Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Rômulo Oliveira Albuquerque

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.. 
Analise de Circuitos 
e•n Corrente Alternada 
~· . 
Dados de Catalogat;:ao na Publicat;:ao (CIP) lnternacional 
(Camara Brasileira do Livro, SP, Brasil) 
A313a 
88- 2396 
Albuquerque, Romulo Ol iveira, 1954-
Analise de cir cuitos em cor rentes alternada I Ro-
mulo Oliveira Albuquerque. -- Sao Paul o : Erica, 
1989. 
1. Circui t os elet ricos - Analise 2 . Correntes 
eletricas a l ternadas I. Titulo. 
CDD- 62 1. 3192 
-621.31913 
Indices para catalago sistematico: 
1. Analise de c i rcui t os Engenharia eletrica 
621.3 192 
2. Correntes al t ernadas 
62 1.31913 
Engenharia eletrica 
Eng.0 Romulo Oliveira Albuquerque 
Analise de Circtaitos 
ean Corrente Alternada 
Ano: 1993 92 91 90 89 
Edi~ao: I 0 9 8 7 6 5 4 3 2 I 
LIVROS ERICA EDITORA L TDA. 
TODOS OS DIRETTOS RESERVAOOS. Proibida a reprodu~ao 
total ou parcial, por qualqucr meio ou processo, especial mente 
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de dados e a inclusao de qualqucr parte da obra em qualquer pro-
grama juscibernetico. Essas proibi~6es aplicam-se tambem as ca-
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DEDICAT6RIA 
Dedico esta obra aos meus pais Jose e Maria e aos meus 
Cleveland, Vinicius, Arecia e Heraclito (em memoria). 
irmaos 
PREFACIO 
Este livro surg~u ap6s muita reflexao a respeito de como 
tratar o assunto Analise de Circuito em Corrente Alternada. que 
pode ser feita graficamente, atraves da representa~ao dos fasQ 
res de tensao e corrente ou considerando- se a representa~ao de· 
tensao, corrente e impedancia por numeros complexos. A maioria 
dos livros sobre o assunto considera apenas uma das forma s de 
abordagem, nao considerando a o utra. Consideramos importantes 
as duas , sendo que a representa~ao fasorial permite-nos enxergar 
melhor a rela~ao das fases de tensao e Corrente, porem e limit£ 
da na resolu~ao de ci rcu itos mais complicados. A analise, usa~ 
do numeros complexes, permite resolver com mais facilidade os 
circuitos com varias malhas, porem, a analise de urn circuito PQ 
de se tornar apenas urn exercicio da matematica, se perdermos a 
rela~ao existen te entr e urn numero complexo e o fasor represent£ 
tivo de corrente ou tensao. 
Alguns dos exercicios resolvidos por analise fasorial sao 
resolvidos pelo outro metodo, dando condi~oes ao leitor de av£ 
lia-los. 
0 Autor 
SUMARIO 
1 . Gra ndeza s Senoida i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 
1.1 
1.2 
1.3 
Introdu<_;:ao .. ... . . ..................... . ... . 
Diagrama Fasorial . ... . ... .. ... . ....... . ... . 
Valor Eficaz ... ... . ... . ... . ....... .. .. .. .. . 
11 
12 
14 
2. Eletromagnetis mo . . .... .. ... ... . ... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • 2 2 
2. 1 
2 . 2 
2 . 2 . 1 
2. 2. 2 
2.2.3 
2 . 3 
2.4 
Magnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 
Campo Magnetico de u ma Corrente El etrica ... 23 
Campo de u rn Condutor Retilineo ..... .. .... . .. 23 
Campo de uma Espi r a Ci rcular . . .. ... ... .. . .. 24 
Campo Mag netico de urn Solenoide ....... . .... 24 
For<_;:a Ele t romotriz Induzida ........... . . . .. 25 
Transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 
3 . Circuito em C.A. -Analise Fasorial ..................... 32 
3 . 1 
3 . 2 
3 . 3 
3 . 4 
3 . 5 
3 . 6 
3 . 7 
3 . 8 
3 . 9 
3 . 10 
3.10 .1 
3.11 
3 . 12 
3.13 
Indu tor e Indut~ncia ...................... . 
Circuito em C . A. com Indut~ncia Pura ...... . 
Circui to RL Ser ie ..................... ... . . 
Fa tor de Potenc ia ......................... . 
Cir cuito RL Paralelo .... . ... . ......... . ... . 
Capaci t o r - Capacitanc i a ..... . .......... . . . 
Cir cuito C . A. com Capac it~ncia Pura ....... . 
Ci rcuito RC Serie ................... . ..... . 
Ci rcuito RC Paralelo . .... .. . .. ............ . 
Circui to RLC Serie . . . . ... . ... . ............ . 
Largura de Faixa- Fator de Qual i dade ..... . 
Circui to RLC Pa r a l elo .... . ..... . ... . . .. ... . 
Corre<_;:ao do Fator de Potencia . .. .......... . 
Circuitos Mistos .. . ......... . ... . .... . . . .. . 
32 
33 
36 
40 
45 
49 
52 
55 
60 
63 
65 
69 
73 
79 
4 . Circuitos em C.A . - Ana lis e com NUmero s Co mplexes . .... . . 90 
4 . 1 
4.2 
4 . 2. 1 
4. 2 . 2 
4.3 
4 . 3.1 
4. 3. 2 
4. 3 . 3 
Numeros Complexes .......... . .............. . 
Opera<_;:oes com Numeros Complexes ........... . 
Soma e Subtra<_;:ao ........ .. ................ . 
Multiplica<;ao e Divisao ........... . ...... . . 
Impedan cia Complexa ........ . . . ............ . 
Circui tos RL . . .. .... ..... . . . ............ . . . 
Circui tos RC . . .. . .. . . . . .. . . . .............. . 
Circui tos Mistos .................... . ..... . 
90 
92 
92 
92 
93 
93 
95 
99 
5. Circui t os Trif a s i c o s ...• . ............................... 104 
5 . 1 
5 . 2 
5 . 2.1 
5 . 2 . 2 
5 . 3 
I ntrodu<;ao .. . ... ..... . .... . .. ... . . .... ... . . 
Sistema Trifasico ......................... . 
L iga<_;:ao Est r ela ........................ . .. . 
Liga<_;:ao em Tri~ngulo ...... . ............... . 
