Tronco | Geometria Espacial

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TRONCOS 
1. (Famerp) Um desodorante é vendido em duas 
embalagens de tamanhos diferentes, porém de for-
matos matematicamente semelhantes. A figura in-
dica algumas das medidas dessas embalagens. 
 
 
 
Se a capacidade da embalagem maior é de 100 mL, 
a capacidade da embalagem menor é de 
a) 64,0 mL. 
b) 48,6 mL. 
c) 56,4 mL. 
d) 80,0 mL. 
e) 51,2 mL. 
 
2. (Puccamp) Considere dois troncos de pirâmides 
retas exatamente iguais. A base maior é um qua-
drado de lado igual a 2 metros, a base menor um 
quadrado de lado igual a 1 metro, e a distância en-
tre as bases igual a 1 metro. Um monumento foi 
construído justapondo-se esses dois troncos nas 
bases menores, apoiando-se em um piso plano por 
meio de uma das bases maiores, formando um só-
lido. Desta maneira, a medida da área da superfície 
exposta do monumento é, em 2m , igual a 
a) 4 6 5.+ 
b) 8. 
c) 12 2 4.+ 
d) 
16
.
3
 
e) 12 2 8.− 
3. (Acafe) Uma peça de madeira tem a forma de 
uma pirâmide hexagonal regular com 21 cm de al-
tura. Essa peça é seccionada por um plano paralelo 
à base, de forma que o volume da pirâmide obtida 
seja 8 27 do volume da pirâmide original. 
A distância (em cm) da base da pirâmide até essa 
secção é um número: 
a) fracionário. 
b) primo. 
c) múltiplo de 3. 
d) quadrado perfeito. 
 
4. (Insper) 
No filme “Enrolados”, os estúdios Disney recriaram 
a torre onde vivia a famosa personagem dos contos 
de fadas Rapunzel (figura 1). Nesta recriação, po-
demos aproximar o sólido onde se apoiava a sua 
morada por um cilindro circular reto conectado a 
um tronco de cone, com as dimensões indicadas 
na figura 2, feita fora de escala. 
 
 
 
 
 
 
Para que o príncipe subisse até a torre, Rapunzel 
lançava suas longas tranças para baixo. Nesta ope-
ração, suponha que uma das extremidades da 
trança ficasse no ponto A e a outra no ponto C, 
onde se encontrava o rapaz. 
Considerando que a trança ficasse esticada e per-
feitamente sobreposta à linha poligonal formada 
pelos segmentos AB e BC, destacada em linha 
grossa na figura 2, o comprimento da trança de Ra-
punzel, em metros, é igual a 
a) 35. 
b) 38. 
c) 40. 
d) 42. 
e) 45. 
 
5. (G1 - ifsc) Suponha que o copo representado na 
figura abaixo tenha sido utilizado na Oktoberfest 
para servir chopp. Considerando que 3,π = é COR-
RETO afirmar que a capacidade total, em mL, 
desse copo é 
 
a) maior que 600 mL. 
b) entre 300 mL e 400 mL. 
c) maior que meio litro e menor que 0,6 L. 
d) entre 200 mL e 300 mL. 
e) menor que 200 mL. 
6. (Upf) Um reservatório de água tem formato de 
um cilindro circular reto de 3 m de altura e base 
com 1,2 m de raio, seguido de um tronco de cone 
reto cujas bases são círculos paralelos, de raios 
medindo 1,2 m e 0,6 m respectivamente, e altura 
1 m, como representado na figura a seguir. 
 
 
 
Nesse reservatório, há um vazamento que desper-
diça 
1
3
 do seu volume por semana. 
 
Considerando a aproximação 3π  e sabendo que 
3
1 dcm 1 ,= esse vazamento é de: 
a) 4.320 litros. 
b) 15,48 litros. 
c) 15.480 litros. 
d) 12.960 litros. 
e) 5.160 litros. 
 
