Resumo | Função do segundo grau

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Função quadrática (Função polinomial do segundo grau) | Resumo
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• Função do 2º Grau. O que é?
Dizemos que uma função, definida para todo número real, é de 2º grau ou quadrática, quando puder ser 
escrita na forma
f (x) = ax2 + bx + c, com a, b, c ∈ ℝ e a ≠ 0.
Nessa função destaca-se:
• o termo quadrático, ax²;
• o termo linear, bx;
• o termo independente c.
Representação Gráfica da Função Quadrática
A representação gráfica da função quadrática é uma parábola.
A parábola é uma curva, que admite um eixo de simetria,
conforme indicado na figura a seguir.
Características importantes da parábola
f (x) = ax2 + bx + c, com a, b, c ∈ ℝ e a ≠ 0.
• Concavidade:
- Para cima (a > 0);
- Para baixo (a < 0).
• Vértice da parábola:
- Ponto de simetria
- Ponto mínimo (concavidade 
voltada para cima, a > 0)
- Ponto máximo (concavidade 
voltada para baixo, a < 0)
• O gráfico da função intercepta
o eixo x em dois pontos
distintos.
• O conjunto solução da equação
é formado por dois números
reais (b² – 4ac > 0).
• f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c ∈ ℝ e a ≠ 0.
• ax2 + bx + c = 0
• O gráfico da função intercepta
o eixo x em apenas um ponto.
• O conjunto solução da equação
é formado por apenas um
número real (b² – 4ac = 0).
• O gráfico da função não
intercepta o eixo x.
• O conjunto solução da equação
não é formado por números
reais (b² – 4ac < 0).
Forma fatorada da função quadrática:
f(x) = y = a(x − x1)(x − x2)
x1 e x2 são os zeros da função.
Considere a função f(x) = x² — 6x + 9.
a. Qual é o ponto de interseção (x, y) 
do gráfico da função f com o eixo y ?
O gráfico de f intercepta o eixo y 
quando x = 0
f(0) = (0)² – 6(0) + 9
f(0) = 9
f(0) = c
O gráfico da função f intercepta o 
eixo y no ponto (0, 9).
No geral, o ponto de interseção do
gráfico de uma função quadrática
com o eixo y tem coordenadas (0, c).
b. Em que ponto o gráfico da função f
intercepta o eixo x?
O gráfico de f intercepta o eixo x 
quando y = 0, ou seja, quando f(x) = 0.
x² – 6x + 9 = 0
Discriminante: b² – 4ac
= (-6)² – 4  1  9 = 0
x =
−b ± b2 − 4ac
2a
=
6 ± 0
2 ∙ 1
= 3
O gráfico da função f tem contato
com o eixo x apenas no ponto de
coordenadas (3, 0).
c. Como determinar o ponto que é o 
vértice da parábola, que é gráfico da 
função f ?
𝐕 =
−𝐛
𝟐𝐚
,
−𝐛𝟐 + 𝟒𝐚𝐜
𝟒𝐚
V =
6
2
,
0
4
V = 3,0
O vértice da parábola é o ponto de 
coordenadas (3, 0).
a = 1, b = – 6, c = 9
O gráfico da função f intercepta
o eixo y no ponto (0, 9).
O gráfico da função f tem
contato com o eixo x apenas no
ponto de coordenadas (3, 0).
O vértice da parábola é o ponto
de coordenadas (3, 0).
Considere a função f(x) = x² — 6x + 9. a = 1, b = – 6, c = 9
ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Estudar a variação do sinal de uma função quadrática f(x) = ax² + bx + c é identificar para quais valores de x temos f(x) com
valor negativo, nulo ou positivo.
• Concavidade da parábola (a > 0 concavidade para cima; a < 0  concavidade para baixo).
• Calcular as raízes da função (y = ax² + bx + c = 0):
• b² – 4ac > 0  duas raízes reais distintas  o gráfico intercepta o eixo x em dois pontos;
ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Estudar a variação do sinal de uma função quadrática f(x) = ax² + bx + c é identificar para quais valores de x temos f(x) com
valor negativo, nulo ou positivo.
• Concavidade da parábola (a > 0 concavidade para cima; a < 0  concavidade para baixo).
• Calcular as raízes da função (y = ax² + bx + c = 0):
• b² – 4ac = 0  duas raízes reais iguais  o gráfico toca o eixo x em um ponto;
ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Estudar a variação do sinal de uma função quadrática f(x) = ax² + bx + c é identificar para quais valores de x temos f(x) com
valor negativo, nulo ou positivo.
• Concavidade da parábola (a > 0 concavidade para cima; a < 0  concavidade para baixo).
• Calcular as raízes da função (y = ax² + bx + c = 0):
• b² – 4ac < 0  não há raízes reais o gráfico não intercepta o eixo x.
Inequação do 2º Grau — Aplicando o estudo do sinal
Encontre todos os valores reais de x para os quais x² — 5x + 4 > 0.
1. f(x) = x² – 5x + 4
2. Calcular as raízes da função:
𝑥2 − 5𝑥 + 4 = 0
a = 1, b = -5, c = 4 
Discriminante: b² – 4ac
(-5)² – 4  1  4 = 9
x =
−b ± b2 − 4ac
2a
𝑥 =
5 ± 9
2 ∙ 1
=
5 ± 3
2
𝑥′=
8
2
= 4
𝑥′′=
2
2
= 1
3. Esboçar o gráfico da função: A função é positiva para valores de x
menores do que 1 ou maiores do que 4.
S = {x ∈ ℝ | x < 1 ou x > 4}
S = (-∞, 1) ∪ (4, +∞)
Inequação do 2º Grau — Aplicando o estudo do sinal
4. Agora pratique e encontre todos os valores reais de que satisfazem as inequações:
a. —x² + 2x — 2 ≥ 0
f(x) = —x² + 2x — 2
−𝑥2 + 2𝑥 − 2 = 0
a = -1, b = 2, c = -2 
Discriminante: b² – 4ac
(2)² – 4  (-1)  (-2) = -4
Não há raízes reais.
Não existem valores de x para os quais
a função é maior ou igual a zero.
S = { }
S = 
Inequação do 2º Grau — Aplicando o estudo do sinal
4. Agora pratique e encontre todos os valores reais de que satisfazem as inequações:
b. x² + 4x + 3 ≥ 0
f(x) = x² + 4x + 3
A função é positiva para valores de
x menores do que –3 ou maiores
do que –1.
A função é igual a zero (nula) para
x = -3 ou x = -1.
S = {x ∈ ℝ | x < -3 ou x > -1}
S = (-∞, -3) ∪ (-1, +∞)
𝑥2 + 4𝑥 + 3 = 0
a = 1, b = 4, c = 3 
Discriminante: b² – 4ac
4² – 4  1  3 = 4
x =
−b ± b2 − 4ac
2a
𝑥 =
−4 ± 4
2 ∙ 1
=
−4 ± 2
2
𝑥′=
−2
2
= −1
𝑥′′=
−6
2
= −3
y
x
0-3 -1
a = 1 > 0
+ +
–