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630370 Matemática I
1cadern
o
PRÉ-VESTIBULAR
MANUAL DO 
PROFESSOR
CAPA_PH_PREVEST_EXATAS_MAT1_MP_C1.indd 2 9/26/18 12:43 PM
Matemática I
Manual do Professor
Eduardo Quintas da Silva
Luis Felipe Silva Abad
pH_EM3_C1_001a007_IN_Mat_MP.indd 1 5/5/16 6:43 PM
Direção editorial: Lidiane Vivaldini Olo
Gerência editorial: Bárbara M. de Souza Alves
Coordenação editorial: Camila Amaral Souza
Coordenação pedagógica: Fabrício Cortezi 
de Abreu Moura
Edição: Pietro Ferrari (Matemática e Física), 
Rodolfo Marinho (Química e Biologia)
Assistência editorial: Isabela Ramalho
Colaboração: Obá Editorial
Gerência de produção editorial: Ricardo de Gan Braga
Coordenação de produção: Fabiana Manna
Revisão: Hélia Gonsaga (ger.), Danielle Modesto, Edilson 
Moura, Letícia Pieroni, Marília Lima, Marina Saraiva, 
Tayra Alfonso, Vanessa Lucena
Edição de arte: Gláucia Correa Koller (coord.), 
Daniel Hisashi Aoki
Diagramação: Casa de Tipos
Iconografia: Sílvio Kligin (superv.), Denise Durand Kremer 
(coord.), Ellen Colombo Finta, Karina Tengan (pesquisa)
Tratamento de imagem: Cesar Wolf, Fernanda Crevin
Licenças e autorizações: Patrícia Eiras
Ilustrações: Casa de Tipos, Luis Moura
Cartografia: Eric Fuzii
Capa: Gláucia Correa Koller
Foto de capa: Sanjatosi/Shutterstock
Projeto gráfico de miolo: Gláucia Correa Koller
Editoração eletrônica: Casa de Tipos
 
Todos os direitos reservados por SOMOS 
Sistemas de Ensino S.A.
Rua Gibraltar, 368 – Santo Amaro
CEP: 04755-070 – São Paulo – SP
(0xx11) 3273-6000
© Somos Sistemas de Ensino S.A.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Uma publicação
Sistema de ensino pH : ensino médio : caderno 1 a
 4 : exatas, 3ª série : professor. -- 1. ed. --
 São Paulo : SOMOS Sistemas de Ensino, 2017.
 Vários autores.
 Conteúdo: Matemática I -- Matemática II -- 
Física -- Química -- Biologia
 1. Biologia (Ensino médio) 2. Física (Ensino
médio) 3. Livros-texto (Ensino médio) 4. Matemática
(Ensino médio) 5. Química (Ensino médio).
16-02090 CDD-373.19
Índices para catálogo sistemático:
1. Ensino integrado : Livros-texto : Ensino Médio 373.19
2019
ISBN 978 854 680 214-2 (PR)
Código da obra 87630348 
1ª edição
1ª impressão
Impressão e acabamento
Créditos das imagens de abertura: Matemática: Fotosearch/Latinstock, Shutterstock/
Michael Liggett, Dirk Wiersma/SPL/Latinstock, Alexandru Magurean/Getty Images 
(MatemáticaI), Tim Draper/Shutterstock (Matemática II), Ciências Naturais: Leon Halip/
Getty Images, Science Photo Library/Latinstock, USE/Science Photo Library/Latinstock, 
Fritz Polking/Science Photo Library/Latinstock, Richard Kail/Science Photo Library/
Latinstock, Reprodução/<http://apod.nasa.gov/> (Física), R. Ian Lloyd/Masterfile/
Latinstock (Química), Dr. Morley Read/Science Photo Library/Latinstock (Biologia)
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A Matemática: o incontornável fundamento de todas as ciências e a 
generosa fonte de benefícios para os assuntos humanos. 
Isaac Barrow
A Matemática, como ciência, busca desenvolver métodos para explicar e transformar o mundo ao nosso 
redor. Em todas as áreas técnico-científicas, a Matemática está presente, recolhendo dados, analisando, crian-
do, construindo, especulando, deduzindo e buscando padrões. A partir dessas análises, constroem-se axiomas, 
teoremas, lemas, ou seja, um corpo gigantesco teorizado e amarrado a uma estrutura lógica, rica e exata. A 
Matemática possui diversos ramos do conhecimento; ela estima quantidades e medidas; estuda formas dimen-
sionais, estruturas, variações de grandezas, tabelas, gráficos, etc. É a ciência do raciocínio lógico e abstrato.
Foi com base nessas ideias que elaboramos este material. Os conteúdos aqui selecionados possuem uma 
rede de informações que estão conectadas umas às outras por fundamentos e lógica. Temos como premissa 
auxiliar o aluno no desenvolvimento de inúmeras habilidades matemáticas que, quando bem administradas, lhe 
darão competências para analisar e inferir sobre os diversos acontecimentos do mundo, nas áreas financeira, 
econômica, computacional, empresarial ou sociocultural.
Diferentemente da maioria das disciplinas que estudam objetos e situações concretas 
e se referem a eles, a Matemática trata de noções e verdades de natureza abstrata. A ge-
neralidade das proposições matemáticas exige precisão, por isso requer alta concentração 
e cuidado por parte dos alunos; daí que muitos deles dizem não entender a disciplina. 
Tivemos um cuidado enorme em nosso material de Ensino Médio para que os assuntos 
sejam contextualizados por meio de situações-problema. Assim, o interesse pela matéria e 
a assimilação dela serão mais inteligíveis.
No material da 3a série do Ensino Médio, revisitaremos os conteúdos abordados 
nos dois anos anteriores deste segmento, além de apresentarmos outros que objetivam 
enriquecer ainda mais a bagagem de saber de nossos alunos. Sendo assim, além de 
complementarmos o trabalho feito durante a 1a e a 2a séries do Ensino Médio, faremos 
uma importante revisão dos assuntos vistos até então, o que solidificará a base de co-
nhecimento dos alunos e os preparará para enfrentar os diversos processos de seleção 
para o Ensino Superior, como o Enem e demais vestibulares. 
Destacamos, a seguir, os principais temas estudados na 3a série do Ensino Médio:
Matemática I 
•	Conjuntos:
Conceito de conjunto, elemento e relação de pertinência; conceito de subconjun-
to; operações entre conjuntos; conjuntos numéricos.
•	Grandezas e medidas:
Unidades de medida; razões e proporções; grandezas proporcionais; regras de 
três simples e composta.
•	Funções:
Definição de função; domínio e imagem de uma função; análise gráfica de fun-
ções; função polinomial do 1o grau, função polinomial do 2o grau; função modular; 
função exponencial; função logarítmica.
Apresentação
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•	Sequências numéricas:
Progressões aritméticas; progressões geométricas.
•	Matemática financeira:
Porcentagem e juros (simples e compostos).
•	Estatística: 
Noções de estudo estatístico; medidas de posição e de dispersão.
•	Matrizes e sistemas de equações:
Definição de matrizes como instrumento de armazenamento de informações; operações com matrizes; definição de 
sistema de equações (lineares e não lineares); resolução de sistemas de equações; classificação de um sistema linear 
quanto ao número de soluções; modelagem de uma situação-problema por meio de um sistema de equações.
•	Funções polinomiais:
Definição de polinômios; raízes de um polinômio; operações entre polinômios; equações polinomiais.
•	Geometria analítica no IR2:
Sistema cartesiano ortogonal; representação gráfica de pontos; distância entre pontos; coordenadas do ponto médio 
de um segmento; coordenadas do baricentro de um triângulo; área de polígonos no IR2; equações da reta e da 
circunferência no IR2.
Matemática II
•	Análise combinatória:
Princípio fundamental da contagem; número de arranjos simples; número de combinações simples; número de permu-
tações simples e com elementos repetidos; número de permutações circulares.
•	Probabilidade:
Cálculo de probabilidades em eventos equiprováveis e não equiprováveis; propriedades do cálculo de probabilidades; 
probabilidade da união e da interseção de eventos; probabilidade condicional. 
•	Trigonometria:
Trigonometria no triângulo retângulo (razões trigonométricas); relações entre as razões trigonométricas; círculo trigo-
nométrico; funções trigonométricas (funções seno, cosseno e tangente).
•	Geometria plana:
Propriedades gerais dos polígonos; triângulos; quadriláteros; teorema de Tales; semelhança de triângulos; escala; 
triângulo retângulo; leis dos senos e dos cossenos; áreas de figuras planas.
•	Geometria espacial:
Propriedades gerais dos poliedros; estudo dos principais sólidos geométricos: prismas, pirâmides, cilindros, cones e 
esferas (principais propriedades, planificações,cálculo de áreas e de volumes).
Os módulos do Caderno do Aluno foram estruturados de modo a criar um método bastante prático que vise ao desen-
volvimento pleno das habilidades e competências.
PArA coMeçAr
Na seção Para começar procuramos estimular o aluno 
apresentando questões ou problemas do cotidiano. As-
sim, o interesse pelo assunto se torna mais fácil e palpável.
PArA APrender
Em Para aprender serão explorados conceitos funda-
mentados em teorias que contribuem para o desenvolvi-
mento do raciocínio lógico do aluno, abrangendo a expli-
cação de diferentes fenômenos do cotidiano. Em alguns 
módulos aparecem boxes que visam complementar os 
assuntos de cada uma das seções.
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sItuAção-ProbleMA
Após o desenvolvimento do conteúdo, trazemos para 
o aluno situações-problema que o ajudarão a assimilar e 
aplicar o aprendizado.
PArA concluIr
Na seção Para concluir fazemos um apanhado geral 
sobre os principais objetos do conhecimento e habilida-
des desenvolvidas ao longo do módulo.
A seção pH+ foi especialmente pensada para as escolas 
que disponibilizam mais de cinco aulas por semana para o 
ensino de Matemática, ou mesmo para as que tenham de-
mandas específicas por conhecimentos mais aprofundados. 
Assim, para elas, temos um conteúdo extra, que pode ser 
explorado pelo professor de acordo com suas possibilidades.
pH
Na seção Gotas de saber temos textos curiosos sobre his-
tória da Matemática, biografia de algum ícone das ciências ou 
informações diversas trazidas pelo autor para estabelecer liga-
ção com o conteúdo do módulo.
gotAs de sAber
Esta seção aparece somente na 3a série do 
Ensino Médio. Trata-se de um resumo de cada 
módulo, que estará sempre no fim de cada Ca-
derno para facilitar os estudos dos alunos.
Q
ua
dr
o 
de
 e
st
ud
o
Vale ressaltar que os objetos do conhecimento e as ha-
bilidades pensadas para serem desenvolvidas na 3a série 
do Ensino Médio são baseadas na Matriz de Referência do 
Enem; não obstante, temos diversas habilidades extras que 
julgamos fundamentais para os alunos.
O Manual do Professor é um canal para o fomento e 
o fortalecimento de ideias, cujo intuito é dar ao professor 
ferramentas de ensino-aprendizagem para melhor abor-
dar o conteúdo com seus alunos. Para isso, dividimos o 
Manual em:
•	Estratégias de aula, que enriquecerão ainda mais a 
bagagem cultural e acadêmica do professor, incluin-
do também uma sugestão de quadro para facilitar 
o atribulado dia a dia dos professores.
•	Atividades complementares, que propõem ações 
lúdicas para facilitar o florescimento das habilidades 
que esperamos que os alunos alcancem.
•	Material de apoio, que traz textos da internet, curio-
sidades, livros recomendáveis, etc.
•	Gabarito comentado dos exercícios considerados 
mais complexos do Caderno do Aluno.
Nosso material foi preparado – de professores para 
professores – com muito carinho, pensando nas melhores 
relações que podem ser desenvolvidas com os alunos. O 
objetivo é criar um ambiente em que imperem a vontade 
e a busca pelo conhecimento. A equipe de autores do pH 
deseja a você grandiosas experiências, seja em sala de aula, 
seja em trabalhos extracurriculares desenvolvidos pela es-
cola no ano letivo que se inicia. Que possamos – juntos – 
andar, tropeçar, correr e até mesmo voar por esse caminho 
que nos conduzirá pelo vasto universo da Matemática.
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sumário 
geral
MateMática e suas tecnologias
1 Conjunto, elemento e 
pertinência
M
ó
d
u
lo
4 Dependência entre 
grandezas
M
ó
d
u
lo
2 Conjuntos numéricos, 
mmc e mdc
M
ó
d
u
lo
5 Introdução à função e 
análise gráfica
M
ó
d
u
lo
3 Grandezas e medidas
M
ó
d
u
lo
6 Função polinomial 
do 1o grau
M
ó
d
u
loM
A
te
M
á
tI
c
A
 I 8
23
13
28
19
33
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HAbIlIdAdes e coMPetêncIAs
Competência	de	área	1	– Construir significados para os números naturais, 
inteiros, racionais e reais.
 H1 – Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, 
racionais ou reais.
 H2 – Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
 H3 – Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
 H4 – Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
 H5 – Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência	de	área	2	– Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a 
representação da realidade e agir sobre ela.
 H6 – Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
 H7 – Identificar características de figuras planas ou espaciais.
 H8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
 H9 – Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência	de	área	3	– Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade 
e a solução de problemas do cotidiano.
 H10 – Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
 H11 – Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
 H12 – Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
 H13 – Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
 H14 – Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência	de	área	4	– Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade 
e a solução de problemas do cotidiano.
 H15 – Identificar a relação de dependência entre grandezas.
 H16 – Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
 H17 – Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
 H18 – Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência	de	área	5	– Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas 
 ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
 H19 – Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
 H20 – Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
 H21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
 H22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
 H23 – Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência	de	área	6	– Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, 
realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
 H24 – Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
 H25 – Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
 H26 – Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência	de	área	7	– Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e 
utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para 
interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística.
 H27 – Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
 H28 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
 H29 – Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
 H30 – Avaliar propostas de intervenção na realidadeutilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
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ObjetOs dO cOnhecimentO habilidades
•	Conceitos de conjunto, elemento e pertinência
•	Definição de conjunto unitário e conjunto vazio
•	Subconjuntos
•	União, interseção e diferença de conjuntos
•	Reconhecer e quantificar conjuntos finitos.
•	Reconhecer a relação entre elemento e pertinência.
•	Reconhecer e quantificar subconjuntos de conjuntos 
finitos.
•	Formar novos conjuntos através das operações entre 
eles e saber quantificá-los, dando ênfase ao princípio 
da inclusão e da exclusão.
•	Realizar as operações com o auxílio de diagramas.
1
Módulo
Conjunto, elemento 
e pertin•ncia
Introdução
Este módulo dedica-se ao estudo dos conjuntos. Ao 
final, os alunos deverão saber distinguir o uso do símbolo 
de pertence, do símbolo de está contido, bem como re-
solver problemas utilizando diagramas e saber efetuar as 
operações com conjuntos.
estratégIas de aula
 AulA 1
Sugerimos como primeiro passo para a apresentação 
do tema a análise da situação-problema apresentada no 
Caderno do Aluno para evidenciar a utilidade do uso de 
diagrama em problemas de conjuntos.
Para aprimorar o uso do diagrama de Venn como fer-
ramenta para a resolução de problemas, indicamos os 
exercícios abaixo.
Para sala de aula:
•	Praticando o aprendizado: 1, 2 e 6.
Para casa:
•	Praticando o aprendizado: 3, 8.
•	Desenvolvendo habilidades: 2.
 sugestão De quADro
Vamos representar dois conjuntos A e B contidos em um universo U; eles podem ser representados usando o diagrama de Venn.
B
¿
A
8
pH_EM3_C1_008a012_M1_Mat_MP.indd 8 5/5/16 6:44 PM
 AULA 2
Esclareça os conceitos apresentados na seção Para aprender e explique as operações entre conjuntos.
Os exercícios sugeridos para essa aula estão indicados a seguir.
Para sala de aula:
Aprofundando o conhecimento: 1 e 2.
Para casa: 
Aprofundando o conhecimento: 3.
 SUGESTÃO DE QUADRO
Representando a situação descrita na seção Para começar, pode-se montar o seguinte diagrama:
ø 5 100%
Haja 
coração
O fugitivo
35% 25% 50%
Ao somar os percentuais 35%, 25% e 50%, o valor encontrado é superior a 100% (mais do que o universo de pessoas que 
assistem televisão!), o que demonstraria a inconsistência da matéria do jornal.
CONJUNTO
A conjunto associamos a ideia de coleção ou clas-
se e, à ideia de elementos, os objetos que constituem o 
conjunto.
[x
Elemento Conjunto
A
Exemplo: A = {1, 2, 3}
• 1 [ A
• 5 Ó A
Se A é um conjunto formado pelas letras da palavra 
“ENGENHARIA” temos:
a [ A, n [ A, p Ó A 
Subconjunto 
Diz- se que um conjunto A é subconjunto ou parte de B 
se todos os elementos de A são também elementos de B, 
ou seja, se A está contido em B.
Exemplo: A 5 {1, 2} e B 5 {1, 2, 3, 4}
3
1
2
4 A , B (A está contido em B)
B . A (B contém A)
Obs.: O conjunto vazio está contido em qualquer con-
junto inclusive nele próprio (∅ , A e ∅ , ∅)
Escrever que A , B (A está contido em B) é o mesmo 
que escrever B . A (B contém A).
,A
Conjunto Conjunto
B
Conjunto das partes
Denomina-se conjunto das partes de A ao conjunto 
P(A) formado por todos os subconjuntos de A.
Exemplo: A = {1, 2, 3}
P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
Repare que se n(A) 5 x elementos ⇒ n(P(A)) = 2x ele-
mentos.
A B
9
C
o
nj
un
to
, e
le
m
en
to
 e
 p
er
ti
nê
nc
ia
M
A
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C
A
 I
M
ó
d
u
lo
 1
pH_EM3_C1_008a012_M1_Mat_MP.indd 9 9/5/18 10:04 AM
 AulA 3
Faça o exercício indicado na sugestão de quadro. 
Abaixo, seguem outras sugestões de exercícios.
Para sala de aula:
Desenvolvendo habilidades: 6.
Aprofundando o conhecimento: 10.
Para casa:
Desenvolvendo habilidades: 7 e 8.
Aprofundando o conhecimento: 11, 12 e 13.
 sugestão De quADro
eXerCÍCIo
Dados os conjuntos A 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, 
B 5 {8, 10, 12, 15} e C 5 {8, 10}, vamos calcular:
a) A ø B
b) A ù B
c) A 2 B
d) B 2 A
e) C
B
C
Solução:
a) A ø B 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15}
b) A ù B 5 {8, 10}
c) A 2 B 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}
d) B 2 A 5 {12, 15}
e) C
B
C 5 B 2 C 5 {12, 15}
gabarIto coMentado
 PrAtICAnDo o APrenDIzADo
1. b. 
Considerando N o conjunto dos indivíduos que usam 
notebook e T o conjunto dos indivíduos que usam ta-
blet, temos os seguintes diagramas:
 
