Unidade 1

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INTRODUÇÃO
Prezado(a) aluno(a), esta apostila compreende o conteúdo do módulo VII e reúne os principais tó-
picos da disciplina VETORES e GEOMETRIA ANALÍTICA, de forma condensada e objetiva, com a finali-
dade de orientar você, aluno(a) do ENSINO A DISTÂNCIA (EaD), no desenvolvimento do conteúdo desta 
disciplina. É, portanto, um guia indispensável para acompanhar com sucesso as aulas WEB e SATÉLITE. 
A disciplina VETORES e GEOMETRIA ANALÍTICA tem por objetivo fornecer a você subsídios que o 
auxiliem nas demais disciplinas do curso de ENGENHARIA AMBIENTAL/PRODUÇÃO.
Saliento, ainda, a importância dos conceitos abordados no Capítulo 1, com o estudo dos vetores 
no R³, como aplicação na disciplina FÍSICA, e a importância dos Capítulos 1 e 2 no estudo da disciplina 
ÁLGEBRA LINEAR, que você terá a oportunidade de estudar nos Módulos mais avançados do seu curso 
de ENGENHARIA AMBIENTAL/PRODUÇÃO.
A Geometria, bem como toda a ciência, pode ser estudada através de diferentes métodos, ou seja, 
um mesmo tópico geométrico pode ser abordado sob diversos enfoques ou pontos de vista. Assim, de 
acordo com o método utilizado, diferentes nomes são atribuídos às disciplinas de Geometria, como, por 
exemplo:
�� Geometria Axiomática (ou de Posição): é o estudo da Geometria, que devemos a Euclides, 
feito por meio da ligação entre axiomas, definições e teoremas, reunidos em seus “Elementos” 
(cerca de 300 a.C.);
�� Geometria Descritiva: é o estudo da Geometria, devido a Gaspard Monge (1746-1818), que 
consiste em considerar as projeções dos entes geométricos sobre dois planos fixados, para, 
através dessas projeções, tirar conclusões sobre esses entes geométricos;
�� Geometria Analítica: é o estudo da Geometria pelo método cartesiano, o qual devemos a René 
Descartes (1596-1650), que associa equações aos entes geométricos e no qual, através do estu-
do dessas equações, feito com o auxílio da Álgebra, tiramos conclusões a respeito desses entes 
geométricos.
 
