Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
��� ������ � � ��� ����� ����� � ����� �� � � �� � �� ���� ��� ��������� �� � ��� ������� ��� ���� ����� �� ��������� � ��� �� � � ����� �� �� �� � � � � � ��� �� ������ �� ���� � � �� ���� � � �� � ������ � �� ������ ��� ���� ��� � ����� �� ����!" !���� �� �� ������ �� ���� � � �� ���� � � �� #��� ���� � ������ � �� !� ��� ��� $������ �� �%�� � � ��� �� ���� �� �� !���� � �� ���� � ��%�� � � �� � ������ � �� ����� ��� ��� &� ��� '()' � � '(*(� � �� �&������ �� ��%�� � �� � � �� �� %�� ��� �� ��� �� + � � ��� � ��������� � '()* �� &��� � �� ,�� ��� ��� �� �� �� ������������ ����� ��� ������� ������� �� ����������� ����� � ��� �� �� � ���� �� �-�� -��� �� � ��� +���� #�� ����%�� �� ./ �� ����� ������� � � � � ������ ��������� 0�� 1�����2 �� ���� � � &�� �� +�� ����� ��� 3 � �� ��� �� ��� �������� ��� ��� � � �� ��&� �� � � �� �� �� � �� ������% � � �� �� + � � ��� � � ���� � '(4*� �� &��� � � ,����� �� �� 5���� ����� � � � �� 5���� 6���� � �� � �� ���� �� #��� ��� �������� &� ��� ���� �� �� � ������ � &�� � �� ���� 6���� � �� � �� ���� � 7'(*'8� �� ������ 6���� � �� ���� �� 7'(*98� �� !�� ��� 6���� � �� ���� ��� 7'((*8� � � �� �� �� �� 6���� � �� ���� ��� � ��� 76���� �� ��� :� ���8 7'(((8� � %�&������ �� +�� ��� �� �� ��� &��1 � '()4 � � � �� �� �� �� � �� &��1 � �� ��&-�� � �� '(4'� ��������� ���� ������ ��� ��� �� ;9 �����< �=%���� �� � �� ������ � � � �� �> �� �� �� � ��� ���� � � ����� �� � �� � ����� � �� ����� � � ��� ��� � '((' �� ��� ���� �� � � &�����% � �� ���� �� �� �� 6���� � �� � �� ���� � � ����� � �� �� ��� ����� �� �� � � �������� �� ��&� �� � � �� +��� �� �� %� � �� �� ���� ���� � ��� �%%�� �� �� �� #�?� � � ������� :� ��������� �� � �� ���� � � '((. � �� � '((/� �������� �� $��1���� !� � �� � �� ������ �� ��� ������� &� �� � ������ � �� !������ ��� $��1����� � '((4� ��������� #����� ��� ��� � ,����� � �� ���� 6������ �� ��� !� %� � �� �� ����� ��� � � ���� �� �� ��� ���� �� ,����� � �� � �� � �� �� 6������ �� �� !� %� � �� �� ����� ���� � � ��� ������� �� ��6!� @�� �� ��� � ������ ��������� #����� ��� ��� � ������� �� %� �� %����� � ��� + � � ��� � � ������ �� � ��� ���� � � � >� ��� ���� ��� � �� � � �� ������ ,�6�� �� ���� �����>���� � ����� �� � � �������� � ���� > � �� ,�6� �� �� � ���%��� �� ��� ����� � � �� &��1 � ������� � >�� ��� � � + � � ����� � �� %��&�� �� ,�� ����� � ���A 6 ,� � � ��� � ����� �� �� ����� �� � �%��� ������ 74)9�B;9 %�8 ��� # 5��# ��!� #�� � ������ ��� �� � ��� � �� + � � ��� � � ��� &� �� ����� � "� ���� � � ���� ��� ������ � �� � � � � � ��� �� ������ �� ���� � � �� ���� �� � ������ � �� ����� ��� ���� ��� 7��� �� ����� � "� ���� � � ���� ��� ������� C��� ��� < �� ��%���� �� ��� D�E<� ����������� ������ �� ���� �� ��� ��������� �� ����������� ��� ��� ��� ��������� F��� ;9� ��� /� ''B3''/� 6��� '(((8� ��� ������ � � ��� ����� ����� � ����� �� � � �� � �� ���� ��� ���� ������������ � �� �!"� �!��# $%�"�� &'������' �� %� �'��� ����� � �� ��#����'��# (���'������� ����'� ��' %� �'��� ����� � �� ��#����'��#� �'�� ��� � �'���� &'������' �� ��)� ��#����'��# �� ��'����' �� ��� (�������� ��' %� �'��� ����� � �� ��#����'��#� $��)�'���� �� *� ��� "������ !�+� ��� �' &'������' �� ��� ,'� ���� "���� ��-�'� ��� �� ��)� �� ��)�'�� ���� ��#����'��# $��)�'���� �� �� ���'��� �� �'�� �� �'�� ��� �� ���'��� "G,"5� 6�!�:6�� $"�#"� @" 6����$�5H ��:$"�5�� ��� ��: � $� ����� �> �� � � :� ���� ����� @���� ���� "=���� "G. *�� ..9 �������� 6�� ��� ��&�� � �6 B'*B'>.B/' 6 ������� �� 5��� ����� �� �� � � ��������� �� ��&����� � : � ,��� %�&������ � '()4 &� ��H���> ��� ,�� � ��� �� %�&������ &� $� ����� �> �� � � .BBB � "�!� 0�� 1�����2 � � 5�:� #����� .BBB 6�� ���� � ��������� �� %�� �� ��� %�&���� �� �� &� ��%������� � � � � ����� ��� 7� ����� � %�� ���%�� � �� � ��� � � � � ���� &� ���� �� �� �� � � � ��� ��� �� � �� ��� �� �� � ���� ���� � �� � � ��� ��� �� ��� %�&���� �� 8 �� ��� �� ��� � %�� ����� �� �� ��%����� ������ �=��% � ������� �� �� � �� %������� � �� �� !�%����� � ����� � � � �� � � 6� '(** �� � ��� �� �� � �� � ���� �� ������ &� �� !�%����� :��� �� � 6�� �� : �� (B #� � �� !��� 5���� :� �� � � ��� � �'� ( �� 6%%���� �� � ��� �� ��%����� ������<� ��� � %�� ����� � ��%������ � � %�� �� ��� %�&���� �� ������ &� ��������� � �� %�&������� ������� ������� ������ ��� �� � ��������� !��� 6 �� ������ ������ ��� ��� &��1 �� ������&�� ��� �� $�� ��� :�&���� ������� �� ������� ������ ��� �� � ��������� !��� 6 �� ������ ������ ��� ��� &��1 �� ������&�� ��� �� :�&���� �� !� ����� ��$� B 49B) 9B9B * � ������" ���� ��� ���#������� �� $%&�� ��� $������������ ����� ��� & '������ %����"� �� ������������ ���������� �#��� (������'��� #����) #�%��� &� 6���� �� I #��� ���� #�%��� � �� $��� �� ��� �� � � &�� � &� ��H $��1� : � �� ������� #��� &��1 �� ������ �� � ��� ����� ��� � � ���� :�� � � ��� �� ����� ��� ���� ��%%�� � � %� �� �� ���� � �� %��%��� �� �� ��� &��1� � � ���� � ��� �� ��� � ��� � � � ���������� ��� ���� �� ����� ���� �� ��&� �� � ��� 1 ������� �� �� + � � ��� � � ���� � %�� ������ �� ����� ��1� � � �� ��������� ���� �� " J � � � � ��� ����% � !���� ��� ���� ���%� � ������� � � � ��%%�� ���� � �� %��%��� �� %������� Preface to Volume 3....................................................... Acknowledgements.................................................................... 1 Introduction and the equations of fluid dynamics... 1.1 General remarks and classification of fluid mechanics problems discussed in the book................................................. 1.2 The governing equations of fluid dynamics.......................... 1.3 Incompressible (or nearly incompressible) flows.................. 1.4 Concluding remarks............................................................. 2 Convection dominated problems - finite element appriximations to the convection-diffusion equation........................................................................... 2.1 Introduction........................................................................... 2.2 the steady-state problem in one dimension.......................... 2.3 The steady-state problem in two (or three) dimensions....... 2.4 Steady state - concluding remarks....................................... 2.5 Transients - introductory remarks......................................... 2.6 Characteristic-based methods.............................................. 2.7 Taylor-Galerkin procedures for scalar variables................... 2.8 Steady-state condition.......................................................... 2.9 Non-linear waves and shocks.............................................. 2.10 Vector-valued variables...................................................... 2.11 Summary and concluding................................................... 3 A general algorithm for compressible and incompressible flows - the characteristic-based split (CBS) algorithm...................................................... 3.1 Introduction........................................................................... 3.2 Characteristic-based split (CBS) algorithm.......................... 3.3 Explicit, semi-implicit and nearly implicit forms.................... 3.4 ’Circumventing’ the Babuska-Brezzi (BB) restrictions.......... 3.5 A single-step version............................................................ 3.6 Boundary conditions............................................................. 3.7 The performance of two- and single-step algorithms on an inviscid problems................................................................... 3.8 Concluding remarks............................................................. 4 Incompressible laminar flow - newtonian and non-newtonian fluids......................................................4.1 Introduction and the basic equations.................................... 4.2 Inviscid, incompressible flow (potential flow)........................ 4.3 Use of the CBS algorithm for incompressible or nearly incompressible flows.................................................................. 4.4 Boundary-exit conditions...................................................... 4.5 Adaptive mesh refinement.................................................... 4.6 Adaptive mesh generation for transient problems................ 4.7 Importance of stabilizing convective terms........................... 4.8 Slow flows - mixed and penalty formulations....................... 4.9 Non-newtonian flows - metal and polymer forming.............. 4.10 Direct displacement approach to transient metal forming....................................................................................... 4.11 Concluding remarks........................................................... 5 Free surfaces, buoyancy and turbulent incompressible flows..................................................... 5.1 Introduction........................................................................... 5.2 Free surface flows................................................................ 5.3 Buoyancy driven flows.......................................................... 5.4 Turbulent flows..................................................................... 6 Compressible high-speed gas flow........................... 6.1 Introduction........................................................................... 