Potencia em Sistemas Trifasicos .......... . . 
104 
104 
107 
11 1 
11 5 
AP~NDICE A - Decibel 121 
AP~NDICE B - Filtros 124 
AP~NDICE C- Diferenciador e Integrador .................... 129 
AP~NDICE D- Instrumentos de Medida de Ponteiro ............ 131 
A.1 
A.2 
A.3 
A.4 
A.S 
A.S.1 
A.5.2 
A.6 
A.7 
A.8 
A. 9 
Introduc:;ao ................................. 13 1 
Instrumentos de Bobina Movel ............... 132 
Instrumento de Ferro Movel ...... .. ......... 133 
Instrumento Eletrodinamometricos ........... 133 
Termicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4 
Fio Aquecido ...................... . ........ 134 
Termopar ................................... 134 
Amperimetro ................................ 135 
Alicate Amperometrico ...................... 136 
Voltimetro ................................. 137 
Wattimetro ................................. 138 
CAP. 1 
GRANDEZAS SENOIDAIS 
1.1 Introduc;a o 
Uma corrente continua tern sempre o mesmo sentido e inten 
sidade, uma corrente alternada muda tanto de valor como de senti 
do . Dependendo de como se da essa varia~ao no tempo, teremos os 
diversos tipos de cdrrente alternada : senoidal, quadrada, trian 
gular, etc . 
(a) 
;( mAl 
10 
-10 
(b) 
I I 
I 
I I 
-- _l __ l. 
(c) 
onda quadrada Onda Triangular Onda Senoi dal 
Figura 1.1 
De todas as correntes alternadas existentes, a mais i~ 
portante e a senoidal e por isso mesmo faremos uma revisao dos 
principais conceitos relativos a grandezas senoidais . 
Consideremos uma circunferencia de r aio Vm e urn vetor 
OA, que gira com rota~ao constante no sen tido contrario ao dos 
ponteiros do relogio . A ponta do vetor descreve uma circunferen 
cia, e 0 angulo formado entre 0 eixo horizontal e a dire~ao do 
vetor ,a, varia com o tempo . 
Fi g ura 1. 2 
0 angulo por unidade de tempo 
representa a velocidade angular 
ou freguencia angular, que r~ 
presentaremos pela letra grega 
w (omega) . 
w = -'L 
t 
ou a = w. t ( 1) 
Sendo a expresso em rd (radi~ 
nos), t em s(segundos), w em 
rd/s (radiano por segundo) . 
Uma volta compl e ta e 2 n rd ou 360° . 0 tempo que o vetor 
OA leva para c ompl e tar uma volta e chamado de per{odo (T), logo 
para a= 2n rd, t = T s ubstituindo na equa~ao (1) : 
w (2) 
T 
0 nume ro d e voltas (ciclos) completados por s egundo e 
chamado de fr eguencia (f), sendo f expresso em ciclos/s ou Hertz 
(Hz). 
1 c i c lo/s = 1Hz 
11 
Para sabermos qual a rela~ao em frequencia e periodo , pQ 
demos montar uma regra de t r es : 
de ciclos 
portanto f . T 
1 
f 
1 ou f = .!. 
T 
substituindo em (2) resulta : 
w = 2n f ( 4) 
e 
tempo (s) 
T 
1 
T .!. 
f 
-
( 3) 
seja b a proje~ao do vetor OA no eixo vertical . Da trigon ome tria 
obtemos : 
b = Vm . sena = Vm . senwt = Vm . sen 2n . f . t (5) 
Podemos verificar que a proje~ao d e OA n o eixo verti ca l , b, 
segue uma lei senoidal . 
(l 0 ... b Vm . sen0° = 0 
(l goo ... b Vm . sen90° = Vm 
a = 180°-> b Vm . sen180° 0 
(l = 270°-> b Vm.sen270° - Vm 
(l = 360°. b Vm . s e n360° 0 
Graficamente : 
b 
Vm 
-Vm 
1 . 2 Diagrama Fasorial 
Chamamos de fasor a urn vetor girante . Na figura 1.2, OA 
e urn fasor pois g1ra com velocidade ansula r W· Urn fasor pode ser 
usado para representar uma grandeza senoidal . Na figura 1 . 3, quan 
do o angulo a varia, a proje~ao do vetor OA no eixo vertical, mo2 
trara uma sucessao de valores instantaneos da grandeza senoida1 . 
0 lado esquerdo da figura 1 . 3 , e chamado de diagrama faso r ial e 
0 lado direito e a onda senoidal cor r esponden t e . 
270° 
Figura 1.3 
1 2 
0 diagrama fasorial e importante, pois nos permite somar 
grandezas senoidais sem usar a equa~ao ou a fo r ma de onda . 
Se o vetor no instante t = 0 forma urn angulo 0 com o ei 
xo horizontal, 0 valor instantaneo da grandeza sera dada por : 
b = Vm sen ( wt + 0) (6) 
0 angulo 0 (letra 
cial. 0 diagrama fasorial 
estao indicados na figura 
Figura 1. 4 
grega fi) e chamado angulo de fase ini 
correspondente e a sua forma de onda 
1. 4 . 
Suponha dois vetores de amplitudes Vm1 e Vm 2 e tendo a 
mesma fase. 0 diagrama fasorial e as formas de onda estao indi 
cados na figura 1 . 5 . 
Figura 1.5 
A equa~ao das duas grandezas senoida i s e : 
b = Vm 1 sen wt b 2 = Vm 2 • sen wt 
Na figura 1 . 5, os dois vetores estao em fase . Se os dois 
vetores estiverem defasados de urn angulo 0, as suas formas de on 
da tambem estarao defasadas do mesmo angulo 0 . 
Na figura 1 . 6, as duas formas de onda estao defasadas de 
90° (estao em quadratura), sendo que b 1 esta adiantada em rel~ 
~ao a b 2 . 
b 
b2 
~;---:.!- ---- ---------
: .......... .... o<= wt 
Figura 1.6 
1 3 
As equa~oes das duas grandezas sao: 
b 1 = Vm 1 . senwt b 2 = Vm 2 sen (wt- ~) 2 
0 angulo de fase inicial deb 2 e - .1!. (observe que pod~ 
ria ser tambem 1!!...) . 2 
' 2 . . 
Os calculos em C1rCU1tOS c . a as vezes 0 evoluem somas 
e subtra~oes de grandezas senoidais (tensoes, correntes). 
