tabelas,_graficos_e_formulario_de_transferencia_de_calor

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Equações da condução de calor em diferenças finitas para regime permanente. Condução 
bidimensional, grade uniforme, sem geração de calor.
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34
Função de radiação de corpo negro.
35
Formulário – Transferência de Calor – MEC 030
Formas de Transferência de Calor. Lei de Fourier. Equação da Condução de
Calor.
Usos/Modelo Equações
Primeira Lei da
Termodinâmica
q̇=ẇ+
∂ E
∂ t
Lei de Fourier
(Coordenadas
Cartesianas)
q̇=−kA
∂T
∂ x
q̇ ' '=−k
∂T
∂ x
Transferência de calor
por convecção
q̇=hA(T w−T ∞)
Transferência de calor
por radiação
q̇=εσ A(T w4 −T viz4 )
Coeficiente combinado
de transferência de
calor por convecção e
radiação
q̇=hc A(T w−T viz )
hc=(h+ εσ (T w2+ T viz2 )(T w+ T viz ))
Difusividade térmica α=
k
ρc
Equação Geral da
Condução
(Coordenadas
Cartesianas)
∂
∂ x (k
∂T
∂ x )+
∂
∂ y (k
∂T
∂ y )+
∂
∂ z (k
∂T
∂ z )+ q̇g' ' '=ρc
∂T
∂ t
Equação da Condução
com Condutibilidade
Térmica Constante
∂2T
∂ x 2
+
∂2T
∂ y2
+
∂2T
∂ z2
+
q̇g
' ' '
k
=
1
α
∂T
∂ t
Equação da Condução
Unidimensional
(Coordenadas
Cartesianas)
∂
∂ x (k
∂T
∂ x )+ q̇g' ' '=ρc
∂T
∂ t
∂2T
∂ x 2
+
q̇g
' ' '
k
=
1
α
∂T
∂ t
Equação Geral da
Condução
(Coordenadas
Cilíndricas)
1
r
∂
∂r (kr
∂T
∂r )+
1
r 2
∂
∂ θ (k
∂T
∂ θ )+
∂
∂ z (k
∂T
∂ z )+ q̇g' ' '= ρc
∂T
∂ t
Equação da Condução
com Condutibilidade
Térmica Constante
1
r
∂
∂r (r
∂T
∂ r )+
1
r 2
∂2T
∂ θ2
+
∂2T
∂ z2
+
q̇ g
' ' '
k
=
1
α
∂T
∂ t
Condução de Calor Unidimensional
Condução de Calor
Unidimensional em
Coordenadas
Cartesianas: Paredes
Simples
T ( x)=T 0+ (T L−T 0 )
x
L
dT
dx
=
T L−T 0
L
q̇=
kA
L (
T 0−T L)
36
Rt=
L
kA
T 0−T L=Rt q̇
Condução de Calor
Unidimensional em
Coordenadas
Cartesianas: Paredes
Compostas
q̇=
T 0−T L
LA
k AA
+
LB
k B A
+ .. .+
Ln
k n A
q̇=
T ∞ i−T ∞e
1
hi A
+
L A
k AA
+
LB
k B A
+ . ..+
Ln
k n A
+
1
he A
Rt=
1
h iA
+
LA
k A A
+
LB
k B A
+ .. .+
Ln
k nA
+
1
he A
q̇=UA (T∞ i−T∞ e)
U=
1
1
hi
+
L A
k A
+
LB
k B
+ . ..+
Ln
k n
+
1
he
Lei de Fourier
(Coordenadas
Cilíndricas)
q̇=−k ( 2π rL)
dT
dr
q̇=
2πkL
ln (re /ri)
(T i−T e)
q̇ '=
2πk
ln (re /ri)
(T i−T e)
Condução de Calor
Unidimensional em
Coordenadas
Cilíndricas: Paredes
Simples
T ( r )=T i+
T i−T e
ln( rire)
ln( rri)
Rt=
ln (r e/ri )
2π kL
Condução de Calor
Unidimensional em
Coordenadas
Cilíndricas: Paredes
Compostas
q̇=
T∞ i−T∞ e
1
hi (2πr0 L)
+
ln (r 1/r 0)
2πk AL
+
ln (r2 /r1)
2πk BL
+ . ..+
1
he (2πr n L)
Rt=
1
hi (2πr0 L)
+
ln (r1 /r0 )
2πk A L
+
ln (r 2 /r1)
2πkB L
+. ..+
1
he (2πr n L)
q̇=U i Ai (T∞ i−T∞e)=U e Ae (T∞ i−T∞ e)
U i=
1
1
hi
+
r 0 ln (r1 /r 0)
kA
+
r0 ln (r2 /r1)
kB
+
r0 ln (r3 /r 2)
kC
+. . .+
r0
he r n
Raio Crítico
q̇=
T i−T ∞
1
h (2π rL )
+
ln (r /r i)
2π kL
Rt=
1
h (2π rL)
+
ln (r /ri )
2πkL
37
r c=
k
h
Condução de Calor
