Estatística Experimental no Rbio_ Bhering e Teodoro_publicado

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Leonardo Lopes Bhering
Paulo Eduardo Teodoro
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL NO RBIO
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Revisão de Texto: Os autores
DOI: 10.31012/ 978-65-5861-360-2
Órgão Financiador: Obra financiada pela Capes
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
Bibliotecária: Maria Isabel Schiavon Kinasz, CRB9 / 626
 Bhering, Leonardo Lopes 
B421e Estatística experimental no Rbio [recurso eletrônico]
 Leonardo Lopes Bhering, Paulo Eduardo Teodoro –
 1.ed. - Curitiba: Brazil Publishing, 2021. 
 
 ISBN 978-65-5861-360-2
 
 1. Estatística. 2. Pesquisa experimental. I. Teodoro,
 Paulo Eduardo. II. Título.
 
 CDD 519.5 (22.ed) 
 CDU 519.2
[1ª edição – Ano 2021]
www.aeditora.com.br
Aos meus pais, José Antônio Bhering e Maria do Carmo 
Lopes Bhering pelo exemplo de vida e educação;
À minha esposa Luana Vieira Toledo pelo 
companheirismo e motivação diária.
Leonardo Lopes Bhering
Aos meus pais, Maria do Carmo Severino e João 
Adamastor Teodoro, pessoas simples, que sempre 
me apoiaram e me ensinaram que a coisa mais 
importante na vida é o conhecimento e a educação; 
À minha esposa, Larissa Pereira Ribeiro Teodoro, pelo 
amor, carinho, companheirismo e compreensão.
Paulo Eduardo Teodoro
PREFÁCIO
Este material apresenta procedimentos estatísticos com larga 
aplicação nas diversas áreas da pesquisa e em atividades de ensino, 
graduação e pós-graduação na análise de delineamentos experimentais. 
As análises estatísticas têm sido utilizadas para a comprovação proba-
bilística da veracidade de determinada hipótese formulada com base 
em extensivos estudos e investigada a partir de resultados encontrados 
na pesquisa, bem como apresentar suas descrições de forma resumida, 
sem perda de informações relevantes. 
Apresentam-se ao leitor os mais diversos procedimentos da esta-
tística experimental e os cálculos de todos os delineamentos experimen-
tais, de forma a oferecer um conteúdo capaz de auxiliar o pesquisador 
a fazer a escolha correta do delineamento experimental a ser utilizado 
bem como, através das análises, interpretar seus resultados, podendo 
avaliar após isso se existe diferença entre os tratamentos, se o experi-
mento foi bem conduzido, se aquela população avaliada tem potencial 
para seleção em um programa de melhoramento genético. 
Além disso, devido à grande quantidade de dados gerados pelos 
experimentos, normalmente torna-se difícil a sua execução sem um 
auxílio de um computador, desta forma, o material contém ainda os 
scripts para que o leitor possa repetir as análises realizadas no material 
em computador. O script disponibilizado é para utilização do software 
livre R, que é o mesmo utilizado pelo software Rbio (Bhering, L.L., 2017). 
Os softwares são aplicativos computacionais capazes de reali-
zar tarefas com grande volume de informações, facilitando o processa-
mento de dados. Seu objetivo é substituir as atividades complexas, que 
deveriam ser realizadas manualmente com auxílio de uma calculadora, 
por computadores com alta capacidade de processamento, podendo 
proceder análises complexas, tornando sua execução prática e eficien-
te, sem erros.
O desenvolvimento de aplicativos em todas as áreas de pesqui-
sa torna-se essencial, pois facilita e muito o processamento dos dados, 
seja na área médica, humana, agrária, dentre outras.
O uso de softwares na análise de dados provenientes de deline-
amentos experimentais é de fundamental importância, pois possibilita 
ao pesquisador analisar em curto prazo um grande volume de dados, 
sendo necessário apenas a interpretação destes dados. Existem diver-
sos softwares estatísticos para este tipo de análise, alguns famosos 
como SAS, ESTATISTICA, SPSS e STATA são excepcionais softwares, 
porém, existe a necessidade de compra da licença. Dessa forma, será 
apresentada aqui apenas os scripts para análise no software R / Rbio 
(R Development Core Team, 2008). O software R é um software livre 
para análise de dados criado em 1996. Além de livre, ou seja, o usuário 
pode ter acesso ao código fonte de todas as rotinas, o software R é gra-
tuito, portanto o usuário não tem a necessidade de comprar a licença, 
necessitando apenas fazer download do mesmo no website (https://
www.r-project.org/). Além da vantagem citada anteriormente, desta-
ca-se ainda que o usuário encontra diversos materiais na internet so-
bre como usar o software, desde o processo de download, instalação, 
até realizar diferentes tipos de análises, e também é um software com 
versões para sistema operacional Linux, Windows e MacOS.
Outra sugestão que se faz é que o usuário faça também down-
load do Rbio (Bhering, 2017) disponível no website (http://www.
biometria.ufv.br/). Esse é um software gratuito. No caso do Rbio ele faz 
uso do R para proceder as análises. A grande vantagem para o usuário 
fazer uso do Rbio é que ele fornece os scripts para as análises via R de 
todo o seu conteúdo, então se torna um repositório de scripts R.
https://www.r-project.org/
https://www.r-project.org/
http://www.biometria.ufv.br/
http://www.biometria.ufv.br/
Encontram-se ainda neste material os scripts para cada tópico 
abordado anteriormente, bem como as saídas correspondentes que 
o usuário deve confrontar com a teoria já informada. Os arquivos de 
exemplos para cada análise estão localizados numa pasta chamada 
“ebook”, localizada dentro da pasta “_Rbio”. Esta pasta é baixada 
junto com o software Rbio e deve ser colocado dentro do “c:”, de 
forma que o caminho para acesso aos arquivos no Windows seja: 
“c:\_Rbio\ebook”. Todos os arquivos aqui usados são com extensão 
“.txt”, porém, os usuários podem criar seus arquivos em outras pastas 
e com os nomes diferentes. Para várias análises, faz-se necessário a 
instalação de pacotes específicos usados pelo software R, nesse caso 
o comando “library(nome_pacote)” é realizado antes da realização 
da análise para carregar o referido pacote. Caso esse pacote nunca 
tenha sido instalado no computador, sua instalação faz-se necessária, 
e para isso o usuário deve digitar “install.packages(“nome_pacote”)”. 
Adicionalmente no final do ebook consta algumas tabelas estatísticas 
comumente utilizadas nas análises estatísticas.
É importante enfatizar dois aspectos existentes no material. 
Primeiro, todos os exemplos são com poucostratamentos e repetições 
de forma proposital, para que fosse fácil a realização das operações 
matemáticas passo a passo, mesmo que devido a isso, o experimento 
fosse de baixa qualidade por ter poucos graus de liberdade no resíduo. 
O segundo aspecto, é que priorizou utilizar o “.” como símbolo decimal, 
apenas para que pudesse ficar igual a saída dos softwares.
Os autores agradecem quaisquer críticas, sugestões e eventuais 
correções que, certamente, irão contribuir para a melhoria desta obra.
ABSTRACT
This book deals with a set of analyzes that can help the student / 
researcher to analyze the data of their academic and professional 
research. With theory and application, in a small and didactic example. 
Along with this presented step by step, it is shown how to proceed 
with the analysis of the same example in the Rbio software, so that the 
user is able to assimilate the theoretical and practical teachings at the 
same time. As statistical software is used in practice, due to its speed 
and convenience, this interface with the software was emphasized 
in this material. The Rbio software presented is free software owned 
by one of the authors of the work, with the capacity for several 
biometric-statistical analyzes. In this work only those analyzes related 
to experimentation were addressed.
SUMÁRIO
1 – ESTATÍSTICA DESCRITIVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1 Medidas de Posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Medidas de Dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 – PRINCÍPIOS BÁSICOS DA EXPERIMENTAÇÃO . . . . . . . . . . . 33
3 – ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA) E SUAS PRESSUPOSIÇÕES . . . . . . 36
4 – DELINEAMENTO EXPERIMENTAL INTEIRAMENTE CASUALIZADO . . . . 82
5 – DELINEAMENTO EXPERIMENTAL EM BLOCOS AO ACASO . . . . . . . 99
6 – COMPONENTES DE VARIÂNCIA . . . . . . . . . . . . . . . 114
7 – DELINEAMENTO EXPERIMENTAL EM QUADRADO LATINO . . . . . . 165
8 – TESTES DE COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS E AGRUPAMENTOS . . . . . . 175
8.1. Teste t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.2. Teste de Tukey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.3. Teste de Duncan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8.4. Teste de Scheffé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.5. Teste de Fisher, LSD ou DMS t . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.6. Teste de Bonferroni, LSDB . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.7. Teste SNK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.8. Teste de Dunnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
8.9. Teste de Scott-Knott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
9 – ANÁLISE DE EXPERIMENTOS FATORIAIS . . . . . . . . . . . . . 228
10 – ANÁLISE DE EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS . . . . . 249
11 – ANÁLISE DE EXPERIMENTOS EM FAIXAS . . . . . . . . . . . . 260
12 – ANÁLISE DE EXPERIMENTOS HIERÁRQUICOS . . . . . . . . . . 282
13 – ANÁLISE DE EXPERIMENTOS EM BLOCOS INCOMPLETOS . . . . . . 297
13.1. Blocos aumentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
13.2. Látice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
14 – REGRESSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
14.1. Regressão Linear Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
14.2. Regressão Múltipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
14.3. Regressão Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
15 – ANÁLISE DE COVARIÂNCIA (ANCOVA) . . . . . . . . . . . . . 384
16 – CORRELAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
16.1. Correlação de Pearson e Spearman . . . . . . . . . . . . . 403
16.2. Correlação Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
16.3. Correlação: Análise de Trilha . . . . . . . . . . . . . . . . 424
16.4. Correlação Fenotípica, Genotípica e Ambiental . . . . . . . . . 431
16.5. Correlação Canônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
LITERATURAS CITADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
ANEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
SOBRE OS AUTORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
12
1
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Antes de qualquer tipo de análise de dados é importante co-
nhecer bem estes dados a serem utilizados. Inúmeros erros podem 
ser evitados apenas verificando se os valores máximos e mínimos são 
condizentes com as variáveis em estudo. Uma boa indicação antes de 
proceder qualquer análise de dados é observar os valores máximos 
e mínimos do conjunto de dados. Estes podem fazer com que sejam 
identificados erros grosseiros. 
Desta forma, nesse material, iniciamos analisando qualquer 
conjunto de dados de forma geral, sem importar se estão ligados com 
a experimentação (que será abordada a partir do tópico 2). 
A estatística descritiva serve para resumir, organizar um conjun-
to de dados, e a partir disso tirar conclusões ou inferências dos mes-
mos. É bom ficar atento que sempre que resumimos um conjunto de 
dados iremos perder a informação individual obtida, pois estas serão 
condensadas, porém esta perda de informação é pequena comparada 
ao ganho que se tem com a possibilidade da interpretação. De forma a 
explorar melhor os dados algumas medidas para análise descritiva são: 
medidas de posição e de dispersão.
Imagine que em uma avaliação de híbridos de milho verifica-se 
uma produção média (valores considerando área em hectare) para um 
13
estatística experimental no rbio
híbrido 1 de 8000 kg, de 7500 kg para o híbrido 2. Porém ao digitar os 
dados coletados o usuário esbarre no teclado e digite 80000 kg, nesse 
exemplo extremamente exagerado o valor errado seria facilmente vi-
sualizado, ao soltar a média daquele tratamento, porém as vezes não é 
verificado casos assim tão grandes, como por exemplo, se no exemplo 
anterior não houvesse possibilidade de um material produzir mais 
de 10000 kg. Ao tomar a informação por repetição, tem-se repetição 
1: 2000 kg, repetição 2: 3000 kg, e repetição 3: 15000 kg. Ao obter 
a média deste tratamento tem-se o valor 6666 kg, valor este que se 
encontra totalmente possível dentro do esperado para a produção dos 
referidos materiais, porém, como informado não existe possibilidade 
de produção acima de 10000 kg, e o que ocorreu foi um erro de digita-
ção na repetição 3, que era pra ser 1500 kg e ao digitar um “0” a mais 
mudou totalmente a média do material, que deveria ter sido 2166 kg. 
Dessa forma apenas o uso da média não ajudaria para descobrirmos 
o tal erro, mas usando simplesmente máximo e mínimo observados, 
conseguiríamos encontra-lo. Mais do que um simples erro matemático, 
ele pode ter consequências maiores, pois provavelmente um material 
com média de2166 kg seria descartado do programa de melhoramen-
to, e um de 6666 kg, poderia ser selecionado, ou seja, iria ter gasto 
financeiro e de tempo conduzindo este material em futuros blocos de 
cruzamentos, ou avanços de gerações. Sendo assim, é conveniente 
que a primeira ação a ser executada pelo usuário seja estimar médias, 
máximos, mínimos, coeficientes de variação e gráficos do conjunto 
de dados. Nesse momento será possível conhecer melhor o conjunto 
de dados e identificar possíveis erros, que após o processamento das 
análises, provavelmente não mais seriam observados.
Alternativas gráficas para apresentação dos dados são muito 
úteis, como por exemplo, os histogramas que são gráficos de distribui-
ção de frequências, que é um agrupamento de classes, representadas 
por barras, realizado após a contagem do número de observações 
pertencentes as classes. O objetivo é obter a informação sobre o com-
14
estatística experimental no rbio
portamento dos dados. Para obter o número de classes normalmente 
se utiliza a regra de Sturges, que é dada por: k = 1 + 3.3log (n), em que 
n é o conjunto de dados. Sendo assim pega-se o maior valor - menor 
valor e divide pelo número de classes. Dessa forma consegue-se obter 
os valores que devem estar em cada intervalo.
Para proceder a maioria das análises deste material será con-
siderado um exemplo bem simples, com 3 tratamentos e 2 repetições 
(ou blocos). Será visto mais adiante que este não atende os requisitos 
mínimos para que seja um experimento de qualidade, porém de forma 
didática, de forma a facilitar e agilizar os cálculos ele será usado nesse 
material. Oportunamente dados provenientes de experimentos tam-
bém poderão ser usados, sobretudo para processamento e interpre-
tação. Os dados deste experimento são apresentados na Tabela 1.1.
Tabela 1.1 Avaliação de uma variável agronômica simulada em delineamento em 
blocos ao acaso.
Tratamentos
Blocos
Total Média
I II
1 66.98 75.61 142.59 71.295
2 113.77 126.24 240.01 120.005
3 71.87 87.53 159.4 79.7
Total 252.62 289.38 542
Média 84.20667 96.46 90.333
Para confecção do histograma, inicialmente deve-se obter o 
número de classes do mesmo. Usando a expressão de Sturges, tem-se:
k = 1 + 3.3log (n) = 1 + 3.3x log (6) = 3.56 = 4 classes
Com base no número de classes pode-se obter o intervalo 
constituído por cada classe: (Maior valor – Menor valor) / nº classes. 
Sendo para o conjunto de dados apresentados, (126.24 – 66.98) /4 
15
estatística experimental no rbio
= 14.815. Este é o intervalo de cada classe. Sendo assim, a classe 1 
= 66.98 + 14.815 = 81.795; esse processo continua até obter todas 
as classes, conforme apresentado na Tabela 1.2 abaixo. Após isso é 
necessário apenas contar quantos valores estão dentro de cada um 
dos intervalos, obtendo as respectivas ocorrências e confeccionar o 
respectivo histograma (Gráfico 1.1).
Tabela 1.2 Intervalo compreendido entre classes e suas respectivas ocorrências 
para avaliação de uma variável agronômica simulada.
Classes Ocorrência Frequência
66.98 – 81.8 3 50
81.8 – 96.61 1 16.667
96.61 – 111.43 0 0
111.43 – 126.24 2 33.333
Gráfico 1.1 Histograma realizado com base nos dados da Tabela 1.1.
16
estatística experimental no rbio
Alternativamente, alguns softwares, criam estes intervalos das 
classes usando valores inteiros arredondados, de forma a ficar com 
uma melhor visualização das classes. Esta é uma forma com que o 
software R procede, nesse mesmo exemplo, o gráfico produzido será 
mostrado no Gráfico 1.2, de forma que os intervalos existentes no eixo 
x serão ligeiramente diferentes dos apresentados no gráfico anterior:
Gráfico 1.2. Histograma realizado no software R para os dados da Tabela 1.1.
1.1 Medidas de Posição
As medidas de posição são aquelas que posicionam um valor 
referente a um conjunto de dados, em relação a determinada posição 
da distribuição de frequência. As medidas de posição mais importantes 
são: média, mediana e moda.
17
estatística experimental no rbio
A média é calculada somando todos os valores e dividindo pelo 
tamanho da amostra (n) (ou da população). Em melhoramento está 
associada a qualidade da população, ou seja, se a população possui 
potencial a ser explorado.
1 1 2
n
ii n
x x x xx
n n
= + +…+= =∑
Para os dados da Tabela 1.1 a média é:
66.98 75.61 113.77 126.24 71.87 87.53 90.33
6
x + + + + += =
A mediana é o valor central do conjunto de dados. Caso o número 
de dados seja ímpar, a mediana será o valor central, considerando que 
os dados estejam ordenados de menor para maior. Caso o conjunto de 
dados seja par, a mediana será a média das duas observações centrais.
Para os dados da Tabela 1.1, são dispostos seis valores, por-
tanto, a mediana deverá ser a média dos valores centrais, ou seja, do 
terceiro e quarto, após a ordenação. Ordenando os dados, tem-se: 
66.98, 71.87, 75.61, 87.53, 113.77 e 126.24. Sendo assim a mediana 
para esse conjunto de dados é: 
75.61 87.53 81.57
2
x += =
Sendo assim, metade da amostra está localizada abaixo de 
81.57 e metade está localizada acima de 81.57. A mediana portanto 
deixa 50% dos dados acima e 50% abaixo do seu valor, e é chamada 
também de segundo quartil (Q2).
18
estatística experimental no rbio
O primeiro quartil (Q1) é o número que deixa 25% das obser-
vações abaixo e 75% acima, enquanto o terceiro quartil (Q3) deixa 
75% dos dados abaixo e 25% acima. Existem diferentes maneiras de se 
calcular os valores de primeiro e terceiro quartil, e deve-se conhecer 
como o software que está utilizando calcula para que possa obter 
o mesmo valor num cálculo a mão, por exemplo, o Microsoft Excel, 
possui três funções diferentes que calculam os quartis, sendo elas : 
“quartil”, “quartil.inc” e “quartil.exc”, sendo que as duas primeiras 
fornecem resultados iguais.
Pode-se encontrar na literatura formas rápidas de calcular, 
mas estes resultados divergem dos softwares usados, um exemplo é o 
apresentado a seguir que inicialmente coloca-se os dados em ordem e 
divide em dois grupos:
66.98, 71.87, 75.61 87.53, 113.77, 126.24
O primeiro quartil seria o valor central do primeiro grupo ou seja 
71.87. A mediana seria o valor central, portanto a média entre 75.61 e 
87.53 e o terceiro quartil seria o valor central do terceiro grupo, portanto 
113.77. É importante salientar que, por exemplo, caso o primeiro grupo 
apresente 6 valores e o segundo grupo 6 valores, portanto um conjunto 
de dados com 12 informações, o valor central do grupo 1 seria a média 
dos valores 3 e 4, de tal forma que possua duas informações abaixo e 2 
informações acima da mesma, da seguinte forma:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Quartil 1: Média entre 3 e 4 = 3.5; quartil 2(mediana): Média 
entre 6 e 7 = 6.5 e quartil 3: Média entre 9 e 10 =9.5
Alguns softwares, como é o caso do R, utilizam o método co-
nhecido como “interpolação com base N-1”, que é correspondente a 
função do Excel “quartil.inc”. Normalmente esta é a forma mais usada 
19
estatística experimental no rbio
quando se deseja fazer uma estatística descritiva dos dados. Nesse 
caso, fala-se N-1 pois a contagem da posição dos valores inicia-se do 0, 
sendo assim tem-se um total de N-1 posições. Considerando o nosso 
exemplo com seis valores ordenados crescente teremos, as posições 
variando de 0 a 5, conforme demostrado abaixo.
Posição 0 1 2 3 4 5
Valor 66.98 71.87 75.61 87.53 113.77 126.24
As posições K dos quartis são dadas:
1
1 6 11 1 1.25
4 4Q
nK x x− −   = = =   
   
2
1 6 12 2 2.5
4 4Q
nK x x− −   = = =   
   
3
1 6 13 3 3.75
4 4Q
nK x x− −   = = =   
   
O valor do quartil 1, será o valor corresponde a 1.25 da nossa 
posição. A posição 1 é 71.87, e a posição 2 é 75.61, portanto a diferença 
desses valores é 3.74, e 0.25 desse valor é 0.935. Dessa forma o valor 
do Q1 é 71.87 + 0.935 =72.81.
O valor do quartil 2, que é a mediana, será o valor corresponde 
a 2.5 da nossa posição, ou seja, a média entre os valores da posição 2 
e 3, que já foicalculado anteriormente e é 81.57.
O valor do quartil 3, será o valor corresponde a 3.75 da nossa 
posição. A posição 3 é 87.53, e a posição 4 é 113.77, portanto a dife-
rença desses valores é 26.24, e 0.75 desse valor é 19.68. Dessa forma 
o valor do Q3 é 87.53 + 19.68 =107.21.
20
estatística experimental no rbio
Outros softwares utilizam o método conhecido como “interpo-
lação com base N+1”, que é correspondente a função do Excel “quartil.
exc”. Nesse caso, fala-se N+1 pois a contagem da posição dos valores 
inicia-se do 0, porém não existe nenhum valor associado a posição 0, 
sendo assim tem-se um total de N+1 posições. Considerando o nosso 
exemplo com 6 dados ordenados crescente teremos, as posições va-
riando de 0 a 6, conforme demostrado abaixo. Normalmente, esta é 
a forma mais usada quando se deseja identificar outliers, pois possui 
uma amplitude interquartil (IQR) maior, que é obtida subtraindo o 
valor do Q3-Q1.
Posição 0 1 2 3 4 5 6
Valor 66.98 71.87 75.61 87.53 113.77 126.24
Os cálculos são semelhantes aos anteriores, mudando, portan-
to, apenas as posições, dessa forma tem:
1
1 6 11 1 1.75
4 4Q
nK x x+ +   = = =   
   
2
1 6 12 2 3.5
4 4Q
nK x x+ +   = = =   
   
3
1 6 13 3 5.25
4 4Q
nK x x+ +   = = =   
   
O valor do quartil 1, será o valor corresponde a 1.75 da nossa 
posição. A posição 1 é 66.98, e a posição 2 é 71.87, portanto a diferen-
ça desses valores é 4.89, e 0.75 desse valor é 3.66. Dessa forma o valor 
do Q1 é 66.98 + 1.22 = 70.64.
21
estatística experimental no rbio
O valor do quartil 2, que é a mediana, será o valor corresponde 
a 3.5 da nossa posição, ou seja, a média entre os valores da posição 
3 e 4, que já foi calculado anteriormente, e é 81.57. Note, mais uma 
vez, que independentemente do método usado, a mediana fornecerá 
o mesmo valor.
O valor do quartil 3, será o valor corresponde a 5.25 da nossa 
posição. A posição 5 é 113.77, e a posição 6 é 126.24, portanto a dife-
rença desses valores é 12.47, e 0.25 desse valor é 3.11. Dessa forma o 
valor do Q3 é 113.77 + 3.11 = 116.88.
Vale ressaltar novamente que não existe uma norma de como 
é o correto para o cálculo destes quartis, portanto, outras expressões 
podem ser usadas.
Outra medida de posição é a moda que corresponde ao valor que 
ocorre com maior frequência em um determinado conjunto de dados.
1.2 Medidas de Dispersão
São medidas que avaliam a dispersão dos dados em relação à 
média, sendo que dispersão é o mesmo que variação ou variabilidade. 
Duas medidas são usadas frequentemente para mensurar a dispersão, 
que são a amplitude e o desvio padrão.
A amplitude (R) é a diferença entre o maior e o menor valor de 
um conjunto de dados.
maior menorR X X= −
Para o exemplo anterior, tem-se:
126.24 66.98 59.26R = − =
22
estatística experimental no rbio
A variância de uma amostra de n elementos é definida como o 
desvio em relação à média ao quadrado, ou seja, a soma de quadrados 
dos desvios dos elementos em relação à sua média, dividido por n-1, 
sendo dependente da amplitude de variação e distribuição dos dados. 
Caso o cálculo seja da variância populacional será dividido por n.
( )22 1
1
ˆ
n
ii
x x
n
σ =
−
=
−
∑
Considerando o conjunto de dados apresentados na Tabela 1.1, 
tem-se a variância:
Como visto acima, a variância é uma medida de dispersão que 
mede o desvio ao quadrado. Então esta terá magnitude ao quadrado, 
por exemplo, se a medida for em metros (m), ao se calcular a variância 
a medida é metros ao quadrado (m2). Este fato dificulta a interpretação 
dos dados. Para solucionar tal problema é calculado o desvio padrão 
(s) que é igual à raiz quadrada da variância, que faz com que os dados 
voltem a escala original da variável.
Sendo assim o estimador do desvio padrão é dado por:
( )22 1
1
ˆ
n
ii
x x
s
n
σ =
−
= =
−
∑
23
estatística experimental no rbio
Para o conjunto de dados tem:
589.89 24.28s = =
Muitas vezes ocorre um confundimento entre o que é o desvio 
padrão e o que é o erro padrão e a aplicação destas duas medidas. O 
desvio padrão como já apresentado é uma medida de dispersão em 
relação à média, já o erro padrão é uma medida que ajuda avaliar a 
confiabilidade da média calculada. Para tentar esclarecer o significado 
e utilização de cada uma destas medidas considere o exemplo a seguir. 
Imagine que um grande produtor de café envie sua produção para ser 
embalada em duas empresas diferentes. Este produtor recebeu várias 
reclamações que a embalagem do seu café possuía menos de 500g, 
valor este o informado no rótulo do produto. Para tentar solucionar 
tal dúvida ele resolveu pegar uma amostra de 10 embalagens de cada 
empresa, conforme apresentado abaixo:
Empresa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Média(g) S (g)
1 540 531 528 487 424 477 453 439 606 515 500 55
2 505 507 502 499 494 493 500 500 494 506 500 5
Pode-se concluir que ambas empresas possuem em média 
500g de café e apenas essa medida de posição não é suficiente para 
tirar reais conclusões, sendo necessário analisar a variabilidade das 
embalagens, para isso, usa-se uma medida de dispersão, no caso, o 
desvio padrão, que indica a dispersão dos dados em relação à média. 
Portanto, quanto menor esse valor, mais homogênea é a amostra, 
sendo possível então verificar que a amostra da empresa 1 é mais 
heterogênea, ou seja, o peso destas embalagens varia mais do que as 
das embalagens da empresa 2.
Porém tivemos uma amostra de 10 embalagens amostrada. Será 
que esta amostra realizada foi confiável? Repetindo este experimento 
24
estatística experimental no rbio
seria obtido, a mesma média para ambas empresas? Para solucionar 
essa questão usa-se o erro padrão da média, que é uma medida de 
variação de uma média amostral em relação à média da população, 
e serve, portanto, para verificar a confiabilidade da média amostral 
calculada. Para obter o erro padrão:
( ) 55 1 17.39 
10
Desvio padrãoErro padrãoda média Empresa
n
= = =
( ) 5 2 1.58
10
Desvio padrãoErro padrãoda média Empresa
n
= = =
De posse do erro padrão pode-se obter o intervalo de confiança 
para a média. Usando uma tabela de distribuição normal padrão e con-
siderando um intervalo de confiança de 95% obtêm-se o valor de 1.96 
(ANEXO 1.1). Vale ressaltar aqui, que se o IC é de 95%, tem-se 2.5% dos 
dados inferiores e 2.5% superiores, conforme o Gráfico 1.3, portanto, 
na tabela o valor a ser observado é 0.975 correspondendo a 1.96. É 
necessário enfatizar que se deve usar este método caso o tamanho da 
população seja igual ou maior que 30 e/ou se o desvio padrão popula-
cional (não o amostral) é conhecido. Caso estes pré-requisitos não sejam 
atendidos deve-se usar o teste t em vez da tabela padrão de estatística Z.
O Intervalo de confiança para a média é obtido por:
[Média – (1.96 x Erro Padrão); Média + (1.96 x Erro Padrão)]
Empresa 1:
[500– (1.96 x 17.39); 500 + (1.96 x 17.39)] = [465.9; 534.0]
Empresa 2:
[500– (1.96 x 1.58); 500 + (1.96 x 1.58)] = [496.9; 503.0]
25
estatística experimental no rbio
Sendo assim, com base nesse exemplo hipotético, concluímos 
que a média das 2 amostras eram semelhantes, porém o desvio padrão 
da amostra é muito maior para a empresa 1, e consequentemente o 
erro padrão da média desta empresa também é muito maior. Portanto, 
o produtor deverá focar em enviar sua produção de café para a em-
presa 2 que fornece melhores serviços, uma vez que o erro padrão da 
média obtido em suas amostras é menor.
Gráfico 1.3. Representação de uma distribuição normal padrão.
No software R, para a obtenção do valor tabelado, usa-se a 
tabela t de Student, (ANEXO 1.2), em que t(α/2; N-1), uma vez que não 
foram seguidos os pré-requisitos, informados anteriormente, como o 
tamanho da população que é menor que 30, portanto, para o conjunto 
de dados apresentados na Tabela 1.1 e um nível de significância α = 5% 
= 0.05, tem-se t(0.025; 5) = 2.571. Dessa forma o erro padrão da média 
e o intervalo de confiança serão:
 24.28 9.91
6
Desvio padrãoErropadrãoda média
n
= = =
[Média – (2.571 x Erro Padrão); Média + (2.571 x Erro Padrão)]
[90.33– (2.571 x 9.91); 90.33 + (2.571 x 9.91)] = [64.85; 115.80]
26
estatística experimental no rbio
Outra medida usada para mensurar a variabilidade dos dados 
é o coeficiente de variação (CV), que está ligada a qualidade do ex-
perimento, sendo desejado menores valores deste parâmetro. Nesse 
caso, ele tem uma grande vantagem em relação ao desvio padrão, pois 
este último é muito afetado pela magnitude dos dados. Dessa forma 
se o interesse é comparar a variabilidade existente entre diferentes 
experimentos, para uma mesma variável, pode-se usar o coeficiente 
de variação, que é definido como a razão entre o desvio padrão e a 
média. Vale ressaltar que só se deve comparar coeficientes de variação 
de uma mesma variável, e muitas pessoas, erroneamente, tentam 
comparar esta medida para variáveis diferentes. Para a variável anali-
sada, obtêm-se um cv de 26.87, conforme mostrado abaixo.
( ) 24.28 % 100 100 26.87%
90.33
= = =
sCV x x
x
Vale salientar um artifício muito utilizado em análise de dados. 
Muitas vezes usa-se mais de uma variável ao mesmo tempo, e estas 
têm escalas diferentes, sendo necessário fazer algum procedimento 
para contornar tal inconveniente. Denota-se por codificação de uma 
variável qualquer, quando subtrai os valores desta variável do valor ob-
tido para a média da mesma. Como consequência tem-se que a nova 
média desta variável codificada será igual a 0, e a variância não irá se 
alterar. Outro artifício utilizado é padronizar a variável, que é dividir 
os valores desta variável pelo desvio padrão, e ao fazer isso terá uma 
variável com variância igual a 1 e a nova média será dada pela média 
original dividida pelo valor do desvio padrão. Muitas vezes usa-se os 
dois artifícios ao mesmo tempo, ou seja, dividir pelo desvio padrão e 
subtrair a média, a consequência disso é que esta variável agora terá 
média igual a 0 e variância igual a 1.
27
estatística experimental no rbio
Resultado das análises
Considerando o conjunto de dados apresentados anteriormen-
te, as saídas fornecidas pelo Rbio são apresentadas a seguir.
Para realizar tal procedimento o usuário deverá acessar o menu 
Estatística Básica > Estatística Descritiva, conforme Figura 1.1.
28
estatística experimental no rbio
Figura 1.1. Software Rbio, e rotina de procedimentos para realizar análise de 
estatística descritiva.
Os scripts para proceder a análise no R e as saídas das análises 
são apresentadas a seguir.
# -----------------------------------
# Script 1: Estatísticas Descritivas
# -----------------------------------
# ----------------------
# 1.1- Leitura dos dados
# ----------------------
X<-read.table(“c:/_Rbio/ebook/exemplo1.txt”, h=T) # Leitura dos dados
X
 Trat Rep Variavel
1 1 1 66.98
2 1 2 75.61
3 2 1 113.77
4 2 2 126.24
5 3 1 71.87
6 3 2 87.53
# ----------------------
# 1.2- Estatística Descritivas
# ----------------------
# 1.2.1- Resumida
# ----------------------
summary(X)
29
estatística experimental no rbio
 Trat Rep Variavel
 Min.:1.00 Min.:1.0 Min.: 66.98 
 1st Qu.:1.25 1st Qu.:1.0 1st Qu.: 72.81 
 Median:2.00 Median:1.5 Median: 81.57 
 Mean:2.00 Mean:1.5 Mean: 90.33 
 3rd Qu.:2.75 3rd Qu.:2.0 3rd Qu.:107.21 
 Max.:3.00 Max.:2.0 Max.:126.24 
 
# ----------------------
# 1.2.2- Completa
# ----------------------
library(fBasics)
basicStats(X, ci = 0.95)
 Trat Rep Variavel
nobs 6.000000 6.000000 6.000000
NAs 0.000000 0.000000 0.000000
Minimum 1.000000 1.000000 66.980000
Maximum 3.000000 2.000000 126.240000
1. Quartile 1.250000 1.000000 72.805000
3. Quartile 2.750000 2.000000 107.210000
Mean 2.000000 1.500000 90.333333
Median 2.000000 1.500000 81.570000
Sum 12.000000 9.000000 542.000000
SE Mean 0.365148 0.223607 9.915433
LCL Mean 1.061356 0.925200 64.844902
UCL Mean 2.938644 2.074800 115.821764
Variance 0.800000 0.300000 589.894827
Stdev 0.894427 0.547723 24.287751
Skewness 0.000000 0.000000 0.429522
Kurtosis -1.958333 -2.305556 -1.838679
 
# ----------------------
# 1.3- Histograma
# ----------------------
hist(X[,3], col=”gray”, main=”Histograma: Eixo x = Variavel “,ylab=”Amplitude”, xlab= colnames(X)[3] )
30
estatística experimental no rbio
ANEXO 1.1: Tabela da Distribuição Normal padrão reduzida (Z~N (0,1)) P(Z<z) e z 
positivos.
z 0.0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224
0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621
1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830
1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767
2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890
2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916
2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936
2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952
2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964
2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974
2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981
2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986
3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990
3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993
3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995
31
estatística experimental no rbio
z 0.0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997
3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998
3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998
3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999
3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99993.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999
3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
ANEXO 1.2. Tabela da distribuição t de Student, com nível de significância α e gl 
graus de liberdade.
Nível de significância
gl 0.1 0.05 0.025* 0.01 0.005
1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657
2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925
3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841
4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604
5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032
6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707
7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499
8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355
9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250
10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169
11 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106
12 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055
13 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012
14 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977
15 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947
16 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921
17 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898
18 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878
19 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861
20 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845
21 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831
32
estatística experimental no rbio
Nível de significância
gl 0.1 0.05 0.025* 0.01 0.005
22 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819
23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807
24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797
25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787
26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779
27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771
28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763
29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756
30 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750
40 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704
50 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678
60 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660
120 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617
∞ 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576
* mais usada. Entra-se com α/2; portanto se deseja teste a 5%, entra com 0.05/2=0.025
33
2
PRINCÍPIOS BÁSICOS DA EXPERIMENTAÇÃO
Nas diferentes áreas de pesquisa, incluindo a pesquisa na área 
agropecuária e florestal, o pesquisador tem interesse em saber qual 
ou quais variáveis afetam o nosso objeto de pesquisa, podendo assim 
aumentar a chance de obtermos sucesso. Para estudar estas variáveis 
e seus comportamentos na pesquisa deve-se realizar experimentos, 
que são escolhidos pelo pesquisador de forma a entender essa 
relação entre variáveis e tratamentos. Sendo assim, o planejamento 
experimental serve para que o pesquisador determine as variáveis que 
exercem maior influência no objeto de estudo.
Quando se realiza determinado experimento, deve-se ter uma 
unidade onde serão tomados os dados referentes aos efeitos dos 
tratamentos. Esta unidade é comumente chamada de unidade expe-
rimental ou parcela. Pode-se ter parcelas constituídas de uma única 
planta, como é muito comum na área florestal em experimentos com 
eucalipto, como pode-se ter parcelas constituídas de uma ou duas 
linhas de um metro, como acontece por exemplo em experimentos 
com feijão, ou duas linhas de cinco metros como ocorre em milho. É 
importante salientar que esta constituição das parcelas pode alterar 
conforme especificidades do experimento em avaliação.
Por exemplo, imagine que um pesquisador deseja saber se usar 
ou não adubo afeta a produção de uma determinada espécie. O pes-
34
estatística experimental no rbio
quisador poderia, portanto, plantar uma linhagem de feijão qualquer, 
e nela testar 2 tratamentos, com e sem adubo. Após a condução da 
cultura nos 2 sistemas o pesquisador iria pesar a produção em ambos 
tratamentos, e observar se existe diferenças entre estas produções. A 
metodologia correta para montar tais experimentos será discutida a 
seguir, e como comparar estas produções a determinado nível estatís-
tico será visto em capítulos posteriores.
Para a realização de experimentos três princípios básicos de-
vem ser seguidos: repetição, casualização e controle local.
A repetição é importante, pois com ela é possível obter o erro 
experimental, que será utilizado em comparações dos tratamentos 
para verificar se as diferenças entre os tratamentos serão ou não signi-
ficativas. Além disso, a repetição permite que o valor obtido para cada 
parcela seja mais confiável, uma vez que os tratamentos terão mais 
de uma medição, podendo assim obter médias mais precisas. Imagine 
que ao testar duas linhagens de feijão a linhagem A produziu mais do 
que a linhagem B. Porém o fato de produzir mais não significa que 
ela seja realmente melhor. Essa superioridade em produção pode ser 
devido ao fato da linhagem A ter sido cultivada numa região do solo 
com mais disponibilidade de nutrientes, portanto a superioridade de 
produção pode ser devido a adubação diferente e não devido realmen-
te a diferença entre as linhagens. Uma forma de solucionar isso seria 
plantar várias parcelas com a linhagem A e com a B, considerando a 
média entre elas. Isso seria considerar corretamente a repetição.
Porém, o simples fato de se repetir as parcelas não garante que 
a diferença de produção observada seja devida realmente a diferença 
entre as linhagens. Imagine que todas as parcelas da linhagem A sejam 
plantadas na área do solo com maior disponibilidade de nutrientes, e 
as parcelas de B sejam plantas em área deficiente de nutrientes, en-
tão apenas o fato de estarem repetidas não faria com que realmente 
estivesse sendo feita uma comparação entre as linhagens. Para solu-
cionar tal problema deve-se realizar a casualização ou aleatorização, 
que é dispor os diferentes tratamentos e suas repetições ao acaso no 
35
estatística experimental no rbio
experimento. Isso faz com que não existam tratamentos que sejam 
beneficiados por estarem em uma área mais favorável.
O controle local é comumente utilizado na experimentação, po-
rém no experimento no delineamento inteiramente ao acaso ele não está 
presente, existindo apenas a repetição. O controle local permite aumen-
tar a precisão experimental. Pode-se exemplificar a avaliação de doença 
num experimento feito por duas pessoas diferentes. Isso poderia levar a 
uma não homogeneidade dos dados, e assim, cada pessoa poderia ser 
considerada um bloco. Normalmente em experimentos agronômicos 
o pesquisador determina o bloco como sendo uma área experimental 
homogênea, seja por quantidade de nutriente recebido, declividade de 
solo, ou outro fator que é de conhecimento a priori. Portanto, o impor-
tante é que a variação dentro do bloco seja a menor possível, podendo 
as variações entre blocos serem grandes ou pequenas. Delineamentos 
que possuem controle local são chamados delineamentos em blocos 
ao acaso ou casualizados e serão tratados em capítulos posteriores. O 
bloco não é simplesmente uma repetição, pois ele invoca os princípios 
de repetição e controle local ao mesmo tempo.
O que se deseja com a experimentação é descrever da melhor 
maneira possível o fenômeno de interesse. O planejamento experimen-
tal permite eficiência e economia no processo experimental e o uso de 
métodos estatísticos na análise dos dados obtidos resulta em conclusões 
mais objetivas. É de extrema importância que o pesquisador conheça 
bem a espécie com que irá trabalhar, para realizar os tratos culturais 
adequados, como também conhecer as variáveis de interesse. É prática 
comum e errônea montar experimentos sem saber ao certo o objetivo 
do experimento. A primeira coisa a se fazer é ter claro o objetivo que 
se deseja. A partir desse momento, deve-se planejar o melhor arranjo 
experimental para auxiliar na resposta acerca da questão chave do ob-
jetivo. Monta-se o experimento com todas as variáveis de interesse já 
definidas. Faz-se a coleta dos dados, e a partir daí realiza-se a análise dos 
dados, para concluir sobre a questão definida no objetivo.
36
3
ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA) 
E SUAS PRESSUPOSIÇÕES
Qualquer análise de variância (ANOVA) adota um modelo 
matemático para descrever as fontes de variação e a aceitação de al-
gumas hipóteses básicas. Considere o modelo matemático abaixo para 
um delineamento inteiramente ao acaso:
Yij=m + ti + eij
em que:
Yij é o valor observado relativo à parcela que recebe o trata-
mento i na repetição j
m é a média geral do experimento
ti é o efeito do tratamento i
eij é o erro aleatório,ou seja, contribuição ao acaso da variação 
devida a fatores não controlados.
Para a realização da análise de variância, algumas pressuposi-
ções devem ser satisfeitas:
37
estatística experimental no rbio
i. Os diversos efeitos do modelo devem ser aditivos, como 
pode ser visto no modelo matemático anterior;
ii. Os erros experimentais devem ser independentes, ou seja, 
não correlacionados;
iii. Os erros devem ter a mesma variância σ2;
iv. Os erros devem ter distribuição normal.
Com base nos itens ii, iii e iv, normalmente se parte do princípio 
de que os erros são aleatórios, independentes e normalmente distri-
buídos com média zero e variância σ2 e representado por eij ~ N (0, σ
2).
Segundo Pimentel-Gomes (2000) estas hipóteses parecem muito 
restritivas, mas não o são, pois em geral não há grande importância que 
se verifiquem apenas aproximadamente. Por exemplo, os testes t e F 
não se alteram muito se a distribuição for apenas aproximadamente 
normal ou que se afaste bastante da normalidade. Do mesmo modo, a 
desigualdade das variâncias traz problemas mais sérios, mas não deve 
ser encarada com excessivo rigor, pois normalmente estas não são muito 
grandes em sua maioria. Para verificar tal fato usa-se o teste de Bartlett 
e o de F máximo que serão exemplificados mais adiante, mas desde já 
se chama a atenção para o fato destes serem muito sensíveis à falta de 
normalidade. Para caso de excessiva heterogeneidade das variâncias ou 
não aditividade do modelo, pode-se tentar a transformação da variável 
em estudo ou usar métodos não paramétricos de análise.
Considere um experimento simulado em delineamento em 
blocos ao acaso segundo o modelo matemático Yij=m + bj + ti + eij. Os 
dados deste experimento são apresentados na Tabela 3.1, e serão 
testadas as pressuposições da análise de variância.
38
estatística experimental no rbio
Tabela 3.1. Avaliação de uma variável agronômica simulada em delineamento em 
blocos ao acaso.
Tratamentos
Blocos
Total Média
I II
1 66.98 75.61 142.59 71.295
2 113.77 126.24 240.01 120.005
3 71.87 87.53 159.4 79.7
Total 252.62 289.38 542
Média 84.20667 96.46 90.333
a) Pressuposição i: Aditividade do modelo
A pressuposição i informa que o modelo deve ser aditivo. Tal 
pressuposição pode ser testada pelo teste de não aditividade de Tukey 
(1949), descrito por Steel et al, 1997, em que a Hipótese H0 é a de 
que os efeitos do modelo são aditivos. A Soma de Quadrados da não 
aditividade (SQNA), é dada pela expressão:
( )( )
( ) ( )
2
. .. . ..1 1
2 2
. .. . ..1 1
t r
ij i ji j
NA t r
i ji j
Y Y Y Y Y
SQ
Y Y x Y Y
= =
= =
 − − =
 − −  
∑ ∑
∑ ∑
ou, de forma alternativa
( )( )
[ ]
2
. .. . ..1 1
t r
ij i ji j
NA
n Y Y Y Y Y
SQ SQTxSQB
= =
 − − =
∑ ∑
sendo que n, t e r referem-se ao número total de parcelas, de 
tratamentos e blocos, respectivamente.
O quadrado médio da não aditividade (QMNA) é testado pelo 
quadrado médio do resíduo (QMRNA) obtido pela expressão:
39
estatística experimental no rbio
1
Erro NA
NA
Erro
SQ SQQMR
GL
−
=
−
O quadro da ANOVA está apresentado na Tabela 3.2, os cálculos 
detalhados da obtenção deste quadro no delineamento em blocos ao 
acaso serão vistos em capítulo posterior.
Tabela 3.2. Resultado da análise de variância da variável agronômica simulada.
Fonte de Variação GL SQ QM F p-value
Blocos 1 225.22 225.22 36.353* 0.026422
Tratamentos 2 2711.87 1355.93 218.868** 0.004548
Erro 2 12.39 6.20
Não aditividade 1 0.5663 0.5663 0.0479 0.8628
Resíduo 1 11.8242 11.8242
*, **: Significativo pelo teste F a 5 e 1% respectivamente.
Para o conjunto de dados apresentados na Tabela 3.1 o cálculo 
da SQNA é:
( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
. .. . ..
1 1
66.98 x 71.295 90.3333 84.20667 90.3333
75.61 x 71.295 90.3333 96.46 90.3333
113.77 x 120.005 90.3333 84.20667 90.3333
126.24 x 120.005 90.3333 96.46 90.3333
t r
ij i j
i j
Y Y Y Y Y
x
x
x
x
= =
 
− − 
 
 − − 
 + − − 
 + − − =
 + − − 
∑∑
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
57640.7447
71.87 x 79.7 90.3333 84.20667 90.3333
87.53 x 79.7 90.3333 96.46 90.3333
x
x
 
 
 
 
   = 
 
 
 + − −  
 
 + − −   
40
estatística experimental no rbio
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
. ..
1
2
71.295 90.3333 120.005 90.3333
79.7 90.3333 1355.933717
t
i
i
Y Y
=
− = − + −
+ − =
∑
( ) ( )
( )
2 2
. ..
1
2
84.20667 90.3333
96.46 90.3333 75.07209
r
j
j
Y Y
=
− = − +
− =
∑
Dessa forma tem-se:
( )
57640.7447 0.56631355.933717 75.07209NASQ x= =
Alternativamente tem-se:
Vale ressaltar que:
( )2. ..
1
r
j
j
SQB t Y Y
=
= −∑
( )2. ..
1
t
i
i
SQT r Y Y
=
= −∑
( )2..
1 1
t r
ij
i j
SQTotal Y Y
= =
= −∑∑
41
estatística experimental no rbio
A SQResíduo da não aditividade (SQRNA) é dada por SQErro - 
SQNA, ou SQTotal - SQT-SQB-SQNA=11.8242
O teste F para não aditividade é dado por QMNA / QMRNA, e no 
exemplo acima é dado por: F=0.5663/11.8242=0.0479, associado a 1 
GL no numerador e [(t-1) (r-1) -1] no denominador. Portanto, nesse 
caso, 1 GL no denominador. Como F tabelado (5%,1,1) = 161.45 (ANE-
XO 3.1) e o F calculado < F tabelado, não se rejeita a Hipótese H0 de que 
os efeitos do modelo são aditivos, não violando a pressuposição i. Caso 
o interesse seja realizar o teste a 1% de probabilidade então deve-se 
consultar a tabela F a 1% (ANEXO 3.2).
Vale aqui ressaltar que este exemplo é simulado e, portanto, 
o GL do Erro é 2, menor do que o desejado para a experimentação. 
Segundo Pimentel-Gomes (2000), os experimentos devem conter pelo 
menos 20 parcelas, e não menos do que 10 GL para o resíduo, ou seja, 
caso um experimento possua 2 tratamentos, deve-se utilizar no míni-
mo 10 repetições.
b) Pressuposição ii: Independência dos erros
A pressuposição ii, refere-se à independência dos erros, isso 
acontece quando os dados são tomados de forma independente, o 
que normalmente é resolvido com a correta coleta dos dados. Porém, 
caso as unidades sejam observadas ao longo do tempo, não se pode 
afirmar que os erros são independentes, pois uma medida tomada 
em uma unidade deverá estar correlacionada com a medida tomada 
nesta mesma unidade em um segundo momento. Nesse caso, a não 
independência é difícil de corrigir pois deve-se, em geral, à maneira 
de coletar os dados. Caso haja a suspeita de não atendimento a esta 
pressuposição, é necessário realizar a análise de resíduos. Esta análise 
normalmente é gráfica, usando o desvio das observações em relação à 
média padronizada para cada tratamento, segundo a expressão:
42
estatística experimental no rbio
 ii
eZ
QMR
=
Para o nosso exemplo tem-se:
11
66.98 71.295 1.7329
6.20
Z −= = −
12
75.61 71.295 1.7329
6.20
Z −= =
21
113.77 120.005 2.5040
6.20
Z −= = −
22
126.24 120.005 2.5040
6.20
Z −= =
31
71.87 79.7 3.1446
6.20
Z −= = −
32
87.53 79.7 3.1446
6.20
Z −= =
Com os valores calculados, pode-se construir um gráfico de 
dispersão dos valores de zi calculados (Gráfico 3.1).
43
estatística experimental no rbio
Gráfico 3.1. Dispersão gráfica dos valores Zi obtidos com base nos dados da Tabela 3.1.
Nessa situação, como se tem apenas duas repetições, e calcu-
la-se o desvio em relação à média, os valores serão sempre de mesma 
magnitude e de sinais contrários. De toda forma, o gráfico acima 
possui todos estes valores plotados e dispersos. Nota-se a dispersão 
e independência dos valores, o que mostra a não correlação entre os 
resíduos. Quando existe forte suspeita de não independência pode-se 
aplicar ainda um teste estatístico como o de Durbin Watson. A estatís-
tica do teste é calculada por:
( )
( )
2
12
2
1
T
t tt
T
tt
e e
d
e
−=
=
−
= ∑
∑
sendo que et é o resíduo da regressão associado ao tempo t, e 
T é o número de observações.
Para o conjunto de dados apresentados na Tabela 3.1, o pri-
meiro passo é realizar a análise de regressão dos dados (Y) em função 
dos tratamentos (X), e após isso, obtém-se os seguintes valores de 
resíduos: -19.151;-10.521; 23.437; 35.907; -22.666; -7.006. 
44
estatística experimental no rbio
Para obtenção destes valores de resíduos, tem-se resumida-
mente a análise de regressão (Tabelas 3.3 e 3.4), considerando Y=B0 
+ B1X +e (informações adicionais sobre regressão serão fornecidas no 
capítulo 13 deste material):
Tabela 3.3. Tabela auxiliar, para proceder a análise de regressão considerando os 
dados da Tabela 3.1.
Y X y = Y-Y x = X- x2 xy
66.98 1 -23.3533333 -1 1 23.35333
75.61 1 -14.7233333 -1 1 14.72333
113.77 2 23.43666667 0 0 0
126.24 2 35.90666667 0 0 0
71.87 3 -18.4633333 1 1 -18.4633
87.53 3 -2.80333333 1 1 -2.80333
Y = 90.33 X = 2 ∑x2i = 4 ∑xiyi =16.81
Dessa forma pode-se obter os valores de B0 e B1, que são dados por:
( )
( )1 2
5ˆ
, 16.81 4.202
4
i i
i
cov x y x yB
v x x
∑
= = = =
∑
( )0 1 90.33 4.2025 2 81.92ˆ ˆB Y B X x= − = − =
Sendo assim a equação de regressão é dada por: Ŷ = 81.92 
+4.2025X. Com base nessa equação calculamos os desvios da regres-
são, ou seja, o resíduo, apresentados na Tabela 3.4.
45
estatística experimental no rbio
Tabela 3.4. Tabela com os resíduos da análise de regressão, considerando os dados 
da Tabela 3.1.
Y X ˆ . .= +81 92 4 2025Y X e = Y - Ŷ
66.98 1 86.13083333 -19.150833
75.61 1 86.13083333 -10.520833
113.77 2 90.33333333 23.4366667
126.24 2 90.33333333 35.9066667
71.87 3 94.53583333 -22.665833
87.53 3 94.53583333 -7.0058333
Após apresentado como obter os valores dos resíduos, proce-
de-se a realização do teste estatístico, de tal forma que se tem:
( )21
2
T
t t
t
e e −
=
−∑ =
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
10.521 19.151 23.437 10.521 35.907 23.437
22.666 35.907 7.006 22.666 5059.15
− − − + − − + −
+ − − + − − − =
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
1
2 2 2 2
2 2
19.151 10.521 23.437 35.907
22.666 7.006 2878.88
T
t
t
e
=
=
− + − + +
+ − + − =
∑
1.7573d =
Os valores de d variam sempre de 0 a 4, sendo que valores 
substancialmente menores que 2 evidenciam uma correlação positi-
va, e valores maiores que 2 indicam correlação negativa. Os valores 
abaixo de 1 podem servir de alarme. O valor de d encontrado pode 
ser confrontado com valores tabelados para verificar sua significância. 
46
estatística experimental no rbio
Para o nosso exemplo, o valor de d encontrado foi não significativo e, 
portanto, não se rejeita a hipótese de correlação = 0 para os resíduos, 
indicando que os erros são independentes, uma vez que não existe 
correlação entre eles.
c) Pressuposição iii: Homogeneidade de variância
Para testar a homogeneidade de variância (pressuposição iii), 
diferentes procedimentos podem ser utilizados. Um deles é o teste de 
Bartlett. Este teste é sensível em relação a hipótese de normalidade. 
Com isso, se rejeitarmos a hipótese de normalidade dos dados, é mais 
indicada a utilização de outro teste, como o proposto por Levene. 
Para o cálculo da estatística de Bartlett deve-se utilizar as expressões 
a seguir, em que N corresponde ao número total de observações, k ao 
número de tratamentos e n o número de repetições
( )2.2
1 1
ni ij i
i
j i
y y
s
n=
−
=
−∑
( )2 2
1
1 1
k
P i i
i
s n s
N k =
= −
− ∑
( ) ( ) ( )2 2
1
*ln( ) [ 1 *ln ]
k
P i i
i
q N k s n s
=
= − − −∑
( ) 1
1 1 11
3 1 1
k
i i
c
k n N k=
 
= + − − − − 
∑
47
estatística experimental no rbio
então 
0
qB
c
=
sendo que
H0 é a igualdade das variâncias e B0 tem distribuição assintótica 
de qui-quadrado com k-1 graus de liberdade. Portanto, se B0 > χ
2
(alfa; k-1), 
rejeita-se H0. 
Para o conjunto de dados apresentados na Tabela 3.1, o cálculo 
do teste de Bartlett é:
( ) ( )2 22
1
66.98 71.295 75.61 71.295
37.23845
2 1 2 1
s
− −
= + =
− −
( ) ( )2 22
2
113.77 120.005 126.24 120.005
77.75045
2 1 2 1
s
− −
= + =
− −
( ) ( )2 22
3
71.87 79.7 87.53 79.7
122.6178
2 1 2 1
s
− −
= + =
− −
( ) ( )
( )
2
2 1 *37.23845 2 1 *77.750451 79.20223
6 3 2 1 *122.6178
Ps
    − + −   = = −  + −   
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 1 *ln 37.23845
6 3 *ln 79.20223 2 1 *ln 77.75045 0.336095
2 1 *ln 122.6178
q
  −    = − − + − =  
 
