Buscar

The Finite Element Method Vol3 - Fluid Dynamics - R Taylor

Prévia do material em texto

��� ������ �	�
��� �����
����� �
�����
��	�
� �� �	��
 ����
���
��������� ��	� 
���
������� 	��� ���� ����� �� ��������� �	���
�� �
� �����
��
�� 
�� �
�
�
�
� ��� ��	������ ��
���� �
 �
��
����
� �
 
�� �
������
� �� ������
���
���� ��� � ����� 
�� ����!" !���� �� ��	������ ��
���� �
 �
��
����
�
�
 
�� #���
���� �
������
� �� !�
���
��� $������
�� �%��
� � ��� 
�� ���� �� 
��
!���� �
��
����
� ��%��
	�
 �
 
�� �
������
� �� ����� ���
��� &�
���
 '()'
�
� '(*(� � ��
�&������ 
��
 ��%��
	�
 �� �
� �� 
�� %��	��� ��
��� �� +
�
�
���	�
 ��������� �
 '()* �� &���	� 
�� ,��
��� ���
�� �� 
�� ������������	 
�����	
��� 
�������	 ������� �� ����������� ����� �
��� ��	��
� 
���� 
�� 	�-�� -���
��
�
 
��� +���� #�� ����%��
 �� ./ ��
����� ������� �
� 	�
� 	������ ���������
0��
1�����2 �� ���� � 	�	&�� �� +�� �����	��� 3 �
 ��
��� �� ��� �������� ��� ���
	�
� ��
��&�
��
� 
� 
�� ��
��	�
�� ������%	�
� �� 
�� +
�
� ���	�
 	�
����
�
 '(4*� �� &���	� � ,����� �� 
�� 5���� �����
� �
� 
�� 5���� 6����	� ��
�
��
����
�� #��� ��� �������� &� ��� ����
��
 �� � ������
 	�	&�� 
� 
�� ����
6����	� �� �
��
����
� 7'(*'8� 
�� ������ 6����	� �� ����
�� 7'(*98� 
�� !��
���
6����	� �� ����
��� 7'((*8� �
� 
�� ��
��
�� 6����	� �� ����
��� �
��� 76����	��
��� :�
���8 7'(((8� � %�&������ 
�� +��
 ���
��
 �� 
��� &��1 �
 '()4 �
� �
 ��	��
��
�� �
�� &��1 �
 
�� ��&-��
 �
�� '(4'�
��������� ���� ������ ��� 	��� 
��
 ;9 �����< �=%����
�� �
 
�� 	������
� �
� ��	�>
��
��
 �� �
���
���� �
� ����� ��
�
�� �
�����
� 
�� ����� �
 �
���
��� �
 '((' �� ���
����
�� 
� 	�	&�����% �
 
�� ���� ��
��
�� 6����	� �� �
��
����
� �
 �����
�
��
 ��
��� �����
��
�� �
� �������� ��
��&�
��
� 
� 
�� +��� �� ��	%�
�
��
�� 	����
����
 � ��� �%%��
�� �� 
�� #�?� �
� �������
 :�
 ��������� �� �
��
����
� �
 '((.
�
�� �
 '((/� �������� 
�� $��1���� !�
�
��
� 
�� ������
 ��
��� ������� &� 
��
�
������
� �� !������
��� $��1����� �
 '((4� ��������� #����� ��� 	��� � ,����� �
�� ���� 6������
��
 ��� !�	%�
�
��
�� �����
��� �
� ����
�� �� ��� ����
��
,����� �
 
�� �
��
�
��
�� 6������
��
 �� !�	%�
�
��
�� �����
���� �
� ���
������� 
�� ��6!� @��
 ��
 ���	�

 ������ ��������� #����� ��� ���
�
������� ��	%�
�� %�����	� ��� +
�
� ���	�
 �
������ �� �
���
���� �
� 
�
>�
���
����
���
�	�� �
� �� ������ ,�6�� �� ���� �����>���� �
 �����
��
 �
� �������� �
����
>
	�
�� ,�6� �� 
�� �
���%���
�� 	��� ����� �
� 
�� &��1 
� ������� 
�
>��
��� �
�
+
�
� �����	�
��
 %��&��	��
,��
 ����� �	���A 6 ,�
�
� ���	�
 ����� �� 
�� ����� ��
� �%��� ������ 74)9�B;9	%�8 ��� # 5��#
��!� #�� �
������ ��� ��
� ���
� 
�� +
�
� ���	�
 	�
��� &� �� �����
� "� ����
 �
� ���� ���
������
�
 
�� �
�
�
�
� ��� ��	������ ��
���� �
 �
��
����
�� �
������
� �� ����� ���
���� ��� 7��� �� �����
�
"� ����
 �
� ���� ���
������� C��� ���
<
 
�� ��%����
�� ��� D�E<� ����������� ������ ��		���� �� ���
��������� �� ����������� ��� ��� ���	��������� F��� ;9� ��� /� ''B3''/� 6��� '(((8�
��� ������ �	�
���
�����
����� �
�����
��	�
� �� �	��
 ����
���
���� ������������ � �� �!"� �!��#
$%�"�� &'������' �� %�
�'���	 �����
� �� ��#����'��#
(���'�������	 ����'� ��' %�
�'���	 �����
� �� ��#����'��#� �'��	���
�
�'���� &'������' �� ��)�	 ��#����'��# ��
 ��'����' �� ��� (�������� ��'
%�
�'���	 �����
� �� ��#����'��#� $��)�'���� �� *�	��� "������
!�+� ���	�'
&'������' �� ��� ,'�
���� "����	
��-�'�
��� �� ��)�	 ��
 ��)�'��
����	 ��#����'��#
$��)�'���� �� ��	���'��� �� �'��	��
 �'��	��� ��	���'���
"G,"5� 6�!�:6�� $"�#"� @" 6����$�5H ��:$"�5�� ��� ��: �
$�
�����
�> ��
�	�
:�
���� ����� @����
 ���� "=���� "G. *��
..9 �������� 6��
��� ��&��
� �6 B'*B'>.B/'
6 �������
 �� 5��� �����
��
�� �
� ���������
�� ��&�����
� :
�
,���
 %�&������ �
 '()4 &� ��H���> ���
,��
� ���
��
 %�&������ &� $�
�����
�> ��
�	�

 .BBB
� "�!� 0��
1�����2 �
� 5�:� #����� .BBB
6�� ����
� ��������� �� %��
 �� 
��� %�&����
��
	�� &� ��%������� �
 �
� 	�
����� ���	 7�
�����
�
%��
���%��
� �� �
���
� �
 �
� 	����	 &� ����
��
��
	��
� �
� ���
��� �� 
�
 
��
���
�� �� �
����
����
� ��	� �
��� ��� �� 
��� %�&����
��
8 ��
���
 
��
���
�
 %��	�����
 �� 
�� ��%�����
 ������ �=��%
�
 �������
�� ��
� 
�� %�������
� �� 
�� !�%�����
�
�����
� �
� ��
�
� 6�
 '(** �� �
��� 
�� 
��	� �� �
����
�� ������ &� 
�� !�%�����
 :���
��
� 6��
�� :
��
(B #�
�
��	 !���
 5���� :�
��
� �
���
� �'� ( ��
6%%����
��
� ��� 
�� ��%�����
 ������<� ���
�
 %��	�����
� ��%������ �
� %��
 �� 
��� %�&����
��
 ������
&� ��������� 
� 
�� %�&�������
������� ������� 	������ ��� �� � ��������� !���
6 ��
������ ������ ��� 
��� &��1 �� ������&�� ���	 
�� $��
��� :�&����
������� �� 	������� 	������ ��� �� � ��������� !���
6 ��
������ ������ ��� 
��� &��1 �� ������&�� ���	 
�� :�&���� �� !�
�����
��$� B 49B) 9B9B *
� ������" ���� ��� ���#������� �� 	$%&��
��� $������������ 	����� ��� & '������ %����"� �� ������������
���������� �#��� (������'��� #����)
#�%���
 &� 6����	�� I #���
���� #�%���
�
�� $���
��
���
�� �
� &��
� &� ��H $��1� :
�
��
�������
#��� &��1 �� ������
�� 
� ��� ����� ���
 �
� ����
:�� �
� ��� ��	����� ��� 
���� ��%%��
 �
� %�
��
��
����
� 
�� %��%���
��
 �� 
��� &��1� �
� ���� 
� ��� ��
��� �
���
� �
� ���������� ��� ���� 
�� ����� ����
��
��&�
�� 
� ��� 1
������� �� 
�� +
�
� ���	�
	�
���� �
 %��
������ �� ����� ��1� 
� 	�
��
��������� ����
�� "
J �
� �
� ��� ����% �
 !���� ���
���� ���%� �
�������	�
 �
� ��%%��
 ����
� 
��
%��%���
��
 %�������
Preface to Volume 3.......................................................
Acknowledgements....................................................................
1 Introduction and the equations of fluid dynamics...
1.1 General remarks and classification of fluid mechanics
problems discussed in the book.................................................
1.2 The governing equations of fluid dynamics..........................
1.3 Incompressible (or nearly incompressible) flows..................
1.4 Concluding remarks.............................................................
2 Convection dominated problems - finite element
appriximations to the convection-diffusion
equation...........................................................................
2.1 Introduction...........................................................................
2.2 the steady-state problem in one dimension..........................
2.3 The steady-state problem in two (or three) dimensions.......
2.4 Steady state - concluding remarks.......................................
2.5 Transients - introductory remarks.........................................
2.6 Characteristic-based methods..............................................
2.7 Taylor-Galerkin procedures for scalar variables...................
2.8 Steady-state condition..........................................................
2.9 Non-linear waves and shocks..............................................
2.10 Vector-valued variables......................................................
2.11 Summary and concluding...................................................
3 A general algorithm for compressible and
incompressible flows - the characteristic-based
split (CBS) algorithm......................................................
3.1 Introduction...........................................................................
3.2 Characteristic-based split (CBS) algorithm..........................
3.3 Explicit, semi-implicit and nearly implicit forms....................
3.4 ’Circumventing’ the Babuska-Brezzi (BB) restrictions..........
3.5 A single-step version............................................................
3.6 Boundary conditions.............................................................
3.7 The performance of two- and single-step algorithms on
an inviscid problems...................................................................
3.8 Concluding remarks.............................................................
4 Incompressible laminar flow - newtonian and
non-newtonian fluids......................................................4.1 Introduction and the basic equations....................................
4.2 Inviscid, incompressible flow (potential flow)........................
4.3 Use of the CBS algorithm for incompressible or nearly
incompressible flows..................................................................
4.4 Boundary-exit conditions......................................................
4.5 Adaptive mesh refinement....................................................
4.6 Adaptive mesh generation for transient problems................
4.7 Importance of stabilizing convective terms...........................
4.8 Slow flows - mixed and penalty formulations.......................
4.9 Non-newtonian flows - metal and polymer forming..............
4.10 Direct displacement approach to transient metal
forming.......................................................................................
4.11 Concluding remarks...........................................................
5 Free surfaces, buoyancy and turbulent
incompressible flows.....................................................
5.1 Introduction...........................................................................
5.2 Free surface flows................................................................
5.3 Buoyancy driven flows..........................................................
5.4 Turbulent flows.....................................................................
6 Compressible high-speed gas flow...........................
6.1 Introduction...........................................................................
6.2 The governing equations......................................................
6.3 Boundary conditions - subsonic and supersonic flow...........
6.4 Numerical approximations and the CBS algorithm...............
6.5 Shock capture......................................................................
6.6 Some preliminary examples for the Euler equation..............
6.7 Adaptive refinement and shock capture in Euler
problems.....................................................................................
6.8 Three-dimensional inviscid examples in steady state..........
6.9 Transient two and three-dimensional problems...................
6.10 Viscous problems in two dimensions.................................
6.11 Three-dimensional viscous problems.................................
6.12 Boundary layer-inviscid Euler solution coupling.................
6.13 Concluding remarks...........................................................
7 Shallow-water problems.............................................
7.1 Introduction...........................................................................
7.2 The basis of the shallow-water equations............................
7.3 Numerical approximation......................................................
7.4 Examples of application.......................................................
7.5 Drying areas.........................................................................
7.6 Shallow-water transport........................................................
8 Waves...........................................................................
8.1 Introduction and equations...................................................
8.2 Waves in closed domains - finite element models...............
8.3 Difficulties in modelling surface waves.................................
8.4 Bed friction and other effects................................................
8.5 The short-wave problem.......................................................
8.6 Waves in unbounded domains (exterior surface wave
problems)...................................................................................
8.7 Unbounded problems...........................................................
8.8 Boundary dampers...............................................................
8.9 Linking to exterior solutions..................................................
8.10 Infinite elements.................................................................
8.11 Mapped periodic infinite elements......................................
8.12 Ellipsoidal type infinite elements of Burnnet and Holford...
8.13 Wave envelope infinite elements........................................
8.14 Accuracy of infinite elements..............................................
8.15 Transient problems
8.16 Three-dimensional effects in surface waves......................
9 Computer implementation of the CBS algorithm.....
9.1 Introduction...........................................................................
9.2 The data input module..........................................................
9.3 Solution module....................................................................
9.4 Output module......................................................................
9.5 Possible extensions to CBSflow...........................................
Appendix A Non-conservative form of
Navier-Stokes equations................................................
Appendix B Discontinuous Galerkin methods in
the solution of the convection-diffusion equation......
Appendix C Edge-based finite element forumlation...
Appendix D Multigrid methods......................................
Appendix E Boundary layer-inviscid flow coupling....
Author index....................................................................
Subject index..................................................................
��	�
� .� ��� /����
'� ��	� %����	�
�����A 
�� �
�
���� ������
� ���
�	
.� 6 �����
 �%%����� 
� %��&��	� �
 ����
���
�
;� H�
�����2�
��
 �� 
�� +
�
� ���	�
 ��
��%
�� H����1�
>�����
�� �������� �
�
�����
��
�� �%%�������
/� ���
� �
���� �
� %��
� �
���
9� 6=���		�
��� �
���� �
������
)� #����>��	�
���
�� �
���� �
������
4� �
����>�
�
� +��� %��&��	� 3 ���
 ��
���
��
� ����
��� �
� 	��
�
�� %�
�
����
D��� D��� �
�
*� C�
�
����< �
� C������������< ���	�
 ���%� ��
�
��
�A ��	� ��
���� ��	����� ��
!B ��
�
��
�
(� ��%%�� ���	�
� �
� 
�	������ �
����
��
 3 C�
+
�
�< �
� C��
������
�< ���	�
�
'B� #�� %�
�� 
��
� ������� �
����
��
� �
� 
�
>��
���	�
� ���	�
�
''� ��=�� ���	���
��
 �
� ��
�
���
� 3 ��	%��
� +��� 	�
����
'.� �
��	%�����&�� %��&��	�� 	�=�� 	�
���� �
� �
��� %��������� �� ����
��
';� ��=�� ���	���
��
 �
� ��
�
���
� 3 �
��	%��
� 7��&���8 +��� 	�
����� &��
�>
���O#��L
2 	�
����
'/� ������� �������� %�������� �
� ����� ��
�	�
��
'9� 6��%
��� +
�
� ���	�
 ��+
�	�
')� ���
>&���� �%%��=�	�
��
�P ���	�
>���� H����1�
 3 �
� �
��� 	������� 	�
����
'4� #�� 
�	� ��	�
���
 3 ��	�>������
�2�
��
 �� +��� �
� ��
�	�� %��&��	� �
�
�
���
���� ����
��
 %���������
'*� #�� 
�	� ��	�
���
 3 ������
� �%%��=�	�
��
 �
 
