Macroeconomia: Crescimento Econômico e Função de Produção Clássica

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AULA 07 – Crescimento Econômico. 
 
SUMÁRIO RESUMIDO PÁGINA 
Função de produção clássica 02 
Noções de derivadas 06 
Modelo de Solow 12 
O papel da poupança 15 
O estado estacionário 16 
A regra de ouro 24 
O crescimento populacional 30 
O progresso tecnológico 34 
Exercícios comentados 42 
Lista de questões apresentadas na aula 54 
Gabarito 58 
 
Olá caros(as) amigos(as), 
 
 Hoje, veremos o principal modelo de crescimento no longo 
prazo (modelo de Solow). Esse assunto foi planejado, originalmente, 
para ser abordado na aula 08. No entanto, resolvi antecipá-lo e vou abordar 
os assuntos originalmente previstos para hoje nas próximas aulas do curso. 
Normalmente, o modelo de Solow é tido como o assunto mais difícil do 
curso de Macro (junto com Contas Nacionais) e, pelo que pude ver em 
alguns cursos ministrados em sala de aula, os alunos partilham da mesma 
opinião que eu. De acordo com o que presenciei, vi que as dificuldades 
encontradas são muitas. 
 
 Existem algumas razões para isso. O modelo de Solow é um modelo 
essencialmente de cunho “clássico” (sendo aplicável somente para o longo 
prazo). Assim, todas as conclusões são sustentadas a partir da função de 
produção clássica, que não é estudada na maioria dos materiais de 
macroeconomia para concurso. No nosso curso, por exemplo, a função de 
produção vista em todas as aulas é a produção Keynesiana, onde 
Y=C+I+G+X–M. No modelo de Solow, a função de produção é algo 
totalmente diferente disso. Essa é a primeira dificuldade. 
 
 A segunda dificuldade reside no fato de que o modelo utiliza muitas 
ferramentas e conceitos da microeconomia. Isso também é um fator 
dificultador, pois muitos estudantes que estudam o modelo de Solow nunca 
viram microeconomia na vida (felizmente, não é o caso de vocês!). 
 
Por último, também é necessário termos algumas noções de cálculo 
matemático (derivadas) para aprender o modelo. Sem isso, até é possível 
aprender, mas o rendimento não será o mesmo. Como vocês já devem ter 
estudado (várias) aulas de Micro, isto não será problema . 
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Nossa proposta nesta aula é a seguinte: primeiro, antes de adentrar 
no modelo, abordaremos a função de produção clássica; segundo, teremos 
algumas noções de cálculo matemático (derivadas) apenas para nivelar o 
conhecimento de todos; terceiro, aí sim, veremos o nosso modelo de 
crescimento. Acredito que o prévio aprendizado das ferramentas 
necessárias ajudará bastante no entendimento do modelo. 
 
E aí, todos prontos?! Então vamos à aula! 
 
 
1. FUNÇÃO DE PRODUÇÃO CLÁSSICA 
 
PS: quem já estudou esse assunto na Micro, pode pular esse item (ou dar apenas 
uma “passada de olho”). 
 
Nos modelos econômicos vistos até o momento (OA-DA, IS-LM), a 
função de produção ou renda predominante era a função keynesiana, em 
que a renda ou produção da economia era determinada pela soma dos 
gastos dos agentes econômicos. Ou seja, a renda ou produção era igual à 
soma dos gastos das famílias, do governo, das empresas e do resto do 
mundo, de tal forma que 
 
Y = C + I + G + X – M  (função de produção Keynesiana) 
 
Essa função de produção Keynesiana deve-se à hipótese da lei da 
demanda efetiva1, em que é a demanda (ou despesa) que determina a 
renda/produção da economia. 
 
Agora, no entanto, devemos utilizar pressupostos clássicos para 
montar nossa função de produção clássica. Segundo os clássicos, é válida 
a lei de Say, em que é a oferta (produção) que determina a demanda. Ou 
seja, a produção não é determinada pela demanda dos agentes. Mas, 
então, o que determina a produção? 
 
Para os clássicos, a produção é determinada pela quantidade de 
fatores de produção existente. Na aula 00, vimos que, para produzir os 
bens e serviços que são ofertados à sociedade, as firmas utilizam os 
chamados fatores de produção. Dentre estes fatores de produção, aqueles 
mais relevantes para o estudo econômico são: a mão-de-obra (L) e o 
capital (K). 
 
Desta forma, a produção da economia será função da mão-de-obra e 
do capital existentes. Algebricamente, isto que eu acabei de dizer é 
representado desta maneira: 
 
1 Ver aula 02, página 05. 
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Y = F(L, K) 
 
(Y) é a quantidade de produção. (L)2 é a quantidade de mão-de-obra. 
(K) é a quantidade de capital. (F) significa “uma função de” e é empregado 
para representar que há uma relação de dependência entre a produção (Y) 
e os fatores de produção (L) e (K). 
 
Assim, se a economia de um país tem sua produção (Y) aumentada, 
isso aconteceu porque ou o estoque de capital (K), ou a quantidade de 
mão-de-obra (L), ou os dois, (K) e (L), foram aumentados. Isto tudo porque 
(Y) é função de (K) e (L): Y = F (K, L) 
 
Apesar de sabermos que a produção (Y) é função do capital (K) e da 
mão-de-obra (L), ainda falta uma equação ou expressão que nos mostre 
esta relação de forma matemática. Existe uma função que expressa 
matematicamente esta relação de dependência entre produção e os fatores 
de produção mão-de-obra e capital. Esta função é conhecida como função 
de produção Cobb-Douglas e tem o formato abaixo: 
 
Y = A . Kα . Lβ 
 
Y é a produção. A é o parâmetro que mede a tecnologia (quanto mais 
tecnologia possui a sociedade, maior será o parâmetro A, e maior será a 
produção Y, dados os níveis de K e L). K é o capital. L é a mão-de-obra. α 
e β são expoentes de K e L, e indicam a participação na produção entre o 
capital e a mão-de-obra. 
 
Vejamos, agora, um pouco sobre esta função de produção Cobb-
Douglas, ora apresentada: 
 
Paul Douglas foi professor de Economia e senador nos EUA entre as 
décadas de 40 a 60. Em seus estudos, Douglas notou que, à medida que a 
produção da economia crescia, a renda dos trabalhadores e a renda dos 
proprietários do capital cresciam na mesma proporção. Em outras palavras, 
se a produção da economia, digamos, dobrasse, a remuneração dos 
trabalhadores e dos proprietários do capital também dobrava. 
 
Assim, Douglas perguntou a Charles Cobb, um matemático, se 
haveria alguma equação ou função de produção capaz de garantir esta 
propriedade ora descoberta. Daí, surgiu a função de produção Cobb-
Douglas, em homenagem ao matemático e ao economista, 
respectivamente: Y = A. Kα. Lβ 
 
 
2 Use-se a letra L devido ao termo em inglês: Labour. 
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No entanto, para que a propriedade descoberta por Douglas fosse 
respeitada, seria necessário que (α + β) fosse igual a 1. 
 
Veja, como exemplo, a função de produção abaixo, em que temos (α 
+ β)=1: 
 
Y = 2. (K)0,5. (L)0,5 
 
Agora, vamos calcular a produção considerando um estoque de 
capital (K) de 9 máquinas e uma quantidade de mão-de-obra (L) de 4 
trabalhadores: 
 
Y = 2. (9)0,5. (4)0,5  Não esqueça que X0,5 é o mesmo que 𝑋
1
2⁄ ou √𝑋 
Y = 2. 3. 2 = 12  Produção = 12 
 
 Vamos, agora, quadruplicar o estoque de capital e a quantidade de 
trabalhadores: 
 
Y = 2. (4.9)0,5.(4.4)0,5 
Y = 2. √36 . √16 
Y = 2. 6. 4 = 48  Veja que 48 é o quádruplo de 12 
 
Note que, ao quadruplicarmos o capital e a mão-de-obra, também 
quadruplicamos a produção. Isto só foi possível porque (α+ β)=1. 
 
 Nota: para que a produção quadruplique, é necessário que 
quadrupliquemos os dois fatores de produção: a mão-de-obra e o capital. 
Se quadruplicarmos somente um dos fatores, a alteração na produção não 
será na mesma proporção. 
 
 Em Economia, quando há esta situação, dizemos que a função de 
produção apresenta rendimentos constantes de escala. Em outras 
palavras, se capital e mão-de-obra forem aumentados na mesma 
proporção, então a produção também aumenta nessa mesma proporção. 
Algebricamente, isto é traduzido da seguinte maneira: 
 
z.Y = A. (z.K)α. (z.L)β 
 
ou 
 
 z.Y = F(z.K, z.L) 
 
Agora, o que aconteceria caso (α + β)≠1? Teríamos duas situações: 
(α + β)<1 ou (α + β)>1. 
 
Veja as duas funções de produção abaixo: 
 
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Y1 = 2. (K)1. (L)1  (α + β) = 2 > 1 
Y2 = 2. (K0,5). (L0,25)  (α + β) = 0,75 < 1 
 
Considerando um estoque de capital de 4 máquinas e 81 
trabalhadores, calculemos as respectivas produções: 
 
Y1 = 2. (K). (L) = 2. 4. 81 = 648 
Y2 = 2. (K0,5). (L0,25) = 2. √4. √81
4
 = 2. 2. 3 = 12 
 
Vamos, agora, dobrar o estoque de capital e trabalhadores nas duas 
funções de produção: 
 
Y1 = 2. (2.K). (2.L) = 2. 8. 162 = 2592 
 Veja que 2592 é mais que o dobro de 648. 
 
Y2 = 2. (2.K)0,5. (2.L)0,25 = 2. √8. √162
4
 = 20 
 Veja que 20 é menos que o dobro de 12. 
 
Em Y1, onde (α + β)>1, quando dobramos o capital e a mão-de-obra, 
a produção quadruplicou (2592/648=4). Em Y2, onde (α + β)<1, quando 
dobramos o capital e a mão-de-obra, a produção menos que dobrou 
(20/12=1,67). 
 
