Tema 1

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MÓDULO 1 
 Descrever conceitos gerais de desenho técnico 
 
INTRODUÇÃO 
Já na Pré-História, o desenho fazia parte da vida do homem das cavernas, que utilizava figuras 
como linguagem expressiva. As representações artísticas pré-históricas eram realizadas em 
paredes, tetos e outras superfícies rochosas (arte rupestre). Já os egípcios, ornamentavam os 
túmulos dos grandes faraós com desenhos e pinturas. 
Desenhos artísticos continuam a ser elaborados até hoje, expressando a subjetividade e a 
sensibilidade do artista, sem o compromisso de representar fielmente a forma e as dimensões 
do que está sendo desenhado. Muitas vezes, o desenho artístico é completamente diferente da 
realidade, podendo apresentar, inclusive, diferentes interpretações e significados. 
O desenho artístico, portanto, não tem como finalidade projetar ou construir algo, e sim ser 
uma ferramenta de linguagem visual que apresente as características de um objeto da forma 
que o artista deseja. Cada observador pode tirar suas conclusões a respeito dos detalhes não 
informados. É isso que torna o desenho artístico inviável de ser utilizado para projetar e 
construir. 
Devemos lembrar que a engenharia exige exatidão de dados, de modo que não basta ilustrar: 
é preciso representar o que se pretende, de forma precisa, sem a possibilidade de 
interpretação distinta de pessoa para pessoa. Deve-se usar uma linguagem que represente, de 
forma rigorosa, a forma e as dimensões do objeto representado. 
A expressão gráfica é uma linguagem utilizada em vários campos da engenharia para 
descrever a posição, a forma e as dimensões de um objeto em processo de criação e 
construção. 
O desenho técnico é uma ferramenta de expressão gráfica. É tão importante quanto a escrita 
como meio de comunicação, e é uma ferramenta essencial para todas as pessoas, 
especialmente as responsáveis por projetar e construir, como engenheiros e arquitetos. 
É utilizado para facilitar a descrição e a representação de um objeto com todas as suas 
características geométricas e dimensionais, por meio de uma linguagem visual que transmite, 
com exatidão, as características do que pretende representar, sem causar dúvidas a quem o 
vê. 
 
 
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Atenção 
Como todo processo padronizado, o desenho técnico tem normas técnicas que indicam a 
forma correta de representar graficamente textos e linhas, bem como de indicar as dimensões 
do objeto. 
Portanto, o desenho técnico será uma ferramenta de linguagem para diversas profissões: 
engenheiros, arquitetos, designers. É essencial que esses profissionais compreendam as 
informações contidas nesse tipo de desenho, visto que a representação gráfica técnica é 
elaborada seguindo normas e padrões pré-estabelecidos. 
Nas Engenharias, por exemplo, o desenho técnico tem importância inquestionável: 
 
 MÉTODOS PARA ELABORAÇÃO DE DESENHO TÉCNICO 
Observe, na Figura 3 a seguir, que as linhas contínuas representam as arestas visíveis do 
objeto, os detalhes e as reentrâncias. As cotas (medidas) permitem conhecer suas dimensões. 
Com a prática e o desenvolvimento de raciocínio espacial, as vistas são suficientes para a 
compreensão da volumetria do objeto. 
 
 
 
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Existem três métodos para elaboração de um desenho técnico: 
O DESENHO À MÃO LIVRE (TAMBÉM CHAMADO DE ESBOÇO) 
 
O esboço, à mão livre, é feito sem a utilização de instrumentos, utilizando, em geral, lápis ou lapiseira e papel. Segundo French e Vierck (2006), em sua 
publicação Desenho técnico e tecnologia gráfica, o esboço “é um excelente método durante o processo de aprendizagem devido à sua rapidez porque, neste estágio, o 
estudo [...] é mais importante do que a exatidão do traçado”. Nos dias de hoje, é possível elaborar esboços em dispositivos móveis, como celulares 
e tablets, utilizando aplicativos para elaboração de desenhos à mão livre. A tecnologia não deve ser uma desculpa para negligenciar esse conhecimento, já que não precisamos de papel e lápis para fazer um esboço. 
O DESENHO QUE UTILIZA INSTRUMENTOS 
 
O desenho com instrumentos é um método padronizado, e os instrumentos conferem 
precisão e padronização às linhas e curvas. Uma pessoa sem habilidade de fazer um desenho artístico à mão livre pode elaborar um desenho técnico de qualidade, por meio da 
prática na utilização dos instrumentos de desenho. 
Até meados dos anos 1980, a realidade do desenho técnico no Brasil era a do desenho feito à mão, utilizando instrumentos de desenho, em prancheta. Os desenhos eram 
elaborados por desenhistas, em papel vegetal ou papel manteiga, usando tinta nanquim ou grafite, utilizando instrumentos de desenho, como lápis, lapiseiras, canetas, réguas, 
esquadros e compassos. 
 
O DESENHO QUE UTILIZA O COMPUTADOR 
 
O computador como instrumento, inserido pela evolução da informática, permitiu o 
aprimoramento da representação gráfica, na elaboração de desenhos técnicos. Foi nesse 
momento que as pranchetas foram substituídas pelos sistemas CAD (Computer Aided Design, que significa Desenho Assistido por Computador). Surge, nesse momento, a 
computação gráfica. Em um primeiro momento, a computação gráfica permitiu que a representação 
bidimensional (2D) dos objetos fosse feita substituindo somente o desenho em papel pelo 
desenho feito no sistema CAD, usando o computador. A etapa seguinte foi a evolução dos sistemas, permitindo a modelagem tridimensional (3D). A partir do modelo 3D, as 
representações bidimensionais são automaticamente obtidas, representando economia de 
horas de trabalho. Apesar da evolução dos computadores e dos sistemas de computação gráfica, a operação 
dos sistemas e a entrada de dados necessários para representar graficamente um objeto é de um profissional responsável por esse trabalho. Esse profissional não utiliza esquadros e 
lapiseiras, mas precisa compreender de que maneira um objeto deve ser representado 
para que suas características dimensionais e sua volumetria sejam adequadamente compreendidas para sua fabricação ou construção. Portanto, ele deve ter suas habilidades 
de raciocínio espacial desenvolvidas, ou seja, deve ser capaz de pensar e raciocinar com a forma de um objeto e sua disposição no espaço. 
 