 + −   
48
estatística experimental no rbio
( )
1 1 1 1 11 1.4444
3 3 1 2 1 2 1 2 1 6 3
c   = + + + − =  − − − − −  
0
0.336095 0.23268
1.4444
B = =
Para o referido exemplo, = 5.99 (ANEXO 3.3), e sendo 
B0 < χ
2, então não se rejeita a hipótese de nulidade, de forma que as 
variâncias podem ser consideradas homogêneas.
d) Pressuposição iv: Normalidade dos erros
A pressuposição iv refere-se à normalidade dos erros, sendo 
que quando os dados apresentam normalidade é esperado que os er-
ros também sejam normalmente distribuídos. Caso tal pressuposição 
seja violada, o pesquisador deverá avaliar a possibilidade de transfor-
mação dos dados. Segundo Pimentel-Gomes (2000), os testes mais 
frequentemente usados (t e F) não se alteram muito se a distribuição 
for apenas aproximadamente normal, ou mesmo que a distribuição se 
afaste bastante da normalidade. Esse autor salienta ainda que a nor-
malidade dos erros jamais é verificada nos experimentos, pois como 
primeira condição deveria haver possibilidade de observações de -α 
até +α, o que não ocorre, mas é razoável que haja uma aproximação, 
principalmente quando existe repetição para todos os tratamentos.
Existem diferentes métodos para avaliar a normalidade. Po-
de-se realizar análises de simetria e curtose, verificando-se o quanto 
a distribuição afasta-se da simetria e o grau de achatamento da dis-
tribuição, respectivamente. Alternativamente, pode-se utilizar testes 
estatísticos, como Lilliefors, Kolmogorov-Smirnov e Shapiro-Wilk.
49
estatística experimental no rbio
Simetria
Para o cálculo da simetria, utiliza-se a expressão a seguir, em 
que n é o tamanho da amostra, e s o desvio padrão dos dados:
3
1 iX XSimetria
n s
 −
= ∑ 
 
Em termos gráficos tem-se que os tipos possíveis de simetria 
são apresentados na Figura 3.1.
Figura 3.1. Diferentes distribuições considerando os tipos de possíveis graus de simetria.
Para o conjunto de dados apresentados na Tabela 3.1, o cálculo 
da simetria é:
3 3
3 3
3 3
66.98 90.3333 75.61 90.3333
24.28775 24.28775
1 113.77 90.3333 126.24 90.3333
6 24.28775 24.28775
71.87 90.3333 87.53 90.3333
24.28775 24.28775
Simetria
 − −   +    
    
 − −   = + +       

− −   + +        
0.4295

 =




50
estatística experimental no rbio
A hipótese H0 é de que os dados tenham distribuição simétri-
ca, portanto simetria = 0; este valor é testado via teste t, que usando 
softwares encontra-se o valor de 0.4295 com p-value =1.31; como 
p-value é >0.05, não se rejeita a Hipótese H0, logo os dados são con-
siderados simétricos. 
Curtose
Para o cálculo da curtose, utiliza-se a expressão a seguir, em 
que n é o tamanho da amostra, e s o desvio padrão dos dados:
4
1 3iX XCurtose
n s
 −
= ∑ − 
 
Em termos gráficos tem-se que os tipos possíveis de curtose 
são apresentados na Figura 3.2.
Figura 3.2. Diferentes distribuições considerando os tipos de curtose existentes.
Para o conjunto de dados apresentados na Tabela 3.1 o cálculo 
da curtose é:
51
estatística experimental no rbio
4 4
4 4
4 4
66.98 90.3333 75.61 90.3333
24.28775 24.28775
1 113.77 90.3333 126.24 90.3333
6 24.28775 24.28775
71.87 90.3333 87.53 90.3333
24.28775 24.28775
Curtose
 − −   +    
    
 − −   = + +       

− −   + +        
3 1.8386 − = −




A hipótese H0 é de que os dados tenham distribuição mesocúr-
tica, portanto curtose = 0. Este valor encontrado é testado via teste t, 
que pelo uso de softwares encontra-se o valor de -0.9193 com p-value 
=0.40; como p-value é >0.05, não se rejeita a Hipótese H0 e, portanto, 
os dados são considerados normais. 
Teste de Lilliefors e Kolmogorov-Smirnov
Os testes Lilliefors e Kolmogorov-Smirnov são semelhantes na 
forma de obter seus valores, sendo que o Lillieforsinfere se os dados 
têm distribuição normal com média e variância amostral, enquanto o 
Kolmogorov-Smirnov se tem média e variância populacional. A hipótese 
H0 é de que os dados seguem distribuição normal. Estes testes devem 
ser usados quando o tamanho da amostra for superior a 30. No caso 
de amostras menores do que 30 sugere-se o uso do teste Shapiro-Wilk.
É importante deixar claro que é necessário obter os valores 
dos resíduos dos dados (Tabela 3.5), uma vez que a normalidade a ser 
verificada é em relação aos resíduos. Para a obtenção considerando o 
conjunto de dados e considerando que o delineamento é o de blocos 
ao acaso tem-se:
. . .. ij ij i je X X X X= − − +
52
estatística experimental no rbio
Em que:
. jX : Média da repetição j em que a observação pertence
..X : Média Geral da variável
Tabela 3.5. Resultado com os resíduos considerando os dados apresentados na 
Tabela 3.1 e delineamento em blocos ao acaso.
Observação Valores observados (X) Resíduo: . . ..ij ij i je X X X X= − − +
1 66.98 66.98 - 71.295 - 84.206 + 90.333 = 1.811
2 75.61 75.61 - 71.295 - 96.46 + 90.333 = -1.811
3 113.77 113.77 - 120 - 84.206 + 90.333 = -0.108
4 126.24 126.24 - 120-96.46 + 90.333 = 0.108
5 71.87 71.87 - 79.7 - 84.206 + 90.333 = -1.703
6 87.53 87.53 - 79.7 - 96.46 + 90.333 = 1.703
O teste realiza o cálculo de todos os zi, os quais devem ser 
ordenados para as seguintes considerações.
Assim, são obtidos a partir de xi os dados transformados zi:
i
i
Xz µ
σ
−
= , em que: 
zi = valor da variável normal padronizada da classe i;
Xi = valor máximo da classe i;
µ = média da população que se pressupõe ter proporcionado 
a amostra de dados;
σ desvio padrão da população.
Utilizando-se a tabela de distribuição normal reduzida, é possí-
vel determinar as probabilidades correspondentes a cada zi:
F(zi) = FEi = ( )iP Z z−∞ ≤ ≤ = valor da tabela de distribuição 
normal reduzida (área);
S(zi) = FOi = ni/n
53
estatística experimental no rbio
em que:
ni = número de valores observados em ordem crescente ≤ zi;
n = número total de observações da amostra.
D = máximo |F(zi) - S(zi)|.
O teste é bilateral, como segue:
H0: é razoável estudar os dados através da distribuição normal;
Ha: não é razoável estudar os dados através da distribuição normal.
Rejeita-se a hipótese de nulidade quando o valor de Dcal ≥ Dtab, 
a um nível α de probabilidade com n observações, caso contrário não se 
rejeita H0. Deve-se lembrar, porém, que a não rejeição de H0 indica ape-
nas que esta é uma razoável aproximação da distribuição desconhecida.
De forma resumida, a estatística do teste é a apresentada na 
Tabela 3.6.
Tabela 3.6. Estatística do teste Kolmogorov-Smirnov e Lilliefors.
x 
(ordenados)
( )nF x ( ) ( )
( ) − = ≤  
 
i
i
x x
F x P z
s ( )( ) ( )( )− ni iF x F x ( )( ) ( )( )1−− ni iF x F x
( )1x
1
n
( ) ( )
( )1
1
− 
= ≤  
 
x x
F x P z
s ( )( ) ( )( )1 1− nF x F x ( )( )1 0−F x
( )2x
2
n
( ) ( )
( )2
2
− 
= ≤  
 
x x
F x P z
s ( )( ) ( )( )2 2− nF x F x ( )( ) ( )( )2 1− nF x F x
... ... ... ... ...
( )1−nx
1−n
n
( ) ( )
( )1
1
−
−
− 
= ≤  
 
n
n
x x
F x P z
s ( )( ) ( )( )1 1− −− nn nF x F x ( )( ) ( )( )1 2− −− nn nF x F x
( )nx 1 ( ) ( )
( ) − = ≤  
 
n
n
x x
F x P z
s ( )( ) ( )( )− nn nF x F x ( )( ) ( )( )1−− nn nF x F x
54
estatística experimental no rbio
O valor de ( ) ( )ii
x x
P z
s
− 
≤  
 
 é encontrado na tabela da distribuição 
normal padrão (ANEXOS 3.4 e 3.5).
Por exemplo, considerando os dados da Tabela 3.5, cujo desvio 
padrão (s) dos resíduos é = 1.574194, e a primeira linha da Tabela 3.7 
abaixo, tem-se que: 
( ) ( ) ( )( )1 11.811 0 1.153 0.12461.57F x P z P z
− − = ≤ = ≤ − = 
 
Considerando que o valor da estatística é negativo (-1.153), por 
meio da Tabela disponível no ANEXO 3.5 obtém-se o valor de 0,1246. 
A Tabela 3.7 apresenta os cálculos do teste para o conjunto de dados 
contidos na Tabela 3.1. Caso o valor fosse positivo usava-se o ANEXO 3.4.
Com isso, o Dn máximo (0.1937; 0.1937 =0.1937). Consideran-
do a Tabela de D (ANEXO 3.6), com alfa = 0.05 e n = 6, tem-se que 
encontramos pela tabela valores críticos de 0.5193.
Como D=0.1937 <0.5193, não temos evidência para rejeitar a 
hipótese de normalidade, portanto os dados podem ser considerados 
com distribuição normal pelo teste Lilliefors.
55
estatística experimental no rbio
Tabela 3.7. Estatística do teste Kolmogorov-Smirnov e Lilliefors considerando os 
resíduos apresentados na Tabela 3.5.
x (ordenados) ( )nF x ( ) ( )
( ) − = ≤  
 
i
i
x x
F x P z
s ( )
( ) ( )( )− ni iF x F x ( )( ) ( )( )1−− ni iF x F x
-1.811
1 0.1667
6
= ( ) ( )1
1.811 0 0.1246
1.57
F x P z − − = ≤ = 
 
0.1246 0.1667 0.0419− = 0.1246 0 0.1246− =
-1.703
2 0.3333
6
= ( ) ( )2
1.703 0 0.1393
1.57
F x P z − − = ≤ = 
 
0.1393 0.3333 0.1937− = 0.1393 0.1667 0.0272− =
-0.108
3 0.5
6
= ( ) ( )3
0.108 0 0.4999
1.57
F x P z − − = ≤ = 
 
0.4999 0.5 0.0001− = 0.4999 0.3333 0.1666− =
0.108
4 0.6667
6
= ( ) ( )4
0.108 0 0.50
1.57
F x P z − = ≤ = 
 
0.50 0.6667 0.1666− = 0.50 0.5 0.0− =
1.703
5 0.8333
6
= ( ) ( )5
1.703 0 0.8606
1.57
F x P z − = ≤ = 
 
0.8606 0.8333 0.0272− = 0.8606 0.6667 0.1937− =
1.811
6 1
6
= ( ) ( )6
1.811 0 0.8753
1.57
F x P z − = ≤ = 
 
0.8753 1 0.1246− = 0.8753 0.8333 0.0419− =
Máximo 0.1937 0.1937
Teste de Shapiro-Wilk
O teste Shapiro-Wilk, proposto em 1965, é baseada na estatís-
tica W, a qual é dada por:
( )( )
2
2
1
n
ii
bW
x x
=
=
−∑
Em que x(i) são os valores da amostra ordenados (x (1) é o menor). 
A constante b é determinada da seguinte forma:
56
estatística experimental no rbio
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )( )
2
1 1
1
1 /2
1 1
1
 
 
n
n i n i i
i
n
n i n i i
i
a x x x sené par
b
a x x x sené ímpar
− + − + −
=
+
− + − + −
=



= 



∑
∑
em que a(n-i+1) são constantes geradas pelas médias, variâncias 
e covariâncias das estatísticas de ordem de uma amostra de tamanho 
n de uma distribuição normal. Seus valores, tabelados, são dados no 
ANEXO 3.7. A hipótese H0 é de que os dados provêm de uma distribui-
ção normal. Como mencionado anteriormente, o teste Shapiro-Wilk é 
indicado quando o tamanho amostral é inferior a 30.
De forma simplificada, para calcular a estatística do teste, de-
ve-se ordenar os valores dos resíduos da amostra, calcular b, calcular 
W e tomar a decisão sendo que se W calculado for < que W tabelado 
(ANEXO 3.8), rejeita-se H0 ao nível α de significância. Este teste é nor-
malmente aplicado quando n <30.
O teste realizado com base no conjunto de resíduos apresenta-
dos na Tabela 3.5 é apresentado a seguir na Tabela 3.8:
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1
2 2 2
1.811 0 1.703 0 0.108 0
0.108 0 1.703 0 1.811 0 12.3904
n
i
i
x x
=
− = − − + − − + − −
+ − + − + − =
∑
57
estatística experimental no rbio
Tabela 3.8. Estatística do teste Shapiro-Wilk considerando os resíduos (xi) 
apresentados na Tabela 3.5.
x (ordenados) i xi n-i+1 x(n-i+1) a(n-i+1) tabelado (i\n) a(n-i+1) x (x(n-i+1) - xi)
-1.8116 1 -1.8116 6 1.8116 0.6431 2.33016
-1.7033 2 -1.7033 5 1.7033 0.2806 0.95591
-0.1083 3 -0.1083 4 0.1083 0.0875 0.01895
0.1083 Soma (b) 3.3050
1.7033
1.8116
23.3050 0.8816
12.3904
W = =
Sendo assim a decisão é, como W calculado=0.8816> W (0.05;6) = 
0,788 (ANEXO 3.8), então pode-se afirmar com nível de significância de 
5% que a amostra provém de uma população normal.
Alternativamente, pode-se utilizar opções gráficas para analisar 
os pressupostos da análise de variância, via análise dos resíduos.
O resíduo pode ser obtido pela expressão para delineamentos 
inteiramente casualizado:
.ij ij ie X X= −
Em que:
ije : resíduo da observação ij do tratamento i na repetição j
ijX : Valor observado pela variável no tratamento i na repetição j
.iX : Média do tratamento i em que a observação pertence
O resíduo padronizado é obtido dividindo o resíduo pela raiz 
quadradado QMR ( QMR ) A expressão acima é válida para o expe-
rimento em delineamento inteiramente ao acaso, caso o experimento 
seja em blocos ao acaso deve-se usar:
58
estatística experimental no rbio
. . .. ij ij i je X X X X= − − +
Em que:
. jX : Média da repetição j em que a observação pertence
..X : Média Geral da variável
Uma opção gráfica importante é o diagrama de dispersão do re-
síduo versus valor predito. Com base nesse valor pode-se inferir sobre:
• Heterocedasticidade de ɛi
• Detectar prováveis dados atípicos
Em um modelo bem ajustado os resíduos são dispersos aleatoria-
mente, em torno de zero, com variância constante, concentrados entre -2 
e 2 (desejado 95% dentro deste intervalo), e com poucos pontos acima 
de 3 ou abaixo de -3. Resíduos fora do intervalo -3 a 3 pode ser conside-
rado dado discrepante. Nesse sentido é importante verificar a planilha de 
dados se é um erro de digitação, ou se realmente é um evento típico já 
observado pelo pesquisador. Só após isso devem ser descartados.
Diferentes possibilidades de dispersão de resíduos são apre-
sentadas na Figura 3.3.
59
estatística experimental no rbio
(a)
(b) 
60
estatística experimental no rbio
(c) 
(d)
 
Figura 3.3. Dispersão gráfica dos resíduos e valores preditos em diferentes cenários.
61
estatística experimental no rbio
Conforme Figura 3.3 as figuras são diferenciadas por letras, 
portanto será:
a. Figura com a presença de alguns resíduos extremos, além 
do intervalo -3 a 3.
b. Distribuição dos resíduos indicando boa qualidade de ajuste
c. Resíduos com distribuição assimétrica, pode-se notar que 
os pontos estão na sua grande maioria entre -1 a 1. Não 
existem pontos abaixo de -1.5, porém existe muitos pontos 
acima de 1.5
d. Resíduos sem variância constante portanto heterocedásticos
Considerando o conjunto de dados da Tabela 3.1, e para um de-
lineamento em DIC, pode-se obter os valores de resíduos, bem como 
os valores preditos. Nesse caso os valores preditos são exatamente os 
valores da média, esses dados estão apresentados na Tabela 3.9.
Tabela 3.9. Resultado com os resíduos e os valores preditos considerando os dados 
apresentados na Tabela 3.1.
Observação Valores observados (X)
Resíduo:
.ij ij ie X X= −
Valores preditos (Xp)
 p ij ijX X e= +
1 66.98 66.98 - 71.29 = -4.315 71.29
2 75.61 75.61 - 71.29 = 4.315 71.29
3 113.77 113.77 - 120 = -6.235 120
4 126.24 126.24 - 120 = 6.235 120
5 71.87 71.87 - 79.7 = -7.83 79.7
6 87.53 87.53 - 79.7 = 7.83 79.7
O Gráfico 3.2 representa os valores dos resíduos com os valores 
preditos considerando o exemplo:
62
estatística experimental no rbio
Gráfico 3.2. Dispersão gráfica dos valores dos resíduos preditos e preditos com 
base nos dados da Tabela 3.1 e delineamento inteiramente ao acaso.
Como são poucos dados experimentais, não se espera um bom 
ajuste. Verifica-se pontos além de -3 e 3 que são indicativos de pontos 
discrepantes. Vale salientar que o objetivo aqui é apenas para fins 
didáticos, de cálculo e interpretação.
Para avaliação da normalidade uma opção é o uso do gráfico 
QQplot. Para realizar este gráfico deve-se seguir os seguintes passos:
1. Ordenar em ordem crescente os dados
2. Estabelecer o nível de probabilidade de ocorrência de cada 
observação (j) pela expressão 
1
2
j
n
− em que n é o número 
total de observações
3. Estimar o valor de Z da distribuição normal padronizada. 
Por exemplo para o primeiro valor do exemplo abaixo, por-
tanto j= 1, tem-se 
1
2 0.083
j
n
−
= : Como isso refere-se a 8.3% 
da curva de distribuição normal, portanto, abaixo da média, 
63
estatística experimental no rbio
que equivale a 50% da distribuição normal. Considerando 
os dados da ANEXO 3.5 o valor equivalente a 0.083 é o z de 
-1.38. É importante salientar que esse número é negativo 
pois encontra-se abaixo do valor de 50%.
4. Traçar um gráfico utilizando no eixo x os valores de Z(j) e no 
eixo y os valores de X(j). Se a distribuição for normal haverá 
a tendência de formar uma linha reta no gráfico.
5. Estimar a correlação entre Z(j) e X(j) de forma a superar 
a superficialidade na interpretação gráfica. Essa mede o 
grau de ajustamento dos pontos a reta imaginária. Quanto 
mais próximo de 1 maior o ajustamento e maior tendência 
a normal.
Considerando o conjunto de dados apresentados na Tabela 3.1, 
o cálculo para obtenção do QQplot é apresentado na tabela 3.10.
Tabela 3.10. Cálculos necessários para a obtenção do QQplot considerando os 
dados apresentados na Tabela 3.1.
j x (ordenados)
1
2
j
n
−
Z(j)
1 66.98
11
2 0.083
6
−
= -1.38
2 71.87
12
2 0.25
6
−
= -0.675
3 75.61
13
2 0.416
6
−
= -0.21
4 87.53
14
2 0.583
6
−
= 0.21
64
estatística experimental no rbio
j x (ordenados)
1
2
j
n
−
Z(j)
5 113.77
15
2 0.75
6
−
= 0.675
6 126.24
16
2 0.916
6
−
= 1.38
O Gráfico 3.3 representa o resultado do exemplo anterior
Gráfico 3.3. Quantil-qualtin (Q-Q) plot considerando o exemplo com base nos 
dados da Tabela 3.1.
A correlação entre os valores de X(j) e Z(j) é de 0.945. Consi-
derando o valor te t tabelado, a n-2 graus de liberdade, tem-se valor 
tabelado de t tabelado igual a 0.917. Como correlação calculada é 
maior do que valor tabelado portanto aceita-se a hipótese de que os 
dados da variável simulada seguem distribuição normal.
65
estatística experimental no rbio
Um terceiro gráfico útil é aquele obtido entre os resíduos pa-
dronizados no eixo y com os valores das observações no eixo x. Esse 
gráfico é similar ao que foi apresentado aqui com resíduo vs predito. 
Mas isso só acontece nesse caso uma vez que se trata de um experi-
mento em dic. Caso fosse outro delineamento, o predito seria diferente 
da média, portanto seria um outro gráfico útil. Nesse caso se procede 
a interpretação da mesma forma. Valores de resíduos além de -3 ou 3 
evidenciam dados discrepantes que devem ser observados pelo pes-
quisador. Como aqui é o resíduo e o valor observado que são plotados, 
o pesquisador consegue identificar diretamente o ponto discrepantes.
Normalmente quando os dados não possuem distribuição nor-
mal e/ou homogeneidade de variância, procede-se à transformação 
dos dados. Porém, ao utilizar uma transformação de dados, todas as 
comparações de médias entre os tratamentos deverão ser realizadas 
na escala de transformação escolhida.
Nos exemplos realizados acima, a transformação dos dados não 
seria necessária, uma vez que eles atenderam às pressuposições da 
ANOVA. Caso fosse necessário, existem diferentes formas de escolher 
a transformação dos dados a serem utilizadas. Uma delas é a utilização 
o coeficiente de variação (o que será discutido no próximo capítulo). 
Quando o valor do CV dos dados transformados for menor do que o 
dos dados originais, a transformação foi válida. Se calcularmos o CV do 
conjunto de dados da Tabela 3.1, tem-se o valor 26.886. Ao aplicar a 
transformação log o valor obtido é de 5.78, e ao usar a transformação 
de raiz quadrada tem-se o valor de 13.23 (Tabela 3.11). Portanto, se 
fosse necessário realizar a transformação, haverá indícios de que a 
utilização da log poderia ser eficiente.
66
estatística experimental no rbio
Tabela 3.11. Utilização do coeficiente de variação (CV) de forma a auxiliar na 
transformação de dados, considerando os dados da Tabela 3.1.
Dados originais Log (dados) Raiz (dados)
66.98 1.825945143 8.184130986
71.87 1.856547645 8.47761759
75.61 1.878579238 8.695401083
87.53 1.942156928 9.355746897
113.77 2.056027758 10.66630208
126.24 2.101196986 11.23565752
CV= 26.88680872 CV= 5.781744502 CV= 13.23087198
Uma outra maneira de auxiliar a transformação dos dados é 
obter a amplitude entre maior e menor valor observado para cada 
tratamento, depois fazer a razão entre amplitude máxima e mínima 
conforme Tabela 3.12.
Tabela 3.12. Razão entre maior e menor amplitude de médias de forma a auxiliar 
na transformação de dados, considerando os dados da Tabela 3.1.
Tratamentos Log (dados) Raiz (dados)
Maior Menor AmplitudeMaior Menor Amplitude
1 1.878579238 1.825945143 0.052634095 8.695401 8.184131 0.51127
2 2.101196986 2.056027758 0.045169228 11.23566 10.6663 0.569355
3 1.942156928 1.856547645 0.085609284 9.355747 8.477618 0.878129
Máximo 0.085609284 0.878129
Mínimo 0.045169228 0.51127
Razão 1.895301023 1.717545
Deve-se escolher aquele que fornece a menor razão, portan-
to, aparentemente a raiz seria a transformação a ser usada. Pode-se 
observar que usando estes diferentes critérios, cada hora foi sugerida 
uma transformação. Uma revisão de literatura acerca da característica 
a ser transformada pode auxiliar nessa decisão.
67
estatística experimental no rbio
A transformação de raiz quadrada é própria para certos tipos de 
dados em que a média é aproximadamente igual a variância, ou seja, 
dados oriundos de uma distribuição de Poisson (tipo de distribuição 
em que os dados apresentam uma probabilidade baixa de ocorrência 
nos indivíduos). 
Tais tipos de dados acontecem quando as variáveis são oriun-
das de contagem, como número de carrapatos por animal ou parcela. 
Os dados oriundos de escala de notas também devem ser transfor-
mados através da raiz quadrada. Também os dados de porcentagens, 
referentes às contagens, quando variam de 0 a 20% ou de 80 a 100%, 
podem ser transformados através da raiz quadrada. Neste caso, as 
porcentagens entre 80 e 100% devem ser, de preferência, subtraídas 
de 100, antes de se fazer à transformação. A transformação da raiz 
quadrada é, ainda, indicada no caso de porcentagens, fora dos limites 
acima considerados, quando as observações estão claramente numa 
escala contínua. Neste caso tem-se: x Quando nesse tipo de trans-
formação os dados variam de 0 a 10, trabalha-se com 0.5 x + 1 x +
pois evita-se o problema dos valores de x iguais a zero. 
A transformação logarítmica é usada quando os dados têm des-
vios padrão proporcionais às médias, ou seja, todas amostras apresen-
tam o mesmo coeficiente de variação. Também são aplicadas quando 
os efeitos são multiplicativos em vez de aditivos. Essa transformação 
é satisfatória quando os dados referem à contagem de bactérias, de 
esporos, de ovos de insetos. É ainda utilizada quando os dados são 
apresentados por porcentagens e abrangem uma grande amplitude 
de variação, resolvendo tanto o problema da heterogeneidade de 
variância quanto de falta de aditividade do modelo. Quando a amostra 
possui dados iguais a zero ou perto de zero usa-se log(x+1), evitando 
utilização de números negativos na análise. Deve ainda ressaltar que 
esta transformação é utilizada quando as variâncias de cada amostra 
possuem no mínimo 12 observações.
68
estatística experimental no rbio
A transformação arco seno ou angular é própria para dados em 
que a média é proporcional a variância, ou seja, dados oriundos de 
distribuição binomial. Observa-se este tipo de dados quando as vari-
áveis são oriundas de proporção como porcentagem de germinação 
de sementes, porcentagem de mortalidade de plantas. A porcentagem 
a ser aplicada é ( ) %arco seno x Se todos os dados estiverem entre 
30 e 70% não precisa utilizar a transformação. Caso o número de 
observações seja menor que 50 (N<50), a proporção 0% deverá ser 
substituída por ¼ N e a proporção 100% por 100-¼ N, antes de realizar 
a transformação.
Resultado das análises
Considerando o conjunto de dados apresentados anteriormen-
te, as saídas fornecidas pelo Rbio são apresentadas a seguir.
No menu ANOVA > Pressuposições podem ser processadas 
as análises para pressuposições da análise de variância, conforme na 
Figura 3.4.
69
estatística experimental no rbio
Figura 3.4. Software Rbio, e rotina de procedimentos para realizar análise de 
pressuposições de análise de variância.
70
estatística experimental no rbio
Os scripts usados pelo software, e as saídas fornecidas por ele, 
via processamento no software R são apresentados a seguir.
# -----------------------------------
# Script 2: Pressuposições da ANOVA
# -----------------------------------
# ----------------------
# 2.1- Leitura dos dados
# ----------------------
X<-read.table(“c:/_Rbio/ebook/exemplo1.txt”, h=T) # Leitura dos dados
X
 Trat Rep Variavel
1 1 1 66.98
2 1 2 75.61
3 2 1 113.77
4 2 2 126.24
5 3 1 71.87
6 3 2 87.53
 
# ----------------------
# 2.2- Anova DBC
# ----------------------
Trat<-as.factor(X[,1])
Rep<-as.factor(X[,2])
Modelo<-aov(X[,3]~Rep+Trat)
anova<-anova(Modelo)
anova
Analysis of Variance Table
Response: X[, 3]
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
Rep 1 225.22 225.22 36.353 0.026422 * 
Trat 2 2711.87 1355.93 218.868 0.004548 **
Residuals 2 12.39 6.20 
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
 
# ----------------------
# 2.3- Teste de não aditividade
# ----------------------
#install.packages(“agricolae”)
library(agricolae)
df<-df.residual(Modelo)
MSerror<-deviance(Modelo)/df
nonadditivity(X[,3], Trat, Rep, df, MSerror)
Tukey’s test of nonadditivity
Analysis of Variance Table
Response: residual
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Nonadditivity 1 0.5663 0.5663 0.0479 0.8628
Residuals 1 11.8242 11.8242 
 
# ----------------------
# 2.4- Independência dos erros
# ----------------------
Y<-X[,3]
regressao<-lm(Y~X[,1])
print(summary(regressao))
71
estatística experimental no rbio
Call:
lm(formula = Y ~ X[, 1])
Residuals:
 1 2 3 4 5 6 
-19.151 -10.521 23.437 35.907 -22.666 -7.006 
Coefficients:
 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) 
(Intercept) 81.928 28.977 2.827 0.0475 *
X[, 1] 4.202 13.414 0.313 0.7697 
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 26.83 on 4 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.02395,Adjusted R-squared: -0.2201 
F-statistic: 0.09816 on 1 and 4 DF, p-value: 0.7697
 
AnalRes <- aov(Y ~ X[,1])
AnalRes
Call:
 aov(formula = Y ~ X[, 1])
Terms:
 X[, 1] Residuals
Sum of Squares 70.644 2878.830
Deg. of Freedom 1 4
Residual standard error: 26.82737
Estimated effects may be unbalanced
par(mfrow=c(2,2)) 
plot(AnalRes)
#install.packages(“car”)
library(car)
durbinWatsonTest(lm(Y~X[,1]))
 lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
 1 0.04911042 1.757333 0.348
 Alternative hypothesis: rho != 0
72
estatística experimental no rbio
# ----------------------
# 2.5- Homogeneidade de Variância
# ----------------------
cat(“\n”, “Teste de Homogeneidade de variancias de Bartlett”,”\n”)
 Teste de Homogeneidade de variancias de Bartlett 
testeH<- bartlett.test(X[,3]~Trat, data = X)
print(testeH)
Bartlett test of homogeneity of variances
data: X[, 3] by Trat
Bartlett’s K-squared = 0.23268, df = 2, p-value =
cat(“\n”, “Teste de Homogeneidade de variancias de Bartlett”,”\n”)
 Teste de Homogeneidade de variancias de Bartlett 
testeH<- bartlett.test(X[,3]~Trat, data = X)
print(testeH)
Bartlett test of homogeneity of variances
data: X[, 3] by Trat
Bartlett’s K-squared = 0.23268, df = 2, p-value =
0.8902
# ----------------------
# 2.6- Normalidade dos erros
# ----------------------
# 2.6.1- Simetria
# ----------------------
#install.packages(“e1071”)
require(e1071)
dados<-X[,3]
skewness(dados,type=3)
[1] 0.429522
 
# ----------------------
# 2.6.2- Curtose
# ----------------------
kurtosis(dados,type=3)
[1] -1.838679
# ----------------------
# 2.6.3- Teste Lilliefors
# ----------------------
#install.packages(“nortest”)
library(nortest) 
resid<-residuals(Modelo)
# Testes
# Lilliefors
t2 <- lillie.test(resid) # Lilliefors
t2
Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
data: resid
D = 0.19371, p-value = 0.6842
 
# ----------------------
# 2.6.4- Teste Shapiro-Wilks
# ----------------------
#Shapiro-Wilks
t3 <- shapiro.test(resid) # Shapiro-Wilk
t3
Shapiro-Wilk normality test
data: resid
W = 0.88163, p-value = 0.2766
73
estatística experimentalno rbio
Resumidamente, pode-se constatar pelas saídas apresentadas 
anteriormente:
O teste F para não aditividade é dado por QMNA / QMRNA, e no 
exemplo é dado por: F=0.5663/11.8242=0.0479, associado a 1 GL no 
numerador e 1 GL no denominador e p-value de 0.8628 que é maior 
que 0.05, portanto, não se rejeita a hipótese H0 de que os efeitos do 
modelo são aditivos, não violando a pressuposição i.
O teste Durbin Watson para independência dos erros tem p-value 
de 0.39. A hipótese H0 é que a correlação é igual a 0, e a hipótese alter-
nativa é que a correlação dos resíduos é diferente a 0. Como o p-value é 
maior que 0.05, então não se rejeita H0, portanto, não existe correlação 
entre os erros, sendo assim, independentes (pressuposição ii).
O teste de Bartlett para homogeneidade de variância teve 
p-value calculado de 0.8902, portanto, maior que 0.05, não rejeitando 
a hipótese H0 de variâncias homogêneas, então as variâncias são ho-
mogêneas (pressuposição iii).
Para avaliar a normalidade quatro estatísticas foram realizadas. 
O teste de Lilliefors, indica que os dados têm distribuição normal 
(p-value=0.6842>0.05). Para o teste de Shapiro Wilk, verifica-se que 
o valor obtido foi de 0.88163 associado a uma probabilidade de 
p-value=0.2766, ou seja, maior do que 0.05, portanto não se rejeita 
a hipótese de normalidade dos dados, sendo os dados considerados 
normais. Os valores de simetria e curtose são testados se estes são 
iguais a zero como os p-value obtidos para ambos são maiores do que 
0.05 indicam que não deve rejeitar a hipótese que eles são iguais a 0.
74
estatística experimental no rbio
ANEXO 3.1. Tabela da Distribuição F ao nível de 5% de probabilidade com v1 graus 
de liberdade do numerador e v2 graus de liberdade do denominador.
v2 \ v1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 161.45 199.5 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.88
2 18.51 19 19.16 19.25 19.3 19.33 19.35 19.37 19.38 19.4
3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79
4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6 5.96
5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74
6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.1 4.06
7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64
8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.5 3.44 3.39 3.35
9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14
10 4.96 4.1 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98
11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.2 3.09 3.01 2.95 2.9 2.85
12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3 2.91 2.85 2.8 2.75
13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67
14 4.6 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.7 2.65 2.6
15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.9 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54
16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49
17 4.45 3.59 3.2 2.96 2.81 2.7 2.61 2.55 2.49 2.45
18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41
19 4.38 3.52 3.13 2.9 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38
20 4.35 3.49 3.1 2.87 2.71 2.6 2.51 2.45 2.39 2.35
21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32
22 4.3 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.4 2.34 2.3
23 4.28 3.42 3.03 2.8 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27
24 4.26 3.4 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.3 2.25
25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.6 2.49 2.4 2.34 2.28 2.24
26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22
27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.2
28 4.2 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19
29 4.18 3.33 2.93 2.7 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18
30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16
35 4.12 3.27 2.87 2.64 2.49 2.37 2.29 2.22 2.16 2.11
40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08
75
estatística experimental no rbio
ANEXO 3.2. Tabela da Distribuição F ao nível de 1% de probabilidade com v1 graus 
de liberdade do numerador e v2 graus de liberdade do denominador.
v2 \ v1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 4052.2 4999.3 5403.5 5624.2 5763.9 5858.9 5928.3 5980.9 6022.4 6055.9
2 98.5 99 99.16 99.25 99.3 99.33 99.36 99.38 99.39 99.4
3 34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.34 27.23
4 21.2 18 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.8 14.66 14.55
5 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.05
6 13.75 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.1 7.98 7.87
7 12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62
8 11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81
9 10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.8 5.61 5.47 5.35 5.26
10 10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.2 5.06 4.94 4.85
11 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54
12 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.5 4.39 4.3
13 9.07 6.7 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.3 4.19 4.1
14 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94
15 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4 3.89 3.8
16 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.2 4.03 3.89 3.78 3.69
17 8.4 6.11 5.19 4.67 4.34 4.1 3.93 3.79 3.68 3.59
18 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.6 3.51
19 8.18 5.93 5.01 4.5 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43
20 8.1 5.85 4.94 4.43 4.1 3.87 3.7 3.56 3.46 3.37
21 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.4 3.31
22 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26
23 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.3 3.21
24 7.82 5.61 4.72 4.22 3.9 3.67 3.5 3.36 3.26 3.17
25 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13
26 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 3.09
27 7.68 5.49 4.6 4.11 3.78 3.56 3.39 3.26 3.15 3.06
28 7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.53 3.36 3.23 3.12 3.03
29 7.6 5.42 4.54 4.04 3.73 3.5 3.33 3.2 3.09 3
30 7.56 5.39 4.51 4.02 3.7 3.47 3.3 3.17 3.07 2.98
35 7.42 5.27 4.4 3.91 3.59 3.37 3.2 3.07 2.96 2.88
40 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.8
76
estatística experimental no rbio
ANEXO 3.3. Valores de χ2 para diferentes níveis de probabilidade (α) e v graus de 
liberdade.
v 0.5 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005
1 0.455 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
2 1.386 2.773 4.605 5.991 7.378 9.210 10.597
3 2.366 4.108 6.251 7.815 9.348 11.345 12.838
4 3.357 5.385 7.779 9.488 11.143 13.277 14.860
5 4.351 6.626 9.236 11.070 12.832 15.086 16.750
6 5.348 7.841 10.645 12.592 14.449 16.812 18.548
7 6.346 9.037 12.017 14.067 16.013 18.475 20.278
8 7.344 10.219 13.362 15.507 17.535 20.090 21.955
9 8.343 11.389 14.684 16.919 19.023 21.666 23.589
10 9.342 12.549 15.987 18.307 20.483 23.209 25.188
11 10.341 13.701 17.275 19.675 21.920 24.725 26.757
12 11.340 14.845 18.549 21.026 23.337 26.217 28.300
13 12.340 15.984 19.812 22.362 24.736 27.688 29.819
14 13.339 17.117 21.064 23.685 26.119 29.141 31.319
15 14.339 18.245 22.307 24.996 27.488 30.578 32.801
16 15.338 19.369 23.542 26.296 28.845 32.000 34.267
17 16.338 20.489 24.769 27.587 30.191 33.409 35.718
18 17.338 21.605 25.989 28.869 31.526 34.805 37.156
19 18.338 22.718 27.204 30.144 32.852 36.191 38.582
20 19.337 23.828 28.412 31.410 34.170 37.566 39.997
21 20.337 24.935 29.615 32.671 35.479 38.932 41.401
22 21.337 26.039 30.813 33.924 36.781 40.289 42.796
23 22.337 27.141 32.007 35.172 38.076 41.638 44.181
24 23.337 28.241 33.196 36.415 39.364 42.980 45.558
25 24.337 29.339 34.382 37.652 40.646 44.314 46.928
26 25.336 30.435 35.563 38.885 41.923 45.642 48.290
27 26.336 31.528 36.741 40.113 43.195 46.963 49.645
28 27.336 32.620 37.916 41.337 44.461 48.278 50.994
29 28.336 33.711 39.087 42.557 45.722 49.588 52.335
30 29.336 34.800 40.256 43.773 46.979 50.892 53.672
40 39.335 45.616 51.805 55.758 59.342 63.691 66.766
50 49.335 56.334 63.167 67.505 71.420 76.154 79.490
60 59.335 66.981 74.397 79.082 83.298 88.379 91.952
77
estatística experimental no rbio
v 0.5 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005
70 69.334 77.577 85.527 90.531 95.023 100.425 104.215
80 79.334 88.130 96.578 101.879 106.629 112.329 116.321
90 89.334 98.650 107.565 113.145 118.136 124.116 128.299
100 99.334 109.141 118.498 124.342 129.561 135.807 140.170
ANEXO 3.4: Tabela da Distribuição Normal padrão reduzida (Z~N (0,1)) P(Z<z) e z 
positivos.
z 0.0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.61790.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224
0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621
1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830
1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767
2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890
2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916
2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936
2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952
78
estatística experimental no rbio
z 0.0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964
2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974
2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981
2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986
3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990
3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993
3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995
3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997
3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998
3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998
3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999
3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999
3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999
3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
ANEXO 3.5: Tabela da Distribuição Normal padrão reduzida (Z~N (0,1)) P(Z<z) e z 
negativos.
z 0.0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641
-0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247
-0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859
-0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483
-0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121
-0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776
-0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451
-0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148
-0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867
-0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611
-1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379
-1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170
-1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985
-1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823
-1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681
-1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559
79
estatística experimental no rbio
z 0.0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
-1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455
-1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367
-1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294
-1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233
-2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183
-2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143
-2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110
-2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084
-2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064
-2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048
-2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036
-2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026
-2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019
-2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014
-3.0 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010
-3.1 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007
-3.2 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005
-3.3 0.0005 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0003
-3.4 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002
-3.5 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002
-3.6 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001
-3.7 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001
-3.8 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001
-3.9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
ANEXO 3.6: Tabela de valores críticos para a estatística do teste de Lilliefors e 
Kolmogorov-Smirnov. considerando nível α de significância (5 e 1%) e tamanho de 
amostra n de 1 a 100.
n 5% 1% n 5% 1% n 5% 1% n 5% 1% n 5% 1%
1 0.975 0.995 21 0.2872 0.3443 41 0.2076 0.249 61 0.1709 0.2051 81 0.1487 0.1784
2 0.8419 0.9293 22 0.2809 0.3367 42 0.2052 0.2461 62 0.1696 0.2034 82 0.1478 0.1773
3 0.7076 0.829 23 0.2749 0.3295 43 0.2028 0.2433 63 0.1682 0.2018 83 0.1469 0.1763
4 0.6239 0.7342 24 0.2693 0.3229 44 0.2006 0.2406 64 0.1669 0.2003 84 0.146 0.1752
5 0.5633 0.6685 25 0.264 0.3166 45 0.1984 0.238 65 0.1657 0.1988 85 0.1452 0.1742
80
estatística experimental no rbio
n 5% 1% n 5% 1% n 5% 1% n 5% 1% n 5% 1%
6 0.5193 0.6166 26 0.2591 0.3106 46 0.1963 0.2354 66 0.1644 0.1973 86 0.1444 0.1732
7 0.4834 0.5758 27 0.2544 0.305 47 0.1942 0.233 67 0.1632 0.1958 87 0.1435 0.1722
8 0.4543 0.5418 28 0.2499 0.2997 48 0.1922 0.2306 68 0.162 0.1944 88 0.1427 0.1713
9 0.43 0.5133 29 0.2457 0.2947 49 0.1903 0.2283 69 0.1609 0.193 89 0.1419 0.1703
10 0.4092 0.4889 30 0.2417 0.2899 50 0.1884 0.226 70 0.1597 0.1917 90 0.1412 0.1694
11 0.3912 0.4677 31 0.2379 0.2853 51 0.1866 0.2239 71 0.1586 0.1903 91 0.1404 0.1685
12 0.3754 0.449 32 0.2342 0.2809 52 0.1848 0.2217 72 0.1576 0.189 92 0.1396 0.1676
13 0.3614 0.4325 33 0.2308 0.2768 53 0.1831 0.2197 73 0.1565 0.1878 93 0.1389 0.1667
14 0.3489 0.4176 34 0.2274 0.2728 54 0.1814 0.2177 74 0.1554 0.1865 94 0.1382 0.1658
15 0.3376 0.4042 35 0.2242 0.269 55 0.1798 0.2157 75 0.1544 0.1853 95 0.1375 0.1649
16 0.3273 0.392 36 0.2212 0.2653 56 0.1782 0.2138 76 0.1534 0.1841 96 0.1368 0.1641
17 0.318 0.3809 37 0.2183 0.2618 57 0.1767 0.212 77 0.1524 0.1829 97 0.1361 0.1632
18 0.3094 0.3706 38 0.2154 0.2584 58 0.1752 0.2102 78 0.1515 0.1817 98 0.1354 0.1624
19 0.3014 0.3612 39 0.2127 0.2552 59 0.1737 0.2084 79 0.1505 0.1806 99 0.1347 0.1616
200.2941 0.3524 40 0.2101 0.2521 60 0.1723 0.2067 80 0.1496 0.1795 100 0.134 0.1608
ANEXO 3.7: Tabela com constantes geradas pelas médias, variâncias e covariâncias 
da estatística de uma amostra de tamanho n de uma distribuição normal a ser 
aplicada no teste de Shapiro Wilk.
i\n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 0.7071 0.7071 0.6872 0.6646 0.6431 0.6233 0.6062 0.5888 0.5739 0.5601 0.5475 0.5359
2 0.1677 0.2413 0.2806 0.3031 0.3164 0.3244 0.3291 0.3315 0.3325 0.3325
3 0.0875 0.1401 0.1743 0.1976 0.2141 0.2260 0.2347 0.2412
4 0.0561 0.0947 0.1224 0.1429 0.1586 0.1707
5 0.0399 0.0695 0.0922 0.1099
6 0.0303 0.0539
81
estatística experimental no rbio
ANEXO 3.8: Valores críticos da estatística W de Shapiro Wilk com nível de 
significância α e tamanho de amostra n.
Nível de significância
N 0.01 0.02 0.05 0.1 0.5 0.9 0.95 0.98 0.99
3 0.753 0.756 0.767 0.789 0.959 0.998 0.999 1.000 1.000
4 0.687 0.707 0.748 0.792 0.935 0.987 0.992 0.996 0.997
5 0.686 0.715 0.762 0.806 0.927 0.979 0.986 0.991 0.993
6 0.713 0.743 0.788 0.826 0.927 0.974 0.981 0.986 0.989
7 0.730 0.760 0.803 0.838 0.928 0.972 0.979 0.985 0.988
8 0.749 0.778 0.818 0.851 0.932 0.972 0.978 0.984 0.987
9 0.764 0.791 0.829 0.859 0.935 0.972 0.978 0.984 0.986
10 0.781 0.806 0.842 0.869 0.938 0.972 0.978 0.983 0.986
11 0.792 0.817 0.850 0.876 0.940 0.973 0.979 0.984 0.986
12 0.805 0.828 0.859 0.883 0.943 0.973 0.979 0.984 0.986
13 0.814 0.837 0.866 0.889 0.945 0.974 0.979 0.984 0.986
14 0.825 0.846 0.874 0.895 0.947 0.975 0.980 0.984 0.986
15 0.835 0.855 0.881 0.901 0.950 0.975 0.980 0.984 0.987
16 0.844 0.863 0.887 0.906 0.952 0.976 0.981 0.985 0.987
17 0.851 0.869 0.892 0.910 0.954 0.977 0.981 0.985 0.987
18 0.858 0.874 0.897 0.914 0.956 0.978 0.982 0.986 0.988
19 0.863 0.879 0.901 0.917 0.957 0.978 0.982 0.986 0.988
20 0.868 0.884 0.905 0.920 0.959 0.979 0.983 0.986 0.988
82
4
DELINEAMENTO EXPERIMENTAL 
INTEIRAMENTE CASUALIZADO
O delineamento experimental pode ser definido como a forma 
como os tratamentos são organizados. O delineamento inteiramente 
casualizado (DIC) é considerado o mais simples dos delineamentos ex-
perimentais. Neste tipo de delineamento os tratamentos são alocados 
no experimento (nas unidades experimentais ou parcelas) de forma 
aleatória, ou seja, inteiramente ao acaso.
No DIC apenas os princípios da repetição e casualização estão 
presentes, portanto, não existe o controle local. Normalmente ele é 
adotado em situações onde as condições experimentais sejam unifor-
mes, ou seja, controladas, como é o caso de condução de experimen-
tos em casa de vegetação ou laboratórios. Também é aconselhado nos 
casos em que se tem risco de perder repetições durante a condução 
do experimento. Desta forma-se, tem-se que suas principais vanta-
gens são facilidade de montagem, além de que no caso de perda de 
repetições não acarreta em grandes dificuldades de análises. Outro 
fator que pode ser mencionado é o grande grau de liberdade que fica 
para o resíduo, uma vez que existirá apenas uma fonte de variação 
na ANOVA, que é o tratamento. Como desvantagem, tem-se a baixa 
precisão experimental, pois se as condições experimentais não forem 
83
estatística experimental no rbio
uniformes, haverá um elevado valor de quadrado médio do resíduo e 
consequentemente uma baixa precisão experimental.
De forma esquemática, um experimento inteiramente ao acaso 
com três tratamentos (T1, T2 e T3) e duas repetições pode ser montado 
da seguinte forma:
T1 T2
T3 T2
T1 T3
Verifica-se que não existe necessidade de que cada tratamento 
esteja dentro de cada coluna, uma vez que a coluna 1 não possui o 
tratamento 2. Porém, todos os tratamentos estão repetidos duas ve-
zes no experimento. Tal disposição dos tratamentos é totalmente ao 
acaso, por sorteio.
O modelo matemático para o delineamento inteiramente ca-
sualizado é:
Yij = m + ti + eij
em que:
Yij é o valor observado relativo à parcela que recebe o trata-
mento i na repetição j, sendo i =1, 2, ..., t e j= 1, 2, ..., r.
m é a média geral do experimento
ti é o efeito do tratamento i
eij é o erro aleatório associado a observação ij, ou seja, contri-
buição ao acaso da variação devido a fatores não controlados.
O quadro da ANOVA neste delineamento é apresentado na 
Tabela 4.1.
84
estatística experimental no rbio
Tabela 4.1. Quadro da ANOVA considerando delineamento inteiramente 
casualizado.
FV GL SQ QM F
Tratamento t-1 SQTrat QMTrat= SQTrat/glTrat QMTrat / QMRes
Resíduo tr-t = t(r-1) SQRes QMRes= SQRes/glRes
Total tr-1 SQTotal
Em que:
2
1 1
t r
Total ij
i j
SQ Y C
= =
= −∑∑
2
.
1
1 t
Trat i
i
SQ Y C
r =
= −∑
2 2
.
1 1 1
1t r t
Res Total Trat ij i
i j i
SQ SQ SQ Y Y
r= = =
= − = −∑∑ ∑
e 
2
..YC
tr
= é denominada Correção.
O Quadrado Médio é obtido dividindo a Soma de Quadrado da 
Fonte de Variação em estudo por seu respectivo grau de liberdade. O 
grau de liberdade total é dado pelo número total de parcelas (tr) me-
nos 1, e o grau de liberdade de tratamentos é dado pelo número total 
de tratamentos menos 1. Em relação grau de liberdade ao resíduo, 
este pode ser obtido pelo grau de liberdade total – grau de liberdade 
dos tratamentos. 
O teste F, por sua vez, é obtido dividindo o QMTrat pelo QMRes, 
ou seja, F=QMTrat/QMRes. Ele é usado para avaliar se existe diferença 
entra as médias dos tratamentos, uma vez que a hipótese H0 desse 
modelo é a igualdade das médias H0: t1=t2=t3. Uma vez que o F é sig-
85
estatística experimental no rbio
nificativo, isto é um indicativo de que pelo menos uma média difere 
das outras. Para verificar a significância do teste deve-se adotar um 
nível de significância (normalmente 5 ou 1%), em que o valor obtido 
na ANOVA (valor calculado) será comparado com um valor tabelado 
(ANEXOS 4.1 e 4.2), sendo que este valor tabelado é obtido numa 
tabela de dupla entrada em que são fornecidos os graus de liberdade 
do numerador na horizontal e do denominador na vertical. Nesse 
tipo de delineamento, tem-se o grau de liberdade de tratamentos na 
horizontal e do resíduo na vertical. Se o valor calculado for maior que o 
valor tabelado, rejeita-se H0, dizendo então que o teste foi significativo 
ao nível de significância adotado, existindo, portanto, pelo menos uma 
média que difere estatisticamente das outras. Para identificar qual é 
esta média, aplica-se os testes vistos no capítulo de procedimentos de 
comparações múltiplas.
Considerando um experimento com três tratamentos e duas 
repetições, os dados devem ser arranjados conforme a Tabela 4.2 e 
Tabela 4.3 para proceder a ANOVA. 
Tabela 4.2. Tabela auxiliar considerando observações de três tratamentos e duas 
repetições para proceder a anova.
Tratamentos
Repetições
Total Média
1 2
1 Y11 Y12 1
1
Y1. 
r
j
j
Y
=
= ∑ Ȳ1.
2 Y21 Y22 2
1
Y2. 
r
j
j
Y
=
= ∑ Ȳ2.
3 Y31 Y32 3
1
Y3. 
r
j
j
Y
=
= ∑ Ȳ3.
Total Y.1 Y.2
1 1
Y..
t r
ij
i j
Y
= =
=∑∑
86
estatística experimental no rbio
Tabela 4.3. Avaliação de uma variável agronômica simulada em delineamento 
inteiramente casualizado.
Tratamentos
Repetições
Total Média
I II
1 66.98 75.61 142.59 71.295
2 113.77 126.24 240.01 120.005
3 71.87 87.53 159.4 79.7
Total 252.62 289.38 542
Média 84.20667 96.46 90.333
Considerando os valores da Tabela 4.3, para obtenção do qua-
dro da ANOVA tem-se:
2 2
.. 542 48960.67
3 2
YC
tr x
= = =
2 2 2 2
1 1
2 2 2
66.98 75.61 113.77
126.24 71.87 87.53 48960.6 2949.474
t r
Total ij
i j
SQ Y C
= =
= − = + +
+ + + − =
∑∑
( )2 2 2 2.
1
1 1 142.59 240.01 159.4
2
48960.6 2711.867
t
Trat i
i
SQ Y C x
r =
 = − = + +  
− =
∑
2949.474 2711.867 237.6067Res Total TratSQ SQ SQ= − = − =
Os quadrados médios são obtidos dividindo as respectivas so-
mas de quadrados pelo grau de liberdade da fonte de variação, desse 
modo tem-se:
87
estatística experimental no rbio
/ 2 2711.867 / 2 1355.9Trat TratQM SQ= = =
/ 3 237.6067 / 3 79.2Res ResQM SQ= = =
o valor do teste F = QMTrat / QMRes= 1355.9/79.2=17.11.
O valor tabelado de F a 5% de probabilidade e 2 graus de liber-
dade do numerador e 3 graus de liberdade do denominador (F5%;2;3) é 
igual a 9.55 (ANEXO 4.1). Dessa forma, o F calculado (17.11) é maior 
que F tabelado, então rejeita-se a hipótese H0 de que o componente 
de variância σ2g é igual a zero, uma vez que o modelo é aleatório. 
Para fazer a comparação considerando 1% de probabilidades, deve-se 
usar o ANEXO 4.2 e o valor encontrado será 30.82. Caso o efeito de 
tratamento fosse fixo a hipótese H0 seria de igualdade entre médias, 
devendo haver pelo menos uma média que difere estatisticamente das 
demais ao rejeitar a hipótese pelo teste F.
Dessa forma, o quadro da ANOVA está representado na Tabela 4.4:
Tabela 4.4. Resultado da análise de variância da variável agronômica simulada, 
considerando delineamento inteiramente ao acaso.
FV GL SQ QM F E(QM)
Tratamento 2 2711.867 1355.9 17.11* σ2 + r σ2g
Resíduo 3 237.6067 79.2 σ2
Total 5 2949.474
*: significativo a 5% de probabilidade pelo teste F.
Neste exemplo, é possível avaliar a potencialidade geral dos 
genótipos, por meio da média geral, e a precisão experimental, por 
meio do coeficiente de variação (CV), como representado a seguir:
88
estatística experimental no rbio
Média = 542/6 = 90.33; e
%
100 100 79.2 9.8519%
90.33
QMR
CV
média
= = =
É importante ressaltar que segundo Pimentel-Gomes (2000), 
em experimentos usados na experimentação agrícola, pode-se con-
siderar baixos CV inferiores a 10%, médios quando o CV está entre 
10 e 20%, altos quando está entre 20 e 30%, e muito alto quando 
superiores a 30%. 
Outra forma de avaliar a precisão experimental é através da 
acurácia (Resende, 2002). A expressão para obtenção da acurácia, 
como sua aplicação ao exemplo anterior, é dada por:
1 11 1 0.9703
17.11
Acurácia
F
= − = − =
em que F é o valor de F obtido na ANOVA para os efeitos dos 
tratamentos.
Segundo Resende & Duarte (2007), acurácias inferiores a 0.40 
estão associadas a uma baixa precisão experimental, entre 0.50 e 0.65 
à moderada precisão, entre 0.70 e 0.85 à alta precisão, e valores acima 
de 0.90 de acurácia referem-se a muito alta precisão experimental.
Em experimentos inteiramente ao acaso a variância residual 
pode ser obtida de forma alternativa por meio da média das variâncias 
de cada tratamento. Dessa forma tem-se:
2
2 1ˆ
t
ii
S
QMR
t
σ == = ∑
89
estatística experimental no rbio
Para o exemplo dado tem-se:
Conhecidas as esperanças dos quadrados médios é possível 
obter os estimadores dos componentes de variância e estimar parâ-
metros genéticos úteis ao melhorista. Para este caso tem-se:
2ˆ QMRσ =
e
2 QMT-QMRˆ
rg
σ =
Quando se avalia um conjunto de genótipos é comum a pratica 
de seleção tendo por base o desempenho médio de cada um deles. 
Neste caso, para dois genótipos i e i’ são comparadas as médias:
e
90
estatística experimental no rbio
A variação fenotípica entre as unidades de seleção é expressa por:
em termos de variação fenotípica, tem-se:
2 2 21ˆ ˆ ˆf g
QMT
r r
σ σ σ= + =
Assim, pode ser obtida a herdabilidade dada por;
2 var
var
iância genética entre as unidades de seleçãoh
iância fenotípica entre as unidades de seleção
=
tendo-se:
2
2
2
2
ˆ
ˆ ˆ
g
g
h
r
σ
σ σ
=
+
A herdabilidade é um parâmetro muito útil ao melhorista, que 
mede o quando da variação fenotípica é devido a causas genéticas. 
Uma medida análoga à herdabilidade, quando se tem o efeito de 
tratamento fixo, é o coeficiente de determinação genotípico (H2) que 
expressa a proporção da variância fenotípica que é devida a variabili-
dade genética entre as médias dos tratamentos. 
A herdabilidade é estimada por meio da expressão:
2
2 ˆ gh QMT
r
σ
=
91
estatística experimental no rbio
Para o exemplo considerado, tem-se:
2 QMT-QMR 1355.9-79.2 638.35
2
ˆ g r
σ = = =
e
2
2 638.35 0.9415 94.15% 
13 2
ˆ
55 /
gh QMT
r
σ
= = = =
O coeficiente de correlação intraclasse pode também ser obti-
do a partir destes componentes, considerando que:
( ) ( ) ( ){ }ij ij' ij ij ij' ij'Cov ,Y Y E Y E Y Y E Y   = − −   
sendo
( )ijij i ijY E Y g ε− = +
( )' ij' 'ij i ijY E Y g ε− = +
então
( )ij 'Cov , cov( , ')ijY Y m gi eij m gi eij= + + + +
( ) cov( , ') cov( , ) cov( , ')V gi eij eij gi eij gi eij= + + +
( )2 2i gE g σ= =
92
estatística experimental no rbio
Lembrando o fato de que a covariância entre efeitos diferentes 
é igual a 0.
Sabe-se também que:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
ij ij'
2 22cov( , ) g
V Y V Y V m gi eij
V gi V eij gi eij σ σ
= = + +
= + + = +
Assim
( )
( ) ( )
2
ij ij'
2 2
ij ij'
ˆ
ˆ ˆˆ ˆ
Côv ,
r=
 V
g
g
Y Y
V Y Y
σ
σ σ
=
+
sendo r o coeficiente da correlação intraclasse.
Esta correlação intraclasse mede a repetibilidade do genótipo 
ao longo das repetições, portanto valores altos de correlação intraclas-
se são indicativos que se pode usar menos número de repetições na 
experimentação. Esta é usada para comparar as variações existentes 
nos blocos (ou repetições) j e j’, sendo:
Portanto as variações dentro da repetição j são devido às varia-
ções genéticas e ambientais como mostrado anteriormente.
93
estatística experimental no rbio
Tomando novamente como ilustração os dados da Tabela 4.3 
e os resultados da análise de variância apresentados na Tabela 4.4, 
pode-se estimar para o modelo aleatório os seguintes parâmetros:
2
2 2
638.35r= 0.8896
79.2ˆ 638.3
ˆ
ˆ 5
g
g
σ
σ σ
= =
+ +
Pode ainda ser de desejo do melhorista verificar o coeficiente 
de variação genético (CVg), que é desejável ser o maior possível, mos-
trando variabilidade para a população. Outro parâmetro útil é a razão 
Cvg/Cve que pode ser empregada como um índice indicativo do grau 
de facilidade de seleção para o caráter avaliando, sendo que, segundo 
Vencovsky (1987), com esta razão superior a 1,0 tem-se situação fa-
vorável a seleção pois a variação genética é a maior responsável pelos 
valores de CVs estimados.
Considerando o exemplo, tem-se:
2
%
100 100 638.35 27.97%
90. 3
ˆ
3
g
gCV média
σ
= = =
e a razão CVg/CVe é: 27.97/9.85 = 2.83, mostrando condição 
favorável a seleção.
Os modelos fixos e aleatórios, para delineamentos inteiramen-
te ao acaso, apresentam as mesmas estimativas para o coeficiente de 
determinação (H2) e herdabilidade (h2) e para o componente quadráti-
co que expressa a variabilidade genotípica ˆ( )gϕ e a variância genotípi-
ca ( 2ˆ gσ ), porém cada valor tem seu significado biológico diferenciado.
94
estatística experimental no rbio
Resultado das análises
Considerando o conjunto de dados apresentados anteriormen-
te, as saídas fornecidas pelo Rbio são apresentadas a seguir.
Para a realização desse procedimento o caminho é: ANOVA > 
Inteiramente ao acaso (DIC), conforme a Figura 4.1.
95
estatística experimental no rbio
Figura 4.1. Software Rbio, e rotina de procedimentos para realizar análise de 
variância no delineamento inteiramente casualizado.
O arquivo usado aqui é o mesmo usado anteriormente. Como 
a primeira linha contém o nome das fontes de variação e das variáveis, 
deve-se marcar a opção “Sim. Arquivo possui nome das variáveis na 
primeira linha”. Se o usuário deseja obter os parâmetros genéticos, 
a opção “Calcular parâmetros genéticos” também deve ser marcada. 
Nesse procedimento, e em vários outros do Rbio, existe mais de um 
botão processar. Isso se deve ao fato destes terem processamento 
diferentes. Veja que no botão da direita o usuário fará a análise via 
pacote ExpDes que já permite inclusive que seja escolhido o teste de 
média a ser realizado junto com a análise de variância.
No resultado da análise de variância, pode-se perceber que a 
variável em análise possui um CV de 9.85% considerado baixo segundo 
classificação de Pimentel-Gomes (2000). Cabe ao pesquisador fazer 
uma revisão sobre a cultura, a variável e condição de cultivo para 
concluir se realmente o CV está dentro do valor esperado. A fonte de 
96
estatística experimental no rbio
variação tratamentos mostrou-se significativa,portanto, se esse for um 
efeito fixo, existe diferença entre as médias dos tratamentos e deve-se 
proceder um teste de média para identificar quais os genótipos dife-
rentes. Se esse efeito for aleatório, significa que existe variabilidade 
genética nessa população e deverá ser explorada. 
# -----------------------------------
# Script 3: Delineamento Inteiramente ao acaso (DIC)
# -----------------------------------
# ----------------------
# 3.1- Leitura dos dados
# ----------------------
X<-read.table(“c:/_Rbio/ebook/exemplo1.txt”, h=T) # Leitura dos dados
X
 Trat Rep Variavel
1 1 1 66.98
2 1 2 75.61
3 2 1 113.77
4 2 2 126.24
5 3 1 71.87
6 3 2 87.53
# ----------------------
# 3.2- ANOVA DIC
# ----------------------
Trat<-as.factor(X[,1])
Bloco<-as.factor(X[,2])
saida<-aov(X[,3]~Trat) 
print(summary(saida))
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
Trat 2 2711.9 1355.9 17.12 0.0229 *
Residuals 3 237.6 79.2 
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
# ----------------------
# 3.3- Estatísticas Gerais
# ----------------------
cat(“-----Estatisticas Gerais:”,”\n”)
-----Estatisticas Gerais: 
media <- mean(X[,3]) 
cat(“Media Geral:”, media,”\n”)
Media Geral: 90.33333 
cvE <- (100*sqrt(summary(saida)[[1]][2,3]))/media 
cat(“cv (%):”, cvE,”\n”)
cv (%): 9.851915 
acuracia <- sqrt(1-(1/summary(saida)[[1]][1,4]))
cat(“Acuracia rgg:”, acuracia,”\n”)
Acuracia rgg: 0.9703548
97
estatística experimental no rbio
ANEXO 4.1. Tabela da Distribuição F ao nível de 5% de probabilidade com v1 graus 
de liberdade do numerador e v2 graus de liberdade do denominador.
v2 \ v1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 161.45 199.5 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.88
2 18.51 19 19.16 19.25 19.3 19.33 19.35 19.37 19.38 19.4
3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79
4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6 5.96
5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74
6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.1 4.06
7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64
8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.5 3.44 3.39 3.35
9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14
10 4.96 4.1 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98
11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.2 3.09 3.01 2.95 2.9 2.85
12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3 2.91 2.85 2.8 2.75
13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67
14 4.6 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.7 2.65 2.6
15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.9 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54
16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49
17 4.45 3.59 3.2 2.96 2.81 2.7 2.61 2.55 2.49 2.45
18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41
19 4.38 3.52 3.13 2.9 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38
20 4.35 3.49 3.1 2.87 2.71 2.6 2.51 2.45 2.39 2.35
21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32
22 4.3 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.4 2.34 2.3
23 4.28 3.42 3.03 2.8 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27
24 4.26 3.4 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.3 2.25
25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.6 2.49 2.4 2.34 2.28 2.24
26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22
27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.2
28 4.2 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19
29 4.18 3.33 2.93 2.7 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18
30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16
35 4.12 3.27 2.87 2.64 2.49 2.37 2.29 2.22 2.16 2.11
40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08
98
estatística experimental no rbio
ANEXO 4.2. Tabela da Distribuição F ao nível de 1% de probabilidade com v1 graus 
de liberdade do numerador e v2 graus de liberdade do denominador.
v2 \ v1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 4052.2 4999.3 5403.5 5624.2 5763.9 5858.9 5928.3 5980.9 6022.4 6055.9
2 98.5 99 99.16 99.25 99.3 99.33 99.36 99.38 99.39 99.4
3 34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.34 27.23
4 21.2 18 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.8 14.66 14.55
5 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.05
6 13.75 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.1 7.98 7.87
7 12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62
8 11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81
9 10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.8 5.61 5.47 5.35 5.26
10 10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.2 5.06 4.94 4.85
11 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54
12 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.5 4.39 4.3
13 9.07 6.7 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.3 4.19 4.1
14 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94
15 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4 3.89 3.8
16 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.2 4.03 3.89 3.78 3.69
17 8.4 6.11 5.19 4.67 4.34 4.1 3.93 3.79 3.68 3.59
18 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.6 3.51
19 8.18 5.93 5.01 4.5 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43
20 8.1 5.85 4.94 4.43 4.1 3.87 3.7 3.56 3.46 3.37
21 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.4 3.31
22 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26
23 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.3 3.21
24 7.82 5.61 4.72 4.22 3.9 3.67 3.5 3.36 3.26 3.17
25 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13
26 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 3.09
27 7.68 5.49 4.6 4.11 3.78 3.56 3.39 3.26 3.15 3.06
28 7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.53 3.36 3.23 3.12 3.03
29 7.6 5.42 4.54 4.04 3.73 3.5 3.33 3.2 3.09 3
30 7.56 5.39 4.51 4.02 3.7 3.47 3.3 3.17 3.07 2.98
35 7.42 5.27 4.4 3.91 3.59 3.37 3.2 3.07 2.96 2.88
40 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.8
99
5
DELINEAMENTO EXPERIMENTAL 
EM BLOCOS AO ACASO
O delineamento em blocos casualizados (DBC) constitui o 
mais utilizado de todos os delineamentos experimentais. Neste tipo 
de delineamento, os três princípios básicos da experimentação estão 
presentes, portanto, nesse caso, o controle local é realizado, havendo 
restrição na aleatorização dos tratamentos, que deverão ser aleatori-
zados dentro de cada bloco, de forma que cada bloco contenha todos 
os tratamentos. 
Como na prática é quase impossível obter uma área experimental 
homogênea, principalmente em experimentos agropecuários a campo, 
procura-se que ela seja homogênea pelo menos dentro de cada bloco, 
podendo ser heterogênea entre blocos. Para o sucesso deste tipo de 
delineamento espera-se que os blocos sejam os mais homogêneos pos-
síveis. Pode acontecer, por exemplo, a montagem de blocos em locais 
diferentes, desde que estes blocos sejam homogêneos.
Nem sempre bloco é sinônimo de repetição. O número de blo-
cos e repetições coincide apenas quando os tratamentos ocorrem uma 
única vez em cada bloco, sendo esta forma a mais utilizada. Porém, há 
casos onde cada bloco inclui todos os tratamentos duas ou mais vezes.
100
estatística experimental no rbio
Para que exista uma maior uniformidade dentro de cada bloco 
é esperado que este delineamento não seja aplicado a um número 
muito grande de tratamentos, porém este número varia com a espécie 
em estudo.
De forma esquemática um experimento em blocos ao acaso 
com três tratamentos (T1, T2 e T3) e dois blocos pode ser montado da 
seguinte forma:
Bloco 1 Bloco 2
T1 T2
T3 T1
T2 T3
Verifica-se que cada tratamento está dentro de cada bloco, 
portanto cada bloco contém todos os três tratamentos. Dentro de cada 
bloco os tratamentos são dispostos de forma aleatória.
Alguns aspectos sobre este delineamento merecem destaque: 
o controle local reduz grande parte da variação que iria para o erro, 
melhorando a precisão experimental. Qualquer número de tratamen-
tos e repetições pode ser utilizado, desde que a área seja homogênea 
para cada bloco e que estes possuam todos os tratamentos. Além disso 
a análise de variância é fácil de ser realizada. Como desvantagem, po-
de-se relatar a dificuldade de obter áreas homogêneas quando se tem 
muitos tratamentos.
O modelo matemático para o delineamento em blocos casua-
lizados é:
Yij=m + bj+ ti + eij
em que:
Yij é o valor observado relativo à parcela que recebe o trata-
mento i no bloco j, sendo i =1, 2, ..., t e j= 1, 2, ..., r.
m é a média geral do experimento
101
estatística experimental no rbio
ti é o efeito do tratamento i
bj é oefeito do bloco j
eij é o erro aleatório associado a observação ij, ou seja, contri-
buição ao acaso da variação devido a fatores não controlados.
O quadro da ANOVA neste delineamento é apresentado na 
Tabela 5.1.
Tabela 5.1. Quadro da ANOVA considerando delineamento em blocos casualizados.
FV GL SQ QM F
Bloco r-1 SQBlocos QMBlocos = SQBlocos/glBlocos
Tratamento t-1 SQTrat QMTrat = SQTrat/glTrat QMTrat / QMRes
Resíduo (r-1) (t-1) SQRes QMRes= SQRes/glRes
Total tr-1 SQTotal
Em que:
2
1 1
t r
Total ij
i j
SQ Y C
= =
= −∑∑
2
.
1
1 t
Trat i
i
SQ Y C
r =
= −∑
2
.
1
1 r
Bloco j
i
SQ Y C
t =
= −∑
2 2 2
. .
1 1 1 1
1 1
Res Total Trat Bloco
t r t r
ij i j
i j i j
SQ SQ SQ SQ
Y Y Y
r t= = = =
= − −
= − −∑∑ ∑ ∑
102
estatística experimental no rbio
e 
2
..YC
tr
= é denominada por correção.
Considerando um experimento com três tratamentos e dois 
blocos, os dados devem ser arranjados conforme a Tabela 5.2 e Tabela 
5.3 para proceder a ANOVA. Desta forma, tem-se:
Tabela 5.2. Tabela auxiliar considerando observações de três tratamentos e duas 
repetições para proceder a ANOVA.
Tratamentos
Blocos
Total Média
1 2
1 Y11 Y12 1. 1
1
Y 
r
j
j
Y
=
= ∑ Ȳ1.
2 Y21 Y22 2. 2
1
Y 
r
j
j
Y
=
= ∑ Ȳ2.
3 Y31 Y32 3. 3
1
Y 
r
j
j
Y
=
= ∑ Ȳ3.
Total .1 1
1
Y 
t
i
i
Y
=
= ∑ .2 2
1
Y 
t
i
i
Y
=
= ∑
1 1
Y..
t r
ij
i j
Y
= =
=∑∑
Média Ȳ.1 Ȳ.2
Tabela 5.3. Avaliação de uma variável agronômica simulada em delineamento em 
blocos ao acaso.
Tratamentos
Blocos
Total Média
I II
1 66.98 75.61 142.59 71.295
2 113.77 126.24 240.01 120.005
3 71.87 87.53 159.4 79.7
Total 252.62 289.38 542
Média 84.20667 96.46 90.333
103
estatística experimental no rbio
Considerando os valores da Tabela 5.3, para obtenção do qua-
dro da ANOVA tem-se:
2 2
.. 542 48960.67
3.2
YC
tr
= = =
2 2 2 2
1 1
2 2 2
66.98 75.61 113.77
126.24 71.87 87.53 48960.6 2949.474
t r
Total ij
i j
SQ Y C
= =
= − = + +
+ + + − =
∑∑
( )2 2 2 2.
1
1 1 142.59 240.01 159.4
2
48960.6 2711.867
t
Trat i
i
SQ Y C x
r =
 = − = + +  
− =
∑
( )2 2 2. .
1
1 1 252.62 289.38
3
48960.6 225.283
r
Blocos j
j
SQ Y C x
t =
 = − = +  
− =
∑
2949.474 2711.867 225.283 12.3237
Res Total Trat BlocosSQ SQ SQ SQ= − − =
− − =
Os quadrados médios são obtidos dividindo as respectivas 
somas de quadrado pelo grau de liberdade da fonte de variação, desse 
modo tem-se:
/ 2 2711.867 / 2 1355.9Trat TratQM SQ= = =
/1 225.283 /1 225.283Blocos BlocosQM SQ= = =
/ 2 12.3237 / 2 6.2Res ResQM SQ= = =
104
estatística experimental no rbio
O valor do F calculado é dado pela razão QMTrat / QMRes, que 
nesse caso é: 1355.9/6.2=218.87. O valor Tabelado do F a 5% de pro-
babilidade e 2 graus de liberdade do numerador e 2 graus de liberdade 
do denominador (F5%;2;2) é igual a 19 (ANEXO 5.1). Dessa forma, o F 
calculado é maior que F tabelado, então rejeita-se a hipótese H0, sendo 
que caso tratamento seja considerado um efeito aleatório significa que 
o componente de variância associado a fonte de variação tratamento é 
diferente de zero, e, caso o tratamento seja considerado fixo, significa 
que existe pelo menos um tratamento que difere dos demais. O quadro 
da ANOVA é apresentado na Tabela 5.4.
Tabela 5.4. Resultado da análise de variância da variável agronômica simulada, 
considerando delineamento em blocos ao acaso.
FV GL SQ QM F E(QM)
Blocos 1 225.283 225.283 σ2 + t σ2b
Tratamento 2 2711.867 1355.9 218.87* σ2 + r σ2g
Resíduo 2 12.32 6.2 σ2
Total 5 2949.474
*: significativo a 5% de probabilidade pelo teste F.
Neste exemplo coeficiente de variação (CV), e a acurácia (rgg) são:
%
100 100 6.2 2.7553%
90.33
QMR
CV
média
= = =
1 11 1 0.9977
218.87
Acurácia
F
= − = − =
Percebe-se que ambas estatísticas para avaliação da precisão 
experimental tiveram valores aprimorados no DBC em relação ao DIC. 
O CV era de 9.85% no DIC e reduziu para 2.75%, enquanto a acurácia 
105
estatística experimental no rbio
que era de 0.97 aumentou para 0.99, mostrando que a mudança de 
delineamento se mostrou eficaz.
O estimador do componente da variância genética entre as 
médias das famílias avaliadas, é dado por:
2 Mˆ Q T-QMRg r
σ =
O estimador da variância ambiental a nível de parcela é dado por:
2ˆ QMRσ =
O coeficiente de herdabilidade em nível de média de famílias é 
dado por:
2
2
2
2
ˆ
ˆ ˆ
g
g
h
r
σ
σ σ
=
+
Para este caso o coeficiente de correlação intraclasse, que 
quantifica a repetibilidade do desempenho dos genótipos no experi-
mento, é dado por:
( )
( ) ( )
ij ij'
ij ij'
Côv ,
r=
Vˆ ˆ
Y Y
V Y Y
sendo
( ) 2ij 'Cˆ ˆo , ij gv Y Y σ=
106
estatística experimental no rbio
e
( ) ( ) 2 2'ˆ ˆ ˆ ˆij ij gV Y V Y σ σ= = +
Assim, tem-se 
2
2
ˆ
ˆ ˆ
g
g
r
σ
σ σ
=
+
Sabe-se também que:
( ) ( ) ( )ij ij'V Y V Y V m gi bj eij= = + + +
( ) ( ) ( )
2 2
2cov( , )
2cov( , ) 2cov( , ) g
V gi V bj V eij gi eij
gi bj bj eij σ σ
= + + +
+ + = +
Assim
( )
( ) ( )
2
ij ij'
2 2
ij ij'
ˆ
ˆ ˆˆ ˆ
Côv ,
r=
 V
g
g
Y Y
V Y Y
σ
σ σ
=
+
sendo r o coeficiente da correlação intraclasse.
Verifica-se que o estimador da correlação intraclasse no 
delineamento em blocos casualizados é a mesma do delineamento 
inteiramente casualizado. Mesmo que no modelo em blocos seja Yij = 
m + gi + bj + eij e possua o efeito bj, no cálculo da variância ele não é 
computado, uma vez que dentro de cada bloco j ou j’ só existe a varia-
ção de genótipo e ambientes, sendo assim a ( ) ( ) 2 2ij ij' gV Y V Y σ σ= = + 
como mostrada anteriormente.
107
estatística experimental no rbio
Para o exemplo em consideração, cujos dados são apresenta-
dos na Tabela 5.3 e o resultado da ANOVA apresentado na Tabela 5.4, 
são obtidas as seguintes estimativas:
2 QMT-QMR 1355.9 6.2 674.85ˆ
2g r
σ −= = =
o valor da variância genotípica pode ser obtido alternativa-
mente por meio da média das covariâncias entre os valores obtidos 
considerando pares de blocos. Assim, tem-se:
Pares de Blocos Covariância Correlação
1 e 2 674.86925 0.991314
Média 674.86925 0.991314
logo,
2 QMR= 6.2σ̂ =
108
estatística experimental no rbio
O coeficiente de herdabilidade é dado por:
( )
2
2 674.86 99.54%
/ 1355.9 / 2
ˆ gh
QMT r
σ
= = =
O coeficiente de correlação intraclasse é dado por:
2
2 2
674.86 0.9909
6.2 67 8
ˆ
ˆ ˆ 4. 5
g
g
r
σ
σ σ
= = =
+ +
O coeficiente de variação genotípico e a razão CVg/CVe são:
2
%
100 100 674.86 28.75%
90. 3
ˆ
3
g
gCV média
σ
= = =
e a razão CVg/CVe é: 28.75/2.75 = 10.43, mostrando condição 
favorável a seleção.
Pode-se ainda obter a eficiência relativa (ER) desse delinea-
mento em relação ao DIC. Se ER for maior que 1, conclui-se que o DBC 
foi eficiente.
Dessa forma, a ER é dada por:
( ) ( )
( )
 
