Medidas de Dispersão

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Medidas de Dispersdo ou de
Variabilidade
A interpretaqdo de dados estatisticos exige que se realize um numero maior
de estudos, al6m das medidas de posiqdo. O estudo dbs m6dias, medianas, moda,
quartis e percentis sdo viilidos, mas ndo suficientes para estudos comparativos ou
conclus6es qualitativas. Tamb6m 6 importante descrever o conjunto de valores
do grupo em termos da variaqio existente entre seus elementos. Quanto maior
a variaqSo dos dados, menor a representatividadb da mddia. Sendo assim, pode-
se dizer que as medidas de dispersio slo fteis para qualificar a m6dia. Quanto
menor a dispersdo, maior a homogeneidade na concentraqdo entre os elementos
do conjunto de valores, e mais confidvel6 a m6dia.
As medidas de dispersdo ou de variabilidade servem para verificar a repre-
sentatividade das medidas de posiqdo.
Das medidas de dispersdo ou de variabilidade, estudam-se:
. amplitude total;
. variAncia e desvio-padrdo;
. coeficiente de variaqdo.
9.1 Amplitude total
. Cdlculo da amplitude total para s6rie simples: para dados ndo agru-
pados, a amplitude total 6 a diferenqa entre o maior e o menor valor da
s6rie de dados coletados.
A^:X -X,I max mln
212 Estatisrica Biisica . Tiboni
amplitude total;
: maior valor da s6rie;
: menor valor da s6rie.
Exemplo 9.1 O nfmero de acidentes do trabalho ocorridos mensalmente numa
empresa, durante o ano de2OO9, estd registrado no grilfico a seguir (Figura 9.1-).
Qual o valor da amplitude total dos valores dessa s6rie?
Figura 9.7 Acidentes de trabalho.
SoluqSo:
Varidvel: nfmero de acidentes de trabalho.
AI : X-r* -X-, : 23 - 3 : 20 acidentes de trabalho.
Exemplo 9.2 Uma empresa seguradora especializada em seguros residenciais
registrou o nrimero di:irio de seguros contratados durante um periodo de 30 dias-
Qual o valor da amplitude total dos dados registrados na Tabela 9.1?
Tabela 9.I Venda de seguros residenciais num pertodo de 30 dias.
A_
X,mil
X.
m1n
-E 2s
Gs(!
!20
oE
.agrs
oE
H10
q
o
95t{o
Eo ':s*l:.oc;:-cj!..1J{.i
". E n 
g € S E E S 3 6 2I
Ne de seguros residenciais (X,) , 4 6 8 10 72 T4 16
Nrimero de dias (f,) 10 7 4 2 3 1 2 1
Medidas de DispersSo ou de Variabilidade 213
Solugdo:
Variiivel: seguros residenciais.
LT : X^^*- X-," : 76 - 2 : 74 seguros residenciais
. Cdlculo da amplitude total para dados agrupados numa distribuiqio
de frequOncia: levando-se em conta a variilvei em estudo, a amplitude
total 6 a diferenqa entre o limite superior da classe mais alta e o limite
inferior da classe mais baixa.
A^:L . -l.I max mln
l.,i* : limite superior da classb mais alta (riltima classe);
l.,n : limite inferior da classe mais baixa (primeira classe).
Exemplo 9.3 Foi feito um levantamento da idade de 43 pessoas presentes na
sala de espera de um pronto-socorro. Os resultados esteo expressos na Tabela9.2.
Calcule o valor da amplitude total dessa distribuiqdo das idades.
\.
Tabela 9.2 Dktribuigdo das idades dos pessoas presentes na. sala de espera de um
pronto-socorro.
t Idade Ne de 
pessoas
(f')
1 ls F30 9
) 30 F4s 72
J 4s F6o 15
4 60 l7s 7
Total n: 43
Solugdo:
Variiivel: idade
LT : L^,"- l.in : 75 - 75 : 60 anos
Observa-se que a amplitude total da s6rie leva
mos, sem considerar os termos intermedidrios, e,
expressa se hii equilibrio na distribuiq5o dos termos
em conta somente os extre-
nesse caso, o resultado ndo
na s6rie.
214 Estatfstica Bdsica . Tiboni
A amplitude total 6 ritil em casos como a medida de temperatura de uma
localidade, em que pode-se estabelecer a amplitude da temperatura em um dia,
semana, m€s ou ano. Para a programagdo de um evento, 6 importante e signifi-
cativo conhecer a amplitude da temperatura da regido durante os dltimos dias,
semanas, meses ou anos.
9.2 Yaridncia (S2) e Desvio-padrdo (S)
A variAncia 6 a medida de dispersAo mais empregada, pois leva em conside-
rag6o todos os valores coletados para a variiivel em estudo. f um indicador de
variabilidade mais confiiivel.
A variAncia relaciona os desvios em torno da m6dia, ou mais especificamente
6 a m6dia aritm6tica dos quadrados dos desvios.
. valores da s6rie pr6ximos uns dos outros originam um desvio-padrdo
menor. Isso significa que, quanto menor for o valor do desvio-padrdo,
menor serii a dispersdo dos valores da s6rie, ou seja, trata-se de uma
s6rie de valoqes com menor variagdo (s6rie mais homogdnea);
. valores da s6rie muito afastados uns dos outros ddo um desvio-padrdo
maior. Isso significa que, quanto maior for o valor do desvio-padrdo,
maior serii a dispersdo dos valores da s6rie, ou seja, trata-se de uma s6rie
de valores com maior variaqdo (s6rie mais heterog€nea).
Outro conceito que auxilia o entendimento de desvio-padrdo 6 o coeficiente
de variaqdo; que permite comparar o grau de concentraqdo em torno da mddia
para duas ou mais s6ries distintas.
Exemplo 9.4 Para maior clareza dos conceitos, considere como exemplo a ocu-
pagdo de dois hot6is, sendo que A 6 um hotel de lazer e B 6 um hotel de neg6cios-
A tabela registra o nfmero m6dio di:lrio das unidades habitacionais ocupa-
das em cada hotel, durante os meses de janeiro a julho.
Segundo a Embratur (Instituto Brasileiro de Turismo, anterior Empresa Bra-
sileira de Turismo), unidade habitacional 6 o espaqo, ating(vel a partir das iireas
principais de circulaqdo comuns do estabelecimento, destinado ir utilizagdo, pelo
h6spede, para seu bem-estar, higiene e repouso.
Medidas de Dispersdo ou de Variabilidade 215
Tabela 9.3 Ocupagdo de hotdis.
Amplitude total:
ATo : X.* - x-r : 76o - 270 : 49o unidades habitacionais (U.H.)
ATu: x.* -X-* : 510 - 47o: 100 unidades habitacionais (U.H.)
Note que os dois hot6is apresentam:
' mesmos valores de m6dia aritmdtica (4 : I, : 452,22 unidades habi-
tacionais);
' diferentes valores de desvio-padrdo (So:2O4,62U.H.; Su = 31,53 U.H.);
' diferentes valores de coeficiente de variagdo (Vo: 45,25 o/o;V": 6,97 o/o);
' diferentes valores de amplitude total (ATo: 490 U.H.; ATu: 100 uni-
dades habitacionais).
Embora os dois hot6is apresentem a mesma m6dia aritm6tica de leitos ocupa-
dos, a ocupagdo de cada hotel ao longo do perfodo considerado 6 muito diferente.
O hotel A apresenta uma grande variaEdo do nrimero de unidades habita-
cionais ocupadas em relaqdo d m6dia de ocupagdo diiiria obtida para o periodo
em estudo (9 meses). Jii o hotel B apresenta pequena variagdo, como pode ser
observado na Figura 9.2.
iL
|l
fil
fl
ri
rll
tl
MAs
Unidades habitacionais (m6dia di:iria)
Hotel A Hotel B
Jan. 760 420
Fev. 690 450
Mar. 380 510
Abr. 280 460
Maio 320 470
Jun. 300 440
Jul. 710 480
Ago. 270 430
Set. 360 470
Valor mddio (x) xa: 452,22U.H. xo:452,22U.H.
Desvio-padrdo (S) Se:204,62U.H. Sr : 31,53 U.H.
Coeficiente de variaqdo (V) vo: 45,25o/o Vr: 6,970/o
216 Estatfstica B6sica . Tiboni
F ooo
H soo
FE +oo
o,)
E 3oo€
'! 200
100
Maio Jun. Jul. Ago.Mar.Jan.
Figura 9.2 Ocupagdo dos hotdis A e B.
Qual dos dois hot6isbpresenta valores mais dispersos?
Resposta: a s6rie de valores do hotel A (So : 204,62 U.H.) 6 mais dispersa
que a s6rie de valores do hotel B (S, : 31,53 U.H.).
O que se conclui desse estudo?
ll
Resposta: o hotel B mant6m suas acomodaq6es ocupadas de maneira uni-
forme ao longo do mesmo periodo, o que reduz a ociosidade de seus recursos,
implicando numa receita maior em relaqdo ao custo fixo.
Por outro lado, o hotel A necessita manter uma infraestrutura maior para o
atendimento nos meses de f6rias, que se mant6m ociosa nos meses de menor ocu-
paqdo, o que acarreta num custo maior. Isto significa manter maior quantidade de
unidades habitacionais, maior gasto com funcion6rios temporiirios, equipamen-
tos, m6veis, decoragdo, eletrodom6sticos, roupa de cama, louqa etc.
Ou seja, a vantagem para o hotel B estii num melhor aproveitamento de seus
recursos, bem como numa previsibilidade maior de suas necessidades futuras.
O que o estudo do grau de dispersio pode proporcionar?
Resposta: no exemplo apresentado, a diferenqa de homogeneidade entre G
dados coletados para os dois hot6is ilustra a importAncia e a necessidadedo esnr
do do grau de dispersdo ou concentraqSo dos dados em torno da m6dia.
Medidas de Dispersdo ou de Variabilidade 277
Observa-se que:
o quanto maior a dispersdo, maior a amplitude, maior o desvio-padrf,o,
maior o coeficiente de variaqdo e menos homogdnea 6 a s6rie;
. quanto menor a dispersdo, menor a amplitude, menor o desvio-padr5o,
menor o coeficiente de variaqdo e mais homog6nea 6 a s6rie.
Se compararmos as concentraq6es de valores em torno da m6dia, podemos
verificar que para o hotel B os valores estao concentrados mais pr5ximos da m6-
dia, enquanto os valores do hotel A estdo mais dispersos.
