o índice de esbeltez dos pilares, importante para verificar a necessidade
de se considerar esforços de 2ª ordem no dimensionamento dos pilares.
ATENÇÃO
Se o pilar está, na sua grande maioria, sofrendo esforços axiais, que são esforços de
compressão, e se o concreto resiste bem aos esforços de compressão, qual a necessidade de
aço nos pilares? Porque colocamos aço nos pilares se o concreto poderia resistir aos esforços
de compressão? Pense sobre isso e procure a resposta nas bibliografias indicadas.
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Unidade 04
Aula 02
Classificação dos Pilares
Uma atividade importante no dimensionamento dos pilares é a sua classificação. Todo pilar é
classificado de acordo com duas situações. A primeira, segundo a solicitação à qual está submetido,
determinará como será dimensionado. A segunda, de acordo com seu índice de esbeltez, que nos
indicará a necessidade ou não da consideração dos esforços adicionais de 2ª ordem.
É importante salientarmos que dentro de uma edificação temos pilares posicionados em locais
diferentes uns dos outros. Essa localização pode influenciar o tipo de solicitação ao qual o pilar
estará submetido. Além disso, a relação entre o comprimento de flambagem e a seção transversal
do pilar influencia no tipo de consideração a ser feita no seu dimensionamento.
Vídeo
Nesta primeira aula da unidade, estudamos algumas concepções e aspectos constituidores do
conceito de exclusão, suas vertentes e origens. Aprendemos que há diversos tipos de exclusão.
Para complementar o seu aprendizado assista a esse vídeo.
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Caro aluno, o dimensionamento de um pilar requer a verificação de vários itens, que ao final do
curso esperemos que você tenha alcançado.
Classificação dos Pilares Segundo a
Solicitação
Para facilitar e sistematizar os estudos de pilares, possibilitando uma abordagem mais simples e
prática, podemos classificar os pilares quanto à sua solicitação, sendo duas solicitações possíveis:
a) Compressão Simples
Nos pilares sujeitos à compressão simples, que, também, pode ser conhecida como compressão
centrada ou compressão uniforme, a aplicação da força normal de cálculo (N ) é no centro
geométrico da peça, cujas tensões na seção transversal são uniformes conforme indica a figura 1 a
seguir.
b) Flexão compostaNa flexão composta ocorre, simultaneamente, a atuação de força normal e momento fletor na peça.
Há dois casos:
Flexão composta normal ou reta: ocorre, além da força normal, um  momento fletor em uma
direção da peça (Figura 2a);
Flexão composta oblíqua: ocorre, além da força normal, dois momentos fletores, um em cada
direção da peça (Figura 2b).
d
Figura 1 - Solicitação de compressão simples
Fonte: Bastos (2017, p. 04).
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Uma forma de visualizar mais facilmente a situação dos pilares submetidos à compressão simples
ou flexão composta (reta ou oblíqua) é quando pensamos na posição que esses pilares tomam na
edificação. Segundo Carvalho (2013, p.333), a posição dos pilares nas edificações são as seguintes:
pilar central (ou intermediário);
pilar lateral (ou de extremidade);
pilar de canto.
A classificação do pilar em função da posição que ocupa na edificação determina as excentricidades
do carregamento (força normal de cálculo) em relação ao centro da seção transversal do pilar. Com
isso, determina-se o tipo de solicitação a que o pilar estará submetido.
O que pode ser percebido na figura 3, segundo Carvalho (2013, p.334) é que nas extremidades de
vigas ocorrem giros significativos, visto nos pontos A e D. Esses giros são causados por momentos
que são transmitidos aos pilares e que não podem ser desprezados no dimensionamento dos
mesmos.
Figura 2 - Tipos de flexão composta
Fonte: Bastos (2017, p. 04).
Figura 3 - Pavimento com pilares centrais, laterais e de canto
Fonte: Carvalho (2013, p. 322).
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Já nos pontos B e C as rotações são muito pequenas e, dessa forma, os momentos transmitidos aos
pilares nesses pontos também são pequenos, e são, geralmente, desprezados no dimensionamento
dos pilares.
Portanto temos que os pilares P1, P4, P9 e P12 são considerados pilares de canto. Os pilares P2, P3,
P5, P8, P10 e P11 são considerados pilares laterais, ou de extremidade e os pilares P6 e P7 são
pilares centrais ou intermediários.
Partindo dessas considerações, podemos analisar a classificação dos pilares da seguinte maneira:
Pilares centrais ou intermediários
localizam-se, não obrigatoriamente, no interior da edificação;
estão submetidos, em princípio, somente à cargas concentradas verticais (compressão simples,
se atuação de momento fletor de 1ª ordem);
a NBR 6118 (ABNT, 2014), no item 14.6.6.1, indica que as vigas podem ser consideradas
simplesmente apoiadas nos pilares, portanto não transmitem momentos para os pilares.
Figura 4 - Situação de projeto dos pilares centrais ou intermediários
Fonte: Bastos (2017, p. 22).
ATENÇÃO
Conforme já foi dito, um pilar é considerado central, ou intermediário, quando os momentos
gerados pela continuidade das vigas são pequenos e podem ser desprezados no cálculo do
pilar. Traduzindo, quando as vigas não são interrompidas no pilar, não geram momentos
suficientes para que precisemos considerá-las no dimensionamento do pilar.