Observe que cada método utiliza uma ferramenta básica para o estudo da Geometria. Assim é que, 
para estudarmos a Geometria Axiomática, utilizamos a Lógica; para o desenvolvimento da Geometria 
Descritiva, a ferramenta utilizada é o Desenho; e, para o estudo da Geometria Analítica, lançamos mão da 
Álgebra Elementar, bem como da Álgebra Vetorial.
O estudo da Álgebra Vetorial, feito nos capítulos iniciais desta apostila, servirá de apoio para o ca-
pítulo que aborda o tema Retas e Planos no R3, para possibilitar a você, caro(a) aluno(a), uma aplicação 
imediata dos conceitos apresentados no Cálculo Vetorial, fazendo um importante elo entre esses concei-
tos. 
Você irá perceber, ao estudar esta apostila, que determinar um plano, por exemplo, do ponto de 
vista da Geometria Analítica, significa determinar sua equação e, para isso, os conceitos de produto 
vetorial e produto misto, vistos no Cálculo Vetorial, serão amplamente aplicados.
Regina Maria Sigolo Bernardinelli
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Durante o desenvolvimento desta disciplina, estaremos sempre abordando os conceitos sob duas 
formas de registro: o Registro Algébrico, representado por meio de expressões matemáticas, e o Regis-
tro Geométrico, efetuado por meio das representações geométricas ou gráficas dos entes matemáticos 
estudados. 
A apostila ainda apresenta vários exemplos e atividades propostas, com as devidas resoluções indi-
cadas e comentadas no final da apostila. 
Vários dessas atividades se encontram resolvidas e minuciosamente explicadas nas aulas WEB e 
também serão resolvidas nas aulas SATÉLITE, sendo extremamente importante que você assista às aulas, 
pois estas o(a) auxiliarão na resolução dos demais exercícios e das atividades propostas no decorrer do 
módulo.
Para que o ciclo da aprendizagem se feche harmoniosamente, é necessário que você não deixe as 
dúvidas se acumularem e usufrua das ferramentas disponíveis para perguntas e respostas, tais como os 
Fóruns de Dúvidas, o Correio e a Sala de Bate-Papo. 
Também fique atento(a) ao Mural e ao Material de Apoio, pois, através do primeiro, me comunicarei 
com você e, através do segundo, disponibilizarei o resumo das aulas Satélite, a resolução das atividades 
não eletrônicas e qualquer outro tipo de material pertinente e interessante.
Desejo a você um ótimo Módulo, com a seguinte frase do filósofo francês Charles de Montes-
quieu: “É preciso estudar muito para saber um pouco.”
Estou à disposição para o que se fizer necessário. Não deixe de se comunicar. Aguardo seu contato.
Regina Maria Sigolo Bernardinelli
Sistema cartesiano ortogonal 
Prezado(a) aluno(a), certamente você já conhece o sistema de eixos coordenados, no qual 
representamos pontos, retas, gráficos de funções, entre outros, também chamado Plano Cartesiano. 
No entanto, seu conhecimento deve estar restrito ao sistema de duas coordenadas, no qual 
trabalhamos com dois eixos apenas: o eixo horizontal, denominado eixo x, e o eixo vertical, 
denominado eixo y. Esse sistema é utilizado quando queremos representar os entes matemáticos em 
duas dimensões, sendo chamado de R2. Porém, nesta disciplina, iremos aprofundar os estudos sobre 
esses entes matemáticos e iremos utilizar a representação em três dimensões, ou seja, no espaço, que 
chamaremos de R3. Para tanto, será necessário utilizar três coordenadas (x, y, z) e, consequentemente, 
três eixos coordenados: o eixo x, o eixo das abscissas; o eixo y, o eixo das ordenadas; e o eixo z, o eixo 
das cotas. 
Para compreender melhor como será essa representação com três eixos, observe o canto de 
uma parede qualquer e relacione com a figura a seguir. Abrindo mão do rigor matemático, podemos 
dizer que tanto o eixo x quanto o eixo y seriam equivalentes ao rodapé, que definem o chão, e o eixo z 
seria equivalente à linha vertical que está entre as duas paredes que formam esse canto que você está 
observando. 
Vamos às definições matemáticas. 
Consideremos três eixos concorrentes num ponto O e perpendiculares dois a dois, 
determinando, assim, o espaço R3, conforme mostra a figura a seguir. 
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VETORES NO R31 
1.1 O Ponto no R3
Sistema cartesiano ortogonal 
Prezado(a) aluno(a), certamente você já conhece o sistema de eixos coordenados, no qual 
representamos pontos, retas, gráficos de funções, entre outros, também chamado Plano Cartesiano. 
No entanto, seu conhecimento deve estar restrito ao sistema de duas coordenadas, no qual 
trabalhamos com dois eixos apenas: o eixo horizontal, denominado eixo x, e o eixo vertical, 
denominado eixo y. Esse sistema é utilizado quando queremos representar os entes matemáticos em 
duas dimensões, sendo chamado de R2. Porém, nesta disciplina, iremos aprofundar os estudos sobre 
esses entes matemáticos e iremos utilizar a representação em três dimensões, ou seja, no espaço, que 
chamaremos de R3. Para tanto, será necessário utilizar três coordenadas (x, y, z) e, consequentemente, 
três eixos coordenados: o eixo x, o eixo das abscissas; o eixo y, o eixo das ordenadas; e o eixo z, o eixo 
das cotas. 
Para compreender melhor como será essa representação com três eixos, observe o canto de 
uma parede qualquer e relacione com a figura a seguir. Abrindo mão do rigor matemático, podemos 
dizer que tanto o eixo x quanto o eixo y seriam equivalentes ao rodapé, que definem o chão, e o eixo z 
seria equivalente à linha vertical que está entre as duas paredes que formam esse canto que você está 
observando. 
Vamos às definições matemáticas. 
Consideremos três eixos concorrentes num ponto O e perpendiculares dois a dois, 
determinando, assim, o espaço R3, conforme mostra a figura a seguir. 
DicionárioDicionário
Perpendicularidade (ou ortogonalidade): em geometria, é a expressão que indica que dois objetos (retas ou planos) se 
interceptam, formando um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90º. Logo, podemos dizer que duas retas são perpendi-
cularesse o ângulo formado entre elas for um ângulo de 90º.
Sistema Cartesiano Ortogonal
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Dado um ponto P do espaço, sejam P1, P2 e P3 as suas projeções, respectivamente, sobre os eixos 
x, y e z; e sejam xP, yP e zP, respectivamente, as medidas algébricas dos segmentos orientados 
. 
Desse modo, fica associado ao ponto P o terno ordenado (xP, yP, zP), que são as coordenadas de P 
em relação ao sistema cartesiano ortogonal Oxyz. 
Notação: P (xP, yP, zP) ou P = (xP, yP, zP), em que: 
xP = = abscissa de P – eixo x = eixo das abscissas; 
yP = = ordenada de P – eixo y = eixo das ordenadas; 
zP = = cota de P – eixo z = eixo das cotas. 
Oxyz = sistema cartesiano ortogonal. 
O = (0, 0, 0) = origem do sistema cartesiano. 
A todo terno ordenado (a, b, c) do R3, corresponde um único ponto P do espaço, tal que a = xP, b 
= yP e c = zP. 
Definição 
Dois segmentos orientados são equipolentes e indica-se Erro! Não é possível criar 
objetos a partir de códigos de campo de edição. quando uma das três afirmações for verificada: 
1. A = B e C = D, isto é, os segmentos orientados são nulos; 
2. são colineares e é possível deslizar sobre essa reta, fazendo com que C 
coincida com A e D coincida com B; 
3. A figura obtida ao ligarmos os pontos A, B, D, C, nessa ordem, é um paralelogramo. 
Podemos então dizer que dois segmentos orientados são equipolentes quando possuem 
mesmo módulo (comprimento), mesma direção e mesmo sentido. 
Relação de equivalência 
 
