Gráficos de Funções

Prévia do material em texto

a) Precisamos plotar o gráfico da seguinte função: 
𝑓(𝑥) =
2
𝑥2 + 4
 
Primeiro vamos escrever o domínio da função: 
−∞ < 𝑥 < ∞ 
Isto acontece, pois, a função não tem pontos indefinidos nem restrições. Agora vamos 
calcular o ponto de intersecção com o eixo y: 
𝑦 =
2
0 + 4
 
𝑦 =
2
4
 
𝑦 =
1
2
 
Não existe pontos de intersecção com o eixo x. Agora vamos determinar os pontos 
críticos: 
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
= 0 
0 ∗ (𝑥2 + 4) − 2 ∗ 2𝑥
(𝑥2 + 4)2
= 0 
−
4𝑥
(𝑥2 + 4)2
= 0 
−4𝑥 = 0 
𝑥 = 0 
Aplicando na função: 
𝑓(0) =
2
0 + 4
=
1
2
 
Encontramos o ponto de máximo da função. Por fim vamos determinar se a função 
possui assíntotas: 
lim
𝑥→∞
2
𝑥2 + 4
 
lim
𝑥→∞
2
𝑥2
𝑥2
𝑥2 +
4
𝑥2
 
lim
𝑥→∞
2
𝑥2
1 +
4
𝑥2
 
lim
𝑥→∞
=
0
1 + 0
= 0 
Portanto temos uma assíntota horizontal em 𝑦 = 0, portanto já podemos plotar o 
gráfico: 
 
b) O domínio da função: 
𝑥 < 1 𝑜𝑢 𝑥 > 1 
Os pontos de intersecção com o eixo y: 
𝑦 =
02 − 4
0 − 1
 
𝑦 =
−4
−1
 
𝑦 = 4 
A intersecção com o eixo x: 
0 =
𝑥2 − 4
𝑥 − 1
 
𝑥2 − 4 = 0 
𝑥 = ±2 
Determinando os pontos críticos da função: 
2𝑥 ∗ (𝑥 − 1) − (𝑥2 − 4) ∗ 1
(𝑥 − 1)2
= 0 
2𝑥2 − 2𝑥 − 𝑥2 + 4
(𝑥 − 1)2
= 0 
𝑥2 − 2𝑥 + 4 = 0 
Na função do segundo grau obtida acima o descriminante da negativo, portanto, a 
função não possui pontos críticos. Vamos determinar as assíntotas da função, 
primeiro determinando a horizontal: 
lim
𝑥→∞
𝑥2 − 4
𝑥 − 1
 
lim
𝑥→∞
𝑥2
𝑥2 −
4
𝑥2
𝑥
𝑥2 −
1
𝑥2
 
lim
𝑥→∞
1 −
4
𝑥2
1
𝑥 −
1
𝑥2
 
lim
𝑥→∞
1 − 0
0 − 0
= 0 
Temos uma assíntota vertical em 𝑥 = 1 e uma assíntota no formato de uma reta em 
𝑦 = 𝑥 + 1. Desta forma temos o seguinte gráfico: 
 
c) O domínio da função será: 
−∞ < 𝑥 < ∞ 
Geralmente em funções polinomiais, o domínio será todo o conjunto dos números 
reais. A intersecção com o eixo y: 
𝑦 = 04 − 2 ∗ 02 = 0 
Com o eixo x: 
𝑥4 − 2𝑥2 = 0 
Tomando 𝑡 = 𝑥2, teremos: 
𝑡2 − 2𝑡 = 0 
𝑡2 = 2𝑡 
𝑡 = ±2 
E portanto: 
𝑥 = ±√2 
Calculando os pontos críticos da função: 
4𝑥3 − 4𝑥 = 0 
4𝑥3 = 4𝑥 
𝑥2 = 1 
𝑥 = ±1 𝑒 𝑥 = 0 
Aplicando a regra da segunda derivada para saber se os pontos são de mínimo ou de 
máximo: 
12𝑥2 − 4 = 0 
12 ∗ 12 − 4 = 8 (𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜) 
12 ∗ (−1)2 − 4 = 8 (𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜) 
12 ∗ 0 − 4 = −4 (𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜) 
Como temos uma função polinomial, ela não possuirá assíntotas, desta forma já 
conseguimos plotar o gráfico da função: 
 