7. (Fac. Pequeno Príncipe - Medici) Um enge-
nheiro está projetando uma caixa d'água de con-
creto em forma de tronco de pirâmide regular e 
reta, com as seguintes medidas internas: base me-
nor de lado 6 m, base maior de 16 m de lado e com 
altura da face lateral de 13 m. A capacidade de ar-
mazenamento da caixa d’água é de: 
a) 1.432.000 litros. 
b) 1.552 litros. 
c) 1.552.000 litros. 
d) 1.681,33 litros. 
e) 1.681.333 litros. 
 
8. (Uerj) Um recipiente com a forma de um cone 
circular reto de eixo vertical recebe água na razão 
constante de 31 cm s. A altura do cone mede 
24 cm, e o raio de sua base mede 3 cm. 
Conforme ilustra a imagem, a altura h do nível da 
água no recipiente varia em função do tempo t em 
que a torneira fica aberta. A medida de h corres-
ponde à distância entre o vértice do cone e a su-
perfície livre do líquido. 
 
 
 
 
 
Admitindo 3,π  a equação que relaciona a altura 
h , em centímetros, e o tempo t , em segundos, é 
representada por: 
a) 3h 4 t= 
b) 3h 2 t= 
c) h 2 t= 
d) h 4 t= 
 
9. (Insper) O rótulo de uma embalagem de suco 
concentrado sugere que o mesmo seja preparado 
na proporção de sete partes de água para uma 
parte de suco, em volume. Carlos decidiu preparar 
um copo desse suco, mas dispõe apenas de copos 
cônicos, mais precisamente na forma de cones cir-
culares retos. Para seguir exatamente as instru-
ções do rótulo, ele deve acrescentar no copo, inici-
almente vazio, uma quantidade de suco até 
a) metade da altura. 
b) um sétimo de altura. 
c) um oitavo da altura. 
d) seis sétimos da altura. 
e) sete oitavos da altura. 
 
10. (Uece) Um cone circular reto, cuja medida do 
raio da base é R, é cortado por um plano paralelo 
a sua base, resultando dois sólidos de volumes 
iguais. Um destes sólidos é um cone circular reto, 
cuja medida do raio da base é r. A relação exis-
tente entre R e r é 
a) 3 3R 3r .= 
b) 2 2R 2r .= 
c) 3 3R 2r .= 
d) 2 2R 3r .= 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Utilize o fragmento e as imagens abaixo como au-
xílio para responder à(s) quest(ões) a seguir. 
 
Existem variados tipos de blocos de concreto para 
o uso de contenção às ondas marinhas, em espe-
cial o Tetrápode – bloco criado na década de 1950 
e utilizado no molhe leste da Barra Cassino (Rio 
Grande – RS). 
Constituído em concreto maciço, o bloco é disposto 
de um eixo central, no qual são tangentes quatro 
cones alongados (patas) e arredondados, distribuí-
dos igualmente a 120 no espaço. Essas “patas” 
facilitam a conexão entre os blocos, tornando a es-
trutura mais estável. O centro de gravidade do Te-
trápode encontra-se na união das quatro “patas”, o 
que dificulta o balanço e o rolamento da carcaça. 
 
 
 
Imagens e Fragmento extraído de “Tipos de blocos 
de concreto para estrutura hidráulica de proteção 
às ondas marinhas e análise visual dos Tetrápodes 
da Barra de Rio Grande” (Adaptado). Disponível 
em: http://www.semengo.furg.br/2008/45.pdf Acesso: 
10 abr. 2015. 
 
11. (Ifsul) Suponha que cada “pata” do tetrápode 
tenha o formato ao abaixo. 
 
