14- Regra de três simples e composta

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Nome da Matéria: Matemática Essencial
Aula: 14
Data: 04/06
ESTUDANTE: __________________________________________________
DOCENTES: Humberto Costa/ Ana Paula
Assunto a ser trabalhado
Regra de três simples e composta
1
Na ultima aula vimos os conceitos de razão e proporção e usamos a técnica da regra de três simples para resolver as questões de proporção, em sua maioria envolvendo escala. Como de costume, vamos começar definindo a regra de três matematicamente:
A Regra de Três simples e composta é a proporção entre duas ou mais grandezas diretamente ou inversamente proporcionais
		
Notem que é necessário que sejam apresentados três valores (A, B,C) para que seja possível descobrir o quarto valor (X), daí vindo o nome “Regra de Três”.
			 
Podemos entender regra de três como o método para determinar o valor de uma incógnita quando são apresentados duas ou mais razões, sendo elas diretamente ou inversamente proporcionais.
Na regra de três simples, vamos multiplicar o canto superior esquerdo pelo inferior direito, e igualar à multiplicação do canto superior direito, pelo inferior esquerdo (meio pelos extremos).
E o que significa dizer que duas razões são diretamente proporcionais?
Grandezas diretamente proporcionais são aquelas em que se aumentarmos ou diminuirmos uma das grandezas, faremos o mesmo com a outra. Por exemplo:
“A cada 10 questões feitas da ficha de matemática essencial, eu vou assistir 2 episódios de Friends”
	Questões feitas:	Episódios assistidos:	
		10			2
Notamos então que as grandezas (Questões feitas e Episódios assistidos) são diretamente proporcionais. Então se fizermos o dobro de questões, vamos assistir o dobro de episódios, se fizermos metade das questões, assistiremos metade dos episódios combinados.
	Questões feitas:	Episódios assistidos:			10			2
		20			x
	
	10*x = 20*2
	x = 4 episódios
E o que significa dizer que duas razões são inversamente proporcionais?	
Grandezas inversamente proporcionais são aquelas em que se aumentarmos ou diminuirmos uma das grandezas, nós faremos o oposto na outra. Por exemplo:
“Se eu fizer a ficha de matemática essencial com mais 2 amigos, terminaremos ela em 30 minutos.”
	Pessoas fazendo a ficha	Tempo
		3			 30min		
Notamos então que as grandezas (Pessoas fazendo a ficha e Tempo) são inversamente proporcionais. Então se o dobro de pessoas fizer a ficha, vai levar metade do tempo para ela ser finalizada.
Já que as grandezas são inversamente proporcionais é preciso inverter uma das grandezas para realizar a regra de três.
	ANTES DE INVERTER
	Pessoas fazendo a ficha	Tempo
		3			 30min	
		6			 x
	
	DEPOIS DE INVERTER (Grandeza tempo)
	Pessoas fazendo a ficha	Tempo
		3			 x	
		6			 30min
	
	6*x = 3*30
 	x = 15 min
Já vimos como resolver problemas matemáticos com a regra de três simples, mas então pra que serve a regra de três composta?
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Exemplo:
Em 8 horas, 4 pessoas produzem 16 origamis para um doar para um orfanato. No entanto 2 pessoas ficaram doentes, e a meta de origamis foi dobrada, quanto tempo levara para que 2 pessoas façam a nova meta de origamis?
Para resolver questões desse tipo primeiro vamos montar uma tabela com todas as razões que sabemos:
	
	Pessoas	Horas		Origamis
					
Após montada a tabela, vamos analisar qual das grandezas a variável estar, e assim isola-la. As outras grandezas vão se multiplicar:
	Horas		Pessoas	Origamis
	 	=		x	
Agora, basta tomar a grandeza isolada como referência, e observar se ela é direta, ou inversamente proporcional às outras grandezas. Se for inversamente proporcional, basta inverte-la. Note que a grandeza pessoas é inversamente proporcionais ao Tempo, enquanto para com a grandeza Origamis, ela é diretamente proporcional.
	 = x	 
	 = 
	