Conclusdo, quanto maior o desvio-padrdo maior a dispesdo dos valores da
s6rie em torno da m6dia, mais heterogdnea a s6rie, e vice-versa.
Outro conceito que auxilia o entendimento do desvio-padrdo 6 o coeficiente
variaqdo, que permite comparar o grau de concentraqdo em torno da m6dia, para
duas ou mais s6ries distintas.
9.2.1 Relagdo entre o"vo,riflncia e o desvio-padrdo
O desvio-padrdo 6 araiz quadrada da variAnciale consequentemente a variAn-
cia 6 o quadrado do desvio-padrdo.
Notaqdo: VariAncia = 52 e Desvio-padrdo = S
Exemplo 9.5 Se o desvio-padrdo de u- .orrjr'in,o de dados 6 8, qual ser6 o valor
da variAncia?
Soluqdo: a variAncia 6 o quadrado do valor do desvio-padrdo.
S: B -> 52 :82:64
Exemplo 9.6 Se a variAncia de um conjunto de dados 6 36, qual serd o valor do
desvio-padrdo?
Soluqdo: a varidncia 6 o quadrado do valor do desvio-padr5.o, neste caso o
desvio-padrdo 6 a raiz quadrada da variAncia.
52:36 -+ sJ36:6 -+ S:6
9.2.2 Ctilculo do desvio-padrdo e varidnciq paro. sdries simples (dqdos
ndo agrupados) pela deftnigdo e pelaf6rmula alternativa
O desvio-padrdo e a variAncia de uma s6rie podem ser calculados para duas
situaq6es de coleta dos dados, populagdo e amostra. As f6rmulas s6o diferentes
218 Estatistica Biisica . Tiboni
para cada caso, uma vez que deve haver um ajuste para o c:llculo dessas grande-
zas quando os dados coletados referem-se a amostras.
a) Cdlculo da variAncia (S'z) de uma populageo (f6rmula pela definigdo)
A variAncia relaciona os desvios em torno da m6dia, ou, mais especificamen-
te, 6 a m6dia aritmdtica dos quadrados dos desvios.
sendo:
52 : variAncia;
x : valor da m6dia aritm6tica;
p : (xr_ x); \\
n: lf,.
b) Ci{tculo da vartAncia (S'?) de uma amostra (f6rmula pela definigio)
Conforme citado anteriormente, o ciilculo da variAncia para uma amostra
deve apresentar uma correqdo em relaqdo ao mesmo ciilculo para a populaqdo.
Uma vez que a variAncia represente uma descriqdo da amostra e ndo da po-
pulaqdo (este tipo de ocorr6ncia 6 mais comum na estatistica), o denominador
passa a ser "n - 1" ao inv6s de "n". A modificaqdo do denominador e"n" pau..a
"n - 7" constitui um "fator de ajuste" visando corrigir o fato do nfimero de ele.
mentos da amostra ser menor que o nfmero de elementos da populaqdo.
VariAncia:
VariAncia:
(populaqdo)
(amostra)52 -I(",-")' =La?
n -'1.n-7
c) Ci{lculo do desvio-padrdo (S) de uma populagdo (f6rmula pela definigio}
O desvio-padrdo 6 a medida mais usada na comparaqdo de diferenqas entre
conjuntos de dados, por ter grande precisdo. O desvio-padrdo determina a disper
sdo dos valores em relaqdo ir m6dia.
I (", - ")' =Za?
n
52=
n
S : desvio-padrdo
O desvio-padrdo 6 calculado por
populaqdo: S : JF
Medidas de Dispersio ou de Variabilidade 219
raiz quadrada da variAncia parameio da
Desvio-padrdo: (populagdo)
d) C6lculo do desvio-padrio (S) de'uma amostra (f6rmula pela definigf,o)
Da mesma forma que para a varidncia, caso o desvio-padrdo represente uma
descriqdo da amostra e ndo da populaqSo, o denominador passa a ser "n - 1" ao
inv6s de "n".
O desvio-padrdo 6 calculado por meio da raiz quadrada da variAncia para
amostra: S : JS'
Desvio-padr6o: s- tr,:=! n-1I 
(", - r)' (amostra)
il
tl
f,,
Itr
fll
=U- trg=r[r,.:n nz nl" '
(I",)'l-"1
F6rmula alternativa para o cdlculo da yariAncia e do desvio-padrdo
O valor m6dio em algumas sdries resulta nfmeros decimais, consequente-
mente, o ciilculo da variAncia e do desvio-padrdo pode-se estender numa somat6-
ria do quadrado de nfmeros decimais. Com o objetivo de simplificar os ci{iculos
matemdticos, utiliza-se uma f6rmula alternativa para o ciilculo da variAncia e do
desvio-padrdo.
e) Cdlculo da variAncia (S'z) de uma populaqdo (pela f6rmula alternativa)
F*' ^,,- \-r- ;\2 - \av2 -trdLevando em conta que x = + e que lix, - x)' :'Ln, n
Fazemos a substituiqdo desses valores na expressdo da variaqdo e obtemos:
r"l - (r:I
n
tr,?=! 
n
s-
.,- l(",-*)'
r) 
- 
-=
(I*,)'l
- 
"]
,, =:[r"'
22O Estatistica Besica . Tiboni
VariAncia: (populaqdo)
De forma aniiloga, obtemos as f6rmula a seguir:
0 Crilculo da variAncia (S'z) de uma amostra (pela f6rmula alternativa)
(amostra)
g) Gflculo do desvio-padrio (S) de umapopulagio (pela f6rmula alternativa)
VariAncia:
Desvio-padrdo:
Desvio-padrdo:
s2= 1 [t,., trdlo =n-llt^' - 
" ]
s- i[r",
(I",)'.1- 'l (populagdo)
(amostra)
h) Cdlculo do desvio-padrdo (S) de uma amostra (pela f6rmula alternativa)
s- TX?_trIIILt' n 
]
9.2.3 Desvio-podrdo e varidncia para d.ados agrupados
F6rmulas pela definigf,o:
a) F6rmula para o ciilculo da variAncia para populagdo (pela definigflo)
,, -Z?, -')' ' f,
n
VariAncia: (populaqio)
r
Medidas de Dispersio ou de Variabilidade 221
b) F6rmula para o ciilculo da variAncia para amostra (pela definigdo)
VariAncia: 52= I(", - ")' 'In-7 (amostra)
Desvio-padrdo para dados agrupados
O valor do desvio-padrdo serd calculado atravds daraiz quadrada da variAncia.
c) F6rmula para o ciilculo do dewio-padrdo para populagSo (pela definigio)
Desvio-padrdo: (populaq5o)
d) F6rmula para o ci{lculo do desvio-padrf,o para amostra (pela definiqdo)
Desvio-padrdo: S : t[F
Desvio-padrdo: I(", -v)'"f,s- (amostra)
VariAncia e Desvio-padrdo para dados agrupados (pela f6rmula alternativa)
e) C6lculo da variAncia para populagio (pela f6rmula alternativa)
VariAncia: (populagdo)
f) C6lcuto da variAncia para amostra (pela fSrmula alternativa)
,,=*[t"t, qd]
s2= 1 [t-,r-(I*,r)'lI =n-1lt-"- 
" )
s-
VariAncia: (amostra)
222 Estatistica Biisica . Tiboni
g) C6lculo do desvio-padreo para populagdo (pela f6rmula alternativa)
Desvio-padrdo:
Desvio-padrdo:
s- r [y x? r, -(I"' r)'l;l^''- " I (populaqio)
(amostra)
h) Cdlculo do desvio-padrdo para amostra (pela f6rmula alternativa)
s-
Propriedades do desvio-padrdo:
. somando ou suQ-traindo um mesmo valor de todos os valores de uma
variaivel, o desvio-padrSo ndo se altera;
. multiplicando (ou dividindo) todos os valores de uma varidvel por um
mesmo nrimero (diferente de zero), o desvio-padrdo fica multiplicado
(ou dividido) por esse nrimero.
Exemplo 9.7 (dados n6o agrupados) Durante determinada semana, os nove
vendedores de uma ag6ncia de autom6veis (populagdo), venderam as seguintes
quantidades de carros: 20; 25; 28; 37;37; 42; 451' 49;53. Calcular o valor do
desvio-padrdo utilizando :
a) a f6rmula convencional: S :
b) a f6rmula alternativa: S :
Soluqdo:
a) Utilizando a f6rmula convencional: S :
I(", - ")'
*[r",ry]
- 7)'
Medidas de Disperslo ou de Variabilidade 2iL3
sendo: t : 20 + 25 + 28 + 37 + 37 + 42 + 45 + 49 + 53 36,67
= 70,74
s- [Lr,.=trdl
!"1- n l
Podemos tabelar a s6rie da seguinie forma:
Tabela 9.4 Distribuigd.o da venda de carros por nove vendedores de uma ag€ncia de
autom6vek.
330
9
Vendedor
N(mero de carros vendidos
(x,) \ xl
1
2
3
4
5
6
7
8
9
20
25
28
31
37
42
45'
49
53
400
62s
784
967
1.369
r.764
2.02s
2.407
2.809
Ixi:330 t*? :13.138
ro,74
Exemplo 9.8 (dados agrupados sem intervalos de classe) Uma empresa finan-
ceira verificou que algumas propostas para a realizaqdo de financiamentos ndo
observavam todos as exigdncias necessiirias d concessdo dos respectivos cr6ditos.
Visando uma andlise do problema, a empresa agrupou as propostas com base no
nfmero de exig€ncias descumpridas (vide Tabela 9.5). Calcular a m6dia aritm6-
tica e o desvio-padrdo do nfmero de exigGncias descumpridas em cada proposta
paraconcessdo de cr6dito.
(2O - 36,67)2 + (25 - 36,67)2 + ... + (53 - 36,67)2
13.138 -
224 Estatistica Bdsica . Tiboni
Tabela 9.5 Distribuigdo do ntimero de exig|.ncias descumpridas em cada
paro. concessd.o de crddito.
proposto
Nfmero de exig6ncias
descumpridas
(x,)
N(mero de propostas
(f ,\
1 6
t B
3 7
4 5
5 5
6 4
7 2
Total n:37
Soluqdo: Para o chculo do desvio-padrdo, aplicando a f6rmula
-
I t o-1
s = /1lf )Cl , -(Z*' f')' I u.or,.,.niente inserir na tabela de distribuiqdo,I',L- ,' n I
as colunas contendo os produtos xrfre xlfr.