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Pilares laterais ou de extremidade
localizam-se, normalmente, nas bordas das edificações, onde as vigas apoiadas e
perpendiculares a essa borda são interrompidas no pilar. Embora ocorram normalmente nas
bordas das edificações, isso não é uma regra, pois um pilar de extremidade pode ocorrer no
interior de uma edificação, basta que, para isso, uma viga seja interrompida em uma das duas
direções do pilar;
são solicitados por flexão composta normal, cargas concentradas normais e momento fletor em
uma direção;
na direção onde há continuidade da viga, não há momento fletor;
a NBR 6118 (ABNT, 2014) (item 14.6.6.1) especifica que, quando não for realizado o cálculo
exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga, deve ser considerado, nos apoios
extremos, momento fletor igual ao momento de engastamento perfeito multiplicado pelos
coeficientes estabelecidos nas seguintes relações:
na viga:
— no tramo superior do pilar:
— no tramo inferior do pilar:
sendo:
onde
ri é a rigidez do elemento i no nó considerado, avaliada conforme indicado na Figura 5:
rinf  +  rsup
rvig  +  rinf  +  rsup
 rsup
rvig  +  rinf  +  rsup
 rinf
rvig  +  rinf  +  rsup
ri  =   Iiℓi
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Pilares de canto
localizam-se, normalmente, nos cantos das edificações, e as vigas que chegam a esse pilar, nas
duas direções, são interrompidas;
Figura 5 - Aproximação em apoios extremos
Fonte: ABNT (2014, p. 94).
Figura 6 - Situação de projeto dos pilares laterais ou de extremidade
Fonte: Bastos (2017, p. 23).
ATENÇÃO
Os pilares laterais, ou de extremidade, ocorrem sempre que uma viga for interrompida nesse
pilar, em apenas uma direção. Portanto este tipo de pilar não ocorre exclusivamente na
lateral, ou extremidade das edificações, podendo ocorrer em qualquer posição dentro da
edificação.
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são solicitados por flexão composta oblíqua, cargas concentradas normais e momento fletor
nas duas direções;
os momentos transmitidos pelas vigas também podem ser determinados de forma aproximada,
em cada direção, da mesma maneira que nos pilares laterais.
Classificação dos Pilares Segundo a Esbeltez
Uma outra classificação dos pilares primordial é em relação a sua esbeltez. Como já vimos, quanto
menor a seção transversal do pilar e quanto maior for seu comprimento de flambagem, mais
esbelto será  esse pilar.
Quando consideramos o efeito de flambagem que pode ocorrer em peças comprimidas, como é o
caso dos pilares, quanto mais esbelto for o pilar, maior será o efeito provocado pela flambagem. A
NBR 6118 (ABNT, 2014) chama esse efeito de “efeito de segunda ordem”, e o índice de esbeltez do
pilar é que determina se será necessário considerar esse efeito no seu dimensionamento ou não.
Portanto a esbeltez limite é o valor de esbeltez a partir do qual os efeitos de 2ª ordem começam a
provocar uma diminuição da resistência do pilar.
Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014) (item 15.8.1), “os pilares devem ter índice de esbeltez menor ou
igual a 200 (λ ≤ 200). Apenas no caso de elementos pouco comprimidos com força normal menor
que 0,10 fcdAc, o índice de esbeltez pode ser maior que 200” (ABNT, 2014, p. 107 ). Já no item
15.8.2 a norma diz que “os esforços locais de 2ª ordem em elementos isolados podem ser
desprezados quando o índice de esbeltez for menor que o valor-limite λ1” (ABNT, 2014, p. 107 ).
Figura 7 - Situação de projeto dos pilares de canto
Fonte: Bastos (2017, p. 25).
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Segundo Carvalho (2013), as condições dos itens anteriores são aplicáveis apenas a elementos
isolados de seção e armadura constante ao longo de seu eixo, submetidos à flexo-compressão.
A classificação a seguir não se encontra na norma, entretanto é utilizada didaticamente para
facilitar o entendimento dos tipos de “esbeltezes” encontrados para os pilares. Os tipos são os
seguintes: pilares curtos, pilares médios, pilares medianamente esbeltos e pilares esbeltos. Existe
uma outra a qual não vamos comentar por fazer parte de apenas uma parcela extremamente
pequena dos pilares que são muito esbeltos.
Na maioria das edificações, os pilares encontrados são curtos e médios. Os medianamente esbeltos
e os esbeltos são muito menos frequentes. Veremos mais à frente um exemplo disso.
A determinação do índice deesbeltez já foi vista na aula anterior, agora veremos como se
determina o valor de esbeltez limite segundo a NBR 61189 (ABNT, 2014).
Esbeltez limite
O valor da esbeltez limite λ1 dependerá de diversos fatores, dentre os quais os mais importantes
são:
a excentricidade relativa de 1ª ordem e1/h na extremidade do pilar onde ocorre o momento de
1ª ordem de maior valor absoluto;
a vinculação dos extremos da coluna isolada;
a forma do diagrama de momentos de 1ª ordem.
O valor de λ1 pode ser calculado pela seguinte expressão:
onde:
35≤ λ1 ≤ 90
A excentricidade relativa (e1/h) é aexcentricidade de 1ª ordem dividida pela altura da seção
transversal do pilarna direção considerada.
