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Dynamic Matrix Control (DMC)
Problema MIMO.
ENG730: Tópicos Especiais em Eng. Elétrica
Departamento de Engenharia Elétrica - DEE
Universidade Federal da Bahia - UFBA
03 de novembro de 2014
Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 26
Sumário
1 Introdução
2 Problema SISO - Revisão
3 Problema MIMO
4 Comentários Finais
Prof. Tito Luís Maia Santos 2/ 26
Sumário
1 Introdução
2 Problema SISO - Revisão
3 Problema MIMO
4 Comentários Finais
Prof. Tito Luís Maia Santos 3/ 26
Introdução
Dynamic Matrix Control (DMC)
Tópicos a serem abordados:
Modelo de predição SISO - Revisão;
Problema MIMO;
Problema com restrições.
Referência
E. F. Camacho e C. Bordons Model Predictive Control.
Springer, 2003.
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Sumário
1 Introdução
2 Problema SISO - Revisão
3 Problema MIMO
4 Comentários Finais
Prof. Tito Luís Maia Santos 5/ 26
Problema sem restrições
Modelo de predição
Modelo baseado na resposta ao degrau (nominal - sem incertezas):
y(k) =
∞∑
i=1
gi∆u(k − i).
O modelo acima não contempla o efeito de incertezas e perturbações.
Correção da predição:
ŷ(k + j |k) =
∞∑
i=1
gi∆u(k + j − i) + n̂(k + j |k)
sendo n̂(k + j |k) uma estimativa do erro de predição.
Considera-se um modelo de perturbação constante:
n̂(k |k) = n̂(k + 1|k) = ... = n̂(k + j |k) = y(k) − y(k)
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Problema sem restrições
Modelo de predição
Modelo baseado na resposta ao impulso (nominal - sem incertezas):
y(k) =
∞∑
i=1
gi∆u(k − i).
Considera-se um modelo de perturbação constante:
n̂(k |k) = n̂(k + 1|k) = ... = n̂(k + j |k) = y(k) − y(k)
Modelo de predição completo
ŷ(k + j |k) =
∞∑
i=1
gi∆u(k + j − i) + n̂(k + j |k)
=
∞∑
i=1
gi∆u(k + j − i) + y(k) −
∞∑
i=1
gi∆u(k − i).
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Problema sem restrições
Resposta Livre + Resposta Forçada
Separação entre resposta livre e resposta forçada:
ŷ(k + j |k) =
∞∑
i=1
gi∆u(k + j − i) + y(k) −
∞∑
i=1
gi∆u(k − i)
=
j
∑
i=1
gi∆u(k + j − i) +
∞∑
i=j+1
gi∆u(k + j − i)
+ y(k) −
∞∑
i=1
gi∆u(k − i)
=
j
∑
i=1
gi∆u(k + j − i)
︸ ︷︷ ︸
Resposta Forçada
+
∞∑
i=1
(gj+i − gi)∆u(k − i) + y(k)
︸ ︷︷ ︸
Resposta Livre
.
Para sistemas assintotinamente estáveis (gj+i − gi ≈ 0, i → ∞):
ŷ(k + j |k) =
j
∑
i=1
gi∆u(k + j − i)
︸ ︷︷ ︸
Resposta Forçada
+
M∑
i=1
(gj+i − gi)∆u(k − i) + y(k)
︸ ︷︷ ︸
Resposta Livre
.
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Problema sem restrições
Predição - resposta livre + resposta forçada
Predição para k + j :
ŷ(k + j |k) =
j
∑
i=1
gi∆u(k + j − i)
︸ ︷︷ ︸
Resposta Forçada
+
M∑
i=1
(gj+i − gi)∆u(k − i) + y(k)
︸ ︷︷ ︸
Resposta Livre
.
Cosiderando diversas predições:
ŷ(k + 1|k) = g1∆u(k) +
M∑
i=1
(g1+i − g1)∆u(k − i) + y(k)
ŷ(k + 2|k) = g2∆u(k) + g1∆u(k + 1) +
M∑
i=1
(g2+i − gi)∆u(k − i) + y(k)
.
.
. =
.
.
.
ŷ(k + N|k) =
j
∑
i=N
gi∆u(k + j − i) +
M∑
i=1
(gN+i − gi)∆u(k − i) + y(k).
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Problema sem restrições
Predição - resposta livre + resposta forçada
Predição para k + j :
ŷ(k + j |k) =
j
∑
i=1
gi∆u(k + j − i)
︸ ︷︷ ︸
Resposta Forçada
+
M∑
i=1
(gj+i − gi)∆u(k − i) + y(k)
︸ ︷︷ ︸
Resposta Livre
.
Cosiderando a notação matricial:
Y(k) = [y(k + 1|k)′ y(k + 2|k)′ ... y(k + N|k)′]′,
∆u(k) = [∆u(k |k)′ ∆u(k + 1|k)′ ... ∆u(k + Nu − 1|k)
′]′
U(k) = [∆u(k − 1)′ ∆u(k − 2)′ ... ∆u(k − M)′]′.
Neste caso temos:
Y(k) = G∆u(k) + GfU(k) + y(k) = G∆u(k) + f(k)
com
G =