N
27 55 2 27 5 28
T
x
 Assim:
 28 1 x 5 45 ⇒ x 5 17, onde x é o número de indivíduos 
que usam apenas o tablet. 
2. a. 
O número máximo de alunos matriculados nos três 
cursos não pode superar o número de alunos matri-
culados no curso de francês. Portanto, o resultado pe-
dido é 130. 
3. d. 
Os países que integram exatamente 3 das organiza-
ções são: Peru, Equador, Colômbia, Venezuela, Para-
guai, Argentina e Uruguai. Portanto, a resposta é 7.
4. d. 
A % B 5 {1, {1}, ∅, a, 2, {∅}, b} 2 {1, a} 5 {{1}, ∅, {∅}, 2, b}.
5. c. 
Considere o diagrama a seguir:
U
A
B
C
36 y
z
15
30x
20
T
3
 De acordo com as informações do enunciado, segue 
que:
 
x 80 (20 15 36)
y 85 (20 15 30)
z 65 (20 30 x)
x 9
y 20
z 6
⇔










5 2 1 1
5 2 1 1
5 2 1 1
5
5
5
 Portanto:
 
2T
3
80 30 20 6 T 204⇔5 1 1 1 5
6. d. 
Utilizando M para Matemática, F para Física e Q para 
Química, tem-se:
M 5 14
F 5 16
Q 5 12
MF 5 7
FQ 5 8
MQ 5 5
MQF 5 4
10
pH_EM3_C1_008a012_M1_Mat_MP.indd 10 5/5/16 6:44 PM
 MQ , MQF; logo, tem-se 1 aluno que gosta apenas de 
Matemática e Química e 4 que gostam das três maté-
rias simultaneamente (5 2 4 5 1). As demais deduções 
podem ser feitas analogamente pela teoria de conjun-
tos, conforme o diagrama a seguir. 
 
M F
Q
6 5
3
1
3
4
4
 Assim, o total de alunos que gostam de ao menos uma 
matéria é: 6 1 3 1 4 1 5 1 4 1 3 + 1 5 26
 Se o total de alunos na sala é 40, então o número de alu-
nos que não gostam de nenhuma matéria é: 40 2 26 5 14.
7. c. 
Se ( r, n) denota o palpite correto sobre o resultado r 
do jogo do time n, segue que:
 (r, n) [ {(d, 1), (d, 2), (v, 3), (d, 4), (v, 5)}, sendo 
d 5 derrota e v 5 vitória.
 Desse modo, N
A
 5 N
B
 5 4 e N
C
 5 3. Portanto, N
A
 5
5 N
B
 . N
C
.
8. e. 
Considere a figura, em que A, S e P são, respectivamen-
te, o conjunto dos alunos que fariam Administração, o 
conjunto dos alunos que fariam Sistemas de Computa-
ção e o conjunto dos alunos que fariam Pedagogia.
 
U
A S
P
x
350 250
200
200
50150
100
 Sendo n(U) 5 1 800 e n(U 2 (A ø S ø P)) 5 x, temos
 800 1 250 1 50 1 200 1 x 5 1 800 ⇔ x 5 500.
 Portanto, o número de jovens que não fariam nenhum 
dos cursos elencados é 500.
 DESENVOLVENDO HABILIDADES
1. d. 
O candidato X pode ter de 33% a 39% dos votos, o 
candidato Y de 30% a 36% dos votos e o candidato Z 
de 28% a 34% dos votos. Assim:
 Todos os candidatos têm chances de vencer;
 Y pode vencer com uma diferença de até 
36% 2 33% 5 3% sobre X;
 Z pode vencer com uma diferença de até 
34% 2 33% 5 1% sobre X e 34% 2 30% 5 4% sobre Y.
 Logo, das alternativas apresentadas a única correta 
é a d.
2. c. 
Sendo C
1
, C
2
 e C
3
 os conjuntos de originais que serão 
utilizados, respectivamente, na produção de cada um 
dos catálogos, então:
n (C
1
 ø C
2
 ø C
3
) 5 n(C
1
) 1 n(C
2
) 1 n(C
3
) 2 [n (C
1
 ù C
2
) 1
1 n (C
1
 ù C
3
) 1 n (C
2
 ù C
3
)] 1 n (C
1
 ù C
2
 ù C
3
) 5 
5 50 145 1 40 2 (10 1 6 1 5) 1 4 5 118
 Logo, o fabricante necessitará de 118 originais de im-
pressão.
3. b. 
Seja n o número de homens e de mulheres na po-
pulação. Então a porcentagem aproximada de bra-
sileiros que não sentem vontade de fazer sexo, de 
acordo com a reportagem, é 
? 1 ?
1
35% n 12% n
n n
 .
. 24%.
5. c. 
Sejam N, F e T, respectivamente, os conjuntos dos as-
sociados do clube que se inscreveram para as aulas de 
natação, tênis e futebol.
 Sejam x e y os números de associados inscritos si-
multaneamente para futebol e natação e para tênis 
e natação, respectivamente, isto é, x 5 n(N ù F) e 
y 5 n(N ù T ).
 Como nenhum associadopoderá frequentar simulta-
neamente as aulas de tênis e futebol, temos que T ù F 
5 ∅. Portanto, os três conjuntos podem ser represen-
tados pelo diagrama a seguir:
 
F T
N
38 2 x 50x y 17 2 y
 Como o total de inscritos em natação é 85, temos: x 1 
y 1 50 5 85 ⇒ x 1 y 5 35
 Como o número de inscritos apenas para futebol ex-
cede em 10 o número de inscritos apenas para tênis, 
temos:
11
C
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, e
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en
to
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 p
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 38 − x 5 17 2 y 110 ⇒ x 2 y 5 11
 Logo:
 




1 5
2 5
5
x y 35
x y 11
x 23
6. c. 
Sejam P, M e F, respectivamente, o conjunto dos alu-
nos aprovados em Português, o conjunto dos alunos 
aprovados em Matemática e o conjunto dos alunos 
aprovados em Física. 
 Se n(P ù M ù F) 5 x então, pelo princípio da inclusão 
e da exclusão, temos:
 n(P ø M ø F) 5 
 5 n(P) 1 n(M) 1 n(F) 2 n(P ù M) 2 n(P ù F) 2 n(M ù F) + 
 1 n(P ù M ù F) 5 688 2 x 1 832 2 x 1
 1 800 2 x 2 220 2 214 2 316 1 x 5 1 570 2 2x
 Portanto, sendo U o conjunto universo, temos:
 n(U) 5 n(P ø M ø F) 1 n(P ø M ø F) ⇔
 ⇔ 1 472 5 1 570 2 2x 1 142 ⇔ x 5 120.
8. a. 
 
