ALGEBRA QUESTIONÁRIO 3

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urso
	ÁLGEBRA
	Teste
	QUESTIONÁRIO UNIDADE III
	Iniciado
	04/04/21 16:20
	Enviado
	04/04/21 16:24
	Status
	Completada
	Resultado da tentativa
	4 em 4 pontos  
	Tempo decorrido
	3 minutos
	Resultados exibidos
	Todas as respostas, Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários, Perguntas respondidas incorretamente
· Pergunta 1
0,4 em 0,4 pontos
	
	
	
	Para verificar se E = ℤ e a operação definida por x * y = x + y + xy é um grupo comutativo, foram verificadas as propriedades: associativa, elemento neutro, elemento simetrizável e comutativa descritas a seguir:
I. Como (x * y) * z = x * (y * z), dizemos
que essa operação * é associativa.
II. Como , dizemos que a operação * possui elemento neutro e este é 
III. Como x’ * x = x * x’
= 0, ∀x ∈ E, dizemos que a operação * possui todos os seus elementos simetrizáveis e, portanto, (E, *) é um grupo.
IV. Como x * y = y * x, dizemos que a operação * é comutativa. Logo, (E, *) é um grupo comutativo.
Conclui-se que:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	a. 
Todas são verdadeiras.
	Respostas:
	a. 
Todas são verdadeiras.
	
	b. 
Todas são falsas.
	
	c. 
I, II e III são falsas.
	
	d. 
I, II e III são verdadeiras.
	
	e. 
I e IV são verdadeiras.
	Feedback da resposta:
	Resposta: A
Comentário: para verificar se (E, *) é um grupo comutativo ou abeliano, devemos checar as propriedades associativa, elemento neutro, elemento simetrizável e comutativa. Então iniciaremos pela propriedade associativa:
I. (Associativa)
Devemos mostrar que (x * y) * z = x * (y * z). (x * y) * z = (x + y + xy) * z
= (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z
= x + y + xy + z + xz + yz + xyz
Por outro lado,
x * (y * z) = x * (y + z + yz)
= x + (y + z + yz) + x(y + z + yz)
= x + y + z + yz + xy + xz + xyz
Como (x * y) * z = x * (y * z), dizemos
que essa operação * é associativa.
 
II. (Elemento neutro)
Devemos determinar ℯ, de modo que verifique as condições de:
ℯ ∗ x = x = x ∗  ℯ; ∀x ∈ E.
Da outra igualdade, teremos:
Como  dizemos que a operação * possui elemento neutro, que a partir de agora será utilizado como  = 0.
 
III. (Elemento simetrizável)
Devemos determinar x’, de modo que verifique as condições de x’ * x = x
Note que nessa operação 𝑒 = 0, como calculado anteriormente.
Da outra igualdade, teremos:
Como x’ * x = x * x’ = 0, ∀x ∈ E, dizemos que a operação * possui todos os seus elementos simetrizáveis e, portanto, (E, *) é um grupo.
Agora veremos se o grupo é também um grupo comutativo, para isso basta verificar a propriedade comutativa.
 
IV. (Comutativa)
Devemos mostrar que x * y = y * x. De um lado da igualdade, temos:
x * y = x + y + xy
Por outro lado,
y * x = y + x + yx = x + y + xy. Como x * y = y * x, dizemos que a operação * é comutativa.
Logo, (E, *) é um grupo comutativo.
	
	
	
· Pergunta 2
0,4 em 0,4 pontos
	
	
	
	Com base nas estruturas de grupo em relação à operação *, dizemos que:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	c. 
Sendo E = ℕ (conjunto dos números naturais) e a operação definida por
x * y = x + y (operação de adição),  não tem a estrutura de grupo, pois não satisfaz a propriedade de simetrizável.
	Respostas:
	a. 
Sendo E = {1,2,3} e a operação definida por x * y = mdc(x, y), satisfaz as propriedades de elemento neutro e a simetrizável, com isso dizemos que essa não possui a estrutura de grupo.
	
	b. 
Sendo E = {1,2,3} e a operação definida por x * y = mdc(x, y), não satisfaz as propriedades do elemento regular e a distributiva, com isso dizemos que essa  possui a estrutura de grupo.
	
	c. 
Sendo E = ℕ (conjunto dos números naturais) e a operação definida por
x * y = x + y (operação de adição),  não tem a estrutura de grupo, pois não satisfaz a propriedade de simetrizável.
	
	d. 
Sendo E = ℝ (conjunto dos números reais) e a operação definida por
satisfaz as propriedades associativa, elemento neutro e simetrizável, com isso dizemos
que ela não possui a estrutura de grupo.
	
	e. 
Sendo E = ℝ (conjunto dos números reais) e a operação definida por    
não satisfaz as propriedades associativa, elemento neutro e simetrizável, com isso dizemos que ela possui
a estrutura de grupo. 
	Feedback da resposta:
	Resposta: C
Comentário: sendo E = ℕ (conjunto dos números naturais) e a operação definida por x * y = x + y (operação de adição), não tem a estrutura de grupo. O conjunto dos números naturais, com a operação de adição, não tem a estrutura de grupo, pois não satisfaz
a propriedade de simetrizável, observe
que se tornarmos o número 2, não existe nenhum elemento oposto x’ dentro do próprio conjunto, de modo que 2 + x = 0.
	