A partir destes dados, podemos tirar as seguintes conclusões acerca 
da função de produção Cobb-Douglas: 
 
Se (α + β) = 1, temos rendimentos constante de escala. Isto 
significa que se aumentarmos K e L em determinada proporção, Y 
aumentará nesta mesma proporção. 
Se (α + β) > 1, temos rendimentos crescentes de escala. Neste 
caso, aumentos de K e L em determinada proporção provocam 
aumentos de Y numa proporção maior. 
Se (α + β) < 1, temos rendimentos decrescentes de escala (ou 
deseconomias de escala). Aqui, aumentos de K e L em determinada 
proporção provocam aumentos de Y numa proporção menor. 
 
 No modelo de Solow, é pressuposto que a função de 
produção possui retornos constantes de escala. 
 
 
1.1. Produto marginal da mão-de-obra e do capital 
 
Em economia, é muito comum vermos o termo “marginal”. Ele não 
guarda nenhuma relação com o significado pejorativo que normalmente o 
acompanha na maioria das situações em que é utilizado, principalmente 
em programas jornalísticos sobre a violência das grandes cidades. 
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Em economia, marginal significa alguma coisa “na margem”, 
“incremental” ou “adicional”. Quando falamos em produto marginal, 
estamos falando apenas do produto “adicional”, “incremental”, “na 
margem”. Então, vejamos agora os específicos conceitos de produto 
marginal da mão-de-obra e do capital: 
 
 Produto marginal da mão-de-obra (PmgL): é o volume de 
produção adicional gerado (ΔY) ao se acrescentar 1 trabalhador 
(quando ΔL=1). Algebricamente, este conceito é representado assim: 
 
𝑷𝒎𝒈𝑳 =
𝜟𝒀
𝜟𝑳
 
 
 
 Produto marginal do capital (PmgK): é o volume de produção 
adicional gerado (ΔY) ao se acrescentar 1 unidade de capital (quando 
ΔK=1). Algebricamente, este conceito é representado assim: 
 
𝑷𝒎𝒈𝑳 =
𝜟𝒀
𝜟𝑲
 
 
Exemplo: suponha que a produção de um país seja 100 unidades de 
produto. Imagine agora que 01 trabalhador adicional seja incorporado à 
força de trabalho deste país. O acréscimo deste trabalhador gerou um 
acréscimo de 05 unidades na produção deste país. Qual é o produto 
marginal da mão-de-obra? Simples, é o acréscimo de produção provocado 
pelo trabalhador adicional. Ou seja, neste exemplo, o PmgL foi igual a 05. 
O mesmo raciocínio pode ser aplicado ao caso do produto marginal do 
capital, se houvesse o acréscimo de 01 unidade de capital. 
 
Assim, podemos entender que se L aumenta em 01 unidade, Y 
aumenta em PmgL unidades. Se K aumenta em 01 unidade, Y aumenta em 
PmgK unidades. 
 
 
2. NOÇÕES DE DERIVADAS 
 
PS: quem já estudou esse na Micro, pode pular o item! 
 
Neste tópico, teremos algumas noções de cálculo diferencial, 
especificamente o cálculo de derivadas. Não se assustem, pois será 
bastante simples. Aqueles que nunca estudaram o assunto devem saber 
que o nosso objetivo é apenas saber os processos mais simples de 
resolução e aplicação das derivadas e, de forma nenhuma, entender 
amiúde o assunto. Assim, passarei somente as regras básicas de derivação 
necessárias para o melhor entendimento do nosso modelo de Solow, bem 
como os seus usos. 
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Em um curso de cálculo, estudam-se previamente alguns temas 
(limites, noções de continuidade) antes da derivada. Não faremos isso aqui, 
caso contrário, necessitaríamos de outro curso só para isso (rs!). 
 
A derivada é o conceito matemático que procura medir a variação de 
uma variável em função da variação de outra variável. Considere, apenas 
como exemplo, a seguinte função: 
 
f(x) = 2x2 + 4x – 6 
 
Ela pode ser escrita, de igual maneira, da seguinte forma: 
 
y = 2x2 + 4x – 6 
 
Derivar esta função seria medir a variação da variável y em função 
da variação da variável x. Em outras palavras: 
 
Derivada de y na variável x  
𝛥𝑦
𝛥𝑥
 = 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
 
Não esqueça que o símbolo Δ (delta) quer dizer variação: 
Δx = x2 – x1 ou Δx = xFINAL – xINICIAL ou Δx = x1 – x0. 
 
Assim, lembre que quando temos um delta alguma coisa dividido por 
um delta outra coisa, teremos uma derivada. Seguem alguns exemplos: 
 
𝛥𝑌
𝛥𝑋
= 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 𝑒 
𝜟𝒀
𝜟𝑳
= 
𝒅𝒀
𝒅𝑳
 𝑒 
𝜟𝒀
𝜟𝑲
= 
𝒅𝒀
𝒅𝑲
 
 
 
 Desta forma, pelas expressões em negrito, podemos entender que o 
produto marginal da mão-de-obra (ΔY/ΔL) significa a derivada da produção 
(Y) em relação à quantidade de mão-de-obra (L). Assim, PmgL=dY/dL. 
 
 De forma análoga, o produto marginal do capital (ΔY/ΔK) significa a 
derivada da produção (Y) em relação à quantidade de capital (K). Assim, 
PmgK=dY/dK. 
 
Observação: outra notação utilizada para representar a derivada é a 
simbologia 
𝜕𝑦
𝜕𝑥
 ou ainda y’ (y’=dy/dx). Assim, 
 
𝜟𝒀
𝜟𝑿
= 
𝒅𝒀
𝒅𝑿
=
𝝏𝒀
𝝏𝑿
= 𝒀´ 
 
 
 
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1º PASSO 
Variável a ser 
DERIVADA 
2º PASSO 
2.1. Regra geral de derivação 
 
 Essa é a principal regra de derivação (e a única que utilizaremos!): 
 
y = xn  dy/dx = (n).xn-1 
 
 Ou seja, para encontrar a derivada de Y em X, primeiro, devemos 
descer o expoente da variável a ser derivada. Esse expoente passará a 
multiplicar todo o termo. Depois, em segundo lugar, subtraímos 01 unidade 
deste mesmo expoente. 
 
 Segue a mesma regra, agora de forma mais “desenhada”: 
 
 
 
Y = XN  dY/dX = N.XN-1 
 
 
 
Exemplos: 
 
Encontre dy/dx para: 
 
1) y = 4x5, sua derivada dy/dx = 5.4.x5-1 = 20x4 (repare que o expoente 
da variável x desce e passa a multiplicar todo o termo. No mesmo 
instante, devemos diminuir o expoente da variável x em 1 unidade). 
 
2) y = 12x, sua derivada dy/dx = 1.12.x1-1 = 12.x0 = 12 (repare que o 
expoente de x é igual a 1. Desta forma, quando fazemos 1-1 no 
expoente, ficaremos com x elevado a0, que é igual a 1. Ou seja, a 
variável x desaparece). 
 
3) y = 5, sua derivada dy/dx = 0, isto porque y = 5 é o mesmo que 
dizer y = 5.x0 (neste caso, quando descemos o expoente 0, toda a 
derivada será igual a 0. Logo, a derivada de um número – ou uma 
constante – sempre é igual a 0). 
 
4) y = 2x2 + 4x – 6, sua derivada dy/dx = 4x + 4 (repare que é só fazer 
a derivada de cada termo separadamente, assim: dy/dx = d(2x2)/dx 
+ d(4x)/dx – d(6)/dx). 
 
Agora, encontre, para cada função de produção abaixo, o valor do produto 
marginal mão-de-obra. Ou seja, encontre o valor de dY/dL: 
 
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5) Y = 10 – 2L, sua derivada dY/dL = -2. Repare que, desta vez, a 
variável a ser derivada é L. 
 
6) Y = 3.K2.L2, sua derivada dY/dL = 2.3.K2.L2-1 = 6.K2.L (repare que só 
mexemos na variável a ser derivada que, no caso, é L. Assim, o termo 
K2, que contém a variável K, é tratado como se fosse um número 
qualquer, não tendo alteração de seu expoente). 
 
7) Y=2.K.L + 3.L4, sua derivada dY/dL=2.K.L1-1 + 4.3.L4-1=2K + 12L3 
(assim como fizemos no exemplo 4, derivamos normalmente cada 
termo em separado). 
 
8) Y = 6 – 2.L½, sua derivada dY/dL=0 – ½.2.L½-1 = -1.L-½ = -1/L½. 
 
 
2.2. A derivada e o valor máximo de uma função 
 
 Uma importante aplicação da derivada para a economia diz respeito 
à ajuda que ela nos presta para encontrarmos os valores máximos de 
determinadas funções ou equações. Quando temos qualquer função f(x) e 
desejamos saber o valor de x que maximiza esta função, basta derivarmos 
f(x) na variável x e igualar a 0. Segue abaixo um exemplo, já com uma 
aplicação para a Economia: 
 
Exemplo: 
 
1) Dada a função de produção Y=8L – L2, determine qual a quantidade 
de trabalhadores (qual o valor de L) que repercutirá máxima 
produção total? 
 
Resolução: 
 
Para encontrar a quantidade de trabalhadores (L) que maximiza a 
produção total (Y), devemos achar a derivada de Y em função de L 
e, por fim, igualá-la a 0. 
 
dY/dL = 8 – 2L 
 
Agora, igualamos dY/dL a 0 para achar Y máxima: 
 
8 – 2L = 0 
L = 4 
(quando L=4, Y é máxima!) 
 
Para descobrir a produção (Y) máxima, basta substituir L=4 na 
função de produção (YMÁX=8.4 –42  YMÁX=16). 
 
