ANALISE MATEMATICA PARA ENG I Aula 2

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Disciplina: Análise Matemática para
Engenharia I
Aula 2: Limites de uma função e continuidade – parte II
Apresentação
Na primeira aula, descobrimos os valores de limites, tanto pela amostragem de valores selecionados de x como pela
aplicação de teoremas de limites que foram enunciados sem prova.
Agora, encontraremos a de�nição precisa de limite, o que possibilitará maior compreensão de algumas propriedades mais
sutis das funções.
Além disso, veremos a de�nição de continuidade e propriedades das funções contínuas e o Teorema do Valor Intermediário.
Objetivos
Operar com a de�nição formal de limite de uma função;
Reconhecer a continuidade de uma função;
Explicar o Teorema do Valor Intermediário.
Discussão mais rigorosa sobre os limites
De�nição de limite:
Seja f(x) uma função de�nida para todo número em algum intervalo aberto contendo a,
exceto possivelmente no próprio número a. O limite de f(x) quando x tende a a será L,
escrito como: limx→af x = L.
se a seguinte a�rmativa for verdadeira:
Dado ε > 0 qualquer, existe um δ > 0 tal que:
se 0 < | x - a | < δ então | f(x) - L | < ε
( )
Essa de�nição, atribuída ao matemático alemão Karl Weierstrass, é conhecida como a de�nição “épsilon-delta” de limite bilateral.
Ela estabelece a transição de um conceito informal de limite para uma de�nição precisa.
Especi�camente, a frase informal “tão próximo quanto quisermos de L” é substituída por um sentido quantitativo na escolha
arbitrária do número positivo ε. Em contrapartida, a frase “su�cientemente próximo de a” é quanti�cada pelo número positivo δ.
Exemplo 1
Use a de�nição “épsilon-delta” de limite para provar que: limx → 3 4x - 7 = 5.( )
Exemplo 2
Prove que limx → 0 +√x = 0.
O valor de δ não é único
O valor de δ da de�nição de limite não é o único. Uma vez encontrado um valor de δ que preencha as exigências da de�nição,
então, qualquer número positivo δ1 menor também cumprirá as exigências. Isto é, se é verdade que:
|f(x) - L | < ε se 0 < | x - a | < δ
Então, também será verdade que:
f x - L < ε se 0 < x - a < δ1
Isso porque x: 0 < x - a < δ1 é um subconjunto de {x: 0 < | x - a | < δ}, e, portanto, se |f(x) - L | < ε é satisfeita para todo x
no intervalo maior, então, será automaticamente satisfeita para todo x no subconjunto.
| ( ) | | |
{ | | }
 O valor de 
δ
 não é o único. Fonte: (ANTON, 2007).
Exemplo 3
Prove que limx → 4x2 = 16.
Limite quando x → ± ∞
Seja f(x) de�nida em todo x de algum intervalo aberto in�nito, que se estende no sentido positivo do eixo x. Escreveremos:
limx → + ∞ f x = L
se, dado qualquer número ε > 0, houver um correspondente número positivo N, tal que:
|f(x) - L | < ε se x > N
Seja f(x) de�nida em todo x de algum intervalo aberto in�nito, que se estende no sentido negativo do eixo x. Escreveremos:
limx → - ∞ f x = L
se, dado qualquer número ε > 0, houver um correspondente número negativo N, tal que:
|f(x) - L | < ε se x < N
( )
( )
 (a) Limite para a função f(x) quando 
x → + ∞
; (b) Limite para a função f(x) quando 
x → - ∞
. Fonte: (ANTON, 2007).
Exemplo 4
Prove que limx → + ∞
1
x = 0.
Limites in�nitos
Seja f(x) de�nida em todo x de algum intervalo aberto contendo a, exceto que f(x) não precisa estar de�nida em a. Escreveremos:
limx → af x = + ∞
se, dado um número positivo M qualquer, pudermos encontrar um número δ > 0, tal que f(x) satisfaz:
f(x) > M se 0 < | x - a | < δ
Seja f(x) de�nida em todo x de algum intervalo aberto contendo a, exceto que f(x) não precisa estar de�nida em a. Escreveremos:
limx → af x = - ∞
se, dado um número negativo M qualquer, pudermos encontrar um número δ > 0, tal que f(x) satisfaz:
f(x) < M se 0 < | x - a | < δ
( )
( )
 Limites infinitos (a) limx → af x = + ∞; (b) limx → af x = - ∞. Fonte: (ANTON, 2007).( ) ( )
Exemplo 5
Prove que limx → 0
1
x2
= + ∞.
