Diferença de Potencial e Potencial Elétrico

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Diferença de Potencial e Potencial
Elétrico - Aula 4
7 de dezembro de 2020
Potencial elétrico, diferença de potencial, diferença de potencial em um
campo elétrico uniforme, energia potencial devido a duas cargas pontuais.
1 Diferença de Potencial e Potencial Elétrico
Quando uma carga de teste q0 é colocada em um campo elétrico E, a força elétrica sobre
a carga é:
F⃗ = q0E⃗
Quando a carga é movida dentro do campo elétrico, o trabalho realizado sobre a carga
pelo campo elétrico é igual e contrário ao trabalho realizado pela força externa que causa
o deslocamento.
Para um deslocamento infinitesimal ds, o trabalho realizado pelo campo elétrico é:
dW = F⃗ .ds⃗ = q0E⃗.ds⃗
Como o trabalho é igual ao inverso da variação da energia potencial ∆U , isso diminui
a energia potencial da carga de uma quantidade
1
dU = −q0E⃗.ds⃗
Para um deslocamento finito de uma carga de teste, entre os pontos A e B, a variação
na energia potencial é:
∆U = UB −UA = −q0∫
B
A
E⃗.ds⃗
A energia potencial por unidade de carga, U/q0, é chamada de potencial elétrico V .
Assim, o potencial elétrico em qualquer ponto do campo elétrico é:
V =
U
q0
Como a energia potencial é uma grandeza escalar, assim também o é o potencial
elétrico.
A diferença de potencial ∆V = VB − VA, entre os pontos A e B é definida como a
variação da energia potencial dividida pela carga de teste q0.
∆V =
∆U
q0
= −∫
B
A
E⃗.ds⃗ (1)
Note que a equação acima define a diferença de potencial entre dois pontos, ou seja,
somente as diferenças em V são significativas. O valor do potencial elétrico pode ser
estimado como zero em qualquer ponto. Costuma-se definir o potencial como zero em
um ponto muito distante das cargas que produzem o campo elétrico. Com esta escolha,
podemos dizer que:
O potencial elétrico em um ponto arbitrário é igual ao
trabalho requerido, por unidade de carga, para trazer
uma carga de teste positiva do infinito até este ponto.
Assim, se fizermos VA = 0 no infinito, então, o potencial em qualquer ponto P é dado
por:
2
marta.barroso
Realce
marta.barroso
Realce
VP = −∫
P
∞
E⃗.ds⃗
Desta forma, VP representa a diferença de potencial entre o ponto P e um ponto no
infinito.
Como a diferença de potencial é uma medida da energia potencial por unidade de
carga, a unidade de potencial no SI é J/C, que por definição é igual à unidade V olt (V ):
1 V ≡ 1
J
C
A unidade de energia normalmente usada em f́ısica atômica e nu-
clear é o elétron volt (eV):
1 eV = 1, 6 × 10−19 C.V = 1, 6 × 10−19 J
2 Diferença de Potencial em um Campo Elétrico
Uniforme
Considere um campo elétrico uniforme direcionado ao longo do eixo-y no sentido nega-
tivo, conforme apresentado na Figura 1.
Figura 1: Como o campo elétrico E⃗ está dire-
cionado para baixo, o potencial no
ponto B é menor que o potencial
no ponto A.
3
A diferença de potencial entre os pontos A e B, separados pela distância d é:
VA − VB = ∆V = −∫
B
A
E⃗.ds⃗
Como E é constante e o deslocamento d está na direção do campo, então:
∆V = −E ∫
B
A
ds⃗ = −Ed
O sinal menos resulta do fato de que o ponto B se encontra em um potencial menor
que o ponto A (VB < VA).
Agora suponha que uma carga q0 se move do ponto A para o ponto B. A variação em
sua energia potencial pode ser calculada como:
∆U = q0∆V = −q0Ed
Deste resultado, vemos que se q0 é positiva, ∆U é negativa. (observe a Figura 1).
Considere agora um caso mais geral, em que uma part́ıcula carregada se move entre
dois pontos quaisquer dentro de um campo elétrico uniforme direcionado ao longo do
eixo-x (veja Figura 2).
Figura 2: Como o campo elétrico E⃗ está dire-
cionado para a direita, o potencial
no ponto B é menor que o poten-
cial no ponto A.
∆V = −∫
B
A
E⃗.ds⃗ = −Es cos θ
4
Como s cos θ é igual à distância de A para C, então, a diferença de potencial entre os
pontos A e B é igual à diferença de potencial entre os pontos A e C, assim:
VA − VB = VA − VC ou VAB = VAC
Este resultado mostra que qualquer ponto em um plano perpendi-
cular a um campo elétrico uniforme possui o mesmo potencial.
Dá-se o nome de superf́ıcie equipotencial a qualquer superf́ıcie consistindo de uma
distribuição cont́ınua de pontos que possuem o mesmo potencial elétrico.