Manhã
Noite
Tarde
60 2 y 35 2 x 2 y
25 2 x
y
x0
0
 Temos que:
 60 2 y 1 x 1 y 1 25 2 x 1 35 2 y 2 x 5 100 ⇒
 ⇒ 2 (x 1 y) 5 100 2 120 ⇒ x 1 y 5 20
 Somente no período da tarde: 35 2 20 5 15%.
 Tarde e noite: x é no máximo 20% (pois x 1 y 5 20).
 Somente no período da noite: no mínimo 5% 
(25 2 20 5 5).
9. c. 
Considere o diagrama:
 
SG
E
1 400 y
z
400
x500
300
 Temos que 0,52 ? 5 000 5 2 600 clientes adquiriram 
cupons de Gastronomia, 0,46 ? 5 000 5 2 300 adquiriram 
cupons de Saúde & Beleza e 0,44 ? 5 000 5 2 200 adquiri-
ram cupons relacionados a Entretenimento.
 Sabendo que 300 clientes compraram cupons dos 
três segmentos disponíveis e 800 clientes adquiriram 
ofertas de Gastronomia e Entretenimento, segue que 
800 2 300 5 500 clientes compraram cupons apenas 
dos segmentos Gastronomia e Entretenimento.
 Analogamente, 700 2 300 5 400 clientes compraram 
cupons apenas dos segmentos Gastronomia e Saú-
de & Beleza. Logo, o número de clientes que com-
praram apenas cupons de Gastronomia é dado por 
2 600 2 (300 1 400 1 500) 5 1 400. 
 Assim, obtemos o sistema 
1 1 1 5
1 1 1 5
1 1 1 5
1 1 5
1 5
1 5
5
5
5
x y z 2600 5000
x y 300 400 2300
x z 300 500 2 200
x y z 2400
x y 1600
x z 1400
x 600
y 1000
z 800





⇔





⇔





 Portanto, o número de clientes que compraram exata-
mente um cupom é dado por
 y 1 z 1 1 400 5 1 000 1 800 1 1 400 5 3 200.
10. b. 
 
A B
480 2 x x 392 2 x
 480 2 x 1 x 1 392 2 x 5 560 ⇒
 ⇒ 2 x 5 560 2 480 2 392 ⇒
 ⇒ 2 x 5 2 312 ⇒ x 5 312
 Logo, o número de candidatos escritos somente em A 
é 480 2 312 5 168. 
11. e. 
Considere o diagrama.
 
U
A
B
C
20
60 10
50
x
xx
36
 Sabendo que 200 pacientes foram entrevistados, temos:
 x 1 x 1 x 1 36 1 60 1 50 1 10 1 20 5 200 ⇔
 ⇔ 3x 1 176 5 200 ⇔
 ⇔ x 5 8.
 Portanto, o resultado pedido é 3 ? 8 1 36 5 60.
12
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ObjetOs dO cOnhecimentO habilidades
•	Conjuntos numéricos: naturais, inteiros, ra-
cionais, irracionais, reais e complexos
•	mmc e mdc
•	H1 - Reconhecer, no contexto social, diferentes significados 
e representações dos números e operações – naturais, in-
teiros, racionais ou reais. 
•	H3 - Resolver situação-problema envolvendo conhecimen-
tos numéricos.
•	H4 - Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na 
construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
•	H5 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizan-
do conhecimentos numéricos.
2
Módulo
Conjuntos numéricos, 
mmc e mdc
INTRODUÇÃO
Este módulo dedica-se ao estudo de conjuntos numéricos, mmc e mdc. Ao final do módulo, os alunos deverão saber 
distinguir os diferentes conjuntos numéricos, calcular o mmc e o mdc entre números naturais – principalmente, aprender a 
resolver situações-problema que envolvam o cálculo do mmc e do mdc – e razão entre grandezas e proporções. 
esTRaTégIas De aUla
 AulA 1
Mostre os diferentes conjuntos numéricos e a representação na reta real. Ao explicar o conjunto dos números racionais, 
mostre como transformar uma dízima periódica em uma fração. 
Ressalte as convenções (1), (2) e (*). 
aNOTaÇões
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c 
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Sugestão de exercícios para a aula:
Praticando o aprendizado: 1 e 4.
Desenvolvendo habilidades: 1, 2, 6, 7 e 9.
Sugestão de exercícios para casa:
Aprofundando o conhecimento: 1, 2, 3, 4 e 7.
 AULA 2
 SUGESTÃO DE QUADRO
 SUGESTÃO DE QUADRO
CONJUNTOS NUMÉRICOS
a) Naturais: N = {0, 1, 2, 3, ...}
b) Inteiros: Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
Observações:
• (*): elimina o zero de um conjunto:
N* = {1, 2, 3, ...}
• (+): elimina os números negativos de um conjunto:
Z
+
 = {0, 1, 2, 3 ...}
• (–): elimina os números positivos de um conjunto:
Z
–
 = {..., –3, –2, –1, 0}
c) Racionais: Q = {x = 
a
b
 / a [ Z e b [ Z*}
5
5
5
( )
( )
( )








São racionais:
Inteiros exemplo: 2
2
1
Decimais exatos exemplo: 2,17
217
100
Dízimas periódicas exemplo: 0,4343...
43
99
d) Irracionais (I): dízimas não periódicas
Exemplos: 2 = 1,4142135... p = 3,1415926...
e) Reais: R = Q < I.
f) Complexos (Q): conjunto formado pelos números reais e 
pelos números imaginários.
Z
R
C
Q I
N
mmc: mínimo múltiplo comum positivo e diferente de zero entre determinados números.
mmc(20, 30) = ?
Fatoração simultânea
mmc (20, 30) = 22 ? 3 ? 5 5 60
20, 30
10, 15
5, 15
5, 5
1, 1
2
2
3
5
Fatoração isolada
mmc: fatores primos comuns e não comuns elevados aos maiores expoentes.
mmc(20, 30) = 22 · 3 · 5 = 60
20
10
5
1
30
15
5
1
2
2
5
2
3
5
22 · 5 2 · 3 · 5
14
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Sugestão de exercícios para a aula:
Praticando o aprendizado: 3 e 8.
Aprofundando o conhecimento: 13 e 5.
Sugestão de exercícios para casa:
Aprofundando o conhecimento: 5 e 6.
 AulA 3
 sugestão De quADro
mdc: maior divisor comum positivo entre dois números.
mdc(120, 168) 5 ?
Fatoração simultânea
mdc(120, 168) = 23 · 3 = 24
120, 168
60, 84
30, 42
15, 21
5, 7
2
2
2
3
Fatoração isolada
mdc: fatores primos comuns elevados aos menores expoentes.
mdc(120, 168) = 23 · 3 = 24
120
60
30
15
5
1
2
2
2
3
5
23 · 3 · 5
168
84
42
21
7
1
2
2
2
3
7
23 · 3 · 7
Sugestão de exercícios para a aula:
Praticando o aprendizado: 2, 5 e 7.
Desenvolvendo habilidades: 3 e 10.
Aprofundando o conhecimento: 13 e 5.
Sugestão de exercícios para casa:
Aprofundando o conhecimento: 9, 11 e 17.
Sugerimos também a análise da 2a e da 3a situações-problema apresentadas no Caderno do Aluno para mostrar que se 
trata do cálculo do mdc(1 260, 1 680, 2 100, 2 520) e do mmc(50, 60). 
A partir daí, mostre como calcular o mdc e o mmc através da fatoração simultânea e da fatoração separada. É de extrema 
importância que o aluno compreenda o conceito do mmc e do mdc.
aTIvIDaDes cOMpleMeNTaRes
Na seção gotas de saber é apresentado o Crivo de Erastóstenes, que permite determinar os primeiros números primos 
compreendidos entre 1 e um número máximo. Sugerimos a seção como leitura complementar.
Na seção pH+ deste módulo, apresentamos uma introdução ao conjunto dos números complexos – parte algébrica – que 
não é um tema abordado no Enem. Apesar disso, caso consiga inserir esse tópico em seu planejamento da semana, sugerimos 
trabalhá-lo com os alunos. 
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GABARITO COMENTADO
 PRATICANDO O APRENDIZADO
1. d. 
 Sendo x o número de moedas de cada valor, temos:
 0,01x 1 0,05x 1 0,10x 1 0,25x 1 0,5x1 1x 5 13,37 ⇒
 ⇒ 1,91x 5 13,37 ⇒ x 5 7
 Logo, são 7 moedas de 1 centavo, 7 moedas de 5 centa-
vos, 7 moedas de 10 centavos, 7 moedas de 25 centavos, 
7 moedas de 50 centavos e 7 moedas de 1 real, total de 
7 ? 6 5 42 moedas.
2. c. 
 Valor de cada prestação 5 R$ 1 800 : 12 5 R$ 150,00
 Fração do salário a ser usada para pagar cada parcela: 
150
1800
1
8
5 
3. d. 
 mmc (40; 32; 28) 5 25 ? 5 ? 7 5 1 120
4. c. 
 Como a régua é graduada de 0,5 em 0,5 cm, x vale 
aproximadamente 0,6 cm. Então, 2x 1 1 5 2 ? 0,6 1 1 5 
5 2,2, que é o ponto T.
5. b. 
 Em 1 bolacha temos 15 g de carboidratos, em x pés de 
alface temos: x ? 0,5 g de carboidratos. Como a quanti-
dade de carboidratos é a mesma: 0,5x 5 15 ⇒ x = 30
7. d. 
 Como o carregamento de 1 500 telhas equivale ao de 
1 200 tijolos, o carregamento de 1 500 2 900 5 600 te-
lhas equivalerá ao de 600 ? 
1200
1500
 5 480 tijolos.
 DESENVOLVENDO HABILIDADES
1. d. 
 De acordo com a figura, a menor distância que o as-
teroide YU 55 passou da superfície da Terra é igual a 
325 000 km 5 3,25 ? 105 km. 
3. d. 
 A criança precisa de 
9 200
20
 5 460 períodos para tro-
car os tíquetes pela bicicleta. Logo, o valor gasto é 
460 ? 3 5 1 380 reais.
6. a. 
 Sendo: x 5 0,3121212... (1)
 10x 5 3,121212... (2)
 1000x 5 312,1212... (3)
 De (3) – (2): 990x 5 312 – 3 ⇒ 990x 5 309 ⇒
 ⇒ x 5 
309
990
103
330
5 
8. c. 
 Seja 13X98207 o número anotado por João. Assim, 
7 ocupa a posição da unidade, 0 a da dezena, 2 da 
centena, 8 a de unidade de milhar, 9 a de dezena de 
milhar e X a de centena de milhar.
9. e. 
 
