LABORATÓRIO DE MATEMÁTICA E FÍSICA ATIVIDADE 4 (A4)

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Usuário CLEBERSON DIONI CIGERZA
Curso GRA1583 LABORATÓRIO DE MATEMÁTICA E FÍSICA GR1790211 -
202110.ead-29779044.06
Teste ATIVIDADE 4 (A4)
Iniciado 28/03/21 15:37
Enviado 28/03/21 16:07
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10 em 10 pontos  
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Pergunta 1
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resposta:
Dados dois vetores,  = (a x , a y , a z ) e  = (b x , b y , b z ), define-se como
produtor escalar, representado por , o número real a x b x 
+ a y b y + c x c y ou ao equivalente  em que θ é o ângulo compreendido
entre eles. Suponha, então, os vetores  = (2, 1, m),  = (m+2, –5, 2) e  = (2m, 8,
m). 
Para quais valores de m os vetores resultantes das operações  +  e   serão
ortogonais entre si? Assinale a alternativa correta.
m = -6 ou m = 3.
m = -6 ou m = 3.
Resposta correta. Justi�cativa: Para serem ortogonais entre si, é condição
necessária que o ângulo entre os vetores seja . Assim  e
   ou .
Pergunta 2
Dados dois vetores, e, o produto escalar entre eles é representado e definido por
 , em que  é o ângulo subentendido
entre eles. Suponha os pontos de coordenadas P(10k, 10, 0), Q(10k -1, 20K, 20) e
R(10, 30, -10) em um sistema de eixos cartesianos. 
Com base no exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s)
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
1 em 1 pontos
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Comentário
da
resposta:
I. (   ) Os pontos P, Q e R são distintos para qualquer k. 
II. (   ) Os pontos P, Q e R definem um triângulo. 
III. (   ) Se k = 1, o triângulo é retângulo no vértice P. 
IV. (   ) Se k = 1, a área do triângulo é aproximadamente 500 u.a. 
  
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, V, F.
V, V, V, F.
Resposta correta. Justi�cativa: Não há valor de k para o qual e
 e  o que implica que os pontos P, Q e R são
distintos e três pontos distintos em R 3 de�nem um triângulo. Se k = 1 ⇒
(-1, 10, 20)  (0, 20, -10) = 0 cuja conclusão é a de que os vetores são
ortogonais entre si e, portanto, o triângulo é retângulo em P, a sua área pode
ser calculada: Área = u.a.
Pergunta 3
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da
resposta:
Um teorema da geometria afirma que o volume de um tetraedro, quando definido
por meio de três vetores linearmente independentes, ,   e , pode ser expresso
como um produto misto do tipo . Assim, considere que os
pontos P(-10, 20, 0), Q(20, 10, -30), R(10, 10, 10) e S(30, -20, 30) definem os
vértices de um tetraedro. 
  
Assinale a alternativa que indica o volume desse sólido.
Resposta correta. Justi�cativa: Denominando   (20-(-10), 10-20, -30-
0),  (10-(-10), 10-20, 10-0) e   (30-(-10), -20-20, 30-0) temos, pelo
teorema, que X = u.v.
Pergunta 4
Uma grandeza relacionada à possibilidade de um corpo sofrer torção ou alterar
rotações é denominada torque. Matematicamente, é definida  em que 
 é a posição de aplicação da força  em relação ao eixo de rotação. Suponha a
situação seguinte em que uma força de 10 N, no sentido positivo do eixo x, é
1 em 1 pontos
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Comentário
da
resposta:
aplicada sobre uma barra AB de 2 m de comprimento alinhada ao eixo y. 
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
  
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e a assinale V para a(s)
verdadeira(s) e F para a(s) falsas. 
I. Nessa situação, o módulo do torque é . 
II. Uma das unidades de medida do vetor  é m.N. 
III. O vetor  é ortogonal, simultaneamente, a  e a . 
IV. A orientação de  coincide com a do vetor  no eixo z. 
  
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, V, V.
V, V, V, V.
Resposta correta. Justi�cativa: , porque X. Em
relação às unidades de medidas, [ ] = [ ] ⇒  [ ] =  = = [L] [F], que
é o produto de um comprimento por uma força, ou seja, pode ser metro x
Newton ou m.N. O vetor resultado de um produto vetorial é ortogonal aos dois
vetores multiplicadores. Pelos cálculos anteriores, , a direção do
vetor torque é na direção do eixo z, mas com sentido oposto ao do vetor .
Pergunta 5
No cálculo vetorial, a função gradiente é definida como a taxa de variação de uma
grandeza escalar por unidade de espaço. Dada uma função escalar , o seu
gradiente é definido por , em que ,  e  são vetores
canônicos. Vetores canônicos possuem módulo unitário, são mutuamente
ortogonais entre si e estão identificados com as direções dos eixos cartesianos x, y
1 em 1 pontos
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da
resposta:
e z. 
  
A partir do exposto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
O gradiente de uma função escalar é um vetor.
PORQUE
A grandeza possui módulo, direção e sentido.
  