�	�
'(� !��%��� ���
�	�
.B� !�	%�
�� %��������� ��� +
�
� ���	�
 �
������
6%%�
��= 6� ��
��= ����&��
6%%�
��= $� #�
���>�
������ 
�
�
��
 �
 
�� �%%��=�	�
��
 �� ����
���
� %��&��	�
6%%�
��= !� $���� �K��
��
� �� ���%����	�
 �
������
6%%�
��= �� ��	� �
����
��
 ���	���� ��� � 
���
���
6%%�
��= �� ��	� �
����
��
 ���	���� ��� � 
�
�������
6%%�
��= ,� ��	� ���
�� ����&��
6%%�
��= H� �
����
��
 &� %��
�
6%%�
��= � ����
��
� �=��
 �
 
����
6%%�
��= �� ��
��= �����
���2�
��
 �� ��	%�
�
��	�
� 0� "�	�
 ��
 ��'����'�	 
��������
'� H�
���� %��&��	� �
 ����� 	����
��� �
� 
�
>��
����
�
.� ����
��
 �� 
�
>��
��� ����&���� �K��
��
�
;� �
����
�� 	�
������
/� ���
� &�
��
� �%%��=�	�
��
A 
��
 7�������L8 %��
�� �
� !' ��
�
��
� ��K����>
	�
�
9� C#���1< 5����
��3��
���
 %��
�� 3 ��������&�� �
� 	�=�� ���	���
��
�
)� ������ �� �
 ����	&�� �� D�
 ���	�
�
4� 6=���		�
��� ������
*� ������ �� � �%����� ���� �� 
����>��	�
���
�� �
������ 3 5����
��3��
���
����	%
��
�
(� ��	�>�
���
���� +
�
� ���	�
 %�������� 3 ��� �� ��
����
�� ��
�
��
� �
� C+
�
�
�
��%< 	�
����
'B� H��	�
������� 
�
>��
��� %��&��	� 3 +
�
� �����	�
��
''� ��
>��
��� �
���
���� %��&��	� 3 ����� ���%����	�
 �
� �
�
�&���
�
'.� ������>����� �
� �����3D�=�&�� &�����
';� !�	%�
�� %��������� ��� +
�
� ����
 �
������
6%%�
��= 6A �
�����
� �� ����
�>����� 
�
����
&'����� �� ��	�
� �
#��� ����	� �%%���� ��� 
�� +��
 
�	� �
 � ��%���
� ���	� #����� %��
 �� �
 ��� &��
�%��
�� ���	 
�� ����
� ����	� �� 
�� ����
� ���
��
� �
 
�� 	��
 �
 �� �
 �
����� 
��
���1� �
� �&-��
��� �� 
� ��%���
� 
�� D��� 	����
��� ���	���
��
� �
� �%%����
��
�
���	 
���� �� ����� 	����
��� �
� 
��� %����%� 
� ����� � ��L���
 �
����
 ����%�
#����� 
�� �
�����
��
 
� 
�� +
�
� ���	�
 	�
��� ��
��
�� �
 
�� +��
 ����	�
7
�� &����8 �� ��
����� �
 �
 �� ���� ����� �
 
�� 	��
� �=�	%��� �� ����
�� ������� "
�� �
��� �%%����
��
� 
� ����� ���� �� ���
 ��
���
��
� %����� 	���� D�� �
� %�
�
���
+��� %��&��	� ���� &��
 %����
��� #�� �����
 ��� 
��� �� 
��
 ��� ���� %��&��	�
��� ����>��-��
 �
� 
��
 ��� ���� ����>��-��
 %��&��	� H����1�
 %��������� ��� �%
�>
	��� ,�� ���������� ��������� ��� 	��� 
�� H����1�
 %������ �� 
� ��
��� �%
�	�� �
�
�
 �� ���� 
��
 	��
 �� 
�� D��� 	����
��� %��&��	� ����
#�� %����
 ����	� �� ����
�� �
����� 
� D��� 	����
��� �
� ���� �
 
�� 	��
 
��
	�
���� �
������� �
 F���	� '� ������� �
 
��
 �
������ 
���� 
� ���� ��
� 
��

�
>����>��-��
 %��&��	� �� ��
���
��
 ����� ��� ����
��� 
� D��� 	����
��� %��&>
��	��
�
 �� ��� �
�
��
 
��
 
�� %����
 ����	� ����� &� ���� &� �
���
���
��� ��	�����
��
� 
�� +
�
� ���	�
 	�
��� �
 ��
���� 
��	� �
� �
������ 
��	 
� 
�� ��&-��
 ��
D��� 	����
���� �
 ��
 
��� �
 	�
� ���� �
�
� ���
�� ������� 	�
� �� 
�� ��
����
+
�
� ���	�
 %��������� ������&�� �
 F���	� ' 	�� 
�
 &� ��	����� 
� � ������ �
��>
����� 
� 
�� +
�
� ���	�
 	�
��� 
������ ��L���
 
�=
� �
� 
�������� �� ����	>
	�
� 
��
 
��� ����	� &� ���� �
 ��
-�
�
��
 ��
� F���	� ' 
� ����� �� 	�1�
���K��
 ������
���
�
 D��� 	����
��� ������� ��N���
��� ������ 7'8 #�� +��
 �� 
��
 �� �����
� ��
�
����������� 	� �� �	���� ����������� 	� ��
��
��
�� #����� �� �� ������� 1
��� %����
�%����� ��N���
��� �
 ���	���
��
 ���
 �
 ������� 7.8 ����
� �
� ���
 	��� �	%��
�
�� 
�� ��N���
� �
������� &� 
�� ��
���
��
 ����� ��K����� ��
��� �%������2�� 
���
>
	�
 �
� �
�&���2�
��
� ��� %��
�������� �
 
�� +��� �� ��	%�����&�� ����>�%��� ���
D�� 	�
� ��
��
�
��� +
�
� ���	�
 �%%������� ��� %����&�� �
� ��
�
 ��L���
 ����>
��
�	� ��� ��L���
 ��
��� �� D�� ���� &��
 ������
��� 6�
����� ���� ����%�
� D���
	�� ���� &� ����
 ��
� &� %��������� ��	��
 ���
���� 
� 
���� �� ����� 	����
���� 
��
����>�%��� ��
�� �� ��%����
�� �
� ��%����
�� D�� 	�� ��K���� � ���� %��
������
���
	�
� �
 
��� 
�=
 �� ����� ��
������ ��� �
�� �
� ������
�	 
�� ��>������ ������!
�������� ���� ��	�� 7"�#8� �
������� � ��� ����� ��� &� 
�� ��
����� �
 
��
� ��
 
��
��� ������
�	 �� �%%����&�� 
� ��� ��
��� �� D�� �
� �
���� ����� �����
� ����� ��� �
����
 �K��� 
� 
���� �� �%������2�� 	�
����� �� ����� 
�������� �
���� �
� ������%	�
�
� ���� ��
���� �� �
� ��� �
 
�� 
���� ���%
�� �����
� ��
� ������
�2�
��
�
�� ��%� 
��
 
�� &��1 ���� &� ������ �
 �
������
� 
�� ������ 
� 
�� ��	%��= ��&>
-��
 �� D��� 	����
��� �
� �
� 	�
� ����
�� ,��
��� �� ��%� �
 ���� ���� &� �� ��� 
� 
��
�=%����
��� %���
�
��
�� �� ��	%�
�
��
�� D��� ��
�	��� 7!,�8 ��� 	�� +
� 
��

�� %����
�
��
 �� �
����
 �
� %���
���� �%%����
��
�
1�����	�
#�
����
#�� ��
���� ����� ��1� 
� 
��
1 ��������� ��
�� $�
��� ��� ������� ��
��&�
�
� 
��
���%
�� �
 ����� 7!��%
�� *8 �
 ����� �� ��� 	��� �� 	�
� �������	�
�� �
� 
�
��� ��&�� "�
�2 ���� ��
� 
�� +��
 ��
���� ��� 
�� +��
 
� �%%�� 
�� !$� ������
�	
� �������>��
�� �K��
��
�� "�� ���
�
��� ���� ���� 
� ��������� ����
�� "
J �
� ���
����
� 
�� ���
��
 �
 ���� ������� D��� �
 
�� �
��	%�����&�� D�� ���%
�� 7!��%
�� 98
����	�
�
� 
�� ������� �
� ������
��� �� 
�� %�������� �
 ���% �������
�	����
#��
1� ��� ���� ��� 
� ��������� @� #�
���� "��
 ��� 
�� ����
 
�
� ������&�
� 
�� ���>
��
�
���� H����1�
 	�
��� �
� 
� ��������� 5�	�
 !���
� ����� %��
���%�
��
 �
����
 �������� ���1 ��� &��
 �=
�
����� #��
1� ��� ���� ��� 
� ��� @��

� �2	��
��
�
� @�� �� ��� &�
� ��
��&�
�� �
 
�� ����� ������%	�
� �����
� 
� 
�� +
�� ���	
�� 
�� !$� ������
�	�
#�� ��
�&����	�
 �� +
�
� ���	�
� �
 !,� �%%����
��
� 
� ����>�%��� ��
���
��
>
��	�
�
�� D��� ��� +��
 ����	%������ �
 ���
��� &� 
�� �������� 
��	 ���1�
�
������� ��
� ��������� ��
 �����
� �� ���	�� �
���
� �
����� ��������� 5��
���
:�Q �
�� �
� ��������� @��	� ������� �� ���� �� 	�
� �
���� 
� ���	 ���K��
������
�� �� 	���� �� ��� ���� ���
���� 
� ��������� ����� ���
������ �
� ���
"�&�� ����
 ��� ���� ��
��&�
�� ������� �� 
�� ������	� �
� ������ %��
��
�
�� �
 %��
������� 
�� ����� �� 
�� &��1� #�� ����
 ���1 �
 
�� !$� ������
�	
��� &��
 ����	%������ &� 
�� +��
 ��
��� ��
� ��&�
�
��� ��%%��
 ���	 �6�6
7H��
 �6H�O.'.4� 6	�� !�
��� ��	&�� (B>'//8� ��� 
�� ��%%��
� �
�������>
	�
 �
� ���% ����
 &� ��� ��-�� �� H�%
� �� 	��
 ���
������ ��1
���������
,�
���� 
�� +��
 ��
��� 7"�!� 0��
1�����28 �� �=
��	��� ���
���� 
� ��� ����	��
��
������� ��� ���1�� ��
� ��	 ��� ������� ����� ������%�
� 
�� !$� ������
�	
�
� ��� ��� ����
 
� ��	 ���� 	��� ���% �
 �������
� 
�� %����
 ����	��
"!0 �
� 5:#
�6� ������� 	�
��
�� �
 
�� ��1
�������	�
 �� F���	� '� &�
� ��
�� �
� @��1�� $�
��� ���� ���%�� ��
&� ���
�
� � ��
���� ��&-��
 �
��= ��� F���	�� ' �
� ;�
�!�	%��
� ������ ���� ��� ��� %�����	� �
 
�� 
���� ����	�� 	�� &� �&
��
�� �
 
� ���
 ���	 
��
%�&������<� ��& %���A �
%AOO����&����	O��	%�
��
�O��	
��� &'����� �� ��	�
� �
�
(��'�
������ ��
 ��� �2�������
�� 3��
 
���
���
.�. ,���'�	 '�
�'�� ��
 �	����4������ �� 3��
 
��������
-'�/	�
� 
�������
 �� ���� /���
#�� %��&��	� �� ����� �
� D��� &�������� ��� �
 	�
� ���%��
� ��	����� �
 &�
� 	����
�
������ ����� �
� �
 &�
� 
�� 	�
����� �� ���%������ #���� �� ������� �
� 	�-��
��L���
��� #�� D���� ��

�
 ��%%��
 �
� �����
���� �
������ ���
 
�� D��� �� �
���
� #��
 �
�� � %������� �� � 	��
 ��	%������� �
���� ��
 &� �������� 6� ��
1
��� �
 ������� �
��� �
������ ��
 �=��
 �
� 
�� ����� 	�
����� ��
 ��
������ ��%%��
�
���
���� �������
�
 ����
��
 
� %�������� �����
���� �
������ ��
 ������� ������% ���
 
�� D��� �� �
	�
��
 �
� ���� 	�
��
 �� 
�� D��� ���� ������ &� �� %��	��� �
����
 �
 D���
��
�	���� �� ����� 
�������� ��
��
��
� �
 %��&��	� �
 ����� ���%����	�
 ��
��
�
������ ���
��
� �
� �
 ����� ������
� �� 
�� 	��
 ������
����
�� �� 
�� D���
#�� �����
���� �
������ ����� ��
 
�� ����� ���� &� ������
���2�� &� � K��
�
�
����� ��� ����
 ����	&��
�� 
� ����� 	������ �
� ����� �� 1
��
 �� ��
�	��
�������
��
�% 
� 
��� %��
 
�� �K��
��
� �����
�
� D��� D�� �
� ����� 	����
��� �%%��� 
�
&� ��	���� ��
� 
�� ������
� ���
�� ��%����
� 
�� ���%����	�
 ��� ����� %���������
�� ���� ���� 
�� ��	� ��	&��� ������� 
���� �� �
� ���
��� ��L���
��� ���� 
��
 ���
���
 
�� D�� ��� � ��
�
�
 ������
� 7�
���� �
�
�8� ���������� ����	������� �������
#��� ��
���
��� ��������
��
 %������� 
��	� ����� 	�1� 
�� D��� 	����
���
�K��
��
� 
�
>����>��-��
� ��� 
�������� �
 	��
 ����� �
���� 
�� ������
��� ���
���� �	���� �� 
��
 
�� ��
���
��� ��������
��
 �� 
������&��� 
�� 
���
	�
 ��� 
� &�
��	����
 ��L���
 ���	 
��
 �� ����� 	����
���� #�� ������ ���� ��	�	&�� 
��
��� ����>��-��
 ���	�� 
�� �%%��=�	�
�
� �K��
��
� ������� &� 
�� H����1�
 %������
���� 
�� 	�
�	�	 ����� �
 
�� �
���� 
��	 �
� 
��� ��� �
 � ��
�� �%
�	��� #��� �� 
�
��
��� 
��� �
 ��
���� �
 D��� 	����
���� 
����� ��� ���� D��� 7����%�
� D���8 
��
��
��
��
 �� ��	����
 ��	�����
��
� � D��� ����� �� �
 	�
��
 ��
�
��� %�������
��
 �� 	��� �� ������ 
��������
�
� �
���� 
�� D��� �� ������ ��	%�����&�� �� ��K���� 
��
 
�� �������
�� �� 
��
������
� ���
�� &� 2���� �� ���� ����
 ��
� ��	���� %��&��	� �
 
�� ��
�=
 ��
����
���
� �
 F���	� ' �
� ���� ����
 
��
 ���� �
 �
��	%�����&���
� ��
�
���
�
������� ���� ������� ��N���
��� �
 
�� ���	���
��
 7!��%
�� '.� F���	� '8� �
 D���
	����
��� 
�� ��	� ��N���
� ����
 ������ �
� ��� D��� 	����
��� �%%��=�	�
��
�
���� 
� &� ���� 
��
 ���
 �� ��	%�����&���
� ������ 
����	�
 �� �
��	%�����&���
�
��
 &� 	�������� #��� %�������� 
�� ��� �� 	�
� ���	�
� ����� ��� �
�������
����%
�&���
�
 