A equipolência é uma relação de equivalência, pois satisfaz as seguintes propriedades: 
a) Reflexividade: todo segmento orientado do espaço é equipolente a si mesmo; 
Vetores e Geometria Analítica
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Dado um ponto P do espaço, sejam P1, P2 e P3 as suas projeções, respectivamente, sobre os eixos 
x, y e z; e sejam xP, yP e zP, respectivamente, as medidas algébricas dos segmentos orientados 
. 
Desse modo, fica associado ao ponto P o terno ordenado (xP, yP, zP), que são as coordenadas de P 
em relação ao sistema cartesiano ortogonal Oxyz. 
Notação: P (xP, yP, zP) ou P = (xP, yP, zP), em que: 
xP = = abscissa de P – eixo x = eixo das abscissas; 
yP = = ordenada de P – eixo y = eixo das ordenadas; 
zP = = cota de P – eixo z = eixo das cotas. 
Oxyz = sistema cartesiano ortogonal. 
O = (0, 0, 0) = origem do sistema cartesiano. 
A todo terno ordenado (a, b, c) do R3, corresponde um único ponto P do espaço, tal que a = xP, b 
= yP e c = zP. 
Definição 
Dois segmentos orientados são equipolentes e indica-se Erro! Não é possível criar 
objetos a partir de códigos de campo de edição. quando uma das três afirmações for verificada: 
1. A = B e C = D, isto é, os segmentos orientados são nulos; 
2. são colineares e é possível deslizar sobre essa reta, fazendo com que C 
coincida com A e D coincida com B; 
3. A figura obtida ao ligarmos os pontos A, B, D, C, nessa ordem, é um paralelogramo. 
Podemos então dizer que dois segmentos orientados são equipolentes quando possuem 
mesmo módulo (comprimento), mesma direção e mesmo sentido. 
Relação de equivalência 
 
A equipolência é uma relação de equivalência, pois satisfaz as seguintes propriedades: 
a) Reflexividade: todo segmento orientado do espaço é equipolente a si mesmo; 
A todo terno ordenado (a, b, c) do R3, corresponde um único ponto P do espaço, tal que a = xP, b 
= yP e c = zP. 
Definição 
Dois segmentos orientados são equipolentes e indica-se quando uma das 
três afirmações for verificada: 
1. A = B e C = D, isto é, os segmentos orientados são nulos; 
2. são colineares e é possível deslizar sobre essa reta, fazendo com que C 
coincida com A e D coincida com B; 
3. A figura obtida ao ligarmos os pontos A, B, D, C, nessa ordem, é um paralelogramo. 
Podemos então dizer que dois segmentos orientados são equipolentes quando possuem 
mesmo módulo (comprimento), mesma direção e mesmo sentido. 
Relação de equivalência 
 
