3° Lista de Exercícios 1° Bimestre 2009

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MECÂNICA APLICADA
ENGENHARIAS
VILA MARIA
NOTURNO
02-03-2017 e 03-03-2017
Prof. Msc. HELBER HOLLAND
helber@uni9.pro.br
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Revisão do MHS e da Lei de Hooke;
Equações diferenciais ordinárias na Física;
Cinemática do movimento plano de um corpo rígido
Rotação em torno de um eixo
Resolução de exercícios: Hibbeler. Exs.: 16.1 → 16.32;
Análise do movimento absoluto;
Análise do movimento relativo;
Resolução de exercícios: Hibbeler. Exs.: 16.33 → 16.77;
Momento de inércia de massa de sistemas físicos;
Graus de liberdade de sistemas; Tipos de sistemas; Frequencia natural de vibração;
Vibrações livres não amortecidas: Pêndulo simples e sistemas massa-mola;
Exercícios e aplicações: Hibbeler : Exs.: 22.1 → 22.12
Vibrações livres não amortecidas:
Resolução de exercícios e aplicações. Hibbeler : Exs.: 22.13 → 22.25
Vibrações forçadas não amortecidas
Resolução de exercícios e aplicações. Hibbeler : Exs.: 22.41 → 22.56
Método da energia
MECÂNICA APLICADA
Bibliografia básica
• HIBBELER, R. C. Mecânica dinâmica. 10. ed. SP: Pearson Education, 2005.
• BEER, F.P.; JOHNSTON, E.R. Mecânica vetorial para engenheiros: dinâmica. 5a Ed.
Makron Books, 1991.
• RAO, S.S. Vibrações Mecânicas. 4ª ed. São Paulo: Editora Prentice Hall do Brasil, 2008.
Bibliografia complementar
• ALMEIDA, M. T. D. Vibrações mecânicas para engenheiros. SP: Edgard Blücher, 1987.
• THOMSON, J. J. Vibrations and stability. London: McGraw-Hill International, 1997.
RESUMO – CINÉTICA VETORIAL
CINEMÁTICA DE UM PONTO MATERIAL
RESUMO – CINÉTICA VETORIAL
CINEMÁTICA DE UM PONTO MATERIAL: TRAJETÓRIAS CURVAS
DIREÇÃO
MÓDULO
RESUMO – CINÉTICA VETORIAL
CÁLCULDO DA VELOCIDADE
COMO:
TEM-SE:
SIMPLIFICANDO:
RESUMO – CINÉTICA VETORIAL
ANALOGAMENTE, PARA A ACELARAÇÃO:
SIMPLICANDO:
MÓDULO:
RESUMO – CINÉTICA VETORIAL
DINÂMICA PARA O PONTO MATERIAL
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA DINÂMICA
Sistema de forças
RESUMO – CINÉTICA VETORIAL
DINÂMICA PARA O PONTO MATERIAL
RESUMO – CINÉTICA VETORIAL
DINÂMICA: MOVIMENTO NO PLANO
RESUMO – CINÉTICA VETORIAL
DINÂMICA: MOVIMENTO NO PLANO
MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO
RESUMO – CINÉTICA VETORIAL
DINÂMICA: MOVIMENTO NO PLANO
MOVIMENTO DE ROTAÇÃO
Velocidade angular
Aceleração angular
RESUMO – CINÉTICA VETORIAL
DINÂMICA: MOVIMENTO NO PLANO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO
RESUMO – CINÉTICA VETORIAL
DINÂMICA: MOVIMENTO NO PLANO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO
Relação entre velocidade angular 
e velocidade escalar
Direção da velocidade escalar
(plano)
(espaço)
RESUMO – CINÉTICA VETORIAL
DINÂMICA: MOVIMENTO NO PLANO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO
Direção da velocidade escalar
ROTAÇÃO NO PLANO TRANSLAÇÃO NO PLANO
RESUMO – CINÉTICA VETORIAL
RESUMO – CINÉTICA VETORIAL
DINÂMICA: MOVIMENTO NO PLANO
Conceitos Básicos de Vibrações
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
Vibração Mecânica é o estudo dos movimentos oscilatórios. Trata-se de um
tema lógico, explicável através de princípios básicos da mecânica. Seus conceitos
matemáticos são todos eles associados à fenômenos físicos que podem ser
experimentados e medidos, e é um assunto em constante progresso tecnológico.
