Cálculo III - Aula 03 - Integrais de Linha 02

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CÁLCULO III: INTEGRAIS DE 
LINHA – PARTE 02 
Rodrigo Tavares Teixeira 
Nessas notas entenderemos as ideias sobre 
mudanças de coordenadas em integrais de 
linha. 
Mudança de Coordenadas 
Reparametrizações 
 Imagine uma curva 𝐶 no ℝ𝑛 de classe ∁1 e duas 
parametrizações da curva 𝐶 , 𝛾: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℝ𝑛 e 
𝛽: [𝑐, 𝑑] ⊂ ℝ → ℝ𝑛. 
 
 Se existe uma função real ℎ(𝑥) onde ℎ: 𝑐, 𝑑 → [𝑎, 𝑏]. 
 
 ℎ 𝑥 será crescente se ℎ 𝑐 = ℎ(𝑎) e ℎ 𝑑 = ℎ 𝑏 . 
 
 ℎ 𝑥 será decrescente se ℎ 𝑐 = ℎ(𝑏) e ℎ 𝑑 = ℎ 𝑎 . 
 
Reparametrizações 
 
 Podemos definir 𝛽: [𝑐, 𝑑] ⊂ ℝ → ℝ𝑛 como 
𝛽 = 𝛾 ∘ ℎ, 
 
 Onde 𝛽 = 𝛾 ∘ ℎ é uma reparametrização da curva 
𝐶 do ℝ𝑛. 
Reparametrizações 
 Se ℎ(𝑥) é 
crescente, dizemos 
que 𝛽 preserva a 
orientação. 
Reparametrizações 
 Se ℎ(𝑥) é 
decrescente, 
dizemos que 𝛽 
inverte a 
orientação. 
Mudança de sentido 
 Seja 𝛾: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ →
ℝ𝑛 uma 
parametrização de 𝐶; 
 
 Se ℎ: 𝑎, 𝑏 → [𝑎, 𝑏] 
onde ℎ 𝑡 = 𝑎 + 𝑏 −
𝑡. 
 
 Podemos definir uma 
𝛾−: 𝑎, 𝑏 ⊂ ℝ → ℝ𝑛 
 
 Onde 
𝛾− 𝑡 = 𝛾(𝑎 + 𝑏 − 𝑡) e 
 
𝐶− é curva que liga o 
ponto 𝛾(𝑏) a 𝛾(𝑎). 
Reparametrização 
𝛾 e 𝛾− têm o mesmo traço, mas são percorridas em 
sentidos opostos 
Exemplo: 
 Seja 𝐶 um círculo 
unitário, que pode ser 
parametrizado por 
𝛾 𝑡 = (cos 𝑡, sin 𝑡) , 
𝑡 ∈ 0, 2𝜋 . 
Exemplo: 
 Fazendo ℎ 𝑡 = 2𝜋 − 𝑡 , 
então: 
 𝛾−(𝑡) = 𝛾(ℎ 𝑡 = 
 
= cos 2𝜋 − 𝑡 , sin 2𝜋 − 𝑡 
 
= (cos 𝑡 , −sin 𝑡 ) , 𝑡 ∈ [0,2𝜋] 
Reparametrização: Teorema 
 Seja 𝐹 um campo de 
vetores; 
 𝐶 uma curva de classe 
∁1. 
 Uma parametrização 𝛾 
de 𝐶 , onde 𝐹 ∘ 𝛾 é 
contínua; 
 Se houver uma outra 
parametrização tal 
que: 
 Seja 𝛽 uma 
reparametrização de 𝐶, 
 
 Se 𝛽 preserva a 
orientação e 𝛽 𝐼 = 𝐿 
 𝐹
𝐶
= 𝐹
𝐿
 
 
 Se 𝛽 inverte a orientação 
 𝐹
𝐶
= − 𝐹
𝐿
 
 
Exemplo: 
 Seja 𝐹 𝑥, 𝑦 =
𝑥2, 𝑥𝑦 ; 
 𝐶 uma curva formado 
por 𝑦 = 𝑥2, 𝑜 ≤ 𝑥 ≤
1 e pelo segmento de 
reta que liga 
1, 1 𝑒 0, 0 . 
 Calcule 𝐹𝑐 
Propriedades da Integral de Linha 
 Sejam números reais 
𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝐹, 𝐺 campos de 
vetores e 𝐶 uma curva de 
classe ∁1. Então: 
 
 𝑎𝐹 + 𝑏𝐺𝐶 = 𝑎 𝐹𝐶 +
𝑏 𝐺𝐶 
 Se uma curva 𝐶 admite 
ser decomposta em um 
número 𝑛 de curvas 
𝐶𝑖 , 𝑖 = 1,… , 𝑛, então: 
 
 𝐹𝐶 = 𝐹𝐶𝑖
𝑛
𝑖=1 
Linearidade Aditividade 
Propriedade da Integral de Linha 
 Seja f uma função de 
várias variáveis 
diferenciável. 
 Com campo gradiente 
𝐹 = 𝛻𝑓 
 E seja em curva 𝐶 de 
classe ∁1 ligando os 
pontos 𝑃 a 𝑄. 
 Então: 
 𝐹𝐶 = 𝑓 𝑄 − 𝑓(𝑃) 
 
 Em particular se a 
curva for fechada: 
 𝐹𝐶 = 0 
Campo Gradiente 
Exemplo: 
 Calcule o 𝐹𝐶 , 
onde o campo de 
vetores é 
𝐹 𝑥, 𝑦 = 2𝑥, 2𝑦 
e 𝐶 é o circulo 
unitário de raio 1, 
do ponto (0,1) a 
(-1,0). 
Obrigado pela atenção!!