A equipolência é uma relação de equivalência, pois satisfaz as seguintes propriedades: 
a) Reflexividade: todo segmento orientado do espaço é equipolente a si mesmo; 
1.2 Segmentos Orientados Equipolentes
b) Simetria: se o segmento orientado é equipolente ao segmento orientado , então 
é equipolente a ; 
c) Transitividade: se o segmento orientado é equipolente ao segmento orientado e se 
 é equipolente ao segmento orientado , então é equipolente a . 
Definição 
Inicialmente, vamos abordar este tema por meio da sua representação Geométrica. Nos tópicos 
seguintes, iremos estudar esses mesmos conceitos por meio da sua representação Algébrica. 
Vetor é uma classe de equivalência de segmentos orientados equipolentes, ou seja, é um 
conjunto de segmentos orientados equipolentes. 
Assim, o vetor determinado por um segmento orientado é o conjunto de todos os 
segmentos orientados do espaço que são equipolentes ao segmento orientado . 
O segmento orientado é um representante do vetor , que também pode ser indicado 
por ou por qualquer letra minúscula, com uma flecha em cima, como, por exemplo, . 
Na figura, os segmentos orientados , , ..., são equipolentes e, por esse motivo, 
representam o mesmo vetor . 
Relação de Equivalência
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b) Simetria: se o segmento orientado é equipolente ao segmento orientado , então 
é equipolente a ; 
c) Transitividade: se o segmento orientado é equipolente ao segmento orientado e se 
 é equipolente ao segmento orientado , então é equipolente a . 
Definição 
Inicialmente, vamos abordar este tema por meio da sua representação Geométrica. Nos tópicos 
seguintes, iremos estudar esses mesmos conceitos por meio da sua representação Algébrica. 
Vetor é uma classe de equivalência de segmentos orientados equipolentes, ou seja, é um 
conjunto de segmentos orientados equipolentes. 
Assim, o vetor determinado por um segmento orientado é o conjunto de todos os 
segmentos orientados do espaço que são equipolentes ao segmento orientado . 
O segmento orientado é um representante do vetor , que também pode ser indicado 
por ou por qualquer letra minúscula, com uma flecha em cima, como, por exemplo, . 
Na figura, os segmentos orientados , , ..., são equipolentes e, por esse motivo, 
representam o mesmo vetor . 
b) Simetria: se o segmento orientado é equipolente ao segmento orientado , então 
é equipolente a ; 
c) Transitividade: se o segmento orientado é equipolente ao segmento orientado e se 
 é equipolente ao segmento orientado , então é equipolente a . 
Definição 
Inicialmente, vamos abordar este tema por meio da sua representação Geométrica. Nos tópicos 
seguintes, iremos estudar esses mesmos conceitos por meio da sua representação Algébrica. 
Vetor é uma classe de equivalência de segmentos orientados equipolentes, ou seja, é um 
conjunto de segmentos orientados equipolentes. 
Assim, o vetor determinado por um segmento orientado é o conjunto de todos os 
segmentos orientados do espaço que são equipolentes ao segmento orientado . 
O segmento orientado é um representante do vetor , que também pode ser indicado 
por ou por qualquer letra minúscula, com uma flecha em cima, como, por exemplo, . 
Na figura, os segmentos orientados , , ..., são equipolentes e, por esse motivo, 
representam o mesmo vetor . 
b) Simetria: se o segmento orientado é equipolente ao segmento orientado , então 
é equipolente a ; 
c) Transitividade: se o segmento orientado é equipolente ao segmento orientado e se 
 é equipolente ao segmento orientado , então é equipolente a . 
Definição 
Inicialmente, vamos abordar este tema por meio da sua representação Geométrica. Nos tópicos 
seguintes, iremos estudar esses mesmos conceitos por meio da sua representação Algébrica. 
Vetor é uma classe de equivalência de segmentos orientados equipolentes, ou seja, é um 
conjunto de segmentos orientadosequipolentes. 
Assim, o vetor determinado por um segmento orientado é o conjunto de todos os 
segmentos orientados do espaço que são equipolentes ao segmento orientado . 
O segmento orientado é um representante do vetor , que também pode ser indicado 
por ou por qualquer letra minúscula, com uma flecha em cima, como, por exemplo, . 
Na figura, os segmentos orientados , , ..., são equipolentes e, por esse motivo, 
representam o mesmo vetor . 
1.3 Vetor
AtençãoAtenção
Observe que, embora usemos a mesma notação para representar vetor e segmento orientado, não podemos em 
hipótese alguma confundir esses dois entes matemáticos, pois, enquanto o segmento orientado é um conjunto de 
pontos, o vetor é um conjunto de segmentos orientados.
