NúrioLouro, Treliças e vigas hiper- RM

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Faculdade de Engenharia 
Departamento de Engenharia Geológica 
 Cadeira: Resistência dos Materiais 
 
Tema 
1. Vigas: ( métodos de cálculos, tabela de método de cross, exemplos de resolução) 
2. Treliças: ( métodos de cálculos, tabela de método de cross, exemplos de resolução) 
 
 
 Discente: Docentes: 
Núrio Francisco José Louro PhD. Fred Charles Nelson 
 Eng°. Jónata Andrade 
 
 
 
 
 
 
 
Pemba, 22 de Julho de 2020 
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Tema 
 Vigas: (métodos de cálculos, tabela de método de cross, exemplos de resolução); 
 Treliças: (métodos de cálculos, tabela de método de cross, exemplos de resolução). 
 
 
 
 
 Discente: 
Núrio Francisco José Louro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pemba, 22 de Julho de 2020 
 
Trabalho de caracter avaliativo Referente 
ao 1º semestre, do 2º Ano, cadeira 
Resistência dos materiais, curso de 
engenharia geológica. 
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Índice 
Introdução.................................................................................................................................... 4 
Objetivo Geral ......................................................................................................................... 5 
Objetivos específicos ............................................................................................................... 5 
Metodologia ............................................................................................................................. 5 
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS ......................................................................................... 6 
O MÉTODO DAS FORÇAS - UTILIZANDO EQUAÇÕES .................................................... 6 
O MÉTODO DAS FORÇAS – UTILIZANDO TABELA ....................................................... 11 
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA RIGIDEZ .................................... 18 
MÉTODO DE CROSS .............................................................................................................. 19 
Princípios do Método ................................................................................................................ 20 
MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO ................................................................ 21 
MÉTODO DE CROSS PARA ESTRUTURAS INDESLOCÁVEIS ....................................... 21 
Conclusão .................................................................................................................................. 26 
Referências Bibliográficas ........................................................................................................ 27 
 
 
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Introdução 
Todo engenheiro deve ter um conhecimento teórico para resolver as estruturas não somente 
utilizando os softwares. O conhecimento da solução do problema de maneira manual permite não 
só uma visão melhor dos resultados quanto um domínio maior de cálculo, proporcionando assim 
menores chances de erro, o que pode ser crucial na carreira de um engenheiro. O início do 
cálculo estrutural começa na teoria das estruturas e na mecânica. Entretanto, foi possível através 
destas disciplinas aprender a calcular por sua vez os esforços e os deslocamentos nas estruturas, 
podendo então utilizar vários processos para calcular se a peça irá ou não resistir a um dado 
esforço. Existem muitos métodos para resolução de estruturas hiperestéticas, dos quais 
destacamos o método das forças, sendo este o mais prático quando se calcula uma viga. O 
método com o qual se utiliza uma tabela de integrais para encontrar o deslocamento da viga, 
deixando desta forma o cálculo mais rápido. O método dos deslocamentos, e por fim o método 
de cross, que assemelha-se ao método dos deslocamentos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Objetivo Geral 
 Capacitar nos na análise de estruturas reticuladas hiperestéticas, determinando seus esforços 
internos e deslocamentos generalizados. 
Objetivos específicos 
 Calcular as reações de apoio de vigas hiperestéticas; 
 Calcular as equações dos esforços solicitantes internos destas estruturas, ou seja, das vigas 
hiperestéticas; 
 Desenhar os diagramas dos esforços solicitantes internos baseados nas ações de extremos 
calculados. 
Metodologia 
O trabalho foi elaborado com apoio de materiais didáticos que abordam sobre as estruturas, fez -
se também o proveito da Internet, para que se pudesse tornar sólida a informação do tema em 
estudo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 
As estruturas hiperestéticas são aquelas que tem uma quantidade de vínculos maior do que o 
necessário para manter a estrutura em equilíbrio. Na prática normalmente as estruturas 
hiperestéticas são as que devem ser calculadas, como vigas contínuas, engastes entre vigas e 
pilares, entre outras. 
 O MÉTODO DAS FORÇAS - UTILIZANDO EQUAÇÕES 
O método das forças é indicado quando se faz necessário o cálculo manual das estruturas 
hiperestéticas (quando não é possível o auxílio de um computador), sendo então este o primeiro 
método a ser ensinado nesta apostila. De maneira simplificada ele consiste em remover os 
vínculos que estão causando a hiperestacidade da estrutura, aplicando em contrapartida uma 
carga unitária no sistema agora isostático. Encontrando o deslocamento para este sistema 
isostático (com o vinculo excedente removido) e também o deslocamento ocorrido devido a uma 
carga unitária, é possível encontrar o chamado sistema de compatibilidade de deslocamentos, do 
qual tiramos as reações dos vínculos primeiramente removidos. 
Seja a viga hiperestética abaixo: 
 