��� &��1 �� ����� �
������ 
�� ������ 
� � +
�
� ���	�
 
���
	�
 �� 
��
�K��
��
� �� 	�
��
 ��� ������� %��&��	� �� D��� 	����
���� ���� �� 
�� ��
���
�
�
 D��� 	����
��� ��� ������� %������ � $���� ��%������ ���	���
��
 �
� 	���
����
�� � ������
��� �� 
��� 1
��
 �� 
�� $���� ��	��� 
���
�K��� !�	%�
�
��
&�
���
 
�� 
����	�� �� +
�
� ���	�
� �
� ��
�&������ 
���
�K��� �� +
�
� ��L��>
�
��� ���� �%%����� �
 
�� ������� �
� ��� 
� � 	��� ������ ���%
��
 �� 
�� +
�
�
���	�
 %������ �
 D��� 	����
��� 
��
 �
 �
���
����� #�� �����
� ��� 
��� ��� %����%�
��	%��� �
 ����� 	����
��� �� �
���
���� %��&��	�� 
�� 
���
	�
 �� ��
�
�� ������
�
�� �
 �%����� �������
�� #�� �
��
��� ��
�
 �����
� ��
� �
���
���� ��	%���� ��
&��>��1� ���	�
� ���� 
�
 
��� 
� ����� ��
�
��	 %��&��	�� #��� ��� �
����
 ���
������� �
 ���� ��
�
�� �
�� �
 	��� ����
 
�	��� �
 D��� 	����
���� %���
������
��� ��
��
��
� �� D�� ��K���� � 
�� �� 
���� ��	�
���
�� 
���
	�
 �
� ����
�%%��=�	�
��
 ��� ���K��
�� ��K������ #��� �����
� ��� 
�� ����� ��� �� +
�
�
��L���
��� �
 
�� '(9B� &����� 
�� +
�
� ���	�
 %������ ��� 	��� ������&��� ��>
����� �� �� ���� %��
�� ��
 �
 F���	� '� 
���� ��� 	�
� ����
���� �� ���
� 
��
+
�
� ���	�
 %������� #��� 
�
 �
�� ������ � ����� �
�
���
���� �
� ��&�
����
��	��
 ��&�������
 
� &� ���� &�
 ���� %������� �
 �%%��=�	�
��
 ����� �
 ����>
��-��
 %��&��	� �� ������ ��%����� 
� �� �
 ����
 �K��� 
� 
��
 %������� &� +
�
�
��L���
����
6 	�
�������� ����� �%%���� 
� ���� ���
�� �
 �
��	����
� %���
��
 �� 
��
 ��
+
�
� ����	��� ����� ���� �
�
����� ������� �� � ��&����� �� +
�
� ��L���
�� 	�
�����
�� ���� ����
 �
 F���	� ' 
��
 
���� ��� ��	%�� �
�
��� 1�
� �� +
�
� ���	�
 ���	
�
 ����� ��&��	��
 �������
��
 �� ����� �� �� 
�
 ��� 	��� ����
��� �
 ���
� 
��
���	 �� �%%��=�	�
��
� ������� 
���� �� �
� %��
 ����� ���	� 
� �%%��� 
� 	�
�
�
���
���
���� #��
 �� 
�� ���
 
��
 ��
� 
�� +
�
� ����	� �%%��=�	�
��
 
�� �����
��
�����
��
 ��
��
��
� ��� ��
��+�� ��
��
 �
� ���	�
� #��� ���� 
�
 ����� ����
� 
�� ���� +
�
� ���	�
 �
������ ����� ��
������ ��
�����
��
 �� ��� ��
�����
��
��
��
��
� �� �������� �
�� �
 �
 ����	&�� �����
 �� � ��� ���	�
�� #��� �� 
�
�������
��� �� 
�� ��
���� �%%��=�	�
��
 �� ��%������
�
 
�� ��	�
��� �� 
��� &��1 �� ����� &� ��������
� ������� ������� �� %��&��	��
���� �� ����� ��� � ���
��
 &�������� �
 
�� 
�	������ ����
��
� ��� �� �
��
 ��
�
�
��	%�����&�� D��� �� D��� ����� 
�� �
�� ���
�� �� ����	� �� ����
�� �
�
�������
�� ��
� 
��
���
 ���
��� �� %������� 7!��%
�� /8� ,�� ���� D��� ���� �
��	>
%�����&�� ��
�
���
� ���� 
� &� �%%�����
,��
���� ��
� ���� ���� �%����� ��
���
��� ��������
��
 �L��
� ��� ��
�
 
������&��
�
� 
�� ����
��
 ��
 &� ������� ���
� ���
���� %�����	� 
� 
���� ������� ���
����
���
�� #��� �
���� ��� 
�� +��
 ��
��� �� +
�
� ���	�
 ������%��� �
� 
��
+��� �� D��� 	����
��� 
��� 
��
������
� 
�� �����
 1
������� ���	 �
���
���� 
�
D����� �
 %��
������ 
�� ��>������ ��
��� �
�1�� D�� �� 
�� ���� ����� ����� �
��	%���>
��&�� &�
 ����
�� &�������� ������ �
� � %��
������ �����
 �� �
�1�� D�� �� 
��
 ����
�
 	�
�� ���	�
� ����� 
�� 	�
����� ��
 
� ��
��� &� ������&�� &� � ��
�
�
 �������
�
&�
 %�������� � �������
� ����� �� 
�
>
��
�
��
 �
� ��%�
�� �
 
�� �
���
 ��
���
� (��'�
������ ��
 ��� �2������� �� 3��
 
���
���
 ��� 
�� D��� 7D�� ���	���
��
8 ��
 &� �%%���� �����
�� 
� %��&��	� ���� �� 
��
���	�
� �� 	�
��� �� %���
��� �
� �� ����� ������� 
��
 �=
��	� �� 
�� ��
��
��
 �
�� �
� �� !��%
�� /� ������� ���
 �
 �
��	%�����&�� D��� ���
 
�� �%��� �
�������
��
���
��� 
��	� &���	� �	%��
�
� ��� ��
�
 �
����>�
�
� ����
��
� �� 
�
 �=��
 ��
�
 ����
 ��� �=
��	��� �
�
�&��� #��� ����� �� 
� ���� %��&��	� �� ���� ������
� �����
�� ���� ��������� �
 
��� ���%
���
#�� ��&-��
 �� 
��&���
�� �
���� �� �
��	���� �
� 	��� �������� �� ����
�� 
� �
� ��
����� 
���� �
 �
 ���� ��%��+������ �
 !��%
�� 9A ��N�� 
� ��� 
��
 �
 %��&��	� �����
��&���
�� ������� �
 �� %����&�� 
� ��� ������� 	����� ����� �����
 �
 � D��>
��%�
��
 �������
�� #�� ��	� ���%
�� ���� ����� ��
� �
��	%�����&�� D�� �
 �����
����>������� �
� �
��� �����
� ��
������ �L��
� ������ �
 %��
������ �� ���� 
��
	���+��
��
� 
�������� 
� 
�� ��
���� ���	���
��
 
� ������� 
�� ����
��
 �� %��&>
��	� ���� �� 
�� ������� %��
��&�
��
 �������
� 
��� ���%�� ��&	���
��� �
��
#�� 
�=
 ���� �� D��� 	����
��� 
� ����� 	��� %���
���� �
����
 �� ����
�� �� ��
������ 
��
 �� D�� �� ����� ��� ����� 
�� ��	%�����&���
� �L��
� ��� 	��� �������
 ��� ��	%�����&���
� �� %��&��	>��%�
��
 �
� �&��� 
�� ��� ���� ����� ����
� 
��
%������� 
� 
�	%���
��� �
� ��
��
�� �
 �� 
�� 
�������� 
� ��� 
�� �
����
��
�����
��
 �K��
��
 
� 
�� ���
�	 �����
�
� 
�� 	�
��
 �� 
��
 
�� 
�	%���
���
��
 &� ������
��� ���� �
 �
���� �K��
��
 ��
 �� ������ &� ���
�
 ��� �
��	%�����&��
D��� &�
 
��� ����� �
�� � ���1 �� 
� ���%��
� ��
� 
�� ��
�	��� �� 
�� D���
#��� �� 
�
 
�� ���� �
 ��	%�����&�� D��� ����� ���%��
� &�
���
 ��� �K��
��
� ��
���� �
��
�� �
 ��	%�����&�� D��� 
�� D�� �%��� 	�� �=���� 
�� �%��� �� ���
� �
�
��� 	�� ���� 
� ����1 ������%	�
� #��� ��&-��
 �� �� 	�-�� �	%��
�
�� �
 
�� +��� ��
������
�	��� �
� �� ����� ����
� � ��&�
�
��� %��
 �� !��%
�� ) -��
 
� 
���
%��
������ %��&��	�
�
 � ���� D���� �������
� �� ������ %����
 &�
 �
 ���� �%���� ���� ������� �L��
� ���
��
+
�� 
� � 
����� 2�
� �
 
�� ����
�
� �� ����� &��
������ 7 ������� 	����8� �
 ����
������ 
�� ��	��
��� �� 
�� D��� ��
 &� ��
������� 
� &� �
������� #���� �� ��
 ��
��
� 
�� +�
��
 �� ��>������ ����� D�� �
 ����� �������
� �� 
�
 %����
 �
� ���� �������
��	%��+��
��
� ��� ����
 %����&���
"
� ���� ��	%��+��
��
 �� 
�� �
�����
��
 �� %�
�
��� D�� �
� �� ����� 	�
��
��� �
 !��%
�� /� �
 F���	� ' �� ���� ������� ����
 ��
� ���� %�
�
��� D��� �
���
��	� �����	�
�
��� �
� ������ 
��
 
��� %����
 ���� ��
�� ��N���
�� $�
 �
���
�>

�
��� ���� ����
��
� ��� 
�
 ������ �=
�
��&�� 
� ������
�� %��&��	��
6 
���� 	�-�� +��� �� D��� 	����
��� �� �
����
 
� �� �� 
��
 �� ������� ��
�� D���
����� ����� �
 ����
�� ��
��� �� ��������� �
 ����� 
�� ��%
� ��	�
���
 �� D�� ��
���� 	��� ���� 
��
 
�� ����2�
�� �
��� !��%
�� 4 ���� ���� ��
� ���� %��&��	� �
����� ����
����� 
�� ���
��&�
��
 �� %������� �
 
�� ���
���� �����
��
 �� ��	��
 �����>
�
�
���
�
 �������>��
�� %��&��	� � ���� ������� ���� ������ �
� 
��� ��	�
�
�� 
�� D��
������
����
����
���
���� � ���� ������� ������ �
 �� %����&�� ��� 
��
���
 %��
�	�
� 
� ��%%�
�
��
���
�
� ����� ���� �� ��� �
�
�
�� 
���� 
��
 ����� �
 ����
� �
� �
��� &�����
�� ��
��� �� ���� �
������� �
 
��� &��1 � ���%
�� 7!��%
�� *8 �����
� ��
� 
���
%��
������ ��%��
 �� D��� 	����
���� ���� ���� %��
�	�
� ��� ���� 
�%���� ��
��	� �
��� %������� %��&��	�� �� ���� ������� �������� 
� 
�� %��&��	 ��
�����
�� ����� �
 
�� ��
�=
 �� 
�� +��
 ����	� �� 
��� &��1 �
� ���� �� ����
,���'�	 '�
�'�� ��
 �	����4������ �� 3��
 
�������� -'�/	�
� 
�������
 �� ���� /��� �
��
 
�� 
���
	�
 �� �=
��	��� ��	���� 
� 
��
 �� ������� ��
�� ������ "
��� �����
���� �� ����
��	��
�
�� ����� ����
 ��	� �
� 
��� ��
����� �
� %����%� 
��
���
	�
 ������
�� �
 !��%
�� * �� 
��� ����	� ���� &� �L��
��� �
 ���%�
� 
����
����� �
 
��
�
�
 ���
 ��	��
� �� 
��� ���%
�� �� ����� �
������ 
�� ��
���� �K��
��
� �� D���
��
�	��� ����� ��� 	��
 ��	%�����&�� �� �
��	%�����&�� D��� �����
� ��� 
��
%��
������ ��	%��+��
��
 ������ �
 ���� ��
����� �� %��&��	 	�
��
�� �&����
 ������� &����� %�������
� ��
� 
�� ����		�
��� ������
�2�
��
 %����������
����� �� %����
 �
 !��%
�� ;� �� 	��
 �
������ 
�� 
���
	�
 �� %��&��	� �
����� ��
���
��
 �
� ��L����
 ����� ��	��
�
������� #��� �� ����� �� �
 !��%
��
. ��
� 
�� 
�%���� ��
���
��
3��L����
 �K��
��
� !��%
�� ; ���� �
������ � ��
����
������
�	 ��%�&�� �� �����
� 	��
 �� 
�� D��� 	����
��� %��&��	� �
���
���� �
 
���
&��1� 6� ������ ������� 	�
��
��� 
���� ��� 	�
� %����&�� ������
�	�P ���� ��
�
�%������2�� �
�� ��� ���� �
 ��L���
 ����� �� �%%����
��
�� ������ 
�� ��
����
������
�	 �� !��%
�� ; %������� �����
� ����� ��� �
 ����
 �� ���� �� �
���� ��������
&� 	��� �%������2�� 	��
�� �� ���� 
��
 
��� ���� ���� � ���
��
 �
�+��
��
 
� 
�� �����
�=
 �
� 
��� ��
���
 �%����� �� ����� �	�
 ������
�� 
� 	�
� �
��� 	�
���� �� ���>
���� 
��	 �
�� �
 %����
��
.�0 ��� #�)�'���# �2������� �� 3��
 
���
���.�5
����� �������� 	
 ��	
�
#�� ����
��� ������
����
�� �� � D��� �� �
� �
�&���
� 
� ���
��
 ����� �
������ ���
 �
���
� ��� �
�� ������
�
�� C�
����< �� %������� �� %����&��� 6
� �
������ 	��
 
��������
��
��
��
� �
 
�� 	�
��
� �
� 
�� ����
��� �
��%�
��
 �����&�� �� 
��� 
�� ������
�
 ��� �� �� ���%
 
�� �
������ 
�
�
��
 7��
� 
�� �� �� � �=�� �������� 
� �� ��� � � '� .� ;8�
��� � � '� .� ; �'�'�
#��� ��%����� 
�� ���%����	�
 �����&�� ����� ��� �� %��	��� �	%��
�
�� �
 �����
	����
����
#�� ��
�� �� �
���
 ��� 
��� 
�� %��	��� ����� �� 
�� ��
���� �
������� �� � � �
� 
����
��� ��+
�� �
 � 	�

�� �
������� 
� 
��
 �� �
+
�
���	�� �
���
 ��
��� � �
������� � �������
.
�'�.�
#��� �� � ����>1
��
 