Se o centro de massa de um corpo oscila ou inverte o seu sentido de movimento
periodicamente, dizemos que este corpo está vibrando. Todo sistema mecânico
dotado de massa e elasticidade é capaz de vibrar.
O objetivo de um projetista é controlar a vibração quando esta é desagradável e
aumentar a vibração quando esta é útil, entretanto as vibrações, na sua maioria,
são indesejáveis.
Conceitos Básicos de Vibrações
• Vibração
É qualquer movimento que se repete, regular ou irregularmente,
depois de um intervalo de tempo. O movimento de um pêndulo e da
corda de um violão são exemplos simples de vibrações no mundo real.
Em engenharia estes movimentos ocorrem em elementos de
máquinas e nas estruturas, quando estes estão submetidos a ações
dinâmicas.
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
Vibrações Livre e Forçada
• Vibração livre é aquela produzida por uma perturbação inicial que não
persiste durante o movimento vibratório. Como exemplo tem-se a vibração
do pêndulo simples. Depois de deslocado de sua posição de equilíbrio, o
pêndulo simples permanece em movimento oscilatório sem que nenhum
efeito externo intervenha.
• Vibração forçada é provocada por um efeito externo que persiste durante
o tempo em que o movimento vibratório existir. O movimento de um rotor
desbalanceado é típico de uma vibração forçada.
Conceitos Básicos de Vibrações
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
Vibrações Livre e Forçada
Conceitos Básicos de Vibrações
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
Vibração Amortecida e Não Amortecida
• Vibração amortecida é aquela em que a energia vibratória se dissipa com o transcorrer
do tempo de forma que os níveis vibratórios diminuem progressivamente.
• Vibração não amortecida é aquela em que a energia vibratória não se dissipa de forma
que o movimento vibratório permanece imutável com o passar do tempo. Os sistemas
em que ocorre a vibração não amortecida são sistemas ideais, pois sempre alguma
energia será dissipada em um sistema físico. Entretanto, em muitos casos, o
amortecimento é tão pequeno que é possível desprezá-lo, pois os níveis vibratórios
diminuem muito pouco durante o tempo em que o movimento é observado e a análise
do problema se torna matematicamente mais simples. Em se tratando de um sistema
real, as resistências passivas estão sempre presentes fazendo com que a energia
oscilatória se dissipe. Esta dissipação de energia é representada pela característica
chamada amortecimento.
Conceitos Básicos de Vibrações
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
Gráfico - Vibrações livres sem e com amortecimento
Conceitos Básicos de Vibrações
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
Vibração Linear e Não Linear
• Vibração linear é aquela que ocorre em um sistema cujos componentes
atuam linearmente (a força de mola é proporcional ao deslocamento, a
força de amortecimento é proporcional à velocidade e a força de inércia é
proporcional à aceleração).
• Vibração não linear é aquela em que um ou mais componentes do
sistema não se comporta linearmente, ou seja a força produzida não
apresenta uma relação linear com a variável cinemática a que se associa
(relações quadráticas, cúbicas, logarítmicas, exponenciais, senoidais, etc.).
Conceitos Básicos de Vibrações
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
Vibração Determinística e Aleatória
• Vibração determinística é aquela em que se pode prever todas as
características do movimento vibratório em qualquer instante de tempo.
• Vibração aleatória ou não-determinística é aquela em que não é possível
prever o que irá acontecer no movimento vibratório.