6.2 The governing equations...................................................... 6.3 Boundary conditions - subsonic and supersonic flow........... 6.4 Numerical approximations and the CBS algorithm............... 6.5 Shock capture...................................................................... 6.6 Some preliminary examples for the Euler equation.............. 6.7 Adaptive refinement and shock capture in Euler problems..................................................................................... 6.8 Three-dimensional inviscid examples in steady state.......... 6.9 Transient two and three-dimensional problems................... 6.10 Viscous problems in two dimensions................................. 6.11 Three-dimensional viscous problems................................. 6.12 Boundary layer-inviscid Euler solution coupling................. 6.13 Concluding remarks........................................................... 7 Shallow-water problems............................................. 7.1 Introduction........................................................................... 7.2 The basis of the shallow-water equations............................ 7.3 Numerical approximation...................................................... 7.4 Examples of application....................................................... 7.5 Drying areas......................................................................... 7.6 Shallow-water transport........................................................ 8 Waves........................................................................... 8.1 Introduction and equations................................................... 8.2 Waves in closed domains - finite element models............... 8.3 Difficulties in modelling surface waves................................. 8.4 Bed friction and other effects................................................ 8.5 The short-wave problem....................................................... 8.6 Waves in unbounded domains (exterior surface wave problems)................................................................................... 8.7 Unbounded problems........................................................... 8.8 Boundary dampers............................................................... 8.9 Linking to exterior solutions.................................................. 8.10 Infinite elements................................................................. 8.11 Mapped periodic infinite elements...................................... 8.12 Ellipsoidal type infinite elements of Burnnet and Holford... 8.13 Wave envelope infinite elements........................................ 8.14 Accuracy of infinite elements.............................................. 8.15 Transient problems 8.16 Three-dimensional effects in surface waves...................... 9 Computer implementation of the CBS algorithm..... 9.1 Introduction........................................................................... 9.2 The data input module.......................................................... 9.3 Solution module.................................................................... 9.4 Output module...................................................................... 9.5 Possible extensions to CBSflow........................................... Appendix A Non-conservative form of Navier-Stokes equations................................................ Appendix B Discontinuous Galerkin methods in the solution of the convection-diffusion equation...... Appendix C Edge-based finite element forumlation... Appendix D Multigrid methods...................................... Appendix E Boundary layer-inviscid flow coupling.... Author index.................................................................... Subject index.................................................................. �� � � .� ��� /���� '� �� � %���� � �����A �� � � ���� ������ � ��� � .� 6 ����� �%%����� � %��&�� � � ���� ��� � ;� H� �����2� �� �� �� + � � ��� � �� ��% �� H����1� >����� �� �������� � � ����� �� �� �%%������� /� ��� � � ���� � � %�� � � ��� 9� 6=��� � ��� � ���� � ������ )� #����>�� � ��� �� � ���� � ������ 4� � ����>� � � +��� %��&�� � 3 ��� �� ��� �� � ���� ��� � � �� � �� %� � ���� D��� D��� � � *� C� � ����< � � C������������< ��� � ���%� �� � �� �A �� � �� ���� �� ����� �� !B �� � �� � (� ��%%�� ��� � � � � � ������ � ���� �� 3 C� + � �< � � C�� ������ �< ��� � � 'B� #�� %� �� �� � ������� � ���� �� � � � � >�� ��� � � ��� � � ''� ��=�� ��� ��� �� � � �� � ��� � 3 �� %�� � +��� � ���� '.� � �� %�����&�� %��&�� �� �=�� � ���� � � � ��� %��������� �� ���� �� ';� ��=�� ��� ��� �� � � �� � ��� � 3 � �� %�� � 7��&���8 +��� � ����� &�� �> ���O#��L 2 � ���� '/� ������� �������� %�������� � � ����� �� � � �� '9� 6��% ��� + � � ��� � ��+ � � ')� ��� >&���� �%%��=� � �� �P ��� � >���� H����1� 3 � � � ��� ������� � ���� '4� #�� � � �� � ��� 3 �� �>������ �2� �� �� +��� � � �� � �� %��&�� � � � � ��� ���� ���� �� %��������� '*� #�� � � �� � ��� 3 ������ � �%%��=� � �� � � � '(� !��%��� ��� � � .B� !� %� �� %��������� ��� + � � ��� � � ������ 6%%� ��= 6� �� ��= ����&�� 6%%� ��= $� #� ���>� ������ � � �� � �� �%%��=� � �� �� ���� ��� � %��&�� � 6%%� ��= !� $���� �K�� �� � �� ���%���� � � ������ 6%%� ��= �� �� � � ���� �� ��� ���� ��� � ��� ��� 6%%� ��= �� �� � � ���� �� ��� ���� ��� � � ������� 6%%� ��= ,� �� � ��� �� ����&�� 6%%� ��= H� � ���� �� &� %�� � 6%%� ��= � ���� �� � �=�� � ���� 6%%� ��= �� �� ��= ����� ���2� �� �� �� %� � �� � � 0� "� � �� ��'����'� �������� '� H� ���� %��&�� � � ����� ���� ��� � � � >�� ���� � .� ���� �� �� � >�� ��� ����&���� �K�� �� � ;� � ���� �� � ������ /� ��� � &� �� � �%%��=� � �� A �� 7�������L8 %�� �� � � !' �� � �� � ��K����> � � 9� C#���1< 5���� ��3�� ��� %�� �� 3 ��������&�� � � �=�� ��� ��� �� � )� ������ �� � ���� &�� �� D� ��� � � 4� 6=��� � ��� ������ *� ������ �� � �%����� ���� �� ����>�� � ��� �� � ������ 3 5���� ��3�� ��� ���� % �� � (� �� �>� ��� ���� + � � ��� � %�������� 3 ��� �� �� ���� �� �� � �� � � � C+ � � � ��%< � ���� 'B� H�� � ������� � >�� ��� %��&�� � 3 + � � ����� � �� ''� �� >�� ��� � ��� ���� %��&�� � 3 ����� ���%���� � � � � � �&��� � '.� ������>����� � � �����3D�=�&�� &����� ';� !� %� �� %��������� ��� + � � ���� � ������ 6%%� ��= 6A � ����� � �� ���� �>����� � ���� &'����� �� �� � � � #��� ���� � �%%���� ��� �� +�� � � � � ��%��� � ��� � #����� %�� �� � ��� &�� �%�� �� ��� �� ���� � ���� � �� �� ���� � ��� �� � � �� �� � �� � � ����� �� ���1� � � �&-�� ��� �� � ��%��� � �� D��� ���� ��� ��� ��� �� � � � �%%���� �� � ��� ���� �� ����� ���� ��� � � ��� %����%� � ����� � ��L��� � ���� ����%� #����� �� � ����� �� � �� + � � ��� � � ��� �� �� �� � �� +�� ���� � 7 �� &����8 �� �� ����� � � �� ���� ����� � �� �� � �=� %��� �� ���� �� ������� " �� � ��� �%%���� �� � � ����� ���� �� ��� �� ��� �� � %����� ���� D�� � � %� � ��� +��� %��&�� � ���� &�� %���� ��� #�� ����� ��� ��� �� �� ��� ���� %��&�� � ��� ����>��-�� � � �� ��� ���� ����>��-�� %��&�� � H����1� %��������� ��� �% �> ��� ,�� ���������� ��������� ��� ��� �� H����1� %������ �� � �� ��� �% � �� � � � �� ���� �� �� �� �� D��� ���� ��� %��&�� � ���� #�� %���� ���� � �� ���� �� � ����� � D��� ���� ��� � � ���� � �� �� �� � ���� � ������� � F��� � '� ������� � �� � ������ ���� � ���� �� � �� � >����>��-�� %��&�� � �� �� ��� �� ����� ��� ���� ��� � D��� ���� ��� %��&> �� �� � �� ��� � � �� �� �� %���� ���� � ����� &� ���� &� � ��� ��� ��� �� ����� �� � �� + � � ��� � � ��� � �� ���� �� � � � � ������ �� � �� ��&-�� �� D��� ���� ���� � �� ��� � � � ���� � � � ��� �� ������� � � �� �� �� ���� + � � ��� � %��������� ������&�� � F��� � ' �� � &� �� ����� � � ������ � ��> ����� � �� + � � ��� � � ��� ������ ��L��� �= � � � �������� �� ���� > � � �� ��� ���� � &� ���� � �� -� � �� �� � F��� � ' � ����� �� �1� ���K�� ������ ��� � D��� ���� ��� ������� ��N��� ��� ������ 7'8 #�� +�� �� �� �� ����� � �� � ����������� � �� � ���� ����������� � �� �� �� �� #����� �� �� ������� 1 ��� %���� �%����� ��N��� ��� � ��� ��� �� ��� � ������� 7.8 ���� � � � ��� ��� � %�� � �� �� ��N��� � � ������� &� �� �� ��� �� ����� ��K����� �� ��� �%������2�� ��� > � � � � �&���2� �� � ��� %�� �������� � �� +��� �� �� %�����&�� ����>�%��� ��� D�� � � �� �� � ��� + � � ��� � �%%������� ��� %����&�� � � �� � ��L��� ����> �� � � ��� ��L��� �� ��� �� D�� ���� &�� ������ ��� 6� ����� ���� ����%� � D��� �� ���� &� ���� �� � &� %��������� �� �� ��� ���� � ���� �� ����� ���� ���� �� ����>�%��� �� �� �� ��%���� �� � � ��%���� �� D�� �� ��K���� � ���� %�� ������ ��� � � � ��� �= �� ����� �� ������ ��� � �� � � ������ � �� ��>������ ������! �������� ���� �� �� 7"�#8� � ������� � ��� ����� ��� &� �� �� ����� � �� � �� �� ��� ������ � �� �%%����&�� � ��� �� ��� �� D�� � � � ���� ����� ����� � ����� ��� � ���� �K��� � ���� �� �%������2�� � ����� �� ����� �������� � ���� � � ������% � � � ���� �� ���� �� � � ��� � �� ���� ���% �� ����� � �� � ������ �2� �� � �� ��%� �� �� &��1 ���� &� ������ � � ������ � �� ������ � �� �� %��= ��&> -�� �� D��� ���� ��� � � � � � � ���� �� ,�� ��� �� ��%� � ���� ���� &� �� ��� � �� �=%���� ��� %��� � �� �� �� �� %� � �� �� D��� �� � ��� 7!,�8 ��� �� + � �� �� %���� � �� �� � ���� � � %��� ���� �%%���� �� � 1����� � #� ���� #�� �� ���� ����� ��1� � �� 1 ��������� �� �� $� ��� ��� ������� �� ��&� � � �� ���% �� � ����� 7!