�
������ ��+
�
��
 �� �
���
 ��
�� &�
 ��� ��� ��
�� �
 �����
��
��
���	� �� ���
�
 �� � ���
�� ����� �� 	��� ��
��
��
 �
 +
�
� ���	�
 �
������� ��
����
�� ���� 	�
��= ���	� ��� ����
 ����� �
 F���	� ' &�
 ��� ��	%��
�
��� �� 	�
��
��	 ����� #���� 
��� �
���
 ��
� �� ���
�
 �� � ���
�� � ���� #��� ���
�� �� ����
 &�
�� �������
� ���	
��# � � ��''� ��..� . ��'.	 � � ��''� ��..� ��'.	 �'�;�
�
 
�� ��	�
���
� ��
� � ��	���� ���	 �
 
���� ��	�
���
�A
��# � � ��''� ��..� ��;;� . ��'.� . ��.;� . ��;'	 �'�/�
� (��'�
������ ��
 ��� �2������� �� 3��
 
���
���
���
 ���� ���
�� ���	� ��� ���� �� ��
 ���
� 
�� �
���
 ��
�� �
 
�� ���	
�� � � �'�9�
����� � �� 1
��
 �� 
�� �
��
 �%���
�� �
� �� 
�� ������
� ����
 �
 �K� 7'�'8�
#�� �
����3�
���
 ����
��
� ��� � ��
��� 7
��
�
��
8 ���
��%�� D��� ��K���� 
��
��+
�
��
 �� 
�� ��
�
�
��
#�� +��
 �� 
���� ��
1� 
�� ���������� �������� �� � 
� 
�� ���������� ������ �����A
�� � 
 �� � � 	� �
���
;
� .
�
��� � � 	� �
����
;
�
�'�)�
�
 
�� �&��� �K��
��
 
�� K��
�
� �
 &���1�
� �� 1
��
 �� 
�� �����
���� �
���
� 	� � ��
�� ���
��1�� ���
�� �
� � ��%��
�� �
��= 	��
� ��		�
��
P 
���
��� 
 �'' � �.. � �;; �
� ���� 
 ��'' � ��.. � ��;; �'�4�
#�� ���N���
 
 �� 1
��
 �� 
�� ��
�	�� 7�����8 �������
� �� ��	%�� �������
� �
� ��
�
������� 
� 
�� ����� 	������ � �
 ��
��� ����
���
��
#�� ����
� ����
��
 �� 
��
 &�
���
 
�� 	��
 �
���� ���
��� �
� 
�� ����	�
���
�
���
 ��
��� #��� ��+
�� 
�� %������� ��
	 � ���
;
� �� ���� � 	B �'�*�
����� � �� � ��	������� ��������� ���N���
 �
������� 
� 
�� &��1 	������ 
 �
 ��
���
����
���
� �
� 	B �� 
�� �
�
��� ������
�
�� %������� �
��%�
��
 �� 
�� �
���
 ��
� 7
�
�
��
 	 �
� 	B ��� �
�����&�� ��+
�� �� %���
��� ���
 ��	%�������8�
�� ��
 �		����
��� ���
� 
�� C��
�
�
�
���< ����
��
 ��� D���� ���	 �K� 7'�)8 �
�
7'�*8 ��
�� � � .
�
��� � �
	� � ����
;
�
� 	� �� ���� � 	� �	B
� �� � � 	� �	 �'�(��
��
�� � � .
 ��� � � 	� ���� .;
� ���� � 	� �	B �'�(&�
#����
��
���� 
�� :�	�R 
�
�
��
 �� ��
�
 ����� %�
�
�
�� .;
 
 � �'�'B�
&�
 
��� ��� ��
�� 
� ����		�
� �
 �
� 
�� ����
��
 7'�(�8 �� &����� #���� �� ��
��
�����
�� �&��
 
�� �=��
�
�� �� ����	�
��� �������
� �
� �� ����� 
�1�
� ���� 
 B �'�''�
�
 ���
 �������� ����
� 
�� ����
��� ��
�
�
�
��� ����
��
 �� 7
�� ���%%�
� 
�� ��N=
�
 	B8
�� � � .
�
��� � �
	� � ����
;
�
� 	� �	 
 �� � � 	� �	 �'�'.��
��
���
 
���������� �	%���
� �
��	%�����&���
� ���� � B�
��� #�)�'���# �2������� �� 3��
 
���
��� �
�
 
�� �&����
�� � � .
�
��� � �
	� � ����
;
�
� 
��
���
���
� ���
���
�
� 	� �
.
;
���
���
�
�'�'.&�
6�� �� 
�� �&��� ����
��
���%� ��� �
������� 
� 
���� �� ����
���
�� �� �� ����� 
�
�
����
 ��
�� ��� �
��	%�����&�� D��� �� ���� ���� 	�
��
�� 
��� �
 !��%
�� '. ��
F���	� ' ����� ������� �
�&���2�
��
 %��������� ��� ��
������� ��� �
��	%�����&��
%��&��	��
��
>��
����
� �� ��	� D��� D��� �� �&������ ��
� � ���N���
 
 ��%�
��
� �
�
���
 ��
��� �� ����� 
��	 ���� D��� C
�
>
��
�
��
<�
����� ���� ��
������	�
�� 
 �� 
�� D��� ��
��
� 
��
 
�� &���
�� �� 	��� D�� 
�� �
���
� �
� �����
� �
�
+
�
���	�� ��
��� ����	� 7,��� '�'8 �� �K��� 
� 
�� ��
� �� ���
�� �
 ��
��
�
�
��
� �
���
�
��� 
�
��
��#�
 � � B �'�';��
�� �
 
����
��
�� ���
����
 ������
�
��
�
��
� �
��
�
�� � �
��
�
�� � �
��
�

� � B �'�';&�
����� ����
��� ��
������	�
 � �� 
�
��	� ���	�	��	��
��� 
�� &���
�� �� 	�	�
�	 �
 
�� �
� �����
��
� 
��� �� �
����� �����
� �
� �
���
�
� ��
��� ����	�� ��� 
� &� �
 �K����&���	 ��
� 
�� �
������ �� � �
� &��� ������ 
��
x3; (z)
x1; (x)
x2; (y)
dx1; (dx)
dx3; (dz)dx2; (dy)
��#� .�. ���������	 ���	
���� ��� ��	 ������	
���� 
������ �����	�
� (��'�
������ ��
 ��� �2������� �� 3��
 
���
���
����
� � 
�%���� ��	%�
�
 �K��
��
��
���
��
� �
���
��
�����	 �
�
���
��� �� � 
�� � B �'�'/�
�� ���
� 7'�'.�8�
��
���
��
� �
���
��
�����	 �
���� ��
���
� �	
���
� 
�� � B �'�'9��
��
� 7'�'.&8 �	%�����
"
�� ����
 
�� �&��� ��
� �� ������� &� ���
�
 �� 
���� ��
� �� �K��
��
� �
���
����
 ���	A
�
��
�
�� � �
��
�
�.� � �
��
�
��� � �
��
�
�
� � ����
��
� ����
��
� ����
��
� �	
��
� 
�� � B
�'�'9&�
�
��
����� �
���� ��
������	�
 �

 �����	�
 �� �����
�� 
�
� 
��
 �
 
�� �K��
��
� �� ���� '�.�. �
� '�.�; 
�� �
��%�
��
 �����&��� ��� ��
7
�� ������
�8� 	 7
�� %�������8 �
� 
 7
�� ��
��
�8� #�� �����
���� �
������� �� �������
���� ��+
�� &� �K� 7'�'.&8 �
 
��	� �� ������
��� �
� ��
�� ��� 
�
 �
��%�
��
�
"&�������� 
���� �� �
� �����&�� 
�� 	�
� ��� 
��� �K��
��
 ���
�	 
� &� ��%�&�� ��
����
��
� ������� �� 
�� ��
��
� �� ����	�� ��
�
�
 7�� �
 �
��	%�����&�� D����8 �� ��
� ��
��� ����
��
���% ��
1�
� %������� �
� ��
��
� ��
 &� ��
�&������ 7�� �
 ���
���	��
D�� ��
� �	��� ��	%�����&���
�8 
�� ���
�	 &���	�� ��	%��
� �
� �� �����&���
���� ��
������� 
�� %������� �	�� ��
��
� �
� �
� �&����
� 
�	%���
��� ��� ���
����
�� &� �
 �K��
��
 �� �
�
� �� 
�� ���	

 � 
�	��� �'�')�
,�� �
 ����� ��� 
��� 
�1��� ��� �
�
�
��� 
�� ���	

 � 	
��
�'�'4�
����� � �� 
�� �
������� ��� ��
�
�
�
�
 ���� � ��
���� ����� �
 �� 
�������� 
� ��%%��	�
 
�� �����
�
� �K��
��
 ���
�	
&� 
�� �K��
��
 �� ������ ������������� #��� �K��
��
 �� �
���� �� �
����
 ���
 �� �
 ��

�
 ���%���� �� �
 %������� ����
��
�� �
���	�
��
 �&��
 
�� &�������� �� 
�� ���
�	�
$����� %�������
� ��
� 
�� ������
��
 �� 
�� �
���� ��
�����
��
 �K��
��
 �� 	��
��+
� ��	� ���
��� K��
�
���� #��� �� �
������ �� 
�� ��������� ������ %�� �
�
 	����
#��� �� ��%�
��
 �
 
�� �
�
� �� 
�� D���� ���� �
� %������� �
� 
�	%���
��� ��
� � ��� � 	� �'�'*�
#�� 
�
�� �
���� %�� �
�
 	���� �� �
������ �� ������ 
�� 1�
�
�� �
���� %�� �
�
 	���
�
� 
���
� � �� ����
.
�'�'(�
��� #�)�'���# �2������� �� 3��
 
���
��� 	
,�
����� �� ��
 ��+
� 
�� �����	�� ��
� � �� 	
�� � � �� ����
.
� � � 	
�'�.B�
�
� 
���� �����&��� ��� ���
� 
� &� ��
��
��
�
�
���� 
��
���� ��
 
�1� %���� &� ��
���
��
 �
� &� ��
���
��
 7�����
��
 ��
��>
���� &��
� ��
+
�� 
� &��
������8� #�� ��
���
��� ���
 D�= �� �� ��+
�� ��
�� � ��
�
���
� �'�.'�
����� � �� �
 ���
��%�� 
���	�� ��
���
���
��
#� ��	%��
� 
�� ����
��
���% �
 �� 
�������� 
� ��
��	�
� ���
 ������ 
��	�� #����
��
 &� �%���+�� %�� �
�
 ����	� �� �� ��� 
� ���	���� ����
��
 7�� �
�8 �
� 	��
�
����� 
�� �
���� �����%�
��
 ��� 
� �
��
�� �
������� ���� ���
� �K� 7'�'.8�
�
���
��� ���� �
�
���
��� ���� �
�
���
�	��� �'�..�
#�� &���
�� �� �
���� �
 � �
�
 ����	� ��
 
�� 
��� &� ���
�
 ��
��
��
��
� �
���
�
���� �
�
���
�
�
��
���
�
� �
���
�	��� �
�
���
������� � 
���� � �� � B �'�.;��
�� 	��� ��	%��
��
��
��
� �
���
�
���� �
�
���
�
�
��
���
�
� �
���
������� � 
���� � �� � B �'�.;&�
 ���� 
�� %�
��
�	�
� 
��	 ��%����
� 
�� ���1 ��
� &� &��� �������
����� ���	������ �� �

 ����� ������
�
#�� �����
�
� �K��
��
� ������� �
 
�� %������
� ���
��
� ��
 &� ���
�
 �
 
��
��
���� ��
�����
��� ���	
��
��
�����*�+ � , �'�./��
��
��
��
� ���
���
� �*�
���
�+ � , �'�./&�
�
 ����� �K� 7'�';8� 7'�'98 �� 7'�.;8 %������ 
�� %��
������ �
���� 
� 
�� ���
����
#���� 
�� ���
�� �� �
��%�
��
 �
1
��
� ��� ���
� &�
� �
������ �
� ���
����

�
�
��
�
� �

�'

�.

�;

�
��������
�������
	������
�������
��� �
 ���
����
 
�
�
��
� - �

�

�


�
��������
�������
	������
�������
�'�.9��
 (��'�
������ ��
 ��� �2������� �� 3��
 
���
���
�� �

��

�'�� � 		'�

�.�� � 		.�

�;�� � 		;�

���
��������
�������
	������
�������
�� �� �

�

�. � 	

��

�

��
��������
�������
	������
�������
� �
�� �'�.9&�
*� �
B
��'�
��.�
��;�
���� ���� � �
��
���
������������
�����������
	����������
�����������
��
*� �
B
����
����
����
������� ����� ���
� � �
��
��
�����������
����������
	���������
����������
� �
�� �'�.9��
+ �
B
�
�'
�
�.
�
�;
�
���� � ��
��������
�������
	������
�������
�� + �
B
�
��
�
��
�
��
�
� ���� ���� ��
� � ��
��������
�������
	������
�������
� �
��
�'�.9��
��
�
�� � � 
��
���
���
� ���
���
�
� 	� �
.
;
���
���
�
#�� ��	%��
� ��
 �� 7'�./8 �� 1
��
 �� 
�� 
�����&#��'�� �(������� 6 %��
������
���� ���
 �������
� �� ����	�� 
� &� 2��� �
� 
� ���
 ��
���
��
 �=��
� �� 1
��
�� 
�� C����� �K��
��
< ��� � � � � B��
#�� �&��� �K��
��
� ��� 
�� &���� ���	 ����� ��� D��� 	����
��� �
����� �
��
 �
�
�
 �� 
�
 ���%����
� 
��
 	�
� ��
��
�
��� ���	� ��� ����
 �
 
�� ��
���
��� �&
��
��
&� ��	&�
�
��
� �� 
�� ������� �K��
��
��. #�� �&��� ��
 ��� �������� ��
��
��
�
� %��������� 	��
�
����� ��+
�
� 
�� ��
�����
��
 �� �	%��
�
 K��
�
���� �
������ &� 
�
�� 
��
 �
�� �K��
��
� ���
�
 �
 ��
�����
��
 ���	 ���� ����� 
��
������
� %��������� 	��
�
����� �����
� �
 %��&��	� ����� ����1 �����
�
��
��� ���
%����
� �
 6%%�
��= 6� �� ���� � %��
������ ��
 �� 
�
>��
�����
��� �K��
��
�
����� ��� ���K��
�� ����� #���� �� ����� �
����
� &� �
 �=�	%�� 
�� %����&���
�
�� �&
��
�
� �
������
 ����
��
� ���
 � ����1 �=��
�� #�� ������ �� 
��������
��� #�)�'���# �2������� �� 3��
 
���
��� �
���
��
�� 
�
 
� �=
�
� 
�� ��� �� 
�
>��
�����
��� �K��
��
� 
� 
�� %��&��	� ��
����>�%��� D����
�
 	�
� ��
��� ��
��
��
� �
� �� �
�
��� ���
��� �� 
�� D�� �� %����	�
�
� ,��
�
�
�
��� ���K��
�� 
�� �������
� �� �
�� �� �	%��
�
�� ����� 
� 
�� &��
������ �
����� ������
��� ��� �%���+��� ����
�� ����� �� � ���
�� �
 ����� 
���
��
� ��� %������&��A
�� ����� ���� � � ���
�
 
�� �&��� �� ��� 
�� �����
��
 ����
�� �� 
�� ��
���� 
��	���
�
 ���� ����� 
�� %��&��	 ��
 &� ��
������� ��%���
��� �
 