Já o valor de 𝞪b vai variar de acordo com o tipo de pilar e o tipo de carga a ser considerado e deve
ser obtido conforme se estabelece a seguir:
a)   para pilares biapoiados sem cargas transversais:
λ1 =
25 + 12, 5 e1
h
αb
αb =  0, 60  +  0, 40
MB
MA
≥  0, 40
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sendo:
1,0 ≥ 𝞪b ≥ 0,40
onde:
M e M são momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar, obtidos na análise de 1ª ordem no caso
de estruturas de nós fixos e os momentos totais (1ª ordem + 2ª ordem global) no caso de estruturas
de nós móveis. Deve ser adotado para M o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para
MB o sinal positivo, se tracionar a mesma face que M , e sinal negativo, em caso contrário.
b)   para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura:
𝞪b = 1,0
c) para pilares em balanço:
sendo:
1,0 ≥ 𝞪b ≥ 0,85
onde:
MA é o momento de 1ª ordem no engaste e MC é o momento de 1ª ordem no meio do pilar em
balanço.
d) para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento fletor mínimo:
𝞪b = 1,0
Traduzindo o que está dito na letra (d), quando o maior valor de momento calculado ao longo do
pilar for menor que o momento fletor mínimo, o momento fletor mínimo de um pilar é determinado
através da seguinte expressão?
M1d,min = Nd(0,015 + 0,03h)
Essa expressão estabelecida pela norma é utilizada para os valores em metros. Como fica muito
mais fácil determinar os valores em cm, já que a área de aço é dada em centímetros, rearranjaremos
a expressão:
M1d,min = Nd(1,5 + 0,03h)
onde:
Nd é o esforço normal de cálculo;
0,015 é dado em metros;
A B
A
A
αb =  0, 80  +  0, 20
MC
MA
≥  0, 85
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h é a altura da seção transversal do pilar, na direção considerada, em centímetros.
Vamos lá!
Vamos conhecer um pouco de cada classificação do pilar segundo a sua esbeltez.
Pilar curto
É o pilar cujo índice de esbeltez é menor ou igual a 35. Ou seja: λ ≤ 35. Para esse tipo de pilar pode
ser desprezado o efeito de 2ª ordem proveniente dos esforços de flambagem.
Pilar médio
É o pilar cujo índice de esbeltez está compreendido entre 35 e 90, ou seja, 35 ≤ λ ≤ 90. Para esse
tipo de pilar existe a necessidade de se determinar o valor da esbeltez limite para a comparação dos
valores. Se a esbeltez do pilar for menor ou igual ao valor da esbeltez limite, não há necessidade de
se considerar os esforços de 2ª ordem, caso contrário, obrigatoriamente, deve-se considerar os
esforços de 2ª ordem no dimensionamento do pilar.
Pilar medianamente esbelto
SAIBA MAIS
Quando falamos em cargas transversais em pilares, a mais comum, para pilares de edifícios, é
a carga gerada pela ação de vento. Procure saber mais sobre o assunto consultando a NBR
6123 (ABNT, 1988), a norma que trata de “Forças devidas ao vento em edificações”.
SAIBA MAIS
Quando o pilar é curto, não há a necessidade de se determinar o valor da esbeltez limite, já
que a esbeltez limite começa em 35.
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O pilar medianamente esbelto é aquele em que o índice de esbeltez varia entre 90 e 140, ou seja, 90
≤ λ ≤ 140. Como o valor da esbeltez limite fica entre 35 e 90, esse pilar ultrapassa o limite de
esbeltez considerado seguro, para o qual não precisamos considerar os efeitos de 2ª ordem. Nesse
tipo de pilar os efeitos de 2ª ordem não podem ser desprezados. A análise dos efeitos de 2ª ordem
serão vistos apenas na unidade 3 e para esse tipo de pilar é obrigatória a consideração do efeito de
fluência.
A determinação dos esforços adicionais de 2ª ordem podem ser feitas através de métodos de
cálculo definidos pela norma, como os métodos de pilares-padrão ou método geral. Posteriormente,
veremos mais detalhadamente como são esses métodos e para qual tipo de pilar são
recomendados.
Pilares muito esbeltos
São os pilares em que o índice de esbeltez varia entre 140 e 200, ou seja, 140 ≤ λ ≤ 200. Pilares em
que é obrigatória a consideração dos esforços de 2ª ordem. É obrigatória, também, a consideração
do efeito de fluência. Para esse tipo de pilar só existe um método de cálculo chamado  “método
geral”.
Vimos que podem ser considerados pilares com 4 tipos de classificações segundo a sua esbeltez. É
importante salientar que pilares com índice de esbeltez superior a 200 só são admitidos para
aqueles em que existe pouquíssima força de compressão e força menor que 0,10 fcdAc.
Vamos agora a um exemplo de como classificar os pilares segundo a sua posição na edificação e
conforme a sua esbeltez. Para isso, usaremos a figura a seguir que faz parte de um pavimento tipo
de um edifício. Será considerado para esse exemplo um comprimento de flambagem dos pilares de
280 cm.
SAIBA MAIS
Para obter maiores informações quanto à consideração da fluência em pilares, consulte a
NBR 6118 (ABNT, 2014) item 15.8.4. Lembre-se de que é extremamente importante
conhecer as normas que discorrem sobre dimensionamentos de estruturas de concreto.
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Neste exemplo, temos dois pilares que podem ser considerados como centrais ou intermediários.
Um deles é bem evidente, o P18. Já o outro não é tão evidente assim, trata-se do P27. Como dito
anteriormente, o pilar central não precisa estar localizado no centro da edificação. Seria muito fácil
confundir o P27 com um pilar de extremidade, já que se encontra na extremidade da edificação. No
entanto o que vai caracterizar esse pilar é a continuidade das vigas que se apoiam nele e a não
interrupção de nenhuma viga, isto é, em nenhuma direção desse pilar. É exatamente o que acontece
com o P27, dado que nenhuma viga é interrompida nele.  A única viga que passa por ele é contínua.