	x = 32 horas
Exercícios de fixação:
1- Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54 dias?
2- Com 4 latas de tinta pintei 280 m² de parede. Quantos metros quadrados poderiam ser pintados com 11 latas
dessa tinta?
3- Uma vara de 3 m em posição vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse mesmo instante, um prédio projeta
uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prédio?
4- Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a nota obtida por
Cristina?
5- A combustão de 48 g de carbono fornece 176 gás carbônico. A combustão de 30 g de carbono fornece quantos
gramas de gás carbônico? 
6- Dez operários constroem uma parede em 5 horas. Quantos operários serão necessários para construir a mesma
parede em 2 horas?
7- Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo levariam 6 pedreiros para fazerem o mesmo muro?
8- Um ciclista percorre 75 km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem de 200 km,
pedalando 4 horas por dia?
9- Em 30 dias, uma frota de 25 táxis consome 100000 L de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 táxis
consumiria 240000 de combustível?
10- Em um problema de regra de três composta, entre as variáveis X, Y e Z, sabe-se que, quando o valor de Y aumenta,
o de X também aumenta; mas quando Z aumenta, o valor de X diminui, e que para X=1 e Y=2, o valor de Z=4.
O valor de X, para Y=18 e Z=3 é?
Gabarito Exercícios de fixação:
1- 6 minutos 
2- 770m²
3- 9m
4- Nota 8
5- 110g
6- 25 operários
7- 96 horas
8- 4 dias
9- 20cm
10- 12
Exercícios de vestibulares:
1)(ENEM 2012) Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2kg de massa corporal a cada 8 horas.
Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de:
a) 12 kg.
b) 16 kg.
c) 24 kg.
d) 36 kg.
e) 75 kg.
2)(ENEM 2013) Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m³. Quando há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de 500 m³, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente.
A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a
a) 2.
b) 4.
c) 5.
d) 8.
e) 9.
Texto para questão 3:
Você pode adaptar as atividades do seu dia a dia de uma forma que possa queimar mais calorias do que as gastas normalmente, conforme a relação seguinte:
- Enquanto você fala ao telefone, faça agachamentos: 100 calorias gastas em 20 minutos.
- Meia hora de supermercado: 100 calorias.
- Cuidar do jardim por 30 minutos: 200 calorias.
- Passear com o cachorro: 200 calorias em 30 minutos.
- Tirar o pó dos móveis: 150 calorias em 30 minutos.
- Lavar roupas por 30 minutos: 200 calorias.
Disponível em: http://cyberdiet.terra.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).
3)(ENEM 2011) Uma pessoa deseja executar essas atividades, porém, ajustando o tempo para que, em cada uma, gaste igualmente 200 calorias.
A partir dos ajustes, quanto tempo a mais será necessário para realizar todas as atividades? 
a) 50 minutos.
b) 60 minutos.
c) 80 minutos.
d) 120 minutos.
e) 170 minutos.
4)(UFMG) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas adquiridas seria suficiente para quantos dias? (Questão aberta)
5)(UFRGS-RS) Se foram empregados 4 kg de fios para tecer 14 m de uma maquete de fazenda com 80 cm de largura, quantos quilogramas serão necessários para produzir 350 m de uma maquete de fazenda com 120 cm largura? (Questão aberta)
6) Enem - 2017
Às 17 h 15 min começa uma forte chuva, que cai com intensidade constante. Uma piscina em forma de um paralelepípedo retângulo, que se encontrava inicialmente vazia, começa a acumular
a água da chuva e, às 18 horas, o nível da água em seu interior alcança 20 cm de altura. Nesse instante, é aberto o registro que libera o escoamento da água por um ralo localizado no fundo dessa piscina, cuja vazão é constante. Às 18 h 40 min a chuva cessa e, nesse exato instante, o nível da água na piscina baixou para 15 cm.
O instante em que a água dessa piscina terminar de escoar completamente está compreendido entre
a) 19 h 30 min e 20 h 10 min
b) 19 h 20 min e 19 h 30 min
c) 19 h 10 min e 19 h 20 min
d) 19 h e 19 h 10 min
e) 18 h 40 min e 19 h
7) UERJ - 2014
Observe no gráfico o número de médicos ativos registrados no Conselho Federal de Medicina (CFM) e o número de médicos atuantes no Sistema Único de Saúde (SUS), para cada mil habitantes, nas cinco regiões do Brasil.
O SUS oferece 1,0 médico para cada grupo de x habitantes.
Na região Norte, o valor de x é aproximadamente igual a:
a) 660
b) 1000
c) 1334
d) 1515
Gabarito Exercícios de vestibulares:
1- A
2- C
3- B
4- 15 dias
5- 150kg de fios
6- D
7- D