O primeiro passo é verificar o grau de hiperestacidade da estrutura. No caso de vigas e pórticos 
simples, o grau de hiperestaticidade é facilmente encontrado. Basta contar o número de vínculos 
da estrutura, no caso da viga acima temos dois vínculos no apoio fixo da esquerda e mais dois 
vínculos nos dois apoios móveis da direita. Portanto temos 4 vínculos nesta estrutura, em todas 
as estruturas teremos 3 equações de equilíbrio, isto é, somatório de momento igual a zero, 
somatório de forças em Y igual a zero e somatório de forças em X igual a zero. O grau de 
hiperestaticidade é calculado com g = V-3, substituindo então a quantidade de vínculos nesta 
7 
 
equação temos g = 4-3, portanto g = 1. Então o grau de hiperestaticidade desta estrutura é um. 
Isto significa para o método das forças que devemos remover 1 vínculo á escolha para 
transformarmos esta estrutura em isostática. 
O segundo passo é escolher o vínculo a ser removido, no caso deste exercício removeremos o 
apoio central, criando-se o sistema 0, ou seja o sistema principal com a carga real. Iremos então 
resolver este sistema encontrando suas equações de momento e cortante. 
CASO 1: 
 
Fazemos então um corte no meio da carga distribuída, encontrando a seguinte seção : 
 
 
8 
 
O terceiro passo é colocar uma carga unitária no lugar onde foi removido o vínculo, encontrando 
então o sistema 2. Deve-se então resolver este sistema 2, encontrando as equações de momento e 
cortante. 
CASO 2: 
 
 
9 
 
Encontradas as equações de momento para o sistema 1 e também para o sistema 2 é necessário 
encontrar os coeficientes do sistema de compatibilidade de deslocamentos. Estes coeficientes são 
os deslocamentos do sistema 1 e sistema 2 no ponto onde foi removido o vínculo. Então o Delta 
10 são as integrais de momento do sistema 1 contra o sistema 2, e o Delta 11 são as integrais do 
sistema 2 contra o sistema 2 (ele mesmo). 
 
Substituindo então estes valores no sistema de compatibilidade de deslocamentos temos: 
 
10 
 
O valor encontrado de -7,5 kN éo valor da reação de apoio do vínculo inicialmente removido. O 
sinal negativo da resposta indica que a reação de apoio tem direção inversa à carga unitária 
adotada. Ou seja, como a carga unitária foi adotada para baixo e a resposta deu negativa, logo 
temos que a direção da reação de apoio é para cima. Para encontrar os diagramas finais para esta 
estrutura basta agora aplicar o método das seções em cada trecho e formar as equações ao longo 
do eixo da viga: 
 
Basta agora somente a formar as equações ao longo da viga passando pelos trechos calculados. O 
método das forças mostra-se uma alternativa eficaz para resolução de estruturas de maneira 
manual. 
 
11 
 
 
 
O MÉTODO DAS FORÇAS – UTILIZANDO TABELA 
O método das forças é indicado quando se faz necessário o cálculo manual das estruturas 
hiperestéticas (quando não é possível o auxílio de um computador), esse método é possível 
usando a tabela de integrações, que é ilustrada a seguir: 
12 
 
 
Exercício -1: 
 
13 
 
Inicialmente fazemos a verificação do grau do hiperestaticidade (h) da estrutura: 
Sendo c = 1 chapa vem 
Bn = 3c, logo Bn = 3 
A somatória dos vínculos dos apoios (Be) é (2+1+1) = 4, então: 
Be - Bn = h 
4-3 = 1 (grau1) 
Então se altera a estrutura de forma que h seja 0, neste exercício o apoio móvel colocado no meio 
da viga foi removido. A condição para realização do calculo é retirar os vínculos ate que a 
estrutura seja isostática e acrescentar forças unitários onde os vínculos foram retirados, ou seja, 
onde foi retirado o apoio móvel foi acrescentada uma força unitária no eixo Y. 
 
