01+Conjuntos+numéricos,+reta+e+intervalo

Prévia do material em texto

Pré-cálculo: uma preparação para o Cálculo 
Arthur Borges 
https://www.udemy.com/pre-calculo 
 
 
Conjuntos numéricos 
1) Posicione no diagrama dos conjuntos numéricos os seguintes 
números, no conjunto mais interno possível: 
𝑎 = 1, 𝑏 =
1
3
, 𝑐 = −3, 𝑑 = −
5
3
, 𝑒 =
35
3
, 𝑓 = −
54
21
, 𝑔 = 𝑒 ⋅ 𝑓, ℎ = −√0, 
𝑖 = √−1, 𝑗 = √4, 𝑙 = 2,666 …, 𝑚 = √12, 𝑛 = −√3, 𝑜 = 𝑚 ⋅ 𝑛, 𝑝 =
1,301029995 …, 𝑞 = 0,12345678910111213 …, 𝑟 =
1,42857142857 …, 𝑠 = 1,90909090 … 
 
S-1) Sendo 𝐴 = {1, 2}, 𝐵 = {2, 3}, 𝐶 = {1, 3, 4} e 𝐷 = {1, 2, 3, 4}, classifique 
em V de verdadeira ou F de falsa cada sentença abaixo: 
a) 2 ∈ 𝐵; e) 𝐶 = 𝐷; 
b) 5 ∉ 𝐷; f) 𝐴 ⊄ 𝐶; 
c) 𝐴 ⊂ 𝐷; g) {1} ∈ 𝐴; 
d) 𝐷 ⊃ 𝐵; h) 4 ⊂ 𝐷. 
Solução: 
a) O símbolo ∈ significa “pertence a” ou “é elemento de”, e a sentença está dizendo que 
o elemento 2 pertence ao conjunto 𝐵, o que é verdadeiro pois 𝐵 = {2,3}, portanto V. 
b) O símbolo ∉ significa a negação de ∈, ou seja, “não pertence a” ou “não é elemento 
de”. A sentença está dizendo que o elemento 5 não pertence ao conjunto 𝐷, o que é 
verdade, conferindo com o enunciado, portanto V. 
c) O símbolo ⊂ significa “está contido em” ou “é subconjunto de”, então a sentença está 
afirmando que 𝐴 está contido em 𝐷, o que é verdade, pois todos os elementos de A 
também existem em D, por isso a sentença é verdadeira, V. 
d) O símbolo ⊃ significa “contém” ou “é superconjunto de”, então a sentença está 
afirmando que 𝐷 contém 𝐵, ou seja, que 𝐷 contém todos os elementos de 𝐵. Verificando 
os conjuntos no enunciado, vê-se que a afirmação é verdadeira, o conjunto 𝐷 =
{1, 2, 3, 4} contém o conjunto 𝐵 = {2, 3}, portanto a sentença é verdadeira, V. 
e) A sentença afirma que os conjuntos 𝐶 e 𝐷 são iguais, isso significa que todos os 
elementos de 𝐶 são elementos de 𝐷 e todos os elementos de 𝐷 são elementos de 𝐶. 
Observa-se que 2 é elemento de 𝐷 (2 ∈ 𝐷), mas não é elemento de C (2 ∉ 𝐶), logo os 
conjuntos não são iguais. A sentença é falsa, F. 
f) O símbolo ⊄ é a negação do símbolo ⊂, ou seja, diz que “não está contido em”. A 
sentença diz que 𝐴 não está contido em 𝐶, o que é verdade, pois o elemento 2 pertence 
a 𝐴, mas não pertence a 𝐶. Sentença verdadeira, V. 
g) A sentença afirma que o conjunto {1} pertence a 𝐴, o que é falso, porque o que 
pertence a 𝐴 é o elemento 1, não o conjunto {1}. O conjunto 𝐴 não é um conjunto de 
conjunto. Sentença falsa, F. 
h) Afirma-se que 4 está contido em 𝐷, o que é falso, pois elementos nunca estão contidos 
em conjuntos, apenas pertencem a conjuntos. Seria verdadeiro se afirmasse {4} ⊂ 𝐷. 
Sentença falsa, F. 
2) Diga se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentenças a 
seguir: 
a) 0 ∈ {0,1,2,3,4} j) {∅} ⊂ ∅; 
b) {1, 2} ∈ {1,2,3,4}; k) 0 ∈ ℕ; 
c) {𝑎} ⊂ {𝑎, {𝑎}}; l) (2 − 3) ∈ ℕ; 
d) {𝑎} ∈ {𝑎, {𝑎}}; m) ℕ ⊂ ℤ; 
e) {𝑎} ∈ {𝑎, 𝑏}; n) (−3)2 ∈ ℤ; 
f) {𝑎} ⊂ {𝑎, {𝑏}}; o) (−4)(−5) ∈ ℤ; 
g) {𝑎} ∈ {𝑎, {𝑏}}; p) 0 ∈ ℤ; 
h) ∅ ∈ {0}; q) (5 − 11) ∈ ℤ. 
i) ∅ ⊂ {∅}; 
 ℕ ℤ ℚ ℝ 
https://www.udemy.com/pre-calculo
Pré-cálculo: uma preparação para o Cálculo 
Arthur Borges 
https://www.udemy.com/pre-calculo 
 