Aplicação do desenho técnico em nosso cotidiano 
Se você comprar uma estante de madeira para sua casa, receberá com as peças e os 
componentes de sua estante, um manual de instruções para montagem do móvel. Esse manual, quase sempre, apresenta esquemas que ilustram como fazer a montagem do 
móvel. 
 
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No esquema da Figura 4, as peças que compõem o móvel são representadas 
graficamente (desenho técnico), indicando como fazer a ligação adequada entre elas. Se 
as instruções fossem dadas em forma de um texto, mesmo que bem escrito, muito provavelmente você sentiria dificuldade para compreender como montar a estante. 
Figura 4 – Esquema de montagem de um móvel. 
 Mão na Massa 
 
1. Sobre o desenho técnico, são verdadeiras as sentenças a seguir, com exceção de: 
A) É uma ferramenta de expressão gráfica tão importante quanto a escrita como meio de 
comunicação. 
B) Possui normas técnicas que indicam a forma correta de representar graficamente textos e 
linhas, bem como de indicar as dimensões do objeto. 
C) É uma ferramenta dispensável para os responsáveis por projetar e construir, como 
engenheiros e arquitetos. 
D) É utilizado para facilitar a descrição e a representação de um objeto por meio de uma 
linguagem visual, que transmite, com exatidão, as características do que pretende 
representar. 
 
2. A evolução da informática permitiu o aprimoramento da representação gráfica, utilizando o 
computador como instrumento na elaboração de desenhos técnicos. Nesse momento, as 
pranchetas foram substituídas por: 
A) Instrumentos de desenho à mão livre. B) Sistemas CAD (Computer Aided Design). C) Desenho técnico instrumental. D) Sistemas SAD (Sistemas de Apoio à Decisão). 
 
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3. Existem três métodos para elaboração de um desenho técnico: 
 
A) O desenho à mão livre (esboço), o desenho instrumental e o desenhoutilizando o 
computador. B) O desenho artístico, o desenho instrumental e o esboço. C) O desenho à mão livre (esboço), o desenho artístico e o desenho utilizando o 
computador. D) O desenho instrumental, a computação gráfica e o desenho utilizando o computador. 
 
Verificando o Aprendizado 
 
1. Analise as sentenças, a seguir, referentes à utilização do computador como 
instrumento na elaboração de desenhos técnicos: 
I. As pranchetas foram substituídas pelos sistemas CAD (Computer Aided Design, que 
significa Desenho Assistido por Computador), fazendo surgir a chamada computação 
gráfica; 
II. Em um primeiro momento, a computação gráfica permitiu que a representação 
bidimensional (2D) dos objetos fosse feita substituindo somente o desenho em papel pelo 
desenho feito no sistema CAD, usando o computador; 
III. O profissional que opera os sistemas de computação gráfica não necessita de 
habilidades de raciocínio espacial desenvolvidas, ou seja, não deve ser capaz de pensar e 
raciocinar com forma de um objeto e sua disposição no espaço; 
IV. Na segunda etapa da computação gráfica, houve a evolução dos sistemas, permitindo a 
modelagem tridimensional (3D). A partir do modelo 3D, as representações bidimensionais 
são automaticamente obtidas, representando economia de horas de trabalho. 
 
A alternativa que apresenta a(s) sentença(s) correta(s) é: 
A) I, II e IV B) II e III C) III D) II, III e IV 2. Analise as sentenças, a seguir, referentes aos conceitos do desenho com instrumentos: 
 
I. É um método sem padronização, muito embora dos instrumentos não confiram precisão ao 
desenho; 
II. Uma pessoa sem habilidade de fazer um desenho artístico à mão livre não pode elaborar um 
desenho técnico de qualidade, pois não pode adquirir a prática utilizando instrumentos; 
III. Até meados dos anos 1980, os desenhos eram elaborados por desenhistas em papel vegetal 
ou papel manteiga, usando tinta nanquim ou grafite, utilizando instrumentos de desenho, 
como lápis, lapiseiras, canetas, réguas, esquadros e compassos; 
IV. Existem três métodos para elaboração de um desenho técnico, sendo o desenho 
instrumental um deles: esboço, desenho instrumental e desenho utilizando o computador. 
 
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A alternativa que apresenta a(s) sentença(s) correta(s) é: 
 A) I, II e IV B) II e III C) II, III e IV D) III e IV 
MÓDULO 2 
 
Classificar retas e ângulos 
 
PONTO, LINHA E PLANO 
Antes de começarmos a definir retas e ângulos, suas características e propriedades, faz-
se necessário apresentar os elementos fundamentais da geometria: o ponto, a linha e o 
plano. 
 Ponto O ponto é um elemento geométrico adimensional, representado por meio da interseção entre 
duas linhas. Deve ser identificado utilizando uma letra maiúscula do nosso alfabeto. 
 Linha 
A linha é um elemento obtido por um conjunto infinito de pontos continuamente unidos. 
Deve ser identificada com uma letra minúscula do nosso alfabeto. 
 Plano 
O plano é a superfície gerada por pelo menos três pontos não colineares (ou seja, não 
alinhados). Deve ser identificado usando uma letra do nosso alfabeto grego. 
 