Reações de Apoio (caso 1) 
Observação: Entende-se por caso 1 aquele que os apoios agora estão dispostos de modo a tornar 
a estrutura isostática e o cálculo é feito com a carga real 
14 
 
 
Reações de Apoio (caso 2) 
Observação: Entende-se por caso 2 aquele que os apoios agora estão dispostos de modo a tornar 
a estrutura isostática e o cálculo é feito com a carga real 
 
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Desta forma obtém-se os seguintes gráficos do esforço Cortante (V – kN) e Momento (M – 
kN.m), respetivamente: 
Caso 1 
 
Sabendo que onde a (V=0) o (M=max) , calcula-se a área formada pela cortante e obtém-se o 
momento. No caso acima, por semelhança de triangulo encontra-se o local onde V=0 : (12) esta 
para (x) assim como (12) esta para (6-x), por tanto x=3 se a base do triângulo é 3, vem: 
[(3×12)/2] o momento máximo será igual à 18. Sabendo que a carga é constante, a V será linear e 
logo o momento será uma curva de segundo grau. 
CASO 2 
16 
 
 
 
Sabendo que onde a (V=0) o (M=max), calcula-se a área formada pela cortante e obtém-se o 
momento. No caso acima, sabe-se que a carga unitária que gera a V=0 esta a 3m do ponto A, se a 
base do retângulo é 3, vem: (3×0,5) o momento máximo será igual à 1,5. Sabendo que a carga é 
concentrada, a V será constante e logo o momento será linear. 
Combinações: 
Usando a tabela em anexo, deve combinar as figuras formadas pelos gráficos dos momentos dos 
casos 0 e 1, atentando sempre para o sinal da integral, ou seja, quando as áreas estiverem em 
sentidos opostos no gráfico (por exemplo: o momento no caso 0 traciona as fibras superiores e no 
caso 1 traciona as inferiores) a integral deverá ser negativa. 
 Combina-se primeiro o gráfico da situação 1 com situação 2, e situação 2 com situação 1. (no 
caso de h=1) 
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Na matriz: 
 
Reações de Apoio: 
18 
 
Combinando os valores da situação 1 com situação 2 é possível chegar ao esforço real da 
estrutura no seu estado hiperestético. 
 
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA RIGIDEZ 
Neste método determinam-se inicialmente os deslocamentos e indiretamente, a partir destes, os 
esforços; as incógnitas são os deslocamentos. O método pode ser usado para analisar qualquer 
estrutura, isostática ou hiperestética. A única estrutura que não pode ser resolvida por este 
método é a viga bi-engastada. No caso de estruturas reticuladas, que são formadas por barras 
ligadas por pontos nodais denominados “nós”, o número de incógnitas será o número de 
deslocamentos nodais ou o número total de “graus de liberdade” (GL) de todos os nós da 
estrutura. Define-se grau de liberdade de um nó a direção possível deste se deslocar. No caso de 
estruturas planas, no plano XY (Figura 1-a), existem três direções possíveis de deslocamento 
para cada nó: translação paralela ao eixo X; translação paralela ao eixo Y e rotação em torno do 
eixo Z (Figura 1-b). 
Em uma extremidade livre, assim como numa extremidade ligada a um vínculo, também existe 
um nó. 
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Figura 1: Sistema de referência e direções possíveis de deslocamento 
No caso de vigas, não serão considerados deslocamentos axiais, portanto cada nó terá apenas 
2GL: translação paralela ao eixo Y (1) e rotação em torno do eixo Z (2) (Figura 2). 
 