�� %��
�A �
� �� 
��
 ������� 	���� 
��� ���� &��
������ �
� �
�
��� �� �������� )�* ��
���� 
�� &��
�>
��� ������
,��
���� �
 	�
� ����� � �
����>�
�
� ����
��
 �� 
�
 ������&�� ��
� 
�� D���
�=��&�
�
� ��� �	����� ���� � ��
��	 D��
��
��
 �� ������
�� ��� �
 �� �
��� %����&��
� ��� 
�� ��
���� ������3�
�1�� �K��
��
� 
�� ���
�
 �
 
��	� �� 
�� 	��
 D��
&�
 ��
� � +����	�� ��������� ��%����
� 
�� 	�������� �
�� #�� ��&-��
 �� ����
 ��
�
��������� �
 ��
��� �
� �
 
��� ����	� �� ����� ��	�
 ��������� 
� ���� &���� ��	��1��
#�� 
��&���
 �
�
�&���
� �� �
����
 �
 
�� ��	%�� ������3�
�1�� �K��
��
� �
� �
 �� �
%��
��%�� ������ %����&�� 
� �&
��
 
�� 
��
���
� 
��&���
� ����
��
 	������
� �� 
��
D��� %������
� 
�� 	��� ��2� �� ��%�&�� �� ��%������
� 
�� ��
��	 ������� ���� ��	>
%�
�
��
�� 
����� %����&��� ��� �=
��	��� ���
�� �
� ��
�� 
�� 5��
���� �������
� ��
�� %���
���� �	%��
�
���
#�� �	%��
�
 %��
� ���� 
� &� 	��� ��
���
�
� �������� )�* 7����� D��� D�� �� �
�� ��	�
�	�� 1
��
8�
,���
��� 
�� ����� �K��
��
� ��� �� � %����� ��
���
��� ���	A
��
��
� ���
���
� , �� � ���-� �'�.)�
�
� ��
�� ���� �%����� 	�
���� ��� 
���� ����
��
� ���� &� 
��������� #���� 	�
����
��� �%%����&�� �
� ������ 	��
�� �
 ��������� 	� )�*� �� �� ����� ������� �
 !��%
�� )�
����
���� ��� �
��	%�����&�� 7�� 
����� �
��	%�����&��8 D��� �
 �� �� �
����
 
� �
��>
���� � ��������	 
��
 ��
���
� 
�� ����� �K��
��
� 
� � ��	%�� ����>��-��
 ���	� ��
����� 	�
��
 
��� %�
�
��� �%%��=�	�
��
 �
 !��%
�� /� 6�
����� %�
�
��� ���	�
��� �%%����&�� ���� 
� ��	%�����&�� D��� �� ����� 
�
 ������� 
��	 ��
�� �� 
��� ����
�
 ����>�%��� ��%����
�� ������
.�� (���
-'����/	� 6�' ���'	� ����
-'����/	�7 3���
�� �&������ ������� 
��
 
�� ������3�
�1�� �K��
��
� ��� ��	%��
�� &� 
�� �=��
�
��
�� � �
�
� ����
��
���% ����
� S�K� 7'�')8T

 � 
�	���
�
 7
�����8 �
��	%�����&�� ����
��
� �� ����� ���K��
�� ����	� 
��
A
'� #�� %��&��	 �� ���
���	���
�
 (��'�
������ ��
 ��� �2������� �� 3��
 
���
���
.� #�� �����
��
 �� 
 ��
� 	 �� ���� �	���� ���� ���� 
��
 �
 %�����
 
��	� �� ������
�
�
� ��
��
� 
�� ��
�� ��
 &� ����	�� ��
�
�
�
#�� +��
 ����	%
��
 ���� &� ����=��� �� �� ����� ��� ��
��� ������
� ��	� 
���	��
���%��
� ��� 
�� ��%�
��
�� �� 
�� D��� %��%��
��� �
 
�	%���
���� �
 ���� �����
�� ����� �
������ 
�� ���%��
� �
���
������ ��� 
�� %��&��	 �� ��
��
�>�
�����
�����
� �� 
�	%���
���>��%�
��
 �������
� 7!��%
�� 98 ���� &� 
�%�����
�� 
�� ����	%
��
� �
������� �&��� ��� ���� �� ��
 �
��� ����� ��� �	��� ��	%���>
��&���
�� 
�
�
� 
��
 ��
��
� ���
��� ���� �� � ��
��K��
�� �� ����
�� �����	�&���
��
����
�� 
� %������� ���
���� #��� �� ��
 ���
�
�
 � 
�	 �'�.4��
����� 
 �� 
�� ����
�� &��1 	������� #��� ��
 &� ���
�
 ��
�
 � '
�.
�	 �'�.4&�
��
�
��
� '
�.
�	
��
�'�.4��
��
� � � ���������
�

 &��
� 
�� �����
�� ���� ������
��
�K��
��
� 7'�./8 �
� 7'�.98 ��
 
�� &� �����
�
 �	�
�
� 
�� �
���� 
��
�%��
7�
� ��
��
��
� 
�� ��
���� ���	8 ��
'
�.
�	
��
� 
 ���
���
� B �'�.*��
���
��
� �
���
������ �
'
�	
���
� '
�
���
��� � �� � B �'�.*&�
��
� � � '� .� ; 
��� ��%����
� � ���
�	 �� ���� �K��
��
� �
 ����� 
�� �����&��� ���
�� �
� 	�
���
�
 �
 
��	� �� ���
����
 ������
�
�� �� ����� �
 %���� �� �K� 7'�.*�8�
'
�.
�	
��
� 
 ��
��
� 
 ��
��
� 
 �
��
� B �'�.(��
����� 
�� +��
 
��	 �� ���%%�� ��� ��	%��
� �
��	%�����&���
� �� � �� �
�
��
��
� �
��
��.� � �
��
���� � �
��
��
� � '
�	
��
� '
�
�
��
��� �
�
��
��� �
�
��
���
�
� �� � B �'�.(&�
��
� ��	���� ���	� ��� � �
� �� �
 &�
� ���	�
'
�� � � �
�
���
���
� ���
���
� 	� �
.
;
���
���
�
����� � � 
�
 �� 
�� 1�
�	�
�� �������
��
(���
-'����/	� 6�' ���'	� ����
-'����/	�7 3��� ��
#�� ������ ���� 
�
� 
��
 
�� �&��� �K��
��
�� ��
� 
�� �=��%
��
 �� 
�� ��
���
���
��������
��
 
��	�� ��� ��������	 �� ����� ��������� ��� ��� 	�� �� ����������� 	� 7��
�	����	� ��������� 	�8 �	��������� ����� �� ���� ��������� �
 !��%
�� '. �� F���	� '�
.�8 ����	�
��# '�
�'��
�� ���� �&������ �
 
��� ���%
�� 
��
 � ���� ��
 �� ������3�
�1�� �K��
��
� ��
 &�
���
�
 �
���%���
�
� &�
� ��	%�����&�� �
� �
��	%�����&�� &��������� 6
 
���
�
��� �
 �� ���
� ��	��1�
� 
��
'� ���� �%������2�� ��
� �� �K��
��
� ���� �� 
���� ����� �����
 �������>��
�� D��
�� ������� ���� &�������� 7!��%
��� 9� 4 �
� *8 ���� &� �� ��	���� ���	� �
� 
���

�
 &� ��%��
�� �����
.� #�� ����
��� ��L���
�� ���	 ����� 	����
��� �K��
��
� �
������ 
�� 
�
>����>
��-��
 ��
���
��� 
��	��
$����� %�������
� ��
� ������
�2�
��
 �
� �
���� 
�� +
�
� ���	�
 ����
��
 �� 
��
���� D��� �K��
��
�� �
 �� �	%��
�
 
� ������� �
 	��� ��
��� 
�� +
�
� ���	�
%��������� ����� ��� 
�������� 
� ���� ��
� ���� ��
���
��� 
��
�%��
 
��	��
�� ����� �� 
��� �
 
�� 
�=
 ���%
�� ����� � �
�
���� ������ ��
���
���3��L�����3
����
��� �K��
��
 �� ����������
!���'�����
'� !��� $�
������� �� ������������ �� ,	��� -�������� !�	&����� �
��� ������ '()4�
.� � :�	&� .������������� )
� ���� !�	&����� �
��� ������ '(;.�
;� !� ������ 
�������	 "���������� �� �������	 ��� �/�����	 ,	�*�� F��� '� ������ !������
���
'(**�
/� ��@� 5����� "�����������	 ,	��� ���������� ��	��� ������ 6�&�K���K��� ��� ��=����
'(4.�
9� � �������
�
�� �������� 0���� ������� �����	�
 ������ :�
��
� '(99�
)� :��� :�
��� �
� ���� :�����
2�,	��� ���������� �����	�
 ������ :�
��
� '(9(�
4� 5� #�	�	� ��� 
�����&#��'�� �(������� ���
�> ����
�� '(44�
*� ��H� !������ ,���������	 ��������� �� ,	����� ��H���> ���� '((;�
�� (��'�
������ ��
 ��� �2������� �� 3��
 
���
���
�
���)������ 
�
�����
 -'�/	�
� 9
4���� �	�
��� �--'�:�
������ ��
��� ���)������9
�������� �2������
0�. (��'�
������
�
 
��� ���%
�� �� ��� ��
���
�� ��
� 
�� �
����>�
�
� �
� 
��
���
 ����
��
� ��
�K��
��
� �� 
�� 
�%�
��
��
� ���
���
� �*�
���
�+ � B �.�'�
����� �
 ��
���� � �� 
�� &���� ��%�
��
� ���
��>������ �����&��� + �� � ������ ��
����
��
 
��	 ���
�� �
� 
�� )�/ 	�
����� � �
� * ��� ���� 
��
�� � ����� �.�.��
�
� �
 ��
����
*� � *�
�
��
���
�
+ � +������
�.�.&�
�
 
�� �&���� �� �
� � ����� �
 
�� �
������ 	�

�� 
� ���
����
 ������
�
�� �
�
K��
�
��� �������
�� ��
� 
�����
�K��
��
� 7.�'8 �
� 7.�.8 ��� ������������ 	�*� �����
� ���	 � &���
�� �� 
��
K��
�
� � ��
� �
� D�=�� � �
� * �
���
� � ��
��� ����	�� ���� �K��
��
� ���
�%���� �� D��� 	����
��� ����� �� ���� ��������� �
 !��%
�� '� 6� ���� �K��
��
�
	�� ���� ����� �
 �
��� %������� ��
��
��
� 
��� ���%
�� �� ����
�� 
� 
�� ��
����
���������
 �� 
���� �%%��=�	�
� ����
��
�
#�� ��	%���
 ���	 �� �K� 7.�'8 �
� 7.�.8 �� �
� �
 ����� � �� � ������ �
� 
�� D�=��
��� ��
��� ��
�
��
�� #���
� � � + � �����
�� � �� � ��� *� � ��
��
���
�.�;�
�� 
�� ���� �
 ���
����
 ������
�
�� � ������ �K��
��
 �� 
�� ���	
��
��
� ������
���
� �
���
�
�
��
���
�
��
 ��
��
� ������
��
� ������
��
� �
��
�
�
��
��
�
� �
��
�
�
��
��
�
�� � B �.�/�
����� ���� ����� �� 
�� &���� 	���� ��� 	��
 �� 
�� %����
 ���%
���
�
 
�� �&��� �K��
��
 �� �
 ��
���� �� � 1
��
 ������
� +���� � �� � K��
�
� &��
�
��
�%��
�� &� 
��� ������
� �
 � ��
���
��� 	�

�� �� &� ��L����
 ��
��
� ����� � ��
�� ��L����
 ���N���
�
�
 
�� �&��� 
�� 
��	 � ��%����
� �
� �=
��
�� ������� �� 
�� K��
�
� � &��
�
��	�
�� 
� 
�� ���
�	 �
� ���� 
�� ����
��
 ���� �� ���
 ����� �
���� �� ��%�
��
�
 
�� ��
��
��
��
 ��
#�� �K��
��
 ��
 &� �����
�
 �
 � �����
�� 	���+�� ���	 �
 ����� 
�� ��
���
���
��	 ��� &��
 ��L���
��
�� ��
��
��
���
��
���
� ����
���
� �
���
�
�
��
���
�
�� � B �.�9�
������ 
�
� 
��
 �
 
�� �&��� ���	 
�� %��&��	 �� ����>��-��
 ��
� 
�� �=��%
��
 ��
� ��
���
��� 
��	 ����� �� �
�����
��� #�� 
���� 
��	 ����%%���� �� 
�� D�� �
���� ��
���� 
��
 �
� �������
�� �� 2���� ���� ��
���
���
� B ���		�
��
 ���� � �	%����� �.�)�
�
 ���
 ������� �� ����� ������� 
�� ������ �K��
��
 �
 	��� 	��� ��
��� �� 	�
� ��
�� +
�
� ���	�
 ��	����� ��� �
�� �%%����&�� 
� ���� ������ %��&��	� �
� ��� 
�
��
�����&�� 
� 
�� ���
�� ���	�� 6� �
 
�� !$� ����	�� ����� �� ����� �
������
�
 !��%
�� ;� 
�� �K��
��
� �� D��� ��
�	��� ���� &� �%��
 �� 
��
 �
�� ������ 
��
�%��
������� ����� 
��� 
���
	�
 �� ��N���
�
,��	 �K� 7.�98 �
� 7.�)8 �� ����
��
��
���
��
���
� �
���
�
�
��
���
�
�� � B �.�4�
�� ���� �
���
���� 
��� �K��
��
 �
 F���	� ' S�K� 7;�''8� ���� ;�'T �
 ��

��
��
��
� ���
 
��
�%��
� �
� �
���� 
�� ��
���� �K��
��
 7.�'8 ��
 &� 
��	�� 
�� ���������
�(������ ��
� � �
�
��
� ��� 
�� ���������� �
� * ��� ��%����� D�= K��
�
����
��
� 
�� �����&�� � 7�K� .�'8 &��
� �%%��=�	�
�� �
 
�� ����� ���A
� � �� � &�� �
�
&� ��� �.�*�
�� %��&��	 ����� &� %����
�� �������
� 
�� ����� 7�����
�� ��������8 ��	�>������
�>
2�
��
 %������ ��
% ����.��� � � , �.�(�
&�
 
�� ���
 ��
� �
�
���� H����1�
 7$�&
��8 �����
�
� 
�� 	�
��= . ���� 
�
 &�
��		�
���� ������� 
��� �� � ����
����� 	�
�� ��	%�
�
��
�� %��&��	 ��	%����
�� ���)������ 
�
�����
 -'�/	�
�
��
� �
���������� �
� �
�
�&���
��� �
 
�� ����
��
 ����� ������ 
�� ��&�
���� ��� �� 
���
�����
�
� ��
�
��
�
#��� ���%
�� ���� ������� 
�� 	�

