Exercícios resolvidos | Função do segundo grau | Lista 02

Prévia do material em texto

Exercícios resolvidos | Função quadrática (Função polinomial do segundo grau) | Lista 02
Clique nos ícones a seguir para acessar meu canal no YouTube, minha página 
no Instagram, Facebook, Pinterest e também para se inscrever no meu canal no Telegram:
https://goo.gl/i0yKEf
https://instagram.com/auladoguto
https://facebook.com/auladoguto
http://pinterest.com/auladoguto
http://t.me/auladoguto
1 — Para cada função, determine
os pontos de interseção com os
eixos coordenados e o vértice
para, em seguida, esboçar o
gráfico a partir desses pontos.
a) h(x) = x² + 6x + 8
a = 1, b = 6, c = 8
1. Interseção com o eixo y (0, c):
(0, 8)
2. Interseção com o eixo x:
𝑥2 + 6𝑥 + 8 = 0
Discriminante: b² – 4ac
6² – 4  1  8 = 4
x =
−b ± b2 − 4ac
2a
𝑥 =
−6 ± 4
2 ∙ 1
=
−6 ± 2
2
𝒙′=
−𝟒
𝟐
= −𝟐
𝒙′′=
−𝟖
𝟐
= −𝟒
3. Vértice:
V =
−b
2a
,
−b2 + 4ac
4a
V =
−6
2 ∙ 1
,
−4
4 ∙ 1
V =
−6
2
,
−4
4
= −𝟑,−𝟏
y
x
0-4 -2
(-3, -1)
(0, 8)
1 — Para cada função, determine
os pontos de interseção com os
eixos coordenados e o vértice
para, em seguida, esboçar o
gráfico a partir desses pontos.
b) f(x) = 5x² + 5x
a = 5, b = 5, c = 0
1. Interseção com o eixo y (0, c):
(0, 0)
2. Interseção com o eixo x:
5𝑥2 + 5𝑥 = 0
Discriminante: b² – 4ac
5² – 4  5  0 = 25
x =
−b ± b2 − 4ac
2a
𝑥 =
−5 ± 25
2 ∙ 5
=
−5 ± 5
10
𝒙′=
𝟎
𝟏𝟎
= 𝟎
𝒙′′=
−𝟏𝟎
𝟏𝟎
= −𝟏
3. Vértice:
V =
−b
2a
,
−b2 + 4ac
4a
V =
−5
2 ∙ 5
,
−25
4 ∙ 5
V =
−5
10
,
−25
20
= −𝟎, 𝟓;−𝟏, 𝟐𝟓
y
x
-1 (0, 0)
(-0,5; -1,25)
1 — Para cada função, determine
os pontos de interseção com os
eixos coordenados e o vértice
para, em seguida, esboçar o
gráfico a partir desses pontos.
c) g(x) = -x² + 8x – 12
a = -1, b = 8, c = -12
1. Interseção com o eixo y (0, c):
(0, -12)
2. Interseção com o eixo x:
−𝑥2 + 8𝑥 − 12 = 0
Discriminante: b² – 4ac
8² – 4  (-1)  (-12) = 16
x =
−b ± b2 − 4ac
2a
𝑥 =
−8 ± 16
2 ∙ (−1)
=
−8 ± 4
−2
𝒙′=
−𝟒
−𝟐
= 𝟐
𝒙′′=
−𝟏𝟐
−𝟐
= 𝟔
3. Vértice:
V =
−b
2a
,
−b2 + 4ac
4a
V =
−8
2 ∙ (−1)
,
−16
4 ∙ (−1)
V =
−8
−2
,
−16
−4
= 𝟒, 𝟒
y
x
0
(4, 4)
(0, -12)
2 6
2 — Ao chutar uma bola, a trajetória que a bola segue no
ar é a representada pela função 𝑓 𝑥 = −
1
5
𝑥2 + 2𝑥, em
que x corresponde ao deslocamento horizontal, medido
em metros, e y = f(x) corresponde à altura alcançada pela
bola, também medida em metros.
a) Qual a forma da trajetória seguida pela bola?
a = −
𝟏
𝟓
, b = 2, c = 0
Parábola com concavidade voltada para baixo.
b) Qual é a altura alcançada pela bola no instante em que
ela se deslocou horizontalmente 3 metros?
f(3)
𝑓 3 = −
1
5
∙ 𝟑𝟐 +2 ∙ 𝟑 = 4,2
A altura alcançada foi de 4,2 metros.
c) Qual é a altura máxima que a bola pode alcançar?
V =
−b
2a
,
−b2 + 4ac
4a
Discriminante: b² – 4ac
22 − 4 ∙ −
1
5
∙ 0 = 4
V =
−2
2 ∙ −
1
5
,
−4
4 ∙ −
1
5
= 5,5
A altura máxima é de 5 metros.
2 — Ao chutar uma bola, a trajetória que a bola segue no
ar é a representada pela função 𝑓 𝑥 = −
1
5
𝑥2 + 2𝑥, em
que x corresponde ao deslocamento horizontal, medido
em metros, e y = f(x) corresponde à altura alcançada pela
bola, também medida em metros.
d) Faça o gráfico da função que representa a trajetória da
bola a partir das respostas anteriores.
Interseção com o eixo x: 𝑓 𝑥 = −
1
5
𝑥2 + 2𝑥 = 0
x =
−b ± b2 − 4ac
2a
𝑥 =
−2 ± 4
2 ∙ −
1
5
=
−2 ± 2
−
2
5
𝒙′= 𝟎 e 𝒙′′= 𝟏𝟎
Interseção com o eixo y: (0, 0)
y
x(0, 0) 10
(3; 4,2)
(5,5)
3 — A posição de um ciclista, que
viaja em uma ciclovia, é dada pela
relação 𝑑 𝑡 =
1
5
𝑡² , sendo d a
distância percorrida, em metros,
pelo ciclista no tempo t, medido em
segundos, contado a partir do início
da viagem.
a) Esboce o gráfico que representa a
distância percorrida pelo ciclista em
relação ao tempo.
b) Observando o gráfico que você
criou, responda quanto tempo leva
para o ciclista percorrer os primeiros
12 metros? Como você pode
calcular essa distância a partir da
relação d(t)?
• Interseção com o eixo t:
a = 1/5, b = 0, c = 0.
𝑑 𝑡 =
1
5
𝑡2 = 0
𝒕′ = 𝒕′′ = 𝟎
• Interseção com o eixo d:
(0, 0)
• Vértice:
V =
−b
2a
,
−b2 + 4ac
4a
= 0, 0
Aproximadamente 8 segundos.
d t =
1
5
t2 = 12
t2 = 12 ∙ 5 = 60
t = 60 ≅ 8
d
t
(0,0)
12 (12, 60)
10
8
6
4
2
2 4 6 8
4 — (ENEM, 2013) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é
reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e
varia de acordo com a expressão 𝑇 𝑡 =
−𝑡²
4
+ 400 com t em minutos. Por
motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura
quando o forno atinge a temperatura de 39 °C.
Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno,
para que a porta possa ser aberta?
a) 19,0
b) 19,8
c) 20,0
d) 38,0
𝑇 𝑡 =
−𝑡²
4
+ 400 = 39
−𝑡²
4
= 39 − 400
−𝑡²
4
= −361
−𝑡2 = −361 ∙ 4 = −1444
𝑡2 = 1444
𝑡 = 1444 = 38