Assim, um mesmo vetor pode ser representado por uma infinidade de segmentos orientados 
distintos, pois, se é um segmento orientado e P é um ponto qualquer do espaço, então existe um 
único segmento orientado , com origem em P, tal que ~ . Logo, o vetor tem 
exatamente um representante em cada ponto do espaço. 
Sejam dois vetores e . Vamos definir o vetor soma desses vetores, indicado por + . 
Seja um representante de . Com origem em B, existe um único representante do 
vetor . Definimos o vetor + como sendo o vetor cujo representante é o segmento orientado 
. 
Adição de vetores – Regra do triângulo 
Assim, um mesmo vetor pode ser representado por uma infinidade de segmentos orientados 
distintos, pois, se é um segmento orientado e P é um ponto qualquer do espaço, então existe um 
único segmento orientado , com origem em P, tal que ~ . Logo, o vetor tem 
exatamente um representante em cada ponto do espaço. 
Sejam dois vetores e . Vamos definir o vetor soma desses vetores, indicado por + . 
Seja um representante de . Com origem em B, existe um único representante do 
vetor . Definimos o vetor + como sendo o vetor cujo representante é o segmento orientado 
. 
Adição de vetores – Regra do triângulo 
Vetores e Geometria Analítica
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Assim, um mesmo vetor pode ser representado por uma infinidade de segmentos orientados 
distintos, pois, se é um segmento orientado e P é um ponto qualquer do espaço, então existe um 
único segmento orientado , com origem em P, tal que ~ . Logo, o vetor tem 
exatamente um representante em cada ponto do espaço. 
Sejam dois vetores e . Vamos definir o vetor soma desses vetores, indicado por + . 
Seja um representante de . Com origem em B, existe um único representante do 
vetor . Definimos o vetor + como sendo o vetor cujo representante é o segmento orientado 
. 
Adição de vetores – Regra do triângulo 
Assim, um mesmo vetor pode ser representado por uma infinidade de segmentos orientados 
distintos, pois, se é um segmento orientado e P é um ponto qualquer do espaço, então existe um 
único segmento orientado , com origem em P, tal que ~ . Logo, o vetor tem 
exatamente um representante em cada ponto do espaço. 
Sejam dois vetores e . Vamos definir o vetor soma desses vetores, indicado por + . 
Seja um representante de . Com origem em B, existe um único representante do 
vetor . Definimos o vetor + como sendo o vetor cujo representante é o segmento orientado 
. 
Adição de vetores – Regra do triângulo 
1.4 Adição de Vetores
Adição de Vetores - Regra do Triângulo
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Adição de vetores – Regra do paralelogramo 
AtençãoAtenção
Nessa situação, temos dois pontos importantes a observar:
•	Verifique que, nesta situação, a origem do vetor v coincide com a extremidade do vetor u . Nesse caso, para 
representarmos o vetor resultante da soma entre os vetores u e v , basta traçarmos o vetor vu + , que “fechará” 
o triângulo ABC; 
•	Verifique também que o vetor vu + possui seu início coincidindo com o início do vetor u e a sua extre-
midade coincidindo com a extremidade do vetor v .
Esse é um aspecto importante a ser observado para que se efetue corretamente a soma de dois vetores, quando um 
vetor possui a sua origem coincidindo com a extremidade do outro vetor. Essa regra é conhecida como Regra do 
Triângulo para a soma de vetores.
AtençãoAtenção
Observe, agora, as diferenças em relação ao exemplo anterior: 
•	Verifique que, neste exemplo, os vetores u e v possuem um ponto em comum, como no anterior, porém 
agora esse ponto representa a origem dos dois vetores. Nesse caso, para representarmos o vetor resultante 
da soma entre os vetores u e v , é necessário traçar dois vetores auxiliares e paralelos aos vetores u e v , for-
mando, assim, o paralelogramo ABCD. O vetor vu + resultante da soma entre os vetores u e v será a diagonal 
maior do paralelogramo ABCD; 
•	Verifique também que, nesta situação, o vetor vu + resultante da soma entre os vetores u e v possui a 
origem coincidindo com a origem dos vetores u e v .
Esse é um aspecto importante a ser observado para que se efetue corretamente a soma de dois vetores, quando os 
vetores possuem a sua origem coincidindo. Essa regra é conhecida como Regra do Paralelogramo para a soma 
de vetores. 
Veja mais exemplos e maiores detalhes sobre a soma de vetores sob a perspectiva geométrica nas aulas web, dispo-
níveis no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA).
Propriedades da adição de vetores 
a) Comutativa: + = + , quaisquer que sejam os vetores e ; 
 