 
3) Diga se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentenças a 
seguir: 
a) ℕ ⊂ ℚ; f) {
4
7
,
11
3
} ⊂ ℚ; 
b) ℤ ⊂ ℚ; g) 𝑟 ∈ ℚ ⇒ −𝑟 ∈ ℚ; 
c) 0 ∈ ℚ; h) 3 ∈ ℝ; 
d) 517 ∈ ℚ; i) ℕ ⊂ ℝ; 
e) 0,474747 … ∈ ℚ; j) 
3√2
5√2
∈ ℚ; 
S-2) Dados os conjuntos 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}, 𝐵 = {𝑐, 𝑑} e 𝐶 = {𝑐, 𝑒}, determine: 
a) 𝐴 ∪ 𝐵; 
b) 𝐴 ∩ 𝐶; 
c) 𝐴 − 𝐵. 
Solução: 
a) O símbolo ∪ significa união de conjuntos, ou seja, 𝐴 ∪ 𝐵 é um novo conjunto formado 
pelos elementos de A e pelos elementos de B sem repetição dos elementos que são 
comuns aos dois conjuntos. Logo, 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}, pois formou-se um novo conjunto 
com os elementos 𝑎 e 𝑏 de 𝐴, com elemento 𝑐 comum a 𝐴 e 𝐵, mas sem repetição, e com 
o elemento 𝑑 de 𝐵. 
b) O símbolo ∩ significa interseção de conjuntos, ou seja, 𝐴 ∩ 𝐶 é um novo conjunto 
formado exclusivamente pelos elementos de A que são comuns aos elementos de C. 
Ficam de fora os elementos que só pertencem a um dos conjuntos. Logo, 𝐴 ∩ 𝐶 = {𝑐}, 
pois 𝑐 é o único elemento comum a 𝐴 e a 𝐶. 
c) 𝐴 − 𝐵 é a operação de diferença entre conjuntos. Significa que 𝐴 − 𝐵 é um novo 
conjunto formado pelo conjunto 𝐴 excluídos os elementos que são comuns a 𝐵. Em 
outras palavras, toma-se o conjunto 𝐴 e extrai-se dele a interseção entra 𝐴 e 𝐵, os 
elementos de 𝐵 que não são comuns a 𝐴 são ignorados, não interferem na operação. 
Logo 𝐴 − 𝐵 = {𝑎, 𝑏}, pois extraiu-se de A o elemento de 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑐}. 
4) Avalie as afirmativas a seguir como falsa (F) ou verdadeira (V). 
a) ℕ ∪ ℤ− = ℤ; f) 
14
2
∈ ℚ − ℤ; 
b) ℤ+ ∩ ℤ− = ∅; g) 
1
2
∈ ℝ − ℚ; 
c) ℕ ∩ ℤ− = {0}; h) √4 ∈ ℝ − ℚ; 
d) 1 ∈ ℚ − ℤ; i) √4
3
∈ ℝ − ℚ; 
e) 
2
7
∈ ℚ − ℤ; j) (√2 − 3√3) ∈ ℝ − ℚ; 
S-3) Nos seguintes conjuntos descritos por compreensão, encontre a sua 
representação por extensão: 
a) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ|𝑥 < 8}; c) 𝐶 = {𝑥 ∈ ℕ|𝑥 > 7}; 
b) 𝐵 = {𝑥 ∈ ℕ|5 ≤ 𝑥 ≤ 8}; 
Solução: 
a) Neste primeiro caso, 𝑥 é elemento de ℕ e 𝑥 também é menor do que 8, logo o conjunto 
é formado pelos números naturais de 0 a 7, finalmente 𝐴 = {0,1,2,3,4,5,6,7}. 
b) Para este conjunto, os valores de 𝑥 também podem ser os valores dos extremos, o 5 
e o 8, logo 𝐵 = {5,6,7,8}. 
c) Neste último item, 𝑥 é qualquer número natural maior do que 7, então 𝐶 =
{8,9,10,11 … }, com as reticências indicando que a sucessão dos números naturais de 1 
em 1 continua indefinidamente. 
5) Represente por extensão os seguintes subconjuntos: 
a) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ|𝑥 < 5}; 
b) 𝐵 = {𝑥 ∈ ℕ|𝑥 ≤ 5}; 
c) 𝐶 = {𝑥 ∈ ℕ|2 ≤ 𝑥 < 7}; 
d) 𝐷 = {𝑥 ∈ ℕ|𝑥 > 29}; 
e) 𝐸 = {𝑥 ∈ ℤ| − 3 ≤ 𝑥 ≤ 2}; 
f) 𝐶 = {𝑥 ∈ ℤ| − 2 ≤ 𝑥 < 10 𝑜𝑢 𝑥 > 15}; 
6) Sejam os conjuntos 𝐴 = {−3, −2, −1,0,1,2,3}, 𝐵 = {1,2,3,4,5,6}, 
represente por extensão os seguintes conjuntos: 
a) 𝐶 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵}; 
b) 𝐷 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵}; 
c) 𝐸 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∉ 𝐵}; 
S-4) Coloque na forma de fração irredutível os seguintes decimais 
racionais: 
a) 0,3 c) 0,444... e) 0,4333... 
b) 2,35 d) 2,373737... 
Solução: 
https://www.udemy.com/pre-calculo
Pré-cálculo: uma preparação para o Cálculo 
Arthur Borges 
https://www.udemy.com/pre-calculo 
 
