AULA_01_02_ FORÇA E MOMENTO

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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
AULA 1: FORÇA E MOMENTO
Prof. Alexandre Ramos
FORÇA
- A variação do estado de movimento de um corpo é chamada de
aceleração.
- Força é o agente responsável por alterar o estado de movimento
(velocidade) de um corpo.
Newton (N) = 1kg.m/𝑠2
- Unidades: Kilograma-força (kgf) = 9,8N
Dyna (dyn)= 0,00001𝑁 = 10−5N
FORÇA
“A resultante das forças aplicadas em um corpo é diretamente
proporcional ao produto da massa do corpo pela sua aceleração.”
(2ª Lei de Newton)
෍ Ԧ𝐹 =𝑚. Ԧ𝑎
m =5Kg 
Ԧ𝐹 = 15N 
Ԧ𝑎 = 3 𝑚/𝑠2
m =2Kg 
Ԧ𝐹 = 10N 
Ԧ𝑎 = 15 𝑚/𝑠2
m =8Kg 
Ԧ𝐹 = 15N 
Ԧ𝑎 = 5 𝑚/𝑠2
Ԧ𝐹 = 20N 
Ԧ𝐹 = 55N 
𝑅 = 10 + 20 = 30N 𝑅 = 55 - 15 = 40N 
FORÇA
- Força tem direção, sentido e intensidade (módulo), logo é uma
grandeza vetorial ( Ԧ𝐹).
- Como grandeza vetorial, a força pode ser decomposta nas
componentes (x, y e z)
𝑭𝒙
𝑭
𝑭
𝑭𝒚
𝑭𝒙
𝑭𝒚
𝑭𝒛
𝒙
𝒚
𝒙
𝒚
𝒛
Ԧ𝐹 = 𝐹𝑥 + 𝐹𝑦
Ԧ𝐹 = 𝐹𝑥 + 𝐹𝑦 + 𝐹𝑧Ԧ𝐹 = 𝐹𝑥Ԧ𝑖 + 𝐹𝑦 Ԧ𝑗
Ԧ𝐹 = 𝐹𝑥Ԧ𝑖 + 𝐹𝑦 Ԧ𝑗 + 𝐹𝑧𝑘
As componentes retangulares da Força Ԧ𝐹 são determinadas
usando a Lei do paralelogramo, de modo que:
A intensidade (módulo) dessas componentes são dados por:
𝐹𝑥 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐹𝑦 = 𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃
FORÇA
𝐹 = 𝐹𝑥
2 + 𝐹𝑦
2
𝜃 = arctg(
𝐹𝑦
𝐹𝑥
) 𝑭𝒙
𝑭
𝑭𝒚
𝒙
𝒚
𝜃
As componentes retangulares da Força Ԧ𝐹 são determinadas
usando a Lei do paralelogramo, de modo que:
A intensidade (módulo) dessas componentes são dados por:
𝐹 = 𝐹𝑥
2 + 𝐹𝑦
2 + 𝐹𝑧
2
𝐹𝑥 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛∅
𝐹𝑦 = 𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛∅
𝐹𝑧 = 𝐹𝑐𝑜𝑠∅
FORÇA
𝑭
𝑭𝒙
𝑭𝒚
𝑭𝒛
𝒙
𝒚
𝒛
𝜃
∅
As componentes retangulares da Força Ԧ𝐹 são determinadas
usando a Lei do paralelogramo, de modo que:
A intensidade (módulo) dessas componentes são dados por:
FORÇA
𝑭
𝑭𝒙
𝑭𝒚
𝑭𝒛
𝒙
𝒚
𝒛
𝛾
𝛼 𝛽
cos 𝛼 =
𝐹𝑥
𝐹
cos 𝛽 =
𝐹𝑦
𝐹
cos 𝛾 =
𝐹𝑧
𝐹
➢Esses números são conhecidos como os cossenos diretores de F.
FORÇA
Exemplo 1: Determine a força resultante e o ângulo entre ela e o eixo x.
𝟐𝟎𝑵
𝑭
𝟑𝟎𝑵
𝒙
𝒚
𝐹 = 𝐹𝑥
2 + 𝐹𝑦
2 𝜃 = arctg(
𝐹𝑦
𝐹𝑥
)
𝐹 = 202 + 302
𝐹 = 400 + 900
𝐹 = 1300
𝐹 = 36,05𝑁
𝜃 = arctg(
30
20
)
𝜃 = arctg(1,5)
𝜃 = 56,3°
𝟐𝟎𝑵
𝟑𝟔, 𝟎𝟓𝑵
𝟑𝟎𝑵
𝒙
𝒚
𝜃
56,3°
FORÇA
Exemplo 2: Determine as componentes da força.
𝟔𝟕𝑵
𝒙
𝒚
23°
𝑭𝒙
𝑭𝒚
𝐹𝑥 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐹𝑥 = 67𝑐𝑜𝑠23°
𝑭𝒙 = 𝟔𝟏, 𝟕𝑵
𝐹𝑦 = 67𝑠𝑒𝑛23°
𝑭𝒚 = 𝟐𝟔, 𝟐𝑵
𝟔𝟕𝑵
𝒙
𝒚
23°
𝟔𝟏, 𝟕𝑵
𝟐𝟔, 𝟐N
FORÇA
Exemplo 3: Determine as componentes da força e os ângulos diretores.
