CALCULO DIFERENCIAL

Prévia do material em texto

CALCULO DIFERENCIAL
Uma função é uma regra que associa elementos de um conjunto a um único elemento de outro conjunto, ou seja, a função representa uma situação em que uma quantidade é determinada a partir de outra quantidade 
Veja os exemplos a seguir: 
· A pressão atmosférica depende da altitude;
· O volume de uma esfera depende do seu raio.
Uma forma de compreender a ideia de função é imaginar uma máquina em que são inseridos elementos x de um conjunto A e, a partir de uma regra f, são produzidos elementos y de um conjunto B. Para indicar que o valor do elemento y é dado em função do valor de x, é utilizada a notação y = f (x).
Como o valor de y depende do valor de x, então dizemos que x é a variável independente e y = f (x)  é a variável dependente.
Podemos também utilizar um diagrama de flechas para representar uma função. Consideremos dois conjuntos A e B. Cada elemento do conjunto A será associado a um único elemento do conjunto B. A lei que irá determinar como serão associados esses elementos é a função f .
Com isso, podemos escrever a definição de função de maneira formal:
Definição: sendo A e B subconjuntos do conjunto dos números reais, uma função é uma regra, uma lei, que associa cada elemento x do conjunto A a um único elemento f(x) do conjunto B. Comumente, encontramos f(x) denominada como y, pois na representação gráfica seus valores estão sobre o eixo y.
Importante destacar que, caso o elemento x não esteja associado a um único elemento y, a relação entre esses elementos não é uma função, como mostra a Figura 2. 
Seguem exemplos de funções representadas algebricamente e por meio do diagrama de flechas em que os conjuntos A e B são o conjunto dos números reais. 
DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO 
O conjunto A, formado pelos valores que a variável x pode assumir, é o que chamamos de domínio da função. O conjunto B, formado pelos valores que f(x) assume independentemente do valor de x, é chamado de imagem da função. 
Frequentemente, os conjuntos associados por meio de uma função é o conjunto dos números reais (ℝ → ℝ) . O conjunto imagem pode ser um subconjunto do conjunto  e, nesse caso, o conjunto ℝ é o contradomínio da função. Observe o exemplo da Figura 3. 
O domínio de uma função f(x) consiste em todos os valores aceitáveis para a variável.
A imagem de uma função f(x) consiste em todos os valores de y, tais que y = f(x), com x pertencente ao domínio da função x.
–
// Intervalo aberto: {x|a<x<b}, denotado por ]a,b[;
// Intervalo fechado: {x|a≤x≤b}, denotado por [a,b]; 
// Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda: {x|a<x≤b}, denotado por ]a,b];
// Intervalo aberto à direita e fechado à esquerda: {x|a≤x<b}, denotado por [a,b[;
// Intervalos infinitos:
· {x|x>a}, denotado por ]a,∞[;
· {x|x≥a}, denotado por [a,∞[;
· {x|x<b}, denotado por ]-∞,b[;
· {x|x≤b}, denotado por ]-∞,b].
· O Exemplo 1 a seguir foi retirado do livro Pré-cálculo, escrito por Safier e publicado em 2011: 
· Seja D o conjunto de todas as palavras em português com menos de 20 letras. Seja f a regra que associa cada palavra ao seu número de letras. Então, E pode ser o conjunto de todos os números inteiros (ou outro conjunto maior) ou até mesmo o conjunto {x ∈ ℕ/1 ≥ x <20} . A função f  associa a palavra “comer” ao número 5, o que seria escrito como f (comer) = 5  Observe que a função associa uma única imagem para cada elemento do domínio. No entanto, mais de uma elemento do domínio pode ser associado à mesma imagem. 
· Há, ainda outros possíveis exemplos:
· // Exemplo 2
A seguir, são determinados o domínio e a imagem das funções:
A raiz quadrada não é definida (no conjunto dos números reais) para um número negativo, então, o domínio consiste nos valores de x de maneira que x + 3 ≥ 0. Sendo assim: 
A função pode assumir qualquer valor real para a variável independente x, porém a função retornará apenas números reais não negativos. 
D(g) = ℝ
im(g) = ℝ+, que também pode ser escrito como [0,+∞[
Considerando as funções f e g, podemos dizer que essas duas funções são iguais se:
· f e g têm o mesmo domínio;
· f(x) = g(x) para todo x do domínio de f.
A função P(t) representa uma situação típica quando se aplica o cálculo a contextos reais, em que se inicia com um texto que descreve uma situação e, em seguida, é construída uma tabela de valores a partir de dados obtidos. Esses dados podem ser colocados em um gráfico para se ter uma visão geral em um intervalo e uma função pode ser obtida por métodos matemáticos.
// Exemplo 2
A seguir, o Gráfico 1 é esboçado a partir de uma função que é definida por meio de um texto: 
Ao abrir uma torneira de água quente, a temperatura T da água que sai da torneira depende de quanto tempo a água está vazando. A temperatura inicial é próxima à temperatura ambiente, pois a água que sai é a água que estava no cano. Quando a água do tanque de água quente começa a sair pela torneira, a temperatura T cresce rapidamente. Na próxima fase, a temperatura se mantém constante à temperatura da água aquecida do tanque. Depois, quando o tanque de água quente é esvaziado, a temperatura decresce até chegar à temperatura da água fornecida pela rede de abastecimento.  
Um gráfico é, então, esboçado com T como uma função do tempo t decorrido desde que a torneira foi aberta. 
// Exemplo 3
f é uma função real de variável real que associa cada número real do seu domínio ao dobro desse número somado com 8. A expressão que representa essa função e a sua imagem é: 
f(x) = 2x + 8 e Im(f) = {y ∈ ℝ/y = 2x + 8 para x ∈ ℝ} 
O gráfico de uma função é definido como o conjunto de pares ordenados (x,y), onde x pertence ao domínio da função e y = f(x).
Definição de gráfico: G(f) = {(x, f(x))| x ∈ D}
O gráfico pode ser entendido como uma imagem da função que permite a visualização de seu comportamento ou do seu histórico. Assim, é possível visualizar intervalos de crescimento ou decrescimento da função e pontos máximos ou mínimos, ou seja, os gráficos podem ser aplicados em diversas áreas para facilitar a análise e a tomada de decisões, conforme mostram os exemplos a seguir:
a) g: ℝ→ℝ, g(x) = x2 + 1
Gráfico 2. Função g(x)= x² + 1.
b) A = {2, 4, 6, 8}. h:A → ℕ, h(x) = n+3 
A imagem dessa função é Im(h) = {5, 7, 9, 1 1}. O gráfico é dado, então, apenas pelos pontos {(2,5), (4,7), (6,9), (8,11)}.
Gráfico 3. Função h: A → N, h(x) = n+3.	
Outras curvas podem ser representadas no plano xy, embora nem toda curva seja o gráfico de uma função de x. Para verificar se uma curva é o gráfico de uma função, é possível realizar o teste da linha vertical. Esse teste diz que uma curva é o gráfico de uma função se, e somente se, nenhuma linha vertical interceptar essa curva mais que uma vez. Veja o Gráfico 4 com exemplificação de duas curvas: uma pode ser considerada o gráfico de uma função e outra que passou no teste da linha vertical. 
Gráfico 4. Teste da linha vertical. Fonte: STEWART, 2008, p. 16. (Adaptado).
Tendo estabelecido o conceito de função, podemos avançar nossos estudos em direção às especificidades que uma determinada função pode apresentar. Sendo uma função uma lei de associação entre elementos de conjuntos distintos que pode traduzir uma situação real, devemos nos capacitar para identificar características específicas que muito dizem sobre o comportamento dessa situação.  
As diferentes formas de representação de uma função são uma importante ferramenta para observar quais são suas características. Um gráfico pode auxiliar na verificação de intervalos de crescimento e decrescimento, pontos em que a função atinge um máximo ou mínimo, pontos em que a função é nula ou pontos de descontinuidade. Além disso, os gráficos também podem explicitar a ideia de simetria da curva de uma função. E o diagrama de flechas é uma maneira prática de visualização das diferentes relações entre os conjuntos. 
Desse modo, iremos então estudar as propriedades que definem essas características e generalizam os conceitos envolvidos, de forma a fornecer critérios para o estudo de qualquer tipo de função.
FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTESUma função pode se comportar de maneiras diferentes ao longo do seu domínio. O Gráfico 5 mostra uma função y = f(x) definida no intervalo [a,d] que se comporta da seguinte forma: 
· A função cresce no intervalo [a,b];
· A função decresce no intervalo [b,c];
· A função volta a crescer no intervalo [c,d]. 
Considere dois números quaisquer x1 e x2 do intervalo [a,b], de forma que x1 < x2 e perceba que f (x1) < f (x2) . A partir disso, podemos definir uma função crescente em um intervalo: 
Definição: uma função f é crescente em um intervalo se f (x1) < f (x2) para qualquer x1 < x2 pertencentes ao intervalo.
 Definição: analogamente, uma função f é decrescente em um intervalo se f (x1)> f (x2) para qualquer x1 < x2 pertencentes ao intervalo.
O exemplo a seguir foi retirado do livro Pré-cálculo, publicado em 2013 e escrito por Demana e outros autores.
// Exemplo 1
Verifique o comportamento da função no intervalo em que está definida:
Pelo esboço do gráfico da função podemos verificar que esta é crescente no intervalo ]-∞,-1[, crescente novamente no intervalo ]-1,0], decrescente no intervalo [0,1[ e decrescente no intervalo ]1,∞[. 
// Exemplo 2
Dada a função f (x) = -x + 4, com domínio sendo os números reais, podemos construir uma tabela de valores para analisar o comportamento da função para x1 < x2:
Neste caso, como a representação gráfica dessa função é uma reta, podemos concluir que a função é decrescente em todo o seu domínio.
FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA E BIJETORA
Considere a função f : A → B. Dizemos que essa função é uma função injetora se, e somente se, para quaisquer valores x1 e x2 do domínio, tais que x1 ≠ x2, tem-se que f (x1) ≠ f (x2).
Em outras palavras, não há nenhum elemento do conjunto B  associado a mais de um elemento de A. Então, não há elementos distintos de A com a mesma imagem em B. Veja o exemplo da Figura 5.
Outros exemplos de funções injetoras podem ser vistos em:
a) f : ℝ → ℝ f(x) = 3x2 - 2
Para verificar se a função f(x) é injetora, fazemos f (x1) = f (x2):
3(x1)2 - 2 = 3(x2)2 - 2
(x1)2 = (x2)2
Neste caso, podemos ter por exemplo (-2)2 = (2)2. Sendo assim, não é possível afirmar que x1 = x2. Logo, a função não é injetora, pois diferentes valores do domínio são associados a uma mesma imagem. 
b) g: ℝ → ℝ, g (x) = x - 8
Fazendo: g (x1) = g (x2)
x1 - 8 = x2 - 8
x1 = x2
Como as imagens serão iguais somente se os valores do domínio forem iguais, então essa é uma função injetora. 
DICA
Por meio do gráfico de uma função, é possível verificar se uma função é injetora. Para isso, qualquer reta paralela ao eixo x deve interceptar a curva em no máximo um ponto.
Dizemos que uma função é uma função sobrejetora se, e somente se, a imagem da função for igual ao seu contradomínio, ou seja, não existem elementos do contradomínio que não estejam relacionados a pelo menos um elemento do domínio. 
Simbolicamente, temos que ∀ γ ε B, ∃ x ε A / f (x) =γ (para qualquer y pertencente ao conjunto B existe um x pertencente ao conjunto A, tal que f de x é igual a y).
Veja, na Figura 6, um exemplo de uma função sobrejetora.
Vale lembrar que só podemos afirmar que uma função é injetora ou sobrejetora, ou o contrário, se são bem definidos o seu domínio e contradomínio, pois essa definição pode variar de acordo com a especificidade desses conjuntos. 
Uma função é bijetora se é, simultaneamente, injetora e sobrejetora. 
Por exemplo, a função f : [0,1] → [0,1], f (x) = x2 é injetora e sobrejetora. Veja a importância de se atentar ao domínio e ao contradomínio da função.
A Figura 7 representa uma função bijetora.
Exemplo: A função f: ℝ → ℝ, f (x) = 5x - 15 é uma função bijetora.
Considerando f (x1) = f (x2), temos:
5x1 - 15 = 5x2 -15
x1 = x2
Então é uma função injetora.
FUNÇÕES PARES E ÍMPARES
Uma função é dita par se a condição f (-x) = f (x) é satisfeita para todo o domínio da função. A função f (x) = x2, por exemplo, é uma função par, pois:
f (-x) = (-x)2 = x2 = f (x)
Observando o gráfico de uma função par, é possível notar uma característica: o seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y, ou seja, o gráfico da função no intervalo x ≤ 0 é obtido pela reflexão do gráfico da função no intervalo x ≥ 0 sobre o eixo x. 
O Gráfico 7 apresenta uma função par.
Caso a função satisfaça a condição f (-x) = - f (x) para todo o domínio da função, temos uma função chamada de função ímpar. A função f (x) = x3, por exemplo, é uma função ímpar, pois: 
f (-x) = (-x)3 = -x3 = - f (x)
O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem do plano xy, ou seja, se temos o gráfico da função para o intervalo x ≥ 0, podemos obter o restante do gráfico ao rotacionar esta parte 180° sobre a origem. 
O Gráfico 8 apresenta uma função ímpar.
Operações com funções
Todos os dias utilizamos as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão entre números reais em uma variedade de situações. Essas operações também podem ser utilizadas tendo como objeto de trabalho as funções no lugar dos números.
Podemos, então, combinar duas ou mais funções, tendo como resultado outra função a partir das quatro operações aritméticas básicas. Além disso, duas funções também podem ser combinadas por um processo denominado composição de funções.
Essas combinações podem ser observadas na representação gráfica de funções, em que pode ocorrer, por exemplo, a translação ou reflexão da curva de uma função.
Outro processo que será abordado consiste na determinação da função inversa, função essa que faz o caminho inverso ao associar os elementos da imagem aos elementos do domínio. 
OPERAÇÕES
Ao trabalhar com funções, podemos produzir novas funções a partir de operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. 
Considere duas funções f e g. As operações que podem ser executadas com essas funções são definidas por: 
Quanto ao domínio e imagem do resultado das operações, temos:
· adição, subtração e multiplicação: o domínio é a interseção dos domínios de f e g.
· divisão: o domínio é a interseção dos domínios de f e g, excluindo os pontos x onde g(x) = 0
// Exemplo 1
 
Considere as funções
O domínio de f é D(f) = (-∞,5]  é  e o domínio de g é D(g) = [3,+∞). Então, o domínio de (f + g), (f - g) e (f · g) é [3,5]. O domínio de (f / g)(x) é (3,5], pois para x = 3 a função g é igual a 0.
// Exemplo 2
Dadas as funções f(x) = 2x - 3 e g(x) = x + 1, podemos determinar (f.g) (x):
(f.g) (x) = (2x - 3) . (x - 1)
= 2x2 + 2x - 3x - 3
= 2x2 - x - 3
// Exemplo 3
Dadas as funções f(x) = 2t - 1 e g(t) = t + 3, podemos determinar (g/f) (x):
Consideremos agora uma função f e um número real k. Definimos a função produzida pela multiplicação entre k e a função f por: 
(kf) (x) = kf (x)
O domínio da função obtida com essa operação é o mesmo domínio da função f. 
// Exemplo 4
FUNÇÃO COMPOSTA
Dadas duas funções f e g, a função composta de g com f é definida por: 
(g (f (x))
A sua notação é g ∘ f ou (g ∘ f) (x).
Considere as funções f: ℝ → ℝ e g: ℝ → ℝ dadas por f (x) = 2x e g(x) = x2 - 5x. Como a função f é uma função sobrejetora, podemos aplicar a função g à função f, pois a imagem de f é igual ao domínio de g, que é o conjunto dos números reais. 
Aplicando, então, g a f, temos: 
g (f (x) = g (2x) = (2x)2 - 5 (2x) = 4x2 - 10x
Dizemos que a função resultante é a função h(x) = 4x2 - 10x. Sua notação é:
h = g ∘ f
Nem sempre é possível determinar a função composta de duas funções. Veja o exemplo a seguir:
f(x) = 3x e g(x) = √x
Ao tentar obter a função composta g ∘ f obtemos: 
g ∘ f = g(3x) = √3x
Para o valor de x = -3, temos g (f(-3)) = √-9, o que não é definido. Isso ocorre porque o domínio da função g é [0,∞) e a imagem de f é o conjunto dos números reais. Podemos afirmar, dessa forma, que só podemos definir a função composta de g com f se Im(f) ⊂ D (g).
// Exemplo 1
f: ℝ → ℝ, f(x) = 5x e g: ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 1
Como Im(f) = D(g) = ℝ, podemos definir a composta de g com f:
(gf) (x) = g(5x) = 2(5x) + 1 = 10x + 1
É possível também determinar a composta de f com g: 
(f ∘ g) (x) = f (2x + 1) = 5 (2x + 1) = 10x + 5
Observe que g ∘ f e f∘ g são funções diferentes. 
FUNÇÃO INVERSA
Considere a função injetora f: A → B. A função inversa da função f(x) = y que tem domínio em B e contradomínio em A é definida por: 
f -1(y) = x, para qualquer y de B
A definição diz que se a função injetora f associa x a y, então a função f -1 associa y de volta a x.
Nesse caso, podemos afirmar que: 
Domínio de f -1 = Imagem de f
Imagem de f -1 = Domínio de f
As equações de cancelamento podem ser obtidas a partir da definição f -1 (y) = x, ao substituir o y e em f(x) = y ao substituir o x: 
f -1 (f(x)) = x, para todo x do conjunto A
f (f -1 (x)) = x, para todo x do conjunto B
A primeira equação diz que se começamos com x, aplicamos a função f, e depois aplicamos f -1 voltaremos a x. 
A segunda equação diz que a função f tem ação contrária a f -1.
Para determinar a função inversa de uma função injetora f, siga os seguintes passos:
· 1
Escrever y = f(x).
· 2
Escrever a equação com x em função de y, se possível. 
· 3
Expressar f -1 como uma função de x, invertendo x e y.
O resultado deve ser uma equação y = f -1 (x).
// Exemplo
Dada a função inversa f(x), a sua inversa é dada por: 
y = x3 + 2
Então, resolvemos a equação para x: 
Fazemos, então, a troca entre x e y: 
Então, a função inversa da função  f(x) = x3 + 2 é:
Tipos de funções
Agora, apresentaremos a categorização das funções, de maneira a organizar os grupos de funções elementares. 
Cada tipo de função serve como um modelo para representar matematicamente uma situação e ou um fenômeno real, o que faz com que seja extremamente relevante saber identificar essas diferentes formas para permitir que, no futuro, se possa avançar para a análise de aplicações práticas.  
Assim, iremos apresentar nessa unidade como estão agrupadas as funções em três grandes grupos: funções polinomiais, algébricas e transcendentes.
FUNÇÕES POLINOMINAIS
f(x) = anxn + an - 1xn - 1 + ... + a1x1 + a0
A expressão anxn + an - 1xn - 1 + ... + a1x1 + a0 é chamada de polinômio, onde n é um número natural não nulo e a0, a1, ..., an são constantes reais. 
Se an é diferente de 0, então dizemos que é uma função polinomial de grau n.
São exemplos de funções polinomiais: 
Duas funções polinomiais são iguais se seus termos correspondentes são iguais. Ou seja, dadas duas funções:
f(x) = anxn + an - 1xn - 1 + ... + a1x1 + a0
g(x) = bmxm + bm - 1xm - 1 + ... + b1x1 + b0
São iguais se m=n e an = bm, an-1 = bm-1, ..., a0=b0. 
Exemplo:
Existe igualdade entre as funções a seguir:
As raízes de uma função polinomial são os valores que a variável independente pode assumir de modo que o polinômio da função seja igual a zero. Ou seja:
anxn + an - 1xn - 1 + ... + a1x1 + a0 = 0
Veja os exemplos a seguir: 
I)  f(x) = 2x2 - 8 tem como raízes x1 = -2 e x2 = 2
II) g(x) = 5x + 20 tem como raiz x1 = -4
III) h(x) = -√5 não tem raiz
A função f(x) é uma função polinomial de grau 1. Sabendo que a reta que representa essa função passa pelos pontos (-1, 2) e (2, 3), podemos determinar a função conforme a seguir: 
Uma função polinomial do primeiro grau é da forma f(x) = a1x + a0 . Com os pontos conhecidos, podemos montar duas equações: 
2 = a1(-1) + a0
3 = a1(2) + a0
Da primeira equação, temos que: 
a0 = 2 + a1
E substituindo o valor de a0 na segunda equação: 
FUNÇÕES ALGÉBRICAS
FUNÇÕES TRANSCENDENTES
As funções transcendentes não satisfazem uma equação polinomial, ao contrário das funções algébricas. Em outras palavras, as funções transcendentes recebem essa denominação porque transcendem os métodos algébricos e não podem ser expressas em uma sequência finita de operações algébricas de adição, subtração, multiplicação e raiz. 
As funções transcendentes incluem:
· Funções trigonométricas e suas inversas;
· Funções exponenciais;
· Funções logarítmicas;
· Outros tipos de funções que ainda não foram nomeadas.
As funções trigonométricas têm grande relevância na Matemática, tanto por suas aplicações em situações do cotidiano quanto pela sua aplicação na Ciência e na Tecnologia.
O problema que deu início ao desenvolvimento da trigonometria foi o problema da determinação dos elementos de um triângulo (lados e ângulos) quando se tem três desses elementos, sendo um deles um lado. Posteriormente surgiu a necessidade de atribuir às noções de seno, cosseno e suas associadas tangente, cotangente, secante e cossecante, o status de função real de uma variável real. Assim, por exemplo, além de cos α, cosseno do ângulo α, tem-se também cos x, o cosseno do número real x.
A função exponencial é definida como: 
f: ℝ → ℝ, f(x) = ax
onde a é um número real positivo diferente de 1. Consideramos a base a diferente de 1. Caso contrário, teríamos apenas a função constante f(x) = 1 para todo o domínio. 
Para as funções exponenciais, o domínio e o contradomínio são o conjunto dos números reais e a imagem é o conjunto dos números reais positivos. 
São exemplos de funções exponenciais: 
Os logaritmos foram criados para auxiliar a resolução de equações exponenciais com potências de diferentes bases, como a equação 3x = 27. 
As funções exponenciais são inversíveis e a sua inversa à função logarítmica de base a, definida por:
g(x) = logax
onde a é um número real positivo diferente de 1. A função logarítmica de base a é a função inversa da função exponencial de base a.
SINTETIZANDO
O objetivo dessa unidade foi introduzir o conceito de função, que é o objeto fundamental para o nosso trabalho nessa disciplina. A partir de algumas situações do cotidiano, apresentamos o conceito de função como uma regra que relaciona as variáveis de dois conjuntos distintos, ideia essa que foi formalizada utilizando a notação matemática para o trabalho com funções.
Foram apresentadas as diferentes formas de representação de uma função, abordando a representação através de um texto, a representação numérica através de uma tabela de valores, a representação algébrica por uma expressão e a representação gráfica em um plano de eixos coordenados. 
Em seguida, foi possível observar características específicas de algumas funções, que traduzem o seu comportamento. Além disso, foi demonstrado que é possível utilizar as operações algébricas para transformar funções e gerar outras a partir de diferentes combinações. 
Por fim, foram apresentadas as especificidades das funções polinomiais, algébricas e transcendentes.