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A 
X 
Y 
2 
Fig. 1 
1 
Inclinação da reta = tg θ 
0 
B 
4 
3 
Δx 
Δy 
θ 
C 
θ 
 
2.3. A derivada como inclinação da função 
 
 Imagine, apenas como exemplo, o gráfico de uma função simples: 
f(x) = x + 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando x=1, y=2 (ponto A). Quando x=3, y=4 (ponto B). Como a 
função é de primeiro grau (o expoente da variável x é 1), teremos uma reta 
representando a função. Assim, precisamos apenas de dois pontos para 
traçá-la. Traçada a reta, o nosso foco volta-se a entender o que determina 
a inclinação desta reta. 
 
Em primeiro lugar, como temos uma reta, a inclinação é constante, 
ou seja, é a mesma em qualquer lugar da reta. Veja que o ângulo θ, que 
mede a inclinação da reta, é o mesmo em A, em B ou em C. Este ângulo é 
determinado pela sua tangente, que tem o valor numérico representado 
pela divisão do cateto oposto pelo cateto adjacente (Δy/Δx). Do ponto A ao 
B, a tangente de θ, que é quem determina a inclinação da nossa função, é 
igual a: 
 
tg θ= cat oposto/cat adjacente= Δy/Δx = (4-2)/(3-1) = 2/2 = 1 
 
Assim, dizemos que a inclinação da reta é 1. Mas, observe que a 
expressão Δy/Δx representa genericamente a inclinação em qualquer ponto 
da reta. Dizemos, portanto, que a inclinação da função é dada por Δy/Δx. 
 
Ora, mas você já viu esta expressão em algum lugar, não? 
 
Δy/Δx é a derivada da função y em relação à variável x. Assim, a 
inclinação da reta da função será dada Δy/Δx = dy/dx. 
 
Pois bem, vamos derivar a função, para calcularmos a inclinação 
usando a derivada: 
 
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(L) 
 
(Y) 
Fig. 2 
0 
A 
 ΔL1 
 ΔL2 
 ΔL3 
ΔY1 
ΔY2 
ΔY3 
1 
2 
3 
Reta 1´ 
Reta 2´ 
Reta 3´ 
dy/dx = 1.x1-1 + 0 = 1.x0 = 1 
 
Vemos claramente que atingimos o mesmo valor calculado pelo 
método da tangente. Logo, podemos concluir que a inclinação da reta/curva 
de uma função é dada pela sua derivada. 
 
Quando temos uma função representada por uma curva, em vez de 
uma reta, o raciocínio é o mesmo. A única diferença que a inclinação de 
uma curva não é constante, ela varia, dependendo do ponto em que 
estamos na curva. Veja o gráfico de uma função de produção (Y) típica em 
função do número de trabalhadores (L), representada abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Primeiramente, veja que agora não temos mais uma reta e, sim, uma 
curva. Quando temos uma curva, ao contrário do que ocorre em uma reta, 
a inclinação varia ao longo da curva. A inclinação, em qualquer ponto da 
curva, será dada pela inclinação da reta que é tangente à curva naquele 
ponto. Por exemplo, no ponto 1, a inclinação da curva é igual à inclinação 
da reta 1´, que é exatamente a reta que é tangente à curva no ponto 1. 
No ponto 2, a inclinação da curva é igual à inclinação da reta 2´. No ponto 
3, a inclinação da curva é igual à inclinação da reta 3´. A inclinação dessas 
retas, por sua vez, é dada pelo valor da sua tangente (ΔY/ΔL), exatamente 
como mostrado na figura 1. Assim, da mesma forma que ocorre na reta, a 
inclinação de qualquer curva também é dada pela derivada. A diferença é 
que a inclinação da curva não será constante. Na figura 2, é possível 
perceber que a inclinação decresce com o aumento de L. No ponto 1, o 
valor da inclinação é alta, pois temos um ΔY bem maior que o ΔL. Já no 
ponto 3, o valor da inclinação é baixa, pois um ΔY bem menor em relação 
ao ΔL. 
 
Conforme já dissemos, a grande diferença entre a reta e a curva é 
que, no caso da função reta, a derivada (inclinação) é uma constante, já 
no caso da curva, a derivada (inclinação) varia. No gráfico acima, a 
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inclinação é dada por ΔY/ΔL, que é o mesmo que dY/dL, que, por sua vez, 
é o nosso PmgL. Note que, no ponto A, a inclinação da curva é 0 (ΔY será 
igual a 0). Como a inclinação é 0 neste ponto, a derivada também será 
igual a 0. Como dY/dX=0, é exatamente naquele ponto onde temos o valor 
máximo da função (Y máximo), o que corrobora o que já vimos no item 
2.2. 
 
Assim, você consegue perceber, graficamente, porque quando 
derivamos uma função e igualamos a sua derivada a 0, obtemos o valor 
máximo da função. Esta afirmação é plenamente condizente com o gráfico 
apresentado na figura 02. 
 
Desta forma, podemos concluir que se construirmos, no gráfico, a 
curva da função de produção (Y) em relação ao número de 
trabalhadores (L), a inclinação dessa curva será dada por dY/dL, 
que é o produto marginal da mão-de-obra (PmgL). 
 
De maneira análoga, se construirmos, no gráfico, a curva da função 
de produção (Y) em relação à quantidade de capital (K), a 
inclinação dessa curva será dada por dY/dK, que é o produto 
marginal do capital (PmgK). 
 
....... 
 
Passadas essas noções básicas da função de produção clássica e de 
derivadas, podemos, finalmente, começar a falar do modelo de Solow. 
 
 
3. MODELO DE SOLOW 
 
Ao contrário do que muitos pessimistas de plantão anunciam, o 
padrão de vida vem melhorando muito nos últimos anos e décadas, e isso 
não se deve ao governo A ou ao governo B (quando faloem padrão de vida, 
refiro-me à riqueza “material”). Isto é um fenômeno mundial, que ocorre 
permanentemente em todos os países, independentemente dos governos. 
 
Lembro-me bem de que quando eu era criança, na década de 80. 
Famílias que tinham mais de 02 televisões em casa eram consideradas 
famílias de alta renda. Nem todas as famílias possuíam linha telefônica, 
pois era um “bem” extremamente caro. No início da década de 90, 
pouquíssimos podiam se dar ao luxo de comprar e manter o alto custo de 
um telefone celular. Hoje em dia, todos esses bens que eu citei são bastante 
comuns. Mesmo famílias de baixa renda possuem várias televisões em 
casa, celulares, e automóvel zero km financiado em zilhões de prestações. 
Assim, é possível perceber que, do ponto de vista material, o padrão de 
vida está em constante melhora. 
 
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Essa melhora do padrão de vida decorre de rendas cada vez maiores, 
que têm permitido às pessoas consumir mais bens e serviços. Para medir 
esse progresso no padrão de vida, os economistas utilizam os dados do 
produto interno bruto (PIB), o qual também significa o total de renda das 
pessoas de um país. 
 
De 1947 a 2009, o PIB per capita3 (PIB ou renda por pessoa) do 
Brasil, em termos reais (ou seja, já descontada a variação dos preços), foi 
quase quintuplicado. Ou seja, houve grande variação da renda ao longo do 
tempo. Se compararmos as rendas entre os diversos países no mesmo 
instante temporal, também haverá enormes disparidades. Por exemplo, a 
renda per capita do Brasil, em 2004, era quase dez vezes maior que a renda 
per capita da Nigéria, e quase 5 vezes menor que a renda per capita dos 
EUA. 
 
Como se vê, podemos notar que há grandes diferenças entre as 
rendas de um mesmo país ao longo do tempo e também há grandes 
disparidades entre as rendas quando se comparam países diferentes. Mas, 
o que será que causa essas diferenças? 
 
O economista Robert Solow4 desenvolveu uma teoria para explicar o 
crescimento econômico de longo prazo e nos ajudar a compreender aquilo 
que causa essas diferenças na renda de um mesmo país ao longo do tempo 
e entre os países. O modelo de Solow nos mostra como a poupança, o 
crescimento populacional e o progresso tecnológico afetam o nível de 
produção/renda de uma economia, e o seu crescimento ao longo do tempo. 
 
Nossa abordagem do modelo dar-se-á por partes. Primeiro, nós 
veremos como a poupança determina a acumulação de capital na 
economia. Nesta parte, será pressuposto que a quantidade de 
trabalhadores (força de trabalho) e a tecnologia são constantes. Segundo, 
nós introduziremos o crescimento populacional, considerando a tecnologia 
fixa. Por último, introduziremos a tecnologia no modelo. 
 
 
 
3.1. A função de produção por trabalhador 
 
Começaremos nossa análise a partir da função de produção Cobb-
Douglas. No modelo de Solow, não é importante avaliarmos ou sabermos 
o tamanho da economia, mas tão somente a questão do quanto ela cresce. 
Por isso, é mais conveniente trabalharmos com a produção por trabalhador, 
 
3 PIB per capita é o mesmo que renda per capita. 
4 Robert Solow foi um economista da linha de pensamento Keynesiano, mas que desenvolveu um 
modelo de cunho clássico para explicar o crescimento econômico. O modelo de Solow foi 
desenvolvido na década de 1950 e valeu o prêmio Nobel de Economia para Solow em 1987. 
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Produção por 
trabalhador, y 
Fig. 3 
0 
 Δk=1 
Δy 
Δy 
Capital por 
trabalhador, k 
 Δk=1 
Produção, f(k), y 
A inclinação da função de 
produção, em qualquer ponto, 
corresponde ao Pmgk (Δy/Δk). 
em vez da produção total. Para que isso seja possível, nós dividimos a 
função de produção por L: 
 
Y/L = F(K/L, L/L) 
 
Y/L = F(K/L, 1) 
 
No modelo de Solow, é pressuposto que a produção apresenta 
retornos constantes de escala. Desta forma, ao dividirmos os fatores de 
produção (K e L) por L, temos a certeza que a produção resultante será Y 
dividido por L. É a suposição da existência de retornos constantes que nos 
dá essa garantia. 
 