��% �� *8 � ����� �� ��� ��� �� � � ������� � �� � � � ��� ��&�� "� �2 ���� �� � �� +�� �� ���� ��� �� +�� � �%%�� �� !$� ������ � � �������>�� �� �K�� �� �� "�� ��� � ��� ���� ���� � ��������� ���� �� " J � � ��� ���� � �� ��� �� � ���� ������� D��� � �� � �� %�����&�� D�� ���% �� 7!��% �� 98 ���� � � � �� ������� � � ������ ��� �� �� %�������� � ���% ������� � ���� #�� 1� ��� ���� ��� � ��������� @� #� ���� "�� ��� �� ���� � � ������&� � �� ���> �� � ���� H����1� � ��� � � � ��������� 5� � !��� � ����� %�� ���%� �� � ���� �������� ���1 ��� &�� �= � ����� #�� 1� ��� ���� ��� � ��� @�� � �2 �� �� � � @�� �� ��� &� � �� ��&� �� � �� ����� ������% � � ����� � � �� + �� ��� �� �� !$� ������ � � #�� �� �&���� � �� + � � ��� � � � !,� �%%���� �� � � ����>�%��� �� ��� �� > �� � � �� D��� ��� +�� ���� %������ � ��� ��� &� �� �������� �� ���1� � ������� �� � ��������� �� ����� � �� ��� �� � ��� � � ����� ��������� 5�� ��� :�Q � �� � � ��������� @�� � ������� �� ���� �� � � � ���� � ��� ���K�� ������ �� �� ���� �� ��� ���� ��� ���� � ��������� ����� ��� ������ � � ��� "�&�� ���� ��� ���� �� ��&� �� ������� �� �� ������ � � � ������ %�� �� � �� � %�� ������� �� ����� �� �� &��1� #�� ���� ���1 � �� !$� ������ � ��� &�� ���� %������ &� �� +�� �� ��� �� � ��&� � ��� ��%%�� ��� �6�6 7H�� �6H�O.'.4� 6 �� !� ��� �� &�� (B>'//8� ��� �� ��%%�� � � �������> � � � ���% ���� &� ��� ��-�� �� H�% � �� �� ��� ������ ��1 ��������� ,� ���� �� +�� �� ��� 7"�!� 0�� 1�����28 �� �= �� ��� ��� ���� � ��� ���� �� �� ������� ��� ���1�� �� � �� ��� ������� ����� ������%� � �� !$� ������ � � � ��� ��� ���� � �� ���� ��� ���% � ������� � �� %���� ���� �� "!0 � � 5:# �6� ������� � �� �� � �� ��1 ������� � �� F��� � '� &� � �� �� � � @��1�� $� ��� ���� ���%�� �� &� ��� � � � �� ���� ��&-�� � ��= ��� F��� �� ' � � ;� �!� %�� � ������ ���� ��� ��� %����� � � �� ���� ���� �� �� &� �& �� �� � � ��� ��� �� %�&������<� ��& %���A � %AOO����&���� O�� %� �� �O�� ��� &'����� �� �� � � � � (��'� ������ �� ��� �2������� �� 3�� ��� ��� .�. ,���'� '� �'�� �� � ����4������ �� 3�� �������� -'�/ � � ������� �� ���� /��� #�� %��&�� � �� ����� � � D��� &�������� ��� � � � ���%�� � �� ����� � &� � ���� � ������ ����� � � � &� � �� � ����� �� ���%������ #���� �� ������� � � �-�� ��L��� ��� #�� D���� �� � ��%%�� � � ����� ���� � ������ ��� �� D��� �� � ��� � #�� � �� � %������� �� � �� �� %������� � ���� �� &� �������� 6� �� 1 ��� � ������� � ��� � ������ �� �=�� � � �� ����� � ����� �� �� ������ ��%%�� � ��� ���� ������� � ���� �� � %�������� ����� ���� � ������ �� ������� ������% ��� �� D��� �� � � �� � � ���� � �� �� �� D��� ���� ������ &� �� %�� ��� � ���� � D��� �� � ���� �� ����� �������� �� �� �� � � %��&�� � � ����� ���%���� � �� �� � ������ ��� �� � � � � ����� ������ � �� �� �� ������ ���� �� �� �� D��� #�� ����� ���� � ������ ����� �� �� ����� ���� &� ������ ���2�� &� � K�� � � ����� ��� ���� ���� &�� �� � ����� ������ � � ����� �� 1 �� �� �� � �� ������� �� �% � ��� %�� �� �K�� �� � ����� � � D��� D�� � � ����� ���� ��� �%%��� � &� �� ���� �� � �� ������ � ��� �� ��%���� � �� ���%���� � ��� ����� %��������� �� ���� ���� �� �� � �� &��� ������� ���� �� � � ��� ��� ��L��� ��� ���� �� ��� ��� �� D�� ��� � �� � � ������ � 7� ���� � � �8� ���������� ���� ������� ������� #��� �� ��� ��� �������� �� %������� �� � ����� �1� �� D��� ���� ��� �K�� �� � � >����>��-�� � ��� �������� � �� ����� � ���� �� ������ ��� ��� ���� � ���� �� �� �� �� ��� ��� �������� �� �� ������&��� �� ��� � ��� � &� �� ���� ��L��� ��� �� �� ����� ���� ���� #�� ������ ���� �� � &�� �� ��� ����>��-�� ��� �� �� �%%��=� � � � �K�� �� � ������� &� �� H����1� %������ ���� �� � � � ����� � �� � ���� �� � � ��� ��� � � �� �� �% � ��� #��� �� � �� ��� ��� � �� ���� � D��� ���� ���� ����� ��� ���� D��� 7����%� � D���8 �� �� �� �� �� �� ���� �� ����� �� � � D��� ����� �� � � �� �� � ��� %������� �� �� ��� �� ������ �������� � � � ���� �� D��� �� ������ �� %�����&�� �� ��K���� �� �� ������� �� �� �� ������ � ��� �� &� 2���� �� ���� ���� �� � �� ���� %��&�� � � �� �� �= �� ���� ��� � � F��� � ' � � ���� ���� �� ���� � � �� %�����&��� � �� � ��� � ������� ���� ������� ��N��� ��� � �� ��� ��� �� 7!��% �� '.� F��� � '8� � D��� ���� ��� �� �� � ��N��� � ���� ������ � � ��� D��� ���� ��� �%%��=� � �� � ���� � &� ���� �� ��� �� �� %�����&��� � ������ ���� � �� � �� %�����&��� � �� &� �������� #��� %�������� �� ��� �� � � ��� � � ����� ��� � ������� ����% �&��� � ��� &��1 �� ����� � ������ �� ������ � � + � � ��� � ��� � �� �� �K�� �� � �� � �� ��� ������� %��&�� � �� D��� ���� ���� ���� �� �� �� ��� � � D��� ���� ��� ��� ������� %������ � $���� ��%������ ��� ��� �� � � ��� ���� �� � ������ ��� �� ��� 1 �� �� �� $���� �� ��� ��� �K��� !� %� � �� &� ��� �� ���� �� �� + � � ��� � � � � �� �&������ ��� �K��� �� + � � ��L��> � ��� ���� �%%����� � �� ������� � � ��� � � ��� ������ ���% �� �� �� + � � ��� � %������ � D��� ���� ��� �� � � ��� ����� #�� ����� � ��� ��� ��� %����%� �� %��� � ����� ���� ��� �� � ��� ���� %��&�� �� �� ��� � �� �� � �� ������ � �� � �%����� ������� �� #�� � �� ��� �� � ����� � �� � � ��� ���� �� %���� �� &��>��1� ��� � � ���� � ��� � ����� �� � �� %��&�� �� #��� ��� � ���� ��� ������� � ���� �� � �� � �� � ��� ���� � ��� � D��� ���� ���� %��� ������ ��� �� �� �� � �� D�� ��K���� � �� �� ���� �� � ��� �� ��� � � � ���� �%%��=� � �� ��� ���K�� �� ��K������ #��� ����� � ��� �� ����� ��� �� + � � ��L��� ��� � �� '(9B� &����� �� + � � ��� � %������ ��� ��� ������&��� ��> ����� �� �� ���� %�� �� �� � F��� � '� ���� ��� � � ���� ���� �� ��� � �� + � � ��� � %������� #��� � � �� ������ � ����� � � ��� ���� � � ��&� ���� �� �� ��&������� � &� ���� &� ���� %������� � �%%��=� � �� ����� � ����> ��-�� %��&�� � �� ������ ��%����� � �� � ���� �K��� � �� %������� &� + � � ��L��� ���� 6 � �������� ����� �%%���� � ���� ��� �� � � �� ���� � %��� �� �� �� �� + � � ���� ��� ����� ���� � � ����� ������� �� � ��&����� �� + � � ��L��� �� � ����� �� ���� ���� � F��� � ' �� ���� ��� �� %�� � � ��� 1� � �� + � � ��� � ��� � ����� ��&�� �� ������� �� �� ����� �� �� � ��� ��� ���� ��� � ��� � �� ��� �� �%%��=� � �� � ������� ���� �� � � %�� ����� ��� � � �%%��� � � � � ��� ��� ���� #�� �� �� ��� �� �� � �� + � � ���� � �%%��=� � �� �� ����� �� ����� �� �� �� �� � ��� �� ��+�� �� �� � � ��� � � #��� ���� � ����� ���� � �� ���� + � � ��� � � ������ ����� �� ������ �� ����� �� �� ��� �� ����� �� �� �� �� � �� �������� � �� � � ���� &�� ����� �� � ��� ��� � �� #��� �� � ������� ��� �� �� �� ���� �%%��=� � �� �� ��%������ � �� �� � ��� �� ��� &��1 �� ����� &� �������� � ������� ������� �� %��&�� �� ���� �� ����� ��� � ��� �� &�������� � �� � ������ ���� �� � ��� �� � �� �� � � �� %�����&�� D��� �� D��� ����� �� � �� ��� �� �� ���� � �� ���� �� � � ������� �� �� � �� ��� ��� ��� �� %������� 7!��% �� /8� ,�� ���� D��� ���� � �� > %�����&�� �� � ��� � ���� � &� �%%����� ,�� ���� �� � ���� ���� �%����� �� ��� ��� �������� �� �L�� � ��� �� � ������&�� � � �� ���� �� �� &� ������� ��� � ��� ���� %����� � � ���� ������� ��� ���� ��� �� #��� � ���� ��� �� +�� �� ��� �� + � � ��� � ������%��� � � �� +��� �� D��� ���� ��� ��� �� ������ � �� ����� 1 ������� ��� � ��� ���� � D����� � %�� ������ �� ��>������ �� ��� � �1�� D�� �� �� ���� ����� ����� � �� %���> ��&�� &� ���� �� &�������� ������ � � � %�� ������ ����� �� � �1�� D�� �� �� ���� � � �� ��� � � ����� �� � ����� �� � �� ��� &� ������&�� &� � �� � � ������� � &� %�������� � ������� � ����� �� � > �� � �� � � ��%� �� � �� � ��� �� ��� � (��'� ������ �� ��� �2������� �� 3�� ��� ��� ��� �� D��� 7D�� ��� ��� �� 8 �� &� �%%���� ����� �� � %��&�� � ���� �� �� ��� � � �� � ��� �� %��� ��� � � �� ����� ������� �� �= �� � �� �� �� �� �� � �� � � �� !��% �� /� ������� ��� � � �� %�����&�� D��� ��� �� �%��� � ������� �� ��� ��� �� � &��� � � %�� � � ��� �� � � ����>� � � ���� �� � �� � �=�� �� � ���� ��� �= �� ��� � � �&��� #��� ����� �� � ���� %��&�� � �� ���� ������ � ����� �� ���� ��������� � ��� ���% ��� #�� ��&-�� �� ��&��� �� � ���� �� � �� ���� � � ��� �������� �� ���� �� � � � �� ����� ���� � � ���� ��%��+������ � !��% �� 9A ��N�� � ��� �� � %��&�� � ����� ��&��� �� ������� � �� %����&�� � ��� ������� ����� ����� ����� � � D��> ��%� �� ������� �� #�� �� � ���% �� ���� ����� �� � � �� %�����&�� D�� � ����� ����>������� � � � ��� ����� � �� ������ �L�� � ������ � %�� ������ �� ���� �� ���+�� �� � �������� � �� �� ���� ��� ��� �� � ������� �� ���� �� �� %��&> �� � ���� �� �� ������� %�� ��&� �� ������� � ��� ���%�� ��& ��� ��� � �� #�� �= ���� �� D��� ���� ��� � ����� ��� %��� ���� � ���� �� ���� �� �� �� ������ �� �� D�� �� ����� ��� ����� �� �� %�����&��� � �L�� � ��� ��� ������� ��� �� %�����&��� � �� %��&�� >��%� �� � � �&��� �� ��� ���� ����� ���� � �� %������� � � %��� ��� � � �� �� �� � �� �� �������� � ��� �� � ���� �� ����� �� �K�� �� � �� ��� � ����� � � �� � �� �� �� �� � %��� ��� �� &� ������ ��� ���� � � ���� �K�� �� �� �� ������ &� ��� � ��� � �� %�����&�� D��� &� ��� ����� � �� � ���1 �� � ���%�� � �� � �� �� � ��� �� �� D��� #��� �� � �� ���� � �� %�����&�� D��� ����� ���%�� � &� ��� ��� �K�� �� � �� ���� � �� �� � �� %�����&�� D��� �� D�� �%��� �� �=���� �� �%��� �� ��� � � � ��� �� ���� � ����1 ������% � � #��� ��&-�� �� �� �-�� � %�� � �� � �� +��� �� ������ � ��� � � �� ����� ���� � � ��&� � ��� %�� �� !