Tabela 9.6 Distribuigd"o do nrtmero de exig€ncias descumpridos em cada proposta
para concessd.o de cr6.dito (com acr4.scimos de colunqs para aplicagd.o da
f6 rmula alternativ o.) .
Nfmero de exig6ncias
descumpridas
(x,)
N(mero de propostas
(f') x.f.IJ I x?f,
1 6 6 6
2 B I6 32
3 7 21 63
4 5 20 BO
5 5 25 72s
6 4 24 744
7 2 I4 9B
Total n=37 726 s48
Medidas de Dispersdo ou de Variabilidade 2-25
1'Ali-J : 3,41 exigdncias descumpridas.
J/
M6dia aritm6tica: ,:\f, :s-ffi 1,79 exig€ncias des-
cumpridas.
O nfmero m6dio de exigdncias neo cumpridas 6 de3,4L em cada ap6lice com
desvio-padrio de 7,79, ou seja a dispersdo em torno da m6dia 6. de 7,79 exig6n-
cias descumpridas.
Exemplo 9.9 (dados agrupados com intervalos de classe) O departamento de
turismo procurou apurar os valores praticados na cobranqa da diiiria por pessoa
(com direito ao caf6 da manhd) entre as hospedagens, pousadas e hot6is de uma
determinada cidade praiana. Calcular a m6dia aritm6tica e o desvio-padrdo da
distribuiqSo das di6rias (vide Tabela9.7).
Tabela 9.7 Distribuigd-o dos valores da.
proiana.
cafd da monhd de uma cidade
I
Valor da didria
(em R$)
o. Hospedagens,
pousadas e hot6is
(f,)
1 4o,oo F Bo,0o 5
2 80,00 F 120,00 T6
3 120,00 F 160,00 27
4 160,00 l- 200,00 27
5 200,00 -240,00 18
6 24O,OO F 280,00 10
7 280,00 F 320,00 6
Total 103
Solugdo: Para o cillculo da m6dia aritmdtica e do desvio-padrdo, aplicando a
\
didria com
f6rmulaS:ffi6convenienteinserirnatabeladedis-!"1- ' I
tribuiqdo, as colunas contendo os pontos m6dios do intervalo e os produtos x,f
e x?ft.
l- [ro,
37 
I
226 Estatistica Biisica . Tiboni
Tabela 9.8 Distribuigd.o dos valores da didria com cafd da manhd" de uma cidade
praiana (com acrdscimos de colunas para aplicagdo da f1rmula alter-
nativa).
l
Valor da dii{ria
(em R$)
Hospedagens,
pousadas e hot6is
0i)
Ponto
m6dio
xi
xrf, x?ft
1 40,00 F Bo,o0 5 60,00 300 18.000
2 80,00 F 120,00 16 100,00 1.600 160.000
J 120,00 F 160,00 27 140,00 2.940 411.600
4 160,00'F 200,00 27 180,00 4.860 874.800
5 200,00 - 24o,o0 18 220,00 3.960 877.200
6 24O,OO F 280,00 10 260,00 2.600 676.OOO
7 280,00 l- 320,00 6 300,00 1.800 540.000
Total 103 18.060 3.ss1.600
>rf
tJ 1 :
n
,t#P :775,34
,:ffi= =6!,74
S :6I,74
O preqo m6dio da di6ria 6 R$ 175,34 com desvio-padrio de R$ 61,14.
Observamos que hil uma grande dispersdo entre os valores praticados na
cobranqa de uma diilria.
9.3 Dispersflo absoluta e relativa na comparageo de duas s6ries de
dados coletados
A dispersdo relativa 6 a razdo entre a dispersdo absoluta e o valor da mddia.
disp ersd.o relativo : 4"*##@
Dispersio absoluta: 6 medida pelo desvio-padrdo (a s6rie com maior valor
de desvio-padrdo terd maior dispersdo absoluta).
Medidas de Dispersio ou de Variabilidade t27
Dispersio relativa: 6 medida pelo coeficiente de variaqeo (a s6rie com maior
coeficiente de variagdo teril maior dispersdo relativa).
9.4 Coeficiente de variagdo ou coeficiente de variagdo de Pearson
A dispersdo relativa 6 medida pelo coeficiente de variaqdo de Pearson, ou
simplesmente coeficiente de variaqdo, sendo que a dispersdo absoluta 6 o desvio-
padrdo S.
O coeficiente de variag5o (dispersdo relativa) 6. arazdo entre o desvio-padrdo
(S) e a m6dia aritm6tica (x). Utiliza-se o coeficiente de variaqdo na comparaqdo
do grau de concentragdo em torno da m6dia para duas ou mais s6ries distintas.
O coeficiente de variaqdo pode ser expresso por valor decimal ou por valor
percentual.
CV :2(valor decimal) ou
x
CV -- 2x 100 (valor percentual)x
Observagflo: utiliza-se o coeficiente de variaqdo na comparaqdo do grau de
concentraqdo de valores em torno da m6dia pu.)'duas ou mais s6ries distintas. A
s6rie mais homogdnea 6 aquela que tem menor coeficiente de variagdo relativa.
Exemplo 9.L0 Num col6gio verificou-se qge o peso m6dio da mochila que os
alunos levam irs costas 6.3,70 kg com desvio-padrdo de 1,00 kg.
a) Qual o valor da dispersdo absoluta?
b) Qual o valor da dispersdo relativa, ou seja, do coeficiente de variaqdo?
Soluqdo:
a) Dispersdo absoluta: S : 1,00 kg;
b) Dispersio relativa: Cv : S= 
-> 
CV - +* t 7OO : 27o/o-x 3,7O
Exemplo 9.L1 Para duas emiss6es de aq6es ordindrias de uma indfstria eletr6-
nica, o preqo m6dio di6rio, no fechamento dos neg6cios, durante um m€s, foi de
R$ L50,00 para as aq6es A, com um desvio-padrflo de R$ 5,00' Para as aq6es B, o
preqo m6dio foi de R$ 50,00 com um desvio-padrdo de R$ 3,00.
Comparar a variabilidade das aq6es A e B (obs.: variabilidade : dispersdo).
a) Em termos absolutos (pela comparaqdo dos desvios-padrdo).
b) Em termos relativos (pela comparaqdo dos coeficientes de variaqflo).
-
228 Estatistica B6sica . Tiboni
Soluqdo:
a) A variabilidade absoluta das aq6es A e B 6 obtida pela comparaqfro dos
respectivos valores de desvio-padrdo.
So = R$ 5,00 e S, : R$ 3,00 (SA d maior que S/, entAo A tem maior
dispersdo absoluta que B.
Isto significa que em termos absolutos A 6 mais variilvel que B, ou seja, a
maior variabilidade ocorreu para a aqdo A, pois ela apresenta maior desvio-pa-
drdo (R$ 5,00) que a aglo B (R$ 3,00).
a) A aniilise em termos relativos 6 feita pela comparagdo dos coeficientes
de variag5o.
CY:S* 
q c ?
o x 100 :Ift t 100 : 3,3%o U":ix 100 :S"Or 100 : 6,00/o
CVa 6 menor que CV", entaoA apresenta menor dispersdo relativa que B.
Neste caso B 6 mais varidvel que A, pois o coeficiente de variaqdo da aEdo B
6 quase duas vezes mafur que o da aqdo A.
Exemplo 9.12 Numa cidade A, a temperatura m6dia do ano 6To: 27oC e o
desvio-padrdo 6 8oC. itluma cidade B, a temperatura m6dia do ano eTu: 24oC e
o desvio-padrSo d 6oC.
a) Qual cidade tpm maior dispersdo absoluta de temperatura? b) Qual
cidade tem maior dispersdo relativa de temperatura? c) Qual cidade
apresenta a temperatura mais homogCnea: a cidade A ou a cidade B?
Solugdo:
a) Dispersdo absoluta:
Cidade A: To: 27"9
Cidade B:Tu: )4og
A cidade A apresenta maior maior dispersdo absoluta de temperatura, pois o
desvio-padrio da cidade A 6 maior que o desvio-padrdo da cidade B.
b) Dispersdo relativa:
Cidade A: CVo:
Cidade B; CV,:
100 : 29,60/o
7OO : 25o/o
8
-X27
6
24"
Medidas de Dispersio ou de Variabildade tE)
A cidade A apresenta maior dispersdo relativa de temperatura, pois o coefi-
ciente de variaqdo da temperatura da cidade A 6 maior que coeficiente de varia-
qdo da temperatura da cidade B.
c) Observamos que a cidade B apresenta maior homogeneidade nos va-
lores de temperatura ao longo do ano (quanto menor o coeficiente de
variaqdo maior a homogeneidade dos valores da s6rie).
Exemplo 9.13 O nfmero de acidentes do trabalho ocorridos numa empresa,
durante o ano de 2008, est6 registrado na Figura 9.3:
Calcule:
a) A amplitude total.
b) A mddia mensal de acidentes ocorridos.
c) O desvio-padrdo utilizando a f6rmula convencional da definigSo.
d) O desvio-padrflo utilizando a f6rmula alternativa.
d) O coeficiente de variaqdo.
jan. fev. mar. abr. maio jun.
Figura 9.3 Acidentes de trabalho.
Valores organizados: 4;9;72;73;15; 15; 16;77;18; 19; 27;22.
Soluqdo
n: 72
o
(E
F
6l
oE
.a
q)
tr
OJE
I
r!
oE
olro
E
z
jul.
j
':ll
i;
=dl
.'
il
fl
l
il
ilt
23O Estatistica Biisica . Tiboni
a) Ciilculo da amplitude total: AT : X^*-X^in:22- 4 : 18 acidentes.
b) Crllculo da m6dia aritm6tica:
Lembrando que:
I",- 4+9+12+\3+15+15+16 +17 + 18+19+21+22 181 15,08t-
-_I-
n12 72
15,08 acidentes por m€s
c) Ciilculo do desvio-padrdo utilizando a f6rmula convencional da defi-
niqdo:
(+ -rs,os)'+ (9 -ts,oa)'+(tz-1s,08)'z +...+(zz-1s,08)'z
= 4,87
I2
S : 4,87 acidqntes
d) C6lculo do desvio-padrdo utilizando a f6rmula alternativa:
\-* _4+9+12+Lnt - +17+78+
Ix?:42+92+722Ll , +772+782
13+15+15+16+
i.9 + 27 * 22 : 787 (I", )' : sz.zot
+732+152+152+162+
+ I92 + 272 + 222: 3.015
Fl-- .zl 
-
s - /f lf *7 _\L*,) I =./: [r or, _gZ+!]= J23r+s7 = 4,87
!"1"' n I ltrl 72 )
S : 4,87 acidentes
e) O valor do coeficiente de variagio.
cy: _! : Pr*: o,32
Em termos percentuais, o coeficiente de variaqdo 6 32o/o.
il
Medidas de Disperslo ou de Variabilidade 231
9.5 Curvas sim6tricas e assim6tricas
Uma curva plana 6 sim6trica se for possivel dividi-la por uma reta (chamada
eixo de simetria), de forma que as duas metades da curva assim obtidas possam
ser sobrepostas por dobragem.