Consideremos duas grandezas senoidais cujas equa~oes 
sao: 
b 1 = Vm 1 . sen ( wt + (ll ) b 2 = Vm 2 • sen ( wt + (ll?) 
A sua soma sera: 
b = b1 + b 2 = VmJ·Sen (wt + (llJ) + Vm 2 .sen ( wt + ¢! 2 ) 
Para obter a soma poderiamos usar certas propriedades da 
trigonometria, ao inves disso fa~amos uso do diagrama fasorial. 
y 
o<.=w! 
(a) (b) 
Figura 1. 7 
Usando as regras para adi~ao de vetores (regra do paral~ 
lograma), obtemos o vetor resultante, que tera amplitude Vm e f£ 
se (ll. 
Da figura 1.7a tiramos: 
X = X! + X2 
tg(ll _.L_ 
X 
1. 3 Valor Eficaz 
ou 
VmJ 
Vm2 
sen 0 1 
sen 0 2 
Y! + Y 2 
~ + y2 
Consideremos que no circuito da figura 1.8, a tensao £ 
plicada e senoidal. 
14 
v = Vm.senwt 
Pela 10 Lei de OHM o valor 
neo da COrrente sera: 
instant~ 
Figura 1. 8 
i = v 
R 
onde Im 
Vm.sen wt 
R 
Vm 
-R-
= Im.senwt 
A potencia instantanea entregue a carga sera dada por: 
p = v . i 
A figura 1.9 mostra os graficos de v, i e p . 
Podemos notar q u e a potencia e uma grandeza pulsa n te . 
V,l,p p 
wt 
Figura 1.9 
Define-se valor eficaz de uma tensao alternada ao valor 
de uma tensao continua que produz mesma dissipa~ao de potencia, 
que a tensao alternada em questao, num mesmo resistor. 
(a} 
v = Vm.senwt 
i Im. se nwt 
Figura 1.10 
(b) 
Na figura 1 . 10, a dissipa~ao de potencia e a mesma nos 
dois casas , logo dizemos que o valor da tensao continua, na figg 
ra l.lOb, e igual ao valor eficaz da tensao alternada na figura 
l.lOa. 
No caso de uma tensao alternada , senoidal , pode-se prQ 
var (atraves da matematica superior} que : 
1 5 
ou VEF = 0 , 707 . Vm ( 7) 
obs. : Por vezes encontramos o valor eficaz denotado por VRMS 
(RMS =Root- Means- Square= valor quadratico medio) . 
E claro que o mesmo vale para a corrente : 
IEF = Im = VEF 
'J2' R 
No caso de urn circuito puramente resistive, a potencia 
dissipada pode ser calculada pelas mesmas equa~oes ja vistas em 
circuitos C. C . , somente lembrando que os valores de tensao e 
cor r ente sao eficazes . 
P = VEF . IEF , 
2 
p = VEF 
R 
e 
2 
p = R . IEF (8) 
Em uma grandeza senoidal, a quantidade Vm e chamada de 
valor de pico e portanto 2Vm e chamado de pico-a-pico (Vpp) . 
v 
Da figura 1 . 9 obse r vamos que a tensao e a corrente estao 
em fase, logo 0 diagrama fasorial corr esponden t e sera : 
Os comprimentos dos vetores representam os valores efi 
cazes da tensao e corrente ou valores de pico . 
Exercicios Resolvidos 
l - 0 valor de pico de uma tensao senoidal e 5V e a sua 
frequencia e 1KHz, pede-se : 
a) sua expressao matematica 
b) valor eficaz e periodo 
c) desenhar o grafico de v(t) 
Solu~ao : 
a) Vm = Vp = SV f = 1KHz = 10 3 Hz 
A expressao matematica generica de uma tensao senoidal e : 
v = Vm . senwt = Vm . sen 2rr . f . t 
16 
logo: 
b) 
c) 
v = 5sen . 2n . l0 3 . t 
VEF 
v(V) 
5 
- 5 
Vm 5 
\[2' = \[2' = 
(v) 
3 , 53 v T 
t (msl 
l. 
f 
_ 1_ 
10 3 
lms 
2 - Supondo que a tensao do exerc1cio 1 e aplicada a urn 
resistor de 10 n . Qual a potencia dissipada? 
Soluc;ao: 2 
p VEF = (3,53)2 = 1 24 W 
R 10 ' 
3 - Dado o grafico de uma corrente em func;ao do tempo, 
pede-se: 
a) frequencia e per1odo 
b) valor de pico-a-pico (Ipp) e valor eficaz (IEF) 
c) potencia dissipada ao passar em urn resistor de lK fl. 
d) expressao matematica 
i(mA) 
10 
- 10 
Soluc;ao: 
a) Do grafico tiramos T 200~s ~ 200 x lo- 6s 
b) 
c) P 
d) i(t) 
f = l. 1 5000Hz 
T 200xl0- 6 
Im = lOrnA Ipp 2xlm = 2xl0 
lEF = Im = lO = 7 07mA 
V2' \[2' ' 
R . l~F = 10 3 X (7,07xl0- 3 ) 2 
50 x 10- 3 w = 50mW 
Im . sen.2n . f . t = 10sen n . l0 4 . t (rnA) 
20mA 
5KHz 
4- As expressoes matematicas de duas tensoes sao : v 1 
lO . senwt (v) v2 = lO . sen(wt + .1!) (v) 
Pede-se : 2 
a) representar as duas tensoes no diagrama fasorial· 
b) desenhar as suas formas de onda 
c) obtenha a soma v1 + V2 
1 7 
Soluc;ao: b) 
a) v(VJ 
----------- ------ -~ 
v2 'Tr "\ w 
2 
w.t. 
-10 
c) Usando regra de soma de vetores 
=V(lo)2 + (lo) 2 ' = \f200 = 10 V2 v 
considerando as amplitudes 
A fase de v sera: 
do vetor igual ao valor de pico. 
(wt -
5 - Dadas 
11 
2), obter: 
a) v 1 + v 2 
b) v 1 - v 2 
Soluc;ao : 
tg(l) 
v = 
v 1 10 
V2=1o 
11 
45° = -
4 
= 1 
l0.\[2.sen( wt + ~) 
4 
as tensoes: v 1 = lS.sen(wt + ~) 2 e v 2 
a) representemos as duas tensoes no diagrama fasorial 
v, 
(15V) 
V2 
(IOVJ 
Como neste caso, os vetores tern mesma direc;ao mas 
dos opostos, 0 vetor resultante da soma e igual ao modulo 
maior, menos o modulo do menor, no sentido do maior. 