Os pilares considerados como de extremidade neste exemplo são os P12, P17, P25, P29 e P34. Fica
fácil perceber, pois os pilares de extremidade são aqueles em que além da força normal atuante,
possuem também, um momento fletor em uma das suas duas direções. Esse momento fletor é
estabelecido quando uma viga é interrompida nesse pilar. Todos esses pilares possuem vigas que se
interrompem neles, apenas em uma direção. O P17 e o P29 possuem vigas que se interrompem na
direção x, gerando momento de primeira ordem na direção x, enquanto os pilares P12, P25 e P34
possuem vigas que se interrompem na direção y, gerando momento de primeira ordem na direção y.
Por último, os pilares considerados de canto neste exemplo são P11, P15 e P32. Lembrando que os
pilares de canto são aqueles em que além da força normal atuante existem, também, dois
momentos fletores em duas direções dos pilares. Podemos perceber que existem, para esses pilares
vigas que se interrompem na direção de x e na direção de y, configurando, assim, dois momentos
fletores, um em cada direção.
É fácil a classificação dos pilares segundo sua posição na edificação, mas devemos relembrar que a
posição do pilardetermina o tipo de solicitação a que ele está sujeito.
Para a verificação e determinação do índice de esbeltez dos pilares para classificá-los de acordo
com o índice utilizaremos a forma simplificada, para seções retangulares que é:
Figura 8 - Planta de forma parcial do pavimento tipo do edifício
Fonte: Elaborada pelo autor.
λ  = 3,46le
h
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Essa é uma fórmula simplificada para determinação do índice de esbeltez de peças com seção
retangular. Na dúvida, volte à aula 1 que trata sobre o índice de esbeltez.
O índice de esbeltez, utilizando a fórmula simplificada, leva em consideração a altura da seção
transversal do pilar, que é o h, em centímetros. Isso deve ser feito para as duas direções do pilar,
embora, fique óbvio que o maior valor de esbeltez para o pilar será na direção de menor espessura.
Faremos a determinação apenas para um pilar, já que para os demais a maneira de se determinar é a
mesma. Também faremos isso para o pilar P11, que possui uma seção transversal de 50x15 cm.
Portanto analisando a planta do exemplo (Figura 8), verificamos que na direção x, o pilar P11 tem
uma altura de seção transversal de 50 cm e na de y a sua altura é de 15 cm, conforme a figura abaixo
mostra.
Começaremos determinando o índice de esbeltez para a direção de x:
Para a verificação e determinação do índice de esbeltez dos pilares para classificá-los de acordo
com o índice utilizaremos a forma simplificada, para seções retangulares que é:
λx = 19,38  (esse é um número adimensional)
Para a direção de x, o índice de esbeltez do pilar P11 é menor que o valor da esbeltez limite que
varia entre 35 ≤ λ1 ≤ 90. Como a esbeltez limite começa em 35, e o valor da esbeltez do P11 na
direção de x é de 19,38, podemos considerar que esse pilar é um pilar curto, certo?
Figura 9 - Exemplo P11
Fonte: Elaborada pelo autor.
λx  =
3, 46le
hx
λ  =
3, 46le
h
λx  =
3, 46  280
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Não. É preciso determinar a esbeltez do pilar na direção de y, para determinarmos com exatidão
qual a condição desse pilar. Vamos a isso.
λy = 64,57 (esse é um número adimensional)
Dessa forma, verificamos que a esbeltez do pilar P11 na direção de y está entre 35 e 90, portanto,
segundo esses cálculos, o P11 é um pilar médio, segundo sua esbeltez.
Viu como é fácil a determinação do índice de esbeltez do pilar? Mas e agora, o que faço com essa
informação? Bom, isso é assunto para uma outra aula.
Fechamento
Caro aluno, acredito que, através do que foi exposto até agora, quanto à classificação dos pilares
quanto ao tipo de solicitação e quanto à sua esbeltez, fica fácil entender que são classificações
extremamente importantes para se conseguir dimensionar qualquer tipo de pilar. É apenas através
desses dois tipos de classificações que podemos determinar quais esforços são necessários de se
considerar no dimensionamento de qualquer pilar. Para cada tipo de solicitação há uma
consideração a se fazer quanto ao dimensionamento, considerando esforços adicionais de 2ª ordem
ou não. Fica evidente, também, que é necessário um estudo mais aprofundado dos itens
trabalhados nessa aula para uma compreensão mais aprimorada do assunto. Aliás, isso deve
acontecer com todos os conteúdos, independentemente se tratados aqui ou não.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
conhecer um pouco sobre a classificação dos pilares segundo a sua solicitação;
e conhecer um pouco sobre a classificação dos pilares segundo o seu índice de esbeltez,
necessário para determinar como será o dimensionamento do pilar.
λy  =
3, 46le
hy
λy  =
3, 46  280
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Unidade 04
Aula 03
Solicitações e Dimensionamento de
Pilares
Os pilares são elementos essenciais a qualquer tipo de construção, sendo os responsáveis por
transferir todo o carregamento da estrutura para os elementos de fundação. Desta forma, todos os
pilares estão sujeitos a solicitações e é imprescindível que possamos determinar o tipo de
solicitação a que o pilar, que iremos dimensionar, está submetido. Sem essa informação o
dimensionamento do pilar corre o risco de não condizer com a situação real.