 
1 1
1
Blocos ErroErro DIC
Erro DBC Erro
r QM r t QMQMER
QM rt QM
− + −
= =
−
( ) ( )
( )
2 1 225.283 2 3 1 6.2 250.083 8.067
6 1 6.2 10.08
ER
− + −
= = =
−
Conclui-se que utilizar o DBC mostrou-se eficiente nessa situação.
109
estatística experimental no rbio
Alternativamente, a ER pode ser obtida conforme Khan et al 
(2017). Para isso, tem-se
( ) ( )
 
 Bloco Bloco Residuo Residuo
Res DIC
Bloco Residuo
gl QM gl QM
QM
gl gl
+
=
+
( ) ( )
 
1 225.283 2 6.2
79.22
1 2Res DIC
QM
+
= =
+
e a ER é dada por:
( ) ( ) ( )( ) ( )
 
 
1 3
,
3 1
Res DIC ResiduoDBC ResiduoDIC
Res DBC ResiduoDBC ResiduoDIC
QM x gl x gl
ER DBC DIC
QM x gl x gl
+ +
=
+ +
( ) ( ) ( )( ) ( )
79.22 1 1 3 3
, 9.58
6.2 1 3 3 1
x x
ER DBC DIC
x x
+ +
= =
+ +
Resultado das análises
Considerando o conjunto de dados apresentados anteriormen-
te, as saídas fornecidas pelo Rbio são apresentadas a seguir.
O acesso a análise é feito por: ANOVA> Blocos Casualizados 
(DBC) > DBC, conforme Figura 5.1. A entrada dos dados é realizada da 
mesma forma feita no DIC.
110
estatística experimental no rbio
Figura 5.1. Software Rbio, e rotina de procedimentos para realizar análise de 
variância no delineamento de blocos ao acaso.
111
estatística experimentalno rbio
# -----------------------------------
# Script 4: Delineamento Blocos ao acaso (DBC)
# -----------------------------------
 
# ----------------------
# 4.1- Leitura dos dados
# ----------------------
X<-read.table(“c:/_Rbio/ebook/exemplo1.txt”, h=T) # Leitura dos dados
X
 Trat Rep Variavel
1 1 1 66.98
2 1 2 75.61
3 2 1 113.77
4 2 2 126.24
5 3 1 71.87
6 3 2 87.53
# ----------------------
# 4.2- ANOVA DBC
# ----------------------
Trat<-as.factor(X[,1])
Bloco<-as.factor(X[,2])
saida<-aov(X[,3]~Bloco+Trat) 
print(summary(saida))
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
Bloco 1 225.2 225.2 36.35 0.02642 * 
Trat 2 2711.9 1355.9 218.87 0.00455 **
Residuals 2 12.4 6.2 
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
# ----------------------
# 4.3- Estatísticas Gerais
# ----------------------
cat(“-----Estatisticas Gerais:”,”\n”)
-----Estatisticas Gerais: 
media <- mean(X[,3]) 
cat(“Media Geral:”, media,”\n”)
Media Geral: 90.33333 
cvE <- (100*sqrt(summary(saida)[[1]][3,3]))/media 
cat(“cv (%):”, cvE,”\n”)
cv (%): 2.755372 
acuracia <- sqrt(1-(1/summary(saida)[[1]][2,4]))
cat(“Acuracia rgg:”, acuracia,”\n”)
Acuracia rgg: 0.9977129 
Como verificado na saída a fonte de variação de tratamentos é 
significativa (p-value <0.05), o que significa que existe pelo menos um 
tratamento diferente dos demais. Para a identificação correta de qual 
é este, ou estes tratamentos, deve ser utilizando um teste de compa-
112
estatística experimental no rbio
rações de médias, tal procedimento será explorado posteriormente. 
Na saída, a fonte de variação blocos também se mostrou significativa. 
Diversos autores não recomendam testar blocos, pois a princípio não 
existe uma repetição dos blocos, visto que ao montar o experimento 
em blocos o pesquisador assume que eles são diferentes, pois blocos 
envolve mais do que simplesmente o princípio de repetição, ele envol-
ve o princípio de controle local. Como ao fazer a descrição do modelo 
no R é informado que tem 2 fatores, ele coloca estas fontes de variação 
e testa as mesmas, sendo assim ele não diferencia se esta é um bloco 
ou outro fator qualquer a ser testado.
ANEXO 5.1. Tabela da Distribuição F ao nível de 5% de probabilidade com v1 graus 
de liberdade do numerador e v2 graus de liberdade do denominador.
v2 \ v1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 161.45 199.5 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.88
2 18.51 19 19.16 19.25 19.3 19.33 19.35 19.37 19.38 19.4
3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79
4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6 5.96
5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74
6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.1 4.06
7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64
8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.5 3.44 3.39 3.35
9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14
10 4.96 4.1 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98
11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.2 3.09 3.01 2.95 2.9 2.85
12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3 2.91 2.85 2.8 2.75
13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67
14 4.6 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.7 2.65 2.6
15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.9 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54
16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49
17 4.45 3.59 3.2 2.96 2.81 2.7 2.61 2.55 2.49 2.45
18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41
19 4.38 3.52 3.13 2.9 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38
20 4.35 3.49 3.1 2.87 2.71 2.6 2.51 2.45 2.39 2.35
113
estatística experimental no rbio
v2 \ v1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32
22 4.3 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.4 2.34 2.3
23 4.28 3.42 3.03 2.8 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27
24 4.26 3.4 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.3 2.25
25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.6 2.49 2.4 2.34 2.28 2.24
26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22
27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.2
28 4.2 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19
29 4.18 3.33 2.93 2.7 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18
30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16
35 4.12 3.27 2.87 2.64 2.49 2.37 2.29 2.22 2.16 2.11
40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08
114
6
COMPONENTES DE VARIÂNCIA
Na experimentação agropecuária uma forma de obter os parâ-
metros genéticos é através dos componentes de variância obtido pela 
esperança de quadrados médios da ANOVA. A esperança matemática 
pode ser definida como o valor médio esperado para determinada 
variável. Suas propriedades são:
E(k) = k, em que k é uma constante
E(X + k) = E(X) + E(k) = E(X) + k
E(kX) = k E(X)
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
E(X Y) = E(X) . E(Y), se X e Y são independentes.
A variância de uma variável aleatória pode ser definida por:
V(X) = E[(X - E(X)]2 = E(X2) - [E(X)]2
E a covariância:
Cov(X,Y) = E{[(X - E(X)] [(Y - E(Y)]} = Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
115
estatística experimental no rbio
Como consequência destas obtemos as propriedades de vari-
ância e covariância: 
V(aX) = a2V(X), sendo a uma constante.
V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X,Y)
V(X - Y) = V(X) + V(Y) - 2Cov(X,Y)
V(aX + bY) = a2V(X) + b2V(Y) +2abCov(X,Y), sendo a e b constantes.
V(aX - bY) = a2V(X) + b2V(Y) -2abCov(X,Y)
Cov(a, X) = 0
Cov(X, X) = V(X)
Cov(aX+bY, Z) = aCov(X,Z) + bCov(Y,Z)
Em muitos trabalhos de pesquisa realizam-se ensaios procu-
rando avaliar a influência de fatores sobre determinada característica 
de interesse. Assim, o valor mensurado é consequência que os efeitos 
previsíveis e imprevisíveis têm sobre a característica, de forma que 
possa ser expresso em modelos. Um modelo descreve a observação 
sendo determinada pelos efeitos avaliados e dois outros que são a 
constante µ, geralmente a média geral da característica estudada, e o 
erro (Ɛ). Os efeitos estudados são classificados como fixos e aleatórios, 
de forma que se tenha:
Y = µ + Efeitos Fixos + Efeitos Aleatórios + ε
Assim, por exemplo, se o estudo tem por finalidade avaliar a 
produção de grãos de um conjunto de genótipos (efeito gi), testados 
em experimentos em blocos ao acaso (efeito bj) em vários anos (efeito 
ak) e locais (efeito lm), pode-se adotar o seguinte modelo para descre-
ver os valores obtidos em cada indivíduo ou parcela:
ijkm j i k m ik im km ikm ijkmY b g a l ga gl al galµ ε= + + + + + + + + +
116
estatística experimental no rbio
Neste exemplo o modelo é determinado por µ, a média geral, 
erro Ɛijkm, que é o erro, e os demais efeitos (gi, bj, ak e lm) que, depen-
dendo de sua natureza amostral, serão considerados fixos ou aleató-
rios. Assim, define-se componentes de variâncias como as variâncias 
associadas aos efeitos aleatórios de um modelo estatístico.
Para o modelo considerado, o erro é aleatório e a constante µ 
é fixa. Admitindo ser também aleatório o efeito de anos, serão encon-
trados os seguintes componentes de variância: σ2a, associada ao efeito 
aleatório de anos, σ2al associada ao efeito aleatório da interação entre 
anos e locais, σ2ga associada ao efeito aleatório da interação entre 
genótipos e anos, σ2gal associada ao efeito aleatório da interação tripla 
entre genótipos, anos e locais e σ2 associada ao erro aleatório. Note 
que a interação entre efeitos é considerada aleatória se envolver pelo 
menos um efeito aleatório.
A importância dos estudos dos componentes de variância 
se dá em razão de ser um dos modos mais utilizados para obter o 
estimador da variância genotípica, e de seus componentes aditivo 
e não-aditivo, é por meio de esperança matemática dos quadrados 
médios da análise de variância. Este método é frequentemente apli-
cado em modelos balanceados e denomina-se “Método da Análise 
de Variância” ou dos momentos.
Assim, a obtenção dos componentes de variância tem sido de 
grande interesse no melhoramento genético uma vez que é possível, 
por meio de delineamentos experimentais, estimar a variância genotí-
pica a partir dos dados fenotípicos observados. Como ilustração, será 
considerado um experimento de avaliação de genótipo emblocos ao 
acaso, com r repetições, de forma que as esperanças dos quadrados 
médios de tratamentos (ou genótipos) e de resíduo serão:
( ) 2 2 gE QMT rσ σ= +
117
estatística experimental no rbio
( ) 2QMR = E σ
sim, as variâncias ambientais e genotípicas podem ser obtidas 
por meio de:
2ˆ QMRσ =
e
2 Mˆ Q T-QMRg r
σ =
Conhecidas estas estimativas o geneticista poderá gerar infor-
mações de grande utilidade para a predição de ganhos, alterações na 
estrutura e predição da potencialidade das populações para diferentes 
características avaliadas.
Efeitos fixos e aleatórios
Um efeito é considerado fixo quando as conclusões a seu 
respeito forem válidas somente a ele próprio. Neste caso, o objeto 
(tratamento, local, dose etc.) estudado não constitui uma amostra, 
mas sim o próprio material de interesse.
Em estudos de genética e melhoramento geralmente consi-
dera-se que genótipo é um efeito fixo em ensaios de competição e 
indicação de cultivares, em que o principal objetivo é eleger os de 
melhores desempenhos, confrontados, estatisticamente, por teste de 
comparação de médias.
Se gi é um efeito fixo, então se verifica:
E(gi) = gi
118
estatística experimental no rbio
E(gi) = gi
( )2 2 = gi iE g
 = kig∑ , tomando-se na maioria das vezes k igual a zero.
Um efeito é considerado aleatório quando o material avaliado se 
constitui numa amostra de uma população, de forma que as informações 
obtidas têm apenas o interesse de caracterizar a população de trabalho.
Em programas de melhoramento considera-se gi como sendo 
um efeito aleatório em estudos de avaliação de progênies derivadas 
de populações segregantes sob seleção. As progênies são utilizadas 
para prover informações da variabilidade genética da população-base 
e das unidades a serem recombinadas para formação da população 
melhorada.
Se gi é um efeito aleatório, então se verifica:
( ) = 0iE g
( )2 2 =i gE g σ
( )´, = 0i iE g g
Geralmente trabalha-se com gi ~NID(0, 2 gσ ) (lê-se gi tem distri-
buição normal e é independentemente distribuído, com média zero e 
variância 2gσ ), sendo a pressuposição sobre a distribuição dos efeitos 
disponível dispensáveis quando o interesse é apenas de se estimar 
os componentes de variâncias, sem contudo testar hipótese ou obter 
intervalos de confiança.
119
estatística experimental no rbio
Modelos aleatórios, fixos ou mistos
Um modelo estatístico se diz aleatório quando todos os seus 
efeitos são aleatórios, excetuando a constante (geralmente a média 
geral) que é sempre fixa. Um modelo estatístico se diz fixo quando 
todos os seus efeitos são fixos, excetuando o erro que é sempre ale-
atório. Por fim, um modelo estatístico se diz misto quando alguns de 
seus efeitos são aleatórios e outros são fixos. Excetua-se entre estes 
efeitos considerados a média e o erro experimental.
Somatórios
Ao se fazer análise de variância é necessário obter somas de 
quadrados e quadrados médios normalmente feito por expressões 
que envolvem somatórios. Neste caso, o uso de simbologia adequada 
facilita a representação dos estimadores utilizados e permite relacionar 
os vários valores obtidos do ensaio experimental. Será considerado, 
como ilustração, a avaliação de 5 genótipos em 4 blocos, cujos valores 
são descritos a seguir. Será usada a simbologia Yij para designar a pro-
dução (total ou média) do genótipo i (i=1, 2,..,5) no bloco j (j=1,2,...,4). 
Os dados são apresentados na Tabela 6.1.
Tabela 6.1 Valores obtidos para a produção de cinco genótipos avaliados em quatro 
blocos.
Genótipos Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 Bloco 4 Total
1 Y11 Y12 Y13 Y14 G1
2 Y21 Y22 Y23 Y24 G2
3 Y31 Y32 Y33 Y34 G3
4 Y41 Y42 Y43 Y44 G4
5 Y51 Y52 Y53 Y54 G5
Total B1 B2 B3 B4 T
120
estatística experimental no rbio
Nesta tabela são utilizadas as representações:
Gi: total do genótipo i (i=1,2...g, g = 5)
Bj: total do bloco j (j=1,2,..r, r = 4)
T: total geral
Entretanto, admitindo que cada valor é representado por Yij 
seria possível representar os totais por meio de:
. 1
Gi ri ijjY Y== =∑
. 1
Bj gj ijiY Y== =∑
e,
.. . .1 1 1 1
T g r g ri j iji j i jY Y Y Y= = = == = = =∑ ∑ ∑ ∑
Algumas propriedades interessantes de somatório são:
1 1
g g
ij iji i
aY a Y
= =
=∑ ∑
( )1 1 1
g g g
ij ij ij iji i i
Y X Y X
= = =
+ = +∑ ∑ ∑
( )2 21 1 2n n n ni i i ji i i jX X X X= = <= +∑ ∑ ∑ ∑
121
estatística experimental no rbio
Considerando duas variáveis aleatórias X e Y com n valores 
representativos, pode-se expressar a média, a variância e a covariância 
por meio das expressões:
Médias:
e
Variâncias:
e
Covariância
Para a obtenção dos componentes de variância deve-se apli-
car as propriedades vistas anteriormente, nas expressões de somas 
122
estatística experimental no rbio
de quadrados do modelo estatístico adotado. Apenas para fins de 
aprendizado será enfatizado aqui o método prático de obtenção das 
expressões de somas de quadrados, e também o método prático para 
obtenção da Esperança de Quadrado Médio. Será ainda apresentada a 
dedução para o delineamento inteiramente casualizado, considerando 
tratamentos fixos e o delineamento em blocos ao acaso considerando 
tratamento como efeito aleatório. É aconselhado ao leitor, que caso 
deseje, procure alguma literatura com as deduções dos outros mode-
los estatísticos e situações não apresentadas.
Método Prático para Obtenção de Somas de Quadrados
As expressões para o cálculo de somas de quadrados são ob-
tidas a partir da minimização da soma de quadrado dos erros ou da 
maximização da verossimilhança considerando uma dada distribuição 
dos erros. Porém, elas também podem ser obtidas, de forma prática, 
a partir das informações contidas em cada expressão dos graus de 
liberdade associado a cada fonte de variação. Neste caso, os seguintes 
procedimentos devem ser adotados:
a) Estabelecer o modelo estatístico
Como exemplo será considerado o modelo:
/ijk i j ij jk ijkY m G A GA B A ε= + + + + +
Este é o modelo aplicado à análise de um conjunto de genótipos 
avaliados em vários ambientes em experimentos em blocos ao acaso.
123
estatística experimental no rbio
b) Esquematizar o quadro da análise de variância com as 
fontes de variações e respectivos graus de liberdade
Uma propriedade importante no estabelecimento dos graus de 
liberdade (GL) e somas de quadrado (SQ) é:
SQ(A/B) = SQA + SQAxB 
e 
GL(A/B) = GL(A) + GL(AxB)
Assim, para o caso considerado, tem-se:
FV GL GL expandidos
Bloco/Ambiente (r - 1)a ra –a
Genótipo (G) g – 1 g – 1
Ambiente (A) a – 1 a – 1
G x A (g - 1) (a -1) ga - a - g + 1
Resíduo a(r - 1) (g - 1) rga - ra - ga + a
Total rga – 1
sendo: i = 1,2 ...g ; j = 1,2 ...a ; k = 1,2 ...r
c) Associar as letras definidas nos graus de liberdade da fonte 
de variação com os respectivos somatórios
Cada letra nos graus de liberdade significará um somatório em 
relação ao indexador correspondente. Assim para ra tem-se somatório 
em relação a j e k dos quadrados dos totais de Yikj em relação a jk. 
Assim tem-se:
124
estatística experimental no rbio
Componente Total Num. observações Somatório
a . .jY gr 2.j.
1
gr j
Y∑
g ..iY ar 2i..
1
ar i
Y∑
ga .ijY r 2ij.
1
i j
Y
r∑∑
gr .i kY a 2i.k
1
i k
Y
a∑∑
ar . jkY g 2.jk
1
j k
Y
g ∑ ∑
gar ijkY 1
2
ijki j k
Y∑∑ ∑
1 ...Y gar
2
...
gar
Y
Desta forma obtém-se as somas de quadrados:
2 2
.jk .j.
1 1SQB/A=
grj k j
Y Y
g
−∑ ∑ ∑
2
i..
1SQG=
ar i
Y C−∑
2
.j.
1SQA=
gr j
Y c−∑
2 2 2
ij. .j. i..
1 1 1SQGA=
gr ari j j i
Y Y Y C
r
− − +∑∑ ∑ ∑
2 2 2 2
ijk .jk ij. . .
1 1 1SQR=
gr ji j k j k i j j
Y Y Y Y
g r
− − +∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑
125
estatística experimental no rbio
Método Prático para Obtenção da E(QM)
a) Modelo fixo
A esperança do quadrado médio do resíduo é 2σ a esperança dos 
quadrados médios associadas às demais fontes de variação é dada por:
2
xkσ ϕ+
Em que:
xϕ : é o componente quadrático que expressa a variabilidade 
associada ao efeito considerados fixo. Sendo:
2
gl
ii
x
f
ϕ = ∑
em que fi é o efeito considerado e gl os graus de liberdadea 
este associado.
k: produto dos coeficientes que são os limites dos indexadores 
não incluídos nas descrições do efeito fixo considerado.
Para o exemplo considerado tem-se:
126
estatística experimental no rbio
FV QM E(QM)
Blocos/Ambientes QMBA
2
b/agσ ϕ+
Genótipos (G) QMG
2 ra gσ ϕ+
Ambientes (A) QMA
2 rg aσ ϕ+
G x A QMGA
2
garσ ϕ+
Resíduo QMR 2σ
Pode ser verificado que, no modelo fixo, todo teste de hipótese 
é feito pela estatística F dada pela razão entre o quadrado médio da 
fonte de variação que se deseja testar e o quadrado médio do resíduo.
b) Modelo aleatório
Para se obter a E(QM) em um modelo aleatório adotam-se os 
seguintes procedimentos:
1. Confecciona-se uma tabela de dupla entrada considerando-
-se os indicadores das fontes de variações na coluna e os 
componentes de variância nas linhas.
2. Multiplica-se cada componente de variância pelos valores 
superiores (limite) dos indexadores não incluídos no com-
ponente de variância.
3. Inclui-se o componente, multiplicado pelo coeficiente 
apropriado, que contiver todas as letras utilizadas para 
identificação da fonte de variação considerada.
127
estatística experimental no rbio
Assim, tem-se:
Componente
FV Indexador 2σ 2garσ
2ra gσ 2agrσ 2b/agσ
Blocos/
Ambientes ra x x
Genótipos (G) g x x x
Ambientes (A) a x x x x
GxA ga x x
Resíduo - x
Desta forma, o esquema da análise de variância, com as respec-
tivas esperanças dos quadrados médios para o modelo considerado, é:
FV QM E(QM)
Blocos/Ambientes QMBA 2 2b/a+gσ σ
Genótipos (G) QMG 2 2 2ga+r ra gσ σ σ+
Ambientes (A) QMA 2 2 2 2ga b/a+r gr agσ σ σ σ+ +
G x A QMGA 2 2ga+rσ σ
Resíduo QMR 2σ
c) Modelo Misto
Para se obter a E(QM) em um modelo misto deve-se, inicialmen-
te, estabelecer os componentes considerando que o modelo é aleatório, 
conforme procedimento descrito anteriormente. Posteriormente, 
excluem-se alguns componentes de variância considerando os aspectos:
128
estatística experimental no rbio
1. Excluir do componente de variância os indexadores que 
estão contidos nas fontes de variação.
2. Excluir o efeito aninhado após a “/”.
O componente de variância permanecerá como constituinte da 
E(QM) da fonte de variação estudada se:
a. Não sobrar nenhum indexador no componente avaliado.
b. Se sobrar apenas indexadores associados a efeitos aleatórios.
Assim, o componente de variância será constituinte da E(QM) 
da fonte de variação se ele incluir, após as eliminações citadas, pelo 
menos um indexador associado a efeito fixo.
Será considerado, como ilustração, o modelo misto em que os 
efeitos de ambientes são fixos. Assim tem-se o seguinte esquema:
Componente
FV Indexador 2σ 2garσ
2ra gσ
2
agrσ
2
b/agσ
Blocos/Ambientes ra x x
Genótipos (G) g x x
Ambientes (A) a x x x x
GxA ga x x
Resíduo - x
Tem-se ainda que:
• No componente fixo, substituir 2σ por φ.
• No componente da interação que envolve efeito aleatórios e fi-
xos, acrescentar um coeficiente de multiplicação dado por f
f-1
, 
em que f representa o número limite do efeito fixo considerado. 
129
estatística experimental no rbio
Assim tem-se:
FV QM E(QM)
Blocos/Ambientes QMBA 2 2/+g b aσ σ
Genótipos (G) QMG 2 2ra gσ σ+
Ambientes (A) QMA 2 2 2
ra gr
a-1 ga ba a
gσ σ σ ϕ+ + +
G x A QMGA 2 2
ra
a-1 ga
σ σ+
Resíduo QMR 2σ
A seguir serão apresentados a forma usual de obtenção das Es-
peranças de Quadrados Médios considerando o modelo inteiramente ao 
acaso com efeitos fixos e o de blocos casualizados com efeitos aleatórios:
Modelo Inteiramente ao Acaso - efeitos fixos
Modelo Estatístico
Será considerado a avaliação de g genótipos em experimento 
com r repetições, segundo o modelo estatístico:
Yij=m + gi + eij
em que:
m : média geral (E(m) = m e E(m m2 2) )=
gi: efeito do i-ésimo genótipo, considerado fixo e, portanto, tem-se:
E(gi) = gi ( )2 2 = gi iE g e 1 = 0
g
ii
g
=∑ i = 1,2 ... g
130
estatística experimental no rbio
ijε efeito do erro aleatório do erro associado à observação de 
ordem ij, sendo:
E(eij) = 0, ( )2 2 =ijE e σ e que ( )2ij ~NID 0,ε σ j = 1,2 ...r
Esquema da Análise de Variância
Como pode ser visto na literatura de delineamentos expe-
rimentais o esquema da análise para este modelo é dado na Tabela 
6.2. Uma ilustração de um experimento conduzido em delineamento 
inteiramente ao acaso, envolvendo a avaliação de quatro genótipos 
em três repetições é ilustrado na Figura 6.1.
Figura 6.1. Esquema ilustrativo de um experimento inteiramente ao acaso com 
quatro tratamentos (genótipos) com três repetições. A parcela experimental está 
representada por um vaso contendo uma única planta, de forma que Yij representa 
o valor da característica mensurado nesta planta.
131
estatística experimental no rbio
Tabela 6.2. Esquema da análise de variâncias para o modelo inteiramente 
casualizados com g genótipos e r repetições
FV GL SQ QM
Tratamento g – 1 SQT QMT
Resíduo (r - 1)g SQR QMR
Total rg – 1 SQTo
em que:
2
ij1 1
SQTo = g r
i j
Y C
= =
−∑ ∑
2
.1
1SQT = g ii Y Cr =
−∑
2 2
ij .1 1 1
1 SQR SQTo SQT g r g ii j iY Yr= = =
= − = −∑ ∑ ∑
e
2
..
gr
YC =
Esperanças das Somas de Quadrados e Quadrado Médios 
Apesar dos resultados da análise de variância serem importan-
tes como indicadores da potencialidade da população e da precisão 
experimental ainda são deficientes, para o geneticista, por não 
quantificar a magnitude da variância genética disponível. Entretanto, 
as informações da análise de variância poderão ser ampliadas se for 
acrescentada nesta tabela as esperanças dos quadrados médios. 
A obtenção das esperanças das somas de quadrados e quadra-
dos médios será abordada a seguir.
132
estatística experimental no rbio
Soma de Quadrado Total
A esperança matemática da soma de quadrado total é dada por:
( ) ( ) ( )2ijSQTo = E i jE Y E C−∑∑
Considerando o primeiro termo, tem-se:
em que DP representa duplo-produtos envolvendo diferentes 
efeitos do modelo ou, em outros casos, também o produto entre dife-
rentes valores de um mesmo efeito. É importante salientar uma obser-
vação relativo à esperança dos DP, ou seja, E(DP). Caso tenhamos um 
efeito aleatório e um fixo, como por exemplo, E(meij), isso será mE(eij), 
e como eij é um efeito aleatório sua esperança será 0, e, portanto, a 
Esperança desse duplo-produto será zero. Caso tenhamos a esperança 
dos efeitos aleatórios, como por exemplo E(eij, eij’), essa também é 
zero, portanto, a Esperança de 2 efeitos aleatórios diferentes também 
é zero. Por fim, pode existir a situação o cálculo da esperança de 2 
efeitos Fixos, como será observado abaixo E(mgi)= mE(gi)= mgi. Porém 
esse mesmo termo aparecerá quando for realizado a E(c). Sendo assim 
teremos ele no primeiro termo da E(SQTo) – ele novamente na E(c), as-
sim ele será cortado. Dessa forma fica claro que independente do que 
está relacionado no duplo-produto, pode-se agrupá-lo e eliminá-lo das 
expressões que serão demostradas abaixo tanto para E(SQTo) quanto 
para E(SQTrat) e outras que por ventura existirem nos modelos.
133
estatística experimental no rbio
Assim,
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2[ ]
iji j i j
i ij
E Y
E m E g E E DPε
=
+ + +
∑∑ ∑∑
logo,
2 2 2 2
iji j
E( Y ) =gr m rgiir g σ+ +∑∑ ∑ (1)
Por outro lado, considerando o segundo termo, tem-se:
( ) )2 2..
2
1 1 = ( ) ( ]
gr gr
1 (grm+ )
gr
i iji j
iji j
E C E Y E m g
E
ε
ε
= + +
=
∑∑
∑∑
 (2)
2 2E(C) =gr m σ+
Assim, com base nas expressões (1) e (2) tem-se:
( ) ( )2 2SQTo = r rg - 1iiE g σ+∑
Soma de Quadrado e Quadrado Médio de Tratamento
A esperança matemática da soma de quadrado de tratamento 
é dada por:
( ) ( ) ( )2i.1SQT = iE E Y E Cr −∑
134
estatística experimental no rbio
Considerando o primeiro termo, obtém-se:
( ) ( ){ }22.
2
2 2 2 2
1 1
1
i i iji i j
i ij
i j
E Y E m g
r r
E r m r g DP
r
ε
ε
 = + + 
     = + + +        
∑ ∑ ∑
∑ ∑
2 2 2 2 21 gr ( ) DPi iji i jE m r gr
ε = + + + ∑ ∑ ∑
2 2 2grm ir g gσ= + ∑ +(3)
Assim, com base nas expressões (2) e (3) tem-se:
( ) ( ) 2 2SQT g - 1 iE r gσ= + ∑
e, consequentemente,
( ) 2SQTQMT = E
g - 1 g
E rσ ϕ  = + 
 
sendo
2
g - 1
i
g
gϕ ∑= : é o componente quadrático que expressa a variabi-
lidade genotípica entre o material genético estudado, considerado de 
efeito fixo.
Soma de Quadrado e Quadrado Médio do Resíduo
A esperança matemática da soma de quadrado do resíduo é 
obtida por meio da expressão:
135
estatística experimental no rbio
( ) ( ) ( ) ( ) 2SQR = E SQTo - E SQT = r -1 gE σ
logo
( ) ( )
2SQRQMR = E
r - 1
E
g
σ
 
= 
  
Para o experimento inteiramente ao acaso, o esquema da análi-
se de variância, com as respectivas esperanças dos quadrados médios, 
é apresentado na Tabela 6.3.
Tabela 6.3. Resumo da análise de variância do delineamento inteiramente casualizado 
aplicado a um modelo fixo e respectivas esperanças dos quadrados médios.
FV GL QM E(QM)
Tratamento g – 1 QMT 2 r gσ ϕ+
Resíduo (r - 1)g QMR 2σ
Total rg – 1
Modelo em Blocos ao Acaso - efeitos aleatórios
Modelo Estatístico
Será considerado o modelo que descreve as observações ob-
tidas da avaliação de g genótipo em experimento em blocos ao acaso 
com r blocos (ou repetições). As observações obtidas na parcela são 
dadas pelo modelo estatístico:
m+gij i j ijY b ε= + +
136
estatística experimental no rbio
em que:
ijY : observação obtida na parcela de i-ésimo genótipo no j-é-
simo bloco.
m: média geral
gi: efeito do i-ésimo genótipo considerado aleatório. 
E(gi) =0; ( )2 2 E i gg σ= ( )' E , 0i ig g =
bj: efeito do j-ésimo bloco considerado aleatório. 
E(bj) =0; ( )2 2 ˆE j bb σ= e ( )' E , 0j jb b = 
ijε : efeito aleatório do erro associado a observação de ordem ij. 
Sendo: ( ) ( )2 2ij ij0 ; E E ε ε σ= =; ( ) ( )2 2ij ij0 ; E E ε ε σ= = e ( )2~ 0,ij NIDε σ
Considera-se que os efeitos aleatórios são independentes entre si.
O esquema da análise de variância para o delineamento em 
blocos ao acaso considerando o ensaio de avaliação de g genótipos em 
b blocos é dado na Tabela 6.4 e o croqui ilustrativo de um experimento 
é apresentado na Figura 6.2
Figura 6.2. Esquema ilustrativo de um experimento em blocos ao acaso com cinco 
tratamentos (genótipos) e quatro blocos. A parcela experimental está representada 
por quatro plantas, de forma que Yij representa o total ou a média destas plantas 
para uma dada característica.
137
estatística experimental no rbio
Tabela 6.4. Esquema da análise de variância para experimentos em blocos ao acaso 
envolvendo g genótipo e r blocos.
FV GL SQ QM
Blocos r - 1 SBQ QMB
Tratamento g – 1 SQT QMT
Resíduo (r-1)(g-1) SQR QMR
Total rg-1 SQTo
em que:
2
.j
1SQB = 
j
Y C
g
−∑
2
i.
1SQT = 
j
Y C
r
−∑
2
ijSQTo = -Ci jY∑∑
SQR = SQTo – SQB – SQT e
2
..C= 
rg
Y
Esperanças das Somas de Quadrados e Quadrados Médios
Soma de Quadrados Total
A esperança matemática da soma de quadrados total é dada por:
( ) ( ) ( )2ijSQTo =E -Ei jE Y C∑∑
138
estatística experimental no rbio
Considerando inicialmente o primeiro termo da expressão, 
tem-se:
( )2 2ij ij = E (m+g )i ji j i jE Y b ε + + ∑∑ ∑∑
2 2 2 2=E[rgm +r( ) +g( ) ( ) +DP]i j ijj i jg b ε∑ +∑ ∑∑
2 2 2 2 g brgm rg rg rgσ σ σ= + + + (1)
Considerando o segundo termo da expressão, temos:
( ) ( )
(
2 2 2 2 2 2
..
2 2 2
1 1E C [ ( )
rg
( ) ) DP
ii
j ijj i j
E Y E r g m r g
rg
g b ε
= = +
+ + + 
∑
∑ ∑∑ (2)
Com base nas expressões (1) e (2), tem-se:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2SQTo =r g-1 r-1 rg-1g bE gσ σ σ+ +
Soma de Quadrados e Quadrados Médios de Blocos
A esperança matemática da soma de quadrados de blocos é 
dada por:
( ) ( )2.j
1SQB =E
j
E Y E C
g
 