b) Associativa: + ( + ) = ( + ) + , quaisquer que sejam , e ; 
 
c) Elemento Neutro: já vimos que um ponto A qualquer do espaço pode ser considerado um 
segmento orientado , com origem A e extremidade A (segmento nulo). Assim, todos os 
segmentos nulos do espaço são equipolentes entre si e, desse modo, o conjunto de todos os 
segmentos nulos do espaço é um vetor, indicado por , que recebe o nome de vetor nulo. Então, se 
 é um vetor qualquer, temos: 
d) Simétrico: a cada vetor , é associado um vetor - , chamado simétrico ou oposto de , do 
seguinte modo: se , então . Como, , temos que: 
Adição de Vetores - Regra do Paralelogramo
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Adição de vetores – Regra do paralelogramo 
Propriedades da adição de vetores 
a) Comutativa: + = + , quaisquer que sejam os vetores e ; 
 
b) Associativa: + ( + ) = ( + ) + , quaisquer que sejam , e ; 
 
c) Elemento Neutro: já vimos que um ponto A qualquer do espaço pode ser considerado um 
segmento orientado , com origem A e extremidade A (segmento nulo). Assim, todos os 
segmentos nulos do espaço são equipolentes entre si e, desse modo, o conjunto de todos os 
segmentos nulos do espaço é um vetor, indicado por , que recebe o nome de vetor nulo. Então, se 
 é um vetor qualquer, temos: 
d) Simétrico: a cada vetor , é associado um vetor - , chamado simétrico ou oposto de , do 
seguinte modo: se , então . Como, , temos que: 
Propriedades da Adição de Vetores
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b) Associativa: + ( + ) = ( + ) + , quaisquer que sejam , e ; 
 
c) Elemento Neutro: já vimos que um ponto A qualquer do espaço pode ser considerado um 
segmento orientado , com origem A e extremidade A (segmento nulo). Assim, todos os 
segmentos nulos do espaço são equipolentes entre si e, desse modo, o conjunto de todos os 
segmentos nulos do espaço é um vetor, indicado por , que recebe o nome de vetor nulo. Então, se 
 é um vetor qualquer, temos: 
d) Simétrico: a cada vetor , é associado um vetor - , chamado simétrico ou oposto de , do 
seguinte modo: se , então . Como, , temos que: 
O vetor - é o único vetor que satisfaz a igualdade anterior, qualquer que seja . 
Diferença (subtração) de vetores 
Sejam dois vetores, e . Vamos definir o vetor diferença desses vetores. 
O vetor diferença = é a soma de com o oposto de . 
Seja um representante de . Com origem em B, existe um único representante do 
vetor . Definimos o vetor =como o vetor cujo representante é o segmento orientado 
. 
Diferença (Subtração) de Vetores
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O vetor - é o único vetor que satisfaz a igualdade anterior, qualquer que seja . 
Diferença (subtração) de vetores 
Sejam dois vetores, e . Vamos definir o vetor diferença desses vetores. 
O vetor diferença = é a soma de com o oposto de . 
Seja um representante de . Com origem em B, existe um único representante do 
vetor . Definimos o vetor = como o vetor cujo representante é o segmento orientado 
. 
Definição 
Seja um número real e um vetor. 
Vamos definir o vetor . 
1. Se = 0 ou , por definição temos: ; 
 
2. Se , seja um representante do vetor . 
O vetor é definido como o vetor que tem como representante o segmento orientado , 
cujo comprimento é | | vezes o comprimento de , situa-se sobre a reta que contém e, se > 
0, tem o mesmo sentido que e, se < 0, tem sentido contrário ao de . 
Propriedades do produto de vetor por escalares 
Quaisquer que sejam os escalares e quaisquer que sejam os vetores e , valem as 
seguintes propriedades: 
1.5 Produto de Vetor por um Escalar
DicionárioDicionário
Escalar: qualquer número real. Sua representação será feita por meio de letras minúsculas do alfabeto grego.
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Definição 
Seja um número real e um vetor. 
Vamos definir o vetor . 
1. Se = 0 ou , por definição temos: ; 
 
2. Se , seja um representante do vetor . 
O vetor é definido como o vetor que tem como representante o segmento orientado , 
cujo comprimento é | | vezes o comprimento de , situa-se sobre a reta que contém e, se > 
0, tem o mesmo sentido que e, se < 0, tem sentido contrário ao de . 
Propriedades do produto de vetor por escalares 
Quaisquer que sejam os escalares e quaisquer que sejam os vetores e , valem as 
seguintes propriedades: 
a)
b)
c)
d) 
Exemplos 
1. Todos os quadriláteros da figura dada são paralelogramos. B é ponto médio de , D é ponto 
médio de . Escreva , em função de 
Este exercício é uma aplicação de adição de vetores. Perceba, por exemplo, que o vetor 
pode ser escrito de várias formas como soma de outros vetores: 
Além dessas, ainda existem várias outras formas. Entretanto, o que queremos mostrar é o 
conceito de adição de vetores. Considerando, por exemplo, o segundo modo escrito, temos que o 
primeiro vetor da soma tem sua origem sempre coincidindo com a origem do vetor (ponto 
A), assim como o segundo vetor deve ter origem no ponto D, que é a extremidade do primeiro; assim 
sucessivamente, vamos “emendando” os vetores (no ponto que um termina, começa o outro) até 
fecharmos o caminho, com a extremidade do último vetor coincidindo com a extremidade do vetor 
 (ponto H). Então, teremos: 
 
 ( = 2b, pois D é ponto médio de e , pois ABHG é paralelogramo). 
Ficando então: 
 ( , pois B é ponto médio de paralelogramo). 
Então, fica: 
2. Na figura a seguir, . Escreva os vetores , em função de 
. 
 