Conceitos Básicos de Vibrações
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
Vibração Determinística e Aleatória
Conceitos Básicos de Vibrações
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
É o número mínimo de coordenadas independentes necessárias a descrever
completamente o movimento de todas as partes que compõem um sistema
vibratório. A figura a seguir mostra exemplos esquemáticos de sistemas com
um, dois e três graus de liberdade. Se um sistema possui pelo menos um grau
de liberdade, os valores das variáveis que descrevem o estado do sistema
(posição, velocidade, aceleração) devem ser especificados. Para isto é
necessário que se escolha um sistema de coordenadas. Esta escolha é
arbitrária: pode-se escolher qualquer sistema de coordenadas para descrever
um movimento.
Graus de liberdade
Conceitos Básicos de Vibrações
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
Graus de liberdade
Graus de liberdade
Conceitos Básicos de Vibrações
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
Graus de liberdade
Conceitos Básicos de Vibrações
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
Graus de liberdade
Conceitos Básicos de Vibrações
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
Sistemas Contínuos e Discretos
• Sistemas que podem ser separados em partes de forma que cada uma
delas possua um determinado número de graus de liberdade e o sistema
global tenha um número finito de graus de liberdade são sistemas
discretos, sendo também chamados de sistemas com parâmetros
concentrados.
• Um sistema contínuonão pode ser dividido, possuindo um número
infinito de graus de liberdade sendo também conhecidos como sistemas
com parâmetros distribuídos.
Conceitos Básicos de Vibrações
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
EXEMPLO: SISTEMA MASSA-MOLA
A, -A: amplitude do MHS
0 é a posição de equilíbrio.
Resolução: LEI DE HOOKE:
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
EXEMPLO: SISTEMA MASSA-MOLA
Movimento Harmônico - Simples
• O movimento harmônico é a forma mais simples com que uma
vibração se apresenta. A geração deste movimento é representado
matematicamente pela equação:
x = A.sen(ω.t)
ou, se a origem do movimento não coincidir com sen(ωt) = 0
x = A.sen(ω.t + φ)
A forma do movimento harmônico não muda se ao invés de seno se
utilizar cosseno ou uma soma de seno e cosseno com o mesmo
argumento. Estas formas apenas provocam um deslocamento da função
no tempo, refletida no valor de φ.
Conceitos Básicos de Vibrações
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
Deslocamento em função do tempo X(t)
).cos(.)(   tAtx
Amplitude Frequência 
agular Instante
Fase inicial
T
f
T
f


2
;..2;
1
 K
m
T
m
K
 2; 
Conceitos Básicos de Vibrações
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
T
f
T
f


2
;..2;
1
 K
m
T
m
K
 2; 
Velocidade em função do tempo v(t)
).(..)(   tsenAtv
Amplitude Frequência 
agular Instante
Fase inicial
Conceitos Básicos de Vibrações
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
T
f
T
f


2
;..2;
1
 K
m
T
m
K
 2; 
Aceleração em função do tempo v(t)
Amplitude Frequência 
agular Instante
Fase inicial
)(.).cos(..)( 22 txtAta  
Conceitos Básicos de Vibrações
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
Conceitos Básicos de Vibrações
O valor máximo da velocidade da partícula em 
módulo vale xm, e ocorre quando a partícula 
está passando pela posição de equilíbrio, 
O ponto de mínimo na posição indica um 
ponto de máximo na aceleração 
Conceitos Básicos de Vibrações
Conceitos Básicos de Vibrações
As principais características do movimento harmônico são:
• Amplitude – A ou xmáx - é o máximo valor atingido por x. A
unidade utilizada é a mesma da variável x. Na literatura,
muitas vezes encontra-se os termos “amplitude de pico”
significando o que aqui se chama simplesmente de amplitude
e “amplitude pico a pico” significando a diferença entre o
valor máximo e o valor mínimo de x, sendo, para o
movimento harmônico, o dobro da amplitude A.