− 
 
∑
Considerando o primeiro termo da expressão, tem-se:
139
estatística experimental no rbio
( )2 2 2.j ij1 1 1( ) { [ (m+g )] }i j ijj j i j iE Y E Y E bg g g ε = = + + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
({ }2 2 2 2 2 21 [ ( ) ) DPi j ijj i iE g m g g bg ε = + + + + ∑ ∑ ∑
( )2 2 2 2 2 21 rg ) ( DPi j iji j j iE m r g g bg ε = + + + +  ∑ ∑ ∑ ∑
2 2 2 2
g brgm r gr rσ σ σ= + + +
Considerando agora as expressões (2) e (3), tem-se:
( ) ( ) ( )2 2SQB r-1 1bE g rσ σ= + −
e
( ) 2 2SQBQMB =E
r-1 b
E gσ σ  = + 
 
Soma de Quadrados e Quadrados Médios de Tratamentos
A esperança matemática da soma de quadrados de tratamen-
tos (genótipos) é dada por:
( ) ( )2i.
1SQT =E
i
E Y E C
r
  − 
 
∑
Considerando o primeiro termo da expressão, tem-se:
140
estatística experimental no rbio
( ) ( ){ }
( )
2
2
.
2
1 1
1 
i iji i j
i j ij
i j
E Y E Y
r r
E m g b
r
ε
 =  
   = + + +  
   
∑ ∑ ∑
∑ ∑
(2 2 2 2 2 21 { [ ( ) ) DP }i j iji j jE r m r g br ε = + + + + ∑ ∑ ∑
(2 2 2 2 2 21 [ ) ( ) DPi j iji j i jE gr m r g g br ε = + + + + ∑ ∑ ∑ ∑
2 2 2 2rg g brgm g gσ σ σ= + + + (4)
Assim, considerando as expressões (2) e (4), tem-se: 
( ) ( ) ( )2 2SQT =r g-1 g-1gE σ σ+
( ) 2 2SQTQMT =E
g-1 g
E rσ σ  = + 
 
Soma de Quadrados e Quadrado Médio do Resíduo
A esperança matemática da soma de quadrado do resíduo é 
dada por:
( ) ( ) ( ) ( )SQR =E SQTo SQB SQTE E E − + 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ] [ ( ) ( ){ }
2 2 2
2 2 2 2
=r g-1 -1 rg-1
r-1 1 g-1 g-1
g b
b g
g r
g r r
σ σ σ
σ σ σ σ
+ +
 − + − + + 
( ) ( )2 2= rg 1 r 1 g 1 g-r-g+1rσ σ− − + − + =
= ( )( ) 2-1 g-1r σ
141
estatística experimental no rbio
logo
( ) ( )( )
2SQRQMR =E
r-1 g-1
E σ
 
= 
  
O esquema da análise de variância com as respectivas esperan-
ças dos quadrados médios para o experimento em blocos ao acaso, 
admitindo ser o modelo aleatório, é descrito na Tabela 6.5.
Tabela 6.5. Esquema da análise de variância de um experimento em blocos ao 
acaso envolvendo a avaliação de g genótipos em r blocos e respectivas esperanças 
dos quadrados médios.
FV GL QM E(QM)
Blocos r - 1 QMB 2 2bgσ σ+
Tratamentos g - 1 QMT
2 2
grσ σ+
Resíduo (r - 1) (g - 1) QMR 2σ
Noções de modelos mistos: REML/BLUP
Durante as fases iniciais de um programa de melhoramento, é 
comum que os experimentos sejam balanceados, como por exemplo 
avaliado no mesmo conjunto de lugar e anos. Essa situação simplifica 
a seleção do melhor genótipo, uma vez que a seleção fenotípica é 
eficaz. Porém, nem sempre essa é a situação corriqueira. Imagine que 
o melhorista disponha de um número de populações para avaliação, 
porém metade delas sejam avaliadas em 5 locais, e a outra metade 
seja avaliada em outros 6 locais. A seleção dos melhores materiais 
pode ser feita com base na sua performance média no ambiente que 
foi avaliado. Mas suponha que o melhorista deseje selecionar de forma 
142
estatística experimental no rbio
geral, porém, ele não avaliou todos os materiais nos 11 locais, nessa 
situação temos um conjunto de dados desbalanceados, e as diferenças 
entre os grupos de ambientes são confundidas com as diferenças entre 
os materiais genéticos, não sendo recomendado portanto, a seleção 
simplesmente pela performance média dos materiais.
O BLUP, Best Linear unbiased prediction, é um procedimento 
que permite a comparação entre experimentos desbalanceados seja 
no número de genótipos, de ambientes, ambos ou outra forma de des-
balanceamento. Portanto BLUP é muito importante no melhoramento 
genético uma vez que situações de desbalanceamento são passíveis 
de aparecer a todo instante. Além disso o BLUP permite fazer uso da 
matriz de parentesco entre os indivíduos maximizando o processo se-
letivo. Suponha que deseja comparar o desempenho entre 2 materiais 
genéticos. Pode-se apenas comparar o desempenho per se destes 
materiais e decidir qual é o melhor material, porém alternativamente, 
pode-se avaliar também o desempenho dos parentes destes materiais 
de forma e inferir sobre qual desses materiais é superior. Um exemplo 
clássico nesse sentido é visto no melhoramento animal, em que deseja 
selecionar um boi para produção de leite. Como boi não produz leite, 
sua capacidade de produção é avaliada através das suas descendentes, 
de forma queé possível estimar o real potencial do boi para contribui-
ção na produção do leite.
No melhoramento vegetal utiliza-se os termos BLUP e BLUE, 
sendo que os efeitos aleatórios são preditos através do BLUP e os 
efeitos fixos são estimados pelo BLUE. Os efeitos fixos são constantes 
e não variáveis aleatórias. Alguns efeitos fixos são, por exemplo, a 
média geral, diferentes tipos de solos. No melhoramento o ambiente 
é considerado aleatório, porém a média de um grupo de ambientes 
é considerada um efeito fixo. Imagine que no exemplo anterior dado 
tem-se que no grupo de 5 locais houve menos precipitação do que 
o segundo grupo de locais com 6 locais, será necessário proceder a 
correção para a precipitação antes de proceder a análise de compa-
143
estatística experimental no rbio
ração. Os efeitos aleatórios preditos pelo BLUP possuem estrutura de 
covariância enquanto os efeitos fixos não possuem.
A presença de efeitos fixos e aleatórios no modelo fazem com 
que este seja considerado um modelo misto. BLUP e BLUE tratam-se 
de propriedade estatísticas de predição e estimação apesar de serem 
informalmente associado aos procedimentos de análises. B de “Best” 
significa que a variância amostral predita ou estimada é mínima. L de 
“Linear” significa que as estimativas ou predições são funções lineares 
das observações. U de “Unbiased” no BLUE significa que os valores 
esperados das estimativas são iguais aos valores verdadeiros, já no 
BLUP significa que a predição tem esperança igual a zero (média).
Os reais valores de variâncias e covariâncias dos efeitos ale-
atórios são requeridos no BLUP. Mas os reais valores das variâncias 
genéticas e não genéticas são desconhecidos, sendo assim, faz-se uso 
de aproximação destas estimativas.
O procedimento REML/BLUP passou a ser usado rotineiramen-
te no melhoramento animal no exterior a partir da década de 1980. 
Algoritmos para escrever diretamente matriz de parentesco genético 
aditivo foram apresentados por Henderson (1976) nos EUA e Thomp-
son (1977) na Inglaterra.
A avaliação genotípica compreende a estimação de compo-
nentes de variância (parâmetros genéticos) e a predição dos valores 
genotípicos. As estimativas dos parâmetros genéticos tais quais a 
herdabilidade e correlações genéticas são fundamentais para o deline-
amento de eficientes estratégias de melhoramento. A experimentação 
de campo, pode ocorrer em situações de desbalanceamento de dados 
devido a vários motivos tais quais perdas de plantas e parcelas, desi-
guais quantidades de sementes e mudas disponíveis por tratamento, 
rede experimental com diferentes números de repetições por expe-
rimento e diferentes delineamentos experimentais, não avaliação de 
todas as combinações genótipo-ambiente, dentre outros. Em função 
disso o procedimento REML/BLUP (máxima verossimilhança residual 
144
estatística experimental no rbio
ou restrita/melhor predição linear não viciada), também denominado 
genericamente de metodologia de modelos mistos, lidam com o des-
balanceamento conduzindo a estimações e predições mais precisas de 
parâmetros genéticos e valores genéticos, respectivamente. 
O BLUP é o procedimento que maximiza a acurácia seletiva e, 
portanto, é superior a qualquer outro índice de seleção combinada, 
permitindo também o uso simultâneo de várias fontes de informação 
tais quais aquelas advindas de vários experimentos instalados em 
um ou vários locais e avaliados em uma ou várias colheitas. O BLUP 
individual utiliza todos os efeitos do modelo estatístico, contempla o 
desbalanceamento, utiliza o parentesco genético entre os indivíduos 
em avaliação, e considera a coincidência entre unidade de seleção e 
unidade de recombinação.
A análise de variância (ANOVA) e análise de regressão foram, 
durante muito tempo, o principal esteio da análise e modelagem 
estatística. Entretanto, estas técnicas têm limitação para lidar com da-
dos desbalanceados e com parentesco entre tratamentos. O método 
REML permite lidar com essa situação permitindo maior flexibilidade 
e eficiência na modelagem. Em experimentos agronômicos e flores-
tais, o REML tem substituído com vantagens o método ANOVA criado 
pelo cientista inglês Ronald Fisher em 1925. Na verdade, o REML é 
uma generalização da ANOVA para situações mais complexas. Para 
situações simples, os dois procedimentos são equivalentes, mas para 
as situações mais complexas encontradas na prática, a ANOVA é um 
procedimento apenas aproximado. O REML é um método eficiente 
no estudo das várias fontes de variação associadas à avaliação de 
experimentos de campo, permitindo desdobrar a variação fenotípica 
em seus vários componentes genéticos, ambientais e de interação 
genótipo x ambiente.
As principais vantagens práticas do REML/BLUP são: permite 
comparar Indivíduos ou variedades através do tempo (gerações, anos) 
e espaço (locais, blocos); permite a simultânea correção para os efeitos 
145
estatística experimental no rbio
ambientais, estimação de componentes de variância e predição de 
valores genéticos; permite lidar com estruturas complexas de dados 
(medidas repetidas, diferentes anos, locais e delineamentos); pode ser 
aplicado a dados desbalanceados e a delineamentos não ortogonais. 
No caso de dados desbalanceados, a ANOVA conduz a imprecisas 
estimativas de componentes de variância e consequentemente a pre-
dições de valores genéticos que não são acurados.
Na análise de modelos mistos com dados desbalanceados os 
efeitos do modelo não são testados via testes F tal como se faz no méto-
do da análise de variância. Nesse caso, para os efeitos aleatórios, o teste 
cientificamente recomendado é o teste da razão de verossimilhança 
(LRT). Para os efeitos fixos, um teste F aproximado pode ser usado. Um 
quadro similar ao quadro da análise de variância pode ser elaborado. Tal 
quadro pode ser denominado de Análise de Deviance (ANADEV). 
A Anova e regressão possui como pressuposições básicas a inde-
pendência de erros, independência entre tratamentos e balanceamen-
tos para um correto teste F, já os modelos mistos permitem relaxar tais 
pressuposições, principalmente no que se refere a desbalanceamento.
Na Análise tradicional os componentes de médias são as mé-
dias fenotípicas obtidas via método dos quadrados mínimos, sendo os 
componentes de variância testados via teste F da Anova. Nos modelos 
mistos os componentes de médias são as médias genéticas obtidas via 
BLUP e os componentes de variância obtidos via REML com significân-
cia realizada via LRT – qui-quadrado da ANADEV (Análise de Deviance).
O objetivo das análises são ordenar os materiais genéticos com 
base em seus valores genotípicos e não com base nos valores fenotípi-
cos, uma vez que médias fenotípicas não mais se repetem, dessa forma 
o uso dos modelos mistos nunca se mostra pior do que o uso da anova.
O parâmetro mais importante é a acurácia seletiva, que é a cor-
relação entre o valor genotípico verdadeiro e aquele estimado a partir 
das informações dos experimentos. Sendo que o estimador acurado é 
aquele que apresenta a menor diferença entre estes valores.
146
estatística experimental no rbio
Fator de Efeitos Fixos: Níveis são constantes; níveis são esco-
lhidos; inferência é válida para os níveis em estudo; informação entre 
níveis não afeta a estimação de cada nível. Fator de Efeitos Aleatórios: 
Níveis são variáveis aleatórias amostradas de uma distribuição de 
probabilidade; níveis são amostras aleatórias de uma população; infe-
rência é válida para toda a população; informação entre níveis afeta a 
estimação de cada nível.
Qualquer análise em que se tenha menos do que 5 tratamentos 
(T<5) a fonte de variação tratamentos devem ser considerada como de 
efeito fixo. As análises em que possuam menos de 10 blocos (B<10) 
a fonte de variação blocos devem ser considerada como fixo. Demais 
casos estas fontes devem ser consideradas aleatória.
Modelo Fixo: Efeitos fixos, exceto o erro experimental (e): Com-
ponentes de Médias: Quadrados Mínimos; Componentesde Variância: 
ANOVA. Teste de Significância: F
Modelo Aleatório: Efeitos aleatórios, exceto a média geral (u): 
Componentes de Médias: BLP (SI) = BLUP; Componentes de Variância: 
ML=REML (ANADEV); Teste de Significância: LRT (Qui-Quadrado).
Modelo Misto: Efeitos fixos, além da média geral; Efeitos Ale-
atórios além do erro experimental. Componentes de Médias: BLUP; 
Componentes de Variância: REML (ANADEV); Teste de Significância: 
LRT (Qui-Quadrado).
O procedimento REML/BLUP permite tratar adequadamente a 
matriz de parentesco genético aditivo entres os indivíduos em avalia-
ção. No software há uma série de análises, de seleção individual ou 
dialélicas, que podem ser realizadas considerando o parentesco entre 
os materiais avaliados. Para isso, além do arquivo de dados fenotípicos 
coletados, na estrutura experimental em foram avaliados, é também 
necessário um segundo arquivo, esse relacionado ao pedigree, em que, 
valores zeros são atribuídos a indivíduos cujos pais são desconhecidos.
147
estatística experimental no rbio
Equações de modelos mistos
As equações de modelos mistos desenvolvidas por Henderson 
(1976) permitem a solução simultânea dos efeitos fixos (β) e dos efei-
tos genéticos aleatórios (u) considerando o modelo:
y = Xβ + Zu + e
em que 
y: é o vetor das observações
β: é o vetor de parâmetros de efeitos fixos desconhecidos
u: é o vetor de parâmetros dos efeitos aleatórios desconhecidos
X: matriz de incidência do delineamento conhecida, sendo que 
X é relaciona y a β
Z: matriz de incidência do delineamento conhecida, sendo que 
Z relaciona y a u
As matrizes X e Z são constituídas de 1s e 0s.
e: refere-se ao efeito aleatório associado aos erros ou resíduos 
não observáveis.
O objetivo é obter as soluções para β e para u. No modelo misto 
assume-se que u e e são normalmente distribuídos com:
Média: 
0
0
u
E
e
   
=   
   
Variância: 0
0
u G
Var
e R
   
=   
   
Tem-se:
Var(u) = G; Var(e)=R, Cov (u, e) = 0
Var(y) = Var (Zu) + Var(e) = ZGZ’ + R
Cov (y, u’) = Cov (Zu, u’) = ZVar(u) = ZG
Cov (y, e’) = Cov (e, e’) = Var(e) = R
148
estatística experimental no rbio
Sendo assim, assumindo que y, u e e tenham distribuição nor-
mal multivariada, tem-se:
O modelo linear é um caso especial do modelo misto em que Z 
= 0 e R =σ2I. A análise de modelos mistos permite que seja especificado 
várias estruturas de covariância para ambas as matrizes G e R.
A solução das equações de modelos mistos é dada por:
( )
11 1 1
1 1 1 1
ˆ
' 'ˆ
' ' '
' /R A
X R X X R Z X R y
Z R X Z R Z A V V Z R yu
β
−− − −
− − − −
    
=     +     
nesse caso A é a matriz de covariância entre os genótipos. Se 
o efeito de dominância e epistasia é considerado nulo, tem-se que 
a matriz de covariância entre os genótipos é igual a 2rxyVA, em que 
rxy se trata da matriz de parentesco entre os genótipos x e y, dessa 
forma A é obtida por 2rxy. Caso não exista informação de parentesco, 
a covariância entre eles será nula, de forma que esta matriz A se torna 
uma matriz identidade. 
A matriz R é a matriz de variância residual ou a matriz de repe-
tições ou número de experimentos que o experimento foi conduzido, 
como por exemplo anos avaliados ou). Quando a informação experi-
mental é obtida com avaliação feita em mesmo número de ambientes, 
então a matriz R se torna uma matriz identidade de forma que pode-
mos escrever de forma resumida:
149
estatística experimental no rbio
( )
1
1
ˆ ' ' '
' ' / 'ˆ R A
X X X Z X y
Z X Z Z A V V Z yu
β
−
−
     
=     +    
Para estes cálculos são assumidos que os valores de variâncias 
são conhecidos, porém na prática estes valores são desconhecidos 
e é necessário que sejam estimados. O método REML, “Restricted 
maximum likelihood” permite a estimação destes componentes de 
variância. Por isso, muitas vezes é denotado como REML/BLUP, pois 
para a realização da análise do BLUP é necessário obter os componen-
tes de variância via REML. Os estimadores de máxima verossimilhança 
maximizam a verossimilhança dos dados segundo um específico 
modelo, ou seja, estimam os parâmetros da população que deveriam 
ocorrer para que fosse possível observar aqueles dados. A estimação 
dos componentes de variância via o método da máxima verossimi-
lhança assume que os efeitos fixos são conhecidos e sem erros. Os 
estimadores REML, em contraste, maximizam apenas uma porção da 
verossimilhança que não dependem dos efeitos fixos. O método EM 
“expectation-maximization, é um método muito usado para estimar as 
variâncias no BLUP. De forma similar ao algoritmo REML, o método EM 
é um processo interativo em que as estimativas da Variância Residual 
(VR) e Variância Aditiva (VA) iniciais são usadas para calcular β̂ e û e 
assim as estimativas de VR e VA são atualizadas.
 De forma geral pode-se explicar o método da seguinte manei-
ra: O processo inicia com o pesquisador informando os valores de VR e 
VA uma vez que a razão VR/VA é necessária para as análises (iteração 
0). Resolvendo as equações de modelos mistos obtêm as estimativas 
de β̂ e û . Estes valores de β̂ e û são usados para obter as novas es-
timativas das variâncias VR e VA (iteração 1), sendo que VR é calculado 
antes de VA. A razão VR/VA é atualizada com os resultados obtidos na 
iteração 1. Esses passos são repetidos sucessivamente até que ocorra a 
150
estatística experimental no rbio
convergência, ou seja, que os valores da variância entre duas iterações 
se diferem muito pouco (<0.01% ou <0,0001 ou 1/10000).
A variância residual, VR, é estimada segundo Henderson (1976):
( ) ( )
( ) ( )
1 çã '* 
ú çõ R
y R y vetor solu o vetor direito
V
n mero de observa es em y rank X
−
=
−
′ −
sendo o rank(X) o rank da matriz X, ou seja, o número de equa-
ções independentes para os efeitos fixos, que pode ser obtida pelo 
número de colunas diferentes de zero da matriz.
A estimativa da Variância Aditiva, VA, é obtida por:
( )
( )
' 1 1
22çˆ *
ú ó
ˆ ˆ R
A
u A u V tra o A A
V
n mero de gen tipos
− −+
=
O traço refere-se a soma dos elementos da diagonal da matriz 
quadrada. O R̂V refere-se ao valor obtido na última iteração.
É necessário fornecer a razão VR/VA para o cálculo. Alternativa-
mente de posse da herdabilidade também é possível chegar nessa razão, 
uma vez que VR/VA equivale a (1-h2) /h2, como pode-se demostrar:
21 1 VA VA VR VA VRh
VA VR VA VR VA VR
+ −
− = − = =
+ + +
2 VAh
VA VR
=
+
151
estatística experimental no rbio
Dessa forma a razão (1-h2) /h2 fica:
/
VR
VA VR VR VAVA
VA VR
+ =
+
Abaixo serão demostrados alguns exemplos com uso da equa-
ção de modelos mistos.
Exemplo 1. Considere a avaliação fenotípica de uma variável 
simulada qualquer (y), em delineamento em blocos ao acaso com 3 
tratamentos e 2 blocos (Tabela 6.6).
Tabela 6.6. Avaliação de uma variável agronômica simulada em delineamento 
inteiramente casualizado.
Tratamentos
Blocos
Total Média
I II
1 66.98 75.61 142.59 71.295
2 113.77 126.24 240.01 120.005
3 71.87 87.53 159.4 79.7
Total 252.62 289.38 542
Média 84.20667 96.46 90.333
Para este exemplo será considerado que a razão Vr/Va = 1.
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
X
 
 
 
 
=  
 
 
 
  
1 0 0
1 0 0
0 1 0
0 1 0
0 0 1
0 0 1
Z
 
 
 
 
=  
 
 
 
  
66.98
75.61
113.77
126.24
71.87
87.53
Y
 
 
 
 
=  
 
 
 
 
152
estatística experimental no rbio
Matrizes de incidência (X e Z), ordem n x p, sendo X 6x2 que 
são os efeitos dos 2 blocos (fixos), e Z 6x3 que são os efeitos dos 3 
tratamentos (aleatórios). A matriz X é a matriz dos efeitos fixos, e a 
matriz Z é a matriz dos efeitos aleatórios
O modelo então fica: y= Xb + Zg + e, e matricialmente é dado por:
66.98
75.61
113.77
 
126.24
71.87
87.53
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=
1 0
0 1
1 0
 
0 1
1 0
0 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
2
b
b
 
 
 
 + 
1 0 0
1 0 0
0 1 0
0 1 0
0 0 1
0 0 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
2
3g
g
g
 
 
 
  
 +
 
1
2
3
4
5
6
e
e
e
e
e
e
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A solução do sistema pode ser dada por:
1
' '
'
X X X Z
Z X Z Z A λ−
 
 
 ′ + 
ˆ
ĝ
β 
 
 
=
'
'
X y
Z y
 
 
 
em que A é a matriz de parentesco de dimensão de acordo com 
os dados, como nesse caso não existe parentesco entre os tratamentos 
esta é uma matriz identidade, e λ = (1-h2)/h2 sendo h2 a herdabilidade a 
nível individual, caso ela não seja conhecida pode adotar valor de λ = 1
153
estatística experimental no rbio
Desta forma tem-se:
A matriz X’X é:
1 0
0 1
1 0 1 0 1 0 1 0 3 0
0 1 0 1 0 1 0 1 0 3
1 0
0 1
 
 
 
    
=    
    
 
 
 
A matriz X’Z é: 
1 0 0
1 0 0
1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1
0 0 1
0 0 1
 
 
 
    
=    
    
 
 
 
A matriz Z’X é:
1 0
0 1
1 1 0 0 0 0 1 1
1 0
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1
0 0 0 0 1 1 1 1
1 0
0 1
 
 
    
    =    
        
 
 
154
estatística experimental no rbio
A matriz Z’Z é:
1 0 0
1 0 0
1 1 0 0 0 0 2 0 0
0 1 0
0 0 1 1 0 0 0 2 0
0 1 0
0 0 0 0 1 1 0 0 2
0 0 1
0 0 1
 
 
    
    =    
        
 
 
Na ausência de parentesco a matriz A é uma matriz identidade 
de ordem n, sendo n o número de genótipos, e a sua inversa é a mesma 
matriz A, portanto, a matriz A e sua inversão são:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A
 
 =  
  
Considerando que a razão Vr/Va = λ =1, A-1 *λ é a própria identidade
1 0 0 1 0 0
0 1 0 * 0 1 0
0 0 1 0 0 1
λ
   
   =   
      
Sendo assim, o termo Z’Z + A-1 (λ) é: 
2 0 0 1 0 0 3 0 0
0 2 0 0 1 0 0 3 0
0 0 2 0 0 1 0 0 3
     
     + =     
          
155
estatística experimental no rbio
Dessa forma com base nessas matrizes pode-se montar a matriz 
( )1
3 0 1 1 1
0 3 1 1 1
' '
1 1 3 0 0
' ' /
1 1 0 3 0
1 1 0 0 3
R A
X X X Z
Z X Z Z A V V−
 
 
  
 = +   
 
  
O próximo passo é obter os vetores do lado direito para formar 
a matriz necessária. O primeiro dele é o X’Y, que é:
66.98
75.61
1 0 1 0 1 0 113.77 252.62
0 1 0 1 0 1 126.24 289.38
71.87
87.53
 
 
 
    
=    
    
 
 
 
Do mesmo modo o Z’Y é:
66.98
75.61
1 1 0 0 0 0 142.59
113.77
0 0 1 1 0 0 240.01
126.24
0 0 0 0 1 1 159.40
71.87
87.53
 
 
    
    =    
        
 
 
156
estatística experimental no rbio
Com base nesses vetores pode-se montar a matriz:
252.62
289.38
'
142.59
'
240.01
159.40
X y
Z y
 
 
  
 = 
  
 
  
Portanto, a solução do sistema é:
3 0 1 1 1
0 3 1 1 1
1 1 3 0 0
1 1 0 3 0
1 1 0 0 3
 
 
 
 
 
 
   3
1̂
2
1
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
b
b
g
g
g
 
 
 
 
 
 
 
  
=
 
 1 252.62
 2 289.38
 1 142.59
 1 240.01
 3 159.40
Soma B
Soma B
SomaG
SomaG
SomaG
= 
 = 
 =
 = 
 = 
O sistema de equações lineares fica:
3b1 + 0b2 + g1 + g2 + g3 = 252.62
0b1 + 3b2 + g1 + g2 + g3 = 289.38
b1 + b2 + 3g1 + 0 + 0 = 142.59
b1 + b2 + 0 + 3g2 + 0 = 240.01
b1 + b2 + 0 + 0 + 3g3 = 159.40
Alternativamente a solução é dada por:
( )
1
1
ˆ ' ' '
' ' / 'ˆ R A
X X X Z X y
Z X Z Z A V V Z yu
β
−
−
     
=     +    
157
estatística experimental no rbio
3
1̂
2
1
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
b
b
g
g
g
 
 
 
 
 
 
 
 
=
13 0 1 1 1
0 3 1 1 1
 1 1 3 0 0
1 1 0 3 0
1 1 0 0 3
−
 
 
 
 
 
 
  
 1 252.62
 2 289.38
 1 142.59
 2 240.01
 3 159.40
Soma B
Soma B
SomaG
SomaG
SomaG
= 
 = 
 =
 = 
 = 
3
1̂
2
1
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
b
b
g
g
g
 
 
 
 
 
 
 
  
=
 
0.6667 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333
0.3333 0.6667 0.3333 0.3333 0.3333
 0.3333 0.3333 0.5555 0.2222 0.2222
0.3333 0.3333 0.2222 0.5555 0.2222
0.3333 0.3333 0.2222 0.2222 0.5555
− − − 
 − − − 
 − −
 − − 
 − − 
252.62
289.38
142.59
240.01
159.40
 
 
 
 
 
 
   
=
 
2
ˆ
ˆ
1 84.2066
2 96.4600
1 12.6922
19.7811
3 8
ˆ
ˆ
7.0 88ˆ
b
b
g
g
g
 =
 
= 
 = − 
 =
 
= − 
Para a estimação dos componentes de variância via REML é 
necessário um método iterativo, conforme a Figura 6.3.
Figura 6.3: Obtenção dos componentes de variância via REML.
158
estatística experimental no rbio
Tomando os dados do exemplo anterior, pode-se obter as esti-
mativas necessárias para a obtenção dos componentes de variância via 
REML e a solução do sistema será atualizada
No exemplo anterior iniciou-se usando a razão Variância Resi-
dual / Variância Aditiva ou VR/VA =1. Esse foi o valor inicial. Com estes 
valores foi obtida a saída do sistema:
1 84.2066
2 96.4600
1 12.6922
2 19.7811
3 7.0888
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
b
b
g
g
g
=
=
= −
=
= −
Proocede-se então a atualização das estimativas de VR e VA, sendo: 
( ) ( )
( ) ( )
1 çã '* 
ú çõ R
y R y vetor solu o vetor direito
V
n mero de observa es em y rank X
−
=
−
′ −
Sendo assim as matrizes utilizadas são:
A matriz Y’Y é:
[ ]66.98 75.61 113.77 126.24 71.87 87.53
66.98
75.61
113.77
51910.4
126.24
71.87
87.53
 
 
 
 
= 
 
 
 
 
159
estatística experimental no rbio
O vetor solução transposto é:
[ ]84.2066 96.4600 12.6922 19.7811 7.0888− −
O vetor direito já calculado anteriormente é: 
252.62
289.38
'
142.59
'
240.01
159.40
X y
Z y
 
 
  
 = 
  
 
  
Portanto o produto do vetor solução transposto e o vetor direito é: 
[ ]84.2066 96.4600 12.6922 19.7811 7.0888
252.62
289.38
50993.79142.59
240.01
159.40
− −
 
 
 
  =
 
 
  
O rank da matriz X é 2, uma vez que a matriz X é 6x2, seu rank 
máximo seria 2 que é o menor entre número de colunas e linhas. Como 
ambas colunas são independentes, o rank será 2.
Dessa forma, a equação para a obtenção do VR será:
( ) ( )
( ) ( )
'1 çã * 
ú çõ 
51910.4 50993.79 229.0866
6 2
R
y R y vetor solu o vetor direito
V
n mero de observa es em y rank X
− −
=
−
= =
′
−
−
160
estatística experimental no rbio
Para a obtenção de VA tem-se:
( )
( )
' 1 1
22çˆ *
ú ó
ˆ ˆ R
A
u A u V tra o A A
V
n mero de gen tipos
− −+
=
A matriz 'ˆ ˆu u é aquela com os valores estimados para os trata-
mentos na primeira análise, portanto:
A matriz A22 é o a parte na matriz abaixo referente a Z’Z + 
A-1(Vr/Va), já obtido anteriormente para a solução do sistema
( )
1
1
' '
' ' /
0.6667 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333
0.3333 0.6667 0.3333 0.3333 0.3333
0.3333 0.3333 0.5555 0.2222 0.2222
0.3333 0.3333 0.2222 0.5555 0.2222
0.3333 0.3333 0.2222 0.2222 0.5555
R A
X X X Z
Z X Z Z A V V
−
−
 
= + 
− − −
 − − −
− −
− −
− −







Sendo assim,
0.5555 0.2222 0.2222
22 0.2222 0.5555 0.2222
0.2222 0.2222 0.5555
A
 
 =  
  
161
estatística experimental no rbio
O traço da matriz A22 é a soma de todos os elementos da sua 
diagonal principal, portanto, 1.6667. Desta forma tem-se: 
( )
( )
( )
' 1 1
22*
 
602.6372 229.0866*1.6667
328.1494
3
ˆˆ ˆ R
A
u A u V traço A A
V
númerode genótipos
− −+
=
+
= =
De posse destes valores de VR e VA a solução do sistema é 
novamente obtida e assim novas estimativas para VR e VA serão atu-
alizadas. Abaixo está demostrada a saída para as primeiras iterações, 
e a convergência após 50 iterações foi atingida de forma que a dife-
rença entre os valores da iteração i e da iteração i-1 sejam inferiores a 
0.00001 (1/100000) para VR e VA.
Iteração VR VA ˆ1b ˆ2b ˆ1g ˆ2g ˆ3g
1 1 1 84.2066 96.4600 -12.6922 19.7811 -7.0888
2 229.0866 328.1494 84.20667 96.46000 -18.95135 29.53610 -10.58475
3 178.5163 377.6911 84.20667 96.46000 -18.95135 29.5361 -10.58475
4 132.6921 425.0559 84.20667 96.46000 -18.95135 29.53610 -10.58475
5 94.6325 466.5018 84.20667 96.46000 -18.95135 29.53610 -10.58475
... ... ... ... ... ... ... ...
49 6.195218 674.8692 84.20667 96.46000 -18.95135 29.53610 -10.58475
50 6.195217 674.8692 84.20667 96.46000 -18.95135 29.53610 -10.58475
51 6.195217674.8692 84.20667 96.46000 -18.95135 29.53610 -10.58475
É importante chamar a atenção para os valores encontrados ao 
utilizar o método REML/BLUP e ao usar o método da anova convencional.
Os valores das médias dos 3 tratamentos para a anova con-
vencional foram: 41.295; 120.005 e 79.7. Já no método REML/BLUP 
162
estatística experimental no rbio
foram: -18.95135; 29.53610 e -10.58475. Se for calculado a correlação 
simples de Pearson entre estes valores encontra-se o valor de 1, ou 
seja, para experimentos balanceados a utilização do Blup ou da Anova 
fornecem estimativas de médias genotípicas e fenotípicas iguais, não 
tendo diferença na utilização dos métodos.
Resultado das análises
Considerando o conjunto de dados apresentados anteriormen-
te, as saídas fornecidas pelo Rbio são apresentadas a seguir.
O acesso a análise é feito por: ANOVA> Modelos Mistos, con-
forme Figura 6.4. 
163
estatística experimental no rbio
Figura 6.4. Software Rbio, e rotina de procedimentos para realizar anova via 
modelos mistos
164
estatística experimental no rbio
# -----------------------------------
# Script 5: Análise de Modelos Mistos
# -----------------------------------
# ----------------------
# 5.1- Leitura dos dados
# ----------------------
dados<-read.table(“c:/_Rbio/ebook/exemplo1.txt”, h=T) # Leitura dos dados
dados
 Trat Rep Variavel
1 1 1 66.98
2 1 2 75.61
3 2 1 113.77
4 2 2 126.24
5 3 1 71.87
6 3 2 87.53
# ----------------------
# 5.2- Análise
# ----------------------
Trat<-as.factor(dados[,1]) # ALEATÓRIO
Rep<-as.factor(dados[,2]) # FIXO
y=dados[,3]
library(lme4)
blup1=lmer(y~(1|Trat)+Rep, REML=TRUE)
blup1
Linear mixed model fit by REML [‘lmerMod’]
Formula: y ~ (1 | Trat) + Rep
REML criterion at convergence: 31.6208
Random effects:
 Groups Name Std.Dev.
 Trat (Intercept) 25.978 
 Residual 2.489 
Number of obs: 6, groups: Trat, 3
Fixed Effects:
(Intercept) Rep2 
 84.21 12.25 
ranef(blup1)
$Trat
 (Intercept)
1 -18.95135
2 29.53610
3 -10.58475
fixef(blup1)
(Intercept) Rep2 
 84.20667 12.25333 
165
7
DELINEAMENTO EXPERIMENTAL 
EM QUADRADO LATINO
No delineamento em quadrado latino (QL) os tratamentos 
devem ser aleatorizados de duas maneiras diferentes, na linha e na 
coluna, assim haverá o controle local destas duas formas. Isso faz com 
que ele seja mais restritivo, uma vez que o número de unidades experi-
mentais será o dobro do número de tratamentos avaliados. Nesse tipo 
de delineamento o número de linhas e colunas deverá ser o mesmo, 
sendo que os tratamentos aparecerão uma única vez em cada linha 
e em cada coluna. O número de repetições deverá ser o mesmo do 
número de tratamentos, e isso dificulta a sua utilização, uma vez que 
normalmente os experimentos contam com muito mais tratamentos 
do que repetições.
O uso do QL é mais frequente em experimentos onde se com-
param de 5 a 8 tratamentos. Como o número de repetições deve ser 
igual ao número de tratamentos, o número de graus de liberdade para 
o resíduo pode ser muito baixo nos delineamentos QL 4x4 ou menores 
e, o número de repetições pode se tornar muito alto nos experimentos 
com mais de 8 tratamentos, dificultando a obtenção de unidades expe-
rimentais com semelhança adequada. O controle local conduz sempre 
a uma diminuição do número de graus de liberdade para o resíduo, 
166
estatística experimental no rbio
o que é um fator indesejável. Portanto, com o aumento de fontes de 
variação controladas pelo delineamento, é necessário que haja uma 
expressiva redução na variância residual de forma a compensar o me-
nor número de graus de liberdade do resíduo, o que afeta a obtenção 
da estimativa do teste F.
Considerando um experimento com três tratamentos, pode-se 
montar o experimento da forma esquematizada na Tabela 7.1:
Tabela 7.1. Esquema para montagem de experimento em delineamento quadrado latino.
Linhas/Colunas I II II
1 T1 T2 T3
2 T3 T1 T2
3 T2 T3 T1
É importante salientar que as linhas e colunas poderão repre-
sentar diferentes locais, diferentes observadores, sistemas. Imagine 
um experimento comparativos com 3 adubos diferentes, 3 variedades 
de milho e 3 fases (semanas) de observações diferentes. Considerare-
mos que as variedades são as colunas (I, II e III) e as fases as linhas (1, 2 
e 3). Dessa forma o adubo 1 (T1) será ofertado a variedade I na semana 
1. Essa mesma variedade (I) receberia o adubo 3 (T3) na semana 2 e o 
adubo 2 (T2) na semana 3.
Normalmente os experimentos em QL mais usados são de 5x5 
a 8x8, e aqueles 3x3 e 4x4 possuem tão poucas parcelas que só podem 
ser usados se o experimento incluir vários quadrados latinos.
O modelo matemático para o delineamento em quadrados 
latinos é:
Yijk=m + Li+ Cj + Tk+ eijk
167
estatística experimental no rbio
em que:
Yijk é o valor observado relativo à parcela que recebe o trata-
mento k na linha i e na coluna j, sendo i =1, 2, ..., k e j= 1, 2, ..., k.
m é a média geral do experimento
Li é o efeito da linha i
Cj é o efeito da coluna j
Tk é o efeito do tratamento k
eijk é o erro aleatório associado a observação ijk.
O quadro da ANOVA neste delineamento é representado na 
Tabela 7.2.
Tabela 7.2. Quadro da ANOVA considerando delineamento em quadrado latino.
FV GL SQ QM F
Linha k-1 SQLinhas QMLinhas = SQLinhas /glLinhas
Coluna k-1 SQColunas QMColunas = SQColunas /glColunas
Tratamento k-1 SQTrat QMTrat = SQTrat/glTrat QMTrat / QMRes
Resíduo (k-1) (k-2) SQRes QMRes= SQRes/glRes
Total k2-1 SQTotal
Em que:
2
1 1
t r
Total ij
i j
SQ Y C
= =
= −∑∑
2
.
1
1 t
Linhas i
i
SQ Y C
k =
= −∑
2
.
1
1 t
Colunas j
i
SQ Y C
k =
= −∑
168
estatística experimental no rbio
2
.
1
1 t
Trat k
i
SQ Y C
k =
= −∑
2
..
2
YC
k
=
Considerando um experimento com três tratamentos, os dados 
devem ser arranjados conforme a Tabela 7.3 para proceder a ANOVA. 
Desta forma, tem-se:
Tabela 7.3. Tabela auxiliar considerando observações de três linhas e três colunas 
para proceder a ANOVA.
Linha
Coluna
Total Média
1 2 3
1 Y11k Y12k Y13k 1. 1
. 1
 
=
= ∑Y
k
jk
j k
Y Ȳ1..
2 Y21k Y22k Y23k 2. 2
, 1
 
=
= ∑Y
k
jk
j k
Y Ȳ2..
3 Y31k Y32k Y33 3. 3
, 1
 
=
= ∑Y
k
jk
j k
Y Ȳ3..
Total .1 1
, 1
 
=
= ∑Y
k
i k
i k
Y .2 2
, 1
 
=
= ∑Y
k
i k
i k
Y .3 3
, 1
 
=
= ∑Y
k
i k
i k
Y
1 1 1
.. 
= = =
=∑∑∑Y
k k k
ijk i
i j k
Y
Média Ȳ.1. Ȳ.2. Y...
De todo modo, apenas para facilidade de cálculo, será demos-
trado um exemplo hipotético considerando três variedades de milho 
(T1, T2 e T3) dispostas em um QL 3x3. Os dados são todos simulados 
apenas para fins didáticos. Na Tabela 7.4 está o esquema da disposição 
dos tratamentos, e os valores entre parênteses são os valores da vari-
ável produção avaliada.
169
estatística experimental no rbio
Tabela 7.4. Avaliação de uma variável agronômica simulada, com três linhas e três 
colunas a serem submetidas a ANOVA em quadrado latino.
Linhas/Colunas I II II Total das linhas
1 T1 (66.98) T2 (113.77) T3 (71.87) 252.62
2 T3 (87.53) T1 (75.61) T2 (126.24) 289.38
3 T2 (120) T3 (79.7) T1 (71.29) 270.99
Total de colunas 274.51 269.08 269.94 812.99
Em que:
2 2 2 2 2
1 1
2 2 2 2 2
66.98 113.77 71.87 87.53
75.61 126.24 120 79.7 71.29 73439.19 4305.302
t r
Total ij
i j
SQ Y C
= =
= − = + + +
+ + + + + − =
∑∑
( )2 2 2 2.
1
1 1 252.62 289.38 270.99
3
73439.19 225.2163
t
Linhas i
i
SQ Y C x
c =
= − = + +
− =
∑
( )2 2 2 2.
1
1 1 274.51 269.08 269.4
3
73439.19 6.1882
t
Colunas j
i
SQ Y C x
l =
= − = + +
− =
∑
( ) ( )
( )
2 22
.
1
2
1 1 66.98 75.61 71.29 120 113.77 126.24
3
 87.53 79.7 71.87 73439.19 4067.695
t
Trat k
i
SQ Y C x
r =
= − = + + + + +
+ + + − =
∑
2 2
.. 812.99 73439.19
3.3
YC
tr
= = =
4305.302 225.2163 6.1882 4067.695 6.2025
Res Total Linhas Colunas TratSQ SQ SQ SQ SQ= − − −
= − − − =
170
estatística experimental no rbio
Os quadrados médios são obtidos dividindo as respectivas 
somas de quadradopelo grau de liberdade da fonte de variação, desse 
modo tem-se:
/ 2 225.2163 / 2 112.61BLinhas LinhasQM SQ= = =
/ 2 6.1882 / 2 3.1Colunas ColunasQM SQ= = =
/ 2 4067.695 / 2 2033.9Trat TratQM SQ= = =
/ 2 6.2025 / 2 3.1Res ResQM SQ= = =
O valor do teste F = QMTrat / QMRes= 2033.9/3.1=656.07.
A hipótese H0 testada é que todos os tratamentos possuem 
média igual. O valor tabelado do F a 5% de probabilidade e 2 graus de 
liberdade do numerador e 2 graus de liberdade do denominador (F5%;2;2) 
é igual a 19 (ANEXO 7.1). Dessa forma, o F calculado é maior que F 
tabelado, então rejeita-se a hipótese H0 de igualdade entre as médias, 
devendo haver pelo menos uma média que difere estatisticamente das 
demais. O resumo da análise de variância desse delineamento experi-
mental está apresentado na Tabela 7.5.
Tabela 7.5. Resultado da análise de variância da variável agronômica simulada, 
considerando delineamento em quadrado latino.
FV GL SQ QM F
Linha 2 225.2163 112.61
Coluna 2 6.1882 3.1
Tratamento 2 4067.695 2033.9 656.07*
Resíduo 2 6.2 3.1
Total 8 4305.302
*: significativo a 5% de probabilidade pelo teste F.
171
estatística experimental no rbio
Neste exemplo, coeficiente de variação (C.V.) é: 
%
100 100 3.1 1.9491%
90.33
QMR
CV
média
= = =
Resultado das análises
Considerando o conjunto de dados apresentados anteriormen-
te, as saídas fornecidas pelo Rbio são apresentadas a seguir.
Para realizar tal procedimento o usuário deverá acessar o menu 
ANOVA > Quadrado Latino (DQL), conforme Figura 7.1.
172
estatística experimental no rbio
Figura 7.1. Software Rbio, e rotina de procedimentos para realizar análise de 
variância no delineamento de Quadrado Latino.
Os scripts para proceder a análise no R e as saídas das análises 
são apresentadas a seguir.
173
estatística experimental no rbio
# -----------------------------------
# Script 6: Delineamento experimental em quadrado latino (DQL)
# -----------------------------------
# ----------------------
# 6.1- Leitura dos dados
# ----------------------
X<-read.table(“c:/_Rbio/ebook/exemplo2.txt”, h=T) # Leitura dos dados
X
 Linha Coluna Trat Variavel1
1 1 1 1 66.98
2 2 1 3 87.53
3 3 1 2 120.00
4 1 2 2 113.77
5 2 2 1 75.61
6 3 2 3 79.70
7 1 3 3 71.87
8 2 3 2 126.24
9 3 3 1 71.29
# ----------------------
# 6.2- ANOVA DQL
# ----------------------
Linha<-as.factor(X[,1])
Coluna<-as.factor(X[,2])
Trat<-as.factor(X[,3])
saida <- lm(X[,4]~Linha+Coluna+Trat)
anova(saida)
Analysis of Variance Table
Response: X[, 4]
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
Linha 2 225.2 112.61 36.3157 0.026798 * 
Coluna 2 6.2 3.09 0.9979 0.500517 
Trat 2 4067.7 2033.85 655.9082 0.001522 **
Residuals 2 6.2 3.10 
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
 
saida<- aov(X[,4]~Linha+Coluna+Trat)
print(summary(saida))
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
Linha 2 225 112.6 36.316 0.02680 * 
Coluna 2 6 3.1 0.998 0.50052 
Trat 2 4068 2033.8 655.908 0.00152 **
Residuals 2 6 3.1 
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
174
estatística experimental no rbio
ANEXO 7.1. Tabela da Distribuição F ao nível de 5% de probabilidade com v1 graus 
de liberdade do numerador e v2 graus de liberdade do denominador.
v2 \ v1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 161.45 199.5 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.88
2 18.51 19 19.16 19.25 19.3 19.33 19.35 19.37 19.38 19.4
3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79
4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6 5.96
5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74
6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.1 4.06
7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64
8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.5 3.44 3.39 3.35
9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14
10 4.96 4.1 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98
11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.2 3.09 3.01 2.95 2.9 2.85
12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3 2.91 2.85 2.8 2.75
13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67
14 4.6 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.7 2.65 2.6
15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.9 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54
16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49
17 4.45 3.59 3.2 2.96 2.81 2.7 2.61 2.55 2.49 2.45
18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41
19 4.38 3.52 3.13 2.9 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38
20 4.35 3.49 3.1 2.87 2.71 2.6 2.51 2.45 2.39 2.35
21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32
22 4.3 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.4 2.34 2.3
23 4.28 3.42 3.03 2.8 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27
24 4.26 3.4 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.3 2.25
25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.6 2.49 2.4 2.34 2.28 2.24
26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22
27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.2
28 4.2 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19
29 4.18 3.33 2.93 2.7 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18
30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16
35 4.12 3.27 2.87 2.64 2.49 2.37 2.29 2.22 2.16 2.11
40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08
175
8
TESTES DE COMPARAÇÕES 
MÚLTIPLAS E AGRUPAMENTOS
Ao tomar uma decisão em relação a testes de significância, 
podem ocorrer dois tipos de erro: O Erro tipo I, que consiste em aceitar 
como diferentes médias de tratamentos que na verdade são iguais, e o 
Erro tipo II, que consiste em aceitar como iguais médias de tratamen-
tos que são diferentes.
Os níveis que são mencionados para os testes estatísticos refe-
rem-se apenas ao Erro tipo I. Ao usarmos métodos ou testes para dimi-
nuir o Erro tipo I, automaticamente aumentamos a chance de ocorrer 
o Erro tipo II, ou seja, aceitar como iguais médias estatisticamente 
diferentes. Por outro lado, quando um teste de comparação de médias 
não dá resultado significativo, isto não prova que as médias sejam 
iguais, pois não existe teste para comparar a igualdade de médias. O 
que significa é que o teste não comprovou diferença significativa entre 
as médias.
Normalmente nas análises de variância utiliza-se o teste F, que 
compara razões de variância. Admitindo que todos os tratamentos 
sejam equivalentes, o quadrado médio de tratamento é uma estima-
tiva da variância, da mesma forma que o quadrado médio do resíduo. 
176
estatística experimental no rbio
Sendo estimativas do mesmo parâmetro, e independentes, estas não 
deveriam ser diferentes, e caso fossem, deveria ser ao acaso.
As tabelas de F para 2 e 3 graus de liberdade fornece um valor 
de 9.55 para o nível de 5% de probabilidade e de 30.82 para o nível de 
1% (ANEXOS 8.1 e 8.2). Isso quer dizer que há uma probabilidade de 
5% de encontrar um valor de F superior a 9.55, ou seja, existe 95% de 
probabilidade de encontrar valores de F inferiores a 9.55 meramente 
ao acaso. De maneira análoga, existe 1% de probabilidade de encontrar 
um valor de F superior a 30.82, ou seja, existe 99% de probabilidade de 
encontrar valores de F inferiores a 30.74 meramente ao acaso.
Normalmente, uma vez identificado o teste F significativo na 
análise de variância, o pesquisador deseja saber qual ou quais trata-
mentos diferiram dos demais. Para solucionar tal objetivo é comumen-
te aplicado os testes de médias, também chamados de procedimentos 
de comparações múltiplas. Existem diversos testes disponíveis, sendo 
que alguns deles serão retratados aqui. Eles normalmente diferem 
pela filosofia do controle dos erros tipo I, por exemplo, os testes Dun-
can e LSD (baseado na distribuição t de Student) não controlam a taxa 
de erro por experimento, e sim a taxa de erro por comparação. Por 
outro lado, testes como Tukey e Scheffé controlam adequadamente as 
taxas de erro por experimento e por comparação, preservando o nível 
nominal de significância α adotado (Ramalho et al. 2012). Também 
será tratado neste tópico o teste deagrupamento de Scott-Knott, que 
apesar de não ser um teste de comparações múltiplas, portanto não 
possui a diferença mínima significativa calculada, se trata de um teste 
muito utilizado na experimentação. 
Para as diversas análises a serem realizadas neste capítulo 
serão considerados os valores da Tabela 8.1.
177
estatística experimental no rbio
Tabela 8.1. Avaliação de uma variável agronômica simulada em delineamento 
inteiramente casualizado.
Tratamentos
Repetição
Total Média
I II
1 66.98 75.61 142.59 71.295
2 113.77 126.24 240.01 120.005
3 71.87 87.53 159.4 79.7
Total 252.62 289.38 542
Média 84.20667 96.46 90.333
8.1. Teste t
O teste t é um teste clássico que é usado para comparar médias. 
Para sua aplicação os contrastes das médias devem ser ortogonais e 
serem feitos no máximo tantas comparações quanto são os graus de 
liberdade para os tratamentos.
Para o caso de comparação entre duas médias deve-se 
inicialmente saber se estas médias provêm de tratamentos com 
variâncias iguais ou diferentes. Para isso realiza-se um teste F, sen-
do que a hipótese H0 é que as amostras possuem variâncias iguais 
( 2 20 1 2:H σ σ= ). Considerando s2 a variância de cada amostra, o teste F 
pode ser obtido por:
2
1
2
2
Calculado
sF
s
=
Nesta expressão anterior do F, 21s é a maior variância e 
2
2s é a 
menor variância.
O valor de F calculado deverá ser comparado com um valor de F 
tabelado a um nível α de significância e com n1-1 e n2-1 graus de liber-
dade, em que n1 e n2 são os números de observações do tratamento 
178
estatística experimental no rbio
1 e 2 respectivamente. Se Fcalculado > Ftabelado, rejeita-se a hipótese H0 de 
igualdade das variâncias, logo as variâncias são heterogêneas.
Considerando que os tratamentos a serem comparados pos-
suem variâncias iguais a estatística do teste t é:
( ) ( )
1 2
2 2
1 1 2 2
1 2 1 2
1 1 1 1
2
m mt
n s n s
x
n n n n
−
=
− + −
+
+ −
em que:
m1 e m2: médias dos tratamentos 1 e 2
s21 e s
2
2: variâncias dos tratamentos 1 e 2
os graus de liberdade nessa situação são dados por n1+n2 -2.
Considerando que os tratamentos a serem comparados pos-
suem variâncias diferentes, a estatística do teste t é:
1 2
2 2
1 2
1 2
m mt
s s
n n
−
=
+
O grau de liberdade nessa situação é dado por:
22 2
1 2
1 2
2 22 2
1 2
1 2
1 21 1
s s
n n
gl
s s
n n
n n
 
