Aula 2 Momento linear (aluno)

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Centro de massa e 
Momento linear
Dinâmica das Rotações
Referências:
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de 
Física. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. v. 1. 
David, HALLIDAY,, RESNICK, Robert, WALKER, Jearl. Fundamentos de Física 
- Vol. 1 - Mecânica, 10ª edição. LTC, 06/2016. VitalBook file.
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Momento linear - definição
a) No caso de uma partícula:
O momento linear ( Ԧ𝑝) tem a mesma orientação do vetor 
velocidade.
Unidade SI: 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠 Ԧ𝑝
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Momento linear
a) No caso de uma partícula:
2ª Lei de Newton em termos de momento linear:
Ԧ𝐹𝑟𝑒𝑠 =
𝑑 Ԧ𝑝
𝑑𝑡
Ԧ𝐹𝑟𝑒𝑠 =
𝑑
𝑑𝑡
𝑚 Ԧ𝑣 = 𝑚
𝑑 Ԧ𝑣
𝑑𝑡
Ԧ𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝑚 Ԧ𝑎
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Momento linear - definição
b) Para um sistema de n partículas:
𝑃 = Ԧ𝑝1 + Ԧ𝑝2 + Ԧ𝑝3 +…+ Ԧ𝑝𝑛
𝑃 = 𝑚1 Ԧ𝑣1 +𝑚2 Ԧ𝑣2 +𝑚3 Ԧ𝑣3 +…+𝑚𝑛 Ԧ𝑣𝑛
O momento linear de um sistema de partículas é igual ao
produto da massa total do sistema pela velocidade do
centro de massa.
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Momento linear
b) Para um sistema de n partículas:
Derivando em relação ao tempo, obtemos:
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑀
𝑑 Ԧ𝑣𝐶𝑀
𝑑𝑡
= 𝑀 Ԧ𝑎𝐶𝑀
Neste caso, a 2ª Lei de Newton pode ser descrita como: 
Ԧ𝐹𝑟𝑒𝑠 =
𝑑𝑃
𝑑𝑡
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Momento linear
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Impulso - definição
Durante a colisão de um projétil
(bola) num alvo (taco), o projétil
sofre a ação de uma força Ԧ𝐹 𝑡 que
varia e muda o momento linear Ԧ𝑝 do
projétil. Esta variação pode ser
descrita como:
Ԧ𝐹 =
𝑑 Ԧ𝑝
𝑑𝑡
∴ 𝑑 Ԧ𝑝 = Ԧ𝐹 𝑡 𝑑𝑡
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Impulso - definição
Ԧ𝐹 =
𝑑 Ԧ𝑝
𝑑𝑡
∴ 𝑑 Ԧ𝑝 = Ԧ𝐹 𝑡 𝑑𝑡
Considerando 𝑡0 , antes da
colisão, e t, após a colisão:
𝑡0׬
𝑡
𝑑 Ԧ𝑝 = 𝑡0׬
𝑡 Ԧ𝐹 𝑡 𝑑𝑡
Ԧ𝑝 − Ԧ𝑝0 = න
𝑡0
𝑡
Ԧ𝐹 𝑡 𝑑𝑡
∆ Ԧ𝑝 = න
𝑡0
𝑡
Ԧ𝐹 𝑡 𝑑𝑡
Ԧ𝐽 = න
𝑡0
𝑡
Ԧ𝐹 𝑡 𝑑𝑡
Unidade SI: 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠 ou 𝑁 ∙ 𝑠
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Impulso e momento linear
∆ Ԧ𝑝 = න
𝑡0
𝑡
Ԧ𝐹 𝑡 𝑑𝑡
Ԧ𝐽 = න
𝑡0
𝑡
Ԧ𝐹 𝑡 𝑑𝑡
Logo ∆ Ԧ𝑝 = Ԧ𝐽
A variação do momento linear de um objeto é igual ao
impulso exercido sobre o objeto.
Ԧ𝐽𝑎𝑙𝑣𝑜 = Ԧ𝐽𝑝𝑟𝑜𝑗é𝑡𝑖𝑙 - porém apresentam sentidos contrários
Teorema do momento linear e impulso
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Impulso - gráficos
Caso F(t) seja desconhecida mas Fmédia seja conhecida,
podemos usá-la para calcular J, pois as áreas em ambos os
gráficos são equivalentes.