Conceitos Básicos de Vibrações
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
As principais características do movimento harmônico são:
• Período - T - é o tempo transcorrido até que o movimento se
repita (mesmos x, ẋ e ẍ). O período é expresso por uma
unidade de tempo, normalmente o segundo.
Conceitos Básicos de Vibrações
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
• Frequência - f - é o número de repetições que ocorrem em
uma determinada unidade de tempo. É definida como o
inverso do período:
f =1/T 
normalmente medida em ciclos por segundo (Hertz - Hz).
Uma outra unidade de freqüência bastante comum em
engenharia mecânica é a RPM (rotações por minuto) ou
CPM (ciclos por minuto), freqüentemente utilizada para
medir velocidade de rotação em sistemas rotativos.
As principais características do movimento harmônico são:
Conceitos Básicos de Vibrações
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
• Frequência angular - ω - é a velocidade angular com
que um vetor de amplitude A gira, conforme figura a
seguir, de forma que suas projeções horizontal e
vertical são movimentos harmônicos. Relaciona-se com
a freqüência f por
uma vez que um período de oscilação corresponde a uma
volta completa do vetor o que equivale a um ângulo de 2π
rad. É, portanto, medida em rad/seg.
As principais características do movimento harmônico são:
Conceitos Básicos de Vibrações
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
f..2  
T


2

EXEMPLO: VELOCIDADE ANGULAR
Conceitos Básicos de Vibrações
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
EXEMPLO: VELOCIDADE ANGULAR
Conceitos Básicos de Vibrações
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
• Ângulo de fase - φ - é o ângulo inicial do argumento da
função senoidal que descreve o movimento harmônico.
Deve ser normalmente representado em radianos. O
ângulo de fase começa a se tornar importante quando se
compara dois movimentos harmônicos não coincidentes no
tempo. Ao se estabelecer um movimento como básico,
uma escolha adequada do início da observação do
movimento fará com que o ângulo de fase represente o
quanto um movimento está adiantado ou atrasado em
relação ao outro.
As principais características do movimento harmônico são:
Conceitos Básicos de Vibrações
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
EXEMPLO: CURVAS DEFASADAS
Conceitos Básicos de Vibrações
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
EXEMPLO
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
Um bloco cuja a massa é 680 g é preso a uma mola cuja a constante elástica
é 65 N/m. O bloco é puxado sobre uma superfície sem atrito por uma
distância de 11 cm a partir da posição de equilíbrio em x = 0 e liberado a
partir do repouso no instante t = 0.
a) Quais são a frequência angular, a frequência e o período do movimento
resultante?
b) Qual a amplitude das oscilações?
c) Qual a velocidade máxima e onde o bloco se encontra quando ele tem
essa velocidade?
d) Qual é o módulo da aceleração máxima do bloco?
e) Qual a constante de fase do movimento?
f) Qual a equação do deslocamento em função do tempo?
g) Qual a equação da velocidade em função do tempo?
EXEMPLO
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
UM SISTEMA MASSA-MOLA POSSUI UM PERÍODO DE 0,2s. 
CALCULE O NOVO VALOR DESSE PERÍODO SE A RIGIDEZ DA 
MOLA FOR 
- AUMENTADA EM 36%. 
- REDUZIDA EM 49%.
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
EXEMPLO: PÊNDULO SIMPLES
O pêndulo simples, ou pêndulo matemático,
constitui-se no exemplo mais simples de um
sistema físico que exibe movimento harmônico
quando oscila com pequenas amplitudes (até 30º). É
formado por uma massa m, ligada à extremidade de
uma haste de comprimento l de massa desprezível,
que, em sua outra extremidade vincula-se a uma
articulação de forma que seu movimento é uma
oscilação no plano vertical. A figura ao lado mostra
o modelo de um pêndulo simples.