+ 
 =
   
   
   +
− −
179
estatística experimental no rbio
Se houver o interesse de comparar, por exemplo, se as médias 
dos tratamentos 1 e 2 são iguais, pode-se realizar a comparação via 
teste t. Testando a homogeneidade das variâncias para os referidos 
tratamentos, e considerando 21 s a maior variância e 
2
2s a menor vari-
ância , usando os dados fornecidos na Tabela 1 tem-se:
( ) ( )
( ) ( )
2 22
1
2 22
2
113.77 120.005 126.24 120.005
66.98 71.295 75.61 71.295
77.75 2.087
37.238
Calculado
sF
s
− + −
= =
− + −
= =
O valor tabelado do F a 5% de probabilidade e 1 grau de liber-
dade do numerador e 1 grau de liberdade do denominador (F5%;1;1) é 
igual a 161.45 (ANEXO 8.1). Dessa forma, o F calculado é menor que F 
tabelado, logo não se rejeita a hipótese H0 de igualdade das variâncias.
Uma vez obtida a informação de que as variâncias são homogê-
neas, procede-se ao teste t através da expressão:
( ) ( )
( ) ( )
1 2
2 2
1 1 2 2
1 2 1 2
1 1 1 1
2
71.295 120.005 6.424
2 1 37.238 2 1 77.75 1 1
2 2 2 2 2
m mt
n s n s
x
n n n n
x
−
=
− + −
+
+ −
−
= = −
− + −
+
+ −
O valor na tabela de distribuição t de Student a 5% de proba-
bilidade (T0.025%;2) e 2 graus de liberdade é igual a 4.30 (ANEXO 8.3). 
Deve-se, portanto, rejeitar a hipótese H0 se o valor calculado for maior 
que o valor tabelado 4.30 ou se o valor calculado for menor que – o 
valor tabelado, ou seja, menor do que-4.30.
180
estatística experimental no rbio
Dessa forma, o t calculado (-6.42) é menor que t tabelado 
(-4.30), então rejeita-se a hipótese H0 de igualdade das médias, 
portanto as médias são diferentes. Vale aqui ressaltar que deve ser 
considerada a tabela t com nível α/2, ou seja, 0.05/2 = 0.025.
Para realizarmos os testes de igualdade de variâncias e os testes 
de médias, precisamos que as duas populações sejam independentes. 
Porém, na prática, temos algumas situações onde as populações não 
são independentes. Imagine por exemplo que determinados animais 
são tratados com ração e deseja-se verificar se houve diferença de 
peso entre antes e após esse tipo de alimentação. As observações 
antes e depois são correlacionadas, devendo, portanto, fazer o uso do 
teste t pareado.
A estatística do teste é:
D
Dt S
n
= , que sob H0 segue uma distribuição t de Student 
com n-1 graus de liberdade
181
estatística experimental no rbio
em que:
D : média dos desvios das observações dos tratamentos
SD é o desvio padrão dos desvios das observações dos tratamentos
n: número de observações de cada tratamento
Como exemplo, baseando-se nos dados da Tabela 8.1, conside-
re que os tratamentos 1 e 2 sejam as observações, antes e após a dieta, 
respectivamente, conforme apresentado na Tabela 8.2. 
Tabela 8.2. Avaliação de uma variável agronômica simulada, com dois tratamentos 
avaliadas no tempo um e dois.
Observações (n) Tempo 1 Tempo 2 Diferença (D = t1-t2)
1 66.98 113.77 -46.79
2 75.61 126.24 -50.63
Média -48.71
Desvio Padrão 2.71
Para obter o valor de t calculado:
D1=66.98-113.77=-46.79
D2=75.61-126.24=-50.63
Média (D1, D2) =-48.71
Desvio Padrão (D1, D2) = ((-46.79--48.71)
2+(-50.63--48.71)2)1/2=2.71
( ) ( )
( ) ( )2 2
66.98 113.77 75.61 126.24 / 2
46.79 48.71 50.63 48.71
2
48.71 25.372.71
2
t
 − + − =
− − − + − − −
−
= = −
182
estatística experimental no rbio
O valor na tabela de distribuição t de Student a 5% de probabili-
dade (T0.025%;1) e 1 grau de liberdade é igual a 12.71 (ANEXO 8.3). Dessa 
forma, o t calculado é menor que o t tabelado, então rejeita-se a hipó-
tese H0 de igualdade das médias, portanto as médias são diferentes.
Resultado das análises
Considerando o conjunto de dados apresentados anteriormen-
te, as saídas fornecidas pelo Rbio são apresentadas a seguir.
Para a realização desse procedimento o caminho é: ANOVA > 
Testes de Médias > Teste t, conforme a Figura 8.1.
183
estatística experimental no rbio
Figura 8.1. Software Rbio, e rotina de procedimentos para realizar o teste t.
# -----------------------------------
# Script 7: Testes de Médias
# -----------------------------------
# ----------------------
# 7.1- Leitura dos dados
# ----------------------
X<-read.table(“c:/_Rbio/ebook/exemplo1.txt”, h=T) # Leitura dos dados
X
 Trat Rep Variavel
1 1 1 66.98
2 1 2 75.61
3 2 1 113.77
4 2 2 126.24
5 3 1 71.87
6 3 2 87.53
# ----------------------
# 7.2- Teste T
# ----------------------
variavel<-(X[,3])
alpha<- 0.05
cat(“\n”,”Teste para comparacoes entre as variancias das populacoes”, “\n”)
 Teste para comparacoes entre as variancias das populacoes 
variancia.teste1<-(var.test(variavel[X[,1]==pop1], variavel[X[,1]==pop2], alternative=”two.sided”))
variancia.teste2<-(var.test(variavel[X[,1]==pop2], variavel[X[,1]==pop1], alternative=”two.sided”))
if (variancia.teste1$statistic > variancia.teste2$statistic) 
variancia.teste <- variancia.teste1
else
variancia.teste = variancia.teste2
print(variancia.teste)
184
estatística experimental no rbio
 F test to compare two variances
data: variavel[X[, 1] == pop2] and variavel[X[, 1] == pop1]
F = 2.0879, num df = 1, denom df = 1, p-value = 0.7708
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
 3.223129e-03 1.352524e+03
sample estimates:
ratio of variances 
 2.087908 
Conclusao:Variancias Homogeneas
### Teste T
if (variancia.teste$p.value > alpha) #variancias homogeneas
+ media.teste <- t.test(variavel[X[,1]==1], variavel[X[,1]==2], alternative=”two.sided”, var.equal = 
TRUE, conf.level = 1-alpha)
if (variancia.teste$p.value < alpha) #varianciasheterogeneas
+ media.teste <-t.test(variavel[X[,1]==1], variavel[X[,1]==2], alternative=”two.sided”, var.equal = 
FALSE, conf.level = 1-alpha)
print(media.teste)
Two Sample t-test
data: variavel[X[, 1] == 1] and variavel[X[, 1] == 2]
t = -6.424, df = 2, p-value = 0.02339
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -81.33491 -16.08509
sample estimates:
mean of x mean of y 
 71.295 120.005 
if (media.teste$p.value > alpha) cat(“Conclusao: Medias iguais”, “\n”) else cat(“Conclusao: Medias 
diferentes”,”\n”)
Conclusao: Medias diferentes 
 
# ----------------------
# 7.2.1- Teste T pareado
# ----------------------
if (variancia.teste$p.value > alpha) #variancias homogeneas
+ media.teste <- t.test(variavel[X[,1]==1], variavel[X[,1]==2], alternative=”two.sided”, var.equal = 
TRUE, conf.level = 1-alpha, paired=TRUE)
> if (variancia.teste$p.value < alpha) #variancias heterogeneas
+ media.teste <-t.test(variavel[X[,1]==1], variavel[X[,1]==2], alternative=”two.sided”, var.equal = 
FALSE, conf.level = 1-alpha, paired=TRUE)
> print(media.teste)
Paired t-test
data: variavel[X[, 1] == 1] and variavel[X[, 1] == 2]
t = -25.37, df = 1, p-value = 0.02508
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -73.10591 -24.31409
sample estimates:
mean of the differences 
 -48.71 
if (media.teste$p.value > alpha) cat(“Conclusao: Medias iguais”, “\n”) else cat(“Conclusao: Medias 
diferentes”,”\n”)
Conclusao: Medias diferentes 
185
estatística experimental no rbio
8.2. Teste de Tukey
O teste de Tukey foi proposto por Tukey em 1953 e é um teste 
exato em que, para todas as k(k-1) /2 comparações possíveis par a 
par, a taxa de erro é exatamente α. Para tamanho de amostras iguais, 
o teste declara duas médias significativamente diferentes se o valor 
absoluto de suas diferenças amostrais ultrapassar a DMS (Diferença 
Mínima Significativa):
( ), Tukey Resíduo
QMRDMS q k Gl
r∝
=
Em que:
qα (k; gl Resíduo): Valores da amplitude total estudentizada (q) a um 
nível α de probabilidade com k e GLResíduo graus de liberdade (ANEXO 8.4);
r: número de repetições;
k: número de tratamentos;
Considerando os dados da Tabela 8.1, e a Anova considerando 
um delineamento inteiramente ao acaso (Tabela 8.3), tem-se:
Tabela 8.3. Resultado da análise de variância da variável agronômica simulada, 
considerando delineamento inteiramente ao acaso.
FV GL SQ QM F
Tratamento 2 2711.867 1355.9 17.11*
Resíduo 3 237.6067 79.2
Total 5 2949.474
*: Significativo a 5% pelo teste F.
186
estatística experimental no rbio
( )
( )5%
,
79.23, 3 5.9 39.6 37.18
2
Tukey Resíduo
QMRDMS q k Gl
r
q x
∝=
= = =
Considerando os tratamentos avaliados, procede-se às com-
parações. Para facilitar, ordenam-se os valores das médias da variável 
avaliada de forma decrescente no exemplo m2, m3 e m1, e procede-se 
as comparações:
m2 – m3 =120.005 – 79.7 = 40.305 > DMS
m2 – m1 =120.005 - 71.295 = 48.71 > DMS
m3 – m1 = 79.7 – 71.295 =8.405 < DMS
Portanto, o tratamento 2 difere dos tratamentos 3 e 1, e os tra-
tamentos 3 e 1 são estatisticamente iguais. Pode-se representar este 
resultado utilizando letras, sendo assim, tem-se:
m1: 71.295 b
m2: 120.005 a
m3: 79.7 b
Resultado das análises
Considerando o conjunto de dados apresentados anteriormen-
te, as saídas fornecidas pelo Rbio são apresentadas a seguir.
Para a realização desse procedimento o caminho é: ANOVA > 
Testes de Médias > Tukey, conforme a Figura 8.2.
187
estatística experimental no rbio
Figura 8.2. Software Rbio, e rotina de procedimentos para realizar o teste Tukey.
188
estatística experimental no rbio
# -----------------------------------
# Script 7: Testes de Médias
# -----------------------------------
# ----------------------
# 7.1- Leitura dos dados
# ----------------------
X<-read.table(“c:/_Rbio/ebook/exemplo1.txt”, h=T) # Leitura dos dados
X
 Trat Rep Variavel
1 1 1 66.98
2 1 2 75.61
3 2 1 113.77
4 2 2 126.24
5 3 1 71.87
6 3 2 87.53
# ----------------------
# 7.3- Declaração
# ----------------------
#install.packages(“agricolae”)
library(agricolae)
A<-as.factor(X[,1])
Rep<-as.factor(X[,2])
saida<-aov(X[,3]~A, data=X)
# ----------------------
# 7.3.1- Tukey
# ----------------------
out<-HSD.test(saida,”A”, group=TRUE,console=TRUE)
Study: saida ~ “A”
HSD Test for X[, 3] 
Mean Square Error: 79.20223 
A, means
 X...3. std r Min Max
1 71.295 6.102332 2 66.98 75.61
2 120.005 8.817622 2 113.77 126.24
3 79.700 11.073292 2 71.87 87.53
Alpha: 0.05 ; DF Error: 3 
Critical Value of Studentized Range: 5.909663 
Minimun Significant Difference: 37.18917 
Treatments with the same letter are not significantly different.
 X[, 3] groups
2 120.005 a
3 79.700 b
1 71.295 b
189
estatística experimental no rbio
8.3. Teste de Duncan
O teste Duncan também é um teste utilizado para avaliar dife-
renças entre tratamentos. A estatística dele é bem similar à do Tukey, 
visto anteriormente. A diferença entre eles está na tabela utilizada para 
encontrar os valores da amplitude estudentizada. Enquanto o teste de 
Tukey usa a tabela q, o teste de Duncan usa a tabela z. Além disso, no 
teste de Duncan o valor de k não é apenas o número de tratamentos, 
mas sim o número de médias abrangidas pelo contraste. Como será 
visto abaixo, o teste de Duncan é menos rigoroso do que o teste de 
Tukey, ou seja, ele considera que 2 tratamentos são diferentes mais 
facilmente do que o teste de Tukey devido à diferença entre os valores 
tabelados utilizados.
Para tamanho de amostras iguais, o teste declara duas médias 
significativamente diferentes se o valor absoluto de suas diferenças 
amostrais ultrapassar a DMS (Diferença Mínima Significativa):
( ), Duncan Resíduo
QMRDMS z k Gl
r∝
=
Em que:
zα (k; gl Resíduo): Valores da amplitude total estudentizada (z) a um 
nível α de probabilidade com k e GLResíduo graus de liberdade (ANEXO 8.5);
r: número de repetições;
k: número de tratamentos abrangidos pelo contraste;
Com os dados do exemplo anterior, temos:
( )
( )5%
, 
79.22, 3 4.501 39.6 28.32
2
Duncan Resisuo
QMRDMS z k Gl
r
z x
∝=
= = =
190
estatística experimental no rbio
( )
( )5%
, 
79.23, 3 4.516 39.6 28.41
2
Duncan Resisuo
QMRDMS z k Gl
r
z x
∝=
= = =
Considerando os tratamentos avaliados:
m2 – m3 =120.005 – 79.7 = 40.305 > DMS 
(2 médias envolvidas no contraste)
m2 – m1 =120.005 - 71.295 = 48.71 > DMS 
(3 médias envolvidas no contraste)
m3 – m1 = 79.7 – 71.295 =8.405 < DMS 
(2 médias envolvidas no contraste)
Portanto, o tratamento 2 difere dos tratamentos 3 e 1, e os tra-
tamentos 3 e 1 são estatisticamente iguais. Pode-se representar este 
resultado utilizando letras, sendo assim, tem-se:
m1: 71.295 b
m2: 120.005 a
m3: 79.7 b
Resultado das análises
Considerando o conjunto de dados apresentados anteriormen-
te, as saídas fornecidas pelo Rbio são apresentadas a seguir.
Para a realização desse procedimento o caminho é: ANOVA > 
Testes de Médias > Duncan, conforme a Figura 8.3.
191
estatística experimental no rbio
Figura 8.3. Software Rbio, e rotina de procedimentos para realizar o teste Duncan.
192
estatística experimental no rbio
# -----------------------------------
# Script 7: Testes de Médias
# -----------------------------------
 
# ----------------------
# 7.1- Leitura dos dados
# ----------------------
X<-read.table(“c:/_Rbio/ebook/exemplo1.txt”, h=T) # Leitura dos dados
X
 Trat Rep Variavel
1 1 1 66.98
2 1 2 75.61
3 2 1 113.77
4 2 2 126.24
5 3 1 71.87
6 3 2 87.53
 
# ----------------------
# 7.3- Declaração
# ----------------------
#install.packages(“agricolae”)
library(agricolae)
A<-as.factor(X[,1])
Rep<-as.factor(X[,2])
saida<-aov(X[,3]~A, data=X)
# ----------------------
# 7.3.2- Duncan
# ----------------------
out<-duncan.test(saida,”A”, group=TRUE,console=TRUE)Study: saida ~ “A”
Duncan’s new multiple range test
for X[, 3] 
Mean Square Error: 79.20223 
A, means
 X...3. std r Min Max
1 71.295 6.102332 2 66.98 75.61
2 120.005 8.817622 2 113.77 126.24
3 79.700 11.073292 2 71.87 87.53
Alpha: 0.05 ; DF Error: 3 
Critical Range
 2 3 
28.32238 28.41673 
Means with the same letter are not significantly different.
 X[, 3] groups
2 120.005 a
3 79.700 b
1 71.295 b
193
estatística experimental no rbio
8.4. Teste de Scheffé
O teste de Scheffé utiliza a tabela F usada na ANOVA. A estatís-
tica do teste para a comparação de pares de médias é calculada por:
( ) ( ); ; 1 2 ResGl trat Gl Res
QMS k xF x x
r∝
= −
Em que:
F (α; gl Resíduo): Valores da tabela F a um nível α de probabilidade 
com GLTratamento e GLResíduo graus de liberdade (ANEXO 8.1 e ANEXO 8.2);
r: número de repetições;
k: número de tratamentos;
QMRes: Quadrado Médio do Resíduo;
Vale ressaltar que o teste de Scheffé é utilizado para calcular 
diversos contrastes, que podem ser montados pelo usuário. Aqui será 
mostrada a comparação de todos os pares de médias apenas para 
simplificar o procedimento.
Considerando o exemplo:
( ) ( )5%;2;3
79.2 79.23 1 2 2 9.55 2 38.89
2 2
S xF x x x x x= − = =
Considerando os tratamentos avaliados:
m2 – m3 =120.005 – 79.7 = 40.305 > DMS
m2 – m1 =120.005 - 71.295 = 48.71 > DMS
m3 – m1 = 79.7 – 71.295 =8.405 < DMS
194
estatística experimental no rbio
Portanto, o tratamento 2 difere dos tratamentos 3 e 1, e os tra-
tamentos 3 e 1 são estatisticamente iguais. Pode-se representar este 
resultado utilizando letras, sendo assim, tem-se:
m1: 71.295 b
m2: 120.005 a
m3: 79.7 b
Resultado das análises
Considerando o conjunto de dados apresentados anteriormen-
te, as saídas fornecidas pelo Rbio são apresentadas a seguir.
Para a realização desse procedimento o caminho é: ANOVA > 
Testes de Médias > Scheffé, conforme a Figura 8.4.
195
estatística experimental no rbio
Figura 8.4. Software Rbio, e rotina de procedimentos para realizar o teste Scheffé.
196
estatística experimental no rbio
# -----------------------------------
# Script 7: Testes de Médias
# -----------------------------------
 
# ----------------------
# 7.1- Leitura dos dados
# ----------------------
X<-read.table(“c:/_Rbio/ebook/exemplo1.txt”, h=T) # Leitura dos dados
X
 Trat Rep Variavel
1 1 1 66.98
2 1 2 75.61
3 2 1 113.77
4 2 2 126.24
5 3 1 71.87
6 3 2 87.53
# ----------------------
# 7.3- Declaração
# ----------------------
#install.packages(“agricolae”)
library(agricolae)
A<-as.factor(X[,1])
Rep<-as.factor(X[,2])
saida<-aov(X[,3]~A, data=X)
# ----------------------
# 7.3.3- Scheffé
# ----------------------
out<-scheffe.test(saida,”A”, group=TRUE,console=TRUE)
Study: saida ~ “A”
Scheffe Test for X[, 3] 
Mean Square Error : 79.20223 
A, means
 X...3. std r Min Max
1 71.295 6.102332 2 66.98 75.61
2 120.005 8.817622 2 113.77 126.24
3 79.700 11.073292 2 71.87 87.53
Alpha: 0.05 ; DF Error: 3 
Critical Value of F: 9.552094 
Minimum Significant Difference: 38.89851 
Means with the same letter are not significantly different.
 X[, 3] groups
2 120.005 a
3 79.700 b
1 71.295 b
8.5. Teste de Fisher, LSD ou DMS t
O método de Fisher, para comparar todos os pares de médias, 
controla a taxa de erro ao nível de significância α para cada compara-
ção dois a dois, mas não controla a taxa de erro do experimento. Esse 
procedimento usa a estatística t para testar a igualdade dos pares de 
médias, e sua estatística é dada por:
197
estatística experimental no rbio
( )
2
2 t Resíduo
xQMRDMS t Gl
r∝
=
em que t é um valor tabelado (ANEXO 8.3) que depende do 
número de graus de liberdade dos erros (N-k) .
Para tamanhos de amostras diferentes tem-se:
( )
1 22
1 1 t ResíduoDMS t Gl QMR n n∝
 
= + 
 
Considerando o exemplo em que todos os tratamentos pos-
suem o mesmo número de repetições tem-se:
( )
( )
2
2.5
2 
2 79.23 3.18 8.89 28.32
2
t Resíduo
xQMRDMS t Gl
r
xt x
∝=
= = =
Considerando os tratamentos avaliados:
m2 – m3 =120.005 – 79.7 = 40.305 > DMS
m2 – m1 =120.005 - 71.295 = 48.71 > DMS
m3 – m1 = 79.7 – 71.295 =8.405 < DMS
Portanto, o tratamento 2 difere dos tratamentos 3 e 1, e os tra-
tamentos 3 e 1 são estatisticamente iguais. Pode-se representar este 
resultado utilizando letras, sendo assim, tem-se:
m1: 71.295 b
m2: 120.005 a
m3: 79.7 b
198
estatística experimental no rbio
Resultado das análises
Considerando o conjunto de dados apresentados anteriormen-
te, as saídas fornecidas pelo Rbio são apresentadas a seguir.
Para a realização desse procedimento o caminho é: ANOVA > 
Testes de Médias > Teste LSD (Fisher), conforme a Figura 8.5.
199
estatística experimental no rbio
Figura 8.5. Software Rbio, e rotina de procedimentos para realizar o teste LSD 
(Teste de Fisher).
200
estatística experimental no rbio
# -----------------------------------
# Script 7: Testes de Médias
# -----------------------------------
# ----------------------
# 7.1- Leitura dos dados
# ----------------------
X<-read.table(“c:/_Rbio/ebook/exemplo1.txt”, h=T) # Leitura dos dados
X
 Trat Rep Variavel
1 1 1 66.98
2 1 2 75.61
3 2 1 113.77
4 2 2 126.24
5 3 1 71.87
6 3 2 87.53
# ----------------------
# 7.3- Declaração
# ----------------------
#install.packages(“agricolae”)
library(agricolae)
A<-as.factor(X[,1])
Rep<-as.factor(X[,2])
saida<-aov(X[,3]~A, data=X)
# ----------------------
# 7.3.4- Teste t Fisher ou LSD
# ----------------------
out<-LSD.test(saida,”A”, group=TRUE,console=TRUE)
Study: saida ~ “A”
LSD t Test for X[, 3] 
Mean Square Error: 79.20223 
A, means and individual ( 95 %) CI
 X...3. std r LCL UCL Min Max
1 71.295 6.102332 2 51.26805 91.32195 66.98 75.61
2 120.005 8.817622 2 99.97805 140.03195 113.77 126.24
3 79.700 11.073292 2 59.67305 99.72695 71.87 87.53
Alpha: 0.05 ; DF Error: 3
Critical Value of t: 3.182446 
least Significant Difference: 28.32238 
Treatments with the same letter are not significantly different.
 X[, 3] groups
2 120.005 a
3 79.700 b
1 71.295 b
8.6. Teste de Bonferroni, LSDB
Este procedimento conhecido como procedimento de Bonfer-
roni consiste na realização de um teste t para cada par de médias a uma 
201
estatística experimental no rbio
taxa de erro dada por α/c, em que α é o nível de significância adotado, 
e c é a combinação dos k tratamentos 2 a 2, (k (k-1) /2), portanto, 
o número de combinações par a par existentes. Usando este teste, o 
nível de significância máximo será α. Assim, o teste protege a taxa de 
erro do teste.
A estatística do teste é similar ao do teste t de Fisher, alterando 
apenas o nível de significância a ser adotado, de tal forma que:
( ) 2 t Resíduo
xQMRDMS t Gl
r∝
=
em que t é um valor tabelado (ANEXO 8.3) que depende do nú-
mero de graus de liberdade dos erros ( ) e do nível de significância 
α que é α=1/2(α/c), e c é o número de comparações duas a duas.
Para tamanhos de amostras diferentes tem-se:
( )
1 2
1 1 t ResíduoDMS t Gl QMR n n∝
 
= + 
 
Considerando o exemplo em que todos os tratamentos pos-
suem o mesmo número de repetições tem-se:
c = 3 (2) /2 =3
α = 5/6 = 0.83
( )
( )0.83
2 
2 79.23 4.85 8.89 43.22
2
t Resíduo
xQMRDMS t Gl
r
xt x
α=
= = =
202
estatística experimental no rbio
Considerando os tratamentos avaliados:
m2 – m3 =120.005 – 79.7 = 40.305 < DMS
m2 – m1 =120.005 - 71.295 = 48.71 > DMS
m3 – m1 = 79.7 – 71.295 =8.405 < DMS
Portanto, o tratamento 2 difere do tratamento 1, e os trata-
mentos 3 e 1 são estatisticamente iguais do mesmo modo que os tra-
tamentos 2 e 3. Pode-se representar este resultado utilizando letras, 
sendo assim, tem-se:
m1: 71.295 b
m2: 120.005 a
m3: 79.7 ab
Resultado das análises
Considerando o conjunto de dados apresentados anteriormen-
te, as saídas fornecidaspelo Rbio são apresentadas a seguir.
Para a realização desse procedimento o caminho é: ANOVA > 
Testes de Médias > Teste LSD (Fisher), conforme a Figura 8.6, marcando 
a opção Bonferroni, abaixo do botão processar.
203
estatística experimental no rbio
Figura 8.6. Software Rbio, e rotina de procedimentos para realizar o teste de 
Bonferroni (LSDB).
204
estatística experimental no rbio
# -----------------------------------
# Script 7: Testes de Médias
# -----------------------------------
# ----------------------
# 7.1- Leitura dos dados
# ----------------------
X<-read.table(“c:/_Rbio/ebook/exemplo1.txt”, h=T) # Leitura dos dados
X
 Trat Rep Variavel
1 1 1 66.98
2 1 2 75.61
3 2 1 113.77
4 2 2 126.24
5 3 1 71.87
6 3 2 87.53
# ----------------------
# 7.3- Declaração
# ----------------------
#install.packages(“agricolae”)
library(agricolae)
A<-as.factor(X[,1])
Rep<-as.factor(X[,2])
saida<-aov(X[,3]~A, data=X)
# ----------------------
# 7.3.5- Bonferroni
# ----------------------
out<-LSD.test(saida,”A”,p.adj=c(“bonferroni”), group=TRUE,console=TRUE)
Study: saida ~ “A”
LSD t Test for X[, 3] 
P value adjustment method: bonferroni 
Mean Square Error: 79.20223 
A, means and individual ( 95 %) CI
 X...3. std r LCL UCL Min Max
1 71.295 6.102332 2 51.26805 91.32195 66.98 75.61
2 120.005 8.817622 2 99.97805 140.03195 113.77 126.24
3 79.700 11.073292 2 59.67305 99.72695 71.87 87.53
Alpha: 0.05 ; DF Error: 3
Critical Value of t: 4.856657 
Minimum Significant Difference: 43.22213 
Treatments with the same letter are not significantly different.
 X[, 3] groups
2 120.005 a
3 79.700 ab
1 71.295 b
205
estatística experimental no rbio
8.7. Teste SNK
O Teste SNK é realizado da mesma forma que o de Tukey, com 
exceção de que o valor crítico depende não do número de tratamentos 
envolvidos no experimento (k), mas do número de médias incluídas na 
amplitude das médias que está sendo testada, do mesmo modo visto 
pelo teste de Duncan.
A estatística do teste é:
( ), SNK Resíduo
QMRDMS q k Gl
r∝
=
Em que
qα (k; gl Resíduo): Valores da amplitude total estudentizada (q) a um 
nível α de probabilidade com k e GLResíduo graus de liberdade (ANEXO 8.4);
r: número de repetições;
k: número de médias envolvidas;
Assim, no exemplo visto, os valores críticos seriam:
Considerando os tratamentos avaliados:
m2 – m3 =120.005 – 79.7 = 40.305 (k= 2) 
m2 – m1 =120.005 - 71.295 = 48.71 (k=3, pois o valor 79.7 do 
m3 está entre os valores de m2 e m1) 
m3 – m1 = 79.7 – 71.295 =8.405 (k=2) 
( )
( )5%
,
79.22, 3 4.50 39.6 28.32
2
SNK Resíduo
QMRDMS q k Gl
r
q x
∝=
= = =
206
estatística experimental no rbio
( )
( )5%
,
79.23, 3 5.9 39.6 37.18
2
SNK Resíduo
QMRDMS q k Gl
r
q x
∝=
= = =
Logo:
m2 – m3 =120.005 – 79.7 = 40.305 (k= 2) > DMS
m2 – m1 =120.005 - 71.295 = 48.71 (k=3) >DMS 
m3 – m1 = 79.7 – 71.295 =8.405 (k=2) <DMS
Portanto, o tratamento 2 difere dos tratamentos 3 e 1, e os tra-
tamentos 3 e 1 são estatisticamente iguais. Pode-se representar este 
resultado utilizando letras, sendo assim, tem-se:
m1: 71.295 b
m2: 120.005 a
m3: 79.7 b
Resultado das análises
Considerando o conjunto de dados apresentados anteriormen-
te, as saídas fornecidas pelo Rbio são apresentadas a seguir.
Para a realização desse procedimento o caminho é: ANOVA > 
Testes de Médias > SNK, conforme a Figura 8.7.
207
estatística experimental no rbio
Figura 8.7. Software Rbio, e rotina de procedimentos para realizar o teste SNK.
208
estatística experimental no rbio
# -----------------------------------
# Script 7: Testes de Médias
# -----------------------------------
 
# ----------------------
# 7.1- Leitura dos dados
# ----------------------
X<-read.table(“c:/_Rbio/ebook/exemplo1.txt”, h=T) # Leitura dos dados
X
 Trat Rep Variavel
1 1 1 66.98
2 1 2 75.61
3 2 1 113.77
4 2 2 126.24
5 3 1 71.87
6 3 2 87.53
 
# ----------------------
# 7.3- Declaração
# ----------------------
#install.packages(“agricolae”)
library(agricolae)
A<-as.factor(X[,1])
Rep<-as.factor(X[,2])
saida<-aov(X[,3]~A, data=X)
# ----------------------
# 7.3.6- SNK
# ----------------------
out<-SNK.test(saida,”A”, group=TRUE,console=TRUE)
Study: saida ~ “A”
Student Newman Keuls Test
for X[, 3] 
Mean Square Error: 79.20223 
A, means
 X...3. std r Min Max
1 71.295 6.102332 2 66.98 75.61
2 120.005 8.817622 2 113.77 126.24
3 79.700 11.073292 2 71.87 87.53
Alpha: 0.05 ; DF Error: 3 
Critical Range
 2 3 
28.32238 37.18917 
Means with the same letter are not significantly different.
 X[, 3] groups
2 120.005 a
3 79.700 b
1 71.295 b
209
estatística experimental no rbio
8.8. Teste de Dunnet
O teste de Dunnet (1955) é um teste para comparações de mé-
dias com um controle, de forma que o objetivo é comparar as médias 
de todos os tratamentos com o uso deste controle. Do mesmo modo 
que os demais testes, a hipótese H0 é que o controle e o tratamento 
testado possuem médias iguais.
A estatística do teste de Dunnet é uma modificação do teste t 
usual, de forma que a Diferença Mínima Significativa (DMS) é obtida 
através das expressões:
( ) 2,Dunnet Resíduo
xQMRDMS d k Gl
r∝
=
em que d é um valor tabelado (ANEXO 8.6) proposto por Dun-
net que depende do número de tratamentos k e do número de graus 
de liberdade do Resíduo (N-k).
Para tamanhos de amostras diferentes tem-se:
( )
1 2
1 1,Dunnet ResíduoDMS d k Gl QMR n n∝
 
= + 
 
Considerando o exemplo em que todos os tratamentos pos-
suem o mesmo número de repetições, tem-se:
( )
( )5
2, 
2 79.23;3 3.86 8.89 34.31
2
Dunnet Resíduo
xQMRDMS d k Gl
r
xd x
∝=
= = =
210
estatística experimental no rbio
Considerando que o tratamento 1 seja o controle, os demais 
serão testados em relação a ele e aos tratamentos avaliados:
m2 – m1 =120.005 - 71.295 = 48.71 > DMS
m3 – m1 = 79.7 – 71.295 =8.405 < DMS
Portanto, o tratamento 2 difere do controle (1), e o tratamento 
3 não difere do controle (1). Pode-se representar este resultado utili-
zando letras, sendo assim, tem-se:
m1: 71.295 a
m2: 120.005 b
m3: 79.7 a
Resultado das análises
Considerando o conjunto de dados apresentados anteriormen-
te, as saídas fornecidas pelo Rbio são apresentadas a seguir.
Para a realização desse procedimento o caminho é: ANOVA > 
Testes de Médias > Dunnet, conforme a Figura 8.8.
211
estatística experimental no rbio
Figura 8.8. Software Rbio, e rotina de procedimentos para realizar o teste Dunnet.
212
estatística experimental no rbio
# -----------------------------------
# Script 7: Testes de Médias
# -----------------------------------
# ----------------------
# 7.1- Leitura dos dados
# ----------------------
X<-read.table(“c:/_Rbio/ebook/exemplo1.txt”, h=T) # Leitura dos dados
X
 Trat Rep Variavel
1 1 1 66.98
2 1 2 75.61
3 2 1 113.77
4 2 2 126.24
5 3 1 71.87
6 3 2 87.53
 
# ----------------------
# 7.3- Declaração
# ----------------------
#install.packages(“multcomp”)
library(multcomp)
A<-as.factor(X[,1])
Rep<-as.factor(X[,2])
saida<-aov(X[,3]~A, data=X)
# ----------------------
# 7.3.7- Dunnet
# ----------------------
Dun = glht(saida, linfct = mcp(A = “Dunnett”))
print(summary(Dun))
 
 Simultaneous Tests for General Linear Hypotheses
Multiple Comparisons of Means: Dunnett Contrasts
Fit: aov(formula = X[, 3] ~ A, data = X)
Linear Hypotheses:
 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) 
2 - 1 == 0 48.710 8.900 5.473 0.0198 *
3 - 1 == 0 8.405 8.900 0.944 0.5972 
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
(Adjusted p values reported -- single-step method)
print(confint(Dun))
 
 Simultaneous Confidence Intervals
Multiple Comparisons of Means: Dunnett Contrasts
Fit: aov(formula = X[, 3] ~ A, data = X)
Quantile = 3.8665
95% family-wise confidence level
 
LinearHypotheses:
 Estimate lwr upr 
2 - 1 == 0 48.7100 14.2996 83.1204
3 - 1 == 0 8.4050 -26.0054 42.8154
213
estatística experimental no rbio
8.9. Teste de Scott-Knott
O procedimento de Scott e Knott (1974) é uma técnica que 
utiliza o teste da razão de verossimilhança para agrupar n tratamentos 
em k grupos. A grande vantagem desse método é a ausência de am-
biguidade que é comumente encontrada nos testes de médias. Porém 
é importante enfatizar que este não é um teste de médias, e sim um 
teste de agrupamento de médias, portanto, não haverá o cálculo da 
diferença mínima significativa (DMS) que é encontrada nos testes de 
médias. Nesse procedimento, outra estatística será usada para defini-
ção de quais médias serão agrupadas. 
Para realização do procedimento proposto por Scott-Knott, de-
vemos inicialmente ordenar as médias, da maior para a menor média. 
Uma vez ordenadas as médias, procede-se do seguinte modo:
i. Determina a partição entre os dois grupos que maximize a 
soma de quadrado (B0) entre grupos. Considerado T1 e T2 os totais dos 
2 grupos com k1 e k2 tratamentos em cada, tem-se:
( )22 2 1 21 2
0
1 2 1 2
T TT TB
k k k k
+
= + −
+
em que 
em que iY é a média do tratamento da posição ordenada i. 
Serão possíveis realizar g-1 partições, em que g são os números de 
tratamentos envolvidos.
214
estatística experimental no rbio
ii. Determinar o valor da estatística l da seguinte forma:
( )
0
2
0ˆ2 2
Bxπλ
π σ
=
−
em que:
( )220ˆ 1
g
i
i i
QMRY Y v
g v r
σ
=
 
= − + +  
∑
sendo g o número de tratamentos, v o número de graus de 
liberdade do resíduo, QMR o quadrado médio do resíduo e r o número 
de repetições.
iii. Se , (ANEXO 8.7), rejeita-se a hipótese de que 
os dois grupos são idênticos em favor da hipótese alternativa de que 
os dois grupos se diferem.
iv. Rejeitando a hipótese no passo iii, os dois grupos formados 
serão independentemente submetidos aos passos i e iii novamente, 
fazendo, respectivamente, g=k1 e g=k2. O processo de cada subgrupo 
se encerra ao aceitar H0 no passo iii, ou se cada subgrupo contiver 
apenas uma média.
Considerando o conjunto de dados da Tabela 11.1, tem-se:
Passo 1: Ordenar as médias: m2 (120.005); m3 (79.7) e m1 
(71.295). Como temos 3 tratamentos (g), serão possíveis (g-1) par-
tições, ou seja, 2 partições, sendo que a primeira testa se m2 difere 
das médias de m3 e m1. Caso ocorra esta partição, testa-se a segunda 
partição, que é se m3 difere de m1. 
215
estatística experimental no rbio
Passo 2: Calcular B0 para a partição m2 vs (m3 e m1)
( )
( ) ( )
22 2 2
1 21 2
0
1 2 1 2
2 2
120.005
1
79.7 71.295 120.005 150.995
1320.6117
2 1 2
T TT TB
k k k k
+
= + − =
+
+ +
+ − =
+
Passo 3: Calcular l
( )
( ) ( ) ( )
22
0
2 2 2
1
1 79.2120.005 90.333 79.7 90.333 71.295 90.333 3 
3 3 2
1 1474.7337 245.789
ˆ
6
g
i
i i
QMRY Y v
g v r
x
σ
=
 
= − + +  
 = − + − + − + +  
= =
∑
( )
0
2
0
1320.61171.3759 7.392
2 2 245.78ˆ 9
Bx xπλ
π σ
= = =
−
Passo 4: Se 
 
( )
( )
2 2
5%;2.6279
;
2
 ; 7.11
g
Rejeita Ho
α
π
λ χ λ χ λ 
  − 
≥ ≥ = ≥
Assim, rejeita-se a hipótese H0 de que os 2 grupos são idênticos, 
portanto, m2 é diferente das demais.
Agora, deve ser realizado o procedimento para verificar se os 
tratamentos m3 e m1 são iguais estatisticamente, para isso repetem-
-se os passos 2, 3 e 4:
216
estatística experimental no rbio
( )
( )
22 2 2
1 21 2
0
1 2 1 2
22
79.7
1
79.7 71.29571.295 35.322
1 2
T TT TB
k k k k
+
= + − =
+
+
+ − =
( )
( ) ( )
22
0
2 2 5
ˆ 1 1
2 3
79.2 179.7 75.4975 71.295 75.4975 3 1 54.12 30.82
2 5
g
i
i i
QMRY Y v
g v r
σ
=
 
= − + = + + 
 − + − + = =  
∑
Portanto não rejeita a hipótese H0 que os 2 tratamentos são 
estatisticamente iguais, formando apenas um grupo. Dessa forma, 
tem-se dois grupos a e b formados:
m1: 71.295 a
m2: 120.005 b
m3: 79.7 a
Uma modificação do teste de Scott-Knott (1974) foi proposto 
por Bhering et al. (2007). A diferença dos 2 métodos é que a modi-
ficação proposta procede inicialmente os mesmos procedimentos do 
teste original, porém no final descarta o(s) tratamento(s) do primeiro 
grupo formado, e inicia novamente os procedimentos de análise com 
os tratamentos remanescentes. Com isso, elimina a possível influência 
217
estatística experimental no rbio
de tratamentos anteriores nas partições posteriores. Os dois procedi-
mentos possuem as mesmas características e vantagens.
Como foi visto anteriormente, os diferentes testes de com-
parações múltiplas possuem suas particularidades e servem para 
comparar pares de tratamentos, ou todos os tratamentos ao mesmo 
tempo. Como exemplos de comparações de pares de tratamentos, 
tem-se o teste t, e o teste de Scheffé, quando o contraste montado é 
realizado entre par de tratamentos. Além disso, o pesquisador pode 
ter interesse de comparar todos os tratamentos conjuntamente ou 
compará-los com um ou mais testemunhas como é o caso do teste 
de Dunnet. Se observarmos as diferenças mínimas significativas (DMS) 
dos testes, pode ser feita uma comparação entre eles e verificar qual é 
aquele mais que necessita de uma maior diferença entre médias para 
que realmente estas sejam consideradas diferentes, e a comparação 
contrária também pode ser realizada. Na Figura 8.9 é possível verifi-
car tais comparações. Nota-se que ao comparar as DMS, a ordem do 
poder do teste seria Tukey (DMS=37.18), SNK (37.18 e 28.32), Duncan 
(28.32 e 28.41) e Fisher (28.32). Percebe-se que comparativamente o 
teste de Tukey é aquele que mais dificilmente mostra diferença entre 
os tratamentos, e que sua modificação, o teste SNK, possui um valor 
abaixo do mostrado pelo teste de Tukey, fazendo com que em algumas 
comparações seja menos rigoroso. Outro ponto interessante é que 
ao usar o teste de Fisher com a proteção Bonferroni (LSDB), o teste 
aumenta seu rigor, tendo, portanto, sua DMS aumentada.
218
estatística experimental no rbio
Figura 8.9. Comparação das diferenças mínimas significativas (DMS) considerando 
alguns testes de médias.
Resultado das análises
Considerando o conjunto de dados apresentados anteriormen-
te, as saídas fornecidas pelo Rbio são apresentadas a seguir.
Para a realização desse procedimento o caminho é: ANOVA > 
Testes de Médias > Scott Knott, conforme a Figura 8.10.
219
estatística experimental no rbio
Figura 8.10. Software Rbio, e rotina de procedimentos para realizar o teste Scott Knott.
220
estatística experimental no rbio
# -----------------------------------
# Script 7: Testes de Médias
# -----------------------------------
# ----------------------
# 7.1- Leitura dos dados
# ----------------------
X<-read.table(“c:/_Rbio/ebook/exemplo1.txt”, h=T) # Leitura dos dados
X
 Trat Rep Variavel
1 1 1 66.98
2 1 2 75.61
3 2 1 113.77
4 2 2 126.24
5 3 1 71.87
6 3 2 87.53
# ----------------------
# 7.3- Declaração
# ----------------------
#install.packages(“ScottKnott”)
library(ScottKnott)
A<-as.factor(X[,1])
Rep<-as.factor(X[,2])
saida<-aov(X[,3]~A, data=X)
# ----------------------
# 7.3.8- Scott-Knott
# ----------------------
sk <- SK(saida, which=’A’, dispersion=’se’, sig.level=0.05)
summary(sk)
 Levels Means SK(5%)
 2 120.005 a
 3 79.700 b
 1 71.295 b
221
estatística experimental no rbio
ANEXO 8.1. Tabela da Distribuição F ao nível de 5% de probabilidade com v1 graus 
de liberdade do numerador e v2 graus de liberdade do denominador.
v2 \ v1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 161.45 199.5 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.88
2 18.51 19 19.16 19.25 19.3 19.33 19.35 19.37 19.38 19.4
3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79
4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6 5.96
5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74
6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.1 4.06
7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64
8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.5 3.44 3.39 3.359 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14
10 4.96 4.1 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98
11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.2 3.09 3.01 2.95 2.9 2.85
12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3 2.91 2.85 2.8 2.75
13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67
14 4.6 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.7 2.65 2.6
15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.9 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54
16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49
17 4.45 3.59 3.2 2.96 2.81 2.7 2.61 2.55 2.49 2.45
18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41
19 4.38 3.52 3.13 2.9 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38
20 4.35 3.49 3.1 2.87 2.71 2.6 2.51 2.45 2.39 2.35
21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32
22 4.3 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.4 2.34 2.3
23 4.28 3.42 3.03 2.8 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27
24 4.26 3.4 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.3 2.25
25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.6 2.49 2.4 2.34 2.28 2.24
26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22
27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.2
28 4.2 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19
29 4.18 3.33 2.93 2.7 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18
30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16
35 4.12 3.27 2.87 2.64 2.49 2.37 2.29 2.22 2.16 2.11
40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08
222
estatística experimental no rbio
ANEXO 8.2. Tabela da Distribuição F ao nível de 1% de probabilidade com v1 graus 
de liberdade do numerador e v2 graus de liberdade do denominador.
v2 \ v1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 4052.2 4999.3 5403.5 5624.2 5763.9 5858.9 5928.3 5980.9 6022.4 6055.9
2 98.5 99 99.16 99.25 99.3 99.33 99.36 99.38 99.39 99.4
3 34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.34 27.23
4 21.2 18 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.8 14.66 14.55
5 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.05
6 13.75 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.1 7.98 7.87
7 12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62
8 11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81
9 10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.8 5.61 5.47 5.35 5.26
10 10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.2 5.06 4.94 4.85
11 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54
12 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.5 4.39 4.3
13 9.07 6.7 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.3 4.19 4.1
14 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94
15 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4 3.89 3.8
16 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.2 4.03 3.89 3.78 3.69
17 8.4 6.11 5.19 4.67 4.34 4.1 3.93 3.79 3.68 3.59
18 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.6 3.51
19 8.18 5.93 5.01 4.5 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43
20 8.1 5.85 4.94 4.43 4.1 3.87 3.7 3.56 3.46 3.37
21 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.4 3.31
22 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26
23 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.3 3.21
24 7.82 5.61 4.72 4.22 3.9 3.67 3.5 3.36 3.26 3.17
25 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13
26 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 3.09
27 7.68 5.49 4.6 4.11 3.78 3.56 3.39 3.26 3.15 3.06
28 7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.53 3.36 3.23 3.12 3.03
29 7.6 5.42 4.54 4.04 3.73 3.5 3.33 3.2 3.09 3
30 7.56 5.39 4.51 4.02 3.7 3.47 3.3 3.17 3.07 2.98
35 7.42 5.27 4.4 3.91 3.59 3.37 3.2 3.07 2.96 2.88
40 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.8
223
estatística experimental no rbio
ANEXO 8.3. Tabela da distribuição t de Student, com nível de significância α e gl 
graus de liberdade.
Nível de significância
gl 0.1 0.05 0.025* 0.01 0.005
1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657
2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925
3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841
4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604
5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032
6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707
7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499
8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355
9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250
10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169
11 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106
12 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055
13 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012
14 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977
15 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947
16 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921
17 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898
18 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878
19 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861
20 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845
21 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831
22 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819
23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807
24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797
25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787
26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779
27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771
28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763
29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756
30 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750
40 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704
50 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678
60 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660
120 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617
∞ 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576
* mais usada. Entra-se com α/2; portanto se deseja teste a 5%, entra com 0.05/2=0.025
224
estatística experimental no rbio
ANEXO 8.4. Valores da amplitude total estudentizada (q) para teste de Tukey a 5% de 
probabilidade em função do número de tratamentos e graus de liberdade do resíduo.
GL(resid) Número de grupos no tratamento
2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 17.97 26.98 32.82 37.08 40.41 43.12 45.40 47.36 49.07
2 6.08 8.33 9.8 10.88 11.73 12.43 13.03 13.54 13.99
3 4.50 5.91 6.82 7.50 8.04 8.48 8.85 9.18 9.46
4 3.93 5.04 5.76 6.29 6.71 7.05 7.35 7.60 7.83
5 3.64 4.6 5.22 5.67 6.03 6.33 6.58 6.8 6.99
6 3.46 4.34 4.9 5.3 5.63 5.9 6.12 6.32 6.49
7 3.34 4.16 4.68 5.06 5.36 5.61 5.82 6 6.16
8 3.26 4.04 4.53 4.89 5.17 5.4 5.6 5.77 5.92
9 3.2 3.95 4.41 4.76 5.02 5.24 5.43 5.59 5.74
10 3.15 3.88 4.33 4.65 4.91 5.12 5.3 5.46 5.6
11 3.11 3.82 4.26 4.57 4.82 5.03 5.2 5.35 5.49
12 3.08 3.77 4.2 4.51 4.75 4.95 5.12 5.27 5.39
13 3.06 3.73 4.15 4.45 4.69 4.88 5.05 5.19 5.32
14 3.03 3.7 4.11 4.41 4.64 4.83 4.99 5.13 5.25
15 3.01 3.67 4.08 4.37 4.59 4.78 4.94 5.08 5.2
16 3 3.65 4.05 4.33 4.56 4.74 4.9 5.03 5.15
17 2.98 3.63 4.02 4.3 4.52 4.7 4.86 4.99 5.11
18 2.97 3.61 4 4.28 4.49 4.67 4.82 4.96 5.07
19 2.96 3.59 3.98 4.25 4.47 4.65 4.79 4.92 5.04
20 2.95 3.58 3.96 4.23 4.45 4.62 4.77 4.9 5.01
24 2.92 3.53 3.9 4.17 4.37 4.54 4.68 4.81 4.92
30 2.89 3.49 3.85 4.1 4.3 4.46 4.6 4.72 4.82
40 2.86 3.44 3.79 4.04 4.23 4.39 4.52 4.63 4.73
120 2.8 3.36 3.68 3.92 4.1 4.24 4.36 4.47 4.56
>120 2.77 3.31 3.63 3.86 4.03 4.17 4.29 4.39 4.47
∞ 3.64 4.12 4.4 4.6 4.76 4.88 4.99 5.08 5.16
225
estatística experimental no rbio
ANEXO 8.5. Valores da amplitude total estudentizada (z) para teste de Duncan a 5% 
de probabilidade em função do número médias abrangidas pelo contraste (n1) e 
graus de liberdade do resíduo (n2).
n2 \ n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 17.97 17.97 17.97 17.97 17.97 17.97 17.97 17.97 17.97
2 6.08 6.08 6.08 6.08 6.08 6.08 6.08 6.08 6.08
3 4.50 4.51 4.51 4.51 4.51 4.51 4.51 4.51 4.51
4 3.93 4.01 4.03 4.03 4.03 4.03 4.03 4.03 4.03
5 3.64 3.75 3.80 3.81 3.81 3.81 3.81 3.81 3.81
6 3.46 3.59 3.65 3.68 3.69 3.69 3.69 3.69 3.69
7 3.34 3.48 3.55 3.59 3.61 3.62 3.62 3.62 3.62
8 3.26 3.40 3.48 3.52 3.55 3.57 3.58 3.58 3.58
9 3.20 3.34 3.42 3.47 3.50 3.52 3.54 3.54 3.54
10 3.15 3.29 3.38 3.43 3.46 3.49 3.50 3.51 3.52
11 3.11 3.26 3.34 3.39 3.43 3.46 3.48 3.49 3.50
12 3.08 3.22 3.31 3.37 3.41 3.44 3.46 3.47 3.48
13 3.05 3.20 3.28 3.35 3.39 3.42 3.44 3.46 3.47
14 3.03 3.18 3.27 3.33 3.37 3.40 3.43 3.44 3.46
15 3.01 3.16 3.25 3.31 3.35 3.39 3.41 3.43 3.44
16 2.99 3.14 3.23 3.30 3.34 3.38 3.40 3.42 3.44
17 2.98 3.13 3.22 3.28 3.33 3.37 3.39 3.41 3.43
18 2.97 3.12 3.21 3.27 3.32 3.36 3.38 3.40 3.42
19 2.96 3.11 3.20 3.26 3.31 3.35 3.38 3.40 3.42
20 2.95 3.10 3.19 3.26 3.30 3.34 3.37 3.39 3.41
25 2.91 3.06 3.15 3.22 3.27 3.31 3.34 3.37 3.39
30 2.89 3.03 3.13 3.20 3.25 3.29 3.32 3.35 3.37
50 2.84 2.99 3.08 3.15 3.21 3.25 3.29 3.32 3.34
60 2.83 2.98 3.07 3.14 3.20 3.24 3.28 3.31 3.33
100 2.81 2.95 3.05 3.12 3.18 3.22 3.26 3.29 3.32
226
estatística experimental no rbio
ANEXO 8.6. Valores tabelados a 5% de probabilidade para o teste de Dunnet, com 
k tratamentos e N-k graus de liberdade do resíduo.
Número de tratamentos
GL (N-K) 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 12.70 17.37 20.03 21.85 23.21 24.28 25.17 25.92 26.57
2 4.30 5.41 6.06 6.51 6.85 7.12 7.34 7.54 7.70
3 3.18 3.864.26 4.54 4.75 4.91 5.05 5.17 5.28
4 2.77 3.31 3.62 3.83 3.99 4.12 4.23 4.32 4.41
5 2.57 3.03 3.29 3.48 3.62 3.73 3.82 3.9 3.97
6 2.45 2.86 3.1 3.26 3.39 3.49 3.57 3.64 3.71
7 2.36 2.75 2.97 3.12 3.24 3.33 3.41 3.47 3.53
8 2.31 2.67 2.88 3.02 3.13 3.22 3.29 3.35 3.41
9 2.26 2.61 2.81 2.95 3.05 3.14 3.2 3.26 3.32
10 2.23 2.57 2.76 2.89 2.99 3.07 3.14 3.19 3.24
11 2.2 2.53 2.72 2.84 2.94 3.02 3.08 3.14 3.19
12 2.18 2.5 2.68 2.81 2.9 2.98 3.04 3.09 3.14
13 2.16 2.48 2.65 2.78 2.87 2.94 3 3.06 3.1
14 2.14 2.46 2.63 2.75 2.84 2.91 2.97 3.02 3.07
15 2.13 2.44 2.61 2.73 2.82 2.89 2.95 3 3.04
16 2.12 2.42 2.59 2.71 2.8 2.87 2.92 2.97 3.02
17 2.11 2.41 2.58 2.69 2.78 2.85 2.9 2.95 3
18 2.1 2.4 2.56 2.68 2.76 2.83 2.89 2.94 2.98
19 2.09 2.39 2.55 2.66 2.75 2.81 2.87 2.92 2.96
20 2.09 2.38 2.54 2.65 2.73 2.8 2.86 2.9 2.95
24 2.06 2.35 2.51 2.61 2.7 2.76 2.81 2.86 2.9
30 2.04 2.32 2.47 2.58 2.66 2.72 2.77 2.82 2.86
40 2.02 2.29 2.44 2.54 2.62 2.68 2.73 2.77 2.81
60 2 2.27 2.41 2.51 2.58 2.64 2.69 2.73 2.77
227
estatística experimental no rbio
ANEXO 8.7. Valores de χ2 para diferentes níveis de probabilidade (α) e v graus de 
liberdade.
v 0.5 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005
1 0,455 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
2 1.386 2.773 4.605 5.991 7.378 9.210 10.597
3 2.366 4.108 6.251 7.815 9.348 11.345 12.838
4 3.357 5.385 7.779 9.488 11.143 13.277 14.860
5 4.351 6.626 9.236 11.070 12.832 15.086 16.750
6 5.348 7.841 10.645 12.592 14.449 16.812 18.548
7 6.346 9.037 12.017 14.067 16.013 18.475 20.278
8 7.344 10.219 13.362 15.507 17.535 20.090 21.955
9 8.343 11.389 14.684 16.919 19.023 21.666 23.589
10 9.342 12.549 15.987 18.307 20.483 23.209 25.188
11 10.341 13.701 17.275 19.675 21.920 24.725 26.757
12 11.340 14.845 18.549 21.026 23.337 26.217 28.300
13 12.340 15.984 19.812 22.362 24.736 27.688 29.819
14 13.339 17.117 21.064 23.685 26.119 29.141 31.319
15 14.339 18.245 22.307 24.996 27.488 30.578 32.801
16 15.338 19.369 23.542 26.296 28.845 32.000 34.267
17 16.338 20.489 24.769 27.587 30.191 33.409 35.718
18 17.338 21.605 25.989 28.869 31.526 34.805 37.156
19 18.338 22.718 27.204 30.144 32.852 36.191 38.582
20 19.337 23.828 28.412 31.410 34.170 37.566 39.997
21 20.337 24.935 29.615 32.671 35.479 38.932 41.401
22 21.337 26.039 30.813 33.924 36.781 40.289 42.796
23 22.337 27.141 32.007 35.172 38.076 41.638 44.181
24 23.337 28.241 33.196 36.415 39.364 42.980 45.558
25 24.337 29.339 34.382 37.652 40.646 44.314 46.928
26 25.336 30.435 35.563 38.885 41.923 45.642 48.290
27 26.336 31.528 36.741 40.113 43.195 46.963 49.645
28 27.336 32.620 37.916 41.337 44.461 48.278 50.994
29 28.336 33.711 39.087 42.557 45.722 49.588 52.335
30 29.336 34.800 40.256 43.773 46.979 50.892 53.672
40 39.335 45.616 51.805 55.758 59.342 63.691 66.766
50 49.335 56.334 63.167 67.505 71.420 76.154 79.490
60 59.335 66.981 74.397 79.082 83.298 88.379 91.952
70 69.334 77.577 85.527 90.531 95.023 100.425 104.215
80 79.334 88.130 96.578 101.879 106.629 112.329 116.321
90 89.334 98.650 107.565 113.145 118.136 124.116 128.299
100 99.334 109.141 118.498 124.342 129.561 135.807 140.170
228
9
ANÁLISE DE EXPERIMENTOS FATORIAIS
Os experimentos fatoriais buscam avaliar se existe interação 
entre os fatores testados. Eles geralmente envolvem dois ou três fato-
res, e cada fator, pode ter níveis qualitativos ou quantitativos. Para os 
níveis qualitativos, quando os efeitos são considerados como fixos, é 
necessário realizar a comparação de médias, de acordo com os testes 
apresentados no capítulo anterior. Quando o experimento contém 
pelo menos quatro níveis de um fator quantitativo, e esses efeitos são 
considerados como fixos, é necessário realizar análise de regressão.
Outro exemplo importante de experimentos fatoriais é o caso 
de um experimento conduzido em vários locais. Por exemplo, se um 
pesquisador está interessado em descobrir se um conjunto de ge-
nótipos possui desempenho agronômico similar em um conjunto de 
ambientes, será necessário avaliar a interação entre os dois fatores 
(genótipos x ambientes). Nesse caso, o ambiente é considerado como 
um fator e será realizada a ANOVA conjunta. Esse procedimento tam-
bém pode ser considerado como uma ANOVA fatorial.
Inicialmente, antes de proceder a ANOVA fatorial, é necessário 
que o pesquisador realize as análises de variâncias para cada ambiente 
separadamente, de forma a avaliar se tais ambientes são homogêneos, 
isso porque, como já mencionado anteriormente, é necessário que 
229
estatística experimental no rbio
exista homogeneidade de variância dos erros. Após realizada estas 
análises individuais de variância, testa-se a homogeneidade com al-
guns testes estatísticos, como será visto a seguir. 
Para julgar essa homogeneidade das variâncias é comumente 
usado o teste de Bartlett (que será visto a seguir neste capítulo), 
porém segundo relato de Box (1953), esse teste é tão sensível para 
a falta de normalidade que deve ser abandonado. Este autor relata 
ainda que se a razão entre as variâncias não for superior a 3, para ex-
perimentos com mesmo número de repetições, que os testes poderão 
ser aplicados sem problemas. Caso o valor das variâncias ultrapasse 
3, testes adicionais como o de Hartley (1956) deverão ser aplicados. 
Pimentel-Gomes (2000) conclui que para experimentos com mesmo 
número de repetições para os tratamentos, a análise conjunta poderá 
ser realizada sem dificuldades se o quociente entre maior e menor 
quadrado médio do resíduo for menor que 7.
Para isto, considere um experimento com dois fatores, denomi-
nados A e B, no qual o fator A tem t níveis, por exemplo tratamentos, 
e o fator B tem l nível, por exemplo local. Para cada combinação de 
níveis, realizamos r réplicas. Na Tabela 9.1 é apresentado esquema da 
tabela com as observações do referido experimento. 
Tabela 9.1. Tabela auxiliar considerando observações de t tratamentos, em l locais 
e r repetições para proceder a anova.
Fator A
Tratamentos
Fator B (Locais)
Total Média
1 2 ... l
1 Y111, ..., Y11r Y121, ..., Y12r ... Y1l1, ..., Y1lr Y1.. Ȳ1..
2 Y211, ..., Y21r Y221, ..., Y22r ... Y2l1, ..., Y2lr Y2.. Ȳ2..
... ... ... ...
t Yt11, ..., Yt1r Yt21, ..., Yt2r ... Ytl1, ..., Ytlr Yt.. Ȳt..
Total Y.1. Y.2. Y.l.
Média Ȳ.1. Ȳ.2. Ȳ.l. Ȳ...
230
estatística experimental no rbio
Consideremos agora um exemplo simulado com 3 tratamentos, 
2 locais com 2 repetições em cada local apresentado na Tabela 9.2.
Tabela 9.2. Avaliação de uma variável agronômica simulada, em arranjo fatorial com 
três tratamentos, avaliada em dois locais com duas repetições num delineamento 
inteiramente casualizado.
Tratamentos
Local
Total Média1 2
Rep 1 Rep 2 Rep 1 Rep 2
1 66.98 75.61 86.71 83.95 313.25 78.3125
2 113.77 126.24 110.35 110.29 460.65 115.1625
3 71.87 87.53 93.26 98.44 351.1 87.775
Total 252.62 289.38 290.32 292.68
Total 542 583 1125
Média 90.33 97.17 93.75
Primeiramente deve-se realizar as análises individuais para 
cada experimento, ou seja, realizar duas análises considerando um 
experimento no delineamento inteiramente casualizado. O resultado 
desta análise se encontra na Tabela 9.3. 
Tabela 9.3. Resultado da análise de variância da variável agronômica simulada, 
considerando dois ambientes em delineamento inteiramente casualizado.
FV GL
Local 1 Local 2
SQ QM F SQ QM F
Tratamento 2 2711.9 1355.9 17.12* 629.7 314.85 54.83**
Resíduo 3 237.6 79.2 17.2 5.74
Total 5 2949.5 646.9
*, **: Significativo a 5 e 1% de significância, respectivamente, pelo teste F.
Com base nas análises individuais testa-se a homogeneidade 
de variância, segundo diferentes metodologias como:
231
estatística experimental no rbio
a) Razão entre maior e menor QMR (variância) - Teste de Hartley
A hipótese H0 testada é que as variâncias sejam homogêneas, e 
a estatística do teste é dada segundo a expressão abaixo, considerando 
todos os ambientes avaliados:
 
 
maior QMRH
menor QMR
=
Considerando os dados da Tabela 8.3, temos:
79.2 13.79
5.74
H = =
Essevalor encontrado deve ser confrontado com o valor da 
tabela de distribuição H, denominado de F máximo (ANEXOS 9.1 e 9.2). 
Para testar esta estatística, entra-se com o número de graus de liberda-
de associado ao resíduo, que nesse caso é 3, e o número de ambientes 
avaliado, que nesse caso é 2. Considerando os valores da tabela de F 
máximo a 5% (ANEXO 9.1), encontra-se o valor de 15.40. Como o valor 
de H calculado é menor que o valor de H tabelado, conclui-se que as 
variâncias são homogêneas.
b) Teste de Bartlett
O teste de Bartlett, proposto em 1937, utiliza a estatística a 
seguir, para experimentos conduzidos em a ambientes (j=1,2,...,a).
232
estatística experimental no rbio
( )
( )
1
1
1
1
1
1
 