 
 
 
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RETA OU LINHA RETA 
Uma reta é, geometricamente, a menor distância entre dois pontos. Deve ser identificada 
com uma letra minúscula do nosso alfabeto. Quanto à direção, as retas podem ser verticais, horizontais ou inclinadas. Quanto à posição relativa, podem ser paralelas, 
perpendiculares e oblíquas. Vejamos: 
 Reta paralelas - Retas paralelas são retas coplanares (pertencem ao mesmo 
plano) que nunca se cruzam, mesmo que se prolonguem. 
 Retas concorrentes - Retas concorrentes são retas que se cruzam em algum 
ponto. 
 Retas perpendiculares - Retas perpendiculares são retas concorrentes que, ao se 
cruzarem, formam ângulo reto (90°). 
 Retas Oblíquas - Retas oblíquas são concorrentes, mas formam ângulo diferente 
de 90°. 
Vejamos, a seguir, imagens que demonstram as diferentes posições relativas entre retas: 
 
Semirreta 
A colocação de um ponto em uma reta gera duas semirretas. 
Atenção 
A semirreta é identificada pela letra minúscula que dá nome à reta original, com uma pequena seta 
orientada, apontando para o sentido infinito da reta. 
As semirretas podem ser verticais, horizontais ou inclinadas, assim como as retas que as 
originaram. 
Segmento de reta 
A colocação de dois pontos em locais distintos em uma única reta define, entre os pontos, um 
segmento de reta. O segmento é identificado pelas letras dos seus pontos extremos, utilizando um 
traço acima das letras. Os segmentos de retas podem ser verticais, horizontais ou inclinados, assim 
como as retas que as originaram. 
 
 
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Os segmentos de reta possuem, como visto na Figura 7, um ponto inicial e um ponto final, 
ou seja, seus pontos extremos. Eles podem ser classificados como: 
 
Vejamos, a seguir, dois exemplos com a análise da relação entre os segmentos de reta descritas anteriormente. 
Exemplo 1 
 
 
Analisando a figura, podemos observar que: 
 
Exemplo 2 
 
Analisando a figura, podemos observar que: 
 
 
 
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CURVA OU LINHA CURVA 
Uma linha reta é a representação geométrica da menor distância entre dois pontos. 
Se, em vez de percorrer a menor distância, outro caminho for tomado, a representação 
geométrica desse caminho é uma linha curva. 
 
LINHA POLIGONAL 
Uma linha poligonal é formada por um conjunto de segmentos de retas 
consecutivos. 
 
ÂNGULO 
Ângulo é a região delimitada por duas linhas retas que partem de um mesmo ponto 
ou por dois planos que partem de uma mesma linha reta. 
A medida do ângulo mede a inclinação entre as retas (ou entre os planos). A Figura 12, a seguir, apresenta a formação do ângulo por retas concorrentes (à esquerda) e por planos 
concorrentes (à direita). 
 
 
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Componentes de um ângulo 
Os componentes de um ângulo são a abertura, o vértice e os lados. A abertura é a medida da inclinação entre os lados do ângulo, que podem ser definidos por semirretas ou por 
segmentos de reta consecutivos, sendo o vértice o ponto comum entre eles. 
Podemos observar, nos exemplos a seguir, os componentes dos ângulos e a notação para 
representar os ângulos. 
Exemplo 3 
 
 Figura 13. 
Analisando a figura 13, podemos observar que: 
 
Exemplo 4 
 
 Figura 14. 
Analisando a figura 14, podemos observar que: 
 
 
Classificação dos ângulos quanto à sua grandeza da abertura 
O Sistema Internacional de medidas utiliza a unidade Radianos (RAD) para medir os 
ângulos. A forma comum de medir os ângulos é utilizar a unidade Grau (º). π radianos é a medida de um ângulo de 180º. Os ângulos podem ser classificados como: 
 
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Os principais tipos de ângulos estão apresentados na Figura 15, a seguir. 
 
Classificação dos ângulos quanto à soma da grandeza de suas aberturas 
 
Se a soma de dois ângulos é igual a 90º, 180º ou 360º, classificamos os ângulos como: 
 Complementares (quando a soma dos dois ângulos é igual a 90°)  Suplementares (quando a soma dos dois ângulos é igual a 180°)  Replementares (quando a soma dos dois ângulos é igual a 360°) 
Ângulos opostos pelo vértice 
São formados pelo encontro de duas retas concorrentes e são congruentes. Observando-
os dois a dois, é possível concluir que: esses ângulos estão lado a lado (adjacentes) e, portanto, são suplementares, ou se opõem um ao outro (opostos pelo vértice) e, portanto, 
são congruentes. 
Na Figura 17, os ângulos adjacentes (suplementares) são α e β, β e θ, θ e λ, α e λ; os 
ângulos opostos pelo vértice (congruentes) são: α e θ e β e λ. 
 
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Ângulos alternos internos e alternos externos 
Quando duas retas paralelas são cortadas por uma reta transversal, são formados oito ângulos que possuem propriedades e características comuns em relação às posições que 
ocupam. 
Os ângulos alternos internos possuem posições alternadas em relação à reta transversal, estandona região interna compreendida entre as retas paralelas. 
Os ângulos alternos externos, possuem posições alternadas em relação à reta 
transversal, estando na região externa às retas paralelas. 
Observe, na Figura 18, a seguir, que os ângulos α e β estão na região interna das retas r e s. Ao mesmo tempo, esses ângulos se encontram em posições alternadas: α está à direita 
e β à esquerda da reta transversal. Assim, podemos dizer que α e β são alternos internos. 
 
Na figura, a seguir, veja que os ângulos α e β estão na região externa das retas r e s, e 
esses ângulos se encontram, ao mesmo tempo, em lados opostos da reta transversal. Assim, podemos dizer que α e β são alternos externos. 
 
Atenção 
Cabe ressaltar que tanto os ângulos alternos internos como os alternos externos são congruentes. 
Além disso, se observarmos cada uma das retas paralelas r e s, separadamente, em conjunto com a reta transversal t, aplicamos as mesmas propriedades dos ângulos 
opostos pelo vértice, conforme podemos observar a seguir: 
 
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Saiba mais 
Vale lembrar que os triângulos possuem uma propriedade interessante. A soma de seus 
ângulos internos sempre medirá 180º. Essa propriedade, associada ao que vimos sobre ângulos, irá nos ajudar bastante na resolução de diversas situações. 
Bissetriz de um ângulo 
A bissetriz é uma semirreta interna a um ângulo, traçada a partir do seu vértice, que o 
divide em dois ângulos com a mesma medida, chamados de congruentes. 
 
APLICAÇÕES DE ÂNGULOS NA CONSTRUÇÃO CIVIL 
Exemplo 1 
Ao construirmos uma casa, devemos verificar se as paredes estão subindo no prumo (fazendo 90° com o piso) e também se o ângulo no encontro das paredes é de 90° (nesse 
caso, dizemos que as paredes estão em esquadro). Além disso, os vãos e as aberturas de 
portas e janelas devem ter cantos retos, para que as esquadrias se encaixem. 
 