��% �� ) -�� � ��� %�� ������ %��&�� � � � ���� D���� ������� � �� ������ %���� &� � ���� �%���� ���� ������� �L�� � ��� �� + �� � � ����� 2� � � �� ���� � � �� ����� &�� ������ 7 ������� ����8� � ���� ������ �� �� �� ��� �� �� D��� �� &� �� ������� � &� � ������� #���� �� �� �� �� � �� +� �� �� ��>������ ����� D�� � ����� ������� � �� � %���� � � ���� ������� �� %��+�� �� � ��� ���� %����&��� " � ���� �� %��+�� �� �� �� � ����� �� �� %� � ��� D�� � � �� ����� � �� ��� � !��% �� /� � F��� � ' �� ���� ������� ���� �� � ���� %� � ��� D��� � ��� �� � ����� � � ��� � � ������ �� ��� %���� ���� �� �� ��N��� �� $� � ��� �> � ��� ���� ���� �� � ��� � ������ �= � ��&�� � ������ �� %��&�� �� 6 ���� �-�� +��� �� D��� ���� ��� �� � ���� � �� �� �� �� ������� �� �� D��� ����� ����� � ���� �� �� ��� �� ��������� � ����� �� ��% � �� � ��� �� D�� �� ���� ��� ���� �� �� ����2� �� � ��� !��% �� 4 ���� ���� �� � ���� %��&�� � � ����� ���� ����� �� ��� ��&� �� �� %������� � �� ��� ���� ����� �� �� �� �� �����> � � ��� � �������>�� �� %��&�� � � ���� ������� ���� ������ � � ��� �� � � �� �� D�� ������ ���� ���� ��� ���� � ���� ������� ������ � �� %����&�� ��� �� ��� %�� � � � � ��%%� � �� ��� � � ����� ���� �� ��� � � � �� ���� �� ����� � ���� � � � � ��� &����� �� �� ��� �� ���� � ������� � ��� &��1 � ���% �� 7!��% �� *8 ����� � �� � ��� %�� ������ ��%�� �� D��� ���� ���� ���� ���� %�� � � � ��� ���� �%���� �� �� � � ��� %������� %��&�� �� �� ���� ������� �������� � �� %��&�� �� ����� �� ����� � �� �� �= �� �� +�� ���� � �� ��� &��1 � � ���� �� ���� ,���'� '� �'�� �� � ����4������ �� 3�� �������� -'�/ � � ������� �� ���� /��� � �� �� ��� � �� �= �� ��� �� ���� � �� �� ������� �� �� ������ " ��� ����� ���� �� ���� �� �� � �� ����� ���� �� � � � ��� �� ����� � � %����%� �� ��� � ������ �� � !��% �� * �� ��� ���� � ���� &� �L�� ��� � ���%� � ���� ����� � �� � � ��� �� �� � �� ��� ���% �� �� ����� � ������ �� �� ���� �K�� �� � �� D��� �� � ��� ����� ��� �� �� %�����&�� �� � �� %�����&�� D��� ����� � ��� �� %�� ������ �� %��+�� �� ������ � ���� �� ����� �� %��&�� � �� �� �&���� ������� &����� %������� � �� � �� ���� � ��� ������ �2� �� %���������� ����� �� %���� � !��% �� ;� �� �� � ������ �� ��� � �� %��&�� � � ����� �� ��� �� � � ��L���� ����� �� �� � ������� #��� �� ����� �� � !��% �� . �� � �� �%���� �� ��� �� 3��L���� �K�� �� � !��% �� ; ���� � ������ � �� ���� ������ � ��%�&�� �� ����� � �� �� �� D��� ���� ��� %��&�� � � ��� ���� � ��� &��1� 6� ������ ������� � �� ��� ���� ��� � � %����&�� ������ � �P ���� �� � �%������2�� � �� ��� ���� � ��L��� ����� �� �%%���� �� �� ������ �� �� ���� ������ � �� !��% �� ; %������� ����� � ����� ��� � ���� �� ���� �� � ���� �������� &� ��� �%������2�� �� �� �� ���� �� ��� ���� ���� � ��� �� � �+�� �� � �� ����� �= � � ��� �� ��� �%����� �� ����� � � ������ �� � � � � ��� � ���� �� ���> ���� �� � �� � %���� �� .�0 ��� #�)�'���# �2������� �� 3�� ��� ���.�5 ����� �������� �� � #�� ���� ��� ������ ���� �� �� � D��� �� � � � �&��� � � ��� �� ����� � ������ ��� � ��� � ��� � �� ������ � �� C� ����< �� %������� �� %����&��� 6 � � ������ �� �������� �� �� �� � � �� � �� � � � �� ���� ��� � ��%� �� �����&�� �� ��� �� ������ � ��� �� �� ���% �� � ������ � � �� 7�� � �� �� �� � �=�� �������� � �� ��� � � '� .� ;8� ��� � � '� .� ; �'�'� #��� ��%����� �� ���%���� � �����&�� ����� ��� �� %�� ��� � %�� � �� � ����� ���� ���� #�� �� �� �� � ��� ��� ��� �� %�� ��� ����� �� �� �� ���� � ������� �� � � � � ���� ��� ��+ �� � � � �� � ������� � �� �� � + � ��� �� � ��� �� ��� � � ������� � ������� . �'�.� #��� �� � ����>1 �� � ������ ��+ � �� �� � ��� �� �� &� ��� ��� �� �� � ����� �� �� ��� � �� ��� � �� � ��� �� ����� �� ��� �� �� �� � + � � ��� � � ������� �� ���� �� ���� � ��= ��� � ��� ���� ����� � F��� � ' &� ��� �� %�� � ��� �� � �� �� ����� #���� ��� � ��� �� � �� ��� � �� � ��� �� � ���� #��� ��� �� �� ���� &� �� ������� � ��� ��# � � ��''� ��..� . ��'. � � ��''� ��..� ��'. �'�;� � �� �� � ��� � �� � � �� ���� ��� � ���� �� � ��� �A ��# � � ��''� ��..� ��;;� . ��'.� . ��.;� . ��;' �'�/� � (��'� ������ �� ��� �2������� �� 3�� ��� ��� ��� ���� ��� �� ��� � ��� ���� �� �� ��� � �� � ��� �� �� � �� ��� �� � � �'�9� ����� � �� 1 �� �� �� � �� �%��� �� � � �� �� ������ � ���� � �K� 7'�'8� #�� � ����3� ��� ���� �� � ��� � �� ��� 7 �� � �� 8 ��� ��%�� D��� ��K���� �� ��+ � �� �� �� �� � � �� #�� +�� �� ���� �� 1� �� ���������� �������� �� � � �� ���������� ������ �����A �� � �� � � � � ��� ; � . � ��� � � � � ���� ; � �'�)� � �� �&��� �K�� �� �� K�� � � � &���1� � �� 1 �� �� �� ����� ���� � ��� � � � �� �� ��� ��1�� ��� �� � � � ��%�� �� � ��= �� � �� � �� P ��� ��� �'' � �.. � �;; � � ���� ��'' � ��.. � ��;; �'�4� #�� ���N��� �� 1 �� �� �� �� � �� 7�����8 ������� � �� �� %�� ������� � � � �� � ������� � �� ����� ������ � � �� ��� ���� ��� �� #�� ���� � ���� �� �� �� &� ��� �� �� � ���� ��� ��� � � �� ���� � ��� � ��� �� ��� #��� ��+ �� �� %������� �� � ��� ; � �� ���� � B �'�*� ����� � �� � �� ������� ��������� ���N��� � ������� � �� &��1 ������ � �� ��� ���� ��� � � � B �� �� � � ��� ������ � �� %������� � ��%� �� �� �� � ��� �� � 7 � � �� � � B ��� � �����&�� ��+ �� �� %��� ��� ��� �� %�������8� �� �� � ���� ��� ��� � �� C�� � � � ���< ���� �� ��� D���� ��� �K� 7'�)8 � � 7'�*8 �� �� � � . � ��� � � � � ���� ; � � � �� ���� � � � B � �� � � � � �'�(�� �� �� � � . ��� � � � ���� .; � ���� � � � B �'�(&� #���� �� ���� �� :� �R � � �� �� �� � ����� %� � � �� .; � �'�'B� &� ��� ��� �� �� � ���� � � � � � �� ���� �� 7'�(�8 �� &����� #���� �� �� �� ����� �� �&�� �� �=�� � �� �� ���� � ��� ������� � � � �� ����� �1� � ���� B �'�''� � ��� �������� ���� � �� ���� ��� �� � � � ��� ���� �� �� 7 �� ���%%� � �� ��N= � B8 �� � � . � ��� � � � � ���� ; � � � � �� � � � � �'�'.�� �� ��� ���������� � %��� � � �� %�����&��� � ���� � B� ��� #�)�'���# �2������� �� 3�� ��� ��� � � �� �&���� �� � � . � ��� � � � � ���� ; � � �� ��� ��� � ��� ��� � � � � . ; ��� ��� � �'�'.&� 6�� �� �� �&��� ���� �� ���%� ��� � ������� � ���� �� ���� ��� �� �� �� ����� � � ���� �� �� ��� � �� %�����&�� D��� �� ���� ���� � �� �� ��� � !��% �� '. �� F��� � ' ����� ������� � �&���2� �� %��������� ��� �� ������� ��� � �� %�����&�� %��&�� �� �� >�� ���� � �� �� � D��� D��� �� �&������ �� � � ���N��� ��%� �� � � � ��� �� ��� �� ����� �� ���� D��� C � > �� � �� <� ����� ���� �� ������ � �� �� �� D��� �� �� � �� �� &��� �� �� ��� D�� �� � ��� � � � ����� � � � + � ��� �� �� ��� ���� � 7,��� '�'8 �� �K��� � �� �� � �� ��� �� � �� �� � � �� � � ��� � ��� � �� ��#� � � B �'�';�� �� � ���� �� �� ��� ���� ������ � �� � �� � � �� � �� � � �� � �� � � �� � � � B �'�';&� ����� ���� ��� �� ������ � � �� � �� � ��� � �� �� ��� �� &��� �� �� � � � � �� � � ����� �� � ��� �� � ����� ����� � � � � ��� � � �� ��� ���� �� ��� � &� � �K����&��� �� � �� � ������ �� � � � &��� ������ �� x3; (z) x1; (x) x2; (y) dx1; (dx) dx3; (dz)dx2; (dy) ��#� .�. ��������� ��� ���� ��� �� ������ ���� ������ ����� � � (��'� ������ �� ��� �2������� �� 3�� ��� ��� ���� � � �%���� �� %� � �K�� �� �� ��� �� � � ��� �� ����� � � ��� ��� �� � �� � B �'�'/� �� ��� � 7'�'.�8� �� ��� �� � � ��� �� ����� � ���� �� ��� � � ��� � �� � B �'�'9�� �� � 7'�'.&8 � %����� " �� ���� �� �&��� �� � �� ������� &� ��� � �� ���� �� � �� �K�� �� � � ��� ���� ��� A � �� � �� � � �� � �.� � � �� � ��� � � �� � � � � ���� �� � ���� �� � ���� �� � � �� � �� � B �'�'9&� � �� ����� � ���� �� ������ � � ����� � �� ����� �� � � �� � �� �K�� �� � �� ���� '�.�. � � '�.�; �� � ��%� �� �����&��� ��� �� 7 �� ������ �8� 7 �� %�������8 � � 7 �� �� �� �8� #�� ����� ���� � ������� �� ������� ���� ��+ �� &� �K� 7'�'.&8 � �� � �� ������ ��� � � �� �� ��� � � ��%� �� � "&�������� ���� �� � � �����&�� �� � � ��� ��� �K�� �� ��� � � &� ��%�&�� �� ���� �� � ������� �� �� �� �� � �� ���� �� �� � � 7�� � � �� %�����&�� D����8 �� �� � �� ��� ���� �� ���% �� 1� � %������� � � �� �� � �� &� �� �&������ 7�� � ��� ��� �� D�� �� � � ��� �� %�����&��� �8 �� ��� � &��� �� �� %�� � � � �� �����&��� ���� �� ������� �� %������� � �� �� �� � � � � � �&���� � � %��� ��� ��� ��� ���� �� &� � �K�� �� �� � � � �� �� ��� � � ��� �'�')� ,�� � ����� ��� ��� �1��� ��� � � � ��� �� ��� � �� �'�'4� ����� � �� �� � ������� ��� �� � � � � ���� � �� ���� ����� � �� �������� � ��%%�� � �� ����� � � �K�� �� ��� � &� �� �K�� �� �� ������ ������������� #��� �K�� �� �� � ���� �� � ���� ��� �� � �� � ���%���� �� � %������� ���� �� �� � ��� � �� �&�� �� &�������� �� �� ��� � � $����� %������� � �� � �� ������ �� �� �� � ���� �� ����� �� �K�� �� �� �� ��+ � �� � ��� ��� K�� � ���� #��� �� � ������ �� �� ��������� ������ %�� � � ���� #��� �� ��%� �� � �� � � � �� �� D���� ���� � � %������� � � � %��� ��� �� � � ��� � � �'�'*� #�� � �� � ���� %�� � � ���� �� � ������ �� ������ �� 1� � �� � ���� %�� � � ��� � � ��� � � �� ���� . �'�'(� ��� #�)�'���# �2������� �� 3�� ��� ��� ,� ����� �� �� ��+ � �� ����� �� �� � � �� �� � � �� ���� . � � � �'�.B� � � ���� �����&��� ��� ��� � � &� �� �� �� � � ���� �� ���� �� �1� %���� &� �� ��� �� � � &� �� ��� �� 7����� �� �� ��> ���� &�� � �� + �� � &�� ������8� #�� �� ��� ��� ��� D�= �� �� ��+ �� �� �� � �� � ��� � �'�.'� ����� � �� � ��� ��%�� ��� �� �� ��� ��� �� #� �� %�� � �� ���� �� ���% � �� �������� � �� �� � � ��� ������ �� �� #���� �� &� �%���+�� %�� � � ���� � �� �� ��� � ��� ���� ���� �� 7�� � �8 � � �� � ����� �� � ���� �����%� �� ��� � � �� �� � ������� ���� ��� � �K� 7'�'.8� � ��� ��� ���� � � ��� ��� ���� � � ��� � ��� �'�..