g1 0 ... 0
g2 g1 ... 0
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
gN gN−1 ... gN−Nu+1





, Gf =





g2 − g1 g3 − g2 ... gM+1 − gM
g3 − g1 g4 − g2 ... gM+2 − gM
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
gN+1 − g1 gN+2 − g2 ... gN+M − gM





.
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Sumário
1 Introdução
2 Problema SISO - Revisão
3 Problema MIMO
4 Comentários Finais
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Problema MIMO
Modelo convolucional
No problema MIMO, o efeito de cada entrada para a saı́da é descrito pro
seu modelo de resposta ao degrau.
Considere um sistema com q entradas e p saı́das.
...
...
y11(k)
y21(k)
[G11(z) G12(z) ... G1q(z)]
[G21(z) G22(z) ... G2q(z)]
[ ... ]
[Gp1(z) Gp2(z) ... Gpq(z)]
yp1(k)
Neste caso, os componentes da resposta ao degrau u1(k) podem ser
identificados por
g
i1
k = yi1(k).
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Problema MIMO
Modelo convolucional
No problema MIMO, o efeito de cada entrada para a saı́da é descrito pro
seu modelo de resposta ao degrau.
Considere um sistema com q entradas e p saı́das.
...
...
y12(k)
y22(k)
[G11(z) G12(z) ... G1q(z)]
[G21(z) G22(z) ... G2q(z)]
[ ... ]
[Gp1(z) Gp2(z) ... Gpq(z)]
yp2(k)
De maneira similar, os componentes da resposta ao degrau u2(k) podem
ser identificados por
g
i2
k = yi2(k).
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Problema MIMO
Modelo convolucional
No problema MIMO, o efeito de cada entrada para a saı́da é descrito pro
seu modelo de resposta ao degrau.
Considere um sistema com q entradas e p saı́das.
...
...
[G11(z) G12(z) ... G1q(z)]
[G21(z) G22(z) ... G2q(z)]
[ ... ]
[Gp1(z) Gp2(z) ... Gpq(z)]
y1q(k)
y2q(k)
ypq(k)
A mesma ideia vale para cada uma das q entradas com
g
iq
k = yiq(k).
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Problema sem restrições
Predição MIMO
Modelo baseado na resposta ao impulso (nominal - sem incertezas):
ym(k) =
∞∑
i=1
g
m1
i ∆u1(k − i) +
∞∑
i=1
g
m2
i ∆u2(k − i)...+
∞∑
i=1
g
mq
i ∆uq(k − i)
Modelo de predição completo
ŷm(k + j |k) =
q
∑
l=1
∞∑
i=1
g
ml
i ∆ul(k + j − i) + n̂m(k + j |k)
=
q
∑
l=1
∞∑
i=1
g
ml
i ∆ul(k + j − i) + ym(k) −
q
∑
l=1
∞∑
i=1
g
ml
i ∆ul(k − i).
Prof. Tito Luís Maia Santos 15/ 26