Unidimensional em
Coordenadas
Cilíndricas com
Geração de Calor
d 2T
dx 2
+
q̇g
'''
k
=0
−k
dT
dx
∣x=L /2=h(T ( x=L / 2)−T∞)
−k
dT
dx
∣x=0=0
T ( x)=T ∞+
q̇g
'''
8k
L2[1−( xL/ 2)
2
]+ q̇g
'''
2h
L
Aletas
Equação da Condução k
d 2T
dx2
Ac−ph (T−T ∞)=0
Aletas de Seção
Constante
m=( hpkAc)
1
2
Aletas Longas
T ( x)=T∞+ (T b−T∞)e
−mx
q̇b=(kAchp)
1
2 (T b−T∞)
L>> 1/m ou L≥
tanh−1 (1−ε )
m
Aletas Finitas com
Ponta Isolada
T ( x)=T∞+ (T b−T∞)
cosh (m (L−x ))
cosh (mL )
q̇b=(kAchp)
1
2 (T b−T∞) tanh (mL ))
q̇b
q̇ ponta
=senh (mL )( kphAc)
1
2 >> 1
Aletas com Convecção
na Ponta
T ( x )−T∞
T b−T∞
=
cosh [m (L−x ) ]+ ( hmk )senh [m (L− x) ]
cosh (mL )+ ( hmk )senh (mL )
q̇b=(kAchp)
1
2 (T b−T∞)(senh (mL )+ (
h
mk )cosh (mL )
cosh (mL)+ ( hmk )senh (mL ) )
Aleta com Seção
Transversal não
Uniforme
q̇aleta=η q̇ideal
q̇ ideal=hA sup(T b−T∞)
q̇ total=q̇aleta N+ q̇semaleta
q̇ total=ηhA sup(T b−T ∞)N+ h (Atotal−Asup N ) (T b−T ∞)
q̇ total=[ βN (η−1)+ 1]hAtotal (T b−T∞)
q̇ total=η ' hAtotal (T b−T∞)
η '=βN (η−1)+ 1
38
β=
Asup
Atotal
Eficiência de uma aleta
η=
q̇b
q̇ideal
q̇ ideal=hAsup (T b−T∞)
Efetividade de uma
aleta
ε=
q̇b
q̇sem aleta
q̇ semaleta=hAc(T b−T∞)
Condução de Calor Transiente
Condução de Calor
Unidimensional
Transiente
∂
2T
∂ x 2
=
1
α
∂T
∂ t
Crescimento da
Camada Superficial
δ≈(αt )
1
2

2L
tt 
Condução de Calor
Transiente: Análise de
Parâmetros
Concentrados
T ( t )=T∞+ (T i−T ∞)e
−n(t−ti)
t=t i−
ln(T (t )−T∞T i−T∞ )
n
n=
hA
ρVc p
T 1 (t )=T i1−
T i1−T i2
1+
m1c p
1
m2 c p2
(1−e−nt )
T 2 (t )=T i2+
T i1−T i 2
1+
m2 c p
2
m1 c p1
(1−e−nt )
n=
hAs (m2c p2+ m1 c p1)
(m2 c p 2)(m1 c p1)
Número de Biot Bi=
hL
k
Número de Fourier Fo=
αt
Lc
2
Condição de Validade
da Análise Concentrada Bi=
hLc
k
⩽0,1 ; Lc=
V
A s
Radiação Térmica
Radiação térmica
incidente
G=αG+ ρG+τG ;
α+ ρ+τ=1
39
Lei de Stefan-Boltzmann Eb=σT s
4
Constante de Stefan-
Boltzmann  = 5,6710
-8 W/m2K4
Radiação térmica
emitida por uma
superfície real
E=εEb=εσ T s
4
Emissividade ε=
E (T )
Eb (T )
=
E (T )
σT 4
Emissão de um corpo
negro à temperatura Tviz
G=σT viz
4
Fluxo de calor por
radiação em uma
superfície cinza difusa
˙q ' ' rad=εE b−αG=εσ (T s4−T viz4 )
Lei de Planck para um
corpo negro
Ebλ (T )=
C1
λ5(e
c 2
λT −1)
C1 : 3,7415×10
−16 (Wm²)
C2 : 1, 4388×10
−2 (mK)
Potência emissiva total
do corpo negro
Eb=∫0
∞
Ebλdλ [W /m
2 ]
Poder emissivo total do
corpo negro,
compreendido entre
dois comprimentos de
onda λ1 e λ2
Eb (λ1→λ2)=∫λ1
λ2
Ebλdλ =∫0
λ 2
Ebλdλ −∫0
λ 1
Ebλdλ [W /m
2 ]
Lei do deslocamento de
Wien
λmáx=
2, 898×10−3 [mK ]
T
Trocadores de Calor
Taxa de transferência de
calor em um trocador
q̇=U i Ai ΔT ln=U e AeΔT ln
Resistência térmica e
coeficiente global de
troca de calor
Rt=
1
U i Ai
=
1
U e Ae
Resistência térmica em
um trocador duplo tubo
Rt=
1
hi (2πri L)
+
ln (re /ri)
2πk L
+
1
he(2πr e L)
Coeficiente global de
transferência referido à