� #�� &��� �� �� � ���� � � � � ���� � �� �� ��� &� ��� � �� �� �� �� � � ��� � ���� � � ��� � � �� ��� � � � ��� � ��� � � ��� ������� � ���� � �� � B �'�.;�� �� ��� �� %�� �� �� �� � � ��� � ���� � � ��� � � �� ��� � � � ��� ������� � ���� � �� � B �'�.;&� ���� �� %� �� � � � �� ��%���� � �� ���1 �� � &� &��� ������� ����� ��� ������ �� � ����� ������ � #�� ����� � � �K�� �� � ������� � �� %������ � ��� �� � �� &� ��� � � �� �� ���� �� ����� ��� ��� �� �� �����*�+ � , �'�./�� �� �� �� � ��� ��� � �*� ��� �+ � , �'�./&� � ����� �K� 7'�';8� 7'�'98 �� 7'�.;8 %������ �� %�� ������ � ���� � �� ��� ���� #���� �� ��� �� �� � ��%� �� � 1 �� � ��� ��� � &� � � ������ � � ��� ���� � � �� � � � �' �. �; � �������� ������� ������ ������� ��� � ��� ���� � � �� � - � � � � �������� ������� ������ ������� �'�.9�� (��'� ������ �� ��� �2������� �� 3�� ��� ��� �� � �� �'�� � '� �.�� � .� �;�� � ;� ��� �������� ������� ������ ������� �� �� � � �. � �� � �� �������� ������� ������ ������� � � �� �'�.9&� *� � B ��'� ��.� ��;� ���� ���� � � �� ��� ������������ ����������� ���������� ����������� �� *� � B ���� ���� ���� ������� ����� ��� � � � �� �� ����������� ���������� ��������� ���������� � � �� �'�.9�� + � B � �' � �. � �; � ���� � �� �������� ������� ������ ������� �� + � B � �� � �� � �� � � ���� ���� �� � � �� �������� ������� ������ ������� � � �� �'�.9�� �� � �� � � �� ��� ��� � ��� ��� � � � � . ; ��� ��� � #�� �� %�� � �� �� 7'�./8 �� 1 �� �� �� �����&#��'�� �(������� 6 %�� ������ ���� ��� ������� � �� ���� �� � &� 2��� � � � ��� �� ��� �� �=�� � �� 1 �� �� �� C����� �K�� �� < ��� � � � � B�� #�� �&��� �K�� �� � ��� �� &���� ��� ����� ��� D��� ���� ��� � ����� � �� � � � �� � ���%���� � �� � � �� �� � ��� ��� � ��� ���� � �� �� ��� ��� �& �� �� &� �� &� � �� � �� �� ������� �K�� �� ��. #�� �&��� �� ��� �������� �� �� �� � � %��������� �� � ����� ��+ � � �� �� ����� �� �� � %�� � K�� � ���� � ������ &� � �� �� � �� �K�� �� � ��� � � �� ����� �� ��� ���� ����� �� ������ � %��������� �� � ����� ����� � � %��&�� � ����� ����1 ����� � �� ��� ��� %���� � � 6%%� ��= 6� �� ���� � %�� ������ �� �� � >�� ����� ��� �K�� �� � ����� ��� ���K�� �� ����� #���� �� ����� � ���� � &� � �=� %�� �� %����&��� � �� �& �� � � � ������ ���� �� � ��� � ����1 �=�� �� #�� ������ �� �������� ��� #�)�'���# �2������� �� 3�� ��� ��� � ��� �� �� � � �= � � �� ��� �� � >�� ����� ��� �K�� �� � � �� %��&�� � �� ����>�%��� D���� � � � �� ��� �� �� �� � � � �� � � ��� ��� ��� �� �� D�� �� %���� � � � ,�� � � � ��� ���K�� �� �� ������� � �� � �� �� � %�� � �� ����� � �� &�� ������ � ����� ������ ��� ��� �%���+��� ���� �� ����� �� � ��� �� � ����� ��� �� � ��� %������&��A �� ����� ���� � � ��� � �� �&��� �� ��� �� ����� �� ���� �� �� �� �� ���� �� ��� � ���� ����� �� %��&�� �� &� �� ������� ��%��� ��� � �� %�� �A � � �� �� ������� ���� ��� ���� &�� ������ � � � � ��� �� �������� )�* �� ���� �� &�� �> ��� ������ ,�� ���� � � � ����� � � ����>� � � ���� �� �� � ������&�� �� � �� D��� �=��&� � � ��� � ����� ���� � �� �� D�� �� �� �� ������ �� ��� � �� � ��� %����&�� � ��� �� �� ���� ������3� �1�� �K�� �� � �� ��� � � �� � �� �� �� D�� &� �� � � +���� �� ��������� ��%���� � �� �������� � �� #�� ��&-�� �� ���� �� � ��������� � �� ��� � � � ��� ���� � �� ����� �� � ��������� � ���� &���� �� ��1�� #�� ��&��� � � �&��� � �� � ���� � �� �� %�� ������3� �1�� �K�� �� � � � � �� � %�� ��%�� ������ %����&�� � �& �� �� �� ��� � ��&��� � ���� �� ������ � �� �� D��� %������ � �� ��� ��2� �� ��%�&�� �� ��%������ � �� �� �� ������� ���� �� > %� � �� �� ����� %����&��� ��� �= �� ��� ��� �� � � �� �� �� 5�� ���� ������� � �� �� %��� ���� � %�� � ��� #�� � %�� � %�� � ���� � &� ��� �� ��� � � �������� )�* 7����� D��� D�� �� � �� �� � � �� 1 �� 8� ,��� ��� �� ����� �K�� �� � ��� �� � %����� �� ��� ��� ��� A �� �� � ��� ��� � , �� � ���-� �'�.)� � � �� �� ���� �%����� � ���� ��� ���� ���� �� � ���� &� ��������� #���� � ���� ��� �%%����&�� � � ������ �� �� � ��������� � )�*� �� �� ����� ������� � !��% �� )� ���� ���� ��� � �� %�����&�� 7�� ����� � �� %�����&��8 D��� � �� �� � ���� � � ��> ���� � �������� �� �� ��� � �� ����� �K�� �� � � � �� %�� ����>��-�� ��� � �� ����� � �� ��� %� � ��� �%%��=� � �� � !��% �� /� 6� ����� %� � ��� ��� � ��� �%%����&�� ���� � �� %�����&�� D��� �� ����� � ������� �� �� �� �� ��� ���� � ����>�%��� ��%���� �� ������ .�� (��� -'����/ � 6�' ���' � ���� -'����/ �7 3��� �� �&������ ������� �� �� ������3� �1�� �K�� �� � ��� �� %�� �� &� �� �=�� � �� �� � � � � ���� �� ���% ���� � S�K� 7'�')8T � � ��� � 7 �����8 � �� %�����&�� ���� �� � �� ����� ���K�� �� ���� � �� A '� #�� %��&�� �� ��� ��� ��� � (��'� ������ �� ��� �2������� �� 3�� ��� ��� .� #�� ����� �� �� �� � �� ���� � ���� ���� ���� �� � %����� �� � �� ������ � � � �� �� � �� �� �� �� &� ���� �� �� � � � #�� +�� ���� % �� ���� &� ����=��� �� �� ����� ��� �� ��� ������ � �� � ��� �� ���%�� � ��� �� ��%� �� �� �� �� D��� %��%�� ��� � � %��� ���� � ���� ����� �� ����� � ������ �� ���%�� � � ��� ������ ��� �� %��&�� �� �� �� �>� ����� ����� � �� � %��� ���>��%� �� ������� � 7!��% �� 98 ���� &� �%����� �� �� ���� % �� � � ������� �&��� ��� ���� �� �� � ��� ����� ��� � ��� �� %���> ��&��� �� � � � �� �� �� � ��� ��� ���� �� � �� ��K�� �� �� ���� �� ����� �&��� �� ���� �� � %������� ��� ���� #��� �� �� ��� � � � � �'�.4�� ����� �� �� ���� �� &��1 ������� #��� �� &� ��� � �� � � ' �. � �'�.4&� �� � �� � ' �. � �� �'�.4�� �� � � � ��������� � &�� � �� ����� �� ���� ������ �� �K�� �� � 7'�./8 � � 7'�.98 �� �� &� ����� � � � � � �� � ���� �� �%�� 7� � �� �� �� � �� �� ���� ��� 8 �� ' �. � �� � ��� ��� � B �'�.*�� ��� �� � � ��� ������ � ' � ��� � ' � ��� ��� � �� � B �'�.*&� �� � � � '� .� ; ��� ��%���� � � ��� � �� ���� �K�� �� � � ����� �� �����&��� ��� �� � � � ��� � � �� � �� ��� ���� ������ � �� �� ����� � %���� �� �K� 7'�.*�8� ' �. � �� � �� �� � �� �� � � �� � B �'�.(�� ����� �� +�� �� �� ���%%�� ��� �� %�� � � �� %�����&��� � �� � �� � � �� �� � � �� ��.� � � �� ���� � � �� �� � � ' � �� � ' � � �� ��� � � �� ��� � � �� ��� � � �� � B �'�.(&� �� � �� ���� ��� � ��� � � � �� � &� � ��� � ' �� � � � � ��� ��� � ��� ��� � � � . ; ��� ��� � ����� � � � �� �� 1� � � �� ������� �� (��� -'����/ � 6�' ���' � ���� -'����/ �7 3��� �� #�� ������ ���� � � �� �� �&��� �K�� �� �� �� � �� �=��% �� �� �� �� ��� ��� �������� �� �� �� ��� �������� �� ����� ��������� ��� ��� �� �� ����������� � 7�� � ���� � ��������� �8 � ��������� ����� �� ���� ��������� � !��% �� '. �� F��� � '� .�8 ���� � ��# '� �'�� �� ���� �&������ � ��� ���% �� �� � ���� �� �� ������3� �1�� �K�� �� � �� &� ��� � � ���%��� � � &� � �� %�����&�� � � � �� %�����&�� &��������� 6 ��� � ��� � �� ��� � �� ��1� � �� '� ���� �%������2�� �� � �� �K�� �� � ���� �� ���� ����� ����� �������>�� �� D�� �� ������� ���� &�������� 7!��% ��� 9� 4 � � *8 ���� &� �� �� ���� ��� � � � ��� � &� ��%�� �� ����� .� #�� ���� ��� ��L��� �� ��� ����� ���� ��� �K�� �� � � ������ �� � >����> ��-�� �� ��� ��� �� �� $����� %������� � �� � ������ �2� �� � � � ���� �� + � � ��� � ���� �� �� �� ���� D��� �K�� �� �� � �� � %�� � � ������� � ��� �� ��� �� + � � ��� � %��������� ����� ��� �������� � ���� �� � ���� �� ��� ��� �� �%�� �� �� �� ����� �� ��� � �� �= ���% �� ����� � � � ���� ������ �� ��� ���3��L�����3 ���� ��� �K�� �� �� ���������� !���'����� '� !��� $� ������� �� ������������ �� , ��� -�������� !� &����� � ��� ������ '()4� .� � :� &� .������������� ) � ���� !� &����� � ��� ������ '(;.� ;� !� ������ ������� "���������� �� ������� ��� �/����� , �*�� F��� '� ������ !������ ��� '(**� /� ��@� 5����� "����������� , ��� ���������� �� ��� ������ 6�&�K���K��� ��� ��=���� '(4.� 9� � ������� � �� �������� 0���� ������� ����� � ������ :� �� � '(99� )� :��� :� ��� � � ���� :����� 2�, ��� ���������� ����� � ������ :� �� � '(9(� 4� 5� #� � � ��� �����&#��'�� �(������� ��� �> ���� �� '(44� *� ��H� !������ ,��������� ��������� �� , ����� ��H���> ���� '((;� �� (��'� ������ �� ��� �2������� �� 3�� ��� ��� � ���)������ � ����� -'�/ � � 9 4���� � � ��� �--'�:� ������ �� ��� ���)������9 �������� �2������ 0�. (��'� ������ � ��� ���% �� �� ��� �� ��� �� �� � �� � ����>� � � � � �� ��� ���� �� � �� �K�� �� � �� �� �%� �� �� � ��� ��� � �*� ��� �+ � B �.�'� ����� � �� ���� � �� �� &���� ��%� �� � ��� ��>������ �����&��� + �� � ������ �� ���� �� �� ��� �� � � �� )�/ � ����� � � � * ��� ���� �� �� � ����� �.�.�� � � � �� ���� *� � *� � �� ��� � + � +������ �.�.&� � �� �&���� �� � � � ����� � �� � ������ � �� � ��� ���� ������ � �� � � K�� � ��� ������� �� �� � ����� �K�� �� � 7.�'8 � � 7.�.8 ��� ������������ �*� ����� � ��� � &��� �� �� �� K�� � � � �� � � � D�=�� � � � * � ��� � � �� ��� ���� �� ���� �K�� �� � ��� �%���� �� D��� ���� ��� ����� �� ���� ��������� � !��% �� '� 6� ���� �K�� �� � �� ���� ����� � � ��� %������� �� �� �� � ��� ���% �� �� ���� �� � �� �� ���� ��������� �� ���� �%%��=� � � ���� �� � #�� �� %��� ��� �� �K� 7.�'8 � � 7.�.8 �� � � � ����� � �� � ������ � � �� D�=�� ��� �� ��� �� � �� �� #��� � � � + � ����� �� � �� � ��� *� � �� �� ��� �.�;� �� �� ���� � ��� ���� ������ � �� � ������ �K�� �� �� �� ��� �� �� � ������ ��� � � ��� � � �� ��� � �� �� �� � ������ �� � ������ �� � � �� � � �� �� � � � �� � � �� �� � �� � B �.