�� �
 ����� 
���� ��N���
��� ��
 &� ������	� �
�
�� �%%��=�	�
��
 �	%������
�� ����� �
 
�� 	��
 ������� 
�� %��&��	 �� �����
� �K� 7.�/8� ���� 
�� ������ ���	�
�
� 
� ��	%���� 	�
��� ���
��� �� ����� ��
�
 �
��
 ��
� 
�� ������2�� �
�>��	�
���
��
�K��
��
A
��
��
�� ��
��
� �
��
�
�
��
��
�
�� � B �.�'B�
#�� 
��	 ������ ��� &��
 ��	���� ���� ��� ��	%����
�� #�� �&��� ������� �
 �
����
�
�
� 
� �
 ����
��� ��L���
��� �K��
��
A
�
��
��
� �
��
�
�
��
��
�
�� � B �.�''�
�
 ����� �� ����� ��
�
 ����	� �� � �
� � 
� &� ��
�
�
� #�� &���� ��
��%
� ���� &�
�����
 ���	 
�� �&��� ����� ���� ��
�� &� �=
�
��� 
� 	��
���	�
���
�� %��&��	��
�
��� 
���
�
� � �� � ������ �����&���
�
���� 
�� 	�
�������� �� �����
� ��
� 
�� +��
 �%��� ������
���� �������
� �
��L���
��� �K��
��
� �����
�
� � %��&��	� ����� �� ����
 �
 !��%
�� ; ��
F���	� ' ���� 
� 
�
>����>��-��

���� �%�
� 
�� ��� ��� 	�
� 
�� %�������
��
��
��
��
#�� %����
 ���%
�� ���� &� ������� �
� 
���� %��
�� ���
 � ����� ��
� ������!�����
���������� �
��
�
� ���	 �K� 7.�''8� ���
 �� ��
� ��������� ��	������ �
��
�
� ���	 �K�
7.�'B8 �
� ���
 ��� �����
� ��
� ���
��>������ ��
�
��
�� 6�
����� 
�� ������ %��&��	
���� 	��
�� &� ����
 ��
� ���� �
 ��
���� 
�� ���������
 �� 
�� %��������� ��
 �
����
�
�� ������ �� �%
�	�� �
�� ����� ���� ���� 	��� &����
� �
 
�� ����
��
 �� 
�� ��
����
���� �� �K� 7.�'8� �� ����� �
�� ������� &���D� 
�� �=
�
���
 �� ��	� %��������� 
� 
��
���
�� ���� �
 ���
 ��� �� ���� �=
�
���
� ��� ��
������ ������
���
&�'� (� "���
� �����
0�0 ��� ����
�;����� -'�/	�
 �� ��� 
�
������
����� ���� !���	�	
��	��
�� ����� ��
����� 
�� ������
�2�
��
 �� �K� 7.�''8 ��
�
� �
�
�� ��� � &��� �.�'.�
����� �� ��� ���%� ��
�
��
� �
� ��� ��%����
� � ��
 �� �
��� �
1
��
 %���	�
����
 ��� �� ����� 
�1� 
���� 
� &� 
�� 
���� ������ �� �� #��� ����� ��� � 
�%���� �
��
��

��� � 
�� �%%��=�	�
�
� �K��
��
�� ��� � �� � B �.�';�
��� ����
�;����� -'�/	�
 �� ��� 
�
������ ��
�����
�� �
��
B
���
���
��
���
��
B
���
��
�
���
��
��
�� �
��
B
��� ��
�.�'/�
�
� 
�� ��	��
 �� 
�� %��&��	 �� B� ����
,�� ��
��� ���%� ��
�
��
�� H����1�
 �����
�
� ��� � ��� �
� ���	�
� �� �K���
��2� �� �� ���� ��� �������� ������ �� �� � �
� � 7,��� .�'8 � 
�%���� ����	&���
�K��
��
����� '� ����' � . ��� � ���� '� ����' �
��.
�
� B �.�'9�
�����
�� � ��
.�
�.�')�
�� 
�� ���	�
 ���	�� 
�	&��� #�� �&��� ��� �
����
����� ���
���� 
� 
�� ����� ��
���
+
�
� ��L���
�� �%%��=�	�
��
 �&
��
�� &� %�
�
�
��
��
�
����' � ����'
.�
�.�'4��
�
�
�.�
��.
�
����' � . ��� � ����'
�.
�.�'4&�
#�� ����&���� �K��
��
� ��� �&������� 
�
>��		�
��� �
� �
 ����
��
 
����
�������� ��
������
�� �� 
�� %���	�
�� �� �
�������� �
���� �� �� 
 �� ���� ���
�
�� ��
���
��� 
��	� ��� �� �	%��
�
��� 
�� ����
��
 �� %����� �������
��� �
�
&���� 
� ����
��
 
� 
�� �
������
� %��&��	� �� ����
 �
 
�� ��	%�� �=�	%�� �����
� �� 2��� �� ,��� .�. ��
� ������ ��&����� � � B� 7�
���� 
�� ����
��
 ��� 
��� %��&��	
�� 
�� �
�� %����&�� ��� �
 ��� 
�	&�� �� ���	�
� �
� 
�
 ��� ���
�8
"� ������ 
�� �&��� �� %��
�� � %��&��	 �� &��
���� ��
��
��
�� ���
 ��L����
 ��
�	�
�� �
�� � ��
��� &��
���� ��
��
��
 ��
 &� �	%���� �
� ���
 
�� ��L����
 ��
�	��� �� 
�
� 
��
 
�� ���
�
���	 &��
���� ��
��
��
 �� � '� �� ���
 �
 �
�� �
���� �	��� �����
 �� � ������� 	���� �����
 ���	 
�� �=��
 ����
��
'
� � '� �
����
'� ����� �.�'*�
h h h
Ni Ni + 1
i – 1 i i + 1 i + 2
1
��#� 0�. � ���	�� 
���	 ���
���� ��� � ��	����	�
����� �����	��
�� ���)������ 
�
�����
 -'�/	�
�
��
���
�� &� 
�� ���
 
��
 
�� %��%���
��
 �� �
���	�
��
 �� �
 
�� �����
��
 ��
������
� �� 
�� +
�
� ��L���
�� %���
�
��
��� ���� 
�� +��
 
� ������	� 
�� &��
�%%��=�	�
��
 %��&��	 &� ���
� ���!����� +
�
� ��L���
��� ��� �%%��=�	�
�
� 
��
+��
 ������
����.�9 #��� �
 %���� �� �K� 7.�'4�8 �
� ��
� %���
��� �� 
�� �%%��=�	�>
��
 ��� %�
 ��
��
��
�
��� � ����'
�
�.�'(�
Pe = Uh/2k = 0
= =
(All exact)
Pe = 1.0
Pe = 2.5
=
(Exact)
Pe = ∞
L
h
1.0
Standard Galerkin α = 0
Petrov–Galerkin α = 1.0 (full upwind difference)
Petrov–Galerkin α = αopt
Exact
Exact
��#� 0�0 �������������
 �� � ����� � � ������� � � ��� � � �� � � � ��� � � �� � � � ��� ������
 �	
�	�
����	�
�
��� ����
�;����� -'�/�
 �� ��� 
�
������ �	
���
��
� 
�� ��
��� +
�
� ��L���
�� ���	 �� 
�� �%%��=�	�
��
 
� 
�� �����
�
�
�K��
��
 �� ����
 &� �K� 7.�'98 
�
��.��� '� ����' � �.� .��� ��� � ����' �
��.
�
� B �.�.B�
��
� 
��� ��*��� ��L���
�� �%%��=�	�
��
� ������
�� 7
����� 
�
 ������ ������
�8
����
��
� ��
 &� �&
��
�� 
������ 
�� ����� ��
�� �� �����
 
�	&��� �� 
�� �=�	%��
�� ,��� .�. �� ����
 
���� &� ������ ��&����� � � '� ������� 
�� �=��
 
���� ����>
��
� ��� �
�� �&
��
�� ��� %��� ��
���
��
 ��� � ��� �� ����
 �
 ,��� .�.� �
 � ��	����
��� �� 
�� H����1�
 +
�
� ���	�
 ���	 ����� �=��
 
���� �
����� ��� %��� ��L����
�
 �� ��
 ���� �%��
� ��L���
��
� &� �
������� �
� 
�� +
�
� ���	�
 ����	� �
�
��
�����2�� 
� 	��� ��	%��= ��
��
��
�E #��� �� 
�� %��&��	 
��
 �� ����� 
��
�������� �
� �
���� ���� ���� 
��
 ����
� �� �
 ����>��-��
 �K��
��
�� 
�� +
�
�
���	�
 ����
��
 ��
 �����
 �
 �=��
 
���� ������ ��� 
�� �
�>��	�
���
�� �%%��=�	�>
��
 ��� ��� �����
 
�	&����
����� "������#���� 	
 ���$�
� ��� �!%	

	
� 	
 �
� 
	��
�	�
#�� +��
 %����&���
� �� 
��
 �� 
�� ��� �� � ��
���3H����1�
 
�%� �� �����
�
� �
 �����
�� �� ���)�( ���� �����
�
�� ���� +��
 ������
�� &� 0��
1�����2 �� �	�) �
 '(49 �
�
���� &� !����
�� �� �	�4 �
 %��
������� ����
 ��� ���	�
� ��
� ��
��� ���%� ��
�
��
�
��� ����
 �
 ,��� .�'� �� ����� 
�1�� �� ����
 �
 ,��� .�;� �����
�
� ��
�
��
�
��
�
���
�� �� 
��
�� � �� � ���� �.�.'�
����� ��� �� ���� 
��
 �
��
��� �� � �
�
.
�.�..�
Ni
ih
or
Wi *
��#� 0�� �	��������	� �� !	�"�� ���
���� �� � �� � ���� � ���������
 ��� ��
��������
 �	�������
�
�
 ���)������ 
�
�����
 -'�/	�
�
�� ���
 ��%�
��
� �
 ���
��� � �� � ������
� �����
�� 
������ �� ���� ���	 
��

����
F������ ���	� ����� ��� %����&��� &�
 
�� 	��
 ��
��
��
 �� 
�� �������
� ��	%��
��+
�
��
 ����� ��� �� ������� � �����
�
���� ��
�
��
 7��� 
�� 
�
� �
 
�� �
� �� 
���
���
��
8A
���� � �
�
.
���
��
����
 �� �.�.;�
��
� 
�� �&��� �����
�
� ��
�
��
� 
�� �%%��=�	�
��
 �K������
 
� 
��
 ��
�K� 7.�'98 &���	��
������� '� � '	 ����' � �.� .�����	 ��� � ������� '� � '	 ����' �
��.
�
� B �.�./�
�		����
��� �� ��� 
��
 ��
� � � B 
�� �
�
���� H����1�
 �%%��=�	�
��
 ��
��������� S�K� 7.�'98T �
� 
��
 ��
� � � ' 
�� ���� �%��
��� ������
� �K��
��
7.�.B8 �� ������&��� ���� ����
� �=��
 
���� ������ ��� %����� ��L����� �� %�����
��
���
��� ����� ���%��
������
��� �� 
�� ����� �� � �� �����
 ��
��� � ��%
 � ��
� ���� �
'
���� �.�.9�
��
 �=��
 
���� ������ ���� &� ����
 ��� �		 ��	��� �� ��� #�� %���� �� 
��� �� ����
 �
������
�� 4 ��� 
�� %����
� �
�>��	�
���
��� ���� ����� �
 �� ���� ����
 
��
 ��
��� � ����
 � '�
'
���� �.�.)�
�������
��� ����
��
� ���� 
���� ������ #�� �����
� �� ,��� .�. ���� �
���� 
��
 ��
�
� � B� ���� 
�� H����1�
 %��������� �������
��
� ���� ����� ���
���� � ' �.�.4�
,����� .�/ ����� 
�� �����
��
 �� ��%
 �
� ����
 ��
� ���
�
6�
����� 
�� %���� �� �%
�	���
� ��� 
�� �%��
��
� %���	�
�� ��� ����
 ��� 
�� ����
�� ��
�
�
 ���N���
� �
� ��
�
�
 ��2� ���	�
�� 
������ �=��
 ������ ���� ���� &�
����
 �� � � ��%
 �� �����
 ��� ���� ���	�
 �
����������� �� ���� ��	� 
�%���� ����>
��
� �
 ,��� .�9'B ��� � �����&�� ������ 
��	 � � ����� ��
���
��
 ���N���
�
� � ���� �
� ���	�
 ��2��� ���� �� 
���� �� ��	%���� ��
� � �
�
���� H����1�
����
��
� �����
� 
��
 ���
 ���
 
�� ��
�� ���� 
�
 �����
 �
 �������
��
� 
�� ��������
�� �	%������ "� ������ �
 
�� �&��� �=�	%��� 
�� ��
���3H����1�
 �����
�
� 	��
 &�
�%%���� 
� ��� 
��	� �� 
�� �K��
��
� ���
 
��� �� 
�
 ��
� 7�� �
 ��	%�� +
�
� ��L���
��
�%��
��
�8 
�
���� ���
� �����
� ���� &� �&
��
��� �� ����
 �
 
�� +
�
� ��L���
��
�����
� �� ,��� .�)� ����� ��� ���� �
 ������
�� '' 
� ��������
 �%��
��
� 	�
�����
#�� �L��
 �� � �
 
�� ������ 
��	 �� 
�
 �%%���
 �
 �K� 7.�./8 ����� � �� ��
�
�
�
 
�� ����� ��	��
� &�
 �
� �
D��
�� �� �
��
� ���
 � � �����
���������� �	
���	�	��� 
�� �	������� 
��������
#�� �����
�
� ��
�
��
�� 7���
�
� 8 �
������� �
 ,��� .�; ��
 �� ������ &� �����
�
>
���� �� ��� �� 
�� ��
��&�
��
� 
� 
�� ��
���
��� 
��	� ��� ��
���
�� S��� �K� 7.�'/8T�
� ��&��K��
�� �� �� �
��%��
�� �� �
 �&����
� ������
��� ����
�;����� -'�/	�
 �� ��� 
�
������ ��
���� ��
B
��
��
��
�� ��
��
B
���
���
��
��
!������ 
� ��N���
� ������ �
 
�� �����
�
��
� �
 
�� ������
��
 �� 
�� �&��� �
�������
 ������� ���
 ������
�
� 
�� ��L����
 
��	� �� ��
������ �
������ �
����
��
 &�
%��
� �
� ������
� ���� 
��	� �� ��
B
���
��
�
���
��
��
�
 %���� �� 
�� ���	 ��
B
��
�
��
�
�
���
��
�
��
 ��� � ����� �
+
�
� ���� ����� ��
� �����
�
������� #� ����� 
��� ��N���
� ��	�����
�� �����
�
��
� �� 
����� %��
 �� 
�� �����
�
� ��
�
��
 
� ����� *����� 
�� ���	�
'
�
� 
��� ����� 
�� �����
�
��
� �
 
�� 
��� �
 
��	�

�� ����
 �
,��� .�;���� �����
�
����
��
 ��
 &� ����� �����
� �
 
�� %����
 ���� 2��� ��
��&�
��
� 
� 
�� ��L����
��	� �� �
���� ��%%�
� ��
��B ��
�
���� ��
�
��
� ����
�
� ���� �
 ������� ������
����
����� &���
�	
� 
	����	�
 	
 �
� 
	��
�	�
#�� ��	%�����
 �� 
�� 
���� �K��
��
� 7.�'98 �
� 7.�')8 �&
��
�� �
 � �
����	 	���
�
� ��� � ��
�
�
 � ����� 
��
 
