Engenharia de Controle

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Engenharia
de
Controle
Curso: Engenharia Elétrica
Professor: Luiz Carlos da Silva
São Paulo - 15 de agosto de 2013
Sumário
1 Sistemas de Controle 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Definições básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Sistemas de controle em malha aberta e em malha fechada . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1 Sistema de controle de malha aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.2 Sistema de controle de malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Classificação dos sistemas de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Variáveis e Sistemas Dinâmicos 6
2.1 Variáveis Dinâmicas Cont́ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Sistemas Dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Comportamento de Sistemas Dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Representação de Sistemas por Modelos Matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Classificação de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6 Objetivos da Análise e da Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Principais Conceitos Matemáticos 16
3.1 Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.1 Identidade de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.2 A Forma Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.3 A Forma Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.4 Conversão da forma polar para retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.5 Conversão da forma retangular para a forma polar . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Definição de Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Existência da Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Transformadas de Laplace de Funções Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.1 Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.2 Exponencial Crescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.3 Exponencial Decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.4 Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.5 Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.6 Cosseno e Seno com Amplitude e Ângulo de Fase Quaisquer . . . . . . . 24
3.5 Propriedades Fundamentais da TL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5.2 Translação na Frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
i
SUMÁRIO
3.5.3 Diferenciação na Frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6 Transformadas de Laplace de Derivadas e Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.6.1 Transformadas de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.6.2 Transformadas de Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.7 Funções Singulares e suas Transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.7.1 Degrau Unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.7.2 Fórmula de Recorrência para Definição de Outras Funções Singulares . . 28
3.7.3 Integrais Sucessivas do Degrau Unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7.4 Impulso Unitário e Funções Impulsivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.8 Translação no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.8.1 Degrau Transladado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.8.2 Impulso Transladado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.8.3 Propriedade da Translação no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.9 Teorema do Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.10 Teorema do Valor Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.11 Outras Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.11.1 Produtos de Exponenciais e Funções Senoidais . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.11.2 Produtos de Exponenciais e Potência no Tempo . . . . . . . . . . . . . . 36
3.11.3 Produtos de Funções Senoidais e Potência no Tempo . . . . . . . . . . . 36
3.11.4 Produtos de Exponenciais, Funções Senoidais e Potência no Tempo . . . 37
3.12 Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.13 Transformadas de Laplace Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.13.1 Definições Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.13.2 Determinação da Transformadas Inversas de Laplace . . . . . . . . . . . 39
3.14 Principais Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.15 Propriedades da Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.16 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Modelos Matemáticos de Sistemas e Diagrama de Blocos 55
4.1 Diagrama de Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.1 Blocos em Cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.2 Blocos em Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.3 Blocos com Ramo de Realimentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.4 Deslocamento de blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.5 Simplificação de Diagramas em Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.6 Entradas Múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Representação Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.1 Sistemas Mecânicos de Translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.2 Sistemas Mecânicos de Rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.3 Sistemas Elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.4 Analogia entre Sistemas Mecânicos e Elétricos . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 O Modelo Matemático de Sistemas Dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3.1 Prinćıpio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3.2 Lei de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.3 Equivalentes Thevenin e Norton de Indutância e Capacitância Inicial-
mente Energizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4 Circuito Transformado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5 Função de Transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
ii
SUMÁRIO
5 Respostas de Sistemas Dinâmicos 78
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2 Sistemas de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 Sistemas de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6 Estabilidade de Sistemas Dinâmicos 89
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2 Estabilidade e Pólos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3 Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4 Aplicação do critério de estabilidade de Routh na análise de sistemas de controle 96
7 Qualidade de Sistemas 98
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.2 Definições no domı́niodo tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.3 Qualidade de sistemas de 1a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.3.1 Entrada degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.3.2 Entrada rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3.3 Entrada impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.4 Qualidade de sistemas de 2a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.4.1 Entrada degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.4.2 Entrada impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.5 Sistemas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8 Lugar das Ráızes 116
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.2 Lugares das ráızes de sistemas de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.3 Lugares das ráızes de sistemas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.4 Lugares das Ráızes de Sistemas em Malha Fechada . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.5 Interpretação dos Diagramas dos Lugares das Ráızes . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.6 Adição de polos e zeros no lugar das ráızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.6.1 Efeitos da adição de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.6.2 Efeitos da adição de zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.6.3 Polos e zeros adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9 Erro em regime permanente 130
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.2 Classificação dos sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.2.1 Tipo do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.2.2 Ordem do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.3 Erro em regime permanente para uma determinada entrada . . . . . . . . . . . . 135
9.3.1 Entrada degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.3.2 Entrada rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.4 Erro em regime permanente devido ao distúrbio com realimentação não unitária 138
10 Controladores 140
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
10.2 Tipos de controles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
10.2.1 Controle Proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
10.2.2 Controle Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.2.3 Controle Proporcional mais Integral (PI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10.2.4 Controle derivativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
iii
SUMÁRIO
10.2.5 Controle Proporcional mais Derivativo (PD) . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.2.6 Controle PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.3 Implementação das leis de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.3.1 Controlador Proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.3.2 Controlador Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.3.3 Controlador PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.3.4 Controlador Derivativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.3.5 Controlador PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.3.6 Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.3.7 Somador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
10.3.8 Subtrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
10.4 Projeto de controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10.4.1 Método do lugar das ráızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Bibliografia 164
iv
Caṕıtulo
1
Sistemas de Controle
1.1 Introdução
As teorias de controle comumente usadas hoje são a teoria de controle clássico (controle
convencional), a teoria de controle moderno e a teoria de controle robusto. O controle automá-
tico é essencial em qualquer campo da engenharia e da ciência. É desejável que a maioria dos
engenheiros e cientistas esteja familiarizada com a teoria e a prática do controle automático.
1.2 Definições básicas
• Sistema: é uma série de componentes que interagem em torno de uma condição limite
imaginária e somente a entrada e a sáıda são de interesse. Embora possam ser complexos
o conjunto de componentes e suas interações dentro do sistema, pode-se apenas considerar
que todos esses componentes fazem parte de um bloco e o que realmente interessa são as
entradas e as sáıdas deste bloco.
• Entrada de referência: é a grandeza ou a condição que é medida e controlada.
• Variável controlada: é uma grandeza ou condição que é medida e controlada.
Normalmente é a sáıda ou resposta do sistema.
• Variável manipulada: é uma grandeza ou condição que é variada pelo controlador
para que modifique o valor da variável controlada.
• Erro: é a diferença entre a variável controlada e a entrada de referência.
• Comparador: compara o valor desejado, ou de referência, da variável controlada com
o valor medido e determina o sinal de controle que indica quanto o valor da sáıda está
desviado do valor desejado.
• Controlador: mede o valor do sinal de controle do sistema e aplica o sinal de controle
ao sistema para corrigir ou limitar os desvios do valor medido a partir de um valor
desejado.
• Plantas: qualquer objeto f́ısico a ser controlado.
1
CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE CONTROLE
• Modelo: é um meio de transferir alguma relação da forma real para uma outra forma.
Um modelo pode ser uma representação matemática de um sistema ou a versão reduzida
de um sistema de grande porte.
• Distúrbio: é um sinal que tende a afetar de maneira adversa o valor da variável de
sáıda de um sistema e geralmente é previśıvel, desejável e pode ser calculado.
• Rúıdo: é um sinal que tende a afetar de maneira adversa o valor da variável de sáıda
de um sistema e não é previśıvel, indesejável e geralmente não pode ser calculado.
• Controle com realimentação: refere-se a uma operação que, na presença de
rúıdos, tende a diminuir a diferença entre a sáıda de um sistema e alguma entrada de
referência e atua com base nessa diferença.
• Medidor: gera um sinal relacionado com a condição da variável que está sendo con-
trolada e fornece um sinal realimentado para o elemento de comparação, para que ele
determine se existe um erro. Também chamado de sensor.
• Sinal de erro: é o sinal de sáıda do comparador quando a realimentação é unitária.
• Sinal atuante: é o sinal de sáıda do comparador quando a realimentação não é
unitária.
• Sinal medido: é o sinal de sáıda do medidor ou sensor. Também chamado sinal
realimentado.
1.3 Sistemas de controle em malha aberta e em malha fe-
chada
1.3.1 Sistema de controle de malha aberta
São aqueles sistemas em que o sinal de sáıda não exerce nenhuma ação de controle no
sistema, ou seja, o sinal de sáıda não é comparado com o sinal de entrada. Esse sistema está
representado na Figura 1.1.
Figura 1.1: Sistema de controle em malha aberta.
Na presença de distúrbios, um sistema de controle de malha aberta não vai executar a tarefa
desejada. Sistemas de controle operados por base de tempo são sistemas em malha aberta.
1.3.2 Sistema de controle de malha fechada
São aqueles sistemas que estabelecem uma relação de comparação entre a sáıda e a entrada
de referência, utilizando a diferença como meio de controle. Assim, um sinalé realimentado da
sáıda para a entrada e usado para modificar a entrada, de tal maneira que a sáıda seja mantida
constante mesmo com modificações nas condições de operação, conforme mostrado na Figura
1.2.
2
CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE CONTROLE
Figura 1.2: Sistema de controle em malha fechada.
É também conhecido como sistema de controle com realimentação. Cada elemento da Figura
1.2 pode ser descrito como:
ER ⇒ Entrada de referência.
CP ⇒ Comparador.
SA ⇒ Sinal atuante.
CN ⇒ Controlador.
VM ⇒ Variável manipulada.
PT ⇒ Planta.
VC ⇒ Variável controlada.
MD ⇒ Medidor.
SM ⇒ Sinal medido.
Uma caracteŕıstica necessária de um sistema em malha fechada é a realimentação. Esta é
a forma pela qual o sinal relacionado com a situação real é realimentado para ser comparado
com o sinal de referência. A realimentação é chamada negativa quando o sinal realimentado é
subtráıdo do valor de referência. A realimentação positiva ocorre quando o sinal realimentado
é somado ao valor de referência.