�/� ����� ���� ����� �� �� &���� ���� ��� �� �� �� %���� ���% ��� � �� �&��� �K�� �� �� � �� ���� �� � 1 �� ������ � +���� � �� � K�� � � &�� � �� �%�� �� &� ��� ������ � � � �� ��� ��� � �� �� &� ��L���� �� �� � ����� � �� �� ��L���� ���N��� � � �� �&��� �� �� � ��%���� � � � �= �� �� ������� �� �� K�� � � � &�� � �� � �� � �� ��� � � � ���� �� ���� �� ���� �� ��� ����� � ���� �� ��%� �� � �� �� �� �� �� �� #�� �K�� �� �� &� ����� � � � ����� �� ���+�� ��� � ����� �� �� ��� ��� �� ��� &�� ��L��� �� �� �� �� �� ��� �� ��� � ���� ��� � � ��� � � �� ��� � �� � B �.�9� ������ � � �� � �� �&��� ��� �� %��&�� �� ����>��-�� �� � �� �=��% �� �� � �� ��� ��� �� ����� �� � ����� ��� #�� ���� �� ����%%���� �� �� D�� � ���� �� ���� �� � � ������� �� �� 2���� ���� �� ��� ��� � B ��� � �� ���� � � %����� �.�)� � ��� ������� �� ����� ������� �� ������ �K�� �� � ��� ��� �� ��� �� � � �� �� + � � ��� � �� ����� ��� � �� �%%����&�� � ���� ������ %��&�� � � � ��� � �� �����&�� � �� ��� �� ��� �� 6� � �� !$� ���� �� ����� �� ����� � ������ � !��% �� ;� �� �K�� �� � �� D��� �� � ��� ���� &� �%�� �� �� � �� ������ �� �%�� ������� ����� ��� ��� � �� ��N��� � ,�� �K� 7.�98 � � 7.�)8 �� ���� �� �� ��� �� ��� � � ��� � � �� ��� � �� � B �.�4� �� ���� � ��� ���� ��� �K�� �� � F��� � ' S�K� 7;�''8� ���� ;�'T � �� �� �� �� � ��� �� �%�� � � � � ���� �� �� ���� �K�� �� 7.�'8 �� &� �� �� �� ��������� �(������ �� � � � � �� � ��� �� ���������� � � * ��� ��%����� D�= K�� � ���� �� � �� �����&�� � 7�K� .�'8 &�� � �%%��=� � �� � �� ����� ���A � � �� � &�� � � &� ��� �.�*� �� %��&�� ����� &� %���� �� ������� � �� ����� 7����� �� ��������8 �� �>������ �> 2� �� %������ �� % ����.��� � � , �.�(� &� �� ��� �� � � � ���� H����1� 7$�& ��8 ����� � � �� � ��= . ���� � &� �� � ���� ������� ��� �� � ���� ����� � �� �� %� � �� �� %��&�� �� %���� �� ���)������ � ����� -'�/ � � �� � � ���������� � � � � �&��� ��� � �� ���� �� ����� ������ �� ��&� ���� ��� �� ��� ����� � � �� � �� � #��� ���% �� ���� ������� �� � �� � ����� ���� ��N��� ��� �� &� ������ � � � �� �%%��=� � �� � %������ �� ����� � �� �� ������� �� %��&�� �� ����� � �K� 7.�/8� ���� �� ������ ��� � � � � �� %���� � ��� ��� ��� �� ����� �� � � �� �� � �� ������2�� � �>�� � ��� �� �K�� �� A �� �� �� �� �� � � �� � � �� �� � �� � B �.�'B� #�� �� ������ ��� &�� �� ���� ���� ��� �� %���� �� #�� �&��� ������� � � ���� � � � � � ���� ��� ��L��� ��� �K�� �� A � �� �� � � �� � � �� �� � �� � B �.�''� � ����� �� ����� �� � ���� � �� � � � � � &� �� � � � #�� &���� �� ��% � ���� &� ����� ��� �� �&��� ����� ���� �� �� &� �= � ��� � �� ��� � ��� �� %��&�� �� � ��� ��� � � � �� � ������ �����&��� � ���� �� � �������� �� ����� � �� � �� +�� �%��� ������ ���� ������� � � ��L��� ��� �K�� �� � ����� � � � %��&�� � ����� �� ���� � !��% �� ; �� F��� � ' ���� � � >����>��-�� ���� �%� � �� ��� ��� � � �� %������� �� �� �� �� #�� %���� ���% �� ���� &� ������� � � ���� %�� �� ��� � ����� �� � ������!����� ���������� � �� � � ��� �K� 7.�''8� ��� �� �� � ��������� �� ������ � �� � � ��� �K� 7.�'B8 � � ��� ��� ����� � �� � ��� ��>������ �� � �� �� 6� ����� �� ������ %��&�� ���� �� �� &� ���� �� � ���� � �� ���� �� ��������� �� �� %��������� �� � ���� � �� ������ �� �% � �� � �� ����� ���� ���� ��� &���� � � �� ���� �� �� �� �� ���� ���� �� �K� 7.�'8� �� ����� � �� ������� &���D� �� �= � ��� �� �� � %��������� � �� ��� �� ���� � ��� ��� �� ���� �= � ��� � ��� �� ������ ������ ��� &�'� (� "��� � ����� 0�0 ��� ���� �;����� -'�/ � �� ��� � ������ ����� ���� !��� � �� �� �� ����� �� ����� �� ������ �2� �� �� �K� 7.�''8 �� � � � � �� ��� � &��� �.�'.� ����� �� ��� ���%� �� � �� � � � ��� ��%���� � � �� �� � ��� � 1 �� %��� � ���� ��� �� ����� �1� ���� � &� �� ���� ������ �� �� #��� ����� ��� � �%���� � �� �� ��� � �� �%%��=� � � � �K�� �� �� ��� � �� � B �.�';� ��� ���� �;����� -'�/ � �� ��� � ������ �� ����� �� � �� B ��� ��� �� ��� �� B ��� �� � ��� �� �� �� � �� B ��� �� �.�'/� � � �� �� �� �� �� %��&�� �� B� ���� ,�� �� ��� ���%� �� � �� �� H����1� ����� � � ��� � ��� � � ��� � � �� �K��� ��2� �� �� ���� ��� �������� ������ �� �� � � � � 7,��� .�'8 � �%���� ���� &��� �K�� �� ����� '� ����' � . ��� � ���� '� ����' � ��. � � B �.�'9� ����� �� � �� .� �.�')� �� �� ��� � ��� �� � &��� #�� �&��� ��� � ���� ����� ��� ���� � �� ����� �� ��� + � � ��L��� �� �%%��=� � �� �& �� �� &� %� � � �� �� � ����' � ����' .� �.�'4�� � � �.� ��. � ����' � . ��� � ����' �. �.�'4&� #�� ����&���� �K�� �� � ��� �&������� � >�� � ��� � � � ���� �� ���� �������� �� ������ �� �� �� %��� � �� �� � �������� � ���� �� �� �� ���� ��� � �� �� ��� ��� �� � ��� �� � %�� � ��� �� ���� �� �� %����� ������� ��� � � &���� � ���� �� � �� � ������ � %��&�� � �� ���� � �� �� %�� �=� %�� ����� � �� 2��� �� ,��� .�. �� � ������ ��&����� � � B� 7� ���� �� ���� �� ��� ��� %��&�� �� �� � �� %����&�� ��� � ��� � &�� �� ��� � � � � � ��� ��� �8 "� ������ �� �&��� �� %�� �� � %��&�� �� &�� ���� �� �� �� �� ��� ��L���� �� � � �� � �� � �� ��� &�� ���� �� �� �� �� &� � %���� � � ��� �� ��L���� �� � ��� �� � � �� �� ��� � ��� &�� ���� �� �� �� �� � '� �� ��� � � �� � ���� � ��� ����� �� � ������� ���� ����� ��� �� �=�� ���� �� ' � � '� � ���� '� ����� �.�'*� h h h Ni Ni + 1 i – 1 i i + 1 i + 2 1 ��#� 0�. � ��� �� ��� ��� ���� ��� � �� ���� � ����� ����� �� �� ���)������ � ����� -'�/ � � �� ��� �� &� �� ��� �� �� %��%��� �� �� � ��� � �� �� � �� ����� �� �� ������ � �� �� + � � ��L��� �� %��� � �� ��� ���� �� +�� � ������ � �� &�� �%%��=� � �� %��&�� &� ��� � ���!����� + � � ��L��� ��� ��� �%%��=� � � � �� +�� ������ ����.�9 #��� � %���� �� �K� 7.�'4�8 � � �� � %��� ��� �� �� �%%��=� �> �� ��� %� �� �� �� � ��� � ����' � �.�'(� Pe = Uh/2k = 0 = = (All exact) Pe = 1.0 Pe = 2.5 = (Exact) Pe = ∞ L h 1.0 Standard Galerkin α = 0 Petrov–Galerkin α = 1.0 (full upwind difference) Petrov–Galerkin α = αopt Exact Exact ��#� 0�0 ������������� �� � ����� � � ������� � � ��� � � �� � � � ��� � � �� � � � ��� ������ � � � ���� � � ��� ���� �;����� -'�/� �� ��� � ������ � ��� �� � �� �� ��� + � � ��L��� �� ��� �� �� �%%��=� � �� � �� ����� � � �K�� �� �� ���� &� �K� 7.�'98 � ��.��� '� ����' � �.� .��� ��� � ����' � ��. � � B �.�.B� �� � ��� ��*��� ��L��� �� �%%��=� � �� � ������ �� 7 ����� � ������ ������ �8 ���� �� � �� &� �& �� �� ������ �� ����� �� �� �� ����� � &��� �� �� �=� %�� �� ,��� .�. �� ���� ���� &� ������ ��&����� � � '� ������� �� �=�� ���� ����> �� � ��� � �� �& �� �� ��� %��� �� ��� �� ��� � ��� �� ���� � ,��� .�.� � � �� ���� ��� �� �� H����1� + � � ��� � ��� ����� �=�� ���� � ����� ��� %��� ��L���� � �� �� ���� �%�� � ��L��� �� � &� � ������� � � �� + � � ��� � ���� � � � �� �����2�� � ��� �� %��= �� �� �� �E #��� �� �� %��&�� �� �� ����� �� �������� � � � ���� ���� ���� �� ���� � �� � ����>��-�� �K�� �� �� �� + � � ��� � ���� �� �� ����� � �=�� ���� ������ ��� �� � �>�� � ��� �� �%%��=� �> �� ��� ��� ����� � &���� ����� "������#���� ���$� � ��� �!% � � � �� � � #�� +�� %����&��� � �� �� �� �� ��� �� � �� ���3H����1� �%� �� ����� � � � ����� �� �� ���)�( ���� ����� � �� ���� +�� ������ �� &� 0�� 1�����2 �� � �) � '(49 � � ���� &� !���� �� �� � �4 � %�� ������� ���� ��� ��� � � �� � �� ��� ���%� �� � �� � ��� ���� � ,��� .�'� �� ����� �1�� �� ���� � ,��� .�;� ����� � � �� � �� � �� � ��� �� �� �� �� � �� � ���� �.�.'� ����� ��� �� ���� �� � �� ��� �� � � � . �.�..� Ni ih or Wi * ��#� 0�� � �������� � �� ! �"�� ��� ���� �� � �� � ���� � ��������� ��� �� �������� � ������� � � ���)������ � ����� -'�/ � � �� ��� ��%� �� � � ��� ��� � �� � ������ � ����� �� ������ �� ���� ��� �� ���� F������ ��� � ����� ��� %����&��� &� �� �� �� �� �� �� �� ������� � �� %�� ��+ � �� ����� ��� �� ������� � ����� � ���� �� � �� 7��� �� � � � �� � � �� ��� ��� �� 8A ���� � � � . ��� �� ���� �� �.�.;� �� � �� �&��� ����� � � �� � �� � �� �%%��=� � �� �K������ � �� �� �K� 7.�'98 &��� �� ������� '� � ' ����' � �.� .����� ��� � ������� '� � ' ����' � ��. � � B �.�./� � ���� ��� �� ��� �� �� � � � B �� � � ���� H����1� �%%��=� � �� �� ��������� S�K� 7.�'98T � � �� �� � � � ' �� ���� �%�� ��� ������ � �K�� �� 7.�.B8 �� ������&��� ���� ���� � �=�� ���� ������ ��� %����� ��L����� �� %����� �� ��� ��� ����� ���%�� ������ ��� �� �� ����� �� � �� ����� �� ��� � ��% � �� � ���� � ' ���� �.�.9� �� �=�� ���� ������ ���� &� ���� ��� � �� ��� �� ��� #�� %���� �� ��� �� ���� � ������ �� 4 ��� �� %���� � � �>�� � ��� ��� ���� ����� � �� ���� ���� �� �� ��� � ���� � '� ' ���� �.�.)� ������� ��� ���� �� � ���� ���� ������ #�� ����� � �� ,��� .�. ���� � ���� �� �� � � � B� ���� �� H����1� %��������� ������� �� � ���� ����� ��� ���� � ' �.�.4� ,����� .�/ ����� �� ����� �� �� ��% � � ���� �� � ��� � 6� ����� �� %���� �� �% � ��� � ��� �� �%�� �� � %��� � �� ��� ���� ��� �� ���� �� �� � � ���N��� � � � �� � � ��2� ��� � �� ������ �=�� ������ ���� ���� &� ���� �� � � ��% �� ����� ��� ���� ��� � � ����������� �� ���� �� � �%���� ����> �� � � ,��� .�9'B ��� � �����&�� ������ �� � � ����� �� ��� �� ���N��� � � � ���� � � ��� � ��2��� ���� �� ���� �� �� %���� �� � � � � ���� H����1� ���� �� � ����� � �� ��� ��� �� �� �� ���� � ����� � ������� �� � �� �������� �� � %������ "� ������ � �� �&��� �=� %��� �� �� ���3H����1� ����� � � �� &� �%%���� � ��� �� � �� �� �K�� �� � ��� ��� �� � �� � 7�� � �� %�� + � � ��L��� �� �%�� �� �8 � ���� ��� � ����� � ���� &� �& �� ��� �� ���� � �� + � � ��L��� �� ����� � �� ,��� .�)� ����� ��� ���� � ������ �� '' � �������� �%�� �� � � ����� #�� �L�� �� � � �� ������ �� �� � �%%��� � �K� 7.