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[Resolvida] Lista de exercícios - Conservação do momento linear

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Questão 1. Em uma superfície paralela ao chão e sem atrito, um objeto de massa 𝑚 se desloca 
da esquerda para a direita com velocidade 2𝑣 até colidir com um objeto de massa 2𝑚 que se 
desloca de baixo para cima, na mesma superfície, com velocidade de 𝑣. Após a colisão, os dois 
objetos passam a se deslocar juntos. Calcule a energia ∆𝐸 dissipada na colisão. 
 
Questão 2. Um projétil de massa 3𝑚 é disparado, sobre o nível do solo, em uma trajetória 
parabólica que resultaria em um pouso a uma distância 𝑥. No entanto, em seu ponto mais alto, 
ele explode em dois fragmentos. Imediatamente após a explosão, um dos fragmentos, de massa 
2𝑚, tem uma velocidade momentânea igual à zero e, então cai em queda-livre rumo chão. 
Obtenha a distância 𝐷 em que o outro fragmento, de massa 𝑚, pousa. 
 
 Questão 3. Encontre uma expressão para o impulso 𝐽 transmitido por uma força dada por 𝐹(𝑡) = 
𝐹0𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) durante o intervalo de 𝑡 = 0 a 𝑡 = 𝜋⁄𝑎, sendo 𝐹0 e 𝑎 constantes. 
 
 Questão 4. O pêndulo balístico mede a velocidade de objetos que se movem rapidamente, 
como balas. Consiste em um bloco de madeira de massa 𝑀 suspenso por cordas verticais. Uma 
bala de massa 𝑚 atinge e se enterra no bloco, e o bloco se move até atingir uma altura máxima 
ℎ. Encontre uma expressão para a velocidade 𝑣 da bala. 
 
 Questão 5. Uma partícula tem velocidade inicial 𝑣0. Ela colide com uma segunda partícula, de 
mesma massa, que está inicialmente em repouso. A primeira partícula é desviada por um ângulo 
𝜑 e sua velocidade após a colisão é 𝑣. Por sua vez, a segunda partícula passa a se mover numa 
trajetória que forma um ângulo 𝜃 com a direção inicial da primeira partícula. Obtenha uma 
expressão para 𝜃 em termos de 𝑣0, 𝑣 e 𝜑. 
 
Questão 6. Encontre o centro de massa de uma barra curva em formato semicircular de raio 𝑅 e 
massa uniforme, ou seja, com densidade linear homogênea. 
Questão 7. Um homem de massa 𝑚 está em um barco de massa 𝑀. A partir de um estado 
inicialmente parado, o homem salta para a direita em uma direção exatamente horizontal. 
Imediatamente após o salto, observa-se que o barco se move para a esquerda com velocidade 𝑣. 
Quanto trabalho 𝑊 o homem executou? 
Obs: Em todas as questões use g para a aceleração da gravidade; 
 Conteúdo abordado nas questões: Sistemas de partículas, colisões e Movimento Rotacional. 
Usar somente fórmulas, teoremas, etc sobre o conteúdo abordado. 
Renato da Silva Viana
RESOLUÇÕES
Resolução 1.
Após a colisão, os objetos passam a se deslocar com velocidade V e ângulo θ em relação ao
eixo esquerda-direita. Em vista disso, as equações da conservação do momento linear
#”
P = cte.
nas direções esquerda-direita, representada pelo eixo x, e baixo-cima, representada pelo eixo y,
podem ser escritas, respectivamente, nas formas:{
Pi x = Pf x ⇒ m(2v) = (m+ 2m)(V cos(θ))⇒ 2mv = 3mV cos(θ)
Pi y = Pf y ⇒ (2m)v = (m+ 2m)(V sin(θ))⇒ 2mv = 3mV sin(θ)
Combinando as equações, faz-se notável que:
cos(θ) = sin(θ)⇒ tan(θ) = 1⇒ θ = 45◦
Logo:
2mv = 3mV cos(45◦)
2v = 3V
1√
2
⇒ V = 2v
√
2
3
Energia cinética inicial do sistema:
Ec i =
m(2v)2
2
+
(2m)v2
2
= 3mv2
Energia cinética final do sistema:
Ec f =
(3m)V 2
2
=
(3m)
2
(
2v
√
2
3
)2
=
4
3
mv2
A energia dissipada na colisão pode ser encontrada calculando-se a diferença entre as energias
cinéticas inicial e final do sistema de dois corpos:
∆E = Ec i − Ec f
= 3mv2 − 4
3
mv2
=
5
3
mv2 X
1
Renato da Silva Viana
Resolução 2.
A distância D é igual a distância percorrida pelo projétil antes de explodir mais uma parcela
percorrida pelo fragmento de massa m. Já que o projétil explodiu no seu ponto mais alto da
trajetória, então o caminho percorrido até esse ponto mede a metade do alcance horizontal que o
projétil teria se não explodisse. A parcela adicional percorrida pelo fragmento é igual ao produto
de sua velocidade horizontal, de imediatamente depois da explosão, pelo intervalo de tempo
decorrido entre o momento da explosão e o momento de pouso do fragmento. Considerando
que V é a velocidade horizontal do fragmento de massa m imediatamente depois da explosão e
que t é o tempo decorrido entre os momentos de explosão e pouso, com base nesse raciocínio,
pode-se escrever:
D =
x
2
+ V t (1)
No ponto mais alto da trajetória, a velocidade do projétil é horizontal vx, uma vez que a
componente vertical da velocidade nesse ponto é nula. Lembrando-se de que o fragmento de
massa 2m tem velocidade nula imediatamente depois da explosão, a conservação do momento
linear equaciona:
Pi = Pf
(3m)vx = (2m)0 +mV ⇒ V = 3vx (2)
Como a explosão não acelerou o fragmento de massa m verticalmente, então o seu tempo t de
queda é igual ao mesmo tempo de subida do projétil, que é a razão entre a velocidade vertical
inicial vy do projétil e a aceleração da gravidade g, ou seja:
t =
vy
g
(3)
Substituindo (2) e (3) em (1):
D =
x
2
+ (3vx)
(
vy
g
)
=
x
2
+ 3
vxvy
g
(4)
O alcance horizontal x do projétil, caso não houvesse explosão, é igual a velocidade horizontal
do projétil vezes o intervalo de tempo decorrido entre o momento do disparo e momento de
pouso. Contudo, esse intervalo de tempo é igual ao dobro do tempo de subida.
x = (vx)
(
2
vy
g
)
⇒ vxvy
g
=
x
2
(5)
Substituindo (5) em (4):
D =
x
2
+ 3
(x
2
)
= 2x X
2
Renato da Silva Viana
Resolução 3. Dispensada. (Resolvida antes de ser dispensada.)
O impulso pode ser obtido pela integral da força com respeito ao tempo:
J =
∫ tf
ti
F (t) dt
Para F (t) = F0 sin(at), ti = 0 e tf =
π
a
:
J =
∫ π
a
0
F0 sin(at) dt
=
[
−F0 cos(at)
a
]π
a
0
=
2F0
a
X
Resolução 4.
Pela conservação do momento linear para a colisão da bala no bloco de madeira, em que V é a
velocidade escalar do conjunto imediatamente depois da colisão, expressa-se:
mv = (m+M)V ⇒ v = m+M
m
V (1)
Depois que a bala atinge o bloco, o conjunto adquire uma energia cinética Ec que é completa-
mente convertida em energia potencial Ep quando o conjunto alcança a altura h:
Ec = Ep
(m+M)V 2
2
= (m+M)gh⇒ V =
√
2gh (2)
Substituindo (2) em (1):
v =
m+M
m
√
2gh X
Resolução 5.
Atribuindo m às massas das partículas e
#”
V à velocidade da segunda partícula após receber o
choque, pela conservação do momento linear:
m #”v0 = m
#”v +m
#”
V
#”v0 =
#”v +
#”
V ⇒ #”V = #”v0 − #”v
3
Renato da Silva Viana
Dados sentidos dos vetores, pode-se escrever:
#”
V = V (cos(θ), sin(θ))
#”v0 = v0(1, 0)
#”v = v(cos(ϕ), sin(ϕ))
Então:
V (cos(θ), sin(θ)) = v0(1, 0)− v(cos(ϕ), sin(ϕ))
= (v0 − v cos(ϕ),−v sin(ϕ))
Com efeito:
V cos(θ) = v0 − v cos(ϕ) V sin(θ) = −v sin(ϕ)
Fazendo-se a segunda equação sobre a primeira:
V sin(θ)
V cos(θ)
=
−v sin(ϕ)
v0 − v cos(ϕ)
tan(θ) =
v sin(ϕ)
v cos(ϕ)− v0
⇒ θ = arctan
(
v sin(ϕ)
v cos(ϕ)− v0
)
Para garantir θ > 0 rad:
θ =
∣∣∣∣arctan( v sin(ϕ)v cos(ϕ)− v0
)∣∣∣∣ X
ou, similarmente,
θ =
∣∣∣∣∣∣arctan
 sin(ϕ)
cos(ϕ)− v0
v
∣∣∣∣∣∣ X
Resolução 6. Dispensada.
Resolução 7.
O barco passa do estado de velocidade nula para o estado de velocidade v. Dessa forma, sua
variação de energia cinética é tal que:
∆Ec =
Mv2
2
− 0 = Mv
2
2
Conforme o teorema da energia cinética, o trabalho recebido por um corpo é igual a sua variação
de energia cinética. Destarte, o trabalho realizado pelo homem sobre o barco é:
W = ∆Ec =
Mv2
2
X BONS ESTUDOS!
4