Figura 2: Graus de liberdade de uma viga 
Quando existirem forças horizontais aplicadas nas vigas, estas serão modeladas como pórtico 
plano. O método consiste em inicialmente fixar a estrutura, introduzindo-se vínculos fictícios, 
tornando a estrutura cinematicamente determinada. Consideram-se as cargas aplicadas nas barras 
e calculam-se os esforços causados pelas cargas para a estrutura fixa (sistema principal). 
Impõem-se em seguida os deslocamentos nos nós e calculam-se os esforços decorrentes destes 
na estrutura. Por superposição de efeitos calculam-se os esforços totais que devem estar em 
equilíbrio com as forças externas aplicadas nos nós. Chega-se a um sistema de equações de 
equilíbrio de forças em torno dos nós da estrutura. 
Para estruturas reticuladas, o único sistema principal possível é obtido pela fixação de todos os 
nós. É por isto que este método é mais conveniente para utilização em programas 
computacionais de que o Método das Forças. 
 MÉTODO DE CROSS 
Este método é baseado no método dos deslocamentos. O método Cross ou da Distribuição de 
Momentos consiste em obter os esforços nas barras por equilíbrio de nó, distribuindo o momento 
total no nó (o aplicado mais os de encastramento perfeito das barras que concorrem no nó) de 
acordo com a rigidez das barras. Este processor foi propos to por Hardy Cross, em 1932, no 
20 
 
artigo Intitulado Analysis of Continuous Frames by Distribuing Fixed End Moment, publicado 
no Proceedings of Americal Society of Civil Engineers (Transactions). Concebidos 
principalmente para o cálculo de sistemas de nós fixos cujos nós estão submetidos unicamente a 
rotações, o método foi generalizado para os sistemas de nós deslocáveis, ou seja, que podem 
sofrer translações. 
Princípios do Método 
O método desenvolvido por Cross é inspirado em um processo matemático de resolução por 
aproximações sucessivas dos sistemas lineares. Supõe-se, inicialmente, que os nós da estrutura 
estão bloqueados e não podem sofrem nenhuma rotação. Depois da aplicação das cargas, os nós 
são liberados sucessivamente, os quais sofrem rotação. Em seguida, o nó liberado é bloqueado 
antes de passar ao nó seguinte. Estas operações são repetidas até que a liberação dos nós não 
provoque mais rotações. Isto significa que o estado de equilíbrio foi atingido. Segundo Cross, a 
ideia principal do processo de resolução de estruturas hiperestéticas resume-se em simples 
operações aritméticas, o que não é inteiramente verdadeiro. O processo de Cross, para vigas de 
seção constante, depende da solução de três problemas: a determinação dos momentos de 
engastamento perfeito, da rigidez de cada viga e do fator de distribuição de carga de cada 
membro da estrutura em consideração. Sobre o Método de Distribuição de Momentos, Cross 
escreveu que deveria ser imaginado que todos os nós da estrutura não pudessem girar e que os 
momentos de engastamento perfeito nas extremidades das barras fossem calculados para esta 
condição. 
Para cada nó da estrutura, distribui-se os momentos de engastamento perfeito, da rigidez de cadaviga e do fator de distribuição de carga de cada membro da estrutura em consideração. Sobre o 
Método de Distribuição de Momentos, Cross escreveu que deveria ser imaginado que todos os 
nós da estrutura não pudessem girar e que os momentos de engastamento perfeito nas 
extremidades das barras fossem calculados para esta condição. Para cada nó da estrutura, 
distribui-se os momentos de engastamento perfeito desequilibrados entre os membros conectados 
na proporção de cada rigidez. Multiplica-se o momento distribuído para cada membro para o nó 
pelo fator de distribuição de carga. Distribui-se somente a carga recebida. Repete-se este 
processo até que os momentos transportados sejam tão pequenos que possam ser negligenciados. 
Somam-se todos os momentos das extremidades das barras de cada membro a fim de obter o 
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momento verdadeiro. Para uma estrutura com um único nó a solução é exata, mas para mais de 
um nó, a solução é aproximada. 
MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO 
Os momentos de engastamento perfeito ja são conhecidos. A Tabela apresenta a expressão de 
alguns momentos de engastamento em função do carregamento e do tipo de vinculação das 
barras. 
Tabela: Momentos engastamento perfeito 
 