Para tornar o nosso trabalho mais prático, em vez de, a todo o 
momento, ficarmos escrevendo Y/L ou K/L, faremos y=Y/L e k=K/L, de tal 
forma que y (letra minúscula) corresponde à produção por trabalhador e k 
(letra minúscula) corresponde ao capital por trabalhador. O número 1 
(resultante da divisão de L por L) é uma constante e pode ser ignorado. 
Assim, podemos reescrever a função de produção por trabalhador, que será 
utilizado no nosso modelo: 
 
y = f(k) 
 
Esta função de produção nos informa que a produção por trabalhador 
é função do estoque de capital por trabalhador. Se traçarmos um gráfico 
de y em função de k, teremos algo como representado na figura 03: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe na figura 03 que, à medida que a quantidade de capital por 
trabalhador aumenta, a função de produção fica cada vez menos inclinada. 
A inclinação da função é dada pela sua derivada (Δy/Δk=dy/dk). A 
derivada, por sua vez, é igual ao produto marginal do capital. Como a 
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inclinação vai diminuindo, podemos concluir que a produtividade 
marginal do capital é decrescente5. 
 
Quando k é baixo, o trabalhador possui pouca quantidade de capital 
com que trabalhar. Neste caso, uma unidade adicional de capital fará com 
que a produção aumente bastante. Ou seja, quando o nível de k é baixo, o 
Pmgk (=inclinação da função de produção) é alto. Quando o k é alto, o 
trabalhador possui grande quantidade de capital com que trabalhar. Neste 
caso, uma unidade adicional de capital não fará muita diferença, de modo 
que esta unidade adicional faz a produção aumentar bem mais 
discretamente. Ou seja, quando o nível de k é alto, o Pmgk é baixo. 
 
 
3.2. O papel da poupança na acumulação de capital 
 
A partir do estudo das Contas Nacionais, nós sabemos que a produção 
da economia é 
 
Y = C + I + G + X – M 
 
Se dividirmos tudo por L, de forma a termos todos esses agregados 
por trabalhador e, adicionalmente, considerarmos uma economia fechada 
(sem os agregados X e M) e sem governo (sem o agregado G), teremos 
 
y = c + i (1) 
 
A expressão (1) mostra que a produção por trabalhador, y, é dividida 
entre consumo por trabalhador, c, e investimento por trabalhador, i. 
 
Suponha que as pessoas poupem uma fração s de sua renda. Essa 
fração s significa um montante percentual. Por exemplo, se os 
consumidores de determinado país poupam 30% de suas rendas, então, a 
fração s será igual a 0,3. Ao mesmo tempo, se os consumidores poupam a 
fração s de suas rendas, então, eles consomem uma fração (1 – s). Por 
exemplo, se os consumidores poupam 30% de suas rendas (s=0,3), então, 
eles consomem 70% de suas rendas (1 – s => 1 – 0,3 => 0,7). Podemos, 
então, expressar a função consumo da seguinte maneira: 
 
c = (1 – s)y (2) 
 
Se substituirmos essa função consumo na expressão (1), teremos o 
seguinte: 
 
 
5 Existe até uma lei que afirma isso. É a lei ou hipótese dos rendimentos marginais 
decrescentes, segundo a qual, à medida que se aumenta o uso de um fator de produção, a 
sua produtividade decresce. 
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Investimento(+) 
Depreciação (–) 
y = (1 – s)y + i 
y = y – sy + i 
 
i = sy (3) 
 
A expressão (3) nos mostra que o investimento é igual à fração da 
renda que é poupada. Por exemplo, se os consumidores poupam 30% de 
suas rendas (s=0,3), é exatamente esses 30% da renda (sy=0,3y) que 
representarão o montante de investimento. Ou seja, a expressão mostra 
que a poupança é igual ao investimento e a taxa de poupança, s, é também 
a fração da produção/renda destinada ao investimento. 
 
Assim, podemos entender, em última análise, que a taxa de 
poupança, s, determinada a distribuição da produção entre o consumo e o 
investimento e, por conseguinte, determina também a acumulação de 
capital, já que investir significa acumular capital. Quanto maior a poupança, 
maior será a acumulação de capital (maior o investimento) e menor o 
consumo. 
 
 
 
3.3. Crescimento do estoque de capital e o estado estacionário 
 
No último tópico, já vimos que a poupança determina o investimento 
e este, por sua vez, influencia diretamente a acumulação de capital. Neste 
tópico, nós veremos detalhadamente a questão do estoque de capital (k). 
Afinal, a produção por trabalhador depende do capital por trabalhador 
[lembre que y=f(k)]. Logo, é fundamental entendermos o que influencia o 
capital (k). 
 
Considerando que a quantidade de trabalhadores e a tecnologia são 
constantes, o estoque de capital é influenciado basicamente por duas 
variáveis: o investimento e a depreciação. 
 
 
 
Estoque de capital p/ trabalhador 
 
 
 
 
 Investimento significa gasto com a aquisição de estoque de capital, 
logo, ele faz com que o estoque de capital cresça. Depreciação significa o 
desgaste do estoque de capital, fazendo-o diminuir de valor. Logo, ela faz 
com que o estoque seja reduzido. 
 
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Produção por 
trabalhador, y 
Fig. 4 
0 
Capital por 
trabalhador, k 
 Consumo por 
trabalhador, c 
Produção, f(k), y 
Produção por 
trabalhador, y 
Investimento, i, sf(k) 
k 
Investimento por 
trabalhador, i 
 O investimento por trabalhador, i, é igual a sy. Se substituirmos y 
por f(k), tendo vista que y=f(k), chegaremos a i=s.f(k). Desta forma, 
podemos representar o investimento no mesmo diagrama exposto na figura 
03. Na figura 04, abaixo, podemos visualizar a curva do investimento por 
trabalhador, i: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A curva mais clara mostra a curva do investimento em função do 
capital por trabalhador. A taxa de poupança, s, determina a distribuição da 
produção entre consumo e investimento. A distância entre o eixo horizontal 
e a curva do investimento mostra o montante do investimento por 
trabalhador, que é i=s.f(k). A distância entre o eixo horizontal e a curva da 
produção (curva mais escura) representa a produção por trabalhador, 
y=f(k). A parte da produção que não é poupada e, por conseguinte, não 
vira investimento é destinada ao consumo. Assim, a diferença entre curva 
da produção e a curva do investimento representa o consumo por 
trabalhador, c. Todos estes dados estão representados graficamente na 
figura 04. 
 
 Ainda falta incorporar a depreciação ao modelo, afinal, nós já vimos 
que ela altera o estoque de capital, reduzindo-o. Para incorporá-la ao 
modelo, pressupomos que uma fração δ do estoque de capital se desgasta 
a todo ano. Nesse caso, δ (delta) é a taxa de depreciação. Essa é uma taxa 
percentual e se refere ao desgaste do estoque de capital no período de 01 
ano. Por exemplo, suponha que o capital dure, em média, 10 anos. A taxa 
de depreciação, nesse caso, corresponde a 10% ao ano (δ=0,1). O 
montante de capital por trabalhador que se deprecia a cada ano 
corresponde à taxa de depreciação, δ, multiplicada pelo capital por 
trabalhador, k. Ou seja, o valor total da depreciação anual p/ trabalhador 
corresponde a δk. Graficamente, a depreciação será uma reta que mostra 
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Depreciação por 
trabalhador, δk Fig. 5 
0 
Capital por 
trabalhador, k 
 A inclinação da função de 
depreciação é igual a δ. 
Depreciação, δk 
que, quanto maior o capital por trabalhador, k, maior será o montante da 
depreciação, δk. A inclinação6 dessa reta será igual a δ. Veja na figura 05: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quando o capital por trabalhador, k, é 0, a depreciação, δk, também 
será igual a 0. Quando o estoque de capital vai aumentando, o montante 
de depreciação também aumenta. Quando maior for a taxa de depreciação, 
δ, maior será o montante de depreciação por trabalhador decorrente do 
aumento do estoque de capital por trabalhador. 
 
Nota  não confunda a taxa de depreciação, δ, com a depreciação, que é 
igual à taxa multiplicada pelo estoque de capital, δk. 
 
 Conforme foi comentado, o estoque de capital é influenciado 
positivamente pelo investimento e negativamente pela depreciação. Assim, 
podemos expressar a variação no estoque de capital (Δk) da seguinte 
forma: 
 
Δk = i – δk 
 
 Onde Δk é a variação no estoque de capital. Veja que, havendo 
investimento, o capital varia positivamente. Havendo depreciação, o 
estoque de capital diminui (varia negativamente). Como i=sy, e y=f(k), 
podemos reescrever a expressão: 
 
Δk = s.f(k) – δ.k 
 
 
6 A função de depreciação é igual δk. Sua inclinação será igual a sua derivada em função de k. Fazendo 
então d(δk)/dk, chegamos à conclusão que a inclinação será igual a δ. Ou seja, a inclinação da função 
de depreciação (δk) é a taxa de depreciação (δ). 
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Estado estacionário, onde o 
estoque de capital não varia 
(Δk=0). 
 Se pensarmos que a economia se equilibra7 quando não temos 
variação no estoque de capital (Δk=0), podemos desenvolver a expressão 
acima a fim de determinar o nível de capital em que a produção da 
economia se equilibra e não tende a mudar. 
 
Δk=0 
0 = sf(k) – δk 
 
sf(k) = δk 
 
 
Ou seja, a produção da economia se equilibra e não tende a mudar 
em um determinado nível de capital (k*) em que o montante de 
investimento por trabalhador [i=sf(k)] é igual ao montante de depreciação 
por trabalhador (δk). Se a economia estiver neste determinado nível de 
estoque de capital, o estoque de capital não variará (Δk=0). Uma vez que 
o investimento, que faz aumentar o k, e a depreciação, que faz diminuir o 
k, são iguais, a variação de k será igual a 0. 
 
