Análise Dimensional e Semelhança

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4ºAula
 Análise dimensional e 
semelhança
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
•	 saber	como	mudar	um	adimensional	para	um	dimensional;
•	 conhecer	o	teorema	Pi	de	Buckingham;
•	 compreender	os	grupos.
Nesta aula, abordaremos as dimensões e as unidades de 
medida. Estudaremos a análise dimensional, que é um meio 
empregado para simplificação de problemas físicos e empregado 
para homogeneizar e reduzir o número das variáveis de uma 
análise.
A análise dimensional é particularmente útil para 
interpretação de dados experimentais, pois resolve problemas 
analíticos de difícil solução, pode ser utilizada para detectar erros 
e a modelagem permite que os ensaios em modelos realizados 
em laboratório possam ser aplicados em escalas reais com base 
nos fenômenos físicos. Vamos para o início de mais uma aula?
Boa aula!
Bons estudos!
Fenômenos de Transporte 32
Seções de estudo
1. Dimensões e unidades
2. Homogeneidade dimensional e adimensionalização das equações
3. O método das variáveis repetidas e o Teorema Pi de Buckingham
4. Semelhança mecânica 
5. Exemplo resolvido 
1 -  Dimensões e unidades
Uma dimensão é uma medida de uma quantidade física (sem valores numéricos), enquanto uma unidade é uma forma de 
atribuir um número aquela dimensão. Existem sete dimensões primárias – massa, comprimento, tempo, temperatura, corrente, 
elétrica, quantidade de luz e quantidade de matéria.
Tabela 1 – Dimensões e suas unidades SI
Dimensão Símbolo Unidade SI Unidade Inglesa
Massa M kg (quilograma) lbm (libra-massa)
Comprimento L m (metro) Pé
Tempo T s (segundo) s (segundo)
Temperatura T K (kelvin) R (rankine)
Corrente elétrica I A (ampére) A (ampére)
Quantidade de luz C cd (candela) cd (candela)
Quantidade de matéria N mol (mol) mol (mol)
Fonte: Brunetti (2008).
Em análise dimensional vamos lidar mais com as unidades de comprimento (L), massa (M) e tempo (T). Há várias unidades 
muito usadas no dia a dia (e como consequência em problemas de física e engenharia), mas que não fazem parte do SI e de 
outros sistemas de unidades, como o CGS. Existem várias unidades derivadas destas sete fundamentais, podemos visualizar na 
Tabela 2, a seguir, algumas destas grandezas, escritas na forma adimensional.
Tabela 2 – Dimensões derivadas das unidades básicas
Dimensões 
Grandeza
Comprimento
Área
Volume
Velocidade
Aceleração
Velocidade do som
Vazão volumétrica
Vazão mássica
Pressão, Tensão
Taxa de deformação
Ângulo Nenhum Nenhum
Velocidade angular
Viscosidade
Viscosidade cinemática 
Tensão superficial
Força
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Momento, torque
Potência
Trabalho, energia
Massa específica
Temperatura
Calor específico
Peso específico 
Condutividade térmica
Coeficiente de expansão
Fonte: Brunetti (2008).
A utilização dessa ferramenta é utilizada em todas as 
áreas	 em	 que	 desejamos	 simplificar	 as	 soluções	 e	 detectar	
erros.	Dentre	as	finalidades	estão	três	principais:
•	 gerar parâmetros adimensionais que ajudam no 
projeto	das	experiências	(físicas	e/ou	numéricas)	e	no	relatório	
dos resultados experimentais;
•	 obter as leis de escala para que o desempenho do 
protótipo possa ser previsto com o desempenho do modelo;
•	 prever (as vezes) as tendências das relações entre os 
parâmetros.
Os teoremas de Pi de Buckingham são um dos teoremas 
centrais na análise dimensional, portanto, vamos conhecer 
como uma coleção de variáveis e constantes se transformam 
em uma equação adimensional.
3. O método das variáveis repetidas e o Teorema Pi de 
Buckingham
Existem vários métodos que foram desenvolvidos com 
essa	finalidade,	mas	o	mais	conhecido	(e	simples)	e	o	método	
das variáveis repetidas, popularizado por Edgar Buckingham 
(1867-1940). O método foi publicado pelo cientista russo 
Dimitri	Riabouchinsky	(1882-1962),	em	1911.	Nós	podemos	
imaginar esse método como um procedimento passo a passo 
ou uma “receita” para obter parâmetros adimensionais.
1) Liste todas as variáveis dimensionais que estão 
envolvidas no problema (determinação de ).
2) Represente cada uma das variáveis em termo das 
dimensões básicas – sistema ou (determinação 
de ).
3) Determine o número necessário de grupos 
adimensionais .
4) Escolha as variáveis (as mais simples) com 
combinações de unidade básica e sem repetição da variável.
5) Forme os grupos de – esses devem combinar 
as variáveis escolhidas na etapa 3 e uma das variáveis não 
escolhidas das etapas.