 
Considere também que se gasta 10% a mais do 
concreto utilizado nas 4 patas para “colar” as mes-
mas. 
Qual é o volume total de concreto, aproximado, ne-
cessário para fazer esse tetrápode? (Use 3,1)π = 
a) 34 m 
b) 36 m 
c) 310 m 
d) 312 m 
 
12. (Espm) Uma indústria de bebidas criou um 
brinde para seus clientes com a forma exata da gar-
rafa de um de seus produtos, mas com medidas re-
duzidas a 20% das originais. Se em cada garrafi-
nha brinde cabem 7 ml de bebida, podemos con-
cluir que a capacidade da garrafa original é de: 
a) 875 ml 
b) 938 ml 
c) 742 ml 
d) 693 ml 
e) 567 ml 
 
 
13. (Unifor) Um copo, em forma de cilindro circular 
reto de raio 5cm e altura 20cm, tem um nível h de 
água. O ângulo máximo que o fundo do copo forma 
com a horizontal, de modo que a água não trans-
borde é de 60 . O nível h da água é de: 
a) 20 2 3− 
b) 20 3 3− 
c) 20 5 3− 
d) 20 6 3− 
e) 20 7 3− 
 
14. (Ita) Considere o sólido de revolução obtido 
pela rotação de um triângulo isósceles ABC em 
torno de uma reta paralela à base BC que dista 0, 
25 cm do vértice A e 0, 75 cm da base BC. Se o 
lado AB mede 
2
1
cm,
2
π
π
+
 o volume desse sólido, 
em cm3, é igual a 
a) 
9
.
16
 
b) 
13
.
96
 
c) 
7
.
24
 
d) 
9
.
24
 
e) 
11
.
96
 
 
15. (Mackenzie) Para construir um funil a partir de 
um disco de alumínio de centro e raio 
retira-se do disco um setor circular de ângulo cen-
tral 
Em seguida, remove-se um outro setor circular, de 
raio Para finalizar, soldam-seas bordas 
 e O processo de construção do funil está 
representado nas figuras abaixo. 
 
 
 
A medida da altura do funil é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
16. (Enem) Uma cozinheira, especialista em fazer 
bolos, utiliza uma forma no formato representado 
na figura: 
 
 
 
Nela identifica-se a representação de duas figuras 
geométricas tridimensionais. 
Essas figuras são 
a) um tronco de cone e um cilindro. 
b) um cone e um cilindro. 
c) um tronco de pirâmide e um cilindro. 
d) dois troncos de cone. 
e) dois cilindros. 
 
17. (Espcex (Aman)) Um recipiente em forma de 
cone circular reto, com raio da base R e altura h, 
está completamente cheio com água e óleo. Sabe-
se que a superfície de contato entre os líquidos 
está inicialmente na metade da altura do cone. O 
recipiente dispõe de uma torneira que permite es-
coar os líquidos de seu interior, conforme indicado 
na figura. Se essa torneira for aberta, exatamente 
até o instante em que toda água e nenhum óleo es-
coar, a altura do nível do óleo, medida a partir do 
vértice será 
 
 
 
a) 
3
7
h
2
 
b) 
3
7
h
3
 
c) 
3
12
h
2
 
d) 
3
23
h
2
 
e) 
3
23
h
3
 
O R 16 cm,=
225 .θ = 
r 1 cm.=
AC BD.
2 39 cm
15 39
cm
8
55
cm
8
2 55 cm
15 55
cm
8
 
 
18. (Esc. Naval) A Marinha do Brasil comprou um 
reservatório para armazenar combustível com o 
formato de um tronco de cone conforme figura 
abaixo. Qual é a capacidade em litros desse reser-
vatório? 
 
 
a) 2
40
10
3
π 
b) 5
19
10
2
π 
c) 
49
10
3
π 
d) 4
49
10
3
π 
e) 3
19
10
3
π 
 
19. (Enem PPL) Nas empresas em geral, são utili-
zados dois tipos de copos plásticos descartáveis, 
ambos com a forma de troncos de cones circulares 
retos: 
 
- copos pequenos, para a ingestão de café: raios 
das bases iguais a 2,4cm e 1,8cm e altura igual 
a 3,6cm; 
- copos grandes, para a ingestão de água: raios das 
bases iguais a 3,6cm e 2,4cm e altura igual a 
8,0cm. 
 
