AP2_Fis1A_2019_1_Gab

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Segunda Avaliação Presencial de Física 1A - 16 de junho de 2019 
Nome: _______________________________________________________________ 
Curso: _______________________________________________________________ 
Pólo: ________________________________________________________________ 
Obs.: Em todas as questões que for necessário, utilize que 𝑔 é módulo da aceleração 
da gravidade na superfície da Terra. Calculadoras podem ser utilizadas. Todas as respostas devem ser 
justificadas. 
Questão 1 [2,5 pontos] 
Um projétil é lançado com velocidade 𝑣0 formando um ângulo 𝛼 com a horizontal. O ponto de 
lançamento está localizado a uma altura ℎ acima do solo. A figura mostra o sistema de referência XOY 
que está localizado no solo e tem o eixo vertical OY alinhado verticalmente com o ponto de lançamento. 
De acordo com este referencial e pressupondo que a resistência do ar é desprezível, responda o que se 
pede: (Suas respostas devem ser dadas em termos de 𝑣0, 𝛼, ℎ 𝑒 𝑔.) 
a) Escreva as equações vetoriais do movimento do 
projétil 𝑟(𝑡) e �⃗�(𝑡). Considere que o vetor unitário do eixo 
OU é 𝑗̂ e do eixo OX é 𝑖 ̂.[0,6 pts] 
Na horizontal temos um movimento uniforme, já na direção 
vertical temos um movimento uniformemente variado com 
aceleração constante. Pelos dados do problema podemos 
escrever: 
𝑟(𝑡) = (𝑣0𝑐𝑜𝑠α 𝑡)𝑖̂ + (ℎ + 𝑣0𝑠𝑒𝑛α𝑡 −
𝑔𝑡2
2
) 𝑗̂ 
 �⃗�(𝑡) = 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑖̂ + (𝑣0𝑠𝑒𝑛𝛼 − gt)𝑗̂ 
b) Determine o tempo necessário que o projétil leva para atingir a altura máxima. [0,6 pts] 
Conhecendo a expressão para a componente vertical da velocidade: 𝑣𝑦(𝑡) = 𝑣0𝑠𝑒𝑛α − 𝑔𝑡. O 
tempo para alcançar a altura máxima será dado quando a expressão 𝑣𝑦(𝑡𝑚𝑎𝑥) = 0 for satisfeita. 
Assim, teremos: 
𝑣𝑦(𝑡𝑚𝑎𝑥) = v0senα − gtmax ⇒ 𝑡𝑚𝑎𝑥 =
𝑣0𝑠𝑒𝑛α
𝑔
 
c) Determine o tempo de voo do projétil. [0,6 pts] 
O tempo de voo do projétil será encontrado resolvendo a seguinte equação: 
𝑦(𝑡𝑣𝑜𝑜) = 0 ⇒ ℎ + 𝑣0𝑠𝑒𝑛α𝑡𝑣𝑜𝑜 −
𝑔𝑡𝑣𝑜𝑜
2
2
= 0 
𝑡𝑣𝑜𝑜 =
𝑣0𝑠𝑒𝑛α + √𝑣0
2𝑠𝑒𝑛2α + 2𝑔ℎ
𝑔
 
d) Encontre a velocidade, �⃗�𝑠, quando o projétil toca o solo. [0,7 pts] 
1ª Q 
2ª Q 
3ª Q 
4ª Q 
Nota: 
Como o movimento do projétil acontece em duas dimensões, teremos que �⃗�𝑠 = 𝑣𝑥𝑖̂ + 𝑣𝑦𝑗.̂ 
Como o movimento horizontal é uniforme, teremos que a 𝑣𝑥 é constante. Assim, 𝑣𝑥 = 𝑣0𝑐𝑜𝑠α 
Para o cálculo da componente vertical da velocidade podemos utilizar a expressão de Torricelli: 
𝑣𝑦
2 = 𝑣0𝑦
2 − 2𝑔Δ𝑦 ⇒ 𝑣𝑦
2 = 𝑣0
2 𝑠𝑒𝑛2𝛼 − 2𝑔(0 − ℎ) 
𝑣𝑦 = √𝑣0
2 sen2α + 2𝑔ℎ 
Assim, 𝑣𝑠⃗⃗⃗⃗ 𝑠𝑒𝑟á: 
�⃗�𝑠 = 𝑣0𝑐𝑜𝑠α 𝑖̂ − √𝑣0
2 𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 2𝑔ℎ𝑗 ̂
Questão 2 [3,0 pontos] 
 Um bloco de massa 𝑚 é empurrado contra uma mola de constante elástica 𝑘, e comprimento 
natural 𝑙0, por uma distância 𝑥, sendo mantido preso por um pequeno trinco. Quando o trinco é 
liberado, a mola expande-se empurrando o 
bloco. Ao passar pela posição de equilíbrio da 
mola, a mola perde contato com o bloco. O bloco 
segue adiante deslizando ao longo de uma 
superfície lisa e sem atrito, até passar a deslizar 
pelo interior de um aro circular de raio R. 
Sabendo que no ponto mais alto da trajetória 
dentro do aro o módulo da força do aro feita 
sobre o bloco (força normal) é igual a duas vezes 
o módulo da força peso do bloco. Suas respostas 
devem ser dadas em termos de 𝑚, 𝑙0, 𝑘, 𝑅 𝑒 𝑔: 
a) Indique quais as forças que atuam sobre o bloco quando ele passa pelo ponto mais alto do 
aro.[0,8 pts] As forças estão indicadas na figura. 
b) Determine o módulo da velocidade do bloco no ponto mais alto da trajetória dentro do aro. 
[1,0pts] Após construirmos o diagrama de forças no item anterior, podemos aplicar a segunda lei de 
Newton para o corpo. Como ambas as forças apontam em direção ao centro do círculo, elas 
constituem a força centrípeta que atua sobre o bloco de 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑚: 
𝑃 + 𝑁 =
𝑚𝑣2
𝑅
 