�./8 ����� � �� �� � � � �� ����� �� �� � &� � � � D�� �� �� � �� � ��� � � ����� ���������� � ��� � ��� �� � ������� �������� #�� ����� � � �� � �� �� 7��� � � 8 � ������� � ,��� .�; �� �� ������ &� ����� � > ���� �� ��� �� �� �� ��&� �� � � �� �� ��� ��� �� � ��� �� ��� �� S��� �K� 7.�'/8T� � ��&��K�� �� �� �� � ��%�� �� �� � �&���� � ������ ��� ���� �;����� -'�/ � �� ��� � ������ �� ���� �� B �� �� �� �� �� �� B ��� ��� �� �� !������ � ��N��� � ������ � �� ����� � �� � � �� ������ �� �� �� �&��� � ������� ������� ��� ������ � � �� ��L���� �� � �� �� ������ � ������ � ���� �� &� %�� � � � ������ � ���� �� � �� �� B ��� �� � ��� �� �� � %���� �� �� ��� �� B �� � �� � � ��� �� � �� ��� � ����� � + � � ���� ����� �� � ����� � ������� #� ����� ��� ��N��� � �� ����� �� ����� � �� � �� ����� %�� �� �� ����� � � �� � �� � ����� *����� �� ��� � ' � � ��� ����� �� ����� � �� � � �� ��� � �� � �� ���� � ,��� .�;���� ����� � ���� �� �� &� ����� ����� � � �� %���� ���� 2��� �� ��&� �� � � �� ��L���� �� � �� � ���� ��%%� � �� ��B �� � ���� �� � �� � ���� � � ���� � ������� ������ ���� ����� &��� � � ���� � � � �� � � #�� �� %����� �� �� ���� �K�� �� � 7.�'98 � � 7.�')8 �& �� �� � � � ���� ��� � � ��� � �� � � � ����� �� �� �L�� �� �� �� ���3H����1� %�������� �� �K������ � �� ��� �� � � � ���� H����1� %������ �� � �� ���� �� �� � ��L���� � � '.��� �.�.*� � �� ����� �� ��L��� ��� �K�� �� 7.�''8� 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 2 3 4 5 6 7 Pe α αopt = coth Pe–1/Pe (optimal) αcrit = 1–1/Pe (critical) ��#� 0�8 ����� �� # ���� $ ��� ������� ���� �� �� %��!���& ����� � � � ��� ���� � �� ���� �� � � � ���� � ���)������ � ����� -'�/ � � #�� ������ �� ������ ������ �� �� � ��� ��&� � � �� � � �� ����� �� �K�� �� � ��� ��� � � �� � %���� �� �K� 7.�''8 � �� �� � � �� � ��� � � �� �� � �� � B �.�.(� �� �& �� � ��� ���� �=%������ � �� �� �K� 7.�./8 %������ � � �� �� � � � � � � � ���� H����1� %�������� �� ����� ��� 15 10 5 0 1 x φ x 104 – d 2φ dx2 + 200 dφ dx = x2 0 < x < 1 φ = 0, x = 0, x = 1 ��� 1.00 0.95 0.90 0.85 1.00 2.0 x φ – d 2φ dx2 + dφ dx = x2 1 < x < 2 φ = 1, x = 1 φ = 0. x = 2 60 x Exact Optimal Petrov–Galerkin Standard Galerkin ��#� 0�< ����� ����� �� ������� ��� � �� ��� � �������� � �� #�������$ �������������' #�$ ������� ��� � �� (������ !��� �� ���� � ��� ) #�$ ������� ��� � �� !��� � ������� �� ��� ���� �;����� -'�/ � �� ��� � ������ �� ���� � ������ ��%����� �� ������ � � %�� � �� �� ���3H����1� ����� � �� %�� �������� � �� �� ���� �� � ��� �� � � ��� �� � %������� ��� � �� � ��%�� � �� �� �� �� ���3H����1� � ����� ������� � ���� � %������ �� ���+�� �� �� ������ �� � ��K������ � � ��� � � � �� � �� �=� %�� �� ,��� .�) ���� ���� ���� ���� ����� � ��� ���� �� � � �� %�� + � � ��L��� ��� �%�� �� �%%��=> � � �� � #�� �� ��% �� ����$��� ��%����� � ������� ���K�� �� � + � � ��L��� �� ����� ��L��� �� ������ ��� �� �� � ����&��1� � � � ���� �� �� � &� ��������� -�� �+��� � �� �� � ���� � �&����� �� � �� ��� ��L��� �� �%%��=� � �� � ��� �%%���� � �� ����� �� �K�� �� � 7�� �� ��� �� �� � � ���� H����1� %������8� ����� &� � ��> ���� � � �������� ��%����� � � �� �K�� �� �� #��� C ��� ���< ��L���� �� ��� ���� &� �� %���� � &��� �� �� � �� ����� ' ��� �� � �� !� � !�� � � �� � � �K�� �� 7.�''8� ����� �� ��� ���� �� ������ �� �� � ����>��-�� � � �� �� �� � ����� �� ������&�� ��� � � ����� �� �� %�� ��%��� ������� � ��� ���� &� H�� � �� � �'. �� � �� � �� %�� � �� � ������ � ����� �� �� %�� ��%�� 7�� � ���� ����>��-�� ��� ����� �� �K������ 8 �� �� �%��� �� �� %�� �� �%���� &� � ��� �&�� �� � �� � #��� �� ��� � � ���1 ��� �� �K� 7.�''8 ���� B � � � �� �� � � �� � � �� �� � �� � �� � B �.�;B� 2 1 0 0 5 10 15 Exact and Petrov–Galerkin (α = 1) solution Finite difference upwind solution x U Q ��#� 0�= � �� ���� � ����� ��� ��� ��� ����� � �� � �� !��� � ������� ��� � �� � ��� �� ���� �� � �������� � �� ��� ��� � ��� �� �� �� � ������� ������� ���� ���� � � ��!�����" "�� �� ������� ����� �� ���)������ � ����� -'�/ � � ����� � ��� �� �� �� � �� �� � ��� #��� ������ � � ���� �� &� %�� ���� B � � �� �� � � � � � �� � � �� �� �� � �� �� �� � � ��� � � �� �� ���� ����� B � B �.�;'� � ���� ��� �� ��� �� �� �%��� �� �� &� ��� ����>��-�� � � � �� � ��� �%%��=� � �� �������� �� �� +�� �� � �K���� &���1� � �� ��� 2��� 7��� ���� !��% �� ; �� F��� � '� ���� ;�''�.� ��� ��� ������ �� 8� #��� ��K����� �� &� ����� �� �� � � � � �� � B �.�;.�� �� �� � �� � � � ������ � �� � � � ��.������� �.�;.&� ,�� ���� � ��� ������%� �� � � �� �=�� � �� �� � ����� �� �� %�� ��%�� �� C&�� < �%%��=� � �� �� �� �� �� H����1� � ��� �� � � � �� � � � ���� �.�;;� � ����� �� ���� � F��� � '� ���� � ��� ��� �� ����� � � � �� � ��� � ����� � ����� �=�� � ���� 7��� 6%%� ��= �� F��� � '8� � �� �������� &� �K������ � �� �& �� �� ������� &� ����� � � � �� �� ���3H����1� � ��� � ��� � � �� �%%��=� � �� �� �K� 7.�;;8 � � �K� 7.�;'8� �� � �K� 7.�;.8 ��+ � � ��� � � ����� � � � ��� �� ���� ��� �� � � �K�� �� �� �� � ���� ����� �� � ��� �� �� ��.�������� ��� �� ��� ��� ��.�������� � �� � B �.�;/� �� � � � � � '� �� � � '� #��� ������ �� �� �� � ����&��� � �%���� ���� �K�� �� A �'� ��.����� ����' � ���.���� � ��.����� ��� � �'� ��.����� ����' � �� . .����� �� �� � �����. � B �.�;9� *���� ��� � ���*� �� � �������� *��� ��� �/�������� 712138 ���� *���� � � ��% ����� � �(2 712148 ��� ��� ��������2 ��� �� ���� � �� ���� ��� �� �� �� � %���� �� �� �% � ��� � �� �� %��%���� �� ���3H����1� ����� � ��';�'/ ������� ������� ����&��1� �=�� � #�� � ������ ������ �� �� �� � ������ �� ��N��� � � �� �K�� �� ��� � � ����� �� � ��� �������� �� � ���� �� �� �� �� �� �� �1� �� � �� � ���� �� � �� �� � ������ �� ����� �� �� � #�� ���� � %�� �� ������ ������ � &� �1� � � &� ����������! ��� � ��+ ��� ��� � � � �� �1� � �� ����� �� � � %�� � ��� � ����� ��� �� �� ��� � ������ � �K� 7.�;98� #��� �� %�� ����&�� &� ���� � � ���� � ���� .�. � � �� �K������ � ����� � �� ���� �K�� �� ��� � ��� &� ����'; ��� �� ������ �� � �� �K�� �� ��� � ������ � &� �� � ���� #�� � ������ � ���� �� ��N��� ��� ����%%���� �� ������� �� �� �� %�� ����� � � �� � �� � %��������� ������� ��� ����� ������� �� %���� �� �K������ �� �� � %�� � �� �� %��&�� �� �� �� � � � �� �% � �� ����� � � �� � �� ��� ��������� ��� ���� �;����� -'�/ � �� ��� � ������ �� ����� #���� ����� ������ �!!��( ��� � )#*�+ � � �� � � � �� %������ � ��� �� � �� ���� ���� �� �������� �%%��� �� ��L��� � �%%������� ���� ����� �� � ��� ���� 7�� �� �� ��� ����8 �%%��=� � �� �� ��� �� � � ��� %�������� �� %���� �� ����� ���� ���� %������ �� ���� ����� �� � ��� � �� &� � �� �� �� � � ���� H����1� � � ���� �K���� �%%��=� � �� � �� ����'9�') �� �K� 7.�''8 �� ����� � �� ���� � B � � �� � &��� �.�;)�� �� � � � � � �� � � �� � � � �� � �.�;)&� �� � � ���� H����1� �%%��=� � �� ����� ��� �� � � �K�� �� �� B ����&������� �� B ��� �� � B �.�;4� �� � &�� ���� �� �� �� � � � �� ��� ����� �� �� ������� � ���� �K���� �������� � � �2� �� 7��� !��% �� ; �� F��� � '� ���� ;�'/�.8 ����� � � � � � ���� � � ' . � � ��� �� B �. �� � �� B ��� ��� � ��� �� ����� �� � B �.�;*� �� �� B � � ��� �� � � �� � � � �� � �� � �� ����� � B �.�;(� �� �� + �� �%%��=� � �� �� ��� � �� � �� ��� �� &� � �� �� �K� 7.�;48 � � 7.�;(8� �� ������ B � �� � �� ��� �� � � � �� � � � �� � �� � �� ����� �� � B �.�/B� #��� �� �� ������� �� �� � �� �� �� ���3H����1� �%%��=� � �� �� � � � �� ��> � �� %��� � �� �� �� �� ���� �>����� �� �� � � �� 7�� ����� &� �� � ���� � � �� ��� �� � � � ��� ��� � �� � ,��� .�;8 � � ��� ��� �� �� �1� � � ���� .��� �.�/'� �� �%%��=� � �� �� ��� ���� � �� �� �� �� ���3H����1� � ��� �� � �� ����� � � ���� &� �K� 7.�.'8 � � 7.�..8� " �� ���� �� ��� �� � �� ���3H����1� ��� ��� � ���� B � �� � ��� . �� ��� ��� �� �� � � �� �� � � �� � � � �� �� � �� � �� � B �.�/.� �� ���)������ � ����� -'�/ � � �� � ����� �� ������� ��� ������� �%%�������� ����� � �� �� ����� �� �� ��� �� ���� .�.�/ �=%���� �� �� �� � �� �� ����� �� � �� ������ �% � ���� &� ����� � ��� �� � ��� ������ �� � ��� ����� �� �� �� � �� &� � � ���������� � ������� ����, -$� . �� ����� � �������� )/01+ ��� ���� � 2 � �$� �� ���� ��� ���� � ����� � � � �� � � 6� � �� �� � �� %������� ��� �� �� ���� ��� � � %��������� ����� ���� ��� ���� ����� � � ���� �� �� �� ���3H����1� �%%��=� � �� �� �� ����� ���� + � � � &�� �� ���� %��������� ����� � ����� �� ��� �� �� ��� ��� ��� �� � ��������� � ��� �� �� ��� ���% ��P ������� ���� �� � � ��� ��� �� %�� %������ ����� �� &� �%%���� ����� �� � �� � ����>� � � �K�� �� � #��� %������ ��� ������ �� &� " J � � � '((*'4 � � �� ����� ������&� � � &���� &����� �� ����� � �� � �� � ��� ����� �� �� ����� �� �K�� �� �� �� �%� ���� &� �K� 7.�98 �� �������� ��� � � ��� �� �� ������ � � � + � ��� �� �� ��� ���� � �� �� � � C��< ����� �� ��� � � 2���� �� ����� �� ����� � + � � �� � � � �=%� �� � � � � ������ ����� &� #����� ������ 7&��1�����8� �� �& �� � � ��� �� �K� 7.�''8 �� �� �� � � �� � � �� �� � ��� . � �� �� �� � � �� � � �� �� � �� � � B �.�/;� �� � &�� � �� + � � ��� � �� ����� �� � ����� �� �� �K��� � �� �� �� ��� � ��2� �� 5����� �� � �� � � � ��&� � � � � � �� �� ���� � �� �� � � �� �� �� ��� . � �� �� � ��� . �� �� � B �.�//� � �� �&��� �K�� �� �� ���� � � �� �� ������ ����� �=%� ��� ��� �� ��L���� �� �� � �� %������� ��� �� � ,�� �� ��� �K�� �� �� ��� � ���� ��� �� � � �&���2� � �� ��� &�� ��������� � � �� ���� �� �� �� ����. �� ��� ���� � �� �� �� �� ���3H����1� ��� 7�K� .