Círculo trigonométrico

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Círculo trigonométrico 
O círculo trigonométrico é uma circunferência usada para representar ângulos e relacioná-
los com números reais. 
 
O círculo trigonométrico é uma circunferência de raio 1 usada para 
representar números reais relacionados a ângulos. Sendo assim, cada ponto 
dessa circunferência está relacionado a um número real, que, por sua vez, 
representa um ângulo. Assim, é possível representar também valores de seno e 
cosseno. 
O centro desse círculo está sobre o ponto O = (0,0) do plano cartesiano e, como o 
raio dele é 1, podemos calcular seu comprimento da seguinte maneira: 
C = 2·π·r 
C = 2·π·1 
C = 2·π 
 
 
 
 
 
A ideia de volta 
A ideia de volta está presente nos círculos trigonométricos. Como o comprimento 
da circunferência é 2·π, podemos dizer que uma volta completa nesses círculos tem 
essa medida. Repare apenas que o ângulo formado por essa volta mede 360°. 
Dessa maneira, o número 2·π relaciona-se com o ângulo 360°. 
Assumindo que essas voltas sejam feitas no sentido anti-horário, vamos calcular o 
valor numérico e o ângulo correspondente à meia-volta: 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/circulo-circunferencia.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-numeros-reais.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/angulos.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/razoes-trigonometricas.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/razoes-trigonometricas.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/plano-cartesiano.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/comprimento-circunferencia-1.htm
C = 2·π = π 
2 2 
Portanto, meia-volta é igual a π. O ângulo gerado por meia-volta é 180°, pois é 
metade de 360°. 
 
Qualquer número real pode ser representado em um círculo trigonométrico. O 
comum, entretanto, é usar os números que vão de 0 a 2·π e os ângulos referentes a 
esse intervalo. A figura a seguir mostra a localização dos pontos correspondentes 
aos ângulos 0°, 90°, 180°, 270° e 360° e os números reais, em função de π, 
relacionados. 
 
 
Quadrantes 
Os ângulos presentes na figura acima marcam posições muito importantes 
no círculo trigonométrico: os chamados quadrantes. Eles são definidos no sentido 
anti-horário. Na figura a seguir, observe os quatro quadrantes e sua localização 
no círculo trigonométrico. 
 
Em cada um desses quadrantes pode ser encontrado um intervalo de números reais 
em função de π em que cada valor está relacionado a um ângulo. Veja: 
 Quadrante I: contém os números reais que vão de 0 até π/2 e os ângulos entre 
0° e 90°. 
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 Quadrante II: contém os números reais que vão de π/2 até π e os ângulos 
entre 90° e 180°. 
 Quadrante III: contém os números reais que vão de π até 3π/2 e os ângulos 
entre 180° e 270°. 
 Quadrante VI: contém os números reais que vão de 3π/2 até 2π e os ângulos 
entre 270° e 360°. 
 
 
 
Razão seno e razão cosseno 
No círculo trigonométrico, é possível encontrar os valores de seno e de cosseno de 
um ângulo θ qualquer. Para tanto, é necessário construir esse ângulo no círculo 
trigonométrico, como foi feito na imagem a seguir. 
 
Note que, tomando os segmentos BC e AB, paralelos a AD e DC, respectivamente, 
temos um retângulo. Podemos notar que a medida do lado CD = b1 é igual ao senθ, 
pois: 
Senθ = CD = b1 = b1 
 AC 1 
A medida do segmento AC é 1 porque AC é o raio da circunferência. Essa medida é 
a altura do retângulo. 
A medida do segmento AD = a é igual ao cosθ, pois: 
cosθ = AD = a = a 
 AC 1 
Sendo assim, no círculo trigonométrico, as medidas de seno e cosseno de θ são 
iguais às medidas do cateto oposto e adjacente a esse ângulo. 
Podemos calcular agora os valores mais importantes para seno e cosseno. Observe 
no círculo trigonométrico que: 
 Quando θ = 0°, senθ = 0 e cosθ = 1. 
 Quando θ = 90°, senθ = 1 e cosθ = 0. 
 Quando θ = 180°, senθ = 0 e cosθ = – 1. 
 Quando θ = 270°, senθ = – 1 e cosθ = 0. 
 Quando θ = 360°, senθ e cosθ possuem os mesmos valores do caso em que θ 
é igual a 0°. 
Nesse sentido, podemos saber os quadrantes nos quais o seno e o cosseno são 
positivos ou negativos. Observe a figura a seguir: 
 
 
 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/retangulos.htm
Círculo trigonométrico 
Chamamos de círculo trigonométrico (circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico) a 
circunferência orientada, de centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujo 
raio tem 1 unidade de comprimento e na qual o sentido positivo é o anti-horário. 
 
Todo círculo trigonométrico tem início no ponto A e gira sempre no sentido anti-horário, ou seja, 
sentido positivo. 
Os eixos x e y dividem a circunferência em 4 partes congruentes, chamadas de quadrantes. 
 