�� �L��
 �� 
�� ��
���3H����1�
 %�������� ��
�K������
 
� 
�� ��� �� � �
�
���� H����1�
 %������ ��
� 
�� ����
��
 �� � ��L����
� � '.��� �.�.*�
� 
�� �����
�� ��L���
��� �K��
��
 7.�''8�
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
2 3 4 5 6 7
Pe
α
αopt = coth Pe–1/Pe (optimal)
αcrit = 1–1/Pe (critical)
��#� 0�8 �����
�� #
����	$ ��� ������� ����	
 �� ��	 %��!���& �����	�	� � ��� ����	�	�� ����	
 �� �	 � �
����
�
 ���)������ 
�
�����
 -'�/	�
�
#�� ������ ��
 ������ ������ 
��
 ��
� 
��� ��&�
�
�
�� �
� 
�� �����
�� �K��
��
�
��� ���
�
� 
�� �
 %���� �� �K� 7.�''8
�
��
��
� �
��
�
��� � �
��
��
�
�� � B �.�.(�
�� �&
��
 �
 ���
���� �=%������
 
� 
��
 �� �K� 7.�./8 %������
� � �� ��
�
�
 �
� �
�
�
���� H����1�
 %�������� �� �����
���
15
10
5
0
1 x
φ x 104
– d
2φ
dx2
+ 200 dφ
dx
= x2
0 < x < 1
φ = 0, x = 0, x = 1
���
1.00
0.95
0.90
0.85
1.00
2.0 x
φ
– d
2φ
dx2
+ dφ
dx
= x2
1 < x < 2
φ = 1, x = 1
φ = 0. x = 2
60
x
Exact
Optimal Petrov–Galerkin
Standard Galerkin
��#� 0�< �����
����� �� 
������� ���	� �� ��� �	��������	� �� #�������$ �������������' #�$ �������	 
���
	
�	�� 	(������ !��� 
��
����
 � ��� 
) #�$ �������	 
���
	 �	�� !��� � �������	 ��
��� ����
�;����� -'�/	�
 �� ��� 
�
������ ��
���� �	������ ��%����� �� ������ 
� �	%��	�
 
��
 ��
���3H����1�
 �����
�
��
%��
�������� �
 
�� �� 
���� ��	�
���
�� �
� ��� ��	� %������� 	���
 �
 
��
�
��%��
�
��
 �� 
�� ��
���3H����1�
 	�
����� ������� �
 ���� 
�
 %������ 
��
	���+��
��
 �� ������ 
��	� ��K������ �
� ��� �
�
�
�� �
 
�� �=�	%�� �� ,��� .�)
���� ���� ����
���� �����
� ���
���� ��
� � ��	%�� +
�
� ��L���
��� �%��
�� �%%��=>
�	�
��
�
#�� ��
��%
 �� ����$���	 ��%����� �
������� ���K��
�� �
 +
�
� ��L���
�� 	�����
��L��� �� ������ ���	 
�� ��	� ����&��1� �
� �
 ����
��
 ��

�
 &� ���������
-��
�+���
�
 �� �� �
����
 
� �&����� 
��
 � ��
��� ��L���
�� �%%��=�	�
��
� ���
 �%%���� 
�
�� �����
�� �K��
��
� 7�� 
�� ��� �� 
�� �
�
���� H����1�
 %������8� ����� &� �
��>
����
� � �������� ��%����� �
� 
�� �K��
��
�� #��� C
���
���< ��L����
 �� ���
����
&� 
�� %����
� &���
��
�� �
��
����� ' ���	��	�
�� !�	
�	!�� 	
 �
� 
	��
�	�
�K��
��
 7.�''8� ����� �� ��� ���� ��
������
�� �� 
�
 ����>��-��
 �
� ��
�� �� 
�
�����
�� ������&�� ���	 �
� �����
��
�� %��
��%��� ������� �
 ��� ����
 &�
H��	�
 �� �	�'. 
��
 �
 �� � ��	%�� 	�
�� 
� ������ � �����
��
�� %��
��%�� 7��
�
���� ����>��-��

��� ����� �� �K������
8 �� 
�� �%���
�� �� %��	��
�%���� &� �
���
�&�� ��
�
��
 	� #��� �� ���
� � ���1 ���	 �� �K� 7.�''8 ����
B
�	
�
�
��
��
� �
��
�
�
��
��
�
��
�
�� � B �.�;B�
2
1
0
0 5 10 15
Exact and Petrov–Galerkin
(α = 1) solution
Finite difference
upwind solution
x
U
Q
��#� 0�= � ��	����	�
����� ���	 
���	
���	 �����	� �� � �� !��� � �������	 
���
	 �	�� � ��� 
��
����
�� �	��������	� �� ���
	���	 �	
���
 �� �� 	��
� 
������� �������	 ����	 ����	�	�
	 ��!�����" "��	

��
������� 	�����
�� ���)������ 
�
�����
 -'�/	�
�
����� 	 � 	��� �� �� ��
 �
��
��	�
��� #��� ������ �
 �
����
��
 &� %��
����
B
�
�
��
��
�
	� � � �	
��
�
� ��
��
��	� ��
��
��	�
�
��� �	� ��
��
����
�����
B
� B �.�;'�
�		����
��� �� ��� 
��
 
�� �%���
�� ��
 &� 	��� ����>��-��
 �
� � ��		�
���
�%%��=�	�
��
 �������� �� 
�� +��
 
��	 �
 �K���� &���1�
� �� 	��� 2��� 7��� ����
!��%
�� ; �� F���	� '� ���� ;�''�.� ��� 
��� ������
��
8� #��� ��K����� 
��
 	 &�
�����
 �� 
��
	� � � �	
��
� B �.�;.��
�� 
��
	 � ��
�
�
� ������ � ��
�
�
� ��.������� �.�;.&�
,�� ���� � ���	 ������%�
��
� 
� 
�� �=��
�
�� �� � �����
��
�� %��
��%�� 
�� C&��
<
�%%��=�	�
��
 �� 
��
 �� 
�� H����1�
 	�
��� ��
�
� � �� � �
�
���� �.�;;�
�
����� �� ����
 �
 F���	� '� ���� � ���	���
��
 ����� �
 �
� ��	�
���
� �����
�
����� �=��
 �
 
���� 7��� 6%%�
��= �� F���	� '8� �
 	��
 
�������� &� �K������
� 
��
 �&
��
�� ������� &� �����
�
� �
 
�� ��
���3H����1�
 	�

��� �
���
�
� 
��
�%%��=�	�
��
 �� �K� 7.�;;8 �
� �K� 7.�;'8� ��
� �K� 7.�;.8 ��+
�
� 	 ���
� �
�����
 �
 � � ��� �� ���� ��� 
�� �
� �K��
��
 �� 
�� �
����	 	�����
��
�
���
��
�� ��.�������� ���
��
��� ��� ��.��������
�
�� � B �.�;/�
��
� � � � � '� �� � � '� #��� ������ ��
�� ��	� ����&��� � 
�%���� 
���� �K��
��
A
�'� ��.����� ����' � ���.���� � ��.����� ��� � �'� ��.����� ����'
� ��
.
.����� ��
�� � �����. � B �.�;9�
*���� ��� � ���*� �� � ��������	 *��� ��� �/�������� 712138 ���� *���� � � ��%
 �����
 � �(2 712148 ��� ��� ��������2
 ��� �� ���� � ��	����
 	��� ��
��
��
� %���� �� 
�� �%
�	���
� �� 
�� %��%����
��
���3H����1�
 �����
�
��';�'/ ������� ������� ����&��1� �=��
� #�� 
�	������
������
��
 �� 
�� �
������ �� ��N���
 �
� 
�� �K��
��
 ���
�	� 
����� ��		�
���
�������� �� 
�
 ���� ��
��
��
�� �� 	 �� 
�1�
 �� � ��
�
���� ��
�
��
 �� � 
������
�� ����� ��	��
� #�� ����
� %��
 �� ������ ������	� &� 
�1�
� 	 
� &� ����������!
���	� ��+
��� ��� �
�
�
�� 
�1�
� 
�� �����
 �� � �
 %��
 � ��� �		 ����� 	��� �� �� ���
�
 ������
� �K� 7.�;98� #��� �� %��	����&�� &� ����	�
� ����
 �
 ���� .�. �
� ��
�K������
 
� �����
� 
�� ���� �K��
��
 ���
�	 ��� &� ����'; ��� �� ������ 
��
�
�� �K��
��
 ���
�	 ������ 
� &� ��		�
����
#�� 
�	������ �
����
��
 ��N���
��� ����%%���� �� ������� �� 
�� ��	%�� �����
�
�
��
�
��
� %��������� ������� ��� ����� ������� 
�� %���� �� �K������
�� �� �	%��
�
�� 
�� %��&��	 �� ��
��	�
�
� 
�� �%
�	�� �����
�
� �� 
� ��
��� 
���������
��� ����
�;����� -'�/	�
 �� ��� 
�
������ ��
����� #���� 	
 ����� ������ �!!��(	���	�
 )#*�+ 	
 �
�

	��
�	�
�
 
�� %������
� ���
��
� �� ���� ����
 
��
 �������� �%%���
�� ��L���
�
�%%������� ���� �����
�� �
 ���
���� 7�� ��	��
 ���
����8 �%%��=�	�
��
�� ���
��
 �
�
��� %�������� �� %����
�� ����� ����
 ���� %������ ��	���� �����
�� �
 
���
� ��	&�
�
��
 �� 
�� �
�
���� H����1�
 �
� ����
 �K���� �%%��=�	�
��
� �� 	����'9�')
�� �K� 7.�''8 �� �����
�
 ��
���� � B � � �� � &��� �.�;)��
��
�
� � � �
��
� �
��
�
�
�
��
�
�.�;)&�
�� �
�
���� H����1�
 �%%��=�	�
��
 ����� ��� 
�� �
� �K��
��
��
B
����&�������
��
B
��� �� � B �.�;4�
��
� &��
���� ��
��
��
� �	�
�� ��� �����
��
��	������� � ����
 �K���� �������� 	�
�	�2�
��
 7��� !��%
�� ; �� F���	� '� ����
;�'/�.8 �����
� �
� � � ���� �
� '
.
�
� ���
��
B
�. �� �
��
B
��� ���
� ���
�� ����� �� � B �.�;*�
�� ��
B
�
�
���
��
� �
��
�
�
�
��
�
��
�
�� ����� � B �.�;(�
�� 
�� +
�� �%%��=�	�
��
 �� ���
�
 �� � ��
��� ��	&�
�
��
 �� �K� 7.�;48 �
�
7.�;(8� �� ������
B
�
�� � ��
���
��
� � �
��
�
�
�
��
�
��
�
�� ����� �� � B �.�/B�
#��� �� �� ������� 
�� ��	� �� 
�� ��
���3H����1�
 �%%��=�	�
��
 ��
� �
 �
��
��>
	�
�� %���	�
�� �� �� 
�� ����
�>����� 
��	 �� �	�
�� 7�� ����� &� ��
� ����	�
�
��
��� �� �
� � ���
���	�
 �� �
 ,��� .�;8 �
� ���
��� �� �� 
�1�
� � ����
.��� �.�/'�
�� �%%��=�	�
��
 �� ���
���� 
� 
��
 �� 
�� ��
���3H����1�
 	�
��� ��
� 
��
�����
�
� ����
 &� �K� 7.�.'8 �
� 7.�..8�
"
�� ����
 �� ��� 
��
 � ��
���3H����1�
 ���	 ���
�
 ����
B
�
�� �
���
.
��
���
���
��
��
�
� ��
��
� �
��
�
�
� ��
��
�
��
�
�� � B �.�/.�
�� ���)������ 
�
�����
 -'�/	�
�
�� � �����
 
��
 ������� ���	 ������� �%%�������� 
����� �
�� 
�� �����
��
�� ���	 ��
���� .�.�/ �=%����
�� ��
��	�
�� 
�� ����� �� � 
��
 ������ �%
�	���� &� ����� �
 ��� 
��
�
��� ������
��
� 
��� ����� �� ��
��	�
�� &� �
 � ���������� �
�������
����, -$� .
	�� 	
�����
� �������� )/01+ ��� ����	�	2	
� �$�
��
����	���
	����	�
 �����	�
 	
 �
� 
	��
�	�
6� 	�
��
�� �
 
�� %������� ���
��
�� 
���� ��� 	�
� %��������� ����� ���� ���
����
�����
� 
� 
���� �� 
�� ��
���3H����1�
 �%%��=�	�
��
�� �� ����� ���� +
� � 
�	&��
�� ���� %��������� �����
� �����
�� ���	 
�� 
��
���
 ���	���
��
� ��������� �
 ���
�� �� 
��� ���%
��P ������� 
���� �� �
� ���
��� ��	%�� %������ ����� ��
 &� �%%����
�����
�� 
� 
�� �
����>�
�
� �K��
��
� #��� %������ ��� ������
�� &� "
J �
� �
'((*'4 �
� �� ����� ������&� �
� &���� &�����
�� ����� �
��
 �
 
�� �
��� ����� 
�� ��
�����
��
 �K��
��
 �� 
�� 
�%� ����
 &�
�K� 7.�98 �� �������� ��� �
�
��� �� ��
������
� �
 �
+
�
���	�� ��
��� ����	� ��
��
�
� C��< ����� �� ���
� 
� 2���� �� ����� ��
����� � +
�
� ��
�
� 	� �=%�
��
� 
�
�
� ������ ����� &� #����� ������ 7&��1�����8� �� �&
��
 �
�
��� �� �K� 7.�''8
�� ��
��
� �
��
�
�
��
��
�
��� 	
.
�
�� ��
��
� �
��
�
�
��
��
�
��
�
� B �.�/;�
��
� 	 &��
� 
�� +
�
� ���
�
�� ����� �� �	����� 
��
 �� �K��� 
� 
��
 �� 
�� ���	�
��2� �� 5�����
��
� 
��	� �
� ��&�
�
�
�
� 	 � �� �� ����
�
��
��
� �
��
��
�� ���
.
�
��
��
�
��� 	
.
��
��
� B �.�//�
�
 
�� �&��� �K��
��
 �� ���� �	�
�� 
�� ������ ����� �=%�
���
 ��� 
�� ��L����
��	 �� �
 
�� %������� ���
��
�
,��	 
�� ���
 �K��
��
 �� ��� �		����
��� 
��
 � �
�&���2�
� 
��	 ��� &��
��������� �
� 
�� ����
��
�� 
��	 ����. �� ���
���� 
� 
��
 �� 
�� ��
���3H����1�
���	 7�K� .�.*8�
#���� �� 
� 
��� 
� %������ ���
��� �
� �� ��� ��� ��	%�� 
�� +
�
� �
���	�
%�������� ��� ����
 ������� �=��
�� 
�� ��	� �����
 &� ��	%�� 	������
� 
�� ��
���>
��
��
 ��L���
��� �K��
��
�� �
 ������
�� '4 �
 �� ����
 ���
��� 
��
 ����	�
� ��
 &�
&�����
 
� ��
��	�
� � �� &��
� %�������� 
�� �%
�	�� ����� �� ���� ������� �&
��
��
&� �
����
� 
�� ��
���3H����1�
 	�
����
����3 4	�$��5��
�� �!!��(	���	�
�
#�� ������
��
 �� ������
� ��
���3H����1�
 %��������� ��� 
�� ��
���
��� ��L����
�K��
��
 �� �� ������ %����&�� ��� �
� ����� �� +
�
� ���	�
 �=%�
���
� �
 ������
��
( ��
���� �
� 0��
1�����2 ���� ��� 
�� %�������� �� �
����
� �=��
 ������
�
����
��
� ��
 ����� �%
�	�� �%��
� %���	�
��� ��� K�����
�� ���%� ��
�
��
��
 ������� ���� 
�� ��	%���
 �%%����� �
������ 
�� %��������� �� ���� .�.�/� �����
��� ����
�;����� -'�/	�
 �� ��� 
�
������ ��
��� ������&�� �� ������ ��� �
� ���	�
 �=%�
���
 �
�� �� ����
 &������ ���� ������
���� �
 �%
�	�� �%%��=�	�
��
�
�� 
��� ����		�
� 
�� ������ 
� %����� 
�� �=�	%�� ��������� �
 