6
8
3
4
5 5 0,75 5 75%. Portanto, a resposta é 3. 
10. d. 
 Do dia 1o de janeiro ao dia 31 de maio (período em que 
acontecem as férias do maquinista), temos 31 1 28 1
1 31 1 30 1 31 5 151 5 4 ? 37 1 3 dias, ou seja, o 
maquinista pode fazer, no máximo, 37 viagens. Já no 
período de 11 de junho a 31 de dezembro, temos
20 1 31 1 31 1 30 1 31 1 30 1 31 5 204 5 4 ? 51 dias, 
sendo possível para o maquinista realizar, no máximo, 
51 viagens. Assim, para ganhar o máximo possível, o 
maquinista terá de fazer 37 1 51 5 88 viagens no ano.
 APROFUNDANDO O CONHECIMENTO
1. d. 
 O comprimento de XY é igual a X – Y, ou seja:
 2 5
2
5 5
3
2
1
6
9 1
6
8
6
4
3
 
 Assim, podemos fazer:
 1 ? 5 1 5
1
5
1
6
4
2
15
1
6
8
15
5 16
30
21
30
 Então, o ponto D representa o número 
7
10
.
7. b. 
 Projetando o ponto O sobre o lado graduado da reta, 
encontra-se um ponto M, médio de CD.
 Como EM 5 AO, tem-se:
 BO 5 raio 5 EM 2 AB 
 EM 5 EC 2 MC
 5 5
2
MC
DC
2
EC ED
2
 MC 5 1,25 cm
 EM 5 4,5 2 1,25 5 3,25 cm
 Logo, BO 5 3,25 2 1,6 5 1,65 cm
 Portanto, o diâmetro do círculo mede:
 2 ? 1,65 5 3,3 cm
16
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13. b. 
 De acordo com os dados da tabela, tem-se:
 n 12
11 x
n 20
19 y
n 18
17 z
 
O dividendo corresponde à soma do resto com o pro-
duto do divisor pelo quociente.
 Então:
 
n 5 12x 1 11
n 1 1 5 12x 1 12
n 1 1 5 12(x 1 1)
 
n 5 20y 1 19
n 1 1 5 20y 1 20
n 1 1 5 20(y 1 1)
 
n 5 18z 1 17
n 1 1 5 18z 1 18
n 1 1 5 18(z 1 1)
 Observa-se que n 1 1 é múltiplo comum de 12, 20 e 18.
 O mínimo múltiplo comum de 12, 20 e 18 é 180, por-
tanto n 1 1 5 180t, t [ N
 Como n , 1 200, logo:
 n 1 1 51 080
 n 5 1 079
 A soma dos algarismos de n corresponde a 1 1 0 1 7 1 
1 9 5 17. 
14. d. 
 Sejam x e y os dois números, tem-se:
 
x 1 y 5 2
x ? y 5 5
⇔
y 5 2 2 x
(x 2 1)2 5 24
y 5 2 2 x
x ? (2 2 x) 5 5
⇔
 Logo, sabendo que (x 2 1)2 > 0 para todo x real, pode-
mos concluir que x é um complexo não real. Em con-
sequência, y também é um complexo não real. 
15. e. 
 Tem-se que DEF [ {420, 642, 864} e GHIJ [ {7 531, 
9 753}. Analisando as possibilidades, concluímos que 
a única possível para o código é 980 – 642 – 7 531 e, 
portanto, C 5 0.
16. c. 
 Calculando o desvio absoluto da espessura de cada len-
te em relação à medida de 3 mm, obtemos: |3,10 – 3| 5 
5 0,100; |3,021 – 3| 5 0,021; |2,96 – 3| 5 0,040; |2,099 – 3| 5 
5 0,901 e |3,07 – 3| 5 0,070. 
 Portanto, o menor desvio absoluto é o da lente de es-
pessura 3,021 mm.
19. e. 
 Alternativa a: incorreta. Tomando a 5 9 e b 5 4, segue 
que:
 9 4 13 9 4 3 2 51 5 1 5 1 5±
 Alternativa b: incorreta. Para a 5 1 e b 5 21, obtemos:
 a2 2 b2 5 12 2 (21)2 5 1 2 1 5 0
 Porém, a ? b.
 Alternativa c: incorreta. Qualquer que seja o número 
real a, temos que a2 5 |a|. Observe que, por exem-
plo, ( 1)22 5 |21| 5 1 Þ 21.
 Alternativa d: incorreta. Sejam a 5 21 e b 5 1. Temos 
que 21 , 1 e 
1
1
1
1
.
2
. 
 Alternativa e: correta. Como 0 , a , 1, segue que:
 0 , a2 , a ⇔ 0 , a2 , a ⇔ , ,0 a a ⇔
 ⇔ 0 , a , a
 Portanto, 0 , a2 , a , a ⇒ 0 , a2 , a .
pH
1. e. 
 Tem-se que:
 k
1
z
1
 1 k
2
z
2
 5 z
3
 ⇔ 
 ⇔ k
1
(2 1 2 ? i) 1 k
2
(5 2 6 ? i) 5 24 1 18 ? i ⇔ 
 ⇔ (2k
1
 1 5k
2
) 1 (2k
1
 2 6k
2
) ? i 5 24 1 18 ? i ⇔
 
2k
1
 1 5k
2
 5 24
2k
1
 2 6k
2
 5 18
⇔
k
1
 5 3
k
2
 5 22
⇔ 
 Portanto, a resposta é k
1
k
2 5 322 5 
1
32
 5 
1
9
.
2. a. 
 Substituindo o valor de z na equação dada e resolvendo:
 z 1 wi 5 i ⇒ 1 2 
1
i
 1 wi 5 i ⇒
 ⇒ i 2 1 1 wi2 5 i2 ⇒
 ⇒ i 2 1 1 w ? (21) 5 (21) ⇒
 ⇒ i 2 1 2 w 5 21 ⇒
 ⇒ w 5 i
3. c. 
 Como i4 5 (i2)2 5 (–1)2 5 1, vem: 
 z 5 i2014 2 i1987 5 i4 ? 503 1 2 2 i4 ? 496 1 3 5 (i4)503 ? i2 2 (i4)496 ? i3 5 
5 21 1 i
5. d. 
 Calculando a soma dos 2 014 termos de uma PG de 
primeiro termo 1 e razão i, temos:
 i0 1 i1 1 i2 1 i3 1 ... 1 i2013 5 
1 (i 1)
i 1
i 1
i 1
2014 2
? 2
2
5
2
2
5
 
2
i 1
(1 i)
(1 i)
i 15
2
2
?
1
1
5 1
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c 
e 
m
d
c
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 I
M
—
d
u
lo
 2
pH_EM3_C1_013a018_M2_Mat_MP.indd 17 9/21/18 9:49 AM
6. c. 
 Sabendo que:
 i5 5 i4 ? i 5 (i2)2 ? i 5 (21)2 ? i 5 i
 Temos:
 (1 2 i)10 5 [(1 2 i)2]5 5 (1 2 2i 1 i2)5 5 (22i)5 5 (22)5i5 5 232i
7. c. 
 (1 1 i)20 5 [(1 1 i)2]10 5 (1 1 2i 1 i2)10 5 (2i)10 5 1 024 ? i2
 (1 2 i)20 5 [(1 2 i)2]10 5 (1 2 2i 1 i2)10 5 (22i)10 5 1 024 ? i2
 Logo, (1 1 i)20 2 (1 2 i)20 5 0.
8. c. 
 1 5 5 ?
1
2
5 ?
1 1
2 1
5 ?
1 2
2 2
5 2( ) ( ) (x y) (3x) 9 1 i1 i 9 1 2i i1 2i i 9 1 2i 11 2i 1 92 2
2 2
2
aNOTaÇões
18
pH_EM3_C1_013a018_M2_Mat_MP.indd 18 5/5/16 6:45 PM
ObjetOs dO cOnhecimentO habilidades
•	Conversão de unidades de medida
•	Relação entre grandezas e unidades de medida
•	H10 - Identificar relações entre grandezas e unidades 
de medida.
•	H12 - Resolver situação-problema que envolva medi-
das de grandezas.
•	H13 - Avaliar o resultado de uma medição na constru-
ção de um argumento consistente. 
•	H14 - Avaliar proposta de intervenção na realidade 
utilizando conhecimentos geométricos relacionados a 
grandezas e medidas.
3
Módulo
Grandezas e medidas
introdução
Este módulo tem como objetivo o estudo de grandezas 
e medidas. Ao final do módulo, os alunos deverão conse-
guir converter unidades de medida e relacionar grandezas. 
estratégias de aula
 AulA 1
Trabalhe a conversão de unidades de medida.
 SugeStão de quAdro
ConverSão de unidAdeS
Unidades de medida de comprimento
km hm
?10
dam m dm cm mm
?10 ?10 ?10 ?10 ?10
:10 :10 :10 :10 :10 :10
Unidades de medida de área
km2 hm2
?102
dam2 m2 dm2 cm2 mm2
?102 ?102 ?102 ?102 ?102
:102 :102 :102 :102 :102 :102
Unidades de medida de volume
km3 hm3
?103
dam3 m3 dm3 cm3 mm3
?103 ?103 ?103 ?103 ?103
:103 :103 :103 :103 :103 :103
Algumas unidades de volume são relacionadas a algu-
mas medidas de capacidade. Por exemplo: 
1 m³ (lê-se um metro cúbico) = 1 000 litros 
1 dm³ (lê-se um decímetro cúbico) = 1 litro 
1 cm³ (lê-se um centímetro cúbico) = 1 mililitro (mL)
19
G
ra
nd
ez
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 e
 m
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id
as
m
a
te
m
á
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M
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Sugestão de exercícios para a aula:
Praticando o aprendizado: 2 e 6.
Desenvolvendo habilidades: 1, 3 e 5.
Sugestão de exercícios para casa:
Aprofundandoo conhecimento: 2, 4 e 5.
 AULA 2
Sugerimos uma situação-problema que envolva con-
versão de unidades. Segue um exemplo:
Classifique as sentenças em verdadeiras ou falsas.
 I. Uma jarra cheia de leite tem massa 235 dag; com 
3
4
 de leite a jarra tem massa 19,5 hg. A massa da 
jarra com 
5
8
 de leite é y gramas.
 A soma dos algarismos de y é igual a 13.
 
J L 235
J
3
4
L 195
L 160
J 75{




⇒
1 5
1 5
5
5
 ⇒
 ⇒ J 1 
5
8
L 5 75 1 ?
5
8
160
20
5 175 ⇒ 
 ⇒ 1 1 7 1 5 5 13 (verdadeira)
 II. Com 
3
5
 de 0,6 da metade de 1 lata que comporta 
20 L de tinta, um pintor consegue pintar uma área 
de 16 m². Para pintar uma área 25% menor, é neces-
sário 0,003 m² de tinta. 
 