18 
lO.sen 
senti 
do 
v = v 1 + v 2 
1l 
5. sen ( wt + 2) 
b) Para obtermos v 1 - v 2 devemos efetuar a operac;;:ao v 1 + ( -v 2) 
v1 v1+t-v2 l 
-vz ~ 
2 
v = v +(-v ) = 25.sen(wt + ~) 
I 2 2 
Esses dois exemplos servem para nos mostrar que a soma 
de tensoes com fases diferentes deve ser feita, considerando-se 
0 modulo do vetor e a fase. 
6- Dadas as tensoes : v 1 20.sen(wt + ~) (v) e v 2 40. 
sen(wt + ~) (v), obter: 
Soluc;;:ao: 
a) 
a) v 3 = v1 + v2 
b) desenhar as formas de onda de VJ,V 2 e v3 
V l 
X I 
X 2 
Y2 
X 
y 
y 
20v V2 40v (Yalores de pico) 
VI cos .1!. 
3 
VI sen 2:. 
3 
V2 . COS _!!_ 
6 
20 X 0,5 = lOv 
20 X 0,866 17,3v 
40 x 0,866 = 34,6v 
v 2 . sen A 40 x 0,5 20v 
6 
x 1 + x 2 10+ 34,6 44,6v 
Y1 + Y2 17,3 + 20 37,3v 
58,1v 
1 9 
tg¢ X = ~ = o 836 
X 44,6 ' 39,9 - 4 0° 
V3 58,1 . sen(wt + 40) (v) 
b) 
58, 1V 
Exer cicios Propostos 
1 - Uma tensao senoidal tern frequencia 60Hz e VEF=llOv, 
pede-se: 
a) periodo e frequencia angular 
b) expressao matematica 
c) valor da potencia dissipada em uma resistencia de lOOn. 
2 - Dado o grafico de uma corrente em fun~ao do tempo, 
pede-se: 
a) periodo e frequencia 
b) valor de pico-a-pico e valor eficaz 
c) expressao de i(t) 
i( mAl 
50 ---
3 - Urn chuveiro tern as caracteristicas 2400W/220v 
cazes), pede-se: 
(Efi 
a) tensao de pico e corrente eficaz no chuveiro 
b) corrente de pico no chuveiro 
4 - Dada a forma de onda, dar a sua expressao em fun~ao 
do tempo . 
a) 
20 
v(V) 
5 
0(= w.t 
b) v(V) 
5 
-5---- -----------
5 - Dadas as expressoes de duas tensoes v 1 lO.sen(wt + 
::.) (v) e v 2 lO.sen(wt + 11) (v) pede-se: 
4 
a) Vj + V2 
b) Vj - V2 
6 - Uma tensao alternada senoidal e aplicada a uma resi~ 
tencia de lOO n , dissipando 0,25w, calcular: 
a) valor eficaz da tensao e valor de pico 
b) valor eficaz da corrente e seu valor de pico-a-pico . 
Solu~ao dos Exercicios Propostos 
1) a) T = 16,66ms w = 377 rd/s 
b) v(t) = 155.sen 377. t (v) 
c) p 121w 
2) a) T 4ms f = 250 Hz 
b) Ipp = 100mA IEF = 35,46mA 
c) i(t) = SO.sen 1570.t(mA) 
3) a) IEF = 10,9A Vp = 310,2V 
b) Ip = 15,34A 
4) a) v(t) 5. cos (w t + 120°) (v) 
b) v(t) = 5 .cos (w t + 90°) (v) 
5) a) vl + v2 7,65 sen(wt + 112, 5) (v) 
b) vl - vz 18,47 sen(wt + 22,5°) (v) 
6) a) VEF Sv Vp 7v 
b) IEF SOmA Ip 70mA 
21 
CAP. 2 
ELETROMAGNETISMO 
2 . 1 Hagne tismo 
Campo magnetico : E toda regi~o do espa~o na qual uma agQ 
lha imant ada fica sob a a~ao de uma for~a magnetica . 
Urn ima e uma substancia, encontrada na natureza, que 
cria ao seu redor urn campo magnetico. 
Todo i ma tern d uas regioes, onde o campo magnetico e 
mais i n tense , chamadas de polos : polo norte e polo sul . 
Poles de mesmo nome se repelem e poles de -nomes dife r en 
tes se atraem. 
Os poles de urn 
ima, voce obtera dois 
(a) 
Figura 2 . 1 
ima sao ~nseparaveis . Se 
outros imas . 
<E--- ------';> 
IN sl Is 
<E--- ------7 
js N ) IN 
-----7 -E--
jN s I IN 
(b) 
voce parti r urn 
N 
s 
s 
Assim como o campo g r avitacional e caracterizado em C£ 
da ponte pelo vetor ace lera~ao da gravidade (g), o campo magn~ 
tico e caracterizado em cada ponte pelo vetor indu~ao magnetic a 
(B). 
A fim de que possamos visualizar o campo magnetico, dg 
vemos conceituar o que e linha de campo ou l i nha d e indu~ao. 
As linhas de campo, alem de permitir ver a forma do caN 
po , tambem nos da uma ideia da sua intensidade . Quante maier o 
numero de linhas por unidade de volume, mais intense e 0 campo . 
Para que voce represente urn campo magnetico atraves d e 
suas linhas de campo , voce deve se lembrar de algumas regra s : 
a) As linha s de campo sao orien t adas: saem pelo polo DO£ 
te e entram pelo polo sul . 
b) Em cada ponte, p vetor indu~ao magnetica e tang e nt e 
a l inha de campo que passa pelo ponte . 
c) Duas linhas de ca mpo nao podem se c r uzar . 
d) As linhas de campo sao perpendiculares a superficie 
do J.ma . 
Na figura 2 . 2, voce tern alguns e xemplos de i ma e a forma 
do seu campo magnetico . 
22 
(a) 
Figura 2.2 
ICl 
L~ ---- -~ 
(b) (c) 
As linhas de campo podem ser visuali zadas na pratica se 
colocarmos limalha de ferro ao redor do ima . As limalhas de fe£ 
ro tenderao a se orientar ao longo das linhas de campo. 