Como pelo enunciado do problema, o módulo da força normal é igual a duas vezes o módulo da 
força peso: 
𝑃 + 𝑁 = 𝑚𝑔 + 2𝑚𝑔 ⇒ 3𝑚𝑔 =
𝑚𝑣2
𝑅
 
Portanto a velocidade do corpo ao atingir o ponto mais alto do aro será: 
𝑣2 = 3𝑔𝑅 → 𝑣 = √3𝑔𝑅 
c) Determine a compressão inicial, x, da mola. [1,2 pts] 
As forças que atuam sobre o bloco são: a força peso, a força elástica e a força normal. Como a normal 
não realiza trabalho, e tanto a força peso quanto a força elástica são forças conservativas, podemos 
utilizar a conservação da energia mecânica. Tomando como 𝑈𝑔 = 0 o ponto mais baixo da trajetória 
podemos escrever: 𝐸𝑖 = 𝐸𝑓 ⇒ 𝑈𝑔𝑖 + 𝐾𝑖 + 𝑈𝑒𝑖 = 𝑈𝑔𝑓 + 𝐾𝑓 + 𝑈𝑒𝑖 
Onde 𝑈𝑔 é a energia potencial gravitacional, 𝑈𝑒 é a energia elástica armazenada na mola e 𝐾 é a 
energia cinética do bloco. Assim, pela expressão acima teremos: 
𝑈𝑒𝑖 = 𝑈𝑔𝑓 + 𝐾𝑓 
Pois inicialmente o bloco encontrava-se em repouso (𝐾𝑖 = 0), repousando sobre a superfície de 
referência (por isso 𝑈𝑔𝑖 = 0), sendo a única energia mecânica inicial presente no sistema, a energia 
potencial elástica (𝑈𝑒) armazenada na mola. Assim, 
𝑘𝑥2
2
=
𝑚𝑣2
2
+ 𝑚𝑔ℎ 
Utilizando 𝑣 = √3𝑔𝑅, para a velocidade no ponto mais alto do aro (valor encontrado no item (b)) e 
tomando ℎ = 2𝑅: 
𝑘𝑥2
2
=
𝑚(√3𝑔𝑅)
2
2
+ 𝑚𝑔2𝑅 
𝑘𝑥2
2
=
7𝑚𝑔𝑅
2
 
x = √
7𝑚𝑔𝑅
𝑘
 
Questão 3 [3,0 pontos] 
Um bloco de massa 𝑚1, desliza sobre uma superfície rugosa, existindo um coeficiente de atrito 
cinético 𝜇 entre as superfícies. Uma bola de massa 𝑚2 está conectada ao bloco através de uma corda 
ideal que passa por uma polia também ideal. Uma força de 
módulo 𝐹, age sobre o bloco, com uma direção que faz um 
ângulo 𝜃 em relação a horizontal, arrastando o sistema bloco-
bola para a direita. Suas respostas devem ser dadas em termos 
de 𝑚1, 𝑚2, 𝐹, 𝑔, 𝜇 𝑒 𝜃. 
a) Desenhe o diagrama de forças que estão agindo sobre o bloco 
e sobre a bola. [0,7 pts] Veja a figura ao lado. 
b) Determine o módulo da força normal que a superfície exerce 
sobre o bloco. [0,6 pts] 
Trabalhando com a componente vertical das forças agindo sobre o bloco 𝑚1: 
∑ 𝐹𝑦 = 𝑁 + 𝐹𝑠𝑒𝑛θ − 𝑃1 = 0 ⇒ N = 𝑚1𝑔 − 𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃 
c)Determine a aceleração das massas. [1,2 pts] 
Trabalhando com a componente horizontal do bloco de massa 𝑚1: 
∑ 𝐹𝑥 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑇
′ − 𝑓𝑎𝑡 = 𝑚1𝑎1 (𝑖) 
 Para a esfera, temos apenas o Peso da esfera (�⃗⃗�2) e a tração do fio (�⃗⃗�) agindo sobre ela. Logo, 
𝑇 − 𝑃2 = 𝑇 − 𝑚2𝑔 = 𝑚2𝑎2 (𝑖𝑖) 
Apesar do movimento da esfera ocorrer na vertical, e o bloco mover se na horizontal, o movimento do 
sistema esfera+bloco está vinculado pelo cabo ideal. Isto é, o quanto o bloco desloca-se para a direita, a 
distância percorrida será o equivalente que esfera irá subir na vertical. Com isso, podemos afirmar que 
𝑎1 = 𝑎2 = 𝑎 e também como a polia é ideal podemos afirmar que |�⃗⃗�
′| = |�⃗⃗�| = 𝑇. Assim somando as 
equações (𝑖) 𝑒 (𝑖𝑖): 
𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑓𝑎𝑡 − 𝑃2 = (𝑚1 + 𝑚2)𝑎 
𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 − μ𝑁 − 𝑚2 𝑔 = (𝑚1 + 𝑚2)𝑎 
Utilizando a expressão encontrada para normal no item b), teremos: 
𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 − μ(𝑚1𝑔 − 𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃) − 𝑚2 𝑔 = (𝑚1 + 𝑚2)𝑎 
𝐹(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝜇𝑠𝑒𝑛𝜃) − 𝑔(𝜇𝑚1 + 𝑚2) = (𝑚1 + 𝑚2)𝑎 
𝑎 =
𝐹(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝜇𝑠𝑒𝑛𝜃) − 𝑔(μ𝑚1 + 𝑚2)
(𝑚1 + 𝑚2)
 
