Cálculo III Slides Aula 02

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AULA 02
CÁLCULO III 
SEQUÊNCIAS CONVERGENTES
Prof. Claudio Possani
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS. 
EXEMPLOS
•Progressões Aritméticas: 
são sequências em que passamos de um termo 
para o seguinte somando um constante 
(razão).
3,7,11 ,15 ,19, ... É uma P.A. em que o primeiro 
termo é 3 e a razão 4.
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS.
•
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS.
•Progressões Geométricas:
•São sequências em que passamos de um 
termo para o seguinte multiplicando por uma 
constante (razão).
•3, 6, 12, 24, 48, ...É uma P.G. em que o primeiro 
termo é 3 e a razão é 2.
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS. 
EXEMPLOS
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS. 
EXEMPLOS
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
• UMA DEFINIÇÃO FORMAL.
• Uma sequência numérica é uma função com domínio N e 
contradomínio R.
f(n) = 𝑎𝑛
• Sequências podem começar no n=1 ou n =0. Em cada caso usamos
𝑎1 ou 𝑎0.
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS. LIMITES
• Sequências numéricas (reais) podem ter 3 comportamentos em 
termos de limite:
1) crescer para ∞ (+∞ ou −∞).
• 𝑎𝑛 = 2 + 3n, n ≥ 1.
• 𝑎𝑛 = 𝑛 , n ≥ 1
• 𝑎𝑛 = −2
2𝑛+1 , n ≥1.
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS. LIMITES
2) oscilar ( sem ter um limite definido)
• 𝑎𝑛 = sin
𝜋
2
𝑛 , n ≥ 1 
(1, 0, -1, 0, 1, ...)
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS. LIMITES
2) oscilar ( sem ter um limite definido)
• 𝑎𝑛 = sin
𝜋
2
𝑛 , n ≥ 1 
(1, 0, -1, 0, 1, ...)
• 𝑎𝑛 = −2
𝑛, n ≥ 0
( 1, -2, 4, -8, 16, ...)
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS. LIMITES
3) tender para um número real bem definido:
• 𝑎𝑛= 
1
𝑛
, n≥ 1. (𝑎𝑛 tende a 0 )
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS. LIMITES
3) tender para um número real bem definido:
• 𝑎𝑛= 
1
𝑛
, n ≥ 1. (𝑎𝑛 tende a 0 )
• 𝑎𝑛=
1
𝑛
+ 2 , n ≥ 1. (𝑎𝑛 tende a 2).
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS. LIMITES
3) tender para um número real bem definido:
• 𝑎𝑛= 
1
𝑛
, n ≥ 1. (𝑎𝑛 tende a 0 )
• 𝑎𝑛=
1
𝑛
+ 2 , n ≥ 1. (𝑎𝑛 tende a 2).
• 𝑎𝑛=cos
1
𝑛
+ 2 𝜋 , n ≥ 1. (𝑎𝑛 tende a 1)
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 
CONVERGENTES
• Quando uma sequência tem um limite que é um número real (finito) L 
dizemos que a sequência é CONVERGENTE.
• Escrevemos lim
𝑛 →∞
𝑎𝑛 = L.
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 
CONVERGENTES
• Quando uma sequência tem um limite que é um número real (finito) L 
dizemos que a sequência é CONVERGENTE.
• Escrevemos lim
𝑛 →∞
𝑎𝑛 = L.
lim
𝑛→∞
cos
1
𝑛
+ 2 𝜋 = 1.
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 
CONVERGENTES
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 
CONVERGENTES
• As propriedades operatórias de limites de funções também se aplicam 
às sequências:
1) Limite da Soma:
Se lim
𝑛 →∞
𝑎𝑛 = a e lim
𝑛 →∞
𝑏𝑛 = b 
então lim
𝑛 →∞
(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) = a +b. 
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 
CONVERGENTES
• As propriedades operatórias de limites de funções também se aplicam 
às sequências:
2) Limite do Produto:
Se lim
𝑛 →∞
𝑎𝑛 = a e lim
𝑛 →∞
𝑏𝑛 = b então 
lim
𝑛 →∞
(𝑎𝑛.𝑏𝑛) = a.b.
Valem também as propriedades para quocientes, 
produto por constante, etc...
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 
CONVERGENTES
•SEQUÊNCIAS CRESCENTES E LIMITADAS.
•Se uma sequência numérica é crescente e 
limitada superiormente, então ela é 
convergente.
A sequência 3; 3,1 ; 3,14 ; 3,141 ; 3,1415 ; 
3,14159 , ... é 
crescente e é limitada. Ela converge para 𝜋.
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 
CONVERGENTES
• SEQUÊNCIAS CRESCENTES E LIMITADAS.
•Se uma sequência numérica é crescente e limitada 
superiormente, então ela é convergente.
Da mesma forma 0,9 ; 0,99 ; 0,999 ; ... converge 
para 
0,99999... = 1.
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 
CONVERGENTES
𝑎𝑛 = 1 +
1
𝑛
𝑛
é crescente e limitada superiormente 
e portanto é convergente.
Os primeiros termos são : 2 ; 2,25 ; 2,3703... ; 
2,4414...; ....
O limite é e = 2,718281...
lim
𝑛→∞
1 +
1
𝑛
𝑛
= e
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 
CONVERGENTES
•Propriedade importante e prática: 
Se uma função f : [a, ∞ [ →R verifica
lim
𝑥→∞
f(x) = L e 
a sequência 𝑎𝑛 satisfaz 𝑎𝑛 = f(n) , 
então lim
𝑛→∞
𝑎𝑛=L.
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 
CONVERGENTES
• Propriedade importante: 
Para calcular lim
𝑛→∞
𝑠𝑒𝑛 𝑛
𝑛
, podemos fazer o seguinte:
tomamos a função f(x) = 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
e calculamos 
lim
𝑥→∞
f(x) . Usando as técnicas usuais do Cálculo 
obtemos que este limite é 0.
Daí concluímos que lim
𝑛→∞
𝑠𝑒𝑛 𝑛
𝑛
= 0.