De modo geral, o que predomina nos pilares de uma edificação é a força normal e o momento fletor,
que combinados ou não, são denominados de “solicitações normais”, pois induzem tensões normais
à seção transversal do pilar. É justamente a consideração ou não do momento fletor no cálculo do
Vídeo
Nesta aula estudamos algumas concepções e aspectos constituidores do conceito de exclusão,
suas vertentes e origens. Aprendemos que há diversos tipos de exclusão. Para complementar o
seu aprendizado assista a esse vídeo.
ASSISTA
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pilar que nos leva aos tipos de solicitações a serem consideradas no dimensionamento. Assim,
conheceremos um pouco sobre esses tipos de solicitações a que os pilares estão sujeitos.
Veremos os métodos de cálculo adotados pela NBR 6118 (ABNT, 2014) para o dimensionamento
dos pilares. Já pensou em como se faz o dimensionamento de um pilar em concreto armado? Quais
são os parâmetros importantes para se fazer um bom detalhamento? O que deve ser considerado
no dimensionamento dos pilares? Quais são as disposições construtivas exigidas pela norma para o
dimensionamento destes? São muitas perguntas, não?
O que veremos nas próximas páginas são as respostas para as perguntas acima. A norma brasileira
para estruturas em concreto armado traz vários parâmetros que devem ser adotados no
dimensionamento dos pilares, como é o caso, por exemplo, das dimensões mínimas e armaduras
mínimas. A seguir trataremos dos métodos utilizados no dimensionamento dos pilares.
Bons estudos!
Solicitação, segundo Carvalho (2007), é qualquer esforço (momento fletor, força normal, força
cortante) ou conjunto de esforços decorrentes das ações e aplicado à uma ou mais seções de um
elemento de uma estrutura.
Toda e qualquer peça de uma construção é solicitada por cargas, sejam essas referentes a ações
consideradas permanentes, ações variáveis ou mesmo ações consideradas excepcionais. Para as
construções comuns, no qual não há a necessidade de se considerar ações excepcionais, as cargas
podem ser peso próprio, e carga acidental. Ações climáticas contam com sol, vento, chuva, neve etc.
Já as ações excepcionais, nas construções onde há a necessidade de se considerar, caso por caso,
podem ser provenientes de sismos, fogo, explosões etc.
Como o objetivo de nossos estudos, neste momento, são pilares, focaremos apenas nas solicitações
a que os pilares estão submetidos.
SAIBA MAIS
Para maiores informações sobre os tipos de solicitações, procure na bibliografia indicada:
CARVALHO, R. C.; PINHEIRO, L. M. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de
concreto armado. 2. ed. São Paulo: Pini, 2013. v. 1.
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Para os pilares em concreto armado nos edifícios usuais, as solicitações que predominam se
referem a força normal e momento fletor, que são denominados de “solicitações normais”, pois
essas induzem aos pilares tensões normais à sua seção transversal,ou seja, esforços de tração e
compressão. Considerando ou não a atuação de momento fletor externo, tem-se a seguinte
classificação para as solicitações dos pilares:
compressão centrada, simples ou axial;
flexão composta normal ou reta;
flexão composta oblíqua.
Vamos aos detalhes de cada uma das solicitações acima.
Vamos determinar os momentos fletores para o pilar abaixo. Esse pilar é parte da estrutura que
aparece na Figura 8 da aula 2 desta unidade. Considerando que se trata de um pilar de pavimento
tipo de um edifício e que é considerado simplesmente apoiado na base e no topo, sendo dados:
Nk = 830 KNConcreto C25 (resistência do concreto)
ℓex = ℓey = 280 cm (comprimento de flambagem)
Aço = CA-50
A primeira coisa a se fazer é determinar o valor do esforço solicitante:
a)   esforço solicitante
Força normal de cálculo Nd = Nk . 𝞬n . 𝞬f = 1,2 . 1,4 . 830 = 1394,4 KN
𝞬n é determinado em função da largura do pilar, que é menor que 19 cm. Sendo este pilar um pilar
intermediário, não tem momentos e nem excentricidades de 1ª ordem.
b)   índice de esbeltez
É necessário calcular o índice de esbeltez para as duas direções do pilar (x e y).
𝞴x = =   = 19,43,46.ℓex
hx
3,46.280
50
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𝞴y = =   = 64,6
Em seguida, é necessário calcular o momento fletor mínimo para cada direção:
c)   momento fletor mínimo
M1d,min = Nd (1,5 + 0,03h), com h em cm.
Dir. x: M1d,min,x = 1394,4 (1,5 + 0,03.60) = 4601,52 KN.cm :  e1x,min = = 3,30 cm
Dir. y: M1d,min,y = 1394,4 (1,5 + 0,03.15) = 2719,08 KN.cm :  e1x,min = = 1,95 cm
d)   esbeltez limite
, com 35 ≤ 𝞴1 ≤ 90
Como nos pilares não ocorrem momentos fletores externos e nem excentricidades de 1ª ordem,
sendo a e1 = 0 e com 𝞪b = 1,0, tem-se:
𝛌1x = 𝛌1y = 25 35 ⇾ é obrigatória a consideração dos esforços adicionais de 2ª ordem da direção y.