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
PÊNDULO SIMPLES
Em um determinado instante de
tempo t, a haste forma um ângulo
θ com a vertical. As forças que
atuam sobre a massa m são o seu
peso W e a tensão na haste T. A
massa apresenta uma aceleração
com componentes radial ar e
tangencial at e a haste possui uma
velocidade angular ∂t/∂θ e uma
aceleração angular ∂2t/∂θ2.
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
MÉTODOS DE ENERGIA
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
MÉTODOS DE ENERGIA
Calcular a vibração natural do disco de massa m.
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
MÉTODOS DE ENERGIA
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
ENERGIA
A energia mecânica do sistema massa mola se 
mantém constante em função do tempo! 
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
ENERGIA
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
MOLAS EQUIVALENTE: ASSOCIAÇÃO DE MOLAS
ASSOCIAÇÃO EM PARALELO
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
MOLAS EQUIVALENTE: ASSOCIAÇÃO DE MOLAS
ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE
INTRODUÇÃO ÀS VIBRAÇÕES
MOLAS EQUIVALENTE: ASSOCIAÇÃO DE MOLAS
EXEMPLO: Calcule a mola equivalente do sistema.
A
B
VIBRAÇÕES LIVRES NÃO-AMORTECIDAS
VIBRAÇÕES LIVRES NÃO-AMORTECIDAS
Solução para esse
movimento oscilatório:
VIBRAÇÕES LIVRES NÃO-AMORTECIDAS
Analogamente: Solução para esse
movimento oscilatório:
VIBRAÇÕES LIVRES NÃO-AMORTECIDAS
A SOLUÇÃO GERAL PARA AMBOS OS CASOS É A
SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA
LINEAR DE SEGUNDA ORDEM:
ONDE A e B SÃO COEFICIENTES CONSTANTES E SÃO
DETERMINADOS PELAS CONDIÇÕES INICIAIS DO
PROBLEMA.
VIBRAÇÕES LIVRES NÃO-AMORTECIDAS
ENTRETANTO, PODEMOS SIMPLIFICAR A EXPRESSÃO
MOSTRADO POR SUA FORMA SIMPLIFICADA:
ONDE C É A AMPLITUDE DO MOVIMENTO.  É A FASE INICIAL.
VIBRAÇÕES LIVRES NÃO-AMORTECIDAS
EXEMPLO:
VIBRAÇÕES FORÇADAS NÃO-AMORTECIDAS
VIBRAÇÕES FORÇADAS NÃO-AMORTECIDAS
Sistema apoiado em uma plataforma:
VIBRAÇÕES FORÇADAS NÃO-AMORTECIDAS
VIBRAÇÕES FORÇADAS NÃO-AMORTECIDAS
VIBRAÇÕES FORÇADAS NÃO-AMORTECIDAS
VIBRAÇÕES FORÇADAS NÃO-AMORTECIDAS
VIBRAÇÕES FORÇADAS NÃO-AMORTECIDASVIBRAÇÕES FORÇADAS NÃO-AMORTECIDAS
VIBRAÇÕES FORÇADAS NÃO-AMORTECIDAS
VIBRAÇÕES FORÇADAS NÃO-AMORTECIDAS
O bloco 30 kg é ligado a duas molas tendo
uma rigidez de 10 N/m. Uma força periódica
F=8cos(3t), onde t é expresso em
segundos, é aplicada ao bloco. Determinar
o velocidade máxima do bloco após a força
de atrito causar o encerramento das
vibrações livres.
VIBRAÇÕES FORÇADAS NÃO-AMORTECIDAS
CALCULAR A MOLA 
EQUIVALENTE DO SISTEMA
VIBRAÇÕES FORÇADAS NÃO-AMORTECIDAS
Um bloco de 5 kg é suspenso de uma mola tendo um
rigidez de 300 N/m. Se o bloco é sujeito a uma força
periódica F = 7 sin (8t) N, em que t é expresso em
segundos, determinar a equação que descreve o
movimento do bloco quando este é puxado para baixo
100 mm a partir do equilíbrio posição e solto do
repouso em t=0. Considere positiva deslocamento para
baixo ser.