 
a) Quando se divide um número por 10, caminha-se com a vírgula para a esquerda. 0,3, 
portanto, é o resultado de 3 divido por 10, então a fração que corresponde a essa divisão 
é 
3
10
, que já é uma fração irredutível, ou seja, não há mais número inteiro que divida 
numerador e denominador ao mesmo tempo. 
b) Novamente, precisamos “caminhar” a vírgula para a direita, mas dessa vez temos de 
caminhar duas casas decimais, o que significa multiplicar duas vezes por 10, ou melhor, 
multiplicar por 100. Ficamos então com a fração 
235
100
. Perceba que numerador e 
denominador são ambos divisíveis por 5, logo essa fração ainda é redutível. Fazendo a 
divisão, obtemos 
47
20
, que já é a fração irredutível que procuramos. 
c) Chegamos a uma dízima periódica simples. A estratégia de multiplicar por 10 infinitas 
vezes até obtermos um número inteiro não vai funcionar. O truque então é multiplicar 
por 10 e fazer uma subtração. Seja 𝑥 a fração que estamos procurando, então 𝑥 =
0,444 … também. Agora vamos obter 10𝑥 e subtrair 𝑥 a fim de cancelarmos a dízima à 
direita da vírgula, da seguinte forma: 
 10𝑥 = 4,444 … 
 − 𝑥 = 0,444 … 
 