 Este nível de capital (k*) em que investimento é igual à depreciação 
(e Δk=0) é chamado de nível de capital no estado estacionário. Como o 
próprio nome sugere, o estado estacionário significa uma situação de 
equilíbrio da economia, em que esta permanece “estacionada”. Qualquer 
economia, independentemente do estoque de capital p/ trabalhador que 
possua, tenderá ao nível de capital de estado estacionário e, uma vez 
atingido o estado estacionário, a economia nele permanecerá. Ou seja, a 
economia, com o passar do tempo, se ajusta automaticamente para o 
estado estacionário. Daí, podemos concluir que o estado estacionário 
representa o equilíbrio de longo prazo da economia. 
 
 Graficamente, o nível de capital do estado estacionário (k*) é aquele 
em que a curva do investimento intercepta a reta da depreciação. Neste 
ponto, investimento=depreciação e, consequentemente, Δk=0. Tal 
situação pode ser visualizada na figura 06: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 O equilíbrio da economia pressupõe uma situação em quea produção não muda. Como a produção 
é função do estoque de capital [y=f(k)], então, se o capital não varia (Δk=0), consequentemente, a 
economia estará em equilíbrio. 
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Investimento e 
depreciação 
Fig. 6 
0 
Capital por 
trabalhador, k 
O capital diminui porque a 
depreciação é maior que o 
investimento. 
Depreciação, δk 
Investimento, i, sf(k) 
k* 
O estoque de capital tende ao nível 
de capital por trabalhador no 
estado estacionário. 
k1 k2 
Estado estacionário: 
Investimento=poupança sf(k)=δk 
δk1 
δk2 
i1 
i2 
i*= δk* 
O capital aumenta porque o 
investimento é maior que a 
depreciação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos entender o ajustamento automático da economia em 
direção ao nível de capital no estado estacionário por meio da figura 6. 
 
Se a economia estiver com um nível de capital inferior ao nível de 
capital no estado estacionário, por exemplo, k1 na figura 06, isto significa 
que o investimento excede o montante de depreciação, pois a curva do 
investimento é superior à curva da depreciação para níveis de capital 
menores que k*. Neste caso, à medida que o capital cresce, a depreciação 
também cresce. Com o passar do tempo, o capital irá crescer até quando 
o investimento for exatamente à depreciação. 
 
Se a economia estiver com um nível de capital superior ao nível de 
capital no estado estacionário, por exemplo, k2, isto significa que a 
depreciação excede o investimento. Isto quer dizer que o capital se 
desgasta (se deprecia) mais rapidamente do que está sendo substituído. 
Neste caso, o estoque de capital diminuirá até o nível de capital 
estacionário, quando a depreciação iguala o investimento. 
 
Note que, no estado estacionário, todo o investimento para aumentar 
a produção é utilizado para repor o capital desgastado, de forma que o 
investimento não alterará os níveis produção e consumo, que permanecem 
constantes durante o estado estacionário. 
 
 
 
 
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Exemplo numérico do estado estacionário: 
 
Dada a função de produção da economia Y=K1/2.La, a taxa de 
poupança, s, igual a 0,4 e taxa de depreciação, δ, igual a 0,1; calcular os 
níveis de produto e capital por trabalhador no estado estacionário. 
 
Resolução: 
 
A função de produção desta economia é: Y=K1/2.L1/2. 
 
Ou seja, já descobrimos que o expoente “a” é igual a ½. Como 
sabemos disso? O modelo de Solow pressupõe retornos constantes de 
escala. Como essa situação ocorre quando a soma dos expoentes de K e L 
é igual a 1, então, se o expoente de K é ½, obrigatoriamente, o expoente 
de L também deve ser ½ para que a soma dos expoentes seja igual a 1. 
 
Conforme aprendemos, vamos dividir tudo por L, a fim de deixar 
todas as variáveis “por trabalhador”: 
 
𝑌
𝐿
=
𝐾
1
2. 𝐿
1
2
𝐿
 
 
𝑌
𝐿
= 𝐾1/2. 𝐿1/2. 𝐿−1 
 
𝑌
𝐿
= 𝐾1/2. 𝐿−1/2 
 
𝑌
𝐿
= (
𝐾
𝐿
)
1
2
 
 
 Como y=Y/L e k=K/L, podemos reescrever assim a equação: 
 
y=k1/2 
 
 Essa expressão afirma que a produção por trabalhador é igual à raiz 
quadrada do montante de capital por trabalhador (k1/2 é o mesmo que raiz 
quadrada de k). 
 
 No estado estacionário: 
 
s.f(k)=δ.k 
 
 Temos que: 
 
s = 0,4 
δ = 0,1 
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f(k) = y = k1/2 
 
 Substituindo os valores na expressão do estado estacionário, temos: 
 
0,4.k1/2 = 0,1.k 
0,4/0,1 = k/k1/2 
4 = k1–1/2 
k1/2 = 4 
k* = 16 
 
 Se k*=16, e y=k1/2, então, y*=4. 
 
 Resposta: No estado estacionário, o produto por trabalhador, y*, é 
igual a 4. O capital por trabalhador, k*, é igual a 16. 
 
 
 3.4. A poupança e o crescimento 
 
 No último tópico, nós vimos que a economia sempre tenderá 
automaticamente ao nível de capital do estado estacionário (onde o 
investimento iguala a depreciação e onde a produção é constante) e nele 
permanecerá. Mas, como será possível para o governo fazer o país crescer, 
de modo a aumentar o produto por trabalhador e, assim, melhorar o padrão 
de vida da população? 
 
 A resposta está na taxa de poupança. Considere o que acontece com 
uma economia quando a taxa de poupança aumenta. Se a taxa de 
poupança aumentar, o investimento também aumentará, pois o termo sf(k) 
estará maior, uma vez que houve aumento de s. 
 
 Graficamente, isto significa que a curva do investimento será 
“rotacionada” para cima, ficando mais inclinada. Veja na figura 07: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Investimento e 
depreciação 
Fig. 7 
0 
Capital por 
trabalhador, k 
δk 
s1f(k) 
k1* 
2º: A elevação da taxa de poupança e, por 
conseguinte, do nível de investimento faz 
com que o estoque cresça em direção a um 
novo estado estacionário. 
k2* 
1º: Um aumento da taxa de poupança 
de s1 para s2 eleva o investimento, 
rotacionando para cima a sua curva. 
s2f(k) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Após o aumento da taxa de poupança, de s1 para s2, a curva do 
investimento é rotacionada para cima, no sentido de aumento do 
investimento. O novo estado estacionário, onde o novo investimento iguala 
a depreciação ocorre em um nível de capital por trabalhador maior (k2*) 
que o nível antigo, onde a taxa de poupança era s1. 
 
 A explicação para esse aumento no nível de capital por trabalhador 
no estado estacionário é a seguinte: após o aumento da taxa de poupança, 
o investimento também aumenta, uma vez que investimento é igual 
poupança. Como o investimento aumenta, mas a depreciação se mantém 
constante, momentaneamente, o investimento excederá a depreciação 
fazendo o estoque de capital variar positivamente. Desta forma, o estoque 
de capital aumentará aos poucos, até que a economia alcance o novo 
estado estacionário, k2*, que tem estoque de capital superior ao do antigo 
estado estacionário. 
 
 Diante do que foi apresentado, o que podemos concluir sobre a 
relação entre poupança e crescimento econômico? Uma poupança maior 
provoca um crescimento do capital e, por conseguinte, do produto por 
trabalhador (o produto, y, é função do capital, k, então, se este aumenta, 
o produto por trabalhador também aumenta), mas tal crescimento é 
momentâneo. Ele dura apenas até a economia atingir o novo estado 
estacionário. Ou seja, uma taxa de poupança mais alta faz aumentar 
o nível da renda per capita (ou produto/renda por trabalhador), 
mas não influencia a sua taxa de crescimento no longo prazo. 
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Desta forma, podemos entender que se a taxa de poupança for alta, 
a economia terá um grande estoque de capital e um nível de produção 
elevado, no estado estacionário. Se a taxa de poupança for baixa, a 
economia terá um pequeno estoque de capital e um nível de produção 
reduzido no estado estacionário. Conforme se vê, taxas de poupança mais 
elevadas não significam crescimento sustentado, uma vez que a economia 
cresce, mas apenas até atingir o novo estado estacionário, onde nele 
permanecerá. 
 
 Essa conclusão ajuda a entender por que muitos economistas 
condenam o excesso de gastos públicos. Se o governo gasta demais, ele 
reduz a poupança nacional de tal forma que o investimentoserá menor. 
Nesse sentido, os déficits orçamentários e a consequente redução da taxa 
de poupança têm um efeito negativo no longo prazo: estoque de capital e 
renda (ou produção) per capita mais baixos. 
 
 Por fim, é possível entender por que há tantas diferenças nas rendas 
per capita entre as nações. Países que poupam e investem uma elevada 
fração de sua produção são mais ricos do que os países que poupam e 
investem uma fração mais baixa. 
 
 
3.5. A REGRA DE OURO 
 
No último tópico, nós vimos que quanto maior a taxa de poupança, 
maior será o nível de capital e de renda no estado estacionário. Essa 
conclusão pode nos levar a pensar que taxas de poupança mais elevadas 
significam sempre maior satisfação. No entanto, isso não é (inteiramente) 
correto. Imagine que um país tenha uma taxa de poupança de 100%. No 
longo prazo, essa taxa de poupança resulta em maior estoque de capital e 
renda possíveis. Entretanto, qual a graça de se poupar 100% da sua renda 
e não consumir qualquer coisa? 
 
Em economia, o bem-estar está intimamente relacionado ao 
consumo. Quanto mais se consome, mais satisfação os indivíduos têm. 
Assim, é perfeitamente claro que uma taxa de poupança de 100% não traz 
o máximo de bem-estar para a sociedade. Na verdade, do ponto de vista 
prático, as pessoas estão pouco ligando para o valor do estoque de capital 
da economia! Elas querem é bem-estar! Ou seja, as pessoas se preocupam 
com a quantidade de bens e serviços que podem consumir. 
 