3
5
6
9
1
2
20 4 L
1
1
1
1
? ? ? 5
 4 L → 16 m2
 x L 5 
75
100
 ? 16 m2 ⇒ 
4
x
16
3
4
16
5
?
 ⇒ 
 ⇒ x 5 3 L 5 3 dm3 5 0,003 m3 (verdadeira)
 III. Um pedreiro prepara uma mistura com 1 kg de ci-
mento e 600 mL de água. Em seguida, ele aumenta 
em 50% a quantidade de cimento e mexe até a mistu-
ra ficar homogênea, obtendo 1 800 mL dessa mistura.
 Se a densidade da água é 1 g/mL, então a densidade 
do cimento é igual a 1,25 kg/L.
 1,5 kg de cimento ⇒ 1,2 L (1,8 L de mistura 2
 2 0,6 L de água)
 D 5 5 5 5
1,5
1,2
15
12
5
4
1,25 kg/L (verdadeira) 
 E, através desses exemplos, mostrar as diversas 
conversões de unidades: comprimento, área, volu-
me, massa.
 É importante ressaltar que, apesar de o conteúdo 
ser básico, ele é essencial para realizar o Enem.
Sugestão de exercícios para a aula:
Praticando o aprendizado: 8.
Desenvolvendo habilidades: 2 e 10.
Aprofundando o conhecimento: 6.
Sugestão de exercícios para casa:
Aprofundando o conhecimento: 7 e 8
 SUGESTÃO DE QUADRO
Unidades de massa
?10 ?10 ?10 ?10 ?10 ?10
:10 :10 :10 :10 :10 :10
kg hg dag g dg cg mg
 AULA 3
Utilize o tempo desta aula para resolver exercícios de 
fixação do conteúdo.
Sugestão de exercícios para a aula:
Praticando o aprendizado: 1, 3, 4 e 5.
Desenvolvendo habilidades: 4, 6 e 8.
Sugestão de exercícios para casa:
Desenvolvendo habilidades: 7.
Aprofundando o conhecimento: 1, 3, 6 e 10.
MATERIAL DE APOIO AO PROFESSOR
Na seção pH1, são apresentadas as medidas angulares.
Na seção Gotas de saber, são apresentadas as unidades 
inglesas. 
Sugerimos essas seções como leitura complementar.
20
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GABARITO COMENTADO
 PRATICANDO O APRENDIZADO
1. c.
 Sabendo que 1 bilhão de anos 5 109 anos,
 4,57 bilhões de anos 5 4,57 ? 109 5
 5 4 570 000 000 anos
2. c.
 1 cL 5 
1
100
L 5 10 mL. 
 Então, 355 mL 5 35,5 cL 5 
35,5
2,95
fl oz . 12,03 fl oz
3. a.
 LED 5 50 000 h 5 50 000 : 24 . 2 083 dias
 Comum 5 8 000 h 5 8 000 : 24 . 333 dias
 Diferença: 2 083 2 333 5 1 750 dias
4. b.
 124º 3’ 0” é igual a 124º 1 
3º
60
 5 
 5 124º 1 0,05º 5 124,05º
5. d.
 No hidrômetro da figura, a combinação do mostrador 
e dos dois relógios de ponteiro fornece o consumo to-
tal de água, dado em litros, igual a: (3 534,85 ? 1 000 1 
1 9 1 0,35) L 5 3 534 859,35 L
6. c.
 O volume de água que pingou da meia-noite às seis 
horas da manhã foi
 6 h ? 
60 min
h
60 s
min
1 gota
3 s
0,2 mL
gota
? ? ? 5
 5 1 440 mL 5 1,44 L . 1,4 L
9. d.
 A área da sala é de 4 ? 5 = 20 m2. Dessa forma, são ne-
cessários 20 ? 600 5 12 000 BTU/h (considerando duas 
pessoas no ambiente). Como existem duas pessoas 
adicionais, mais um aparelho de TV, serão necessários 
mais 3 ? 600 5 1 800 BTU/h. Logo, a capacidade míni-
ma, em BTU/h, é de 12 000 1 1 800 5 13 800.
 DESENVOLVENDO HABILIDADES
1. e.
 A capacidade mínima do reservatório a ser construído 
é de 0,08 ? 10 ? 20 5 16 m3 5 16 000 L.
6. e.
 O cadeirante consegue alcançar objetos entre 0,40 m 
e 1,35 m, portanto ele conseguirá usar uma tomada a 
0,45 m do chão e um interruptor a 1,20 m do chão.
 APROFUNDANDO O CONHECIMENTO
3. a.
 Como 13 ? 103 ton = 13 ? 109 g e 200 mL 5 2 ? 1021 L, 
segue que o resultado pedido é igual a 
 
13 10 2 10
21
9 1
? ? ?
2
 5 124 ? 106 L
5. d.
 12 900 km3 5 12 900 ? 1012 L 5 1,29 ? 1016
8. c.
Lâmpada
Quantidade
necessária
Custo total
(R$)
Custo/
benefício
(R$/mil h)
Incandescente 240 : 12 5 20 20 ? 3 = 60 60 : 1 5 60
Halógena 240 : 20 5 12 12 ? 10 = 120 120 : 4 5 30
Fluorescente 240 : 80 5 3 3 ? 6 = 18 18 : 8 5 2,25
Fluorescente
compacta 240 : 60 5 4 4 ? 13 = 52 52 : 6 > 8,7
LED 240 : 80 5 3 3 ? 130 = 390 390 : 40 5 9,75
 Portanto, o modelo que atende às necessidades de 
Augusto com menor custo/benefício é a lâmpada 
fluorescente. 
9. a.
 }500 cm 5 m0,3 dam 3 m
5
5
 15 m2 por parede; como são 4 pare-
des: 15 ? 4 5 60 m2/sala. Como são 10 salas: 10 ? 60 m2 5
5 600 m2 deverão ser pintados.
 Assim: 3 L ⎯ 12 m2
 x ⎯ 600 m2
 3
x
12
600
1
50
5 ⇒ x 5 150
 Sendo 36 dL 5 3,6 L a capacidade de cada galão, se-
rão necessários 
 
150
3,6
150
36
10
150
10
36
250
6
41,666...25
6
5 5 ? 5 5 galões
10. b.
 0,028 hL 5 2,8 L 5 2,8 dm³ 5 2 800 cm3
 Gasta 800 cm3 em cada → só dá para 3 roseiras e so-
bram 400 cm3
 Assim, temos:
Roseiras
Quantidade de 
água acrescentada 
ao balde
Resto de água 
no balde
1, 2, 3 2,8 L 0,4 L
4, 5, 6 2,4 L 0,4 L
7, 8, 9 2,4 L 0,4 L
10, 11, 12 2,4 L 0,4 L
13, 14, 15 2,4 L 0,4 L
16 2,4 L 2,0 L
21
G
ra
n
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 3
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anotações
 
 a) Falsa, pois 2 L
5
7
2,8 L5 ? .
 b) Verdadeira, pois 2,8 1 5 ? 2,4 5 14,8 L , 15 L.
 c) Falsa, pois é necessário encher o balde 6 vezes.
 d) Falsa, pois 10% de 14,8 5 1,48 L Þ 2,0 L.
 e) Falsa, é maior que 
2
7
.
11. b.
 A quantidade de arame que será utilizada para cercar 
o terreno, em metros, é dada por
 3 ? (8 1 5 1 18 1 6) 5 3 ? 37 5 111.
12. c.
 O resultado pedido é dado pelo produto da área da 
avenida pela taxa de ocupação, ou seja, 
 1 500 ? 18 ? 1,5 5 40 500 . 40 000.
22
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ObjetOs dO cOnhecimentO habilidades
•	Grandezas diretamente e inversamente propor-
cionais
•	Regras de três simples e composta
•	H15 - Identificar a relação de dependência entre gran-
dezas. 
•	H16 - Resolver situação-problema envolvendo a variação 
de grandezas, direta ou inversamente proporcionais. 
•	H17 - Analisar informações envolvendo a variação de 
grandezas como recurso para a construção de argu-
mentação. 
•	H18 - Avaliar propostas de intervenção na realidade 
envolvendo variação de grandezas.
4
Módulo
Dependência entre 
grandezas
introdução
Este módulo dedica-se ao estudo da relação entre 
grandezas. Ao final do módulo, os alunos deverão saber 
identificar a relação de dependência entre grandezas, re-
solver situação-problema que envolva variação de grande-
zas utilizando regra de três simples direta e inversa e regra 
de três composta.
estratégias de aula
 AulA 1
Sugerimos como primeiro passo definir o que são 
grandezas diretamente proporcionais e inversamente pro-
porcionais. Depois, mostre que, de acordo com a defini-
ção, a relação entre as grandezas pode ser representada 
graficamente por: y 5 k ? x (reta) ou y 5 
k
x
 (hipérbole).
 SugeStão de quAdro
grandezas diretamente proporcionais (gdP)
5
5



A (a ,a ,a ,...)
B (b ,b ,b ,...)
são diretamente proporcionais:1 2 3
1 2 3
a
b
a
b
a
b
... k1
1
2
2
3
3
5 5 5 5
grandezas inversamente proporcionais (gIP)
5
5



A (a ,a ,a ,...)
B (b ,b ,b ,...)
são inversamente proporcionais:1 2 3
1 2 3
a
1
? b
1
 5 a
2
 ? b
2
 5 a
3
? b
3
 5 ... 5 k
Situação-problema
•	Empresa → Lucro: R$18 500,00
 Dividir o lucro em partes diretamente proporcionais 
ao tempo de serviço:
1o gerente → 5 anos
2o gerente → 7 anos
3o gerente → 8 anos
Sendo
x = quantia que o 1o gerente recebe
y = quantia que o 2o gerente recebe
z = quantia que o 3o gerente recebe
x
5
y
7
z
8
k
x 5k
y 7k
z 8k
5 5 5
5
5
5




⇒
23
D
ep
en
dên
ci
a 
en
tr
e 
g
ra
nd
ez
as
m
a
te
m
á
ti
c
a
 i
M
ó
d
u
lo
 4
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Sugestão de exercícios para a aula:
Praticando o aprendizado: 3
Desenvolvendo habilidades: 2, 8 e 9
Aprofundando o conhecimento: 14
Sugestão de exercícios para casa:
Aprofundando o conhecimento: 2, 4 e 12
 AULA 2
Agora, a estratégia seria propor uma situação-proble-
ma envolvendo regra de três simples – direta e inversa – e 
regra de três composta.
 SUGESTÃO DE QUADRO
Sugestão de exercícios para a aula:
Praticando o aprendizado: 1, 2 e 7
Desenvolvendo habilidades: 5
Aprofundando o conhecimento: 1 e 7
Sugestão de exercícios para casa:
Aprofundando o conhecimento: 10 e 11
 AULA 3
Regra de três composta
Uma confecção de roupas foi contratada para fazer 
agasalhos. O prazo que a confecção teve para a exe-
cução do trabalho foi de 4 dias. Para isso, o gerente 
da confecção utilizou 6 máquinas do tipo a, cada uma 
trabalhando 6 horas por dia e todas com a mesma pro-
dutividade.
Ao final do terceiro dia, o gerente da fábrica verificou 
que somente 75% dos agasalhos estavam prontos. Sendo 
assim, substituiu, no início do quarto dia, as máquinas do 
tipo a por 3 outras do tipo b, cada uma trabalhando 8 ho-
ras por dia, e cada uma delas com o triplo da produtivida-
de de uma máquina do tipo a.
Se as 3 máquinas do tipo b tivessem sido utilizadas 
desde o início, o serviço teria sido realizado em quantas 
horas?
Resolução:
Máquinas 
(a)
h/d trabalho 
(fração)
dias total de horas
6 6
3
4
3 6 ? 3 5 18
• A máquina b tem o triplo de produtividade de a. 
Logo, 3 máquinas do tipo b equivalem a 3 ? 3 5 9 
máquinas do tipo a. 
x 1 y 1 z 5 18 500
5k 7k 8k 18500 k 925
x 5 925 4625
y 7 925 6475
z 8 925 7400
1 1 5 5
5 ? 5
5 ? 5
5 ? 5




⇒
E se a divisão fosse inversamente proporcional aos nú-
meros 1, 2 e 6? Como fica a divisão?
x 1 y 2 z 6 k
x k
y
k
2
z
k
6
? 5 ? 5 ? 5
5
5
5








⇒
1 1 5
k
1
k
2
k
6
18500
10k
6
18500 k 11100
x k 11100
y
k
2
5500
z
k
6
1850
5 5
5 5
5 5
5 5