Uma dessas empresas resolve substituir os dois 
modelos de copos descartáveis, fornecendo para 
cada um de seus funcionários canecas com a 
forma de um cilindro circular reto de altura igual a 
6 cm e raio da base de comprimento igual a y cen-
tímetros. Tais canecas serão usadas tanto para be-
ber café como para beber água. 
Sabe-se que o volume de um tronco de cone circu-
lar reto, cujos raios das bases são respectivamente 
iguais a R e r e a altura é h, é dado pela expressão: 
 
2 2
troncodecone
h
V (R r Rr )
3
π
= + + 
 
O raio y da base dessas canecas deve ser tal que 
y2 seja, no mínimo, igual a 
a) 2,664 cm. 
b) 7,412 cm. 
c) 12,160 cm. 
d) 14,824 cm. 
e) 19,840cm. 
 
20. (Udesc) Um recipiente de uso culinário com 16 
cm de altura possui o formato de um tronco de cone 
reto (conforme ilustra a figura) e está com água até 
a metade da sua altura. 
 
 
 
Sabendo que a geratriz desse recipiente é igual a 
20 cm e que o diâmetro de sua base é igual a 4 cm, 
classifique as proposições abaixo e assinale (V) 
para verdadeira ou (F) para falsa. 
 
( ) O volume de água no recipiente corresponde à 
quarta parte da quantidade necessária para 
enchê-lo totalmente. 
( ) Se a água do recipiente for retirada à taxa cons-
tante de 28 cm3 por segundo, então o tempo 
necessário para esvaziá-lo será superior a 
20 segundos. 
( ) Para aumentar 4 cm do nível de água no reci-
piente, é necessário acrescentar mais 364 π 
cm3 de água. 
 
A alternativa correta, de cima para baixo, é: 
a) V – F – F 
b) F – V – F 
c) F – V – V 
d) F – F – V 
e) V – V – F 
 
21. (Udesc) Uma caixa de um perfume tem o for-
mato de um tronco de pirâmide quadrangular regu-
lar fechado. Para embrulhá-la, Pedro tirou as se-
guintes medidas: aresta lateral 5 cm e arestas das 
bases 8 cm e 2 cm. A quantidade total de papel 
para embrulhar esta caixa, supondo que não haja 
desperdício e nem sobreposição de material, foi: 
a) 288 cm 
b) 2168 cm 
c) 280 cm 
d) 268 cm 
e) 2148 cm 
 
 
22. (Ufu) Considere um balde para colocação de 
gelo no formato de um tronco de cone circular reto 
apresentando as medidas indicadas na figura a se-
guir. 
 
 
 
Considerando que esse balde esteja com 25% de 
sua capacidade ocupada com gelo derretido (água) 
e, consequentemente, com um volume de água 
igual a 0,097π litros, qual é o valor (em cm) do raio 
da base maior R? 
a) 8,5 
b) 9 
c) 8 
d) 7,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [E] 
 
Sendo v o volume da embalagem menor, temos 
3
v 40
v 51,2mL.
100 50
 
=  = 
 
 
 
Resposta da questão 2: 
 [A] 
 
Cada face lateral de cada tronco de pirâmide é um 
trapézio de base menor 1 e base maior 2. Sendo 
h a altura do trapézio, pela análise espacial do 
tronco e utilizando o Teorema de Pitágoras, pode-
se escrever: 
2
2 2 2 1 5
h 1 h
2 2
− 
= + → = 
 
 
 
A área de cada um dos trapézios será: 
( )
facetrapez
2 1 5 2 3 5
S
2 4
+ 
= = 
 
A área lateral de cada tronco de pirâmide será: 
facetrapez
3 5
S 4 S 4 S 3 5
4
=  =  → = 
 
A área lateral dos dois troncos será igual a 6 5 e a 
área da base maior exposta (topo do monumento) 
será igual a 4. Assim a área total exposta será igual 
a 4 6 5.+ 
 
Resposta da questão 3: 
 [B] 
 