1.4 Classificação dos sistemas de controle
A classificação dos sistemas de controle pode ser dado da seguinte forma:
1. Sistema de controle a malha fechada x Sistema de controle a malha aberta (Tabela 1.1)
2. Sistema de controle não linear x Sistema de controle linear (Tabela 1.2)
3. Sistema de controle invariante no tempo x Sistema de controle variante no tempo (Tabela
1.3)
4. Sistema de controle de tempo cont́ınuo x Sistema de controle de tempo discreto (Tabela
1.4)
5. Sistema de controle de entrada simples e sáıda simples x Sistema de controle de múltiplas
entradas e múltiplas sáıdas (Tabela 1.5)
6. Sistema de controle de parâmetros concentrados x Sistema de controle de parâmetros
distribúıdos (Tabela 1.6)
3
CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE CONTROLE
sistema de controle a malha fechada sistema de controle a malha aberta
o uso da realimentação torna a resposta do sistema na presença de perturbações, um SCMA não
relativamente insenśıvel a distúrbios externos e variações desempenhará a tarefa desejada
internas nos parâmetros do sistema
possuem vantagens somente quando os distúrbios uso aconselhável quando as entradas são conhe-
e/ou variações impreviśıveis nos componentes estão presentes cidas antecipadamente e nas quais não há distúrbio
a estabilidade é sempre um problema fundamental no SCMF, é mais fácil construir porque a estabilidade
o qual pode tender a corrigir erros que podem causar não constitui um problema significativo
oscilações de amplitude constante ou variável
é posśıvel usar componentes baratos e sem muita precisão a precisão do sistema depende de uma calibração
para obter o controle preciso de uma planta (processo)
maior número de componentes utilizados em relação ao SCMA são usados componentes mais precisos (mais caros)
geralmente resultam em sistemas cujo custo e potência são onde aplicável, o SCMA pode ser usado para
mais altos diminuir a potência requerida de um sistema
Tabela 1.1: Sistema de controle a malha fechada x Sistema de controle a malha aberta
sistema de controle não linear sistema de controle linear
a rigor, os sistemas f́ısicos são não lineares em se a faixa de variações das variáveis do sistema não
vários pontos for ampla, então o sistema pode ser linearizado dentro
de uma faixa de variação relativamente pequena das variáveis
não é valido o principio da superposição dos efeitos é válido o prinćıpio da superposição dos efeitos
elementos não lineares, tipo on-off, são introduzidos
intencionalmente no sistema para otimizar o desempenho
Exemplo: controle de misseis
Tabela 1.2: Sistema de controle não linear x Sistema de controle linear
sistema de controle invariante no tempo sistema de controle variante no tempo tempo
um SCIT é aquele cujos parâmetros não variam com um SCVT é aquele em que um ou mais parâmetros
o tempo (sistema de controle de coeficientes variam como tempo (sistema de controle de
constantes) coeficientes variáveis)
a sua resposta é independente do instante em que a sua resposta é dependente do instante em que
a entrada entrada a aplicada a entrada é aplicada
exemplo: sistema de controle de um véıculo
espacial (a massa varia com o tempo conforme
o combust́ıvel vai sendo consumido)
Tabela 1.3: Sistema de controle invariante no tempo x Sistema de controle variante no tempo
sistema de controle de tempo cont́ınuo sistema de controle de tempo discreto
todas as variáveis do sistema são funções envolve uma ou mais variáveis que são conhecidas
de um tempo cont́ınuo t somente em instantes de tempo discreto
Tabela 1.4: Sistema de controle de tempo cont́ınuo x Sistema de controle de tempo discreto
4
CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE CONTROLE
sistema de controle de entrada simples sistema de controle de múltiplas entradas
e sáıda simples (SISO) e múltiplas sáıdas (MIMO)
exemplo: sistema de controle de posição, onde exemplo: sistema de controle de processo,
há uma entrada de comando (posição desejada) onde as entradas são pressão e temperatura e
e uma sáıda controlada (posição final) duas sáıda, também pressão e temperatura
Tabela 1.5: Sistema de controle de entrada simples e sáıda simples x Sistema de controle de
múltiplas entradas e múltiplas sáıdas
sistema de controle de sistema de controle de
parâmetros concentrados parâmetros distribúıdos
podem ser descritos por equações podem ser descritos por equações
diferenciais ordinárias diferenciais parciais
Tabela 1.6: Sistema de controle de parâmetros concentrados x Sistema de controle de parâme-
tros distribúıdos
5
Caṕıtulo
2
Variáveis e Sistemas Dinâmicos
2.1 Variáveis Dinâmicas Cont́ınuas
Qualquer sistema ou organismo que esteja sujeito a algum tipo de movimento ou atividade,
terá as grandezas que caracterizam seu estado, ou sua posição, variando ao longo do tempo.
Em sistemas f́ısicos, existem várias grandezas que caracterizam o estado, a atividade ou o
movimento, tais como posição, velocidade, aceleração, força, conjugado, pressão, temperatura,
ńıvel, vazão, carga, tensão e corrente elétricas, e várias outras, além de suas respectivas taxas de
variação. Quando se deseja determinar a evolução de tais grandezas ao longo do tempo, aplicam-
se as leis f́ısicas que regem o comportamento dos vários elementos que formam o sistema,
estabelecendo-se as equações matemáticas de seu comportamento dinâmico.
As grandezas que variam ao longo do tempo são denominadas variáveis dinâmicas, por
serem funções do tempo. Como exemplo, pode-se citar a velocidade angular de um motor ou
de um grupo turbina-gerador, uma corrente elétrica em um circuito, e assim por diante.
Na análise de sistemas dinâmicos, sempre se busca obter a relação entre cada uma das
variáveis e o tempo, através de fórmulas e equações matemáticas ou de gráficos. Assim, no
equacionamento desses sistemas, o tempo será sempre a variável independente, e será denotado
por t, que evidentemente é uma variável real, ou seja, t ∈ <, onde < representa o conjunto dos
números reais.
Para se explicitar que uma variável dinâmica y é função (depende) do tempo, tal variável
é denotada por y(t). Dois exemplos de funções do tempo encontradas em sistemas dinâmicos
simples são os seguintes:
y1(t) =
{
0, t > 0
1− e−t/T , t ≥ 0
(2.1)
y2(t) =

0, t < 0
1−
e−ζωnt√
1− ζ2
sin
(√
1− ζ2ωnt+ cos−1 ζ
)
, t ≥ 0
(2.2)
onde T , ζ e ωn são parâmetros, relacionados com os componentes dos sistemas.
6
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS E SISTEMAS DINÂMICOS
Figura 2.1: Gráfico de Y1(t).
Figura 2.2: Gráfico de Y2(t) para ωn = 2.5rd/s e ζ = 0.3.
Os gráficos das funções dadas por Y1(t) e Y2(t) são mostrados nas Figuras 2.1 e 2.2. Nor-
malmente considera-se que t = 0 é o instante em que o sistema é colocado em funcionamento ou
sofre alguma perturbação cujos efeitos se deseja estudar. Em tais casos é comum que a maioria,
ou mesmoa totalidade, das variáveis do sistema seja nula para t < 0. Nestes, casos, equações
como 2.1 e 2.2 são escritas apenas com as expressões relativas a t ≥ 0, subentendendo-se que
para t < 0 a variável é nula, ou então não é de interesse. Este procedimento é o que será
adotado ao longo deste texto.
Todas as variáveis dinâmicas citadas e exemplificadas até aqui são variáveis cont́ınuas, pri-
meiro porque o tempo é uma variável cont́ınua, e segundo porque essas variáveis são funções do
tempo, isto é, para todo e qualquer instante de tempo, existe um valor definido para qualquer
uma dessas variáveis.
Em sistemas dinâmicos e de controle, após decorrido um tempo suficientemente longo, mui-
tas das variáveis tendem para um valor constante. Matematicamente, este tempo suficiente-
mente longo é denotado por t→∞. Para uma variável y(t) esse valor constante é denominado
valor final, valor de regime permanente ou componente permanente, e denotado por y(∞), sendo
expresso matematicamente como segue:
y(∞) = lim
t→∞
y(t) (2.3)
Com a definição de componente permanente, surge intuitivamente o conceito de componente
transitória (ou simplesmente transitório), dada por:
yt(t) = y(t)− y(∞) (2.4)
7
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS E SISTEMAS DINÂMICOS
de forma que
y(t) = y(∞) + yt(t) (2.5)
De acordo com estas definições, é evidente que, nas equações 2.1 e 2.2, para t > O,
y1t(t) = −e−t/T (2.6)
y2t(t) = −
e−ζωnt√
1− ζ2
sin
(√
1− ζ2ωnt+ cos−1 ζ
)
(2.7)
y1 (∞) = y2 (∞) = 1 (2.8)
2.2 Sistemas Dinâmicos
Um sistema é qualquer conjunto de elementos interagentes, nos quais existam relações de
causa e efeito entre as variáveis.
Esta definição é necessariamente geral, porque deve abranger uma grande variedade de
sistemas. A caracteŕıstica importante desta definição é a de explicitar que as interações entre as
diversas variáveis do sistema devem ser levadas em conta na modelagem e análise dos sistemas,
ao invés de tratar cada elemento separadamente. O uso da palavra sistema não se restringe
a sistemas f́ısicos. O conceito de sistema pode ser aplicado ao estudo de outros fenômenos
dinâmicos, tais como os que ocorrem, por exemplo, em economia, sociologia e biologia. Assim,
em textos que tratam de sistemas de forma abrangente, são encontradas citações e exemplos
sobre sistemas econômicos, sociológicos, biológicos, e outros, além dos sistemas f́ısicos.
Sistemas dinâmicos são sistemas com variáveis que dependem do tempo t. A análise de tais
sistemas consiste em determinar a resposta (ou respostas) do sistema a uma excitação (ou a um
conjunto de excitações). Entende-se por excitação de um sistema dinâmico qualquer variável
ou sinal, vindo de uma fonte externa, o qual, sendo aplicado ao sistema, provoca variações em
uma ou mais de suas variáveis dinâmicas.