Supondo que o governo tenha a capacidade de fixar a taxa de 
poupança no nível que ele quiser, ele procurará fixá-la de tal forma que o 
bem-estar das pessoas seja maximizado. Ou seja, o governo procurará 
fixar a taxa de poupança que leve ao estado estacionário em que o 
consumo das pessoas seja maximizado. O valor de k* nesta 
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situação em que o consumo é maximizado é chamado de nível de 
capital da Regra de Ouro (kouro*). 
 
Uma vez que definimos o conceito da Regra de Ouro, torna-se 
necessário traduzir algébrica e graficamente tal situação. Nós sabemos que 
a produção por trabalhador vai para o consumo ou para o investimento 
(considerando a economia fechada e sem governo): 
 
y = c + i 
 
Isolando o consumo: 
 
c = y – i 
 
A Regra de Ouro é uma situação tal em que a economia está em um 
estado estacionário, então coloquemos os asteriscos nas variáveis para 
deixar claro que estamos tratando de situações em estado estacionário: 
 
c* = y* - i* 
 
Sabemos que a produção por trabalhador no estado estacionário, y*, 
é igual f(k*), em que k* corresponde ao estoque de capital no estado 
estacionário. Assim, 
 
c* = f(k*) – i* 
 
Como estamos em um estado estacionário, onde o investimento é 
igual à depreciação, sabemos que i*=δk*. Então, 
 
c* = f(k*) – δk* 
 
A equação nos diz que o consumo no estado estacionário será a 
produção menos a depreciação, ambas no estado estacionário. 
Graficamente, então, podemos deduzir que o consumo, em estado 
estacionário, será a diferença entre a curva de produção por trabalhador e 
a curva da depreciação. O nível de capital em que essa diferença entre as 
curvas seja a maior possível (maior consumo possível) representará o 
nosso estoque de capital da regra de ouro. 
 
Na figura 08, vemos que existe um nível de capital (k*ouro) em estado 
estacionário que maximiza o consumo. Neste nível de capital, note que a 
inclinação da curva de produção é exatamente igual à inclinação da curva 
de depreciação. 
 
 
 
 
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Produto e depreciação no 
estado estacionário 
Fig. 8 
0 
Capital por trabalhador no estado 
estacionário, k* 
δk*, depreciação e investimento 
(i*=δk*) no estado estacionário 
k*ouro 
Consumo máximo, onde a distância entre a 
curva de produção e a curva de depreciação é 
a maior possível. 
Quando o consumo é máximo, 
a inclinação da produção, 
f(k*), é igual à inclinação da 
depreciação, δk*. 
f(k*), produto no estado 
estacionário 
c*ouro 
Nível de capital da regra de ouro, onde o 
consumo é maximizado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se o estoque de capital em estado estacionário é menor que o do 
nível da Regra de Ouro (nível de k* está entre 0 e kouro*), então, um 
aumento no estoque de capital faz crescer o produto mais do que a 
depreciação (que é igual ao investimento), de modo que o consumo 
aumenta. Nessa situação, a inclinação da função de produção em estado 
estacionário é maior que a inclinação da reta δk* e o aumento do capital 
faz aumentar a distância entre essas duas curvas, que é igual ao consumo. 
 
 Se o estoque de capital em estado estacionário é maior que o do nível 
da Regra de Ouro (nível de k* é maior que kouro*), então, um aumento no 
estoque de capital faz crescer o produto menos do que a depreciação (que 
é igual ao investimento), de modo que o diminui. Nessa situação, a 
inclinação da função de produção em estado estacionário é menor que a 
inclinação da reta δk* e o aumento do capital faz diminuir a distância entre 
essas duas curvas. 
 
 Bem, graficamente já vimos de modo claro o nível de capital da Regra 
de Ouro. Agora, necessitamos expressar a regra algebricamente, pois isso 
é o mais importante para concursos. No nível de capital da Regra de Ouro, 
a inclinação da produção e da reta δk* são iguais. Uma vez que a inclinação 
da função de produção é dada pelo Pmgk (ver o porquê na figura 03) e a 
inclinação8 da reta δk* é igual a δ, a Regra de Ouro será descrita pela(s) 
equação(ões): 
 
 
8 A inclinação da reta δk* é igual à sua derivada em relação a k*. Como d(δk*)/k* é igual δ, então, sua 
inclinação será igual a δ. 
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REGRA DE OURO 
Produto e depreciação no 
estado estacionário 
Fig. 9 
0 
Capital por trabalhador no estado 
estacionário, k* 
δk* 
k*ouro 
Nível exato de taxa de poupança que faz com que a economia 
tenda ao estado estacionário da Regra de Ouro, onde o 
consumo é máximo. 
f(k*) 
c*ouro s*ourof(k*) 
 
 
Pmgk = δ 
 
Ou, 
 
Pmgk – δ = 0 
 
 
 No nível de capital da Regra de Ouro, considerando 
crescimento populacional e progresso tecnológico constantes, o 
produto marginal do capital é igual à taxa de depreciação. Ou, em 
outras palavras, o acréscimo de produção (que é o Pmgk) é 
totalmente utilizado para repor a depreciação desse estoque de 
capital. Ainda podemos dizer que o produto marginal líquido do capital 
(Pmgk menos a depreciação) é nulo. 
 
 Por fim, antes de partirmos para o exemplo numérico, é importante 
que você tenha em mente que a economia tende automaticamente a um 
estado estacionário qualquer, mas ela NÃO tende automaticamente ao 
estado estacionário DA REGRA DE OURO. Se o governo deseja o estoque 
de capital estacionário da Regra de Ouro, ele precisa de uma taxa de 
poupança específica para alcançá-lo. Na figura 09, temos um estado 
estacionário da Regra de Ouro. Observe que, para isso acontecer, existe 
uma taxa de poupança exata. Se a taxa for mais alta, o estoque de capital 
será maior que o da Regra de Ouro. Se a taxa for mais baixa, o estoque 
será menor. Em ambos os casos, o consumo do estado estacionário será 
menor que o consumo do estado estacionário da Regra de Ouro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Maneira alternativa de encontrar a expressão da Regra de Ouro 
 
Nós sabemos que o consumo da Regra de Ouro é igual à produção 
menos a depreciação, tudo em estado estacionário: 
 
c* = f(k*) – δk* 
 
Para sabermos qual será o nível de capital de estado estacionário (k*) 
que nos dá o consumo máximo, basta derivar c* em relação a k* e 
igualar a derivada encontrada a 0: 
 
d(c*)/dk* = d[f(k*)]/dk* - d(δk*)/k* 
 
A derivada da função de produção [f(k*)] em relação a k* é igual ao 
produto marginal do capital (Pmgk). A derivada de δk* em relação a k* 
é igual a δ. Assim, 
 
d(c*)/dk* = Pmgk – δ 
 
Teremos c* máximo quando a sua derivada é igual a 0, então: 
 
0 = Pmgk – δ 
Pmgk = δ 
 
 
 
Exemplo numérico do estado estacionário da Regra de Ouro: 
 
Como exemplo numérico, vamos resolver a questão de Modelo de 
Solow que foi cobrada pela ESAF em um concurso de auditor da Receita 
Federal: 
 
(AFRFB – ESAF – 2009) - Considere o Modelo de Solow dado 
pelas seguintes equações e informações: 
y = k0,5 
δ = 0,05 
onde: 
y = produto por trabalhador; 
k = estoque de capital por trabalhador; 
δ = taxa de depreciação. 
Supondo a taxa de crescimento populacional igual a zero, a 
taxa ótima de poupança dada pela “regra de ouro” gera um 
nível ótimo de investimento por trabalhador igual a: 
a) 5,0 
b) 2,5 
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c) 10,0 
d) 25,0 
e) 1,5 
 
 Resolução: 
 
 Em primeiro lugar, observe que, ao contrário do exemplo numérico 
do estado estacionário, a função de produção dada pelo problema já está 
“pronta” para ser utilizada, uma vez que a função já apresenta as variáveis 
“por trabalhador”. Vamos aos cálculos: 
 
y = 𝑘0,5 
y = 𝑘1/2= √𝑘 
 
Foi informado que estamos no nível de poupança da regra de ouro 
(consumo máximo por trabalhador). Na regra de ouro, sem crescimento 
populacional e sem progresso tecnológico, temos: 
 
PmgK = δ 
 
Uma vez que δ=0,05, temos: 
 
PmgK = 0,05 (1) 
 
Para acharmos o produto marginal do capital, devemos derivar a função de 
produção na variável k: 
 
𝑃𝑚𝑔𝑘 =
𝑑𝑦
𝑑𝑘
= 0,5. 𝑘−0,5 = 
1
2.√𝑘
 
 
Substituindo Pmgk em (1) temos: 
 
1
2.√𝑘
= 0,05  k = 100  se k=100, y=10 
 
O nível da Regra de ouro é o estado estacionário onde o consumo per capita 
é máximo. Como é um estado estacionário, então o estoque de capital por 
trabalhador não varia (Δk=0), de forma que i=δk: 
 
Δk = i – δ.k 
0 = i – δ.k 
i = δk 
i = 0,05.100 
i = 5 
 
Gabarito: A 
 
 
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Investimento (+) 
Depreciação (–) 
Crescimento 
populacional (–) 
3.6. O CRESCIMENTO POPULACIONAL 
 
 Até agora, nós vimos que a acumulação de capital (investimento) 
por meio da poupança ainda não explica o crescimento econômico 
sustentável no longo prazo. Altas taxas de poupança acarretam um 
crescimento temporário até o próximo estado estacionário. 
 
 A fim de tornarmos nossa análise mais factível, a partir de agora, 
vamos pressupor que há crescimento populacional. Assim, em vez de 
pressupor que a população seja fixa, como fizemos até o momento, vamos 
adotar a premissa que a população e a força de trabalho9 crescem a uma 
taxa constante, n. Essa taxa, assim como a taxa de depreciação, é em 
valores percentuais e se refere ao período de 01 ano. Por exemplo, se a 
população do Brasil cresce cerca de 1% ao ano, n será igual a 0,01. 
 