Uma curva assim6trica d uma curya ndo sim6trica.
. Distribuigf,o de frequ6ncia representada por uma curva sim6trica
Na estatistica, ocorrem distribuiq6es de frequAncias, cuja representaqdo gr:i-
fica 6 uma curva normal, caso particular de uma curva sim6trica.
A curva normal6 tambdm conhecida como curva em forma de sino.
. Pico da curva: 6 o valor modal, que corresponde ao maior valor da
frequ6ncia.
O eixo de simetria cont6m o valor modal. A partir desse eixo de simetria,
observa-se que cada metade da curva prolonga-se indefinidamente tanto para o
lado direito como para o lado esquerdo, por6rq, sem tocar o eixo horizontal.
Uma distribuig5o de frequAncia representada por uma curva normal6 unimo-
dal (tem apenas um pico).
Figura 9.4 Curva simdtrica.
x
I x:M"=M" I
Nas distribuiq6es de frequAncia sim€tricas, a mddia,
iguais. Na curva normal, os valores da mddia, mediana e
mediana
moda (x
e moda
:M:
e
sao
M)
232 Estatistica B:isica . Tiboni
coincidem no mesmo ponto da
ponde ao pico da curva.
curva de distribuiqdo de frequ6ncia, que corres-
. Distribuigflo de frequ6ncia representada por curva assim6trica
Tanto nas representag6es griificas de distribuigdo de frequ€ncia sim6trica
quanto nas assim6tricas o pico da curva corresponde ao valor modal.
Observa-se que na curva de distribuigdo de frequdncia assim6trica a distri-
buiq5o dos pontos do lado esquerdo da curva em relaqdo d moda 6 diferente da
distribuiqdo dos pontos do lado direito da curva.
Uma distribuigio de frequ6ncia 6 assim6trica quando a m6dia, a mediana e a
moda ndo coincidem num mesmo ponto da representaqdo griifica da distribuiEdo,
apresentando valores diferentes.
Observamos algumas curvas de distribuiqdo de frequ6ncia simdtricas e ligei-
ramente assim6tricas representadas na Figura 9.5.
a) Simdtrica b) Assim6trica positiva cJ Assimdtrica negativa
1=U,=M,a .. M" Mdx
Figura 9.5 Curvas de distribuigdo de frequ€ncia.
iMdM"
Para as curvas ligeiramente assimdtricas, os valores da mediana e da mddia
deslocam-se para a direita ou esquerda da moda, sendo que esse afastamento
pode ser mensurado atrav6s do coeficiente de assimetria de Pearson.
9.6 Coeficiente de assimetria de Pearson
O coeficiente de assimetria de Pearson estabelece o grau de assimetria de
uma curva de distribuigdo de frequ6ncias, ou seja, mede o afastamento da media-
na em relaqdo d m6dia aritmdtica da distribuiqdo.
O coeficiente de assimetria 6 expresso pela diferenqa entre a m6dia e a me-
diana dividida pelo desvio-padrdo do grupo de medidas. O coeficiente de assime-
tria de Pearson, permite comparar duas ou mais distribuiq6es diferentes e avaliar
qual das distribuiq6es 6 mais assim6trica. Quanto maior o coeficiente de assime.
tria de Pearson, mais assim6trica 6 a curva.
i=M,=Ma
Coeficiente de assimetria de Pearson: As :
Obs.: o coeficiente de Pearson pode ser nulo,
Medidas de Dispers5o oudcffi ZIl
3 (x-Md)
s
positivo ou negativo. Se o coe-
ficiente de Pearson for:
. nulo indica que a curva 6 sim6trica, ou seja, ndo hii assimetria (6 uma
curva de distribuigdo normal);
. positivo indica que a assimetria 6 positiva (deslocamento para a direita);
. negativo indica que a assimetria 6 negativa (deslocamento para a es-
querda).
9.7 Curtose
Curtose 6 o grau de achatamento (ou afilamento) de uma distribuiqdo em
comparagf,o com uma curva normal de refer€ncia.
De acordo com o grau de curtose, classificamos tr6s tipos de curvas de fre-
qu€ncia: \\
. mesocdrtica: 6 uma curva bilsica de refer6ncia chamada curva padrdo
ou curva normal;
. leptocfrtica: 6 uma curva mais afilada (menos aberta) que a curva normal;
. platicrirtica: 6 uma curva mais achatada (mais aberta) que a curva
normal.
lrur"*.l"dl
Figura 9.6 Curvas
E"p,*ftil;l
com diferentes tipos de achatamento.
9.8 Coeficiente percentflico de curtose
A curtose avalia o grau de achatamento (ou afilamento) de uma curva.
medida da curtose pode ser feita pelo coeficiente percentilico de curtose:
,'l
l,
$l
fl
il,
il
fl
234 Estatistica Bdsica . Tiboni
C_ Qr-Q,
2 (Pgo- P,o)
Sendo:
C : coeficiente percentflico de curtose;
Q.:oterceiroquartil;
Qr: oprimeiroquartil;
Pso : o nonagdsimo Percentil;
Pro : o d6cimo Percentil.
Uma curva normal apresenta um coeficiente percentilico de cuftose de valor
C : O,263. Esse valor 6 obtido ao se aplicar a expressdo matemdtica do coeficien-
te percentilico de curtose aos valores de uma distribuiqdo sim6trica normal.
Tomando-se esse valor como padrdo, podem-se estabelecer comparaq6es en-
tre as diversas curvas:
C: 0,263 cqrresponde i curva mesocfrtica;
C < O,263 corresponde d curva leptocrirtica;
C > 0,263 corresponde A curva platicfrtica.
a
a
a
9.9 Propriedades da aplicagdo do desvio-padrSo
As aplicaq6es nos permitem entender porque o desvio-padrdo 6 a mais impor-
tante das medidas de dispersSo.
Observagdo: na curva normal, o valor da m6dia aritmdtica 6 igual ao valor
da moda e igual ao valor da mediana:. x : M" = Mo.
Distribuig6es normais
A curva normal pode ser completamente especificada pelo valor da m6dia e
pelo valor do desvio-padrdo.
A drea limitada pela curva normal, entre um ponto qualquer e a m6dia, €
funqdo do nfmero de desvios-padrdo que aquele ponto dista da m6dia.
Estudos matemdticos estabeleceram uma proporqdo de 68,260/o entre a drel
parcial limitada pelo intervalo de valores entre '? - S" e "t + S", em torno
mddia aritm6tica, e a totalidade da iirea limitada pela curva normal.
. A ilrea total limitada pela curva normal 6 unitilria (:irea : 11.
. A 6rea da curva normal, limitada pelo intervalo de valores entre '? - f,
"x + S" em torno da mddia aritm6tica, 6 68,26 0/o da iirea total.
Medidas de DispersAo ou de Variabilidade Zl5
-S x +s
-l
Zona de normalidade (2S)
Figura 9.7 Curya normal e zona de normolidade.
Intervalo de amplitude "2S" (tamb6m chamado zona de normalida-
de) 6 definido pelo conjunto de valores em torno da m6dia aritm6tica,
contidos num intervalo de amplitude "2S", com centro na m6dia da dis-
tribuiqdo. f o conjunto de valores enffb (- - S) e (x - S). Abrange 680/o
dos elementos da s6rie.
Intervalo de amplitude "4S" (qua(o vezes o desvio-padrdo) 6 o con-
junto de valores compreendido e4lre (- - 25) e (x + 25) em torno da
m6dia, abrange cerca de 95olo dos elementos da s6rie.
Intervalo de amplitude "65" (seis desvios-padrdo) 6 o conjunto de va-
lores compreendido entre (x - 35) e (t + 35) em torno da m6dia; abran-
ge aproximadamente IO0o/o da s6rie.
Exemplo 9.14 Foi observado que as contas de luz emitidas para um dado mu-
nicipal, no m6s de junho, apresentam uma distribuiqdo normal. Se a m6dia das
contas for $ 42,00 e o desvio-padrdo $ 12,00, entre que valores esteo situadas
680/o das contas? E 95o/o das contas?
Solugdo:
(t- S) : 42,00 - I2,OO : 30,00
(X + S) : 42,O0 + 12,00 : 54,00
68% das contas esteo entre os valores de $ 30,00 e $ 54,00
(x - 25) : 42,O0 - 2 x 72,OO : 42,00 - 24,OO : 18,00
(x + 25) : 42,00 -f 2 x 12,00 : 42,00 + 24,00: 66,00
95o/o das contas estao entre os valores de $ 18,00 e $ 66,00
236 Estatistica Baisica . Tiboni
Exemplo 9.15 Um restaurante que serve refeiq6es por peso, cobra de cada clien-
te com base no peso da quantidade de alimentos que comp6em a refeiqdo forne-
cida. Observou-se durante um m€s queos pesos das refeig6es fornecidas apresen-
tavam uma distribuiqdo normal. Se a m6dia dos pesos das refeigdes fornecidas for
de 550 g com desvio-padrdo de 2OO g, calcular:
a) o intervalo da zona de normalidade (x t S);
b) o intervalo que abrange as refeig6es cujos pesos constituem 95% dos
valores centrais (- t 2S);
c) o percentual de clientes que consomem quantidades superiores a 550 g;
d) . o percentual de clientes que consomem quantidades superiores a 75O g.
Soluqdo:
a) zona de normalidade: intervalo de (t - S) a (- + S)
Sendox : 550 I e S = 200 g, calcula-se o intervalo:
(x-S):550-200:3509
(- + s) - s[p + 200 :7so g
O intervalo da zona de normalidade est6 definido entre 3509 e 750 g.
Isso significa que 680/o dos clientes do restaurante consomem entre 350
ge750g.
b) g5o/oc"itruis' intervalo de (x - 25) a (t + 2s)
(t- 25) : 550 -2 x 2OO : 550 - 400 : 150 g
(t + 25) : 550 -t 2 x 2OO: 500 + 400 : 900 I
O intervalo que abrange as refeiq6es cujos pesos constituem 95% dos valores
centrais est:l definido entre 150 g e 900 g. Esta amplitude indica que 95olo dos
clientes consomem entre 150 g e 900 g.