As excitações de um sistema dinâmico são também denominadas entradas, e as respostas
são denominadas sáıdas.
Figura 2.3: Bloco representativo de um sistema dinâmico.
2.3 Comportamento de Sistemas Dinâmicos
O comportamento de um sistema dinâmico a partir de um instante inicial t0 depende da
estrutura do sistema, das entradas para t ≥ t0, e também do efeito acumulado de entradas
anteriores a t0 efeito este que resulta nas condições iniciais do sistema. Se o sistema estiver em
repouso no instante inicial, as condições iniciais são nulas.
Por estrutura do sistema entende-se o conjunto de elementos do sistema e a forma como eles
são interconectados. A estrutura determina se o sistema estável ou instável, rápido ou lento,
8
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS E SISTEMAS DINÂMICOS
oscilatório ou não-oscilatório. É evidente que tais caracteŕısticas só podem ser observadas
na sáıda (resposta) do sistema, a qual depende da entrada aplicada e das condições iniciais.
Costuma-se distinguir a resposta devida somente a condições iniciais da resposta devida somente
a entradas, conforme a Figura 2.4 e as definições a seguir:
1. Resposta livre: é a sáıda (resposta) obtida para t ≥ t0 para certas condições iniciais no
instante t0 considerando o sistema não-excitado, isto é, com entrada(s) nula(s).
2. Resposta Forçada: é a sáıda (resposta) obtida para t ≥ t0 para uma determinada
entrada (ou conjunto de entradas) conhecida(s) para t ≥ t0 com condições iniciais nulas.
3. Resposta Total: é a sáıda (resposta) do sistema que, simultaneamente, tem condições
iniciais e está sujeito a uma determinada entrada (ou conjunto de entradas).
Figura 2.4: Indicação de existência de condições iniciais em um sistema dinâmicos.
Normalmente, por“resposta” já se entende a resposta total. Em sistemas lineares, a resposta
total é dada pela soma da resposta livre com a resposta forçada (Prinćıpio da Superposição).
A condição inicial de um sistema pode ter influência radical no comportamento de um
individuo, como mostra a Figura 2.5, ilustrando as diferentes reações a três beliscões seguidos.
Figura 2.5: Importância da condição inicial no comportamento do ser humano.
9
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS E SISTEMAS DINÂMICOS
2.4 Representação de Sistemas por Modelos Matemáticos
Um modelo matemático, ou, simplesmente, modelo, é a descrição de um sistema em termos
de equações. A base para construção de um modelo são as leis f́ısicas que os elementos do
sistema e suas estruturas de interconexão obedecem. Como exemplos pode-se citar, entre
muitos, o principio da conservação de energia, as leis de Kirchhoff para circuitos elétricos, e as
leis de Newton para sistemas mecânicos.
A finalidade do modelo é permitir a determinação das caracteŕısticas dinâmicas e o cálculo
das sáıdas do sistema, dadas as condições iniciais e as entradas. Um modelo pode ser com-
parado a um mapa, que permite às pessoas percorrerem caminhos e atingirem destinos antes
desconhecidos. Um modelo permite a um matemático ou a um analista de sistemas obter a
resposta de um sistema f́ısico que ele não conhece.
Os modelos mais utilizados na representação de sistemas cont́ınuos são os seguintes:
• Equações diferenciais (ED)
• Funções de transferência (FT’s)
• Diagramas de Blocos (DB’s)
• Equações de Estado (EE’s)
A equação diferencial (ED) é o modelo básico para a representação de sistemas cont́ınuos.
Sistemas simples podem ser representados por uma única equação diferencial. Sistemas mais
complexos são modelados por partes, obtendo-se então um sistema de ED’s como modelo. As
ED’s são obtidas a partir das leis f́ısicas obedecidas pelo sistema e seus elementos. Os outros
modelos citados são obtidos a partir das ED’s.
As funções de transferência (FT’s) são utilizadas para representar sistemas ou subsistemas
lineares invariantes, relacionando diretamente a sáıda com a entrada do sistema. É um tipo de
modelo bastante importante para análise de estabilidade e de outras caracteŕısticas dinâmicas,
além de ser de fundamental importância para representar elementos e subsistemas simples, na
construção de modelos mais complexos.
Os diagramas de blocos (DB’s) tem a finalidade de ilustrar a interconexão de elementos e de
subsistemas para a formação do sistema. Num DB, cada elemento ou subsistema, com apenas
uma entrada e uma sáıda, é representado por um bloco, como na Figura 2.3. A sáıda de um
bloco pode ser entrada para outro ou outros. Assim, os blocos são interligados através de linhas
orientadas, mostrando claramente as relações de causa e efeito entre os vários componentes do
sistema.
As equações de estado (EE’s) formam uma outra classe de modelo, no qual é definido um
conjunto de variáveis de estado (VE’s), que é diferente do conjunto de sáıdas, sendo geralmente
mais amplo. Normalmente o conjunto das VE’s inclui uma ou mais sáıdas. As variáveis de
estado devem ser escolhidas de tal modo que o conhecimento de seus valores em qualquer
instante inicial t0 e o conhecimento das entradas para todo t ≥ t0 seja suficiente paradeterminar
as sáıdas e as variáveis de estado também para todo t ≥ t0. Uma exigência adicional é a de que
as variáveis de estado sejam independentes, significando que não pode ser posśıvel expressar
uma variável de estado como uma função algébrica de outras. Este método é especialmente
conveniente para a análise de sistemas com várias entradas e sáıdas e para a obtenção de
soluções computacionais. As variáveis de estado podem justificar aspectos importantes do
comportamento do sistema, quaisquer que sejam as sáıdas. Assim, as equações de sáıda podem
ser escritas como funções algébricas das variáveis de estado, das entradas e do tempo. Por
esta caracteŕıstica , o modelo de estado, assim entendida a representação do sistema através de
equações de estado, é considerado como uma representação interna do sistema, isto é, contendo
todos os seus detalhes. Este conceito é ilustrado pela Figura 2.6.
10
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS E SISTEMAS DINÂMICOS
Figura 2.6: Representação geral de um sistemas, mostrando entradas, variáveis de estado e
sáıdas.
2.5 Classificação de Sistemas
Um sistema dinâmico pode ser classificado de acordo com vários critérios: caracteŕısticas
espaciais, linearidade, continuidade do tempo e das variáveis, variação de parâmetros, número
de entradas e sáıdas e existência de excitação. As posśıveis classificações, segundo cada critério,
estão resumidas na Tabela 2.1 e são comentadas a seguir.
CRITÉRIO CLASSIFICAÇÃO
Caracteŕısticas especiais . Parâmetros concentrados
. Parâmetros distribúıdos
Linearidade (Superposição . Linear
e Homogeneidade) . Não-linear
Continuidade no tempo . Cont́ınuo (Analógico)
. Discreto
. Dados amostrados (Hı́bridos)
Variação de parâmetros . Invariantes
. Variantes
Número de entradas e sáıdas . Univariável (UV) ou SISO
(Single-Input/Multiple-Output)
. Multivariável (MV) ou MIMO
(Multiple-Input/Multiple-Output)
Existência de excitação . Não-excitado, livre ou autônomo
. Excitado
Tabela 2.1: Critérios para classificação de sistemas dinâmicos.
• Caracteŕısticas espaciais: De acordo com este critério, um sistema pode ser de parâme-
tros concentrados ou de parâmetros distribúıdos. Um sistema de parâmetros distribúıdos
(ou sistema distribúıdo) não tem um número finito de pontos nos quais podem ser defi-
nidas variáveis de estado. Por isto, muitos autores chamam os sistemas distribúıdos de
sistemas de dimensão infinita. Em contraste, um sistema de parâmetros concentrados
pode ser descrito por um número finito de variáveis de estado.
Para ilustrar estes dois tipos de sistemas, examina-se aqui o sistema distribúıdo que é uma
bobina, constitúıda por um fio condutor enrolado sobre um núcleo magnético, como está
11
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS E SISTEMAS DINÂMICOS
mostrado na Figura 2.7(a). Se uma excitação elétrica é aplicada aos terminais da bobina,
valores diferentes de tensão existirão em todos os pontos da bobina, dentro do conceito
de sistema distribúıdo. Para desenvolver um circuito de parâmetros concentrados cujas
variáveis, nos terminais se aproximem rigorosamente daquelas do elemento distribúıdo (a
bobina), pode se representar a resistência do fio através de uma resistência concentrada
R, e o efeito indutivo relativo ao campo magnético por uma única indutância L. O
circuito de parâmetros concentrados é mostrado na Figura 2.7(b). Note-se que neste
exemplo os dois elementos no modelo de parâmetros concentrados não correspondem a
partes f́ısicas separadas do sistema real. A resistência e a indutância da bobina não
podem ser separadas fisicamente uma da outra.Sistemas de parâmetros concentrados são
representados por equações diferenciais ordinárias. Sistemas de parâmetros distribúıdos
são representados por equações diferenciais parciais.
Figura 2.7: (a) Bobina; (b)representação aproximada por parâmetros concentrados.
• Linearidade: Um sistema também pode ser classificado como linear ou não-linear. Um
sistema linear é todo aquele que possui simultaneamente as propriedades da homogenei-
dade e da superposição. O sistema possui a propriedade da homogeneidade quando a
multiplicação da entrada por uma constante σ faz com que a sáıda também seja multipli-
cada por σ. A propriedade da superposição consiste em que a resposta a várias entradas
aplicadas simultaneamente seja a soma das respostas individuais a cada entrada aplicada
separadamente.
Qualquer sistema que não satisfaça, simultaneamente, as duas propriedades da lineari-
dade, é um sistema não-linear.