MÉTODO DE CROSS PARA ESTRUTURAS INDESLOCÁVEIS 
Método de Cross para um nó apenas (um grau de liberdade-rotação) 
O método de Cross é baseado no Método dos Deslocamentos. Consiste em obter os esforços nas 
barras fazendo-se equilíbrio de esforços (momentos) em torno dos nós: o momento atuante no nó 
(momento aplicado diretamente no nó mais momento de engastamento perfeito, devido a cargas 
nas barras) é distribuído pelas barras que concorrem no nó de acordo com a rigidez das barras. 
Fixando-se os nós, calculam-se os momentos de engastamento perfeito devido às cargas nos 
elementos transferidos para os nós utilizando-se a convenção de sinal de Grinter - horário ( +) e 
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somam-se aos momentos aplicados nos nós. Depois calculam-se a rigidez das barras (ki), 
coeficientes de distribuição (βi) e coeficientes de transmissão (ti). Em seguida distribui-se o 
momento total no nó pelas barras usando-se os coeficientes de distribuição de forma a obter 
equilíbrio no nó (∑M=0). Os momentos obtidos nas barras ligadas ao nó devem ser transmitidos 
para a outra extremidade de acordo com seu coeficiente de transmissão. Finalmente, traça-se o 
diagrama de momentos fletores. 
 
 
Exemplo - Viga contínua: 
Seja a viga contínua mostrada na figura 3, cuja rigidez à flexão (EI) é constante. 
 
Figura 3: viga continua 
Para resolver a viga contínua da figura 3, primeiramente, fixa-se o giro do nó B (figura- a) e 
calculam-se momentos de engastamento perfeito devidos às cargas nas barras (figura -b e c). 
 
Figura 4: Viga contínua e os seus momentos de engastamento perfeito 
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Verifica-se que o nó B da viga está desequilibrado de uma parcela ∆MB, como ilustrado na 
figura 5. Esta parcela desequilibrante do momento deve ser repartida entre as barras que 
concorrem neste nó na proporção dos coeficientes de distribuição. 
 
Figura 5: Viga contínua com os momentos de engastamento perfeito em cada tramo 
 
 
 
Então calculam-se os coeficientes de distribuição a partir das rigidezes das barras (usar EI=9) a 
fim de efetuar o equilíbrio do nó (figura 6). 
 
 
Figura 6: Coeficientes de distribuição e de transmissão 
Depois, calcula-se a parcela desequilibrante do momento no nó e distribui-se esta parcela entre 
as barras concorrentes a este nó, na proporção dos coeficientes de distribuição 
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Efetuando-se o equilíbrio dos momentos, encontra-se o momento no apoio interno igual a 14,4 
kN.m (figura 7 ) 
 
Figura 7: Equilíbrio e transmissão dos momentos 
As reações podem ser obtidas a partir das equações de equilíbrio da estática, como mostrado na 
figura 8. A partir dos valores das reações é possível determinar o ponto de momento máximo e 
traçar o diagrama de esforço cortante da viga. 
 
Figura 8: Reações da viga contínua 
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O diagrama de momentos fletores da viga contínua é ilustrado na figura 9. Portanto, é importante 
traçar o diagrama de esforços cortantes no espaço, especificando a posição dos esforços cortantes 
nulos e calculando os valores dos momentos positivos máximos. 
 
Figura 9: Diagramas finais de momentos fletores e esforços cortantes 
 
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Conclusão 
No tema em estudo foi possível abordar sobre as estruturas hiperestáticas (com grau de 
hiperestaticidade igual a um), sendo, estas hiperestáticas de grau 1 (um) estruturas externamente 
hiperestáticas. O que significa que posteriormente teremos uma única incógnita, que será um 
esforço de reação de apoio (esforço externo), e uma única equação de deslocamento nulo, 
adicional às equações da estática. Portanto, através deste e mas estudos feitos para melhor 
perceber a dinâmica das estrutura hiperestaticas, foi possível concluir que o estudo desses 
métodos é muito importante, pois permite achar/ determinar os deslocamentos (translação ou 
rotação ) de todos os pontos de uma certa estrutura, assim como os esforços causados através 
das deformações produzidas por este deslocamentos (esforço axial, cortante, de flexão e de 
torção) e determinar também as reações dos vínculos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências Bibliográficas 
1. MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. Campos. 
Rio de Janeiro, 2010. 
2. SÜSSEKIND, J. C. Curso de análise estrutural 3. Método das deformações. Processo de 
Cross. 7. ed. Rio de Janeiro: Globo, 1987. 
3. TIMOSHENKO, Stephen P. (1967). Resistência dos materiais. v.1. 3a ed. Rio de Janeiro: 
Ao Livro Técnico. 
4. SILVA, Jaime Ferreira da. Método de Cross. Ed. McGraw-Hill do Brasil. 
5. SCHREYER, H. Estática das construções. v.2. Porto Alegre, Globo, 1965.