6) Repita a etapa 5 para cada uma das variáveis não 
repetidas remanescentes.
7) Verifique	 a	 dimensionalidade	 de	 todos	 os	 termos	
resultantes.
2. Homogeneidade dimensional e adimensionalização 
das equações
A lei da homogeneidade dimensional garante que cada 
termo de uma equação tem as mesmas dimensões. A análise 
dimensional tem interesse pelas unidades de medidas das 
grandezas fundamentais. E embora as grandezas fundamentais 
sejam muitas vezes expressas no sistema internacional, esse 
procedimento não necessita de uma mudança de unidade de 
medida, pois combina as grandezas fundamentais de massa, 
comprimento, tempo e temperatura sem a preocupação de 
qual é o sistema.
Em análise dimensional as dimensões são tratadas 
de forma algébrica de forma a obtenção de equações 
homogêneas através de manipulações de adição e subtração 
até que possuam a mesma dimensão.
Os termos de uma equação adimensional no sistema SI 
por sua vez não têm dimensão e podem ser representados 
abaixo como:
Na qual:
 é a massa adimensional;
 é o tempo adimensional;
 é o comprimento adimensional;
 é a temperatura adimensional;
a, b, c e d são números, positivos, negativos ou nulo, 
inteiros ou fracionários.
Nem sempre conhecemos as equações quando 
inspecionamos um experimento e em outros casos, em 
especial, em soluções para problemas de engenharia as 
equações além de não serem conhecidas são muito difíceis de 
serem solucionadas. Na maioria das vezes as experimentações 
se	 tornam	 meios	 mais	 confiáveis	 para	 se	 obter	 algumas	
informações sobre um determinado problema. Na maioria 
das experiências, para economizar tempo e dinheiro são 
executados testes em um modelo em escala geométrica, 
em vez de um protótipo em escala natural. Em tais casos é 
preciso tomar cuidado para mudar adequadamente a escala 
dos resultados e desta realização de experimentos. 
Fenômenos de Transporte 34
Essas etapas são explicadas ainda com mais detalhes 
ao tratarmos vários exemplos de problemas. Assim como 
acontece com a maioria dos procedimentos novos, a melhor 
maneira de aprender é pelo exemplo e prática.
4 -  Semelhança mecânica
Existem três condições necessárias para a similaridade 
completa entre um modelo e um protótipo.
1) Similaridade geométrica: o modelo deve ter a mesma 
forma do protótipo, mas pode ser alterado sua escala. Nesse 
caso, devem ser geometricamente semelhantes, isto é, deve 
ser	possível	a	definição	de	escalas	de	comprimentos:
Na qual:
 é a escala de comprimento;
 é o comprimento do modelo [m];
 é o comprimento do protótipo [m].
2) Similaridade cinemática: a velocidade em determinado 
ponto de escoamento do modelo deve ser proporcional a 
velocidade no ponto correspondente de escoamento do 
protótipo. Nesse caso, as trajetórias homólogas devem ser 
linhas semelhantes com a mesma escala, devendo ser os 
trechos homólogos percorridos em tempos tais que:
Na qual:
 é a escala de tempo;
 é o tempo do modelo [s];
 é o tempo do protótipo [s].
3) Similaridade dinâmica: é atingida quando todas as 
forças de escoamento do modelo são proporcionais, as forças 
correspondentes de escoamento do protótipo (equivalência 
de escala de força). Neste caso, entre as massas de porções 
homológas devem existir uma relação denominada escala de 
massas:
Na qual:
 é a escala de massa;
 é massa do modelo [kg];
 é a massa do protótipo [kg]. 
A similaridade cinemática e uma condição necessária, 
mas	 insuficiente	 para	 a	 similaridade	 dinâmica.	 Portanto,	 é	
possível para um escoamento de modelo e um escoamento 
de protótipo atingir ambas, a similaridadegeométrica e 
cinemática, mas não atingir a similaridade dinâmica. Todas 
as três condições de similaridade existem para garantir a 
similaridade completa. As escalas das grandezas mecânicas 
serão escritas em função dessas três escalas: , , .
Tabela 3 – Dimensões em escala das grandezas mecânicas 
Dimensões 
Grandeza 
Comprimento
Área
Volume
Velocidade
Aceleração
Viscosidade 
cinemática 
Força
Potência
Massa específica
Fonte: Brunetti (2008).
5 -  Exemplo resolvido
Ao espirrar uma pessoa elimina pequenas partículas de 
espirro	 de	 massa	 específica,	 , e diâmetro característico, 
,	 que	 cai	 no	 ar	 de	massa	 específica,	 , e viscosidade, 
.	Se	a	partícula	for	suficientemente	pequena,	a	aproximação	
do escoamento lento é válida, e a velocidade terminal da 
partícula, V, depende apenas de , , g e da diferença de 
massa	específica	( 	−	 ). Use análise dimensional para gerar 
uma relação para V e as vaiáveis da partícula. Quantos grupos 
adimensionais são necessários para caracterizar essa situação? 