VIBRAÇÕES FORÇADAS NÃO-AMORTECIDAS
VIBRAÇÕES FORÇADAS NÃO-AMORTECIDAS
REVISÃO – MHS
Um corpo de 50 g, preso à extremidade de uma mola ideal (K = 3,2
N/m) comprimida de 30 cm, é abandonado do repouso da posição A da
figura. A partir desse instante, o corpo inicia um movimento harmônico
simples. Despreze os atritos e adote o eixo x com origem no ponto de
equilíbrio do corpo (ponto O) e sentido para a direita. Nestas
condições, podemos afirmar que a alternativa que
mostra corretamente uma das funções horárias desse
corpo, no Sistema Internacional, é:
Examinando o sistema mecânico que
possui frequência natural não
amortecida que é utilizado em uma
indústria com massa =12 Kg, rigidez da
mola K= 1200 N/m e com condições
iniciais de deslocamento e velocidade de
x0=0,02 m e v0 = 0 respectivamente.
Qual seria a frequência natural não
amortecida e a amplitude máxima de
deslocamento?
𝜔𝑛 =
𝑘
𝑚
; 𝐴 =
𝑣0
𝜔𝑛
; B= 𝑥0; 𝑥𝑚𝑎𝑥= 𝐴
2 + 𝐵2
Resposta: 10 rad/s e 0,02 m
EXERCÍCIO:
MÉTODO DA ENERGIA CONSERVATIVA
MÉTODO DE ENERGIA
Um cilindro circular de massa m e
raio r é ligado a uma mola de módulo
k, como figura abaixo. Utilizando o
Método da Energia, calcular a
frequência do movimento, quando o
cilindro rola sem deslizar em uma
superfície áspera.
𝐼 =
1
2
𝑚. 𝑟2 +𝑚𝑟²𝐸𝑐 =
1
2
𝐼. ሶ𝜃2
Resolução:
A máquina tem uma massa 10 kg é
uniformemente suportada por quatro molas,
cada uma tendo uma rigidez k = 100 N/m.
Determine o período natural de vibração
vertical. Utilize o método de energia. Lembre
que a máquina está parada.
MÉTODO DE ENERGIA
).cos().(.)( tBtsenAtx  
T
f
T
f


2
;..2;
1
 K
m
T
m
K
 2; 
²²max BAX 
SOLUÇÃO PARA EDO DE SEGUNDA ORDEM 
HOMOGÊNEA
VIBRAÇÃO LIVRE NÃO AMORTECIDA
)().cos().(.)( wtCsentBtsenAtx nn  
SOLUÇÃO PARA EDO DE SEGUNDA ORDEM 
NÃO - HOMOGÊNEA
2
0
1
max








nw
w
k
F
XC
Aplicando a 2ª Lei de Newton:
VIBRAÇÃO LIVRE FORÇADA
Velocidade e aceleração:
VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA
Os sistemas vibratórios considerados na primeira parte
Do curso foram considerados livres de amortecimento.
Na verdade, todas as vibrações são amortecidas por
forças de atrito.
Essas forças podem ser causadas por atrito, ou atrito
de eletrostático ou atrito com algum fluido.
Um tipo de amortecimento de interesse especial é o
amortecimento viscoso causado pelo atrito do fluido em
velocidades baixas e moderadas.
VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA
Amortecimento viscoso é caracterizado
pelo fato de que a força de atrito é
diretamente proporcional e oposta à
velocidade do corpo em movimento.
VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA
Utilizando a notação de derivada:
Aplicando a 2ª Lei de Newton:
A solução dessa expressão pode ser 
encontrada substituindo 
Assim:
VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA
c = coeficiente de amortecimento ( )
cc = coeficiente de amortecimento crítico
VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA
VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA
TIPOS DE AMORTECIMENTO
Crítico:
Pesado ou Supercrítico:
Leve ou subcrítico:
Duas soluções reais diferentes. Não há vibração
Duas soluções reais iguais. Não há vibração
Duas soluções complexas. Há vibração
VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA
TIPOS DE AMORTECIMENTO
Leve ou subcrítico:
c/cc
= FATOR DE AMORTECIMENTO
wD
= frequência circular ou frequência da vibração amortecida
VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA
TIPOS DE AMORTECIMENTO
O movimento oscilatório é descrito como
forçado quando uma força periódica é aplicada.
VIBRAÇÃO FORÇADA AMORTECIDA
VIBRAÇÃO FORÇADA AMORTECIDA
VIBRAÇÃO FORÇADA AMORTECIDA
Aplicando a 2ª Lei de Newton:
A solução dessa expressão é do tipo: x(t) = xtrans + xpart
Substituindo a solução no sistema:
Como:
VIBRAÇÃO FORÇADA AMORTECIDA
VIBRAÇÃO FORÇADA AMORTECIDA
VIBRAÇÃO FORÇADA AMORTECIDA
VIBRAÇÃO FORÇADA AMORTECIDA
EXEMPLO:
Uma máquina de 1100 N é suportada por duas molas, cada uma com
constante 3000 N/m. Uma força periódica de 30 N é aplicada de modo
que a máquina fique com uma frequência de 2,8 Hz. Sabendo que o
coeficiente de amortecimento é 110 N.s/m, determinar a amplitude de
vibração da máquina, a qual está no regime estacionário.
Solução de sistemas amortecidos.
VIBRAÇÃO FORÇADA AMORTECIDA
EXEMPLO:
Uma máquina de 1100 N é suportada por duas molas, cada uma com
constante 3000 N/m. Uma força periódica de 30 N é aplicada de modo
que a máquina fique com uma frequência de 2,8 Hz. Sabendo que o
coeficiente de amortecimento é 110 N.s/m, determinar a amplitude de
vibração da máquina, a qual está no regime estacionário.
Determinar o valor necessários de cada constante elástica das molas
para que a amplitude máxima não supere 0,01 m.
Solução de sistemas amortecidos.
VIBRAÇÃO FORÇADA AMORTECIDA
EXEMPLO:
Se o bloco de 30 kg for submetido a uma
força periódica P, com k = 1500 N/m e c =
300 N.s/m. Determinar a equação que
descreve o estado estacionário de vibração
em função do tempo.
VIBRAÇÃO FORÇADA AMORTECIDA
EXEMPLO:
Determinar a equação diferencial de
movimento para o sistema vibratório
amortecido mostrado. Que tipo de
movimento ocorre?
VIBRAÇÃO FORÇADA AMORTECIDA
EXEMPLO:
Determinar a equação diferencial de
movimento para o sistema vibratório
amortecido mostrado. Que tipo de
movimento ocorre?
Um oscilador harmônico possui massa m = 1,2 kg, 
constante de amortecimento c = 12 N.s/m e constante de 
mola k = 0,5 kN/m. Determinar: 
(a) A frequência natural amortecida. 
(b) O fator de amortecimento 
EXERCÍCIO:
O bloco, com um peso de 15 N, é imerso em um líquido tal que a
força de amortecimento que atua sobre o bloco tenha uma
magnitude de F = |0,8|v N, onde v é a velocidade do bloco em
m/s. Se o bloco é puxado para baixo 0,8 m e liberado do repouso,
determine a posição do bloco como função do tempo. A mola
tem uma rigidez de 40 N/m. Considere o deslocamento positivo
como sendo descendente.
EXERCÍCIO:
EXERCÍCIO:
EXERCÍCIO DE REVISÃO – VIBRAÇÃO LIVRE NÃO AMORTECIDA
Resposta: Associação em série:
VIBRAÇÃO FORÇADA AMORTECIDA
EXEMPLO:
Determinar a equação diferencial de
movimento para o sistema vibratório
amortecido mostrado. Que tipo de
movimento ocorre?