3s0 I s50 g 750 g
#
Zona de normalidade (2S)
Figura 9.8 Curva normal.
Medidas de Dispers5o ou de Variabilidade 237
percentual de clientes que consomem uma quantidade superior a 550 g.
Sendo 550 g o ponto mddio da distribuiqdo do peso das refeiq6es for-
necidas, 50%o dessas refeiqdes apresentam valores superiores a 5509, o
que corresponde ao nrimero de clientes do restaurante que consomem
essas refeiq6es.
percentual de clientes que consomem uma quantidade superior a75O g,
750 g constituem o extremo superior do intervalo da zona de norma-
lidade, sendo que assim, apenas 760/o dos clientes consomem refeiq6es
com peso superior a 750 g, sendo esse valor obtido pela expressdo
(7000/o - 68o/o = roolol (vide FiSura 9.8).[2/
Exemplo 9.16
Verificar e analisar o tipo de simetria de cada uma das tr6s distribuiqdes (A,
BeC).
c)
d)
Classes f,
10 F14
14F18
18122
22 126
26 -3o
10
20
30
20
10
90
Tabela 9.9
Distribuigd"o A.
DistribuigSo A:
x :20
Md:20
Mo:20
Q, : 16,5
Qr: 23,5
Pro : 13,6
Pro: 26'4
S:4,64
Tabela 9.10
Distribuigd.o B.
Classes f,
10 F14
14F18
rB -22
22 126
26 -30
10
2Ci
30
50
10
120
Distribuiqdo B:
x:27
Md:20
Mo :24
Qr:18
Qr: 24,4
Pro: 74,4
Pro: 25,84
S : 4,38
Tabela 9.11
Distribuigd"o C.
Classes f,
10 F14
14 l- 18
78 
=2222 126
26 F30
10
50
30
20
10
r20
Distribuiglo C:
i: 79
Md:78
Mo:76
Qr : 15,6
Qr:22
Pro: 74,4
Pno: 25,6
S : 4,38
238 Estatistica Biisica . Tiboni
Distribuigflo A
x: Mo: Mo:20
I - Mo : 0 -+ trata-se de uma curva sim6trica (I = Md : Mo)
Coeficiente de assimetria: As : 3Cx-Md)_3(20-20)s 4,64
:0 -+ As
O coeficiente nulo da assimetria confirma que se trata de uma curva sim6-
trica.
Coeficiente percentilico de curtose: C :
O valor do coeficiente percentilico de curtose obtido (0,273) 6 maior que 0,263.
Como C > 0,263, a curva 6 platicrirtica em relaqdo i normal.
Distribuigio B
i - Mo : 2! -24\< 0 -+ a distribuiqflo 6 assimdtrica d direita (ou positiva).
coeficiente de assimetria: As : 3Cx - Md) - 3(27 - 20) : 0,68s 4,38
O valor obtidb para o coeficiente da assimetria 6 As : 0,68, e, significa que se
trata de uma curva assim6trica. como 0,15 < lAr l < 1 a distribuiqSo 6 assimetrie
moderada.
Q - Q, _ _23,5- 1q,5 : o 2.7?
zte*- n; 2(26,4 - 13,6) 
v'4' !
coeficiente percenrlico de currose: , = *@A: ##:-uA)=
Como o coeficiente percentilico de curtose C > 0,263, temos que a curva
platicrirtica em relaqdo i normal.
Distribuiqdo C
i - Mo : 19 - 16 > 0 -+ a distribuiqdo 6 assim6trica ) esquerda (ou
coeficiente de assimetria: As : 3(x - Md) - 3(19 - 18) : 0,68s 4,38
O valor do coeficiente de assimetria As : 0,68 indica que se trata
distribuigdo assimetria moderada (pois 0,15 < lRsl < 1).
22-75,6Coeficiente percentflico de curtose: t: ,p'r: 2(25,6 - 74,4)
1.
Medidas de Dispersdo ou de Variabilidade 239
A curva 6 platicrirtica em relaqio i normal, pois o coeficiente percentilico de
curtose c > 0,263.
Exercfcios
Para as quest6es de 1 a 10, assinale a alternativa correta.
A relaqdo entre a m6dia, a moda e a mediana numa distribuiqdo de frequ€n-
cias sim6tricas 6:
a) m6dia < mediana < moda;
b) moda < mediana < m6dia;
c) moda: mediana: m6dia;
d) nenhuma das anteriores.
O desvio-padrdo de um conjunto de dados 6 4. A variAncia ser6:
a) 76; b) B; c) 36; d) 2.
Uma faculdade realizou um vestibular. O restltado das pontuag6es de mate-
miitica (A) e de portugu€s (B) foi o seguinte:
Matemiitica: m6dia aritm6tica : 5 e desvio-padrdo : 2,5
Portugu€s: m6dia aritm6tica : 4 e desviQ;padrdo : 2
Com esses resultados, podemos afirmar:
a) portugu6s apresentou maior dispersdo absoluta;
b) a dispersio relativa 6 igual ir dispersdo absoluta;
c) tanto a dispersdo absoluta quanto a relativa sdo maiores para portugu6s;
d) a dispersdo absoluta de matemdtica 6 maior do que a de portuguCs, mas
em termos relativos as duas ndo diferem quanto ao grau de dispersdo das
notas.
O desvio-padrSo de um conjunto de dados 6 16. A varidncia seril:
a) 16; b) 64; c) 256; d) +.
AvariAncia de um conjunto de dados 6 16. O desvio-padrdo ser6:
a) 4; b) 256; c) 36; d) 2.
As calotas produzidas por uma indristria t6m diAmetro m6dio de 30 cm e
desvio-padrdo de 0,15 cm. Duas calotas A e B cujos diAmetros medem res-
pectivamente 30,8 cm e 29,Bcm serdo testadas pelo Controle Estatistico de
Qualidade, que admite uma tolerAncia de trds desvios acima e trds abaixo da
m6dia. Assinale a alternativa correta:
2.
3.
4.
5.
6.
ii
il
1
$
cl
fl
{l
ll
di
ll
ilr
7.
8.
24O Estatfstica Bdsica . Tiboni
a) a calota A serd aprovada;
b) ambas as calotas serdo aprovadas;
c) a calotaAserd reprovadae a calota B aprovada;
d) a calota B seril reprovada.
A variAncia de um conjunto de dados 6 81 e o desvio-padrdo serii:
a) 2.787; b) 9; c) 3; d) 6.s61.
As latas de 6leo produzidas por uma indristria do nordeste apresentam capa-
cidade m6dia de 900 ml com desvio-padrflo de 7,2mL. O controle de qualida-
de inspeciona trds latas de 6leo A; B e C, cujos conteridos s6o respectivamen-
te 902,84 mI,895,72 ml e 897,31 ml. Sabendo que o Controle Estatistico de
Qualidade admite uma tolerAncia de trds desvios-padrdo acima e tr€s abaixo
da m6dia, assinale a alternativa correta:
a) as latasAe B serdo aprovadas e C reprovada;
b) as tr6s latas A, B e C serdo aprovadas;
c) as latas B e{ serdo aprovadas e A reprovada;
d) as latas A e C ser6o aprovadas e B reprovada.
O desempenho dos preqos de duas emiss6es de ag6es ordin6rias (A e B) de
uma indristria eletrdnica foi medido com base no preqo m6dio diilrio, no
fechamento do preg6o, de R$ 160,00, com desvio-padrSo R$ 6,00, para as
aq6es, do grupo A, e de R$ 70,00, com desvio-padrdo de R$ 3,50, para
as ag6es do grupo B. Podemos afirmar que:
a) o preqo da aqdo B ndo apresentou variabilidade;
b) a variabilidade 6 igual para os preqos das ag6es A e B;
c) o preqo da aqdo A 6 mais varidvel que o preqo da agdo B;
d) o preqo da aqSo B 6 mais varidvel que o prego da aqdo A.
O restaurante Coma Bem Ltda. cobra o almogo de cada cliente em funSo
do peso dos alimentos consumidos (restaurante por quilo). Foi observado,
durante um mds, que as quantidades de alimento consumido seguem urna
distribuigdo normal. Se considerarmos que a m6dia consumida seja de 530
e o desvio-padrdo de 220 g, qual a alternativa correta?
a) 680/o dos clientes do restaurante consomem entre 250 g e 650 g;
b) 68% dos clientes do restaurante consomem entre 300 g e 700 g;
c) 680/o dos clientes do restaurante consomem entre 310 g e75O g;
d) 680/o dos clientes do restaurante consomem entre 280 g e 780 g.
9.
10.
F
)-
F
e
D
b
D
F
I
L
|''
F
E
I
I
I
Medidas de Dispersio ou de Variabilidade 241
L1. Numa inspeqdo de pegas produzidas numa indfstria, um lote (A) de 2oo pe-
qas apresentou peso m6dio de 7,9 kg e desvio-padrdo de 0,80 kg, e um lote
(B) de 200 peqas apresentou peso m6dio de 7,3 kg e desvio-padrdo de O,76
kg. Em qual lote a dispersdo foi maior? Por qu6?
12. Uma cidade A apresentatemperatura m6dia anual de 4 : 21oC e desvio-
padrdo de 7"C. Numa cidade B, a temperatura mddia anual 6Tu : 25oC e o
desvio-padrdo 6 5oC. Qual cidade apresenta a temperatura mais homogdnea:
a cidade A ou a cidade B?
13. Dada a s6rie: 10; 5; B; 9; 3;9, calcule: a m6dia aritm6tica, o valor modal, o
valor mediano, o desvio-padrdo.
14. Uma empresa tem 150 funcioniirios, sendo 77 no departamento A, 23 no
departamento B, 26 no departamento C, 52 no departamento D e 32 no de-
partamento E.
Considerando os diversos departamentos da empresa, calcule o nfmero m6-
dio de funcionilrios por departamento e o desvio-padrdo.
L5. Qual o valor da variAncia de um conjunto de dados em que o desvio-padrdo
69? \\
L6. Qual o valor do desvio-padrdo de um conjunto de dados em que a variAncia
€9?
17. Qual o valor da variAncia de um conjunto de dados em que o desvio-padrdo
62?