Problema sem restrições
Predição MIMO
Modelo baseado na resposta ao impulso (nominal - sem incertezas):
ym(k) =
∞∑
i=1
g
m1
i ∆u1(k − i) +
∞∑
i=1
g
m2
i ∆u2(k − i) ...+
∞∑
i=1
g
mq
i ∆uq(k − i)
ym(k) =
q
∑
l=1
∞∑
i=1
g
ml
i ∆ul(k − i)
Considera-se um modelo de perturbação constante:
n̂m(k |k) = n̂m(k + 1|k) = ... = n̂m(k + j |k) = ym(k)− ym(k)
Para sistemas assintotinamente estáveis (gj+i − gi ≈ 0, i → ∞):
ŷm(k+j |k) =
q
∑
l=1
j
∑
i=1
g
ml
i ∆ul(k + j − i)
︸ ︷︷ ︸
Resposta Forçada
+
q
∑
l=1
M∑
i=1
(gmlj+i − g
ml
i )∆ul(k − i) + ym(k)
︸ ︷︷ ︸
Resposta Livre
.
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Problema sem restrições
Predição - resposta livre + resposta forçada
Predição para k + j para uma saı́da m:
ŷm(k + j |k) =
q
∑
l=1
j
∑
i=1
gmli ∆ul(k + j − i)
︸ ︷︷ ︸
Resposta Forçada
+
q
∑
l=1
M∑
i=1
(gmlj+i − g
ml
i )∆ul (k − i) + ym(k)
︸ ︷︷ ︸
Resposta Livre
.
Cosiderando a notação matricial:
Ym(k) = [ym(k + 1|k)
′ ym(k + 2|k)
′ ... ym(k + N|k)
′]′,
∆ul(k) = [∆ul(k |k)
′ ∆ul(k + 1|k)
′ ... ∆ul(k + Nu − 1|k)
′]′
Ul (k) = [∆ul(k − 1)
′ ∆ul (k − 2)
′ ... ∆ul(k − M)
′]′.
Neste caso temos:
Ym(k) = G̃∆u(k) + G̃fU(k) + ym(k) = G̃∆u(k) + f(k)
com
G
ml
=







gml1 0 ... 0
gml2 g
ml
1 ... 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
gmlN g
ml
N−1 ... g
ml
N−Nu+1







, Gf
ml
=







gml2 − g
ml
1 g
ml
3 − g
ml
2 ... g
ml
M+1 − g
ml
M
gml3 − g
ml
1 g
ml
4 − g
ml
2 ... g
ml
M+2 − g
ml
M
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
gmlN+1 − g
ml
1 g
ml
N+2 − g
ml
2 ... g
ml
N+M − gM







.
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Problema sem restrições
Predição - resposta livre + resposta forçada
Cosiderando a notação matricial:
Ym(k) = [ym(k + 1|k)
′ ym(k + 2|k)
′ ... ym(k + N|k)
′]′,
∆ul(k) = [∆ul(k |k)
′ ∆ul(k + 1|k)
′ ... ∆ul(k + Nu − 1|k)
′]′
Ul (k) = [∆ul(k − 1)
′ ∆ul (k − 2)
′ ... ∆ul(k − M)
′]′.
verifica-se:





Y1(k)
Y2(k)
.
.
.
Yq(k)





=





G11 G12 ... G1q
G21 G22 ... G2q
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
Gp1 Gp2 ... Gpq










∆u1(k)
∆u2(k)
..
.
∆uq(k)





+






Gf
11
Gf
12 ... Gf
1q
Gf
21
Gf
22 ... Gf
2q
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
Gf
pq1
Gf
pq2 ... Gf
pq