• Continuidade no tempo: Uma outra base de classificação de sistemas dinâmicos é a
continuidade das variáveis ao longo do tempo. Um sistema cont́ınuo é aquele em que todas
as variáveis são cont́ınuas (ver Seção 2.1). Variáveis cont́ınuas também são chamadas de
analógicas, porque circuitos eletrônicos onde as tensões e correntes são cont́ınuas são
chamados de circuitos analógicos. Assim, um sistema cont́ınuo também é, por vezes,
denominado sistema analógico. Em um sistema discreto as variáveis são discretas, isto
é, só existem em instantes distintos de tempo, e não são definidas ou então não são
de interesse entre estes instantes. Por exemplo, os circuitos digitais encontrados em
microprocessadores e em computadores são sistemas discretos, pois as tensões e correntes
só variam em instantes de tempo discretos, múltiplos do peŕıodo definido pelo relógio
(“clock”) que comanda o circuito; as variações de tensão são múltiplas da resolução do
circuito.
Sistemas cont́ınuos são descritos por equações diferenciais e sistemas discretos por equa-
ções de diferenças.
12
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS E SISTEMAS DINÂMICOS
Quando um sistema é constitúıdo por uma parte continua e outra discreta, diz-se que
o sistema é um sistema de dados amostrados, ou h́ıbrido. Este é o caso, por exemplo,
de sistemas dinâmicos cont́ınuos controlados por computador. O computador recebe
de conversores analógico-digitais (A/D) amostras das variáveis continuas, e faz o seu
processamento para gerar a ação de controle. As variáveis discretas de entrada para
o computador são dados amostrados das respectivas variáveis continuas. A Figura 2.8
ilustra a diferença entre variáveis cont́ınuas e discretas; os instantes de amostragem são
múltiplos de um intervalo de amostragem T , como se vê na Figura 2.8(b).
Figura 2.8: Variável cont́ınua e discreta.
• Variação de parâmetros: Este critério de classificação serve para distinguir sistemas
de parâmetros constantes (fixos) de sistemas com parâmetros variáveis. Sistemas cujos
parâmetros são constantes são denominados sistemas invariantes. Quando um sistema
possui elementos cujas caracteŕısticas mudam ao longo do tempo implicando em variação
de parâmetros, diz-se que ele é um sistema variante. Parâmetros podem variar por causa
de fatores ambientais, tais como temperatura, umidade e radiação. Um exemplo conhecido
de sistema variante é o de foguetes lançadores de satélites e de veiculas espaciais, cuja
massa é variável, pois mais de dois terços da massa inicial do foguete é combust́ıvel, que é
todo consumido nos poucos minutos de duração do primeiro estágio do vôo de lançamento.
Nas equações diferenciais que descrevem sistemas variantes, alguns coeficientes serão fun-
ções independentes do tempo. Além disso, um atraso na entrada de um sistema variante
no tempo irá afetar a amplitude e a forma da resposta.
Nos sistemas invariantes, o modelo do sistema, que descreve as relações entre as entradas,
as variáveis de estado e as sáıdas, é independente do tempo. Se um sistema deste tipo
está em repouso, um atraso de um tempo Td na entrada apenas atrasará a resposta do
mesmo tempo Td, sem que haja qualquer mudança em sua amplitude ou forma de onda.
• Número de Entradas e Sáıdas: Um sistema que tenha uma única excitação e uma
únicaresposta de interesse é denominado sistema univariável (UV). Tais sistemas tam-
bém são conhecidos pela sigla SISO, que são as iniciais em inglês de “uma entrada/uma
13
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS E SISTEMAS DINÂMICOS
sáıda” (Single-Input/Single-Output). Um sistema com mais de uma entrada e/ou sáıda é
denominado sistema multivariável (MV). Tais sistemas também são conhecidos pela sigla
MIMO, que são as iniciais em inglês de “múltiplas entradas/múltiplas sáıdas” (Multiple-
Input/Multiple-Output).
• Existência de excitação: Um sistema que não possui excitação externa, possuindo
apenas condições iniciais, é denominado sistema não-excitado, autônomo ou livre. Quando
existe excitação externa, diz-se que o sistema é excitado.
2.6 Objetivos da Análise e da Simulação
O objetivo principal da análise de um sistema dinâmico é a determinação de suas caracte-
ŕısticas dinâmicas e das respostas para as condições iniciais e excitações a que estará sujeito.
A análise normalmente é uma das etapas do projeto e ajuste de controladores para sistemas
dinâmicos. Na realidade, o limite entre as áreas de conhecimento denominadas “análise de
sistemas” e “teoria de controle” não é bem definido. A análise de sistemas explica porque um
sistema comporta-se de uma certa maneira. A teoria de controle estabelece métodos para se
modificar o sistema, através de ajustes de parâmetros e introdução de controladores, de modo a
alterar a resposta para uma forma desejada. Assim, não é surpreendente que o grau de sucesso
na tarefa de se projetar um sistema de controle seja criticamente dependente da boa execução
da tarefa de se analisar o sistema. Portanto, a análise deve ser encarada como um pré-requisito
par a dominação das técnicas de projeto de sistemas de controle.
A análise completa de um sistema dinâmico tem três etapas bastante distintas:
I - Modelagem
II - Determinação das Caracteŕısticas Dinâmicas
III - Obtenção das Respostas
A modelagem consiste na representação do sistema por um modelo matemático, conforme
já comentado na Seção 2.4.
A determinação das caracteŕısticas dinâmicas consiste na determinação matemática das
caracteŕısticas intŕınsecas do sistema, as quais não dependem da entrada, tais como estabilidade,
inércia, amortecimento, caracteŕıstica oscilatória, e outras. Estas caracteŕısticas podem ser
analisadas somente através do modelo, sem necessidade de se calcular a resposta do sistema.
A obtenção das respostas para determinadas condições iniciais e/ou entradas é realizada
para prever o comportamento do sistema durante sua operação real. A resposta pode ser obtida
através de cálculo anaĺıtico, para sistemas simples, ou através de simulação, para sistemas mais
complexos.
A simulação é a resolução computacional, analógica ou digital, das equações dinâmicas do
sistema, para condições iniciais e excitações espećıficas, de modo a obter gráficos ou tabelas das
variáveis dinâmicas de interesse. O objetivo também é o de permitir ajustes e correções a ńıvel
de projeto. Neste sentido simulação pode ser considerada como a etapa final da análise, porque
a simulação só é posśıvel se o modelo matemático completo do sistema estiver dispońıvel porque
ela só se justifica quando a análise matemática do sistema for muito complexa ou inviável, como
é o caso de sistemas de ordem muito elevada ou não-lineares.
A simulação, como forma de se fazer verificações e correções a ńıvel de projeto de sistemas
de controle, é útil, e até necessária, quando o projeto é feito com base num modelo matemático
simplificado. Por exemplo, é frequente utilização de modelos linearizados para sistemas não-
lineares; neste caso, pode ser necessário que o sistema seja simulado para o modelo exato,
14
CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS E SISTEMAS DINÂMICOS
levando-se em conta todas as não-linearidades, para se verificar se o controlador, projetado com
base no modelo linearizado, é eficaz no sistema real.
A eficácia máxima em análise de sistemas dinâmicos e projeto de sistemas de controle é
conseguida com a combinação adequada de análise matemática e de simulação. Sem a análise
matemática, a escolha dos parâmetros ajustáveis dos sistemas dinâmicos e de seus controla-
dores será totalmente arbitrária, e pode ser necessário um grande número de simulações para
se determinar valores dos parâmetros ajustáveis que nem sempre serão os mais adequados. A
análise matemática permite determinar valores muito próximos dos valores ideais para esses
parâmetros. Os ajustes finais podem ser feitos na base da tentativa e erro, através de simu-
lações do sistema para alguns valores dos parâmetros ajustáveis. Mas a escolha desses valores
já terá sido orientada pela análise matemática, de modo que serão necessárias poucas tentati-
vas de simulação para a determinação dos valores adequados dos parâmetros ajustáveis. Este
procedimento, se conduzido adequadamente, reduzirá ao mı́nimo a necessidade e o tempo con-
sumido com ajustes finais no sistema f́ısico real, porque os valores previamente obtidos através
da análise e da simulação já estarão muito próximos dos ideais.
15
Caṕıtulo
3
Principais Conceitos Matemáticos
3.1 Números Complexos
O estudo inicial com matemática é feito exclusivamente com números reais, tais como 4,
2/7, π. Encontra-se, porém, equações algébricas como x2 = −3, que não podem ser satisfeitas
por nenhum número real. Tal equação pode ser resolvida apenas com a introdução de uma
unidade imaginária ou operador imaginário, que será representado pelo śımbolo j. Por definição,
j2 = −1 e assim j =
√
−1, j3 = −j, j4 = 1 etc. O produto de um número real por um
operador imaginário é chamado de número imaginário e a soma de um número real e um
número imaginário é chamada número complexo. Assim, um número com a forma a+ jb, onde
a e b são números reais, é um número complexo.
Será designado um número complexo por: A = a+jb. O número complexo A é descrito como
tendo uma componente real ou parte real a e uma componente imaginária ou parte imaginária
b. Isso também pode ser representado como
Re[A] = a; Im[A] = b
A componente imaginária de A não é jb. Por definição, a componente imaginária é um
número real.
Deve ser observado que todos os números reais podem ser encarados como números com-
plexos com parte imaginária nula. Portanto, os números reais estão inclúıdos no sistema de
números complexos e pode-se considerá-los como sendo um caso especial de números comple-
xos. Quando se definir as operações aritméticas fundamentais para números complexos, deve-se
esperar que elas possam ser reduzidas à correspondente definição para números reais, se a parte
imaginária for nula.
Como qualquer número complexo é completamente caracterizado por um par de números
reais, como a e b no exemplo anterior, pode-se conseguir uma certa assistência visual, represen-
tando graficamente um número complexo num sistema de coordenadas cartesianas. Admitindo
ser um o eixo real e outro o eixo imaginário, como mostrado na Figura 3.1, forma-se um plano
complexo ou diagrama de Argand, no qual os números complexos podem ser representados por
um único ponto. Os números complexos M = 3 + j1 e N = 2 − j2 são indicados. E impor-
tante entender que o plano complexo é apenas um aux́ılio visual, não sendo essencial para as
afirmações que seguirão.