18. Qual o valor do desvio-padrio de um conjunto de dados em que a variAncia
62s? ' ,
19. Qual o valor do desvio-padrdo de um conjunto de dados em que a variAncia
6 100?
20. O gerente de vendas de uma indristria t6xtil quer aumentar a venda de toa-
lhas de mesa, alcanqando um valor m6dio mensal de 350 toalhas por ven-
dedor. A equipe de vendas 6 composta por 7 vendedores. Considerando que
no m€s corrente cada um deles vendeu, respectivamente, as quantidades de
toalhas a seguir: 367; 254; 456; 267:' 332; 289; 429.
a) Calcule o valor da m6dia aritm6tica e o desvio-padrdo das vendas do m€s
corrente por vendedor;
b) Responda se o objetivo estabelecido pelo gerente foi alcanqado.
21. Uma seguradora registra o nfmero de veiculos segurados durante os primei-
ros seis meses do ano: 275;332;226; 789; 266;3O4 (valores a serem multi-
plicados por mil).
Levando em conta esses valores, calcule o valor da m6dia aritm6tica mensal
dos seguros realizados e o desvio-padrdo.
22.
24.
26.
242 Estat(stica Bdsica . Tiboni
23.
Um hospital realiza coletas de sangue diiirias. O nfmero de doadores por se-
mana dos riltimos sete registros foi respectivamente: 73; 98; 66; 84;77;92;
89. Calcule o valor do coeficiente de variaqio.
A cidade de Ribeirdo dos Pardais apresenta temperatura m6dia anual de
25oC, com desvio-padrdo de 5"C. Considerando que a distribuiqdo de tempe-
raturas seja sim6trica, calcule:
a) o percentual de dias em que a temperatura supera 25oC?
b) o percentual de dias em que a temperatura 6 inferior a 2OoC?
c) o intervalo de temperatura da zona de normalidade e qual o percentual
de dias que este intervalo representa?
O Htspital Universitilrio de Pompeia do Sul realiza coleta de sangue diaria-
mente. No riltimo ano, o nfmero m6dio diririo de doadores foi de 31 com
desvio-padrdo de 5 doadores. Considerando uma distribuiqdo normal, calcule:
a) o percentual de dias em que o nrimero de doadores foi inferior a26.
b) o percentual de dias em que o ndmero de doadores foi superior i m6dia
mais duas vezes o desvio-padrdo.
Uma instituiqdo ftnanceira financia a compra aprazo dos veiculos produzidos
por uma indristria automobilfstica. Considerando que o nfmero de financia-
mentos nas cinco riltimas semanas foi respectivamente 4L;36; 53; 48; 62,
calcule o valor da m6dia aritmdtica semanal, o desvio-padrdo e o coeficiente
25.
de variaqflo das vendas realizadas.
Numa prova de estatfstica, as notas de seis moqas e seis rapazes foram:
Mogas:.3,5 ; 4,O; 6,O; 8,5; 8,0; 10,0.
Rapazes: 4,5; 5,5;6,0; 6,5; 7,5; 9,O.
Pede-se:
a) Calcular a m6dia aritm6tica simples, o desvio-padrdo e o coeficiente de
variagSo de cada grupo.
b) Qual grupo apresenta maior dispersdo nas notas?
O gerente de vendas de uma ag6ncia de autom6veis tem como objetivo rne-
lhorar a qualidade do atendimento e aumentar as vendas da ag€ncia.
tanto, definiu um programa de treinamento especial para alguns vend
Foi feito um levantamento sobre a quantidade de unidades vendidas por
dedor durante o riltimo m€s. Os valores encontram-se na Tabela 9.12.
27.
Tabela 9.I2 Dktribuigd"o do nimero de veiculos vendidos no rtltimo m€s.
Medidas de Dispersio ou de Variabitidade ?Ag
Segundo o crit6rio de escolha, serao indicados para o programa de treina-
mento os vendedores com vendas inferiores d m6dia menos um desvio-Pa-
drdo. Quantos e quais vendedores participarao do programa?
28. Dados os coeficientes de variaqdo de cinco distribuiqdes.
Distribuiqdo 1: V, : 0,035
Distribuiqdo 2; Vr: 0,767
Distribuiqdo 3: V. : 0,077
Distribuiqdo 4: Vo: 0,009
Distribuiglo 5: Vo : 0,O94
a) Qual distribuig5o tem maior.dispersdo?
b) Qual distribuiqdo tem menor dispers[o?
29. O Controle Estatistico de Qualidade da indristria alimenticia Ervimilho Ltda.
admite uma tolerdncia de tr6s desvios-padrdo acima e tr6s abaixo da m6dia.
O peso drenado m6dio das ervilhas contidas nas latas d de 200 g com desvio-
padrdo de 2,5 g. Um inspetor da linha de produqdo suspeita que a quantidade
m6dia de ervilhas em algumas latas seja inferior ao peso drenado estabeleci-
do. O inspetor seleciona 1 lata de ervilhas dt",um lote produzido, e observa
que o peso drenado e 792 g. A suspeita do inspetor 6 correta? Justifique.
30. A distribuigio dos pesos de chinchilas, coelhos de raqa m6dia, criadas numa
granja pode ser representada por uma distribuiqdo normal. Supondo uma
distribuiqdo normal em que o peso m6dio dos coelhos seja 4,5 kg, com des-
vio-padrdo 0,8 kg, calcular:
a) o intervalo que abrange 680/o dqs coelhos, cujos pesos esteo mais pr6xi-
mos do peso m6dio, ou seja, o intervalo da zona de normalidade;
b) o intervalo que abrange os coelhos cujos pesos constituem 950/o dos valo-
res centrais;
c) qual6 o percentual de coelhos com peso maior que 4,5 kg;
d) qual d o percentual de coelhos com peso maior que 5,3 kg;
e) qual 6 o percentual de coelhos com peso menor que 3,7 kg.
31. A produgdo mensal de vinho da Vinicola Parreira de Ouro Ltda. no primeiro
semestre foi 28; 79; 33; 20; 24;31 (valores a serem multiplicados por mil
litros). Calcule o valor do coeficiente de variaqdo.
32, A fabricagdo de refrigerantes segue as etapas: tratamento da dgua, elabora-
qdo dos xaropes simples e compostos, envasamento e encaixotamento. Ad-
mitindo que o volume siga uma distribuigdo normal e supondo que uma das
miiquinas envasadoras automdticas esteja regulada para que cada garrafa
receba o volume m6dio de 1000 cms, com desvio-padrdo de 10 cm3, calcular:
a) o intervalo que abrange 680/o das garrafas cujas capacidades esteo mais
pr6ximas do volume m6dio, ou seja, o intervalo da zona de normalidade;
'il,
iil
flr
fr
fli
il
it
244 Estatistica Bisica . Tiboni
b) o intervalo que abrange as garrafas cujos volumes constituem 95% dos
valores centrais;
c) qual € o percentual de garrafas em que o volume de refrigerante 6 menor
que 1.000 cm3;
d) qual6 o percentual de garrafas em que o volume de refrigerante 6 menor
que 990 cm3;
e) qual 6 o percentual de garrafas em que o volume de refrigerante 6 maior
que 1.010 cm3;
0 qual 6 o percentual de garrafas em que o volume de refrigerante 6 menor
que 980 cm3;
g) qual 6 o percentual de garrafas em que o volume de refrigerante 6 maior
que 1.020 cm3.
33. O nfmero de acidentes do trabalho ocorridos numa empresa durante os anos
de 2006 e 2O07 esteo registrados no griifico abaixo.
a) Calcule a m6dia mensal de acidentes ocorridos em cada ano (ou seja,
c:ilculo da m6dia aritm€tica)
b) Calcule o detVio-padrdo da distribuiqdo de acidentes ocorridos nos anos
de 2006 e2OO7.
c) Com base nesses resultados, conclua qual foi o ano em que o nfmero de
acidentgs permaneceu mais estiivel (6 necessiirio calcular o coeficiente
de variagdo em cada ano).
15
10
5
Acidentes do trabalho
jan. fev. mar. abr. maio jun. jul. ago. set. out. nov. dez.
Figura 9.9 Acidentes do trabalho.
I
34.
Medidas de Disperslo ou de Variabilidade 245
Um corretor vende ap6lices de seguro contra morte (seguro de vida). Os da-
dos estdo registrados na Figura 9.10.
a) Calcule a m6dia mensal de ap6lices vendidas em cada ano.
b) Calcule o desvio-padrdo para as ap6lices vendidas nos anos de 2006 e
2007.
c) Com base nesses resultados, concluaqual foi o ano em que o nfmero de
vendas de ap6lices foi mais homog€neo.
Venda d1 an6lices de seguros
22
t2 ) 1,2
Figura 9.IO Ap6lices de seguro.
Em consequdncia da crise do petr6leo, a necessidade estrat6gica de reduzir
a dependdncia do pafs da importaqdo de petr6leo resultou na "oficializagdo"
do etanol como combustfvel para veiculos leves e, em 1975, foi criado o Pro-
grama Nacional do Alcool (PROALCOOL).
A Figura 9.11 mostra a evolugdo dos valores m6dios mensais do consumo de
gasolina e etanol no Brasil, a partir de 2003.
a) Levando em conta os valores registrados no grdfico, calcule a m6dia de
consumo de etanol para o perfodo de 2003 a 2007.
b) Levando em conta os valores registrados no gr6fico, calcule a m6dia de
consumo de gasolina para o perfodo de 2003 a 2OO7.
c) Calcule o desvio-padrdo para o consumo m6dio mensal de etanol e de
gasolina para o periodo de 2003 a 2OO7.
I
I
i
1
I
I
{
35.
246 Estatfstica Biisica . Tiboni
d) Com base nesses resultados, conclua qual dos dois combustiveis teve con-
sumo mais esti{vel ao longo do periodo de 2003 a 20O7.
Consumo brasileiro de etanol e gasolina
(em bilhio de litros)
2003 2004 \. 2005 2006 2oo7 jan./08 fev./08
FONTE: COSAN,/SINDICON.
Figura 9.11 Co_nsumo de etanol e gasolina.
1'.
36. Para os dados de acidentes por mil homens hora da amostra A, a m6dia foi de
2,32 e o desvio-padrdo, O,42. Uma amostra B tem mddia de 3,50 acidentes
por mil homens hora e um desvio-padrdo de 0,70. Qual amostra tem maior
variabilidade:
a) em termos absolutos;
b) em termos relativos.