2,3026
( log( ))
1 1 11
3 1
a
ja j
j aj
jj
a
j jj
a
aj
j jj
SQRes
GLRes xlog
GLResx
GLRes x SQRes
Bartlet
x
a GLRes GLRes
=
=
=
=
=
=
  
  
  
  
 
−  =
 
 + −
 −
 
∑
∑
∑
∑
∑
∑
Para o exemplo anterior tem-se:
1
 3 3 6
a
j
j
A GLRes
=
= = + =∑
1
1
237.6 17.2 42.46
6
a
jj
a
jj
SQRes
s
GLRes
=
=
  + = = =
 
 
∑
∑
( ) ( )
1
( log( ))
3 237.6 3 17.2 10.83
a
j j
j
C GLRes x SQRes
xlog xlog
=
=
= + =
∑
1
1 1 1 0.667
3 3
a
j j
D
GLRes=
= = + =∑
( )2,3026 6 42.46 10.83
1 11 0.667
3 6
2.44 2.10
1.16
x xlog
Bartlet
x
 − =
 + − 
 
−
= = −
233
estatística experimental no rbio
O teste de Bartlett segue distribuição de χ2 considerando a-1 
graus de liberdade e nível de significância α. Considerando os valores 
disponíveis no ANEXO 9.3, o valor tabelado considerando 5% de proba-
bilidade e 1GL = 3,84, dessa forma, o valor calculado é menor que o valor 
tabelado, então pode-se considerar que as variâncias são homogêneas.
Segundo Pimentel-Gomes (2000), em caso de não haver 
homogeneidade entre as variâncias dos experimentos, pode-se 
descartar ambientes heterogêneos da análise ou agrupá-los em 
subgrupos de forma que tal heterogeneidade não aconteça. Outra 
alternativa é realizar o ajuste dos graus de liberdade da interação e 
resíduo, conforme metodologia adaptada de Cochran (1954), porém 
se as discrepâncias entre os quadrados médios forem grandes, esse 
método não se mostra promissor.
A análise conjunta de experimentos é comumente chamada de 
análise fatorial, que não é um delineamento experimental, e sim um 
arranjo experimental. Nesse caso veremos um arranjo fatorial em DIC.
O modelo matemático para o arranjo experimental em DIC é:
Yijk=m + Ti+ Lj + TLij+ eijk
em que:
Yijk é o valor observado relativo à parcela que recebe o tratamen-
to i no local j na repetição k, sendo i =1, 2, ..., t , j= 1, 2, ..., l e k =1, 2, ... r.
m é a média geral do experimento
Ti é o efeito do tratamento i
Lj é o efeito do local j
TLij é o efeito da interação entre o tratamento i e o local j
eijk é o erro aleatório associado a observação ijk.
O quadro da ANOVA neste delineamento é representado na 
Tabela 9.4.
234
estatística experimental no rbio
Tabela 9.4. Quadro da ANOVA considerando arranjo fatorial de um delineamento 
inteiramente casualizado.
FV GL SQ QM F
Tratamento (T) t-1 SQTrat QMTrat = SQTrat/glTrat QMTrat / QMRes
Local (L) l-1 SQLocal QMLocalt = SQLocalt/glLocal QMLocal/ QMRes
T x L (t-1) (l-1) SQTxL QMTxLt = SQTxL/glTxL QMTxL / QMRes
Resíduo tl(r-1) SQRes QMRes= SQRes/glRes
Total tlr-1 SQTotal
Em que:
2
...YC
tlr
=
2
1 1 1
t l r
Total ijk
i j k
SQ Y C
= = =
= −∑∑∑
2
..
1
1 t
Trat i
i
SQ Y C
lr =
= −∑
2
. .
1
1 l
Local j
j
SQ Y C
tr =
= −∑
2
.
1 1
1 t l
TxA ij Trat Local
i j
SQ Y SQ SQ C
r = =
= − − −∑∑
Res Total Trat Local TxASQ SQ SQ SQ SQ= − − −
Os cálculos para realizar a análise de variância conjunta com 
base nos dados da Tabela 9.2, são:
235
estatística experimental no rbio
2 2
... 1125 105468.75
3 2 2
YC
tlr x x
= = =
2 2 2 2 2
1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
2
 66.98 75.61 113.77 126.24
71.87 87.53 86.71 83.95 110.35 110.29 93.26
98.44 105468.75 109205.2 105468.75 3736.45
t l r
Total ijk
i j k
SQ Y C
= = =
= − = + + +
+ + + + + + +
+ − = − =
∑∑∑
( )2 2 2 2..
1
1 1 313.25 460.65 351.1
2 2
105468.75 2930.049
t
Trat i
i
SQ Y C x
lr x=
= − = + +
− =
∑
( )2 2 2. .
1
1 1 542 583
3 2
105468.75 140.0833
t
Local j
j
SQ Y C x
tr x=
= − = +
− =
∑
( )
2
.
1 1
2 2 2 2 2 2
1 1
2
142.59 240.01 159.4 170.66 220.64 191.7
2930.049 140.0833 105468.75 411.52
t l
TxA ij Trat Local
i j
SQ Y SQ SQ C
r = =
= − − − =
+ + + + +
− − − =
∑∑
3736.45 2930.049 140.0833 411.52 254.83
Res Total Trat Local TxASQ SQ SQ SQ SQ= − − −
= − − − =
O quadro da ANOVA para o exemplo é representado na Tabela 
9.5. A hipótese H0 testada, considerando efeito de tratamento fixo, é 
que todos os tratamentos possuem média igual. O valor tabelado do F 
a 5% de probabilidade e 2 graus de liberdade do numerador e 6 graus 
de liberdade do denominador (F5%;2;6) é igual a 5.14 (ANEXO 9.4). Dessa 
forma, o F calculado (34.49) é maior que F tabelado, então rejeita-se a 
236
estatística experimental no rbio
hipótese H0 de igualdade entre as médias, devendo haver pelo menos 
uma média que difere estatisticamente das demais.
Tabela 9.5. Resultado da análise de variância da variável agronômica simulada, em 
arranjo fatorial com três tratamentos, avaliados em dois locais com duas repetições 
num delineamento inteiramente casualizado.
FV GL SQ QM F
Tratamento (T) 2 2930.049 1465.02 34.49*
Local (L) 1 140.0833 140.083 3.29
T x L 2 411.52 205.76 4.84
Resíduo 6 254.83 42.47
Total 11 3736.45
*: Significativo a 5% de significância pelo teste F
Neste exemplo, o coeficiente de variação (C.V.) é: 
%
100 100 42.47 6.95%
 93.75
QMR
CV
média
= = =
Caso o esquema fosse fatorial fosse no delineamento em blocos 
casualizados (DBC) tem-se o seguinte 
Yijk=m + Bk+ Ti+ Lj + TLij+ eijk
em que:
Yijk é o valor observado relativo à parcela que recebe o tratamen-
to i no local j na repetição k, sendo i =1, 2, ..., t , j= 1, 2, ..., l e k =1, 2, ... r.
m é a média geral do experimento
Bk é o efeito do bloco k
Ti é o efeito do tratamento i
Lj é o efeito do local j
TLij é o efeito da interação entre o tratamento i e o local j
eijk é o erro aleatório associado a observação ijk.
237
estatística experimental no rbio
Nessa situação a diferença é que se tem o efeito de bloco ex-
traído do resíduo. Dessa forma, teríamos r-1 GL para fonte blocos, ou 
seja, 2-1 = 1GL, e a Soma de Quadrados de Blocos poderia ser obtida 
utilizando os totais de cada repetição (para o bloco 1 tem: 66.98+113.
77+71.87+86.71+110.35+93.26= 252.62 +290.32 =542.94) por:
( ) ( )
2
..
1
2 2
1 1 
3 2
252.62 290.32 289.38 292.68
105468.75 127.5312
r
Blocos k
k
SQ Y C x
tl x=
= − =
 + + + 
− =
∑
A Soma dos Quadrado do Resíduo é:
254.83 127.5312 127.3023
Res Total Trat Local TxA BlocosSQ SQ SQ SQ SQ SQ= − − − −
= − =
O Quadro da ANOVA nessa situação é apresentado na Tabela 9.6.
Tabela 9.6. Resultado da análise de variância da variável agronômica simulada, em 
arranjo fatorial com três tratamentos, avaliados em dois locais com duas repetições 
num delineamento em blocos ao acaso.
FV GL SQ QM F
Blocos 1 127.5312 127.5312
Tratamento (T) 2 2930.049 1465.02 57.54*
Local (L) 1 140.0833 140.083 5.502
T x L 2 411.52 205.76 8.08*
Resíduo 5 127.3023 25.46
Total 11 3736.45
*: Significativo a 5% pelo teste F.
238
estatística experimental no rbio
Neste caso, o coeficiente de variação (C.V.) é: 
%
100 100 25.46 5.38%
 93.75
QMR
CV
média
= = =
De forma similar ao já apresentado anteriormente pode-se 
realizar o Teste de Tukey em experimentos em que exista mais de um 
fator, como por exemplo um arranjo fatorial. Neste caso é importante 
ficar atendo ao número de repetições a ser considerados, pois esta é o 
número de observações que deram origem a média daquele fator em 
consideração, ou seja, o produto entre o número de repetições do ex-
perimento e o número de repetições do outro fator, por exemplo, em 
um experimento que tenha três tratamentos, avaliados em dois locaise com duas repetições, se deseja realizar a comparação para fontes 
de tratamentos, tem-se três médias que são originadas das avaliações 
dos dois locais e duas repetições, portanto 2x2=4. Para proceder esta 
análise será utilizado o arquivo de dados apresentados anteriormente 
na Tabela 9.2, que se refere a um experimento em um arranjo fatorial 
com três tratamentos avaliados em dois locais com duas repetições 
em delineamento inteiramente casualizado. A saída da anova está 
representada na Tabela 9.5. Note que não houve interação significativa 
entre os fatores avaliados (tratamentos x ambientes). Analisando os 
efeitos isolados, houve efeito significativo para tratamentos. Dessa 
forma, o teste de Tukey será aplicado nesta situação apenas para esta 
fonte de variação.
O valor da DMS para tratamento, considerando o arranjo fatorial 
em DIC é obtida pela expressão abaixo e fazendo uso do ANEXO 9.5:
239
estatística experimental no rbio
( )
( ) ( )5%
,
 
42.473, 6 4.34 10.61 14.14
2 2
Tukey Resíduo
QMRDMS q k Gl
r xlocal
q x
x
∝=
= = =
Sendo assim, para as três médias de tratamentos as compara-
ções a seguir podem ser feitas:
m2 – m3 =115.16 – 87.77 = 27.39 > DMS
m2 – m1 =115.16 – 78.31 = 36.85 > DMS
m3 – m1 = 87.77 – 78.31 =9.46 < DMS
Portanto, o tratamento 2 difere dos tratamentos 3 e 1, e os tra-
tamentos 3 e 1 são estatisticamente iguais. Pode-se representar este 
resultado utilizando letras, sendo assim, tem-se:
m1: 78.31 b
m2: 115.16 a
m3: 87.77 b
De forma similar o valor da DMS para a fonte de variação local é:
( )
( ) ( )5%
,
 
42.472, 6 3.46 7.07 9.2
2 3
Tukey Resíduo
QMRDMS q k Gl
r xtrat
q x
x
∝=
= = =
Como só existem dois locais, não é necessário realizar o teste de 
média, uma vez que na saída da análise de variância a fonte de variação 
local foi não significativa pelo teste F, porém, de forma apenas ilustrativa 
a comparação dos dois locais é: L2 – L1=97.17 – 90.33 = 6.84 < DMS
240
estatística experimental no rbio
Resultado das análises
Considerando o conjunto de dados apresentados anteriormen-
te, as saídas fornecidas pelo Rbio são apresentadas a seguir.
Para a realização desse procedimento o caminho é: ANOVA > 
Fatorial > Fatorial AxB, conforme a Figura 9.1. No arquivo de entrada de 
dados o usuário definirá a natureza dos efeitos, para que seja possível 
que o teste F seja realizado de forma correta. Será liberado uma figura 
com as médias conforme apresentado na Figura 9.2.
241
estatística experimental no rbio
Figura 9.1: Procedimento para Análise de Variância em fatorial (AxB) no Rbio.
Figura 9.2. Software Rbio: Representação gráfica do teste de média para as fontes 
de variação do modelo tratamento e local.
242
estatística experimental no rbio
O script para a realização dessa análise é:
# -----------------------------------
# Script 8: Delineamento em esquema fatorial
# -----------------------------------
# ----------------------
# 8.1- Leitura dos dados
# ----------------------
X<-read.table(“c:/_Rbio/ebook/exemplo3.txt”, h=T) # Leitura dos dados
X
 Trat Local Rep Variavel
1 1 1 1 66.98
2 1 1 2 75.61
3 2 1 1 113.77
4 2 1 2 126.24
5 3 1 1 71.87
6 3 1 2 87.53
7 1 2 1 86.71
8 1 2 2 83.95
9 2 2 1 110.35
10 2 2 2 110.29
11 3 2 1 93.26
12 3 2 2 98.44
 
# ----------------------
# 8.2- Análises individuais
# ----------------------
for (i in 1:2){
+ X1<- subset(X, Local == i)[,c(1,3:4)]
+ #print(i)
+ cat(“\n”, “ --- Local: “,i, “\n”, “\n”)
+ X1
+ 
+ Trat<-as.factor(X1[,1])
+ Rep<-as.factor(X1[,2])
+ variavel<-X1[,3]
+ saida<-aov(variavel~Trat) 
+ print(summary(saida))
+ }
 --- Local: 1 
 
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
Trat 2 2711.9 1355.9 17.12 0.0229 *
Residuals 3 237.6 79.2 
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
 --- Local: 2 
 
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
Trat 2 629.7 314.85 54.83 0.00435 **
Residuals 3 17.2 5.74 
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
 
# ----------------------
# 8.3- ANOVA Fatorial 
# ----------------------
243
estatística experimental no rbio
Trat<-as.factor(X[,1])
Local<-as.factor(X[,2])
Bloco<-as.factor(X[,3])
# ----------------------
# 8.3.1- ANOVA Fatorial DIC
# ----------------------
saida<-aov(X[,4]~Trat+Local+Trat*Local)
print(summary(saida)) 
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
Trat 2 2930.0 1465.0 34.494 0.000512 ***
Local 1 140.1 140.1 3.298 0.119262 
Trat:Local 2 411.5 205.8 4.845 0.055931 . 
Residuals 6 254.8 42.5 
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
 
# ----------------------
# 8.3.2- ANOVA Fatorial DBC
# ----------------------
saida2<-aov(X[,4]~Bloco+Trat+Local+Trat*Local)
print(summary(saida2))
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
Bloco 1 127.5 127.5 5.009 0.075396 . 
Trat 2 2930.0 1465.0 57.541 0.000354 ***
Local 1 140.1 140.1 5.502 0.065917 . 
Trat:Local 2 411.5 205.8 8.082 0.027132 * 
Residuals 5 127.3 25.5 
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
# ----------------------
# 8.4- Teste Tukey
# ---------------------- 
library(agricolae)
cat(“\n”, “-----Teste de Media para o Fator Trat-----”,”\n”)
 -----Teste de Media para o Fator Trat----- 
out<-HSD.test(saida,”Trat”, alpha=0.05, group=TRUE,console=TRUE)
Study: saida ~ “Trat”
HSD Test for X[, 4] 
Mean Square Error: 42.47225 
Trat, means
 X...4. std r Min Max
1 78.3125 8.907459 4 66.98 86.71
2 115.1625 7.561999 4 110.29 126.24
3 87.7750 11.501543 4 71.87 98.44
Alpha: 0.05 ; DF Error: 6 
Critical Value of Studentized Range: 4.339195 
Minimun Significant Difference: 14.13943 
Treatments with the same letter are not significantly different.
244
estatística experimental no rbio
 X[, 4] groups
2 115.1625 a
3 87.7750 b
1 78.3125 b
cat(“\n”, “-----Teste de Media para o Fator Local-----”,”\n”)
 -----Teste de Media para o Fator Local-----
 
out<-HSD.test(saida,”Local”, alpha=0.05, group=TRUE,console=TRUE)
Study: saida ~ “Local”
HSD Test for X[, 4] 
Mean Square Error: 42.47225 
Local, means
 X...4. std r Min Max
1 90.33333 24.28775 6 66.98 126.24
2 97.16667 11.37478 6 83.95 110.35
Alpha: 0.05 ; DF Error: 6 
Critical Value of Studentized Range: 3.460456 
Minimun Significant Difference: 9.206834 
Treatments with the same letter are not significantly different.
 X[, 4] groups
2 97.16667 a
1 90.33333 a
 
cat(“\n”, “-----Teste de Media para a Interacao Trat x Local-----”,”\n”)
 -----Teste de Media para a Interacao Trat x Local-----
 
AxB <- with(X, interaction(Trat, Local))
model <- aov(X[,i] ~ Bloco+AxB, data=X)
out<-HSD.test(model,”AxB”, alpha=0.05, group=TRUE,console=TRUE)
Study: model ~ “AxB”
HSD Test for X[, i] 
Mean Square Error: 1.463803e-31 
AxB, means
 X...i. std r Min Max
1.1 1 0 2 1 1
1.2 2 0 2 2 2
2.1 1 0 2 1 1
2.2 2 0 2 2 2
3.1 1 0 2 1 1
3.2 2 0 2 2 2
Alpha: 0.05 ; DF Error: 5 
Critical Value of Studentized Range: 6.032903 
Minimun Significant Difference: 1.632122e-15 
Treatments with the same letter are not significantly different.
 X[, i] groups
1.2 2 a
2.2 2 a
3.2 2 a
1.1 1 b
2.1 1 b
3.1 1 b
245
estatística experimental no rbio
ANEXO 9.1. Percentis superiores a 5% da distribuição de F máximo
Número de Experimentos envolvidos
GL Res 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 39.00 87.50 142.00 202.00 266.00 333.00 403.00 475.00 550.00 626.00 704.00
3 15.40 27.80 39.20 50.70 62.00 72.90 83.50 93.90 104.00 114.00 124.00
4 9.60 15.50 20.60 25.20 29.50 33.6037.50 41.10 44.60 48.00 51.40
5 7.15 10.80 13.70 16.30 18.70 20.80 22.90 24.70 26.50 28.20 29.90
6 5.82 8.38 10.40 12.10 13.70 15.00 16.30 17.50 18.60 19.70 20.70
7 4.99 6.94 8.44 9.70 10.80 11.80 12.70 13.50 14.30 15.10 15.80
8 4.43 6.00 7.18 8.12 9.03 9.78 10.50 11.10 11.70 12.20 12.70
9 4.03 5.34 6.31 7.11 7.80 8.41 8.95 9.45 9.91 10.30 10.70
10 3.72 4.85 5.67 6.34 6.92 7.42 7.87 8.28 8.66 9.01 9.34
12 3.28 4.16 4.79 5.30 5.72 6.09 6.42 6.72 7.00 7.25 7.48
15 2.86 3.54 4.01 4.37 4.68 4.95 5.19 5.40 5.59 5.77 5.93
20 2.46 2.95 3.29 3.54 3.76 3.94 4.10 4.24 4.37 4.49 4.59
30 2.07 2.40 2.61 2.78 2.91 3.02 3.12 3.21 3.29 3.36 3.39
60 1.67 1.85 1.96 2.04 2.11 2.17 2.22 2.26 2.30 2.33 2.36
∞ 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
ANEXO 9.2. Percentis superiores a 1% da distribuição de F máximo
Número de Experimentos envolvidos
GL Res 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 199.00 448.0 729.0 1036.0 1362.0 1705.0 2063.0 2432.0 2813.0 3204.0 3605.0
3 47.50 85.0 120.0 151.0 184.0 216.0 249.0 281.0 310.0 337.0 361.0
4 23.20 37.0 49.0 59.0 69.0 79.0 89.0 97.0 106.0 113.0 120.0
5 14.90 22.0 28.0 33.0 38.0 42.0 46.0 50.0 54.0 57.0 60.0
6 11.10 15.5 19.1 22.0 25.0 27.0 30.0 32.0 34.0 36.0 37.0
7 8.89 12.1 14.5 16.5 18.4 20.0 22.0 23.0 24.0 26.0 27.0
8 7.50 9.9 11.7 13.2 14.5 15.8 16.9 17.9 18.9 19.8 21.0
9 6.54 8.5 9.9 11.1 12.1 13.1 13.9 14.7 15.3 16.0 16.6
10 5.85 7.4 8.6 9.6 10.4 11.1 11.8 12.4 12.9 13.4 13.9
12 4.91 6.1 6.9 7.6 8.2 8.7 9.1 9.5 9.9 10.2 10.6
15 4.07 4.9 5.5 6.0 6.4 6.7 7.1 7.3 7.5 7.8 8.0
20 3.32 3.8 4.3 4.6 4.9 5.1 5.3 5.5 5.6 5.8 5.9
30 2.63 3.0 3.3 3.4 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2
60 1.96 2.2 2.3 2.4 2.4 2.5 2.5 2.6 2.6 2.7 2.7
∞ 1.00 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0
246
estatística experimental no rbio
ANEXO 9.3. Valores de χ2 para diferentes níveis de probabilidade (α) e v graus de 
liberdade.
v 0.5 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005
1 0.455 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
2 1.386 2.773 4.605 5.991 7.378 9.210 10.597
3 2.366 4.108 6.251 7.815 9.348 11.345 12.838
4 3.357 5.385 7.779 9.488 11.143 13.277 14.860
5 4.351 6.626 9.236 11.070 12.832 15.086 16.750
6 5.348 7.841 10.645 12.592 14.449 16.812 18.548
7 6.346 9.037 12.017 14.067 16.013 18.475 20.278
8 7.344 10.219 13.362 15.507 17.535 20.090 21.955
9 8.343 11.389 14.684 16.919 19.023 21.666 23.589
10 9.342 12.549 15.987 18.307 20.483 23.209 25.188
11 10.341 13.701 17.275 19.675 21.920 24.725 26.757
12 11.340 14.845 18.549 21.026 23.337 26.217 28.300
13 12.340 15.984 19.812 22.362 24.736 27.688 29.819
14 13.339 17.117 21.064 23.685 26.119 29.141 31.319
15 14.339 18.245 22.307 24.996 27.488 30.578 32.801
16 15.338 19.369 23.542 26.296 28.845 32.000 34.267
17 16.338 20.489 24.769 27.587 30.191 33.409 35.718
18 17.338 21.605 25.989 28.869 31.526 34.805 37.156
19 18.338 22.718 27.204 30.144 32.852 36.191 38.582
20 19.337 23.828 28.412 31.410 34.170 37.566 39.997
21 20.337 24.935 29.615 32.671 35.479 38.932 41.401
22 21.337 26.039 30.813 33.924 36.781 40.289 42.796
23 22.337 27.141 32.007 35.172 38.076 41.638 44.181
24 23.337 28.241 33.196 36.415 39.364 42.980 45.558
25 24.337 29.339 34.382 37.652 40.646 44.314 46.928
26 25.336 30.435 35.563 38.885 41.923 45.642 48.290
27 26.336 31.528 36.741 40.113 43.195 46.963 49.645
28 27.336 32.620 37.916 41.337 44.461 48.278 50.994
29 28.336 33.711 39.087 42.557 45.722 49.588 52.335
30 29.336 34.800 40.256 43.773 46.979 50.892 53.672
40 39.335 45.616 51.805 55.758 59.342 63.691 66.766
50 49.335 56.334 63.167 67.505 71.420 76.154 79.490
60 59.335 66.981 74.397 79.082 83.298 88.379 91.952
70 69.334 77.577 85.527 90.531 95.023 100.425 104.215
80 79.334 88.130 96.578 101.879 106.629 112.329 116.321
90 89.334 98.650 107.565 113.145 118.136 124.116 128.299
100 99.334 109.141 118.498 124.342 129.561 135.807 140.170
247
estatística experimental no rbio
ANEXO 9.4. Tabela da Distribuição F ao nível de 5% de probabilidade com v1 graus 
de liberdade do numerador e v2 graus de liberdade do denominador.
v2 \ v1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 161.45 199.5 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.88
2 18.51 19 19.16 19.25 19.3 19.33 19.35 19.37 19.38 19.4
3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79
4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6 5.96
5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74
6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.1 4.06
7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64
8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.5 3.44 3.39 3.35
9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14
10 4.96 4.1 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98
11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.2 3.09 3.01 2.95 2.9 2.85
12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3 2.91 2.85 2.8 2.75
13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67
14 4.6 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.7 2.65 2.6
15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.9 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54
16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49
17 4.45 3.59 3.2 2.96 2.81 2.7 2.61 2.55 2.49 2.45
18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41
19 4.38 3.52 3.13 2.9 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38
20 4.35 3.49 3.1 2.87 2.71 2.6 2.51 2.45 2.39 2.35
21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32
22 4.3 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.4 2.34 2.3
23 4.28 3.42 3.03 2.8 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27
24 4.26 3.4 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.3 2.25
25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.6 2.49 2.4 2.34 2.28 2.24
26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22
27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.2
28 4.2 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19
29 4.18 3.33 2.93 2.7 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18
30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16
35 4.12 3.27 2.87 2.64 2.49 2.37 2.29 2.22 2.16 2.11
40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08
248
estatística experimental no rbio
ANEXO 9.5. Valores da amplitude total estudentizada (q) para teste de Tukey a 5% de 
probabilidade em função do número de tratamentos e graus de liberdade do resíduo.
GL(resid) Número de grupos no tratamento
2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 17.97 26.98 32.82 37.08 40.41 43.12 45.40 47.36 49.07
2 6.08 8.33 9.8 10.88 11.73 12.43 13.03 13.54 13.99
3 4.50 5.91 6.82 7.50 8.04 8.48 8.85 9.18 9.46
4 3.93 5.04 5.76 6.29 6.71 7.05 7.35 7.60 7.83
5 3.64 4.6 5.22 5.67 6.03 6.33 6.58 6.8 6.99
6 3.46 4.34 4.9 5.3 5.63 5.9 6.12 6.32 6.49
7 3.34 4.16 4.68 5.06 5.36 5.61 5.82 6 6.16
8 3.26 4.04 4.53 4.89 5.17 5.4 5.6 5.77 5.92
9 3.2 3.95 4.41 4.76 5.02 5.24 5.43 5.59 5.74
10 3.15 3.88 4.33 4.65 4.91 5.12 5.3 5.46 5.6
11 3.11 3.82 4.26 4.57 4.82 5.03 5.2 5.35 5.49
12 3.08 3.77 4.2 4.51 4.75 4.95 5.12 5.27 5.39
13 3.06 3.73 4.15 4.45 4.69 4.88 5.05 5.19 5.32
14 3.03 3.7 4.11 4.41 4.64 4.83 4.99 5.13 5.25
15 3.01 3.67 4.08 4.37 4.59 4.78 4.94 5.08 5.2
16 3 3.65 4.05 4.33 4.56 4.74 4.9 5.03 5.15
17 2.98 3.63 4.02 4.3 4.52 4.7 4.86 4.99 5.11
18 2.97 3.61 4 4.28 4.49 4.67 4.82 4.96 5.07
19 2.96 3.59 3.98 4.25 4.47 4.65 4.79 4.92 5.04
20 2.95 3.58 3.96 4.23 4.45 4.62 4.77 4.9 5.01
24 2.92 3.53 3.9 4.17 4.37 4.54 4.68 4.81 4.92
30 2.89 3.49 3.85 4.1 4.3 4.46 4.6 4.72 4.82
40 2.86 3.44 3.79 4.04 4.23 4.39 4.52 4.63 4.73
120 2.8 3.36 3.68 3.92 4.1 4.24 4.36 4.47 4.56
>120 2.77 3.31 3.63 3.86 4.03 4.17 4.29 4.39 4.47
∞ 3.64 4.12 4.4 4.6 4.76 4.88 4.99 5.08 5.16
249
10
ANÁLISE DE EXPERIMENTOS 
EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS 
Muitas vezes na experimentação existem experimentos em que 
os tratamentos (parcelas) são avaliados em anos consecutivos (subpar-
celas), por exemplo. Neste caso, é aconselhável proceder a análise como 
parcela subdividida no tempo. Para que análises ao longo do tempo 
sejam possíveis de serem realizadas devem ser testados algumas pre-
missas como independência do erro. Outro tipo de análise comumente 
usada no esquema de parcela subdividida é quando deseja testar partes 
diferentes de uma planta, como por exemplo parte aérea e raiz.
Esse arranjo experimental é parecido com o arranjo fatorial, 
porém existem diferença entre eles, como por exemplo: O arranjo 
fatorialpossui um resíduo, enquanto a Parcela subdividida terá dois 
ou até mesmo três resíduos. Outra diferença, refere-se a aleatorização 
das parcelas no experimento, enquanto na parcela subdividida, haverá 
a aleatorização das subparcelas, dentro de cada parcela, no arranjo 
fatorial haverá aleatorização de todos os fatores ao mesmo tempo 
como representado abaixo:
Aleatorização de 3 variedades (V1 a V3) em 4 doses de adubo 
(D1 a D4), considerando 3 blocos.
250
estatística experimental no rbio
Parcela subdividida:
Bloco 1
Variedade 1 Variedade 2 Variedade 3
D1 D3 D4 D2 D2 D1 D4 D3 D3 D2 D1 D4
Bloco 2
Variedade 3 Variedade 1 Variedade 2
D2 D4 D3 D1 D3 D1 D2 D4 D4 D2 D3 D1
Bloco 3
Variedade 2 Variedade 3 Variedade 1
D3 D2 D1 D4 D3 D1 D2 D4 D1 D3 D4 D2
Fatorial:
Bloco 1 V1D1 V2D2 V3D4 V3D1 V1 D3 V2D4 V2D1 V3D3 V1D2 V2D3 V3D2 V1D4
Bloco 2 V1D2 V2D1 V1D3 V3D1 V2D2 V3D3 V3D2 V1D1 V2D4 V1D4 V3D4 V2D3
Bloco 3 V3D1 V2D4 V1D3 V1D2 V3D2 V2D3 V1D4 V3D3 V2D2 V2D1 V3D4 V1D1
Este arranjo experimental é ainda denominado Split plot, 
possuindo dois resíduos, sendo que o resíduo a se refere a parcelas, 
e o resíduo b refere-se a subparcelas. Segundo Pimentel-Gomes, em 
geral tem-se que o QMR(a) > QMR (b), de forma que as avaliações da 
subparcela são determinados com maior precisão do que os efeitos 
testados pela parcela. Esta diferença de precisão as vezes constitui um 
defeito deste delineamento. Na Tabela 10.1 apresentamos o esquema 
com as observações do referido experimento. 
251
estatística experimental no rbio
Tabela 10.1. Tabela auxiliar considerando observações de t tratamentos, em l locais 
e r repetições para proceder a ANOVA.
Fator A
Parcela
Fator B (Subparcela)
Total Média
1 2 ... l
1 Y111, ..., Y11r Y121, ..., Y12r ... Y1l1, ..., Y1lr Y1.. Ȳ1..
2 Y211, ..., Y21r Y221, ..., Y22r ... Y2l1, ..., Y2lr Y2.. Ȳ2..
... ... ... ...
t Yt11, ..., Yt1r Yt21, ..., Yt2r ... Ytl1, ..., Ytlr Yt.. Ȳt..
Total Y.1. Y.2. Y.l.
Média Ȳ.1. Ȳ.2. Ȳ.l. Ȳ...
O modelo matemático para um experimento em parcela subdi-
vidida em blocos é:
Yijk=m + Bk + Pi+ (Erroa)ik +Sj + PSij+ (Errob)ijk
em que:
Yijk é o valor observado relativo a parcela i, da subparcela j e do 
bloco k, sendo i =1, 2, ..., t , j= 1, 2, ..., l e k =1, 2, ... r.
m é a média geral do experimento
Bk é o efeito do bloco k
Pi é o efeito da parcela principal i
Erro a: Erro da parcela principal associado a observação ik.
Sj é o efeito da subparcela j
PSij é o efeito da interação da parcela i e a subparcela j
Erro b é o erro aleatório da subparcela associado a observação ijk.
O quadro da ANOVA neste delineamento é representado na 
Tabela 10.2.
252
estatística experimental no rbio
Tabela 10.2. Quadro da ANOVA considerando arranjo em parcela subdividida no 
delineamento em blocos ao acaso.
FV GL SQ QM F
Blocos r-1 SQBlocos QMBlocos = SQBloco/glBlocos
Parcela (P) t-1 SQParc QMParc = SQParc/glParc
QMParc / 
QMErroA
Erro A (r-1) (t-1) SQErroA QMErroA= SQErroA/glErroA
Total Parcela tr-1 SQTotalParc
Subparcela (S) l-1 SQSubp QMSubp = SQSubp/glSubp
QM Subp / 
QMErroB
P x S (t-1) (l-1) SQPxS QMPxS = SQPxS/glPxS
QMPxS / 
QMErroB
Erro B t(r-1) (l-1) SQErroB QMErroB= SQErroB/glErroB
Total tlr-1 SQTotal
Em que:
2
...YC
tlk
=
2
..
1
1 r
Blocos k
k
SQ Y C
tl =
= −∑
2
..
1
1 t
Parc i
i
SQ Y C
lr =
= −∑
2
 .
1 1
1 t r
Total Parcela i k
i k
SQ Y C
l = =
= −∑∑
 Erro A Total Parcela Parcela BlocoSQ SQ SQ SQ= − −
253
estatística experimental no rbio
2
. .
1
1 l
SubParcelas j
j
SQ Y C
tr =
= −∑
2
.
1 1
1 t l
PxS ij Parcela Subparcela
i j
SQ Y SQ SQ C
r = =
= − − −∑∑
2
1 1 1
t l r
Total ijk
i j k
SQ Y C
= = =
= −∑∑∑
 Erro B Total Total Parcela Subparcela PxSSQ SQ SQ SQ SQ= − − −
Considere os dados da Tabela 10.3 com 3 tratamentos (parcela), 
2 anos (subparcela) com 2 repetições em cada local.
Tabela 10.3. Avaliação de uma variável agronômica simulada, em arranjo de parcela 
subdividida com três tratamentos, avaliados em dois anos com dois blocos em um 
delineamento em blocos ao acaso.
Parcela
Subparcela
Total MédiaAno 1 Ano 2
Bloco 1 Bloco 2 Bloco 1 Bloco 2
1 66.98 75.61 86.71 83.95 313.25 78.3125
2 113.77 126.24 110.35 110.29 460.65 115.1625
3 71.87 87.53 93.26 98.44 351.1 87.775
Total 252.62 289.38 290.32 292.68
Total 542 583 1125
Média 90.33 97.17 93.75
Os cálculos para realizar a análise de variância são:
254
estatística experimental no rbio
Em que:
2 2
... 1125 105468.75
3 2 2
YC
tlr x x
= = =
( )
2
..
1
2 2 2
1 1 
2 2
313.25 460.65 351.1 105468.75 2930.049
t
Parcelas i
i
SQ Y C x
lr x=
= − =
+ + − =
∑
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
 .
1
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 
2
66.98 86.71 75.61 83.95 113.77 110.35
) 105468.75
126.24 110.29 71.87 93.26 87.53 98.44
1 1 53.69 159.56 224.12 236.53 165.13 185.97 105468.75
2
t
Total Parcela i k
i
SQ Y C x
l
x
=
= − =
 + + + + +
  −
 + + + + + + 
= + + + + + −
=
∑
217108.98 105468.75 3085.74
2
− =
 
3085.74 2930.049 127.5312 28.16
Erro A Total Parcela Parcela BlocoSQ SQ SQ SQ= − −
= − − =
( )
2
. .
1
2 2
1 1 
3 2
542 583 105468.75 140.0833
t
SubParcelas j
j
SQ Y C x
tr x=
= − =
+ − =
∑
255
estatística experimental no rbio
( )
2
.
1 1
2 2 2 2 2 2
1
1 142.59 240.01 159.4 170.66 220.64 191.7
2
2930.049 140.0833 105468.75 411.52
t l
PxS ij Parcela Subparcela
i j
SQ Y SQ SQ C
r = =
= − − −
= + + + + +
− − − =
∑∑
2 2 2 2 2
1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
2
 66.98 75.61 113.77 126.24
71.87 87.53 86.71 83.95 110.35 110.29 93.26
98.44 105468.75 109205.2 105468.75 3736.45
t l r
Total ijk
i j k
SQ Y C
= = =
= − = + + +
+ + + + + + +
+ − = − =
∑∑∑
 
3736.45 3085.74 140.0833 411.52 99.1
Erro B Total Total Parcela Subparcela PxSSQ SQ SQ SQ SQ= − − −
= − − − =
O quadro da ANOVA para o exemplo é apresentado na Tabela 
10.4. Como a interação entre os fatores não foi significativa, passamos 
a interpretar os efeitos isolados de cada fator. A hipótese H0 testada, 
considerando efeito de parcela fixo, é que todas as parcelas possuem 
média igual. O valor tabelado do F a 5% de probabilidade e 2 graus 
de liberdade do numerador e 2 graus de liberdade do denominador 
(F5%;2;2) é igual a 19 (ANEXO 10.1). Dessa forma, o F calculado (104.045) 
é maior que F tabelado, então rejeita-se a hipótese H0 de igualdade 
entre as médias de parcelas, devendo haver pelo menos uma média de 
parcela que difere estatisticamente das demais. A mesma interpreta-
ção deverá ser realizada para a subparcela, sendo valor tabelado do F 
a 5% de probabilidade e 1 graus de liberdade do numerador e 3 graus 
de liberdade do denominador (F5%;1;3) é igual a 10.13, é maior que F 
calculado (4.24), portanto, como F calculado < F tabelado não deve-se 
rejeitar a hipótese H0 de igualdade entre as médias de subparcelas, 
portanto todas estas são consideradas iguais.
256
estatística experimental no rbio
Tabela 10.4. Resultado da análise de variância da variável agronômica simulada, 
considerando arranjo em parcela subdividida no delineamento em blocos ao acaso.
FV GL SQ QM F
Blocos 1 127.5312 127.5
Parcela (P) 2 2930.049 1465 104.045*
Erro A 2 28.2 14.1
Total Parcela 5 3085.74
Subparcela (S) 1 140.1 140.1 4.24
P x S 2 411.5 205.76 6.22
Erro B 3 99.1 33.05
Total 11 3736.45
*: Significativo a 5% pelo teste F.
Neste exemplo coeficiente de variação (C.V.) é: 
%
100 100 14.1 4%
 93.75
QMR
CV parcela
média
= = =
%
100 100 33.05 6.13%
 93.75
QMR
CV subparcela
média
= = =
Resultado das análises
Considerando o conjunto de dados apresentados anteriormen-
te, as saídas fornecidas pelo Rbio são apresentadas a seguir.
Para a realização desse procedimento o caminho é: ANOVA > 
Parcela Subdividida > Parcela Subdividida, conforme a Figura 10.1.
257
estatística experimental no rbio
Figura 10.1. Software Rbio, e rotina de procedimentos para realizar análise de 
variância no arranjo de parcela subdividida em blocos ao acaso.
258
estatística experimental no rbio
# -----------------------------------# Script 9: Delineamento em esquema de parcela subdividida
# -----------------------------------
# ----------------------
# 9.1- Leitura dos dados
# ----------------------
X<-read.table(“c:/_Rbio/ebook/exemplo3sub.txt”, h=T) # Leitura dos dados
X
 Parcela Subparcela Rep Variavel
1 1 1 1 66.98
2 1 1 2 75.61
3 2 1 1 113.77
4 2 1 2 126.24
5 3 1 1 71.87
6 3 1 2 87.53
7 1 2 1 86.71
8 1 2 2 83.95
9 2 2 1 110.35
10 2 2 2 110.29
11 3 2 1 93.26
12 3 2 2 98.44
# ----------------------
# 9.2- ANOVA Parcela Subdividida
# ----------------------
Parc<-as.factor(X[,1])
Sub<-as.factor(X[,2])
Bloco<-as.factor(X[,3])
# ----------------------
# 9.2.1- ANOVA Parcela Subdividida em DIC
# ----------------------
saida<-aov(X[,4]~ Parc + Error(Bloco:Parc) + Sub +Parc*Sub)
print(summary(saida)) 
Error: Bloco:Parc
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
Parc 2 2930.0 1465.0 28.23 0.0113 *
Residuals 3 155.7 51.9 
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Error: Within
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
Sub 1 140.1 140.08 4.239 0.1316 
Parc:Sub 2 411.5 205.76 6.226 0.0855 .
Residuals 3 99.1 33.05 
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
 
# ----------------------
# 9.2.2- ANOVA Parcela Subdividida em DBC
# ----------------------
saida<-aov(X[,4]~ Bloco +Parc + Error(Bloco:Parc) + Sub +Parc*Sub)
print(summary(saida)) 
Error: Bloco:Parc
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
Bloco 1 127.5 127.5 9.057 0.09495 . 
Parc 2 2930.0 1465.0 104.045 0.00952 **
Residuals 2 28.2 14.1 
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Error: Within
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
Sub 1 140.1 140.08 4.239 0.1316 
Parc:Sub 2 411.5 205.76 6.226 0.0855 .
Residuals 3 99.1 33.05 
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
259
estatística experimental no rbio
ANEXO 10.1. Tabela da Distribuição F ao nível de 5% de probabilidade com v1 graus 
de liberdade do numerador e v2 graus de liberdade do denominador.
v2 \ v1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 161.45 199.5 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.88
2 18.51 19 19.16 19.25 19.3 19.33 19.35 19.37 19.38 19.4
3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79
4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6 5.96
5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74
6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.1 4.06
7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64
8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.5 3.44 3.39 3.35
9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14
10 4.96 4.1 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98
11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.2 3.09 3.01 2.95 2.9 2.85
12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3 2.91 2.85 2.8 2.75
13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67
14 4.6 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.7 2.65 2.6
15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.9 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54
16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49
17 4.45 3.59 3.2 2.96 2.81 2.7 2.61 2.55 2.49 2.45
18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41
19 4.38 3.52 3.13 2.9 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38
20 4.35 3.49 3.1 2.87 2.71 2.6 2.51 2.45 2.39 2.35
21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32
22 4.3 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.4 2.34 2.3
23 4.28 3.42 3.03 2.8 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27
24 4.26 3.4 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.3 2.25
25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.6 2.49 2.4 2.34 2.28 2.24
26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22
27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.2
28 4.2 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19
29 4.18 3.33 2.93 2.7 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18
30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16
35 4.12 3.27 2.87 2.64 2.49 2.37 2.29 2.22 2.16 2.11
40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08
260
11
ANÁLISE DE EXPERIMENTOS EM FAIXAS
Os experimentos em faixas representam uma alternativa aos 
esquemas fatorial e de parcela subdivididas para estudar dois fatores. 
Nos experimentos em faixas a distribuição dos tratamentos não é casu-
alizada, o que diminui a precisão ao estimar os efeitos principais. Esse 
esquema experimental é comumente utilizado em empresas comerciais, 
onde a instalação do experimento é toda mecanizada em uma grande 
área experimental, de modo que os tratamentos formem faixas. 
Assim como no esquema de parcelas subdivididas, temos o 
fator principal (que são alocados nas parcelas e mais difíceis de casu-
alizar) e o fator secundário (alocados na subparcela e mais fácies de 
casualizar em relação ao outro fator). 
No exemplo a seguir temos uma situação em que o efeito de va-
riedades será considerado como principal com o objetivo de tornar mais 
rápida a semeadura de forma mecanizada. Note no esquema abaixo que 
cada linha pode ser considerada como um bloco completo em relação 
ao fator A (doses) e cada coluna como um bloco do fator B (variedades).
A adoção desse esquema experimental deve ocorrer em situa-
ções práticas onde é difícil a instalação do experimento no esquema de 
parcelas subdivididas ou em fatorial. Este arranjo experimental é ainda 
denominado Split block, possuindo três resíduos. O resíduo a (Erroa) 
261
estatística experimental no rbio
será utilizado para testar os efeitos de blocos e do fator principal. O re-
síduo b (Errob) será utilizado para testar o fator secundário, enquanto 
o resíduo c (Erroc) será utilizado para testa a interação entre os fatores 
A e B. Na Tabela 11.1 apresentamos o esquema com as observações do 
referido experimento. 
Aleatorização de 3 variedades (V1 a V3) em 4 doses de adubo (D1 
a D4), considerando 3 blocos em diferentes esquemas experimentais.
Faixas:
Bloco 1
V1D1 V1D3 V1D4 V1D2
V2D1 V2D3 V2D4 V2D2
V3D1 V3D3 V3D4 V3D2
Bloco 2
V3D2 V3D4 V3D3 V3D1
V1D2 V1D4 V1D3 V1D1
V2D2 V2D4 V2D3 V2D1
Bloco 3
V2D3 V2D2 V2D1 V2D4
V3D3 V3D2 V3D1 V3D4
V1D3 V1D2 V1D1 V1D4
Parcela subdividida:
Bloco 1
Variedade 1 Variedade 2 Variedade 3
D1 D3 D4 D2 D2 D1 D4 D3 D3 D2 D1 D4
Bloco 2
Variedade 3 Variedade 1 Variedade 2
D2 D4 D3 D1 D3 D1 D2 D4 D4 D2 D3 D1
Bloco 3
Variedade 2 Variedade 3 Variedade 1
D3 D2 D1 D4 D3 D1 D2 D4 D1 D3 D4 D2
262
estatística experimental no rbio
Fatorial:
Bloco 1 V1D1 V2D2 V3D4 V3D1 V1D3 V2D4 V2D1 V3D3 V1D2 V2D3 V3D2 V1D4
Bloco 2 V1D2 V2D1 V1D3 V3D1 V2D2 V3D3 V3D2 V1D1 V2D4 V1D4 V3D4 V2D3
Bloco 3 V3D1 V2D4 V1D3 V1D2 V3D2 V2D3 V1D4 V3D3 V2D2 V2D1 V3D4 V1D1
Tabela 11.1. Tabela auxiliar considerando observações de t cultivares (fator A), em 
l anos (fator C) e r blocos para proceder a ANOVA.
Fator A Fator C Total Média
1 2 ... l
1 Y111, ..., Y11r Y121, ..., Y12r ... Y1l1, ..., Y1lr Y1.. Ȳ1..
2 Y211, ..., Y21r Y221, ..., Y22r ... Y2l1, ..., Y2lr Y2.. Ȳ2..
... ... ... ...
t Yt11, ..., Yt1r Yt21, ..., Yt2r ... Ytl1, ..., Ytlr Yt.. Ȳt..
Total Y.1. Y.2. Y.l.
Média Ȳ.1. Ȳ.2. Ȳ.l. Ȳ...
O modelo matemático para um experimento em faixas em 
blocos é dado por:
Yijk=m + Rk + Ai+ (Erroa)ik +Cj + (Errob)jk + ACij+ (Erroc)ijk
em que:
Yijk é o valor observado relativo a parcela i, da subparcela j e do 
bloco k, sendo i =1, 2, ..., t , j= 1, 2, ..., l e k =1, 2, ... r.
m é a média geral do experimento
Rk é o efeito do bloco k
Ai é o efeito do fator principal i
Erro a: Erro associado a observação ik
Bj é o efeito do fator secundário j
263
estatística experimental no rbio
Erro b: Erro associado a observação jk
ABij é o efeito da interação do fator principal i e o fator secundário j
Erro c é o erro associado a observação ijk.
O quadro da ANOVA neste esquema experimental é represen-
tado na Tabela 11.2.
Tabela 11.2. Quadro da ANOVA considerando o esquema de faixas no delineamento 
em blocosao acaso.
FV GL SQ QM F
Blocos r-1 SQBloco QMBloco = SQBloco / glBloco
Fator A t-1 SQFatorA QMFatorA = SQFatorA / glFatorA QMFatorA / QMErroA
Erro A (r-1) (t-1) SQErroA QMErroA= SQErroA / glErroA
Total Parcela tr-1 SQTotalParc
Fator B l-1 SQFatorB QMFatorB = SQFatorB / glFatorB QMFatorB / QMErroB
Erro B (r-1) (l-1) SQErroB
A x B (t-1) (l-1) SQAxB QMAxB = SQAxB / glAxB QMAxB / QMErroC
Erro C (r-1) (t-1) (l-1) SQErroC QMErroC= SQErroC / glErroC
Total tlr-1 SQTotal
Em que:
2
1 1 1
t l r
Total ijk
i j k
SQ Y C
= = =
= −∑∑∑
2
..
1
1 r
Blocos k
k
SQ Y C
tl =
= −∑
2
..
1
1 t
FatorA i
i
SQ Y C
lr =
= −∑
264
estatística experimental no rbio
2
 .
1
1 t
Total Parcela i k
i
SQ Y C
l =
= −∑
 Erro A Total Parcela FatorA BlocoSQ SQ SQ SQ= − −
2
. .
1
1 t
FatorB j
j
SQ Y C
tr =
= −∑
2
 .
1
1 t
Total Subparcela jk
i
SQ Y C
t =
= −∑
 Erro B Total Subparcela Bloco FatorBSQ SQ SQ SQ= − −
2
.
1 1
1 t l
AxB ij FatorA FatorB
i j
SQ Y SQ SQ C
r = =
= − − −∑∑
 ErroC Total Total Parcela FatorB Erro B AxBSQ SQ SQ SQ SQ SQ= − − − −
Considere os dados da Tabela 11.3 com 3 tratamentos (parcela), 
2 anos (subparcela) com 2 repetições em cada local.
265
estatística experimental no rbio
Tabela 11.3. Avaliação de uma variável agronômica simulada, em esquema de 
faixas com três tratamentos, avaliados em dois anos com dois blocos em um 
delineamento em blocos ao acaso.
Fator A
Fator B
Total MédiaAno 1 Ano 2
Bloco 1 Bloco 2 Bloco 1 Bloco 2
1 66.98 75.61 86.71 83.95 313.25 78.3125
2 113.77 126.24 110.35 110.29 460.65 115.1625
3 71.87 87.53 93.26 98.44 351.1 87.775
Total 252.62 289.38 290.32 292.68
Total 542 583 1125
Média 90.33 97.17 93.75
Os cálculos para realizar a análise de variância são:
Em que:
2 2
... 1125 105468.75
3 2 2
YC
tlr x x
= = =
2
1 1 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
66.98 75.61 113.77 126.24 71.87 87.53
86.71 83.95 110.35 110.29 93.26 98.44
105468.75 109205.20 105468.75 3736.45
t l r
Total ijk
i j k
SQ Y C
= = =
= −
 + + + + + +
=   + + + + + 
− = − =
∑∑∑
( ) ( )
2
..
1
2 2
1 1 
3 2
252.62 290.32 289.38 292.68 105468.75 127.5312
r
Blocos k
k
SQ Y C x
tl x=
= − =
 + + + − = 
∑
266
estatística experimental no rbio
( )
2
..
1
2 2 2
1 1
2 2
 313.25 460.65 351.1 105468.75 2930.049
t
FatorA i
i
SQ Y C x
lr x=
= − =
+ + − =
∑
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
 .
1
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
66.98 86.71 75.61 83.95 113.77 110.351 
2 126.24 110.29 71.87 93.26 87.53 98.44 ))
1105468.75 1 53.69 159.56 224.12 236.53 165.13 185.97 
2
105468.75
t
Total Parcela i k
i
SQ Y C
l
x
x
=
= −
 + + + + +
 =
 + + + + + + 
− = + + + + +
−
∑
217108.98 105468.75 3085.74
2
= − =
 
3085.74 2930.049 127.5312 28.16
Erro A Total Parcela FatorA BlocoSQ SQ SQ SQ= − −
= − − =
( )
2
. .
1
2 2
1 1 
3 2
542 583 105468.75 140.0833
t
FatorB j
j
SQ Y C x
tr x=
= − =
+ − =
∑
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
 .
1
2 2
2 2
2 2 2 2
1 1
3
66.98 113.77 71.87 86.71 110.35 93.26
 