Exemplo 2 
Em serviços de topografia (estudo das características de um terreno: distância, relevo, declínio), a precisão na coleta de dados é fundamental para se fazer uma construção. Se 
 
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um engenheiro precisa desses dados, ele utiliza um equipamento chamado teodolito. O 
teodolito é um instrumento ótico capaz de realizar medidas de ângulos verticais e 
horizontais. É formado por um sistema de eixos, círculos graduados, luneta de visada e níveis de bolha. Com o resultado das medições e o uso das funções trigonométricas (seno, 
cosseno e tangente), obtém-se as medidas necessárias. 
 
 
Mão na Massa 
1. Sobre as posições relativas entre duas retas, são verdadeiras as sentenças a seguir, com exceção de: 
A) Retas oblíquas são concorrentes, mas formam ângulo diferente de 90°. B) Retas concorrentes são retas que se cruzam em algum ponto. C) Retas paralelas são retas coplanares (pertencem ao mesmo plano) que nunca se cruzam, 
mesmo que se prolonguem. D) Retas que se cruzam podem ser concorrentes, oblíquas ou paralelas. E) Retas perpendiculares são retas concorrentes que, ao se cruzarem, formam ângulo reto 
(90°). 
 2. (IF-MA – 2016 – Nível Médio) Sabendo-se que x representa um ângulo agudo, podemos 
afirmar que a soma do complemento de x com o seu suplemento é igual a: 
A) 270º – 2x 
B) 180º – 2x 
C) 270º – x 
D) 180º – x 
E) 90º – 2x 
 
3. (AMAUC – 2018 – Prefeitura de Seara – SC) Determine o valor do ângulo α da figura a 
seguir, sendo o segmento AC bissetriz do ângulo OÂB: 
 
A) 60º B) 30º C) 65º D) 85º E) 35º 
 
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Verificando o Aprendizado 
1. (IDECAN – 2017 – Prefeitura de São Gonçalo do Rio Abaixo – MG – Agente Comunitário de 
Saúde) As duas retas apresentadas a seguir são paralelas: 
 
Sobre os ângulos x e y, assinale a alternativa correta: 
A) y é o dobro de x. B) x e y são ângulos suplementares. C) x e y são ângulos complementares. D) x e y juntos formam um ângulo oblíquo. 
 
 
2. (Uniube – MG – ADAPTADA) Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas, cortadas por uma transversal t. Se a medida do ângulo α é o triplo da medida do ângulo β, então a diferença α – 
β vale: 
 
 
A) 90º B) 85º C) 80º D) 75º 
 
 
MÓDULO 3 
 Classificar arcos e concordâncias (tangência entre arcos/retas) 
 
O CIRCUNFERÊNCIA 
Circunferência é uma linha curva fechada cujos pontos são equidistantes de um 
único ponto central, denominado centro. 
A porção plana interna à circunferência é denominada círculo, e a distância do centro até 
qualquer ponto da circunferência é denominada raio. Assim, medimos o comprimento do arco da circunferência (C = 2 . π . r = π . d) e a área do círculo (A = π . r2). 
 
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Figura 24 – Circunferência (linha) e círculo (área). 
 
ELEMENTOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA 
Observe a Figura 25, a seguir. A partir dela, vamos classificar todos os elementos e as linhas com relação à posição que se encontram na circunferência. 
 Figura 25 – Elementos e linhas em uma circunferência. 
O ponto O é o centro da circunferência. 
 
 
 
 
 
A reta s→ corta a circunferência nos pontos E e F. Logo, s→ é uma reta secante à circunferência, o que significa que a reta intercepta a circunferência em dois pontos. 
A reta t→ toca a circunferência no ponto D. Logo, t→ é uma reta tangente à circunferência, o que significa que a reta toca a circunferência em um único ponto. 
 
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CÍRCULO: SETOR CIRCULAR E COROA CIRCULAR 
O setor circular é o equivalente ao arco da circunferência, mas projetado (fatia da área) 
no círculo. Marcados dois raios distintos em um círculo, o setor circular é a área limitada 
por eles. A parte restante também forma um setor circular. 
Quando falamos de ângulo central, estamos nos referindo ao ângulo cujo vértice está no centro 
de um círculo e os lados são seus raios. Um ângulo central está ligado a um arco na 
circunferência ou ao setor circular correspondente no círculo. 
A área do setor circular é proporcional ao seu ângulo central. Dessa forma, se dividirmos a 
área do círculo por 360 e multiplicarmos pela medida do ângulo central, iremos obter a área do 
setor circular correspondente: Asetor = (π . r2) / 360 * ângulo central. 
Já a coroa circular é uma figura geométrica limitada por dois círculos concêntricos 
(possuem o mesmo centro) de raios diferentes. O resultado se assemelha a um anel, 
cuja área é dada pela diferença entre o círculo maior e o menor: 
Acoroa = (π . rmaior2) – (π . rmenor2) = π . (rmaior2 – rmenor2). 
 
 
 Figura 26 – Setor circular (esquerda) e coroa circular (direita). 
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE CIRCUNFERÊNCIAS 
Assim como uma reta pode ser tangente ou secante a uma circunferência, as circunferências 
podem ser tangentes ou secantes entre si. 
Vejamos, nas circunferências que compõe a Figura 27 e 28 a seguir, a representação da 
tangência interna e externa entre circunferências, bem como a situação que ocorre entre 
circunferências secantes entre si.
 Figura 27 – Tangência interna e externa entre circunferências. 
 
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 Figura 28 – Circunferências secantes. 
Atenção 
Note que o ponto de tangência T deve estar sempre posicionado em uma reta que liga os 
centros das circunferências. Essa condição é necessária para fazer a adequada concordância 
entre circunferências e entre reta e circunferências, como veremos a seguir. 
TANGÊNCIA E CONCORDÂNCIA 
Vimos que a reta tangente toca a circunferência em um único ponto, denominado ponto de 
tangência. Da mesma forma, circunferências tangentes tocam uma a outra em um único ponto. 
Em ambos os casos — seja a concordância entre reta e arco de circunferência, ou entre dois arcos de circunferência —, o objetivo do posicionamento relativo tangente é que a transição entre os traços dos diferentes elementos do desenho seja suave, sem inflexões (mudanças de direção) abruptas, conferindo continuidade. 
 