É normal que em pilares retangulares, na sua maioria, haja a necessidade de se considerar os
esforços adicionais de 2ª ordem na direção da sua largura.
e)   momento fletor de 2ª ordemVamos avaliar o momento de 2ª ordem pelo Método do pilar-
padrão com curvatura aproximada.
e1)   método do pilar-padrão com curvatura aproximada:
Md,tot = 𝞪b M1d,A + Nd ≥ M1d,A
Força normal adimensional: = = = 0,87
Curvatura na direção y, sujeita aos momentos fletores de 2ª ordem:
 = = = 3,33 . 
Md,tot,y = 1 . 2719,08 + 1394,4 . .
Md,tot,y = 5378,9 KN.cm ≥ M1d,min,y = 2719,08 KN . cm   ⇾   Ok.
Após a determinação dos momentos totais para as duas direções do pilar, pode-se prosseguir para a
determinação da armadura longitudinal.
3,46.ℓey
hy
3,46.280
15
4601,52
1394,4
2719,08
1394,4
λ1 =
25+12,5
e1
h
αb
ℓ2
10
1
r
ν Nd
Ac.fcd
1394,4
900. 2,5
1,4
1
r
0.005
h(ν + 0,50) ≤   0.005
h
0.005
15(0,87 + 0,50) =  2, 433.104cm1 ≤   0.005
15 104cm1
    2802
10  2, 433.104
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Compressão Simples
Na compressão simples ocorrem apenas forças normais, que são paralelas ao eixo longitudinal do
pilar. Os momentos fletores externos podem ser desprezados, pelo fato de os valores, quando
existirem, serem pequenos. Os pilares que estão submetidos à compressão simples são
classificados como intermediários, conforme visto anteriormente. Nestes pilares, a norma
estabelece que as vigas contínuas podem ser calculadas como simplesmente apoiadas nos pilares, o
que faz com que esses pilares não estejam sujeitos aos momentos externos provenientes da
continuidade com as vigas.
Portanto quando o pilar está submetido apenas à compressão simples o maior valor de momento
que existe para ele é o momento fletor mínimo, que será descrito na aula seguinte.
Segundo Carvalho (2013, p. 313):
No caso de haver compressão, a deformação da peça, que obrigatoriamente deve ser
considerada, é a denominada “deformação de 2ª ordem” e a teoria que a considera
também é chamada de 2ª ordem.
Os efeitos de 2ª ordem referem-se a efeitos provocados pela flambagem das barras comprimidas
(efeitos locais). Essa flambagem ocorre devido aos esforços de compressão.
Segundo Clímaco (2008), a flambagem é um fenômeno de instabilidade de equilíbrio, que pode
provocar a ruptura de uma peça com a compressão predominante, antes de se esgotar a sua
capacidade resistente à compressão. Desse modo,, é um fenômeno que precisa ser avaliado no
dimensionamento de peças comprimidas, como é o caso dos pilares em concreto armado.
Para a determinação dos efeitos da flambagem nas peças comprimidas é necessário determinar,
primeiramente, o comprimento de flambagem da peça. Este assunto já foi abordado anteriormente,
caso possua dúvidas, volte e reestude o assunto.
ATENÇÃO
O estudo da flambagem é extremamente importante para o correto dimensionamento dos
pilares. No entanto na maioria das vezes, a ruptura de um pilar se dá por flexão composta,
com o esmagamento do concreto ou esgotamento da resistência do aço. Para saber mais, leia
Clímaco (2008).
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Hipóteses básicas
Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014) (item 17.2.2), para elementos lineares sujeitos a solicitações
normais em estado limite último, pensando nos pilares submetidos à compressão simples, é
necessário considerar algumas hipóteses, sendo elas:
1. o valor de cálculo máximo para a resistência à compressão do concreto é dada por: 𝒇’cd = 0.85
𝒇cd. O fator 0.85 leva em conta a influência dos efeitos de longa duração no concreto;
2. o encurtamento de ruptura do concreto, que é tomado como sendo de 2%, limita a resistência
máxima do aço à compressão;
3. as tensões normais produzidas pela solicitação de compressão axial são supostas distribuídas
uniformemente na seção transversal do pilar.
Segundo Clímaco (2008, p. 143), no dimensionamento:
O esforço normal de cálculo à compressão centrada equivalente, Nsde, deve ser resistido
solidariamente pelo concreto e pelo aço. Admite-se que as tensões em ambos os materiais
são uniformes, com as correspondentes parcelas resistentes sendo obtidas da multiplicação
das resistências máximas de cálculo dos materiais pelas respectivas áreas. No
dimensionamento ao estado limite último, a ruptura do pilar ocorre por esmagamento do
concreto, quando atingido o encurtamento específico de 2%  ou 2 mm/m.
Como na maioria das vezes a ruína pode acontecer por flexão composta e não necessariamente por
compressão simples, o estudo versará mais sobre a solicitação de flexão composta, normal e
oblíqua. O que é percebido no caso geral, para edifícios, é que a maior parte dos pilares está
submetida à flexão composta, levando em conta todas as simplificações e os desvios que podem
provir do próprio projeto e da execução.
Figura 1: Solicitação de compressão simples, centrada ou axial
Fonte: Bastos (2017, p. 04).
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Flexão Composta Normal
Caro aluno, como já vimos anteriormente, um elemento estará submetido à flexão composta
normal quando o momento fletor em uma das direções transversais do pilar tem a direção de um
dos eixos centrais principais de inércia desse pilar. Em suma, quando, além da força normal aplicada,
existe um momento fletor externo atuando em uma das duas direções principais do pilar. O que
chamamos aqui de eixos centrais é conhecido como C.G - centro de gravidade, da seção transversal
do pilar.