Propriedades do Produto de Vetor por Escalares
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Definição 
Seja um número real e um vetor. 
Vamos definir o vetor . 
1. Se = 0 ou , por definição temos: ; 
 
2. Se , seja um representante do vetor . 
O vetor é definido como o vetor que tem como representante o segmento orientado , 
cujo comprimento é | | vezes o comprimento de , situa-se sobre a reta que contém e, se > 
0, tem o mesmo sentido que e, se < 0, tem sentido contrário ao de . 
Propriedades do produto de vetor por escalares 
Quaisquer que sejam os escalares e quaisquer que sejam os vetores e , valem as 
seguintes propriedades: 
a)
b)
c)
d) 
Exemplos 
1. Todos os quadriláteros da figura dada são paralelogramos. B é ponto médio de , D é ponto 
médio de . Escreva , em função de 
Este exercício é uma aplicação de adição de vetores. Perceba, por exemplo, que o vetor 
pode ser escrito de várias formas como soma de outros vetores: 
Além dessas, ainda existem várias outras formas. Entretanto, o que queremos mostrar é o 
conceito de adição de vetores. Considerando, por exemplo, o segundo modo escrito, temos que o 
primeiro vetor da soma tem sua origem sempre coincidindo com a origem do vetor (ponto 
A), assim como o segundo vetor deve ter origem no ponto D, que é a extremidade do primeiro; assim 
sucessivamente, vamos “emendando” os vetores (no ponto que um termina, começa o outro) até 
fecharmos o caminho, com a extremidade do último vetor coincidindo com a extremidade do vetor 
 (ponto H). Então, teremos: 
 
a)
b)
c)
d) 
Exemplos 
1. Todos os quadriláteros da figura dada são paralelogramos. B é ponto médio de , D é ponto 
médio de . Escreva , em função de 
Este exercício é uma aplicação de adição de vetores. Perceba, por exemplo, que o vetor 
pode ser escrito de várias formas como soma de outros vetores: 
Além dessas, ainda existem várias outras formas. Entretanto, o que queremos mostrar é o 
conceito de adição de vetores. Considerando, por exemplo, o segundo modo escrito, temos que o 
primeiro vetor da soma tem sua origem sempre coincidindo com a origem do vetor (ponto 
A), assim como o segundo vetor deve ter origem no ponto D, que é a extremidade do primeiro; assim 
sucessivamente, vamos “emendando” os vetores (no ponto que um termina, começa o outro) até 
fecharmos o caminho, com a extremidade do último vetor coincidindo com a extremidade do vetor 
 (ponto H). Então, teremos: 
 
 ( = 2b, pois D é ponto médio de e , pois ABHG é paralelogramo). 
Ficando então: 
 ( , pois B é ponto médio de paralelogramo). 
Então, fica: 
2. Na figura a seguir, . Escreva os vetores , em função de 
. 
 
Regina Maria Sigolo Bernardinelli
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 ( = 2b, pois D é ponto médio de e , pois ABHG é paralelogramo). 
Ficando então: 
 ( , pois B é ponto médio de paralelogramo). 
Então, fica: 
2. Na figura a seguir, . Escreva os vetores , em função de 
. 
 
3. Os pontos A, B, C, D, E e F são os vértices de um hexágono regular de centro O. Demonstre que: 
. (Lembrete: todo hexágono regular pode ser inscrito numa 
circunferência de centro O e raio r) 
Vamos escrever cada um dos vetores como soma de outros vetores, em 
que apareça o vetor . 
Somando membro a membro, obtemos: 
Observe que: , e (por se tratar de um hexágono regular, todos 
esses vetores possuem o mesmo módulo e são colineares dois a dois, apresentando, portanto, a 
mesma direção e sentidos opostos). 
3. Os pontos A, B, C, D, E e F são os vértices de um hexágono regular de centro O. Demonstre que: 
. (Lembrete: todo hexágono regular pode ser inscrito numa 
circunferência de centro O e raio r) 
Vamos escrever cada um dos vetores como soma de outros vetores, em 
que apareça o vetor . 
Somando membro a membro, obtemos: 
Observe que: , e (por se tratar de um hexágono regular, todos 
esses vetores possuem o mesmo módulo e são colineares dois a dois, apresentando, portanto, a 
mesma direção e sentidos opostos). 
 Assim, ficamos com: 
 
, que, cancelando os vetores 
opostos, finalmente resulta no que queríamos demonstrar: 
Prezado(a) aluno(a), nos tópicos seguintes, iremos rever os temas abordados, porém sob a 
perspectiva algébrica, ou seja, com a sua representação feita por meio de sentenças matemáticas. 
Seja o espaço R3, cujos elementos são ternas ordenadas (x, y, z), em que x, y, z são números reais. 
Já vimos que, a todo terno ordenado (x, y, z) do R3, corresponde um único ponto P do espaço de 
coordenadas cartesianas (x, y, z), que indicamos por P = (x, y, z). 
Desse modo, o segmento orientado , com origem A = (xA , yA , zA) e extremidade B = (xB , yB , 
zB), tem coordenadas x = xB – xA , y = yB – yA e z = zB – zA. 
Notação: = B – A = (x, y, z) 
 = A – B = (x, y, z) 
 Assim, ficamos com: 
 