 9𝑥 = 4 
Logo a fração 𝑥 que procuramos é 
4
9
. Essa fração já é irredutível. 
d) A estratégia é a mesma, mas agora o padrão que se repete tem dois algarismos, então 
devemos multiplicar por 100 para que o padrão se mantenha à direita da vírgula. 
 100𝑥 = 237,3737 … 
 − 𝑥 = 2,3737 … 
 
 99𝑥 = 235 
Logo a fração 𝑥 que procuramos é 
235
99
. Essa fração já é irredutível. 
e) Essa dízima periódica tem um algarismofora do padrão à direita da vírgula, então 
não basta só multiplicar por 10, deve-se multiplicar por 100 também da seguinte 
maneira: 
 100𝑥 = 43,333 … 
 − 10𝑥 = 4,333 … 
 
 90𝑥 = 39 
Logo a fração 𝑥 que procuramos é 
39
90
, que ainda pode ser reduzida a 
13
30
 
7) Encontre a fração geratriz irredutível para cada uma das dízimas 
periódicas: 
a) 3,222... d) 0,428571428571... 
b) 0,2121212... e) 3,384615384615... 
c) 0,15212121... 
8) 
Obtenha para Carlos a fração geratriz da 
dízima 0,99999... 
 
 
 
 
 
 
 
Reta e intervalos 
9) Posicione sobre a reta real os seguintes números: 
𝑎 = 1, 𝑏 =
1
3
, 𝑐 = −3, 𝑑 = −
5
3
, 𝑒 =
35
3
, 𝑓 = −
54
21
, 𝑔 = 𝑒 ⋅ 𝑓, ℎ = −√0, 
𝑖 = √4, 𝑗 = 2,666 …, 𝑙 = √12, 𝑚 = −√3, 𝑛 = 𝑙 ⋅ m, 𝑜 =
https://www.udemy.com/pre-calculo
Pré-cálculo: uma preparação para o Cálculo 
Arthur Borges 
https://www.udemy.com/pre-calculo 
 
 
1,301029995 …, 𝑝 = 0,12345678910111213 …, 𝑞 =
1,42857142857 …, 𝑟 = 1,90909090 … 
10) Sabendo que 0 < 𝑥 < 𝑦 < 1, posicione os seguintes números sobre 
a reta real: 𝑥, 𝑦, 𝑥 ⋅ 𝑦, 
𝑥
𝑦
, 
𝑦
𝑥
, 𝑥2, 𝑦2, −𝑦, √−𝑥
3
, √−𝑦
3 . 
11) Indique, com uma linha mais espessa ou com um hachurado, os 
seguintes intervalos sobre a reta real, e com círculos preenchidos ou 
não os extremos fechados ou abertos: 
a) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ|1 ≤ 𝑥 ≤ 2} 
b) 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ|0 < 𝑥 < 3} 
c) 𝐶 = [−1; 3] 
d) 𝐷 =] − ∞, 5[ 
e) 𝐸 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ 0 𝑜𝑢 𝑥 > 2} 
f) 𝐹 = [0,2[ 
g) 𝐺 = {𝑥 ∈ ℝ|−1 < 𝑥 < 0 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 3} 
h) 𝐻 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ 3 𝑒 𝑥 > 1} 
i) 𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ 4 𝑒 𝑥 > 6} 
S-5) Utilizando a representação gráfica dos intervalos sobre a reta real, 
determine 𝐴 ∩ 𝐵 e 𝐴 ∪ 𝐵 para os intervalos 𝐴 = [0,3[ e 𝐵 = [1,4]. 
Solução: 
A representação do intervalo na reta real é o melhor caminho para obtermos a união ou 
a interseção de intervalos, então vamos demarcar os intervalos em três retas paralelas, 
uma para A, outra para B e a terceira para a operação entre A e B. 
 