A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justi�cativa
correta da I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma
justificativa correta da I.
Resposta correta. Justi�cativa: Esta é a própria de�nição de uma grandeza
vetorial. A função  identi�ca o módulo, a direção e o
sentido em que a função escalar  apresenta a maior taxa de variação por
unidade de comprimento em um dado ponto de coordenadas .
Pergunta 6
Resposta
Selecionada:
Pela geometria euclidiana, três pontos distintos, P, Q e R, definem um plano, e suas
coordenadas coincidem com os vértices de um triângulo. Além disso, o produto
  é definido  em que  é valor do ângulo entre os vetores.
Considere os pontos de coordenadas seguintes em um sistema de eixos
cartesianos: A(6, 9, 3), B(6, 3, -3) e C(6, 6, -6). 
Com base no exposto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre
elas. 
I. Os pontos A, B e C definem um triângulo retângulo. 
PORQUE 
II. O produto escalar .
  
A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justi�cativa
correta da I.
1 em 1 pontos
Resposta
Correta:
Comentário
da
resposta:
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma
justificativa correta da I.
Resposta correta. Justi�cativa: São três pontos distintos em ℝ 3 
o que de�ne os vértices de um triângulo. O produto escalar = (0, -6, -6) 
 (0, -3, 3) = . Signi�ca que os vetores 
 e  são ortogonais entre si e implica que o triângulo é retângulo em B.
Pergunta 7
Resposta
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da
resposta:
Segundo uma propriedade da geometria vetorial, o produto misto  está
relacionado ao volume do paralelepípedo definido por esses vetores. Considere os
pontos seguintes e as suas coordenadas em um espaço euclidiano ℝ 3 : P(0, 1, 1),
Q(1, 0, 2), R = (1, -2, 0) e S(-2, 2, -2). Eles definem os vetores  = (1, -1, 1),  =
(1, -3, -1),  = (-2, 1, -3), dentre outros. 
A respeito desses vetores, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre
elas. 
I. Pertencem ao mesmo plano. 
PORQUE 
II. .
  
A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justi�cativa
correta da I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma
justificativa correta da I.
Resposta correta. Justi�cativa: Pelo cálculo do produto misto
 X = 0. Então, o volume do paralelepípedo de�nido por esses
vetores é nulo. Isso só pode ocorrer se os vetores pertencem ao mesmo plano.
Implica que os quatro pontos são coplanares e quaisquer vetores de�nidos por
eles também serão coplanares.
Pergunta 8
Sejam  e  vetores em um plano cujo ponto O é origem comum a ambos. Ao
vetor  é permitido girar em torno de O, de modo que define um ângulo  com .
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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Comentário
da
resposta:
O produto escalar entre  e , representado pela notação , é o valor numérico
 . O produto vetorial entre  e , representado pela notação , é o
vetor (a y b z-a z b y )  + (a z b x -a x b z )  + (a x b y -a y b x )  que possui
módulo . 
 Considere os gráficos seguintes: 
  
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Os valores numéricos dos produtos  e  podem ser representados, em
função de , respectivamente, pelos gráficos:
IV e III.
IV e III.
Resposta correta. Justi�cativa: As variações numéricas dos produtos escalar e
vetorial entre  e são, respectivamente, cossenoidais ou senoidais. Ambas as
variações possuem amplitude 2ab, considerando-se que  = a e  = b e,
portanto, estão representados pelos grá�cos IV e III.
Pergunta 9
Os vetores ,  e , na figura a seguir, podem ser indicados  = (16, 30 o ) em
coordenadas polares, ou  = (10, 0) e  = (-25, 30) em coordenadas cartesianas.
Suponha que eles representem deslocamentos consecutivos de um corpo,
 , a partir do ponto de origem (0, 0). 
 
1 em 1 pontos
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Comentário
da resposta:
Fonte: Elaborada pelo autor. 
  
Assinale a alternativa que indica a posição final do corpo.
(-15+8 , 38).
(-15+8 , 38).
Resposta correta. Justi�cativa: O vetor deslocamento total do corpo é  = (R x,
R y) com R x = 10 + 16cos30 o - 25 e R y = 0 + 16sen30 o 
+ 30, por conversão das coordenadas polares do vetor  em coordenadas
cartesianas. Assim, a posição �nal do corpo é (0,0) +  = (-15+ 8 , 38).
Pergunta 10
A figura a seguir representa um móvel que percorre uma trajetória em forma de
segmento circular AB, no sentido anti-horário, no intervalo de tempo de 1
segundo. O raio R da trajetória possui valor R = 2 metros. Os vetores  e  são
vetores canônicos e possuem módulo de valor unitário. 
  
  
1 em 1 pontos
Domingo, 28 de Março de 2021 16h08min22s BRT
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Comentário
da
resposta:
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Assinale a alternativa que indica os valores do módulo da velocidade vetorial média
e da velocidade escalar média, respectivamente.
3,7 m/s e 4,7 m/s.
3,7 m/s e 4,7 m/s.
Resposta correta. Justi�cativa:  e . Sendo
, então o módulo da
velocidade vetorial média é m/s. A velocidade escalar média no
percurso AB, no mesmo período  = 1 s é  = 4,7 m/s.