37. Lanqado um dado 50 vezes, obteve-se uma amostra com a seguinte distribui-
g5o de frequ€ncia:
Tabela 9.73 Distribuigdo dos resultados do langamento de um dado.
x. f,
1 10
2 9
3 B
4 10
5 7
6 9
38.
Medidas de Dispersio ou de Variabililedc 247
a) Calcule a m6dia aritm6tica.
b) Calcular a variancia e desvio-padrdo.
c) Calcular o coeficiente de variaqdo.
Calcular a amplitude total, a m6dia aritm6tica
abaixo.
Tabela 9.74 Distribuigdo do didmetro das pegos.
e o desvio-padrdo da s6rie
DiAmetro das pegas (mm): 8,0 9,O 10,0 11,0 72,0 13,0
Na de pegas (f): 6 13 9 8 5
A Recon Ltda. 6 uma empresa brasileira fabricante de computadores e perif6-
ricos que atua no Ambito da reserva de mercado paranotebook de fabricagdo
nacional. Na expectativa de participar no mercad o de notebooks com prego
competitivo ao de seus concorrentes, a Recon Ltda. pesquisou junto u aiunos
de algumas faculdades do estado de sdo paulo os pregos que esse priblico
estaria disposto a pagar pelos notebook. r.
Tabela 9.75 Valores pesquisados para notebooks.
1.400,00 1.800,00 2.000,do 1.550,00 1.600,00
1.750,00 1.900,00 1.600,00 1.700,00 2.150,00
1.800,00 2.100,00 2.050,00 1.850,00 2.250,0O
Baseado nas informaq6es acima e considerando que a Tabela 9.15 registra os
valores m6dios por faculdade, calcule:
b) O prego mediano da amostra.
c) O desvio-padrdo da amostra.
d) O coeficiente de variaqdo da amostra.
Num supermercado o peso m6dio das compras realizadas por clientes do
sexo feminino 6 de 24,3 kg, com desvio-padrdo de 4,6 kg. por outro lado, o
peso m6dio das compras realizadas por clientes do sexo masculino 6 de 15,g
kg com desvio-padrdo de 3,3 kg.
a) A dispersdo absoluta 6 maior para os clientes do sexo feminino ou mas-
culino?
b) A dispersdo relativa 6 maior para os clientes do sexo feminino ou mas-
culino?
39.
il*
-
:
:l!
,1
ill
40.
248 Estatistica B:isica . Tiboni
41. O com6rcio interno obt6m vantagens com a desvalorizaqf,o da moeda local
em relaqdo ao d6lar, produtos nacionais tendem a ter pregos mais baixos do
que os estrangeiros. Observe a oscilaqdo da moeda americana desde a desva-
lorizaqdo do real, em janeiro de 1999.
\999
Fonte: JornalOktadodeS.Paulo (publicaqdododiaTT/8/2008,p.85,cadernodeEconomia).
Figura 9.72 Cotagdo do d6lar no m€s de janeiro de 1999 a 2008.
a) Calcule a m6dia aritm6tica anual, o desvio-padrdo e o coeficiente de va-
riaqdo dessa distibuiqdo.
b) Em que ano ocorre a maior cotaqdo?
c) Em que ano ocorre a menor cotaqdo?
42. Calcular a amplitude total, a m6dia aritm6tica e o desvio-padrdo da s6rie
abaixo.
Tabela 9.76 Distribuigd"o do peso das pegas.
Peso das peqas (g): 13,5 74,5 15,5 16,5 17,5
Nq de peqas: .7 72 9 5
Na cidade de Mariaquiperto, existem duas fiibricas de
bela 9.17 mostra as faixas salariais das duas fiibricas
saldrios-mfnimo pagos a seus operiirios.
m6veis nisticos. A Ti+-43.
AeBemrelaqdo
Medidas de Dispersio ou de Variabilidade 249
Tabela 9.I7 Nilmero de so.ldrios-minimos pagos aos operdrios das fdbricas A e B.
Fdbrica A
Nfmero de
saldrios-minimos
Operdrios
lF 3 T4
3F s 33
sF 7 43
7l- e 47
e F11 79
F6brica B
Nfmero de
saldrios-minimos
Operiirios
21 4 34
41 6 50
6l- B 2s
B F10 I4
70 172 6
44.
Baseando-se nestas tabelas, calcule:
a) A m6dia aritm6tica dos saldrios das duas fiibricas.
b) Calcule o desvio-padrdo das duas fiibricas.
c) Calcule o coeficiente de variaqdo das duas fiibricas.
d) Qual das duas filbricas apresenta maior rErrlaridade em relaqdo ) m6dia
salarial? Justifique sua resposta.
Um grande shopping deseja definir o perfil dos frequentadores para os quais
pretende orientar as futuras campanhas promocionais. Nesse sentido, deverii
identificar o perfil dos frequentadores que realizam compras em suas depen-
d6ncias, em funqdo das faixas etdrias estabelecidas para a pesquisa. Os dados
amostrais coletados encontram-se na Tabela 9.18.
Tabela 9.78 Distribuigd.o das idades.
t Idade Frequentadores
do shopping
1 ls F2s 11
) 2s F3s 19
3 3s F4s 30
4 4s Fss 43
5 ss F6s 28
a) Qual € o percentual correspondente ds idades no intervalo acima de 25 e
abaixo de 55 anos?
Qual 6 a faixa etdria dos 50% dos visitantes mais jovens?
Qual 6 a faixa etdria dos 75o/o dos visitantes mais jovens?
l
iil
tii
il
ill
{]
#
-/
b)
c)
Z5lJ Estatistica Biisica . Tiboni
Calcule a idade m6dia dos visitantes.
Calcule o valor do desvio-padrflo da amostra.
Qual o intervalo das idades que compreendem azona de normalidade?
Que percentual isto representa?
45. Noventa baterias para autom6veis de certa marca foram testadas quanto a
sua vida ftil. O teste simula a utilizaqdo da bateria, acelerando seu desgaste
de modo a criar uma r6plica da situagdo real. Os resultados da durabilidade
(em meses) sdo apresentados a seguir.
Tabela 9.79 Distibuigdo da durabilidade das batertas.
Durabilidade (em meses) N(mero de baterias
\a 4 1
41 7 6
7 110 t7
10 F 13 25
\.13 F 16 29
16 F 79 15
19 422 7
Calcule a amplitude total.
Calcule a m6dia aritmdtica.
Calcule o desvio-padrdo da amostra.
Qual o nrimero de baterias com durabilidade abaixo de 16 meses?
Qual o percentual de baterias com durabilidade abaixo de 16 meses?
Qual o nfmero de baterias com durabilidade abaixo de 13 meses?
Qual o percentual de baterias com durabilidade abaixo de 13 meses?
Quai o ntmero de baterias com durabilidade igual ou acima de 10 meses?
Qual o percentual de baterias com durabilidade igual ou acima de 10
meses?
Qual o ntimero de baterias com durabilidade igual ou acima de 7 meses?
Qual o percentual de baterias com durabilidade igual ou acima de 7 meses?
Qual o nfmero de baterias com durabilidade no intervalo igual ou acima
de 10 meses e abaixo de 19 meses?
Qual o percentual de baterias com durabilidade no intervalo igual ou
acima de 10 meses e abaixo de 19 meses?
d)
e)
0
a)
b)
c)
d)
e)
0
s)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
46.
Medidas de Dispersdo ou de Variabildade 251
A Tabela 9.20 dA a distribuiqdo salarial dos funcioniirios de determinada em-
presa.
Tabela 9.20 Distribuigdo dos sqldrios-mtnimos.
Nfmero de
salairios-mfnimos
Ntimero de funcion:irios
da empresa
(f')
lF 3 72
3F s 15
sF 7 77
7l- e 79
e F11 18
11 F 13 76
13 F 15 13
7s 177 10
Calcule a m6dia aritmdtica.
Calcule o desvio-padrdo.
Calcule o coeficiente de variaqdo.
Calcule o valor modal.
Calcule o valor mediano.
Calcule o coeficiente de Pearson.
Qual o nfmero de funcioniirios com saliirio abaixo de 11 salilrios-minimos?
Qual o percentual de funciondrios com sal6rioabaixo de 11 saliirios-mi
nimos?
Qual o nfmero de funcioniirios com saldrio abaixo de 13 saliirios-m(nimos?
Qual o percentual de funcionilrios com salilrio abaixo de 13 saliirios-mi-
nimos?
Qual o nfmero de funciondrios com sali{rio igual ou acima de 7 saldrios-
mfnimos?
Qual o percentual de funcioniirios com saliirio igual ou acima de 7 salei-
rios-minimos?
m) Qual o ntimero de funciondrios com sal6rio igual ou acima de 9 salilrios-
minimos?
n) Qual o percentual de funciondrios com saldrio igual ou acima de 9 safti-
rios-minimos?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
s)
h)
i)
j)
k)
1)
252 Estatistica Bfsica . Tiboni
o) Qual o nfmero de funciondrios com saliirio no intervalo igual ou acima
de 5 saliirios-minimos e abaixo de 11 saldrios-minimos?
p) Qual o percentual de funcionilrios com salilrio no intervalo igual ou aci-
ma de 7 saliirios-mfnimos e abaixo de 15 saldrios-minimos?
47. A granja Frango Comodoro Ltda., preocupada com a saride de suas aves na
etapa de engorda, pesa periodicamente seus frangos, para verificar que ndo
haja perda na capacidade de transformar a raqdo consumida em peso, man-
tendo a eficidncia de crescimento normal do frango de corte.
A Tabela 9.21 registra a distribuiqdo do peso de frangos de 180 dias coletados
numa amostra de 126 frangos.
Tabela 9.2I Distribuigd"o do peso dosfrangos.
T Peso (kg) Frangos
1 2,0 -2,4 13
t 2,4l2,B 22
E 2,8 | 3,2 54
4 3,2l-3,6 ?o
5 3,6 | 4,O 8
a) Calcule a m6dia aritm6tica.
b) Calcule o desvio-padrdo da amostra.
c) Calcule o coeficiente de variaqdo.
d) Calcule o valor modal.
e) Calcule o valor mediano.
f) Calcule o coeficiente de Pearson.
g) Qual o nrimero de frangos com menos de 2,8 kg? E o percentual?
h) Qual o nrimero de frangos com peso igual ou acima de3,2 kg? E o per-
centual?
D Qual o nfmero de frangos com peso no intervalo igual ou acima de2,4kg
e abaixo de 3,6 kg? E o percentual?
j) Qual o nfmero de frangos com peso no intervalo igual ou acima de 2,8 kg
e abaixo de 3,6 kg? E o percentual?
k) Qual o nfmero de frangos entre o primeiro quartil e o Pro?