Continuidade
Seja uma função f de�nida em um intervalo aberto I e a um elemento de I. Dizemos que f é contínua em a, se limx→ af x = f a .
Note que, para falar em continuidade de uma função em um ponto, é necessário que este ponto pertença ao domínio da função.
( ) ( )
Da de�nição decorre que se f é contínua em a, então, três condições deverão ser
satisfeitas:
Existe f(a);
Existe limx→af x ;
limx→af x = f a .
( )
( ) ( )
Dessa forma, se falhar uma ou mais das condições de continuidade, então, dizemos que f tem uma descontinuidade em x = a.
 Gráficos de funções f que apresentam “quebras” ou “buracos” (descontinuidades), pois: (a) a função não está definida em c; (b) e (c) o limite de f(x) não existe quando x tende a c; ou, (d)
o valor da função e o valor do limite em c são diferentes. Fonte: (ANTON, 2007).
Exemplo 6
A função f(x) = 2x + 1 de�nida em é contínua em 1, pois:
limx→ 1f x = limx→ 1 2x + 1 = 3 = f 1
Note ainda que f é contínua em , pois para todo a ∈ , temos:
limx→ af x = limx→ a 2x + 1 = 2a + 1 = f a
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
 Gráfico da função f(x) = 2x + 1. Ponto em azul indica f(1) = 3.
Exemplo 7
A função f x =
x2 - 4
x - 2 de�nida em não é contínua no ponto x = 2.
Observe que: limx→ 2
x2 - 4
x - 2 = 4
Porém, a função f está inde�nida em x = 2 e, portanto, não é contínua em x = 2.
( )
 Gráfico da função f x =
x2 - 4
x - 2 . O ponto aberto em azul indica a
descontinuidade da função, pois a função não está definida em f(2).
( )
Observações:
Nas aplicações práticas, muitas vezes, as descontinuidades sinalizam a ocorrência de importantes fenômenos físicos;
Os seguintes tipos de funções são contínuos em cada ponto de seus domínios:
Clique nos botões para ver as informações.
São contínuas em todo número a porque limx → af x = f c .
Polinomiais 
( ) ( )
São contínuas em todo ponto de seus domínios. Elas têm pontos de descontinuidades nos zeros de seus denominadores.
Funções racionais 
(y =
n
√x, n é um inteiro positivo maior que 1).
Funções raiz 
Se a é um número no domínio natural da função trigonométrica enunciada, então:
limx→ asin x = sin a;
limx→ acosx = cos x;
limx→ atg x = tga;
limx→ acotg a = cotg a;
limx→ asec x = sec a;
limx → acosec x = cosec a;
Funções trigonométricas e funções trigonométricas inversas 
A função exponencial y = ax foi de�nida para ser contínua e, portanto, sua inversa y = logax é também contínua sobre seu
domínio.
Funções exponenciais e funções logarítmicas 
Grá�co das funções f(x) = sin x (curva em vermelho) e 
f(x) = cos x (curva em azul).
f(x) = sin x; Domínio: -∞ < x < + ∞; Imagem: - 1 ≤ x ≤ 1;
Período: 2π.
f(x) = cos x; Domínio: -∞ < x < + ∞; Imagem: - 1 ≤ x ≤ 1;
Período: 2π.
Grá�cos das funções (a) f(x) = tg x; e, (b) f(x) = cotg x.
Para a função f(x) = tg x, temos domínio em x ≠ ±
π
2 , ±
3π
2 …; Imagem: -∞ < x < + ∞; Período: π.
Para a função f(x) = cotg x, temos domínio em x ≠ 0, ± π, ± 2π; Imagem: -∞ < x < + ∞; Período: π.
Grá�co da função f(x) = sec x.
ç f( )
Domínio: x ≠ ±
π
2 , ±
3π
2 , …;
Imagem: y ≤ - 1 e y ≥ 1; Período: 2π.