 
 
 
 
 
d) O domínio da função será: 
𝑥 < −4 𝑜𝑢 𝑥 > −4 
O ponto de intersecção com o eixo y: 
𝑦 =
2 ∗ 0
0 + 4
= 0 
Com o eixo x: 
0 =
2𝑥
𝑥 + 4
 
2𝑥 = 0 
𝑥 = 0 
Temos a informação que o gráfico passa pela origem. Calculando os pontos críticos 
da função: 
2 ∗ (𝑥 + 4) − 2𝑥 ∗ 1
(𝑥 + 4)2
= 0 
2𝑥 + 8 − 2𝑥
(𝑥 + 4)2
= 0 
8
(𝑥 + 4)2
= 0 
Portanto a função não possui nenhum ponto crítico. Portanto, vamos determinar as 
assíntotas: 
lim
𝑥→∞
2𝑥
𝑥 + 4
 
lim
𝑥→∞
(
2𝑥
𝑥 )
𝑥
𝑥 +
4
𝑥
 
lim
𝑥→∞
2
1 +
4
𝑥
 
lim
𝑥→∞
2
1 + 0
= 2 
Temos uma assíntota horizontal em 𝑦 = 2 e uma assíntota vertical em 𝑥 = −4. 
Portanto o gráfico da função será: 
 
e) Temos o seguinte domínio para a função: 
𝑥 < 0 𝑜𝑢 𝑥 > 0 
A intersecção com o eixo y: 
𝑦 =
02 − 4
03
= 0 
A intersecção com o eixo x: 
0 =
𝑥2 − 4
𝑥3
 
𝑥2 − 4 = 0 
𝑥2 = 4 
𝑥 = ±2 
Os pontos críticos: 
2𝑥 ∗ 𝑥3 − (𝑥2 − 4) ∗ 3𝑥2
𝑥6
= 0 
2𝑥4 − 3𝑥4 + 12𝑥2 = 0 
−𝑥4 + 12𝑥2 = 0 
Tomando 𝑡 = 𝑥2: 
−𝑡2 + 12𝑡 = 0 
𝑡2 = 12𝑡 
𝑡 = 12 
E portanto x: 
𝑥 = √12 
𝑥 = ±2√3 
Temos o seguinte: 
−2√3 (𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜) 
2√3 (𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜) 
Vamos determinar as assíntotas: 
lim
𝑥→∞
𝑥2 − 4
𝑥3
 
lim
𝑥→∞
𝑥2
𝑥3 −
4
𝑥3
𝑥3
𝑥3
 
lim
𝑥→∞
 (
1
𝑥
−
4
𝑥3
) 
lim
𝑥→∞
 0 − 0 = 0 
Temos que a função possui uma assíntota horizontal em 𝑦 = 0 e uma assíntota vertical 
em 𝑥 = 0. Desta forma o gráfico da função será: 
 
 
f) O domínio da função será: 
−∞ < 𝑥 < ∞ 
O ponto de intersecção com o eixo y: 
𝑦 = −03 + 2 ∗ 0 + 5 
𝑦 = 5 
A intersecção com o eixo x: 
0 = −𝑥3 + 2𝑥 + 5 
A equação acima não possui método de resolução direto, então precisamos tentar 
achar um valor para x o qual a imagem é 0, o valor será aproximadamente 2: 
−23 + 2 ∗ 2 + 5 = 0 
−8 + 4 + 5 = 0 
−1 ≈ 0 
Os pontos críticos: 
−3𝑥2 + 2 = 0 
3𝑥2 = 2 
𝑥2 =
2
3
 
𝑥 = ±√
2
3
 
Temos que: 
−√
2
3
 (𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜) 
√
2
3
 (𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜) 
Como temos uma função polinomial, não teremos nenhuma assíntota, portanto o 
gráfico da função será: 
 
g) O domínio da função será: 
𝑥 ≥ −5 
O ponto de intersecção com o eixo y: 
𝑦 = √0 + 5 = √5 
Com o eixo x: 
0 = √𝑥 + 5 
𝑥 + 5 = 0 
𝑥 = −5 
O ponto crítico da função: 
1
2√𝑥 + 5
= 0 
𝑥 = −5 
A função no possui assíntotas verticais ou horizontais e portanto, o gráfico da função 
será: