PC_2020-2_EP12_Funcao Potencia de Expoente Racional_GABARITO

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Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO 1 de 26 
 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2020-2 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
EP 12 – Função Potência de Expoente Racional 
GABARITO 
 
Exercício 1 Considere as potências 𝑥
3
2 , √𝑥4 
5
 , √𝑥7
3
 . 
a) Coloque essas potências em ordem crescente para 𝑥 ∊ (1 , +∞). 
b) Dê os domínios, estude a paridade e esboce, num mesmo par de eixos, os gráficos das funções 
 𝑓(𝑥) = 𝑥
3
2 , 𝑔(𝑥) = √𝑥4 
5
 , ℎ(𝑥) = √𝑥7
3
. 
Resolução: 
a) Vamos colocar os expoentes 
3
2
, 
4
5
 ,
7
3
 em ordem crescente. 
Vamos provar que 
4
5
< 1 <
3
2
 <
7
3
 . De fato, 
4
5
< 1 ⇔ 4 < 5 ; 1 <
3
2
 ⇔ 2 < 3 ; 
3
2
 <
7
3
 ⇔ 3 × 3 < 2 × 7 ⇔ 9 < 14 . 
Pelas equivalências acima e o fato das desigualdades da direita serem verdadeiras então a ordem 
4
5
<
1 <
3
2
 <
7
3
 está correta. 
Pela Propriedade 6, sabemos que se a base 𝑥 for maior que 1, quanto maior o expoente, maior será a 
potência, assim temos a seguinte ordenação para 𝑥 ∊ (1 , +∞): √𝑥4 
5
< 𝑥
3
2 < √𝑥7
3
. 
Pela mesma Propriedade 6, √𝑥7
3
 < 𝑥
3
2 < √𝑥4 
5
 para 𝑥 ∊ (0 , 1), pois quanto maior o expoente, menor 
será a potência. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) 
• 𝑓(𝑥) = 𝑥
3
2 = √𝑥3 está definida para 𝑥 ≥ 0 , pois a raiz é de índice par e no radicando 𝑥 está 
elevado a um expoente ímpar que se 𝑥 < 0 então 𝑥3 < 0. Portanto 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [0 , +∞). 
• 𝑔(𝑥) = √𝑥4 
5
 está definida para ∀ 𝑥 ∈ ℝ , pois a raiz é de índice ímpar. Portanto 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ. 
• ℎ(𝑥) = √𝑥7
3
 está definida para ∀ 𝑥 ∈ ℝ , pois a raiz é de índice ímpar. Portanto 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = ℝ. 
• Observe que apenas os domínios das funções 𝑔 e ℎ são simétricos em relação à origem da reta 
numérica. 
• Justificativa do gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑥
3
2: 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO 2 de 26 
 
Como o expoente 
3
2
> 1, no seu domínio [0,∞), o gráfico de 𝑦 = 𝑔(𝑥) tem o mesmo 
comportamento do gráfico da função 𝑦 = 𝑥2, para 𝑥 ≥ 0, ou seja, a função é crescente (pela 
propriedade 4) e o gráfico tem concavidade para cima (pela propriedade 5). 
• 𝑔(−𝑥) = √(−𝑥)4 
5
= √𝑥4 
5
= 𝑔(𝑥) , ∀ 𝑥 ∈ ℝ. Isto mostra que 𝑔(𝑥) = √𝑥4 
5
 é uma função par. 
• Justificativa do gráfico de 𝑔(𝑥) = √𝑥4 
5
= 𝑥
4
5 no intervalo [0,∞) do seu domínio: 
Como o expoente 0 <
4
5
< 1, o gráfico de 𝑦 = 𝑔(𝑥) tem o mesmo comportamento do gráfico da 
função 𝑦 = √𝑥, ou seja, a função é crescente (pela propriedade 4) e o gráfico tem concavidade para baixo 
(pela propriedade 5) 
• ℎ(−𝑥) = √(−𝑥)7
3
= √−𝑥7
3
 = −√𝑥7
3
= −ℎ(𝑥). Isto 
mostra que ℎ(𝑥) = √𝑥7
3
 é uma função ímpar. 
• Justificativa do gráfico de ℎ(𝑥) = √𝑥7
3
= 𝑥
7
3 no 
intervalo [0,∞) do seu domínio: 
Como o expoente 
7
3
> 1 > 0, o gráfico de 𝑦 = 𝑔(𝑥) 
tem o mesmo comportamento do gráfico da função 𝑦 = 𝑥2, 
𝑥 ≥ 0 , ou seja, a função é crescente (pela propriedade 4) e 
o gráfico tem concavidade para cima (pela propriedade 5) 
____________________________________________________________________________________ 
Exercício 2 Considere as funções 𝑓(𝑥) =
1
|𝑥|
 e 𝑔(𝑥) =
1
√𝑥4
3 . 
a) Dê os domínios, estude a paridade e esboce num mesmo par de eixos os gráficos dessas funções. 
b) Dê os intervalos onde a função 𝑓 é maior que a função 𝑔. 
c) Dê os intervalos onde a função 𝑓 é menor que a função 𝑔. 
d) Dê os pontos onde as duas funções coincidem. 
Resolução: 
a) 
• 𝑓(𝑥) =
1
|𝑥|
,. É preciso que 𝑥 ≠ 0 para que o denominador não se anule. Logo, 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−∞ , 0) ∪ (0 , +∞) = ℝ − {0}. 
• 𝑔(𝑥) =
1
√𝑥4
3 . Temos que √𝑥4
3
 está definida para ∀ 𝑥 ∈ ℝ , pois a raiz é de índice ímpar. Como 
√𝑥4
3
 está no denominador então temos que ter 𝑥 ≠ 0, para que o denominador não se anule. 
Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−∞ , 0) ∪ (0 , +∞) = ℝ − {0}. 
• 𝑓(−𝑥) =
1
|−𝑥|
= 
1
|𝑥|
= 𝑓(𝑥). Lembre que |𝑥| = |−𝑥|, para ∀ 𝑥 ∈ ℝ. Como ℝ − {0} é um conjunto 
simétrico relação à origem 𝑂 e 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) para ℝ− {0}, então 𝑓(𝑥) =
1
|𝑥|
 é uma função par. 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO 3 de 26 
 
• Justificativa do gráfico de 𝑓(𝑥) =
1
|𝑥|
 no intervalo (0,∞) do seu domínio: 
Para 𝑥 > 0, temos que |𝑥| = 𝑥, logo 𝑔(𝑥) =
1
𝑥
, para 𝑥 > 0 e já sabemos que o gráfico é um ramo da 
hipérbole. 
• 𝑔(−𝑥) =
1
√(−𝑥)4
3 = 
1
√𝑥4
3 = 𝑔(𝑥). Como ℝ − {0} é um conjunto simétrico em relação à origem 𝑂 e 
𝑔(−𝑥) = 𝑔(𝑥) para ℝ− {0}, então 𝑔(𝑥) =
1
√𝑥4
3 é uma função par. 
• Justificativa do gráfico de 𝑔(𝑥) =
1
√𝑥4
3 = 𝑥
−
4
3 no intervalo 
(0,∞) do seu domínio: 
Como o expoente −
4
3
< 0, o gráfico de 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 𝑥−
4
3 
tem o mesmo comportamento do gráfico da função 𝑦 =
1
𝑥
, 𝑥 > 0 , ou seja, a função é decrescente (pela 
propriedade 4) e o gráfico tem concavidade para cima 
(pela propriedade 5) 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
b) c) d) Para 𝑥 > 0, |𝑥| = 𝑥 e 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
= 𝑥−1 
Logo, para 𝒙 > 0 temos as seguintes potências: 𝑥−1 e 𝑥−
4
3. 
Para 𝒙 > 1, 𝑥−
4
3 < 𝑥−1 , pois −
4
3
< −1 e a base 𝒙 > 1. (Propriedade 6) 
Para 𝟎 < 𝑥 < 1, 𝑥−1 < 𝑥−
4
3 , pois −
4
3
< −1 e a base 𝟎 < 𝑥 < 1. (Propriedade 6) 
Temos que 𝑓(1) =
1
|1|
= 1 e 𝑔(1) =
1
√14
3 = 1. 
Portanto, para 𝒙 > 0: 
𝑓(𝑥) = 𝑥−1 < 𝑥−
4
3 = 𝑔(𝑥) ⇒ 𝒇(𝒙) < 𝑔(𝑥) , para 𝟎 < 𝑥 < 1 e 
 𝑔(𝑥) = 𝑥−
4
3 < 𝑥−1 = 𝑓(𝑥) ⇒ 𝒈(𝒙) < 𝑓(𝑥) , para 𝒙 > 1. 
Como 𝑓 e 𝑔 são funções pares então: 
𝑓(𝑥) = 𝑥−1 < 𝑥−
4
3 = 𝑔(𝑥) ⇒ 𝒇(𝒙) < 𝑔(𝒙) , para −𝟏 < 𝑥 < 0 e 
 𝑔(𝑥) = 𝑥−
4
3 < 𝑥−1 = 𝑓(𝑥) ⇒ 𝒈(𝒙) < 𝑓(𝒙) , para 𝒙 < −1. 
____________________________________________________________________________________ 
Exercício 3 Encontre os intervalos da reta real para os quais as expressões a seguir estão bem 
 definidas para todo 𝑥 nesses intervalos: 
a) (𝑥 − 1)
4
9 b) (𝑥 − 1)
−4
9 c) (𝑥 − 1)
9
4 d) (𝑥 − 1)
−9
4 
e) (𝑥 − 1)4,2 f) (𝑥 − 1)4,3 g) (𝑥 − 1)4,2 h) (𝑥 − 1)4,25 
Resolução: 
 
 
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Vamos lembrar que: 
• 𝑆𝑒 𝑎 ∈ ℝ , 𝑛 í𝑚𝑝𝑎𝑟 , 𝑎𝑛 ≥ 0 ⇔ 𝑎 ≥ 0 . 
• ∀ 𝑎 ∈ ℝ , 𝑛 𝑝𝑎𝑟 , 𝑎𝑛 ≥ 0 
a) 𝑦 = (𝑥 − 1)
4
9 = √(𝑥 − 1)4
9
. Como a raiz é de índice ímpar, (𝑥 − 1)4 pode ser qualquer número 
real, portanto (𝑥 − 1)
4
9 está definida para ∀ 𝑥 ∈ ℝ. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
b) 𝑦 = (𝑥 − 1)−
4
9 = 
1
(𝑥−1)
4
9
 = 
1
√(𝑥−1)4
9 . . Como a raiz é de índice ímpar, (𝑥 − 1)
4 pode ser qualquer 
número real. Mas, como √(𝑥 − 1)4
9
 está no denominador, 𝑥 − 1 ≠ 0 , donde 𝑥 ≠ 1 . Portanto 
(𝑥 − 1)−
4
9 está definida para ∀ 𝑥 ∈ ℝ − {1}. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
c) 𝑦 = (𝑥 − 1)
9
4 = √(𝑥 − 1)9
4
 . Como a raiz é de índice par, (𝑥 − 1)9 deve ser positivo ou nulo. Logo, 
(𝑥 − 1)9 ≥ 0 ⇔ 𝑥 − 1 ≥ 0 ⇔ 𝑥 ≥ 1 . Portanto (𝑥 − 1)
9
4 está definida para ∀ 𝑥 ∈
[1 , +∞). 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
d) 𝑦 = (𝑥 − 1)
−9
4 = 
1
(𝑥−1)
9
4
 = 
1
√(𝑥−1)9
4 . Como a raiz é de índice par, (𝑥 − 1)
9 deve ser positivo ou 
nulo. Logo, (𝑥 − 1)9 ≥ 0 ⇔ 𝑥 − 1 ≥ 0 ⇔ 𝑥 ≥ 1 . Mas, (𝑥 − 1)9 está no denominador e, 
portanto, deve ser diferentede zero. Logo, (𝑥 − 1)9 ≠ 0 ⇔ 𝑥 − 1 ≠ 0 ⇔ 𝑥 ≠ 1 . Portanto 
(𝑥 − 1)
−9
4 está definida para ∀ 𝑥 ∈ (1 , +∞). 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
e) 𝑦 = (𝑥 − 1)4,2 = (𝑥 − 1)
42
10 = (𝑥 − 1)
21
5 = √(𝑥 − 1)21
5
. Como a raiz é de índice ímpar, (𝑥 − 1)21 
pode ser qualquer número real. Portanto, (𝑥 − 1)4,2 está definida para ∀ 𝑥 ∈ ℝ. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
f) 𝑦 = (𝑥 − 1)4,3 = (𝑥 − 1)
43
10 = √(𝑥 − 1)43
10
 . Como a raiz é de índice par, (𝑥 − 1)43 deve ser 
positivo ou nulo. Logo, (𝑥 − 1)43 ≥ 0 ⇔ 𝑥 − 1 ≥ 0 ⇔ 𝑥 ≥ 1 . Portanto (𝑥 − 1)4,3 está 
definida para ∀ 𝑥 ∈ [1 , +∞). 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
g) 𝑦 = (𝑥 − 1)4,2. 
Talvez você nunca tenha visto essa notação de dízimas periódicas: 4, 2 = 4,2222… 
Vamos escrever 4, 2 na forma 
𝑝
𝑞
 , onde 𝑝 , 𝑞 são números inteiros, primos entre si. 
Fazendo 𝑧 = 4,222…, temos 10 ∙ 𝑧 = 42,222…. Logo, 10𝑧 − 𝑧 = 42,222…− 4,222… = 38. 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO 5 de 26 
 
Assim, 9𝑧 = 38 ⇒ 𝑧 = 
38
9
. 
Logo, 𝑦 = (𝑥 − 1)4,2 = (𝑥 − 1)
38
9 = √(𝑥 − 1)38
9
 . Como a raiz é de índice ímpar, (𝑥 − 1)38 pode ser 
qualquer número real, portanto (𝑥 − 1)4,2 está definida para ∀ 𝑥 ∈ ℝ. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
h) 𝑦 = (𝑥 − 1)4,25 
Lembre que 4, 25 = 4,25252525…, 
Vamos escrever 4, 25 na forma 
𝑝
𝑞
 , onde 𝑝 , 𝑞 são números inteiros, primos entre si. 
Fazendo 𝑧 = 4,2525…, temos 100. 𝑧 = 425,2525…. Logo, 
100. 𝑧 − 𝑧 = 425,2525…− 4,2525… = 421. 
Assim, 99𝑧 = 421 ⇒ 𝑧 = 
421
99
. 
Logo, 𝑦 = (𝑥 − 1)4,25 = (𝑥 − 1)
421
99 = √(𝑥 − 1)421
99
 . Como a raiz é de índice ímpar, (𝑥 − 1)421 pode 
ser qualquer número real, portanto (𝑥 − 1)4,25 está definida para ∀ 𝑥 ∈ ℝ. 
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Exercício 4 
Considere os gráficos abaixo. Admita que sejam gráficos de funções com expoente constante e inteiro. O 
domínio e o contradomínio dessas funções são subconjuntos dos reais e o contradomínio coincide com 
a imagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒂 𝒕(𝒙) = 𝒙𝒎 𝒉(𝒙) = 𝒙𝒄 
 
 
 
 
 
 
 𝒈(𝒙) = 𝒙𝒃 𝒔(𝒙) = 𝒙𝒌 𝒋(𝒙) = 𝒙𝒅 
a) Para cada função, diga se o expoente é par ou se o expoente é impar. 
b) Para cada função, diga se o expoente é positivo, negativo ou nulo. 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO 6 de 26 
 
c) Sabendo-se que gráficos de funções injetoras só podem ser cortados uma única vez por retas 
horizontais, diga quais dos gráficos representam funções injetoras. 
d) Diga para quais subintervalos dos seus domínios as funções são crescentes, decrescentes ou 
constantes. 
e) Considerando como domínio o conjunto dos números reais ou o conjunto dos reais sem o zero, 
identifique quais dessas funções admite inversa. Encontre a expressão da inversa. 
f) Para as funções do item anterior que não admitem inversa, encontre, se possível, um subconjunto 
𝐴 no qual a função admite inversa. Encontre a expressão da função inversa nesse subconjunto. 
g) Lembrando que o gráfico da função inversa é o simétrico do gráfico da função direta em relação à 
reta 𝑦 = 𝑥 , esboce o gráfico da cada inversa dos itens e) e f). 
Resolução: 
a) 
• 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑎 tem expoente ímpar, pois se fosse par, 𝑓(𝑥) ≥ 0 para todo 𝑥 no seu domínio. 
• 𝑡(𝑥) = 𝑥𝑚 tem expoente nulo, pois 𝑡(𝑥) = 1 = 𝑥0, portanto tem expoente par. 
• ℎ(𝑥) = 𝑥𝑐 tem expoente par, pois ℎ(𝑥) ≥ 0 para todo 𝑥 no seu domínio. 
• 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑏 tem expoente ímpar, pois se fosse par, 𝑔(𝑥) ≥ 0 para todo 𝑥 no seu domínio. 
• 𝑠(𝑥) = 𝑥𝑘 tem expoente ímpar, pois se fosse par, 𝑠(𝑥) ≥ 0 para todo 𝑥 no seu domínio. 
• 𝑗(𝑥) = 𝑥𝑑 tem expoente par, pois 𝑗(𝑥) ≥ 0 para todo 𝑥 no seu domínio. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
b) 
• 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑎 tem expoente positivo, pois está definida para ∀ 𝑥 ∈ ℝ. Se o expoente fosse negativo, 
a função não estaria definida para 𝑥 = 0. 
• 𝑡(𝑥) = 𝑥𝑚 tem expoente nulo, pois 𝑡(𝑥) = 1 = 𝑥0. 
• ℎ(𝑥) = 𝑥𝑐 tem expoente positivo, pois está definida para ∀ 𝑥 ∈ ℝ. Se o expoente fosse negativo, 
a função não estaria definida para 𝑥 = 0. 
• 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑏 tem expoente negativo, pois a função não está definida para 𝑥 = 0. 
• ℎ(𝑥) = 𝑥𝑐 tem expoente positivo, pois está definida para ∀ 𝑥 ∈ ℝ. Se o expoente fosse negativo, 
a função não estaria definida para 𝑥 = 0. 
• 𝑠(𝑥) = 𝑥𝑘 tem expoente positivo, pois está definida para ∀ 𝑥 ∈ ℝ. Se o expoente fosse negativo, 
a função não estaria definida para 𝑥 = 0. 
• 𝑗(𝑥) = 𝑥𝑑 tem expoente negativo, pois a função não está definida para 𝑥 = 0. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
c) As funções 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑎 , 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑏 , 𝑠(𝑥) = 𝑥𝑘 são injetoras, pois seus gráficos atendem o 
“Teste da Reta Horizontal”. 
Já as funções ℎ(𝑥) = 𝑥𝑐 , 𝑡(𝑥) = 𝑥𝑚 , 𝑗(𝑥) = 𝑥𝑑 não são injetoras, pois seus gráficos não são 
“aprovados” no “Teste da Reta Horizontal”. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO 7 de 26 
 
d) 
• A função 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑎 é sempre crescente. 
• A função 𝑡(𝑥) = 𝑥𝑚 é constante, 𝑡(𝑥) = 1 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ. 
• A função ℎ(𝑥) = 𝑥𝑐 é decrescente no intervalo (−∞, 0] e é crescente no intervalo [0, +∞). 
• A função 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑏 é decrescente nos intervalos ( −∞, 0) e ( 0, +∞). 
• A função 𝑠(𝑥) = 𝑥𝑘 é sempre crescente. 
• A função 𝑗(𝑥) = 𝑥𝑑 crescente no intervalo ( −∞, 0) e é decrescente no intervalo ( 0, +∞). 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
e) As funções que admitem inversa são: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒂 , 𝒈(𝒙) = 𝒙𝒃 , 𝒔(𝒙) = 𝒙𝒌. Note que os 
gráficos dessas funções são “aprovados” no Teste da Reta Horizontal”. 
• 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒂 , 𝒂 > 0 , 𝑎 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 , 𝒙 ∈ ℝ 
𝑦 = 𝑥𝑎 ⇔ 𝑦
1
𝑎 = (𝑥𝑎 )
1
𝑎 ⇔ 𝑦
1
𝑎 = 𝑥 ⇔ 𝑦
1
𝑎 = 𝑥 ⇔ 𝑥 = 𝑦
1
𝑎 = √𝑦
𝑎 . Logo, a expressão da 
inversa é 𝑓−1(𝑦) = 𝑦
1
𝑎 = √𝑦
𝑎 ou 𝑓−1(𝑥) = 𝑥
1
𝑎 = √𝑥
𝑎
 . 
Exemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑥5, 5 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 , 5 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 , 𝑥 ∈ ℝ. 
A expressão da inversa é 
 𝑓−1(𝑥) = 𝑥
1
5 = √𝑥 
5
 , 𝑥 ∈ ℝ. 
 
 
• 𝒈(𝒙) = 𝒙𝒃 , 𝒃 < 0 , 𝑏 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 , 𝒙 ∈ ℝ − {𝟎}. 
𝑦 = 𝑥𝑏 ⇔ 𝑦
1
𝑏 = (𝑥𝑏 )
1
𝑏 ⇔ 𝑦
1
𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑦
1
𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑥 = 𝑦
1
𝑏 . 
Mas, 𝑏 < 0 , segue que, 𝑏 < 0 ⇔ −𝑏 > 0 , 𝑏 = −(−𝑏) . Assim, 𝑥 = 𝑦
1
𝑏 = 𝑦
1
−(−𝑏) = 
= 𝑦−
1
−𝑏 = 
1
𝑦
1
−𝑏
 = 
1
√𝑦
(−𝑏) . 
Logo, a expressão da inversa é: 𝑔−1(𝑦) = 𝑦
1
𝑏 = 
1
√𝑦
(−𝑏) ou 𝑔
−1(𝑥) = 
1
√𝑥
(−𝑏) . 
 
Exemplo: 𝑔(𝑥) = 𝑥−5, − 5 < 0 , −5 é í𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑥 ∈ ℝ − {0}. 
A expressão da inversa é 
𝑔−1(𝑦) = 𝑦
1
−5 = 
1
√𝑦
5 ou 𝑔
−1(𝑥) = 
1
√𝑥
5 
 
 
 
• 𝒔(𝒙) = 𝒙𝒌 , 𝒌 > 0 , 𝒌 é í𝒎𝒑𝒂𝒓 , 𝒙 ∈ ℝ . 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO8 de 26 
 
A função 𝒇 tem essas mesmas características, portanto, a expressão da inversa da função 𝒔 é 𝑠−1(𝑦) =
 𝑦
1
𝑘 = √𝑦
𝑘 ou 𝑠−1(𝑥) = 𝑥
1
𝑘 = √𝑥
𝑘
 . 
Observe que, que 𝒌 = 𝟏, o gráfico da função 𝒔 é uma reta que 
passa pelos pontos (0,0) 𝑒 (1,1). 
Assim, 𝑠(𝑥) = 𝑥 e 𝑠−1(𝑥) = 𝑥
1
1 = 𝑥. Portanto, 
𝑠(𝑥) = 𝑠−1(𝑥) , ∀ 𝑥 ∈ ℝ. 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
f) As funções 𝑡 , ℎ , 𝑗 não admitem inversa, seus gráficos “não são aprovados” no “teste da Reta 
Horizontal”. 
• 𝒕(𝒙) = 𝟏 = 𝒙𝟎. Seu gráfico é uma reta paralela ao eixo 𝑂𝑥 e passa pelo ponto (0 , 1).Em qualquer 
subconjunto dos reais, a função 𝑡(𝑥) = 1 não será injetora, logo não será possível encontrar um 
subconjunto dos reais onde a função admite inversa. 
• 𝒉(𝒙) = 𝒙𝒄, 𝑐 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 , 𝑐 𝑝𝑎𝑟 , é decrescente no intervalo (−∞ 0] e é crescente no intervalo 
[0, +∞). 
Para inverter a função ℎ , podemos escolher, por exemplo, o intervalo onde ℎ é decrescente, que é o 
intervalo (−∞, 0] ou escolher o intervalo onde ℎ é crescente, que é o intervalo [0, +∞). 
Vamos escolher o intervalo onde ℎ é decrescente, o intervalo (−∞, 0]: 
Temos que 𝑦 = 𝑥𝑐 ⇔ 𝑦
1
𝑐 = (𝑥𝑐 )
1
𝑐 
𝑐 é 𝑝𝑎𝑟
⇔ 𝑦
1
𝑐 = | 𝑥 | 
𝑥<0 
⇔ 𝑦
1
𝑐 = −𝑥 ⇔ 𝑥 = − 𝑦
1
𝑐 . 
Portanto a inversa é ℎ−1(𝑦) = − 𝑦 
1
𝑐 = −√𝑦
𝑐 . Na variável 𝑥 , podemos escrever ℎ−1(𝑥) = −√𝑥
𝑐
 . 
Exemplo: ℎ(𝑥) = 𝑥4, 4 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 , 4 é 𝑝𝑎𝑟 , 
 𝑥 ∈ (−∞ 0]. 
A expressão da inversa é 
 ℎ−1(𝑥) = −√𝑥 
4
 , 𝑥 ∈ [0 , +∞). 
 
 
 
 
 
• 𝑗(𝒙) = 𝒙𝒅 , 𝑑 < 0 , 𝑑 𝑝𝑎𝑟 , é crescente no intervalo ( −∞, 0) e é decrescente no intervalo 
( 0, +∞). 
Para inverter a função 𝑗 , podemos escolher, por exemplo, o intervalo onde 𝑗 é decrescente, que é o 
intervalo (0 , +∞) ou escolher o intervalo onde ℎ é crescente, que é o intervalo (−∞ , 0):. 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO 9 de 26 
 
Vamos escolher o intervalo onde 𝑗 é crescente, o intervalo (−∞ 0): 
Temos que 𝑦 = 𝑥𝑑 ⇔ 𝑦
1
𝑑 = (𝑥𝑑 )
1
𝑑 
𝑑 é 𝑝𝑎𝑟
⇔ 𝑦
1
𝑑 = | 𝑥 | 
𝑥<0 
⇔ 𝑦
1
𝑑 = −𝑥 ⇔ 𝑥 = − 𝑦
1
𝑑 . 
Mas, 𝑑 < 0 , segue que, 𝑑 < 0 ⇔ −𝑑 > 0 , 𝑑 = −(−𝑑) . Assim, 𝑥 = − 𝑦
1
𝑑 = − 𝑦
1
−(−𝑑) = 
= − 𝑦−
1
−𝑑 = −
1
𝑦
1
−𝑑
 = −
1
√𝑦
(−𝑑) . 
Logo, a expressão da inversa é: 𝑗−1(𝑦) = − 𝑦
1
𝑑 = −
1
√𝑦
(−𝑑) ou 𝑗
−1(𝑥) = −
1
√𝑥
(−𝑑) . 
Exemplo: 𝑗(𝒙) = 𝒙−𝟒 , −4 < 0 , −4 é 𝑝𝑎𝑟 , 𝑥 ∈ (−∞ 0). 
A expressão da inversa é 𝑗−1(𝑦) = − 𝑦
1
−4 = − 𝑦−
1
4 =
 −
1
√𝑦
4 ou 𝑗
−1(𝑥) = −
1
√𝑥
4 .. 
 
 
 
 
 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO 10 de 26 
 
g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
____________________________________________________________________________________ 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO 11 de 26 
 
Exercício 5 Estão esboçados, ao lado, os gráficos de: 
𝑦 = 𝑥−6 ; 𝑦 = 𝑥−2 ; 𝑦 = 𝑥−1 ; 𝑦 = 𝑥−3 
𝑦 = 𝑥0 ; 𝑦 = 𝑥1 ; 𝑦 = 𝑥3 ; 𝑦 = 𝑥13 ; 𝑦 = 𝑥6. 
Para os valores de 𝑥 do domínio de cada função, 
identifique os gráficos nos seguintes intervalos; 
a) 𝑥 ≥ 1 b) 0 ≤ 𝑥 < 1 
c) 𝑥 ≤ −1 d) −1 < 𝑥 < 0 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO 12 de 26 
 
A ordem das funções nos intervalos (1,∞) e (0, 1) são dadas pela Propriedade 3: 
Se 𝒙 > 1 então −𝟔 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 3 < 6 < 13 ⇒ 
 𝒙−𝟔 < 𝒙−𝟑 < 𝒙−𝟐 < 𝒙−𝟏 < 𝒙𝟎 < 𝒙𝟏 < 𝒙𝟑 < 𝒙𝟔 < 𝒙𝟏𝟑 
Se 𝟎 < 𝒙 < 1 então −𝟔 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 3 < 6 < 13 ⇒ 
 𝒙𝟏𝟑 < 𝒙𝟔 < 𝒙𝟑 < 𝒙𝟏 < 𝒙𝟎 < 𝒙−𝟏 < 𝒙−𝟐 < 𝒙−𝟑 < 𝒙−𝟔 
Usamos a paridade das funções para identificar os gráficos nos intervalos (−∞ ,−1) e (−1 , 0). 
____________________________________________________________________________________ 
Exercício 6 
a) Escreva em ordem crescente a seguinte lista de números racionais: 
1
2
 ; 
2
3
 ; 
3
5
 ; 
5
4
 ; 
6
4
 ; 
4
6
 ; 
1
2
 ; 0 ; 1 ; −1 ; −
8
12
 ; −
1
2
 ; − 
2
5
 ; − 
7
4
 ; − 
12
8
 ; − 
5
2
 
b) Considere as funções com domínio e contradomínio contidos em ℝ , dadas a seguir: 
𝑦 = 𝑥
1
2 ; 𝑦 = 𝑥
2
3 ; 𝑦 = 𝑥
3
5 ; 𝑦 = 𝑥
5
4 ; 𝑦 = 𝑥
6
4 ; 𝑦 = 𝑥
4
6 ; 𝑦 = 𝑥 ; 𝑦 = 1 = 𝑥0 
Considerando 𝑥 no domínio de cada função, esboce os gráficos dessas funções. Para cada um dos 
intervalos a seguir, faça os gráficos de todas as funções em uma única figura. 
i). 𝑥 ∈ [1 , +∞) ii). 𝑥 ∈ [0 , 1) iii). 𝑥 ∈ (−∞ , −1] iv). 𝑥 ∈ (−1, 0) 
c) Considere as funções com domínio e contradomínio contidos em ℝ , dadas a seguir: 
𝑦 = 𝑥−
8
12 ; 𝑦 = 𝑥−
1
2 ; 𝑦 = 𝑥−
2
5 ; 𝑦 = 𝑥−
7
4 ; 𝑦 = 𝑥−
5
2 ; 𝑦 = 𝑥−
12
8 ; 𝑦 = 𝑥−1 ; 𝑦 = 1 = 𝑥0 
Considerando 𝑥 no domínio de cada função, esboce os gráficos dessas funções. Para cada um dos 
intervalos a seguir, faça os gráficos de todas as funções em uma única figura. 
i). 𝑥 ∈ [1 , +∞) ii). 𝑥 ∈ [0 , 1) iii). 𝑥 ∈ (−∞ , −1] iv). 𝑥 ∈ (−1, 0) 
Resolução: 
a) Dada a sequência, 
1
2
 ; 
2
3
 ; 
3
5
 ; 
5
4
 ; 
6
4
 ; 
4
6
 ; 
1
2
 ; 0 ; 1 ; −1 ; −
8
12
 ; −
1
2
 ; − 
2
5
 ; − 
7
4
 ; − 
12
8
 ; − 
5
2
 , 
observe que: 
6
4
= 
3
2
 , 
 4
6
= 
2
3
 , −
8
12
= −
2
3
 , − 
12
8
 = − 
3
2
 
Portanto podemos trabalhar com a sequência: 
1
2
 ; 
2
3
 ; 
3
5
 ; 
5
4
 ; 
3
2
 ; 0 ; 1 ; −1 ; −
2
3
 ; −
1
2
 ; − 
2
5
 ; − 
7
4
 ; − 
3
2
 ; − 
5
2
 
Colocando em ordem: 
− 
5
2
 < − 
7
4
 < − 
3
2
 < −1 < −
2
3
 < −
1
2
< − 
2
5
 < 0 < 
1
2
 < 
3
5
 < 
2
3
 < 1 < 
5
4
 < 
3
2
 . 
Para colocar em ordem usamos a seguinte propriedade dos números reais: 
 
𝑎
𝑏
 < 
𝑐
𝑑
 ⇔ 𝑎 × 𝑑 < 𝑏 × 𝑐 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , 𝑑 ∈ ℝ , 𝑏𝑑 > 0 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
b) Considere as funções com domínio e contradomínio contidos em ℝ , dadas a seguir: 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO 13 de 26 
 
𝑦 = 𝑥
1
2 ; 𝑦 = 𝑥
2
3 ; 𝑦 = 𝑥
3
5 ; 𝑦 = 𝑥
5
4 ; 𝑦 = 𝑥
6
4 ; 𝑦 = 𝑥
4
6 ; 𝑦 = 𝑥 ; 𝑦 = 1 = 𝑥0 
 
i). 𝑥 ∈ [1 , +∞) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
ii). 𝑥 ∈ [0 , 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO 14 de 26 
 
 
iii). 𝑥 ∈ (−∞ ,−1] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
iv). 𝑥 ∈ (−1, 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO 15 de 26 
 
c) 
i). 𝑥 ∈ [1 , +∞) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
ii). 𝑥 ∈ [0 , 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO 16 de 26 
 
iii). 𝑥 ∈ (−1, 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
iv). 𝑥 ∈ (−∞ , −1] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
____________________________________________________________________________________ 
 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO 17 de 26 
 
Exercício 7 Quais das seguintes afirmações são verdadeiras? Quais são falsas? Justifique! 
a) 20,3 < 20,4 b) (
1
2
)
0,5
 < (
1
2
)
0,6
 c) 30 < 30,2 d) (
1
3
)
7
4
 
> (
1
3
)
1,4
 
e) 𝜋−2 < 𝜋2 f) (
1
5
)
−5
> (
1
5
)
5
 g) 3−
1
5 > 1 h) (
3
7
)
−1,5
< 1 
i) (
1
7
)
2
> 1 j) 3−0,0001 < 0 k) √11 
3
 < √5 l) √2 < √3
3
 
Resolução: 
a) 20,3 < 20,4 Pela Propriedade 4(a): 
Se a base 𝑏 = 2 > 1 e os expoentes 0,3 < 0,4 então 20,3 < 20,4. 
Essa propriedade também pode ser escrita como: para base maior do que 1, se os expoentes crescem 
então a base elevada aos expoentes também crescem. 
Portanto a desigualdade é verdadeira. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
b) (
1
2
)
0,5
 < (
1
2
)
0,6
 Pela Propriedade 4(b): 
Se a base 𝑏 =
1
2
, 0 < 𝑏 < 1 e os expoentes 0,5 < 0,6 então (
1
2
)
0,5
> (
1
2
)
0,6
. 
Essa propriedade também pode ser escrita como: para base maior do que 0 e menor do que 1, se os 
expoentes crescem então a base elevada aos expoentes decrescem. 
Portanto a desigualdade é falsa. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
c) 30 < 30,2 
Verdadeira, pois a base é maior do que 1 e os expoentes estão em ordem crescente. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
d) (
1
3
)
7
4
 
> (
1
3
)
1,4
 
Sabemos que 
7
4
= 1,75 > 1,4. Pela Propriedade 4(b): 
Se a base 𝑏 =
1
3
, 0 < 𝑏 < 1 e os expoentes 1,4 <
7
4
 então (
1
3
)
1,4 
> (
1
3
)
1,75
 . 
Portanto a desigualdade é falsa. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
e) 𝜋−2 < 𝜋2. 
Verdadeira, pois a base 𝑏 = 𝜋 > 1 é maior do que 1 e os expoentes estão em ordem crescente (−2 <
2). 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO 18 de 26 
 
f) (
1
5
)
−5
> (
1
5
)
5
 Verdadeira, pois pela Propriedade 4(b): 
Se a base 𝑏 =
1
5
, 0 < 𝑏 < 1 e os expoentes −5 < 5 então (
1
5
)
−5 
> (
1
5
)
5
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
g) 3− 
1
5 > 1 
Sabemos que 1 = 30, a base 𝑏 = 3 > 1, e os expoentes −1 < 0, logo 3− 
1
5 < 30 = 1. 
Portanto a desigualdade é falsa. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
h) (
3
7
)
−1,5
< 1 
Sabemos que 1 = 30, a base 𝑏 =
3
7
, 0 < 𝑏 < 1, e os expoentes −1,5 < 0, logo (
3
7
)
−1,5
> (
3
7
)
0
= 1. 
Portanto a desigualdade é falsa. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
i) (
1
7
)
2
> 1 
(
1
7
)
2
=
1
72
 , mas 72 > 1 ⟹
1
72
< 1 . Portanto a desigualdade é falsa. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
j) 3−0,0001 < 0 
3−0,0001 =
1
30.0001
 e sabemos que 3 > 0 ⟹ 30.0001 > 0 ⟹
1
30.0001
> 0 ⟹ 3−0,0001 > 0. 
Portanto a desigualdade é falsa. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
k) √11 
3
 < √5 
Sabemos que a função 𝑦 = 𝑥6 é crescente no intervalo [0,∞), √11 
3
> 0 e √5 > 0 , logo: 
√11 
3
 < √5 ⟺ (√11 
3
)
6
 < (√5)
6
 ⟺ (11
1
3)
6
< (5
1
2)
6
⟺ 112 < 53 ⟺ 121 < 125. 
Essa última desigualdade é claramente verdadeira. Como há equivalência entre as desigualdades, 
conclui-se que a primeira desigualdade também é verdadeira. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
l) √2 < √3
3
 
Sabemos que a função 𝑦 = 𝑥6 é crescente no intervalo [0,∞), √3 
3
> 0 e √2 > 0 , logo: 
√2 < √3 
3
 ⟺ (√2)
6
< (√3 
3
)
6
 ⟺ (2
1
2)
6
< (3
1
3)
6
 ⟺ 23 < 32⟺ 8 < 9. 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO 19 de 26 
 
Essa última desigualdade é claramente verdadeira. Como há equivalência entre as desigualdades, 
conclui-se que a primeira desigualdade também é verdadeira. 
____________________________________________________________________________________ 
Exercício 8 Resolva as equações. Dê a resposta na forma mais simples possível. 
a) (4𝑥2 − 1)
3
4 = 27 b) 6𝑥
1
2 − 𝑥
1
4 = 1 (Sugestão: use a substituição 𝑢 = 𝑥
1
4 ). 
Resolução: 
a) (4𝑥2 − 1)
3
4 = 27 ⟺ (4𝑥2 − 1)
3
4 = 33 ⟺ ((4𝑥2 − 1)
3
4)
4
3
= (33)
4
3 ⟺ 4𝑥2 − 1 =
34 ⟺ 4𝑥2 = 81 + 1 ⟺ 4𝑥2 = 82 ⟺ 𝑥2 =
41
2
 ⟺ 𝑥 = √
41
2
 ou 𝑥 = −√
41
2
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
b) 6𝑥
1
2 − 𝑥
1
4 = 1 
Usando a substituição sugerida, 𝑢 = 𝑥
1
4, temos também que 𝑢2 = (𝑥
1
4)
2
= 𝑥
1
2 . 
Logo a equação em 𝑢 fica 6𝑢2 − 𝑢 = 1. Resolvendo, 
6𝑢2 − 𝑢 = 1 ⟺ 6𝑢2 − 𝑢 − 1 = 0 ⟺ 𝑢 =
1±√1+24
2∙6
=
1±5
12
 ⟺ 𝑢 =
1
2
 𝑜𝑢 𝑢 = −
4
12
= −
1
3
 
Quando 𝑢 =
1
2
 , temos 𝑥
1
4 =
1
2
. Resolvendo, (𝑥
1
4)
4
= (
1
2
)
4
 ⟺ 𝑥 =
1
24
 ⟺ 𝑥 =
1
16
 
Quando 𝑢 = −
1
3
 , temos 𝑥
1
4 = −
1
3
. , não há solução real. 
Logo a única solução da equação é 𝑥 =
1
16
. 
____________________________________________________________________________________ 
Exercício 9 Dê o domínio e esboce o gráfico das funções a seguir. Explique, usando transformações em 
gráficos de funções, como obter o gráfico dessas expressões a partir do gráfico da primeira delas. 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥−
3
5 b) 𝑔(𝑥) = 𝑥−
3
5 − 1 c) 𝑗(𝑥) = (−𝑥)−
3
5 
 
d) ℎ(𝑥) = |𝑥|−
3
5 e) 𝑘(𝑥) = (2 − 𝑥)−
3
5 f) 𝑙(𝑥) = (2 + |𝑥|)−
3
5 
g) 𝑟(𝑥) = −(𝑥 + 1)−
3
5 + 1 
 
 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO 20 de 26 
 
Resolução: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥− 
3
5 = 
1
𝑥
3
5
 = 
1
√𝑥3
5 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {0} . 
Esta função é uma função ímpar: 
𝑓(−𝑥) = 
1
√(−𝑥)3
5 = 
1
√−(𝑥)3
5 = 
1
− √𝑥3
5 = =
 − 
1
√𝑥3
5 = −𝑓(𝑥). 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
b) 𝑔(𝑥) = 𝑥− 
3
5 − 1 = 
1
√𝑥35 − 1 
𝑓(𝑥) = 𝑥−
3
 5 
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
 
⇒ 𝑔(𝑥) = 𝑥− 
3
5 − 1 
𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ − {0}. Esta função não é par nem ímpar. 
 