3 3 3
M M
m
M
V VH 21 27 21 21 3
h 14
8V h h 8 h h 2
V
27
     
=  =  =  =  =     
     
 
 
Portanto, a distância solicitada é: 
d H h d 21 14 d 7= −  = −  = (Número primo) 
 
Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
Considerando que a medida da trança será dada 
por: AB BC x 30,+ = + temos: 
 
 
 
2 2 2
x 3 4 x 5 m= +  = 
 
Logo, o tamanho da trança de Rapunzel será dado 
por: 
5 30 35 m.+ = 
 
Resposta da questão 5: 
 ANULADA 
 
Questão anulada no gabarito oficial. 
 
Vamos considerar que o copo tenha a forma de um 
tronco de cone circular de bases paralelas, com di-
âmetro da base maior igual a 100 mm e diâmetro da 
base menor igual 60mm, talvez a falta dessas con-
siderações seja o motivo para anular a questão. 
 
 
 
O volume V de um tronco de cone circular é dado 
pela seguinte fórmula: 
 
( )2 2
h
V R R r r
3
π=   +  + 
 
 
onde: 
R é a medida do raio da base maior, 
r é a medida do raio da base menor e 
h é a altura do tronco de cone. 
 
Portanto, o volume do copo será dado por: 
( )2 2
3
12
V 3 5 5 3 3
3
V 12 49
V 588 cm 588 mL
=   +  +
= 
= =
 
 
Portanto, se o enunciado tivesse apresentado to-
das as informações necessárias, a resposta correta 
seria 500mL V 600mL 0,5L V 0,6L,     ou 
seja, alternativa [C]. 
 
Resposta da questão 6: 
 [E] 
 
O volume do reservatório, em decímetros cúbicos, 
é dado por 
2 2 210
12 30 (12 12 6 6 ) 12960 2520
3
15480.
π
π

  +  +  +  +

 
 
Assim, tem-se que a resposta é 
1
15480 5.160 L.
3
 = 
 
Resposta da questão 7: 
 ANULADA 
 
Questão anulada no gabarito oficial. 
 
Esta questão foi anulada, pois no enunciado não foi 
discriminado o polígono das bases do tronco de pi-
râmide. Resolveremos a questão, considerando 
suas bases quadradas. 
 
 
 
Através do teorema de Pitágoras podemos encon-
trar o valor de k : 
2 2 2 2
k 5 13 k 144 k 12m+ =  =  = 
Considerando semelhança de Pirâmides, temos: 
x 3
8x 3x 36 5x 36 x 7,2
x 12 8
=  = +  =  =
+
 
 
O volume V do tronco é a diferença entre o volume 
da pirâmide maior e o volume da pirâmide menor: 
2 2 31 1
V 16 (12 7,2) 6 7,2 V 1552m 1.552.000 L
3 3
=   + −    = = 
 
Resposta da questão 8: 
 [A] 
 
Sejam h e r, respectivamente, a altura e o raio da 
base do cone semelhante ao cone de altura 24 cm 
e altura 3 cm . Logo, temos 
 
r 3 h
r .
h 24 8
=  = 
 
O volume desse cone é dado por 
 
2 3
31 h h
V h cm .
3 8 64
π
 
=     
 
 
 
Por outro lado, como a vazão da torneira é igual a 
3
1 cm s, segue-se que 
 
3
V 1 t t cm,=  = 
 
com t em segundos. 
 
Em consequência, encontramos 
 
3
3h
t h 4 t cm.
64
=  = 
 
Resposta da questão 9: 
 [A] 
 
Se V é o volume do copo e v é o volume de suco 
concentrado, então deve-se ter 
3v 1
k ,
V 8
= = 
 
com k sendo a razão de semelhança. Logo, se H 
é a altura do copo e h é a altura de suco no copo, 
então 
3
h h 1 H
k h .
H H 8 2
 
=  =  = 
 
 
 
Resposta da questão 10: 
 [C] 
 
Sejam v e 2v, respectivamente, o volume do cone 
de raio r e o volume do cone de raio R. 
 