2.2 Campo Magne t ico de uma Cor rente Ele trica 
Colocando-se uma bussola nas proximidades de urn fio que 
conduz uma corrente eletrica a agulha sofrera urn desvio, indican 
do a existencia de urn campo magnetico criado pela corrente . 
Verificamos que, quanto mais intensa for a corrente, 
maior sera 0 desvio da agulha (a intensidade do campo depende 
da intensidade da corrente) . 
Se o sentido da corre n te for invertido, o desvio sof r ido 
pela agulha tambem se inve r te (a orienta~ao do campo magnetico 
depende do sentido da cor r e n te) . 
2 . 2 .1 Campo de um Condut o z Re t i l i ne o 
As linhas de campo sao circ~nferencias concentricas com 
o fio. 
Figura 2.3 
Para determinar o sentido das linhas de campo, usamos a 
2 3 
regra da mao direita . 
"Segurando o fio com a mao direita , com o polegar no 
sentido da corrente, os outros dedos indicarao o sentido d a s li 
nhas de campo" . 
2.2.2 Campo de uma Espira Circular 
Obs . : Para representar uma corrente saindo do plano do papel , us£ 
remos ~ e para representar a corrente entrando no plano 
do papel, usaremos ~ . 
No caso de uma espira circular, as linhas de campo tern a 
forma indicada na figura 2 . 4 
(a) 
Figura 2 . 4 
1/if\ 
~-~ 
(b) 
Na figura 2 .4a, o observador, olhando para a espira , "ve" 
as linhas de campo entrando no plano da espira pelo lado em 
que se encontra, logo olha para o polo sul da espira . Na figura 
2 . 4b, podemos compreender melhor o que foi dito . Com a corrente 
no sentido indicado, as linhas de campo entram no plano do P£ 
pel, logo o observador "ve" urn pol o s u l na parte de cima da fQ 
lha eo polo norte do outro lado da folha. 
0 que aconteceria na figura 2 . 4, se o sentido da corre~ 
te fosse i nvertido? 
2.2.3 Campo Magnetico de urn Solenoide 
Urn solenoide ou bobina consiste de urn fio enrolado em 
forma de helice, formando espiras iguais, uma ao lado da outra e 
igualmente espa~adas . 
N 
(a) ~b) (c) 
Figura 2.5 
24 
Observe na figura 2.5b, que as linhas de campo se aju~ 
tam de forma tal, que nenhuma das regras e contrariada . Veja ta~ 
bern que o campo e mais intense no eixo do solenoide. A intensi 
dade do campo depe nde das dimensoes da bobina (numero de espiras 
e comprimento), do material de que e feito 0 nucleo (ar, ferro) 
e da intensidade da corrente . 
Se o nucleo for de ferro, o campo sera mais intense (a 
concentra~ao de linhas no interior da bobina e maior) do que se 
0 nucleo for de ar. 
Eletroima 
Urn eletroima e uma bobina enrolada num nucleo de 
doce (isto aumenta a intensidade do campo) . Quando fazemos 
sar uma corrente , o ferro se imanta. Cessada a corrente, 
a imanta~ao. 
ferro 
pa~ 
cessa 
Uma aplica~ao de urn eletroima e na constru~ao de urn guirr 
daste eletromagnetico. 
I -
Figura 2.6 
2 .3 For~a Eletromotriz Induzida 
Toda vez que o fluxo de indu~ao magnetica atraves de uma 
espirar variar, uma te nsao sera induzida na espira. 
Chamamos de f.e.m induzida, a toda tensao gerada pela V£ 
ria~ao do fluxo magnetico em urn circuito. 
0 fluxo de indu~ao magnetica (¢), atraves de uma supe~ 
ficie de area s, e definido como sendo: 
~q) ¢ = B.S . cosa 
---
25 
B 
s 
a 
intensidade do vetor indu~ao magnetica 
area da superficie 
angulo formado entre a perpendicula~ a superficie e 0 vetor 
indu~ao magnetica. 
Observe que o fluxo e maximo quando 
que e nulo quando a= 90° . 
a B . S e 
-----1~--B 
I~--T.J-_"-!n~ormol 
I c<= oo 
---- H- ---
0max 
normal 
\ 
0 = 0 
Da equa~ao que da o fluxo, podemos verificar que o fluxo 
tambem pode variar se a intensidade de B variar . 
Na pratica, podemos ter os seguintes casos de varia~ao 
do fluxo magnetico, induzindo uma tensao. 
a) Aproximando ou afastando um ima ou um eletroima de uma espira 
ligada a um amperimetro, este dara uma indica~ao num sentido 
quando aproximamos e no outro sentido quando afastamos . 
Com o ima parado nao havera indu~ao de Corrente (nao ha vari~ 
~ao de fluxo de indu~ao) . 
b) Ao inves de movimentarmos o ima ou o eletroima, se a ~spira 
se movimentar (aproximando, afastando ou girando), tambem s~ 
ra induzida uma tensao . Este e o principia de funcionamento 
de urn gerador de tensao. 
c) Se variarmos a corrente em urn solenoide, a intensidade do 
26 
campo ao seu redor tambem variara . Se colocarmos uma espira 
nas proximidades do solenoide, o fluxo de indu~ao, atraves do 
espira variara induzindo uma tensao . 
Este e o principia de funcionamento de urn transformador. 
R -+Aumentando .... I -+ diminuindo 
Lei de Lenz : "0 sentido da COrrente induzida e tal, que· el': 
gina urn campo magnetico que se opora a varia~ao 
fluxo magnetico que a produziu" . 
ori 
do 
Consideremos urn ima se aproximando de uma espira, 
o polo norte o mais prox i mo da espira . 
sendo 
Se o 1ma esta se aproximando, e o polo mais prox i mo da 
espira e 0 polo norte, na face da espira voltada para 0 ima deve 
ser induzido urn polo norte, de forma a se opor ao movimento (aprQ 
xima~ao), portanto o sentido (de acordo com a regra da mao direi 
ta) da Corrente e como esta indicado . 
Se o ima se afastar, o polo induzido na face superior d~ 
vera ser urn polo sul, desta forma se opondo ao movimento . A CO£ 
rente tera sentido oposto. 
s 
----
2 . 4 Tr a nsforma dor 
I 
::::---...... 
E urn disposiLivo que permite modificar uma tensao alte£ 
nada, aumenta ndo-a ou diminuindo-a. 