,que, cancelando os vetores 
opostos, finalmente resulta no que queríamos demonstrar: 
Prezado(a) aluno(a), nos tópicos seguintes, iremos rever os temas abordados, porém sob a 
perspectiva algébrica, ou seja, com a sua representação feita por meio de sentenças matemáticas. 
Seja o espaço R3, cujos elementos são ternas ordenadas (x, y, z), em que x, y, z são números reais. 
Já vimos que, a todo terno ordenado (x, y, z) do R3, corresponde um único ponto P do espaço de 
coordenadas cartesianas (x, y, z), que indicamos por P = (x, y, z). 
Desse modo, o segmento orientado , com origem A = (xA , yA , zA) e extremidade B = (xB , yB , 
zB), tem coordenadas x = xB – xA , y = yB – yA e z = zB – zA. 
Notação: = B – A = (x, y, z) 
 = A – B = (x, y, z) 
Vetores e Geometria Analítica
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 ( = 2b, pois D é ponto médio de e , pois ABHG é paralelogramo). 
Ficando então: 
 ( , pois B é ponto médio de paralelogramo). 
Então, fica: 
2. Na figura a seguir, . Escreva os vetores , em função de 
. 
 
3. Os pontos A, B, C, D, E e F são os vértices de um hexágono regular de centro O. Demonstre que: 
. (Lembrete: todo hexágono regular pode ser inscrito numa 
circunferência de centro O e raio r) 
Vamos escrever cada um dos vetores como soma de outros vetores, em 
que apareça o vetor . 
Somando membro a membro, obtemos: 
Observe que: , e (por se tratar de um hexágono regular, todos 
esses vetores possuem o mesmo módulo e são colineares dois a dois, apresentando, portanto, a 
mesma direção e sentidos opostos). 
3. Os pontos A, B, C, D, E e F são os vértices de um hexágono regular de centro O. Demonstre que: 
. (Lembrete: todo hexágono regular pode ser inscrito numa 
circunferência de centro O e raio r) 
Vamos escrever cada um dos vetores como soma de outros vetores, em 
que apareça o vetor . 
Somando membro a membro, obtemos: 
Observe que: , e (por se tratar de um hexágono regular, todos 
esses vetores possuem o mesmo módulo e são colineares dois a dois, apresentando, portanto, a 
mesma direção e sentidos opostos). 
 Assim, ficamos com: 
 
, que, cancelando os vetores 
opostos, finalmente resulta no que queríamos demonstrar: 
Prezado(a) aluno(a), nos tópicos seguintes, iremos rever os temas abordados, porém sob a 
perspectiva algébrica, ou seja, com a sua representação feita por meio de sentenças matemáticas. 
Seja o espaço R3, cujos elementos são ternas ordenadas (x, y, z), em que x, y, z são números reais. 
Já vimos que, a todo terno ordenado (x, y, z) do R3, corresponde um único ponto P do espaço de 
coordenadas cartesianas (x, y, z), que indicamos por P = (x, y, z). 
Desse modo, o segmento orientado , com origem A = (xA , yA , zA) e extremidade B = (xB , yB , 
zB), tem coordenadas x = xB – xA , y = yB – yA e z = zB – zA. 
Notação: = B – A = (x, y, z) 
 = A – B = (x, y, z) 
 Assim, ficamos com: 
 
, que, cancelando os vetores 
opostos, finalmente resulta no que queríamos demonstrar: 
Prezado(a) aluno(a), nos tópicos seguintes, iremos rever os temas abordados, porém sob a 
perspectiva algébrica, ou seja, com a sua representação feita por meio de sentenças matemáticas. 
Seja o espaço R3, cujos elementos são ternas ordenadas (x, y, z), em que x, y, z são números reais. 
Já vimos que, a todo terno ordenado (x, y, z) do R3, corresponde um único ponto P do espaço de 
coordenadas cartesianas (x, y, z), que indicamos por P = (x, y, z). 
Desse modo, o segmento orientado , com origem A = (xA , yA , zA) e extremidade B = (xB , yB , 
zB), tem coordenadas x = xB – xA , y = yB – yA e z = zB – zA. 
Notação: = B – A = (x, y, z) 
 = A – B = (x, y, z) 
1.6 Segmentos Orientados em Coordenadas