Observamos que os elementos, estando em concordância (tangência), não formam quinas 
(angulações) na transição entres os traços.Figura 29 – Elementos em concordância (esquerda) e sem concordância (direita). 
 
Comentário 
Com a utilização da computação gráfica, os processos de construção de tangência e 
concordância com circunferências e retas utilizando instrumentos de desenho se tornaram 
menos frequentes. Entretanto, o conhecimento das condições básicas de tangência é 
necessário para um desenho adequado à mão livre (esboço) ou, eventualmente, quando é 
necessário utilizar os instrumentos de desenho técnico. 
Veremos, a seguir, os casos mais usuais de tangência e concordância presentes no desenho 
técnico. 
 
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 Figura 30 – Exemplos de tangência e concordância entre circunferência e retas. 
Uma reta e um arco de circunferência estão em concordância quando o centro do arco está 
perpendicular à reta no ponto de tangência. Ou seja, quando o raio faz um ângulo reto com a 
reta tangente a essa circunferência. 
 Figura 31 – Exemplos de tangência e concordância entre circunferências. 
 
Já no caso de dois arcos de circunferência, esses elementos estarão em concordância quando 
seus centros estiverem alinhados com o ponto de tangência. Ou seja, os centros dos arcos e o 
ponto de tangência entre eles estão em uma mesma linha reta. 
 
APLICAÇÃO DE CONCORDÂNCIA NA CONSTRUÇÃO CIVIL 
Para evitar que o tráfego de veículos afete vias de menor capacidade de escoamento, 
geralmente internas das cidades, executa-se a construção de um rodoanel. Também conhecido 
como anel rodoviário, o rodoanel é uma autoestrada construída no perímetro de grandes 
cidades, conectando importantes vias de circulação de veículos. 
Com conhecimentos de desenho técnico, você pode integrar a equipe responsável pela 
elaboração do traçado das pistas. Observe, neste cruzamento, como os arcos dos retornos são 
desenhados em concordância com as pistas das estradas. 
 
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Mão na Massa 
1. (2010 – Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia – RN) A alternativa que 
apresenta as condições geométricas necessárias à correta concordância entre dois arcos de 
circunferência é: 
A) A condição de que os centros e o ponto de concordância entre esses arcos são colineares 
não se aplica a algum dos sentidos dos arcos concordantes. 
B) Os centros e o ponto de concordância entre esses arcos são colineares apenas para arcos 
de mesmo sentido. 
C) Os centros e o ponto de concordância entre esses arcos são colineares apenas para arcos 
de sentidos contrários. 
D) Os centros e o ponto de concordância entre esses arcos são colineares, tanto para arcos 
de mesmo sentido quanto para arcos de sentidos contrários. 
 
2. (CAIP-IMES – 2015 – Prefeitura de Mogi das Cruzes – SP – Engenheiro Civil) Em um 
quarteirão perto da minha casa, foi construída uma praça circular com área interna de 5024 
m². Todos os dias caminho 15 vezes ao redor dela, o que equivale a: (Obs.: π = 3,14) 
A) 3,858 km 
B) 3,768 km 
C) 3,958 km 
D) 3,898 km 
 
3. (Colégio Pedro II – Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – 2016 – 
MODIFICADA) Analisando-se o estudo gráfico de um aviso de porta do tipo “não perturbe”, 
foram feitas as seguintes afirmações: 
 
I- Entre o arco de circunferência de centro O1 e a retas, observa-se que eles não estão em 
concordância; 
 
II- A concordância entre arcos é observada nas circunferências de centros O2 e O3; 
 
III- A concordância entre arcos também é observada nas circunferências de centros O1 e O4; 
 
IV- É observada a concordância entre a retas com o arco de circunferência de centros O5 e 
entre a reta u com o arco de circunferência de centro O6. 
 
 
 
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Ao caracterizarmos as afirmações como verdadeiras (V) ou falsas (F), teremos a seguinte 
sequência: 
A) V – F – V – V 
B) V – V – V – F 
C) V – V – F – V 
D) F – V – F – F 
 
Verificando o Aprendizado 
 
1. (Site Mundo Educação – Exercícios sobre os elementos do círculo e da circunferência – 
ADAPTADA) Um terreno tem formato retangular, e seu dono resolveu colocar grama no setor 
circular, cujo raio é igual a uma das laterais do terreno, conforme mostra a imagem. Sabendo 
que o perímetro do terreno é de 80 metros e que o lado menor é igual a 60% do lado maior, 
qual é a área do terreno que receberá grama? 
 
A) 25m² B) 15m² C) 179,6m² D) 176,6m² 
 
2. (Site Mundo Educação – Exercícios sobre os elementos do círculo e da circunferência – 
ADAPTADA) Um ciclista deu 30 voltas em uma pista com formato de circunferência. Ao olhar 
seus equipamentos de medida, ele percebeu que a distância percorrida nessas 30 voltas foi de 
90 km. Qual a medida aproximada do raio da pista em que se encontrava? (Considere π = 
3,14). 
A) 0,48 km 
B) 0,58 km 
C) 0,68 km 
D) 0,78 km 
 
 
 