48. Numa distribuiqdo de frequdncia, obtemos: x: 49,2para a m6dia, Md:
48,4 paraa mediana, Mo : 47,5 paraa moda e S : 3,1 para o desvio-padrdo.
Calcule o coeficiente de assimetria e especifique o tipo de simetria.
Medidas de Dispersio ou de Variabilidadc 2^a3
49. Considere as seguintes medidas, relativas aos dados de cinco sdries estatisri-
cas, e determine para cada uma delas: o tipo de assimetria e o coeficiente de
assimetria.
Tabela 9.22 Valores obtidos de cinco sdries estqtkticas.
S6ries t Mo Md s
A
B
c
D
E
34
4,75
129
87
4s6
37
4,27
726
90
467
36
4,27
728
BB
458
2,3
7,04
9,8
72,,5
29,r
50. Sabendo que uma distribuiqdo apresenta as seguintes medidas: Mo : 384,00;
Md : 380,00; x : 378,00 e S : 26,00.
a) Determine o tipo de assimetria.
b) Calcule o coeficiente de assimetria. \\
5L. Com base nos valores de tr6s sdries estatisticas, foram obtidas as medidas
registradas na Thbela 9.23. Calcule os coeficientes percentilicos de curtose
relativos ds tr6s distribuiqdes. 
t'.
Tabela 9.23 Valores obtidos de tr€s sdries estatisticas.
S6ries Q, Q, Pro Pno
A
B
C
307,9
6820
10,5
398,1
907s
77,38
236,4
5812
8,0
463,6
10100
20,5
Considerando a distribuiqdo de frequ6ncias relativas aos pesos de 150 malas
num aeroporto (Tabela9.24), elabore uma tabela adequada e calcule:
a) a m6dia aritm6tica;
b) o desvio-padrdo;
c) a mediana;
d) os quartis Q, e Qr;
e) os percentis Pro e Pno;
0 o coeficiente de assimetria e verifique se 6 uma distribuiqdo sim6trica.
assim6trica d direita ou assim6trica d esquerda;
s2.
,ii
ri;:
fllti
254 Estatfstica Biisica . Tiboni
g) o coeficiente percentilico de curtose e verifique se a curva 6 mesocfrtica,
leptocrirtica ou platicrirtica.
Tabela 9.24 Distribuigles dos pesos de 150 malas num aeroporto.
t
Pesos das malas
(kg)
Nrimero de malas
(f)
1
2
3
4
5
30 40
40 50
s0 60
60 70
70 80
72
30
55
45
8
s- 1s0
53. No final do ano, uma empresa realizou uma festa de confraternizaqdo para
seus funcioniirios. Al6m do churrasco, organizou brincadeiras, competig6es
e gincanas. Visanfu a distribuiqdo equilibrada dos grupos nas competiq6es e
gincanas realizadas durante o evento, os funcioniirios inscritos foram pesa-
dos e medidos. A distribuiEdo das estaturas encontra-se na Tabela 9.25.
Tabela g.25 t;isffibuigdo das estaturas dos funciondrios.
Estaturas
(cm)
Nrimero de funcion6rios
(f ,)
150 156
L56 762
762 L68
768 r74
r74 t80
180 186
2
L7
15
8
5
3
Total 50
Calcule:
a) a m6dia aritm6tica das estaturas;
b) o desvio-padrdo das estaturas;
c) o coeficiente de variaqdo;
d) a moda das estaturas;
e) a mediana das estaturas;
Medidas de Dispersdo ou de Variabilidade 255
0 os quartis Q, e Q, das estaturas;
g) os percentis Pro € Pno das estaturas;
h) o coeficiente de assimetria e verifique se 6 uma distribuiqdo sim6trica,
assim6trica d direita ou assimdtrica d esquerda;
i) o coeficiente percentilico de curtose e verifique se a curva 6 mesocfrtica,
leptocf rtica ou platicrirtica.
Respostas do Capitulo 9
1.c
2.a
3.d
4.c
5.a
6' t 
*
7.b
8.d
g.d
10. c
11. A dispersdo foi maior no lote B, pois apresenta rnaior coeficiente de variaqdo.
12. Cidade B.
13. 7,33;9;8,5;2,49.
14.30; 13,44.
15. B1
16. 3
17.4
18. 5
19. 10
2O. a) 34I,74;74,O6; b) o objetivo ndo foi alcanqado.
21. 265,33; 47,27.
22.73,6o0/o.
23. a) 500/o; b) 760/o; c) intervalo entre 20"C e 30"C; 68%.
256 Estatistica Bdsica . Tiboni
24. a) 76o/o;b) 2,5o/o.
25. 48;9,70; 78,960/o.
26. a) Moqas: 6,67; 2,37; 35,53o/o; rapazes: 6,5; 7,44; 22,75o/o; b) o grupo d*
mogas.
27. Apenas o vendedor A participard do programa
28. a) Distribuiqdo 2; b) Distribuiqdo 4.
29. A suspeita do inspetor 6 correta, pois o peso drenado da lata analisada esri
fora do intervalo de aprovagSo. Intervalo de peso em que o produto 6 apror+
do: de 792,5 g a 207,5 g, as latas com peso acima ou abaixo desse intervab
ser6o rejeitadas.
30. a) de 3,7 kg a 5,3 kS; b) de 2,9 kg a 6,1 kg; c) 500/o; d) 760/o; e) 760/0.
31.20,400/o
32. a) de 990 cm3 a 1.010 cm3; b) de 980 cm3 a 7.020 cm3; c) 500/o; d) 16%;
d) 160/o; e) 2,5o/o; fl 2,5o/o; g) zero.
33. a) mddia de 20Q6: 12,75 acidentes; m6dia de 2OO7: 7O,I7 acidentes; b) Sr*
= 4,43 acidentes'; Srro, : 3,84 acidentes; c) 2006.
34. a) m6dia de 2006: 74,17 ap6lices; m6dia de 2OO7: 72,67 ap6lices; b) Sr* =
4,04 ap6lic€Si Srooz = 4,07 ap6lices; c) 2006.
35. a) 0,948 (bilhao de litros); b) 1,465 (bilhdo de litros); c) etanol: Q,787; ga-
solina: 0,069; d) gasolina.
36. a) amostra B; b) amostra B.
37. a) 3,42;b) 3,O6 1,,75; c) 0,51.
38. 5mm; 10,33 mm; 1,25 mm.
39. a) 1.833,33; b) 1.800,00; c) 243,24; d) I3,27o/o.
40. a) clientes do sexo feminino; b) clientes do sexo masculino.
41. a) 2,26;O,65;28,760/o; b) 2003; c) 1999.
42.4 g;15,369;0,98 g.
43. a) Fdbrica A:6,24 s.m.; Fdbrica B: 5,57 s.m.; b) Filbrica A: 2,33 s.m.; Fdbrica
B:2,22 s.m.; c) Fiibrica A:37,34o/o; Fiibrica B:39,860/o; d) Frlbrica A (menor
coeficiente de variagdo).
44. a) 7O,23a/o; b) entre 15 anos e 46,28 anos; c) entre 15 anos e 53,90 anos;
d) 44.43 anos; e) 12,76 anos; f) entre32,27anos e 56,59 anos; 68%.
45. a) 21 baterias;b) 72,94 baterias c) 4,03 baterias; il Zg baterias; e) 780/o;
f) 49baterias; g) 49o/o;h) 76 baterias;i) 76o/o;j) 93 baterias; k) 930/o;l) 69
baterias; m) 690/o.
l
:i'
Medidas de Dispersio ou de Variabilidade 257
46. a) 8,77 s.m.;b) 4,79 s.m.; c) 47,78o/o; d) 8,33 s.m.; e) 8,68 s.m.;0 0,0G1;
g) Blfunciondrios; h) 67,5o/o; i) 97 funciondrios; j) 80,83%; k) Z0 funciond-
rios; l) 63,330/o; m) 57 funcionfriosi n) 47,5o/o; o) 54 funciondrios; p) 55%.
47. a) 2,99 kg;b) 0,42kg; c) 74,05o/o; d) 3,02 kg; e) 3,01 kg; 0 - 0,14; S) SS
frangos; 27,78o/o; h) 91 frangos;72,22o/o; i) 105 frangos; 83,33o/oj) 83 fran-
gos; 65,870/o; j) 69 frangos.
48. t - Mo: 7,7 > 0 (distribuiqdo assim6trica ir direita); As : O,77 (assimetria
moderada). Distribuiqdo assimdtrica moderada )r direita.
49. a)f - Mo - - 3 < 0 (distribuiqdo assim6trica ) esquerda);,4s : - 2,61(assi-
metria forte). Distribuiqdo forte d esquerda; b) t - Mo: O,4B > 0 (distribui-
qdo assim6trica ) direita); As : 1,56 (assimetria forte). Distribuigdo assim6-
trica forte d direita; c) x- Mo : 3 > 0 (distribuigdo assim6trica i direita); As
: 0,31 (assimetria moderada). Distribuiqdo assim6trica moderada ir direita;
d) x- Mo: - 3 < 0 (distribuigdo assim6trica )r esquerda);,4s : -o,24 (as-
simetria moderada). Distribuiqdo moderada ir esquerda; e) V-Mn - - g (
0 (distribuiqdo assim6trica ir esquerda); As : - 0,21 (assimetria moderada).
Distribuiqdo moderada ir esquerda.
50. a) v-Mo: -6,00 < 0 (distribuigdo assim6hicadesquerda); b)As : -0,23
(assimetria moderada).
51. CA: 0,240 (curva leptocrirtica)] Ce: O,263 (curva mesocfrtica)] Cc : 0,275
(curva platicrirtica). 
!..
52. a)V: 55,47 kg; b) S : 10,15 kg; c) Mo: 56 kg; d) Q, : 48,5 kg; Q. : 63,44
kg; e) Pro: 68,44 kg; Pro : 41 kg; 0 As : O,I57; distribuiqdo assim6trica ir
direita (ou positiva); g) C : O,272; corresponde a curva platictirtica.
53. a) 7: 165,72 cm; b) S :7,56 cm; c) CV : 4,560/o; d) 767,29 cm; e) 764,4
cm; 0 759,77 cm; 17O,63 cm; g) 757,06 cm;777,6O cm; h) As : 0,5238;
distribuiqdo assim6trica d direita (ou positiva); i) C : 0,2658; corresponde a
curya platicrirtica.