Grá�co da função f(x) = cosec x.
Domínio: x ≠ 0, ± π + 2π, …
Imagem: y ≤ - 1 e y ≥ 1; Período: 2π.
Como os grá�cos de uma função injetora f e sua inversa f são uma re�exão do outro
pela reta y = x, é geometricamente evidente que, se o grá�co de f não tem
descontinuidades (“quebras” ou “buracos”), então, o grá�co de f também não
apresentará descontinuidades.
-1
-1
Continuidade em um intervalo
Se uma função f for contínua em cada ponto do intervalo aberto (a, b), então, dizemos que f é contínua em (a, b).
Essa de�nição se aplica para intervalos abertos in�nitos da forma (a, +∞), (-∞, b) e (-∞, +∞).
Quando f for contínua em (-∞, +∞), dizemos que f é contínua em toda parte.
Uma função f é dita contínua em um intervalo fechado [a, b], se as seguintes condições
são satisfeitas:
f é contínua no intervalo (a, b);
f é contínua à direita de a;
f é contínua à esquerda de b.
Exemplo 8
O que pode ser dito sobre a continuidade da função f x = √16 - x2?( )
Propriedades das funções contínuas
Se f e g são funções contínuasem a, então, são contínuas em a as funções:
f + g;
f - g;
f . g;
f / g, desde que g(a) ≠ 0;
Se limx→ ag x = L e se a função f é contínua em L, então limx→ af g x = f L . Ou seja:
limx→ af g x = f limx→ ag x
( ) ( ( ) ( )
( ( )) ( ( ))
Essa igualdade permanece válida se limx→ af g x for trocado em toda parte por um dos limites limx→ a - f g x , 
limx→ a + f g x , limx→ - ∞ f g x , ou limx→ + ∞ f g x .
Um caso especial do teorema ocorre quando f(x) = | x|.
Se x > 0, temos f(x) = x, um polinômio.
Se x > 0, temos f(x) = - x, outro polinômio.
Por �m, na origem, limx→ 0 x = 0 = 0 .
Logo, f(x) = | x|é contínua em toda parte e, então, podemos escrever:
limx→ a f x = limx→ af x
sempre que existir limx→ af x .
( ( )) ( ( ) )
( ( )) ( ( )) ( ( ))
| | | |
| ( ) | | ( )|
( )
Saiba mais
Quanto à continuidade de composição de funções, temos:
Se a função g for contínua em um ponto a e a função f for contínua no ponto g(a), então, a composição fºg é contínua em a;
Se a função g for contínua em toda parte e a função f for contínua em toda parte, então, a composição fºg é contínua em
toda parte.
O valor absoluto de uma função contínua é contínuo. Ou seja, se g(x) for contínua em
toda parte, então, também o é |g(x)|.
Exemplo 9
Suponha que f e g sejam funções contínuas, tais que f(2) = 1 e limx→ 2 f x + 4 · g x = 13. Encontre: g(2) e limx→ 2g x .[ ( ) ( )] ( )
Exemplo 10
Mostre que y =
x · sin x
x2 + 2
 é contínua.| |
Teorema do Valor Intermediário
Se f for uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e k um número qualquer entre f(a) e f(b), inclusive, então, existe no
mínimo um número x no intervalo [a, b], tal que f(x) = k.
 Teorema do Valor Intermediário. Função f contínua no
intervalo [a, b] e um número k entre f(a) e f(b). Fonte:
(ANTON, 2007).
Uma importante aplicação do Teorema do Valor Intermediário é a determinação de raízes de uma equação, ou seja, f(x) = 0.
Um procedimento para a aproximação de raízes está baseado na seguinte consequência do Teorema do Valor Intermediário:
“Se f for uma função contínua em [a, b], e se f(a) e f(b) forem diferentes de zero com
sinais opostos, então, existe, no mínimo, uma solução para a equação f(x) = 0 no
intervalo (a, b).”
 Representação do Teorema do Valor Intermediário para
a determinação da raiz de uma equação. Fonte: (ANTON,
2007).
Antes de ilustrarmos como esse teorema pode ser útil na determinação aproximada de raízes, é importante discutir a terminologia
padrão para descrever erros de aproximação.