área interna
U i=
1
1
hi
+
ri ln (re /ri)
k
+
ri
he re
Coeficiente global de
transferência referido à
área externa
U e=
1
1
he
+
re ln (re/ ri)
k
+
re
hi ri
Diferença média
logarítmica de
temperaturas
ΔT ln=
ΔT 2−ΔT 1
ln (
ΔT 2
ΔT 1
)
40
Correntes paralelas ΔT 1=T qe−T fe ΔT 2=T qs−T fs
Correntes opostas ΔT 1=T qe−T fs ΔT 2=T qs−T fe
Balanço de energia no
trocador de calor
ṁq c pq(T eq−T sq)=ṁ f c pf (T sf−T ef )
Transferência Difusiva de Massa
Massa Específica e
Concentração Molar
ρ=
m
V
; C=
n
V
ρi=μiC i
ρ=∑
i=1
n
ρi
C=∑
i=1
n
C i
Fração em Massa de
uma Espécie em uma
Mistura
mi=
ρi
ρ
∑
i=1
n
mi=1
Fração Molar de uma
Espécie em uma
Mistura
x i=
C i
C
∑
i=1
n
C i=1
Pressão Total e
Pressões Parciais em
uma Mistura
p=∑
i=1
n
pi
Mistura de Gases
Perfeitos
ρi=
p i
RiT
C i=
pi
R̄T
x i=
pi
p
Fluxo Difusivo
j⃗A
' '
=−ρDAB∇mA
j⃗A
' '
=−DAB ∇ ρA
j⃗A
*
=−CDAB ∇ x A
jAx
' ' =−DAB
∂ ρA
∂ x
Fluxo Difusivo para
Sistema Fixo de
Coordenadas
n⃗A= j⃗ A+ ρA V⃗
Conservação das
Espécies em
Coordenadas
Cartesianas
∂
2 ρA
∂ x 2
+
∂
2 ρA
∂ y2
+
∂
2 ρA
∂ z 2
+
ṁA
' ' '
D
=
1
D
∂ ρA
∂ t
∂
2C A
∂ x2
+
∂
2C A
∂ y 2
+
∂
2C A
∂ z2
+
ṅA
' ' '
D
=
1
D
∂C A
∂ t
41
Conservação das
Espécies em
Coordenadas
Cilíndricas
1
r
∂
∂r (r
∂ ρA
∂r )+ 1r 2
∂
2 ρA
∂ θ2
+
∂
2 ρA
∂ z2
+
ṁA
' ' '
D
=
1
D
∂ ρA
∂ t
1
r
∂
∂r (r
∂C A
∂r )+ 1r2
∂
2C A
∂θ 2
+
∂
2C A
∂ z 2
+
ṅA
' ' '
D
=
1
D
∂C A
∂ t
Difusão Molar
Unidimensional em
Coordenadas
Cartesianas
C A( x )=CAL
x
L
+ C A0
jAx
' ' *=−DAB
CAL−C A0
L
Difusão Molar
Unidimensional em
Coordenadas
Cilíndricas
C A(r )=CAL+
CA0−CAL
ln(rL r 0)
ln(rL r)
jAr
' ' *=−2πLDAB
CAL−CA0
ln(rL r0)
Difusividade mássica
de mistura binária de
gases
D (T,p )
D (T 0 ,p0 )
≃( TT 0)
1,75 p0
p para 
T
T 0
>> 1
Difusividade mássica
de mistura binária de
líquidos
D (T )
D (T 0)
≃( TT 0)
μ2(T 0)
μ2 (T )
Concentração molar de
um gás em um sólido
Condição de contorno:
C L=Sp A
Difusãoda espécie A,
pura, líquida em uma
mistura gasosa com a
espécie A como
componente
Condição de contorno:
p A=pSatA (T )
Difusão de mistura
gasosa com a espécie A
como componente para
mistura líquida com
espécie A como soluto
Condição de contorno:
Lei de Henry: x L=
pA
H
Difusão de espécie A,
substância pura em
mistura binária com
espécie A como soluto
Condição de contorno:
xL, solubilidade do soluto no solvente
Difusão em regime
transitório: difusão
transiente
unidimensional em
meio semi-infinito
∂
2C A
∂ y2
=
1
D
∂C A
∂ t
C (y,t )−C0
C∞−C 0
=erf ( y2 (Dt )1/2 )
Placa:
C0−C̄
C0−C∞
≃
8
π 2
exp(−π
2
4
D
L2
t)
Cilindro:
C0−C̄
C0−C∞
≃
4
b1
2
exp(−b12 Dre2 t) ; b1 = 2,405
42
Esfera:
C0−C̄
C0−C∞
≃
6
π 2
exp(−π 2 Dre2 t)
43
	Formas de Transferência de Calor. Lei de Fourier. Equação da Condução de Calor.
	Equações
	Condução de Calor Unidimensional
	Aletas
	Condução de Calor Transiente
	Radiação Térmica
	Trocadores de Calor
	Transferência Difusiva de Massa