No círculo trigonométrico registramos as medidas dos ângulos que podem estar em graus ou em 
radianos. 
Medida em Graus 
A unidade principal de medida de um ângulo é o grau (°). 
1° (um grau) equivale a 1360 de uma circunferência, ou seja, 1° corresponde a uma das 360 partes em 
que uma circunferência foi dividida. Assim, uma circunferência inteira possui 360°. 
Quando queremos expressar medidas de ângulos menores que 1°, utilizamos a medida minuto ( ‘ ). 
Um minuto corresponde a 160 de um grau, ou seja, 1 minuto (1’) corresponde a uma das 60 partes em 
que um ângulo de 1° foi dividido (1′=1o60). Assim, um grau possui 60 minutos (1o=60′). 
Quando queremos expressar medidas de ângulos menores que 1°, utilizamos a medida segundo ( “ ). 
Um segundo corresponde a 160 de um minuto, ou seja, 1 segundo (1”) corresponde a uma das 60 
partes em que um ângulo de 1’ foi dividido (1′′=1′60). Assim, um minuto possui 60 segundos 
(1′=60′′). 
Medida em radianos 
Arco de 1 radiano (1 rad) é o arco cujo comprimento é igual à medida do raio da circunferência que o 
contém. 
 
As medidas de arcos de circunferências em graus e em radianos são diretamente proporcionais: 
360o2π=180oπ 
Assim, é possível fazer conversões de unidades através de uma regra de três simples: 
a180o=απ 
Principais divisões do círculo trigonométrico 
Algumas medidas de ângulos são notórias no círculo trigonométrico. São as marcações dos ângulos 
de 0°, 90°, 180°, 270° e 360°: 
 
Observe que os valores de 0°, 360° (2π) são congruentes. 
Arcos côngruos 
Toda vez que o ponto da circunferência é o mesmo para dois arcos diferentes (por exemplo, 0 e 2π), 
chamamos esses arcos de côngruos ou congruentes. Note que todos os arcos côngruos diferem entre 
si de um múltiplo de 2π, que é o comprimento de cada volta. 
Imaginando o ponto como um móvel que se desloca sobre a circunferência no sentido anti-horário, 
teríamos o seguinte: 
 
Na primeira figura, o ponto deslocou-se 60° de A até B; 
Na segunda figura, o ponto deslocou-se uma volta inteira (2π ou 360°) e mais 60°; ou seja, deslocou-
se 420°; 
Na terceira figura, o ponto deslocou-se duas voltas inteiras (2⋅2π ou 2 . 360°) e mais 60°; ou seja, 
780°. 
Supondo que o ponto se deslocasse k voltas inteiras, o número associado à extremidade B do arco AB 
seria: 
60o+k⋅360o,k∈Z 
Ou em radianos: 
π3+k⋅2π,k∈Z 
 
 
vídeos aulas 
https://www.youtube.com/watch?v=X38pht8Ob-
Q&list=PLFZkYpCuD9Jx24_6g6NOeShNgzpjtuoDh&index=9&t=645s 
 
https://www.youtube.com/watch?v=a7Gu5GzGRgE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=X38pht8Ob-Q&list=PLFZkYpCuD9Jx24_6g6NOeShNgzpjtuoDh&index=9&t=645s
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Exercícios 
LISTA DE EXERCÍCIOS - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
1. Defina funções trigonométricas? 
 
 
 
2. Quais são as principais funções trigonométricas? 
 
 
 
3. No círculo trigonométrico, o sinal da função seno é positivo quando x pertence: 
(A) ao primeiro e quarto quadrantes 
(B) ao primeiroe segundo quadrantes 
(C) ao terceiro e quarto quadrantes 
(D) ao segundo e terceiro quadrantes 
 
4. No círculo trigonométrico, o sinal da função cosseno é negativo: 
(A) ao primeiro e quarto quadrantes 
(B) ao primeiro e segundo quadrantes 
(C) ao terceiro e quarto quadrantes 
(D) ao segundo e terceiro quadrantes 
 
5. Qual a função é sempre crescente em todos os quadrantes do círculo trigonométrico? 
(A) função trigonométrica 
(B) função seno 
(C) função cosseno 
(D) função tangente 
 
6. Complete o círculo trigonométrico apresentado os radianos em seus respectivos ângulos. 
7. Preencha a tabela abaixo com os valores dos sen(x), cos(x) e tg(x): 
 
Ângulo x (radiano) sen(x) cos(x) tg(x) 
00 
30
0
 
45
0
 
60
0
 
90
0
 
180
0
 
270
0
 
360
0
 
 
 
8. Qual o conjunto Imagem da função f(x) = 2 + senx, x  Reais? 
 
 
 
 
 
 
9. Qual o Período da função y = 5cos (4 + /3)? 
 
 
 
 
 
 
 
10. (G1 - CFTMG 2015) O esboço do gráfico da função f(x) = a + b cos(x) é mostrado na figura 
seguinte. Determine a x b. 
 
11. (PUCRS 2013) A figura a seguir representa um esboço do gráfico de uma função 
y = A + B sen(x/4), que é muito útil quando se estudam fenômenos periódicos, 
como, por exemplo, o movimento de uma mola vibrante. Então, o produto das 
constantes A e B é? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Qual dos gráficos abaixo representa a função y = 2 + sen(x)?