58N
𝑭𝒙
𝑭𝒚
𝑭𝒛
𝒙
𝒚
𝒛
23°
42°
𝐹𝑥 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛∅
𝐹𝑥 = 58𝑐𝑜𝑠23°𝑠𝑒𝑛42°
𝑭𝒙 = 𝟑𝟓, 𝟕𝑵
𝐹𝑦 = 𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛∅
𝐹𝑦 = 58𝑠𝑒𝑛23°𝑠𝑒𝑛42°
𝑭𝒚 = 𝟏𝟓, 𝟐𝑵
𝐹𝑧 = 𝐹𝑐𝑜𝑠∅
𝐹𝑧 = 58𝑐𝑜𝑠42°
𝑭𝒛 = 𝟒𝟑, 𝟏𝑵
𝐹 = 𝐹𝑥
2 + 𝐹𝑦
2 + 𝐹𝑧
2
𝐹 = (35,7)2+ (15,2)2+ (43,1)2
𝐹 = 3363,14 → 𝐹 = 58𝑁
cos 𝛼 =
𝐹𝑥
𝐹
=
35,7
58
= 0,62
𝛼 = arccos 0,62 = 51,7°
cos 𝛽 =
𝐹𝑦
𝐹
=
15,2
58
= 0,26
𝛽 = arccos 0,26 = 𝟕𝟒, 𝟗°
cos 𝛾 =
𝐹𝑧
𝐹
=
43,1
58
= 0,74
𝛾 = arccos 0,74 = 𝟒𝟐, 3°
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
AULA 2: MOMENTO
Prof. Alexandre Ramos
Momento de uma Força - Definição
➢ Quando uma força é aplicada a um corpo, ela produzirá uma tendência
de rotação em torno de um ponto que não está na linha de ação da força.
Essa tendência de rotação é denominada de momento de uma força ou
simplesmente momento.
➢ A tendência de rotação também é chamada de torque.
➢ Quanto maior a força ou a distância (braço de momento) maior é o efeito
da rotação.
Exemplos de Momento
Momento – Eixo z
Não há momento no tubo
Momento de uma Força– Formulação vetorial
Momento é uma grandeza vetorial. 
Direção: Perpendicular ao plano que contém 
o vetor 𝑭 e 𝒓 .
Sentido: Determinado pela regra da mão 
direita. 
➢ Rotação no sentido horário: Momento
negativo
➢ Rotação no sentido anti-horário: Momento
positivo
Formulação do vetor
𝑀 = Ԧ𝑟 𝑋 F =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝑟𝑥 𝑟𝑦 𝑟𝑧
𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧
Ԧ𝑟
F
Ԧ𝑟
F
M
𝑥
𝑦
𝑧
𝑀 = Ԧ𝑟 𝑋 F = 𝑟𝑦𝐹𝑧 − 𝑟𝑧𝐹𝑦 Ԧ𝑖 + 𝑟𝑧𝐹𝑥 − 𝑟𝑥𝐹𝑧 Ԧ𝑗 + 𝑟𝑥𝐹𝑦 − 𝑟𝑦𝐹𝑥 𝑘
Ԧ𝑖(𝑥)
𝑘(𝑧) Ԧ𝑗(𝑦)
𝑀 = 𝑟 . 𝐹 . 𝑠𝑒𝑛𝜃 (𝐼𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒)
𝜃
𝜃
Onde 𝜃 é o menor ângulo entre Ԧ𝑟 e Ԧ𝐹
Unidade de Momento: N.m
Se a força F é horizontal a distância r é vertical.
𝐹
𝑟
𝐹𝑟
𝑀 = 𝑟 . 𝐹 . 𝑠𝑒𝑛𝜃 (𝐼𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒)
Se a força F é vertical a distância r é horizontal.
Momento de uma Força
Determine o momento da força F = 4,−3, 2 𝑁 em relação à Ԧr = −2,−1, 3 𝑚.
Exemplo 1
𝑀 = Ԧ𝑟 𝑋 F = 𝑟𝑦𝐹𝑧 − 𝑟𝑧𝐹𝑦 Ԧ𝑖 + 𝑟𝑧𝐹𝑥 − 𝑟𝑥𝐹𝑧 Ԧ𝑗 + 𝑟𝑥𝐹𝑦 − 𝑟𝑦𝐹𝑥 𝑘
𝑀 = −1 . 2 − (3)(−3) Ԧ𝑖 + 3 4 − (−2)(2) Ԧ𝑗 + −2 −3 − (−1)(4) 𝑘
𝑀 = −2 + 9 Ԧ𝑖 + 12 + 4 Ԧ𝑗 + 6 + 4 𝑘
𝑀 = 7Ԧ𝑖 + 16Ԧ𝑗 + 10𝑘
𝑴 = (𝟕, 𝟏𝟔, 𝟏𝟎)
𝑀 = 72 + 162 + 102
𝑀 = 405
𝑴 = 𝟐𝟎, 𝟏𝑵𝒎
A força F age na extremidade da cantoneira mostrada na figura. Determine o
momento da força F em relação ao ponto O.