Consiste , essencia lmente , de duas bobinas isoladas, el~ 
tricamente, montadas em urn mesmo nucleo de ferro (concentra as 
linhas de campo) . 
27 
us 
(a) (b) 
Figura 2. 7 
A bobina que recebe a tensao a ser transformada (Up), r~ 
cebe o nome de primario e a outra que fornece a tensao tran~ 
formada (Us) e chamada de secundario. 
A corrente alternada, passando no primario, origina urn 
fluxo magnetico alternado (o B e que varia) no nucleo de ferro . 
Este fluxo variavel atravessa o secundario, induzindo uma tensao 
alternada no secundario. 
0 nucleo e de ferro laminado para diminuir as perdas cag 
sadas pelas correntes de Foucault, e para aumentar o acoplamento 
entre as duas bobinas . 
Em urn transformador ideal, vale a rela~ao: 
Ps = Pp 
potencia do secundario 
potencia do primario 
Em urn transformador real Ps < Pp 
(10) 
A dissipa~ao de potencia ocorre por efeito Joule nos con 
dutores dos enrolamentos e no nucleo do transformador. 
Consideremos o transformador ideal, logo vale: 
Up Ip = us Is 
sendo Np numero de espiras do prima rio 
Ns numero de espiras do secunda rio 
valem as seguintes rela~oes: 
~ ~ ou Us = Ns Up ( 11) 
us Ns Np 
Is ~ Ip ( 12) 
Ns 
28 
Urn transformador so pode ser usado com corrente alterna 
da, uma vez que nenhuma tensao sera induzida no secundario, se 
nao houver varia~ao do fluxo de indu~ao magnetica. 
Se uma tensao continua e aplicada ao primario, uma ten 
sao sera induzida no secundario, somente no instante do fechamen 
to ou abertura do circuito primario, pois e somente nestes ins 
tantes que a intensidade do campo magnetico (portanto o fluxo) 
varia . 
Uma das principais vantagens de urn transformador, alem 
de transformar uma tensao, e acoplar dois circuitos, sem i nterli 
ga-los eletricamente. 
Exercicios Resolvidos 
1 - Esbo~ar as linhas de campo no caso de dois imas em 
forma de barra, colocados urn de frente para o outro. 
si 
Solu~ao: 
Os dois imas se repelirao, o mesmo ocorrendo com as suas 
linhas de campo 
observe_que a configura~ao do campo e tal que, duas linhas de 
campo nao se cruzam. 
2 - Urn transformador ideal tern 200 espiras no primario e 
800 espiras no secundario. Aplicando-se uma tensao de lOV (efi 
caz) no primario, pede-se calcular: 
Solu~ao: 
a) 
a) tensao induzida no secundario . 
b) corrente no primario e no secundario se urn resistor 
de loon for ligado ao secundario. 
Up= IOV 
Us 800 
200 
10 40V 
29 
b) Is = RUs = 40V lOOn 0,4A 
Up.Ip = Us.Is 
Ip = Us.Is 
Up 
40.0,4 
10 
1,6A 
Exerc1cios Propostos 
1 - Qual o sentido da corrente induzida na espira? 
2 - Urn {rna entra em uma bobina como indicado na figura . 
Qual a polaridade da tensao induzida? 
3 - Urn transformador tern 500 espiras no primario e llOV 
de tensao primaria, se a tensao no secundario deve ser 12V, qual 
0 numero de espiras do secundario? 
4 - Por que e usado nucleo de ferro laminado em urn tran~ 
formador? 
5 - Por que o transformador nao funciona em C.C.? 
6 - Qual deve ser a rela~ao de espiras de urn transform~ 
dor abaixador de llOV para 24? Qual a corrente no primario se 
o secundario fornece lA? 
30 
Resolu~ao dos Exercicios Propostos 
1) Observador olhando de cima : I sentido horario 
2) Ponto B com potencial maior que ponto A 
3) N5 = 54,5 esp1ras 
4) Para diminuir as perdas 
5) 0 fluxo de indu~ao magnetica e constante. 
6) ~ = 4 6 
Ns ' 
Ip = 0,22A 
31 
CAP. 3 
CIRCUITO EM C.A. 
FASORIAL 
3.1 Indutor e Indutancia 
ANALISE 
Genericamente, c hamamos de indutor ou bobina a urn fio 
enrolado em forma de helice sobre urn nucleo, o qual pode ser de 
ar, ou nao. A figura 3.1 mostra a simbologia adotada para indg 
tores. 
~II 
Nucleo de ar Nucleo de ferro 
(a) (b) 
Figura 3.1 
~
II 
" II 
' II 
Nucleo de ferrite 
(b) 
Quando a chave no circuito da figura 3 . 2 e fechada, uma 
corrente eletrica come~a a circular no circuito (I) . Esta co~ 
rente origina urn campo magnetico cujas linhas de campo cortam as 
espiras subsequentes, induzindo nelas uma f.e.m. Esta tensao in 
duzida chamamos de f.e.m. auto-induzida. De acordo com a lei de 
Lenz, esta tensao induzida devera se opor a causa que a origi 
nou (varia~ao de I) . Como resultado desta oposi~ao, temos que 
a corrente no circuito levara urn certo tempo para ati ngir o seu 
valor de regime (imposto pelas resistencias ohmicas do circuito) . 
!(A ) ' '0 
2 --------
~ 
;:> t (ms) 
(a) (b) e f.e.m induzida 
Figura 3 0 2 
Se apos a Corrente ter atingido o seu valor maximo (2A), 
abrirmos a chave , a corrente I tendera a diminuir. 
A varia~ao do campo magnetico novamente induzira uma 
f.e . m. de auto-indu~ao com polaridade tal, que originara uma co~ 
rente I' que tendera a se opor a diminui~ao de I . 
Desta forma, sea chave foi aberta no instante t = t', 
ainda havera corrente por urn certo tempo. 
32 
!(A) 
2 
(a) t 
Figura 3 . 3 
2 
t '= lms 
t(ms) 
(b) e f.e.m induzida 
Concluimos que urn indutor se opoe a uma varia~ao de co~ 
rente. 
Observe a polaridade da f.e.m induzida na figura 3.3b. 
A tensao induzida se soma com a tensao da fonte, de forma que en 
tre OS terminais da chave aberta,a tensao sera E +e. Sea f.e.m 
induzida for suficientemente alta, pode aparecer urn arco entre 
OS contatos da chave, 0 que sera perigoso para 0 operador. 