16
CAPÍTULO 3. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
Figura 3.1: Gráfico de números complexos.
Diz-se que dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais e imaginárias
são respectivamente iguais. Graficamente, a cada ponto do plano complexo corresponde um e
apenas um número complexo e, reciprocamente, a cada número complexo corresponde apenas
um ponto do plano complexo. Assim, dados dois números complexos,
A = a +jb e B = c + jd
então, se
A = B
é necessário que
a = c e b = d
Dize-se que um número complexo expresso como a soma entre um número real e um número
imaginário, A = a+ jb, está na forma retangular ou cartesiana. Brevemente aparecerão outras
formas de representação de números complexos.
Agora será definido as operações fundamentais de adição, subtração, multiplicação e divi-
são para números complexos. A soma de dois números complexos é definida como o número
complexo cuja parte real é a soma das partes reais das parcelas, com a parte imaginária sendo
a soma das partes imaginárias das parcelas. Assim,
(a+ jb) + (c+ jd) = (a+ c) + j(b+ d)
A diferença entre dois números complexos é obtida de modo semelhante,
(a+ jb)− (c+ jd) = (a− c) + j(b− d)
A adição e subtração de números complexos também podem ser obtidas graficamente no
plano complexo. Cada número complexo é representado por um vetor ou segmento de reta, e
a soma é obtida completando-se o paralelogramo indicado na Figura 3.2(a), ou conectando os
vetores como indicado na Figura 3.2(b). Um esboço gráfico é muitas vezes útil como verificação
de uma solução numérica.
O produto de dois números complexos é definido por
(a+ jb)(c+ jd) = (ac− bd) + j(bc+ ad)
17
CAPÍTULO 3. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
Figura 3.2: Soma gráfica de números complexos.
Esse resultado pode ser obtido muito facilmente através de uma multiplicação direta dos
dois binômios, usando regras válidas para números reais e lembrando que j2 = −1.
O conjugado de um número complexo A = a+jb é a−jb e é representado por A∗. É evidente
que o conjugado de qualquer relação complexa muito complicada pode ser obtido substituindo-
se cada número complexo da expressão por seu conjugado. As definições de adição, subtração
e multiplicação mostram que as seguintes afirmações são verdadeiras: a soma de um número
complexo e seu conjugado é real; a diferença entre um número complexo e seu conjugado é um
número imaginário e o produto entre um número complexo e seu conjugado é real. E evidente
que, se A∗ é o conjugado de A, então A é o conjugado de A∗; em outras palavras, A = (A∗)∗.
Um número complexo e seu conjugado constituem um par conjugado complexo de números.
A operação de divisão de números complexos é o quociente entre dois números complexos:
A
B
=
(A)(B∗)
(B)(B∗)
e assim
(a+ jb)
(c+ jd)
=
(ac+ bd) + j(bc− ad)
c2 + d2
Multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador de modo a obter
um denominador real; esse processo é chamado racionalização do denominador.
A adição ou subtração de dois números complexos expressos na forma retangular são ope-
rações simples, porém multiplicação e divisão de números complexos na forma retangular são
operações trabalhosas. Se os números complexos forem expressos sob forma exponencial ou
polar, essas duas últimas operações poderão ser executadas muito mais facilmente.
3.1.1 Identidade de Euler
Seja B é uma quantidade complexa da forma:
B = cosθ + j senθ (3.1)
onde: θ → número real [rd].
Se for diferenciado B com relação a θ, obtém-se
dB
dθ
= − sin θ + j cos θ = j(cos θ + j sin θ)
ou
dB
dθ
= jB
18
CAPÍTULO 3. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
e
dB
B
= j dθ (3.2)
Integrando ambos os lados da Equação 3.2:
lnB = jθ + C
onde: C → constante complexa de integração.
Calcula-se C voltando na Equação 3.1 e fazendo θ = 0; assim, B = 1 + j0 quando θ = 0.
Então C = 0 e
lnB = jθ ou B = ejθ
e obtém-se a identidade de Euler,
ejθ = cos θ + j sin θ (3.3)
Se fosse começado com o conjugado da Equação 3.1, teria obtido a forma alternativa da
identidade de Euler,
e−jθ = cos θ − j sin θ (3.4)
Somando e subtraindo as Equações 3.3 e 3.4, obtém-se:
cos θ =
ejθ + e−jθ
2
(3.5)
sin θ =
ejθ − e−jθ
2j
(3.6)
3.1.2 A Forma Exponencial
Seja a identidade de Euler
ejθ = cos θ + j sin θ
e multiplica-se cada lado pelo número real C,
Cejθ = C cos θ + jC sin θ (3.7)
O lado direito da Equação 3.7 consiste na soma de um número real e um imaginário e representa,
portanto, um número complexo A, onde A = a+ jb. Igualando as partes reais,
a = C cos θ (3.8)
e as partes imaginárias,
b = C sin θ (3.9)
elevando ao quadrado e somando as Equações 3.8 e 3.9,
a2 + b2 = C2
19
CAPÍTULO 3. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
C =
√
a2 + b2 (3.10)
dividindo a Equação 3.9 pela Equação 3.8,
b
a
= tan θ
ou
θ = tan−1
b
a
(3.11)
obtém-se as Equações 3.10 e 3.11 que permite determinar C e θ do conhecimento de a e b.
Um número complexo expresso na forma:
A = Cejθ (3.12)
está na forma exponencial. O fator C é conhecido como magnitude ou amplitude e a quantidade
real θ que aparece no expoente é chamada de argumento ou ângulo. A Figura 3.3 mostra a
representação do número complexo no plano complexo. Deve-se salientar que o ângulo θ é
sempre medido a partir do eixo real positivo e pode ser dado em graus ou radianos.
Uma utilidade da forma exponencial é a multiplicação e divisão entre dois números comple-
xos. Assim, se for dado dois números complexo na forma exponencial
A = C1e
jθ1 e B = C2e
jθ2
então
AB = C1C2 e
j(θ1+θ2) (3.13)
A
B
=
C1
C2
ej(θ1−θ2) (3.14)
Figura 3.3: Representação gráfica de números complexos.
20
CAPÍTULO 3. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
3.1.3 A Forma Polar
A terceira e última forma de representação de um número complexo é, essencialmente, a
mesma que a forma exponencial, exceto por uma pequena diferença no simbolismo. Usa-se um
sinal para ângulo para substituir a combinação (ej). Assim, a representação exponencial de um
número complexo A,
A = Cejθ
pode ser escrita de modo um pouco mais conciso,
A = C∠θ
Diz-se que o número complexo está na forma polar, nome que sugere a representação de um
ponto no plano complexo com a utilização de coordenadas polares.
3.1.4 Conversão da forma polar para retangular
Seja o número complexo na forma polar:
A = Cejθ
A forma retangular é dada por:
A = C(cos θ + j sin θ) (3.15)
3.1.5 Conversão da forma retangular para a forma polar
Seja o número complexo na forma retangular:
A = a+ jb
A forma polar é dada por:
A =
√
a2 + b2 e
arctan
b
a (3.16)
O ângulo da equação 3.16 só pode ser calculado por ± arctan b
a
se o número complexo
estiver no 1◦ ou 4◦ quadrante respectivamente. Se estiver no 2◦ ou 3◦ quadrante deve-se somar
ou subtrair, respectivamente, 90◦ ao ângulo.
3.2 Definição de Transformada de Laplace
Seja “s” uma variável complexa dada por
s = σ + jω (3.17)
A Transformada de Laplace (TL) de uma função f(t) é definida como:
F (s) = £ [f(t)] =
∫ ∞
0−
f(t) e−st dt (3.18)
21
CAPÍTULO 3. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
O expoente st deve ser adimensional. Assim, quando a variável independente t for tempo, a
dimensão de s deve ser o inverso de tempo, isto é, frequência. Neste caso, por ser uma variável
complexa, s é frequentemente denominada frequência complexa. No Sistema Internacional (SI)
de unidades (ou MKS), a dimensão de s é [seg−1] ou [rad/seg]. Neste texto, para se evitar
confusão com a variável complexa s, segundo será abreviado por “seg”, e não por “s”.
Na Equação 3.18, o limite inferior da integral é considerado igual a 0− (zero menos), de
modo que a integral abranja eventuais componentes impulsivas de f(t) que ocorram em t = 0.
Quando a função não possuir tais componentes, é indiferente adotar esse limite igual a 0−, 0
ou 0+.
Quando não houver dúvida de que uma função qualquer não tem componentes impulsivas
em t = 0, o limite inferior da integral de Laplace é considerado igual a 0 (zero), ao invés de 0−.