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Exemplo 1. Campo elétrico entre duas placas paralelas com cargas opostas – Uma
bateria de 12,0 V é conectada a duas placas paralelas, como mostrado na Figura 3. A
separação entre as placas é de 0,300 cm, e o campo elétrico entre as mesmas é uniforme.
Qual a magnitude do campo elétrico entre as placas?
Figura 3: Bateria de 12 V co-
nectada a duas placas
paralelas cujo campo
elétrico entre as mes-
mas possui magnitude
dada pela diferença de
potencial ∆V dividida
pela distância entre as
placas d.
R – O campo elétrico é direcionado da placa positiva para a placa negativa. A placa A
está ligada no potencial positivo da bateria, portanto está em um potencial igual a
12,0 V , enquanto a placa B está ligada no potencial negativo da bateria, portanto,
está em um potencial igual a zero. Assim, a magnitude do campo elétrico entre as
placas é:
∆V = −Ed⇒ E = −
∆V
d
= −
(VB − VA)
d
=
(VA − VB)
d
⇒ E =
(12,0 − 0) V
0,300 × 10−2 m
= (4,00 × 103) V /m
5
marta.barroso
Realce
—————–
Exemplo 2. Movimento de um próton em um campo elétrico uniforme – Um próton
é liberado em repouso no ponto A de um campo elétrico uniforme de magnitude 8,00 ×
104 V /m, direcionado ao longo do eixo-y (veja Figura 4). O próton se desloca 0,500 m,
na direção de E, até atingir o ponto B. (O sistema composto pelo próton e pelas placas,
na Figura 4 não interage com o ambiente, assim, o mesmo pode ser visto como um
sistema isolado).
Figura 4: Próton acelerado de A
até B na direção de E.
a – Encontre a diferença de potencial entre os pontos A e B;
b – Encontre a variação da energia potencial do próton para o referido deslocamento;
c – Aplique o prinćıpio da conservação da energia para encontrar a velocidade do
próton no ponto B.
R(a) – Como
∆V = −Ed, então
∆V = −(8,00 × 104) × 0,500 = −4,00 × 104 V
R(b) – Como
∆U = q∆V, então
∆U = e∆V = (1,60 × 10−19) × (−4,00 × 104)
⇒∆U = −6,40 × 10−15 J
6
R(c) – Pelo prinćıpio da conservação da energia, a variação da energia cinética é igual a
menos a variação da energia potencial, assim:
∆K = −∆U = 6,40 × 10−15 J
Assim,
∆K =
1
2
mv2 = 6,40 × 10−15
⇒ v =
√
2 × 6,40 × 10−15
1,67 × 10−27
= 2,77 × 106 m/s
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3 Potencial Elétrico e Energia Potencial Devido a Duas
Cargas Pontuais
Considere uma carga pontual positiva q isolada (Veja Figura 5). Lembre que esta carga
produz um campo elétrico radial.
Figura 5: Os dois ćırculos pontilhados repre-
sentam intersecções de superf́ıcies
equipotenciais com a página.
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Para encontrar o potencial elétrico em um ponto do campo localizado a uma distância
r da carga, temos:
VA − VB = −∫
B
A
E⃗.ds⃗
Como o campo elétrico devido à carga é dado por:
E⃗ = ke
q
r2
r⃗
em que r⃗ é um vetor unitário direcionado da carga para o ponto onde se quer medir o
potencial elétrico, assim, a quantidade E⃗.ds⃗ pode ser expressa como:
E⃗.ds⃗ = ke
q
r2
(r⃗.ds⃗)
O produto escalar
r⃗.ds⃗ = ds cos θ
pois r⃗ é unitário e θ é o ângulo entre r⃗ e ds⃗, como mostrado na figura. Note ainda que
ds cos θ é a projeção de ds⃗ em r⃗, assim:
ds cos θ = dr
Ou seja, qualquer deslocamento ds da carga produz uma variação dr na magnitude de
r.
Desta forma,
8
E⃗.ds⃗ = (ke
q
r2
)dr
Desta forma a expressão para a diferença de potencial é dada por:
VA − VB = −∫ Erdr = −keq∫
rB
rA
dr
r2
= −keq [
1
r
]
rB
rA
⇒ VB − VA = keq (
1
rB
−
1
rA
)
Este resultado é importante porque ele expressa que a diferença de potencial entre
quaisquer dois pontos A e B depende somente das respectivas distâncias entre esses
pontos e a carga q.
Desta forma, se
rA →∞⇒ VA → zero
Com esta escolha, o potencial elétrico devido a uma carga elétrica pontual,a qualquer
distância r da carga é:
V = ke
q
r
Esta equação mostra que V é constante para qualquer superf́ıcie esférica quando uma
carga pontual se encontra em seu centro.