��
 ���
��
�
�� &� �=
�
��
� �K� 7.�;/8� 
� ������ �
 �
 �%%��%���
� �K��
��
 ��
1�
� 
�� 
��
K�����
�� ���	�
� �� ,��� .�4�
,�� %���
���� %��%���� ��� ���� ���	�
� �
 �� %����&�� 
� �=
�
� 
�� ��
���3H����>
1�
 �����
�
� �� 
�� 
�%� ����
 �
 �K� 7.�.'8 
� 7.�.;8 
�� ���
�
��%
 � ��
����
'
��
�
� ���� � �
�
/
���
��
����
 �� �.�/9�
#��� %��������� 
����� 
�
 �� �=��
 �� 
��
 ��� ��
��� ���	�
�� �� ���� �L��
��� �
�
��� &��
 ���� ��
� ������� ��� ����
��
 �� ������3�
�1�� �K��
��
��'*
�
 ����
 ������ 
�� ��&-��
 �� �%
�	�� �%��
��
� ��� ������>����� �%%��=�	�
��
�
��� &��
 �
����� ���
��� �
� ������� ������
��� ���� 
�� ������%	�
��'(�.B �
 �� ��
�
����
 
� ��	��1 
��
 
�� %�������� 1
��
 �� 
�� ������������� 5�	��'�� 	�
���
������ 	��
 �� 
�� ��N���
��� �� �����
� ��
� ������>����� �%%��=�	�
��
�� #���
%�������� ��� ����
�� �%%���� 
� ��
���
��
3��L����
 %��&��	� �
� �
���� 
�
�
��� %��&��	� �� D��� 	����
��� &� "��
 �
� �����1����.'�.; 6� 
�� 	�
��������
�� 
�
 ������&�� ��� �����
 %���
���� ����� �� �
�
� �� �� 
�
 �
����� 
�� ��
���� ��
�� 	�
��� ���� &�
 ��� ��	%��
�
��� �� ���� �
� ������
��
 �
 6%%�
��= $�
0�� ��� ����
�;����� -'�/	�
 �� ��� 6�' ��'��7

�
�������
����� #�
���� ����� �
�
 �� ����� 
��
 
�� �%%����
��
 �� �
�
���� H����1�
 ������
�2�
��
 
� 
�� �
����>�
�
�
������ ��
���
��
3��L����
 �K��
��
 �
 ������� �%��� ��	�
���
� �� ��	���� 
� 
��
%��&��	 ��������� %��������� �
 �
� ��	�
���
 �
� ���� ����
 ����� �
��
�����
���
�
����� ��
� ���� �������
��
 ��� ����� �����
 
�	&��� ����
�� 
��
 �
�
��
#�� �K��
��
 
�� ��
������� �� 
�� �
����>�
�
� ������
 �� �K� 7.�48� ����
��
��
��
���
��
��
� �
��
�
�
��
��
�
� �
��
�
�
��
��
�
�� � B �.�/)��
i–2 i–1 i i+1 i+2
hh
Ni Ni+1
��#� 0�> �

	���* �� ��	����	�
����� (�������
 	�	�	��
�
�� ���)������ 
�
�����
 -'�/	�
�
�
 
�� ��	�
���
� �� 	��� ��
������ ���
� �
������ 
�
�
��
��
��
���
� �
���
�
�
��
���
�
�� � B �.�/)&�
�
 &�
� 
�� �
� 
���� ��	�
���
��
"&������� 
�� %��&��	 �� 
�� �� ����
�� %���
���� �
����
 
��
 
�� �
�>��	�
���
��
���� �� ��� ���������� �
� � ��
�����
��� ����
��
 �� �	%��
�
� 6���
� ��� �� 
��
%����&�� �%%������� �� ���� ��������� ��� �%%����&���
����� �������	
� )6!%	

+ "������#���� 	
 %�	�$�	
� )�6"#+
#�� 	��
 �&����� %�������� �� 
� ��� ����
 ��	� ���	 �� ��
���3H����1�
 	�
��� ��
�� 
�%� �
������� �
 ���� .�.�. �
� �K� 7.�.'8 
� 7.�.98� ���1�
� �%
�	���
� �� � �
��	� ������
�� 	�

��� 5��
���
�
� �
�
��
 ���� 
� 
��>��	�
���
�� �� 
�
�
�		����
��� 
��
 
�� �����
 %���	�
��
�� � -�
.�
- �
�
�'
�.
�
�.�/4�
�� 
�� � C���
��< K��
�
� �
� ��
�� 
��
 �%��
��
� 
���� 
� &� C�����
��
��<�
#�� +��
 �����
�&�� ��
�����
��� �
�	%
 
� �� 
��� ��
���
�� �� ��
��	�
�
� 
��
�%
�	�� ��
���3H����1�
 ���	���
��
 ���
� ��� &���� �
 ��	%�
�
� �� -
�������
�� 
� 
�� ����� �� �	������ �
� �� �&
��
�
� 
�� +
�� �����
 ��
�
��
� &� �
&��
��
� %���������*�(
6 &�
�� 	�
������ ���
 �����2�� ���
 
�� �
����� &�
���
 &���
��
� ��L����
 �
�
�%��
��
� ��� ��
�&������� �� ����
 �
 ���� .�.�;� �
 
�� 7�� 
����8 ��	�
���
� 
�� ��
>
���
��
 �� �
�� ��
��� �
 
�� �����
��
 �� 
�� �����
�
 ���	�
 ������
� -� �
� ��
�� 
��
������
���� �� �	������� ��%����� �
������� &� �%��
��
� ������ &� �
���
��%�� ��
� �
���N���
 ��L���
 ���	 2��� �
�� �
 
�� �����
��
 �� 
�� ������
� �����
�
� #���
�

���
��
 �
������� ��	��
�
������ &� ����� �
� $���1�./�.9 �
� ����� �� �	�'B
��
 &� ������� ����	%������ &� 
�1�
� 
�� �
�������� �����
�
� ��
�
��
� ��
�� � �� � ���� � �� �
��
.
�'�������'� ��.�������.�
�-�
 �� �
��
.
��
�-�
���
���
�.�/*�
����� � �� ��
��	�
�� ��� ���� ���	�
 &� 
�� %��������� ���
� �=%������
 7.�..8
���
�
 �� �������A
� � ��%
 � ��
����
'
��
�.�/(�
��
�
�� � �-��
.�
�.�9B��
�
�
�-� � ��.' ��..�'�. ��
����������
����
�.�9B&�
��� ����
�;����� -'�/	�
 �� ��� 6�' ��'��7 
�
������� �	
#�� �&��� �=%������
� %����%%��� 
��
 
�� ������
� ��	%�
�
� �' �
� �. �
 �
%��
������ ���	�
 ��� ��&�
�
����� ��
�
�
 �
� 
��
 
�� ���	�
 ��2� � ��
 &�
�����
�&�� ��+
���
,����� .�* ����� �
 ����	&�� �� ��
��� 
���
���� �
� &���
��� K�������
����� ��� ����
�� ����� 
�� 	��
 �����
�
 ������
�- �� �
����
��� ��
��	�
�
��
 �� 
�� ���	�
 ��2�
� 
� ��� �
 �=%������
 7.�9B8 �� �� ������ ��	����
 ��&�
����� �
 ,��� .�* �� ���� �
��	%�� �� 
�� 	�=�	�	 ��2� �
 
�� �����
��
 �� 
�� ������
� ���
���
#�� ���	 �� �K� 7.�/*8 �� ���� 
��
 
�� C
�
>�
�
����< �����
�
� �� ��� � 2���
�L��
 �
 
�� �����
��
 �
 ����� 
�� ������
� ��	%�
�
 �� 2���� #��� 
�� &���
��
�
��L����
 �� �
�� �
������� �
 
�� �����
��
 �� 
�� �����
�
 ������
� 7��
���
���8
���
�� -� #��� ��
 &� ����+�� �� �K� 7.�/)8 �� ���
�
 �
 
�
������ 7�
������8 
�
�
��
 ��
��
��
���
� �
���
�
�
��
���
�
�� � B �.�9'��
�
 
�� ������
�2�� ���	 
�� C&���
��
� ��L����
< 
��	 S�&
��
�� ���	 �����
�
� 
��
+��
 
��	 �� 
�� �&��� ��
� � �� �K� 7.�/*8T &���	���
�
��
���
����
��
���
�� �.�9'&�
��
�
���� �
�����
�-�
�
.
�.�9'��
#��� �
����
�� � ������ �
���
��%�� ��L����
 ��
� 2��� ���N���
� 
��	�� 
� 
��
��
���
��� ������
� ���
�� �����
��
�� �
 �� 
�������� 
�	�� 
�� ������	��� �	������
��%�����'B�./�.9 �� �
���	��
� �%��
� ��
���3H����1�
 %�������
#�� �
���	��
� ��L����
 ������ ����� �����
�
��
��� �
 
�� �����
��
 
��	�� 
�
�� �
���	��
� 
� 
����� ��
���
 �%%�����&�� ���
��
��
� ������� ��
� 
�� �
�
����
+
�
� ���	�
 �%%��=�	�
��
� ��
��� �����
�
��
��� ��

�
 &� 	������� �
� �
%���
��� ��	� �������
��
� 	�� ������% ���
 
�� ��
�
��
 �=��&�
� C����1 ��1�<
&��������� ,�� 
��� �����
 �
 �� 
�������� 
� ��� ��	� �	��
��
� ��L����
 �
 
��
�����
��
 
��	�� 
� 
�� �
���	��
�� �
� ��	� �
���
���
��� 	�1� �%%��%���
�
������
��
��.)�.(
h
h
U
U1
U2
U
��#� 0�5 � �!�����	�
������ 
��	�����	 �

	���*� +�	�	�� 
�,	 
 ��� 
��	�����	 ���	
����
�
�
 ���)������ 
�
�����
 -'�/	�
�
#�� 	�
��	�
���� ������
� �� 
�� %��������� �
������� �
 
��� ���
��
 ��� &��
��
�&������ &� @��
��
 �� �	�;B ��� � � '� �����
� ��
�����
�� �	%����	�
 ����
�� �
�
���� H����1�
 %������� ������� 
�� %���� ���� 
�
 �
����� �
� �%
�	���
�
�
 
�� �����
��
 �� � ������ �� ����
 &� �K� 7.�/(8�
,����� .�( ����� � 
�%���� ����
��
 �� �K� 7.�/)8� �
����
�
� 
�� ���� �	��� �	��
�� C�����>��
� ��L����
<� ���� ������
� �����
�
��
��� 
� %��%���
� �
 
�� �����
��
 ��
D�� ��
���
 ��&�
�
��� �	����
��;'
6 	��� ��
��
��
� C�%
�	���
�< ��
 &� �������� &� �%%���
� 
�� �=%�
�
���
	������
� ��
�
��
� 	�1�
� 
�� %��&��	 ����>��-��
� #��� �� ������ ������� %��������
�� %��������� �� ���� .�.�/ �
� �� ������ ����	%������ �� 
�� ������
��� ��� ��
�
�
 �
�� ���	�
 ����	&�� ��	��
� �� ������
��� ���� ���	 ���	�
 
� ���	�
� ����
 
��
�=%�
�
��� ��
�
��
�
	 � ������� �.�9.�
��
� �� ����
�
�� �
 
�� ������
� �����
��
 �
 ���� ���	�
 ��
 &� 
�1�
� #��� �%%����
� ���� &��
 +��
 �	%��	�
�� &� ��	%���;' &�
 %��&��	� �������
� 
�� �����
 ��
z
yx
z
yx
(a)
T (y ) T = 0
T = 0
T = 0x
y
 Boundary conditions for test
 problem
U
θ
(b) Solutions for θ = 45° (top) and
θ = 60° (bottom)
��#� 0�? %-��	�����	& ���
	���	
 �� � �!�����	�
����� �����	� �� ���	 
���	
����� .����	�� 	�	�	��
�/�
��� ����
�;����� -'�/	�
 �� ��� 6�' ��'��7 
�
������� ��
������
�
��� �
��� ���� �
�� ����
 
� &� ���������� ������� 
�� �����
� ��� ����
�����
��	���� ���� 
� 
���� �������� &� ��
���3H����1�
 %����������
����� #���� 	
 ����� ������� )#*�+ �

 .
	�� 	
�����
� ��������
)/01+ 	
 ����	
	��
�	�
�� !�������
�
 �� �� �
����
 
� �&����� 
��
 
�� ��	����
 �
��
��� �%%����� 
� 
�� ��
���
��
 ��
�� C�
���	��
�< ��
���3H����1�
 �����
 ��
�
��
� �� �K� 7.�/*8 ��
 &� ������� �� 
��
����
 �K���� H����1�
 %��������� �� ���� .�.�/ ��� �=
�
��� 
� ���� ��
� 
�� 	��
�>
��	�
���
�� �K��
��
� ��	%�� �=
�
���
 �� 
�� �����
�
� ����
 �
 �K� 7.�;)8 
�
7.�/.8 ���� �		����
��� ����� 
�� �����
�
� �� �K� 7.�/*8�
�=
�
���
 �� 
�� H:� 
� 
�� �� 
���� ��	�
���
� ����� 7����
 ���
� �
������

�
�
��
8 �
�
�
�� � ���
���
���
��
��
� ��
���
� �
���
�
�
� ��
���
�
��
�
�� � B �.�9;�
�
 
�� �&��� �K��
��
� ������>����� 
��	� ��� �	�
�� ��� 
�� ��1� �� ��	%����
�� 6� �
�
� ��	�
���
 7�K� .�/B8 �� ���� �
 ����
��
�� �����
�
� 
��	� ��� ����	�
�
� � ��
.�-� �.�9/�
�� �&
��
 �
 ���
���� �
�&���2�
� 
��	 
� 
��
 �� 
�� �
���	��
� ��
���3H����1�
%�������� 7�K� .�9'8�
#�� +
�
� �
���	�
 �������� 	�
��� �
 	��
���	�
���
� ��
 &� ���
�
 ��'4
��
��
���
� �
���
�
�
��
���
�
��� 	�
.
�
���
�
��
��
���
� �
���
�
�
��
���
�
��
�
� B �.�99�
��
� 
��
 
�� ����� �� 	� �� 
�� ��%�
��
 �
 
�� ������
�
� �����
��
�� #� �&
��
�
���	��
�>����
�� �
�&���2�
��
� �� ��	%�� ����	� 
��
 	� �� 
�� %��-��
��
 ����
��
���
� 
�� �
���	��
��� ���
	� � 	
��
�-� �.�9)�
��
� 	 � ��� 6���
� �	�
�
� 
�� ������ ����� 
��	� �
 �� 
�� �
���	��
� ��
���3
H����1�
 ���	 �� �
�&���2�
��
 �� �&
��
�� 7�K� .�9'8� #�� ������ ��
 ������ 
��
&�
� 
�� H:� �
� ,�! %������ 
�� ������
 �����
�
� ��� 
�� ������ 
��	 � �� ��
������ �� ��K����� &� 
�� ��
���3H����1�
 	�
����
0�8 "���

Continue navegando