Avaliação I - Individual

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GABARITO | Avaliação I - Individual (Cod.:956703)
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Prova 81792558
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 3/7
Nota 3,00
Frações parciais são uma técnica fundamental no cálculo integral, utilizada para decompor uma fração 
em uma soma de frações mais simples. Esse método é especialmente útil para integrar funções 
racionais do tipo f(x) = p(x)/q(x), tornando-as mais fáceis de serem manipuladas e integradas. Através 
da decomposição em frações parciais, é possível resolver integrais que seriam difíceis ou impossíveis 
de serem calculadas de outra forma.
Considerando as informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre 
elas.
I. Considerando o polinômio q(x) = x · (x² + 4)³, este será decomposto em quatro partes.
PORQUE
II. O polinômio q(x) apresenta um fator linear e um fator quadrático irredutível que se repete por três 
vezes.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A As asserções I e II são falsas.
B A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
C As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
D A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.
E As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
O cálculo integral desempenha um papel fundamental em uma ampla gama de disciplinas, desde a 
física e a engenharia até a economia e as ciências naturais. Sua versatilidade e poder analítico 
permitem modelar e resolver problemas complexos que envolvem taxas de variação e acumulação 
contínua. Ele abrange dois aspectos principais: as integrais definidas e as indefinidas.
Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir:
I. Uma integral definida tem limites de integração, enquanto uma integral indefinida não os tem.
II. A integral indefinida, tem como princípio, encontrar uma função cuja derivada seja igual à função 
original.
III. Um indicador que podemos usar para definir se a integral é definida ou indefinida, é o diferencial 
de integração, presente no final da integral. 
IV. As integrais indefinidas, resultam em uma família de funções cuja derivada é igual à função 
original.
É correto o que se afirma em:
A II e III, apenas.
B II, III e IV, apenas.
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C I, II e IV, apenas.
D I, II, III e IV.
E I e III, apenas.
A resolução de integrais requer a aplicação meticulosa de métodos analíticos e estratégias de 
simplificação, visando encontrar soluções que capturem com precisão os aspectos fundamentais das 
funções em estudo, sendo uma habilidade essencial em diversas áreas da matemática e ciências 
aplicadas.
Portanto, utilizando das técnicas e métodos desenvolvidos no estudo das integrais, assinale entre as 
opções a seguir, qual delas apresenta a primitiva da função f(x) = 4xex².
A 4ex² + c.
B 2ex² + c.
C 2xex² + c.
D 8xex² + c.
E 4xex² + c.
No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva 
no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas da física, como na 
determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade 
instantânea em todos os instantes. Para resolver estas integrais, podemos recorrer a alguns métodos de 
resolução. Um deles é o método da integração por substituição.
Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir:
É correto o que se afirma em:
A I, II e IV, apenas.
B I, III e IV, apenas.
C I e II, apenas.
D II, III e IV, apenas.
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E II e III, apenas.
Em certo momento da aula, o professor desafiou os alunos a identificarem uma estratégia para 
resolver a integral apresentada a seguir
Aluno A: A integral pode ser resolvida, utilizando a integral por partes, sendo u = x² e dv = e3x³.
Aluno B: A integral pode ser resolvida, substituindo 3x³ por u, no método por substituição.
Aluno C: A integral pode ser resolvida, dividindo a integral em duas partes, podemos integrar 
separadamente x² e e3x³.
Analisando as propostas de resolução dos alunos A, B e C, assinale a alternativa correta:
A Os alunos A e C estão corretos.
B Apenas o aluno B está correto.
C Os alunos A e B estão corretos.
D Apenas o aluno A está correto.
E Apenas o aluno C está correto.
No estudo do cálculo integral, destaca-se o método de integração por partes, derivado do princípio da 
derivação do produto de funções. Este método, em suma, envolve a transformação da integração de 
uma função complexa em duas ou mais integrais mais simples, tornando mais acessível o processo de 
resolução.