U1(k)
U2(k)
.
.
.
Uq(k)





+





y1(k)1Nx1
y2(k)1Nx1
.
.
.
yp(k)1Nx1





, com 1Nx1 =





1
1
.
.
.
1





.
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Problema sem restrições
Predição - resposta livre + resposta forçada
Cosiderando a notação matricial:





Y1(k)
Y2(k)
.
.
.
Yq(k)





=





G11 G12 ... G1q
G21 G22 ... G2q
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
Gp1 Gp2 ... Gpq










∆u1(k)
∆u2(k)
.
.
.
∆uq(k)





+






Gf
11
Gf
12 ... Gf
1q
Gf
21
Gf
22 ... Gf
2q
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
Gf
pq1
Gf
pq2 ... Gf
pq











U1(k)
U2(k)
.
.
.
Uq(k)





+





y1(k)1Nx1
y2(k)1Nx1
.
.
.
yp(k)1Nx1





︸ ︷︷ ︸
f(k)
.
ou alternativamente
Y(k) = G∆~u(k) + f(k)
com
Y(k) = [Y1(k)
′ Y2(k)
′ ... Yp(k)
′]′,
∆~u(k) = [∆u1(k)
′ ∆u2(k)
′ ... ∆uq(k)
′]′
f(k) = Gf ~U(k) + ~Y (k).
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MPC em espaço de estados
Problema Multivariável
Seja o problema de otimização MPC na forma
min
∆u(k)
(Y(k) −W)′Q(Y(k)−W) + ∆~u(k)′R∆~u(k)
s.a.
Y(k) = G∆~u(k) + f(k)
F∆~u(k) ≤ G
Problema de otimização similar aos anteriores, devendo-se atentar
para a nova organização dos elementos nos vetores Y(k) e ∆~u(k).
Esta reorganização modifica a maneira pela qual se deve compor
as matrizes Q, R e o vetor de referências futuras W .
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MPC em espaço de estados
Problema Multivariável
Observação 1:
∆~u(k) = [∆u1(k)
′ ∆u2(k)
′
... ∆uq(k)
′]′
ou alternativamente
∆~u(k) =



∆u1(k)
...
∆uq(k)



=






















∆u1(k |k)
∆u1(k + 1|k)
...
∆u1(k + Nu − 1|k)





...





uq(k |k)
uq(k + 1|k)
...
uq(k + Nu − 1|k)






















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MPC em espaço de estados
Problema Multivariável
Observação 2:
Y(k) = [Y1(k)
′ Y2(k)
′
... Yp(k)
′]′
ou alternativamente
Y(k) =



Y1(k)
...
Yp(k)



=






















y1(k + 1|k)
y1(k + 2|k)
...
y1(k + N|k)





...





yp(k + 1|k)
yp(k + 2|k)
...
yp(k + N|k)






















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Problema de orimização
Problema geral
Seja o problema com restrições na forma
min
∆~u(k)
∆~u(k)′[R+ G′QG]∆u(k) + 2[f(k)−W(k)]′QG∆~u(k)
s.a.
Y(k) = G∆~u(k) + f(k)
E∆~u(k) ≤ F
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Problema com restrições
Problema geral- Matlab
Função “quadprog” - v∗ = quadprog(H, f ,Ra,Rb) para
min
v
0.5v
′
Hv + f ′v
s.a.
Rav ≤ Rb
o que resultaria em
∆~u(k) = quadprog(2[R+ G′QG], 2G′Q′[f(k) −W(k)], Ra,Rb)
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Sumário
1 Introdução
2 Problema SISO - Revisão
3 Problema MIMO
4 Comentários Finais
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Comentários Finais
Apresentou-se a estratégia DMC para o caso MIMO
Discutiu-se a respeito das diferenças para a estratégia em espaço de
estados.
Foi apresentado um exemplo de simulação.
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	Introdução
	Problema SISO - Revisão
	Problema MIMO
	Comentários Finais