 
Portanto, como os cones são semelhantes, temos 
 
3
3 3v r
R 2r .
2v R
 
=  = 
 
 
 
Resposta da questão 11: 
 [D] 
 
Calcularemos o volume de cada um dos trocos de 
cone, fazendo a diferença entre o volume do cone 
maior e o volume do cone menor, conforme nos 
mostra a figura abaixo: 
 
 
Os triângulo VPA e VOB são semelhantes, pode-
mos então escrever que: 
1
x x 12 x 1,5
x 1,5 1 x 1,5 2
=  =  =
+ +
 
 
Então o volume do tronco de cone será dado por: 
3
31 1 1 3
V 1 3
3 3 2 2
V
8
7
V
8
π π
π
π
π
 
=    −    
 
= −
=
 
 
Logo, o volume de concreto usado para a fabrica-
ção do tetrápode será dado por: 
7 10
V 4 1 3,5 1,1 3,5 3,1 1,1 11,935
8 100
π
π
 
=  + =   =   = 
 
 
 
Ou seja, V 12. 
 
Resposta da questão 12: 
 [A] 
 
Seja c a capacidade da garrafa original, em milili-
tros. 
 
Como os sólidos são semelhantes, tem-se que 
 
 
3
c 1
c 875 mL.
7 0,2
 
=  = 
 
 
Resposta da questão 13: 
 [C] 
 
Considere a vista lateral do copo inclinado. 
 
 
 
Como o raio do cilindro mede 5 cm, segue-se que 
AB 10 cm.= Agora, do triângulo retângulo ABC, 
vem 
 
AC
tg 60 AC 10 3 cm .
AB
 =  = 
 
Portanto, o resultado pedido é 
 
AC
h 20 (20 5 3 )cm.
2
= − = − 
 
Resposta da questão 14: 
 [C] 
 
 
 
No triângulo AMC, temos: 
 
2
2 2
2 1 1 1 1
x x e h 
2 2 2
π
π π π
 
+   + =  = = 
  
 
 
 
Volume do cilindro: 
2
3
C
3 1 9
V cm
4 16
π
π
 
=  = 
 
 
 
 
 
Volume de cada tronco de cone: 
2 3
3
T
1 1 1 1 3 3 13
V cm
3 2 4 4 4 4 96
π
π
    
 =    −  + =        
 
 
Portanto, o volume pedido será dado por: 
T
3
C
9 13 14 7
2 cm
16 96 48 24
V V – 2 V −  = ==  = 
 
Resposta da questão 15: 
 [E] 
 
Tem-se que 
 
 
 
Logo, 
 
 
e 
 
 
Daí, se é o raio maior do funil e é o raio menor 
do funil, então 
 
 
e 
 
 
Portanto, sendo a altura do funil e 
 a sua geratriz, pelo Teorema 
de Pitágoras, vem 
 
 
 
Resposta da questão 16: 
 [D] 
 
É fácil ver que o sólido da figura é constituído por 
dois troncos de cone. 
 
Resposta da questão 17: 
 [A] 
 
Como a superfície de contato entre os líquidos está 
inicialmente na metade da altura do cone, segue 
que a razão entre o volume de água e a capacidade 
V do recipiente é tal que 
 
2
2
3
H 0
H 0
v 1 V
v .
V 2 8
 
=  = 
 
 
 
Desse modo, o volume de óleo é dado por 
 
2H O
V 7V
V v V .
8 8
− = − = 
 
Portanto, quando toda a água e nenhum óleo es-
coar, a altura x atingida pelo óleo é tal que 
 
3
3
3
7V
x x 78
V h h 8
7
x h.
2
 
=  = 
 
 =
 
 
Resposta da questão 18: 
 [D] 
 
 
 
x 3
ADE ~ ABC x 15
x 10 5
Δ Δ  =  =
+
 
 
O volume V pedido (em m3) é a diferença entre os 
volumes dos cones de raios 5m e 3m, respectiva-
mente. 
 