𝐽 = 𝐹𝑚é𝑑∆𝑡
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Impulso 
https://www.youtube.com/watch?v=Xsix_VOlRGo
https://www.youtube.com/watch?v=Bw0Ps8-KDlQ
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Impulso 
13
Impulso – exercícios resolvidos
4)
14
Impulso – exercícios resolvidos
5) A figura abaixo mostra a vista superior da trajetória de um carro de corrida
ao colidir com um muro de proteção. Antes da colisão, o carro está se movendo
com uma velocidade escalar v0 = 70 m/s ao longo de uma linha reta que faz
um ângulo de 30° com o muro. Após a colisão, está se movendo com uma
velocidade escalar v = 50 m/s ao longo de uma linha reta que faz um ângulo
de 10° com o muro. A massa m do piloto é 80 kg. Determine:
a) O impulso Ԧ𝐽 ao qual o piloto está submetido no momento da colisão;
b) O módulo da força média que o piloto experimenta durante a colisão, cuja
duração foi de 14 ms.
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Supondo que a força externa resultante Ԧ𝐹𝑟𝑒𝑠 (e, portanto, o
impulso Ԧ𝐽) que age sobre um sistema de partículas seja
zero (sistema isolado) e que nenhuma partícula entra ou sai
do sistema (sistema fechado):
Ԧ𝐹𝑟𝑒𝑠 = 0, logo, 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 0 e 𝑃 = constante.
Lei de conservação do momento linear:
“Se um sistema de partículas não está submetido à força
externa (ou Ԧ𝐹𝑟𝑒𝑠 = 0), o momento linear total 𝑃 do sistema
não pode variar.”
∆𝑃 = 0
𝑃 − 𝑃0 = 0
𝑃 = 𝑃0
Conservação do momento linear
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Observações:
• Se 𝐹𝑟𝑒𝑠(𝑥) = 0, ∆𝑃𝑥 = 0;
• Se 𝐹𝑟𝑒𝑠(𝑦) = 0, ∆𝑃𝑦 = 0;
• Se 𝐹𝑟𝑒𝑠(𝑧) = 0, ∆𝑃𝑧 = 0;
Conservação do momento linear
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Conservação do momento linear
1min39s a 2min
https://www.youtube.com/watch?v=Kf0bBxmNeec&t=127s
https://www.youtube.com/watch?v=TCmZ-dEYLrw
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Conservação do momento linear
Sistemas de massa variável - Foguetes
0 até 3min50s
4h22min a 4h37min
1min20s a 3min20s
https://www.youtube.com/watch?v=msn7xbfEHoA
https://www.youtube.com/watch?v=xY96v0OIcK4
https://www.youtube.com/watch?v=Vfp1bzJlQUw
https://www.youtube.com/watch?v=FcAJWsMihNo
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Conservação do momento linear – exercícios resolvidos
6)
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Conservação do momento linear – exercícios resolvidos
7) Explosão unidimensional: A figura a) abaixo mostra um rebocador espacial e
uma cápsula de carga, de massa total M, viajando ao longo de um eixo x no
espaço sideral com uma velocidade inicial 𝑣0 de módulo 2100 km/h em relação
ao Sol. Com uma pequena explosão, o rebocador ejeta a cápsula de carga, de
massa 0,20M (figura b). Depois disso, o rebocador passa a viajar 500 km/h
mais depressa que a cápsula ao longo do eixo x, ou seja, a velocidade relativa
vrel entre o cargueiro e a cápsula é 500 km/h. Qual é a nova velocidade do
rebocador 𝑣𝑅 em relação ao Sol?
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Conservação do momento linear – exercícios resolvidos
8) Explosão bidimensional: Uma esfera oca, de massa M, inicialmente em
repouso sobre uma superfície sem atrito, explode em três pedaços, que
deslizam uma superfície horizontal. Uma vista superior é apresentada na
abaixo. O pedaço C, de massa 0,30M, tem velocidade escalar final vC = 5,0
m/s.
a) Qual é a velocidade do pedaço B, de massa 0,20M?
b) Qual é a velocidade escalar do pedaço A?
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Exercícios recomendados
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de 
Física. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. v. 1. 
Lista 1 - Capítulo 9 
18 a 21,23,24,27 a 31,33,36,39,40,42,44,45,47