d) Considere agora que 𝜃 = 0, a aceleração da caixa seria maior, menor ou igual ao valor encontrado no 
item c)? (Dica: não é necessário apresentar nenhum cálculo, apenas justifique claramente sua resposta.) 
[0,5pts] ERRATA: é preciso sim olhar para as contas! Assim todos os alunos que resolveram essa questão ganham 
0,3 pts pela tentativa. Olhando para a aceleração do item c) vemos que com θ = 0, teremos: 
𝑎(θ = 0) =
𝐹 − 𝑔(μ𝑚1 + 𝑚2)
(𝑚1 + 𝑚2)
 
Assim sempre que (𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝜇𝑠𝑒𝑛𝜃) = 1, 𝑎𝑠 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑟ã𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠. Para maior parte das situações 
teremos (𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝜇𝑠𝑒𝑛𝜃) < 1, indicando que a aceleração𝑎(θ = 0) será maior do que o valor encontrado 
em c). 
Questão 4 [2,5 pontos] 
Um corpo de massa = 10,0 𝐾𝑔 apresenta um movimento uniformemente acelerado dado pela seguinte 
função horária 𝑥(𝑡) = 𝑡2 − 7𝑡 − 10,(o valor de 𝑥(𝑡) é dado em metros) responda: [0,5 pts – cada item.] 
a) Determine a velocidade instantânea do corpo no instante 𝑡 = 2,0 𝑠. [0,5 pts] 
Sabendo 𝑣(𝑡) =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 2𝑡 − 7, o que no instante 𝑡 = 2,0 𝑠 nos daria: 𝑣(𝑡 = 2) = 2.2 − 7 = −3𝑚/𝑠 
b) Determine a velocidade média do corpo entre os instantes 𝑡 = 2,0 𝑠 e 𝑡 = 5,0 𝑠. [0,5 pts] 
Como 𝑣𝑚 =
ΔX
Δ𝑡
=
𝑥(5)−𝑥(2)
5−2
=
52−7.5−10−(22−7.2−10)
3
=
−20+20
3
= 0𝑚/𝑠 
c) Qual é a aceleração do corpo? Qual é a força resultante aplicada sobre o corpo? [0,5 pts] 
Sabendo 𝑎(𝑡) =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 2𝑚/𝑠2, podemos notar que aceleração do corpo é constante e igual a 2,0𝑚/𝑠2. 
Para calcularmos a força basta aplicarmos a segunda Lei de Newton teremos: 
𝐹 = 𝑚𝑎 = 10.2 = 20𝑁 
d) Se o corpo se desloca por uma distância 𝑑 = 10𝑚, qual é o trabalho realizado pela força 
resultante? [0,5 pts] Como a aceleração é constante, sabemos que a força resultante também será 
constante. Desta forma podemos calcular o trabalho pela expressão 𝑊 = �⃗� ⋅ 𝑑, onde também 
podemos supor que o deslocamento ocorre na mesma direção da força resultante, logo 
𝑊 = �⃗� ⋅ d⃗⃗ = 20.10. 𝑐𝑜𝑠0° = 200 𝐽 
e) Após percorrer os 10 𝑚, qual é a velocidade final do corpo? [0,5 pts] 
Utilizando a equação de Torricelli podemos determinar a velocidade do corpo após percorrer uma 
distância de 10 m: 𝑣2 = 𝑣0
2 + 2𝑎Δ𝑥, onde podemos determinar 𝑣0 como sendo a velocidade inicial 
do corpo em 𝑡 = 0, que será: 𝑣(0) = 2.0 − 7 = −7𝑚/𝑠. Assim, teremos: 
𝑣2 = (−7)2 + 2.2. (0 − (−10)) = 89 ⇒ v = √89 𝑚/𝑠