22 
MÓDULO 4 
 
Descrever conceitos sobre escala, seus tipos e suas aplicações 
 
 
INTRODUÇÃO 
O objetivo principal de um projeto de engenharia é a fabricação ou construção de um objeto, 
um produto ou uma edificação. Para construir um objeto, é necessário determinar suas 
características geométricas, o material com o qual será construído, os procedimentos técnicos 
associados à sua construção, entre outras particularidades. 
Esse processo de concepção está intrinsicamente associado ao desenho técnico, pois é por 
meio de esboços e desses desenhos, elaborados em softwares computacionais de precisão, 
que desenhistas, projetistas e engenheiros definirão todas as características volumétricas 
necessárias à fabricação de um produto. 
Imagine que você seja responsável por elaborar o desenho técnico para dois projetos: um 
deles de um parafuso chumbador e outro de uma planta baixa de uma edificação. Como esses 
produtos que serão projetados e, posteriormente, fabricados possuem características 
dimensionais completamente distintas, demandam desenhos técnicos com características 
próprias. 
Se desenharmos o parafuso chumbador com o seu tamanho real, será muito difícil 
compreender suas características geométricas e indicar no desenho seus detalhes e cotas 
(dimensões). Por outro lado, se desenharmos também em tamanho real somente um único 
cômodo da edificação, as suas dimensões são tão grandes que não caberão em uma folha de 
papel, mesmo que seja uma folha A0, com 1 m² de área para desenho. 
A forma de lidar com essas necessidades na elaboração do desenho técnico é empregando as 
escalas na representação gráfica dos objetos e utilizando as cotas para indicação das 
dimensões desenhadas. 
ADEQUAÇÃO DOS DESENHOS UTILIZANDO ESCALA 
Sabemos que os projetos são, atualmente, entregues impressos em papéis de formato 
padronizado e, em sua maioria, elaborados utilizando softwares de computação gráfica. É 
necessário, portanto, fazer com que as características do produto projetado estejam 
perfeitamente detalhadas no papel, após a impressão. 
Atenção 
O mesmo vale para os esboços e os desenhos com instrumentos: eles devem ser elaborados 
de forma a caberem no papel que está sendo utilizado e de maneira a permitir a perfeita 
compreensão do objeto representado. 
Imagine, por exemplo, que você precisa representar, em uma folha de papel, as 
características de uma estrutura metálica de uma edificação, como a representada a 
 
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seguir. Note que é impossível representar os elementos estruturais da imagem em 
verdadeira grandeza (dimensão real, tamanho natural). 
Por isso, é preciso reduzir as medidas reais dos elementos da estrutura, dividindo-as por um 
fator de escala apropriado, que reduz as medidas reais para medidas no papel, de forma que o 
desenho do projeto possa ser representado em tamanho adequado. 
Se o desenho de uma edificação exige a adoção de fatores de escala que reduzem as dimensões reais do objeto representado, o contrário acontece quando você precisa 
representar, em uma folha de papel, as características de objetos muito pequenos, como o 
resistor representado a seguir. 
Ao representar o resistor em verdadeira grandeza, seria difícil detalhar suas características volumétricas e, mais ainda, indicar suas medidas por meio da cotagem. Por esse motivo, épreciso ampliar as medidas reais de objetos muito pequenos, multiplicando-as por um fator 
de escala apropriado, que aumenta as medidas reais do objeto, transformando-as nas medidas no papel, tornando o desenho adequado para a compreensão das características 
do objeto. 
Saiba mais 
Cabe ressaltar que o maior tamanho de papel padronizado pela ABNT, por meio da NBR 10068/1987 (Folha de desenho – Leiaute e dimensões), para desenhos técnicos, é o 
formato A0, que tem dimensões 1189 x 841 mm, que corresponde a 1 m² de área. Nenhuma edificação residencial, por menor que seja, poderia ser representada em 
tamanho natural em uma folha de papel A0. A NBR 8196/1999 (Desenho técnico – 
emprego de escalas) fixa as condições exigíveis para o emprego de escalas e suas designações em desenhos técnicos. Cabe ressaltar que, apesar de essa norma ter sido 
cancelada em agosto de 2016, o conceito de escala continua sendo utilizado. 
TIPOS DE ESCALA 
Vimos que o entendimento de escala é relativamente simples, bastando multiplicar as medidas do objeto a ser representado por um fator de escala, que pode ser menor, maior 
ou igual a um. Portanto, o fator de escala, ou simplesmente escala, indica a relação entre as medidas reais do objeto e a sua medida no papel. 
Atenção 
É importante que a escala do desenho esteja apresentada em sua legenda ou, no caso de uma única prancha com vários desenhos de escalas diferentes, devemos colocar a escala 
junto de cada desenho. 
Ao indicar a escala de um desenho, devemos colocar a palavra ESCALA (ou, simplesmente, a abreviação ESC.) seguida da relação numérica entre as dimensões no 
desenho e as dimensões reais do objeto representado. 
Em relação aos tipos, podemos ter escala: 
 De Redução - Diminui-se o tamanho do objeto real para que possa ser representado 
em uma folha de papel. O fator de escala possui o numerador menor do que o 
denominador, ou seja, fator de escala < 1. 
 
Exemplo: Uma escala de 1:50 (lê-se um para cinquenta), sendo o numerador igual a 1 a 
medida do desenho e o denominador 50 a medida real do objeto, podemos concluir que cada 1 
 
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unidade no desenho equivale a 50 unidades do objeto real, ou seja, o tamanho do desenho foi 
diminuído 50 vezes em relação ao objeto real, para que esse objeto seja representado na folha 
de papel escolhida. 
 Natural - Mantém-se o tamanho do objeto real na sua representação na folha de papel. O 
fator de escala é a unidade, ou seja, o objeto é desenhado exatamente do seu tamanho 
natural, ou seja, as dimensões do desenho são iguais às do objeto. 
 De Ampliação - Cabe ressaltar que, nos desenhos com escala de ampliação ou redução, as medidas lineares são afetadas pelo fator de escala, e os ângulos 
permanecem os mesmos. Já em um desenho com escala diferente da natural, as dimensões cotadas serão sempre as dimensões reais do objeto, e nunca as 
medidas correspondentes ao desenho. 
 Figura 35 – Representação dos diferentes tipos de escala 
Vejamos um exemplo de um quadrado de 10 unidades de lado, representado com escalas 
de redução e ampliação: 
Figura 36 – Representação de um quadrado em escala natural e com escalas de redução 
e ampliação 
MEDIÇÃO DE DESENHOS TÉCNICOS NO PAPEL 
A leitura das medidas em uma régua tradicional permite utilizar, diretamente, somente uma escala, que é a 1:100. A escala 1:100 indica que cada 1 cm desenhado no papel equivale 
a 100 cm medidos em um objeto real. Isso significa que 1 cm desenhado é a 
representação, em escala (reduzida), de uma unidade de medida de 1 m. 
Atenção 
Apesar de a interpretação das escalas ser de fácil entendimento, o que nos permitiria 
utilizar uma régua comum na medição de desenhos, é mais prático utilizar instrumentos de 
medida que possuem escalas de medição distintas. 
Esses instrumentos são denominados de escalímetros e, pelo corpo técnico, também são 
chamados somente pelo nome escala. Os escalímetros possuem diferentes escalas de 
 