Se x é uma aproximação para uma quantidade x , então, dizemos que:
ϵ = x - xo
é o erro absoluto (ou menos precisamente) o erro na aproximação.
Assim: x - xo ≤ 0, 0005, x aproxima x até a terceira casa decimal (i.e., até o milésimo mais próximo).
o
| |
| | o
Exemplo 11
Encontre a raiz da função f x = x3 – 3x – 4. Use o Teorema do Valor Intermediário e um erro de, no máximo, 0,0005.( )
Teorema do Confronto e modelo de comportamento �nal
Sejam f, g e h funções que satisfazem: g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para todo x em algum intervalo aberto que contenha o ponto a, com a
possível exceção de que as desigualdades não precisam ser válidas em a.
Se g e h tiverem o mesmo limite quando x tende a a, digamos: limx → ag x = limx → ah x = L, então, f também tem esse quando
x tendendo a a, isto é: limx → af x = L.
( ) ( )
( )
Atenção
A mensagem do Teorema do Confronto é que, se uma função que está “no meio” de outras duas funções que têm o mesmo
limite, então, obrigatoriamente a função que está no meio terá o mesmo limite das outras duas. Por isso, este teorema é também
chamado de Teorema do Sanduíche.
O Teorema do Confronto também se aplica a limites quando x → ± ∞.
Exemplo 12
Mostre que limx → 0x2 · sin 
1
x = 0( )
Exemplo 13
Seja a função f(x)=x+e . Demonstre que g(x) = x é um modelo de comportamento �nal à direita para f, enquanto h(x) = e é um
modelo de comportamento �nal à esquerda para f.
-x -x
Exemplo 14
Encontre a assíntota oblíqua para o grá�co de f x =
2x2 - 3
7x + 4 :( )
Atividade
1. A prova rigorosa de que limx → - 7 2x + 5 = - 9 conduz à relação:( )
a) δ =
ε
2
b) δ =
ε
3
c) δ = 2ε
d) δ = 3ε
e) δ = ε
2. Para quais valores de x, se houver, a função f x =
x2 - 16
x2 - 5x + 4
 é descontínua?( )
a) 0 e - 2
b) – 2 e 2
c) – 1 e 4
d) 1 e 4
e) Não há descontinuidades
3. Os valores das constantes k e m, se possível, que façam a função f �car contínua em toda parte serão:
f x =
x2 + 5, x > 2
m(x + 1) + k, -1 < x ≤ 2
2x3 + x + 7, x ≤ - 1( ) {
a) m = 0 e k = 4
b) m = - 3 e k = - 2
c) m = 5/3 e k = 4
d) m = 2 e k = - 2
e) Não há descontinuidades
4. Em qual dos seguintes intervalos f x =
1
√x - 2
 é contínua?( )
a) [2, + ∞)
b) ( - ∞, + ∞)
c) (2, + ∞)
d) [1, 2)
e) ( - ∞, 0]
5. Considere a função f x =
3 + cos x
x3
. O valor do limite limx → + ∞ f x será:( ) ( )
a) +∞
b) -∞
c) 1
d) -1
e) 0
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. Volume 1. Porto Alegre: Artmed Editora S.A., 2007.
BROCHI, A. Cálculo Diferencial e Integral I. Rio de Janeiro: SESES, 2015.
FERNANDES, D. B. Cálculo. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014.
PANONCELI, D. M. Análise Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2017.
Próxima aula
A de�nição de derivada;
Regras de derivação;
Regra da cadeia e a derivação implícita.
Explore mais
Para revisar tópicos importantes da matemática elementar, despertar o seu interesse no assunto aqui tratado, e, ao mesmo
tempo, demonstrar como limites são importantes no dia a dia do engenheiro, seguem sugestões de vídeos para você assistir:
Funções trigonométricas <https://www.khanacademy.org/math/trigonometry/unit-circle-trig-func> ;
Limites e continuidade <https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new> ;
Teorema do Confronto <https://youtu.be/mC-T75UUsRQ> ;
Limite fundamental trigonométrico <https://youtu.be/6HcDC2WwkoE> .
https://www.khanacademy.org/math/trigonometry/unit-circle-trig-func
https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new
https://youtu.be/mC-T75UUsRQ
https://youtu.be/6HcDC2WwkoE