 A principal implicação de considerarmos o crescimento populacional 
em nosso modelo se refere às forças que influenciam o estoque de capital 
por trabalhador. No item 3.3, nós vimos que o estoque de capital por 
trabalhador era influenciado pelo investimento (+) e pela depreciação (-). 
Pois bem, se o número de trabalhadores cresce, é natural que o capital por 
trabalhador diminua, afinal k=K/L. Se L aumenta, k (letra minúscula) 
diminui. Ou seja, o crescimento populacional faz com que haja menos 
capital para ser distribuído para cada trabalhador. 
 
 Assim, o estoque de capital por trabalhador sofrerá a influência de 
três forças em vez de duas: 
 
 
 
Estoque de capital p/ trabalhador 
 
 
 
 
 Desta forma, a variação no estoque de capital por trabalhador será: 
 
Δk = i – (δ + n).k 
 
Agora, não só a depreciação faz diminuir o k, mas também a taxa de 
crescimento populacional, n. Quanto mais a população cresce, mais 
negativa será a variação do estoque de capital por trabalhador (nos tens 
3.1 a 3.6, presumimos que n=0). 
 
 
9 Para fins didáticos, consideramos que aumento da população significa o mesmo que 
aumento da quantidade de trabalhadores ou aumento da força de trabalho. 
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Investimento, e reta (δ+n)k 
que é igual ao investimento de 
equilíbrio 
Fig. 10 
0 
Capital por 
trabalhador, k 
(δ+n)k, investimento de equilíbrio 
k* 
Estado estacionário, onde i=(δ+n)k 
Investimento, i, sf(k) 
 No estado estacionário, o capital não varia de modo que Δk=0. Assim, 
considerando um crescimento populacional de n, o estado 
estacionário ocorre quando 
 
0 = i – (δ + n)k 
i = (δ + n)k 
 
 Este nível de investimento é chamado de investimento de equilíbrio, 
e significa a quantidade de investimento para manter constante o estoque 
de capital por trabalhador. O investimento de equilíbrio inclui a depreciação 
do capital (δk) e o montante de investimento necessário para proporcionar 
capital aos novos trabalhadores (nk). Assim, podemos entender que, no 
estado estacionário, o efeito positivo do investimento sobre o estoque de 
capital por trabalhador equilibra exatamente os efeitos negativos da 
depreciação e do crescimento populacional. 
 
 Do ponto de vista gráfico, a diferença é que não teremos mais a reta 
δk que diminui o capital. Agora, temos a reta (δ+n)k em vez de somente 
δk, uma vez que não somente a depreciação, δ, mas também o crescimento 
populacional, n, faz diminuir o estoque de capital por trabalhador. 
 
Essa reta (δ+n)k é chamada de reta do investimento de equilíbrio, 
uma vez que (δ+n)k é igual ao investimento de equilíbrio. A inclinação 
dessa reta será igual a (δ+n). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A inclusão do crescimento populacional nos dá alguns “insights” mais 
significativos acerca do crescimento econômico sustentável. 
 
 
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 I  O crescimento populacional explica em parte o 
crescimento do total da produção: 
 
No estado estacionário com crescimento populacional, o capital por 
trabalhador e também a produção por trabalhador são constantes. No 
entanto, sabemos que o número de trabalhadores cresce a uma taxa n. 
Ora, se L cresce a uma taxa n, se y é constante e, ao mesmo tempo, y=Y/L, 
então, Y também deve crescer a uma taxa n para que y seja constante. 
 
Assim, o total da produção também deve crescer a uma taxa n, para 
que a produção por trabalhador seja constantes. Assim, o crescimento 
populacional nos ajuda a explicar o crescimento sustentável no 
total da produção. Se a população cresce a uma taxa n, então, o 
total da produção também cresce a uma taxa n. 
 
Nota  muita atenção, pois estamos falando que o crescimento 
populacional explica o crescimento sustentável do total da produção, e não 
o crescimento do padrão de vida (que é medido pela produção por 
trabalhador). No estado estacionáriocom crescimento populacional, o 
padrão de vida do trabalhador (renda ou produção por trabalhador) é 
constante, não muda. Apenas o total da produção é que muda, pois ela 
cresce a uma taxa n. 
 
 
 II  O aumento do crescimento populacional faz diminuir a 
renda per capita: 
 
O crescimento populacional explica em parte a diferença de renda 
entre os países. Se o crescimento populacional de um país aumenta (se n 
aumenta), a reta de investimento de equilíbrio será rotacionada para cima, 
ficando mais inclinada. Isso acontece porque sua inclinação é dada por 
(δ+n). Então, se n aumenta, a inclinação da reta também aumenta. Veja 
os efeitos na figura 11, onde n aumenta de n1 para n2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Investimento, e reta (δ+n)k 
que é igual ao investimento de 
equilíbrio 
Fig. 11 
0 
Capital por trabalhador, k 
(δ+n1)k 
k1* 
Redução no estoque de capital no estado 
estacionário em virtude do aumento de n. 
Investimento, i, sf(k) 
(δ+n2)k 
k2* 
O aumento de n1 para n2 
torna a curva (δ+n)k mais 
inclinada. 
1 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O aumento de n tornou a curva do investimento de equilíbrio mais 
inclinada e o estado estacionário mudou do ponto 1 para o ponto 2, fazendo 
reduzir o estoque de capital estacionário por trabalhador (de k1* para k2*). 
Dado que a produção por trabalhador é função do capital por trabalhador 
[y=f(k)], essa redução no estoque de capital também reduz a produção per 
capita (ou renda per capita). Assim, o modelo de Solow nos mostra que 
países com maior crescimento populacional têm níveis mais baixos de PIB 
per capita, o que é bastante condizente com a realidade. 
 
Nota  na primeira parte do estudo do modelo, quando consideramos o 
crescimento populacional nulo, nós vimos que uma alteração da taxa de 
poupança exerce um efeito sobre o produto por trabalhador no estado 
estacionário, mas não afeta a sua taxa de crescimento no longo prazo. O 
mesmo acontece com o crescimento populacional. Sua alteração exerce um 
efeito sobre o capital e sobre a produção per capita no estado estacionário, 
mas não afeta a sua taxa de crescimento, uma vez que, em estado 
estacionário, as variáveis (y e k) permanecerão constantes. 
 
 
 III  Novo nível de capital da Regra de Outro considerando o 
crescimento populacional: 
 
 A formulação teórica do nível de capital da Regra de Ouro continua a 
mesma: é o nível de capital estacionário em que o consumo por trabalhador 
é maximizado. 
 
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REGRA DE OURO com 
crescimento populacional n. 
 Quando não consideramos o crescimento populacional, nós vimos 
que o consumo estacionário é máximo quando a inclinação da curva de 
produção, f(k), é igual à inclinação da curva de depreciação, δk. Ou seja, 
quando Pmgk=δ. Agora, o que muda é que não temos mais curva de 
depreciação, mas sim curva de investimento de equilíbrio, (δ+n)k. Assim, 
o consumo estacionário será máximo quando a inclinação da curva de 
produção, que é igual ao produto marginal do capital, é igual à inclinação 
da curva do investimento de equilíbrio, que é igual a (δ+n). Desta forma, 
considerando o crescimento populacional sendo igual a n, o nível 
de k* que maximiza o consumo é aquele em que 
 
Pmgk = δ + n 
 
Ou, 
 
Pmgk – δ = n 
 
 No estado estacionário da Regra de Ouro, o produto marginal 
do capital é igual ao somatório da taxa de depreciação com a taxa 
de crescimento populacional. Ou, em outras palavras, o produto 
marginal do capital líquido da depreciação é igual à taxa de 
crescimento populacional. 
 
 
3.7. O PROGRESSO TECNOLÓGICO 
 
 A partir de agora, acrescentaremos mais uma fonte de crescimento 
econômico: o progresso tecnológico. O modelo de Solow não explica o que 
determina e o que influencia o progresso tecnológico, ele apenas o pega 
como um dado pronto, pré-determinado. Ou seja, o progresso tecnológico 
é uma variável exógena ao modelo de Solow. Por isso, o modelo de Solow 
é um modelo de crescimento exógeno10. 
 
Neste momento, vamos retornar à função de produção Cobb-Douglas 
do início da aula: 
 
Y = F(K, L) 
 
A principal consequência do progresso tecnológico é fazer com que 
cada trabalhador produza mais. Ou seja, quanto maior a tecnologia, mais 
os trabalhadores serão eficientes. Assim, é possível que, dependendo da 
 
10 Existem modelos que explicam o progresso tecnológico e não simplesmente o pegam como 
um dado pré-determinado. Para esses modelos, portanto, a tecnologia é uma variável 
endógena. No entanto, no nosso curso, não estudaremos esses modelos de crescimento 
endógeno (não são pedidos no edital da Receita Federal). 
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tecnologia de produção, um trabalhador, por exemplo, faça o trabalho de 
vários em virtude da técnica utilizada. 
 
A fim de incorporar o progresso técnico em nosso modelo, nós vamos 
introduzir uma nova variável na nossa função de produção. É a variável 
“E”, que significa eficiência da mão-de-obra. Essa variável “E” deve ser 
multiplicada por L, no sentido de que ela faz um trabalhador produzir mais. 
Veja: 
 
Y = F(K, LxE) 
 
O termo LxE mede o número efetivo de trabalhadores (ou 
unidade de eficiência do trabalho). Ele leva em conta o número de 
trabalhadores, L, e a eficiência da mão-de-obra, E. A eficiência, por sua 
vez, é determinada pela tecnologia do país. Perceba que, segundo essa 
nova função de produção, o progresso tecnológico (aumentos de E, 
eficiência da mão-de-obra) tem o mesmo efeito que aumentos na força de 
trabalho, L. 
 