75.61 126.24 87.53 83.95 110.29 98.44
1105468.75 252.62 290.32 289.38 292.68 
3
105834.98105468.75 10546
3
t
Total Subparcela jk
i
SQ Y C x
t
x
=
= − =
 + + + + +
 
 + + + + + + 
− = + + +
− = −
∑
8.75 366.2279=
267
estatística experimental no rbio
 
366.2279 127.5312 140.0833 98.61
Erro B Total Subparcela Bloco FatorBSQ SQ SQ SQ= − −
= − − =
( )
2
.
1 1
2 2 2 2 2 2
1 1
2
142.59 240.01 159.4 170.66 220.64 191.7
2930.049 140.0833 105468.75 411.52
t l
AxB ij FatorA FatorB
i j
SQ Y SQ SQ C
r = =
= − − − =
+ + + + +
− − − =
∑∑
 
3736.45 3085.74 140.0833 98.61 411.52 0.50
ErroC Total Total Parcela FatorB Erro B AxBSQ SQ SQ SQ SQ SQ= − − − −
= − − − − =
O quadro da ANOVA para o exemplo é apresentado na Tabela 
11.4. A hipótese H0 testada, considerando a interação entre os fatores 
A e C como fixa, é que todas os seus níveis possuem média igual. O 
valor tabelado do F a 5% de probabilidade e 2 graus de liberdade do 
numerador e 2 graus de liberdade do denominador (F5%;2;2) é igual a 19 
(ANEXO 11.1). Dessa forma, o F calculado para a interação AxC (823.04) 
é maior que F tabelado, então rejeita-se a hipótese H0 de igualdade. 
Tabela 11.4. Resultado da análise de variância da variável agronômica simulada, 
em esquema de faixas com três tratamentos, avaliados em dois anos com dois 
blocos em um delineamento em blocos ao acaso.
FV GL SQ QM F
Blocos 1 127.53 127.53 9.06ns
Fator A 2 2930.05 1465.03 104.05*
Erro A 2 28.16 14.08
Fator B 1 140.08 140.08 1.42
Erro B 1 98.61 98.61
A x B 2 411.52 205.76 823.04*
Erro C 2 0.50 0.25
Total 11 3736.45
ns, *: Não significativo e significativo respectivamente a 5% pelo teste F.
268
estatística experimental no rbio
Neste exemplo coeficiente de variação (C.V.) é: 
%
100 100 14.08 4.00%
 93.75
ErroAQMCV erroA
média
= = =
%
100 100 98.61 10.59%
 93.75
ErroBQMCV erroB
média
= = =
%
100 100 0.25 0.53%
 93.75
ErroCQMCV erroC
média
= = =
É possível verificar pelas análises acima demonstradas que 
houve interação significativa entre os fatores A e B. Como esses efeitos 
foram considerados fixos, deve ser realizado o desdobramento da 
interação para encontrar os melhores níveis do fator A dentro de cada 
nível do fator B e vice-versa. Para realizar esse desdobramento deve-se 
utilizar uma tabela com os totais de cada tratamento (Yij.), conforme 
Tabela auxiliar 11.5. Essa nova Tabela é similar a Tabela 11.1, porém 
aqui são utilizados os totais de cada bloco. 
Tabela 11.5. Tabela auxiliar considerando os totais de t cultivares (fator A), em l 
anos (fator B) em r blocos para proceder o desdobramento da interação significativa 
entre os fatores A e C.
Fator A
Fator B
Total
1 2 ... l
1 Y11. Y12. ... Y1l. Y1..
2 Y21. Y22. ... Y2l. Y2..
... ... ... ...
t Yt1. Yt2. ... Ytl. Yt..
Total Y.1. Y.2. Y.l.
269
estatística experimental no rbio
Inicialmente, vamos realizar o desdobramento do fator A den-
tro de cada nível do fator B. O Quadro de ANOVA para realizar esse 
procedimento é apresentado na Tabela 11.6.
Tabela 11.6. Quadro da ANOVA para desdobramento do fator A dentro de cada 
nível do fator B.
FV GL SQ QM F
1AdB t-1 1AdBSQ 1 1 1/AdB AdB AdBQM SQ GL= 1 1/AdB Erro médioQM QM
2AdB t-1 2AdBSQ 2 2 2/AdB AdB AdBQM SQ GL= 2 1/AdB Erro médioQM QM
 1médioErro 1Erro médioGL --- 1Erro médioQM
Em que:
2 2
1 1. .1.
1
1 1t
AdB i
i
SQ Y Y
r tr=
= −∑
2 2
2 2. .2.
1
1 1t
AdB i
i
SQ Y Y
r tr=
= −∑
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
 1
1 ²
² 1 ²
Res A Res C
Erro médio
Res A Res C
Res A Res C
QM l QM
GL
QM l QM
GL GL
 + − =
   −   +
( ) ( ) ( )
 1
1Res A Res C
Erro médio
QM l QM
QM
l
+ −
=
A Tabela 11.7 contém os valores numéricos a serem utilizados 
para esse procedimento estatístico.
270
estatística experimental no rbio
Tabela 11.7. Valores numéricos com os totais de t cultivares (fator A), em l anos 
(fator B) em r blocos para proceder o desdobramento da interação significativa 
entre os fatores A e C.
Fator A
Fator B
Total
1 2
1 142.59 170.66 313.25
2 240.01 220.64 460.65
3 159.40 191.70 351.10
Total 542.00 583.00
Os cálculos para realizar a análise de variância são:
Em que:
( ) ( )
2 2
1 1. .1.
1
2 2 2 2
1 1 1
2
1142.59 240.01 159.40 542.00 2711.87
3 2
t
AdB i
i
SQ Y Y x
r tr
x
x
=
= − =
+ + − =
∑
( ) ( )
2 2
2 2. .2.
1
2 2 2 2
1 1 1
2
1170.66 220.64 191.70 583.00 629.70
3 2
t
AdB i
i
SQ Y Y x
r tr
x
x
=
= − =
+ + − =
∑
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
 1
1 ²
² 1 ²
Res A Res C
Erro médio
Res A Res C
Res A Res C
QM l QM
GL
QM l QM
GL GL
 + − =
   −   +
=
( )
[ ] ( )
14.08 2 1 0.25 ²
2.07
2 1 .25 ²14.08 ²
2 2
x + −  =
 − +
271
estatística experimental no rbio
( ) ( ) ( )
( )
 1
1
14.08 2 1 0.25
7.29
2
Res A Res C
Erro médio
QM l QM
QM
l
x
+ −
=
+ −
= =
O quadro da ANOVA demonstrado na Tabela 11.8 para desdo-
bramento do fator A dentro de cada nível do fator B. A hipótese H0 
testadaé que as médias de cada nível do fator A não diferem dentro de 
cada nível do fator B. Arredondando o grau de liberdade do erro médio 
1 para 2 temos (denominador) e considerando 2 graus de liberdade 
no numerador, (F5%;2;2) o valor de F tabelado é igual a 19.00 (ANEXO 
11.1). Dessa forma, temos diferença significativa entre pelo menos um 
contraste de médias do fator A dentro de cada nível do fator B. 
Tabela 11.8. ANOVA para o desdobramento do fator A dentro de cada nível do fator B.
FV GL SQ QM F
1AdB 2 2711.87 1355.94 186.00*
2AdB 2 629.70 314.85 43.19*
 1médioErro 2.07 --- 7.29
Abaixo, iremos aplicar o teste de comparação múltiplas de 
Tukey. Note na equação abaixo que é necessário utilizar os valores 
do grau de liberdade do erro médio 1 (arredondado para 2) e do 
 1Erro médioQM .
( )
( )
 1
 1
5%
,
7.293, 2 8.33 3.645 15.90
2
Erro médio
Tukey Erro médio
QMDMS q k Gl
r
q x
∝=
= = =
272
estatística experimental no rbio
Considerando os tratamentos avaliados, procede-se às com-
parações de médias para o fator AdB1. Para facilitar, ordenam-se os 
valores das médias de cada nível do fator A dentro de B1 de forma 
decrescente no exemplo a2, a3 e a1, e procede-se as comparações:
a2 – a3 =120.005 – 79.70 = 40.305 > DMS
a2 – a1 =120.005 - 71.295 = 48.71 > DMS
a3 – a1 = 79.7 – 71.295 =8.405 < DMS
Portanto para AdB1, o tratamento 2 difere dos tratamentos 3 
e 1, e os tratamentos 3 e 1 são estatisticamente iguais. Pode-se repre-
sentar este resultado utilizando letras, sendo assim, tem-se:
a1: 71.295 b
a2: 120.005 a
a3: 79.700 b
Considerando os tratamentos avaliados, procede-se às compa-
rações de médias para o fator AdB2.
a2 – a3 =110.32 – 95.85 = 14.47 < DMS
a2 – a1 =110.32 – 85.33 = 24.99 > DMS
a3 – a1 = 95.85 – 85.33 = 10.52 < DMS
Portanto para AdB2, o tratamento 2 difere dos tratamentos 3 
e 1, e os tratamentos 3 e 1 são estatisticamente iguais. Pode-se repre-
sentar este resultado utilizando letras, sendo assim, tem-se:
a1: 85.33 b
a2: 110.32 a
a3: 95.85 ab
273
estatística experimental no rbio
Finalmente, realiza-se o desdobramento do fator B dentro de 
cada nível do fator A. O Quadro de ANOVA para realizar esse procedi-
mento é apresentado na Tabela 11.9.
Tabela 11.9. Quadro da ANOVA para desdobramento do fator C dentro de cada 
nível do fator A.
FV GL SQ QM F
1BdA l-1 1BdASQ 1 1 1/BdA BdA BdAQM SQ GL= 1 2/BdA Erro médioQM QM
2BdA l-1 2BdASQ 2 2 2/BdA BdA BdAQM SQ GL= 2 2/BdA Erro médioQM QM
3BdA l-1 3BdASQ 3 3 3/BdA BdA BdAQM SQ GL= 3 2/BdA Erro médioQM QM
 2médioErro 2Erro médioGL --- 2Erro médioQM
Em que:
2 2
1 1 . 1..
1
1 1l
BdA j
j
SQ Y Y
r lr=
= −∑
2 2
2 2 . 2..
1
1 1l
BdA j
j
SQ Y Y
r lr=
= −∑
2 2
3 3 . 3..
1
1 1l
BdA j
j
SQ Y Y
r lr=
= −∑
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
 2
1 ²
² 1 ²
Res B Res C
Erro médio
Res B Res C
Res B Res C
QM t QM
GL
QM t QM
GL GL
 + − =
   −   +
274
estatística experimental no rbio
( ) ( ) ( )
 2
1Res B Res C
Erro médio
QM t QM
QM
t
+ −
=
A Tabela 11.7 contém os valores numéricos a serem utilizados 
para esse procedimento estatístico. Os cálculos para realizar a análise 
de variância são:
Em que:
( )
( )
2 2 2 2
1 1 . 1..
1
2
1 1 1 142.59 170.66
2
1 313.25 196.98
2 2
l
BdA j
j
SQ Y Y x
r lr
x
x
=
= − = +
− =
∑
( )
( )
2 2 2 2
2 2 . 2..
1
2
1 1 1 240.01 220.64
2
1 460.65 93.80
2 2
l
BdA j
j
SQ Y Y x
r lr
x
x
=
= − = +
− =
∑
( )
( )
2 2 2 2
3 3 . 3..
1
2
1 1 1 159.40 191.70
2
1 351.10 260.83
2 2
l
BdA j
j
SQ Y Y x
r lr
x
x
=
= − = +
− =
∑
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
 2
1 ²
² 1 ²
Res B Res C
Erro médio
Res B Res C
Res B Res C
QM t QM
GL
QM t QM
GL GL
 + − =
   −   +
=
( )
[ ] ( )
98.61 3 1 0.25 ²
1.01
3 1 .25 ²98.61 ²
1 2
x + −  =
 − +
275
estatística experimental no rbio
( ) ( ) ( )
( )
 2
1
98.61 3 1 0.25
33.04
3
Res B Res C
Erro médio
QM t QM
QM
t
x
+ −
=
+ −
= =
O quadro da ANOVA para desdobramento do fator B dentro de 
cada nível do fator A é demonstrado na Tabela 11.10. A hipótese H0 
testada é que as médias de cada nível do fator B não diferem dentro de 
cada nível do fator A. Arredondando o grau de liberdade do erro médio 
2 para 1 temos (denominador) e considerando 2 graus de liberdade no 
numerador, (F5%;2;1) o valor de F tabelado é igual a 18.51 (ANEXO 11.1). 
Dessa forma, como todos os valores de F calculado são inferiores ao F 
tabelado, aceita-se a hipótese H0. Portanto, não é necessário realizar 
um teste de comparação múltiplas, pois as médias do fator B dentro de 
cada nível do fator A são estatisticamente iguais. 
Tabela 11.10. ANOVA para o desdobramento do fator A dentro de cada nível do fator C.
FV GL SQ QM F
1BdA 1 196.98 196.98 5.96ns
2BdA 1 93.80 93.80 2.84ns
3BdA 1 260.83 260.83 7.89ns
 2médioErro 1.01 --- 33.04
Resultado das análises
Considerando o conjunto de dados apresentados anteriormen-
te, as saídas fornecidas pelo Rbio são apresentadas a seguir.
Para a realização desse procedimento o caminho é: ANOVA > 
Faixas, conforme a Figura 11.1.
276
estatística experimental no rbio
Figura 11.1. Software Rbio, e rotina de procedimentos para realizar análise de 
variância no arranjo de faixas em blocos ao acaso.
277
estatística experimental no rbio
# -----------------------------------
# Script 10: Delineamento em esquema de faixas
# -----------------------------------
 
# ----------------------
# 10.1- Leitura dos dados
# ----------------------
X<-read.table(“c:/_Rbio/ebook/exemplo3sub.txt”, h=T) # Leitura dos dados
X
 Parcela Subparcela Rep Variavel
1 1 1 1 66.98
2 1 1 2 75.61
3 2 1 1 113.77
4 2 1 2 126.24
5 3 1 1 71.87
6 3 1 2 87.53
7 1 2 1 86.71
8 1 2 2 83.95
9 2 2 1 110.35
10 2 2 2 110.29
11 3 2 1 93.26
12 3 2 2 98.44
# ----------------------
# 10.2- ANOVA em Faixas
# ----------------------
Parc<-as.factor(X[,1])
Sub<-as.factor(X[,2])
Bloco<-as.factor(X[,3])
# ----------------------
# 10.2.1- ANOVA em Faixas em DIC
# ----------------------
saida<-aov(X[,4]~ Parc*Sub + Error(Bloco:Parc +Bloco:Sub))
print(summary(saida))
Error: Bloco:Parc
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
Parc 2 2930.0 1465.0 28.23 0.0113 *
Residuals 3 155.7 51.9 
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Error: Bloco:Sub
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Sub 1 140.08 140.08 1.421 0.444
Residuals 1 98.61 98.61 
Error: Within
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
Parc:Sub 2 411.5 205.76 780.1 0.00128 **
Residuals 2 0.5 0.26 
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
# ----------------------
# 10.2.2- ANOVA em Faixas em DBC
# ----------------------
saida<-aov(X[,4]~ Bloco + Parc*Sub + Error(Bloco:Parc +Bloco:Sub))
print(summary(saida))
Error: Bloco:Parc
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
Bloco 1 127.5 127.5 9.057 0.09495 . 
278
estatística experimental no rbio
Parc 2 2930.0 1465.0 104.045 0.00952 **
Residuals 2 28.2 14.1 
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Error: Bloco:Sub
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Sub 1 140.08 140.08 1.421 0.444
Residuals 1 98.61 98.61 
Error: Within
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
Parc:Sub 2 411.5 205.76 780.1 0.00128 **
Residuals 2 0.5 0.26 
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
# ----------------------
# 10.2.3- ANOVA em Faixas em DBC com desdobramento da interação significativa
# ----------------------
library(ExpDes.pt)
faixas(Parc, Sub, Bloco, X[,4], quali= c(TRUE, TRUE),
+ mcomp=”tukey”,sigT = 0.05, sigF = 0.05)
------------------------------------------------------------------------
Legenda:
FATOR 1 (parcela): F1 
FATOR 2 (subparcela): F2 
------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------
Quadro da analise de variância
------------------------------------------------------------------------
 GL SQ QM Fc Pr(>Fc) 
Bloco 1 127.5 127.53 1.13 0.39842 
F1 2 2930.0 1465.02 104.04 0.00952 **
Erro a 2 28.2 14.08 
F2 1 140.1 140.08 1.42 0.44442 
Erro b 1 98.6 98.61 
F1*F2 2 411.5 205.76 780.11 0.00128 **
Erro c 2 0.5 0.26 
Total 11 3736.5 
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
------------------------------------------------------------------------
CV 1 = 4.002591 %
CV 2 = 10.59245 %
CV 3 = 0.5478123 %
Interacao significativa: desdobrando a interacao
------------------------------------------------------------------------
Desdobrando F1 dentro de cada nivel de F2 
------------------------------------------------------------------------
 GL SQ QM Fc
F1 : F2 1 2.000000 2711.86743 1355.933717 189.052992
F1 : F2 2 2.000000 629.70093 314.850467 43.898475
Erro combinado 2.074901 14.88169 7.172241 
 valor.p
F1 : F2 1 0.00449
279
estatística experimental no rbio
F1 : F2 2 0.020048
Erro combinado 
------------------------------------------------------------------------
 F1 dentro de F2 1
------------------------------------------------------------------------
Teste de Tukey
------------------------------------------------------------------------
Grupos Tratamentos Medias
a 2 120.005 
 b 3 79.7 
 b 1 71.295 
------------------------------------------------------------------------
 F1 dentro de F2 2
------------------------------------------------------------------------
Teste de Tukey
------------------------------------------------------------------------
Grupos Tratamentos Medias
a 2 110.32 
ab 3 95.85 
 b 1 85.33 
------------------------------------------------------------------------
Desdobrando F2 dentro de cada nivel de F1 
------------------------------------------------------------------------
 GL SQ QM Fc
F2 : F1 1 1.000000 196.98122 196.98122 5.960648
F2 : F1 2 1.000000 93.79923 93.79923 2.838363
F2 : F1 3 1.000000 260.82250 260.82250 7.892483
Erro combinado 1.005353 33.22385 33.04695 
 valor.p
F2 : F1 1 0.246418
F2 : F1 2 0.340042
F2 : F1 3 0.216631
Erro combinado 
------------------------------------------------------------------------
 F2 dentro de F1 1
------------------------------------------------------------------------
De acordo com o teste F, as medias desse fator sao estatisticamente iguais.
------------------------------------------------------------------------
 Niveis Medias
1 1 71.295
2 2 85.330
------------------------------------------------------------------------
 F2 dentro de F1 2
------------------------------------------------------------------------
De acordo com o teste F, as medias desse fator sao estatisticamente iguais.
------------------------------------------------------------------------
 Niveis Medias
1 1 120.005
2 2 110.320
------------------------------------------------------------------------
 F2 dentro de F1 3
------------------------------------------------------------------------
De acordo com o teste F, as medias desse fator sao estatisticamente iguais.
------------------------------------------------------------------------
 Niveis Medias
1 1 79.70
2 2 95.85
------------------------------------------------------------------------
280
estatística experimental no rbio
ANEXO 11.1. Tabela da Distribuição F ao nível de 5% de probabilidade com v1 graus 
de liberdade do numerador e v2 graus de liberdade do denominador.
v2 \ v1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 161.45 199.5 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.88
2 18.51 19 19.16 19.25 19.3 19.33 19.35 19.37 19.38 19.4
3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79
4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6 5.96
5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74
6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.1 4.06
7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64
8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.5 3.44 3.39 3.35
9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14
10 4.96 4.1 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98
11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.2 3.09 3.01 2.95 2.9 2.85
12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3 2.91 2.85 2.8 2.75
13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67
14 4.6 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.7 2.65 2.6
15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.9 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54
16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49
17 4.45 3.59 3.2 2.96 2.81 2.7 2.61 2.55 2.49 2.45
18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41
19 4.38 3.52 3.13 2.9 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38
20 4.35 3.49 3.1 2.87 2.71 2.6 2.51 2.45 2.39 2.35
21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32
22 4.3 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.4 2.34 2.3
23 4.28 3.42 3.03 2.8 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27
24 4.26 3.4 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.3 2.25
25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.6 2.49 2.4 2.34 2.28 2.24
26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22
27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.2
28 4.2 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19
29 4.18 3.33 2.93 2.7 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18
30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16
35 4.12 3.27 2.87 2.64 2.49 2.37 2.29 2.22 2.16 2.11
40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08
281
estatística experimental no rbio
ANEXO 11.2. Valores da amplitude total estudentizada (q) para teste de Tukey a 
5% de probabilidade em função do número de tratamentos e graus de liberdade 
do resíduo.
GL(resid) Número de grupos no tratamento
2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 17.97 26.98 32.82 37.08 40.41 43.12 45.40 47.36 49.07
2 6.08 8.33 9.8 10.88 11.73 12.43 13.03 13.54 13.99
3 4.50 5.91 6.82 7.50 8.04 8.48 8.85 9.18 9.46
4 3.93 5.04 5.76 6.29 6.71 7.05 7.35 7.60 7.83
5 3.64 4.6 5.22 5.67 6.03 6.33 6.58 6.8 6.99
6 3.46 4.34 4.9 5.3 5.63 5.9 6.12 6.32 6.49
7 3.34 4.16 4.68 5.06 5.36 5.61 5.82 6 6.16
8 3.26 4.04 4.53 4.89 5.17 5.4 5.6 5.77 5.92
9 3.2 3.95 4.41 4.76 5.02 5.24 5.43 5.59 5.74
10 3.15 3.88 4.33 4.65 4.91 5.12 5.3 5.46 5.6
11 3.11 3.82 4.26 4.57 4.82 5.03 5.2 5.35 5.49
12 3.08 3.77 4.2 4.51 4.75 4.95 5.12 5.27 5.39
13 3.06 3.73 4.15 4.45 4.69 4.88 5.05 5.19 5.32
14 3.03 3.7 4.11 4.41 4.64 4.83 4.99 5.13 5.25
15 3.01 3.67 4.08 4.37 4.59 4.78 4.94 5.08 5.2
16 3 3.65 4.05 4.33 4.56 4.74 4.9 5.03 5.15
17 2.98 3.63 4.02 4.3 4.52 4.7 4.86 4.99 5.11
18 2.97 3.61 4 4.28 4.49 4.67 4.82 4.96 5.07
19 2.96 3.59 3.98 4.25 4.47 4.65 4.79 4.92 5.04
20 2.95 3.58 3.96 4.23 4.45 4.62 4.77 4.9 5.01
24 2.92 3.53 3.9 4.17 4.37 4.54 4.68 4.81 4.92
30 2.89 3.49 3.85 4.1 4.3 4.46 4.6 4.72 4.82
40 2.86 3.44 3.79 4.04 4.23 4.39 4.52 4.63 4.73
120 2.8 3.36 3.68 3.92 4.1 4.24 4.36 4.47 4.56
>120 2.77 3.31 3.63 3.86 4.03 4.17 4.29 4.39 4.47
∞ 3.64 4.12 4.4 4.6 4.76 4.88 4.99 5.08 5.16
282
12
ANÁLISE DE EXPERIMENTOS HIERÁRQUICOS 
Às vezes, durante a experimento surge alguma restrição que nos 
impede de realizar o cruzamento de todos os níveis de um fator com 
todos níveis de outro fator. Caso seja possível realizar todos estes cruza-
mentos tem-se um experimento em arranjo fatorial, porém não tendo 
esta possibilidade pode-se fazer uso de um arranjo hierárquico (nested).
Pode-se ter como exemplo, uma comparação de cinco híbridos 
(h1, h2, ... h5) de duas instituições avaliados em duas repetições. O 
esquema a seguir detalha esse arranjo:
É importante salientar que oscinco híbridos da instituição 1 
não são iguais aos cinco híbridos da instituição 2, ou seja, o híbrido 1 
da instituição 1 não tem relação com o híbrido 1 da instituição 2, e isso 
283
estatística experimental no rbio
faz com que exista então um arranjo hierárquico de tal forma que os 
híbridos são aninhados sob as instituições. Dessa forma, pode-se ava-
liar se existe variabilidade entre as instituições e se existe variabilidade 
entre os híbridos de cada instituição.
O modelo matemático para esse arranjo experimental em DIC é:
Yijk=m + Ai+ Bj(i) + eijk
em que:
Yijk é o valor observado relativo à parcela que recebe o fator A i 
no fator B j na repetição k, sendo i =1, 2, ..., l , j= 1, 2, ..., t e k =1, 2, ... r.
m é a média geral do experimento
Ai é o efeito do fator i
Bj(i) é o efeito do fator j aninhado sob o fator A
eijk é o erro aleatório associado a observação ijk.
O quadro da ANOVA neste delineamento é representado na 
Tabela 12.1.
Tabela 12.1. Quadro da ANOVA considerando arranjo hierárquico de um 
delineamento inteiramente casualizado.
FV GL SQ QM F
A l-1 SQA QMA = SQA/glA QMA / QMRes
B dentro de A l(t-1) SQB(A) QMB(A) = SQ B(A) /gl B(A) QM B(A)/ QMRes
Resíduo tl(r-1) SQRes QMRes= SQRes/glRes
Total tlr-1 SQTotal
Em que:
2
...YC
tlr
=
284
estatística experimental no rbio
2
1 1 1
t l r
Total ijk
i j k
SQ Y C
= = =
= −∑∑∑
2
..
1
1 l
A i
i
SQ Y C
tr =
= −∑
( )
2 2
. ..
1 1 1
1 1 
t l l
ij iB A
i j i
SQ Y Y
r tr= = =
= −∑∑ ∑
( )Res Total A B ASQ SQ SQ SQ= − −
Consideremos agora um exemplo simulado com 3 tratamentos 
(híbridos), 2 locais (instituições) com 2 repetições em cada local apre-
sentado na Tabela 12.2.
Tabela 12.2. Avaliação de uma variável agronômica simulada, em arranjo 
hierárquico com três tratamentos, avaliada em dois locais com duas repetições 
num delineamento inteiramente casualizado.
Tratamentos
Local
Total Média1 2
Rep 1 Rep 2 Rep 1 Rep 2
1 66.98 75.61 86.71 83.95 313.25 78.3125
2 113.77 126.24 110.35 110.29 460.65 115.1625
3 71.87 87.53 93.26 98.44 351.1 87.775
Total 252.62 289.38 290.32 292.68
Total 542 583 1125
Média 90.33 97.17 93.75
Os cálculos para realizar a análise de variância conjunta com 
base nos dados da Tabela 12.2, são:
285
estatística experimental no rbio
2 2
... 1125 105468.75
3 2 2
YC
tlr x x
= = =
2 2 2 2 2
1 1 1
2 2 2 2 2 2
2 2
 66.98 75.61 113.77 126.24
71.87 87.53 86.71 83.95 110.35 110.29
93.26 98.44 105468.75 109205.2 105468.75 3736.45
t l r
Total ijk
i j k
SQ Y C
= = =
= − = + + +
+ + + + + +
+ + − = − =
∑∑∑
( )2 2 2..
1
1 1 542 583 105468.75 140.08
3 2
l
Local i
i
SQ Y C x
tr x=
= − = + − =∑
( )
( )
( )
2 2
. ..
1 1 1
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 
2
142.59 240.01 159.4 170.66 220.64 191.7
1 542 583 108950.4023 105608.83 3341.57 
3 2
t l l
ij iTrat Local
i j i
SQ Y Y
r tr
x
x
= = =
= − =
+ + + + +
− + = − =
∑∑ ∑
( )
3736.45 140.08 3341.57 254.80
Res Total Local Trat LocalSQ SQ SQ SQ= − −
= − − =
O quadro da ANOVA para o exemplo é representado na Tabela 
12.3. Existem duas hipóteses a serem testadas. A primeira hipótese é 
para a fonte de variação local, portanto a hipótese H0 é que todos os 
dois locais possuem média igual. O valor tabelado do F a 5% de proba-
bilidade e 1 graus de liberdade do numerador e 6 graus de liberdade 
do denominador (F5%;1;6) é igual a 5.99 (ANEXO 12.1). Dessa forma, 
o F calculado (3.29) é menor que F tabelado, então não se rejeita a 
hipótese H0 de igualdade entre as médias, portanto as médias não se 
diferem estatisticamente. A segunda hipótese a ser testada é se existe 
diferença dos tratamentos dentro dos locais. O valor tabelado do F a 
286
estatística experimental no rbio
5% de probabilidade e 4 graus de liberdade do numerador e 6 graus de 
liberdade do denominador (F5%;4;6) é igual a 4.53 (ANEXO 12.1). Dessa 
forma, o F calculado (19.669) é maior que F tabelado, então rejeita-se 
a hipótese H0 de igualdade entre as médias dos tratamentos dentro de 
locais, portanto as médias se diferem estatisticamente. 
Tabela 12.3. Resultado da análise de variância da variável agronômica simulada, 
em arranjo hierárquico com três tratamentos, avaliados em dois locais com duas 
repetições num delineamento inteiramente casualizado.
FV GL SQ QM F
Local (L) 1 140.08 140.08 3.298
Tratamento dentro de Local 4 3341.57 835.4 19.669**
Resíduo 6 254.8 42.5
Total 11 3736.45
*: Significativo a 5% de significância pelo teste F
Neste exemplo, o coeficiente de variação (C.V.) é: 
%
100 100 42.5 6.95%
 93.75
QMR
CV
média
= = =
Caso o esquema fosse fatorial fosse no delineamento em blocos 
casualizados (DBC) tem-se o seguinte 
Yijk=m + Rk + Ai+ Bj(i) + eijk
em que:
Yijk é o valor observado relativo à parcela que recebe o fator A i 
no fator B j na repetição k, sendo i =1, 2, ..., l , j= 1, 2, ..., t e k =1, 2, ... r.
m é a média geral do experimento
Rk é o efeito do bloco k
Ai é o efeito do fator i
287
estatística experimental no rbio
Bj(i) é o efeito do fator j aninhado sob o fator A
eijk é o erro aleatório associado a observação ijk.
O quadro da ANOVA neste delineamento é representado na 
Tabela 12.4.
Tabela 12.4. Quadro da ANOVA considerando arranjo hierárquico de um 
delineamento em blocos ao acaso.
FV GL SQ QM F
Bloco r-1 SQBloco QMBloco = SQBloco/glBloco
A l-1 SQA QMA = SQA/glA QMA / QMRes
B dentro de A l(t-1) SQB(A) QMB(A) = SQ B(A) /gl B(A) QM B(A)/ QMRes
Resíduo (tl-1)(r-1) SQRes QMRes= SQRes/glRes
Total tlr-1 SQTotal
Em que:
2
...YC
tlr
=
2
1 1 1
t l r
Total ijk
i j k
SQ Y C
= = =
= −∑∑∑
2
..
1
1 r
Bloco k
k
SQ Y C
tl =
= −∑
2
..
1
1 l
A i
i
SQ Y C
tr =
= −∑
( )
2 2
. ..
1 1 1
1 1 
t l l
ij iB A
i j i
SQ Y Y
r tr= = =
= −∑∑ ∑
288
estatística experimental no rbio
Nessa situação a diferença é que se tem o efeito de bloco ex-
traído do resíduo. Dessa forma, teríamos r-1 GL para fonte blocos, ou 
seja, 2-1 = 1GL, e a Soma de Quadrados de Blocos poderia ser obtida 
utilizando os totais de cada repetição (para o bloco 1 tem: 66.98+113.
77+71.87+86.71+110.35+93.26= 252.62 +290.32 =542.94) por:
( ) ( )
2
..
1
2 2
1 1
3 2
 252.62 290.32 289.38 292.68 105468.75 127.5312
r
Blocos k
k
SQ Y C x
tl x=
= − =
 + + + − = 
∑
A Soma dos Quadrado do Resíduo é:
O Quadro da ANOVA nessa situação é apresentado na Tabela 12.5.
Tabela 12.5. Resultado da análise de variância da variável agronômica simulada, 
em arranjo hierárquico com três tratamentos, avaliados em dois locais com duas 
repetições num delineamento em blocos ao acaso.
FV GL SQ QM F
Bloco 1 127.5 127.5
Local (L) 1 140.08 140.08 5.5
Tratamento dentro de Local 4 3341.57 835.4 32.81*
Resíduo 5 127.2 25.5
Total 11 3736.45
*: Significativo a 5% de significância pelo teste F
289
estatística experimental no rbio
Neste exemplo, o coeficiente de variação (C.V.) é: 
%
100 100 25.5 5.38%
 93.75
QMR
CV
média
= = =
Da mesma forma que nos experimentos anteriores pode-se 
realizar o teste de Tukey para identificar onde existem diferenças entre 
as médias, para isso usa-se o ANEXO 12.2. Para este exemplo, a primei-
ra hipótese de igualdade entre as médias dos locais (90.33 e 97.17) 
não foi rejeitada, portanto não é necessário realizar o teste de médias. 
Esse será apresentado aqui apenas para fins ilustrativos
O valor da DMS para a fonte de variação local, e considerando 
que o número de tratamentos dentro de cada local seja o mesmo é 
obtida por:
( )
( ) ( )5%
,
 
25.52, 5 3.64 4.25 7.5
2 3
Tukey Resíduo
QMRDMS q k Gl
local xtrat
q x
x
∝=
= = =
Como só existem dois locais, nem seria necessário realizar o 
teste de média, uma vez que na saída da análise de variância a fonte de 
variação local foi não significativa pelo teste F, porém, de forma apenas 
ilustrativa a comparação dos dois locais será realizada, sendo assim:
L2 – L1=97.17 – 90.33 = 6.84 < DMS
Portanto, as médias dos locais são estatisticamente iguais.
De forma similar o valor da DMS para a fonte de variação trata-
mento dentro de localé:
290
estatística experimental no rbio
( )
( )5%
,
25.56, 5 6.03 12.75 21.53
2
Tukey Resíduo
QMRDMS q k Gl
r
q x
∝=
= = =
A média dos tratamentos dentro de cada local são obtidas pela 
média entre as duas repetições, sendo assim tem-se: L1T1 = 71.295, 
L1T2 = 120, L1T3 = 79.7, L2T1= 85.33, L2T2 = 110.32, L2T3 = 95.85. 
Para fins de comparação coloca-se as medias em ordem decrescente e 
procede as comparações:
L1T2 - L2T2 = 120 - 110.32 = 9.68 < DMS
L1T2 - L2T3 = 120 - 95.85 = 24.15 > DMS
L2T2- L2T3 = 110.32 - 95.85 = 14.47 < DMS
L2T2- L2T1 = 110.32 - 85.33 = 24.99 > DMS
L2T3- L2T1 = 95.85- 85.33 = 10.52 < DMS
L2T3- L1T3 = 95.85- 79.7 = 16.15 < DMS
L2T3- L1T1 = 95.85- 71.295 = 24.55 > DMS
L2T1- L1T1 = 85.33 - 71.295 = 14.03 < DMS
L1T3- L1T1 = 79.7 - 71.295 = 8.40 < DMS
Sendo assim:
T2L1 a
T2L2 a b
T3L2 b c
T1L2 c d
T3L1 c d
T1L1 d
291
estatística experimental no rbio
Resultado das análises
Considerando o conjunto de dados apresentados anteriormen-
te, as saídas fornecidas pelo Rbio são apresentadas a seguir.
Para a realização desse procedimento o caminho é: ANOVA > 
Hierárquico, conforme a Figura 12.1.
292
estatística experimental no rbio
Figura 12.1. Software Rbio, e rotina de procedimentos para realizar análise de 
variância no arranjo de hierárquico em DIC.
293
estatística experimental no rbio
# -----------------------------------
# Script 11: Delineamento em esquema Hierárquico
# -----------------------------------
 
# ----------------------
# 11.1- Leitura dos dados
# ----------------------
X<-read.table(“c:/_Rbio/ebook/exemplo3.txt”, h=T) # Leitura dos dados
X
 Trat Local Rep Variavel
1 1 1 1 66.98
2 1 1 2 75.61
3 2 1 1 113.77
4 2 1 2 126.24
5 3 1 1 71.87
6 3 1 2 87.53
7 1 2 1 86.71
8 1 2 2 83.95
9 2 2 1 110.35
10 2 2 2 110.29
11 3 2 1 93.26
12 3 2 2 98.44
# ----------------------
# 11.2- ANOVA Hierárquico
# ----------------------
Trat<-as.factor(X[,1])
Local<-as.factor(X[,2])
Bloco<-as.factor(X[,3])
# ----------------------
# 11.2.1- ANOVA Hierárquico DIC
# ----------------------
saida<-aov(X[,4]~Local/Trat)
print(summary(saida)) 
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
Local 1 140 140.1 3.298 0.11926 
Local:Trat 4 3342 835.4 19.669 0.00135 **
Residuals 6 255 42.5 
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
# ----------------------
# 11.2.2- ANOVA Hierárquico DBC
# ----------------------
saida<-aov(X[,4]~Bloco+Local/Trat)
print(summary(saida))
 
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
Bloco 1 128 127.5 5.009 0.075396 . 
Local 1 140 140.1 5.502 0.065917 . 
Local:Trat 4 3342 835.4 32.811 0.000879 ***
Residuals 5 127 25.5 
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
# ----------------------
# 11.3- Teste Tukey
# ----------------------
cat(“\n”, “-----Teste de Media para o Fator Local/Trat-----”,”\n”)
 -----Teste de Media para o Fator Local/Trat----- 
TukeyHSD(saida, “Local:Trat”, ordered = TRUE)
 Tukey multiple comparisons of means
 95% family-wise confidence level
 factor levels have been ordered
Fit: aov(formula = X[, 4] ~ Bloco + Local/Trat)
294
estatística experimental no rbio
$`Local:Trat`
 diff lwr upr p adj
1:3-1:1 8.405 -13.120064 29.93006 0.5985940
2:1-1:1 14.035 -7.490064 35.56006 0.2078545
2:3-1:1 24.555 3.029936 46.08006 0.0298128
2:2-1:1 39.025 17.499936 60.55006 0.0039904
1:2-1:1 48.710 27.184936 70.23506 0.0014224
2:1-1:3 5.630 -15.895064 27.15506 0.8571679
2:3-1:3 16.150 -5.375064 37.67506 0.1367461
2:2-1:3 30.620 9.094936 52.14506 0.0117974
1:2-1:3 40.305 18.779936 61.83006 0.0034409
2:3-2:1 10.520 -11.005064 32.04506 0.4132197
2:2-2:1 24.990 3.464936 46.51506 0.0277647
1:2-2:1 34.675 13.149936 56.20006 0.0068150
2:2-2:3 14.470 -7.055064 35.99506 0.1906185
1:2-2:3 24.155 2.629936 45.68006 0.0318505
1:2-2:2 9.685 -11.840064 31.21006 0.4814724
 
cat(“\n”, “-----Teste de Media para o Fator Local-----”,”\n”)
 -----Teste de Media para o Fator Local----- 
TukeyHSD(saida, “Local”, ordered = TRUE)
 Tukey multiple comparisons of means
 95% family-wise confidence level
 factor levels have been ordered
Fit: aov(formula = X[, 4] ~ Bloco + Local/Trat)
$Local
 diff lwr upr p adj
2-1 6.833333 -0.6553229 14.32199 0.0659169
library(agricolae)
cat(“\n”, “-----Teste de Media para o Fator Local-----”,”\n”)
 -----Teste de Media para o Fator Local----- 
out<-HSD.test(saida,”Local”, alpha=0.05, group=TRUE,console=TRUE)
Study: saida ~ “Local”
HSD Test for X[, 4] 
Mean Square Error: 25.46046 
Local, means
 X...4. std r Min Max
1 90.33333 24.28775 6 66.98 126.24
2 97.16667 11.37478 6 83.95 110.35
Alpha: 0.05 ; DF Error: 5 
Critical Value of Studentized Range: 3.635351 
Minimun Significant Difference: 7.488656 
Treatments with the same letter are not significantly different.
 X[, 4] groups
2 97.16667 a
1 90.33333 a
295
estatística experimental no rbio
ANEXO 12.1. Tabela da Distribuição F ao nível de 5% de probabilidade com v1 graus 
de liberdade do numerador e v2 graus de liberdade do denominador.
v2 \ v1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 161.45 199.5 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.88
2 18.51 19 19.16 19.25 19.3 19.33 19.35 19.37 19.38 19.4
3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79
4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6 5.96
5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74
6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.1 4.06
7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64
8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.5 3.44 3.39 3.35
9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14
10 4.96 4.1 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98
11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.2 3.09 3.01 2.95 2.9 2.85
12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3 2.91 2.85 2.8 2.75
13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67
14 4.6 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.7 2.65 2.6
15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.9 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54
16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49
17 4.45 3.59 3.2 2.96 2.81 2.7 2.61 2.55 2.49 2.45
18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41
19 4.38 3.52 3.13 2.9 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38
20 4.35 3.49 3.1 2.87 2.71 2.6 2.51 2.45 2.39 2.35
21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32
22 4.3 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.4 2.34 2.3
23 4.28 3.42 3.03 2.8 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27
24 4.26 3.4 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.3 2.25
25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.6 2.49 2.4 2.34 2.28 2.24
26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22
27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.2
28 4.2 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19
29 4.18 3.33 2.93 2.7 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18
30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16
35 4.12 3.27 2.87 2.64 2.49 2.37 2.29 2.22 2.16 2.11
40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08
296
estatística experimental no rbio
ANEXO 12.2. Valores da amplitude total estudentizada (q) para teste de Tukey a 5% de 
probabilidade em função do número de tratamentos e graus de liberdade do resíduo.
GL(resid) Número de grupos no tratamento
2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 17.97 26.98 32.82 37.08 40.41 43.12 45.40 47.36 49.07
2 6.08 8.33 9.8 10.88 11.73 12.43 13.03 13.54 13.99
3 4.50 5.91 6.82 7.50 8.04 8.48 8.85 9.18 9.46
4 3.93 5.04 5.76 6.29 6.71 7.05 7.35 7.60 7.83
5 3.64 4.6 5.22 5.67 6.03 6.33 6.58 6.8 6.99
6 3.46 4.34 4.9 5.3 5.63 5.9 6.12 6.32 6.49
7 3.34 4.16 4.68 5.06 5.36 5.61 5.82 6 6.16
8 3.26 4.04 4.53 4.89 5.17 5.4 5.6 5.77 5.92
9 3.2 3.95 4.41 4.76 5.02 5.24 5.43 5.59 5.74
10 3.15 3.88 4.33 4.65 4.91 5.12 5.3 5.46 5.6
11 3.11 3.82 4.26 4.57 4.82 5.03 5.2 5.35 5.49
12 3.08 3.77 4.2 4.51 4.75 4.95 5.12 5.27 5.39
13 3.06 3.73 4.15 4.45 4.69 4.88 5.05 5.19 5.3214 3.03 3.7 4.11 4.41 4.64 4.83 4.99 5.13 5.25
15 3.01 3.67 4.08 4.37 4.59 4.78 4.94 5.08 5.2
16 3 3.65 4.05 4.33 4.56 4.74 4.9 5.03 5.15
17 2.98 3.63 4.02 4.3 4.52 4.7 4.86 4.99 5.11
18 2.97 3.61 4 4.28 4.49 4.67 4.82 4.96 5.07
19 2.96 3.59 3.98 4.25 4.47 4.65 4.79 4.92 5.04
20 2.95 3.58 3.96 4.23 4.45 4.62 4.77 4.9 5.01
24 2.92 3.53 3.9 4.17 4.37 4.54 4.68 4.81 4.92
30 2.89 3.49 3.85 4.1 4.3 4.46 4.6 4.72 4.82
40 2.86 3.44 3.79 4.04 4.23 4.39 4.52 4.63 4.73
120 2.8 3.36 3.68 3.92 4.1 4.24 4.36 4.47 4.56
>120 2.77 3.31 3.63 3.86 4.03 4.17 4.29 4.39 4.47
∞ 3.64 4.12 4.4 4.6 4.76 4.88 4.99 5.08 5.16
297
13
ANÁLISE DE EXPERIMENTOS 
EM BLOCOS INCOMPLETOS
Alguns experimentos são conduzidos sem que todos os trata-
mentos estejam presentes em todas as repetições. Estes experimen-
tos são ditos blocos incompletos, uma vez que os blocos não estão 
completos no que se diz respeito a presença de todos os tratamentos. 
Exemplos deste tipo de experimentos são os de blocos aumentados e 
os látices.
13.1. Blocos aumentados
Este delineamento teve sua teoria apresentada por Federer 
(1956) e acontece na avaliação de um conjunto de tratamentos, sem re-
petições, distribuídos em blocos incompletos com testemunhas comuns.
Como ilustração, tem-se a avaliação de cinco tratamentos (G1 
a G5), denominados de não comuns (ou regulares) em blocos, junta-
mente com duas testemunhas (ou tratamentos comuns – T1 e T2), 
conforme esquema apresentado a seguir: 
298
estatística experimental no rbio
Bloco 1: 
T1 T2 G1 G2
Bloco 2: 
G4 T2 G3 T1 G5
Percebe-se que cada um dos g tratamentos está representado 
no ensaio uma única vez, enquanto que as testemunhas estão repetidas 
b vezes. Tanto os tratamentos quanto as testemunhas são casualizados 
dentro de cada bloco.
O modelo matemático para este tipo de experimento é:
ij i j ijY Bµ τ ε= + + +
em que:
ijY : é o valor da característica para a i-ésima testemunha no 
j-ésimo bloco (ou repetição). Para melhor entendimento, é utilizada 
outra simbologia para expressar o valor de um genótipo, para a mesma 
característica considerada, dada por:
j
iZ : é o valor da característica para o i-ésimo genótipo no j-é-
simo bloco;
µ : constante associada ao modelo;
iτ : efeito do i-ésimo tratamento, que pode ser decomposto em:
Ti: efeito da i-ésima testemunha, com i =1,2...t e
j
iG : efeito do i-ésimo genótipo, com i =1,2...gj. 
O total de genótipos avaliados é:
g = 
1
b
jj
g
=∑ em que gj é o número total de genótipos avaliados 
no j-ésimo bloco. 
jB : efeito do j-ésimo bloco, com j=1,2...b;
299
estatística experimental no rbio
ijε : erro aleatório.
Para a realização da análise de variância, todos os efeitos do 
modelo devem ser obtidos, de tal forma que:
a) Estimação de µ
..
.
1
ˆˆ 1
b
j j
j
Y Z g B
t g b
µ
=
 
= + −  +  
∑ : média ponderada descrita por Federer (1956). 
De maneira geral, podem ser obtidos vários valores de médias 
do ensaio tais como definidos a seguir:
.. .ˆg
Y Z
bt g
µ +=
+
: média geral do ensaio;
..ˆc
Y
bt
µ = : média dos tratamentos comuns (testemunhas);
. ˆ
 nc
Z
g
µ = : média dos tratamentos não comuns (genótipos);
b) Estimação de Bj
. ..
.
ˆ ˆjj j c
Y YB Y
t bt
µ= − = −
de forma que: 
1
0ˆb jj B= =∑
c) Estimação de jiG
. ˆ ˆjj ji i c
Y
G Z
t
µ µ= − + −
Para Garça (1972), o efeito atribuído aos tratamentos não co-
muns (genótipos) pode ser estimado por meio de:
. jj j
i i
Y
G Z
t
= − , tendo-se . .1 1
1g b
i j ji j
G Z Y g
t= =
= −∑ ∑
300
estatística experimental no rbio
de forma que 
ˆ ˆ ˆj ji i cG G µ µ= − +
d) Estimação de Ti
.ˆ ˆii
YT
b
µ= −
Porém Garça (1972) descreve o seguinte estimador do efeito 
atribuído aos tratamentos comuns (testemunhas):
. . ..ˆi ii c
Y Y YT
b b bt
µ= − = − Desta relação, tem-se 1 0
t
ii
T
=
=∑ 
Verifica-se, portanto, a seguinte relação:
. ˆˆ ˆ ˆii c i c
YT T
b
µ µ µ= − = − +
O esquema da ANOVA para o delineamento em blocos aumen-
tados é apresentado na Tabela 13.1.
Tabela 13.1. Quadro da anova considerando delineamento em blocos aumentados.
FV GL SQ QM F
Blocos b-1 SQB QMB
Tratamentos (Aj) t+g-1 SQTaj QMTaj QMTaj/QMR
Resíduo (b-1)(t-1) SQR QMR
Total bt+g-1 SQTo
Em que:
301
estatística experimental no rbio
Soma de quadrado total
( )22
1
gt b
ij i
i j i
SQTo Y Z C
=
= + −∑∑ ∑
sendo 
2
.. .( )Y ZC
bt g
+
=
+
Soma de quadrado de blocos
É obtida a partir do modelo reduzido, dado por: 
ij j ijY B eµ= + +
de forma que se tenha:
( )2. . jb j
j j
Y Z
SQBlocos C
g t
+
= −
+∑
Soma de quadrados de tratamentos
A soma de quadrado de tratamento ajustada é dada pela dife-
rença entre a soma de quadrados de parâmetros do modelo completo 
(µ , iτ , Bj) e a soma de quadrados de parâmetros do modelo reduzido 
(µ , Bj). Assim, tem-se:
( )2. . jb j
j j
Y Z
SQTajustado SQmodelo
g t
+
= −
+∑
302
estatística experimental no rbio
em que:
( ) ( ).. . . . .
1 1 1
ˆˆ
gt b
j
c i i i i j j
i i j
SQmodelo Y Z TY G Z B Y Zµ
= = =
= + + + + +∑ ∑ ∑
Soma de quadrados do resíduo
É dada pela diferença:
SQR = SQTo – (SQTaj + SQB)
Correção das médias
As médias ajustadas de cada genótipo (tratamentos não co-
muns) podem ser utilizadas como critério de seleção. Federer (1956) 
apresenta a seguinte expressão:
( ) 
ˆ ˆii j ii ajustadoZ Z B G µ= − = +
sendo ˆ ijB o efeito do j-ésimo bloco em que o i-ésimo tratamento 
(genótipo) não-comum está sendo avaliado. Segundo Federer (1956), 
as médias das testemunhas (tratamentos comuns) não requerem ajus-
te, uma vez que ocorrem em todos os blocos.
Considere os dados da Tabela 13.2, com 5 tratamentos avaliados 
em 2 blocos sendo que existiam 3 testemunhas (T1, T2 e T3). No bloco 1 
tem-se os tratamentos 1 e 2, e no bloco 2 os tratamentos 3, 4 e 5.
303
estatística experimental no rbio
Tabela 13.2. Avaliação de uma variável agronômica simulada, em delineamento em 
blocos aumentados.
Tratamentos
Repetições
Total Média
I II
1 71.87 - 71.87
73.74
2 75.61 - 75.61
3 - 79.7 79.7
81.414 - 87.53 87.53
5 - 77 77
Total Trat. 147.48 244.23 391.71 78.34
T1 113.77 120 233.77 116.88
T2 120 126.24 246.24 123.12
T3 115 123 238 119
Total Test. 348.77 369.24 718.01 119.66
TOTAL 496.25 613.47 1109.72 100.88
Os cálculos gerais para este delineamento são:
Média geral
( )
.. . 718.01 391.71 100.88ˆ
2 3 5g
Y Z
bt g x
µ + += = =
+ +
Média das testemunhas
.. 718.01 119.668ˆ
2 3c
Y
bt x
µ = = =
Média dos tratamentos não comuns (genótipos)
. 391.71 78.34ˆ
5g
Z
g
µ = = =
304
estatística experimental no rbio
Média ponderada de Federer
( ) ( )
( )
..
.
1
1
ˆˆ
718.01 391.711 1 2
3 5 2 3.41 3 3.41
1 359 391.71 3.41 93.4
8
b
j j
j
Y Z g B
t g b x x
µ
=
 +   = + − =    + +    − − +  
= + − =
∑
Efeitos dos Blocos
.1 ..
1 .1
ˆ 1348. 1ˆ 77 1 9.66 3.4
3c
Y YB Y
t bt
µ= − = − = − = −
.2 ..
2 .2
ˆ 1369. 1ˆ 24 1 9.66 3.4
3c
Y YB Y
t bt
µ= − = − = − = +
Efeitos dos tratamentos não comuns (genótipos)
1 1 .1
1 1
348.7771.87 119.66 93.41 18.13ˆ ˆ
3
ˆc
YG Z
t
µ µ= − + − = − + − = −
1 1 .1
2 2 9ˆ 75.61 116.25 119.66 93.4ˆ 1 14ˆ .3c
YG Z
t
µ µ= − + − = − + − = −
2 2 .2
3 2
369.2479.7 119.66 93.41 17.13ˆ ˆ
3
ˆc
YG Z
t
µ µ= − + − = − + − = −
2 2 .2
4 4 9ˆ 87.53 123.08 119.66 93.ˆ 41 9.ˆ 2c
YG Z
t
µ µ= − + − = − + − = −
2 2 .2
5 5 77 123.08 119.66 93.41 19.82ˆ ˆ ˆc
YG Z
t
µ µ= − + − = − + − = −
305
estatística experimental no rbio
Segundo Garça (1972) estes efeitos são:
1 1
1 1 18.13 119.66 93.41 44.38ˆ ˆ ˆcG G µ µ= − + = − − + = −
1 1
2 2 14.39 119.66 93.41 40.64ˆ ˆ ˆcG G µ µ= − + = − − + = −
2 2
3 3 17.13 119.66 93.41 43.38ˆ ˆ ˆcG G µ µ= − + = − − + = −
2 2
4 4 9.29 119.66 93.41 35.55ˆ ˆ ˆcG G µ µ= − + = − − + = −
2 2
5 5 19.82 119.66 93.41 46.08ˆ ˆ ˆcG G µ µ= − + = − − + = −
Efeitos dos tratamentos comuns (testemunhas)
1.
1
233.77 93.41 116.88 93.41 23.47ˆ ˆ
2
YT
b
µ= − = − = − =
2.
2
246.24 93.41 123.12 93.41 29.70ˆ ˆ
2
YT
b
µ= − = − = − =
3.
3
238 93.41 119 93.41 25.58ˆ ˆ
2
YT
b
µ= − = − =− =
Segundo Garça (1972) estes efeitos são:
1 1 23.47 119.66 93.41 2.78ˆ ˆ ˆcT T µ µ−= + = − + = −
2 2 29.70 119.66 93.41 3.45ˆ ˆ ˆcT T µ µ−= + = − + =
3 3 25.58 119.66 93.41 0.67ˆ ˆ ˆcT T µ µ−= + = − + = −
306
estatística experimental no rbio
Os cálculos para realizar a análise de variância são:
Correção
( )22.. . 718.01 391.71( ) 111.952,58
2 3 5
Y ZC
bt g x
++
= = =
+ +
Soma de Quadrados Total
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
1
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
113.77 120 120 126.24 115 123
71.87 75.61 79.7 87.53 77
111.952,58 116.858,8 111.952,58 4.906,32
gt b
ij i
i j i
SQTo Y Z C
=
= + −
 = + + + + + 
 + + + + + 
− = − =
∑∑ ∑
Soma de Quadrados de Blocos
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 21 2
. . .1 . .2 .
2 2
2 2
348.77 147.48 369.24 244.23
2 3 3 3
496.25 613.47
111.977,05 111.952,58 24.46
5 6
jb
j
j j j j
Y Z Y Z Y Z
SQBlocos C C
g t g t g t
C
C
+ + +
= − = + −
+ + +
+ +
= + −
+ +
= + − = − =
∑
Soma de Quadrados de Tratamentos
( )2. . jb j
j j
Y Z
SQTajustado SQmodelo
g t
+
= −
+∑
307
estatística experimental no rbio
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
.. . . . .
1 1 1
2.78 233.77 3.45 246.24
119.668 718.01 391.71
0.67 238
44.38 71.87 40.64 75.61 43.38 79.7
35.55 87.53 46.08 77
3.41
ˆˆ
gt b
j
c i i i i j j
i i j
SQmodelo Y Z TY G Z B Y Z
x x
x
x x x
x x
µ
= = =
= + + + + + =
 − +
 + +    + −  
 − + − + −
+  
+ − + −  
+ −
∑ ∑ ∑
( )( ) ( )( )348.77 147.48 3.41 369.24 244.23x x + + + 
116.851,1 111.977,05 4880,8SQTajustado = − =
Soma de quadrado do resíduo
SQRes = SQTotal – (SQTajustado + SQBloco) = 4906,32 – 
(4880,8+24.46) =1049,8
Após as análises, o quadro da ANOVA para o delineamento em 
blocos aumentados é apresentado na Tabela 13.3.
Tabela 13.3. Resultado da análise de variância da variável agronômica simulada, 
considerando delineamento em blocos aumentados.
FV GL SQ QM F
Blocos 1 24.463 24.463
Tratamentos (Aj) 7 4880.808 697.258 1328.364*
Resíduo 2 1.0498 0.5249
Total 10 4906.3215
*: significativo a 5% de probabilidade pelo teste F.
308
estatística experimental no rbio
Neste exemplo coeficiente de variação (C.V.) é: 
%
100 100 0.5249 0.7181%
 100.88
QMR
CV geral
médiaGeral
= = =
%
100 100 0.5249 0.9248%
 78.34
QMR
CV genótipos nãocomuns
média genótipos
= = =
%
100 100 0.5249 0.6054%
 119.668
QMR
CV testemunhas
média testemunhas
= = =
As médias ajustadas são:
( ) ( )11 11 71.87 3.41 75.28ˆajustadoZ Z B= − = − − =
( ) ( )22 12 75.61 3.41 79.02ˆajustadoZ Z B= − = − − =
( ) ( )33 23 79.7 3.41 76.28ˆajustadoZ Z B= − = − =
( ) ( )44 24 87.53 3.41 84.11ˆajustadoZ Z B= − = − =
( ) ( )55 25 77 3.41 73.5ˆ 8ajustadoZ Z B= − = − =
Resultado das análises
Considerando o conjunto de dados apresentados anteriormen-
te, as saídas fornecidas pelo Rbio são apresentadas a seguir.
Para a realização desse procedimento o caminho é: ANOVA > 
Blocos Aumentados, conforme a Figura 13.1. 
309
estatística experimental no rbio
Figura 13.1. Software Rbio, e rotina de procedimentos para realizar análise de 
variância em Blocos aumentados.
310
estatística experimental no rbio
Os scripts com a saída da análise são apresentados a seguir: 
# -----------------------------------
# Script 12: Delineamento em Blocos Aumentados (DBA)
# -----------------------------------
# ----------------------
# 12.1- Leitura dos dados
# ----------------------
X<-read.table(“c:/_Rbio/ebook/exemplo4.txt”, h=T) # Leitura dos dados
X
 Trat Bloco Variavel
1 T1 1 113.77
2 T2 1 120.00
3 T3 1 115.00
4 1 1 71.87
5 2 1 75.61
6 T1 2 120.00
7 T2 2 126.24
8 T3 2 123.00
9 3 2 79.70
10 4 2 87.53
11 5 2 77.00
# ----------------------
# 12.2- ANOVA em Blocos Aumentados
# ----------------------
Trat<-as.factor(X[,1])
Rep<-as.factor(X[,2])
 