⇒ ⇒
Regra de três simples direta
Uma mangueira consegue irrigar 2 m2 em 20 minu-
tos. Essa mesma mangueira consegue irrigar 10 m2 em 
quantos minutos?
Resolução:
2 m2 20 minutos
10 m2 t minutos 
2
10
20
t
t 100 min5 5⇔
Regra de três simples inversa 
Um trem, deslocando-se com velocidade média 
igual a 120 km/h, faz um determinado percurso em 3 ho-
ras. Caso o mesmo trem se deslocasse a 90 km/h, faria o 
mesmo percurso em quantas horas?
Resolução:
120 km/h 3 h
 90 km/h x h 
Velocidade Tempo
120
90
x
3
x 4 h5 5⇔
24
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Máquinas horas trabalho (fração)
6 18
3
4
9 x 1
5 ? 5
18
x
3
4
1
9
6
2
x
3
24
⇒ ⇒ x 5 16 horas
Agora, proponha uma situação-problema que envolva 
proporção. Segue sugestão:
Um líquido L
1
 de densidade 800 g/L será misturado a 
um líquido L
2
 de densidade 900 g/L. Tal mistura será ho-
mogênea e terá a proporção de 3 partes de L
1
 para cada 
5 partes de L
2
.
Qual é a densidade da mistura final, em g/L?
Resolução:
Seja V o volume da mistura, V
1
 o volume do líquido L
1
 
e V
2
 o volume do líquido L
2
. Então:




⇒ ⇒ ⇒
V V V
V
V
3
5
V
5
3
V V V
3
8
V V
5
8
V
1 2
1
2
1 1 1 2
1 5
5
1 5 5 5
Logo, a densidade da mistura é:
? 1 ?
5 1 5
800
3
8
V 900
5
8
V
V
2 400
8
4 500
8
862,5g/L
 SUGESTÃO DE QUADRO
Em 18 dias, 12 homens trabalhando 8 horas por dia 
fabricam 9 máquinas. Em quantos dias 8 homens, traba-
lhando 6 horas por dia, fabricariam 15 máquinas?
dias homens horas por dia máquinas
18 12 8 9
x 8 6 15
Dias e homens: inversamente proporcionais (mais dias → 
→ menos homens necessários para realizar o trabalho)
Dias e h/d: inversamente proporcionais (mais dias → 
→ menos h/d necessárias para realizar o trabalho)
Dias e máquinas: diretamente proporcionais (mais dias → 
→ mais máquinas seriam fabricadas) 
5 ? ? 5
18
x
8
12
6
8
9
15
x 60 dias⇔
Sugestão de exercícios para aula:
Praticando o aprendizado: 5
Desenvolvendo habilidades: 3
Sugestão de exercícios para casa:
Desenvolvendo habilidades: 1, 4 e 10
Aprofundando o conhecimento: 5, 6 e 17
GABARITO COMENTADO
 PRATICANDO O APRENDIZADO
1. b. 
 Segundo o enunciado, em uma mistura de concreto 
deve ter 
1
7
 de cimento, 
4
7
 de areia e 
2
7
 de brita.
 Logo, o volume de cimento em 14 m³ de concreto é: 
? 5
1
7
14 2 m3
 
3. d.
 5 ? 5 ? 5 ?S k M k M k M3 2 23
1
3
2
3
5. c.
perfuradoras
1
P
12
h
03 200
60 000
08
15
horas trabalhadas 
por dia
número de
cartões
dias
 5 ? ?
1
p
h
12
3 200
60 000
15
8
 ⇒ p ? h 5 120, relação que é 
satisfeita na proposta 3 (12 ? 10 5 120)
10. a. 
 Como cada aplicação contém 10 unidades e além de-
las são descartadas duas unidades iniciais, temos, para 
cada aplicação, 12 unidades de 0,01 mL, o que equiva-
le a 0,12 mL.
 Portanto, o número máximo de aplicações por refil é
3 mL: 0,12 mL 5 25 aplicações.
 DESENVOLVENDO HABILIDADES
1. b. 
 O felino que pesa 3,0 kg tem superfície corporal de 
0,208 m². A dose diária, em mg, que esse felino deverá 
receber é de 
250 mg
m2
? 0,208 m2 5 52,0 mg.
2. a. 
 Sendo a resistência mecânica S diretamente propor-
cional à largura b e ao quadrado da altura d e inver-
25
D
ep
en
d
ên
ci
a 
en
tr
e 
g
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nd
ez
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M
A
TE
M
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C
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ó
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u
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 4
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samente proporcional ao quadrado da distância x, te-
mos: ⇔
?
5 5
S x
bd
k S
kbd
x
2
2
2
2
3. c. 
 O tempo t de escoamento é diretamente proporcional 
ao volume V do reservatório e inversamente propor-
cional à quantidade de ralos utilizados. Assim, 
?t n
V
 é 
constante. Portanto, sendo x a quantidade de ralos do 
novo reservatório, temos:
 ⇔
?
5
?
5
6 6
900
4 x
500
x 5.
4. b. 
 O número de descargas, em um dia, da bacia sanitária 
não ecológica é 5
60
15
4. Assim, em 4 descargas uma 
bacia sanitária ecológica gasta 4 ? 6 5 24 litros, geran-
do uma economia de 60 2 24 5 36 litros por dia. 
5. a. 
 Como a mãe ministrou 30 5 6 ? 5 gotas do remé-
dio a seu filho a cada 8 horas, e a bula recomendava 
5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 
8 horas, a massa corporal do filho é de 6 ? 2 5 12 kg.
8. d. 
 A potência é dada por P 5 R ? i2 (i > 0 e R . 0), que re-
presenta um arco de parábola com vértice na origem 
e concavidade para cima. Como a energia elétrica E é 
diretamente proporcional à potência P, temos que E 
será diretamente proporcional ao quadrado da corren-
te elétrica i e, portanto, o gráfico E 3 i terá o mesmo 
comportamento do gráfico P 3 i. 
9. b. 
 Sendo T o total de laranjas carregadas, temos que, na 
primeira viagem, José, Carlos e Paulo carregaram 
6T
15
 , 
5T
15
 e 
4T
15
, respectivamente.
 Na segunda viagem eles levaram, respectivamente, 
4T
10
,
4T
10
e
2T
10
, ou seja, 
6T
15
,
6T
15
e
3T
15
.
 Logo, o único que passou a carregar mais laranjas foi 
Carlos. Assim, 2 5 5 5
6T
15
5T
15
T
15
50 T 750⇔ .
 Portanto, o número de laranjas carregadas na segunda 
viagem por José, Carlos e Paulo foi 
?4 750
10
, 
?4 750
10
 e 
?2 750
10
, ou seja, 300, 300 e 150, respectivamente.
 APROFUNDANDO O CONHECIMENTO
1. b. 
 A pessoa tem, inicialmente, 96 garrafas vazias. Como 96 : 
8 5 12 , ela ganhará 12 litros de guaraná ao fazer a primei-
ra troca. Após esvaziar essas 12 garrafas, ganhará, ainda, 
mais 1 litro. Ao final do processo, essa pessoa terá recebi-
do 12 1 1 5 13 litros de guaraná. 
2. b. 
 O enunciado descreve uma função y ? x 5 k, sendo
k uma constante. Ou seja: 5y
k
x
, o que confere com 
a informação do enunciado de que x e y são inversa-
mente proporcionais. Ainda de acordo com o informa-
do, quando y 5 6, x é igual a 25, logo:
 ⇒ ⇒y
k
x
6
k
25
k 1505 5 5
 Portanto, a função descrita será 5y
150
x
. Logo, quan-
do x 5 15, y terá valorigual a 10. 
5. d. 
 Volume do frasco de vidro: v
 Volume do frasco de plástico: 
2v
3
 Volume do copo: 
v
5
 Número de copos: 5
2v
3
v
5
10
3
 Ou seja, 3 copos e 
1
3
 de copo.
6. c. 
 Cada biscoito possui ? 5
95
10
90
15
57 calorias. 
7. d. 
 Preço do kg do produto: 
12,8
0,256
 5 R$ 50,00.
8. a. 
 Calculando, inicialmente, a massa x de sal na solução 
aquosa que se encontra no recipiente, temos:
 001 L 5 g
 100 L x
 Portanto, x 5 500 g.
 Deverão ser colocados mais 400 L da segunda solução 
aquosa para que o recipiente fique cheio.
 Consideremos y a massa de sal em gramas na segun-
da solução aquosa.
 001 L 1 g
 400 L y
 Portanto, y 5 400 g.
 Logo, a concentração de sal na mistura será dada por:
 1 5 5
400 500
500
900
500
9
5
g/L
26
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9. c. 
 Equacionando as informações dadas no enunciado, 
tem-se:
 ⇒
Jasmin
600
Flora
360
Jasmin Flora
960
120
960
1
8
5
1
5 5
 ⇒
Jasmin
600
1
8
Jasmin 75 dólares5 5
 ⇒
Flora
360
1
8
Flora 45 dólares5 5
 Jasmin, portanto, recebeu 30 dólares a mais que Flora 
(75 2 45 5 30).
11. b.
 
5
8
45 minutos→
 
1
8
9 minutos→
 
3
8
3 9 27 minutos→ ? 5
12. d.
 
18 500
5 7 8
8 7 400
1 1
? 5
 Podemos afirmar que o mais antigo na empresa rece-
berá R$ 7 400,00.
13. d.
 Se 5
1
5
1
5
1
m
x
y z
y
x z
x
x y
, então
 5
1 1
1 1 1 1 1
5
1 1
? 1 1
5m
x y z
y z x z x y
x y z
2 (x y z)
1
2
14. b.
 
x
300
540
200 300 500
⇒5
1 1
1 000x 5 162 000 ⇒ 
 ⇒ x 5 162
 Portanto, a pessoa B recebeu R$ 162 000,00.
15. d. 
 O número de voltas da engrenagem B é igual a 
5 24
30
4
?
5 . Logo, como as engrenagens B e C estão 
num mesmo eixo, e as engrenagens C e D possuem o 
mesmo número de dentes, segue-se que a engrena-
gem D efetuará 4 rotações completas, corresponden-
do, portanto, a 4 horas. De onde podemos concluir 
que o horário foi modificado para 12h40min. 
17. e. 
 Sejam X e Y as áreas em que serão plantados o capim 
x e o capim y, respectivamente.
 Sabendo que o primeiro corte do capim y ocorre 
após dois anos, e que a produtividade de x é três ve-
zes maior do que a produtividade de y, segue que
Y 5 3 ? 2 ? X 5 6X.
18. a. 
 De acordo com as informações, temos que:
• Um balde equivale a três garrafas.
• Oito canecas equivalem a 4 garrafas, ou seja, cada gar-
rafa equivale a duas canecas.
 Portanto, um balde equivale a 3 ? 2 canecas, ou seja, 
6 canecas.
ANOTA‚ÍES
 