25 
medida e facilitam bastante a medição dos desenhos em escalas diferentes das réguas 
tradicionais. 
Os escalímetros, geralmente, são encontrados em 3 diferentes formatos – sendo o nº 1 o 
mais utilizado –, cada um contendo escalas diferentes, que são utilizadas para diferentes aplicações: 
 Nº 1: possui as escalas 1:20, 1:25, 1:50, 1:75, 1:100, 1:125  Nº 2: possui as escalas 1:100, 1:200, 1:250, 1:300, 1:400, 1:500  Nº 3: possui as escalas 1:20, 1:25, 1:33, 1:50, 1:75, 1:100 
Nas faces do escalímetro, são apresentadas diferentes graduações de escalas. A imagem 
abaixo, por exemplo, indica uma graduação para a escala 1:20. Nessa escala, cada 
unidade desenhada corresponde a 20 unidades reais. Por exemplo, 1 m de medida real é 
representado com 50 mm em desenho. 
ESCALAS RECOMENDADAS 
A recomendação prática é adotar escalas múltiplas de 2, 5 e 10, mas é notável que as 
diferentes demandas do projeto vão nortear a escolha da escala mais adequada. 
 Escalas de redução - No campo da arquitetura e da engenharia civil, por exemplo, as escalas de redução são largamente utilizadas face a necessidade de 
se representar os desenhos que fazem parte do projeto arquitetônico dentro dos 
limites dos formatos padronizados de papel. 
 Escalas de Ampliação - No caso de projetos de equipamentos eletrônicos e de pequenos mecanismos complexos e de dimensões reduzidas, as escalas mais 
adequadas são as de ampliação. 
O quadro, a seguir, apresenta as escalas de ampliação e de redução mais utilizadas. Vale 
ressaltar que, com a evolução da computação gráfica, a facilidade de adoção de escalas diferenciadas deixa as escalas citadas no próximo quadro como uma recomendação, e 
não como uma obrigatoriedade. 
Quadro - Escalas de ampliação e de redução mais usuais 
Categoria Escalas 
 
 
 
 Escalas de redução 
1:2 - 1:2,5 - 1:5 - 1:7,5 - 1:10 
1:20 - 1:25 - 1:50 - 1:75 
1:100 - 1:125 - 1:200 - 1:250 
1:500 - 1:750 - 1:1000 - 1:2000 
 
 Escalas de aplicação 
2:1 - 5:1 - 10:1 
20:1 - 25:1 - 50:1 
 
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Saiba mais 
Nos desenhos desenvolvidos utilizando softwares computacionais, como o AutoCAD, o 
desenho é feito no espaço de modelagem em verdadeira grandeza, e escalas adequadas 
de plotagem do desenho são utilizadas para que o desenho impresso tenha a escala adotada pelo projetista. 
ESCALA GRÁFICA E TALÃO DE ESCALA 
A escala gráfica é uma forma de indicar a escala de um desenho técnico. Consiste de um segmento de reta graduado para representar graficamente a relação entre o desenho e as 
medidas reais. É comum sua utilização em desenhos topográficos e mapas. 
A vantagem da utilização de tais escalas é que, se o desenho for ampliado ou reduzido por 
processos de cópia fotográfica ou digital, será sempre possível obter as medidas verdadeiras do desenho. 
O talão da escala são os segmentos que sinalizam a proporção entre as medidas reais e as desenhadas. Na escala gráfica, o talão à esquerda da origem da escala é subdividido 
de acordo com a necessidade de precisão do desenho. 
Na figura, a seguir, a escala gráfica referente à escala 1:100 é apresentada. Cada unidade 
de desenho equivale a 100 unidades reais, o que significa que cada trecho da escala gráfica desenhado com 1 cm representa 1 m do objeto real representado. 
Figura 38 – Componentes da escala gráfica. 
A seguir, vamos analisar algumas escalas gráficas e a forma com a qual devemos 
desenhá-la. Apresentamos, primeiramente, a escala gráfica para a escala 1:250. Cada unidade de medida desenhada corresponde a 250 unidades reais. Isso significa que cada 
1 cm desenhado equivale a 250 cm reais, ou seja, 2,5 m. Para representar o talão à esquerda da escala, vamos subdividi-lo em 10 partes. No exemplo, o talão à esquerda foi 
dividido em 10 partes de 1 m cada. Se 1 cm tem 2,5 m, cada 1 m real equivale a 0,4 cm 
desenhados na escala gráfica. Sendo assim, 10 m equivalem a 4 cm. 
Figura 39 – Escala gráfica 1:250. 
Agora, vamos estudar a escala gráfica para a escala 1:100000. Cada unidade de medida 
desenhada corresponde a 100000unidades reais. Isso significa que cada 1 cm desenhado equivale a 100000 cm reais, ou seja, 1000 m (1 km). Para representar o talão à esquerda 
da escala, vamos subdividi-lo em partes. No exemplo, o talão à esquerda foi dividido em 4 
 
27 
partes de 500 m cada. Se 1 cm tem 1000 m, cada 500 m reais equivalem a 0,5 cm 
desenhados na escala gráfica. Sendo assim, 2000 m equivalem a 2 cm. 
Figura 40 – Escala gráfica 1:250. 
APLICAÇÃO DE ESCALA DE REDUÇÃO NA CONSTRUÇÃO CIVIL 
No processo de solicitação do alvará da prefeitura para construção de um imóvel, é 
necessário anexar a planta baixa, que é um desenho técnico elaborado em escala (tamanho reduzido). 
Imagine que você faça esse corte horizontal à altura de 1,5 m do piso e retire a cobertura 
do imóvel, visualizando a estrutura de cima, em uma vista aérea. Dessa forma, você 
observará, em detalhes, a disposição dos cômodos, as dimensões das paredes (comprimento e espessura), os vãos das portas e janelas, entre outras coisas. 
Figura 41 – Planta baixa de uma construção. 
 