�.*8� #���� �� � ��� � %������ ��� ��� � � �� ��� ��� �� %�� �� + � � � ��� � %�������� ��� ���� ������� �=�� �� �� �� � ����� &� �� %�� ������ � �� �� ���> �� �� ��L��� ��� �K�� �� �� � ������ �� '4 � �� ���� ��� ��� �� ���� � � �� &� &����� � �� �� � � � �� &�� � %�������� �� �% � �� ����� �� ���� ������� �& �� �� &� � ���� � �� �� ���3H����1� � ���� ����3 4 �$��5�� �� �!!��( ��� � � #�� ������ �� �� ������ � �� ���3H����1� %��������� ��� �� �� ��� ��� ��L���� �K�� �� �� �� ������ %����&�� ��� � � ����� �� + � � ��� � �=%� ��� � � ������ �� ( �� ���� � � 0�� 1�����2 ���� ��� �� %�������� �� � ���� � �=�� ������ � ���� �� � �� ����� �% � �� �%�� � %��� � ��� ��� K����� �� ���%� �� � �� �� ������� ���� �� �� %��� �%%����� � ������ �� %��������� �� ���� .�.�/� ����� ��� ���� �;����� -'�/ � �� ��� � ������ �� ��� ������&�� �� ������ ��� � � ��� � �=%� ��� � �� �� ���� &������ ���� ������ ���� � �% � �� �%%��=� � �� � �� ��� ���� � � �� ������ � %����� �� �=� %�� ��������� � �� ��� �� � �� &� �= � �� � �K� 7.�;/8� � ������ � � �%%��%��� � �K�� �� �� 1� � �� �� K����� �� ��� � � �� ,��� .�4� ,�� %��� ���� %��%���� ��� ���� ��� � � � �� %����&�� � �= � � �� �� ���3H����> 1� ����� � � �� �� �%� ���� � �K� 7.�.'8 � 7.�.;8 �� ��� � ��% � �� ���� ' �� � � ���� � � � / ��� �� ���� �� �.�/9� #��� %��������� ����� � �� �=�� �� �� ��� �� ��� ��� � �� �� ���� �L�� ��� � � ��� &�� ���� �� � ������� ��� ���� �� �� ������3� �1�� �K�� �� ��'* � ���� ������ �� ��&-�� �� �% � �� �%�� �� � ��� ������>����� �%%��=� � �� � ��� &�� � ����� ��� ��� � � ������� ������ ��� ���� �� ������% � ��'(�.B � �� �� � ���� � �� ��1 �� �� %�������� 1 �� �� �� ������������� 5� ��'�� � ��� ������ �� �� �� ��N��� ��� �� ����� � �� � ������>����� �%%��=� � �� �� #��� %�������� ��� ���� �� �%%���� � �� ��� �� 3��L���� %��&�� � � � � ���� � � ��� %��&�� � �� D��� ���� ��� &� "�� � � �����1����.'�.; 6� �� � �������� �� � ������&�� ��� ����� %��� ���� ����� �� � � � �� �� � � ����� �� �� ���� �� �� � ��� ���� &� ��� �� %�� � ��� �� ���� � � ������ �� � 6%%� ��= $� 0�� ��� ���� �;����� -'�/ � �� ��� 6�' ��'��7 � ������� ����� #� ���� ����� � � �� ����� �� �� �%%���� �� �� � � ���� H����1� ������ �2� �� � �� � ����>� � � ������ �� ��� �� 3��L���� �K�� �� � ������� �%��� �� � ��� � �� �� ���� � �� %��&�� ��������� %��������� � � � �� � ��� � � ���� ���� ����� � �� ����� ��� � ����� �� � ���� ������� �� ��� ����� ����� � &��� ���� �� �� � � �� #�� �K�� �� �� �� ������� �� �� � ����>� � � ������ �� �K� 7.�48� ���� �� �� �� ��� �� �� � � �� � � �� �� � � � �� � � �� �� � �� � B �.�/)�� i–2 i–1 i i+1 i+2 hh Ni Ni+1 ��#� 0�> � ���* �� �� ���� � ����� (������� � � �� � �� ���)������ � ����� -'�/ � � � �� �� � ��� � �� ��� �� ������ ��� � � ������ � � �� �� �� ��� � � ��� � � �� ��� � �� � B �.�/)&� � &� � �� � � ���� �� � ��� �� "&������� �� %��&�� �� �� �� ���� �� %��� ���� � ���� �� �� � �>�� � ��� �� ���� �� ��� ���������� � � � �� ����� ��� ���� �� �� � %�� � � 6��� � ��� �� �� %����&�� �%%������� �� ���� ��������� ��� �%%����&��� ����� ������� � )6!% + "������#���� %� �$� � )�6"#+ #�� �� �&����� %�������� �� � ��� ���� �� � ��� �� �� ���3H����1� � ��� �� �� �%� � ������� � ���� .�.�. � � �K� 7.�.'8 � 7.�.98� ���1� � �% � ��� � �� � � �� � ������ �� � ��� 5�� ��� � � � � �� ���� � ��>�� � ��� �� �� � � � ���� ��� �� �� ����� %��� � �� �� � -� .� - � � �' �. � �.�/4� �� �� � C��� ��< K�� � � � � �� �� �� �%�� �� � ���� � &� C����� �� ��<� #�� +�� ����� �&�� �� ����� ��� � � % � �� ��� �� ��� �� �� �� �� � � � �� �% � �� �� ���3H����1� ��� ��� �� ��� � ��� &���� � �� %� � � �� - ������� �� � �� ����� �� � ������ � � �� �& �� � � �� + �� ����� �� � �� � &� � &�� �� � %���������*�( 6 &� �� � ������ ��� �����2�� ��� �� � ����� &� ��� &��� �� � ��L���� � � �%�� �� � ��� �� �&������� �� ���� � ���� .�.�;� � �� 7�� ����8 �� � ��� � �� �� > ��� �� �� � �� �� ��� � �� ����� �� �� �� ����� � ��� � ������ � -� � � �� �� �� ������ ���� �� � ������� ��%����� � ������� &� �%�� �� � ������ &� � ��� ��%�� �� � � ���N��� ��L��� ��� 2��� � �� � �� ����� �� �� �� ������ � ����� � � #��� � ��� �� � ������� �� �� � ������ &� ����� � � $���1�./�.9 � � ����� �� � �'B �� &� ������� ���� %������ &� �1� � �� � �������� ����� � � �� � �� � �� �� � �� � ���� � �� � �� . �'�������'� ��.�������.� �-� �� � �� . �� �-� ��� ��� �.�/*� ����� � �� �� �� � �� ��� ���� ��� � &� �� %��������� ��� � �=%������ 7.�..8 ��� � �� �������A � � ��% � �� ���� ' �� �.�/(� �� � �� � �-�� .� �.�9B�� � � �-� � ��.' ��..�'�. �� ���������� ���� �.�9B&� ��� ���� �;����� -'�/ � �� ��� 6�' ��'��7 � ������� � #�� �&��� �=%������ � %����%%��� �� �� ������ � �� %� � � �' � � �. � � %�� ������ ��� � ��� ��&� � ����� �� � � � � �� �� ��� � ��2� � �� &� ����� �&�� ��+ ��� ,����� .�* ����� � ���� &�� �� �� ��� ��� ���� � � &��� ��� K������� ����� ��� ���� �� ����� �� �� ����� � ������ �- �� � ���� ��� �� �� � � �� �� �� ��� � ��2� � � ��� � �=%������ 7.�9B8 �� �� ������ �� ���� ��&� ����� � ,��� .�* �� ���� � �� %�� �� �� �=� � ��2� � �� ����� �� �� �� ������ � ��� ��� #�� ��� �� �K� 7.�/*8 �� ���� �� �� C � >� � ����< ����� � � �� ��� � 2��� �L�� � �� ����� �� � ����� �� ������ � �� %� � �� 2���� #��� �� &��� �� � ��L���� �� � �� � ������� � �� ����� �� �� �� ����� � ������ � 7�� ��� ���8 ��� �� -� #��� �� &� ����+�� �� �K� 7.�/)8 �� ��� � � � ������ 7� ������8 � � �� �� �� �� ��� � � ��� � � �� ��� � �� � B �.�9'�� � �� ������ �2�� ��� �� C&��� �� � ��L���� < �� S�& �� �� ��� ����� � � �� +�� �� �� �� �&��� �� � � �� �K� 7.�/*8T &��� ��� � �� ��� ���� �� ��� �� �.�9'&� �� � ���� � ����� �-� � . �.�9'�� #��� � ���� �� � ������ � ��� ��%�� ��L���� �� � 2��� ���N��� � �� �� � �� �� ��� ��� ������ � ��� �� ����� �� �� � �� �������� � �� �� ������ ��� � ������ ��%�����'B�./�.9 �� � ��� �� � �%�� � �� ���3H����1� %������� #�� � ��� �� � ��L���� ������ ����� ����� � �� ��� � �� ����� �� �� �� � �� � ��� �� � � ����� �� ��� �%%�����&�� ��� �� �� � ������� �� � �� � � ���� + � � ��� � �%%��=� � �� � �� ��� ����� � �� ��� �� � &� ������� � � � %��� ��� �� � ������� �� � �� ������% ��� �� �� � �� �=��&� � C����1 ��1�< &��������� ,�� ��� ����� � �� �������� � ��� �� � � �� �� � ��L���� � �� ����� �� �� �� � �� � ��� �� �� � � �� � � ��� ��� ��� �1� �%%��%��� � ������ �� ��.)�.( h h U U1 U2 U ��#� 0�5 � �!����� � ������ �� ����� � ���*� +� � �� �, ��� �� ����� ��� ���� � � ���)������ � ����� -'�/ � � #�� � �� � ���� ������ � �� �� %��������� � ������� � ��� ��� �� ��� &�� �� �&������ &� @�� �� �� � �;B ��� � � '� ����� � �� ����� �� � %���� � ���� �� � � ���� H����1� %������� ������� �� %���� ���� � � ����� � � �% � ��� � � �� ����� �� �� � ������ �� ���� &� �K� 7.�/(8� ,����� .�( ����� � �%���� ���� �� �� �K� 7.�/)8� � ���� � � �� ���� � ��� � �� �� C�����>�� � ��L���� <� ���� ������ � ����� � �� ��� � %��%��� � � �� ����� �� �� D�� �� ��� ��&� � ��� � ���� ��;' 6 ��� �� �� �� � C�% � ��� �< �� &� �������� &� �%%��� � �� �=%� � ��� ������ � �� � �� � �1� � �� %��&�� ����>��-�� � #��� �� ������ ������� %�������� �� %��������� �� ���� .�.�/ � � �� ������ ���� %������ �� �� ������ ��� ��� �� � � � �� ��� � ���� &�� �� �� � �� ������ ��� ���� ��� ��� � � ��� � � ���� �� �=%� � ��� �� � �� � � ������� �.�9.� �� � �� ���� � �� � �� ������ � ����� �� � ���� ��� � �� &� �1� � #��� �%%���� � ���� &�� +�� � %�� � �� &� �� %���;' &� %��&�� � ������� � �� ����� �� z yx z yx (a) T (y ) T = 0 T = 0 T = 0x y Boundary conditions for test problem U θ (b) Solutions for θ = 45° (top) and θ = 60° (bottom) ��#� 0�? %-�� ����� & ��� ��� �� � �!����� � ����� ����� � �� ��� ��� ����� .���� �� � � �� �/� ��� ���� �;����� -'�/ � �� ��� 6�' ��'��7 � ������� �� ������ � ��� � ��� ���� � �� ���� � &� ���������� ������� �� ����� � ��� ���� ����� �� ���� ���� � ���� �������� &� �� ���3H����1� %���������� ����� #���� ����� ������� )#*�+ � . �� ����� � �������� )/01+ ���� �� � � �� !������� � �� �� � ���� � �&����� �� �� �� ���� � �� ��� �%%����� � �� �� ��� �� �� �� C� ��� �� �< �� ���3H����1� ����� �� � �� � �� �K� 7.�/*8 �� &� ������� �� �� ���� �K���� H����1� %��������� �� ���� .�.�/ ��� �= � ��� � ���� �� � �� �� �> �� � ��� �� �K�� �� � �� %�� �= � ��� �� �� ����� � � ���� � �K� 7.�;)8 � 7.�/.8 ���� � ���� ��� ����� �� ����� � � �� �K� 7.�/*8� �= � ��� �� �� H:� � �� �� ���� �� � ��� � ����� 7���� ��� � � ������ � � �� 8 � � � �� � ��� ��� ��� �� �� � �� ��� � � ��� � � � �� ��� � �� � �� � B �.�9;� � �� �&��� �K�� �� � ������>����� �� � ��� � � �� ��� �� ��1� �� �� %���� �� 6� � � � �� � ��� 7�K� .�/B8 �� ���� � ���� �� �� ����� � � �� � ��� ���� � � � � �� .�-� �.�9/� �� �& �� � ��� ���� � �&���2� � �� � �� �� �� � ��� �� � �� ���3H����1� %�������� 7�K� .�9'8� #�� + � � � ��� � �������� � ��� � �� ��� � ��� � �� &� ��� � ��'4 �� �� ��� � � ��� � � �� ��� � ��� � . � ��� � �� �� ��� � � ��� � � �� ��� � �� � � B �.�99� �� � �� �� ����� �� � �� �� ��%� �� � �� ������ � � ����� �� �� #� �& �� � ��� �� �>���� �� � �&���2� �� � �� �� %�� ���� � �� � �� �� %��-�� �� ���� �� ��� � �� � ��� �� ��� ��� � � �� �-� �.�9)� �� � � ��� 6��� � � � � � �� ������ ����� �� � � �� �� � ��� �� � �� ���3 H����1� ��� �� � �&���2� �� �� �& �� �� 7�K� .�9'8� #�� ������ �� ������ �� &� � �� H:� � � ,�! %������ �� ������ ����� � � ��� �� ������ �� � �� �� ������ �� ��K����� &� �� �� ���3H����1� � ���� 0�8 "���
Compartilhar