7 - LogicaMD_05_Atividade_gabarito_r1

Prévia do material em texto

5
Lógica e matemática 
discreta
atividade para avaliação
Atenção: os exercícios têm respostas para você poder 
corrigir um eventual erro de conta. É importante que dei-
xe claro o raciocínio utilizado nos exercícios que entregar 
para correção.
exercício 1 (2.5 pontos)
Há 4 tipos de vinho. De quantas maneiras diferentes po-
de-se escolher um total de 7 garrafas de vinho?
Resposta: 120
exercício 2 (2.5 pontos)
Uma equipe de trabalho tem 6 homens e 7 mulheres. 
Quer-se formar 2 comitês: um com 3 pessoas e outro 
com 5 pessoas.
a. De quantas maneiras é possível formar os comitês 
se cada pessoa só pode participar de um comitê?
b. De quantas maneiras é possível formar os comitês se 
cada pessoa pode participar de mais de um comitê?
Lógica e Matemática Discreta / Aulas 17–20 Atividade para Avaliação 2
c. De quantas maneiras pode-se formar os comitês só com mulheres 
no comitê de 3 pessoas e só com homens no de 5?
Resposta:
a. 72.072
b. 368.082
c. 210
exercício 3 (2.5 pontos)
De quantas maneiras 10 crianças podem fazer uma roda de ciranda?
De quantas maneiras 4 meninas e 6 meninos podem fazer uma roda de 
forma que nunca se tenha duas meninas juntas?
Resposta: 9! = 362.880; 43.200.
exercício 4 (2.5 pontos)
De um baralho de 52 cartas são escolhidas 5 cartas. De quantas manei-
ras pode-se fazer essa escolha? De quantas maneiras pode-se escolher 
5 cartas de um mesmo naipe?
Resposta: 2.598.960; 5.148
Lógica e Matemática Discreta / Aulas 17–20 Atividade para Avaliação 3
Gabarito
exercício 1
Temos 7 garrafas: X1 do tipo 1, X2 do tipo 2, X3 do tipo 3, X4 do tipo 4.
Devemos ter X1 + X2 + X3 + X4 = 7. O número de soluções inteiras não negati-
vas dessa equação é o número de maneiras de se escolher as 7 garrafas de 
vinho havendo 4 tipos de vinho disponíveis. Isso foi resolvido no exercício 2.
Resposta: 120
exercício 2
a. O primeiro comitê, com 3 pessoas pode ser formado de 
13
3 = 286 
maneiras (é o mesmo que escolher 3 pessoas num grupo de 13).
Para o segundo comitê sobraram 10 pessoas entre as quais devo 
escolher 5. Isso pode ser feito de 10
5
 = 252 maneiras.
Para formar ambos os comitês, tenho duas escolhas sucessivas:
comitê de 3
286 
comitê de 5
252
O número de maneiras de escolher ambos os comitês é:
286 × 252 = 72.072
Resposta: 72.072
b. De quantas maneiras é possível formar os comitês se cada pessoa 
pode participar de mais de um comitê?
O primeiro comitê, com 3 pessoas pode ser formado de 
13
3 = 286 
maneiras (é o mesmo que escolher 3 pessoas num grupo de 13).
Para o segundo comitê, devo escolher 5 entre as 13 pessoas. Isso 
pode ser feito de 13
5
 = 1.287 maneiras.
comitê de 3
286 
comitê de 5
1.287
O número de maneiras de escolher ambos os comitês é
286 × 1.287 = 368.082
Lógica e Matemática Discreta / Aulas 17–20 Atividade para Avaliação 4
Resposta: 368.082
c. De quantas maneiras pode-se formar os comitês só com mulheres 
no comitê de 3 pessoas e só com homens no de 5?
O comitê com 3 mulheres pode ser formado de 
7
3 = 35 maneiras.
O comitê com 5 homens pode ser formado de 
6
5 = 6 maneiras.
O número de maneiras de escolher ambos os comitês é 35 × 6 = 210.
Resposta: 210
exercício 3
Usando a permutação circular, 10 crianças podem fazer uma roda de 9! = 
362.880 maneiras distintas.
Coloca-se os meninos em roda. Isso pode ser feito de 5! = 120 maneiras.
Para cada roda de 6 meninos, cada menina só pode ser colocada entre 
dois meninos. Há 6 posições possíveis para as 4 meninas.
 → Menina 1 tem 6 escolhas de local na roda;
 → Menina 2 tem 5 escolhas;
 → Menina 3 tem 4 escolhas;
 → Menina 4 tem 3 escolhas.
Para cada roda de meninos posso colocar as meninas de 6 × 5 × 4 × 3 = 
360 maneiras diferentes.
Logo, o total de escolhas para a roda de meninos e meninas é
120 × 360 = 43.200
Resposta: 43.200
exercício 4
De um baralho com 52 cartas podemos escolher 5 cartas de 
52
5 = 
2.598.960 maneiras diferentes.
Para escolher 5 cartas de um mesmo naipe, fazemos duas escolhas 
sucessivas: primeiro escolhemos o naipe e depois as 5 cartas.
Há 4 naipes no baralho; logo, a escolha do naipe pode se dar de 4 ma-
neiras diferentes.
Escolhido o naipe, há 13 cartas desse naipe (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, V, 
D, R, A). Escolher 5 de 13 cartas pode ser feito de 13
5
 maneiras distintas.
Lógica e Matemática Discreta / Aulas 17–20 Atividade para Avaliação 5
Conclusão: pode-se escolher 5 cartas do mesmo naipe de:
4 × 13
5
 = 4 × 1.287 = 5.148
Resposta: 5148 maneiras distintas.