Se na figura 3.2b, colocarmos urn nucleo de ferro na bobi 
na (observe que na figura 3.2b 0 simbolo e de indutor com nucleo 
de ar) e repetirmos a experiencia, verificaremos que a oposi~ao 
oferecida pelo indutor a varia~ao de COrrente sera maior. 0 tem 
po que levara para que a corrente atinja o seu valor de regime 
sera maior. 
I( A) 
2 --------~-;-~-----
2 3 t(ms) 
(a) (b) 
Figura 3.4 
Quando colocamos urn nucleo de ferro na bobina, nos alt~ 
ramos a sua indutancia (L), no caso, aumentamos . 
Toda bobina ou indutor possui uma indutancia. A iQdutan 
cia s6 depende das dimensoes da bobina (numero de espiras, com 
primentos, diametro do nUcleo) e do material de que e feito o n~ 
cleo. 
A indutancia de uma bobina e uma medida do quanto de 
energia pode ser armazenada em urn campo magnetico. 
A unidade de indutancia e chamada de Henry (H). 
3.2 Circuito em C.A com Indutancia Pura 
Como foi visto anteriormente, como na figura 3.2b, 
do aplicamos uma tensao a uma bobina, a corrente levara urn 
tempo ate atingir o seu valor de regime. Existe pois, uma 
sagem entre a tensao aplicada e a corrente que percorre o 
tor. 
quan 
certo 
def9_ 
ind1! 
33 
No caso da tensao aplicada ser senoidal, a corrente (tam 
bern senoidal) estara 90° atr a s a da em rela~ao a tensao. 
Como ja vimos, urn indutor oferece uma oposi~ao a uma V£ 
ria~ao de Corrente. A medida desta oposi~ao e dada pela reatan 
cia indutiva (XL) do circuito. 
A reatancia indutiva depende da indutancia do indutor 
e da frequencia da corrente, sendo dada pela formula: 
onde L 
f 
XL 
(a) 
XL = w • L = 2 11 . f . L 
indutancia da bobina em Henry 
frequencia da c.a em Hz 
reatancia da bobina em n 
l 
(b ) 
Figura 3.5 
wt 
( 12) 
VG= valor eficaz 
de vg. 
I = valor eficaz 
de i 
(c) 
caso, 
tiva. 
A primeira Lei de OHM evalida em urn circuito C. A. Neste 
a resistencia eletrica e substituida pela reatancia ind~ 
(13) 
Em urn circuito puramente indutivo (sem resistencias), nao 
ha dissipa~ao de energia. 
Na figura 3 . 6, esta representado o grafico da potencia 
instantanea em fun~ao do tempo. 
Vg.i.p 
p(t) v(t) . i(t) 
p(t) • potenc ia instantanea 
Figura 3.6 
Durante o prime iro quarto d e ciclo, o circuito 
energia, a qual e usada para aumentar a energia do campo 
34 
absorve 
magn~ 
tico (a potencia e positiva, e a energia e representada pela area 
entre a curva p eo eixo t). 
No segundo quarto de ciclo, a corrente diminui. A f . e.m 
de auto-indu~ao tendera a se opor a essa diminui~ao. 
A bobina comporta-se como urn gerador, devolvendo a ene£ 
gia (que estava armazenada no campo magnetico) ao circuito (agQ 
ra a potencia e negativa). 
A sequencia se repete no segundo meio ciclo . Desta fo£ 
rna, a potencia e continuamente trocada entre o campo magnetico 
e 0 circuito, nao havendo perdas. 
A mesma conclusao pode ser obtida a partir da formula: 
P = VEF . IEF . cos~ 
VEF tensao eficaz do circuito 
IEF corrente eficaz do circuito 
P potencia real ou potencia ativa 
~ angulo de defasagem entre tensao e Corrente 
No caso ~ = goo + p VEF·IEF . 0 = 0 
Exercicios Resolvidos 
( 14) 
1 - Uma bobina tern 0,1H de indutancia, sendo ligada a 
uma tensao de 110V, 60Hz. Determinar: 
a) reatancia da bobina 
b) valor eficaz da corrente no circuito 
c) desenhar os graficos de v e i 
Solu~ao: 
a) XL = 2rr.f.L = 2 x 3,14 X 60 X 0,1 
b) IEF = VEF 
XL 
llOV 
37,7 11 
= 2,9A 
c) Vm = VEF x\(2 = 155, 5V 
Vg . i 
""' 1\ i P\ .......... ~ l/ 
1\ ~ kl 
\ 1/ 
~ / 
Vg 
v 
""' I l/ v 
[7 
/ 
37' 7 11 
IEF . "'f2' = 4, 1A 
r\ 4.1A wt 
2 - Em que frequencia, uma bobina de indutancia 20mH t~ 
ra reatanc ia de 100 11? 
Solu~ao: 
20mH 
10011 
20 X 10- 3 H 
35 
2 TT. f.L ou f ~ 
2 TT.L 
100 
;!! 796Hz 
6,28x20xl0 - 3 
3 - Em urn circuito alimentado com 110V/60Hz, quer-se que 
a corrente se ja limitada a lOOmA. Qual deve ser o valo r da ind~ 
tancia a que deve se colocar neste circuito? 
Solu~ao: In = lOOmA 
IEF 
logo 1, 55 
L 
IIOV 
60Hz 
Im _ lOOmA 
=-\ff'-~ 
6,28 60 
1 55 
6,28 X 60 
3.3 Circuito RL Serie 
L 
70,7 rnA XL VEF llOV IEF 70,7mA 
1, 55 n 
L 
0,0041H 4, lmH 
Circuitos na prat ica possuem ambos resistencia e indutan 
cia, isto significa que a corrente ao percorrer tal circui t o en 
contrara dois tipos de oposi~ao: a oferecida pela resistencia e 
a oposi~ao da f . e.m de auto - indu~ao (reatancia indutiva). 
Ainda mais, em urn circuito contendo resistencia e indg 
tancia, a COrrente COntinua atrasada em rela~ao a tensao, SO que 
de urn angulo menor que 90° (nao se esque~a que a resistencia ten 
de a colocar VG e I em fase, enquanto a indutancia tende a def~ 
sa-las de 90°). 
No circuito da figura 3 . 7, a r esistencia R representa 
todas as resistencias ao longo do caminho da cor rente (inclusive 
a resistencia ohmica do fio da bobina) . 