3.3 Existência da Transformada de Laplace
Quando a TL de uma função existe, então a integral∫ ∞
0−
∣∣e−stf(t)∣∣ dt (3.19)
converge para algum valor finito. Para que isto aconteça, a seguinte condição deve ser satisfeita:
lim
t→∞
e−stf(t) = 0 (3.20)
3.4 Transformadasde Laplace de Funções Simples
3.4.1 Constante
Seja k uma constante qualquer. Então:
£ [k] =
∫ ∞
0−
ke−st dt = −ke
−st
s
∣∣∣∣∞
0
=
k
s
donde
£ [k] =
k
s
(3.21)
3.4.2 Exponencial Crescente
Seja α um número positivo. Então:
£
[
eαt
]
=
∫ ∞
0−
eαt e−st dt =
∫ ∞
0−
e−(s−α)t dt = −e
−(s−α)t
s− α
∣∣∣∣∞
0
Desde que se tenha Re(s− a) > 0, esta expressão resulta em
£
[
eαt
]
=
1
s− α
(3.22)
3.4.3 Exponencial Decrescente
Ainda para α real e positivo tem-se:
£
[
e−αt
]
=
∫ ∞
0−
e−αt e−st dt =
∫ ∞
0−
e−(s+α)t dt = −e
−(s+α)t
s+ α
∣∣∣∣∞
0
Donde, para Re(s+ a) > 0,
£
[
e−αt
]
=
1
s+ α
(3.23)
22
CAPÍTULO 3. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
3.4.4 Cosseno
Seja uma onda cossenoidal de amplitude unitária e frequência ω[rad/seg]. Evidentemente,
ω é um número real positivo. A TL dessa função, de acordo com a definição, é:
£ [cosωt] =
∫ ∞
0−
cosωt e−st dt
Sabe-se que
cosωt =
ejωt + e−jωt
2
Então
£ [cosωt] =
∫ ∞
0−
(
ejωt + e−jωt
2
)
e−st dt
£ [cosωt] =
1
2
[∫ ∞
0−
ejωte−st dt+
∫ ∞
0−
e−jωte−st dt
]
Se ∫ ∞
0−
ejωte−st dt =
∫ ∞
0−
e−(s−jω)t dt = −e
−(s−jω)t
s− jω
∣∣∣∣∞
0
=
1
s− jω
e ∫ ∞
0−
e−jωte−st dt =
∫ ∞
0−
e−(s+jω)t dt = −e
−(s+jω)t
s+ jω
∣∣∣∣∞
0
=
1
s+ jω
Logo
£ [cosωt] =
1
2
(
1
s− jω
+
1
s+ jω
)
=
s+ jω + s− jω
2 (s− jω) (s+ jω)
donde
£ [cosωt] =
s
s2 + ω2
(3.24)
3.4.5 Seno
Seja uma onda senoidal de amplitude unitária e frequência ω[rad/seg]. A TL dessa função
é:
£ [sinωt] =
∫ ∞
0−
sinωt e−st dt
Sabe-se que
sinωt =
ejωt − e−jωt
j2
Então
£ [sinωt] =
∫ ∞
0−
(
ejωt − e−jωt
j2
)
e−st dt
23
CAPÍTULO 3. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
£ [sinωt] =
1
j2
[∫ ∞
0−
ejωte−st dt−
∫ ∞
0−
e−jωte−st dt
]
Se ∫ ∞
0−
ejωte−st dt =
∫ ∞
0−
e−(s−jω)t dt = −e
−(s−jω)t
s− jω
∣∣∣∣∞
0
=
1
s− jω
e ∫ ∞
0−
e−jωte−st dt =
∫ ∞
0−
e−(s+jω)t dt = −e
−(s+jω)t
s+ jω
∣∣∣∣∞
0
=
1
s+ jω
Logo
£ [sinωt] =
1
j2
(
1
s− jω
− 1
s+ jω
)
=
s+ jω − s+ jω
j2 (s− jω) (s+ jω)
donde
£ [sinωt] =
ω
s2 + ω2
(3.25)
3.4.6 Cosseno e Seno com Amplitude e Ângulo de Fase Quaisquer
Seja um cosseno de amplitude Amax e ângulo de fase θ. A sua transformada de Laplace é
dada por:
£ [Amax cos (ωt+ θ)] =
∫ ∞
0−
Amax cos (ωt+ θ) e
−stdt
Pode-se escrever que
Amax cos (ωt+ θ) = Amax
ej(ωt+θ) + e−j(ωt+θ)
2
=
Amaxe
jθ
2
ejωt +
Amaxe
−jθ
2
e−jωt
Seja A a constante complexa definida como
A =
Amaxe
jθ
2
= a+ jb
então
A∗ =
Amaxe
−jθ
2
= a− jb
Assim, o cosseno dado pode ser escrito como
Amax cos (ωt+ θ) = Ae
jωt + A∗e−jωt
Então
£ [Amax cos (ωt+ θ)] =
A
s− jω
+
A∗
s+ jω
(3.26)
Alternativamente, pode-se fazer
A
s− jω
+
A∗
s+ jω
=
a+ jb
s− jω
+
a− jb
s+ jω
=
2as− 2bω
s2 + ω2
24
CAPÍTULO 3. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
Portanto, a TL desejada pode ser apresentada nas várias formas a seguir:
£ [Amax cos(ωt+ θ)] =
A
s− jω
+
A∗
s+ jω
=
a+ jb
s− jω
+
a− jb
s+ jω
=
2as− 2bω
s2 + ω2
(3.27)
Seja agora um seno com amplitude e ângulo de fase quaisquer, basta considerar que:
sin a = cos
(
a− π
2
)
o que leva a
£ [Amax sin (ωt+ θ)] =
A
s− jω
+
A∗
s+ jω
(3.28)
para A =
Amax
2
∠ (θ − π/2)
3.5 Propriedades Fundamentais da TL
3.5.1 Linearidade
Sejam a e b duas constantes. Então:
£ [a f1(t) + b f2(t)] = aF1(s) + b F2(s) (3.29)
Esta propriedade abrange a propriedade da homogeneidade, a qual fica demonstrado ao se
considerar f1(t) = f(t) e b = 0. Então
£ [af(t)] = aF (s)
Para a = b = 1, a Equação 3.29 mostra que a TL também possui a propriedade da super-
posição, ou seja
£ [f1(t) + f2(t)] = F1(s) + F2(s)
3.5.2 Translação na Frequência
£
[
e−atf(t)
]
= F (s+ a) (3.30)
3.5.3 Diferenciação na Frequência
£ [−t f(t)] = dF (s)
ds
(3.31)
A aplicação sucessiva da Equação 3.31 leva a:
£ [(−1)ntn f(t)] = d
n F (s)
dsn
(3.32)
25
CAPÍTULO 3. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
3.6 Transformadas de Laplace de Derivadas e Integrais
3.6.1 Transformadas de Derivadas
A Transformada de Laplace da derivada de primeira ordem de uma função é dada por:
£
[
d f(t)
dt
]
= s F (s)− f(0−) (3.33)
Para obter a TL de uma derivada de segunda ordem, aplica-se a Equação 3.33 com a troca
de f(t) por f ′(t), isto é
£
[
d2 f(t)
d t2
]
= £ [f ′′(t)] = s£ [ f ′(t)]− f ′(0−)
Usando a Equação 3.33 obtém-se
£
[
d2 f(t)
d t2
]
= s2 F (s)− s f(0−)− f ′(0−)
Aplicando-se este procedimento de forma recorrente, obtém-se a seguinte expressão para
uma derivada de ordem “n” qualquer:
£
[
dn f(t)
d tn
]
= sn F (s)−
n−1∑
k=0
sn−1−k
dkf(0−)
d tk
(3.34)
Esta última equação é important́ıssima, pois é a que permite resolver equações diferenciais
lineares invariantes através da transformada de Laplace. É este o método de solução no qual
se baseia a análise de sistemas dinâmicos lineares invariantes.
A Figura 3.4 mostra a diferença entre f(0−) e f(0+)
Figura 3.4: Funções degrau e senoidal indicando os valores iniciais em t = 0− e t = 0+.
3.6.2 Transformadas de Integrais
A Transformada de Laplace da integral de uma função é dada por:
£
[∫ t
−∞
f(τ) dτ
]
=
1
s
F (s) +
1
s
∫ 0−
−∞
f(t) dt (3.35)
Notar ainda que:
£
[∫ t
0−
f(τ) dτ
]
=
1
s
F (s) (3.36)
26
CAPÍTULO 3. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
3.7 Funções Singulares e suas Transformadas
As funções singulares formam uma famı́lia de funções que podem ser obtidas umas das
outras por derivação ou integração sucessiva do degrau unitário.
3.7.1 Degrau Unitário
O degrau unitário é a função básica da famı́lia de funções singulares. O gráfico do degrau
unitário é mostrado na Figura 3.5. Sua definição é a seguinte:
U−1(t) =
{
0, para t < 0
1, para t > 0
(3.37)
Figura 3.5: Degrau unitário.
A TL do degrau unitário é calculada como:
£ [U−1(t)] =
∫ ∞
0−
U−1(t) e
−stdt =
∫ ∞
0−
e−stdt =
1
s
Logo
£ [U−1(t)] =
1
s
(3.38)
Um uso importante da função degrau é na simplificação da representação de funções que
são nulas para t < 0, mas seguem uma determinada expressão para t > 0. Por exemplo, se
g(t) =
{
0, para t < 0
f(t), para t > 0
pode-se escrever que
g(t) = f(t) U−1(t)
como mostra a Figura 3.6
27
CAPÍTULO 3. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
Figura 3.6: Uma função multiplicada pelo degrau unitário.
3.7.2 Fórmula de Recorrência para Definição de Outras Funções Singu-
lares
As demais funções singulares são definidas a partir de U−1(t), e guardam entre si as seguintes
relações:
Un−1(t) =
∫ t
−∞
Un(τ) dτ (3.39)
Un+1(t) =
dUn(t)
dt
(3.40)
3.7.3 Integrais Sucessivas do Degrau Unitário
As integrais sucessivas do degrau são obtidas aplicando-se a fórmula dada pela Equação 3.39
de modo recorrente.
A primeira integral do degrau unitário é obtida fazendo-se n = −1 nessa equação, obtendo-se
U−2(t) =
∫ t
−∞
U−1(τ) dτ =
{
0, t < 0∫ t
0
1 dτ, t ≥ 0
Logo
U−2(t) =
{
0, t < 0
t, t ≥ 0
}
= t U−1(t) (3.41)
Esta função é conhecida como rampa unitária. A TL desta função pode se obtida através
da Equação 3.35, que dá a TL de integrais, onde são feitas as seguintes substituições, de acordo
28
CAPÍTULO 3. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
coma Equações 3.37 e 3.39:
f(t) = U−1(t) ; F (s) =
1
s
;
∫ 0−
−∞
f(0−) = 0
resultando em
U−2(s) = £ [U−2(t)] =
1
s2
(3.42)
A integração da rampa unitária resulta na parábola unitária, como segue:
U−3(t) =
∫ t
−∞
U−2(τ) dτ =
{
0, t < 0∫ t
0
τ dτ, t ≥ 0
Logo
U−3(t) =
{
0, t < 0
t2
2
, t ≥ 0
}
=
t2
2
U−1(t) (3.43)
A TL pode ser obtida aplicando-se novamente a Equação 3.35, onde agora são feitas as
seguintes substituições, de acordo com as Equações 3.42 e 3.43:
f(t) = U−2(t) ; F (s) =
1
s2
;
∫ 0−
−∞
f(0−) = 0
Obtém-se então
U−3(s) = £ [U−3(t)] =
1
s3
(3.44)
Os gráficos da rampa e da parábola unitárias são mostrados na Figura 3.7.