Por exemplo, suponha que um progresso tecnológico faça com que 
um trabalhador hoje tenha o dobro de eficiência de outro há dez anos. Isso 
significa que 01 trabalhador, em 2010, é tão produtivo quanto 02 
trabalhadores no ano 2000. Em outras palavras, ainda que o número de 
trabalhadores (L) permaneça o mesmo nos anos de 2000 e 2010, o número 
efetivo de trabalhadores efetivos (LxE) dobra, em virtude do progresso 
tecnológico. 
 
Nós denominamos de “g” a taxa com que o progresso tecnológico 
aumenta. Por exemplo, se g=0,05, então cada trabalhador passa a ser 5% 
mais eficiente a cada ano e, por conseguinte, o total da produção aumenta 
como se a força de trabalho tivesse aumentado em 5%. 
 
Essa suposição do modelo de que a tecnologia aumenta a eficiência 
da mão-de-obra faz com que chamemos o “g” de progresso tecnológico 
incrementador da mão-de-obra. Uma vez que a força de trabalho (L) 
cresce à taxa n, e a eficiência da mão-de-obra (E) cresce à taxa g, o número 
efetivo de trabalhadores (LxE) cresce à taxa (n+g). 
 
Também é importante ressaltarmos que se a eficiência da mão-de-
obra (E) é constante (se, por exemplo, temos E=1), então, não há 
progresso tecnológico, de tal forma que g=0. Este pressuposto foi adotado 
nos tópicos 3.1 a 3.6 desta aula. 
 
Nos itens 3.1 a 3.6, nós analisamos a economia em termos de 
variáveis “por trabalhador”. Agora, nós faremos essa análise em termos de 
variáveis “por trabalhador efetivo” (ou por unidade de eficiência do 
trabalho). Para isso, basta dividirmos a função de produção com progresso 
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tecnológico por LxE (e não somente por L como temos feito até o 
momento). Assim, teremos:y = Y/(LxE) 
k = K/(LxE) 
 
A função de produção por trabalhador efetivo será função do estoque 
de capital por trabalhador efetivo: 
 
y=f(k) 
 
 Feitas essas considerações iniciais, a nossa análise será igual àquela 
realizada nos itens precedentes. O estoque de capital por trabalhador 
efetivo variará segundo quatro forças: o investimento (aumenta o k), 
depreciação (diminui o k), crescimento populacional (diminui o k) e 
progresso tecnológico (diminui o k). Assim, a variação do capital é 
 
Δk = i – (δ + n + g).k 
 
A princípio, pode soar estranho dizer que o progresso tecnológico 
diminui o k. Vamos esclarecer esse ponto. Para isso, pense que agora 
estamos trabalhando com o capital por trabalhador efetivo, de tal forma 
que k=K/(LxE). Assim, se há progresso técnico (g>0), então haverá 
aumento da eficiência da mão-de-obra, de forma que o valor de “E” 
aumentará. Se o valor de “E” aumenta, o valor de k diminui. Concluímos 
então que o progresso técnico faz reduzir o estoque de capital por 
trabalhador efetivo. 
 
No estado estacionário, Δk=0, então: 
 
i = (δ + n + g)k 
sf(k) = (δ + n + g)k 
 
Na figura 12, nós podemos visualizar o estado estacionário com o 
progresso tecnológico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Investimento, e investimento 
de equilíbrio 
Fig. 12 
0 
Capital por trabalhador 
efetivo, k 
(δ+n+g)k 
k* 
Estado estacionário, onde i=(δ+n+g)k 
Investimento, i, sf(k) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No estado estacionário, o capital por trabalhador efetivo, k, é 
constante. Uma vez que y=f(k), o produto por trabalhador efetivo também 
é constante. 
 
Há uma crucial diferença entre o estado estacionário com progresso 
técnico e sem progresso técnico. Quando consideramos a tecnologia, o 
capital e a produção por trabalhador efetivo se mantêm constantes no 
estado estacionário. Isso é inteiramente diferente do estado estacionário 
sem progresso técnico. Neste, o capital e a produção por trabalhador 
(conceito diferente de trabalhador efetivo) são constantes. Com base 
nisso, tiramos importantes conclusões. Veja: 
 
 Com tecnologia, nós sabemos que y é constante em estado 
estacionário e esse y significa o produto por trabalhador efetivo: 
 
y = Y/(LxE) 
 
 Ao mesmo tempo, sabemos que L cresce a uma taxa n, e E cresce a 
uma taxa g. Assim, o denominador da nossa fração Y/(LxE) cresce a uma 
taxa (n+g). Ora, se o denominador de Y/(LxE) cresce a uma taxa (n+g), a 
única maneira de y se manter constante é se o produto Y também crescer 
a uma taxa (n+g). 
 
 Assim, concluímos que, no estado estacionário, o total da produção 
(ou produto total) cresce a uma taxa (n+g). 
 
Bem, já vimos que o capital e o produto por trabalhador efetivo (y) 
em estado estacionário são constantes. Também já vimos que o produto 
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total (Y), em estado estacionário, cresce a uma taxa (n+g). Mas, e quanto 
ao produto por trabalhador (Y/L)? Ele cresce ou fica constante? 
 
Vejamos: 
 
𝑦 = 
𝑌
𝐿. 𝐸
 
 
 
Multiplicando os dois lados por E, temos: 
 
𝑦. 𝐸 = 
𝑌
𝐿. 𝐸
. 𝐸 
 
𝑦. 𝐸 = 
𝑌
𝐿
 
 
 A expressão nos mostra que o produto por trabalhador (Y/L) é igual 
ao produto por trabalhador efetivo (y) multiplicado por E. Como sabemos 
que y é constante e E cresce a uma taxa g, temos então a certeza de que 
o produto por trabalhador (Y/L) cresce também a uma taxa g. 
 
Uma vez que o produto por trabalhador (=renda per capita) é o termo 
que define o padrão de vida dos cidadãos, nosso modelo pode finalmente 
explicar os crescimentos sustentáveis nos padrões de vida que observamos 
ao longo dos anos. Ou seja, o modelo de Solow nos diz que, no estado 
estacionário, a taxa de crescimento da renda per capita é 
determinada exclusivamente pela taxa exógena de progresso 
tecnológico, g. 
 
Se houver progresso tecnológico, a renda per capita das pessoas 
crescerá mesmo que a economia esteja em estado estacionário. Quanto 
maior o progresso técnico, maior o crescimento da renda per capita. Isso 
nos ajuda a explicar por que uns países possuem renda per capita tão mais 
elevada que outros. Certamente, o desenvolvimento tecnológico nestes 
países de alta renda é bem maior que aquele verificado nos países pobres11. 
 
 Assim, podemos resumir quem cresce e quem fica constante no 
estado estacionário, com e sem progresso técnico: 
 
 
 
 
 
11 Como assessor econômico da Casa Branca na década de 1960, uma das ideias defendidas por Solow 
era justamente o desenvolvimento tecnológico como forma de melhorar o padrão de vida da 
população (aumentar a renda per capita). Para ele, o progresso tecnológico tinha mais efeito sobre o 
crescimento do que o aumento da população (L) ou o aumento do estoque de capital (K). 
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REGRA DE OURO com crescimento 
populacional “n” e com progresso 
tecnológico “g”. 
 
Variável 
Taxa de crescimento no estado estacionário 
Com progresso técnico Sem progresso técnico 
Capital por trabalhador 
efetivo: K/(LxE) 
0 - 
Produto por trabalhador 
efetivo: Y/(LxE) 
0 - 
Produto por trabalhador: 
Y/L 
g 0 
Produto total: Y (n+g) n 
 
 Por fim, falemos agora da Regra de Ouro com a introdução do 
progresso tecnológico. O nível de capital da Regra de Ouro é definido 
como o estado estacionário que maximiza o consumo por trabalhador 
efetivo. 
 
Podemos deduzir o consumo da Regra de Ouro da mesma forma que 
fizemos nos itens anteriores, só que agora estamos falando do consumo 
máximo por trabalhador efetivo e também devemos considerar que a reta 
do investimento de equilíbrio é dada por (δ+n+g)k*. Assim, o consumo 
será 
 
c* = f(k*) – (δ+n+g)k* 
 
O consumo no estado estacionário será maximizado quando a 
inclinação da função de produção for igual à inclinação da reta (δ+n+g)k*. 
Assim, temos consumo máximo por trabalhador efetivo no estado 
estacionário quando 
 
Pmgk = δ + n + g 
 
Ou, 
 
Pmgk – δ = n + g 
 
No nível de capital da Regra de Ouro, o produto marginal do 
capital líquido (Pmgk – δ) é igual à taxa de crescimento do produto 
total (n+g). 
 
 
3.8. RESÍDUO DE SOLOW 
 
Uma das principais críticas a este modelo de Solow é o fato de ele 
não investigar mais a fundo a questão do progresso técnico. O modelo 
apenas conclui que é ele quem garante o crescimento de longo prazo, mas 
não o explica de forma mais detalhada. Conforme nós vimos, neste modelo, 
a tecnologia é considerada uma variável exógena. 
 
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Neste contexto, Solow calculava o percentual de contribuição da 
tecnologia para o crescimento econômica de forma residual. Vejamos como 
isso funciona. Suponha uma função de produção Cobb-Douglas: 
 
Y = A.Ka.L1-a 
 
Onde A é o parâmetro tecnológico, K é o capital, L é a mão-de-obra, 
“a” e “1–a” são os expoentes de K e L, e medem a participação do capital 
e da mão-de-obra, respectivamente. 
 
O crescimento econômico (ΔY/Y) é calculado por meio da seguinte 
fórmula12: 
 
𝛥𝑌
𝑌
= 𝑎.
𝛥𝐾
𝐾
+ (1 − 𝑎).
∆𝐿
𝐿
+
∆𝐴
𝐴
 
 
 
O termo ΔY/Y representa o crescimento no produto. O termo a.ΔK/k 
representa a contribuição do capital para o crescimento do produto. O 
termo (1–a).ΔL/L representa a contribuição da mão-de-obra para o 
crescimento