(a) (b) 
Figura 3. 7 
Na f~gura 3.7b, diagrama fasorial, observe o atraso de 
90° da corrente no indutor (que e a mesma na resistencia) em 
rela~ao a tensao (VL)· Como a corrente na resistencia esta emf~ 
se com a tensao VR, as duas sao representadas no mesmo eixo . 
Observe na figura 3 .7b, que a obten~ao da tensao do ger~ 
dor e por soma vetorial . 
36 
Do triangulo retangulo 
VG 2 = VR 2 + VL 2 
tiramos: 
( 15) 
ou VG =\} VR 2 + VL 2 
Figura 3.8 
Na rela~ao (15), dividindo ambos os membros por I 2 
VG2 VR2 
+ 
VL2 
ou (~Gr = (~Rr + GLr 12 !2 !2 
onde: VR R = resistencia ohmic a do circuito I 
VL 
XL = reatancia indutiva da bob ina I 
VG z = impedancia do circuito 1 
A impedancia e o efeito combinado de uma resistencia com 
uma indutancia. 
Desta forma, podemos escrever : 
z2 = R 2 + XL 2 ( 16) 
ou z =VR 2 + XL 2 
0 mesmo resultado seria obtido se tivessemos dividido C£ 
da lado do triangulo porI. 
~~} ~ K} =! A} -I 
VR VR R -1-
(a) (b) (c) 
Figura 3 . 9 
0 angulo de defasagem entre V e I, ~. pode ser calc!! 
lado por: 
tg 4> = VL XL ( 17) 
VR R 
ou cos<!> (18) 
Exercicios Resolvidos 
1 - Determine a tensao que deve ser ap1icada a uma bob~ 
na, a fim de produzir uma corrente de SA, se a resistencia da 
bobina e 6 n e a sua reatancia indutiva e an. Qual 0 valor da in 
dutancia se a frequencia e 60Hz? Qual a impedancia do circuito? 
37 
! =5 A 
So luc;:ao: --
L 
VR = R.I = 6 . 5 = 30V VL = XL . I = 8 . 5 = 40V 
v ~ + ~ = "V3o 2 + 40 2 1 ="V9oO+ l 6oo' =""\.[i500=5ov 
XL = 2 1T .f.L 
8 = 6,28 . 60 . L + L = ~ = 0,021H ou L = 2lmH 
Z ~+ XL 2 = -v6 2 + 8 2 
1 
= -v36 + 64
1 
= "'{100 = 10 Q 
I= 5A ----
'""''DZ·IOfi 
2 - Uma bobina quando ligada a uma fonte c . c de 12V con 
some 3A, e consome 4A quando ligada a uma fonte de 20V/60Hz . Ca~ 
cular: 
a) resistencia da bobina 
b) reatancia indutiva e indutancia 
c) impedancia do circuito 
d) angulo de defasagem entre V e I 
e) potencia dissipa da no circuito 
f) desenhe o diagr ama fasorial 
Soluc;:ao : 
a) Quando a bobina e ligada a uma fonte c.c so existe 0 
de resistenc ia (a reatancia e nula ) . 
R 4 Q 
e f eito 
b) Quando a bobina e ligada a uma fonte C . A alem da resisten 
38 
c ia, soma-se o efeito da reatancia, isto e , a fonte C . A "ve" 
uma impedancia . 
20V 
60Hz 
z __:y_ 
I 
___1_Qy_ = s n 
4A 
por outro lado sabemos que 
z = \} R 2 + XL 2 I ou 
L ~ 3 
2TT. f 376,8 -
c) ja calculado z = sn 
d) Da figura 3 . 9c 
~XL 
R 
LJ 20V z 60Hz 
8mH 
cos <I> __!i_ _4 _ 0,8 z 5 
<I> = arc cos 0,8 - 37° 
e) A potencia dissipada no circuito e a potencia dissipada na 
resistencia, sendo chamada de potencia r eal . 
P = VEF IEF . COS<j> = 20.4.cos37° = 20.4 . 0,8 = 64W 
Evidentemente, nao precisamos decorar a fo r mula acima 
calcular a potencia dissipada em R, bastaria usar uma 
formulas . 
p R.I 2 ; p 'f_ 
R 
ou p = v I 
on de v e I sao a ten sao e corrente na resistencia . 
logo p R . I 2 4(4) 2 64W 
VR R. I 4 4 16V 
p v I 16 4 = 64W 
f) 0 diagrama fasorial e 0 diagrama da figura 3.8 
16V 
20V 
XL . I = 3 . 4 = 12V 
37° 
----------I ") W 
I 
I 
I 
I 
I 
<j>= 37° I 
I 
I ' 4A VR' 16V 
para 
das 
39 
As expressoes matematicas da tensao e corrente no 
cui to sao : 
v 20 -~ · sen (wt + 37 0) ( V) 
i 4 .\[2'. sen (wt) ( A) 
observe que poderiam ser tam bern 
v 20 ."\(2' . sen (wt) ( v) 
i 4 .\[2' . sen (wt - )70) (A) 
3 .4 Fator d e Poten c i a 
Se na figura 3 . 8, mu l t i plicarmos os lados do triangulo 
por I, obteremos urn triangulo c u jos lados r epresentam potencia . 
Figura 3.10 
A base do triangulo e a pote nc ia real , P, ou pote n c ia ~ 
tiva. 
P = VR . I = V . I . cos~ 
sendo P dado em watts (W) 
A hipotenusa do tr i angulo e chamada de potencia aparen 
te, PAp 
PAp = v I (19) 
sendo PAp dado em volt-ampere (V.A) 
A altura do triangulo e a poten c ia reativa , Pr. No caso, 
potencia reativa indutiva, Pri· 
Pri = VL I = v I sen~ (20) 
Pr e dado em volt-ampere, porem no simbolo colocamos 
urn indice, indicando que a potencia e r eat i va (V.Ar) . 
Do triangulo de potencia tiramos a rela~ao entre as tres 
potencias 
PAp> = p> + Pr> ( 21) 
ou PAp =~+ Pr 2 
A rela~ao entre a potencia real (P) e a potencia 
te (P~p) e c~am~da de f~tor de p o tencia iF - ~) . No caso 
geral, a potenc1a real e menor que a potenc1a aparente, 
forma, 0 fator de potencia e menos que a unidade . 
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