Se este procedimento for repetido, e chegar-se até a (n-l)-ésima integral sucessiva do degrau
unitário, obter-se-á
U−n(t) =
tn−1
(n− 1)!
U−1(t) =
{
0, t < 0
tn−1(n− 1)! , t ≥ 0
(3.45)
cuja TL será
U−n(s) = £ [U−n(t)] =
1
sn
(3.46)
Figura 3.7: Funções rampa e parábola unitárias.
29
CAPÍTULO 3. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
3.7.4 Impulso Unitário e Funções Impulsivas
O impulso unitário é, por definição, a derivada do degrau. Assim, de acordo com a Equação
3.40, tomando-se n = −1 tem-se o impulso unitário dado por
U0(t) =
dU−1(t)
dt
Como o degrau é uma função descont́ınua em t = 0, e portanto não é derivável neste
ponto, em principio pode parecer que não é pasśıvel definir U0(t). Entretanto, existem variáveis
dinâmicas que podem tomar a forma de um degrau, e para as quais pode haver necessidade de
definição da derivada.
Para que esta dificuldade seja superada e a função impulso possa ser compreendida, define-se
inicialmente a seguinte função:
f−1(t) =

0, t < 0
1
εt, 0 ≤ t ≤ ε
1, t > ε
a qual está ilustrada na Figura 3.8(a). A derivada desta função é um pulso retangular de área
unitária, conforme está ilustrado na Figura 3.8(b), e dada por
f0(t) =
df−1(t)
dt
=

0, t < 0
1
ε , 0 ≤ t ≤ ε
0, t > ε
Figura 3.8: (a)Função f−1(t); (b)Derivada da função (a); (c)Degrau unitário; (d)Impulso uni-
tário U0(t).
Quando ε→ 0 observa-se claramente na Figura 3.8(a) que f−1(t) tende para a função degrau
unitário, ou seja
U−1(t) = lim
ε→0
f−1(t) =
{
0, t < 0
1, t > 0
30
CAPÍTULO 3. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
Note-se, na Figura 3.8(b), que quando ε→ 0 a derivada f0(t), da função f−1(t), vai se tornando
um pulso de duração cada vez menor e amplitude cada vez maior, mas a área é mantida com
valor unitário (A = 1). Um impulso unitário pode então ser definido como segue:
U0(t) = lim
ε→0
f0(t)
ou seja, como um pulso de duração zero, amplitude infinita e área unitária, A função impulso
também é denominada função delta de Dirac, e denotada por δ(t). O que foi mostrado anteri-
ormente leva naturalmente a concluir que
U0(t) =
dU−1(t)
dt
(3.47)
e
U−1(t) =
∫ t
−∞
U0(τ) dτ (3.48)
O impulso unitário é representado em gráfico na forma mostrada na Figura 3.8(d).
Para o cálculo da TL do impulso pode-se aplicar a fórmula dada na Equação 3.33, na qual
são feitas as seguintes substituições:
f(t) = U−1(t);
df
dt
= U0(t); F (s) =
1
s
; f(0−) = 0
donde
U0(s) = £ [U0(t)] = 1 (3.49)
Na visão do impulso como sendo a derivada do degrau, se a amplitude do degrau não for
unitária, então o impulso terá área igual à amplitude do degrau que em sistemas f́ısicas não
existem impulsos, mas sim pulsos que, se tiverem duração realmente muito curta , poderão ser
aproximados por impulsos, para fins de análise matemática.
Um exemplo de sinal que pode ser representado por um impulso é o da força mecânica que
age sobre um corpo em movimento que se choca contra uma parede, e pára no instante t = 0.
Quando ocorre o choque, a velocidade do corpo cai instantaneamente de um valor V para zero,
ou seja, segundo um degrau negativo de amplitude V . Denotando a velocidade do corpo por
v(t) pode-se escrever
v(t) = V − V U−1(t)
como ilustra a Figura 3.9(a). A aceleração que age sobre o corpo é dada pela taxa de variação
de sua velocidade, ou seja
a(t) =
d v
dt
= −V U0(t)
Figura 3.9: Velocidade e aceleração de um corpo.
31
CAPÍTULO 3. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
como está mostrado na Figura 3.9(b), significando que, instantaneamente, o corpo sofre uma
aceleração negativa (freada) de amplitude infinita, que traz a velocidade de V para zero. Por-
tanto, a aceleração é dada por um impulso negativo de área igual à velocidade V antes do
choque. Como a força é igual ao produto da massa pela aceleração, é evidente que a força
também será um impulso, o que na realidade significa uma força muito grande capaz de, num
tempo praticamente igual a zero, parar o corpo, o que corresponde ao choque. Como acontece
na maioria dos choques, essa força pode ser capaz de amassar ou de quebrar o corpo.
Por este exemplo, pode-se concluir que o impulso é uma função matemática que, em sistemas
dinâmicos, pode ser usada para representar sinais de curt́ıssima duração e grande amplitude, que
causam transferências praticamente instantâneas de energia. Ao se representar um sinal deste
tipo por um impulso, está sendo considerado que a forma de onda da variável não interessa,
supondo-se então que a duração do sinal é zero, a amplitude é infinita, mas a área tem um certo
valor, o qual define a quantidade de energia transferida. Neste ponto é importante colocar que
se a análise de um sistema dinâmico indicar a existência de um impulso em alguma variável, é
provável que esse impulso cause algum dano ao sistema. No caso do choque mecânico, a energia
cinética Mv2/2 do corpo, que cai instantaneamente a zero no momento do choque, é dissipada
em forma de calor ou na deformação ou quebra do corpo, como se vê nas colisões de véıculos.
Funções Impulsivas
Se já é dif́ıcil visualizar a função impulso, é virtualmente imposśıvel interpretar fisicamente
as derivadas do impulso. Entretanto, matematicamente elas existem, e são usadas na análise
de funções seccionalmente cont́ınuas, isto é, que sofrem variações bruscas de amplitude (do tipo
degrau) ou de taxas de variação ao longo do tempo. Assim, as derivadas do impulso serão
definidas apenas matematicamente, sem qualquer tentativa de interpretação f́ısica, como segue:
U1(t) =
dU0(t)
d t
U2(t) =
dU1(t)
d t
=
d2 U0(t)
d t2
...
Un(t) =
dn U0(t)
d tn
(3.50)
A partir da TL do impulso (U0(s) = 1), e aplicando-se de forma recorrente a fórmula da TL
da derivada, obtém-se:
U1(s) = £ [U1(t)] = s
U2(s) = £ [U2(t)] = s
2
...
Un(s) = £ [Un(t)] = s
n
 (3.51)
O impulso e suas derivadas formam a famı́lia de funções impulsivas. Em gráficos, as funções
impulsivas são representadas da mesma forma que o impulso (Figura 3.8(d)), devendo portanto
estar identificadas, para que não haja confusão.
Quando uma variável dinâmica possui funções impulsivas em sua composição, diz-se que a
variável tem componentes impulsivas.
3.8 Translação no Tempo
3.8.1 Degrau Transladado
Um degrau transladado tem a seguinte expressão:
U−1(t− a) =
{
0, para t < a
0, para t > a
(3.52)
32
CAPÍTULO 3. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
como mostra a Figura 3.10
Figura 3.10: Degrau unitário transladado.
A TL é calculada como:
£ [U−1(t− a)] =
∫ ∞
0
U−1(t− a) e−st dt =
∫ ∞
a
e−st dt = −e
−st
s
∣∣∣∣∞
a
donde
£ [U−1(t− a)] =
e−as
s
(3.53)
3.8.2 Impulso Transladado
Um impulso unitário transladado é a derivada do degrau, ou seja
U0(t− a) =
dU−1(t− a)
dt
(3.54)
Aplicando a propriedade da transformada de derivadas (Equação 3.33) a esta equação obtém-se
£ [U0(t− a)] =
∫ ∞
0−
U0(t− a) e−st dt = e−as (3.55)
Graficamente, o impulso transladado é representado na forma mostrada na Figura 3.11.
Figura 3.11: Impulso unitário transladado.
O impulso transladado possui as seguintes caracteŕısticas:
U0(t− a) = 0, para t 6= a (3.56)
33
CAPÍTULO 3. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
lim
t→0
∫ a+t
a−t
U0(t− a) dt =
∫ a+
a−
U0(t− a) dt = 1 (3.57)
Ao se multiplicar uma função x(t), finita em t = a, por um impulso unitário, o resultado,
devido à Equação 3.56, é o seguinte:
x(t)U0(t− a) = x(a)U0(t− a) (3.58)
Figura 3.12: Propriedade da amostragem da função impulso unitário.
ou seja, o resultado desta multiplicação é apenas um impulso de área x(a) no instante a, como
mostra a Figura 3.12.
Uma consequência das Equações 3.56 e 3.57 é a seguinte:
∫ t2
t1
x(t) U0(t− a) dt = x(a), para t1 < a < t2 (3.59)
Esta equação e mais a Equação 3.58 definem a propriedade da amostragem do impulso.
A Equação 3.59 pode ser utilizada para obtenção da TL de um impulso transladado de um
tempo a > O. De acordo com a definição de TL:
£ [U0(t− a)] =
∫ ∞
0−
U0(t− a) e−st dt
o que corresponde a fazer t1 = 0−, t2 →∞ e f(t) = e−stna Equação 3.59. Dentro do integrando,
a exponencial e−st é amostrada no instante t = a. Logo
£ [U0(t− a)] = e−as, a > 0 (3.60)
3.8.3 Propriedade da Translação no Tempo
Seja f(t) uma função do tempo, cuja transformada de Laplace é F (s). Considere-se que
essa função seja transladada de um tempo a, e anulada para t < a, conforme mostra a Figura
3.13. Então, a TL desta operação é dada por
£ [f(t− a) U−1(t− a)] = e−asF (s) (3.61)
34
CAPÍTULO 3. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
Figura 3.13: Função transladada no tempo.