Segundo Carvalho (2013, p. 253):
Figura 2: Pilar submetido à flexão composta normal ou reta
Fonte: Bastos (2017,p. 23).
SAIBA MAIS
Esse momento fletor externo ocorre sempre que, em uma direção do pilar, (e apenas em uma
direção no caso de flexão composta normal), há a interrupção de uma viga, como mostra a
 figura 2 abaixo:
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A vantagem da flexão normal, no caso das seções de concreto armado, é a diminuição das
equações envolvidas, o conhecimento da inclinação da linha neutra (perpendicular ao
plano do carregamento) e a possibilidade de solução direta do cálculo do valor da
armadura (a posição sempre é predeterminada) para seções mais simples, como, por
exemplo, as seções retangulares.
Precisamos lembrar que seções retangulares são as situações mais comuns para a maior parte dos
pilares nas construções correntes.
Para os dimensionamentos considerando flexão composta é preciso pressupor como hipóteses que
as seções permanecem planas após a deformação; aderência entre aço e concreto; e que os
diagramas de tensão x deformação tanto do concreto quanto do aço são os indicados pela NBR
6118 (ABNT, 2014).
Para o desenvolvimento dos cálculos de elementos sujeitos à flexão composta é necessário retomar
os conceitos definidos para os domínios de deformação (1, 2, 3, 4, 4a e 5).
A ruína de uma dada seção transversal, seja qual for o tipo de flexão em estado limite último é
diretamente determinada pelas deformações específicas do concreto e do aço, que podem atingir,
separadamente ou conjuntamente, os seus valores máximos.
Conforme demonstra Carvalho (2013), os domínios representam as diversas possibilidades de
ruína da seção; a cada par de deformações específicas de cálculo 𝞮cd e 𝞮sd corresponde um esforço
normal, se existir, e um momento fletor atuante na seção. Abaixo, a figura 3 representa esses
domínios de deformação.
ATENÇÃO
Para maiores informações a respeito dos diagramas consulte a NBR 6118.
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Segundo Sussekind (1985, p. 68):
Fazendo os casos de flexão composta variarem desde o limite extremo da tração centrada
(reta a da Fig. 3), passando pela flexo-tração, flexão simples e flexo-compressão, até o limite
da  compressão centrada (reta b da Fig. 3), os correspondentes diagramas de deformações
específicas 𝞮 poderão situar-se num dos domínios (1, 2, 3, 4, 4a e 5) definidos na Fig. 5.
Vamos analisar o diagrama de deformações para verificar o que está acontecendo com o concreto e
a armadura em cada domínio de deformação.
Reta a:
Analisando o diagrama de domínios e deformação, vemos que na reta a tem-se tração uniforme,
com a deformação do aço 𝞮s = 10‰, 𝞮c = 10‰. Considera-se que nesse caso a resultante das
tensões atua no centro de gravidade da armadura. Então, todas as fibras têm a mesma deformação
de tração.
Domínio 1:
No domínio de deformação 1 ocorre a tração-uniforme, que acontece sem compressão
(considerando-se que a tração ocorre com pequena excentricidade e que as deformações são
diferentes em cada fibra). O estado limite último é caracterizado pela deformação máxima do aço
𝞮s = 10‰, e a linha neutra é externa à seção transversal da peça.
Domínio 2:
No domínio de deformação 2 ocorre a flexão simples ou a flexão composta (considerando-se que a
tração ou a compressão ocorra com grande excentricidade). Nesse domínio não deve haver a
ruptura do concreto por compressão, pois o concreto estará sendo considerado com sua
deformação de encurtamento 𝞮cna figura abaixo.
Figura 4: Casos possíveis de solicitações normais e domínios correspondentes
Fonte: Carvalho (2013, p. 266).
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Segundo Fusco (1981), a determinação dos momentos fletores externos que atuam sobre os nós
dos pilares pode ser calculado segundo as expressões abaixo. Levaremos em consideração, aqui,
que nos pilares de edifícios deve ser considerada a superposição dos efeitos das vigas de diferentes
níveis. Ter como fundamento os lances de pilares de um pavimento tipo, em que os momentos
fletores na base e no topo serão idênticos, podemos considerar a seguinte situação:
com:
 
onde: momento de engastamento perfeito;
 rigidez do pilar, inferior e superior (valores iguais para seção transversal constante):
calculada como , momento de inércia dividido pelo comprimento de flambagem;
rviga = rigidez da viga que se apoia no pilar, determinado como: , momento de inércia da
viga dividido pelo vão da viga.
Figura 5: Caso de flexão composta normal
Fonte: Bastos (2017, p. 04).
Mbase =  Mi, sup +  0, 5Mi+1,inf
Mtopo =  Mi+1,inf +  0, 5Mi, sup
Minf =  Meng
rpilar
rp, inf  +  rp, sup  +  rviga
Msup =  Meng
rpilar
rp, inf  +  rp, sup  +  rviga
Meng =
rpilar =
rpilar = I
ℓe
rviga = I
ℓ
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Vamos analisar uma situação explicitada por Carvalho (2013, p. 266) sobre a flexão composta
normal em um pilar:
Seja uma seção transversal genérica, em que y é um eixo principal de inércia (em geral de
simetria) e as armaduras As e A’s estão dispostas simetricamente a este eixo, considerando-
se na seção os valores possíveis das deformações específicas do concreto (𝓔c) e do aço (𝓔s),
relativos aos diversos domínios de deformação, podem ser determinados os valores dos
esforços resistentes de cálculo Nd e Md.