Sendo a integral
analise as opções que apresentam argumentos válidos, sobre a resolução dessa integral pelo método 
de integração por partes:
I. Devemos assumir inicialmente u = x².
II. Necessitaremos utilizar por três vezes o método para resolver a integral.
III. Na segunda vez que aplicamos o método, devemos utilizar o dv = e2x dx.
IV. A integral de e2x, deve ser resolvido pelo método da substituição.
É correto o que se afirma em:
A II e III, apenas.
B I e II, apenas.
C I, III e IV, apenas.
D I e IV, apenas.
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E II e IV, apenas.
No estudo do cálculo integral, os métodos ou técnicas de integração são procedimentos analíticos 
empregados para encontrar antiderivadas de funções. Entre as técnicas mais reconhecidas estão a 
integração por substituição, por partes e por frações parciais. Especificamente, a técnica de integração 
por substituição envolve a aplicação da mudança de variáveis u = g(x), facilitando a obtenção de uma 
integral imediata para resolver o problema. Por exemplo, considere a integral
Dessa forma, a partir dessa integral, identifique a alternativa correta que propõe a melhor substituição 
a ser utilizada:
A u = 2x4.
B u = x3.
C u = dx.
D u = e2x^4.
E u = e2x
Em situações em que uma função possui partes de sua representação gráfica acima e abaixo do eixo 
das abscissas, surge um conceito crucial denominado "saldo de área". Este conceito implica que ao 
calcular a integral de tal função em um intervalo de integração, o resultado não apenas representa a 
área total sob o gráfico, mas também considera a diferença entre as áreas acima e abaixo do eixo das 
abscissas. Desta forma, analise a representação gráfica de uma função f e sendo a, b, c e d, as áreas 
positivas desta função nos respectivos intervalos (-3, -1), (-1, 2), (2, 4) e (4, 6):
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Considerando as informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre 
elas.
I. A integral definida de -3 até 6 desta função, apresentará como resultado, a soma de a + b + c + d.
PORQUE
II. Ao calcular a área da curva no intervalo de -3 até 6, devemos separar o cálculo em quatro partes, 
respeitando as partes acima e abaixo do eixo das abscissas.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
B As asserções I e II são falsas.
C A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.
D As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
E A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
As operações inversas: adição e subtração, multiplicação e divisão, potenciação e radiciação, 
exponenciação e logaritmação, já são bastante conhecidas. A integração indefinida é basicamente a 
operação inversa da diferenciação. Assim, dada a derivada de uma função, o processo que consiste em 
achar a função que a originou, ou seja, achar a sua primitiva denomina-se de antiderivação.
Baseado nisso, analise as opções que apresentam f(x), sendo que f'(x) = 3x² - 6x + 2 para todox e 
com f(1) = 2:
I. f(x) = 6x² - 6
II. f(x) = x³ - 3x² + 2x + 2
III. f(x) = x³ - 6x² + 2x
IV. f(x) = 3x² - 2x - 3 É correto apenas o que se afirma em
A II e III, apenas.
B II e IV, apenas.
C I e II, apenas.
D IV, apenas.
E I, apenas.
O método da substituição trigonométrica, como indica o seu nome, envolve a substituição de um 
termo na expressão original por uma função trigonométrica adequada. Esse método se assemelha ao 
método de substituição padrão, mas com o uso específico de funções trigonométricas para simplificar 
a integração. Em certos casos, é possível utilizar qualquer uma das duas substituições, porém, no caso 
das trigonométricas, estas apresentam estruturas peculiar e padronizada.
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Desta forma, utilizando destas ideias, analise as opções que apresentam argumentos válidos, sobre a 
resolução da integral a seguir:
I. Está integral em particular, é um caso em que podemos aplicar qualquer um dos casos de 
substituição.
II. Para resolver pela substituição trigonométrica, devemos adotar inicialmente x = 2sen(y).
III. É possível resolver, substituindo de forma simples u = 4 - x².
IV. O método da substituição padrão falha, pois, ao derivar uma escolha apropriada para u, a integral 
não é simplificada.
É correto o que se afirma em:
A I, II e III, apenas.
B II e III, apenas.
C I e IV, apenas.
D I e II, apenas.
E II e IV, apenas.
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