 
27
D
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d
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OBJETOS DO CONHECIMENTO HABILIDADES
• Definição de função
• Domínio e imagem de uma função
• Lei de formação de uma função
• Análise gráfica
• Raízes de uma função
• Função crescente e decrescente
• Análise do sinal de uma função
• Pontos de máximo e de mínimo de uma função
• H15 - Indentificar a relação de dependência entre 
grandezas.
• H17 - Analisar informações envolvendo a variação de 
grandezas como recurso para a construção de argu-
mentação.
• H18 - Avaliar propostas de intervenção na realidade 
envolvendo variação de grandezas.
• H19 - Identificar representações algébricas que ex-
pressem a relação entre grandezas. 
• H20 - Interpretar gráfico cartesiano que represente re-
lações entre grandezas. 
• H21 - Resolver situação-problema cuja modelagem 
envolva conhecimentos algébricos. 
• H25 - Resolver problema com dados apresentados em 
tabelas ou gráficos.
• H26 - Analisar informações expressas em gráficos ou 
tabelas como recurso para a construção de argumentos.
5
Módulo
Introdução à função 
e análise gráfica
INTRODUÇÃO
Este módulo dedica-se a introduzir o conceito de função e análise gráfica.
ESTRATÉGIAS DE AULA
 AULA 1
Sugerimos iniciar a aula fazendo uma revisão do sistema cartesiano, mostrando como marcar um par ordenado (a,b) no 
conjunto R2.
Siga a abordagem tradicional de introdução à função mostrada no Caderno do Aluno. 
É importante ressaltar que a análise gráfica é abordada com frequência na prova do Enem.
Sugerimos que os seguintes exercícios sejam feitos em sala de aula:
Praticando o aprendizado: 1, 3 e 8.
Desenvolvendo habilidades: 10.
Aprofundando o conhecimento: 1, 3 e 6.
Como tarefa de casa, sugerimos os exercícios:
Aprofundando o conhecimento: 2, 4, 5 e 8.
28
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CONJUNTO R2
(x, y): Par ordenado
x: abscissa
y: ordenada
y
3
1
2 x
B(22, 1)
22
21
23
C(21,23) D(2,23)
A(2, 3)
2
o
 Quadrante
x , 0
y . 0
3
o
 Quadrante
x , 0
y , 0
4
o
 Quadrante
x . 0
y , 0
1
o
 Quadrante
x . 0
y . 0
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
x
A
y
B
f
Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função 
f de A em B é uma relação que associa a cada x [ A um 
único y [ B.
Assim, uma função liga um elemento do domínio 
com um segundo conjunto, o contradomínio.
Exemplo:
0
1
2
3
(x)
0
1
4
5
9
(y)
Lei de formação: y 5 x2
Dom(f) 5 {0, 1, 2, 3} 5 A
C.D.(f) 5 {21, 0, 1, 4, 5, 9} 5 B
Im(f) 5 {0, 1, 4, 9} 
A B
f
21
Imagem
de f
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
Vamos representar graficamente a função f: R → R 
f(x) 5 x².
4
y
1
2122 1 2 x
x → y 5 f(x) 5 x2
Dom(f) 5 R
C.D.(f) 5 R
Im(f) 5 R
1 
0
Observações:
I. Graficamente, identificamos o domínio de uma 
função projetando seu gráfico no eixo Ox.
II. Graficamente, identificamos a imagem de uma 
função projetando seu gráfico no eixo Oy.
III. Para que um gráfico possa representar uma 
função, todas as retas verticais traçadas pelo 
domínio da função devem interceptar o gráfico 
em um único ponto.
Observe o gráfico:
y
x0
 AULA 2
Explique e dê exemplos de representações gráficas de 
funções, conforme feito no Caderno do Aluno. Depois, ini-
cie a resolução dos exercícios indicados a seguir.
Sugerimos que os seguintes exercícios sejam feitos 
em sala de aula:
Praticando o aprendizado: 4 e 5.
Desenvolvendo habilidades: 1, 3 e 5.
Aprofundando o conhecimento: 11.
Como tarefa de casa, sugerimos os exercícios:
Aprofundando o conhecimento: 1, 7 e 9.
 SUGESTÃO DE QUADRO
 SUGESTÃO DE QUADRO
29
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 5
pH_EM3_C1_028a032_M5_Mat_MP.indd 29 9/6/18 8:31 AM
RAízes oU zeRos DA fUnção
São os valores de x onde o gráfico corta o eixo Ox, 
ou seja, valores de x onde y 5 f(x) 5 0. 
Analisando o gráfico de uma função, podemos des-
cobrir algumas propriedades:
y
a 2 b c d x2
1 1 1 1
 AULA 3
Desenvolva o tópico Raízes ou zeros da função, de 
acordo com o Caderno do Aluno. Depois, resolva as situa-
ções-problema deste módulo.
Para esta aula, sugerimos que os seguintes exercícios 
sejam feitos em sala de aula:
Desenvolvendo habilidades: 2, 4 e 6.
Aprofundando o conhecimento: 9.
Como tarefa de casa, sugerimos os exercícios:
Praticando o aprendizado: 1 e 9.
Desenvolvendo habilidades: 4, 6 e 7.
Aprofundando o conhecimento: 3, 10, 12 e 13.
 sUgestão De qUADRo
gabaRITO cOMeNTaDO
 PRAtiCAnDo o APRenDizADo
2. b. 
 Segundo a análise feita, esse gráfico possui concavi-
dade apenas para cima, ou seja, aceleração positiva, e 
apresenta velocidade crescente de leitura das páginas.
3. b. 
 O mês de abril possui o maior percentual (cerca de 8%) 
e o mês de maio é o que mais se aproxima do zero; 
portanto, é o que menos variou em relação ao seu cor-
respondente no ano anterior.
4. d. 
 De acordo com a figura, a primeira parte do gráfico 
não pode ser uma reta, pois a variação da altura no 
cone não é constante. A segunda parte do gráfico de-
verá ser uma reta, pois a variação da altura no cilindro 
é constante. 
5. a. 
 A partir dos dados fornecidos, podemos construir o 
seguinte perfil:
pontos
0
P
1
P
2
P
3
P
4
50
75
105
cota(cm)
Esse gráfico não representa uma função, pois a reta 
vertical intercepta a curva em três pontos.
y
d
Im
Dom
Domf(x): [a, b]
y 5 f(x)
Imf(x): [c, d]
c
a b
x
No gráfico as raízes sãox 5 a, x 5 b, x 5 c, x 5 d. 
Sinal de f(x): 
f(x) . 0 ⇒ Pontos do gráfico situados acima do 
eixo Ox. 
f(x) , 0 ⇒ Pontos do gráfico situados abaixo do 
eixo Ox. 
No gráfico anterior: 
f(x) . 0 ⇔ x [ ]2∞, a[ < ]b, c[ < ]d, 1∞ [ 
f(x) , 0 ⇔ x [ ]a, b[ < ]c, d[ 
f(x) é crescente ⇔ x
1
 , x
2
 ⇒ f(x
1
) , f(x
2
) para qual-
quer valor de x [ domínio de f(x) 
f(x) é decrescente ⇔ x
1
 , x
2
 ⇒ f(x
1
) . f(x
2
) para 
qualquer valor de x [ domínio de f(x)
30
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5 ? 2 5 2 5
5 5 5
f(0,12333...) 100 0,12333... 12 12,333... 12
0,333...
3
9
1
3
 
( ) ( )1 2 1 5 2 1 5
5 1 5
f 3 f 16 f(0,12333...) 14 7
1
3
7
1
3
22
3
4
2. c.
 f(x) 5 ax3 1 b
 f(21) 5 a ? (21)3 1 b 5 2 ⇒ 2a 1 b 5 2
 f(1) 5 4 ⇒ a ? 13 1 b 5 4 ⇒ a 1 b 5 4
 Somando as 2 equações acima: 2b 5 6 ⇒ b 5 3 e a 5 1.
4. d. 
 A partir do gráfico, concluímos que f(21) 5 23, f(0) 5 
5 21, f(1) 5 2
1
3
, f(2) 5 0 e f(3) 5 
1
5
. Para determinar 
a, b e c podemos resolver o sistema:
 
2 5 2
5 2
5
f( 1) 3
f(0) 1
f(2) 0
2 1
2 1
5 2
5 2
1
1
5
1 a
b c
3
a
c
1
2 a
2b c
  0
⇔ ⇔
 
2 2
2 1
5 2
2
5 2
5 2
1 2
3
2
1
2
b c
c
a
2
2 1
5 2
5
5 2
3
2
3
2
2
b
c
a
5
5
5 2
b 1
c 2
a 2
⇔ ⇔ ⇔
10. c. 
 O número de alevinos com comprimento maior que ou 
igual a 3 cm é dado por n1 2
5000
3 1
5000
10
5005
1
5 5 .
 O número de alevinos com comprimento maior do 
que ou igual a 7 cm é 5
1
5 5n
5000
7 1
5000
50
100.2 2
 Portanto, o número aproximado de alevinos com com-
primento entre 3 cm e 7 cm é igual a 500 2 100 5 400.
11. c. 
 Resolvendo a equação, temos:
 ? 2
1 2
5 1
n
200
x
n n 8
2
x
100
4
2
 nx 2 100n2 2 100n 1 800 5 2x 1 800
 x(n 2 2) 5 100 ? (n2 1 n)
 x
n n
n
 
   
   
5
? 1
2
100
2
2( )
 Se n 5 3 ⇒ x 5 1200, não convém, pois: 
200 ? 3 , 1 200 < 200 ? (3 1 1) é falsa.
6. d. 
 Em 1 760 o valor das entradas foi de 100 000 1 
50000
4
 5
5 112 500 contos de reis.
 Dividindo 112 500 por 1,125 (taxa de 1 arroba) 5 
5 100 000 arrobas. 
 DESENVOLVENDO HABILIDADES
2. d. 
 Pelo gráfico, uma carta de 100 g custa R$ 1,70, uma 
de 200 g custa R$ 2,65 e uma de 350 g custa R$ 4,00. 
Assim, o total gasto será de 2 ? 1,70 1 3 ? 2,65 1 
1 1 ? 4,00 5 R$ 15,35.
3. a. 
 O melhor negócio foi feito pelo investidor 1, que com-
prou ações às 10h e vendeu às 15h, obtendo rendi-
mento de 
460 150
150
207%
2
. , superior ao retorno 
obtido pelos investidores 2, 3, 4 e 5.
4. e. 
 O maior aquecimento global ocorre na menor exten-
são de gelo marítimo, ou seja, em setembro de 2007.
5. e. 
 Da análise do gráfico, os meses em que ocorreram, 
respectivamente, a maior e a menor venda absolutas, 
em 2011, foram junho e agosto.
6. c. 
 De acordo com o gráfico, apenas o fluido III cumpre a 
exigência mencionada.
9. b. 
 De acordo com a figura apresentada, o dia da semana 
em que o número de reclamações resolvidas excede o 
número de reclamações recebidas foram terça-feira e 
quarta-feira, dias em que o nível de eficiência registra-
do foi melhor.
10. b. 
 Considere que na infância a área da superfície corpo-
ral seja 5 ?A k m
2
3 . No final do período, isto é, na 
maioridade, a massa será 8 ? m. Sendo A
m
 a área na 
maioridade, temos:
 
A k m k m k m Am 5 ? ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ?( )8 8 2 4
2
3
2
3
2
3
2
3 3
2
3( )
 Logo, a área será multiplicada por 4.
 APROFUNDANDO O CONHECIMENTO
1. c.
 ( ) ( )5 1 5f 3 3 5 14
4
 ( )2 5 2f 16 74
31
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 Se n 5 4 ⇒ x 5 1 000, convém, pois 200 ? 4 , 1 000 < 200 ? (4 1 1) é verdadeira.
 Se n 5 5 ⇒ x 5 1 000, não convém, pois 200 ? 5 , 1 000 < 200 ? (5 1 1) é falsa.
 Assim, ambos estarão à mesma velocidade após terem percorrido 1 000 m. 
13. c. 
x
5
25
10
15
20
y
g(x)
f(x)
0 1
2122232425
2 3 4 5
 Devemos observar no gráfico a região em que as curvas estão em lados opostos em relação ao eixo x. Isso garante que 
as funções tenham sinais contrários.
 Resposta: {x [ R/24 < x , 21 ou 0 , x , 3}.
aNOTaÇões
 