2 3 3 41 1 490 49
V 5 25 3 15 m 10 L.
3 3 3 3
π
π π π=    −    = = 
 
Resposta da questão 19: 
 [C] 
 
Supondo que o raio da base das canecas deve ser 
tal que a capacidade de uma caneca seja maior do 
que ou igual à capacidade de um copo grande, te-
mos 
 
3
AOB 360 360 225 135 rad.
4
π
θ=  − =  −  =  =
3
AB AOB AO 16 12 cm
4
π
π=  =  =
3 3
CD AOB OC 1 cm.
4 4
π π
=  =  =
R r
2 R 12 R 6 cmπ π=  =
3 3
2 r r cm .
4 8
π
π =  =
h
AC OA OC 15 cm= − =
2
2 2 23 2025
h 15 6 h 225
8 64
22375
h
64
15 55
h cm.
8
 
= − −  = − 
 
 =
 =
 
 
2 2 2 2 2
2
2 2
8 4
y 6 (2,4 3,6 2,4 3,6) y 1,2 (4 9 6)
3 9
y 0,64 19
y 12,16 cm .
π
π

    + +      + +
  
 
 
 
Observação: Se o raio das canecas estiver ex-
presso em centímetros, então 2y será expresso 
em centímetros quadrados. 
 
Resposta da questão 20: 
 [C] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Sabendo que AD 16 cm= e que o recipiente está 
com água até a metade da sua altura, segue que 
AE ED 8 cm.= = Além disso, como AC 20 cm= e EB 
é base média do triângulo ACD, vem 
AB BC 10 cm.= = Desse modo, BE 6 cm= e 
CD 12 cm.= 
Sabendo ainda que AO DF 2cm,= = temos que o 
volume do recipiente é dado por 
 
2 2 2 2
3
AD 16
(BG BG AO AO ) (14 14 2 2 )
3 3
1216 cm .
π π
π
 
 +  + =  +  +
=
 
 
Por outro lado, o volume de água no recipiente é 
 
2 2 2 2
3
AE 8
(BG BG AO AO ) (8 8 2 2 )
3 3
224 cm .
π π
π
 
 +  + =  +  +
=
 
 
Assim, a quantidade necessária de água para en-
cher totalmente o recipiente é 
 
3
1216 224 992 cm .π π π− = 
 
Portanto, 
 
224 7 1
.
992 31 4
π
π
=  
 
Se a água do recipiente for retirada à taxa cons-
tante de 328cm por segundo, então o tempo neces-
sário para esvaziá-lo será 
 
224 224 3
24 20 s.
28 28
π 
 =  
 
Para aumentar 4 cm o nível de água no recipiente, 
é necessário acrescentar mais 
 
2 2 34
(11 11 8 8 ) 364 cm
3
π
π

 +  + = de água. 
 
Resposta da questão 21: 
 [E] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Sendo M o ponto médio de AD, e M’ o ponto médio 
de BC, segue que A 'B 4 1 3 cm.= − = Logo, como 
AB 5cm,= vem AA ' 4 cm.= 
Portanto, a quantidade total de papel utilizada para 
embrulhar a caixa, supondo que não haja desper-
dício e nem sobreposição de material, é igual a 
 
2 2 2 2
2
AD BC 2 8
AD BC 4 AA ' 2 8 4 4
2 2
148 cm .
+ +
+ +   = + +  
=
 
 
Resposta da questão 22: 
 [C] 
 
Como 0,097π litros correspondem a 
1
25%
4
= da 
capacidade do balde, temos que a capacidade do 
balde é igual a 34 0,097 L 0,388 L 388 cm .π π π = = 
Portanto, sabendo que a altura do balde mede 
12 cm e o raio da base menor mede 3 cm, vem 
 
 
 
2 2 212
388 (R 3R 3 ) R 3R 88 0
3
R 8 cm.
π
π = + +  + − =
 =