Posto isto, podemos determinar um gráfico indicativo de Nd x Md, que resultará numa curva que
terá a forma muito aproximada a da figura 6.
Figura 6: Momentos fletores nos pilares de extremidade provenientes da ligação com a viga não
contínua sobre o pilar
Fonte: Fusco (1981, p. 239).
ATENÇÃO
Observe que para o cálculo dos momentos fletores é indispensável que se conheça a seção
transversal dos pilares e também das vigas que a ele estão associadas.
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A verificação das armaduras no estado limite último dependerá da forma da seção transversal do
pilar, das equações de compatibilidade para as deformações, do equilíbrio entre as forças e
momentos atuantes e da distribuição adequada da armadura na seção transversal do pilar.
De forma geral, a distribuição das armaduras é feita de modo que ela conduza ao menor consumo
de aço, sempre pensando na segurança, mas também na economia. É preciso considerar quais
seções transversais seriam mais adequadas, tendo a possibilidade de fazer uma analogia com as
vigas, que, em geral, também estão submetidas à flexão simples. As seções transversais mais
adequadas seriam as retangulares, circulares e retangulares, ocas. Isso não quer dizer que outros
tipos de seções transversais não possam ser adotadas. A simplificação dessas seções leva apenas a
soluções mais simples.
Flexão Composta Oblíqua
Também como a flexão composta normal, a flexão composta oblíqua já foi citada em nosso material.
Elementos submetidos a flexo-compressão oblíqua são muito comuns em estruturas de concreto
armado, principalmente em pilares, como os pilares de canto de edificações. É claro que, no caso do
pilar, ele não precisa estar necessariamente no canto da edificação, pois a flexão composta oblíqua
é aquela em que, além, da força normal, existem dois momentos fletores externos atuando, um em
cada direção do pilar.
Figura 7 - a) Seção genérica sob flexão composta (y é o eixo principal da inércia) e domínios. b)
Curva dos esforços resistentes para os diversos domínios.
Fonte: Carvalho (2013, p. 267).
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O fato de a peça ter dois momentos externos atuantes, um em cada direção, faz com que a força
normal se desloque nas direções desses momentos fletores, gerando, assim, um excentricidade nos
dois eixos principais da peça. Vejamos a figura abaixo:
A determinação dos momentos fletores externos pode ser feita da mesma maneira que na flexão
composta normal, segundo Fusco (1981). Portanto o que diferencia a flexão composta oblíqua da
flexão composta normal é que uma possui um momento fletor externo atuante, e a outra, dois
momentos externos atuantes.
Tipos de Excentricidades
Quando a força normal atua sobre um pilar, ela pode estar aplicada no geométrico da sua seção
transversal. No caso de pilares de seção transversal retangular temos a compressão centrada ou
compressão simples. No momento em que a força normal está aplicada a uma distância do centro
de gravidade e esse deslocamento é apenas em um sentido, temos a flexão composta normal. Já
com a força normal aplicada a uma distância do centro de gravidade e quando esse deslocamento é
Figura 8: Caso de flexão composta oblíqua
Fonte: Bastos (2017, p. 04).
VÍDEO
Olá, estudante! Para assistir a esse vídeo, acesse a versão web do seu material didático.
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nos dois sentidos do pilar, temos a flexão oblíqua. Essas distâncias são chamadas de
excentricidades, sendo necessário o conhecimento dos valores dessas excentricidades para o
dimensionamento dos pilares isolados.
As principais excentricidades que devem ser conhecidas para o dimensionamento dos pilares são:
excentricidade de 1ª ordem e excentricidade de 2ª ordem.
Excentricidade de 1ª ordem
A excentricidade de 1ª ordem ocorre no pilar em função de um momento fletor externo solicitante.
Esse momento fletor solicitante é o momento de 1ª ordem, que ocorre em função da interrupção da
viga em uma direção, ou nas duas direções do pilar, gerando as solicitações denominadas flexão
composta normal e flexão composta oblíqua.
É preciso lembrar, caro aluno, que estamos falando de estruturas em que não se considera a força
de vento, por ser ela de pouca importância para alguns tipos delas. Portanto admite-se as
estruturas como sendo nós indeslocáveis e com ações verticais.
Essa excentricidade de 1ª ordem pode ocorrer em qualquer tipo de pilar, independentemente da
sua esbeltez, e isso pode acontecer na direção x ou na direção y, ou ainda em ambas as direções.
Vejamos a figura 9 a seguir:
ATENÇÃO
Quando falamos em excentricidade, significa que um pilar submetido a um carregamento
axial tem seu eixo deslocado em função de alguns fatores, como: momentos de 1ª ordem,
momentos de 2ª ordem etc. Se quiser saber mais sobre as excentricidades no pilar, leia
CARVALHO (2013).
ATENÇÃO
Falaremos sobre estruturas com nós fixos, ou rígidos, ou mesmo indeslocáveis, e sobre as
estruturas de nós móveis posteriormente.
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Obtém-se a excentricidade de 1ª ordem dividindo o momento solicitante externo pela força normal
atuante, ou seja:
        ou    
Os momentos fletores de 1ª ordem (Mx e My) podem ser determinados de forma aproximada,
considerando o momento de engastamento perfeito que ocorre nos apoios do pilar. Mais adiante
veremos esse assunto.
Excentricidade de 2ª ordem
Sob a ação das cargas verticais e horizontais, os nós da estrutura deslocam-se
horizontalmente. Os esforços de 2ª ordem decorrentes desses deslocamentos