Quais são os grupos?
Solução:
1º) N.º de parâmetros: n = 6 ( , , ρ,	µ,	V,	g).
2º) N.º de variáveis adimensionais: j = 3 (M, L, T).
µ V G
S.I. Kg/m3 M kg/m3 Pa.s m/s m/s2
Adm M.L-3 L M.L-3 M.L-1.T-1 L.T-1 L.T-2
3º)	N.º	de	grupos	adimensionais:	π	=	n	–	j	=	6	–	3	=	3	
grupos	(π1,	π2,	π3).
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4°) Escolha as variáveis mais simples e sem repetição 
das partículas (Dp,	ρp, V).
5°)	Encontre	os	grupos	adimensionais	(π1,	π2,	π3):
Os grupos de devem combinar as variáveis escolhidas 
na etapa 4 e uma das variáveis não escolhidas na etapa 2, para 
o	primeiro	grupo	π1, a escolha é :
Deve ser resolvido o sistema de acordo com as 
unidades básicas do problema (M, L, T).
Massa (M) 
Comprimento(L) 
Tempo (T) 
Encontrados	 os	 coeficientes	 através	 do	 sistema,	 os	
valores devem ser substituídos no 
Repetindo as etapas acima para uma das variáveis não 
repetidas remanescentes da etapa 2, no caso , encontramos 
o	segundo	grupo	π2;
Deve ser resolvido o sistema de acordo com as unidades 
básicas do problema (M, L, T).
Massa (M) 
Comprimento(L) 
Tempo (T) 
Encontrados	 os	 coeficientes	 através	 do	 sistema,	 os	
valores devem ser substituídos no 
Repetindo as etapas acima para uma das variáveis não 
repetidas remanescentes da etapa 2, no caso , encontramos 
o	segundo	grupo	π3;
Deve ser resolvido o sistema de acordo com as unidades 
básicas do problema (M, L, T).
Massa (M) 
Comprimento(L) 
Tempo (T) 
Encontrados	 os	 coeficientes	 através	 do	 sistema,	 os	
valores devem ser substituídos no 
Retomando a aula
Chegamos, assim, ao final de nossa aula. Espera-se 
que agora tenha ficado mais claro o entendimento 
de vocês sobre análise dimensional e semelhança. 
Vamos, então, recordar?
 
1. Dimensões e unidades
Vimos que existem sete dimensões primárias – 
massa, comprimento, tempo, temperatura, corrente, 
elétrica, quantidade de luz e quantidade de matéria. Em 
análise dimensional vamos lidar mais com as unidades de 
comprimento (L), massa (M) e tempo (T).
2. Homogeneidade dimensional e 
adimensionalização das equações 
Vimos que para análise dimensional é necessária 
uma homogeneização das unidades básicas e essas são 
transformadas em comprimento (L), Massa (M), tempo (T) 
e temperatura ( ).
Normalmente, para adimensionalização das equações é 
preciso	trabalhar	com	sistemas	de	equações	para	definir	quais	
são os grupos adimensionais.
3. O método das variáveis repetidas e o Teorema Pi 
de Buckingham
Vimos que esses métodos tratam de explicar o passo a 
passo	para	definir	as	quantidades	e	específicação	dos	grupos.
4. Semelhança mecânica 
Vimos que existem três condições para a similaridade 
entre um modelo e um protótipo. As similaridades são: 
geométrica, cinemática e dinâmica.
No caso da similaridade geométrica ambos devem ser 
geometricamente semelhantes. Enquanto na similaridade 
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cinemática, deve-se possuir pontos homólogos e na 
similaridade dinâmica as forças devem ser proporcionais.
5. Exemplo resolvido
Neste	tópico	foi	exemplificada	a	aplicação	de	conceitos	
dimensões e unidades, adimensionalização das equações e 
teorema Pi de Buckingham.
Vale a pena
FREITAS, G. H. S. et al. Análise dimensional e 
aplicação hidráulica do teorema Pi de Buckingham. 
Disponível	 em:	 https://periodicos.furg.br/vetor/article/ 
viewFile/6143/4210.	Acesso	em:	4	out.	2020.
Vale a pena ler
Análise dimensional: materiais para um livro aberto. 
Disponivel	em:	https://repositorio.ufjf.br/jspui/bitstream/
ufjf/11180/1/tiagodelpenhomazzoni.pdf.	 Acesso em: 4 
out. 2020.
Vale a pena acessar
Videoaula. Análise dimensional – Teorema 
Pi.	 Disponivel	 em:	 https://www.youtube.com/
watch?v=tNm2jZ0G4-0. Acesso em: 4 out. 2020.
Videoaula. Análise dimensional – Teorema Pi – 
Exercicios.	 https://www.youtube.com/watch?v=QnR_
P2-jgCM. Acesso em: 4 out. 2020.
Vale a pena assistir
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