 
32
pH_EM3_C1_028a032_M5_Mat_MP.indd 32 5/5/16 6:47 PM
6
Módulo
Função polinomial do 1o grau
ObjetOs dO cOnhecimentO habilidades
•	Definição de função do 1o grau
•	Coeficientes angular e linear
•	Representação gráfica
•	Raiz da função do 1o grau
•	Funções do 1o grau crescentes e decrescentes
•	Análise do sinal de uma função do 1o grau
•	H15 - Identificar a relação de dependência entre gran-
dezas. 
•	H19 - Identificar representações algébricas que expres-
sem a relação entre grandezas. 
•	H20 - Interpretar gráfico cartesiano que represente re-
lações entre grandezas. 
•	H21 - Resolver situação-problema cuja modelagem 
envolva conhecimentos algébricos. 
•	H22 - Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos 
como recurso para a construção de argumentação. 
•	H23 - Avaliar propostas de intervenção na realidade 
utilizando conhecimentos algébricos. 
•	H24 - Utilizar informações expressas em gráficos linea-
res ou tabelas para fazer inferências. 
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Fu
nç
ão
 p
o
lin
o
m
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o
 1
o
 g
ra
u
m
a
te
m
á
ti
c
a
 i
M
—
d
u
lo
 6
introdução
Este módulo dedica-se ao estudo das funções polino-
miais do 1o grau, cuja aplicação se observa em diversas 
situações de nosso cotidiano: análise de custos e lucros 
de empresas, valor a ser pago em contas de luz, cálcu-
lo do imposto de renda, valor da tarifa de táxi, além de 
aplicações nas demais áreas do conhecimento, como na 
termometria e na dinâmica (funções de posição e veloci-
dade que caracterizam movimentos de corpos), assuntos 
estudados em Física.
Ao final do módulo, os alunos deverão saber de-
finir esse tipo de função, identificar seus coeficientes, 
representá-la graficamente, interpretar um gráfico li-
near e utilizar informações contidas nele para resolver 
problemas e relacionar grandezas por meio de funções 
polinomiais do 1o grau.
estratégias de aula
 AulA 1
Para iniciar o aprendizado sobre funções polinomiais, os 
alunos já precisam estar familiarizados com o processo de 
localização e movimentação no plano cartesiano, além de 
ter compreendido o conceito básico de função e de sua re-
presentação gráfica (interpretação de propriedades gerais). 
Uma boa base em propriedades de razões e proporções e de 
dependência proporcional entre grandezas também é funda-
mental para o entendimento do assunto.
Sugerimos como primeiro passo para a apresentação do 
tema a análise de uma situação-problema que envolva rela-
ções entre grandezas dada por polinômios do 1o grau, para 
chamar a atenção do aluno para sua aplicação e motivá-lo a 
aprender o conteúdo. No Caderno do Aluno, apresentamos 
diversos exemplos de situações que podem ser usadas nesse 
momento. Caso o professor se sinta à vontade para trabalhar 
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com conceitos de Física, poderá, além do exemplo de ter-
mometria abordado no módulo, começar com um exemplo 
de movimento uniforme de um ponto móvel, explorando a 
função polinomial do 1o grau da posição. Aproveitemos o 
próprio exemplo, seja ele qual for, para representarmos gra-
ficamente a função envolvida, para que seu formato retilíneo 
já seja observado pelo aluno.
Depois que o aluno compreendeu a importância e a apli-
cação do tema e já conhece algumas características da fun-
ção que será apresentada, é preciso definir formalmente o 
conceito de função polinomial do 1o grau e nomear seus coe-
ficientes (angular e linear), explicando que, posteriormente, 
na análise gráfica, esses nomes serão justificados. Aproveite 
para dar dois exemplos simples, um com coeficiente angular 
positivo e outro com coeficiente angular negativo, para re-
lacionar o sinal desse coeficiente com o comportamento de 
variação da função. Um exemplo com coeficiente linear nulo 
pode ser útil para comentar a denominação“função linear” 
para esse caso, mostrando que seu gráfico sempre passa 
pela origem.
Faça o aluno perceber que o coeficiente linear é sem-
pre a ordenada do ponto de intersecção da reta com o 
eixo Oy. Quanto à intersecção com o eixo Ox, reforce o 
que já foi dito no estudo inicial sobre funções:
“As abscissas dos pontos de encontro do gráfico de uma 
função com o eixo horizontal são as raízes da função. Para 
encontrar esses valores (único, no caso da função do 1o grau), 
basta igualar a função a zero e resolver a equação em x”.
Se desejar, deixe registrado no quadro a expressão 
geral da raiz da função polinomial do 1o grau:
f(x) 5 0 ⇒ ax 1 b 5 0 ⇒ ax 5 2b ⇒ x 5 2
b
a
Sinalize ao aluno que o coeficiente angular nos infor-
ma quanto a função varia com o aumento de uma unidade 
em x (se os valores de x na tabela variarem de 1 em 1, 
facilitará o entendimento disso), ou seja, indica a taxa de 
variação da função (isso é muito importante o aluno en-
tender). Variações positivas (a . 0) indicam que a função 
cresce com o aumento de x (função crescente), e nega-
tivas (a , 0) indicam a queda do valor da função com o 
aumento da abscissa (função decrescente).
Lembre-se sempre de, à medida que for apresentando 
um conceito, identificá-lo na situação explorada na introdu-
ção. Se o exemplo falar sobre a tarifa de táxi, observar que o 
valor da bandeirada é o coeficiente linear, enquanto o valor 
cobrado por quilômetro rodado é o coeficiente angular (aten-
ção à ressalva feita sobre essa situação no Caderno do Aluno).
Podemos emendar em seguida a análise do sinal da 
função do 1o grau, explorando os dois casos:
 sugestão de quAdro
a . 0
x2
1
a , 0
x
2
1
b
a
2
b
a
2
f: R → R
x → y 5 f(x) 5 ax 1 b 
 (a [ R* e b [ R)
a: coeficiente angular
b: coeficiente linear
Função polinomiAl do 
1º grAu
 sugestão de quAdro
Exemplo 1: f(x) 5 x 2 2 
 (a 5 1, b 5 22)
Exemplo 2: f(x) 5 23x 
 (a 5 23, b 5 0)
x y
21 3
0 0
1 23
x y
0 22
1 21
2 0
2
22
x
y
x
y
1
23
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Relembre com os alunos que a função assume valores 
positivos nos pontos onde o gráfico que a representa se 
encontra acima do eixo Ox, e negativos nos pontos onde 
o gráfico se encontra abaixo do eixo Ox.
Nesse momento, podemos resolver com os alunos os 
exercícios 1, da seção praticando o aprendizado, e 5 e 
10, da seção desenvolvendo habilidades; retorne à seção 
praticando o aprendizado e resolva o exercício 3. É bom 
para os alunos perceberem que o conhecimento adqui-
rido até aqui já permite a solução de algumas questões.
Destaque o exercício 3 da seção praticando o apren-
dizado, por meio do qual mostraremos como determinar a 
lei de formação de uma função do 1o grau a partir das coor-
denadas de dois pontos da reta. Por enquanto, essa tarefa 
será feita aplicando os valores das coordenadas dos pares 
ordenados fornecidos no gráfico da função y 5 ax 1 b, 
que nos levará a um sistema linear 2 3 2. Resolve-se o 
sistema e encontram-se os valores dos coeficientes a e b.
 AulA 2
Partimos agora para a identificação gráfica do signifi-
cado do coeficiente angular. Podemos montar o seguinte 
esquema de quadro.
 sugestão de quAdro
y 5 ax 1 b
(x
2
, y
2
) ; y
2
 5 ax
2
 1 b
(x
1
, y
1
) ; y
1
 5 ax
1
 1 b
 a(x
2
 2 x
1
) 5 y
2
 2 y
1
2
∆
∆
θ5
2
2
5 5a
y y
x x
y
x
tg2 1
2 1
Para introduzir a relação dessa razão encontrada com o 
ângulo entre a reta e o sentido positivo do eixo Ox, marque o 
ângulo u entre a reta e o eixo horizontal, trace uma reta pon-
tilhada que passe por (x
2
, y
1
) e identifique o mesmo ângulo u 
dentro do triângulo retângulo formado. Relembre o concei-
to de tangente de um ângulo no triângulo retângulo (razão 
entre o cateto oposto e o cateto adjacente) e conclua que 
o coeficiente angular a é igual à tangente de u (daí o nome). 
 sugestão de quAdro
y 5 ax 1 b
(x
2
, y
2
) ; y
2
 5 ax
2
 1 b
(x
1
, y
1
) ; y
1
 5 ax
1
 1 b
 a(x
2
 2 x
1
) 5 y
2
 2 y
1
2
∆
∆
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2
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y y
x x
y
x
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1
x
2
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2
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Δx
Δy
y
1
x
1
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2
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2
u
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Associe, então, o sinal do coeficiente angular com a in-
clinação da reta. Mostre que, quando a função é crescen-
te, o ângulo u é agudo e, portanto, tem tangente positiva, 
confirmando o sinal positivo do coeficiente angular da reta. 
No caso da função decrescente, assinale o ângulo u entre a 
reta e o sentido positivo de Ox, fazendo com que os alunos 
observem que é obtuso e, portanto, tem tangente negativa, 
ou seja, o coeficiente angular é negativo nesse caso. Se ne-
cessário, faça uma revisão rápida com os alunos, no canto 
do quadro, sobre a variação dos sinais de seno e cosseno 
pelos quadrantes do ciclo trigonométrico.
90° , u , 180°
tg u , 0
a , 0
x
x
u
u
0 , u , 90°
tg u . 0
a . 0
Sugerimos a resolução, neste momento, da questão 6 
da seção Praticando o aprendizado. Em sua resolução, 
obtenha a equação da reta apresentada no gráfico do 
enunciado determinando, primeiramente, o coeficiente 
angular a por meio da tangente do ângulo entre a reta e 
a horizontal. Depois, conhecendo o valor de a, encontre 
o coeficiente linear substituindo as coordenadas de qual-
quer um dos pontos dados da função. Mostre aos alunos 
que é uma alternativa de solução àquela utilizada na ques-
tão 3, resolvida anteriormente (solução por sistema linear).
Como observação final, podemos falar sobre as fun-
ções constantes, mostrando que sua representação grá-
fica é uma reta paralela ao eixo Ox. Importante reforçar 
com os alunos que esse tipo de função não se encaixa no 
grupo das funções polinomiais do 1o grau.
Agora, resolva alguns exercícios do Caderno do Aluno. 
Segue uma sugestão:
Praticando o aprendizado: 8 e 10.
 AULA 3
Para complementarmos o estudo das funções polino-
miais do 1o grau, podemos resolver mais alguns exercícios 
do Caderno do Aluno. Segue uma sugestão:
Desenvolvendo habilidades: 7 e 9.
Aprofundando o conhecimento: 11 e 19.
ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Na seção Gotas de saber, é apresentada uma expres-
são que calcula, com considerável precisão, o tamanho do 
calçado de uma pessoa. No final do trabalho com esse mó-
dulo, pode ser interessante verificar na prática, com os alu-
nos em sala, se a fórmula é válida para os calçados deles. É 
uma atividade que servirá como momento lúdico e como 
aplicação do conteúdo a uma situação do cotidiano. Isso é 
o que os move no sentido de querer aprender.
Pela importância da interdisciplinaridade, podemos 
propor que os alunos relacionem, em casa, os conheci-
mentos adquiridos no estudo das funções polinomiais do 
1o grau com os tipos de movimento aprendidos em dinâ-
mica (conteúdo estudado em Física). Entender que no mo-
vimento uniforme a velocidade é o coeficiente angular do 
gráfico tempo 3 posição (taxa de variação da posição pelo 
tempo); que a aceleração é o coeficiente angular do gráfico 
tempo 3 velocidade no movimento uniformemente varia-
do; tudo isso faz com que o aluno entenda que os conhe-
cimentos que adquire nas aulas das diversas disciplinas es-
tão, de algum modo, relacionados, além de despertar neles 
um interesse ainda maior pela Matemática.
Na seção pH1 deste módulo, apresentamos as ine-
quações-produto e as inequações-quociente que não são 
temas muito abordados no Enem. Apesar disso, caso con-
siga inserir este tópico no seu planejamento da semana, 
sugerimos trabalhá-lo com os alunos, pois é abordado em 
muitos vestibulares. 
Seu objetivo é aplicar a análise do sinal das funções 
polinomiais do 1o grau na resolução de inequações que 
envolvam produto e/ou quociente de funções desse tipo. 
Comece explicando que o sinal de um produto depende 
dos sinais de seus fatores, e que acontece também com 
um quociente em relação ao seu numerador e ao seu de-
nominador. Oriente-os a, inicialmente, fazer