Observe na figura que a interseção dos intervalos A e B ocorre quando podemos traçar 
retas verticais que passam necessariamente sobre os dois intervalos. Como o intervalo 
A é aberto à direita, a reta vertical não alcança seu extremo, logo esse extremo também 
não fará parte da interseção. Finalmente, 𝐴 ∩ 𝐵 = [1,3[. 
 
Observe na figura que a união dos intervalos 𝐴 e 𝐵 ocorre quando podemos traçar retas 
verticais que passam ou sobre um ou sobre o outro intervalo. A abertura à direita do 
intervalo 𝐴 não causa uma descontinuidade no intervalo unido, pois o extremo ausente 
se encontra no intervalo 𝐵. Finalmente, 𝐴 ∪ 𝐵 = [0,4]. 
12) Obtenha os intervalos resultantes das seguintes operações: 
a) [0,2] ∩ [1,3] f) [1,2] ∩ [0,3] ∩ [−1,4] 
b) [0,2] ∩]1,3[ g) [−1,3] ∪ [0,4] 
c) ]−1,
2
5
[ ∩ ]0,
4
3
[ h) ] − 2,1] ∪]0,5[ 
d) ] − ∞, 2] − [0, +∞[ i) [−1,3] − [3,5] 
e) [−1, +∞[∩ [−
9
2
, 2[ j) [−
1
2
, 0[ ∪ ]−
3
2
, −
1
4
] 
 
Respostas: 
1) 𝑎, ℎ, 𝑗 ∈ ℕ; 𝑐, 𝑔, 𝑜 ∈ ℤ − ℕ; 𝑏, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑙, 𝑟, 𝑠 ∈ ℚ − ℤ; 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑞 ∈ ℝ − ℚ; 𝑖 ∉ ℝ. 2) 
VFVVFVFFVFVFVVVVV. 3) Tudo V; 4) VFVFVFFFVV. 5) a) {0,1,2,3,4}; b) {0,1,2,3,4,5}; c) 
{2,3,4,5,6}; d) {30,31,32,...}; e) {-3,-2,-1,0,1,2}; f) {-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, 16,17,18,19,...}. 6) 
a) {1,2,3}; b) {-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}; c) {-3,-2-,1-0}. 7) a) 
29
9
; b) 
7
33
; c) 
251
1650
; d) 
7
3
; e) 
44
13
. 8) 1. 9) 
𝑔, 𝑛, 𝑐, 𝑓, 𝑚, 𝑑, ℎ, 𝑝, 𝑏, 𝑎, 𝑜, 𝑞, 𝑟, 𝑖, 𝑗, 𝑙, 𝑒. 10) −𝑦, √−𝑦
3 , √−𝑥
3
, 𝑥2, 𝑥 ⋅ 𝑦, 𝑦2, 𝑥, 𝑦,
𝑥
𝑦
, 1,
𝑦
𝑥
 . 12) a) 
[1,2]; b) ]1,2]; c) ]0,2/5[; d) ] − ∞, 0[; e) [−1,2]; f) [1,2]; g) [−1,4]; h) [−2,5[; i) [−1,3[; j) 
[−3/2,0[. 
 
Observando qualquer erro ou coisa estranha, favor entrar em contato. 
0 1 2 3 4 5 
0 1 2 3 4 5 
0 1 2 3 4 5 
𝐴 = [0,3[ 
𝐵 = [1,4] 
𝐴 ∩ 𝐵 
0 1 2 3 4 5 
0 1 2 3 4 5 
0 1 2 3 4 5 
𝐴 = [0,3[ 
𝐵 = [1,4] 
𝐴 ∪ 𝐵 
https://www.udemy.com/pre-calculo