3.9 Teorema do Valor Inicial
Se uma função f(t) tiver valor inicial ã direita f(O+), e se sua transformada de Laplace
F (s) for conhecida, então esse valor inicial pode ser calculado através da seguinte expressão:
f(0+) = lim
t→0+
f(t) = lim
s→∞
sF (s) (3.62)
3.10 Teorema do Valor Final
Se uma função f(t) tiver valor final f(∞), e se sua transformada de Laplace F (s) for
conhecida, então esse valor final pode ser calculado através da seguinte expressão:
f(∞) = lim
t→∞
f(t) = lim
s→0
sF (s) (3.63)
Importante: Este teorema deve ser utilizado com grande cuidado, pois, para vários sinais
que não tem valor final, como por exemplo as funções senoidais e as exponenciais crescentes, o
limite dado no terceiro membro da Equação 3.63 dá zero ou um valor constante. O cuidado a
ser tomado é o de verificar se a função tem valor final antes de utilizar o teorema.
3.11 Outras Transformadas de Laplace
As propriedades das transformadas de Laplace já apresentadas permitem obter com grande
facilidade as transformadas de funções em que são combinadas exponenciais, funções senoidais
e potências de “t”.
3.11.1 Produtos de Exponenciais e Funções Senoidais
Cosseno de amplitude variável exponencialmente
A partir das Equações 3.24 e 3.30 tem-se
£
[
eσt cos(ωt)
]
=
s− σ
(s− σ)2 + ω2
=
s− σ
(s− σ − jω)(s− σ + jω)
(3.64)
Seno de amplitude variável exponencialmente
A partir das Equações 3.25 e 3.30 tem-se
£
[
eσt sin(ωt)
]
=
ω
(s− σ)2 + ω2
=
ω
(s− σ − jω)(s− σ + jω)
(3.65)
35
CAPÍTULO 3. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
Cosseno de amplitude variável exponencialmente e ângulo de fase qualquer
A partir das Equações 3.27 e 3.30 tem-se
£
[
Amaxe
σt cos(ωt+ θ)
]
=
A
s− σ − jω
+
A∗
s− σ + jω
=
2a(s− σ)− 2bω
(s− σ)2 + ω2
(3.66)
Onde: A = a+ jb = Amax2 ∠θ
Em qualquer dos três casos, a amplitude será decrescente para σ < 0, será constante para
σ = 0 e crescente para oσ > 0, como mostra a Figura 3.14.
Figura 3.14: Gráfico de uma função com amplitude variável.
3.11.2 Produtos de Exponenciais e Potência no Tempo
Como
£ [U−n(t)] = £
[
tn−1
(n− 1)!
]
=
1
sn
então, de acordo com a Equação 3.30, para a = −σ tem-se
£
[
eσt U−n(t)
]
= £
[
eσt
tn−1
(n− 1)!
]
=
1
(s− σ)n
(3.67)
3.11.3 Produtos de Funções Senoidais e Potência no Tempo
O produto de potência no tempo por funções senoidais pode ser dado por
£
[
tn−1
(n− 1)!
cos(ωt)
]
=
1
2
[
1
(s− jω)n
+
1
(s+ jω)n
]
(3.68)
£
[
tn−1
(n− 1)!
sin(ωt)
]
=
1
j2
[
1
(s− jω)n
− 1
(s+ jω)n
]
(3.69)
Para o caso mais geral de uma potência do tempo multiplicando um cosseno de amplitude
e ângulo de fase quaisquer tem-se
36
CAPÍTULO 3. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
£
[
tn−1
(n− 1)!
Amax cos(ωt+ θ)
]
= £
[
tn−1
(n− 1)!
(
Aejωt + A∗e−jωt
)]
=
A
(s− jω)n
+
A∗
(s+ jω)n
(3.70)
Onde: A = a+ jb = Amax2 ∠θ
3.11.4 Produtos de Exponenciais, Funções Senoidais e Potência no Tempo
Se nas Equações 3.68 a 3.69 for aplicada a propriedade da translação na frequência, dada
pela Equação 3.30, onde se faz a = −σ, obtém-se
£
[
tn−1
(n− 1)!
eσt cos(ωt)
]
=
1
2
[
1
(s− σ − jω)n
+
1
(s− σ + jω)n
]
(3.71)
£
[
tn−1
(n− 1)!
eσt sin(ωt)
]
=
1
j2
[
1
(s− σ − jω)n
− 1
(s− σ + jω)n
]
(3.72)
£
[
tn−1
(n− 1)!
Amaxe
σt cos(ωt+ θ)
]
= £
[
tn−1
(n− 1)!
(
Ae(σ+jω)t + A∗e(σ−jω)t
)]
=
A
(s− σ − jω)n
+
A∗
(s− σ + jω)n
(3.73)
Onde: A = a+ jb = Amax2 ∠θ
3.12 Transformada Inversa de Laplace
O processo de se obter uma função do tempo a partir de sua transformada de Laplace é
denominado transformação inversa. A notação para transformação inversa de Laplace é f−1,
de modo que
f(t) = f−1 [F (s)] (3.74)
denota que f(t) é a transformada inversa de F (s). Matematicamente, f(t) é obtida a partir de
F (s) através da seguinte expressão:
f(t) =
1
2πj
∫ c+j∞
c−j∞
F (s) est ds = lim
d→∞
1
2πj
∫ c+jd
c−jd
F (s) est ds, para t > 0 (3.75)
onde c é escolhido de modo que todos os pontos singulares de F (s) estejam localizados à
esquerda da reta Re(s) = c no plano complexo “s”, como está mostrado na Figura 3.15.
37
CAPÍTULO 3. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
Figura 3.15: Plano “s” e região admisśıvel dos pontos singulares de F (s) para aplicação da
fórmula da transformada inversa de Laplace.
A expressão da transformada inversa é de uso complicado, e por isto é pouco utilizada na
prática. O procedimento normal é, para expressões simples de F (s), buscar a expressão da
transformada inversa em tabelas. Para transformadas mais complicadas, procura-se desmem-
brar F (s) numa soma ponderada (combinação linear) de expressões mais simples, ou seja
F (s) =
n∑
k=1
AkFk(s) = A1F1(s) + A2F2(s) + · · ·+ AnFn(s) (3.76)
onde A1, A2, · ,An são constantes. Devido à propriedade da linearidade das TL’s, a qual combina
homogeneidade e superposição , a transformada inversa será pela mesma soma ponderada das
transformadas inversas de cada parcela, ou seja
f(t) =
n∑
k=1
Akfk(t) = A1f1(t) + A2f2(t) + · · ·+ Anfn(t) (3.77)
onde
fk(t) = f
−1 [Fk(s)] , para k = 1, 2, · · · , n
Este procedimento é o mais utilizado na obtenção de transformadas inversas, especialmente
quando as transformadas são funções racionais.
3.13 Transformadas de Laplace Racionais
3.13.1 Definições Básicas
Função Racional: Uma função racional é uma relação de dois polinômios, da forma
F (s) =
N(s)
D(s)
=
Nps
p +Np−1s
p−1 + · · ·+N2s2 +N1s1 +N0
Dnsn +Dn−1sn−1 + · · ·+D2s2 +D1s1 +D0
(3.78)
38
CAPÍTULO 3. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
Zeros de F (s): São as ráızes de
F (s) = 0
ou seja, são os valores de s que anulam a função. Se F (s) for racional, da forma dada pela
Equação 3.78, os zeros de F (s) são os zeros de seu numerador, isto é, são as ráızes de
N(s) = 0 (3.79)
Pólos de F (s): São as ráızes de
1
F (s)
= 0
ou seja, são os valores de s que anulam o inverso da função. Se F (s) for racional, da forma
dada pela Equação 3.78, os pólos de F (s) são os zeros de seu denominador, isto é, são as ráızes
de
D(s) = 0 (3.80)
Forma Fatorada de F (s): Se os zeros e pólos de uma função racional F (s) forem conhe-
cidos, então a função poderá ser escrita em forma fatorada, como segue:
F (s) =
N(s)
D(s)
=
Np (s− z1) (s− z2) · · · (s− zp)
Dn (s− d1) (s− d2) · · · (s− dn)
(3.81)
Onde: z1,z2,· · · ,zp → são os zeros de F (s).
d1,d2,· · · ,dn → são os pólos de F (s).
3.13.2 Determinação da Transformadas Inversas de Laplace
Toda função racional, como mostrado na Equação 3.78, pode ser desmembrada em uma
soma de um polinômio de grau (p − n) e uma função cujo denominador é o mesmo da função
original. Isto é, se p ≥ n, tem-se:
F (s) = Qp−ns
p−n +Qp−n−1s
p−n−1 + · · ·+Q1s+Q0
+
Rn−1s
n−1 +Rn−2s
n−2 + · · ·R2s2 +R1s+R0
Dns
n +Dn−1s
n−1 + · · ·D2s2 +D1s+D0
(3.82)
Ou seja
Fração = Quociente +
Resto
Denominador
Na Equação 3.82, os termos referentes ao Quociente leva às funções impulsivas conforme
Seção 3.7.4 pois a variável s tem expoentes positivos. A expressão restante, que está na forma
racional, pode ser escrita conforme Equação 3.81 na forma
G(s) =
R(s)
D(s)
=
Rw(s− r1)(s− r2) · · · (s− rw)
Dn(s− d1)(s− d2) · · · (s− dn)
(3.83)
Onde: r1,r2,· · · ,rw → são os zeros de G(s).
d1,d2,· · · ,dn → são os pólos de G(s).
39
CAPÍTULO 3. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
Se p < n, a Equação 3.78 se mantem na forma