Resposta: Superamortecimento
Um oscilador harmônico possui massa m = 1,2 kg, constante de
amortecimento c = 12 N.s/m e constante de mola k = 0,5 kN/m.
Determinar:
(a) A frequência natural amortecida.
(b) O fator de amortecimento
EXERCÍCIO:
O bloco, com um peso de 15 N, é imerso em um líquido tal que a
força de amortecimento que atua sobre o bloco tenha uma
magnitude de F = |0,8|v N, onde v é a velocidade do bloco em
m/s. Se o bloco é puxado para baixo 0,8 m e liberado do repouso,
determine a posição do bloco como função do tempo. A mola
tem uma rigidez de 40 N/m. Considere o deslocamento positivo
como sendo descendente.
EXERCÍCIO:
O sistema massa-mola-amortecedor abaixo é composto por um
bloco de 10 kg, uma mola de rigidez 60 N/m e um amortecedor
de coeficiente de amortecimento 80 N.s/m. Se o bloco for
deslocado 50 mm e liberado do repouso, calcular o tempo
necessário para ele retornar para a posição 2mm.
Resposta: t = 4 sEXERCÍCIO:
Resposta 
EXERCÍCIO:
Resposta 
EXERCÍCIO:
Resposta:
Resposta:
Resposta:
Resposta:
Resposta
REVISÃO
HIBBELER, R. C. Mecânica dinâmica. 12. ed. SP: Pearson Education, 2005.
REVISÃO
HIBBELER, R. C. Mecânica dinâmica. 12. ed. SP: Pearson Education, 2005.
REVISÃO
HIBBELER, R. C. Mecânica dinâmica. 12. ed. SP: Pearson Education, 2005.
REVISÃO
HIBBELER, R. C. Mecânica dinâmica. 12. ed. SP: Pearson Education, 2005.
REVISÃO
HIBBELER, R. C. Mecânica dinâmica. 12. ed. SP: Pearson Education, 2005.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Bibliografia básica
• HIBBELER, R. C. Mecânica dinâmica. 10. ed. SP: Pearson Education, 2005.
• BEER, F.P.; JOHNSTON, E.R. Mecânica vetorial para engenheiros: dinâmica. 5a Ed.
Makron Books, 1991.
• RAO, S.S. Vibrações Mecânicas. 4ª ed. São Paulo: Editora Prentice Hall do Brasil,
2008.
Bibliografia complementar
• ALMEIDA, M. T. D. Vibrações mecânicas para engenheiros. SP: Edgard Blücher, 1987.
• THOMSON, J. J. Vibrations and stability. London: McGraw-Hill International, 1997.
RESUMO DE MOVIMENTO CIRCULAR
PERÍODO
O tempo levado pela partícula para percorrer uma
vez a sua trajetória é o período (T) do movimento.
FREQUÊNCIA
O número de voltas por SEGUNDO dadas pela
partícula na unidade de tempo é a freqüência (f) do
movimento
RADIANO
É o arco de circunferência cuja medida é o raio.
Rotação (n)
É o número de ciclos que um ponto material "P", 
movimentando-se em trajetória circular de raio "r", descreve 
em um minuto.
VELOCIDADE LINEAR
O módulo da velocidade linear da partícula, no
referencial em que ela descreve um MCU, é
definido como a distância percorrida sobre a
trajetória dividida pelo intervalo de tempo levado
para percorrê-la.
OU
VELOCIDADE ANGULAR
Se, em vez de considerar a distância percorrida
pela partícula sobre sua trajetória, consideramos o
ângulo descrito pela linha que une a partícula ao
centro da trajetória, podemos definir a velocidade
angular ().
O módulo dessa velocidade angular é dado pelo
cociente do ângulo descrito (em radianos) pelo
intervalo de tempo correspondente.
Sua unidade no Sistema Internacional é: rad/s,
sendo também encontradas: rpm, rev/min, rev/s.
RELAÇÃO ENTRE v e 