	
	
· Pergunta 3
0,4 em 0,4 pontos
	
	
	
	Algumas aplicações preservam as operações, transformando, às vezes, as somas dos elementos do domínio na soma dos elementos do conjunto da imagem. Outras vezes, transformam um produto de elementos do domínio no produto de elementos do conjunto imagem. Desta forma, a aplicação , dada por 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	b. 
É um homomorfismo de 
	Respostas:
	a. 
É um morfismo de 
	
	b. 
É um homomorfismo de 
	
	c. 
Não é um homomorfismo de 
	
	d. 
Não é um morfismo de 
	
	e. 
É um automorfismo de 
	Feedback da resposta:
	Resposta: B
Comentário: a aplicação é um homomorfismo de 
	
	
	
· Pergunta 4
0,4 em 0,4 pontos
	
	
	
	Considerando os grupos e a função f definida por , f é um homomorfismo de grupos, pois:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	d. 
	Respostas:
	a. 
	
	b. 
	
	c. 
	
	d. 
	
	e. 
	Feedback da resposta:
	Resposta: D
Comentário: 
	
	
	
· Pergunta 5
0,4 em 0,4 pontos
	
	
	
	Seja  dado por  então 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	e. 
É um isomorfismo de 
	Respostas:
	a. 
É um automorfismo de 
	
	b. 
É um endomorfismo de 
	
	c. 
É um monomorfismo de 
	
	d. 
É um epimorfismo de 
	
	e. 
É um isomorfismo de 
	Feedback da resposta:
	Resposta: E
Comentário: seja dado por , então é um homomorfismo de Sejam . A função é bijetora, então é um isomorfismo.
	
	
	
· Pergunta 6
0,4 em 0,4 pontos
	
	
	
	Com relação ao conceito de anel de uma estrutura algébrica é incorreto afirmar que:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	a. 
não é um anel, com as operações usuais de adição e multiplicação de matrizes.
	Respostas:
	a. 
não é um anel, com as operações usuais de adição e multiplicação de matrizes.
	
	b. 
é um anel.
	
	c. 
é um anel.
	
	d. 
não é um anel.
	
	e. 
é um anel.
	Feedback da resposta:
	Resposta: A
Comentário: um anel, com as operações usuais de adição e multiplicação de matrizes, definidas por:
	
	
	
· Pergunta 7
0,4 em 0,4 pontos
	
	
	
	No anel das matrizes 2 por 2 com coeficientes no anel dos inteiros, a matriz é invertível , então X’ é igual a:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	b. 
	Respostas:
	a. 
	
	b. 
	
	c. 
	
	d. 
	
	e. 
	Feedback da resposta:
	Resposta: B
Comentário: para encontrar a matriz inversa, basta fazer X.  X ′ = X ′ · X = I.
	
	
	
· Pergunta 8
0,4 em 0,4 pontos
	
	
	
	A figura 1 apresenta a tabela de operação de  , em que aparecem apenas os restos das divisões de qualquer número inteiro por 4.
A linha em branco da figura 1 deve ser preenchida com os seguintes números, respectivamente:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	b. 
1, 2, 3 e 0.
	Respostas:
	a. 
0, 1, 2 e 3.
	
	b. 
1, 2, 3 e 0.
	
	c. 
2, 3, 1 e 0.
	
	d. 
3, 2, 1 e 0.
	
	e. 
2, 1, 0 e 3.
	Feedback da resposta:
	Resposta: B
Comentário: 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 2; 1 + 2 = 3 e 1 + 3 = 4 dividindo por 4 resta zero, portanto, marca zero no quadro.
	
	
	
· Pergunta 9
0,4 em 0,4 pontos
	
	
	
	Sabendo-se que duas das raízes da equação x 4-5x 2-10x-6=0 são -1 e 3, as demais são:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	e. 
- 1 + i e – 1 – i.
	Respostas:
	a. 
1 + i e - 1 – i.
	
	b. 
- 1 - i e – 1 – i.
	
	c. 
- 1 + i e 1 – i.
	
	d. 
- 1 + i e 1 + i.
	
	e. 
- 1 + i e – 1 – i.
	Feedback da resposta:
	Resposta: E
Comentário: resolver a equação x 4-5x 2-10x-6=0, sabendo-se que duas de suas raízes são -1 e 3.
Aplicando Briot-Ruffini:
Resolvendo por Bhaskara:
Logo, a solução é dada por:
	
	
	
· Pergunta 10
0,4 em 0,4 pontosDados os polinômios: A(a) = 3a 2 + 2a – 4, B(a) = 5a – 3, C(a) = 2a + 5 e as seguintes afirmações:
É correto afirmar que:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	d. 
V, V e V.
	Respostas:
	a. 
F, F e F.
	
	b. 
V, F e F.
	
	c. 
V, V e F.
	
	d. 
V, V e V.
	
	e. 
F, V e F.
	Feedback da resposta:
	Resposta: D
Comentário:
I) A + B + C = (3a 2 + 2a – 4) + (5a – 3) + (2a + 5) = 3a² + 9a – 2
II) AB – BC = B(A – C)
(5a – 3)[(3a 2 + 2a – 4) – (2a + 5)]
(5a – 3)(3a 2 – 9)
15a³ – 45a – 9a² + 27
15a³ – 9a² – 45a + 27
III) A 2 – 2B
(3a 2 + 2a – 4)² – 2*(5a – 3)
(3a 2 + 2a – 4)*(3a 2
+ 2a – 4) – 10a + 6