Exemplo 2
𝐹 = 400𝑁
𝑀 = 𝑟 . 𝐹 . 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑟 = 0,2𝑚
𝑀 = 0,2.400 . 𝑠𝑒𝑛(90°)
𝑀 = 80𝑁𝑚 (𝐴𝐻)
𝜃 = 90°
𝑟
𝑟
A força F age na extremidade da cantoneira mostrada na figura. Determine o
momento da força F em relação ao ponto O.
Exemplo 2
𝐹 = 400𝑁
𝑀 = 𝑟 . 𝐹 . 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑟 = 0,4𝑚
𝑀 = 0,4.400 . 𝑠𝑒𝑛(90°)
𝑀 = 160𝑁𝑚 (𝐻)
𝜃 = 90°
𝑟
𝑟
A força F age na extremidade da cantoneira mostrada na figura. Determine o
momento da força F em relação ao ponto O.
Exemplo 2
𝑀1 = 𝑟1 . 𝐹 . 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝒓𝟏 𝑟1 = 0,4𝑚
𝑀1 = 0,4.400 . 𝑐𝑜𝑠(30°)
𝑀1 = 138,6𝑁𝑚 (𝐻)
𝑀2 = 𝑟2 . 𝐹 . 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑟2 = 0,2𝑚
𝑀2 = 0,2.400 . 𝑠𝑒𝑛(30°)
𝑀2 = 40𝑁𝑚 (𝐴𝐻)
𝜃 = 30°
𝜃 = 30°
𝑀𝑅 = 𝑀1 +𝑀2
𝑀𝑅 = 138,6 − 40
𝑀𝑅 = 98,6 (𝐻)
𝒓𝟐
Momento de um Binário
➢ Um binário é definido como duas forças paralelas de
mesma intensidade, sentidos opostos e separadas por
um distância d.
➢ O efeito de um binário é proporcionar rotação ou
tendência de rotação em um determinado sentido.
Formulação escalar de um Binário 
O momento de um binário M é definido como tendo
uma intensidade de:
Binários Equivalentes
➢ Dois binários são ditos equivalentes se produzem o mesmo
momento.
𝑀1 = 30.0,4 = 12𝑁𝑚 𝑀2 = 40.0,3 = 12𝑁𝑚
Determine o momento da força aplicada em A de 40N relativamente ao ponto B.
Exercício 3
𝑀1 = 𝑟1 . 𝐹 . 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑟1 = 0,03𝑚
𝑀1 = 0,03.40 . 𝑠𝑒𝑛(20°)
𝑀1 = 0,41𝑁𝑚 (𝐴𝐻)
𝑀2 = 𝑟2 . 𝐹 . 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑟2 = 0,2𝑚
𝑀2 = 0,2.40 . 𝑐𝑜𝑠(20°)
𝑀2 = 7,52𝑁𝑚 (𝐻)
𝜃 = 20°
𝜃 = 20°
𝑀𝑅 = 𝑀1 +𝑀2
𝑀𝑅 = 7,52 − 0,41
𝑀𝑅 = 7,11𝑁𝑚 (𝐻)
Determine o momento das forças que atuam na estrutura mostrada em relação ao
ponto O.
Exercício 4
𝑟1 = 2𝑚
𝑀1 = 2.50 . 𝑠𝑒𝑛(90°)
𝑀1 = 100𝑁𝑚 (𝐻)
𝑟2 = 0𝑚
𝑀2 = 4. 0 . 𝑠𝑒𝑛(90°)
𝑀2 = 0𝑁𝑚
𝜃1 = 90°
𝜃2 = 0°
𝑟3 = 3. 𝑠𝑒𝑛(30°)𝑚
𝑀3 = 1,5.20 . 𝑠𝑒𝑛(90°)
𝑀3 = 30𝑁𝑚 (𝐴𝐻)
𝑟4 = (3. cos 30° + 4)𝑚
𝑀4 = 6,6.40 . 𝑠𝑒𝑛(90°)
𝑀4 = 264𝑁𝑚 (𝐻)
𝜃3 = 90°
𝜃4 = 90°
𝑀𝑅 = 𝑀1 +𝑀2 +𝑀3 +𝑀4
𝑀𝑅 = 100 + 0 − 30 + 264
𝑀𝑅 = 334𝑁𝑚 (𝐻)
𝑭𝟏
𝑭𝟐
𝑭𝟑
𝑭𝟒
A chave de boca é utilizada para soltar o parafuso. Determine o momento de cada
força em relação ao eixo que passa através do ponto O.
Exercício 5
Determine o momento das forças que atuam na estrutura mostrada em relação ao
ponto A.
Exercício 6
Determine o momento da força F em relação ao ponto P.
Exercício 7
O poste mostrado está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B.
Determine a intensidade do momento criado por essa força em relação ao suporte
no ponto A.
Exercício 9
FIM