 
28 
Mão na Massa 
1. Sobre a utilização de escala no desenho técnico, são verdadeiras as sentenças a 
seguir, com exceção de: 
A) É importante que a escala do desenho esteja apresentada em sua legenda ou, no caso 
de uma única prancha com vários desenhos de escalas diferentes, devemos colocar a 
escala junto de cada desenho. B) Ao indicar a escala de um desenho, devemos colocar a palavra ESCALA (ou, 
simplesmente, a abreviação ESC.) seguida da relação numérica entre as dimensões 
no desenho e as dimensões reais do objeto representado C) Vimos que o entendimento de escala é relativamente simples, bastando multiplicar as 
medidas do objeto a ser representado por um fator de escala, que é sempre maior do 
que um. D) Fator de escala ou, simplesmente escala, indica a relação entre as medidas reais do 
objeto e a sua medida no papel. 
 
2. O desenho técnico projetivo terá sempre uma relação entre as medidas do desenho no 
papel e as medidas do objeto real, conhecida como escala do desenho. Sobre a escala do 
desenho técnico, é correto afirmar: 
A) 1:1 é chamada escala de ampliação. B) Quando a medida do desenho é igual a 40 cm e a medida real é igual a 10 cm, a escala adotada é 1:4. C) Quando uma rua de 12 metros de largura é desenhada com 6 milímetros de largura, a escala de desenho adotada é 1:2000. D) 10:1 e 2:1 são escalas de redução. 
 
3. Um engenheiro civil foi contratado para construir uma mansão em um terreno. A construção 
terá as seguintes medidas externas (perímetro, área total construída): 30,5 m X 19 m. Ele 
deverá elaborar uma planta baixa padrão para a construção dessa casa, que será desenhada 
duas vezes (uma vez em cada folha) em papel A3 (420 x 297 mm) e A0 (1189 x 841 mm). 
Portanto, para que a planta seja desenhada no maior tamanho possível (aproveitando todo o 
espaço de uma folha em branco, se necessário), as escalas utilizadas deverão ser, 
respectivamente, de: 
A) 1:75 e 1:25 
B) 1:100 e 1:25 
C) 1:75 e 1:50 
D) 1:125 e 1:50 
 
 
 
 
 
 
29 
Verificando o Aprendizado 
 
1. (EDUC-PI (2016) – SEDUC-PI – Cadista) A planta baixa de uma edificação retangular que tem 
medidas totais de 10,00 m e 14,80 m está desenhada na escala 1/50. Em centímetros, essas 
medidas equivalem, respectivamente, a: 
 
A) 0,200 e 0,296 B) 5,00 e 7,40 C) 20,00 e 29,60 D) 50,00 e 74,00 
 
2. (2009 – CEHAP – Governo do Estado da Paraíba) No que se refere ao emprego de escalas em 
desenho técnico, assinale a opção correta: 
A) Deve-se usar uma única escala por folha de desenho. Quando for necessário usar mais de uma escala nos desenhos, as diferentes escalas devem ser distribuídas em folhas distintas. B) A escala a ser escolhida pode variar de acordo com o tamanho da folha de apresentação e independe da complexidade do objeto e da finalidade de representação. C) A palavra ESCALA deve ser indicada sem abreviação e deve ser acompanhada dos termos NATURAL, AMPLIAÇÃO e(ou) REDUÇÃO, todos em letras maiúsculas. D) A escala e o tamanho do objeto são parâmetros para a escolha do formato da folha em que será executado o desenho. 
CONCLUSÃO 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Vimos que o desenho técnico é de fundamental importância na formação de alguns 
profissionais. Engenheiros, arquitetos e designers são bons exemplos dos que necessitam 
conhecer e explorar os conceitos e procedimentos básicos apresentados. Retas, ângulos, 
arcos e desenhos em escala estão presentes não somente, mas principalmente, nos projetos 
desses profissionais, como também no cotidiano de todos nós. 
Mesmo não conhecendo em detalhes as propriedades e os cálculos envolvidos nos elementos 
do desenho técnico, aplicamos intuitivamente muitos conceitos: deslocamo-nos em linha reta 
entre dois pontos, pois sabemos ser a menor distância; buscamos caminhos menos íngremes, 
pois, quanto maior o ângulo, maior será esforço; elaboramos desenhos em proporções 
diferentes do tamanho real do objeto, para que possamos representá-los com medidas 
proporcionais em folhas de papel. Essas e tantas outras situações que fazem parte do nosso 
cotidiano, especialmente nas atividades laborais dos profissionais citados, reforçam a 
importância do desenho técnico. 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 
10068: Folhas de desenho – Leiaute e dimensões – 
Padronização. Rio de Janeiro, 1987. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 
13142: Desenho técnico – dobramento de cópia. Rio de Janeiro, 
1999. 
CASTANHEIRA, Nelson Pereira; LEITE, Álvaro Emílio. Geometria plana 
e trigonometria. 1. ed. Curitiba: InterSaberes, 2014. (livro consta da 
biblioteca virtual da Estácio) 
ESTEPHANIO, Carlos Alberto do Amaral. Desenho técnico – uma 
linguagem básica. 4. ed. Rio de Janeiro: Carlos Estephanio, 1996. 
FRENCH, Thomas E., VIERCK, Charles J. Desenho técnico e 
tecnologia gráfica. 7. ed. Rio de Janeiro: Globo, 2006. 
MICELI, Maria Teresa; FERREIRA, Patrícia. Desenho técnico 
básico. 4. ed. Rio de Janeiro: Imperial Novo Milênio, 2010. 
SILVA, Arlindo; RIBEIRO, Carlos Tavares; DIAS, João; SOUSA, 
Luis. Desenho técnico moderno. 4. ed. Rio de Janeiro: LCT, 2006. 
ZATTAR; Isabel C. Introdução ao desenho técnico. 1. ed. Curitiba: 
InterSaberes, 2016. (livro consta da biblioteca virtual da Está