# ----------------------
# 12.3- ANOVA em Blocos Aumentados pacote augmentedRCBD
# ----------------------
library(augmentedRCBD)
saida2<-augmentedRCBD(Rep, Trat, X[,3], method.comp = “tukey”)
Augmented Design Details
========================
 
Number of blocks “2” 
Number of treatments “8” 
Number of check treatments “3” 
Number of test treatments “5” 
Check treatments “T1, T2, T3”
ANOVA, Treatment Adjusted
=========================
 Df Sum Sq Mean Sq
Block (ignoring Treatments) 1 24 24.5
Treatment (eliminating Blocks) 7 4881 697.3
 Treatment: Check 2 40 20.1
 Treatment: Test and Test vs. Check 5 4841 968.1
Residuals 2 1 0.5
 F value Pr(>F) 
Block (ignoring Treatments) 47.12 0.020571 * 
Treatment (eliminating Blocks) 1342.91 0.000744 ***
 Treatment: Check 38.73 0.025172 * 
 Treatment: Test and Test vs. Check 1864.58 0.000536 ***
Residuals 
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
311
estatística experimental no rbio
ANOVA, Block Adjusted
=====================
 Df Sum Sq Mean Sq F value
Treatment (ignoring Blocks) 7 4835 691 1330.42
 Treatment: Check 2 40 20 38.73
 Treatment: Test 4 137 34 66.17
 Treatment: Test vs. Check 1 4658 4658 8970.85
Block (eliminating Treatments) 1 70 70 134.50
Residuals 2 1 1 
 Pr(>F) 
Treatment (ignoring Blocks) 0.000751 ***
 Treatment: Check 0.025172 * 
 Treatment: Test 0.014944 * 
 Treatment: Test vs. Check 0.000111 ***
Block (eliminating Treatments) 0.007353 ** 
Residuals 
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Treatment Means
===============
 Treatment Block Means SE r Min Max
1 1 1 71.870 NA 1 71.87 71.87
2 2 1 75.610 NA 1 75.61 75.61
3 3 2 79.700 NA 1 79.70 79.70
4 4 2 87.530 NA 1 87.53 87.53
5 5 2 77.000 NA 1 77.00 77.00
6 T1 116.885 3.115 2 113.77 120.00
7 T2 123.120 3.120 2 120.00 126.24
8 T3 119.000 4.000 2 115.00 123.00
 Adjusted Means
1 75.28167
2 79.02167
3 76.28833
4 84.11833
5 73.58833
6 116.88500
7 123.12000
8 119.00000
Coefficient of Variation
========================
0.7142555
Overall Adjusted Mean
=====================
93.41292
Standard Errors
===================
 Std. Error of Diff.
Control Treatment Means 0.7205669
Two Test Treatments (Same Block) 1.0190355
Two Test Treatments (Different Blocks) 1.1766808
A Test Treatment and a Control Treatment 1.0190355
 CD (5%)
Control Treatment Means 3.100349
Two Test Treatments (Same Block) 4.384556
Two Test Treatments (Different Blocks) 5.062849
A Test Treatment and a Control Treatment 4.384556
 Tukey HSD (5%)
Control Treatment Means 6.638107
Two Test Treatments (Same Block) 9.387702
Two Test Treatments (Different Blocks) 10.839984
A Test Treatment and a Control Treatment 6.638107
312
estatística experimental no rbio
Treatment Groups
==================
Method : tukey
 Treatment Adjusted Means SE df lower.CL upper.CL
8 5 73.58833 0.7783012 2 63.89956 83.27710
4 1 75.28167 0.7783012 2 65.59290 84.97044
6 3 76.28833 0.7783012 2 66.59956 85.97710
5 279.02167 0.7783012 2 69.33290 88.71044
7 4 84.11833 0.7783012 2 74.42956 93.80710
1 T1 116.88500 0.5095177 2 110.54221 123.22779
3 T3 119.00000 0.5095177 2 112.65721 125.34279
2 T2 123.12000 0.5095177 2 116.77721 129.46279
 Group
8 1 
4 12 
6 12 
5 12 
7 2 
1 3
3 3
2 3
# ----------------------
# 12.4- ANOVA em Blocos Aumentados pacote agricolae
# ----------------------
#install.packages(“agricolae”)
library(agricolae)
saida<- DAU.test(Rep,Trat,X[,3])
print(saida)
$means
 X...3. std r Min Max Q25 Q50
1 71.870 NA 1 71.87 71.87 71.8700 71.870
2 75.610 NA 1 75.61 75.61 75.6100 75.610
3 79.700 NA 1 79.70 79.70 79.7000 79.700
4 87.530 NA 1 87.53 87.53 87.5300 87.530
5 77.000 NA 1 77.00 77.00 77.0000 77.000
T1 116.885 4.405275 2 113.77 120.00 115.3275 116.885
T2 123.120 4.412346 2 120.00 126.24 121.5600 123.120
T3 119.000 5.656854 2 115.00 123.00 117.0000 119.000
 Q75 mean.adj SE block
1 71.8700 75.28167 0.7205669 1
2 75.6100 79.02167 0.7205669 1
3 79.7000 76.28833 0.7205669 2
4 87.5300 84.11833 0.7205669 2
5 77.0000 73.58833 0.7205669 2
T1 118.4425 116.88500 0.5095177 
T2 124.6800 123.12000 0.5095177 
T3 121.0000 119.00000 0.5095177 
$parameters
 test name.t ntr Controls Augmented blocks alpha
 DAU Trat 8 3 5 2 0.05
$statistics
 Mean CV
 100.8836 0.7
$comparison
NULL
$groups
 X[, 3] groups
313
estatística experimental no rbio
T2 123.12000 a
T3 119.00000 b
T1 116.88500 b
4 84.11833 c
2 79.02167 d
3 76.28833 de
1 75.28167 de
5 73.58833 e
$SE.difference
 Std Error Diff.
Two Control Treatments 0.7205669
Two Augmented Treatments (Same Block) 1.0190355
Two Augmented Treatments(Different Blocks) 1.1766808
A Augmented Treatment and A Control Treatment 0.9302479
$vartau
 1 2 3 4 5
1 0.0000000 1.0384333 1.3845778 1.3845778 1.3845778
2 1.0384333 0.0000000 1.3845778 1.3845778 1.3845778
3 1.3845778 1.3845778 0.0000000 1.0384333 1.0384333
4 1.3845778 1.3845778 1.0384333 0.0000000 1.0384333
5 1.3845778 1.3845778 1.0384333 1.0384333 0.0000000
T1 0.8653611 0.8653611 0.8653611 0.8653611 0.8653611
T2 0.8653611 0.8653611 0.8653611 0.8653611 0.8653611
T3 0.8653611 0.8653611 0.8653611 0.8653611 0.8653611
 T1 T2 T3
1 0.8653611 0.8653611 0.8653611
2 0.8653611 0.8653611 0.8653611
3 0.8653611 0.8653611 0.8653611
4 0.8653611 0.8653611 0.8653611
5 0.8653611 0.8653611 0.8653611
T1 0.0000000 0.5192167 0.5192167
T2 0.5192167 0.0000000 0.5192167
T3 0.5192167 0.5192167 0.0000000
13.2. Látice
Os experimentos montados em látice geralmente são para 
competição de um grande número de tratamentos. Aqui serão abor-
dados os delineamentos em látice quadrado (“square latices”). Estes 
experimentos permitem dispor de um número v=k2 de tratamentos em 
blocos de k parcelas, sendo assim o número de tratamentos deve ser 
um quadrado perfeito, ou seja, por exemplo, 16 que é quadrado de 4, 
25 que é quadrado de 5, 36, 49, 64, etc. Quando se tem o número de 
repetições (m) igual a 2, esse é dito látice simples e quando se tem o 
número de repetições (m) igual a 3 esse é dito látice triplo.
Considere por exemplo um látice com 9 tratamentos, ou seja, 
3x3, a representação seria:
314
estatística experimental no rbio
Bloco 1 1 2 3
Bloco 2 4 5 6
Bloco 3 7 8 9
A segunda repetição seria
Bloco 4 Bloco 5 Bloco 6
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Que poderia ser melhor representado da seguinte maneira:
Bloco 4 1 4 7
Bloco 5 2 5 8
Bloco 6 3 6 9
Veja ainda que a segunda repetição é montada considerando as 
colunas da primeira repetição.
Caso seja um látice triplo a terceira repetição seria:
Bloco 7 1 5 9
Bloco 8 2 6 7
Bloco 9 3 4 8
Nesse caso a terceira repetição foi estruturada a partir da dia-
gonal principal do arquivo da primeira repetição.
Para outros números de tratamentos, como 4,16, 25, ... deve-se 
seguir o esquema definido por Cochran & Cox (1957).
Verifica-se então que, em relação ao delineamento em blocos 
ao acaso, aqui há uma repartição interna de cada repetição em outros 
315
estatística experimental no rbio
três blocos, cada um destes “bloquinhos” formados não possuem 
todos os tratamentos, dessa forma o experimento seria classificado 
em blocos incompletos, porém todas as repetições possuem todos os 
tratamentos. Alguns autores sugerem poder realizar a análise conside-
rando látice e considerando em blocos, caso seja eficiente o primeiro, 
mantenha nessa estrutura. Já outros autores sugerem que isso não 
seria correto, uma vez que se montou em látice pois pressupunha a 
existência de variabilidade dentro de cada repetição, sendo obrigado a 
estabelecer os “bloquinhos”. Esses autores defendem que se é sabido 
esta existência de variação dentro de bloco, então não seria correto 
usar o delineamento em DBC, uma vez que esse assume que os blocos 
devam ser homogêneos.
Outro ponto a se destacar é que o delineamento em blocos 
completos, por exemplo, é considerado um delineamento robusto, ou 
seja, a perda de um tratamento ou de um bloco em nada altera as pro-
priedades do delineamento, e a perda de algumas parcelas também 
não traz grandes dificuldades a análise. Já os látices não são robustos, 
pois a perda de um tratamento ou de um bloco destrói a estrutura 
experimental, acarretando uma grande dificuldade na análise.
Segundo Pimentel-Gomes (2000) há dois tipos bem distintos de 
análise dos experimentos em blocos incompletos:
a. Análises intrablocos, em que só comparações entre parce-
las do mesmo bloco são usadas nas estimativas de efeito de 
tratamentos.
Esse tipo de análise pode ser usado para qualquer expe-
rimento em blocos incompletos e se baseia em métodos 
estatísticos exatos.
b. Análise com recuperação da informação interblocos, onde 
as comparações entre blocos são também aproveitadas na 
estimação dos efeitos de tratamentos.
316
estatística experimental no rbio
Esse tipo de análise permite aproveitar melhor os dados, mas 
usa métodos estatísticos apenas aproximados e só deve ser 
usada para experimentos com número de graus de liberdade 
relativamente grande para blocos e para o resíduo.
O modelo matemático para o delineamento látice é:
Yijk=m + ti + rj+ (b/r) jk + eijk
em que:
Yijk é o valor observado relativo à parcela que recebe o tratamen-
to i da repetição j no bloco k, sendo i =1, 2, ..., t ; j= 1, 2, ..., r e k = 1,2, ...k.
m é a média geral do experimento
ti é o efeito do tratamento i
rj é o efeito da repetição j
(b/r) jk é o efeito do bloco k dentro da repetição j
eijk é o erro aleatório associado a observação ijk
O quadro da ANOVA com análise intrabloco, é apresentado na 
Tabela 13.4.
Tabela 13.4. Quadro da ANOVA considerando látice quadrado com análise 
intrablocos e tratamentos ajustados.
FV GL SQ QM F
Repetições r-1
Bloco/Rep (Não ajustado) (k-1) r SQBlocos QMBlocos = SQBlocos/glBlocos
Tratamento (Ajustado) t-1 SQTrat QMTrat = SQTrat/glTrat QMTrat / QMRes
Resíduo (k-1) (rk-k-1) SQRes QMRes= SQRes/glRes
Total tr-1 SQTotal
Para este tipo de delineamento consideraremos t: número de 
tratamentos; k: número de parcelas; b: número de blocos; r: número 
317
estatística experimental no rbio
de repetições e N: número total de parcelas. Dessa forma tem-se as 
seguintes relações: t=k2 ou k t= , b=rk, N=bk=rk2
Em que:
2
...YC
tr
= e é denominada por correção.
2
1 1 1
t r k
Total ijk
i j k
SQ Y C
= = =
= −∑∑∑
2
. .
1
1 r
Rep j
j
SQ Y C
t =
= −∑
2
/ ..
1 ( )
k
Bloco Rep k Rep
k
SQ Y SQ C
k
= − +∑
 . / Res Total Trat aj Bloco Rep RepSQ SQ SQ SQ SQ= − − −
 .
1
1 ˆ
t
Trat aj i i
i
SQ t Q
k =
= ∑
Sendo que: Qi = k * Ti – Ai
 Ti: Total para o tratamento i avaliado
 Ai:Total dos blocos em que o tratamento i aparece (correções) 
Representa por S1(Qi) a soma dos valores Qi referentes a todos 
os tratamentos que ocorrem no mesmo bloco da primeira repetição 
em que aparece o i-ésimo tratamento. É importante salientar que 
S1(Q1) = S1(Q2) = S1(Q3) = Q1 + Q2 + Q3 = S11(Q).
318
estatística experimental no rbio
Os efeitos ajustados para tratamentos são dados pela fórmula:
( ) [ ]1 2
1 1 ( ) ( ) ( )ˆ
1i i i i r i
t Q S Q S Q S Q
rk r r t
= + + +…
−
As médias ajustadas de tratamentos são dadas por:
ˆˆ ̂ˆi i i
Gm m t t
tr
= + = + em que G é o total geral das parcelas.
Como exemplo consideremos um experimento com 9 trata-
mentos (T1 a T9) e 2 repetições. Os valores para a variável hipotética 
simulada se encontram na Tabela 13.5 entre parênteses:
Tabela 13.5. Avaliação de uma variável agronômica simulada, em delineamento 
látice quadrado 3x3.
Repetição 1 Total de blocos
Bloco 1 T1 (66.98) T2 (113.77) T3 (71.87) 252.62
Bloco 2 T4 (75.61) T5 (126.24) T6 (87.53) 289.38
Bloco 3 T7 (93.26) T8 (110.35) T9 (86.71) 290.32
Total Repetição 1 832.32
Repetição 2 Total de blocos
Bloco 4 T1 (98.44) T4 (110.29) T7 (100.95) 309.68
Bloco 5 T2 (85.71) T5 (107.73) T8 (93.3) 286.74
Bloco 6 T3 (97.28) T6 (109.43) T9 (106.55) 313.26
Total Repetição 2 909.68
Para procedermos a ANOVA, devemos, portanto, obter inicial-
mente as estimativas das Somas de Quadrados, conforme abaixo:
2 2
... 1742 3034564 168586.9
9 2 18
YC
tr x
= = = =
319
estatística experimental no rbio
2 2 2 2
1 1
2 2
66.98 113.77 71.87
109.43 106.55 168586.9 172196.6 168586.9 4209.7191
t r
Total ijk
i j
SQ Y C
= =
= − = + +
+…+ + − = − =
∑∑
2 2 2
. .
1
1 1 (832.32 909.68 ) 168586.9 332.4761
9
r
Rep j
j
SQ Y C
t =
= − = + − =∑
2 2 2
/ ..
1
2 2 2 2
1 1( ) (252.62 289.38
3
290.32 309.68 286.74 313.26 ) 168919.4 446.2046
k
Bloco Rep k Rep
k
SQ Y SQ C
k =
= − + = +
+ + + + − =
∑
 .
1
1 ˆ
t
Trat aj i i
i
SQ t Q
k =
= ∑
Para o cálculo da Soma de quadrados para tratamentos ajustados 
devemos realizar alguns passos adicionais, como mostrado a seguir:
Total para o tratamento i avaliado (Ti):
T1= 66.98 + 98.44 = 165.42
T2= 113.77 + 85.71 = 199.48
T3= 71.87 + 97.28 = 169.15
T4= 75.61 + 110.29 = 185.9
T5= 126.24 + 107.73 = 233.97
T6= 87.53 + 109.43 = 196.96
T7= 93.26 + 100.95 = 194.210
T8= 110.35 + 93.3 = 203.65
T9= 86.71 + 106.55 = 193.26
320
estatística experimental no rbio
Total dos blocos em que o tratamento i aparece (correções) (Ai):
A1= 252.62 + 309.68 = 562.3
A2= 252.62 + 286.74 = 539.36
A3= 252.62 + 313.26 = 565.88
A4= 289.38 + 309.68 = 599.06
A5= 289.38 + 286.74 = 576.12
A6= 289.38 + 313.26 = 602.64
A7= 290.32 + 309.68 = 600
A8= 290.32 + 286.74 = 577.06
A9= 290.32 + 313.26 = 603.58
Valor Qi, sendo este definido por: Qi = k * Ti – Ai
Q1 = (3 x 165.42) - 562.3 = -66.04
Q2 = (3 x 199.48) - 539.36= 59.08
Q3 = (3 x 169.15) - 565.88= -58.43
Q4 = (3 x 185.9) - 599.06= -41.36
Q5 = (3 x 233.97) - 576.12= 125.79
Q6 = (3 x 196.96) - 602.64= -11.76
Q7 = (3 x 194.210) - 600= -17.37
Q8 = (3 x 203.65) - 577.06= 33.89
Q9 = (3 x 193.26) - 603.58= -23.8
Representa por S1(Qi) a soma dos valores Qi referentes a todos 
os tratamentos que ocorrem no mesmo bloco da primeira repetição 
em que aparece o i-ésimo tratamento. É importante salientar que 
S1(Q1) = S1(Q2) = S1(Q3) = Q1 + Q2 + Q3 = S11(Q). Dessa forma, o valor 
S11(Q) é dado por Q1 + Q2 + Q3, uma vez que estes são os tratamentos 
da repetição 1 e bloco 1, e são calculados abaixo:
321
estatística experimental no rbio
S11= -66.04 + 59.08 -58.43 = -65.39 = S1(Q1) = S1(Q2) = S1(Q3)
S12= -41.36 + 125.79 -11.76 = 72.67 = S1(Q4) = S1(Q5) = S1(Q6)
S13= -17.37 + 33.89 -23.8 = -7.28 = S1(Q7) = S1(Q8) = S1(Q9)
S24= -66.04 -41.36 -17.37 = -124.77 = S2(Q1) = S2(Q4) = S2(Q7)
S25= 59.08 + 125.79 +33.89 = 218.76 = S2(Q2) = S2(Q5) = S2(Q8)
S26= -58.43+ -11.76 -23.8 = -93.99 = S2(Q3) = S2(Q6) = S2(Q9)
Verifica-se que as somas de todos os Sjk = 0
Os efeitos ajustados para tratamentos são dados pela fórmula:
( ) [ ]1 2
1 1 ( ) ( ) ( )ˆ
1i i i i r i
t Q S Q S Q S Q
rk r r t
= + + +…
−
( ) [ ]
[ ]
1 1 1 1 2 1
1 1 ( ) ( )
2 3 2 2 1 9
66.04 1 65.39 124.77 21.57
ˆ
6 18
t Q S Q S Q
x
= + +
−
−
= + − − = −
( ) [ ]
( ) [ ] ( ) [ ]
2 2 1 2 2 2
2 1 2 2 2
1 1 ( ) ( )
2 3 2 2 1 9
3 ( ) ( ) 3 59.08 65.39 218.76 
18.36
ˆ
18 18
t Q S Q S Q
x
x Q S Q S Q x
= + +
−
+ + + − +
= = =
( ) [ ]
( ) [ ]
3 1 3 2 3
3
3 ( ) ( )
18
3 58.43 65.39 93.99 
18.59
ˆ
18
x Q S Q S Q
t
x
+ +
=
− + − −
= = −
322
estatística experimental no rbio
( ) [ ]
( ) [ ]
4 1 4 2 4
4
3 ( ) ( )
18
3 41.36 72.67 124.77 
9.78
ˆ
18
x Q S Q S Q
t
x
+ +
=
− + −
= = −
( ) [ ]
( ) [ ]
5 1 5 2 5
5
3 ( ) ( )
18
3 125.79 72.67 218.76 
37.15
8
ˆ
1
x Q S Q S Q
t
x
+ +
=
+ +
= =
( ) [ ]
( ) [ ]
6 1 6 2 6
6
4
ˆ 3 ( ) ( )
18
3 11.76 72.67 93.99 
3.1
18
x Q S Q S Q
t
x
+ +
=
− + −
= = −
( ) [ ]
( ) [ ]
7 1 7 2 7
7
3 ( ) ( )
18
3 17.37 7.28 124.77 
10.23
ˆ
18
x Q S Q S Q
t
x
+ +
=
− + − −
= = −
( ) [ ]
( ) [ ]
8 1 8 2 8
8
3 ( ) ( )
18
3 33.89 7.28 218.76 
17.39
ˆ
18
x Q S Q S Q
t
x
+ +
=
+ − +
= =
( ) [ ]
( ) [ ]
9 1 9 2 9
9
9
ˆ 3 ( ) ( )
18
3 23.8 7.28 93.99 
9.5
18
x Q S Q S Q
t
x
+ +
=
− + − −
= = −
323
estatística experimental no rbio
Verifica-se que as somas de todos os ti ajustados = 0
Portanto, agora pode-se obter a soma de quadrados de trata-
mentos ajustados dada por:
Dessa forma, a soma de quadrados do resíduo é obtida por 
diferença, sendo:
 . / Res Total Trat aj Bloco Rep RepSQ SQ SQ SQ SQ= − − −
4209.7191 3235.76 446.2046 332.4761 195.2782ResSQ = − − − =
O quadro da ANOVA para este exemplo está representado na 
Tabela 13.6.
Tabela 13.6. Resultado da análise de variância da variável agronômica simulada, 
considerando em delineamento látice quadrado 3x3.
FV GL SQ QM F
Repetições 1 332.4761 332.4761
Bloco/Rep (Não ajustado) 4 446.2046 111.5511
Tratamento (Ajustado) 8 3235.76 404.47 8.28*
Resíduo (Erro intrabloco) 4 195.2782 48.81
Total 17 4209.7191
*: significativo a 5% de probabilidade pelo teste F.
Deve-se salientar aqui, que segundo Pimentel-Gomes & Garcia 
(1991), o teste F só pode ser realizado caso os quadrados médios de 
bloco tivessem sido ajustados. A tabela do teste F a 5% encontra-se no 
ANEXO 13.1.
324
estatística experimental no rbio
As médias ajustadas de tratamentos são dadas por:
ˆˆ ̂ˆi i i
Gm m t t
tr
= + = + em que G é o total geral das parcelas, portan-
to para o referido exemplo
1 1
1742 1742 21.57 75.20ˆ
9 2 18
ˆm t
x
= + = − =
2 2
1742 1742 18.36 115.14ˆ
9 2 18
ˆm t
x
= + = + =
3 3
1742 1742 18.59 78.18ˆ
9 2 18
ˆm t
x
= + = − =
4 4 7ˆˆ
1742 1742 9.78 8
9 2 18
m t
x
= + = − =
5 5
1742 1742 37.15 133.93ˆ
9 2 18
ˆm t
x
= + = + =
6 6
1742 1742 3.14 93.63ˆ
9 2 18
ˆm t
x
= + = − =
7 7
1742 1742 10.23 86.54ˆ
9 2 18
ˆm t
x
= + = − =
8 8
1742 1742 17.39 114.17ˆ
9 2 18
ˆm t
x
= + = + =
9 9
1742 1742 9.59 87.18ˆ
9 2 18
ˆm t
x
= + = − =
325
estatística experimental no rbio
Eficiência do Látice
Para calcular a eficiência do látice comparado ao delineamento 
em blocos casualizados (DBC), deve-se inicialmente proceder a análise 
em DBC, neste caso cada repetição do látice é considerada um bloco, 
não havendo mais os “bloquinhos incompletos” do látice. O resultado 
da ANOVA considerando o DBC é mostrado abaixo. Não será demostra-
do aqui como calcular esta ANOVA, uma vez que tal procedimento já 
foi explicado anteriormente neste material no Capítulo 5.
Dessa forma, o quadro da ANOVA considerando o delineamen-
to em blocos ao acaso é apresentado na Tabela 13.7.
Tabela 13.7. Resultado da análise de variância da variável agronômica simulada, 
considerando delineamento em blocos casualizados.
FV GL SQ QM F
Blocos 1 332.5 332.48 1.175ns
Tratamento 8 1614.1 201.77 0.713ns
Resíduo 8 2263.1 282.9
Total 17 4209.7
ns: Não significativo a 5% de probabilidade pelo teste F.
Para calcular a eficiência do látice usa-sea expressão:
 
DBCQMResEficiência
Variância Efetiva
=
Porém, segundo Gomes & Garcia (1991), existem três formas 
de obter a variância efetiva, permitindo portando a obtenção de três 
estimativas de eficiência. As formas de obter a variância efetiva são:
Variância efetiva para os primeiros associados:
326
estatística experimental no rbio
( ) 1 1 1 1 48.81 1 65.09
3Látice
Variância Efetiva QMRes
k
   = + = + =   
   
Variância efetiva para os segundos associados
( ) ( )
( )
 2 1
1
248.81 1 81.36
2 1 3
Látice
rVariância Efetiva QMRes
r k
 
= +  − 
 
= + =  − 
Variância efetiva média
( ) ( )( )
( )( )
 1
1 1
248.81 1 73.215
2 1 3 1
Látice
rVariância Efetiva média QMRes
r k
 
= +  − + 
 
= + =  − + 
Dessa forma tem-se três estimativas, calculadas a seguir:
( ) ( )
282.9 1 4.34 434%
 1 65.08
DBCQMResEficiência
Variância Efetiva
= = = =
( ) ( )
282.9 2 3.47 347%
 2 81.35
DBCQMResEficiência
Variância Efetiva
= = = =
( ) ( )
282.9 3.86 386%
 73.215
DBCQMResEficiência média
Variância Efetiva média
= = = =
327
estatística experimental no rbio
Para que o látice tenha eficiência é necessário que o efeito dos 
seus blocos seja grande. No caso de áreas uniformes ou de blocos mal 
localizados, o látice pode não ser eficiente, equivalendo a montagem 
em DBC, nesse caso sua eficiência seria próxima a 100%.
Análise com Recuperação da Informação Interbloco
Para o cálculo da análise no delineamento em látice com a recu-
peração interblocos, deve-se inicialmente obter a soma de quadrados 
dos tratamentos (não ajustados), que é dada por:
( )
2
.. 
1
1 t
iTrat não ajustado
i
SQ Y C
r =
= −∑
A partir daí obtém a soma de quadrados de blocos ajustados, sendo:
( ) ( ) ( ) ( ) Blocos ajustado Blocos não ajustado Trat ajustado Trat não ajustadoSQ SQ SQ SQ= + −
Para os dados do exemplo anterior tem-se:
( )
2 2 2
2
.. 
1
1 165.42 199.48 193.26
2
340402.06 168586.9 1614.14
2
t
iTrat não ajustado
i
SQ Y C C
r =
+ +…+
= − = −
= − =
∑
( ) ( ) ( ) ( ) 
446.2046 3235.76 1614.14 2067.83
Blocos ajustado Blocos não ajustado Trat ajustado Trat não ajustadoSQ SQ SQ SQ= + −
= + − =
Dessa forma, pode-se representar o quadro da ANOVA (Tabela 
13.8), sendo esta análise intrabloco, porém com blocos ajustados.
328
estatística experimental no rbio
Tabela 13.8. Resultado da análise de variância da variável agronômica simulada, 
considerando em delineamento látice quadrado 3x3, com efeito de blocos ajustados.
FV GL SQ QM
Repetições 1 332.4761 332.4761
Bloco/Rep (Ajustado) 4 2067.82 516.95
Tratamento (Não ajustado) 8 1614.13 201.76
Resíduo (Erro intrabloco) 4 195.2782 48.81
Total 17 4209.7191
Vale ressaltar que não há teste exato para este tipo de análise, 
por isso não foi realizado o teste F.
Para obter a análise interbloco deve-se estimar:
( ) ( ) 5ˆ 1 2 1 48.81 0.049
 2 516.95 48.81
intra
aj intra
r xQMR x
a
r xQMB QMR x
− −
= = =
− −
O próximo passo é estimar para cada tratamento os efeitos Mi:
 ˆ ˆi i i
GM Q a A a
k
= + −
( )1 1 1 66.04 0.0495 562.3
1742 0.0495 66.95
ˆ
3
ˆ GM Q a A a x
k
x
= + − = − +
− = −
( )2 2 2 59.08 0.0495 539.36
1742 0.0495 57.03
ˆ
3
ˆ GM Q a A a x
k
x
= + − = +
− =
329
estatística experimental no rbio
( )3 3 3 58.43 0.0495 565.88
1742 0.0495 59.16
ˆ
3
ˆ GM Q a A a x
k
x
= + − = − +
− = −
( )4 4 4 41.36 0.0495 599.06
1742 0.0495 40.45
ˆ
3
ˆ GM Q a A a x
k
x
= + − = − +
− = −
( )5 5 5 125.79 0.0495 576.12
1742 0.0495 125.56
ˆ
3
ˆ GM Q a A a x
k
x
= + − = +
− =
( )6 6 6 11.76 0.0495 602.64
1742 0.0495 10.67
ˆ
3
ˆ GM Q a A a x
k
x
= + − = − +
− = −
( )7 7 7 17.37 0.0495 600
1742 0.0495 16.41
ˆ
3
ˆ GM Q a A a x
k
x
= + − = − +
− = −
( )8 8 8 33.89 0.0495 577.06
1742 0.0495 33.71
ˆ
3
ˆ GM Q a A a x
k
x
= + − = +
− =
( )9 9 9 23.8 0.0495 603.58
1742 0.0495 22.66
ˆ
3
ˆ GM Q a A a x
k
x
= + − = − +
− = −
330
estatística experimental no rbio
Verifica-se que a soma dos valores de Mi são zero, salvo erros 
de aproximação da última decimal.
Os efeitos estimados para os tratamentos ajustados são dados por:
( ) ( )' 1
ˆˆ 1 1 1 
1 ˆi i i r i
at M S M S M
rk rt r a
−
 = + +…+ − +
Em que S1(Mi) refere-se a soma dos valores de Mi referentes 
a todos os tratamentos que aparecem com o tratamento i no mesmo 
bloco da primeira repetição, fazendo para as outras repetições até a 
última repetição r.
Os valores Sr(Mi), são dados a seguir:
S11= – 66.95 + 57.03 – 59.16 = – 69.08 = S1(M1) = S1(M2) = S1(M3)
S12= – 40.45 + 125.56 – 10.67= 74.44 = S1(M4) = S1(M5) = S1(M6)
S13= – 16.41 + 33.71 – 22.66 = – 5.37 = S1(M7) = S1(M8) = S1(M9)
S24= – 66.95 – 40.45 –16.41 = – 123.81 = S2(M1) = S2(M4) = S2(M7)
S25= 57.03 + 125.56 + 33.71 = 216.31 = S2(M2) = S2(M5) = S2(M8)
S26= – 59.16 – 10.67– 22.66 = – 92.50 = S2(M3) = S2(M6) = S2(M9)
Novamente pode-se verificar que a soma de todos os valores 
de S calculados anteriormente é igual a zero.
Os efeitos dos tratamentos ajustados são:
331
estatística experimental no rbio
( ) ( )'2 1ˆ
57.03
0.05031 69.08 216.31 16.9
6
t x= + − + =
( ) ( )'3 9ˆ
59.16
0.05031 69.08 – 92.50 17.9
6
t x
−
= + − = −
( ) ( )'4 3ˆ
40.45
0.05031 74.44 123.81 9.2
6
t x
−
= + − = −
( ) ( )'5 6ˆ
125.56
0.05031 74.44 216.31 35.5
6
t x= + + =
( ) ( )'6
10.67
0.05031 74.44 – 92.50 2.69ˆ
6
t x
−
= + = −
( ) ( )'7
16.41
0.05031 – 5.37 – 1 23.81 9.23ˆ
6
t x
−
= + = −
( ) ( )'8
33.71
0.05031 – 5.37 216.31 16.23ˆ
6
t x= + + =
( ) ( )'9
22.66
0.05031 – 5.37 – 92.50 8.70ˆ
6
t x
−
= + = −
Novamente pode-se verificar que a soma de todos os valores 
de t’i calculados anteriormente são iguais a zero.
Portanto agora pode-se obter a soma de quadrados de trata-
mentos ajustados dada por:
332
estatística experimental no rbio
O quadrado médio de tratamento ajustado é dado pela expressão:
*
 .*
 .
3062.62 382.82
1 8
Trat aj
Trat aj
SQ
QM
t
= = =
−
O Teste F aproximado é dado por:
*
 .Trat ajQMF
QMR
= , associado a (t-1) e (k-1) (rk-k-1) graus de liber-
dade, nesse caso.
383.795 7.86
48.81
F = = 7.84 , associado a 8 e 4 graus de liberdade, para 
numerador e denominador respectivamente. F (5%,8,4) =6.04. Como F 
calculado é maior que F tabelado, rejeita-se H0 de igualdade entre as 
médias. O quadro da ANOVA é apresentado na Tabela 13.9.
Tabela 13.9. Resultado da análise de variância da variável agronômica simulada, 
considerando em delineamento látice quadrado 3x3 com recuperação da 
informação interblocos.
FV GL SQ QM F
Tratamento (Ajustado) 8 3062.62 382.82 7.84*
Resíduo (Erro intrabloco) 4 195.2782 48.81
Total 17 4209.7191
*: significativo a 5% de probabilidade pelo teste F.
333
estatística experimental no rbio
Vale salientar que o resultado da anova apresentado acima, é 
ligeiramente diferente ao apresentado pelo software Rbio, pois neste 
software a obtenção da anova com recuperação da informação inter-
bloco é realizada através do método REML.
As novas médias ajustadas de tratamentos são dadas por:
' ' 'ˆ ˆˆ ˆ i i i
Gm m t t
tr
= + = + em que G é o total de geral das parcelas, 
portanto para o referido exemplo
' '
1 1
1742 1742 20.86 75.92ˆ
9 2 18
ˆm t
x
= + = − =
' '
2 2
1742 1742 16.91 113.69ˆ
9 2 18
ˆm t
x
= + = + =
' '
3 3
1742 1742 17.99 78.79ˆ
9 2 18
ˆm t
x
= + = − =
' '
4 4 5ˆˆ
1742 1742 9.23 87.5
9 2 18
m t
x
= + = − =
' '
5 5
1742 1742 35.56 132.33ˆ
9 2 18
ˆm t
x
= + = + =
' '
6 6 9ˆˆ
1742 1742 2.69 94.0
9 2 18
m t
x
= + = − =
' '
7 7 4ˆˆ
1742 1742 9.23 87.5
9 2 18
m t
x
= + = − =
334
estatística experimental no rbio
' '
8 8
1742 1742 16.23 113.01ˆ
9 2 18
ˆm t
x
= + = + =
' '
9 9 8ˆˆ
1742 1742 8.70 88.0
9 2 18
m t
x
= + = − =
Quadro auxiliar:
Trat Ti Ai Qi aAi Mi S1(Qi) S2(Qi) S(Qi) ti mi tiMi
1 165.42 562.30 -66.04 27.86 -66.95 -69.08 -123.81 -192.89 -20.86 75.92 1396.76
2 199.48 539.36 59.08 26.72 57.03 -69.08 216.31 147.23 16.91 113.69 964.59
3 169.15 565.88-58.43 28.04 -59.16 -69.08 -92.50 -161.58 -17.99 78.79 1064.30
4 185.9 599.06 -41.36 29.68 -40.45 74.44 -123.81 -49.37 -9.23 87.55 373.14
5 233.97 576.12 125.79 28.55 125.56 74.44 216.31 290.75 35.56 132.33 4464.49
6 196.96 602.64 -11.76 29.86 -10.67 74.44 -92.50 -18.05 -2.69 94.09 28.67
7 194 600.00 -17.37 29.73 -16.41 -5.37 -123.81 -129.18 -9.23 87.54 151.55
8 203.65 577.06 33.89 28.59 33.71 -5.37 216.31 210.94 16.23 113.01 547.17
9 193.26 603.58 -23.8 29.91 -22.66 -5.37 -92.50 -97.86 -8.70 88.08 197.21
Total 1742 5226 0 0 0 0 0 0 871 9187.88
Eficiência do látice na análise com recuperação da 
informação interblocos
Para calcular a eficiência do látice usa-se a expressão:
 
DBCQMResEficiência
Variância Efetiva
=
Do mesmo modo da análise intrabloco, pode-se obter três 
valores para variâncias efetivas, portanto, serão obtidas também três 
estimativas de eficiência.
335
estatística experimental no rbio
Variância efetiva para os primeiros associados
( ) 1 1 1 
1 516.95 48.8148.81 1 63.54
3 516.95
ajustados Látice
Látice
ajustados
QMBlocos QMRes
Variância Efetiva QMRes
k QMBlocos
 −
= +  
 
− = + = 
 
Variância efetiva para os segundos associados
( ) ( )
( )
 2 1 
1
2 516.95 48.8148.81 1 78.27
2 1 3 516.95
ajustados Látice
Látice
ajustados
QMBlocos QMResrVariância Efetiva QMRes
r k QMBlocos
 −
= +  − 
 −
= + =  − 
Variância efetiva média
( ) ( )( )
( )( )
 1 
1 1
2 516.95 48.8148.81 1 70.91
2 1 3 1 516.95
ajustados Látice
Látice
ajustados
QMBlocos QMResrVariância Efetiva média QMRes
r k QMBlocos
 −
= +  − + 
 −
= + =  − + 
Dessa forma tem-se três estimativas, calculadas a seguir:
( ) ( )
282.9 1 4.45 445%
 1 63.54
DBCQMResEficiência
Variância Efetiva
= = = =
( ) ( )
282.9 2 3.61 361%
 2 78.27
DBCQMResEficiência
Variância Efetiva
= = = =
( ) ( )
282.9 3.989 398.9%
 70.91
DBCQMResEficiência média
Variância Efetiva média
= = = =
336
estatística experimental no rbio
É importante salientar que alguns softwares estatísticos calcu-
lam os valores da eficiência do látice. Por exemplo, o software Rbio cal-
cula o valor de eficiência, sendo a estimativa liberada correspondente 
à eficiência (média) usando a análise com recuperação da informação 
interblocos. Por outro lado, o software R, usando o pacote agricolae, 
libera um valor de eficiência que é diferente, não sendo uma eficiência 
do delineamento em Látice em relação ao delineamento em blocos ao 
acaso. Neste caso, a eficiência é obtida através da expressão:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
1 1 1
t x r
Eficiência
t x r r k
− −
=
− − + −
 Considerando os dados apresentados na Tabela 35, em que se 
tem 9 tratamentos (t=9), duas repetições (r=2) e k=3, a eficiência é:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
9 1 2 1
0.6667
9 1 2 1 2 2 1
x
Eficiência
x
− −
= =
− − + −
Resultado das análises
Considerando o conjunto de dados apresentados anteriormen-
te, as saídas fornecidas pelo Rbio são apresentadas a seguir.
Para a realização desse procedimento o caminho é: ANOVA > 
Látice, conforme a Figura 13.2. 
337
estatística experimental no rbio
Figura 13.2. Software Rbio, e rotina de procedimentos para realizar análise de 
variância Látice quadrado.
338
estatística experimental no rbio
Os scripts com a saída da análise são apresentados a seguir: 
# -----------------------------------
# Script 13: Látice
# -----------------------------------
# ----------------------
# 13.1- Leitura dos dados
# ----------------------
X<-read.table(“c:/_Rbio/ebook/exemplo5.txt”, h=T) # Leitura dos dados
X
 Rep Bloco Trat Variavel
1 1 1 1 66.98
2 1 1 2 113.77
3 1 1 3 71.87
4 1 2 4 75.61
5 1 2 5 126.24
6 1 2 6 87.53
7 1 3 7 93.26
8 1 3 8 110.35
9 1 3 9 86.71
10 2 4 1 98.44
11 2 4 4 110.29
12 2 4 7 100.95
13 2 5 2 85.71
14 2 5 5 107.73
15 2 5 8 93.30
16 2 6 3 97.28
17 2 6 6 109.43
18 2 6 9 106.55
# ----------------------
# 13.2- ANOVA em Látice
# ----------------------
#install.packages(“agricolae”)
#install.packages(“MASS”)
#install.packages(“nlme”)
library(agricolae)
library(MASS)
library(nlme)
 
rep<-as.factor(X[,1])
bloco<-as.factor(X[,2])
trat<-as.factor(X[,3])
r<-length(unique(rep))
b<-length(unique(bloco))
kk <- b/r
 
# ----------------------
# 13.2.1- Analise intrabloco com tratamento ajustado
# ----------------------
m0 <- lm(terms(X[,4]~rep/bloco+trat, keep.order=TRUE), data=X)
saida0 <- anova(m0)
print(saida0)
Analysis of Variance Table
Response: X[, 4]
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
rep 1 332.5 332.48 6.8103 0.05944 .
rep:bloco 4 446.2 111.55 2.2850 0.22159 
trat 8 3235.8 404.47 8.2850 0.02886 *
Residuals 4 195.3 48.82 
339
estatística experimental no rbio
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
# ----------------------
# 13.2.2- Análise com tratamento ajustado com recuperação da informação interbloco
# ----------------------
saida<- PBIB.test(bloco,trat,rep,X[,4],k=kk) 
<<< to see the objects: means, comparison and groups. >>>
print(saida$ANOVA)
Analysis of Variance Table
Response: X[, 4]
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
trat 8 3033.29 379.16 7.6979 0.03287 *
Residuals 4 197.02 49.26 
---
Signif. codes: 
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
print(saida$groups)
 X[, 4].adj groups
5 132.05992 a
2 113.44218 ab
8 112.80987 ab
6 94.16907 bc
9 88.22902 c
7 87.71375 c
4 87.64880 c
3 78.89133 c
1 76.03606 c
340
estatística experimental no rbio
ANEXO 13.1. Tabela da Distribuição F ao nível de 5% de probabilidade com v1 graus 
de liberdade do numerador e v2 graus de liberdade do denominador.
v2 \ v1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 161.45 199.5 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.88
2 18.51 19 19.16 19.25 19.3 19.33 19.35 19.37 19.38 19.4
3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79
4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6 5.96
5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74
6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.1 4.06
7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64
8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.5 3.44 3.39 3.35
9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14
10 4.96 4.1 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98
11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.2 3.09 3.01 2.95 2.9 2.85
12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3 2.91 2.85 2.8 2.75
13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67
14 4.6 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.7 2.65 2.6
15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.9 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54
16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49
17 4.45 3.59 3.2 2.96 2.81 2.7 2.61 2.55 2.49 2.45
18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41
19 4.38 3.52 3.13 2.9 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38
20 4.35 3.49 3.1 2.87 2.71 2.6 2.51 2.45 2.39 2.35
21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32
22 4.3 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.4 2.34 2.3
23 4.28 3.42 3.03 2.8 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27
24 4.26 3.4 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.3 2.25
25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.6 2.49 2.4 2.34 2.28 2.24
26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22
27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.2
28 4.2 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19
29 4.18 3.33 2.93 2.7 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18
30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16
35 4.12 3.27 2.87 2.64 2.49 2.37 2.29 2.22 2.16 2.11
40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08
341
14
REGRESSÃO
As análises de regressão permitem avaliar a relações entre 
uma variável principal, ou dependente (Y) e outra (ou outras) variáveis 
explicativas ou independentes (X). Pelas análises de regressão, pode-
-se estabelecer uma relação funcional entre a variável dependente e 
outras independentes. 
As análises de regressão têmos seguintes objetivos:
i) Predição – Utiliza-se do modelo para obter valores de Y cor-
respondentes a valores de X que não estavam entre os dados. Geral-
mente usa-se os valores de X que estão dentro do intervalo de variação 
estudado. A utilização de valores fora desse intervalo recebe o nome 
de extrapolação e deve ser usada com muito cuidado, pois, o modelo 
adotado pode não ser correto fora do intervalo estudado. Acredita-se 
que a predição seja a aplicação comum dos modelos de regressão; 
ii) Seleção de variáveis - Frequentemente, não se tem idéia de 
quais são as variáveis que afetam significativamente a variação de Y. 
Para responder a esse tipo de questão, estudos são realizados com um 
grande número de variáveis. A análise de regressão pode auxiliar no 
processo de seleção de variáveis eliminando aquelas cuja contribuição 
não seja importante; 
342
estatística experimental no rbio
iii) Estimação de parâmetros - Dado um modelo e um con-
junto de dados referente às variáveis resposta e preditoras, estimar 
parâmetros ou ajustar um modelo aos dados significa obter valores ou 
estimativas para os parâmetros, por algum processo, tendo por base o 
modelo e os dados observados;
iv) Inferência - O ajuste de um modelo de regressão em geral tem 
por objetivos básicos, além de estimar os parâmetros, realizar inferên-
cias sobre eles, tais como, testes de hipóteses e intervalos de confiança.
Admitindo que exista uma variável principal Y que sofra a in-
fluência de p+k variáveis independentes, o modelo de determinação 
completa seria aquele dado pela função:
Y = f (X1, X2, ..., Xp, Xp+1, ... Xp+k)
Na prática não se conhecem todas as variáveis que influenciam 
Y. Assim, por diversas razões, tais como a indisponibilidade de dados, 
impossibilidade de mensuração, simplificação da análise, dentre ou-
tras, não se quantifica a influência das k variáveis, de forma que se 
considera no modelo apenas as informações das p variáveis. Assim, 
para o modelo linear é pressuposto que a influência das p variáveis so-
bre a variável dependente Y possa ser explicado por meio da equação:
1 1 2 2 ...i o i i p pi iY X X X eβ β β β= + + + + +
Neste modelo ei representa o conjunto de todas as variáveis, que 
atuam de forma aleatória, cujas informações são desconhecidas, mas 
que exercem influência sobre a variável principal Y. Algumas pressuposi-
ções são adotadas em relação a este termo aleatório, quais sejam:
( ) 0iE e =
343
estatística experimental no rbio
( ) ( )2 2i iE e V e σ= =
( )' 0i iE e e =
Dada a equação, o problema básico na análise de regressão é 
estimar os parâmetros do modelo estatístico admitido, deduzir testes 
de significância para estes parâmetros e calcular seus intervalos de 
significância com base na equação de regressão. 
14.1. Regressão Linear Simples
No caso da análise de regressão linear, considera-se apenas 
uma variável independente ou explicativa (X), ajustando uma equação 
representativa de uma reta.
Considerando n observações para a variável dependente (Y) 
e apenas uma variável independente (Xi), podendo-se estabelecer as 
seguintes equações:
1 1 1 1oY Xβ β ε= + +
2 1 2 2oY Xβ β ε= + +
... .... ....
1n o n nY Xβ β ε= + +
Assim, há disponibilidade de n equações e dois parâmetros a 
serem estimados ( 0β e 1β ), por meio da equação:
0 1i i iY Xβ β ε= + +
344
estatística experimental no rbio
um modelo alternativo pode ser considerado:
0 1i i iy b b x e= + +
sendo
a consequência deste modelo é:
1
0n ii x= =∑
1
0n ii y= =∑
e
1 1
ˆ ˆb β=
Assim, o problema consiste em obter o valor de b1 de melhor 
ajuste para a equação. Adota-se o critério de obter a solução que mini-
miza a soma dos quadrados dos erros, ou seja:
345
estatística experimental no rbio
2 2
11 1
( )n ni i ii ie y b xω = == = −∑ ∑
( )2 2 21 11 2
n
i i i ii
y b x y b x
=
= − +∑
2 2 2
1 11 1 1
2n n ni i i ii i iy b x y b x= = == − +∑ ∑ ∑
procura-se obter b1 de forma a minimizar o valor de ω . Isto é 
obtido por meio da derivada:
2
11 1
1
0 2 2n ni i ii ix y b xb
ω
= =
∂
= − +
∂ ∑ ∑
fazendo
1
0
b
ω∂
=
∂
tem-se:
( )
( )
1
1 2
1
ˆ ,
n
i ii
n
ii
x y Cov x y
b
V xx
=
=
= =∑
∑
De posse deste valor pode ser obtidas as somas de quadrados. 
Verifica-se que:
2 2
11 1 1
ˆn n n
i i i ii i i
e y b x y
= = =
= −∑ ∑ ∑
como se pode demonstrar: 
346
estatística experimental no rbio
Assim, a análise de regressão permite a partição da variação 
total em soma de quadrado atribuído à regressão e ao desvio (ou erro 
aleatório). Ou seja:
SQtotal = 
2
1
n
ii
y
=∑
SQDesvio = 21
n
ii
e
=∑
e
SQRegressão = 1 1
ˆ n
i ii
b x y
=∑
Para o processamento de dados, considera-se a seguinte equa-
ção de regressão:
1i o iY Xβ β ε= + +
347
estatística experimental no rbio
A partir desta equação, obtêm-se
• O intercepto
e
sendo σ2 = QMD
• O coeficiente angular
( )
1 1 1
1 22 2
1 1
ˆ
n n n
i i i ii i i
n
i ii i
n X Y X Y
n X X
β = = =
= =
−
=
−
∑ ∑ ∑
∑ ∑
e
• A covariância entre os coeficientes 
ˆ
oβ e 1̂β
Pode-se ainda obter a análise da variância da regressão, cujo 
esquema é apresentado a seguir na Tabela 14.1.
348
estatística experimental no rbio
Tabela 14.1: Esquema da Análise de Variância da Regressão Linear Simples.
FV GL SQ QM F
Regressão 1 SQReg QMR QMR/QMD
Desvio n-2 SQDes QMD
Total n -1 SQTo
Verifica-se na regressão, uma vez que é testada com 1 GL, que 
o valor de F calculado é igual ao valor da estatística t ao quadrado, ou 
seja, F = t2
SQTo = ( )12
1
n
in i
ii
Y
Y
n
=
=
−
∑
∑
SQDes = SQTo - SQReg 
O grau de ajuste do modelo pode ser avaliado por meio do 
coeficiente de determinação, que expressa o quanto da variação na 
variável principal (Y) pode ser explicado pelas variações nas variáveis 
do modelo de regressão (Xi). Este coeficiente, denotado R
2, é dado por:
2 100 RexSQ gR
SQTo
=
Pode-se ainda obter o R2 ajustado:
( )( )22 1 11ajustado
n R
R
n p
− −
= −
−
sendo que para a regressão linear simples estima-se 2 parâme-
tros p (b0 e b1).
349
estatística experimental no rbio
Considere um experimento simulado com 4 valores diferentes 
de umidade relativa do ar de secagem de sementes (UR), e a germina-
ção de sementes. Os dados são apresentados na Tabela 14.2.
Tabela 14.2. Dados envolvendo % de germinação de sementes com diferentes 
umidades relativa do ar de secagem.
% U.R. 20 30 40 50
% germinação 92 94 93 96
Com base nos dados da Tabela 14.2, obtêm-se a tabela auxiliar 
(Tabela 14.3) de forma a facilitar os cálculos para a análise de regressão.
Tabela 14.3. Tabela auxiliar, para proceder a análise de regressão considerando os 
dados da Tabela 14.2.
Y X y = Y-Y x = X- X y2 x2 xy 9ˆ 89. 0.11= +Y X e = Y-Ŷ
92 20 -1.75 -15 3.0625 225 26.25 92.1 -0.1
94 30 0.25 -5 0.0625 25 -1.25 93.2 0.8
93 40 -0.75 5 0.5625 25 -3.75 94.3 -1.3
96 50 2.25 15 5.0625 225 33.75 95.4 0.6
Y = 93.75 X = 35 ∑y2i = 8.75 ∑x
2
i = 500 ∑xiyi =55
Dessa forma pode-se obter os valores de B0 e B1, que são dados por:
( )
( )1 2
1ˆ
, 55 0.1
500
i i
i
cov x y x yB
v x x
∑
= = = =
∑
( )0 1 93.75 0.11 35 89.9ˆ ˆB Y B X x= − = − =
Sendo assim a equação de regressão estimada é dada por: Ŷ
=89.9 +0.11X.
350
estatística experimental no rbio
A partir dos dados das Tabelas 14.2 e 14.3, e considerando 
os valores codificados para x e y, procede-se, portanto, a análise de 
variância de tal forma que:
1 1
0ˆ .11 55 6.05n i iiSQReg x y xβ == = =∑
2
1
 8.75n iiSQTo y== =∑
SQDes = SQTo - SQReg= 8.75 - 6.05 =2.7 
A análise de variância para o referido exemplo é apresentada 
na Tabela 14.4.
Tabela 14.4: Esquema da Análise de Variância da Regressão Linear Simples 
considerando o exemplo hipotético da Tabela 14.2.
FV GL SQ QM F
Regressão 1 6.05 6.05 4.48ns
Desvio 2 2.7 1.35
Total 3 8.75
O valor do teste F calculado é testado com o valor tabelado 
(ANEXO 14.1), sendo que F(5%,1,2) = 18.51, como o valor calculado é 
menor que o valor tabelado, portando não rejeita a hipótese de B1 = 0, 
ou seja, conclui-se que a regressão