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
 
⇒ 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO 21 de 26 
 
c) 𝑗(𝑥) = −𝑥− 
3
5 = − 
1
√𝑥3
5 = −𝑓(𝑥) 
𝐷𝑜𝑚(𝑗) = ℝ − {0} 
Esta função é uma função ímpar: 
𝑗(−𝑥) = −𝑓(−𝑥) = −(− 𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝑥) = −𝑗(𝑥) 
𝑓(𝑥) = 𝑥− 
3
5 
𝑅𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜
 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑂𝑥 
⇒ − 𝑓(𝑥) = −𝑥− 
3
5 = 𝑗(𝑥) 
 
𝑅𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜
 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑂𝑥 
 
⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
d) ℎ(𝑥) = |𝑥|− 
3
5 = {
𝑥− 
3
5 , 𝑠𝑒 𝑥 > 0
(−𝑥)− 
3
5 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0 
 = {
𝑥− 
3
5 , 𝑠𝑒 𝑥 > 0
−(𝑥− 
3
5 ) , 𝑠𝑒 𝑥 < 0 
 
Podemos pensar também que, modular a variável 𝑥 , significa: 
• Manter o gráfico da função original 𝑦 = 𝑥− 
3
5 para os pontos com abscissa 𝑥 ≥ 0 . 
• Refletir a parte do gráfico com pontos de abscissa 𝑥 ≥ 0 em torno do eixo 𝑂𝑦. 
Observe que a parte do gráfico original cujos pontos têm abscissa 𝑥 < 0 não é usada quando 
modulamos a variável 𝑥. 
ℎ(𝑥) = |𝑥|− 
3
5 = 
1
|𝑥|
 
3
5
 . 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = ℝ − {0} . A função ℎ(𝑥) = |𝑥|− 
3
5 é uma função par: 
ℎ(−𝑥) = |−𝑥|−
3
5 = |𝑥|−
3
5 = ℎ(𝑥) , pois |−𝑥| = |𝑥| , 𝑝𝑎𝑟𝑎 ∀ 𝑥 ∈ ℝ. 
𝑓(𝑥) = 𝑥− 
3
5 
𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥
⇒ ℎ(𝑥) = |𝑥|− 
3
5 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO 22 de 26 
 
 
𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑟
 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥 
⇒ 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
e) 𝑘(𝑥) = (2 − 𝑥)− 
3
5 = −(𝑥 − 2)− 
3
5 = −
1
(𝑥−2)
 
3
5 
 
Esta função não é par nem ímpar. Para que 
1
(𝑥−2)
 
3
5 
 possa ser calculada é preciso que 𝑥 − 2 ≠ 0 para 
que o denominador não se anule. Logo, devemos ter 𝑥 ≠ 2. Assim 𝐷𝑜𝑚(𝑘) = ℝ − {2} 
Uma possível sequência de transformação é a seguinte: 
𝑓(𝑥) = 𝑥− 
3
5 
𝑅𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜
 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑂𝑥 
⇒ 𝑦 = −𝑥− 
3
5 = −𝑓(𝑥) 
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 
𝑑𝑒 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
⇒ 𝑘(𝑥) = −(𝑥 − 2)− 
3
5 
 
𝑅𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 
𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜
 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑂𝑥 
⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO 23 de 26 
 
 
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 
𝑑𝑒 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
⇒ 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
f) 𝑙(𝑥) = (2 + |𝑥|)− 
3
5 = {
(2 + 𝑥)− 
3
5 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
(2 − 𝑥)− 
3
5 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 = {
(2 + 𝑥)− 
3
5 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
(−(𝑥 − 2))− 
3
5 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 = 
= {
(𝑥 + 2)− 
3
5 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−(𝑥 − 2)− 
3
5 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 
Como 2 + |𝑥| ≥ 2 , 𝑝𝑜𝑖𝑠 |𝑥| ≥ 0 então 𝐷𝑜𝑚(𝑙) = ℝ. 
1ª. Forma de resolver: 
Vamos esboçar os gráficos das funções: 
1) 𝑙1(𝑥) = (𝑥 + 2)
− 
3
5 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 0 2) 𝑙2(𝑥) = −(𝑥 − 2)
− 
3
5 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 0 
 
Para a função 1): 
𝑓(𝑥) = 𝑥− 
3
5 
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 
𝑑𝑒 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
⇒ 𝑙1(𝑥) = (𝑥 + 2)
− 
3
5. Para 𝑥 ≥ 0 
Para a função 2): 
Observe que 𝑙2(𝑥) = −(𝑥 − 2)
− 
3
5 = 𝑘(𝑥) do item e). Neste caso vamos usar 𝑥 < 0 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO 24 de 26 
 
 
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 
𝑑𝑒 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO 25 de 26 
 
Finalmente, o gráfico de 
𝑙(𝑥) = (2 + |𝑥|)− 
3
5 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
2ª. Forma de resolver: 
𝑓(𝑥) = 𝑥− 
3
5 
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 
𝑑𝑒 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
⇒ 𝑙1(𝑥) = (𝑥 + 2)
− 
3
5 
𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑟
 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥 
⇒ 𝑙(𝑥) = (2 + |𝑥|)− 
3
5 
 
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 
𝑑𝑒 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
⇒ 
 
 
 
 
 
 
𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑟
 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥 
⇒ 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO 26 de 26 
 
g) 𝑟(𝑥) = −(𝑥 + 1)− 
3
5 + 1 = 1 − 
1
(𝑥+1)
3
5
 
Para que 𝑟(𝑥) = 1 − 
1
(𝑥+1)
3
5
 possa ser calculada é preciso que 𝑥 + 1 ≠ 0 , para que o denominador 
não se anule. Assim, é preciso que 𝑥 ≠ −1 . Logo, 𝐷𝑜𝑚(𝑟) = ℝ − {−1} . 
Uma possível sequência de transformações é: 
𝑓(𝑥) = 𝑥− 
3
5 
𝑅𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜
 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑂𝑥 
⇒ − 𝑓(𝑥) = −𝑥− 
3
5 
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 
𝑑𝑒 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
⇒ 𝑦 = −(𝑥 + 1)− 
3
5 
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
 
⇒ 𝑟(𝑥) = −(𝑥 + 1)− 
3
5 + 1 
 
 
𝑅𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜
 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑂𝑥 
⇒ 
 
 
 
 
 
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 
𝑑𝑒 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
⇒ 
 
 
 
 
 
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
 
⇒