O potencial elétrico em um dado ponto P devido a duas ou mais cargas pontuais é a
soma dos potenciais devido a cada uma delas, assim:
V = ke∑
i
qi
ri
9
——————
Exemplo 3. Potencial devido a duas cargas pontuais – Uma carga pontual q1 = 2 µC
está localizada na origem de um sistema de coordenadas, e uma outra carga pontual
q2 = −6 µC está localizada sobre o eixo-y, na posição (0, 3) m. Encontre o potencial
elétrico total devido a estas cargas no ponto P , cujas coordenadas são (4, 0).
R – Para o potencial devido a duas cargas, temos:
V = ke∑
i
qi
ri
= ke
q1
r1
+ ke
q2
r2
= ke (
q1
r1
+
q2
r2
)
V = 8,99 × 109 (
2 × 10−6
4
−
6 × 10−6
5
)
⇒ V = −6,29 × 103 V = −6,29 kV
——————
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4 Lista de Exerćıcios
1. A distância entre os eletrodos de uma vela de ignição é de 0,0600 cm. Para produzir
uma fáısca elétrica em uma mistura gasolina-ar, é necessário um campo elétrico de
3,00 × 106 V /m. Quando um carro é ligado, qual a menor diferença de potencial
fornecida pelo circuito de ignição do mesmo?
2. Calcule o módulo da velocidade de um próton que é acelerado a partir do repouso
por uma diferença de potencial de 120 V . mp = 1,67× 10−27 kg; e = 1,60× 10−19 C;
∆U = q∆V .
3. Um deutério (um núcleo composto de um próton e um nêutron) é acelerado por
uma diferença de potencial de 2,70 kV . (1,00 eV = 1,60 × 10−19 J); mn =mp;
a) Qual a energia que ele ganha?
b) Qual a sua velocidade se ele é acelerado a partir do repouso?
4. Quanto trabalho é realizado por uma bateria para mover uma quantidade de
elétrons igual ao número de Avogadro de um ponto onde o potencial elétrico é
igual a 9,00 V para um ponto de potencial igual a −5,00 V ? (NA = 6,00 × 1023)
5. A magnitude de um campo elétrico entre duas placas paralelas carregadas, sepa-
radas por uma distância d = 1,80 cm, é E = 2,40 × 104 N/C.
a) Encontre a diferença de potencial entre as duas placas;
b) Qual a energia cinética de um deutério que é acelerado a partir da placa
positiva, ao chegar na placa negativa?
6. Um elétron movendo-se paralelo ao eixo-x possui uma velocidade inicial v0 = 3,70×
106 m/s na origem. Sua velocidade é reduzida para v = 1,40×105 m/s em um ponto
x = 2,00 cm.
a) Calcule a diferença de potencial entre a origem e este ponto;
b) Em qual ponto o potencial é maior?
7. Um elétron move-se paralelo ao eixo-x e possui uma velocidade inicial vi = 3,70 ×
106 m/s. Sua velocidade é reduzida para vf = 1,40×105 m/s no ponto x = 2,00 cm.
(a) Calcule a diferença de potencial entre a origem e o pondo dado; (b) Qual ponto
possui maior potencial?
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8. As três cargas na figura abaixo se encontram nos vértices de um triângulo isósceles.
Calcule o potencial elétrico no ponto médio da base do triângulo, sabendo que
q = 7,00 µC e d = 2,00 cm.
9. Um dipolo elétrico consiste de duas cargas de igual magnitude e sinais opostos
separados por uma distância d = 2a, como mostrado na figura abaixo. O dipolo
se encontra no eixo-x e é centrado na origem. (a) Calcule o potencial elétrico no
ponto Py; (b) calcule o potencial elétrico no ponto Px.
Figura 6:
10. Dois condutores esféricos de raios r1 e r2, respectivamente, são separados por uma
distância muito grande comparada aos raios das mesmas. As esferas estão ligadas
por um fio condutor, como mostrado na figura abaixo. Depois do equiĺıbrio, a
carga da esfera de raio r1 é igual a q1 e a carga da esfera de raio r2 é igual a q2 e
as mesmas estão uniformemente carregadas. Encontre a relação entre os campos
elétricos E1 e E2 nas superf́ıcies das esferas.
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Figura 7:
5 Respostas aos exerćıcios
1. V = 1,8kV ;
2. v = 152 km/s;
3. a) ∆U = 2,7 keV ;
b) v = 509 km/s;
4. W = 1,35 MJ ;
5. a) V = 432 V ;
b) ∆U = 432 eV ;
6. a) V = −39 V ;
b) O potencial é maior na origem;
7. (a) Vx=2cm = −38,9 V ; (b) Na origem;
8. V = 11 MV ;
9. (a) VPy = 0;
(b) VPx = −2Ke
qa
(x2−a2) ;
10. E1E2 =
r2
r1
;
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